河南省南阳一中2018届高三上学期第三次考试数学(文)试卷(扫描版)
河南省南阳一中高三数学三模试卷 文(含解析)
2016年河南省南阳一中高考数学三模试卷（文科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）1．定义集合A={x|2x≥1}}，B={x|x＜0}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）2．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）A．B．﹣1 C．1 D．3．设命题p：“若e x＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为真命题C．“￢p”为真命题D．以上都不对4．双曲线C：x2﹣=1的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）A．B．C．D．5．若向量，满足||=||=2，与的夹角为60°，在+上的投影等于（）A．B．2 C．D．4+26．过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣3或a＞1 B．a＜C．﹣3＜a＜1 或a＞D．a＜﹣3或1＜a＜7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．执行如图所示的程序框图．若输入a=3，则输出i的值是（）A．2 B．3 C．4 D．59．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 10．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A﹣BCD，则当三棱锥A﹣BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．11．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）12．设F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C的右支上的点，射线PT平分∠F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若|MP|=|F1F2|，则C 的离心率为（）A．B．3 C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形的面积为．14．若不等式x2+y2≤2所表示的区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为．15．在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1②0＜sinA+sinB≤③sin2A+cos2B=1④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是．16．已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤．）17．已知数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n项和T n．18．某工厂有工人500名，记35岁以上（含35岁）的为A类工人，不足35岁的为B类工人，为调查该厂工人的个人文化素质状况，现用分层抽样的方法从A、B两类工人中分别抽取了40人、60人进行测试．（I）求该工厂A、B两类工人各有多少人？（Ⅱ）经过测试，得到以下三个数据图表：（茎、叶分别是十位和个位上的数字）（如图）表：100名参加测试工人成绩频率分布表组号分组频数频率1 [55，60） 5 0.052 [60，65）20 0.203 [65，70）4 [70，75）35 0.355 [75，80）6 [80，85）合计100 1.00①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；②该厂拟定从参加考试的79分以上（含79分）的B类工人中随机抽取2人参加高级技工培训班，求抽到的2人分数都在80分以上的概率．19．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN丄平面C1B1N；（2）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求的值．（3）求点A到平面CB1N的距离．20．在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点（，0）且与直线x=﹣相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设P是曲线E的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，求△PBC面积的最小值．21．已知函数f（x）=lnx．（1）若曲线g（x）=f（x）+﹣1在点（2，g （2））处的切线与直线x+2y﹣1=0平行，求实数a的值．（2）若h（x）=f（x）﹣在定义域上是增函数，求实数b的取值范围．（3）设m、n∈R*，且m≠n，求证： |．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D 两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．（1）求AB的长；（2）求．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣|+|x+2|≤M的解集．2016年河南省南阳一中高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）1．定义集合A={x|2x≥1}}，B={x|x＜0}，则A∩∁R B=（）A．（1，+∞）B．[0，1] C．[0，1）D．[0，2）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出关于集合A、B的范围，得到B的补集，从而求出其和A的交集即可．【解答】解：∵A={x|2x≥1}}={x|x≥0}，B={x|x＜0}={x|x＞1}，∴∁R B={x|x≤1}，故A∩∁R B=[0，1]，故选：B．2．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）A．B．﹣1 C．1 D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】z（1﹣i）=|1﹣i|+i，化为z=，再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：∵z（1﹣i）=|1﹣i|+i，∴z===+i，∴z 的实部为．故选：A．3．设命题p：“若e x＞1，则x＞0”，命题q：“若a＞b，则”，则（）A．“p∧q”为真命题 B．“p∨q”为真命题C．“￢p”为真命题D．以上都不对【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．【解答】解：命题p：“若e x＞1，则x＞0”是真命题，命题q：“若a＞b，则”是假命题，如：a=1，b=﹣1，故“p∨q”为真命题，故选：B．4．双曲线C：x2﹣=1的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的方程求出顶点坐标，焦点坐标以及渐近线方程，求出对应的距离，进行求解即可．【解答】解：双曲线的一个定点为A（1，0），焦点为F（2，0），双曲线的渐近线方程为y=±x，不妨设y=x，即x﹣y=0，则A到渐近线的距离d==，焦点到渐近线的距离d===，则顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为，故选：A．5．若向量，满足||=||=2，与的夹角为60°，在+上的投影等于（）A．B．2 C．D．4+2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用向量在向量方向上的投影公式求得答案．【解答】解：∵||=||=2，与的夹角为60°，∴•（+）=||2+=||2+||•||cos60°=4+2×2×=6，∵|+|2=||2+||2+2=||2+||2+2||•||cos60=4+4+2×2×2×=12，∴|+|=2∴在+上的投影等于==，故选：C．6．过点A（a，a）可作圆x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0的两条切线，则实数a的取值范围为（）A．a＜﹣3或a＞1 B．a＜C．﹣3＜a＜1 或a＞D．a＜﹣3或1＜a＜【考点】圆的切线方程；圆的一般方程．【分析】把已知圆的方程化为标准方程，找出圆心P的坐标和圆的半径r，并根据二元二次方程构成圆的条件可得a的范围，利用两点间的距离公式求出|AP|的值，由过A可作圆的两条切线，得到点A在圆P外，可得|AP|的值大于圆的半径r，列出关于a的不等式，求出不等式的解集，与求出的a的范围求出并集，可得满足题意a的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x﹣a）2+y2=3﹣2a，可得圆心P坐标为（a，0），半径r=，且3﹣2a＞0，即a＜，由题意可得点A在圆外，即|AP|=＞r=，即有a2＞3﹣2a，整理得：a2+2a﹣3＞0，即（a+3）（a﹣1）＞0，解得：a＜﹣3或a＞1，又a＜，可得a＜﹣3或1＜a＜，故选：D．