详解曲线拟合
曲线拟合和数据分析的方法和应用
曲线拟合和数据分析的方法和应用数据分析在今天的社会中变得日益重要，它是一种广泛使用于
各种领域的方法和技术。曲线拟合是数据分析中一个非常重要的
过程。它的目的是寻找一个数学模型来描述已知数据的关系。在
此基础上，分析师们便能够做出精确的预测，并利用这些预测来
制定采取行动的决策。
曲线拟合的意义
曲线拟合通常用于解决如下几个问题。第一，它能帮助分析师
找到影响特定数据变量的因素。举个例子，假设一家公司正在研
究他们的销售数据，并希望找到销售量的变化趋势。曲线拟合可
以帮助分析师很轻易地找到这些趋势，通常会得到一条线或者其
他函数类似的数学模型，描述销售量随着时间，季节等因素的变
化趋势。其次，曲线拟合可以用来预测未来值，这是非常有用的，可以使分析师作出更好的决策。例如，一家零售商正在考虑增加
产品种类。通过曲线拟合，他们可以预测新产品的销售量，并评
估是否值得加入。
常用的拟合方法
常用的曲线拟合方法包括线性回归、多项式回归、非线性回归、指数回归等。其中最基本的方法是线性回归。线性回归是一种基
于最小二乘法的统计分析方法，它可以用于确定两个变量之间的
线性关系。它的数学原理比较简单，但它通常是在初步探索数据
时最先使用的拟合方法。多项式回归是一种广泛使用的非线性拟
合方法，它可以用于描述两个或多个变量之间的非线性关系。相
比于线性回归，多项式回归可以更准确地适应比较复杂的数据拟
合任务。非线性回归是一种更加复杂的回归方法，它可以用于描
述不可线性的数据关系。它常常被用于描述生物学、化学以及工
程领域的数据。
应用实例
曲线拟合的应用是非常广泛的。在医学领域，曲线拟合可以用
曲线拟合分析
曲线拟合分析
曲线拟合分析是数学统计中一种常用的非参数估计方法。它用
于拟合一组多变量数据，以获得最佳拟合的函数，并且将其用来建立
一个数学模型以描述这组数据的规律。曲线拟合分析的适用条件是，
数据不必是精确的函数关系，而且可以包含误差和噪声。
曲线拟合分析可以使用各种不同拟合函数，如线性函数、多项式
函数、指数函数、对数函数等。具体的方法有多种，包括最小二乘法、最小中心加权平方法、最小均值方差变换方法等。此外，还可以使用
优化算法进行复杂的拟合。
曲线拟合分析的主要优点是，无论数据多项式函数的形式如何，
都可以使用多种拟合函数拟合，从而获得较好的精度。此外，由于曲
线拟合不需要假设数据服从特定的分布，因此能够更好地描述复杂的
数据结构。
另外，曲线拟合分析也可用来探究参数之间的关系，从而提出更
有意义的结论，增加对数据的认识。
在实际应用中，曲线拟合分析广泛应用于物理和工程等科学领域、金融和经济等经济学领域、医学研究等医学领域，以及时间序列分析、模式识别等机器学习领域。
第5章曲线拟合
a0 ln a, a1 来自百度文库b
0 1
则正规方程组 为由 a 6 6 b a b 得 1 0.772282 1
6a0 a1 xi yi i 1 i 1 6 6 6 于是得到拟合指数函数为 2 a x a x 0 i 1 i xi y i i 1 i . 1772282 x i 1 0
其中
y 1.754708 e
x ln y
i 1 i
m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i ) 0 a i 1 0 m F ( a 0 , a1 ) 2 ( a 0 a1 xi y i )xi 0 a1 i 1
即得如下正规方程组
m m a0 m a1 xi yi i 1 i 1 m m m 2 a x 1 i a 0 xi xi y i i 1 i 1 i 1
大时,插值效果显然是不理想的。此外,由实验或观测
提供的数据个数往往很多,如果用插值法,势必得到次 数较高的插值多项式，这样计算起来很烦琐。
曲线拟合方法
曲线拟合方法
曲线拟合方法是在数据分析中应用广泛的一种数学模型，它能够有效地拟合一组数据，从而推断出它背后的现象，同时推断出现象的规律。曲线拟合方法是最常用的无比可以满足实际应用要求的符号方法之一，在实际应用中可以清楚地看到它的优越性。
一、曲线拟合方法的定义
曲线拟合方法是一种用来拟合数据的数学方法，即将一组数据拟合到一条曲线上，从而求解出拟合曲线的方程。一般来说，曲线拟合方法是根据给定的数据集，通过最小二乘法来拟合出曲线的方程，以表述和描述该数据的特征。曲线拟合方法给我们提供了一种比较直观和有效的数据分析工具，可以有效地发现数据中不同特征之间的关系，从而推断出它们背后的现象及其规律。
二、曲线拟合方法的基本思想
