2018-2019学年湖南省娄底市高二上学期期末考试数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年湖南省娄底市高二上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设命题:0p x ∀>，||x x =，则p ⌝为（ ） A ．0x ∀>，||x x ≠ B ．00x ∃>，00x x ≠ C ．0x ∀…，||x x = D ．00x ∃…，00x x =【答案】B【解析】根据非命题的要求得解. 【详解】因为“任意”的否定是“存在”，“等于”的否定是“不等于” 故选B. 【点睛】本题考查非命题，注意区别非命题与命题的否定，属于基础题. 2．已知(){}2ln 9A x y x ==-+，{}2xB y y ==，则AB =（ ）A ．(]0,3B ．(]0,ln9C ．()3,0-D ．()0,3【答案】D【解析】求函数定义域得集合A ，求函数值域得集合B ，取交集即可得答案． 【详解】由函数y ＝ln （9﹣x 2），得9﹣x 2＞0， 即（x +3）（x ﹣3）＜0，解得：﹣3＜x ＜3， 所以集合A ＝（﹣3，3），由函数2xy =＞0，得集合B ＝（0，+∞）， 则A ∩B ＝()0,3． 故选：D ． 【点睛】本题考查交集的运算及函数定义域值域的求法，属于基础题. 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【解析】由三视图还原原几何体，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，再由正方体与棱柱的体积公式求解．【详解】由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，下半部分为正方体，棱长为2，上半部分为直三棱柱，高为2，底，则该几何体的体积1V=⨯⨯+＝, 故选C．2222102【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题．S（）4．执行如图所示的程序框图，则输出的=A ．14B ．310C ．13D ．514【答案】B【解析】根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环. 【详解】2k =，16S =，3k =，21116334S =+=+；4k =，211344410S =+=+． 【点睛】本题考查程序框图，执行循环，属于基础题. 5．函数2ln ()1x x f x x =+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】可采用排除法，根据奇偶性和特殊点的函数值的正负进行排除. 【详解】因为()()f x f x -=-，所以()f x 的图象关于原点对称，故排除C D ，；当1x =时，()0f x =，当01x <<时，ln ln 0x x =<，所以()0f x <，排除B ． 故选A. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和特殊点的函数值的正负识别图像，属于基础题.6．设点A 的坐标为，点P 在抛物线28y x =上移动，P 到直线1x =-的距离为d ，则d PA +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【解析】先由抛物线的定义转化所求的距离和，再根据两点之间线段最短求最值. 【详解】点P 到准线2x =-的距离为1d +，于是1PF d =+， 所以1d PA PF PA +=-+的最小值为1413AF -=-=． 故选A. 【点睛】本题考查抛物线的定义和两线段之和最值，属于中档题.7．若20sin a xdx π=⎰，则函数1()x f x ax e -=+的图象在1x =处的切线方程为（ ）A ．20x y -=B ．20x y +=C ．20x y -=D ．20x y +=【答案】A【解析】由微积分基本定理求得a 值，再根据导函数求切线方程. 【详解】2200sin d (cos )1a x x x ππ==-=⎰，1()x f x x e -=+，1()1x f x e -='+，(1)2f '=，则切线方程为22(1)y x -=-，即20x y -=． 【点睛】本题考查微积分基本定理和由导函数求切线方程，属于基础题.8．已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且1a ，312a ，2a 成等差数列，则q =（ ）A ．12 B ．12C D 或12【答案】C【解析】根据等差中项的定义和等比数列的通项公式求解. 【详解】因为1a ，312a ，2a 成等差数列，所以312=+a a a ，又因为{}n a 为等比数列，所以2111a q a a q =+，即21=0q q --，解得12q +=．因为数列的各项均为正数，所以12q +=． 【点睛】本题考查等差中项和等比数列的通项公式，属于基础题. 9．在ABC △中，“2A B π+=”是“sin cos A B =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据诱导公式和三角形的关系判断是否从左推右成立或从右推左成立，从而判断充分条件和必要条件. 【详解】 若2A B π+=，则sin sin cos 2A B B π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭；若sin cos A B =，则sin sin 2A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭， 因为A ，B 为三角形的内角，所以2A B π=-或2A B ππ+-=，即2A B π+=或2A B π-=．故选A. 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，属于基础题. 10．已知函数()*11()8sin sin 2N 222f x x x ππωπωω⎛⎫⎛⎫=++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在区间11,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．将函数()f x 的图象向左平移16个单位长度，再向下平移2个单位长度．得到函数()g x 的图象，且当1,3x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()[2,4]g x ∈-，则a 的取值范围是（ ） A ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．