人教版九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质导学案(含答案)

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人教版九年级上册数学 22.1 二次函数的图象和性质(含答案)

人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 已知点A(1，y1)，B(2，y2)在抛物线y＝－(x＋1)2＋2上，则下列结论正确的是()A．2>y1>y2B．2>y2>y1C．y1>y2>2 D．y2>y1>22. 抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，与y轴交于点(0，－3)，则此抛物线的解析式为()A．y＝x2＋2x＋3 B．y＝x2－2x－3C．y＝x2－2x＋3 D．y＝x2＋2x－33. 某人画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象时，列出下表(计算没有错误)：根据此表判断：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根x1满足下列关系式中的() A．3.2<x1<3.3 B．3.3<x1<3.4 C．3.4<x1<3.5 D．3.1<x1<3.24. 2019·丹东如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(－2，0)，对称轴为直线x＝1.有以下结论：①abc＞0；②8a＋c＞0；③若A(x1，m)，B(x2，m)是抛物线上的两点，当x＝x1＋x2时，y＝c；④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x 轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；⑤若方程a(x＋2)(4－x)＝－2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则－2≤x1＜x2＜4.其中结论正确的有()A．2个B．3个C．4个D．5个5. 矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，点A的坐标为(2，1)，一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A重合，此时抛物线的函数解析式为y＝x2，再次平移这张透明纸，使这个点与点C重合，则此时抛物线的函数解析式变为()A．y＝x2＋8x＋14 B．y＝x2－8x＋14C．y＝x2＋4x＋3 D．y＝x2－4x＋36. 2019·资阳如图是函数y＝x2－2x－3(0≤x≤4)的图象，直线l∥x轴且过点(0，m)，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是()A．m≥1 B．m≤0C．0≤m≤1 D．m≥1或m≤07. 二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是()8. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1.有下列结论：①abc＜0；②3a＋c＞0；③(a＋c)2－b2＜0；④a＋b≤m(am＋b)(m为实数)．其中正确结论的个数为()A．1 B．2 C．3 D．49. (2019•岳阳)对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点.如果二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，且x1<1<x2，则c的取值范围是A．c<-3 B．c<-2C．c<14D．c<110. 如图，边长为2的等边△ABC和边长为1的等边△A′B′C′，它们的边B′C′，BC位于同一条直线l上，开始时，点C′与B重合，△ABC固定不动，然后把△A′B′C′自左向右沿直线l平移，移出△ABC外(点B′与C重合)停止，设△A′B′C′平移的距离为x，两个三角形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象是()二、填空题（本大题共8道小题）11. 若物体运动的路程s (m)与时间t (s)之间的关系式为s ＝5t 2＋2t ，则当物体运动时间为4 s 时，该物体所经过的路程为________．12. 【2018·淮安】将二次函数y ＝x 2－1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式是__________．13. (2019•武汉)抛物线2y ax bx c =++经过点(3,0)A -、(4,0)B 两点，则关于x 的一元二次方程2(1)a x c b bx -+=-的解是__________．14. 已知函数y ＝ax 2＋c 的图象与函数y ＝－3x 2－2的图象关于x 轴对称，则a ＝________，c ＝________．15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a (x －2)2交于点B ，抛物线y ＝a (x －2)2交y 轴于点E ，过点B 作x 轴的平行线与两条抛物线分别交于D ，C 两点．若A 是x 轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD ，AC ，EC ，ED ，则四边形ACED 的面积为________．(用含a 的代数式表示)16. (2019•天水)二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，若42Ma b =+，N a b =-．则M 、N 的大小关系为M __________N ．(填“>”、“=”或“<”)17. 如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 是常数，a≠0)与x 轴交于A ，B 两点，顶点为P(m ，n)．给出下列结论：①2a ＋c ＜0；②若(－32，y 1)，(－12，y 2)，(12，y 3)在抛物线上，则y 1＞y 2＞y 3；③若关于x 的方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，则k ＞c －n ；④当n ＝－1a 时，△ABP 为等腰直角三角形．其中正确的结论是________．(填序号)18. 如图，平行于x 轴的直线AC 与函数y 1＝x 2(x ≥0)，y 2＝13x 2(x ≥0)的图象分别交于B ，C 两点，过点C 作y 轴的平行线交y 1的图象于点D ，直线DE ∥AC 交y 2的图象于点E ，则DEAB ＝________．三、解答题（本大题共4道小题）19. 已知抛物线的顶点坐标是(2，3)，并且经过点(0，－1)，求它的解析式．20. 如图，抛物线y＝ax2＋2ax＋1与x轴仅有一个公共点A，经过点A的直线交该抛物线于点B，交y轴于点C，且点C是线段AB的中点．(1)求这条抛物线对应的函数解析式；(2)求直线AB对应的函数解析式．21. 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若关于x的方程|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，求k的取值范围．22. 如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为(－1，0)．(1)求此抛物线的解析式；(2)直接写出B、C两点的坐标；(3)求过O，B，C三点的圆的面积．(结果用含π的代数式表示)注：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－b2a，4ac－b24a)人教版九年级数学22.1 二次函数的图象和性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A[解析] 根据题意，可得抛物线开口向下，对称轴为直线x＝－1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故选A.2. 【答案】B[解析] 由抛物线与x轴交于点(－1，0)和(3，0)，设此抛物线的解析式为y ＝a(x＋1)(x－3)．又因为抛物线与y轴交于点(0，－3)，把x＝0，y＝－3代入y＝a(x＋1)(x－3)，得－3＝a(0＋1)(0－3)，即－3a＝－3，解得a＝1，故此抛物线的解析式为y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3.故选B.3. 【答案】B[解析] 从表格中的数据看，当3.2≤x≤3.5时，y随x的增大而增大，且x＝3.3时，y＝－0.17<0，x＝3.4时，y＝0.08>0，故y＝0一定在3.3<x<3.4这个范围内取得，∴方程的根也在此范围内．故选B.4. 【答案】A5. 【答案】A[解析] 因为矩形ABCD的两条对称轴为坐标轴，所以矩形ABCD关于坐标原点成中心对称．因为A，C是矩形对角线上的两个点，所以点A，C关于原点对称，所以点C的坐标为(－2，－1)，所以抛物线向左平移了4个单位长度，向下平移了2个单位长度，所以平移后抛物线的函数解析式为y＝(x＋4)2－2＝x2＋8x＋14.故选A.6. 【答案】C7. 【答案】D[解析] 由一次函数y＝ax＋a可知，其图象与x轴交于点(－1，0)，排除A，B；当a＞0时，二次函数y＝ax2的图象开口向上，一次函数y＝ax＋a的图象经过第一、二、三象限；当a＜0时，二次函数y＝ax2的图象开口向下，一次函数y＝ax＋a的图象经过第二、三、四象限．排除C.8. 【答案】C[解析] ①∵抛物线开口向上，∴a＞0. ∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴b＜0.∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c<0，∴abc>0，所以①错误．②当x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0.∵－b2a＝1，∴b＝－2a.把b＝－2a代入a－b＋c＞0中，得3a＋c＞0，所以②正确．③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0.当x＝－1时，y>0，∴a－b＋c>0，∴(a＋b＋c)(a－b＋c)<0，即(a＋c)2－b2＜0，所以③正确．④∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴x＝1时，函数的最小值为a＋b＋c，∴a＋b＋c≤am2＋bm＋c(m为实数)，即a＋b≤m(am＋b)，所以④正确．故选C.9. 【答案】B【解析】由题意知二次函数y=x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2，所以x1、x2是方程x2+2x+c=x的两个不相等的实数根，整理，得：x2+x+c=0，所以∆=1–4c>0，又x2+x+c=0的两个不相等实数根为x1、x2，x1<1<x2，所以函数y=x2+x+c=0在x=1时，函数值小于0，即1+1+c<0，综上则140 110cc->⎧⎨++<⎩，解得c<-2，故选B．10. 【答案】B【解析】由题意知：在△A′B′C′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x≤1时，边长为x，此时y＝12x×32x＝34x2；当1＜x≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y＝12×1×32＝34；当2＜x≤3时，边长为3－x，此时y＝12(3－x)×32(3－x)．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题（本大题共8道小题）11. 【答案】88 m[解析] 把t＝4代入函数解析式，得s＝5×16＋2×4＝88.故填88 m.12. 【答案】y＝x2＋2[解析] 二次函数y＝x2－1的图象向上平移3个单位长度，平移后的纵坐标增加3，即y＝x2－1＋3＝x2＋2.13. 【答案】12x =-，25x =【解析】依题意，得：9301640a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩，解得：12b a c a=-⎧⎨=-⎩，所以，关于x 的一元二次方程a(x-1)2+c=b-bx 为：2(1)12a x a a ax --=-+，即：2(1)121x x --=-+，化为：23100x x --=，解得：12x =-，25x =，故答案为：12x =-，25x =．14. 【答案】3 215. 【答案】8a [解析] ∵抛物线y ＝ax 2(a ＞0)与y ＝a(x －2)2交于点B ， ∴BD ＝BC ＝2，∴DC ＝4.∵y ＝a(x －2)2＝ax 2－4ax ＋4a ，∴E(0，4a)，∴S 四边形ACED ＝S △ACD ＋S △CDE ＝12DC·OE ＝12×4×4a ＝8a.16. 【答案】<【解析】当1x =-时，0y a b c =-+>，当2x =时，420y a b c =++<，()42M N a b a b -=+--()420a b c a b c =++--+<，即M N <，故答案为：<．17. 【答案】②④ [解析] (1)当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.由x ＝－b 2a ＜12和a ＞0可得－b ＜a.∴0＜a －b ＋c ＜a ＋a ＋c ＝2a ＋c ，即2a ＋c ＞0，①错误；(2)结合图象易知②正确；(3)方程ax 2＋bx ＋k ＝0有实数解，即ax 2＋bx ＋c ＝c －k 有实数解．∵y ＝ax 2＋bx ＋c≥n ，∴c －k≥n ，即k≤c －n ，③错误；(4)设抛物线的解析式为y ＝－1n (x －m)2＋n(n ＜0)．令y ＝0，得－1n(x －m)2＋n ＝0. ∴n 2－(x －m)2＝0，∴(n －x ＋m)(n ＋x －m)＝0.∴x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n.AB ＝|x 1－x 2|＝－2n.设对称轴交x 轴于点H ，则AH ＝BH ＝PH ＝－n ，∴△ABP 为等腰直角三角形，④正确．18. 【答案】3－3 [解析] 设点A 的坐标为(0，b)，则B(b ，b)，C(3b ，b)，D(3b ，3b)，E(3 b ，3b)．所以AB ＝b ，DE ＝3 b －3b ＝(3－3) b.所以DE AB ＝（3－3）b b＝3－ 3. 三、解答题（本大题共4道小题）19. 【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式为y ＝a(x －2)2＋3.∵抛物线经过点(0，－1)，∴－1＝a(0－2)2＋3，解得a ＝－1，∴y ＝－(x －2)2＋3.20. 【答案】解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋2ax ＋1与x 轴仅有一个交点，∴b 2－4ac ＝(2a)2－4a ＝0，解得a ＝1，a ＝0(舍去)，∴抛物线的解析式：y ＝x 2＋2x ＋1.(3分)(2)设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵抛物线解析式y ＝x 2＋2x ＋1＝(x ＋1)2，∴A(－1，0)，(4分)过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，如解图，∵OC ⊥x 轴，∴OC ∥BD ，∵C 是AB 中点，∴O 是AD 中点，∴AO ＝OD ＝1，(6分)∴点B 的横坐标为1，把x ＝1代入抛物线中，得y ＝(x ＋1)2＝(1＋1)2＝4，∴B 的坐标为(1，4)．(7分)把点A(－1，0) ，B(1，4)代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧0＝－k ＋b 4＝k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝2b ＝2， ∴直线AB 的解析式为： y ＝2x ＋2.(8分)21. 【答案】[解析] 先根据题意画出y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象，即可得出|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根时k 的取值范围．解：根据题意，得y ＝|ax 2＋bx ＋c|的图象如图所示．由图象易知，若|ax 2＋bx ＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k ＞3. 22. 【答案】解：(1)由抛物线经过点A(－1，0)，且对称轴为直线x ＝2，得⎩⎪⎨⎪⎧－b 2＝21－b ＋c ＝0，(2分) 解得⎩⎨⎧b ＝－4c ＝－5，(3分)解图∴抛物线的解析式为y ＝x 2－4x －5.(4分)(利用抛物线对称性先求出点B 的坐标，再求出解析式也可)(2)B(5，0)，C(0，－5)．(6分)(3)如解图，连接BC ，易知△OBC 是直角三角形，∴过O ，B ，C 三点的圆的直径是线段BC 的长度，(8分) 由勾股定理得BC ＝52＋52＝52，∴所以所求圆的面积是π×(522)2＝252π.(10分)。