曲线拟合方法的基本思想是将一组数据以曲线的形式，以拟合精度最高的方式拟合出曲线的方程。有多种拟合方法，比如线性拟合、参数拟合、二次拟合、多项式拟合等，可以根据实际的数据特点，选择合适的拟合方法。拟合方法的最终目的是使拟合曲线越接近原始数据，越接近实际情况，以此来求解出拟合曲线的方程，并且能够有效地反映出数据的规律特征。
三、曲线拟合方法的应用
曲线拟合方法在实际工程中被广泛应用，它的应用非常广泛，可以用于各种数据的拟合，其中包括统计学中的数据拟合、物理学中拟
合各种非线性函数曲线，以及优化、控制理论中根据给定数据拟合控制参数等。曲线拟合方法可以有效地发现数据中不同特征之间的关系，从而推断出它们背后的现象，以及它们背后的规律，因此，曲线拟合方法在预测及数据分析中具有重要的作用。
四、曲线拟合方法的优缺点
第九2章曲线拟合
第九2章曲线拟合
曲线拟合Curve fitting
医学研究中X和Y的数量关系常常不是线性的，如毒物剂量与动物死亡率，人的生长曲线，药物动力学等，都不是线性的。如果用线性描述将丢失大量信息，甚至得出错误结论。
此时可以用曲线直线化估计（Curve estimation）或非线性回归(Nonlinear regression) 方法分析。
曲线直线化估计的步骤
绘制散点图，根据图形和专业知识选取曲线类型（可同时选取几类）
按曲线类型，作曲线直线化变换
建立直线化的直线回归方程；作假设检验，计算决定系数
将变量还原，写出用原变量表达的曲线方程比较决定系数选取“最佳”曲线方程
曲线形式
（根据生物学机制理论决定）
常见的曲线回归方程
②对数：
)ln(?X b a Y +=①幂函数：b a X e Y =?或)ln()?ln(X b a Y
+=③指数函数：bX a e Y +=?bX a Y
+=)?ln(④多项式：
n n X b X b X b a Y ++++= 221?)1/(1?bX a e Y --+=或⑤logistic ：bX a Y Y
+=-)]?1/(?ln[或
一、利用线性回归拟合曲线（例1）例某医科大学微生物学教研室以已知浓度X 的免疫球蛋白A(IgA, μg/ml)作火箭电泳, 测得火箭高度Y(mm)如下表所示。试拟合Y 关于X 的非线性回归方程。Y ?X Y X'＝lnX (lnX)2 Y 2 (lnX)Y
残差平方0.2 7.6 -1.6094 0.4 12.3 -0.9163 0.6 15.7 -0.5108 0.8
曲线拟合
1、拟合正弦函数曲线，使用四次多项式拟合。
原始函数 x0=-pi:0.1:pi;
y0=sin(x0);
p0=polyfit(x0,y0,4);
y1=polyval(p0,x0); p0在x0处的值，y1拟合多项式在原来数据点处的函数值 plot(x0,y0,x0,y1,'r');
使用五次多项式拟合，图形基本重合。
2、拟合 2
2511x y +=
（1）使用多项式拟合
x1=-1:0.2:1;
y1=1./(1+25*x1.^2);
x0=-1:0.01:1;
y0=1./(1+25*x0.^2);
p3=polyfit(x1,y1,3);
p5=polyfit(x1,y1,5);
p10=polyfit(x1,y1,10);
y3=polyval(p3,x0);
y5=polyval(p5,x0);
y10=polyval(p10,x0);
plot(x0,y0,x0,y3,'r',x0,y5,'m',x0,y10,'k');
legend('orig','3','5','10');
出现振荡，使用多项式拟合达不到要求，所以使用非多项式曲线拟合。
（2）使用非多项式拟合
options=fitoptions('Method','NonlinearLeastsquare'); options.Lower=[-Inf,-Inf,-Inf];
type=fittype('a/(b+c*x^n)','problem','n','options',options); [cfun gof]=fit(x1',y1',type,'problem',2);
曲线拟合的理解和研究
曲线拟合的理解和应用
曹明轩 精仪学院 1014202029
曲线拟合
在我们的实验测试中，都会得到海量的数据。为了更好地了解这些数据或者从数据中，做出预测、判断，给实验者提供重要的参考。我们必须对得到的数据做拟合，得到能充分反映数据的内在规律的函数。