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=cos2x的图象，则只要将f（x）的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先根据图象确定A和T的值，进而根据三角函数最小正周期的求法求ω的值，再将特殊点代入求出φ值从而可确定函数f（x）的解析式，然后根据诱导公式将函数化为余弦函数，再平移即可．【解答】解：由图象可知A=1，T=π，∴ω==2∴f（x）=sin（2x+φ），又因为f（）=sin（+φ）=﹣1∴+φ=+2kπ，φ=（k∈Z）∵|φ|，∴φ=∴f（x）=sin（2x+）=sin（+2x﹣）=cos（﹣2x）=cos（2x﹣）∴将函数f（x）向左平移可得到cos[2（x+）﹣]=cos2x=y故选C．8．执行如图所示的程序框图．若输入a=3，则输出i的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图及已知中输入a=3，可得：进入循环的条件为a＞45，模拟程序的运行结果，即可得到输出的i值．【解答】解：当a=9时，i=1；当a=21时，i=2；当a=45时，i=3；当a=93时，i=4；结束循环故选：C9．已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（）A．a1d＞0，dS4＞0 B．a1d＜0，dS4＜0 C．a1d＞0，dS4＜0 D．a1d＜0，dS4＞0 【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由a3，a4，a8成等比数列，得到首项和公差的关系，即可判断a1d和dS4的符号．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则a3=a1+2d，a4=a1+3d，a8=a1+7d，由a3，a4，a8成等比数列，得，整理得：．∵d≠0，∴，∴，=＜0．故选：B．10．如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥A﹣BCD，则当三棱锥A﹣BCD体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】当三棱锥A﹣BCD体积最大时，平面ADC⊥平面BDC，取DC中点O，连结AO，BO，则AO⊥平面BDC，BO⊥平面ADC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AD与BC所成的角的余弦值．【解答】解：∵边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，∴AD=AC=BD=BC=DC=1，当三棱锥A﹣BCD体积最大时，平面ADC⊥平面BDC，取DC中点O，连结AO，BO，则AO⊥平面BDC，BO⊥平面ADC，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（0，﹣，0），A（0，0，），B（，0，0），C（0，，0），=（0，﹣，﹣），=（﹣，，0），设异面直线AD与BC所成的角为θ，则cosθ===．∴异面直线AD与BC所成的角的余弦值为．故选：B．11．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且f （x+2）为偶函数，f（4）=1，则不等式f（x）＜e x的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性；奇偶性与单调性的综合．【分析】构造函数g（x）=（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：∵y=f（x+2）为偶函数，∴y=f（x+2）的图象关于x=0对称∴y=f（x）的图象关于x=2对称∴f（4）=f（0）又∵f（4）=1，∴f（0）=1设g（x）=（x∈R），则g′（x）==又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）﹣f（x）＜0∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定义域上单调递减∵f（x）＜e x∴g（x）＜1又∵g（0）==1∴g（x）＜g（0）∴x＞0故选B．12．设F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C的右支上的点，射线PT平分∠F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若|MP|=|F1F2|，则C 的离心率为（）A．B．3 C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】运用极限法，设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即|PM|→a，结合离心率公式即可计算得到．【解答】解：设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即|PM|→a，特别地，当P与A重合时，|PM|=a．由|MP|=|F1F2|=，即有a=，由离心率公式e==．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′=6，O′C′=2，则原图形的面积为24．【考点】斜二测法画直观图．【分析】根据所给的数据做出直观图形的面积，根据直观图的面积：原图的面积=，得到原图形的面积．【解答】解：∵矩形O'A'B'C'是一个平面图形的直观图，其中O'A'=6，O'C'=2，∴直观图的面积是6×2=12∵直观图的面积：原图的面积=∴原图形的面积是12÷=24．故答案为：24．14．若不等式x2+y2≤2所表示的区域为M，不等式组表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在区域M内的概率为．【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】由题意，所求概率满足几何概型的概率，只要分别求出S阴影，S N，求面积比即可．【解答】解：由题，图中△OCD表示N区域，其中C（6，6），D（2，﹣2）所以S N=×=12，S阴影==，所以豆子落在区域M内的概率为．故答案为：．15．在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1②0＜sinA+sinB≤③sin2A+cos2B=1④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是④．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】已知式子变形可得A+B=90°，逐个选项判定即可．【解答】解：∵tan=sinC∴=2sin cos，整理求得cos（A+B）=0，∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）∵45°＜A+45°＜135°，∴＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，②不正确；cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，∴cos2A+cos2B=sin2C，④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知④正确故答案为：④16．已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】取AC，BC的中点分别为E，F；化简可得2+4=0，从而记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，从而可得=cosA，从而解得．【解答】解：∵+2+3=，∴++2+2=，取AC，BC的中点分别为E，F；∴2+4=0，记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，故=cosA，即=2cosA，解得cosA=或cosA=﹣（舍去），故A=，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤．）17．已知数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用递推关系即可得出；（II）=（3n﹣2）•2n+（﹣1）n•2n．设数列{（3n﹣2）•2n}的前n项和为A n，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：：（I）∵数列{b n}的前n项和，∴b1=B1==1；当n≥2时，b n=B n﹣B n﹣1=﹣=3n﹣2，当n=1时也成立．∴b n=3n﹣2．（II）=（3n﹣2）•2n+（﹣1）n•2n．设数列{（3n﹣2）•2n}的前n项和为A n，则A n=2+4×22+7×23+…+（3n﹣2）•2n，2A n=22+4×23+…+（3n﹣5）•2n+（3n﹣2）•2n+1，∴﹣A n=2+3（22+23+…+2n）﹣（3n﹣2）•2n+1=﹣4﹣（3n﹣2）•2n+1=（5﹣3n）•2n+1﹣10，∴A n=（3n﹣5）•2n+1+10．数列{（﹣1）n•2n}的前n项和== [1﹣（﹣2）n]．∴数列{a n}的前n项和T n=（3n﹣5）•2n+1+10 [1﹣（﹣2）n]．18．某工厂有工人500名，记35岁以上（含35岁）的为A类工人，不足35岁的为B类工人，为调查该厂工人的个人文化素质状况，现用分层抽样的方法从A、B两类工人中分别抽取了40人、60人进行测试．（I）求该工厂A、B两类工人各有多少人？