广州一模数学(理)附答案
广州一模数学理含答案
2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(理科)参考公式:如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件B 、C 互斥，那么(|)(|)(|)P B C A P B A P C A ⋃=+第一部分 选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}A x y x y x y R B x y x y x y R =+=∈=-=∈,则集合A B 的元素个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 2.已知,m R ∈向量(,1),2,a m a m ===若则 A. 1B.C. ±1D.3.函数()sin cos ()f x x x x R =-∈的最小正周期是A. 2πB. πC. 2πD. 3π 4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为 A.B. C.D. 125.如图1所示的算法流程图中(注:”A=1”也可写成”A:=1”或”A ←1”,均表示赋值语句),第3个输出的数是A. 1B. 32C. 2D. 526.如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是A. 2(80cm + B. 296cm C. 2(96cm + 主视图 左视图图1俯视图D. 2112cm 47.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A. ()2,2- B. []2,2- C. (),1-∞- D. ()1,+∞8.如图3所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若4312412,()1234i i a a a a S k ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =， 若431241,()1234i i S S S S K iH ======∑则 A.4VK B. 3V K C. 2V K D.V K第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题，其中9—12题是必做题，13—15题是选做题.每小题5分，满分30分）9.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是 10.双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为（2，0）,则此双曲线的方程是11.已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数则1100a a += ,123499100a a a a a a ++++++=12.不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩,所确定的平面区域记为D .若点(,)x y 是区域D 上的点，则2x y +的最大值是 ;若圆222:O x y r +=上的所有点都在区图2图3域D 上，则圆O 的面积的最大值是▲选做题:在下面三道小题中选做两题,三题都选的只计算前两题的得分 13.如图4所示, 圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D, CD=4, BD=8, 则圆O 的半径等于 14.在极坐标系中,圆2ρ=上的点到直线(cos )6ρθθ+=的距离的最小值是15.设11,1,2a b a b a b+=+为正数,且则的最小值是 三、解答题:本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程.16(本小题满分12分)已知tan 2θ=(Ⅰ)求tan()4πθ+的值 (Ⅱ)求cos2θ的值17.(本小题满分14分)如图5所示，在长方体1111,ABCD A B C D -中11,2AB BC BB ===111,4E CC CE CC =是棱上的点且(1)求三棱锥C BED -的体积(2)求证:1A C BDE ⊥平面18.(本小题满分12分)甲箱的产品中有5个是正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率；(2)若从甲箱中任取出2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率19.(本小题满分14分)如图6所示，已知曲线2212::2(1)C y x C y x ax a ==-+>与曲线交于点O 、A ，直线(01)x t t =<≤与曲线1C 、2C 分别交于点D 、B ，连结OD ，DA ，AB.(1)写出曲边四边形ABOD （阴影部分）的面积S 与t 的函数关系式()S f t =图4A1C1B1DC B A ED1(2)求函数()S f t =20(本小题满分14分)已知圆C ：22x y +点M ()0,b ,且MP MQ ⊥. (1)当1;b k =时,求的值(2)当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求k 的取值范围.21(本小题满分14分)设{}n n S a n 是数列的前项和,对任意**1(0,1),,,n n n N S qa q q m k N m k ∈=+>≠∈≠且(1)求数列{}n a 的通项公式n a(2)试比较221()2m k m k S S S ++与的大小(3)当222111m km kq S S S +>+时,试比较与的大小2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(理)参考答案及评分标准5分，满分30分,第11小题的第一空为2分,第二空3分,第12小题的第一 2分,第二空3分9. 20x x m +-=若方程有实数根 则m >010.3213y x -= 11. 100; 500012. 14; 45π13. 5 14. 115. 32三、解答题:16.本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查运算能力,满分12分 (1)tan 2tantan 4tan()341tan tan 4θπθπθπθ=+∴+==-- 4分(2)3cos 25θ=- 12分17.(1)1111111332212C BDE E BCD BCD V V S CE --∆==⋅=⋅⋅⋅⋅= 6分(2)略18.解(1)203528328C C P C ⋅== 4分 (2)设事件A 为”从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为”从甲箱中取出2个产品都是正品,”事件B2为”从甲箱中取出2个产品一个是正品一个是次品”事件B3为:” 从甲箱中取出2个产品都是次品”则事件B1,B2,B3互拆211253531232228885153(),(),()142828C C C C P B P B P B C C C ======7分 123654(|),(|),(|)999P A B P A B P A B === 10分112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B =++5615534147714928928925212=⋅+⋅+⋅== 12分 19解(1)由222(0,0),(,)2y x O A a a y x ax⎧=⎨=-+⎩得点 又由已知得22(,2),(,)B t t at D t t -+ 2分故2222011(2)(2)()22t S x ax dx t t t at t a t =-+-⋅⋅+-+-⋅-⎰32216t at a t =-+ 3221()(01)6S f t t at a t t ∴==-+<≤ 6分(2)22221()221()0,202:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t '=-+'=-+===+≤令即解得或由舍去) 8分若(21a a -≥≥即,01,()0t f t '<≤∴≥21()(1)6f t f a a ∴=-+在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 10分(2t a <<当0时,()0f t '>()]f t a ∴在区间上单调递增当(21,()0a t f t '-<≤<时(),1]f t a ∴在区间上单调递减32()[(2]1)3f t f a a ∴=的最大值是 13分综上所述[]2max312,62()21),13a a a f t a a ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩ 14分20解(1)1k = 4分(2)由222210y kx x y x y =⎧⎨+--+=⎩消去y 得 22(1)2(1)10k x k x +-++= ①设1122(,),(,)P x y Q x y 则1212222(1)1,11k x x x x k k++==++ 6分 2212121212()()(1)()0MP MQ x x y b y b k x x kb x x b ⊥+--=+-++=得 8分22222212(1)(1)0112(1)111k k kb b k kk k b b k b b ++⋅-⋅+=++++==++即令211()()1f b b f b b b'=+=-则当231(1,)()1023()(1,)2313(1,)()(2,)26b f b bf b b f b '∈=->∴∈∈时,在区间上是单调递增的当时, 11分22(1)13216k k k +∴<<+解得:166k k k >⎧⎪⎨>+<⎪⎩166k k ∴<<> 13分由①式00k ∆>>解得166k k ∴<<>(,)k ∴+∞的取值范围是6+23 14分21解(1)当n=1时,111111,1,1a S qa q a q==+≠∴=- 1分 11111n n n n n n n qa S S qa qa a a q ++++=-=-⇒=- 3分 {}11,111()11n n n q a q q q a q q -∴--∴=⋅--数列是以首项公比为的等比数列 4分(2)由(1)得11()1nn n q S qa q =+=-- 5分 令1qt q =- 222211()(1)(1)(1)22m k m km k m k S S S t t t ++⎡⎤∴-+=---+-⎣⎦ 7分 2221()221()02m k m km k t t t t ++⎡⎤=-⎣⎦=-> 故221()2m k m k S S S +>+ 9分(3)当22221,1,,,10,10,101m k m k m k qq t m k t t t t t q +>=>≠∴≠-<-<-<-时22221111()()m k m k S S S S ⎛⎫∴-+=-+-> ⎪⎝⎭= 11分222222220(1)(1)()11m k m k m k m k t t t t t t ++<--=-++<- 2(1)m k t +=-22211(1)(1)(1)m k m k t t t +∴>--- 13分2211221m km k m k S S t S ++⎛⎫∴-+>==- ⎪-⎝⎭22211m km kS S S +∴>+ 14分。
广州一模理科数学试题与答案全word版
A数试卷类型：年广州市普通高中毕业班综合测试（一）2018学（理科）2018.3分钟150分．考试用时120本试卷共4页，21小题，满分注意事项：铅笔在“考生号”处填涂考生号。
用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在2B1．答卷前，考生务必用铅笔将试2B/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用的市、县）填涂在答题卡相应位置上。
卷类型（A铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，2B2．选择题每小题选出答案后，用用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位3置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的，2B4．作答选做题时，请先用答案无效。
．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
51ShV?hS是锥体的底面积，，其中参考公式：锥体的体积公式是锥体的高．3????1??12nnn??2222*???n?2?13N?n．6一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2??m4ii??3m?i的值为是虚数单位，若1．已知，则实数2?2?2?2B．．A．C．D cca CbB2ABCC?BA为2．在△，若中，角，，，所对的边分别为，则，b C2cosC2cosB2sinB2sin B．．A．DC．22????1x?12??y?xy?对称的圆的方程为．圆3关于直线2222????????1?y?12?12x?1??y??x．A．B2222????????1?y?2x?2?y?1?1x?1? D．C．??2?faxx??x1a R的取值范围为4的定义域为实数集，则实数．若函数????????????2,2?2,?????2,2?,22,?????2,．AB．C．．D1 / 16．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制5组距频率/0.030 ??50,60，成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为0.0250.020 ????????90,10080,9060,7070,80，，，．若用分层抽0.0150.010??80,100范围内的数据16样的方法从样本中抽取分数在个，0100 90 60 70 80 50 分数??90,100则其中分数在范围内的样本数据有1图个个D．10A．5个B．6个C．8?3?AZA?xx?Z?且6．已知集合，则集合中的元素个数为??x?2??5．．4DA．2B．3C b=aab a b．设成立的一个必要非充分条件是，是两个非零向量，则使7????0?ba b?ab?baa?B．D．A．C．mmaama bbb0m?同余，记为8．设和，和，），若为整数（被对模除得的余数相同，则称????20012220m?abmodmod10ba?2C2?C??C?2????aC b，则．若的值可以是，202020202018 ．．2018 DA．2018 B．2018 C分．分，满分30小题，考生作答6小题，每小题5二、填空题：本大题共7 13题）～（一）必做题（9??1x?a?a3x?1x?的解集为，则实数．若不等式的值为．9??*kS?7N k?的值为．，则输入．执行如图2的程序框图，若输出10 11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是．开始k输入50?0,S?n11 22lo正（主）视侧（左）视图输出结束 4图31n?2SS??俯视图2图2 / 16?3????????????cossin．，则12．设为锐角，若????5126????1????a???SS1a?aa n，为数列中，已知．的前13项和，则，记．在数列2014n11?nnn1a?n（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）????????asin??cos?42cossin?BA与曲线中，直线，相交于两点，若在极坐标系C23?AB a的值为．，则实数PD E15．（几何证明选讲选做题）O BOCOPCPA交于是圆的切线，切点为与圆如图4，，直线CACBAPC?DABE的平分线分别交弦，，两点，，于APE PC?3PB?24图，则，两点，已知的值为．PD三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）π??，0?xsinx?cosa(fx)?的图象经过点．已知函数??3??a的值；1（）求实数2??2?xf()?g(x))(xg（2）设的最小正周期与单调递增区间．，求函数．（本小题满分12分）172，甲，丙两人同时不能被聘用的概率甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是563，乙，丙两人同时能被聘用的概率是是，且三人各自能否被聘用相互独立．1025（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；??的分布列）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求2（与均值（数学期望）．3 / 16．（本小题满分14分）18D C11DDDCABCD?ABa E的正方体中，点5，在棱长为的是棱如图11111A1B E1BBFBBF?2F．中点，点上，且满足在棱11D C C?AEF）求证：；（111FCC GGEAF，，）在棱（2，使，上确定一点四点共面，并求1A GC B此时的长；1ABCDAEF5 图与平面3）求平面所成二面角的余弦值．（1419．（本小题满分分）????*ba N?n，．的首项为2，等比数列1已知等差数列，公比为2的首项为10，公差为nn????ba与）求数列的通项公式；（1nn??b,ac?min Snn．（2）设第个正方形的面积之和个正方形的边长为，求前nnnn??b,amin a b与表示的最小值．）（注：．（本小题满分14分）2022yx?????10aFF OE：，，离心率为，左，右焦点分别为已知双曲线的中心为原点2124a2a53?x0QF?PF Q EP 上，且满足上任意一点，点．，点在双曲线是直线2253a（1）求实数的值；PQOQ与直线2）证明：直线的斜率之积是定值；（M lMNN1P P上，过点，作动直线的纵坐标为与双曲线右支交于不同两点，在线段）若点（3MHPM?M NHH，，满足取异于点的点，????x2e e1??2fxx?x已知函数为证明点恒在一条定直线上．HNPN14分）21．（本小题满分????????????xtsthx,s,tts?hs,的自然对数的底数）．（其中)xf(的单调区间；（1）求函数上的取值范围为在区间，则称区间）定义：若函数（2为函数????1,)(xf上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条“域同区间”．试问函数在．理说，存若”区域的件“同间；不在请明由4 / 162018年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试卷参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试卷主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．1 2 3 4 5 6 7 8 题号A B A D B C D A 答案二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9 10 11 12 13 14 15 题号201122?5?1? 342答案或3210三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分1）（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）π???????0f，0?x?sinxacosf(x)?．的图象经过点，所以）因为函数解：（1????33????ππ????sin?cos?a??0即．????33????3a??0?．即223a?解得．f(x)?sinx?3cosx．2（）方法1 由（1）得：??22?cos?sin?x3x22(f?)xg([?x)]所以1 / 16 22x?2x?3cos?23sinx?sincosx?3sin2x?cos2x??13?2sin2x?cos2x????22???????2sin2xcos?cos2xsin??66??π???2sin2x?．??6??2???)g(x．的最小正周期为所以2??????2k?k???,2xy?sin Z?k的单调递增区间为，因为函数??22??πππ???π?π??2k?2x2kg(x)Zk?单调递增，时，函数所以当262ππ??