在所有的拟合方法之中，曲线拟合具有重要的应用前景 。曲线拟合，俗称拉曲线，是一种把既有数据通过数学方法代入一个数学表达式的方法。科学和工程问题可以通过诸如采样、实验等方法获得若干离散的数据，根据这些数据，我们往往希望得到一个连续的函数（也就是曲线）或者更加密集的离散方程与已知数据相吻合，这过程就叫做拟合。曲线拟合主要是可以分为三步：
确定曲线拟合的函数模型
在科学实验和社会实践中,我们常常需要观测很多数据的规律, 通过实验或者观测得到量x 与y 的一组数据对（x i ，y i ）(i=1,2, …，N),其中错误！未找到
引用源。i 是彼此不同的。我们希望用一类与数据本质规律相适应的解析表达式，
错误！未找到引用源。=f(x,c)来反映量x 与y 之间的依赖关系，即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据f(x,c)。错误！未找到引用源。常称作拟合模型，当c 在和x 满足中线性关系时，称为线性模型，否则称为非线性模型。线性模型是回归模型中最常见的一种，但在实际中，有时很难确定参数之间存在着何种关系，是线性还是非线性， 如果是非线性，那是多项式函数、 幂函数、指数函数、对数函数等，甚至是它们的复合函数，有时还需要分段分析，因此在整个拟合过程中，拟合曲线函数模型的确定是最困难的。
曲线拟合方法浅析
曲线拟合方法概述
工业设计 张静 1014201056
引言：在现代图形造型技术中，曲线拟合是一个重要的部分，是曲面拟合的基础。现着重对最小二乘法、移动最小二乘法、NURBS 三次曲线拟合法和基于RBF 曲线拟合法进行比较，论述这几种方法的原理及其算法，基于实例分析了上述几种拟合方法的特性，以分析拟合方法的适用场合，从而为图形造型中曲线拟合的方法选用作出更好的选择。
1 曲线拟合的概念
在许多对实验数据处理的问题中，经常需要寻找自变量和对应因变量之间的函数关系，有的变量关系可以根据问题的物理背景，通过理论推导的方法加以求解，得到相应关系式。但绝大多数的函数关系却很复杂，不容易通过理论推导得到相关的表达式，在这种情况下，就需要采用曲线拟合的方法来求解变量之间的函数关系式。
曲线拟合(Curve Fitting)，是用连续曲线近似地刻画或比拟平面上离散点组所表示的坐标之问的函数关系的一种数据处理方法。在科学实验或社会活动中，通过实验或观测得到量x 与y 的一组数据对(x i ,y i )，i =1，2，3…，m ，其中各x i 是彼此不同的。人们希望用一类与数据的规律相吻合的解析表
达式y =f(x)来反映量x 与y 之间的依赖关系。即在一定意义下“最佳”地逼近或拟合已知数据。f(x)称作拟合函数，似的图像称作拟合曲线。 2 曲线拟合的方法
2.1最小二乘法
最小二乘法通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，是进行曲线拟合的一种早期使用的方法 一般最小二乘法的拟合函数是一元二次，可一元多次，也可多元多次。该方法是通过求出数据点到拟合函数的距离和最小的拟合函数进行拟合的方法令f(x)=ax 2+bx+c ，计算数据点到该函数所表示的曲线的距离和最小 即：
曲线拟合法
曲线拟合法
曲线拟合法是一种用于根据离散数据拟合出函数模型的方法，可以用来估计未知数据.是统计分析中经常使用的一种数学方法，它可以用来实现从数据中获取信息的目的。曲线拟合的最常用的方法是最小二乘法，它的主要思想是将最小的均方误差捆绑到拟合的曲线上，使得它可以更好地描述数据曲线。
曲线拟合是一个复杂的过程。它的目的是将一系列离散点拟合成一个曲线，该曲线可以刻画数据点之间的关系。它可以帮助研究者更好地理解数据，并对数据进行进一步研究。首先，研究者需要确定拟合曲线的函数形式，例如多项式，指数或对数函数，接着将参数估计出来，这一步通常使用标准的最小二乘估计方法。
有时候，参数的估计可能会受到多种因素的影响，但对于拟合曲线的准确性来说，参数的估计是非常重要的。此外，在最小二乘估计方法中，也需要考虑多元变量之间的关系，这要求研究者针对每一种可能的关系预估参数。
另外，有许多类型的拟合方法，不同的拟合方法适用于不同的数据集，比如，动态拟合法、矩阵法和多元拟合法，这些方法可以帮助研究者在拟合表达式中找到更准确的参数值。
总的来说，曲线拟合法是一种有效的数据模型，它可以根据离散数据拟合出函数模型，这有助于研究者更全面地理解数据，并能够预测出未知点的值，有效地估计出参数。它在统计学中有着广泛的应用，这种方法对于提高数据分析的精度，预测未知变量，并更加准确地描
述数据曲线都有着重要意义。
第5章-1 曲线拟合(线性最小二乘法)讲解
Y=0.25x2+0.25x-0.25
练习2
根据下列数据求拟合曲线函数： y=ax2+b