（Ⅱ）经过测试，得到以下三个数据图表：（茎、叶分别是十位和个位上的数字）（如图）表：100名参加测试工人成绩频率分布表组号分组频数频率1 [55，60） 5 0.052 [60，65）20 0.203 [65，70）4 [70，75）35 0.355 [75，80）6 [80，85）合计100 1.00①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图二）补充完整；②该厂拟定从参加考试的79分以上（含79分）的B类工人中随机抽取2人参加高级技工培训班，求抽到的2人分数都在80分以上的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据分层抽样即可求出A，B类工人；（Ⅱ）①根据茎叶图即可完成频率分布表和频率分布直方图；②79分以上的B类工人共4人，记80分以上的三人分别为甲，乙，丙，79分的工人为a，一一列举出所有的基本事件，找到满足条件恩对基本事件，根据概率公式计算即可．【解答】解：（I）有题知A类工人有500×=200（人）；则B类工人有500﹣200=300（人）．（Ⅱ）①表一，组号分组频数频率1 [55，60） 5 0.052 [60，65）20 0.203 [65，70）25 0.254 [70，75）35 0.355 [75，80）10 0.106 [80，85） 5 0.05合计100 1.00图二②79分以上的B类工人共4人，记80分以上的三人分别为甲，乙，丙，79分的工人为a，从中抽取2人，有（甲，乙），（甲，丙），（甲，a），（乙，丙），（乙，a），（丙，a）共6种抽法，抽到2人均在80分以上有（甲，乙），（甲，丙），（乙，丙），共3种抽法．则抽到2人均在80分以上的概率为=．19．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．（1）求证：BN丄平面C1B1N；（2）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP∥平面CNB1，并求的值．（3）求点A到平面CB1N的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）由题意可得BB1C1C是矩形，AB⊥BC，AB⊥BB1，BC⊥BB1 ，AB=BC=4，BB1=CC1=8，AN=4，BC⊥平面ANBB1，证明B1C1⊥BN，BN⊥B1N，可证得BN⊥平面C1B1N．（2）过M作MR∥BB1，交NB1于R，过P作PQ∥BB1，交CB1于Q．设PC=a，求得PQ=2a．由PQ=MR得a=3，此时，PMRQ是平行四边形，可得MP∥平面CNB1，可求得的值．（3）先求出△CNB1的面积，而△ANB1面积可求，设点A到平面CB1N的距离为h，根据等体积法可得=，由此求得h的值．【解答】（1）证明：如图：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，∴BB1C1C是矩形，AB⊥BC，AB⊥BB1，BC⊥BB1 ，由三视图中的数据知：AB=BC=4，BB1=CC1=8，AN=4．∵AB⊥BC，BC⊥BB1，∴BC⊥平面ANBB1，∵B1C1∥BC，∴B1C1⊥平面ANBB1 ，因此B1C1⊥BN．在直角梯形B1BAN中，过N作NE∥AB交BB1于E，则B1E=BB1﹣AN=4，故△NEB1是等腰直角三角形，∴∠B1NE=45°，又AB=4，AN=4，∴∠ANB=45°，因此∠BNB1=90°，即BN⊥B1N，又B1N∩B1C1=B1，∴BN⊥平面C1B1N．（2）解：过M作MR∥BB1，交NB1于R，则MR==6，过P作PQ∥BB1，交CB1于Q，则PQ∥MR，设PC=a，则=，即=，∴PQ=2a．由PQ=MR得：2a=6，a=3，此时，PMRQ是平行四边形，∴PM∥RQ，PM=RQ．∵RQ⊂平面CNB1，MP⊄平面CNB1，∴MP∥平面CNB1， ==．（3）∵△CNB1中，CN===4，NB1===4，CB1===4，∴CN2+=，∴CN⊥NB1．设点A到平面CB1N的距离为h，∵=，∴•（）•h=•（AN•NB1•sin∠ANB1）•CB，即CN•NB1•h=AN•NB1•sin（90°+45°）•CB，即 4•4•h=4•4••4，∴h=．20．在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点（，0）且与直线x=﹣相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E．（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）设P是曲线E的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为（x﹣1）2+y2=1，求△PBC面积的最小值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）运用抛物线的定义，可得轨迹为抛物线，进而得到方程；（Ⅱ）设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），求得直线PB的方程，运用直线和圆相切的条件：d=r，求得b，c的关系，求得△PBC的面积，结合基本不等式，即可得到最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知圆心到（，0）的距离等于到直线x=﹣的距离，由抛物线的定义可知，圆心的轨迹方程：y2=2x．（Ⅱ）设P（x0，y0），B（0，b），C（0，c），直线PB的方程为：（y0﹣b）x﹣x0y+x0b=0，又圆心（1，0）到PB的距离为1，即=1，整理得：（x0﹣2）b2+2y0b﹣x0=0，同理可得：（x0﹣2）c2+2y0c﹣x0=0，所以，可知b，c是方程（x0﹣2）x2+2y0x﹣x0=0的两根，所以b+c=，bc=，依题意bc＜0，即x0＞2，则（c﹣b）2=，因为y02=2x0，所以：|b﹣c|=||所以S=|b﹣c|•|x0|=（x0﹣2）++4≥8当x0=4时上式取得等号，所以△PBC面积最小值为8．21．已知函数f（x）=lnx．（1）若曲线g（x）=f（x）+﹣1在点（2，g （2））处的切线与直线x+2y﹣1=0平行，求实数a的值．（2）若h（x）=f（x）﹣在定义域上是增函数，求实数b的取值范围．（3）设m、n∈R*，且m≠n，求证： |．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出解析式与导数，求出直线的斜率，利用导数值，求解即可．（2）利用求出导函数，通过h′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，得到，利用基本不等式求解最值．（3）不妨设m＞n＞0，利用分析法，结合函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：，g （x）在点（2，g （2））处的切线与直线x+2y﹣1=0平行，∴（2）证：由得：∵h（x）在定义域上是增函数，∴h′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立∴x2+2（1﹣b）x+1＞0，即恒成立∵当且仅当时，等号成立∴b≤2，即b的取值范围是（﹣∞，2]（3）证：不妨设m＞n＞0，则要证，即证，即设由（2）知h （x）在（1，+∞）上递增，∴h （x）＞h （1）=0故，∴成立[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，圆M与圆N交于A，B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C，D 两点，延长延长DB交圆M于点E，延长CB交圆N于点F．已知BC=5，DB=10．（1）求AB的长；（2）求．【考点】弦切角；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据弦切角定理，推导出△ABC∽△DBA，由此能求出AB的长．（2）根据切割线定理，推导出△ABC∽△DBA，得，，由此能求出．【解答】解：（1）根据弦切角定理，知∠BAC=∠BDA，∠ACB=∠DAB，∴△ABC∽△DBA，则，故．…（2）根据切割线定理，知CA2=CB•CF，DA2=DB•DE，两式相除，得（*）由△ABC∽△DBA，得，，又，由（*）得．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直l的参数方程是（t是参数）（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|=，求直线的倾斜角α的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】本题（1）可以利用极坐标与直角坐标互化的化式，求出曲线C的直角坐标方程；（2）先将直l的参数方程是（t是参数）化成普通方程，再求出弦心距，利用勾股定理求出弦长，也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解，求出对应的参数t1，t2的关系式，利用|AB|=|t1﹣t2|，得到α的三角方程，解方程得到α的值，要注意角α范围．【解答】解：（1）∵ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为：ρ2=4ρcosθ，∴x2+y2=4x，∴（x﹣2）2+y2=4．（2）将代入圆的方程（x﹣2）2+y2=4得：（tcosα﹣1）2+（tsinα）2=4，化简得t2﹣2tcosα﹣3=0．设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则，∴|AB|=|t1﹣t2|==，∵|AB|=，∴=．∴cos．∵α∈[0，π），∴或．∴直线的倾斜角或．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=的最大值为M．（Ⅰ）求实数M的值；（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣|+|x+2|≤M的解集．【考点】函数的最值及其几何意义；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用基本不等式以及重要不等式，转化求解函数的最值，即可求实数M的值；（Ⅱ）通过绝对值不等式的几何意义，之间求关于x的不等式|x﹣|+|x+2|≤M的解集．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣5：不等式选讲解：（I）因为a，b＞0时，，所以，当且仅当时等号成立．故函数f（x）的最大值﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得．所以不等式的解x就是方程的解．由绝对值的几何意义得，当且仅当时，．所以不等式的解集为：﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣。