人教版九年级数学上册第22章22.1.1二次函数《二次函数》导学案

第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数1.知道二次函数的概念,明确二次函数的特征.2.能够表示简单的变量间的二次函数关系.3.重点:二次函数的概念.知识点二次函数的概念阅读教材本课时内容,回答下列问题.1.正方体有6个面,若其棱长为x,则一个面的面积为x2,正方体的表面积y=)x的函数,理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.6x2,y 是(填“是”或“不是”2.在“问题1”中,用参赛队数n表示比赛场次数m的关系式是m=n2-n,m 是(填)n的函数,理由:对于n的每一个值,m都有一个对应值.“是”或“不是”)x的函数,3.在“问题2”中,y与x的关系式是y=20x2+40x+20,y 是(填“是”或“不是”理由:对于x的每一个值,y都有一个对应值.4.以上三个函数关系式的共同点:等式右边是关于自变量的整式,自变量的最高次数为2,二次项系数不为0.【归纳总结】一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a ≠0)的函数,叫做二次函数.其中x是自变量,a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.【讨论】二次函数y=ax2+bx+c中为什么规定a≠0?b,c可以是0吗?当a=0时,没有二次项了,不是二次函数,b,c可以是0.【预习自测】下列函数中,哪些是二次函数?①y=5x+1;②y=4x2-1;③y=2x3-3x2;④y=-;⑤y=-(x-1)2;⑥y=2x2-x+;⑦y=x(1-x);⑧y=2x2+x(1-2x).②④⑤⑦．互动探究1:在学完二次函数的定义后,老师要求同学们各举一个二次函数的例子.小刚:y=2x2-1是一个二次函数;小红:y=(x+2)2-x2是一个二次函数;小华:y=ax2+bx+c(其中a、b、c为常数)是一个二次函数;小佳:y=+x-1是一个二次函数;小敏:y=ax2-2bx+5是一个二次函数.。

新人教版初中数学九年级上册《22.1二次函数的图象和性质》公开课导学案_2

《二次函数的定义》----人教版九年级上册第22章第1节一、教材分析二次函数在初中函数的教学中有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一，更为高中学习一元二次不等式和圆锥曲线奠定基础，二次函数和以前学过的一元二次方程及后继学习的一元二次不等式都有着密切的联系。

进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。

本节课内容“二次函数的定义”是在学生学习了一次函数的基础上进行的，是学习二次函数的基础，是为后来学习二次函数的图象，研究其性质做铺垫。

所以这节内容在整个教材中的重要作用也就显然易见了。

二、教学目标根据本课内容的特点及课标要求，结合学生已有的“数学现实”和认知特点，我将本课教学目标定位为：知识技能：1．使学生理解二次函数的概念；2、会判断一个给定函数是否为二次函数；3. 会根据实际问题列出二次函数关系式，体会函数模型思想．过程与方法：复习旧知，引入新问题，让学生经历二次函数概念的形成过程，从中提高学生解决问题的能力情感态度：通过观察、探究、归纳等数学活动加深对二次函数概念的理解，增强学好数学的愿望与信心，体会并实践从特殊到一般的思维方法．三、教学重点、难点教学重点：二次函数概念的理解（包括它的形成、表述、辨析、应用过程）教学难点：由实际问题确定函数解析式及确定简单自变量的取值范围。

四、教学方法本节课我采用由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略和启发式探索发现法,五、教学过程教学环节（一）教师活动1、引导学生欣赏有关学生活动欣赏图片设计意图1、从生活中漂亮的图图片欣赏引入课题（二）创设情境探究关系（三）归纳抽象形成概念（四）运用新知深刻理解抛物线的图片，引入二次函数的学习。

2、知识回顾接下来请同学们思考几个问题：问题1：（课件）问题2：（现在握手）问题3：（课件）1、观察上面3个问题反映的函数关系式有何共同特点。

2、二次函数的定义3、对定义的两点理解（突破重难点）1．判断题2.选择题3．填空题4．解答题5．开放题（题目看附1）主要复习已学函数的定义形式：问题1学生独立思考并直接回答。

九年级数学上册第二十二章二次函数的图象和性质二次函数导学案新版新人教版

九年级数学上册导学案新版新人教版：第二十二章二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数一、新课导入1.导入课题：问题：如图，从喷头喷出的水珠，在空中走过一条曲线后落到草地上，在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h 与它距离喷头的水平距离x 之间有什么关系？上面问题中变量之间的关系可以用哪一种函数来表示？这种函数与以前学习的函数、方程有哪些联系？今天我们就来学习“二次函数”.（板书课题）2.学习目标：（1）会列二次函数表示实际问题中两个变量的数量关系.（2）能判断所给函数是否是二次函数，能说出二次函数的项和各项系数.3.学习重、难点：重点：二次函数的概念和列二次函数表示实际问题中的数量关系.难点：列二次函数表示实际问题中的数量关系.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：教材第28页到第29页“思考”上面部分的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先寻找问题中的等量关系，再根据等量关系写出两个变量的关系式.（4）自学参考提纲：①正方体的表面积y 与棱长x 的关系式为y=6x 2，y 是x 的函数吗？是②问题1中，有 n 个球队参加比赛，每个队要与其他n-1个球队各比赛一场，而甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数为（）n n 112.这样比赛的场次数m 与参加比赛的球队数n 的关系式为（）m n n =-112，m 是n 的函数吗？是 ③问题2中,产品原产量是20t ，一年后的产量是原产量的（1+x ）倍；再经过一年后的产量是一年后的产量的（1+x ）倍.于是两年后的产量y 与增加的倍数x 的关系式为（）y x =+2201，y 是x 的函数吗？是2.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否会找等量关系列函数关系式.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：小组相互研讨.4.强化：（1）利用师生对话的形式强化两个问题中的等量关系、函数关系式的求法以及它是函数的理由.（2）总结：列实际问题中两个变量的函数关系式，关键是寻找问题中的等量关系.（3）练习：①已知圆的面积y(cm 2)与圆的半径x (cm)，写出y 与x 之间的函数关系式；解：y=πx 2②王先生存入银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的存款年利率为x ，两年后王先生共得本息和y 万元,写出y 与x 之间的函数关系式；解：（）y x =+221 ③一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S 与半径r 之间的关系式.解：S=4πr 21.自学指导：（1）自学内容：教材第29页“思考”以后到“练习”之前的内容.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：观察上面各函数的右边的代数式的特点，用一般形式表示出来.（4）探究提纲：①请写出二次函数的一般形式.y=a x 2+b x +c （a ，b ，c 是常数，a≠0）②请写出上面“练习”中的3个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项. a.y=πx 2二次项系数：π一次项系数：0常数项：0 b. （）y x x x =+=++2221242二次项系数：2一次项系数：4常数项：2 c.S=4πr2二次项系数：4π一次项系数：0常数项：02.自学：学生可参考自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：明了学生自学提纲的解答情况.②差异指导：根据学情进行个别或分类指导.（2）生助生：生生互动，交流研讨、改正.4.强化:（1）交流及总结：①二次函数的定义，重点强化自变量，各项及各项系数.②强调a≠0.（2）练习：()a y a x +=-11是二次函数，求常数a 的值. 解：依题意，得，，a a +=-⎪⎩≠⎧⎨⎪1210 解得a=-1 三、评价 1.学生的自我评价（围绕三维目标）：这节课你学到了哪些知识？掌握了哪些解题技能？2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：点评学生学习的态度、积极性，回答问题与小组合作情况，存在问题等.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）:本课时的内容涉及到初中第二个函数内容，由于前面有了学习一次函数的经验，因此教师教学时可在学生以往经验的基础上，创设丰富的现实情境，使学生初步感知二次函数的意义，进而能从实际问题中抽象出数学模型，并列出二次函数的解析式.教学时应注重引导学生探究新知，在观察、分析后归纳、概括，注重学生的经历过程和探究体验，让学生领悟到现实生活中的数学问题，提高研究与应用能力.（时间：12分钟满分：100分）一、基础巩固（70分）1.（10分）下列函数是二次函数的是（C ）A.y=2x +1B.y=-2x +1C.y=x 2+2D.y=12x -2 2.（10分）二次函数y=3x 2-2x -4的二次项系数与常数项的和是（B ）A.1B.-1C.7D.-6 3.（10分）已知函数y=(a-1)x 2+3x -1,若y 是x 的二次函数，则a 的取值范围是a≠1.4.（10分）某种商品的价格是2元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都是x ，则经过两次降价后的价格y （单位：元）与每次降价的百分率x 的函数关系式是（）y x =-221.5.（15分）正方形的边长为10cm ，在中间挖去一个边长为x cm 的正方形，若剩余部分的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式是y=100-x 2，x 的取值范围为0＜x ＜10.6.（15分）一辆汽车的行驶距离s （单位：m ）与行驶时间t （单位：s ）的函数关系式为s t t =+2192，则经过12s 汽车行驶了180m ，行驶380m 需20s. 二、综合应用（20分）7.(20分)如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12，BC=24，动点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C 移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，写出△PBQ 的面积S 与出发时间t （s ）的函数关系式及t 的取值范围解：依题意，得AP=2t,BQ=4t.∵AB=12,∴PB=12-2t,∴（）＝S PB BQ t t t t ==--+211122442422.t 的取值范围为0≤t≤6.三、拓展延伸（10分）8.(10分)m 为何值时，函数()m m y m x mx -+=-+2564是关于x 的二次函数.解：由题意可得m m ,m ,-+=-≠⎧⎨⎩256240解得m=1.∴当m=1时，函数()m m y m x mx -+=-+2564是关于x 的二次函数.。

人教版数学九年级上册学案22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》(含答案)