x 19 25 31 38 44 y 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
∑xi4 a + ∑xi2 b = ∑xi 2yi
∑xi2 a + n b = ∑yi
7277699a+5327b=369321.5 5327a+5b=271.4
解得：a=1.1 b=-0.7
所以：线性拟合曲线函数为： y=1.1x-0.7
例2：试用二次曲线 y=ax2+bx+c 拟合下列数据:
xi
-3
-2 -1 0
1
23
Yi 4
2
3 0 -1 -2 -5
求得方程组为：
196a 28b
28a
+28c=-7 =-39
+7c=1
解得： b =-39/28 a=-11/84 c=2/3
∑xi b +n c = ∑yi
例1：设给定的观测数据如下，求线性拟合函数
y=ax+b。
xi 1 2 yi 0 2
34 5 25 4
解：
a ∑xi2 +b ∑xi= ∑xi yi a ∑xi+bn=∑ yi
简述曲线拟合原理
简述曲线拟合原理
曲线拟合是数学和统计学中的一项基本技术，它的目的是建立一条连接数据点的曲线，以描述这些数据之间的关系。曲线拟合可由多种形式来完成，然而，核心原理是一致的：使用多项式（或其他形式）来模拟数据集合中存在的趋势，以更准确地描绘出这种趋势。
曲线拟合的原理是利用待拟合的观测点的位置，利用一组未知参数来计算拟合曲线的形状，这样就可以把拟合曲线和原来的观测点定位起来。
常用的拟合曲线包括多项式拟合曲线、对数拟合曲线、指数拟合曲线、正弦拟合曲线等，拟合曲线可以分为线性拟合曲线和非线性拟合曲线。
线性拟合曲线通过参数估计完成，是最常用的拟合方法，可以用最小二乘法（Least Squares）的方式，来拟合一条最佳的直线，最小二乘法是一种数学方法，它的目的是把观察值与实际值之间的差值最小化。
非线性拟合曲线则是更加复杂的一种拟合方法，主要的解决方案有“梯度下降”、“非线性最小二乘法”等，它们都有自己的特点，可以根据实际情况选择适合的拟合方法完成。
此外，曲线拟合同样也可以通过正则化（Regularization）来完成，正则化技术可以解决模型过度拟合的问题，它会利用给定的正则项（L1正则化和L2正则化）来引入模型训练中的一定程度的范式，以期待达到更好的拟合效果。
最后，曲线拟合也可以通过改进的加权技术来完成，这是一种改进的拟合方法，它的核心思想是对于观测值中的一部分点进行额外的考虑，考虑出其与拟合参数之间的敏感性，以此来进行更准确的拟合。
综上所述，曲线拟合是一种数学和统计学中的重要技术，它通过利用未知参数、最小二乘法、梯度下降、非线性最小二乘法、正则化和加权技术，以及其他一些更加复杂的算法，来完成对待拟合的观测点的数据进行准确的模拟。许多形式的曲线拟合的方法都是用来模拟数据集合中存在的趋势，如多项式拟合曲线、对数拟合曲线、指数拟合曲线等，以更准确地描绘出这种趋势。
曲线拟合
曲线拟合
实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；疾病疗效与疗程长短的关系；毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。曲线拟合（curve fitting）是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。曲线拟合的方法很多，本节只介绍曲线直线化。
一、曲线直线化的意义
曲线直线化是曲线拟合的重要手段之一。对于某些非线性的资料可以通过简单的变量变换使之直线化，这样就可以按最小二乘法原理求出变换后变量的直线方程，在实际工作中常利用此直线方程绘制资料的标准工作曲线，同时根据需要可将此直线方程还原为曲线方程，实现对资料的曲线拟合。
二、常用的非线性函数
1.指数函数(exponential function)
Y=aebX(12.29)
对式（12.29）两边取对数，得
lnY=lna+bX(12.30)
b>0时，Y随X增大而增大；b<0时，Y随X增大而减少。见图12.4(a)、(b)。当以lnY和X绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用指数函数来描述Y与X
间的非线性关系，lna和b分别为截距和斜率。
更一般的指数函数
Y=aebX+k(12.31)
式中k为一常量，往往未知, 应用时可试用不同的值。
2.对数函数（lograrithmic function）
Y=a+blnX(X>0)(12.32)
