广东省南民私立中学高三数学第一轮复习 反函数.doc

反函数

一、基本知识

1、 反函数的概念：设函数y=f(x)的定义域为A ，值域为C ，由y=f(x)求出()y x ϕ=，若

对于C 中的每一个值y ，在A 中都有唯一的一个值和它对应，那么()y x ϕ=叫以y 为自变量的函数，这个函数()y x ϕ=叫函数y=f(x)的反函数，记作()y f

x 1-=，通常情况下，一般用x 表示自变量，所以记作()x f y 1-=。

注：在理解反函数的概念时应注意下列问题。

（1）只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数；

（2）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；

2、求反函数的步骤

（1）解关于x 的方程y=f(x)，达到以y 表示x 的目的；

（2）把第一步得到的式子中的x 换成y ，y 换成x ；

（3）求出并说明反函数的定义域（即函数y=f(x)的值域）。

3、关于反函数的性质

（1）y=f(x)和y=f -1(x)的图象关于直线y=x 对称；

（2）y=f(x)和y=f -1(x)具有相同的单调性；

（3）y=f(x)和x=f -1(y)互为反函数，但对同一坐标系下它们的图象相同；

（4）已知y=f(x)，求f -1(a)，可利用f(x)=a ，从中求出x ，即是f -1(a)；

（5）f -1[f(x)]=x;

（6）若点P(a,b)在y=f(x)的图象上，又在y=f -1(x)的图象上，则P(b,a)在y=f(x)的图

象上；

（7）证明y=f(x)的图象关于直线y=x 对称，只需证得y=f(x)反函数和y=f(x)相同；

二、例题选讲

例1：（考例1）求下列函数的反函数

()()11

321-<-+=x x x y ()22--=x y

()()()

⎩⎨⎧<-≥-=0120132x x x x y

练习：（变式一）求下列函数的反函数

()[]()2,11212∈-+=x x x y

()(

)()10log 212<≤=-x y x

例2、（考例2）已知函数y=f(x)的反函数为y=f -1(x)，求函数y=f(2x-1)+1的反函数。 练习：1、（变式二）已知函数y=f(x)的反函数为y=f -1(x)，求函数⎪⎭

⎫ ⎝⎛=x f y 1的反函数。

2、已知f(x+1)=2x ，求()11+-x f 。(()11+-x f =2

3+x ) 例3、（考例3）（1）已知函数y=a x +b 的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则

a= ,b= 。

（2）已知()x x

x f 3131+-=，则⎪⎭

⎫ ⎝⎛-541f = 。 练习：（变式三）若f -1(x)为函数f(x)=lg(x+1)的反函数，则f -1(x)的值域是 。 例4、给定实数a ，0≠a 且1≠a ，设函数⎪⎭⎫ ⎝⎛≠∈--=

a x R x ax x y 1,11且，证明这个函数的图象关于直线y=x 成轴对称图形。

练习：（变式四）若函数()b

x ax x f -+=212的图像关于直线y=x 对称，确定a,b 的关系。 例5、设R a ∈，f(x)为奇函数，且()1

4422

+-⋅=-x x a a x f （1）试求f(x)的反函数的解析式f -1(x)及f -1(x)的定义域；

（2）设()k x x g +=1log 2，若⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈32,21x 时，f -1(x)()x g ≤恒成立，求实数k 的取值范围。 练习：（变式五）已知函数()()

()1,02log 2≠>-+=a a x x x f a 的反函数f -1(x)，设()()

2log 221a n f n g +=-，若()()+-∈+

1、求反函数；

2、利用反函数的性质解题；

四、作业：能力提高：7、8、预测