【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学必修四第一章课时作业2]

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【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学2.7向量应用举例课时训练北师大版必修4

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.7 向量应用举例课时训练北师大版必修4一、选择题1．已知一物体在共点力F 1＝(lg 2，lg 2)，F 2＝(lg 5，lg 2)(单位：N)的作用下产生位移s ＝(2lg 5,1)(单位：m)，则共点力对物体做的功W 为( )A ．lg 2 JB ．lg 5 JC ．1 JD ．2 J【解析】设F ＝F 1＋F 2＝(lg 2＋lg 5，lg 2＋lg 2)＝(1，lg 4)，∴W ＝F ·s ＝1×2lg 5×lg 4＋1＝lg(25×4)＝2.【答案】 D2．一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27【解析】由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，∴F 3＝－(F 1＋F 2)．∴F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1||F 2|cos 60°＝28.∴|F 3|＝27.【答案】 D3．点P 在平面上作匀速直线运动，速度向量v ＝(4，－3)(即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位)．设开始时点P 的坐标为(－10,10)，则5秒后点P 的坐标为( )A ．(－2,4)B ．(－30,25)C ．(10，－5)D ．(5，－10)【解析】令平移后点P ′(x ，y )，有PP ′→＝5v ，∴(x ，y )＝(－10,10)＋5×(4，－3)＝(10，－5)．【答案】 C4．(2013·福建高考)在四边形ABCD 中，AC →＝(1,2)，BD →＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A. 5B ．2 5C ．5D ．10【解析】 ∵AC →·BD →＝(1,2)·(－4,2)＝－4＋4＝0，∴AC →⊥BD →，∴S 四边形ABCD ＝12|AC →|·|BD →|＝12×5×25＝5. 【答案】 C5．已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且PA →·PB→＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O 、N 、P 依次是△ABC 的( )A ．重心，外心，垂心B ．重心，外心，内心C ．外心，重心，垂心D ．外心，重心，内心(注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角形的垂心)【解析】由|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，知点O 为△ABC 的外心；由NA →＋NB →＋NC →＝0，知点N为△ABC 的重心；∵PA →·PB →＝PB →·PC →，∴(PA →－PC →)·PB →＝0，∴CA →·PB →＝0.∴CA →⊥PB →.∴CA ⊥PB .同理，AP ⊥BC ，∴点P 为△ABC 的垂心．故选C.【答案】 C二、填空题6．在△ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，则BA →·BC →＝________.【解析】由∠C ＝90°，AC ＝BC ＝4，知△ABC 是等腰直角三角形．∴BA ＝42，∠ABC ＝45°，∴BA →·BC →＝42×4×cos 45°＝16.【答案】 167．若直线l 过点A (2，－3)且它的一个法向量为n ＝(3,2)，则直线l 的方程为________．【解析】设P (x ，y )是直线l 上任意一点，则AP →＝(x －2，y ＋3)，由于AP →·n ＝0，∴3(x －2)＋2(y ＋3)＝0，即3x ＋2y ＝0.【答案】 3x ＋2y ＝0图2－7－38．用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个物体，如图2－7－3所示，已知物体的重力大小为10 N ，则每根绳子的拉力大小是________．【解析】因绳子等长，所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60°，故每根绳子的拉力大小都是10 N.【答案】 10 N三、解答题9．如图所示，支座A 受F 1，F 2两个力的作用，已知|F 1|＝40 N ，与水平线成θ角；|F 2|＝70 N ，沿水平方向；两个力的合力F ＝100 N ，求角θ的余弦值以及合力F 与水平线的夹角β的余弦值．图2－7－4【解】由F ＝F 1＋F 2，得|F |2＝|F 1＋F 2|2＝|F 1|2＋|F 2|2＋2F 1·F 2，即1002＝402＋702＋2F 1·F 2，解得F 1·F 2＝1 750，所以cos θ＝F 1·F 2|F 1||F 2|＝1 75040×70＝58. 又因为CD →＝AD →－AC →，所以－F 1＝F 2－F ，所以|F 1|＝|F 2－F |.所以|F 1|2＝|F 2－F |2＝|F 2|2＋|F |2－2F·F 2，即402＝702＋1002－2F·F 2.所以F·F 2＝6 650. 所以cos β＝F·F 2|F ||F 2|＝6 650100×70＝133140.图2－7－510．如图所示，平行四边形ABCD 中，已知AD ＝1，AB ＝2，对角线BD ＝2，求对角线AC 的长．【解】设AD →＝a ，AB →＝b ，则BD →＝a －b ，AC →＝a ＋b .而|BD →|＝|a －b |＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝1＋4－2a ·b ＝5－2a ·b ，∴|BD →|2＝5－2a ·b ＝4，得2a ·b ＝1.又∵|AC →|2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝1＋4＋2a·b ，∴|AC →|2＝6，∴|AC →|＝6，即AC ＝ 6.11．两个粒子a ，b 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为S a ＝(4,3)，S b ＝(2,10)．求：(1)写出此时粒子b 相对于粒子a 的位移S ；(2)计算S 在S a 方向上的投影．【解】 (1)S ＝S b －S a ＝(2,10)－(4,3)＝(－2,7)．(2)S 在S a 方向上的投影为|S |cos θ，θ为S 与S a 的夹角．∵S ·S a ＝|S ||S a |cos θ，∴|S |cos θ＝S ·S a |S a |＝－2，7 · 4，3 42＋32 ＝－2×4＋7×35＝135.。