b>0时，Y随X增大而增大，先快后慢；b<0时，Y随X增大而减少，先快后慢，见图12.4(c)、(d)。当以Y和lnX绘制的散点图呈直线趋势时，可考虑采用对数函数描述Y与X之间的非线性关系，式中的b和a分别为斜率和截距。
第六讲曲线拟合
β0 β1 β2 β3
回归系数估计值 回归系数置信区间 回归系数估计值 回归系数置信区间 45.3636 [3.5537 87.1736]
剔除异常点 (第2点和第 第 点和第 10点)后 点后
β0 β1 β2 β3
R2= 0.8462
回归系数估计值 回归系数置信区间 回归系数估计值 回归系数置信区间 58.5101 [29.9064 87.1138] 0.4303 [0.1273 0.7332] 2.3449 [0.8509 3.8389] 10.3065 [3.3878 17.2253] F= 44.0087 p<0.0001 s2 =53.6604
说明：求出已知数据 阶拟合多项式f(x)按 说明：求出已知数据(X,Y)的n阶拟合多项式 的 阶拟合多项式 按 降幂排列的系数p， 必须是单调的 必须是单调的. 降幂排列的系数 ，X必须是单调的 对以下数据作出散点图 例1.对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合： 对以下数据作出散点图，然后用多项式拟合： (0.5,1.75),(1,2.75),(1.5,3.81),(2,4.8),(2.5,7),(3,8.6) 解：x = [0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]; y = [1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]; plot(x,y) 发现： 发现：这些点大致地位于某条直 线附近，故可考虑线性拟合： 线附近，故可考虑线性拟合： p=polyfit(x,y,1) p =2.7937 -0.1540 即拟合函数为： 即拟合函数为：y=2.7937x-0.154 (图6.1) 图
第八章 数据的曲线拟合
A=
f1 ( x1 ) f1 ( x2 ) ⋯ f1 ( xL )
f 2 ( x1 ) f 2 ( x2 ) ⋯ f 2 ( xL )
⋯ ⋯ ⋯ ⋯
f n ( x1 ) c1 y1 c y f n ( x2 ) ,c = 2 , y = 2 ⋮ ⋮ ⋯ f n ( xL ) yL cn
log( g ) = α log( x) + log( β )
取： G = log( g ), c1 = α , c2 = log( β ), X = log( x) 则：
G = c1 X + c2
问题简化为线性回归，拟合数据点为： 问题简化为线性回归，拟合数据点为： log( xi ),log( yi ) ) (
L i =1
a11 = ∑ x , a12 = a21 = ∑ xi ,
i =1 L i =1
a22 = ∑1 = L, z1 = ∑ xi yi , z2 = ∑ yi
i =1 i =1
L
确定系数的另一种方法是直接求解超定线性方程组： 确定系数的另一种方法是直接求解超定线性方程组：
Ac = y
其中
拟合曲线算法
拟合曲线算法
简介
拟合曲线算法是一种数学方法，用于通过给定的数据点，找到一个函数曲线，使得该曲线能够最好地拟合这些数据点。拟合曲线算法在很多领域中都有广泛的应用，例如数据分析、图像处理、机器学习等。
拟合曲线算法的目标是找到一个函数曲线，使得该曲线与给定的数据点的残差最小。残差是指实际观测值与拟合曲线的预测值之间的差异。通过最小化残差，可以找到一个最优的拟合曲线，使得该曲线能够最好地描述数据的趋势和规律。
常见的拟合曲线算法
线性回归
线性回归是一种简单而常见的拟合曲线算法。它假设数据与一个线性函数的关系最为合适。线性回归的目标是找到一条直线，使得该直线能够最好地拟合给定的数据点。
线性回归的数学模型可以表示为：
y = mx + b
其中，y 是因变量，x 是自变量，m 是斜率，b 是截距。
线性回归的目标是找到最优的斜率和截距，使得拟合曲线与数据点的残差最小。通常使用最小二乘法来求解线性回归的参数。
多项式回归
多项式回归是线性回归的一种扩展形式。它假设数据与一个多项式函数的关系最为合适。多项式回归可以用于拟合非线性的数据。
多项式回归的数学模型可以表示为：
y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n