河南省南阳市2018届高三上学期期末考试数学(文)试题(精品解析)
2017年秋期高中三年级期终质量评估数学试题（文）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】或，，，故选A.2.已知（为虚数单位），则复数（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，，，，故选C.3.已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题可设双曲线的方程为：，将点代入，可得，整理即可得双曲线的方程为.故选D.4.设，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，，故选B.5. 从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】试题分析：从甲乙等名学生中随机选出人，基本事件的总数为，甲被选中包含的基本事件的个数，所以甲被选中的概率，故选B．考点：古典概型及其概率的计算．6.已知实数满足，则目标函数（）A. ，B. ，C. ，无最小值D. ，无最小值【答案】C【解析】画出约束条件表示的可行域，如图所示的开发区域，变形为，平移直线，由图知，到直线经过时，因为可行域是开发区域，所以无最小值，无最小值，故选C.【方法点晴】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体为如图所示的四棱锥，图中正方体的棱长为，该多面体如图所示，外接球的半径为为，外接圆的半径，由可得，，故该多面体的外接球的表面积，故选C.8.运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A. 2017B. 2016C. 1009D. 1008【答案】D【解析】输出结果为，选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.9.为得到的图象，只需要将的图象（）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【答案】D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向左平移个单位；故选D．考点：1.诱导公式；2.三角函数的图像变换．10.函数的大致图象为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，，由，得，由，得，在上递增，在上递减，，即时，，只有选项C符合题意，故选C.11.设数列的通项公式，若数列的前项积为，则使成立的最小正整数为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C【解析】因为，所以，该数列的前项积为，使成立的最小正整数为，故选C.12.抛物线的焦点为，过且倾斜角为60°的直线为，，若抛物线上存在一点，使关于直线对称，则（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】关于过倾斜角为的直线对称，，由抛物线定义知，等于点到准线的距离，即，由于，，，代入抛物线方程可得，，解得，故选A.【方法点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及点关于直线对称问题，属于难题. 与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.曲线在点处的切线方程为__________．【答案】【解析】，切线的斜率，又过所求切线方程为，即，故答案为.【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于简单题. 求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.14.已知点，，，若，则实数的值为_______．【答案】【解析】点，，，，又，，两边平方得，解得，经检验是原方程的解，实数的值为，故答案为.15.已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________．【答案】【解析】试题分析：，由正弦定理得.考点：解三角形，三角形外接圆.16.若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】不等式对任意正数恒成立，，，当且仅当时取等号，，实数的取值范围为，故答案为.三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）根据等差数列的，且，，构成等比数列，列出关于首项、公差的方程组，解方程组可得与的值，从而可得数列的通项公式，进而可得的通项公式；（2）由（1）可得，利用错误相减法求和后即可得结果.试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由已知∴又解得或（舍去）∴，∴又，∴，∴（2）∴两式相减得则.【易错点晴】本题主要等差数列、等比数列的通项公式、“错位相减法”求数列的和，属于难题. “错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以.18.经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的使用年数（0＜≤10）与销售价格（单位：万元/辆）进行整理,得到如下的对应数据：（Ⅰ）试求关于的回归直线方程；（附：回归方程中，（Ⅱ）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元,根据（Ⅰ）中所求的回归方程,预测为何值时,小王销售一辆该型号汽车所获得的利润最大.【答案】（I）；（II）预测当时,销售利润取得最大值．【解析】试题分析：（1）由表中数据利用平均数公式计算，根据公式求出将样本中心点坐标代入回归方程求得，即可写出回归直线方程；（2）写出利润函数，利用二次函数的图象与性质求出时取得最大值.试题解析：（1）由已知：,,,，；所以回归直线的方程为（2），所以预测当时,销售利润取得最大值．19.如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.（1）证明：；（2）若，求三棱柱的高.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析：（1）在矩形中，根据相似三角形的性质可知，由平面，可得平面平面，∴；（2）设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得,∴.试题解析：（1）在矩形中，由平面几何知识可知又平面，∴，平面平面平面，∴.（2）在矩形中，由平面几何知识可知，∵，∴，∴，设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.又，由得,∴.20.平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点、，求面积的最大值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）运用椭圆的离心率公式和过焦点垂直于对称轴的弦长，结合的关系列出关于、、的方程组，求出、，可得椭圆的方程；（2）讨论直线的斜率为和不为，设方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理与弦长公式求得弦长，求出点到直线的距离运用三角形的面积公式，化简整理，运用换元法和基本不等式，即可得到面积的最大值.试题解析：（1）由题意可得，令，可得，即有，又，所以，．所以椭圆的标准方程为；（2）设，，直线方程为，代入椭圆方程，整理得，则，所以．∴当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．则面积的最大值是．【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值，属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题（2）就是用的这种思路，利用均值不等式法求三角形最值的.21.已知函数（其中，为常数且）在处取得极值．（Ⅰ）当时，求的单调区间；（Ⅱ）若在上的最大值为1，求的值．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，；单调递减区间为; （Ⅱ）或.