河南省濮阳市2016-2017学年高二下学期升级(期末)考试数学(理)试题(A卷)Word版含答案bybao

高中二年级升级考试
理科数学(A 卷)
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.设103i
z i
=
+，则z 的共轭复数为 A. 13i -+ B. 13i -- C. 13i + D.13i -
2.设命题p ：函数sin 2y x =的最小正周期为
2
π
；命题q ：函数cos y x =的图象关于直线2
x π
=
对称，则下列判断正确的是
A. p 为真
B. q ⌝为假
C.p q ∧为假
D. p q ∨为真
3.某考察团对全国10个大城市进行职工人均工资水平x （千元）与居民人均消费水平y （千
元）统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为ˆ0.66 1.562y
x =+，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比为
A. 83%
B. 72%
C. 67%
D.66%
4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4518a a =-，则8S = A. 18 B. 36 C. 54 D. 72
5.设12,z z 是复数，则下列命题中的假命题是
A.若120z z -=，则12z z =
B.若12z z =，则12z z =
C. 若12z z =，则1122z z z z ⋅=⋅
D. 若12z z =，则2212z z =
6.在一个22⨯列联表中，由其数据计算得2
13.097K =，则其两个变量间有关系的可能性为
A. 99%
B.95%
C. 90%
D. 无关系
7.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 表示ABC ∆的面积，若
()22
21cos cos sin ,4
a B
b A
c C S b c a +==
+-，则B = A.
2π B. 23π C. 4π D.6
π
8.设椭圆22
110x y +=和双曲线2218
x y -=的公共焦点为12,F F ，P 是两曲线的交点，则12PF F ∆的外接圆半径为
A. 1
B. 2
C. 9.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，设23430,120a a S +==，设31log n n b a =+，那么数列{}n b 的前15项和为
A. 152
B. 135
C. 80
D. 16
10.若一系列函数的解析式相同，值域相同，则称这些函数为“同组函数”，那么函数解析式为2y x =，值域为{}1,4的“同族函数”共有 A. 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
11.如图所示，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为,,a M N 分别为1A B 和AC 上的点，
13
a
A M AN ==
，则MN 与平面1BCC C 的位置关系为
A. 相交
B. 平行
C. 垂直
D.不能确定 12.已知函数()3
31f x x x =--，若对于区间[]3,2-上的任意
12,x x 都有()()12f x f x t -≤，则实数t 的最小值为
A. 20
B.18
C. 3
D.0
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.8
的展开式中的有理项共有 项. 14.在ABC ∆中，1119A B C π++≥成立，在四边形ABCD 中，111116
2A B C D π
+++≥成立，在五边形ABCDE 中，1111125
3A B C D E π
++++≥成立，猜想在n 边形中，不等式
成立.
15.已知随机变量服从正态分布()0,1N ，若()1,P a a ξ>=为常数，则
()10P ξ-≤≤= .
16.在ABC ∆中，内角,,A B C 成等差数列，其对边,,a b c 满足2
23b ac =，则角A = . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17.（本题满分10分） 已知函数()()2
11
x
x f x a a x -=+
>+，用反证法证明()0f x =没有负实数根.
18.（本题满分12分）
甲、乙、丙三人独立地对某一技术难题进行攻关，甲能攻克的概率为2
3
，乙能攻克的概率为
3
4
，丙能攻克的概率为4.5
（1）求这一技术难题被攻克的概率；
（2）现假定这一技术难题被攻克，上级决定奖励a 万元.奖励规则如下：若只有1人攻克，则此人获得全部奖金a 万元；若只有2人攻克，则奖金奖给此二人，每人各得2
a
万元；若三人均攻克，则奖金奖给此三人，每人各得3
a
万元，设甲得到的奖金数为X ，求X 的分布列和数学期望.
19.（本题满分12分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且112,2 2.n n a a S +==+ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若数列{}n b 的各项均为正数，且n b 是n n a 与2
n n a +的等比中项，求数列{}n b 的前n 项和n T .
20.（本题满分12分）正方体1111ABCD A BC D -中，,E F 分别为1,BB CD 的中点. （1）证明：平面AED ⊥平面11A FD ；
（2）在AE 上求一点M ，使得1A M ⊥平面DAE .