22.1.2 二次函数y=ax 2的图象和性质出示目标 1.能够用描点法作出函数y=ax 2的图象，并能根据图象认识和理解其性质. 2.初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感.预习导学阅读教材，自学“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法画出函数y=ax 2的图象，理解其性质.自学反馈学生独立完成后集体订正①画函数图象的一般步骤:列表-描点-连线.②在同一坐标系中画出函数y=x 2、y=x 2和y=2x 2的图象. 点拨：根据y ≥0，可得出y 有最小值，此时x=0，所以以(0，0)为对称点，再对称取点.③观察上述图象的特征:形状是抛物线，开口向上，图象关于y 轴对称，其顶点坐标是(0,0)，其顶点是最低点(最高点或最低点).④找出上述三条抛物线的异同:开口向上，关于y 轴对称，顶点坐标为(0,0).⑤在同一坐标系中画出函数y=-x 2、y=-12x 2和y=-2x 2，并找出它们图象的异同. 归纳：一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大.活动1小组讨论例1 填空:①函数y=(-2x)2图象是___，顶点坐标是____，对称轴是___，开口方向是___.②函数y=x 2、y=12x 2和y=-2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线.解:①抛物线，(0，0)，y 轴，向上；②根据抛物线y=ax 2中，a 的值的作用来判断，上面最外面的抛物线为y=12x 2，中间为y=x 2，在x 轴下方的为y=-2x 2.点拨：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误.抛物线y=ax 2中，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下，a 越大，开口越小.例2 已知函数y=(m+2)x 24m m +-是关于x 的二次函数.①求满足条件的m 的值；②m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？③m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解:①由题意得242,20.m mm⎧+-=⎨+≠⎩解得23,2.m mm==-⎧⎨≠-⎩或∴当m=2或m=-3时，原函数为二次函数.②若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m+2>0，即m>-2. ∴只能取m=2.∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y随x的增大而增大.③若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m+2<0，即m<-2.∴只能取m=-3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴当m=-3时，函数有最大值为0.∴当x>0时，y随x的增大而减小.活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1.函数y=ax2与y=-ax2(a≠0)的图象之间有何关系？解：关于x轴对称2.已知函数y=ax2经过点(1，2).①求a的值；②当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况.解：①a=2 ②当x<0时，y的值随x值的增大而减小3.当m=-2时,抛物线y=(m-1)x2m m+开口向下，对称轴为y轴，当x<0时，y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小.点拨：二次项系数a是决定开口方向和开口大小的，同时根据开口方向也可以判断a的正负.4.二次函数y=-2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是y1<y2.5.二次函数y=ax2与一次函数y=-ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )课堂小结学生试述:这节课你学到了些什么？课堂小练一、选择题1.抛物线y=2x 2﹣3的顶点在（）A.第一象限B.第二象限C.x 轴上D.y 轴上2.下列关于二次函数y=-0.5x 2图象的说法：①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y 轴；④顶点(0，0).其中正确的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而减小的是（）A.x y =B.x y 1=C.xy 1-= D.2x y =4.关于函数y=-3x 2的性质表述正确的是（）A.无论x 为任何实数，y 值总为负数；B.当x 值增大时，y 值减小；C.它的图象关于y 轴对称；D.它的图象在第二、四象限5.已知（-1，y 1），（2，y 2），（-3，y 3）在函数y=x 2的图象上，则（）A.y 1<y 2<y 3B.y 1<y 3<y 2C.y 3<y 2<y 1D.y 2<y 1<y 36.已知（-3，y 1），（1，y 2），（2，y3）在函数y=-x 2的图象上，则（） A.A.y 1<y 2<y 3 B.y 1<y 3<y 2 C.y 2<y 1<y 3 D.y 3<y 2<y 17.已知二次函数y=ax 2（a>0）图象经过（-2,4），则其图象一定经过（）A.（2,4）B.（1，-2）C.（-1，-2）D.（2,8）二、填空题8.下列四个二次函数：①y=-x 2；②y=-2x 2；③y=0.5x 2；④y=4x 2.其中抛物线的开口大小由大到小的顺序为： .9.二次函数y=ax 2(a<0)的图象在对称轴左侧上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1<y 2时，则x 1-x 2 0.（填“>”，“<”或“=”）.10.已知点A （2，-4）在y=ax 2的图象上，则a= ，开口方向，当x>0时，y 值随x 值增大而 .11.已知函数y=-x 2的图象开口方向，顶点坐标为，对称轴为 .12.已知函数y=2x2的图象开口方向，顶点坐标为，若A(-2，a)在该图象上，则a= .13.已知点A(2，y1)、B(5，y2)在抛物线y=﹣x2+1上，那么y1 y2．(填“＞”、“=”或“＜”)14.如果抛物线y=(a﹣3)x2﹣2有最低点，那么a的取值范围是．15.抛物线y=－3x2的对称轴是，顶点是，开口，顶点是最点，与x轴的交点为 .三、解答题16.已知二次函数y=ax2与y=3x+1的图象交于A（1，m），B点.（1）求a，m的值；（2）求B点坐标；（3）求△OAB的面积.参考答案17.D．18.D19.B20.答案为：C；21.答案为：A；22.答案为：B；23.答案为：A；24.答案为：③①②④；25.答案为：<；26.答案为：a=-1，下，减小；27.答案为：下，（0,0），y轴；28.答案为：上，（0,0），8；29.答案为：＞.30.答案为：a＞3．31.答案为：y、(0，0)、向下、低、(0，0) .32.解：（1）a=4，m=4；（2）B（-0.25,0.25）；（3）面积为：0.625；。

人教版九年级数学专题《二次函数图像和性质》(含答案及解析)

专题22.1 二次函数的图像和性质知识点解读 1.定义一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数。

其中x 是自变量，a 、b 、c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数、常数项。

2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。

①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同。

②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x 。

3.几种特殊的二次函数的图像特征如下4.求抛物线的顶点、对称轴的方法①公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=。

②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =。

③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。

若已知抛物线上两点12(,)(,)、x y x y （及y 值相同），则对称轴方程可以表示为：122x x x +=5.抛物线c bx ax y ++=2中， a 、b 、c 的作用①a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样。

②b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>a b （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧。

③c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置。

当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴； ③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则 0<ab6.用待定系数法求二次函数的解析式一般情况下设二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c ，结合题中条件解出a 、b 、c 就可以求出二次函数的解析式。

人教版-数学-九上-数学九上人教新课标22-1二次函数的图象和性质1 导学案

《第二十二章二次函数二次函数的图象和性质1》导学案导学案序号： 22,2课型：新授课总课时： 13 分课时：第2课时学习目标1．知道二次函数的图象是一条抛物线；2．会画二次函数y＝ax2的图象；3．掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．学习重点掌握二次函数y＝ax2的性质.学习难点掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．学习方法让学生在动手画图象的过程中归纳总结学习准备预习本课备课组补充教学流程一、探索新知：画二次函数y＝x2的图象．【提示：画图象的一般步骤：①列表；②描点；③连线（用平滑曲线）．】解：列表：x …－3 －2 －1 0 1 2 3 …y＝x2……描点，并连线★由图象可得二次函数y＝x2的性质：1．二次函数y＝x2是一条曲线，把这条曲线叫做___________．2．二次函数y＝x2中，二次项系数a＝_______，抛物线y＝x2的图象开口__________．3．自变量x的取值范围是____________．4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物线y＝x2与它的对称轴的交点（，）叫做抛物线y＝x2的_________．因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________．6．抛物线y＝x2有____________点（填“最高”或“最低”）．三、例题分析例1 在同一直角坐标系中，画出函数y＝12x2，y＝2x2的图象．解：列表并填：x …－4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …y＝12x2……x … －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y ＝2x 2……y ＝x 2的图象刚画过，再把它画出来．归纳：抛物线y ＝12 x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的二次项系数a_______0；顶点都是__________；对称轴是_________；顶点是抛物线的最______点（填“高”或“低”）．例2 在同一直角坐标系中画出y ＝－x 2，y ＝－12 x 2， y ＝－2x 2的图象．解：列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝-x 2…… x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 … y=－12x 2……x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝－2x 2 ……归纳：抛物线y ＝－x 2，y ＝－12x 2，y ＝－2x 2的二次项系数a______0，顶点都是________，对称轴是_________，顶点是抛物线的最_______点（填“高”或“低”）．三、理一理抛物线y ＝ax 2（a ≠0）的性质1．抛物线y ＝ax 2关于对称，顶点是 .2.(1)当a ＞0时，抛物线的开口_______，顶点是抛物线的最点，当x= 时，y 有最小值，在y 轴的左侧，y 随x 的增大而，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而；(2)当a ＜0时，抛物线的开口，顶点是抛物线的最点，当x= 时，y 有最大值，在y 轴的左侧，y 随x 的增大而，在y 轴的右侧，y 随x 的增大而 .3.｜a ｜越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜越小，抛物线的开口越________．｜a ｜相等，抛物线形状相同. 四、例题分析：例1．已知抛物线y=（m ＋1）x mm +2开口向下，求m 的值．例2．已知42(2)kk y k x +-=+是二次函数，且当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）求顶点坐标和对称轴．例3．已知抛物线102-+=k k kxy 中，当0>x 时，y 随x 的增大而增大．（1）求k 的值；（2）作出函数的图象（草图）．例4．一个函数的图象是以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线，且过M （-2，2）．（1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；（2）写出抛物线上与点M 关于y 轴对称的点N 的坐标，并求出MON ∆的面积．五、课堂训练 1．填表：开口方向顶点坐标对称轴有最高或最低点最值y ＝23x 2当x ＝____时，y 有最_______值，是______．y ＝－8x 2当x ＝____时，y 有最_______值，是______2．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________．4．函数y ＝— 3x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________．5．已知a<－1，点（a －1，y 1），（a ，y 2），（a+1，y 3）都在函数y=x 2的图象上，则（） A ．y 1<y 2<y 3 B ．y 1<y 3<y 2 C ．y 3<y 2<y 1 D ．y 2<y 1<y 3 6．k 为何值时，y=（k ＋2）x 622--k k 是关于x 的二次函数？x 为何值时y 随着x 的增大而减小？7．下列关于抛物线y=x2和y=－x2的关系的说法错误的是（）A．它们有共同的顶点和对称轴; B．它们都关于y轴对称;C．它们的形状相同，开口方向相反; D．点A（－2，4）在抛物线y=x2上也在抛物线y=－x2上m 的图象有最高点，则m=______．8．二次函数y=mx229.二次函数y=－2x2，当x1>x2>0时，则y1与y2的大小关系是_________．10.已知直线y=－2x＋3与抛物线y=ax2相交于A、B两点，且A点坐标为（－3，m）．（1）求a、m的值；（2）求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；（3）x取何值时，二次函数y=ax2中的y随x的增大而减小；（4）求A、B两点及二次函数y=ax2的顶点构成的三角形的面积．六、课堂小结：二次函数的图象的画法二次函数的性质及运用七、布置作业、1.练习册19页第2、3、6、8题2.课本32页练习3.预习二次函数第三节课后反思。

(新人教版) 数学九年级上册 22.1 二次函数的图象和性质 (导学案)