ππ?x?kk??g(x)Z?k单调递增．时，函数即36ππ????ππ,??kk)(xg Z?k．所以函数的单调递增区间为??36??x3(fx)?sinx?cos）得方法2：由（1?????2sinxcos?cosxsin??33??π???2sinx?．??3??2π????22?2sinx??2x)]?[g(x)?f(所以????3????π??22???4sinx??3??π2???x2cos??2?????k??,2k2?x?ycos Z?k，因为函分??3??2???)xg(分所以函数的最小正周期为2数的单调递减区间为2 / 162???2k??2k???x??2)(xg Z k?所以当单调递增．时，函数3ππππ?kk??x?)(xg Z?k单调递增．（即）时，函数63ππ????ππ,?kk?)(xg Z k?．所以函数的单调递增区间为??63??）17．（本小题满分1（本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识）AAA 1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为，，，解：（312AAA由已知，，相互独立，且满足3122???,?PA?15?6?????,?PA1?PA1??????????3125?3?????.A?PAP??????PA?PA，解得．322531所以乙，丙各自能被聘用的概率分别为．，3210?3152?，3（2）．的可能取值为1???????AAAPAA?3??PPA因为332211????????????A1P?A1??PPAPPAAPA??1????????????3232112132136???????．25552552196??????3?P?P?11???1?所以．2525?所以的分布列为19252537196???3??1E?所以．2525253 / 1618．（本小题满分1）（本小题主要考查空间线面关系、四点共面、二面角的平面角、空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力）推理论证法：DB BD（1）证明：连结，，11D C11DAC?BDBCA是正方形，所以．因为四边形11111111A E B11DC?ABCDABABCD?DD平面，在正方体中，111111111DC FDDAC??ACDCAB平面，所以．111111111A BDBBDDD?DBDDD?DB，，因为平面，111111111?ACDBBD．平面所以1111C?BBDDEFA?EF，所以平面．因为1111CCAEBH BHH的中点，连结．2（）解：取，则1D C11G CCBBAEBHFGFG F在平面，则．中，过点作A11H E B11GEGEAF，，连结，则四点共面．，D1111C aCH?CC?aHG?BFCC??，，因为F 112233A1B GCaHG???CCCH?．所以1161GCa?GEAF时，，四点共面．，故当，16 MEFDB?AMDBEF，，连结）延长，，设（3ABCDAEFAM是平面与平面的交线．则D NFN?BNAMB过点作，，垂足为，连结C11BFB?BNAMFB?，因为，A BNF?AM所以．平面1B E1FNBNFFN??AM因为平面．，所以ABCD?FNBAEF与平面所成所以为平C二面角的平面角．1Aa B2MBBF3???因为，N13MDDEa 2M4 / 16MB2?，即3aMB?2a2MB?2所以．135??ABM aAB?ABM中，，，在△222cos135?MB?2?AB?MBAM?AB?所以??2??222a?13AMa?13?a?a?22a?2?a?22?．即．????2??11sin135?MB?AM?BN?AB因为，222?2aa?2132AB?MB?sin1352??aBN?所以．13AMa1322??1327131??22a??a?aFN?BF?BN所以．??????39133????6BN?cos?FNB?所以．7FN6ABCDAEF所成二面角的余弦值为与平面故平面．7空间向量法：zDD DCDDA，为坐标原点，所在的直线，（1）证明：以点D1C11x y z轴，分别为轴，建立??????1B aC,,0,aA,0,0a0,AaaE，，，则11111D????如图的空间直角坐标系，轴，Ay a,a,aE0,0,Fa，，C????F32????A B1????x a?a,a,?EF,0,aa?AC?，所以．??116??220??aa?0?EFAC?因为，11CAEF?EFAC?．所以所以．1111??h,Ga0,BBCCAADD，因为平面设解：平面，）（21111BAADDBCC AEAEGFAEGF?FG?，平面，平面平面平面1111AEFG．所以5 / 16??AEFG?，使得所以存在实数．11????a?a,0,?a,0,h?FGa??AE因为，，????32????11?????a,0,?a,0,h?a??a所以．????23????5?ah?1?，所以．615GC?aa?aCG??CC?所以．11661GCa?GEAF，四点共面．故当时，，，1611????,0,aAE?0,a,a??aAF）知1解：由（（．，3）????32??????zx,?y,n AEF设是平面的法向量，?0,nAE??则?0.nAF???1?0,?ax?az???2即?1?0.??azay?3?2?y?3?6xz?，则．取，??2,6n??3,AEF的一个法向量．所以是平面??aDD?0,0,ABCD 是平面的一个法向量，而1?ABCDAEF所成的二面角为设平面与平面，nDD1??cos (1)则DDn1?06??．72??22a6?2?3??6ABCDAEF所成二面角的余弦值为故平面与平面．7第（1）、（2）问用推理论证法，第（3）问用空间向量法：（1）、（2）给分同推理论证法．DD DCDDA所在的直线解：3（）以点为坐标原点，，，16 / 16x y z轴，轴，轴，建立如图的空间直角坐标系，分别为11??????aFa,aE0,0,,a,0,0Aa，，则，????32????zD C111????1a,AF,0,a?0,aAE??a则，．????32????A1B E1??zx,y,n?AEF设是平面的法向量，D y C F1?0,az??ax???0,?nAE??2AB则即??10.AF?n???x 0.??ayaz?3?2??y3?xz?6．，取，则??2,6??3,n AEF是平面的一个法向量．所以??a?0,0,DDABCD是平面的一个法向量，而1?ABCDAEF设平面与平面所成的二面角为，DDn1??cos1…则DDn1??6a?2?0?3?0??6??．72??22a2?3??6?6ABCDAEF所成二面角的余弦值为故平面与平面．7）19．（本小题满分1（本小题主要考查等差数列、等比数列、分组求和等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）??a 2，10的首项为（解：1）因为等差数列，公差为n??2?n??a10?1所以，n8??2na即．n??b 2，的首项为1因为等比数列，公比为n1?n21??b所以，n1?n2b?．即n7 / 16a?10a?12a?14a?16a?18a?20，，，）因为，，，（2531246b?1b?16b?328??b?2b4b．，，，，，615423a?b5n?．时，易知当nn b?a6n?成立．时，不等式下面证明当nn6?1?20?2?6?8?a32b?2?6n?，不等式显然成立．时，当方法1：①66??k?16k??2k?28kn?．时，不等式成立，即②假设当 ????????1?kk?8k?k2?2?2?6?2?k?12?8?1?222k?8．则有n?k?1时，不等式也成立．这说明当n?6的所有整数都成立．综合①②可知，不等式对b?a6n?．时，所以当nn n?6时因为当方法2：n?1??????1?n8?22n?8???ba?21?1?nnn????n021?18??C??CC?2?n?C1?n?1n?1nn?1????02n?112n?3n?8n??2?C?C?C??CC?C1n?n?1?11n?1nn?1?n????0128??C2?C?C?2n1nn?1?n?1????2?0n?4???nn?3n?6?6n，b?a6?n．所以当时，nnn?1?,n2?5,???b,ac?min所以?nnn n?8,5.2n??22n??n2,?5,?2?c则?n2??5.?n?4,n4??5n?当时，2222c??c??S?cc nn3122222b???b?b?bn2130242n?22???2?22???n?1??4．n4?111?438 / 16n?5时，当????222222aba???ab??b???2222c??cS?c??c n3n21??222????????5?n?4?4?7?4?46?14??n761251??3????????2225n???n?n???8166?7?341?4?67????????????2222225?2???n5n?341?4?1?2??641?326?7?n?? ??????????5?n6?n?1n2n?1n??????32?4?55?64n?5?341??62??424223?n???18n679n．331???n n??15,,4??3S?综上可知，?n2424?23nn??5.n?n679,?18?33?20．（本小题满分1）（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）c E，设双曲线的半焦距为（1）解：?c35,??由题意可得5a??22?4.?ca?a?5．解????x??tP,y3,0xQF,）可知，直线1），点证明：由（2．设点，,（??002得25a5??333??5????0x,?yt3?,??3?0QF?PF，所以因为．??00223??4??3?tyx?．所以????22001??yxQ,5?y?xE上，所以在双曲线，即．因为点00005459 00322yx4/ 162ty?yy?ty0000???k?k所以OQPQ55x2xx?x?0????23??x?x540053??．552xx?0034OQPQ 0003344????,1P yMy,Hxx,lE，的右支交于不同两点（3）所以直线的斜率之积是定值与直线．55??证法1：设点的直线，且过点与双曲线????????2222222220y??54x yN,x5x?xy?y??520y??54x，即，，，则．113??44222112221155??,PNPM?MHPM????，则设．?HNPN?.MH?HN??55??????,1y??,y?1??x,x??????????.yx?x,yyx?x,y????22115?????,1??x?x①?123????,1??y?y②221133????即????2222??,x?xx?1?⑤?213由①×③，整理，得?21?????,x?1x?x?③21?????.1?y?y?y④??215?②×④得????2222??.y1y?y??⑥?2144????22225?x?yxy??5代入⑥，将，212155222?x?x421???4y得⑦．2??1544?y?x．将⑤代入⑦，得30?3y?12?4x H所以点恒在定直线上．lk依题意，直线证法2：存在．的斜率5???k1y??x l，的方程为设直线??3??10 / 16?5??,?x?1?ky???3???由?22yx?1.???54???????2222y0?5k??3kx?255k9?k94?56xk?30消去．得????yN,x,yMxlE与双曲??????22220,?6?900k4?5k?95k5??900k?3k??线，的右支交于不同两点因为直线，2112????2k?30k53?,?x?x②则有???2124?95k????29k?525k?6??x.x ①???21245k?9?5?xMHPMx?x131??，得由．③?5HNPNx?x?x1223????0??103x?5xx?x6xx?1 ．整理得???? 2211??????22kx?5?15035k5?6k?930k3010x???将②③代入上式得．??015?5?k?4x3x?224?599kk5?4整理得④．5???x1??ky lH⑤因为点．在直线上，所以??3??0?4x3y?12?k 得联立④⑤消去．04x?3??12y H恒在定直线所以点上．y x0y3?12?4x?H恒在定直线上，无需求出的范围．）3（本题（）只要求证明点或）21．（本小题满分1（本小题主要考查函数的单调性、函数的导数、函数的零点等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）????x2e1??2fxx?x，（解：1）因为??x2e??x1xx2x?1)e??x(?2x?x2)e?(?x1)ex?1)((2)f(x?．所以?????????,???1fx?01,)x(f1x1?x??和或当时，，即函数的单调递增区间为．11 / 16 ?????,1?f?0x1)xf(11?x??．时，当，即函数的单调递减区间为??????,1??,?1?11,??)f(x．和所以函数，单调递减区间为的单调递增区间为????1,)x(f[s,t](1?s?t)，上存在“域同区间”2）假设函数在（????1,)xf(上是增函数，）知函数在由（12s f(s)?s,?,?(s?1)s?e?所以即??2t f(t)?t.(t?1)?e?t.??2x xe?(x?1)也就是方程1的相异实根．有两个大于x22x?11)e?(x)?(x?g(gx)?(x?1)e?x(x?1)．，则设??????x2x2??1(x)?(x?g1)e??xhe1xx?x?h?2，则．设???????xh???0xh1,)??(1,上单调递增．在因为在，所以上有??2??0?3eh?21?0??11h?因为，，????,21x??0xh．即存在唯一的，使得00????????x?x,1?xxh1,x??g0)xg(上是减函数；当时，，即函数在00??????????xx?,???g?0,xhxx?)g(x上是增函数．时，在当，即函数????1,)(gx上只有一个零点．在区间所以函00??2??1g?10g(x)?g(1)?0g(2)?e?2?0，因为，，0????1,)x(f在上不数2x x??1)ex(有两个大于这与方程1的相异实根相矛盾，所以假设不成立．存在“域同区间”．所以函数12 / 16。
年广州市一模理科数学试题及标准答案
201７年广州市普通高中毕业班综合测试(一）理科数学注意事项:１.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
答卷前，考生务必将自 己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上,并用铅笔在答题卡上的相应 位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
４．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题:本小题共12题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （Ａ）1i + （B)1i - (C ）1i -+ （Ｄ)1i -- (2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤,则(Ａ)M N = (B)M N ⊆ (C ）N M ⊆ (D ）M N =∅（3)已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列，则3546a a a a ++的值是(51- （B 51+ (C)35- （35+ (4)阅读如图的程序框图． 若输入5n =, 则输出k 的值为(A)2 （B ）3 （Ｃ)4 (D ）5（5)已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左,右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 （A)1 (Ｂ)13 （C ）4或10 (D)1或13（6)如图, 网格纸上小正方形的边长为１， 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形)和侧视图,且该几何体的体积为83,则该几何体的俯视图可以是（7)五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币,所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上,则这个人站起来;若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么,没有相邻的两个人站起来的概率为(A)12(B）1532（C）1132（D)516（8)已知1F,2F分别是椭圆C()2222:10x ya ba b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C上存在点P使12F PF∠为钝角, 则椭圆C的离心率的取值范围是(A)22⎛⎫⎪⎪⎝⎭(B）1,12⎛⎫⎪⎝⎭（C）20,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭（D)10,2⎛⎫⎪⎝⎭(9)已知:0,1xp x e ax∃>-<成立, :q函数()()1xf x a=--是减函数, 则p是q的（A)充分不必要条件（B）必要不充分条件（C)充要条件(D)既不充分也不必要条件(10)《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC为鳖臑, PA⊥平面ABC，2PA AB==，4AC=，三棱锥-P ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(A）8π(B)12π（Ｃ）20π(D)24π（11)若直线1y=与函数()2sin2f x x=的图象相交于点()11,P x y,()22,Q x y,且12x x-=23π,则线段PQ与函数()f x的图象所围成的图形面积是（A）233π（B)33π+（C）2323π+(D)323π+（1２)已知函数()32331248f x x x x=-++, 则201612017kkf=⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为(A)0(B）504(C)1008（Ｄ）2016P CBA第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
2020年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)(附答案详解)