【解析】试题分析：（Ⅰ）由函数的解析式，可求出函数导函数的解析式，进而根据是的一个极值点，可构造关于，的方程，根据求出值；可得函数导函数的解析式，分析导函数值大于0和小于0时，的范围，可得函数的单调区间；（Ⅱ）对函数求导，写出函数的导函数等于0的的值，列表表示出在各个区间上的导函数和函数的情况，做出极值，把极值同端点处的值进行比较得到最大值，最后利用条件建立关于的方程求得结果．试题解析：（Ⅰ）因为，所以，因为函数在处取得极值，当时，，，由，得或；由，得，即函数的单调递增区间为，；单调递减区间为．（Ⅱ）因为，令，，，因为在处取得极值，所以，当时，在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上的最大值为，令，解得，当，，当时，在上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能的在或处取得，而，所以，解得；当时，在区间上单调递增，上单调递减，上单调递增，所以最大值1可能在或处取得，而，所以， 解得，与矛盾．当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所最大值1可能在处取得，而，矛盾．综上所述，或．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．（1）求圆的直角坐标方程；（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值．【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）由得，由，从而得解；（2）将的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得，，。
河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第三次考试数学(理)试题Word版含答案
②命题“若 x sin x 0 ，则 x 0 ”的逆否命题为“若 x 0 ，则 x sin x 0 ”； ③“命题 p q 为真”是“命题 p q 为真”的充分不必要条件；
④若 x 0 ，则3 个 C. 2
个 D ．1 个
6. 函数 f x cos x
3. 函数 f x
ln x 1
2
的零点所在的大致区间是（
）
x
A． 0,1
B ． 1,2 C ． 2,e D ． 3,4
4. 函数 f x
2x 2, x 1 ，则 f f 5
（
）
log2 x 1 , x 1
2
A． 1 2
B ． -1 C. -5 D
5. 下列四个结论，其中正确结论的个数是（
1
．
2
）
①命题“ x R, x ln x 0 ”的否定是“ x0 R, x0 ln x0 0 ”；
A． 1,3
B ． 1,3 C ． 3,5 D ． 1,5
2. 命题“若 x2 y2 0 ，则 x y 0 ”的否命题为（
）
A．若 x2 y2 0 ，则 x 0 且 y 0
B
．若 x2 y2 0 ，则 x 0 或 y 0
C．若 x2 y2 0 ，则 x 0 且 y 0
D ．若 x2 y 2 0 ，则 x 0 且 y 0
的部分图象如图所示，则 f x 的单调递减区间为（
）
1
南阳一中 2015 级高三第三次考试
理数试题（ A）
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分） 一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的 . 1. 已知集合 A x | x2 2x 3 0 , B x | log 2 x 1 2 ，则 CR A I B （ ）
高三数学上学期第三次考试试题理(扫描版)(2021学年)
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河南省南阳市2018届高三数学上学期第三次考试试题理（扫描版）。
河南省南阳市2018届高三数学上学期第三次考试试题文201710170235
河南省南阳市2018届高三数学上学期第三次考试试题文第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A0，1，2,B x|2x1,x Z，则A U B（）A．0B．0,1,2C．1,0,1,2D．2,1,0,1,2 2.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）1A．B．C．D．y y x2y x3y sin xx3.函数y2x24x的值域是（）A．0,B．1,2C．0,2D．,21114.三个数的大小顺序为（）a b2c,2,log31e2A．b c a B．c a b C. c b a D．b a c 5.函数f x ln x e的零点所在的区间都是（）x111,ee,A．B． C.D．0,,1e e3log x,x06.已知函数，则不等式5的解集为（）f x2f xx x1,x02A．1,1B．,20,4 C. 2,4D．,20,47.已知m R，“函数y2x m1有零点”是“函数y log x在0,上为减函数”的m（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C. 充要条件D．既不充分也不必要条件8.函数的图象大致为（）f x2x x,cosA．B． C.1D ． 9. 若函数 fxxtx x在区间1, 4上单调递减，则实数t 的取值范围是（）3235151,33,A ．B ．C.D ．, , 8810.已知函数 f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间0,上单调递增.若实数a 满足f log a f log a2 f 1 212，则 的取值范围是（）a11A ．1,2B ．C.D ．0, 20, ,22211.设函数 fx 是奇函数 fx x R的导函数， f1 0，当 x 0 时，xfx fx0 fx 0 x，则使得成立的 的取值范围是（）A ．,1U 0,1 B ．1, 0U1,C.,1U 1,D ．0，1U 1，12.设 f x 是定义在R 上的偶函数，且满足 f x2 fx 0，当 0 x 1时，f xxf xg xk2，又 ，若方程恰有两解，则 的取值范围是g xkx 14（）4 44 44 4 4 A ．B ．C.D ．,1,. , , 11 511 53 1154 4 41, , ,3 11 5二、填空题：本大题共 4个小题，每小题 5分. 13.经过原点0, 0作函数33 2 图象的切线，则切线方程为 ．f xxx14.已知 a0, ， tan2 ，则 cos．24f xxC15.函数sin 2的图像为 ，如下结论中正确的是（写出所有正确3结论的编号）._____________211①图象C关于直线x对称；122②图象C关于点,0对称；355③f x在区间内是增函数；1212④将y sin2x的图象向右平移个单位可得到图像C.316.若函数2x a满足f1x f1x，且f x在m,上单调递增，f x a R则实数m的最小值等于．第II卷（解答题共70分）三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知tan2.（1）求tan的值；4sin2（2）求的值.sin sin cos cos21218.求值.20.52274923（1）；0.0083892522（2）.2lg2lg2g lg5lg22lg21f x x22ax5a1 19. 已知函数.（1）若函数f x的定义域和值域均为1,a，求实数a的值；（2）若f x在区间,2上是减函数，且对任意的，总有x1,x21,a1f x f x a，求实数的取值范围.12420.如图为函数y f x A sin x A0,0,图像的一部分.（1）求函数f x的解析式；y g x（2）若将函数y f x图像向在左平移的单位后，得到函数的图像，若633g x x，求的取值范围.2f x a ln x x1 21. 已知函数.2（1）若曲线y f x在x 1处的切线方程为4x y b 0，求实数a和b的值；（2）讨论函数f x的单调性.f x x2m ln x,g x x2x a 22. 设函数.（1）当a 0时，f x g x 在1,上恒成立，求实数m的取值范围；（2）当m 2时，若函数hx f x g x 在1,3上恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围；试卷答案1-5 ：CCCCA 6 -10：CBCCC 11-12：BD13 y0或9x 4y014. 31015 ①②③16.11017解：（1）tan tan4tan41tantan4tan 12131tan 12（2）原式2sincossin sin cos(2cos1)1222sin cossin sin cos2cos222tan221tan tan22222242 1 2849 1000 2 ( ) ( )( )18．解：（1）原式=323279 8 254 72 17 12529 3 25 9 9（2）原式=lg 2(2lg 2lg5)(1lg 2)=lg 2lg101lg 2=1f xx 22ax 5 a fx x 22ax 5a 119. （1）因为在(-]上为减函 数，所以在[1, a ]上单调递减，即 fx= f1=a ， fx= f a =1，所以 a =2maxmin（2）因为 fx在(-上是减函数，所以 a ≥2.所以 f x在[1,a ]上单调递减，在[a ,a+1 ]上单调递增,所以 fx= f a=5-a fx=max{ f 1， fa 1}，又 f1-2minmaxf a 1a a 2 a a fxf 1a=6-2 -（6- ）= （ -2）≥0，所以 ==6-2 .