22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．难点：理解二次函数的有关概念．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．A．y＝(x－3)2－1B．y＝1－2x2C．y＝13(x＋2)(x－2)D．y＝(x－1)2－x22．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)探究1若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．探究2某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50<x<100)．(2)由题意得：－10x2＋1400x－40000＝8000，化简得x2－140x＋4800＝0，∴x1＝60，x2＝80.∵要吸引更多的顾客，∴售价应定为60元．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如果函数y＝(k＋1)xk2＋1是y关于x的二次函数，则k的值为多少？2．设y＝y1－y2，若y1与x2成正比例，y2与1x成反比例，则y与x的函数关系是(A)A．二次函数B．一次函数C．正比例函数D．反比例函数3．已知，函数y＝(m－4)xm2－m＋2x2－3x－1是关于x的函数．(1)m为何值时，它是y关于x的一次函数？(2)m为何值时，它是y关于x的二次函数？点拨精讲：第3题的第(2)问，要分情况讨论．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝4 cm，P是BC上的一动点，动点Q仅在PC或其延长线上，且BP＝PQ，以PQ为一边作正方形PQRS，点P从B点开始沿射线BC方向运动，设BP＝x cm，正方形PQRS与矩形ABCD重叠部分面积为y cm2，试分别写出0≤x≤2和2≤x≤4时，y与x之间的函数关系式．点拨精讲：1.二次函数不要忽视二次项系数a≠0.2．有时候要根据自变量的取值范围写函数关系式．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)22．1.2二次函数y＝ax2的图象和性质1．能够用描点法作出函数的图象，并能根据图象认识和理解其性质．2．初步建立二次函数表达式与图象之间的联系，体会数形的结合与转化，体会数学内在的美感．重点：描点法作出函数的图象．难点：根据图象认识和理解其性质．一、自学指导．(7分钟)自学：自学课本P30～31“例1”“思考”“探究”，掌握用描点法作出函数的图象，理解其性质，完成填空．(1)画函数图象的一般步骤：取值－描点－连线；(2)在同一坐标系中画出函数y＝x2，y＝12x2和y＝2x2的图象；点拨精讲：根据y≥0，可得出y有最小值，此时x＝0，所以以(0，0)为对称点，对称取点．(3)观察上述图象的特征：形状是抛物线，开口向上，图象关于y轴对称，其顶点坐标是(0，0)，其顶点是最低点(最高点或最低点)；(4)找出上述三条抛物线的异同：__________．(5)在同一坐标系中画出函数y ＝－x 2，y ＝－12x 2和y ＝－2x 2的图象，找出图象的异同．点拨精讲：可从顶点、对称轴、开口方向、开口大小去比较寻找规律．总结归纳：一般地，抛物线的对称轴是y 轴，顶点是(0，0)，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点．a 越大，抛物线的开口越小；当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，a 越大，抛物线的开口越大．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．教材P 41习题22.1第3，4题．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 填空：(1)函数y ＝(－2x)2的图象形状是______，顶点坐标是______，对称轴是______，开口方向是______．(2)函数y ＝x 2，y ＝12x 2和y ＝－2x 2的图象如图所示，请指出三条抛物线的解析式．解：(1)抛物线，(0，0)，y 轴，向上；(2)根据抛物线y ＝ax 2中，a 的值来判断，在x 轴上方开口小的抛物线为y ＝x 2，开口大的为y ＝12x 2，在x 轴下方的为y ＝－2x 2. 点拨精讲：解析式需化为一般式，再根据图象特征解答，避免发生错误．抛物线y ＝ax 2中，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下；|a|越大，开口越小．探究2 已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4是关于x 的二次函数．(1)求满足条件的m 的值；(2)m 为何值时，抛物线有最低点？求这个最低点；当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)m 为何值时，函数有最大值？最大值为多少？当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －4＝2，m ＋2≠0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2或m ＝－3，m ≠－2.∴当m ＝2或m ＝－3时，原函数为二次函数． (2)若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，∴m ＋2>0，即m>－2，∴只能取m ＝2. ∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y 随x 的增大而增大．(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m ＋2<0，即m<－2，∴只能取m ＝－3.∵函数的最大值为抛物线顶点的纵坐标，其顶点坐标为(0，0)，∴m ＝－3时，函数有最大值为0.∴x>0时，y随x的增大而减小．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．二次函数y＝ax2与y＝－ax2的图象之间有何关系？2．已知函数y＝ax2经过点(－1，3)．(1)求a的值；(2)当x<0时，y的值随x值的增大而变化的情况．3．二次函数y＝－2x2，当x1>x2>0，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是(B)点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．重点：会作函数的图象．难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向__下__．当a>0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a<0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小．抛物线有最__高__点，函数y有最__大__值．抛物线y＝ax2＋k可由抛物线y＝ax2沿__y__轴方向平移__|k|__单位得到，当k>0时，向__上__平移；当k<0时，向__下__平移．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．在抛物线y＝x2－2上的一个点是(C)A．(4，4)B．(1，－4)C ．(2，2)D ．(0，4)2．抛物线y ＝x 2－16与x 轴交于B ，C 两点，顶点为A ，则△ABC 的面积为__64__．点拨精讲：与x 轴的交点的横坐标即当y 等于0时x 的值，即可求出两个交点的坐标．3．画出二次函数y ＝x 2－1，y ＝x 2，y ＝x 2＋1的图象，观察图象有哪些异同？点拨精讲：可从开口方向、对称轴、形状大小、顶点、位置去找．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)探究1 抛物线y ＝ax 2与y ＝ax 2±c 有什么关系？解：(1)抛物线y ＝ax 2±c 的形状与y ＝ax 2的形状完全相同，只是位置不同；(2)抛物线y ＝ax 2向上平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2＋c ；抛物线y ＝ax 2向下平移c 个单位得到抛物线y ＝ax 2－c.探究2 已知抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位后，所得抛物线为y ＝－2x 2＋4，试求a ，c 的值．解：根据题意，得⎩⎨⎧a ＝－2，c －2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，c ＝6. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(13分钟)1．函数y ＝ax 2－a 与y ＝ax －a(a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( D )2．二次函数的图象如图所示，则它的解析式为( B )A ．y ＝x 2－4B ．y ＝－34x 2＋3 C ．y ＝32(2－x)2 D ．y ＝32(x 2－2) 3．二次函数y ＝－x 2＋4图象的对称轴是y 轴，顶点坐标是(0，4)，当x<0，y 随x 的增大而增大．4．抛物线y ＝ax 2＋c 与y ＝－3x 2的形状大小，开口方向都相同，且其顶点坐标是(0，5)，则其表达式为y ＝－3x 2＋5，它是由抛物线y ＝－3x 2向__上__平移__5__个单位得到的．5．将抛物线y ＝－3x 2＋4绕顶点旋转180°，所得抛物线的解析式为y ＝3x 2＋4．6．已知函数y＝ax2＋c的图象与函数y＝5x2＋1的图象关于x轴对称，则a＝__－5__，c＝__－1__．点拨精讲：1.函数的图象与性质以及抛物线上下平移规律．(可结合图象理解)2．抛物线平移多少个单位，主要看两顶点坐标，确定两顶点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长，有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离，从而确定平移的方向与单位长．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(2)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．2．能正确说出y＝a(x－h)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2的图象．难点：能正确说出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P33～34“探究”与“思考”，掌握y＝a(x－h)2与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2的相关性质，完成填空．画函数y＝－12x2、y＝－12(x＋1)2和y＝－12(x－1)2的图象，观察后两个函数图象与抛物线y＝－12x2有何关系？它们的对称轴、顶点坐标分别是什么？点拨精讲：观察图象移动过程，要特别注意特殊点(如顶点)的移动情况．总结归纳：二次函数y＝a(x－h)2的顶点坐标为(h，0)，对称轴为直线x＝h．当a>0时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，抛物线有最低点，函数y有最小值；当a<0时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x的增大而减小，抛物线有最高点，函数y有最大值．抛物线y＝ax2向左平移h个单位，即为抛物线y＝a(x＋h)2(h>0)；抛物线y＝ax2向右平移h个单位，即为抛物线y＝a(x－h)2(h>0)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．教材P35练习题；2．抛物线y＝－12(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y＝－1 2x2.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)探究1在直角坐标系中画出函数y ＝12(x ＋3)2的图象． (1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；(2)根据图象回答，当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 取最大值或最小值？(3)怎样平移函数y ＝12x 2的图象得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象？解：(1)对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x<－3时，y 随x 的增大而减小；当x>－3时，y 随x 的的增大而增大；当x ＝－3时，y 有最小值；(3)将函数y ＝12x 2的图象沿x 轴向左平移3个单位得到函数y ＝12(x ＋3)2的图象．点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．探究2 已知直线y ＝x ＋1与x 轴交于点A ，抛物线y ＝－2x 2平移后的顶点与点A 重合．(1)求平移后的抛物线l 的解析式；(2)若点B(x 1，y 1)，C(x 2，y 2)在抛物线l 上，且－12<x 1<x 2，试比较y 1，y 2的大小．解：(1)∵y ＝x ＋1，∴令y ＝0，则x ＝－1，∴A(－1，0)，即抛物线l 的顶点坐标为(－1，0)，又抛物线l 是由抛物线y ＝－2x 2平移得到的，∴抛物线l 的解析式为y ＝－2(x ＋1)2.(2)由(1)可知，抛物线l 的对称轴为x ＝－1，∵a ＝－2<0，∴当x>－1时，y 随x 的增大而减小，又－12<x 1<x 2，∴y 1>y 2. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．不画图象，回答下列问题：(1)函数y ＝3(x －1)2的图象可以看成是由函数y ＝3x 2的图象作怎样的平移得到的？(2)说出函数y ＝3(x －1)2的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．(3)函数有哪些性质？(4)若将函数y ＝3(x －1)2的图象向左平移3个单位得到哪个函数图象？点拨精讲：性质从增减性、最值来说．2．与抛物线y ＝－2(x ＋5)2顶点相同，形状也相同，而开口方向相反的抛物线所对应的函数关系式是y ＝2(x ＋5)2．3．对于函数y ＝－3(x ＋1)2，当x>－1时，函数y 随x 的增大而减小，当x ＝－1时，函数取得最大值，最大值y ＝0．4．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象向左平移2个单位长度得到y ＝x 2－2x ＋1的图象，则b ＝－6，c ＝9．点拨精讲：比较函数值的大小，往往可根据函数的性质，结合函数图象，能使解题过程简洁明了．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.3 二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象和性质(3)1．进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象．2．能正确说出y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．3．掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的平移规律．重点：熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象．难点：能正确说出y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的平移规律．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 35～36“例3、例4”，掌握y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2之间的关系，理解并掌握y ＝a(x －h)2＋k 的相关性质，完成填空．总结归纳：一般地，抛物线y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝ax 2的形状相同，位置不同，把抛物线y ＝ax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y ＝a(x －h)2＋k ，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定：当h>0时，表明将抛物线向右平移h 个单位；当k<0时，表明将抛物线向下平移|k|个单位．抛物线y ＝a(x －h)2＋k 的特点是：当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下；对称轴是直线x ＝h ；顶点坐标是(h ，k)．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟1．教材P 37练习题2．函数y ＝2(x ＋3)2－5的图象是由函数y ＝2x 2的图象先向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的；3．抛物线y ＝－2(x －3)2－1的开口方向是向下，其顶点坐标是(3，－1)，对称轴是直线x ＝3，当x>3时，函数值y 随自变量x 的值的增大而减小．一、小组讨论：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 填写下表：探究2 已知y ＝a(x －h)2＋k 是由抛物线y ＝－12x 2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a ，h ，k 的值；(2)在同一坐标系中，画出y ＝a(x －h)2＋k 与y ＝－12x 2的图象；(3)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 的增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察y ＝a(x －h)2＋k 的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗？解：(1)∵抛物线y＝－12x2向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是y＝－12(x－1)2＋2，∴a＝－12，h＝1，k＝2；(2)函数y＝－12(x－1)2＋2与y＝－12x2的图象如图；(3)观察y＝－12(x－1)2＋2的图象可知，当x<1时，y随x的增大而增大；x>1时，y随x的增大而减小；(4)由y＝－12(x－1)2＋2的图象可知，对于一切x的值，y≤2.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．将抛物线y＝－2x2向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式是y＝－2(x－3)2＋2．点拨精讲：抛物线的移动，主要看顶点位置的移动．2．若直线y＝2x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第二象限．点拨精讲：此题为二次函数简单的综合题，要注意它们的图象与性质的区别．3．把y＝2x2－1的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的解析式是y＝2(x－1)2－3．4．已知A(1，y1)，B(－2，y2)，C(－2，y3)在函数y＝a(x＋1)2＋k(a>0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2<y3<y1．点拨精讲：本节所学的知识是：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象画法及其性质的总结；平移的规律．所用的思想方法：从特殊到一般．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(1)1．会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．重点：会画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．难点：能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 37～39“思考、探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成填空．总结归纳：二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的顶点坐标是(h ，k)，对称轴是x ＝h ，当a>0时，开口向上，此时二次函数有最小值，当x>h 时，y 随x 的增大而增大，当x<h 时，y 随x 的增大而减小；当a<0时，开口向下，此时二次函数有最大值，当x<h 时，y 随x 的增大而增大，当x>h 时，y 随x 的增大而减小；用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c 化成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则h ＝－b 2a ，k ＝4ac －b 24a ；则二次函数的图象的顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴是x ＝－b 2a ；当x ＝－b 2a时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有最大(最小)值，当a<0时，函数y 有最大值，当a>0时，函数y 有最小值．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．求二次函数y ＝x 2＋2x －1顶点的坐标、对称轴、最值，画出其函数图象．点拨精讲：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 将下列二次函数写成顶点式y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并写出其开口方向、顶点坐标、对称轴．(1)y ＝14x 2－3x ＋21；(2)y ＝－3x 2－18x －22. 解：(1)y ＝14x 2－3x ＋21 ＝14(x 2－12x)＋21 ＝14(x 2－12x ＋36－36)＋21 ＝14(x －6)2＋12 ∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(6，12)，对称轴是x ＝6.(2)y ＝－3x 2－18x －22＝－3(x 2＋6x)－22＝－3(x 2＋6x ＋9－9)－22＝－3(x ＋3)2＋5∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，5)，对称轴是x ＝－3.点拨精讲：第(2)小题注意h值的符号，配方法是数学的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．探究2用总长为60 m的篱笆围成的矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，l是多少时，场地的面积S最大？(1)S与l有何函数关系？(2)举一例说明S随l的变化而变化？(3)怎样求S的最大值呢？解：S＝l(30－l)＝－l2＋30l(0＜l＜30)＝－(l2－30l)＝－(l－15)2＋225画出此函数的图象，如图．∴l＝15时，场地的面积S最大(S的最大值为225)．点拨精讲：二次函数在几何方面的应用特别广泛，要注意自变量的取值范围的确定，同时所画的函数图象只能是抛物线的一部分．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．y＝－2x2＋8x－7的开口方向是向下，对称轴是x＝2，顶点坐标是(2，1)；当x＝2时，函数y有最大值，其值为y＝1．2．已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)有最大值，且ac＝4，则二次函数的顶点在第四象限．3．抛物线y＝ax2＋bx＋c，与y轴交点的坐标是(0，c)，当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴只有一个交点(即抛物线的顶点)，交点坐标是(－b2a，0)；当b2－4ac＞0时，抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标是2a，0)；当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，若抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1，0)，(x2，0)，则y＝ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)．点拨精讲：与y轴的交点坐标即当x＝0时求y的值；与x轴交点即当y＝0时得到一个一元二次方程，而此一元二次方程有无解，两个相等的解和两个不相等的解三种情况，所以二次函数与x轴的交点情况也分三种．注意利用抛物线的对称性，已知抛物线与x轴的两个交点坐标时，可先用交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)，x1，x2为两交点的横坐标．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)22．1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质(2)能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．重难点：能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．一、自学指导．(10分钟)自学：自学课本P 39～40，自学“探究、归纳”，掌握用待定系数法求二次函数的解析式的方法，完成填空．总结归纳：若知道函数图象上的任意三点，则可设函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，利用待定系数法求出解析式；若知道函数图象上的顶点，则可设函数的关系式为y ＝a(x －h)2＋k ，把另一点坐标代入式中，可求出解析式；若知道抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)，可设函数的关系式为y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，把另一点坐标代入式中，可求出解析式．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．二次函数y ＝4x 2－mx ＋2，当x<－2时，y 随x 的增大而减小；当x>－2时，y 随x 的增大而增大，则当x ＝1时，y 的值为22．点拨精讲：可根据顶点公式用含m 的代数式表示对称轴，从而求出m 的值．2．抛物线y ＝－x 2＋6x ＋2的顶点坐标是(3，11)．3．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致如图所示，下列判断错误的是( D )A ．a<0B ．b>0C ．c>0D ．ac>0第3题图第4题图第5题图4．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a>0)的对称轴是直线x ＝1，且经过点P(3，0)，则a －b ＋c 的值为( A )A ．0B ．－1C ．1D ．2点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x 轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a －b ＋c 的值．5．如图是二次函数y ＝ax 2＋3x ＋a 2－1的图象，a 的值是－1．点拨精讲：可根据图象经过原点求出a 的值，再考虑开口方向．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．解：设函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有⎩⎪⎨⎪⎧9a ＋3b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝－3，c ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－2，c ＝－3.∴函数的解析式为y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1.探究2 已知一抛物线与x 轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．解：设解析式为y ＝a(x －3)(x ＋1)，则有a(2－3)(2＋1)＝9，∴a ＝－3，∴此函数的解析式为y ＝－3x 2＋6x ＋9，其顶点坐标为(1，12)．点拨精讲：因为已知点为抛物线与x 轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x 轴交点的坐标．2．若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点(1，0)，且关于直线x ＝12对称，那么它的图象还必定经过原点．3．如图，已知二次函数y ＝－12x 2＋bx ＋c 的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点． (1)求这个二次函数的解析式；(2)设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ，连接BA ，BC ，求△ABC 的面积．点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y ＝ax 2＋bx ＋c ；2.顶点式y ＝a(x －h)2＋k ；3.交点式y ＝a(x －x 1)(x －x 2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)。