21.（本题满分12分）
已知直线1y x =-+与椭圆()22
2210x y a b a b
+=>>相交于,A B 两点.
（1
）若椭圆的离心率为
，焦距为2，求线段AB 的长；
（2）若向量OA 与向量OB 相互垂直（其中O 为坐标原点），
当椭圆的离心率12e ⎡∈⎢⎣⎦
时，求椭圆的长轴长的最大值.
22.（本题满分12分）
已知函数()21x f x e a x b x =---，其中,a b R ∈，2,71828e =为自然对数的底数. （1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值； （2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，证明：21e a -<<.
高中二年级升级考试
理科数学(A 卷)参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）3 （14） π)2(11112321-≥+⋅⋅⋅+++n n A A A A n （15）a -21 (16)26π
π或
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分10分）
证明：设存在x 0<0(x 0≠－1)，满足f(x 0)＝0，--------------------------------------------2分 则1
2
000
+--
=x x a
x . 又0<0
x a <1，所以0<－x 0－2
x 0＋1<1，
--------------------------------------------4分
解之得：
22
1
0<<x ， ---------------------------------------------------8分 与x 0<0(x 0≠－1)假设矛盾． 故f(x)＝0没有负实数
根．-------------------------------------------------------10分 （18）（本小题满分12分）
解：(Ⅰ)这一技术难题被攻克的概率P ＝1－(1－23)(1－34)(1－4
5)
＝1－13×14×15 ＝5960.
----------------------------------------4分 (Ⅱ)X 的可能取值分别为0，
3a ，2
a
，a . ----------------------------------------5分 P(X ＝0)＝13×（1－14×1
5）59
60＝19
59， --------------------------------------------6分 P(X ＝3
a
)＝23×34×455960
＝2459，
-----------------------------------------------7分 P(X ＝2
a
)＝23×（34×15＋14×4
5）5960＝1459， -----------------------------------8分
P(X ＝a )＝23×14×155960＝2
59.
-----------------------------------9分 ∴X 的分布列为
∴E(X)＝0×59＋3a ×59＋2a ×59＋a ×59＝59a .
----------------------------12分 （19）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）当n ≥2时，由221+=+n n S a ，得221+=-n n S a ， 两式相减得n n n n n a S S a a 2)(211=-=--+，故
)2(31
≥=+n a a n
n ， .......... ......3分 当1=n 时，62222112=+=+=a S a ，此时
31
2
=a a ， 故当1≥n 时，31
=+n
n a a ，则数列{}n a 是首项为2，公比为3的等比数列， ∴
132-⨯=n n a . ..............................6分
（Ⅱ）
n
n n n n n n n n a n a n b 323232112⨯=⨯⨯⨯=⨯=+-+. .......... ..........8分
所以)3
...3231(212n n n T +++=.
则n n n T 3...333231232++++=. ①，则14323
...33323132+++++=n n n
T . ②
则①－②得：
1
113232322133
1]
)31
(1[31331...31313134+++⨯+-=---=-++++=n n n n n n n n n T . 所以n n n T 383
283⨯+-=． ........ . ..... .. (12)
分
（20）（本小题满分12分）
证明：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，不妨设正方
体的棱长为2，则A (2,0,0)，E (2,2,1)，F (0,1,0)，
A 1(2,0,2)，
D 1(0,0,2)．---------------------------------------1分 设平面AED 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则
⎪⎩⎪⎨
⎧=⋅=⋅=⋅=⋅0
)1,2,2(),,(0
)0,0,2(),,(11111111z y x DE n z y x n ∴⎩⎨⎧
2x 1＝0，2x 1＋2y 1＋z 1＝0.