因为对任意的 x 1,x 2maxa fxfxfxf xaa [1， +1] ,总有-4，所以-4，即-13，又12maxmin≥2，故 2a3220. 【答案】(1)(2)f x3 sin 2x37kxk k Z4 12试题解析：(1)由图像可知5 A T3,2 63 2T2 f x3sin2x7 , 3，函数图像过点，则127 7 2 3 sin 23 2k12 6 23，故2 f x 3sin2x323(2)，即g x 3 sin 2 x 3 sin 2x63321 5sin 2x2k2x2k k Z3 2 636，即57k x kk Z412a21解：（1）f(x)a ln x x21求导得f'(x)2x在x 1处的切线方程为x4x y bf'(1)a 24a 6,4f(1)b，，得,b=-4.'2a a x2（2）()2当时，在恒成立，所以在f x xa0f'(x)(0,)f(x) x xa a(a0'()0,0,)f xxf'(x)x0上是减函数.当时，（舍负），22f'(x)0xa2a(af(x))在(0,上是增函数，在,)上是减函数；2222【答案】（1）m e；（2）(22ln 2,32ln3]试题解析：（1）当a 0时，由f x gx0得m ln x x，x1,∵x 1，∴ln x 0，∴有在上恒成立，mln xx ln x 1令，由得，hx0x e h x,h xln x ln x2当 x e ,h x 0,0 x e ,h 0 0，∴ h x在0,e上为减函数，在e ,上为增函数，∴，∴实 数 的取值范围为 ；h xh eem m e min（2）当 m 2 时，函数 h xfxgx x 2ln x a ，hx1, 3x 2 ln x a1, 3在上恰有两个不同的零点，即 在上恰有两个不同的零点，令 xx 2ln x ，则x 12 x 2 ，xx当1 x 2，x0；当 2 x 3，x 0，∴x在1, 2上单减，在2, 3上单增，，minx 2 2 2 ln 2又11, 3 3 2ln 3，13如图所示，6所以实数a的取值范围为(22ln2,32ln3]7。
河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第三次考试(文)数学试题及答案解析
河南省南阳市第一中学2018届高三上学期第三次考试数学试题（文）第Ⅰ卷一、选择题1. 已知集合，则（）A. B. C. D.2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.3. 函数的值域是（）A. B. C. D.4. 三个数的大小顺序为（）A. B. C. D.5. 函数的零点所在的区间都是（）A. B. C. D.6. 已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.7. 已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 函数的图象大致为（）A. B.C. D.9. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.10. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.11. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.12. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，又，若方程恰有两解，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 经过原点作函数图象的切线，则切线方程为__________．14. 已知，，则__________．15. 函数的图像为，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③在区间内是增函数；④将的图象向右平移个单位可得到图像.16. 若函数满足，且在上单调递增，则实数的最小值等于__________．第II卷三、解答题17. 已知.（1）求的值；（2）求的值.18. 求值.（1）；（2）.19. 已知函数.（1）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；（2）若在区间上是减函数，且对任意的，总有，求实数的取值范围.20. 如图为函数图像的一部分.（1）求函数的解析式；（2）若将函数图像向在左平移的单位后，得到函数的图像，若，求的取值范围.21. 已知函数.（1）若曲线在处的切线方程为，求实数和的值；（2）讨论函数的单调性.22. 设函数.（1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围；（2）当时，若函数在上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围；【参考答案】第Ⅰ卷一、选择题1. 【答案】C【解析】集合，所以.故选C.2. 【答案】C【解析】试题分析：由题求定义域内既是奇函数又是增函数为增函数，A．为减函数．B．，有减有增且为偶函数．D．．有减有增，C．为奇函数且为增函数，满足．3. 【答案】C【解析】本题考查函数的三要素及函数的单调性.由得：所以函数的定义域为设，在上是增函数，在上是减函数；时，取最大值4；时，取最小值0；所以则则即函数的值域为故选B4. 【答案】C【解析】试题分析：,,,故.5. 【答案】A【解析】试题分析：由题设可知，所以函数的零点所在的区间是，故应选A。
河南省南阳市第一中学2018学年高二上学期第三次月考数
数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知等差数列的前三项依次为1,1,23a a a -++，则此数列的第n 项为（ ） A ．25n - B ．23n - C ．21n - D ．21n +2.不等式220ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -的值等于（ ） A ． -14 B ． 14 C ． -10 D ．10 3.下列说法中不正确的命题个数为（ ）①命题“2,10x R x x ∀∈-+≤”的否定是“2000,10x R x x ∃∈-+>”②命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”③“三个数,,a b c 成等比数列”是“b = A ． 0 B ．1 C ．2 D ． 34.在ABC ∆中，60A =，2AB =，且ABC ∆BC 的长为（ ）A ．B ．2 5.若{}n a 是等差数列，首项10a >，560a a +>，560a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 的值是（ ）A ． 6B ．7 C. 8 D ．106.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2，左顶点到一条渐近线的距离为3，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．22184x y -= B ．221168x y -= C. 2211612x y -= D ．221128x y -=7.已知函数32()23f x x x a =-+的极大值与极小值和为11，那么a 的值是（ ） A ． 0 B ． 1 C. 5 D ．68.已知变量,x y 满足430140x y x x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则x y -的取值范围是（ ）A ．6[2,]5-B ． [2,0]- C. 6[0,]5D ．[2,1]-- 9.三次函数323()212f x ax x x =-++的图象在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，则()f x 在区间(1,3)上的最小值是（ ） A ．83 B ．116 C. 113 D ．5310.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若3A π=，(1cos )cos b C c A -=，2b =，则ABC ∆的面积为（ ） A．11.设12,F F 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．B．C. D． 12.已知正数,,a b c 满足12c e a ≤≤，ln ln c b a c c =+，则ln ba的取值范围是（ ） A ．1[1,ln 2]2+ B ．[1,)+∞ C. (,1]e -∞- D ．[1,1]e - 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知命题:[1,2]p x ∀∈，20x a -≥；命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为 ．14.已知椭圆2255kx y +=的一个焦点坐标是(2,0)，则k = ．15.已知圆224x y +=与双曲线2221(0)4x y b b -=>的两条渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形ABCD 的面积为2b ，则b = ． 16.已知抛物线22y px =过点1(,)42M ，,A B 是抛物线上的点，直线,,OA OM OB 的斜率依次成等比数列，则直线AB 恒过点 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分10分）已知函数32()(,)f x mx nx m n R =+∈在2x =时有极值，其图像在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行． （1）求,m n 的值；（2）求函数()f x 的单调区间． 