人教版数学九年级上册22.1：二次函数的图象和性质(一) 学案设计(解析版)

二次函数的图象和性质（一）知识集结知识元二次函数解析式的识别知识讲解一般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数，其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

注意：1、要严格注意二次函数的一般形式，该形式等号的右边首先是一个整式，因此如果分母中出现未知数x的时候，则一定不是二次函数；2、在授课的过程中要注意帮助学生理解二次函数、一次函数和常数项分别是什么；3、要注意特别强调，在这一解析式中“a≠0”这一条件是必须要判断的，同时x的最高次一定是2次的；4、利用定义判断二次函数时，要注意化简后再判断，但是出现分式时不能先化简，需要直接排除掉。

例题精讲二次函数解析式的识别例1.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）A．y=（m﹣1）2x2B．y=（m+1）2x2C．y=（m2+1）x2D．y=（m2﹣1）x2【答案】C【解析】题干解析:解：A、当m=1时，不是二次函数，故错误；B、当m=﹣1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；C、是二次函数，故正确；D、当m=1或﹣1时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误．故选C．例2.对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是()A．B．C．D．【解析】题干解析:二次函数中二次项系数不能为0，选项A中，当m＝1时，m－1＝0；选项B中，当m＝－1时，m＋1＝0；选项D中，当m＝±1时，m2－1＝0，所以都不能满足对于任意实数m使二次项系数不为0的要求；只有选项C中当m为任意实数时，都能保证m2＋1≠0，故选C.例3.已知函数①y=5x﹣4，②t=x2﹣6x，③y=2x3﹣8x2+3，④y=x2﹣1，⑤，其中二次函数的个数为（）.A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】题干解析:本题考查二次函数的定义，首先去掉分子含分式的函数，再利用二次函数的定义判定即可．例4.下列函数中，属于二次函数的是（）.A ．y=2x+1B ．y=（x ﹣1）2﹣x 2C ．y=2x 2﹣7D ．21y x【解析】题干解析:解：A 、是一次函数，故本选项错误； B 、整理后是一次函数，故本选项错误； C 、y=2x 2﹣7是二次函数，故本选项正确；D 、y 与x 2是反比例函数关系，故本选项错误．故选：C ．通过二次函数的定义求字母的取值知识讲解利用函数的定义求字母的取值问题，一定要能够准确的将函数的文字型定义转化成数学语言，对于本类题型中的练习4需要特别注意一下，在进行分类讨论时，一定要将所有的情况考虑全.例题精讲通过二次函数的定义求字母的取值例1.若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为.【答案】【解析】题干解析:本题重点考查二次函数的定义，需要注意的有两点：a≠0和最高次为2次.一次项和常数项都是不需要关注.例2.若函数y=（m﹣1）x 3﹣|m|+6是二次函数，则m的值为（）.A．±1 B．1C．-1D．无法确定【解析】题干解析:本题重点考查二次函数的定义与绝对值结合类问题，需要注意的有两点：a≠0和最高次为2次.例3.函数, 当_______时, 它是一次函数；当_______时, 它是二次函数.【答案】5或-2-1或-3【解析】题干解析:本题重点考查二次函数的解析式与一次函数的解析式在表达形式上的区别.对于本题而言，要成为一个一次函数，需要满足的条件是一次项系数不为0，且函数解析式中自变量x的最高次是一次即可，而题中出现x的位置有两个，不定次数项和确定次数的项2x，因此需要讨论可能的几种情况：①这一项不存在，即系数a-5=0；②这一项为一次项，故系数a-5≠0且次数；③这一项为常数项，故系数a-5≠0且次数，分成这三类问题即可解决.本题的难度不大，但是比较容易出错，学生很容易丢掉某种情况.要想成为一个二次函数则比较常规，需要判断两点：a≠0和最高次为2次例4.函数．（1）当a取什么值时，它为二次函数？（2）当a取什么值时，它为一次函数？【答案】解：（1）由是二次函数，得，解得a=2，当a=2时，是二次函数；（2）①a+1=0时，即a=﹣1时，是一次函数；②，解得或，当或时，是一次函数；综上所述：a=﹣1，时，是一次函数．【解析】题干解析:（1）根据二次函数的定义，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案；（2）根据二次项的系数为零，一次项的系数不为零，可得答案．二次函数各项系数的确定知识讲解判断二次函数各项系数时，不是标准的y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式，一定要先将已知的解析式化简后再去判断.例题精讲二次函数各项系数的确定例1.二次函数的二次项系数是，一次项系数是．【答案】；3【解析】题干解析:解：二次函数的二次项系数是，一次项系数是3．故答案为：；3．例2.已知二次函数y=2﹣3x﹣x2，其中二次项系数a=，一次项系数b=，常数项系数c=．【答案】﹣1，﹣3，2【解析】题干解析:解：已知二次函数y=2﹣3x﹣x2，其中二次项系数a=﹣1，一次项系数b=﹣3，常数项系数c=2．故答案为：﹣1，﹣3，2．例3.二次函数y＝3x2－5的二次项系数是______，一次项系数是_____，常数项是______．【答案】3；0；－5【解析】题干解析:略例4.二次函数y=（x﹣2）2﹣3中，二次项系数为，一次项系数为，常数项为．【答案】；-2；-1【解析】题干解析:本题重点考查二次函数的定义中a，b，c的意义．需要注意的是要先化成一般的形式后才能去判断，同时需要关注的符号问题.开口问题的处理知识讲解二次项系数的正负影响开口的方向，而二次项系数的绝对值的大小影响开口的大小.例题精讲开口问题的处理例1.对于抛物线y＝ax2，下列说法中正确的是( )A．a越大，抛物线开口越大B．a越小，抛物线开口越大C．｜a｜越大，抛物线开口越大D．｜a｜越小，抛物线开口越大【解析】题干解析:本题重点考查二次函数中a对抛物线开口大小的影响．｜a｜的大小影响着抛物线的开口的大小，开口的大小与a的正负性没有关系.例2.已知二次函数y1=﹣3x2，，，它们的图象开口由小到大的顺序是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y1【解析】题干解析:解：∵，二次项系数的绝对值越大，抛物线开口越小，∴y1＜y3＜y2，故选C．例3.已知是二次函数，且当x＞0时，y随x的增大而增大.(1)求k的值；(2)求顶点坐标和对称轴.【答案】(1)由已知是二次函数可知，k+2≠0且，解得k=2或者-3，又∵当时，y随x的增大而增大，即开口向上，∴k+2＞0，即k＞-2，∴k=2.(2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为x=0即y轴.【解析】题干解析:由已知“当x＞0时，y随x的增大而增大”可知，该函数是个开口向上的二次函数，故k+2＞0，即可确定k值及二次函数的解析式，再根据解析式找到二次函数的顶点坐标及对称轴即可.函数的图象和性质（一）知识讲解2a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a＞0 向上（0，0）y轴x＞0时，y随x的增大而增大；x＜0时，y随x的增大而减小；x=0时，y有最小值0．a＜0 向下（0，0）y轴x＞0时，y随x的增大而减小；x＜0时，y随x的增大而增大；x=0时，y有最大值0．（1）二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，它是一条左右对称的、平滑的曲线．（2）抛物线y＝ax2的对称轴是y轴，顶点是原点．当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．（3）对于抛物线y＝ax2，|a|越大，抛物线的开口越小．例题精讲函数的图象和性质例1.在同一坐标系中，图象与y=2x2的图象关于x轴对称的是（）.A．y=x2B．y=－x2C．y=－2x2D．y=－x2【解析】题干解析:｜a｜的大小影响着抛物线的开口的大小，开口的大小与a的正负性没有关系.当两个抛物线的a值互为相反数时，这两条抛物线的开口大小是相同的，只是开口的方向是相反的，此时两个抛物线的图象是关于x轴对称的.例2.已知a<-1，点(a-1，y1)，(a，y2)，(a+1，y3)都在函数y=x2的图象上，则( ).A．y1<y2<y3B．y1<y3<y2C．y3<y2<y1D．y2<y1<y3【答案】C【解析】题干解析:本题重点考查二次函数的单调性，需要通过a的范围判断三个点的横坐标的正负性及大小，然后根据二次函数的单调性判断y1、y2、y3的大小.例3.已知点，，都在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3【答案】C【解析】例4.若a＞1，点（－a+1，y1）、（a，y2）、（a＋1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系为.【答案】y1<y2<y3【解析】题干解析:本题重点考查二次函数的单调性，需要通过a的范围判断三个点的横坐标的正负性及大小，然后根据二次函数的单调性判断y1、y2、y3的大小.函数解析式的确定知识讲解点在二次函数的图象上，即将这个点的坐标代入到函数解析式中时，解析式的左右两边相等，利用这一特点也可以利用待定系数法求函数的解析式.例题精讲函数解析式的确定例1.如图，正方形OABC的边长为2，OA与x轴负半轴的夹角为15°，点B在抛物线y=ax2（a＜0）的图象上，则a的值为（）A．B．C．﹣2D．【解析】题干解析:解：如图，连接OB，过B作BD⊥x轴于D；则∠BOA=45°，∠BOD=30°；已知正方形的边长为2，则；Rt△OBD中，，∠BOD=30°，则，；故，代入抛物线的解析式中，得：，解得；故选B．例2.已知抛物线经过点A（-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.【答案】（1）∵点A（-2，-8）在二次函数y=ax2的图象上，∴，解得a=-2，∴抛物线的解析式为（2）将点B（-1，- 4）代入，左边=-4，右边=-2，∴左边≠右边，故点B（-1，- 4）不在该二次函数图象上．（3）由已知可知y=-6，代入可得-2x2=-6，解得，∴所求点的坐标为或.【解析】题干解析:本题重点考查二次函数图象上的点的特征：二次函数图象上的点的横纵坐标满足该二次函数.因此当已知某个点在二次函数解析式上，求二次函数解析式时，只需将该点代入函数解析式中，解方程即可；而已知二次函数的解析式，判断某个点是否在二次函数图象上时，只需将该点代入解析式中，看等式是否成立即可.一次函数与二次函数综合知识讲解对于此类函数图象的综合判定问题，只需要固定一种函数图象，假设它是对的，然后再根据此函数图象的性质判定其解析式中字母的值，再根据字母的取值去判定另一个函数的图象的位置即可，属于函数小综合问题，需要对每种类型的函数的图象和解析式之间的关系相当熟悉才能完成.例题精讲一次函数与二次函数综合例1.函数y=-ax2与y=ax+b在同一坐标系的图象可能是( ).A．B．C．D．A、由一次函数y=ax+b的图象可得：a>0，此时二次函数y=-ax2的图象应该开口向下，故A 错误；B、由一次函数y=ax+b的图象可得：a<0，此时二次函数y=-ax2的图象应该开口向上，故B错误；C、由一次函数y=ax+b的图象可得：a<0，此时二次函数y=-ax2的图象应该开口向上，故C错误；D、由一次函数y=ax+b的图象可得：a<0，此时二次函数y=-ax2的图象应该开口向上，故D 正确；故选：D．例2.已知函数y=ax2的图象与直线y=－x＋4在第一象限内的交点和它与直线y=x在第一象限内的交点相同，则a的值为（）.A．4 B．2C．D．【解析】题干解析:本题重点考查一次函数与二次函数的交点问题.交点是指几个函数图象都经过的点，故该点坐标同时满足这几个解析式，本题中的交点是三个函数的交点，其中两个函数是已经确定的函数、二次函数是需要求解的，因此需要通过两个确定的函数找到交点后将其代入二次函数即可将a求出，问题即可解决.