2020年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合M={x|0<x<1,x∈R}，N={x||x|<2,x∈R}，则()A. M∩N=MB. M∩N=NC. M∪N=MD. M∪N=R2.若复数z满足方程z2+2=0，则z3=()A. ±2√2B. −2√2C. −2√2iD. ±2√2i3.若直线kx−y+1=0与圆x2+y2+2x−4y+1=0有公共点，则实数k的取值范围是()A. [−3,+∞)B. (−∞,−3]C. (0,+∞)D. (−∞,+∞)4.已知p：|x+1|>2，q：2<x<3，则p是q的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.设函数f(x)=2cos(12x−π3)，若对于任意的x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1−x2|的最小值为()A. π2B. πC. 2πD. 4π6.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的体积为V，若P，Q分别在AA1，CC1上，且AP=13AA1，CQ=13CC1，则四棱锥B−APQC的体积是()A. 16V B. 29V C. 13V D. 79V7.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾．某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学．现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为()A. 514B. 914C. 37D. 478.已知直线l：y=x−2与x轴的交点为抛物线C：y2=2px的焦点，直线l与抛物线C交于A，B两点，则AB中点到抛物线准线的距离为()A. 8B. 6C. 5D. 49. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=13，a 2+a 5=4，若S n ≥4a n +8(n ∈N ∗)，则n 的最小值为( )A. 8B. 9C. 10D. 1110. 已知点P(x 0,y 0)是曲线C ：y =x 3−x 2+1上的点，曲线C 在点P 处的切线与y =8x −11平行，则( )A. x 0=2B. x 0=−43C. x 0=2或x 0=−43D. x 0=−2或x 0=4311. 已知O 为坐标原点，设双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 是双曲线C 上位于第一象限内的点．过点F 2作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为A ，若b =|F 1F 2|−2|OA|，则双曲线C 的离心率为( )A. 54B. 43C. 53D. 212. 已知函数f(x)={−x 2−x +1,x <0x 2−x +1,x ≥0，若F(x)=f(x)−sin(2020πx)−1在区间[−1,1]上有m 个零点x 1，x 2，x 3，…，x m ，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+⋯+f(x m )=( )A. 4042B. 4041C. 4040D. 4039二、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 在(ax +1x )(x 2−1)5的展开式中，x 3的系数为15，则实数a =______．14. 已知单位向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3，若向量e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ 的夹角为5π6，则实数k 的值为______．15. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a n +a n+1n=cosnπ2−sinnπ2(n ∈N ∗)，且m +S 2019=−1009，a 1m >0，则1a 1+9m 的最小值为______．三、多空题（本大题共1小题，共5.0分）16. 如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为 (1) ，表面积为 (2) ．四、解答题（本大题共7小题，共82.0分）= 17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=√3，且满足absinCasinA+bsinB−csinC √3．(1)求角C的大小；(2)求b+2a的最大值．18.随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；(1)以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；(2)依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分布列及数学期望E(Y)．19.如图1，在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为边AC，AB的中点，将△AED沿ED折起，使得AB⊥AD，AC⊥AE，得到如图2的四棱锥A−BCDE，连结BD，CE，且BD与CE交于点H．(1)求证：AH⊥平面BCDE；(2)求二面角B−AE−D的余弦值．20.已知⊙M过点A(√3,0)，且与⊙N：(x+√3)2+y2=16内切，设⊙M的圆心M的估轨迹为C，(1)求轨迹C的方程；(2)设直线l不经过点B(2,0)且与曲线C交于点P，Q两点，若直线PB与直线QB的斜，判断直线l是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，率之积为−12请说明理由．21. 已知函数f(x)=(x −4)e x−3+x 2−6x ，g(x)=(a −13)x −1−lnx ．(1)求函数f(x)在(0,+∞)上的单调区间；(2)用max{m,n}表示m ，n 中的最大值，f′(x)为f(x)的导函数，设函数ℎ(x)=max{f′(x),g(x)}，若ℎ(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，求实数a 的取值范围； (3)证明：1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n >ln3(n ∈N ∗)．22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =3+ty =1+2t(t 为参数)，曲线C 2的参数方程为{x =√3cosθy =√3tanθ(θ为参数，且θ∈(π2,3π2))．(1)求C 1与C 2的普通方程，(2)若A ，B 分别为C 1与C 2上的动点，求|AB|的最小值．23. 已知函数f(x)=|3x −6|+|x +a|．(1)当a =1时，解不等式f(x)<3；(2)若不等式f(x)<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵集合M={x|0<x<1,x∈R}，N={x||x|<2,x∈R}={x|−2<x<2,x∈R}，∴M∩N={x|0<x<1,x∈R}=M，M∪N={x|−2<x<2,x∈R}=N．故选：A．求出集合M，N，进而求出M∩N，M∪N，由此能求出结果．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由z2+2=0⇒z=±√2i⇒z3=±2√2i，故选D．先求复数z，再求z3即可复数代数形式的运算，是基础题．3.【答案】D【解析】解：圆方程可整理为(x+1)2+(y−2)2=4，则圆心(−1,2)，半径r=2，≤2，整理得3k2−2k+3≥0，则圆心到直线的距离d=√1+k2因为△=4−36<0，故不等式恒成立，所以k∈(−∞,+∞)，故选：D．整理圆的方程得到其圆心与半径，直线与圆有交点等价于圆心到直线的距离d=≤2，解不等式即可√1+k2本题考查直线与圆的位置关系、根的判别式，不等式解集等，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：p：|x+1|>2，解得：x>1，或x<−3．q：2<x<3，则q⇒p，但是p无法推出q．∴p是q的必要不充分条件．故选：B．解出不等式p，即可判断出关系．本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：函数f(x)=2cos(12x−π3)，若对于任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，∴f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是函数的半周期，T 2=12×2π12=2π；故选：C．由题意可知f(x1)≤f(x)≤f(x2)，f(x1)是函数的最小值，f(x2)是函数的最大值，|x1−x2|的最小值就是半个周期．本题是基础题，考查三角函数的周期的求法，题意的正确理解，考查分析问题解决问题的能力．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查多面体体积的求法，训练了利用等体积法求多面体的体积，是中档题．由题意画出图形，过P作PG//AB交BB1于G，连接GQ，由等体积法可得V B−APQC=2 3V ABC−PQG，再由已知得到V ABC−PQG=13V ABC−A1B1C1，即可得出．【解答】解：如图，过P作PG//AB交BB1于G，连接GQ，在三棱柱ABC −PQG 中，由等积法可得V B−APQC =23V ABC−PQG ， ∵AP =13AA 1，CQ =13CC 1，∴V ABC−PQG =13V ABC−A 1B 1C 1，∴V B−APQG =23V ABC−PQG =23×13V ABC−A 1B 1C 1=29V ．故选：B ．7.【答案】C【解析】解：某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾． 某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学． 现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数n =C 105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数：m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32=108，则每个宣传小组至少选派1人的概率为P =m n=108252=37．故选：C ．基本事件总数n =C 105=252，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数m =C 22C 21C 31C 31+C 21C 22C 31C 31+C 21C 21C 32C 31+C 21C 21C 31C 32，由此能求出每个宣传小组至少选派1人的概率．本题考查概率的求法，考查古典概率、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】A【解析】解：抛物线C ：y 2=2px ，可得准线方程为：x =−p2，直线l ：y =x −2，经过抛物线的焦点坐标，可得P =4，抛物线方程为：y 2=8x 由题意可得：{y 2=8x y =x −2，可得x 2−12x +4=0，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，则线段AB 的中点的横坐标为：6， 则线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为：6+2=8．故选：A．求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．本题考查抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查计算能力．9.【答案】C【解析】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=13，a2+a5=4，可得：13+d+13+4d=4，解得d=23，所以S n=n3+n(n−1)×13=n23，a n=13+(n−1)×23=2n−13，S n≥4a n+8(n∈N∗)，可得：n23≥8n−43+8，可得：n2−8n−20≥0，解得n≥10或n≤−2(舍去)，所以n的最小值为10．故选：C．利用等差数列通项公式求出数列的首项与公差，然后求解通项公式以及数列的和，结合不等式求解即可．本题考查等差数列的通项公式以及前n项和，数列与不等式相结合，考查转化首项以及计算能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：由y=x3−x2+1，得y′=3x2−2x，则曲线C在点P(x0,y0)处的切线的斜率为k=y′|x=x=3x02−2x0，∵曲线C在点P处的切线与y=8x−11平行，∴3x02−2x0=8，∴x0=2或x=−43，∵当x0=2时，切线和y=8x−11重合，∴x=−43．故选：B．先求出y=x3−x2+1的导数，得到曲线C在点P(x0,y0)处的切线斜率k，然后根据曲线C在点P处的切线与y=8x−11平行得到关于x0的方程，解方程得到x0的值，再检验得到符合条件的x0．本题考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．11.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的性质及角平分线的性质，属于中档题．由角平分线的性质可得延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|=|PB|，可得OA为△BF1F2的中位线，b=|F1F2|−2|OA|=2c−2a再由a，b，c的关系求出离心率．【解答】解：延长F2A交PF1与B，由PA为∠F1PF2的角平分线，F2A⊥PA，所以A为F2B的中点，|PF2|=|PB|，连接OA，则OA为△BF1F2的中位线，所以|BF1|=2|OA|，而|BF1|=|PF1|−|PB|=|PF1|−|PF2|=2a，因为b=|F1F2|−2|OA|=2c−2a，而b2=c2−a2所以c2−a2=4(c−a)2整理可得3c2−8ac+5a2=0，即3e2−8e+5=0，解得e=53或1，再由双曲线的离心率大于1，可得e=5，3故选：C．12.【答案】B【解析】【分析】本题考查正弦函数的图象和性质，分段函数的图象，以及中心对称的函数的性质，属于中档题．本题利用正弦函数的性质求出周期，再利用图象中心对称的性质求出函数值的和． 【解答】解：∵F(x)=f(x)−sin(2020πx)−1在区间[−1,1]上有m 个零点， ∴f(x)−1=sin(2020πx)在区间[−1,1]上有m 个根，即g(x)=f(x)−1={− x 2−x,x <0x 2−x,x ≥0与ℎ(x)=sin(2020πx)在区间[−1,1]上有m 个交点， ∵T =2πω=2π2020π=11010且ℎ(x)关于原点对称，在区间[−1,1]上ℎ(x)max =1，ℎ(x)min =−1 又∵g(x)=f(x)−1={− x 2−x,x <0x 2−x,x ≥0∴在区间[−1,1]上g(x)max =g(−12)=14，g(x)min =g(12)=−14， 且g(x)关于原点对称．∵根据g(x)和ℎ(x)函数图象特点易知在ℎ(x)一个周期内， g(x)和ℎ(x)图象有两个交点．∵T =11010∴在(0,1]内共有1010个周期， ∴g(x)和ℎ(x)图象共有2020个交点， ∵g(x)和ℎ(x)图象都关于原点对称，∴g(x)和ℎ(x)图象在[−1,0)U(0,1]共有4040个交点， 再加上(0,0)这个交点．∵g(x)关于原点对称，设x 1，x 2为关于原点对称的两个交点横坐标， ∴g(x 1)+g(x 2)=0，即f(x 1)−1+f(x 2)−1=0， 即f(x 1)+f(x 2)=2，∴f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+⋯+f(x m )=40402×2+f(0)=4040+1=4041．故选：B ．13.【答案】5【解析】解：∵(x 2−1)5的展开式的通项公式为T r+1=C 5r (x 2)5−r⋅(−1)r =(−1)r ⋅C 5r x 10−2r ，r =0，1， (5)∴(ax +1x )(x 2−1)5的展开式中含x 3的系数为a ×(−1)4×C 54+C 53⋅(−1)3=5a −10．又∵5a −10=15，∴a =5． 故答案为：5．先求得(x 2−1)5的展开式的通项公式，再列出含x 3的系数的关于a 的方程，最后求出a ． 本题主要考查二项式定理中的通项公式，属于基础题．14.【答案】−10【解析】解：单位向量e 1⃗⃗⃗ 与e 2⃗⃗⃗ 的夹角为π3， 即|e 1⃗⃗⃗ |=|e 2⃗⃗⃗ |=1，e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =1×1×cos π3=12； 又向量e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 与2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ 的夹角为5π6，所以(e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ )⋅(2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ )=|e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ |×|2e 1⃗⃗⃗ +k e 2⃗⃗⃗ |cos 5π6，即2×12+(4+k)×12+2k ×12=√12+4×12+4×12×√4×12+4k ×12+k 2×12×(−√32)； 8+5k =−√21⋅√k 2+2k +4； {8+5k ≤0(8+5k)2=21(k 2+2k +4)， 解得k =−10， 所以实数k 的值为−10．根据单位向量的定义与平面向量数量积的运算法则，求解即可． 本题考查了单位向量的定义与平面向量数量积的运算问题，是中档题．15.【答案】16【解析】解：由已知，a 2+a 3=−2； a 4+a 5=4； a 6+a 7=−6；⋮a 2018+a 2019=−2018；将上述等式左右分别相加，得S 2019−a 1=−2018+1008=−1010；将S 2019=a 1−1010代入等式m +S 2019=−1009， 得m +a 1=1；∵a 1m >0，故都为正数；∴1a 1+9m =(1a 1+9m )(m +a 1)=10+ma 1+9a 1m≥10+2√ma 1⋅9a 1m=16；当且仅当m =3a 1 即m =34，a 1=14时等号成立； 故答案为：16．通过递推式，可求得S 2019与a 1的关系，结合已知等式m +S 2019=−1009，即可求出结论．本题考查了利用递推式求数列前n 项的和，并探究数列的某些性质，属中档题．16.【答案】√3π33π【解析】解：由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，该几何体的体积V =13×π×12×√3=√3π3；表面积S =π×12+12×2π×1×2=3π． 故答案为：√3π3；3π．由三视图还原原几何体，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为1，高为√3.再由圆锥的体积公式及表面积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意及正弦定理可得：abca 2+b 2−c 2=√3，由余弦定理得：a 2+b 2−c 2=2ab ⋅cosC ， 所以cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，又C 为△ABC 内角， ∴C =π3；(2)由正弦定理可得：asinA =bsinB =csinC =2， 所以a =2sinA ，b =2sinB ， 又因为A +B +C =π， 所以b =2sinB =2sin(A +π3)，所以b +2a =2sin(A +π3)+4sinA =sinA +√3cosA +4sinA =5sinA +√3cosA =2√7sin(A +ϕ)，且tanϕ=√35， 又因为A ∈(0,2π3)，所以sin(A +ϕ)max =1，所以b +2a ≤2√7，即b +2a 的最大值为2√7．【解析】(1)根据已知条件，结合正余弦定理可得cosC =12，由此即可求得C ； (2)易知b =2sinB =2sin(A +π3)，再由三角恒等变换可得b +2a =2√7sin(A +Φ)，结合A ∈(0,2π3)，可知sin(A +ϕ)max =1，由此求得b +2a 的最大值．本题涉及了正余弦定理，三角恒等变换，三角函数的图象及性质等基础知识点，考查计算能力，属于中档题．18.【答案】解：记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A ．由表可知P(x ≥20)=25100，所以P(A)=C 42(14)2(1−14)2=27128． (2)由题意得：x <20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H(3,3,12)P(Y =0)=C 93C 123=84220，P(Y =1)=C 92C 31C 123=108220，P(Y =2)=C 91C 32C 123=27220，P(Y =3)=C 33C 123=1220，所以Y 的分布列为：Y 0 1 2 3 P84220108220272201220Y 的分布列及数学期望E(Y)=0×84220+1×108220+2×27220+3×1220=34．【解析】(1)记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A.