其中，y 是因变量，x 是自变量，a0, a1, a2, …, an 是多项式的系数，n 是多
项式的阶数。
多项式回归的目标是找到最优的系数，使得拟合曲线与数据点的残差最小。通常使用最小二乘法来求解多项式回归的参数。
非线性回归
非线性回归是一种更加通用的拟合曲线算法。它假设数据与一个非线性函数的关系最为合适。非线性回归可以用于拟合复杂的数据。
第五章+曲线拟合
k 0 n
则由式（4）可得：
5.4 最小二乘拟合多项式的存在唯一性（续）
n m j k m n n a j xi ak a j ak xij k j 0 i 0 j 0 k 0 k 0 i 0
m m
m xi i 0 m xin i 0
i 0 m
i
x
i 0
2 i
x
i 0
m
n 1 i
a0 0 m xin 1 a1 0 i 0 an 0 m xi2 n i 0
m m n i
式（3）
称之为法方程组或正规方程组。法方程组的一个明 显特点是其系数矩阵为对称的，如果它非奇异，则 法方程组式（3）必存在唯一的一组解。
5.3 多项式拟合（续）
从式（3）中求出
ak k 0,1,, n ，从而可得多项式
n
Pn x ak x k
k 0
可以证明，上式 Pn x 确实使式（2）成立，即 Pn x 为所求的最小二乘拟合多项式。
5.4 最小二乘拟合多项式的存在唯一性（续）
上机作业：
用最小二乘曲线拟合法完成实习题5：2的数据拟 合，并与插值法计算的近似结果进行比较：比较节 点处两种方法的近似函数值有何不同。
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xn ) xn
)
li (x) (i 0 ,1, 2 , , n)
满足
1 , i k li (xk ) 0 , i k
n次插值基函数
(i , k 0 ,1, 2 , , n)
二、牛顿型插值
1、差商：
f [x0 , x1]
f (x1) f (x0 ) x1 x0
于点 x0，x1 的差商。
三、曲线拟合的步骤
1、确定拟合函数的形式 0 (x),1(x), ,m (x)
（1）作出散点图（或进行机理分析）； （2）确定出拟合函数的形式。 2、根据(**)式 , 求出拟合函数(即求出a0 , a1 , … , am）
3、检验（修正 , 重新拟合）
四、多项式拟合
当取 0 (x) 1,1(x) x, ,m (x) xm
yj 4.00 6.40 8.00 8.80 …
Yj 1.386 1.856 2.079 2.175 …
解得：A = 2.4297 , B = -1.0706 。即 a eA 11.355 , b B 1.0706
1.0706
于是 y 11.355 e t
例5、用形如 W = C t λ 的函数拟合下列数据
L2 (x) y0l0 (x) y二L12l次1(x(插xi))=值y函yi 2数,l2i仍(=x要0) 满, 1足, 2：
l0 (x) , l1(x) , l2 (x)
二次插值基函数
满足
1 , i k
li (xk ) 0 , i k (i , k 0 ,1, 2)
于是，易得：
l0 (x)
L1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
其中
L1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
l0 (x)
x x1 x0 x1
,
l1 ( x)
x x0 x1 x0
l0 (x) , l1(x)
线性插值基函数
满足:
f (x)
1 , i k li (xk ) 0 , i k
L1(x)
j 1
n
x m1 j
j 1
n
x
2 j
m
a0 a1 am
j 1
n
xjyj
j 1
n
x
m j
y
j
j 1
j1
（***）
注：当 m = 1 时, 直线拟合 ; 当 m =2 时, 抛物拟合 。
直线拟合 ：拟合函数 (x) a0 a1x
a0 , a1 满足: n
n
f [x0 , x1 , x2 ]
f [x1 , x2 ] f [x0 , x1] x2 x0
于点 x0 ，x1 ，x2 二阶差商。
称为函数 f(x) 关 称为函数 f(x) 关
n 阶差商： n-1 阶差商的差商
f [x0 , x1, x2 ,
, xn ]
f [x1, x2 ,
, xn ] f [x0 , x1, xn x0
a0 a1
n
yj
j 1
n
xjyj
j1 n
x
4 j
a2
j1
n
x
2 j
y
j
j1
j1
例1、已知