18. （本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且12231a a +=，23269a a a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和． 19. （本小题满分12分）ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=．（1）求C ；（2）若c =ABC ∆的面积为2ABC ∆的周长． 20. （本小题满分12分）已知函数2()ln ()f x x ax x a R =-+-∈．（1）当3a =时，求函数()f x 在1[,2]2上的最大值和最小值； （2）函数()f x 既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围． 21. （本小题满分12分）已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b +=>>的短轴长为2，直线l 过点(1,0)-交椭圆E于,A B 两点，O 为坐标原点． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）求OAB ∆面积的最大值． 22. （本小题满分12分）如图，(1,2)A 、1(,1)4B -是抛物线2(0)y ax a =>上的两个点，过点,A B 引抛物线的两条弦,AE BF ．（1）求实数a 的值；（2）若直线AE 与BF 的斜率是互为相反数，且,A B 两点在直线EF 的两侧． ①直线EF 的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由； ②求四边形AEBF 面积的取值范围．试卷答案1—12：BCBBDA DADDCD13}{1,2=-≤a a a 或14．1 15．．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭17解：（Ⅰ）nx mx x f 23)(2/+=())(2n mx x x f += （R n m ∈,）在2x =时有极值，其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线30x y +=平行∴''(2)0(1)3f f ⎧=⎪⎨=-⎪⎩即1240323m n m n +=⎧⎨+=-⎩ 解得：13m n =⎧⎨=-⎩（2）由（1）得2()36f x x x =-， 令2360x x ->，解得2x >或0x <∴()f x 在(2,)+∞为增函数，在(,0)-∞为增函数，令240x -<，解得02x <<，∴()f x 在(0,2)为减函数------10分18解：（Ⅰ）设数列{a n }的公比为q,由23a ＝9a 2a 6得23a ＝924a ,所以q 2＝19． 由条件可知q ＞0,故q ＝13．由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1,所以a 1＝13． 故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n ．（Ⅱ）b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－（1＋2＋…＋n ）＝－()12n n +．故()1211211n b n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭． 121111111122122311n n b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=--+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为21n n -+19解：（1）()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅==∴6ab = ∴()2187a b +-=5a b +=∴ABC △周长为5a b c ++=+20解：（I ）3a =时，21231(21)(1)'()23x x x x f x x x x x-+--=-+-=-=-.函数()f x 在区间1(,2)2仅有极大值点1x =，故这个极大值点也是最大值点，故函数在1[,2]2最大值是(1)2f =.又153(2)()(2ln 2)(ln 2)2ln 20244f f -=--+=-<，故1(2)()2f f<. 故函数在1[,2]2上的最小值为(2)2ln 2f =-.（II ）2121'()2x ax f x x a x x-+-=-+-=，若()f x 既有极大值又有极小值，则首项必须'()0f x =有两个不同正根12x x ，，即2210x ax -+=有两个不同正根.故a应满足2080002a a aa ∆>⎧⎧->⎪⇒⇒>⎨⎨>>⎩⎪⎩21解：（1）由题意得1b =，由2231c a a c ⎧=⎪⎨⎪=+⎩，得a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩（3分） ∴椭圆E 的标准方程为2213x y +=.（4分）（2）依题意可设直线l 的方程为1x my =-,由22131x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得22(3)220m y my +--=，（6分）2248(3)0m m ∆=++>，设1122(,)(,)A x y B x y 、，则1221222323m y y m y y m ⎧+=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，（8分）设23(3)m t t +=≥，则（10分） ∵3t ≥∴当113t=，即3t =时，OAB △的面积取得最大值0m =．（12分） 22.解：（1）把点()1,2A 代入拋物线方程得4a =.------2分 （2）①设点()()1122,,,E x y F x y ,直线():12A E y k x =-+,则直线11:14B F y k x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭,联立方程组()2124y k x y x⎧=-+⎪⎨=⎪⎩,消去y 得：()()222242420k x k k x k +--+-=,()()()22221112222222424,12,(,)k k k k k k x y k x E k k k k ---+-+==-+=∴联立方程组21144y k x y x⎧⎛⎫=---⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩,消去y 得：222211241024k x k k x k ⎛⎫⎛⎫---+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()()222222222244114,,141644k k k k x x y k x k k k --+⎛⎫===---= ⎪⎝⎭, 得()222244,4k k k F k k ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭.故12124EF y y k x x -==--. -------7分 ②设直线:4EF y x b =-+,联立方程组244y x b y x=+⎧⎨=⎩,消去y 得：()2216840x b x b -++=,()221846416640,4b b b b ∆=-+-=+>>-,,A B 两点分别在直线EF 的两侧,()60b b ∴-<,故06b <<,2121221,416b b x x x x ++== ,12EF x ∴=-=设12,d d 分别为点11,A B 到直线EF 的距离,12d d ==,()(12113156,2844AEBF S d d EF b b ⎛⎫=+=+-= ⎪⎝⎭, ∴四边形AEBF 面积的取值范围是315,44⎛⎫⎪⎝⎭. -------12分。
【K12教育学习资料】[学习]河南省南阳市第一中学2018届高三数学上学期第三次考试试题 文(含解析
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南阳一中2015级高三第三次考试文数试题（A）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】集合，所以.故选C.2. 下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由题求定义域内既是奇函数又是增函数为增函数，A．为减函数．B．，有减有增且为偶函数． D．．有减有增，C．为奇函数且为增函数，满足．考点：三角函数及幂函数的函数性质．3. 函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】本题考查函数的三要素及函数的单调性.由得：所以函数的定义域为设，在上是增函数，在上是减函数；时，取最大值4；时，取最小值0；所以则则即函数的值域为故选B点评:与函数有关的问题，要注意定义域优先的原则.4. 三个数的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：,,,故.考点：1、指数及其指数函数的性质；2、对数及其对数函数的性质.5. 函数的零点所在的区间都是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题设可知，所以函数的零点所在的区间是，故应选A。