24,33⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】根据正弦的二倍角化简，再由函数的单调性和值域求解.将11()8sin sin 2222f x x x ππωπω⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化简，得()4sin()2f x x πω=+， 由已知可得3242ππωππω⎧--⎪⎪⎨⎪⎪⎩……，则32ω…．因为*N ω∈，所以1ω=．所以()4sin 6g x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当1,3x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，,666x a πππππ⎛⎫⎡⎤+∈-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又()[2,4]g x ∈-，结合正弦函数的图象可得7266a ππππ+剟，所以113a 剟． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和函数的单调性和值域，属于基础题.11．设1F 是双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的一个焦点，1A ，2A 是C 的两个顶点，C 上存在一点P ，使得1PF 与以12A A 为直径的圆相切于Q ，且Q 是线段1PF 的中点，则C 的渐近线方程为（ ） A．y x = B．y = C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】C【解析】根据图形的几何特性转化成双曲线的,,a b c 之间的关系求解. 【详解】设另一焦点为2F ，连接2PF ，由于1PF 是两O 的切线， 则OQ a =，且1OQ PF ⊥，又Q 是1PF 的中点，则OQ 是12F PF △的中位线， 则22PF a =，且21PF PF ⊥， 由双曲线定义可知14PF a =， 由勾股定理知2221212F F PF PF =+，2224416c a a =+，225c a =，即224b a =，渐近线方程为ay x b=±， 所以渐近线方程为12y x =±．【点睛】本题考查双曲线的简单的几何性质，属于中档题.12．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =，且2sin cos sin sin a C B a A b B =-+sin 2b C ，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC △的面积为（ ）A ．3B ．C ．D 【答案】D【解析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解. 【详解】由2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-+，可得2222222a c b ac a b ac +-⨯=-+，即c =.又c =，所以4b =．因为0OA OB OC ++=，所以点O 为ABC △的重心， 所以3AB AC AO +=，所以3AB AO AC =-，两边平方得22|9|6cos AB AO AO AC CAO =-∠2||AC +．因为3cos 8CAO ∠=，所以2223|9|6||8AB AO AO AC AC =-⨯+， 于是29||AO -940AO -=，所以43AO =，AOC △的面积为114sin 4223AO AC CAO ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=.因为ABC △的面积是AOC △面积的3倍.故ABC △【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题.二、填空题13．若x ，y 满足约束条件0200x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则23z x y =-的最小值为______．【答案】1-【解析】画出可行域，通过向上平移基准直线230x y -=到可行域边界的位置，由此求得目标函数的最小值. 【详解】画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数z 2x 3y =-在点()1,1A 处取得最小值，且最小值为231z =-=-.【点睛】本小题主要考查利用线性规划求线性目标函数的最大值.这种类型题目的主要思路是：首先根据题目所给的约束条件，画图可行域；其次是求得线性目标函数的基准函数；接着画出基准函数对应的基准直线；然后通过平移基准直线到可行域边界的位置；最后求出所求的最值.属于基础题. 14．函数()ln x f x x=在(20,e ⎤⎦上的最大值是____． 【答案】1e【解析】求出导函数，求解极值点，然后判断函数的单调性求解函数的最大值即可． 【详解】 函数()ln x f x x =，()21ln 'xf x x-=，令()'0f x =，解得x e =． 因为20e e <<，函数()f x 在(]0,x e ∈上单调递增，在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦单调递减；x e =时，()f x 取得最大值，()1f e e=．故答案为：1e．【点睛】本题考查函数的导数的应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值是解题的关键．15．已知0x >，0y >，且3622x y+=．若247x y m m +>-成立，则m 的取值范围为________．【答案】(,3)(4,)-∞+∞【解析】根据均值不等式的“1”的妙用得最值求解. 【详解】因为136132414(4)12(121222222y x x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…， 当且仅当32x =，6y =时，取等号， 由题意得2127m m >-，解得4m >或3m <． 故得解. 【点睛】本题考查均值不等式，属于中档题.16．如图，在三棱锥P ABC -，ABC ∆为等边三角形，PAC ∆为等腰直角三角形，4PA PC ==，平面PAC ⊥平面ABC ，D 为AB 的中点，则异面直线AC 与PD 所成角的余弦值为__________．【答案】4【解析】建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，结合PAC ∆为等腰直角三角形，求得向量,AC PD 的坐标，利用向量的夹角公式，即可求解。