求出P(x ≥20)=25100=14，利用独立重复实验的概率求解即可． (2)由题意得：x <20的人：12×34=9；x ≥20的人有12×14=3从抽取的12个人中随机抽取3个，Y 表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～H(3,3,12)，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可． 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，独立重复实验的概率的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．19.【答案】(1)证明：由题意，AD =CD =1，BD =CE =√3， 又因为AB ⊥AD ，所以AB =√BD 2−AD 2=√3−1=√2=AC ，所以AC 2=AD 2+CD 2，即AD ⊥CD 又因为CD ⊥BD ，且BD ∩AD =D ，所以CD ⊥平面ABD.所以CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，CD 与BE 是相交直线， 所以AH ⊥平面BCDE ． (2)解：如图，过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系 所以D(0,0,0)，B(√3,0,0)，E(√32,−12,0)，设点A(a,0,b)由AD =1,AB =√2得{a 2+b 2=1(a −√3)2+b 2=2，解得：a =√33,b =√63， 所以A(√33,0,√63)，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√36,−12,−√63)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2√33,0,−√63)，DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,√63)，设平面AED 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 所以{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0DA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 1⃗⃗⃗⃗ =0⟹{x 1=√3y 1+2√2z 1x 1+√2z 1=0，取z 1=−1，得n 1⃗⃗⃗⃗ =(√2,√6,−1)， 同理可得平面AEB 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(1,−√3,√2)，所以cos <n 1⃗⃗⃗⃗ ,n 2⃗⃗⃗⃗ ≥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ||n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |=−√33， 由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角B −AE −D 的余弦值为−√33．【解析】(1)证明AD ⊥CD ，CD ⊥BD ，即可证明CD ⊥平面ABD.推出CD ⊥AH ，同理AH ⊥BE ，即可证明AH ⊥平面BCDE ．(2)过D 作Dz ⊥平面BCDE ，DB 为x 轴，DC 为y 轴，Dz 为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AED 的法向量，平面AEB 的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角B −AE −D 的余弦值即可．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判断定理的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意⊙M 过点A(√3,0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，设两圆切点为D 所以|MD|+|MN|=|ND|=4，在⊙M 中，|MD|=|MA|所以|MA|+|MN|=4，所以M 的轨迹为椭圆，由定义可知{2a =4c =√3，所以求轨迹C 的方程为x 24+y 2=1．(2)当l 的斜率不存在的时，设P(x 0,y 0)，所以Q(x 0,−y 0)， 所以{k PB ⋅k QB =y0x 0−2⋅−y0x 0−2=−12x 024+y 02=1，解得{x 0=23y 0=2√23或{x 0=2y 0=0(舍)， 所以l 与x 轴的交点为(23,0)， 当l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1消元可得(1+4k 2)x 2+8kbx +4b 2−4=0，△=(8kb)2−4(1+4k 2)(4b 2−4)=64k 2−16b 2+16>0， 所以4k 2>b 2−1，由韦达定理x 1+x 2=−8kb1+4k 2；x 1x 2=4b 2−41+4k 2， k PB ⋅k QB =y 1x 1−2⋅y 2x 2−2=(kx 1+b)(x 1−2)(kx 2+b)(x 2−2)=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=k 24b2−41+4k 2−8k 2b 21+4k 2+b 24b 2−41+4k 2−2−8kb 1+4k 2+4=b 2−4k 2(4k+2b)2=(b−2k)(b+2k)4(2k+b)2，又因为2k +b ≠0，所以b−2k4(b+2k)=−12，即b =−23k ， 所以b 2−1=(−23k)2−1<4k 2，所以b =−23k 成立， 所以y =kx −23k =k(x −23)，当x =23时，y =0，所以l 过(23,0)综上所述l 过定点，且点坐标为(23,0)．【解析】(1)由题意⊙M 过点A(√3,0)，且与⊙N ：(x +√3)2+y 2=16内切，推出M 的轨迹为椭圆，结合椭圆定义求轨迹C 的方程．(2)当l 的斜率不存在的时，设P(x 0,y 0)，所以Q(x 0,−y 0)，利用斜率乘积以及点在椭圆上，转化求解l 与x 轴的交点为(23,0)，当l 的斜率存在时，设l 的方程为y =kx +b 联立{y =kx +bx 24+y 2=1，通过判别式推出4k 2>b 2−1，结合韦达定理，利用斜率的乘积推出b =−23k ，然后得到直线系方程说明结果距离．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力是难题．21.【答案】解：(1)因为f(x)=(x −4)e x−3+x 2−6x ，所以f′(x)=(x −3)e x−3+2x −6=(x −3)(e x−3+2)， 令f′(x)=0得x =3当x >3时，f′(x)>0，f(x)单调递增 当0<x <3时，f′(x)<0，f(x)单调递减所以f(x)单调递增区间为(3,+∞)；f(x)单调递减区间为(0,3)．(2)由(1)知f′(x)=(x −3)(e x−3+2)，当x ≥3时f’(x)≥0恒成立，故ℎ(x)≥0恒成立 当x <3时，f’(x)<0，又因为ℎ(x)=max{f’(x),g(x)}≥0恒成立， 所以g(x)≥0在(0,3)上恒成立 所以(a −13)x −1−lnx ≥0，即a −13≥1+lnx x在(0,3)上恒成立令F(x)=1+lnx x ，则a −13≥F(x)max ， F’(x)=1−(lnx+1)x 2=−lnx x 2，令F’(x)=0得x=1，易得F(x)在(0,1)上单增，在[1,3)上单减，所以F(x)max=F(1)=1，所以a−13≥1，即a≥43综上可得a≥43，(3)设m(x)=e x−x−1(x>0)，则m′(x)=e x−1>0，所以m(x)在(0,+∞)上单增，所以m(x)>m(0)=0，即e x>x+1所以e1n+1n+1+1n+1+⋯+13n=e 1n⋅e1n+1⋅e1n+2…e13n>n+1n⋅n+2n+1⋅n+3n+2…3n3n−1⋅3n+13n>n+1n ⋅n+2n+1⋅n+3n+2…3n3n−1=3，所以1n +1n+1+1n+2+⋯+13n−1+13n>ln3．【解析】(1)求出导函数，通过f′(x)=0得x=3然后判断函数的单调性求解函数的单调区间即可．(2)通过ℎ(x)=max{f’(x),g(x)}≥0恒成立，令F(x)=1+lnxx ，推出a−13≥F(x)max，结合函数的导数求解函数的最大值，求解即可．(3)设m(x)=e x−x−1(x>0)，利用函数的导数推出e x>x+1，然后结合不等式转化求解证明即可．本题考查了导数的综合应用及恒成立问题化为最值问题的处理方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)由题可得：C1的普通方程为2x−y−5=0又因为C2的参数方程为{x=√3cosθy=√3tanθ，两边平方可得{x2=3cos2θy2=3sin2θcos2θ，所以C2的普通方程为x23−y23=1，且x≤−√3．(2)由题意，设C1的平行直线2x−y+c=0联立{2x−y+c=0x23−y23=1消元可得：3x2+4cx+c2+3=0所以△=4c2−36=0，解得c=±3又因为x≤−√3，经检验可知c=3时与C2相切，所以|AB|min =√22+(−1)2=8√55．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用直线和曲线的位置关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，直线和曲线的位置关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)a =1时，f(x)=|3x −6|+|x +1|={−4x +5,x <−1−2x +7,−1≤x ≤24x −5,x >2；当x <−1时，由f(x)<3得−4x +5<3，解得x >12(不合题意，舍去)； 当−1≤x ≤2时，由f(x)<3得−2x +7<3，解得x >2(不合题意，舍去)； 当x >2时，由f(x)<3得4x −5<3，解得x <2(不合题意，舍去)； 所以不等式f(x)<3的解集⌀；(2)由f(x)=|3x −6|+|x +a|<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立， 得−(3x −6)+|x +a|<11−4x ，即|x +a|<5−x ， 所以{|x +a|<5−x 5−x >0，所以{x −5<x +ax +a <5−x，得a >−5且a <5−2x 对任意x ∈[−4,−32]成立；即−5<a <8，所以a 的取值范围是(−5,8)．【解析】(1)a =1时，f(x)=|3x −6|+|x +1|，讨论x 的取值范围，去掉绝对值求不等式f(x)<3的解集即可；(2)f(x)=|3x −6|+|x +a|<11−4x 对任意x ∈[−4,−32]成立，等价于|x +a|<5−x 恒成立，去绝对值，从而求出a 的取值范围．本题考查了不等式恒成立的应用问题，也考查了含有绝对值的不等式解法问题，是中档题．。
(完整版)2019年广州市一模理科答案
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A>， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===. ………10分 ∴POQ sin ∠==3……………11分∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==u u u r u . ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . ……………10分∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴直线OP的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分 ∴点Q 到直线OP的距离为d ==. ……………9分∵OP =……………11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分HF A BCA 1C 1B 1DE整理得 112mn =，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，2CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===∴5EH =. (9)A ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt △EHB中，BH ==cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD 分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===∴5EH =. (9)在Rt △EHB中，5BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =u u u r ()004,,，1A B =u u ur )14,-，1A D =u u u u r()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B u u u r ?，n 10A D u u u u r ?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =，则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA u u u r=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==u u u u ru u u u r u u u u r n AA n AA nAA ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+Q L ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++L , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. (3)分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //u u u r u u u r. (4)分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. (13)分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. (5)分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ...............10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. (5)分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. (4)分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) (5)分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L . ……………10分令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L ， 则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++L 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++L .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++L ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅L …12分()1212n n n nC C C -=+++L()012102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--L()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
2019广州一模理科数学(解析版)
解析：圆心 P(2, 4) ，渐近线 y bx 过点 P(2, 4) ，所以 b 2 ，又 a 1，所以 c a2 b2 5 ，
c C 的离心率为 e 5 ．
a
4．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中
首创“割圆术”．所围“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限
逼近圆面积并以此求取圆周率的方法．如图所示，圆内接正十二边形的
中心为圆心 O ，圆 O 的半径为 2，现随机向圆 O 内投放 a 粒豆子， 其中有 b 粒豆子落在正十二边形内 (a, b N, b a) ，
2 O
则圆周率的近似值为（ ）
b
A．
a
a
B．
b
3a
C．
b
3b
D．
a
4．答案：C
解析：正十二边形的面积为12 1 2 2 sin 30 12 ，圆的面积为 22 4 ，则根据题意可得： 2
x
x
h(x) 0 在 (1, ) 上有解，则 h(1) 2 ln(1 a) 0 ，解得 a e2 1 ．
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在题中的横线上．
13．设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若 S3 3, S6 27 ，则 a1
．
3
13．答案：
则 sin C cos B sin B cos C 3sin A cos C ，所以 sin(B C) 3sin A cos C ，………………2 分
由于 A B C ，得 sin(B C) sin( A) sin A ，则 sin A 3sin Acos C ．…………3 分
1
2
1
2
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2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)-解析版