令y 1＝1，得n 1＝(0,1，－2)． ---------------------------------3分
同理可得平面A 1FD 1的法向量n 2＝(0,2,1)． ∵n 1·n 2＝0，
∴平面AED ⊥平面A 1FD 1. ------------------------------------------6分
(Ⅱ)由于点M 在AE 上，
∴可设AM →＝λAE →
＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，-----------------------------7分
可得M (2,2λ，λ)，
于是A 1M →
＝(0,2λ，λ－2)．------------------------------------------8分
要使A 1M ⊥平面DAE ，需A 1M ⊥AE ，
∴A 1M →·AE →
＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝2
5. -------------10分
故当AM ＝25AE 时，即点M 坐标为(2，45，2
5)时，A 1M ⊥平面DAE . --------------12分
（21）（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2,1,3,22,3
3
22=-===∴==
c a b c a c e 则， 12
32
2=+∴y x 椭圆的方程为，
----------------------2分
联立),,(),,(,0365:,1,12
3221122
2y x B y x A x x y x y y x 设得消去=--⎪⎩⎪⎨⎧+-==+
则5
3
,562121-==
+x x x x 5
3
8512)56(24)(])1(1[||2212212=
+=-+⋅-+=∴x x x x AB ， -------------5分
（Ⅱ）设),(),,(2211y x B y x A ，
,0)1(2)(1,1,
0,0,2
2222222
222121=-+-+⎪⎩
⎪⎨⎧+-==+=+=⋅∴⊥b a x a x b a y x y b y a x y y x x OB OA OB OA 得消去由即 由1,0)1)((4)2(22222222>+>-+--=∆b a b b a a a 整理得，
----------------7分
,
01)(2:,0,
1)()1)(1(,
)
1(,221212121212121212
2222122221=++-=+++-=+-+-=∴+-=+=+x x x x y y x x x x x x x x y y b a b a x x b a a x x 得由又
012)1(22
222222=++-+-∴b a a b a b a ，
------------------------------9分
,311137,21134,43121,
2141,2221),111(21,1112,,02:2
222
2
2222222222222≤-+≤∴≤-≤∴≤-≤∴≤≤∴≤≤-+=∴-+=-=-==-+e e e e e e a e a e a a c a b b a b a 代入上式得整理得
1,2
3
67222>+≤≤∴
b a a 适合条件， 由此得
,623
42
,26642≤≤∴≤≤a a 故长轴长的最大值为.6 -----------12分
（22）（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）
由2()e 1x f x ax bx =---，有()()e 2x
gx f x a x b '==--． -------------------1
分
所以()e 2x
g x a '=-．
因此，当[0,1]x ∈时，[]()12,e 2g x a a '∈--．
当1
2
a ≤
时，()0g x '≥，所以()g x 在[0,1]上单调递增， 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-； --------------------------------2
分
当e
2
a ≥
时，()0g x '≤，所以()g x 在[0,1]上单调递减， 因此()g x 在[0,1]上的最小值是(1)e 2g a b =--； ----------------------------3分 当
1e
22
a <<时，令()0g x '=，得ln(2)(0,1)x a =∈． 所以函数()g x 在区间
[]0,ln(2)a 上单调递减，在区间(]ln(2),1a 上单调递增，
于是()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a a b =--．
综上所述，
当1
2a ≤
时，()g x 在[0,1]上的最小值是(0)1g b =-； 当1e
22
a <<时，()g x 在[0,1]上的最小值是(ln(2))22ln(2)g a a a a
b =--；
当e
2
a ≥时，()g x 在[0,1]上的最小值是
(1)e 2g a b =--． -----------------------5分
（Ⅱ）设0x 为()f x 在区间(0,1)内的一个零点，则由
0(0)()0f f x ==可知，
()f x 在区间0(0,)x 上不可能单调递增，也不可能单调递减． 则()g x 不可能恒为正，也不可能恒为负． 故()g x 在区间0(0,)x 内存在零点1x ． 同理()g x 在区间0(,1)x 内存在零点2x ．
所以()g x 在区间(0,1)内至少有两个零点． -------------------------------7分 由（Ⅰ）知，当1
2
a ≤时，()g x 在[0,1]上单调递增，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点． 当e
2a ≥
时，()g x 在[0,1]上单调递减，故()g x 在(0,1)内至多有一个零点． 所以1e
22
a <<． ----------------------------------------------------9分
此时，()g x 在区间[]0,ln(2)a 上单调递减，在区间(]ln(2),1a 上单调递增．
因此[]10,ln(2)x a ∈
，(]2ln(2),1x a ∈，必有
(0)10g b =->，(1)e 20g a b =-->．
由(1)e 10f a b =---=有e 1b a -=-+，
由(0)1e 20g b a =-=-+>，(1)e 210g a b a =--=->． 解得e 21a -<<．
所以，函数()f x 在区间(0,1)内有零点时，
e 21a -<<．------------------------12分。