例3.如图，过F（0，﹣1）的直线y=kx+b（k≠0）与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点．（1）求b值；（2）求x1x2的值；（3）若线段AB的垂直平分线交y轴于N（0，n），求n的取值范围．【答案】解：（1）∵直线y=kx+b过F（0，﹣1），∴b=﹣1；（2）∵b=﹣1，∴直线的解析式为：y=kx﹣1，解得，∴；（3）由（2）得，，∴，y C=﹣2k•k﹣1=﹣2k2﹣1，∵CN⊥AB，∴，∴，当x=0时，n=﹣2﹣2k2﹣1=﹣2k2﹣3，∵k≠0，∴n＜﹣3．【解析】题干解析:（1）根据题意即可得到结论；（2）根据一元二次方程根与系数的关系即可得到结论；（3）由（2）得，，求得，y C=﹣2k•k﹣1=﹣2k2﹣1，根据CN⊥AB，得到，求得直线，于是得到结论．函数图象的变换知识讲解函数的平移方向之一：上下平移.上下平移的特点是“上加下减”，图象的平移特点是对应点的平移的距离是相同的.例题精讲函数图象的变换例1.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为（）.A．B．C．D．【解析】题干解析:略例2.抛物线y=x2向上平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________【答案】【解析】题干解析:略函数的图象和性质（二）知识讲解本题型是对y=ax2+c型函数的图象和性质的综合考查，对比前一种类型的函数图象和性质其相同点和不同点分别是什么，一定要辨别清楚，学会对比学习可以达到事半功倍的效果.例题精讲函数的图象和性质例1.二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过哪几个象限（）A．一、三象限B．二、四象限C．一、二象限D．三、四象限【解析】题干解析:解：∵二次函数y=﹣3x2﹣2中a=﹣3＜0，b=﹣2＜0，∴二次函数y=﹣3x2﹣2的图象经过三、四象限，故选D．例2.已知点（2，y1），（﹣3，y2）均在抛物线y=x2﹣1上，则y1、y2的大小关系为（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1≤y2D．y1≥y2【解析】题干解析:解：∵二次函数的解析式为y=x2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=0，∵（2，y1）、B（﹣3，y2），∴点（﹣3，y2）离直线x=0远，点（2，y1）离直线x=0近，而抛物线开口向上，∴y1＜y2．故选A．例3.坐标平面上有一函数y=24x2﹣48的图象，其顶点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣24）C．（0，﹣48）D．（2，48）【解析】题干解析:本题重点考查型图象的基本性质．顶点在y轴上.例4.二次函数的图象顶点在y轴负半轴上．且函数有最小值，则a的取值范围是.【答案】【解析】题干解析:本题重点考查型图象的基本性质.关键是引导学生如何转化题中的已知条件，将其与所学的性质联系起来.“图象顶点在y轴负半轴上”说明a-5＜0，“函数有最小值”说明该二次函数的开口是向上的，故a＞0,，两个限制条件结合即可求解.本题还可以改成“图象顶点不在y轴负半轴上”等类似的变型，建议老师在授课的过程中可以做适当地改编，帮助学生巩固提升对该知识点的理解.函数的图象和性质（三）a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a＞0 向上（h，0）x=h x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值0．a＜0 向下（h，0）x=h x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值0．例题精讲函数的图象和性质例1.已知抛物线y=x2-8x+c的顶点在x轴上，则c的值为（）.A．16B．4C．-4D．0【解析】题干解析:略例2.抛物线的顶点在x轴上，则a值为.【答案】±4【解析】题干解析:本题重点考查二次函数的基本性质.需要学生理解顶点在x轴上的二次函数的解析式需要满足的条件：等号右边是一个完全平方公式或另y=0时得到的一元二次方程有两个相等的实根.例3.抛物线当x时，y随x的增大而增大.【答案】【解析】题干解析:略例4.已知二次函数，当x取和时函数值相等，当x取+时函数值为.【答案】-18【解析】题干解析:本题重点考查二次函数的对称性.“当x取x1和x2时函数值相等”说明两个点是关于该函数的对称轴对称的，因此两点到对称轴的距离相等，即两点中点在对称轴上，所以x1+x2=2×3=6.本题考到了坐标系中两点中点的坐标与两点的关系，建议老师在授课过程中给学生讲解中点公式的推导过程，从而帮助学生理解记忆.函数的图象和性质（四）知识讲解a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a＞0 向上（h，k）x=h x＞h时，y随x的增大而增大；x＜h时，y随x的增大而减小；x=h时，y有最小值．a＜0 向下（h，k）x=h x＞h时，y随x的增大而减小；x＜h时，y随x的增大而增大；x=h时，y有最大值．例题精讲函数的图象和性质例1.抛物线y=(x-1)2+1的顶点坐标是( ).A．(1,1) B．(-1,1)C．(1,-1) D．(-1,-1)【解析】题干解析:略例2.已知抛物线的部分图象（如图1-2-1），图象再次与x轴相交时的坐标是（）.A．（5，0）B．（6，0）C．（7，0）D．（8，0）【解析】题干解析:本题重点考查二次函数的对称性．从函数解析式可知，该函数的对称轴为x=4，从函数图象可以观察到该函数与x轴的一个交点为（1,0），而另一个交点一定是关于x=4这条直线对称的，故另一交点的坐标即可得到．例3.二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（）.A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限【解析】题干解析:本题重点考查一次函数与二次函数结合类问题.关键是从已知的二次函数图象的特征判断a、m、n的正负，从而确定一次函数的位置即可得到所经过的象限.例4.抛物线上三点（－2，a）、(－1，b)、（3，c），则a、b、c的大小关系是（）.A．a＞b＞c B．b＞a＞cC．c＞a＞b D．无法比较大小【答案】C【解析】题干解析:略当堂练习单选题练习1.1.抛物线y=ax2与直线x=1，x=3，y=1，y=2围成的长方形有公共点，则实数a的取值范围（）A．B．C．D．练习2.2.关于函数y=2x2﹣3，的图象及性质，下列说法不正确的是（）A．它们的对称轴都是y轴B．对于函数，当x＞0时，y随x的增大而减小C．抛物线y=2x2﹣3不能由抛物线平移得到D．抛物线y=2x2﹣3的开口比的开口宽练习4.3.在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=bx2+a的图象可能是（）A．B．C．D．4.如图，抛物线y=﹣x2+20的图象与y轴正半轴的交点为A，将线段OA分成20等份，设分点分别为P1，P2，…，P19，过每个分点作y轴的垂线，分别与抛物线交于点Q1，Q2，…，记△OP1Q1，△P1P2Q2，…的面积分别为S1，S2，…，S19，则S12+S22+…+S192的值为（）A．47 B．47.5 C．48 D．48.5练习6.5.若直线y=2x﹣m经过一、三、四象限，则抛物线y=2（x+m）2﹣1的顶点必在（）. A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限练习7.6.下列函数中是二次函数的是().A．B．C．D．练习8.7.对于抛物线y＝ax2，下列说法中正确的是( )A．a越大，抛物线开口越大B．a越小，抛物线开口越大C．｜a｜越大，抛物线开口越大D．｜a｜越小，抛物线开口越大练习9.8.已知点，，都在抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y3＜y2＜y1D．y2＜y1＜y3练习10.9.函数y=ax2与y=-ax+b在同一坐标系的图象可能是( ).A．B．C．D．练习11.10.坐标平面上有一函数y=24x2﹣48的图象，其顶点坐标为（）A．（0，﹣2）B．（1，﹣24）C．（0，﹣48）D．（2，48）练习12.11.在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位，所得图象的解析式为（）.A．B．C．D．练习13.12.关于二次函数y=（x+2）2的图象，下列说法正确的是（）.A．开口向下B．最低点是A（2，0）C．对称轴是直线x=2 D．对称轴的右侧部分是上升的练习14.13.如图，将抛物线y=（x﹣1）2的图象位于直线y=4以上的部分向下翻折，得到新的图象（实线部分），若直线y=﹣x+m与新图象只有四个交点，求m的取值范围．（）A．34＜m＜3 B．34＜m＜7 C．43＜m＜7 D．43＜m＜3填空题练习1.1.说出下列二次函数的二次项系数a，一次项系数b和常数项c．(1)在中，a= ，b= ，c= ．(2)在中，a= ，b= ，c= ．练习2.2.将一根长为52 cm的铁丝剪成两段，并把每一段铁丝做成一个正方形．如果其中一个正方形的边长为x cm，两个正方形的面积之和为y cm2，列出y与x之间的函数表达式__________________．练习3.3.抛物线y=x2向上平移2个单位长度后得到新抛物线的解析式为____________4.函数21(1)21my m x mx +=--+的图象是抛物线，则m= ．解答题练习1.1.如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为10m )围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x (m )，面积为y (m 2)，(1)求y 与x 的函数关系式与x 的取值范围；(2)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长度是多少？练习2.2.已知是二次函数，且当x ＞0时，y 随x 的增大而增大.(1)求k 的值；(2)求顶点坐标和对称轴.练习3.3.已知抛物线经过点A （-2，-8），（1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点B （-1，- 4）是否在此抛物线上；（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.选择题：BDCB BADCB CDDA填空题1.【答案】(1)a=5，b=2，c=0；(2)已知解析式不是一般式，化简后为，故a=2，b=-12，c=22.2.【答案】y＝2x2－26x＋1693.【答案】4.【答案】﹣1解答题1.【答案】见解析【解析】题干解析:解：(1)因为宽AB=xm，所以长BC=(24－3x)m.所以y=-3x2+24x.又x＞0，且10≥24－3x＞0，所以.(2)因为当y=45时，即-3x2+24x=45，所以x=3(舍去)或x=5.所以当AB为5m时，围成花圃的面积为45m2.2.【答案】(1)由已知是二次函数可知，k+2≠0且，解得k=2或者-3，又∵当时，y随x的增大而增大，即开口向上，∴k+2＞0，即k＞-2，∴k=2.(2)顶点坐标为(0,0)，对称轴为x=0即y轴.【解析】题干解析:由已知“当x＞0时，y随x的增大而增大”可知，该函数是个开口向上的二次函数，故k+2＞0，即可确定k值及二次函数的解析式，再根据解析式找到二次函数的顶点坐标及对称轴即可.3.【答案】（1）∵点A（-2，-8）在二次函数y=ax2的图象上，∴，解得a=-2，∴抛物线的解析式为（2）将点B（-1，- 4）代入，左边=-4，右边=-2，∴左边≠右边，故点B（-1，- 4）不在该二次函数图象上．（3）由已知可知y=-6，代入可得-2x2=-6，解得，∴所求点的坐标为或.【解析】题干解析:本题重点考查二次函数图象上的点的特征：二次函数图象上的点的横纵坐标满足该二次函数.因此当已知某个点在二次函数解析式上，求二次函数解析式时，只需将该点代入函数解析式中，解方程即可；而已知二次函数的解析式，判断某个点是否在二次函数图象上时，只需将该点代入解析式中，看等式是否成立即可.。