考点：函数零点的判断方法及运用。
6. 已知函数，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：当时，令，解得；当时，令，解得，及，所以不等式的解集为，故选C．考点：分段函数的应用．7. 已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】试题分析：由题意得，由函数有零点可得，，而由函数在上为减函数可得，因此是必要不充分条件，故选B．考点：1.指数函数的单调性；2.对数函数的单调性；3.充分必要条件.8. 函数的图象大致为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：A、当时，，所以不正确；B、当时，，所以不正确；D、当时，，所以不正确；综上所述，故选C．考点：函数的图象与性质．【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考察函数的解析式、定义域、值域、单调性以及数学化归思想，属于难题．这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循．解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除．本题主要是利用特殊点排除法解答的．9. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：由，由于在区间上单调递减，则有在上恒成立，即，也即在上恒成立，因为在上单调递增，所以，故选C．考点：利用导数研究函数的极值与最值；函数的恒成立问题．10. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵是定义在R上的偶函数，∴∴可变为，即，又∵在区间[0,+∞)上单调递增，且f(x)是定义在R上的偶函数，∴，即，解得，故选C.11. 设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意设则∵当x>0时,有，∴当x>0时,，∴函数在(0,+∞)上为减函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(−x)=g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，g(x)在(−∞,0)上递增，由f(−1)=0得,g(−1)=0，∵不等式f(x)>0⇔x⋅g(x)>0，∴或，即有或，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是：，故选：C.点睛：本题主要考查构造函数，根据题中，联想到函数，并结合奇偶性和单调性即可解决.12. 设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，又，若方程恰有两解，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵∴是周期为2的函数，根据题意画出函数的图象过点A时斜率为,相切时斜率为1,过点B的斜率为,过点C的斜率为故选D.点睛：本题考查利用函数解决方程问题.一个是转为函数零点问题，利用二分法求解，另一个是化原函数为两个函数，利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法，首先由，变为两个函数，先画出在时的图象，然后利用函数的对称性和周期性得到的图象，再画的直线，由图求解即可.二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13. 经过原点作函数图象的切线，则切线方程为__________．【答案】【解析】∵，①若原点(0,0)是切点，则切线的斜率为f′(0)=0，则切线方程为y=0；②若原点(0,0)不是切点，设切点为，则切线的斜率为，因此切线方程为，因为切线经过原点(0,0)，∴，∵，解得.∴切线方程为，化为.∴切线方程为或.故答案为或.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．14. 已知，，则__________．【答案】【解析】因为，，所以...答案为：.15. 函数的图像为，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③在区间内是增函数；④将的图象向右平移个单位可得到图像.【答案】①②③【解析】对于，令,求得f(x)=−1,为函数的最小值,故它的图象C关于直线对称故①正确。
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南阳一中2015级高三第三次考试
文数（A ）答案
1-5 ：CCCCA 6-10：CBCCC 11-12： BD
13 0940y x y =+=或
14. 15 ①②③ 16.1 17解：（1）tan tan 4tan 41tan tan 4π
απαπα+⎛
⎫+= ⎪⎝⎭-tan 12131tan 12
αα++===--- （2）原式
2222222sin cos sin sin cos (2cos 1)1
2sin cos sin sin cos 2cos 2tan 221tan tan 2222αα
αααααααααα
ααα=
+---=+-⨯===+-+- 18．解：（1）原式=22
133284910002()()()279825
-+⨯ ………………………（3分） 472171252932599=-+⨯=-+= ………………………………（6分） （2）原式
=lg5)(1+- （8分）
=lg101+-=1 （12分）
19. （1）因为()225f x x ax =-+在(- ,a ]上为减函数，所以()()
2251f x x ax a =-+>在[1, a ]上单调递减，即()max f x =()1f =a ，()min f x =()f a =1，所以a =2。
（2）因为()f x 在(- ,2]上是减函数，所以a ≥2。
所以()f x 在[1,a ]上单调递减，在[a ,a +1]上单调递增,所以()min f x =()f a =5-2a ()max f x =max{()1f ，()1f a +}，又
()1f -()1f a +=6-2a -（6-2a ）=a （a -2）≥0，所以()max f x =()1f =6-2a 。
因为对任意的x 1, x 2∈[1，a +1], 总有 ()1f x -()2f x ≤4，所以()max f x -()min f x ≤4，即-1≤a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3。
20. 【答案】(1) (
)223f x x π⎛
⎫=-
⎪⎝⎭
(2) ()7412k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 试题解析：(1)由图像可知
5
263A T πππ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭
22T πω∴==()()2f x x ϕ∴=+，函数图像过点7
12π⎛ ⎝7722212623k ππππϕϕπϕπϕ⎛⎫⨯+=+=+<∴=- ⎪⎝⎭
，故()2
23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
(2) ()222633g x x x πππ⎡⎤⎛
⎫⎛⎫=+-=-≥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，即()15sin 222232636x k x k k Z ππππππ⎛⎫-≥∴+≤-≤+∈ ⎪⎝⎭，即()74
12k x k k Z π
πππ+≤≤+∈
21解：（1）1ln )(2+-=x x a x f 求导得'()2a f x x x
=-在1=x 处的切线方程为04=+-b y x ，'(1)24f a =-=，得6,a =4(1)0f b -+=,b=-4。
（2）2
'
2()2a a x f x x x x -=-=当0≤a 时，'()0f x ≤在),0(+∞恒成立，所以)(x f 在
),0(+∞上是减函数。
当0>a 时，'()0,f x x =='()00f x x >⇒>>，
'()0f x x <⇒>)(x f 在)2,0(a 上是增函数，在),2
(+∞a 上是减函数；
22【答案】（1）m e ≤；（2）(22ln 2,32ln3--]
试题解析：（1）当0a =时，由()()0f x g x -≥得ln m x x ≤，
∵1x >，∴ln 0x >，∴有ln x m x ≤
在()1,+∞上恒成立， 令()()2ln 1,ln ln x x h x h x x x
-'==，由()0h x '=得x e =，
当()(),0,0,00x e h x x e h ''>><<<，∴()h x 在()0,e 上为减函数，在(),e +∞上为增函数，
∴()()min h x h e e ==，∴实数m 的取值范围为m e ≤；
（2）当2m =时，函数()()()2ln h x f x g x x x a ===--，
()h x 在[]1,3上恰有两个不同的零点，即2ln x x a -=在[]1,3上恰有
两个不同的零点，
令()2ln x x x φ=-，则()221x x x x
φ-'=-=， 当12x <<，()0x φ'<；当23x <<，()0x φ'>，
∴()x φ在()1,2上单减，在()2,3上单增，()()min 222ln2x φφ==-，
又()()11,332ln3φφ==-，()()13φφ>如图所示，所以实数a 的取值范围为． (22ln 2,32ln3--]。