2016江门数学竞赛试卷与评分参考

2017年全国高中数学联合竞赛江门选拔赛试卷

（考试时间：2016年12月21日下午）

2.用圆珠笔或钢笔作答，解题书写不要超过装订线.

.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.

把答案填在横线上.

1．定义集合运算: A⨂B={z|z=xy，x∈A，y∈B}．设A={2，0}，B={0，8}，则集合A⨂B的所有元素之和为．

2．已知A(−2，0)，B(0，2)，M、N是圆x2+y2+kx=0(k是常数)上两个不同的点，P是圆上的动点，如果M、N两点关于直线x−y−1=0对称，则∆PAB面积的最大值是．

3．正四面体ABCD的棱长为8 cm，在棱AB、CD上各有一点E、F，若AE=CF=3cm，则线段EF的长为 cm．

4．设平面内的两个非零向量a⃗与b⃗⃗相互垂直，且|b⃗⃗|=1，则使得向量a⃗+mb⃗⃗与a⃗+(1−m)b⃗⃗互相垂直的所有实数m之和为．

5．若关于x的方程x2−ax+1−a=0在区间[2，+∞)上有解，则a的取值范围是．6．平面直角坐标系xOy中，点集{

sin cos,

(,),

cos sin,

x

M x y R

y

αβ

αβ

αβ

=+

⎧⎫

=∈

⎨⎬

=-

⎩⎭

所覆盖的平面图形的面积为．

7．已知数列{}n a的通项公式为

1

)1

(

1

+

+

+

=

n

n

n

n

a

n

（n

+

∈N），其前n项和为

n

S，

则在数列

1

S，

2

S，… ，

2016

S中，有理数项共有项．

8．当x，y，z为正数时，

222

4xz yz

x y z

+

++

的最大值为．

二、解答题：本大题共3小题，共56分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9．(本小题满分16分)

（1）若sin 2α+2sin 2β=2cosα，求2sin 2α+sin 2β的最大值和最小值；

（2）已知不等边ABC ∆的内角A B C 、、成公差为θ的等差数列，且

1

sin2A ，1

sin2B

，

1sin2C

也成等差数列，求cos θ的值．

10．(本小题满分20分)

已知三棱锥P ABC -，PA ABC ⊥平面，=23AB BC CA ==1PA =，且D E 、分别为BC CA 、的中点．

（1）求点A 到平面PDE 的距离；

（2）若点Q 在线段PE 上移动，求QAD ∆面积的最小值．

评卷人

11．(本小题满分20分)

（1）已知对x R ∀∈，不等式2

2

2

222

8(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a

++⋅+⋅+>+恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）已知数列{}n a 满足121,2a a ==，2

22(1cos )sin (*)22

n n n n a a n N ππ+=++∈，且21

2n n n

a b a -=，12(*)n n S b b b n N =+++∈L ，证明：当6n ≥时，1

|2|n S n

-<．

评分参考

一、填空题

二、解答题

9．（1）22

sin 2sin 2cos αβα+=Q ，221sin cos sin 2

βαα∴=-① ……………1分

2222333

2sin sin sin cos cos cos 222

αβαααα∴+=+=-++……………3分

设cos t α=，则22233

2sin sin 22

t t αβ+=-++.

记2233315()()22233f t t t t =-++=--+，图像的对称轴为1

3

t =，………4分

由①可得2221111

sin =cos cos 2222

t t βαα+-=+-，

211

0122t t ∴≤+-≤，11t ≤≤，……………………………………6分

1t ∴=当时，max ()1)4f t f ==，1t =当时，min ()(1)1f t f ==，

222sin sin αβ∴+的最大值为4，最小值为1。 ………………………8分

（2）,2A B C A C B π++=+=Q ，60B ∴=o ，……………………………9分 由已知

112

sin 2sin 2sin 2A C B

+=

……………………………………………10分 11

sin 2sin 2A C ∴

+= 而60,60A C θθ=-=+o o

，

11

sin(1202)sin(1202)θθ∴

+=-+o o

，…………………………………11分

=