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．23．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．34．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．36．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．57．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．412．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，A、A∩B＝{x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A∪B＝{x|x＞0}，故本选项错误；C、A⊆B，故本选项错误；D、A⊆B，故本选项正确；故选：D．2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．2【解答】解：（a+i）（1﹣2i）＝a+2+（1﹣2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2＝0且1﹣2a≠0，得a＝﹣2且a≠，即a＝﹣2，故选：A．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心（2，﹣4），双曲线的一条渐近线为：y＝bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，可得2b＝4，所以b＝2，a＝1，则c＝，则C的离心率为：．故选：C．4．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：由几何概型中的面积型可得：＝，所以＝，即π＝，故选：C．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．3【解答】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：＝，∴＝＝＝1•2•+1•2•1＝3．故选：D．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．5【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，则：，解得：a m＝1．S2m﹣1＝＝＝11，解得：m＝6故选：C．7．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数h＝f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．20【解答】解：∵（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2﹣1）（1+a）5＝32，∴a＝1，该展开式中x4的系数是2••a﹣1••a4＝10a﹣5a4＝5，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π【解答】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2＝7π．故选：B．11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．4【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|＝λ|BF|，∴x1+1＝λ（x2+1），∴x1＝λx2+λ﹣1∵|y1|＝λ|y2|，∴x1＝λ2x2，当λ＝1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1＝λ，x2＝，|AB|＝（x1+1）+（x2+1）＝．∵，∴（λ++2）max＝．则弦AB的中点到C的准线的距离d＝，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．12．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）【解答】解：当x＞1时，f（x）＝＝x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x＝1的对称图象为g（x），则g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（﹣∞，1）上有公共点．∵g′（x）＝﹣1+＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，又f（x）＝ln（x+a）在（﹣∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2﹣1．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．【解答】解：∵S3＝＝6，S6＝＝54，∴＝1+q3＝9，解得q3＝8，则q＝2，∴＝6，解得a1＝故答案为：14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝2．【解答】解：函数的导数为：f′（x）＝a+，f′（1）＝a+3，而f（1）＝a﹣3，切线方程为：y﹣a+3＝（a+3）（x﹣1），因为切线方程经过（2，4），所以4﹣a+3＝（a+3）（2﹣1），解得a＝2．故答案为：2．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是（]．【解答】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（﹣m，﹣2），直线x﹣2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x﹣1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则点C（﹣m，﹣2）必在直线x﹣2y＝2的下方，即﹣2≤﹣m﹣1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（﹣m，1﹣2m），可得1﹣2m≥﹣1，解得m，故m的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．【解答】解：因为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC＝60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1＝，O1B1＝，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1＝，∵OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B＝OB1＝＝，∴B1到O1B的距离d＝＝＝，∵OH＝3HB1，∴H到直线O1B的距离为d＝．∴S＝＝＝，∴V＝S•O1C1＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B＝（3a﹣b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B＝3sin A cos C﹣sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B＝3sin A cos C，∴sin（C+B）＝3sin A cos C，…2分∵A+B+C＝π，∴sin A＝3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C＝，…4分∵0＜C＜π，∴sin C＝＝；…6分（2）∵，cos C＝，∴由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：24＝a2+b2﹣ab，…8分∴（a﹣b）2+ab＝24，…9分∵b﹣a＝2，∴解得：ab＝15，…10分∴S△ABC＝ab sin C＝＝5…12分18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AD＝CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB＝P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由已知二面角A﹣BD﹣C为120°，∴∠AEC＝120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC＝，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∴AB＝，在Rt△ABD中，，∴BD＝，∵BD＝，∴AD＝，∵BD2＝AB2+AD2，∴AB＝2，∴AE＝，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO＝60°，∴AO＝，AE＝1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．【解答】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η＝2）＝，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X＝400）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝450）＝2×0.4a＝0.8a，P（X＝500）＝2×0.4b+a2＝0.8b+a2，P（X＝550）＝2ab，P（X＝600）＝b2，∴X的分布列为：（2）P（X≤500）＝P（X＝400）+P（X＝450）+P（X＝500）＝0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b＝1，得a+b＝0.6，∴b＝0.6﹣a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤﹣0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6﹣a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）＝400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2＝520﹣100a，当a＝0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．【解答】解：（1）由椭圆可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2＝1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），根据题意可得b＝c＝1，故a2＝b2+c2＝2，故椭圆方程为+y2＝1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x＝ty+m，则＝1，即m2＝t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，则△＝（2tm）2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＝8＞0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴|y 1﹣y2|＝＝＝，∴△ABF的面积S＝|PF|•|y1﹣y2|＝，令f（m）＝，m≥1∴f′（m）＝，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）＝，故△ABF的面积的最大值为21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝2e2x﹣2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x﹣2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x＝时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）＝2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（﹣∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，ln，lna＞ln，又f′（0）＝2＞0，f′（）＝2e﹣a＜0，f′（lna）＝2e2lna﹣2alna＝2a（a﹣lna）＞0，（易证明a﹣lna＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）＝＝0，存在x2∈（，lna），使得f′（x2）＝0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x＝x1时，f（x）取得极大值，即M＝，由0＜x1＜时，得1﹣x1＞0，x1≠1﹣x1，由2﹣2ax1＝0，得＝ax1，故M＝＝ax1﹣ax12＝ax1（1﹣x1）＜a•（）2＝，即成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρ（cosθ﹣a sinθ）＝，得直线C2的直角坐标方程为y﹣ax＝，即ax﹣y+＝0，（2）由直线C2：ax﹣y+＝0，知C2恒过点M（0，），由y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），当时，得x＝±1，所以曲线C1过点P（﹣1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1＝＝，直线MQ的斜率k2＝＝﹣，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即﹣，所以a的取值范围为[﹣，]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x﹣1|，可得（x+1+2x﹣1）（x+1﹣2x+1）＞0，即3x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|＝|x+a|﹣|x﹣|﹣|x﹣|≤|x+a﹣x +|﹣0＝|a+|，可得f（x）的最大值为|a +|＝a +，（a＞0），则a +＜1，解得0＜a ＜．第21页（共21页）。
【答案】2019广州一模理科数学
1 2 2 2 ，所以 a b ab 24 ．………………………………………………8 分 3 3
又 b a 2 ，解得 a 3, b 5 ．…………………………………………………………………………10 分
1
所以 △ABC 的面积 S
1 1 2 2 ab sin C 15 5 2 ．…………………………………………12 分 2 2 3
4 ab 24 ． …………………9 分 3
所以 △ABC 的面积 S
1 1 2 2 ab sin C 15 5 2 ．…………………………………………12 分 2 2 3
2 2 2
解法 2：由余弦定理得： c a b 2ab cos C ，……………………………………………………7 分 因为 c 2 6, cos C
2 3 6 , ED ．………………………………8 分 3 3
由上述可知 BD 平面 AEC ，则平面 AEC 平面 BCD ． 过点 A 作 AO CE ，垂足为 O ，则 AO 平面 BCD ．…………………………………………9 分 连接 OD ，则 ADO 为直线 AD 与平面 BCD 所成角．………………………………………………10 分 在 Rt△AEO 中， AEO 60 ，所以 AO
3 AE 1 ，……………………………………………11 分 2
sin ADO
AO 2 2 ．所以直线 AD 与平面 BCD 所成角的正弦值为 ．……………………12 分 AD 2 2
解法 2：作 CE BD ，垂足为 E ，连结 AE ．因为 Rt△ABD ≌ Rt△BCD ，所以 AE BD ， AE CE ， AEC 为二面角 A BD C 的平面角．………………………………………………5 分 由已知二面角 A BD C 为 120 ，故 AEC 120 ．……………………………………………6 分 在等腰 △AEC 中，由余弦定理可得 AC
2019年广州市一模理科答案
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ …14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8，∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f xx ππ=+. ……………3分 （2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭……………4分？(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分 ∴222222cos 2OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===………10分∴POQ sin ∠==……………11分∴△POQ 的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(2,2),(4,2)P Q -.》∴(2,2),(4,OP OQ ==. ……………8分∴cos cos ,36OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===. ……………10分∴POQ sin ∠==……………11分∴△POQ 的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴直线OP 的方程为y x =，即0x -=. ……………7分∴点Q 到直线OP 的距离为d ==. ……………9分>∵OP =……………11分∴△POQ 的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分HF A BCA 1C 1B 1DE（2）由题意知()()()()1101124P P ABCm n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分 整理得 112mn =，712m n +=.|由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分 （3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . —∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点， ∴CE AB ⊥，2CE AB ==@∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =，∴CE ⊥平面1A AB . ……………6分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==，A ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分 ∴当1EH AB ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===∴5EH =. ……………9分∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分'∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt △EHB中，BH ==5，cos 1ABA∠5BH EB ==.…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， $∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD 分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1ABAA A =， 【∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH ∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===2.∴EH =. ……………9分在Rt △EHB中，BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. …∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -. 则000A ，1A 004，B 10，D 022. ∴1AA =004，1A B=14，1A D =022.设平面A BD 1的法向量为n ()x y z ,,，由n 10A B ，n 10A D，得340220x y z yz.令1y ，则13z x .∴平面A BD 1的一个法向量为n11. ……………12分】∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA 004是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==n AA n AA n AA ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC ……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ② ……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分】以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分"法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，；则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分 ~∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x --=，∵C B A ,,三点共线,∴BC BA //. (4)分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭,】化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ②同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，！