2019-2020年九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质导学案(新版)新人教版

2019-2020年九年级数学上册 22.1 二次函数的图象和性质导学案（新版）新人教版【学习目标】1．使学生能利用描点法正确作出函数y＝ax2＋k的图象.2．知道二次函数y＝ax2＋k与y＝ax2的联系．3．掌握二次函数y＝ax2＋k的性质，并会应用；【学情分析】本节是在学生对上节课y＝ax2的图象和性质有了初步了解的基础上进行的下一步对y＝ax2＋k的图象和性质的学习,两者的教学有很多相似之处,所以本节课在学生已有的思维上进行拓展和深化,针对学生在认识图象进而获得感性认识这一薄弱环节上加强引导.【学习重点】理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解函数y＝ax2＋k与函数y＝ax2的相互关系【学习难点】正确理解二次函数y＝ax2＋k的性质，理解抛物线y＝ax2＋k与抛物线y＝ax2的关系,并会应用【教学过程】复习引入通过前面的学习，我们知道二次函数的图象是抛物线，并且了解了抛物线y＝ax2的图象的性质，下面我们先回忆下抛物线y＝ax2的图象的性质。

本节课我们将讨论另一种形式的二次函数图象的性质，以及它与抛物线y＝ax2的关系。

二、进行新课1、在同一直角坐标系中，画出函数y＝x2与y＝x2＋1的图象3(2)描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点。

(3)连线：用光滑曲线顺次连接各点，得到函数y ＝x 2和y ＝x 2＋1的图象。

问题1：当自变量x 取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?教师引导学生观察上表，当x 依次取－3，－2，－1，0，1，2，3时，两个函数的函数值之间有什么关系，由此让学生归纳得到，当自变量x 取同一数值时，函数y ＝x 2＋1的函数值都比函数y ＝x 2的函数值大1。

教师引导学生观察函数y ＝x 2＋1和y ＝x 2的图象，先研究点(－1，1)和点(－1，2)、点(0，0)和点(0，1)、点(1，1)和点(1，2)位置关系，让学生归纳得到：反映在图象上，函数y ＝x 2＋1的图象上的点都是由函数y ＝x 2的图象上的相应点向上移动了一个单位。

人教版九年级数学上册22.1.3 二次函数的图像和性质(第1课时)导学案

人教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册 22.1.3.1二次函数()k h x a y +-=2的图象（1）导学案学习目标:1．知道二次函数k ax y +=2与2ax y =的联系． 2．掌握二次函数k ax y +=2的性质，并会应用。

重点：掌握二次函数k ax y +=2的性质。

难点: 二次函数k ax y +=2的性质的应用。

学法指导:类比一次函数的平移和二次函数2ax y =的性质学习，要构建一个知识体系。

学习过程:一、知识链接：直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。

练：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。

解：由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？二、自主学习（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象．1．填表：……x2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y .3．抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同。

三、知识梳理：（一）抛物线k ax y +=2特点：1．当0a >时，开口向；当0a <时，开口； 2．顶点坐标是； 3．对称轴是。

（二）抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2y ax = 平移得到的。

二次函数图象的平移规律：上下。

（填上下或左右）（三）a 的正负决定开口的；a 决定开口的，即a 不变，则抛物线的形状。

因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值。

四、跟踪练习：训练11、抛物线y=x 2+1、y=x 2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么？2、抛物线y=x 2+1、y=x 2-1与抛物线y=x 2有什么系？3、它们的位置是由什么决定的？训练21.说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标 (1) y=5x 2 (2) y=-3x 2 +2 (3) y=8x 2+6 (4) y= -x 2-42.抛物线y=3x2+0.5可以看成由抛物线____________向平移个单位得到的.3.抛物线y= -x2-4可以看成由抛物线____________向平移个单位得到的.4.把抛物线y=-3x2向上平移6个单位，会得到哪条抛物线？向下平移7个单位呢？。

人教版九年级数学上册第二十二章二次函数22.1二次函数的图象和性质22.1.1二次函数导学案新版

二次函数一、学习目标：1、理解掌握二次函数的见解和一般形式；2、会利用二次函数的见解解决问题；3、会列二次函数表达式解决实责问题.二、学习重难点：重点：理解掌握二次函数的见解和一般形式难点：会列二次函数表达式解决实责问题研究案三、授课过程（一）情境引入雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等都会形成一条曲线系式表示呢？. 这些曲线可否用函数关活动 1：复习：1.什么叫函数 ?2.什么是一次函数？正比率函数？3.一元二次方程的一般形式是什么？讲堂研究问题1：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y. 显然，对于x 的每一个值，y 都有一个对应值，即y 是x 的函数，它们的详细关系能够表示为函数（ 1）：问题 2： n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛. 比赛的场次数m与球队数有什么关系？函数（ 2）：问题 3：某种产品现在的年常量是20 件，计划此后两年增加产量. 若是每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定， y 与之间的关系应怎样表示？函数（ 3）：活动 2：研究概括函数（ 1）（ 2）（ 3）有什么共同点？n x概括总结：二次函数的定义：例题剖析例 1 以下函数中哪些是二次函数？为什么？（ x 是自变量）① y=ax 2+bx+c ② s=3-2t 2 ③y=x 2④y =12⑤y=x2+x3+25⑥ y=(x+3) 2-x 2x2例 2 函数 ym 3 x m 7（ 1） m 取什么值时，此函数是正比率函数？（ 2） m 取什么值时，此函数是二次函数？变式训练1. 已知 :， k 取什么值时， y 是 x 的二次函数？2. 函数是二次函数，那么 m 的取值范围是什么？3. 若函数是二次函数，那么的取值范围是什么？例 3某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个品位，第 1 品位 ( 最低品位 ) 的产品一天能生产 95 件，每件收益 6 元．每提高一个品位，每件收益增加 2 元，但一天产量减少 5 件．(1)若生产第 x 品位的产品一天的总收益为 y 元(其中 x 为正整数，且1≤ x≤10)，求出 y 对于 x 的函数关系式；(2) 若生产第x 品位的产品一天的总收益为1120 元，求该产品的质量品位．思虑：1.已知二次函数 y＝－ 10x 2＋ 180x＋ 400 , 自变量 x 的取值范围是什么？2. 在例 3 中，所得出y对于x的函数关系式y＝－10x2＋180x＋400，其自变量x的取值范围与 1 中相同吗？随堂检测1、把y=(2-3x)(6+x)变成一般式，二次项为_____, 一次项系数为______ ，常数项为.2. 函数y=( m-n)x 2+ mx+n 是二次函数的条件是()A . m,n是常数, 且 m≠ 0B . m,n是常数 ,且 n≠ 0C. m,n是常数, 且m≠ n D . m,n为任何实数3．以下函数是二次函数的是()A． y＝ 2x＋ 1B． y 2 xC． y＝ 3x2＋ 1D．y11x24.已知函数 y=3x 2m-1－5①当 m=______时， y 是对于 x 的一次函数；②当 m=______时， y 是对于 x 的反比率函数；③当 m=______时， y 是对于 x 的二次函数.5.矩形的周长为 16cm,它的一边长为 x（ cm), 面积为 y（cm2). 求（ 1） y 与x 之间的函数剖析式及自变量x 的取值范围；（ 2）当x=3时矩形的面积.讲堂小结经过本节课的学习在小组内谈一谈你的收获，并记录下来：我的收获________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________参照答案授课过程活动 1：1.一般地，在一个变化的过程中，若是有两个变量x 与 y，并且对于x 的每一个确定的值， y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x 是自变量， y 是 x 的函数 .2.一般地，形如 y=kx+b（ k,b 是常数， k≠ 0）的函数叫做一次函数 . 当 b=0 时，一次函数 y=kx 就叫做正比率函数 .3. ax2+bx+c=0 (a≠ 0)讲堂研究问题 1： y=6x2问题 2：m 1 n2 1 n222问题 3： y=20x +40x+20活动 2：研究概括函数都是用自变量的二次整式表示的概括总结：二次函数的定义：形如y=ax 2+bx+c(a,b,c是常数 ,a ≠ 0) 的函数叫做二次函数. 其中x 是自变量， a,b,c分别是二次项系数、一次项系数和常数项例题剖析例 1①不用然是，缺少a≠0的条件；②是；③是；④不是，等号右边是分式；⑤不是， x 的最高次数是3；⑥化简此后y=6x+9没有二次项例 2解：（ 1）由题可知 ,m271,解得 m= 2 2;m30,m272,解得 m=3.（ 2）由题可知 ,30,m变式训练1. 解：当=2 且 k+2≠ 0，即k=-2 时 , y是x的二次函数 .2.解：由题意得：∴m≠± 33.解：由题意得：m的取值范围是m3例 3解：（ 1）∵第一品位的产品一天能生产95 件，每件收益 6 元，每提高一个品位，每件收益加 2 元，但一天产量减少 5 件，∴第 x 品位，提高了(x － 1) 档，收益增加了2(x － 1) 元．∴y＝ [6 ＋ 2(x － 1)][95 － 5(x － 1)] ，即 y＝－ 10x 2＋ 180x＋ 400( 其中 x 是正整数，且1≤ x≤10) ；解：（ 2）由题意可得－ 10x2＋180x＋ 400＝ 1120，整理得x2－18x＋72＝0，解得12舍去 )．x＝ 6，x＝ 12(所以，该产品的质量品位为第 6 档．思虑：1.全体实数2.x 是正整数，且 1≤ x≤ 10 与 1 不相同随堂检测1.-3x 2；-16； 124.13 025. 解： (1)y ＝ (8 －x)x ＝－ x2＋ 8x (0＜ x＜ 8) ；(2) 当 x＝ 3 时， y＝－ 32＋8× 3＝ 15 cm2 .。

【人教版】九年级上册数学导学案(含答案) 22.1.1 二次函数2

22.1.1 二次函数学习目标：1.能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围.2.正确的判定一个函数是不是二次函数.问题1: 正方体的六个面是全等的正方形,如果正方形的棱长为x ,表面积为y ,那么y 与x 的关系可表示为?问题3: 某工厂一种产品现在的年产量是20件,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的数量y 将随计划所定的x 的值而定,y 与x 之间的关系怎样表示?要点梳理（3分钟）1. 二次函数定义：形如y=_________________ (a 、b 、、c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，_______叫做二次函数的系数，_______叫做一次项的系数，_______叫作常数项．2.我们已经学习的函数有一次函数,其解析式为___________,其中包括________________, ___________; 反比例函数,其解析式为_________________和二次函数y=ax 2＋bx ＋c( a ≠0).问题探究一、二次函数概念辩析题例1下列函数中哪些是二次函数？（2分钟）（1）y=3x 2-11x+2; (2)y=9x 2-5x+x 3; (3)y=2x 2-x+23x. (4)y=x 2-5 二、二次函数基础应用题（5分钟）例2、已知函数y=(m 2-4)x 2+（m+2）x+3.(1)当m 为何值时，此函数是二次函数？（2）当m 为何值时，此函数是一次函数？练习：（15分钟）（独立思考后，组内交流，师生交流）1. 有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm 和6 cm ，现在长宽上分别剪去宽为x cm (x<6)的纸条(如图1)，则剩余部分(图中阴影部分)的面积y=______，其中_____是自变量，_____是函数.2.如图2，一块草地是长80 m 、宽60 m 的矩形，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x m 的小路，这时草坪面积为y m 2.求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围.3.如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=12mm ，BC=24mm ，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm/s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm/s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过t 秒，写出四边形APQC 的面积s 与t 的函数关系式及t 的取值范围．4.为解决药价虚高给老百姓带来得求医难的问题，国家决定对药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率均为x ，该药品的原价是m 元，降价后的价格为y 元，则y 与x 之间的函数关系式是（）A. y=2m （1-x ）B. y =2m （1+x ）C. y=m （1-x ）2D. y=m （1+x ）2.5. 若2221()m m y m m x--=+是二次函数，则m=_______.小测：（4分钟）1.设一圆的半径为r ，则圆的面积S=______，其中变量是_____.2.n 只球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。