j 1234
xj 2 4 6 8 yj 2 11 28 40
解 ：数据点描绘
令 (x) a0 a1x
则
4 20
12200
a0 a1
58316
解之得 a0* 12.5 , a1 6.55 故 y (x) 12.5 6.55 x
例2、已知
xj 1 3 yj 10 5
4 4
5 2
67 11
8 2
9 10 34
解 ：数据点描绘
令 (x) a0 a1x a2 x2
则
9 53 381
53 381 3017
381 a0 32 3017 a1 147 25317 a2 1025
解之得 a0* 13.4597 , a1 3.6053 , a2 0.2676 故 y (x)
2、牛顿型插值多项式 已知 y = f(x) 在 n+1 个节点 x0 , x1 , … , xn 处的函
数 f(x0 ) , f( x1 ) , … , f( xn ) 。则 牛顿型插值多项式为
Nn (x) f (x0) f [x0 , x1](x x0 ) f [x0 , x1 , x2](x x0)(x x1) f [x0 , x1 , , xn ]( x x0 )( x x1) (x xn1)
n
k (x j ) y j j 1
则(*)可写成 :
(0,0 )
(1,0 )
(m ,0
)
(0 ,1 ) (1,1)
(m ,1)
(0,m ) a0 (0, y)
(1,m )
(m ,m )
a1 am
(1, y)
(m, y)
(**)
通过求解方程(**) , 求出 a0, a1, , am 。
(x ( x0
x1)( x x2 ) x1)( x0 x2 )
,
l1 ( x)
(x ( x1
x0 )( x x2 ) x0 )( x1 x2 )
l2
(x)
(x ( x2
x0 )( x x1) x0 )( x2 x1)
3、n 次插值
已知 y = f(x) 在 n+1 个节点 x0 , x1 , … , xn 处的函
Q
ak
nm
2 ( aii (x j )
j 1 i0
y j )k (x j ) 0
(k 0,1,2, , m)
即
mn
n
i (x j )k (x j ) ai y jk (x j )
i0 j 1
j 1
亦即
n
n
n
a0 0 (x j )k (x j ) a1 1(x j )k (x j ) am m (x j )k (x j )
xj
j1
n
n
j1 n
x x
j
2 j
a0 a1
yj
j 1
n
xjyj
j1
j1
抛物拟合 ：拟合函数 (x) a0 a1x a2 x2
a0 , a1 , a2
满足:
n
n
xj
j1
n
x
2 j
j1
n
xj
j 1
n
x
2 j
j 1
n
x
3 j
j 1
n
j1
n
x
2 j
x3j
数 y0 , y1 , … , yn 。
n次插值多项式（插值函数）为
Ln (x) y0l0 (x) y1l1(x) ynln (x)
其中：
li
(x)
(x x0 )( x (xi x0 )( xi
x1) x1)
(x ( xi
xi1)( x xi1) (x xi1)( xi xi1) (xi
求 (x百度文库 ？
求 (x) ？
设
j (x j ) f (x j ) (x j ) y j ( j 1,2, , n)
称 j
为残差。 记
n
n
Q
2 j
( (x j ) y j )2
j 1
j 1
确定 (x) 的原则, 使 Q 取得最小值。
曲线拟合的最小二乘法
二、拟合函数
给定 f(x)的数据 (xj , yj)(j = 1 , 2 , … , n) , 用
y (x) a0 a1x
且
xj
123
4
yj = ln pj 1.945 2.398 2.833 3.296
于是 , 由
n n
xj
j1
n
n
j1 n
x x
j
2 j
a0 a1
yj
j 1
n
xjyj
j1
j1
解得：a0 = 1.496 , a1 = 0.4488 。于是 A ea0 4.464 , M a1 0.4488
第二节:曲线拟合
一、最小二乘法
已知 f(x)的一组数据 (xj , yj)(j = 1 , 2 , … , n) , 要求
构造一个函数 (x) , 用 (x) 来逼近 f(x)。不要求 (x) 通过所有数据点 (xj , yj) , 数据一般有观测误差,
因此 , 曲线通过所有点，会使曲线保留全部观测误差。
(i , k 0 ,1)
例1、已知数据表
x
1
2
f (x) 0.95 0.82
写出 f(x) 的线性插值函数 , 并求 f(1.5) 的近似值。