……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. (14)分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. (5)分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分 》同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ...............10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分 $解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. (5)分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+, ！∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.{∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++.∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分^则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >1212k x ,+-=>2212k x ,++=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.\∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. (4)分 !令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) (5)分方程（*）的两个实根为1x =, 2x =设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩`又由(**)解得k >k <-故k >……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n nn n n n nn n n x C x C x C x C x x xx x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++. ……………10分 令T 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++，则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++.∵x 0>，∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++ ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅ …12分()1212n n n n C C C -=+++()012102n n nnn n n n n n C C C C C C C -=+++++--()222n=-. ……………13分∴22n T ≥-，即()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n ≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
广州市一模理科数学试题及标准答案精选文档
广州市一模理科数学试题及标准答案精选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8-2017年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。
（1）复数()221i 1i+++的共轭复数是 （A ）1i + （B ）1i - （C ）1i -+ （D ）1i -- （2）若集合}{1M x x =≤，}{2,1N y y x x ==≤，则 （A ）M N = （B ）M N ⊆ （C ）N M ⊆ （D ）MN =∅（3）已知等比数列{}n a 的各项都为正数, 且35412a ,a ,a 成等差数列,则3546a a a a ++的值是 （A ）512 （B ）512（C ）35- （D 35+ （4）阅读如图的程序框图. 若输入5n =, 则输出k 的值为 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）已知双曲线C 222:14x y a -=的一条渐近线方程为230+=x y ,1F ,2F 分别 是双曲线C 的左，右焦点, 点P 在双曲线C 上, 且17PF =, 则2PF 等于 （A ）1 （B ）13 （C ）4或10 （D ）1或13 （6）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是 某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为83, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概率为 （A ）12 （B ）1532 （C ）1132（D ）516 （8）已知1F ,2F 分别是椭圆C ()2222:10x y a b a b+=>>的左, 右焦点, 椭圆C 上存在点P使12F PF ∠为钝角, 则椭圆C 的离心率的取值范围是（A ）22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭（D ）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭（9）已知:0,1x p x e ax ∃>-<成立, :q 函数()()1xf x a =--是减函数, 则p 是q 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（10）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥-P ABC 为鳖臑, PA ⊥平面ABC ,2PA AB ==，4AC =, 三棱锥-P ABC 的四个顶点都在球O 的球面上, 则球O 的表 面积为（A ）8π （B ）12π （C ）20π （D ）24π（11）若直线1y =与函数()2sin 2f x x =的图象相交于点()11,P x y ，()22,Q x y ， 且12x x -=23π，则线段PQ 与函数()f x 的图象所围成的图形面积是 （A）23π+（B）3π（C ）223π+ （D）23π （12）已知函数()32331248f x x x x =-++, 则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为 （A ） 0 （B ）504 （C ）1008 （D ）2016第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
年广州市一模理科答案
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：①第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. (2)分∴. ……………3分 （2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ (4)分(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分 ∴222222cos 2OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==u u u r u . ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . ……………10分∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴直线OP的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分 ∴点Q 到直线OP的距离为d ==. ……………9分∵OP =……………11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 ，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 =14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为=1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===2.∴5EH =. (9)∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分在Rt △EHB 中，BH ==cos 1ABA ∠.…13分∴平面1A BD 与平面ABC ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===∴5EH =. (9)在Rt △EHB中，5BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =u u u r ()004,,，1A B =u u ur )14,-，1A D =u u u u r()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由10A B u u u r ?，10A D u u u u r ?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî令1y =，则1z x==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA u u u r=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==u u u u ru u u u r u u u u r n AA n AA nAA ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+Q L ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++L , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. (3)分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //u u u r u u u r. (4)分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. (13)分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. (5)分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ...............10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. (5)分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. (4)分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) (5)分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L . ……………10分令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L ， 则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++L 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++L .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++L ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅L …12分()1212n n n nC C C -=+++L()012102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--L()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
2024年广东省广州大学附属中学初三一模数学试题含答案解析
2024年广东省广州大学附属中学中考一模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在3，7-，0，19四个数中，最大的数是（）A．3B．7-C．0D．1 92．由六块相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】观察图形可知，该几何体的俯视图如下：．故选：D ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．3．某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额为（单位：元）：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】B【分析】根据捐款最少的员工又多捐了20元，则从小到大的顺序不变，即中位数不变，即可解答．【详解】解：根据题意，可得302050+=，即捐款额为：50，50，50，60，60，此时中位数不变，平均数，众数，方差都会受到影响，故选：B ．【点睛】本题考查了中位数，众数，方差，平均数，熟知以上概念是解题的关键．4．下列计算正确的是（ ）A ．248a a a ⋅=B ．3332a a a-=C ．()3236ab a b =D ．()222a b a b +=+【答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方，完全平方公式逐一分析判断即可．【详解】解：246a a a ⋅=，故A 不符合题意，33332a a a -=，故B 不符合题意；()3236ab a b =，故C 符合题意；()2222a b a ab b +=++，故D 不符合题意；故选C【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，合并同类项，积的乘方运算，完全平方公式的应用，熟记运算法则是解本题的关键．5．不等式组311442x x x x -≥+⎧⎨+>-⎩的解集是（ ）A ．12x ≤<B ．1x ≤C ．2x >D ．12x <≤【答案】A【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集．【详解】解：311442x x x x -≥+⎧⎨+>-⎩①② 解不等式①得：1x ≥，解不等式②得：2x <，∴不等式组的解集为12x ≤<，故选A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O 的光线相交于点P ，点F 为焦点．若1155,230∠=︒∠=︒，则3∠的度数为（ ）A ．45︒B ．50︒C ．55︒D ．60︒【答案】C【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解．【详解】解：∵AB OF ∥，∴1180BFO ∠+∠=︒，∴18015525BFO ∠=︒-︒=︒，∵230POF ∠=∠=︒，∴3302555POF BFO ∠=∠+∠=︒+︒=︒；故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键．7．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）A ．16B ．18C ．14D ．12【答案】A【分析】根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．【详解】解：设立春用A 表示，立夏用B 表示，秋分用C 表示，大寒用D 表示，树状图如下，由上可得，一共有12种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性28．关于x 的函数y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一坐标系中的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．故选C ．9．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x 里/天，则可列方程为（ ）A ．900900132x x+=+B ．900900132x x-=-C ．900900132x x +=-D ．900900132x x-=+10．已知二次函数()()212y x ax b x x x x =++=--（12,,,a b x x 为常数），若1213x x <<<，记=+t a b ，则（ ）A ．30t -<<B ．10t -<<C ．13t -<<D ．03t <<【答案】C【分析】由题意可得()1212a x x b x x =-+=，，从而得到()()12111a b x x +=---，再根据1213x x <<<可得()()1211113x x -<---<，由此即可得到答案．【详解】解：∵二次函数()()212y x ax b x x x x =++=--，1213x x <<<，∴1x ，2x 是方程20x ax b ++=的两个根，∴()1212a x x b x x =-+=，，∴()1212a b x x x x +=-++，∴()()12111a b x x +=---，∵1213x x <<<，∴120112x x <-<-<，∴()()120114x x <--<，∴()()1211113x x -<---<，∴13a b -<+<，∴13t -<<，故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确得到()()12111a b x x +=---是解题的关键．二、填空题11．某种颗粒的半径约为0.000025米，用科学计数法表示这个数为 米．【答案】-52.510⨯【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】-50.000025 2.510=⨯故答案为：-52.510⨯．12．分解因式：228x -= ．【答案】()()222x x +-【分析】本题考查提公因式法与公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解决问题的关键．【详解】解：()()()222824222x x x x -=-=+-，故答案为：()()222x x +-．13．从喷水池喷头喷出的水珠，在空中形成一条抛物线，如图所示，在抛物线各个位置上，水珠的竖直高度y （单位：m ）与它距离喷头的水平距离x （单位：m ）之间满足函数关系式2241y x x =-++，喷出水珠的最大高度是m ．【答案】3【分析】把二次函数化为顶点式，进而即可求解．【详解】解：∵222412(1)3y x x x =-++=--+，∴当x =1时，3y =最大值，故答案是：3．【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，掌握二次函数的顶点式，是解题的关键．14．