九年级数学上册第二十二章二次函数 22.1 二次函数的图象和性质 22.1.1 二次函数导学案(

二次函数一、自主预习1、列出下列问题中两个变量之间的关系式，并指出所列3个式子有什么共同点？（1）圆的面积S与圆的半径r的关系；（2）n个球队参加比赛，每队之间进行一场比赛，比赛的场次数m与球队数n 之间有什么关系？（3）某公司的生产利润原来是100万元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分率都是x,写出y与x的关系式。

归纳：一般的，形如（a 、b、c 是常数，）的函数，叫做二次函数。

其中____是自变量，a是，b是，c 是。

二、合作探究展示交流1、下列函数中，哪些是二次函数_____________(1)2xy= (2)21xy-= (3) 122--=xxy(4))1(xxy-= (5))1)(1()1(2-+--=xxxy2、分别写出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：（1）12+=xy（2）12732-+=xxy（3）)1(2xxy-=3、（1）函数cbxaxy++=2(a,b,c是常数)是二次函数的条件是( ) A．a≠0且b≠0 B．a≠0且b≠0,c≠0C．a≠0 D．a,b,c为任意实数（2）圆的半径是1cm，当半径增加xcm时，圆的面积将增加2ycm，则y与x 之间的函数关系为_____________.（3）若函数mmxmy--=2)1(2为二次函数，则m的值为？四、随堂检测班级_______姓名_________ 1、下列函数中属于二次函数的是（） A ．y ＝x （x ＋1） B ．2x y ＝1C ．y ＝22x －2（2x ＋1） D ．y2、.已知两个变量x,y 之间的关系式为y=(a-2)x 2+(b+2)x-3. (1)当_______时，x,y 之间是二次函数关系； (2)当_______时，x,y 之间是一次函数关系.3、若y=(2-m)22m x -是二次函数,则m 等于多少？3.如图，有一个长为24米的篱笆，一面利用墙(墙的最大长度a 为10米)围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米. (1)求S 与x 的函数关系式；（拔高训练题）1、已知等边三角形的边长为x(cm)，则此三角形的面积S(2cm )关于x 的函数关系式是__________.2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。

人教版九年级数学上册22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质导学案(含答案)

人教版九年级数学上册22.1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质导学案第1课时二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1、教学目标1．会画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，能将一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，对称轴的求法．2．能将一般式化为交点式，掌握抛物线与坐标轴交点坐标的求法． 3．会求二次函数的最值，并能利用它解决简单的实际问题．2、预习反馈阅读教材P 38～39，自学“探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法，完成下列内容． 1．用配方法将y ＝ax 2＋bx ＋c化成y ＝a(x －h)2＋k的形式，则h ＝－b2a ，k ＝4ac －b 24a．故二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c的图象的对称轴是x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a)．如果a>0，当x<－b 2a 时，y 随x 的增大而减小，当x>－b2a 时，y 随x 的增大而增大；如果a<0，当x<－b 2a 时，y 随x 的增大而增大，当x>－b2a 时，y 随x 的增大而减小．2．求二次函数y ＝2x 2＋4x －1的对称轴，顶点坐标，并画出其函数图象．解：先配方，y ＝2x 2＋4x －1＝2(x ＋1)2－3.故其对称轴为x ＝－1，顶点坐标为(－1，－3)．图略．【点拨】先将函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征．3、新课导入回顾：请说出抛物线y ＝ax 2＋k ，y ＝a(x －h)2，y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标．思考：你知道二次函数y＝12x2－6x＋21的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标吗？导入：你能把二次函数y＝12x2－6x＋21化成y＝a(x－h)2＋k的形式吗？并指出它的图象的对称轴和顶点坐标．配方，可得y＝12x2－6x＋21＝12(x－6)2＋3.故它的图象的对称轴为x＝6，顶点坐标是(6，3)．【点拨】根据前面的知识，我们可以先画出二次函数y＝12x2的图象，然后把图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到二次函数y＝12x2－6x＋21的图象．也可根据画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线画出函数图象．总结：从二次函数y＝12x2－6x＋21的图象可以看出：在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x<6时，y随x的增大而减小；当x>6时，y随x的增大而增大．思考：抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴、顶点坐标是什么？你是如何得到的？4、例题讲解例将下列二次函数写成顶点式y＝a(x－h)2＋k的形式，并写出其开口方向，顶点坐标，对称轴．(1)y＝x2－4x＋5；(2)y＝－2x2－12x－22.【解答】(1)y＝x2－4x＋5＝(x2－4x＋4)＋5－4＝(x－2)2＋1.∴此抛物线的开口向上，顶点坐标为(2，1)，对称轴是直线x＝2.(2)y＝－2x2－12x－22＝－2(x2＋6x)－22＝－2(x2＋6x＋9－9)－22＝－2(x＋3)2－4.∴此抛物线的开口向下，顶点坐标为(－3，－4)，对称轴是直线x＝－3.【点拨】第(2)小题注意h值的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解．【跟踪训练】抛物线y＝－x2＋4x－7的开口方向是向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标是(2，－3)．当x<2时，y随x的增大而增大；当x>2时，y随x的增大而减小．5、巩固训练1．将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为(B)A．y＝(x－1)2＋4 B．y＝(x－4)2＋4C．y＝(x＋2)2＋6 D．y＝(x－4)2＋62．对于二次函数y＝2(x＋1)(x－3)，下列说法正确的是(C)A．图象的开口向下B．当x>1时，y随x的增大而减小C．当x<1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x＝－13．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则(D)A．a＞0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＜0C．a＜0，b＜0，c＜0D．a＞0，b＞0，c＜04．先将二次函数y＝－4x2＋8x＋2通过配方化成y＝a(x－h)2＋k的形式，再指出它的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．解：y＝－4x2＋8x＋2＝－4(x－1)2＋6.∵a＝－4<0，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝1，顶点坐标为(1，6)．6、课堂小结1．形如y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的二次函数的顶点坐标及对称轴的确定：(1)当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 容易配方时，可采用配方法来确定顶点坐标及对称轴方程； (2)当a ，b ，c 比较复杂时，可直接用公式来确定：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－b 2a ，顶点坐标是(－b 2a ，4ac －b 24a)．2．解决二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的问题时，应先将它转化为y ＝a(x －h)2＋k 形式后，再进行研究．第2课时用待定系数法确定二次函数的解析式2、教学目标1．会用待定系数法求抛物线的解析式．2．能熟练根据已知点坐标的情况，用适当的方法求二次函数的解析式．2、预习反馈阅读教材P 39～40，完成下列问题．1．已知一次函数的图象经过点(－1，2)和(－3，4)，则这个一次函数的解析式为y ＝－x ＋1．2．已知抛物线y ＝13x 2＋bx －c 经过点(1，0)，(3，0)，则该抛物线的解析式是y ＝13x 2－43x ＋1． 3．补全下列解答过程：已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，试确定此二次函数的解析式．解：设此二次函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c. 将(0，3)，(－3，0)，(2，－5)代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得 ⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，9a －3b ＋3＝0，4a ＋2b ＋3＝－5Ｗ.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，c ＝3. ∴此二次函数的解析式是y ＝－x 2－2x ＋3．4、例题讲解例1如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三个点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式．【思路点拨】确定一次函数，可用待定系数法求出k ，b 的值，从而确定一次函数解析式．类似地，我们可以写出这个二次函数的解析式y ＝ax 2＋bx ＋c ，求出a ，b ，c 的值．由不共线三点(三点不在同一直线上)的坐标，列出关于a ，b ，c 的三元一次方程组就可以求出a ，b ，c 的值．【解答】设所求二次函数为y ＝ax 2＋bx ＋c .由已知，函数图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，得关于a ，b ，c 的三元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝10，a ＋b ＋c ＝4，4a ＋2b ＋c ＝7.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝5.所求二次函数的解析式是y ＝2x 2－3x ＋5.【点拨】用待定系数法确定二次函数解析式的基本方法分四步完成：一设、二代、三解、四还原．一设：指先设出二次函数的解析式；二代：指根据题中所给条件，代入二次函数的解析式，得到关于a ，b ，c 的方程组；三解：指解此方程或方程组；四还原：指将求出的a ，b ，c 还原回原解析式中．【跟踪训练1】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝0时，y ＝1；当x ＝－1时，y ＝6；当x ＝1时，y ＝0.求这个二次函数的解析式．解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a －b ＋c ＝6，a ＋b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝1.∴二次函数的解析式为y ＝2x 2－3x ＋1.例2 已知抛物线的顶点坐标为(－1，－3)，与y 轴的交点为(0，－5)，求此抛物线的解析式．【思路点拨】若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上的另一个点的坐标时，通常设函数的解析式为顶点式y ＝a (x －h )2＋k .【解答】因为抛物线的顶点为(－1，－3)，所以设所求的二次函数的解析式为y ＝a (x ＋1)2－3.因为点(0，－5)在这个抛物线上，所以a－3＝－5，解得a＝－2.故所求的抛物线解析式为y＝－2(x＋1)2－3，即y＝－2x2－4x－5.【点拨】特别地，当抛物线的顶点为原点时，h＝0，k＝0，可设函数的解析式为y＝ax2；当抛物线的对称轴为y轴时，h＝0，可设函数的解析式为y＝ax2＋k；当抛物线的顶点在x轴上时，k＝0，可设函数的解析式为y＝a(x－h)2.【跟踪训练2】例3已知抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(1，0)并经过点M(0，1)，求此抛物线的解析式．【思路点拨】当抛物线与x轴有两个交点为(x1，0)，(x2，0)时，二次函数y＝ax2＋bx ＋c可以转化为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．因此当抛物线与x轴有两个交点为(x1，0)，(x2，0)时，可设二次函数的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2)，再把另一个点的坐标代入其中，即可解得a，求出抛物线的解析式．【解答】因为抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(1，0)，所以设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－1)．又因为点M(0，1)在抛物线上，所以a(0＋1)(0－1)＝1，解得a＝－1.故所求的抛物线解析式为y＝－(x＋1)(x－1)，即y＝－x2＋1.【点拨】交点式y＝a(x－x1)(x－x2)中，x1和x2分别是抛物线与x轴的两个交点的横坐标，这两个交点关于抛物线的对称轴对称，则直线x＝x1＋x22就是抛物线的对称轴．【跟踪训练3】已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，则该二次函数的解析式为y＝x2－x－2．4、巩固训练1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过(1，0)，(2，0)，(3，4)三点，则该抛物线的解析式为(B)A．y＝x2－3x＋2 B．y＝2x2－6x＋4C．y＝2x2－6x－4 D．y＝x2－3x－22．如果抛物线的顶点坐标是(3，－1)，与y轴的交点是(0，－4)，则它的解析式为(A)A．y＝－13x2＋2x－4 B．y＝－13x2－2x－4C．y＝－13(x＋3)2－1 D．y＝－x2＋6x－123．如图，抛物线的解析式为(D)A．y＝－x2－x＋2B．y＝x2＋x＋2C．y＝－2x2＋x＋2D．y＝－x2＋x＋24．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式为(C)A.y＝x2－3x＋3 B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－4x＋3 D．y＝x2－4x＋85、课堂小结确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选择设函数表达式的形式：(1)已知图象上三点或x，y的三对对应值，通常选择一般式；(2)已知图象的顶点坐标，通常选择顶点式；(3)已知图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2，通常选择交点式．。