解： x0 1, y0 0.95 ; x1 2, y1 0.82
基函数为
l0 (x)
x x1 x0 x1
x2 1 2
2
x
线性插值函数为
l1(x)
, xn1]
各阶差商的计算
差商表
xi f(xi) 一阶差商 二阶差商
三阶差商
x0 f(x0)
f [x0 , x1]
x1 f(x1)
f [x0 , x1 , x2]
f [x1 , x2]
f[x0 , x1 , x2 , x3]
x2 f(x2)
f [x1 , x2 , x3]
f [x2 , x3]
x3 f(x3)
插值与曲线拟合
第一节:插值
插值的目的
已知三角函数表
x 9012’ 9018’ 9024’ sinx 0.1599 0.1616 0.1633
查 9020’ 求函数近似表达式及近似值
一、拉格朗日型插值
1、线性插
值
已知数据表
x x0 x1
f (x) y0 y1
插值函数要满足：
性插值x0函，数x）1称为为插值节点，线L性1(插x0)值=多y0项; L式1(（x1线) = y1
因此
p(x) = 4.464 e0.4488 x
例4、已知
tj 1
2
3
4
56
7
8
9
yj 4.00 6.40 8.00 8.80 9.22 9.50 9.70 9.86 10.00
10 11 12 13 14 15 16
10.20 10.32 10.42 10.50 10.55 10.58 10.60
解 ：数据点描绘
(1) 令 y
t
1
,
at b a b / t
1 ab1
y
t
记 Y 1 , X 1 , 则 Y a bX 。
y
t
tj
1
2
3
4…
Xj 1.00 0.50 0.33 0.25 …
yj 4.00 6.40 8.00 8.80 …
Yj 0.250 0.156 0.125 0.114 …
在该点处取得最小值 , 称
m
(x) akk (x) k 0
a00 (x) a11(x) amm (x)
为拟合函数 或经验公式。
求拟合函数 (x) , 由于点 (a0, a1, , am ) 为
Q Q(a0 , a1, , am )
的最小点 , 则 a0, a1, , am 应满足 :
13.4597 3.6053x 0.2676x2
五、其它形式拟合
例3、用形如 p(x) = AeM x 的函数拟合下列数据
xj 1 2 3 4 pj 7 11 17 27
解：由 p(x) = AeM x 得 lnp = lnA + M x
记 ：y = lnp , a0 = lnA , a1 = M , 则有
时,即
(x) a0 a1x am xm
m
ak xk k 0
多项式拟合
n
n
此时, (k ,i )
k (x j )i (x j )
x k i j
j 1
j 1
因此 , (**) 为
n
n
xj
j1
n
x
m j
j1
n
xj
j 1
n
x
2 j
j 1
n
xm1 j
j 1
n
x
m j
n y j
x x0 x1 x0
x 1 2 1
x 1
L1(x) y0l0(x) y1l1(x) 0.95(2 x) 0.82(x 1) 0.13x 1.08
且 f(1.5) ≈L1(1.5) = 0.885。
2、二次插 值 已知数据表
x x0 x1 x2 f (x) y0 y1 y2
二次插值多项式（插值函数）为
解得：a = 0.0847 , b = 0.1319 。即
y
t
0.0847t 0.1319
(2) 令
b
y ae t
则 ln y ln a b 1
t
记 Y ln y , X 1 , A ln a , B b 则 Y A BX
t
tj
1
2
3
4…
Xj 1.00 0.50 0.33 0.25 …
(x) a00 (x) a11(x) amm (x)
m
akk (x) k 0
来拟合函数 f (x) , 其中 0 (x),1(x), ,m (x) 为已知的
线性无关的函数，求系数 a0, a1, , am , 使
n
Q Q(a0 , a1, , am ) ((x j ) y j )2 j 1 nm ( akk (x j ) y j )2 j 1 k 0
j 1
j 1
j 1
n
y jk (x j ) (k 0,1,2, , m)
(*)
j 1
引入记号:对于h(x) 与 g(x) , 记
(h, g) h(x1)g(x1) h(x2 )g(x2 ) h(xn )g(xn )
n
h(x j )g(x j ) j 1
称为h 与 g 的内积
且
(k , y) k (x1) y1 k (x2 ) y2 k (xn ) yn