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点E ，F ；再分别以点E ，F 为圈心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．则CD 与BD 的数量关系是 ．的直径，点C在圆上．将 AC沿AC翻折与AB交于点D．若15．如图，AB是O=的度数为40︒，则 AD=cm．3cm,OA BC故答案为53π．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得键．16．如图，DE 平分等边ABC 的面积，折叠BDE △得到,△FDE AC 分别与,DF EF 相交于,G H 两点．若,==DG m EH n ，用含,m n 的式子表示GH 的长是．三、解答题17．解方程：224x x -=18．如图，//AB CD ，B D ∠=∠，直线EF 与AD ，BC 的延长线分别交于点E ，F ．求证：DEF F ∠=∠．【答案】见解析【分析】根据已知条件//AB CD ，B D ∠=∠，得到DCF D ∠=∠，从而得到//AD BC ，即可证明DEF F ∠=∠．【详解】证明：∵//AB CD ，∴DCF B ∠=∠．∵B D ∠=∠，∴DCF D ∠=∠．∴//AD BC ．∴DEF F ∠=∠．【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．19．先化简，再求值：2211121x x x x x -⎛⎫+÷ ⎪+++，其中x 满足210x x --=20．为了解某地区九年级学生的视力情况，从该地区九年级学生中抽查了部分学生，根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解决下列问题：(1)此次调查的样本容量为；(2)扇形统计图中A对应圆心角的度数为°；(3)请补全条形统计图；(4)若该地区九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数．【答案】(1)450(2)36︒(3)见解析(4)2500人【分析】（1）根据C的人数是117人，所占的比例是26%，据此即可求得此次调查的样本容量；（2）用A类学生数除以450，再乘以360︒即可得解；（3）利用总人数减去A、C、D三类的人数即可求得B的人数，从而补全直方图；（4）利用总人数25000乘以对应的百分比即可求得．【详解】（1）解：11726%450÷=，答：此次调查的样本容量为是450，故答案为450．（4）解：45250002500450⨯=（人）答：九年级学生共有25000人，请估计其中视力正常的人数共有【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据计图直接反映部分占总体的百分比大小．21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数152y x =+和2y x =-的图象相于点A ，反比例函数k y x=的图象经过点A ．(1)求反比例函数的表达式；(2)设一次函数152y x =+的图象与反比例函数y ＝k x 的图象的另一个交点为B ，连接OB ，求ABO 的面积；(3)根据图象直接写出关于x 的不等式152k x x +>的解集．联立1528y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：x y =⎧⎨=⎩∴()8,1B -．在15y x =+中，令0y =，得22．2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，任务取得圆满成功．航模店看准商机，同样花费320元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多4个且每个“天宫”模型成本比每个“神舟”模型成本少20%．(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？(2)该航模店计划购买两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，“天宫”模型的售价为25元．设购买“神舟”模型a个，售卖这两种模型可获得的利润为w元，①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？23．如图，已知APB ∠，点M 是PB 上的一个定点．(1)尺规作图：请在图1中作O ，使得O 与射线PB 相切于点M ，同时与PA 相切，切点记为N ；(2)在（1）的条件下，若603APB PM ∠=︒=，，则所作的O 的劣弧 MN与PM PN 、所围成图形的面积是_________．（2）解：∵PM 和PN 为O 的切线，∴OM PB ⊥，ON PN ⊥，MPO ∠=∴90OMP ONP ∠=∠=︒，∴180120MON APB ∠=︒-∠=︒，在Rt POM 中，MPO 30∠=︒，扇形的面积计算．24．定义：平面直角坐标系xOy 中，点(),P a b ，点(),Q c d ，若c ka =，d kb =-，其中k 为常数，且0k ≠，则称点Q 是点P 的“k 级变换点”．例如，点()4,6-是点()2,3的“2-级变换点”．(1)函数4y x=-的图象上是否存在点()1,2的“k 级变换点”?若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由；(2)点1,22A t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭与其“k 级变换点” B 分别在直线1l ，2l 上，在1l ，2l 上分别取点()21,m y ，()22,m y ．若2k ≤-，求证：122y y -≥；(3)关于x 的二次函数()2450y nx nx n x =--≥的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线5y x =-+上，求n 的取值范围．25．如图1，在ABC 中，AB AC =，点M ，N 分别为边AB ，BC 的中点，连接MN ．初步尝试：（1）MN 与AC 的数量关系是 ，MN 与AC 的位置关系是 ．特例研讨：（2）如图2，若90BAC ∠=︒， BC =BMN 绕点B 顺时针旋转α（α为锐角），得到BEF △，当点A ，E ，F 在同一直线上时，AE 与BC 相交于点D ，连接CF ．①求BCF ∠的度数；②求CD 的长．深入探究：（3）若90BAC ∠<︒，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，连接AE ，CF ．当旋转角α满足0360α︒<<︒，点C ，E ，F 在同一直线上时，利用所提供的备用图探究BAE ∠与ABF ∠的数量关系，并说明理由．∵MN 是BAC 的中位线，∴MN AC ∥，∴90BMN BAC ∠=∠=︒，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转∴BE BM BF BN ==，；BEF ∠∵点A ，E ，F 在同一直线上，∵90AB AC BAC =∠=︒， ，∴242AB BC ==，ACB ∠=∵ADN BDE ANB ∠=∠∠=∠，∴ADN BDE ∽ ，∴2222DN AN DE BE ===，∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，设∵MN 是ABC 的中位线，∴MN AC ∥，∴MNB MBN θ∠=∠=，∵将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴EBF MBN MBE NBF α∠=∠=≌， ，∴EBF EFB θ∠=∠=，∴1802BEF θ∠=︒-，∵点C ，E ，F 在同一直线上，∴2BEC θ∠=，∴180BEC BAC ∠+∠=︒，∴A ，B ，E ，C 在同一个圆上，∴EAC EBC αθ∠=∠=-，∴1802180BAE BAC EAC θαθαθ∠=∠-∠=︒---=︒--（）（），∵ABF αθ∠=+，∴180BAE ABF ∠∠=+︒，如图所示，当F 在EC 上时，∵BEF BAC BC BC ∠=∠=，，∴A ，B ，E ，C 在同一个圆上，设ABC ACB θ∠=∠=，则1802BAC BEF θ∠=∠=︒-，将BMN 绕点B 顺时针旋转α，得到BEF △，∴MBN EBF ∠=∠，∴NBF EBM ∠=∠.设NBF β∠=，则EBM β∠=，则360αβ+=︒，∴ABF θβ∠=-，∵BFE EBF EFB FBC FCB θ∠=∠=∠=∠+∠，，∴ECB FCB EFB FBC θβ∠=∠=∠-∠=-，∵ EBEB =，∴EAB ECB θβ∠=∠=-，∴BAE ABF ∠=∠，综上所述，BAE ABF ∠=∠或180BAE ABF ∠∠=+︒．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了圆周角定理，对角互补四边形四顶点共圆，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，中位线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，勾股定理，熟练综合运用以上知识是解题的关键．。
2019年广州市综合测试(一)理科数学试题及参考答案
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）理科数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.37 14. 2 15.4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦16. 三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17. (12分)（1）解法1：因为cos (3)cos c B a b C =-，由正弦定理得sin cos (3sin sin )cos C B A B C =-， ……………………………………1分 即C A C B B C cos sin 3cos sin cos sin =+，所以C A C B cos sin 3)sin(=+，……………………………………………………………2分 由于A B C ++=π，得()sin +=B C ()sin sin A A π-=，则C A A cos sin 3sin =． ……………………………………………………………3分 因为0A <<π，sin 0A ≠，所以31cos =C ． ………………………………………4分 因为0C <<π，所以sin 3C ==6分 解法2：因为cos (3)cos c B a b C =-，OEPDCBA 由余弦定理得()222222322a c b a b c c a b ac ab +-+-⨯=-⨯，…………………………………1分化简得22223a b c ab +-=， ………………………………………2分 所以222213cos 223ab a b c C ab ab +-===. ………………………………………4分因为0C <<π，所以sin 3C ==6分（2）解法1：由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+=， …………………………………7分因为c =1cos 3C =，所以243222=-+ab b a . ………………………………8分 即2434)(2=+-ab b a ． ………………………………………9分 因为2=-a b ，所以15=ab ． ………………………………………10分 所以ABC △的面积253221521sin 21=⨯⨯==C ab S ．……………………………12分 解法2： 由余弦定理得C ab b a c cos 2222-+=， …………………………………7分因为c =1cos 3C =，所以243222=-+ab b a . …………………………………8分 又2=-a b ，解得3,5a b ==． …………………………………10分所以ABC △的面积253221521sin 21=⨯⨯==C ab S ．……………………………12分 18. (12分)（1）证明: 因为ABC ∆是等边三角形，90BAD BCD ∠=∠=,所以Rt ABD ∆≅Rt BCD ∆,可得AD CD =. …………………………………1分 因为点P 是AC 的中点，则PD AC ⊥,PB AC ⊥, …………………………2分 因为PD PB P =，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ， 所以AC ⊥平面PBD . …………………………………3分因为AC ⊂平面ACD ，所以平面ACD ⊥平面BDP . ………………………………4分（2）解法1:作CE BD ⊥，垂足为E ，连结AE ． 因为Rt ABD ∆≅Rt BCD ∆, 所以AE BD ⊥，AE CE =,AEC ∠为二面角A BD C --的平面角. …………………5分 由已知二面角A BD C --为120º，故120AEC ∠=︒． ………………………………6分 在等腰AEC ∆,由余弦定理可得AC =， …………………………………7分B 因为ABC ∆是等边三角形，则AC AB =.所以AB =.在Rt ABD ∆中，有1122AE BD AB AD ⋅=⋅，得BD =,因为BD =所以AD =.又222BD AB AD =+，得2AB =.则AE ED ==…………………………………8分 由上述可知BD ⊥平面AEC ，则平面AEC ⊥平面BCD .过点A 作AO CE ⊥，垂足为O ，则AO ⊥平面BCD . …………………………………9分 连结OD ,则ADO ∠为直线AD 与平面BCD 所成角． …………………………………10分在Rt AEO ∆中，60AEO ∠=︒,所以1AO AE ==, …………………………………11分sin AO ADO AD ∠==所以直线AD 与平面BCD. …………………………………12分 解法2: 作CE BD ⊥，垂足为E ，连结AE ． 因为Rt ABD ∆≅Rt BCD ∆,所以AE BD ⊥，AE CE =,AEC ∠为二面角A BD C --的平面角, …………………5分 由已知二面角A BD C --为120º，故120AEC ∠=︒ 在等腰AEC ∆,由余弦定理可得AC =因为ABC ∆是等边三角形，则AC AB =.所以AB =.在Rt ABD ∆中，有1122AE BD AB AD ⋅=⋅，得BD =,因为BD =所以AD =.又222BD AB AD =+，得2AB =.则33AE ED ==…………………………………8分 如图所示, 以E 为原点，以向量,EC ED 方向分别为x 轴，y 轴的正方向,与向量,EC ED 都垂直的方向为z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,3D，(3A -，向量3(,1)33AD =-， 平面BCD 的法向量为(0,0,1)=m ， …………………………………9分 设直线AD 与平面BCD 所成角为θ，则cos ,22m AD m AD m AD⋅<>===-, …………………………………10分 sin cos ,2m AD θ=<>=.…………………………………11分 所以直线AD 与平面BCD 所成角的正弦值为2. …………………………………12分 19.(12分)（1）解：设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意，得()3,0.4B η，…………………………………1分则()2P η==()()223C 0.410.4⨯-0.288=. …………………………………2分故购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288.（2）解：（ⅰ）依题意, X 的取值分别为400,450,500,550,600. ……………………3分 ()4000.40.40.16P X ==⨯=, ()45020.40.8P X a a ==⨯=, ()2250020.40.8P X b a b a ==⨯+=+, ()5502P X ab ==,()2600P X b ==. …………………………………5分…………………………………6分（ⅱ） ()()()()500400450500P X P X P X P X ≤==+=+=20.160.8()a b a =+++. …………………………………7分根据题意知0.41a b ++=,得0.6a b +=, 得0.6b a =-， 由()5000.8P X ≤≥,得20.160.480.8a ++≥,解得0.4a ≥或0.4a ≤-.又0a >,则0.4a ≥. …………………………………8分又0b >,得0.60a ->，解得0.6a <.所以a [)0.4,0.6∈. …………………………………9分()224000.164500.85000.81100600EX a b aab b=⨯+⨯+⨯+++……10分520100a =-. …………………………………11分 当0.4a =时，EX 的最大值为480.所以X 的数学期望EX 的最大值为480. …………………………………12分 20.(12分)（1）解：由椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>可知C 的焦点在x 轴上，因为圆O 与x 轴的两个交点的坐标分别为()()1,0,1,0-，与y 轴的两个交点的坐标分 别为()()0,1,0,1-，根据题意，得1b c ==， …………………………………1分 故2222a b c =+=. …………………………………2分所以椭圆C 的方程为2212x y +=. …………………………………3分 （2）解法1：因为点F 是C 的左焦点, 则()1,0F -.①当1m =时, 圆O 的切线l 的方程为1x =, 此时,,A B的坐标为1,,1,22⎛⎫⎛- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭,则AB =…………………………………4分点F 到l 的距离为d =2, 所以△ABF的面积为12S AB d =⋅⋅= …………………………………5分 ②当1m >时, 设圆O 的切线l 的方程为()()0y k x m k =-≠, 即0kx y km --=, 因为l 是圆O 的切线,1=, 即2221k m k =+. ……………………………6分设()()1122,,,A x y B x y ,由()22,1,2y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()22222124210k x k mx k m +-+-=,()()()2222248121k mk k m =-+-∆280k =>, 则2122412k mx x k +=+, ()221222112k m x x k -=+. …………………………………7分故AB ==21m =+. …………………………………8分 点F 到l的距离为d==1m m+=. ……………………………9分故△ABF 的面积为2111221m S AB d m m+=⋅⋅=⨯⨯+)211m m +=+. …………………………………10分令())()2111m f m m m +=>+, 则()))()222111m m mf mm+-+'=+)()222211m m m--+=+.当1m >时, ()0f m '<, 则()f m 在()1,+∞上单调递减. 故()()1f m f<=即△ABF 的面积S <. ………………………………11分由①②可知, △ABF …………………………………12分 解法2：设直线l 的方程为x ty m =+，由l 与圆C1=, …………………………………4分即221m t =+.设()()1122,,,A x y B x y ,由221,2,x t x y m y =⎧⎪⎨+=+⎪⎩消去x 得()2222220t y tmy m +++-=,………………………………5分 因为222(2)4(2)(2)80,tm t m ∆=-+-=> ………………………………6分则12222tm y y t +=-+, 212222m y y t -=+. …………………………………7分所以△ABF 的面积为1212S PF y y =⋅⋅- ………………………………8分 (112m =+ ……………………………9分(112m =+)211m m +=+. …………………………………10分以下同解法1.21.(12分)（1）解法1：因为()f x 22xe ax =-，所以()222xf x eax '=-. …………………………………1分因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()0f x '≥在()0,+∞上都成立, 即2xe a x ≤在()0,+∞上都成立. ……………2分令()2x e g x x =, 则()()22222212xx x x exe e g x x x --'==.当102x <<时, ()0g x '<, ()g x 在10,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减;当12x >时, ()0g x '>, ()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 故当12x =时, ()g x 取得最小值, 其值为122g e ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ……………………………3分 所以2a e ≤.所以a 的取值范围为(],2e -∞. …………………………………4分 解法2: 当0a ≤时, 函数()f x =e22xax -在()0,+∞上单调递增; ……………………1分当0a >时, ()222x f x e ax '=-, 令()h x =222xeax -, 则()242x h x e a '=-,① 若2a ≤,则0x >时,()420h x a '>-≥, 则()h x 在()0,+∞上单调递增.此时, ()()020h x h >=>, 即()0f x '>, 则()f x 在()0,+∞上单调递增; …2分 ② 若2a >,令()242x h x e a '=-0=, 得1ln 22ax =, 当10ln 22a x <<时, ()0h x '<, ()h x 在10,ln 22a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减; 当1ln 22a x >时, ()0h x '>, ()h x 在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增; 则1ln 22a x =时, ()ln 2min2ln 2aa h x e a =-⎡⎤⎣⎦ln 2a a a =-. 当ln02aa a -≥, 即2a e ≤时, ()0h x ≥, 即()0f x '≥, 则()f x 在()0,+∞上单调递增. 故22a e <≤. …………………………………3分 综上所述, 所求a 的取值范围为(],2e -∞. …………………………………4分 （2）证明:由（1）知，当2a e ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递增，则不存在极大值；……5分 当2a e >时，111ln ,ln ln 22222a a a <>,由（1）知函数()f x '在10,ln 22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减, 在1ln ,22a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 又()020f '=>, 1202f e a ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭, …………………………………6分 ()()2l nl n 22l n 2l n a f a e a a a a a '=-=-0>(易证明ln 0a a ->).故存在110,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭, 使得()1211220x f x e ax '=-=, ……………………………7分 存在21,ln 2x a ⎛⎫∈⎪⎝⎭,使得()20f x '=. ……………………………8分 则()10,x x ∈时, ()0f x '>; ()12,x x x ∈时, ()0f x '<;()2,x x ∈+∞时, ()0f x '>.故()f x 在()10,x 上单调递增, 在()12,x x 上单调递减, 在()2,x +∞上单调递增. 所以当1x x =时, ()f x 取得极大值, 即1221x M e ax =-. ………………………9分由1102x <<, 得110x ->，111x x ≠-， 由121220x eax -=, 得121x e ax =,故1221x M eax =-211ax ax =- ……………………………10分()111ax x =-21112x x a +-⎛⎫< ⎪⎝⎭…………………………………11分 4a =. 所以4aM <. …………………………………12分 22. (10分)（1）解:曲线1C 的普通方程为()2111y xx =--≤≤, …………………………………3分把cos ,sin x y ρθρθ==代入()1sin cos 2a ρθθ-=, 得 直线2C 的直角坐标方程为12y ax -=, 即102ax y -+=. ……………………5分（2）解法1: 由直线2C ：102ax y -+=, 知直线2C 恒过点10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭.…………………6分 由()2111y x x =--≤≤, 当0y =时, 得1x =±,所以曲线1C 过点()1,0P -, ()1,0Q . …………………………………7分则直线MP 的斜率为11012102k -==--, …………………………………8分 直线MQ 的斜率为21012102k -==--. …………………………………9分 因为直线2C 的斜率为a , 且直线2C 与曲线1C 有两个不同交点, 所以21k a k ≤≤, 即1122a -≤≤. 所以a 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. …………………………………10分 解法2: 由()2111,10,2y x x ax y ⎧=--≤≤⎪⎨-+=⎪⎩消去y 得2102x ax +-=, 依题意, 得2102x ax +-=在[]1,1-上有两个不相等实根. ……………………6分 设()212f x x ax =+-,则()()220,11,2110,2110,2a a f a f a ∆⎧=+>⎪⎪-<-<⎪⎪⎨-=-≥⎪⎪⎪=+≥⎪⎩ …………………………………9分 解得1122a -≤≤. 所以a 的取值范围为11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. …………………………………10分 23. (10分)（1）解法1：当1a =时，()0f x >，即1210x x +-->， ………………………1分得121x x +>-， …………………………………2分 两边平方得()()22121x x +>-， …………………………………3分 得()320x x -<，解得02x <<. …………………………………4分 所以不等式()0f x >的解集为}{02x x <<. …………………………………5分 解法2：当1a =时，()0f x >，即1210x x +-->， ……………………………1分 ① 当1x ≤-时, 得()()1120x x -+-->, 解得2x >, 故x 无解; ……………2分 ② 当112x -<<时, 得()()1120x x +-->,解得0x >, 故102x <<; ………………………………………3分 ③ 当12x ≥时, 得()()1210x x +-->,解得2x <, 故122x ≤<; ………………………………………4分 综上所述, 不等式()0f x >的解集为}{02x x <<. ………………………5分（2）解：由于0a >，则()1,,1,31,21.1,2x a x a a x f x x a x x a --<-⎧⎪⎪-≤≤=+-⎨⎪>⎪-++⎩ …………………………7分由于函数()f x 在1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以，当12x =时，()f x 取得最大值，其值为1122f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.…………………8分若()1f x <对x ∈R 都成立，则112a +<，即12a <. …………………………9分 所以a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………………………………10分 解法2:()21f x x a x =+-- 1122x a x x =+---- …………………………………6分1122x a x x ≤+-+-- …………………………………7分 1122a x =+-- 12a ≤+. …………………………………8分 若()1f x <对x ∈R 都成立，则112a +<. ………………………………9分 由于0a >, 上面不等式解得102a <<. 所以a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. …………………………………10分。
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2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数 学(理科)参考公式:如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件B 、C 互斥，那么(|)(|)(|)P B C A P B A P C A ⋃=+第一部分 选择题(共40分)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{(,)|0,,},{(,)|0,,}A x y x y x y R B x y x y x y R =+=∈=-=∈,则集合A B 的元素个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 2.已知,m R ∈向量(,1),2,a m a m ===若则 A. 1B.C. ±1D. 3.函数()sin cos ()f x x x x R =-∈的最小正周期是A. 2πB. πC. 2πD. 3π 4.如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍,那么这个椭圆的离心率为 A.B.C. 2D. 125.如图1所示的算法流程图中(注:”A=1”也可写成”A:=1”或”A ←1”,均表示赋值语句),第3个输出的数是A. 1B. 32C. 2D. 526.如果一个几何体的三视图如图2所示(单位长度:cm), 则此几何体的表面积是A. 2(80cm + B. 296cm C. 2(96cm + 主视图 左视图 D. 2112cm图2俯视图7.若函数3()3f x x x a =-+有3个不同的零点,则实数a 的取值范围是 A. ()2,2- B. []2,2- C. (),1-∞- D. ()1,+∞8.如图3所示,面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4),i a i =此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为(1,2,3,4)i h i =，若4312412,()1234i i a a a a Sk ih k ======∑则.类比以上性质，体积为V 三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =， 此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =， 若431241,()1234i i S S S S K iH ======∑则 A.4VK B. 3VK C. 2V KD.V K第二部分 非选择题(共110分)二、填空题：本大题共7小题，其中9—12题是必做题，13—15题是选做题.每小题5分，满分30分）9.命题“若20,0m x x m >+-=则方程有实数根”的逆命题是10.双曲线的中心在坐标原点，离心率等于2，一个焦点的坐标为（2，0）,则此双曲线的方程是11.已知数列1,,n n n a n n -⎧=⎨⎩为奇数为偶数则1100a a += , 123499100a a a a a a ++++++=12.不等式组2020220x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪--≤⎩,所确定的平面区域记为D .若点(,)x y 是区域D 上的点，则2x y +的最大值是 ;若圆222:O x y r +=上的所有点都在区域D 上，则圆O 的面积的最大值是▲选做题:在下面三道小题中选做两题,13.如图4所示, 圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D, CD=4, BD=8, 则圆O 的半径等于 14.在极坐标系中,圆2ρ=上的点到直线(cos )6ρθθ= 的距离的最小值是15.设11,1,2a b a b a b+=+为正数,且则的最小值是B三、解答题:本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16(本小题满分12分)已知tan 2θ=(Ⅰ)求tan()4πθ+的值 (Ⅱ)求cos 2θ的值17.(本小题满分14分)如图5所示，在长方体1111,ABCD A B C D -中11,2AB BC BB ===111,4E CC CE CC =是棱上的点且(1)求三棱锥C BED -的体积(2)求证:1AC BDE ⊥平面18.(本小题满分12分)甲箱的产品中有5个是正品和3个次品，乙箱的产品中有4个正品和3个次品. (1)从甲箱中任取2个产品，求这2个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取出2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率19.(本小题满分14分)如图622(01)x t t =<≤与曲线C (1)写出曲边四边形(2)求函数()S f t =A1C1B1DC B A ED120(本小题满分14分)已知圆C ：222210,:x y x y l y kx +--+==直线，且l C P 与圆交于、Q 两点,点M ()0,b ,且MP MQ ⊥.(1)当1;b k =时,求的值(2)当31,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，求k 的取值范围.21(本小题满分14分)设{}n n S a n 是数列的前项和,对任意**1(0,1),,,n n n N S qa q q m k N m k ∈=+>≠∈≠且 (1)求数列{}n a 的通项公式n a(2)试比较221()2m k m k S S S ++与的大小(3)当222111m km kq S S S +>+时,试比较与的大小2007年广州市普通高中毕业班综合测试(一) 数学(理)参考答案及评分标准分，满分30分,第11小题的第一空为2分,第二空3分,第12小题的第一2分,第二空3分9.20x x m+-=若方程有实数根则m>010.3213yx-=11. 100; 500012. 14;45π13. 514. 115.32三、解答题:16.本小题主要考查三角函数的诱导公式及和(差)角公式等基础知识,考查运算能力,满分12分(1)tan2tan tan4tan()341tan tan4θπθπθπθ=+∴+==--4分(2)3cos25θ=-12分17.(1)1111111332212C BDE E BCD BCDV V S CE--∆==⋅=⋅⋅⋅⋅=6分(2)略18.解(1)203528328C CPC⋅==4分(2)设事件A为”从乙箱中取出的一个产品是正品”,事件B1为”从甲箱中取出2个产品都是正品,”事件B2为”从甲箱中取出2个产品一个是正品一个是次品”事件B3为:”从甲箱中取出2个产品都是次品”则事件B1,B2,B3互拆211253531232228885153(),(),()142828C C C CP B P B P BC C C======7分123654(|),(|),(|)999P A B P A B P A B===10分112233()()(|)()(|)()(|)P A P B P A B P B P A B P B P A B=++5615534147714928928925212=⋅+⋅+⋅== 12分 19解(1)由222(0,0),(,)2y x O A a a y x ax⎧=⎨=-+⎩得点 又由已知得22(,2),(,)B t t at D t t -+ 2分故2222011(2)(2)()22tS x ax dx t t t at t a t =-+-⋅⋅+-+-⋅-⎰32216t at a t =-+ 3221()(01)6S f t t at a t t ∴==-+<≤ 6分(2)22221()221()0,202:(2(2(1,f t t at a f t t at a t a t a t '=-+'=-+===+≤令即解得或由舍去) 8分若(21a a ≥≥即,01,()0t f t '<≤∴≥ 21()(1)6f t f a a ∴=-+在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 10分(2t a <<当0时,()0f t '>()]f t a ∴在区间上单调递增当(21,()0a t f t '<≤<时(),1]f t a ∴在区间上单调递减32()[(2]1)3f t f a a ∴-=的最大值是 13分 综上所述[]2max312,62()21),13a a a f t a a ⎧+-+≥⎪⎪=⎨⎪<<⎪⎩ 14分20解(1)1k = 4分(2)由222210y kx x y x y =⎧⎨+--+=⎩消去y 得 22(1)2(1)10k x k x +-++= ① 设1122(,),(,)P x y Q x y 则1212222(1)1,11k x x x x k k++==++ 6分 2212121212()()(1)()0MP MQ x x y b y b k x x kb x x b ⊥+--=+-++=得 8分22222212(1)(1)0112(1)111k k kb b k kk k b b k b b ++⋅-⋅+=++++==++即 令211()()1f b b f b b b'=+=-则当231(1,)()1023()(1,)2313(1,)()(2,)26b f b bf b b f b '∈=->∴∈∈时,在区间上是单调递增的当时, 11分22(1)13216k k k +∴<<+解得:166k k k >⎧⎪⎨>+<⎪⎩166k k ∴<<> 13分 由①式00k ∆>>解得166k k ∴<<>(,)k ∴+∞的取值范围是6+23 14分21解(1)当n=1时,111111,1,1a S qa q a q==+≠∴=- 1分 11111n n n n n n n qa S S qa qa a a q ++++=-=-⇒=- 3分 {}11,111()11n n n q a q q q a q q -∴--∴=⋅--数列是以首项公比为的等比数列 4分(2)由(1)得11()1nn n q S qa q =+=-- 5分 令1qt q =- 222211()(1)(1)(1)22m k m k m k m k S S S t t t ++⎡⎤∴-+=---+-⎣⎦ 7分2221()221()02m k m k m k t t t t ++⎡⎤=-⎣⎦=->故221()2m k m k S S S +>+ 9分(3)当22221,1,,,10,10,101m k m k m k qq t m k t t t t t q +>=>≠∴≠-<-<-<-时22221111()()m k m k S S S S ⎛⎫∴-+=-+-> ⎪⎝⎭= 11分222222220(1)(1)()11m k m k m k m k t t t t t t ++<--=-++<- 2(1)m k t +=-22211(1)(1)(1)m k m k t t t +∴>--- 13分2211221m km k m k S S t S ++⎛⎫∴-+>==- ⎪-⎝⎭22211m km kS S S +∴>+14分。