北师大版数学高二-选修4教案 1.1平面直角坐标系

【课堂新坐标】数学选修4-4教师用书：1.1平面直角坐标系一平面直角坐标系课标解读1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用并领会坐标法的应用．2．了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．3．能够建立适当的直角坐标系解决数学问题.1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对)、曲线与方程建立了联系，从而实现了数与形的结合．(2)坐标法：根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立它的方程，通过方程研究它的性质及与其他几何图形的关系．(3)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化成代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x′＝λ·x(λ>0)，y′＝μ·y(μ>0)的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．(2)在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：P′(x′，y′)是变换后的点的坐标，P(x，y)是变换前的点的坐标．1．如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？【提示】①如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段，以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多的落在坐标轴上．2．如何确定坐标平面内点的坐标？【提示】如图，过点P分别作x轴、y轴的垂线段PM、PN，垂足分别为M、N，则M的横坐标x与N的纵坐标y对应的有序实数对(x，y)即为点P的坐标．3．如何理解点的坐标的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中，变换φ将点P(x，y)变换到P′(x′，y′)．当λ>1时，是横向拉伸变换，当0<λ<1时，是横向压缩变换；当μ>1时，是纵向拉伸变换，当0<μ<1时，是纵向压缩变换.运用坐标法解决平面几何问题【思路探究】从要证的结论，联想到两点间的距离公式(或向量模的平方)，因此首先建立坐标系，设出A，B，C，D点的坐标，通过计算，证明几何结论．【自主解答】法一 (坐标法)以A 为坐标原点O ，AB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )，则AC 的中点E (b 2，c2)，由对称性知D (b －a ，c )，所以|AB |2＝a 2，|AD |2＝(b －a )2＋c 2， |AC |2＝b 2＋c 2，|BD |2＝(b －2a )2＋c 2， |AC |2＋|BD |2＝4a 2＋2b 2＋2c 2－4ab ＝2(2a 2＋b 2＋c 2－2ab )， |AB |2＋|AD |2＝2a 2＋b 2＋c 2－2ab ， ∴|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．法二 (向量法)在▱ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，两边平方得AC →2＝|AC →|2＝AB →2＋AD →2＋2AB →·AD →，同理得BD →2＝|BD →|2 ＝BA →2＋BC →2＋2BA →·BC →，以上两式相加，得 |AC →|2＋|BD →|2＝2(|AB →|2＋|AD →|2)＋2BC →·(AB →＋BA →) ＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即|AC |2＋|BD |2＝2(|AB |2＋|AD |2)．1．本例实际上为平行四边形的一个重要定理：平行四边形的两条对角线的平方和等于其四边的平方和．法一是运用代数方法即解析法实现几何结论的证明的．这种“以算代证”的解题策略就是坐标方法的表现形式之一．法二运用了向量的数量积运算，更显言简意赅，给人以简捷明快之感．2．建立平面直角坐标系的方法步骤(1)建系——建立平面直角坐标系．建系原则是利于运用已知条件，使运算简便，表达式简明．(2)设点——选取一组基本量，用字母表示出题目涉及的点的坐标和曲线的方程； (3)运算——通过运算，得到所需要的结果．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且满足|BD |＝|CD |. 求证：|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．【证明】法一以A 为坐标原点O ，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy .则A (0,0)，设B (a,0)，C (b ，c )，则D (a ＋b 2，c 2)，所以|AD |2＋|BD |2＝(a ＋b )24＋c 24＋(a －b )24＋c 24＝12(a 2＋b 2＋c 2)， |AB |2＋|AC |2＝a 2＋b 2＋c 2＝2(|AD |2＋|BD |2)．法二延长AD 到E ，使DE ＝AD ，连接BE ，CE ，则四边形ABEC 为平行四边形，由平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和得|AE |2＋|BC |2＝2(|AB |2＋|AC |2)，即(2|AD |)2＋(2|BD |)2＝2(|AB |2＋|AC |2)，所以|AB |2＋|AC |2＝2(|AD |2＋|BD |2)．用坐标法解决实际问题航编队奔赴某海域执行护航任务，对商船进行护航．某日，甲舰在乙舰正东6千米处，丙舰在乙舰北偏西30°，相距4千米．某时刻甲舰发现商船的某种求救信号．由于乙、丙两舰比甲舰距商船远，因此4 s后乙、丙两舰才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s.若甲舰赶赴救援，行进的方位角应是多少？【思路探究】本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对位置，因此不妨用点A、B、C表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．【自主解答】设A，B，C，P分别表示甲舰、乙舰、丙舰和商船．如图所示，以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，则A(3,0)，B(－3,0)，C(－5,23)．∵|PB|＝|PC|，∴点P在线段BC的垂直平分线上．k BC＝－3，线段BC的中点D(－4，3)，∴直线PD的方程为y－3＝13(x＋4)．①又|PB|－|PA|＝4，∴点P在以A，B为焦点的双曲线的右支上，双曲线方程为x24－y25＝1(x≥2)．②联立①②，解得P点坐标为(8,53)．∴k PA＝538－3＝ 3.因此甲舰行进的方位角为北偏东30°.1．由于A、B、C的相对位置一定，解决问题的关键是：如何建系，将几何位置量化，根据直线与双曲线方程求解．2．运用坐标法解决实际问题的步骤：建系→设点→列关系式(或方程)→求解数学结果→回答实际问题．已知某荒漠上有两个定点A 、B ，它们相距2 km ，现准备在荒漠上开垦一片以AB 为一条对角线的平行四边形区域建成农艺园，按照规划，围墙总长为8 km.(1)问农艺园的最大面积能达到多少？(2)该荒漠上有一条水沟l 恰好经过点A ，且与AB 成30°的角，现要对整条水沟进行加固改造，但考虑到今后农艺园的水沟要重新改造，所以对水沟可能被农艺园围进的部分暂不加固，问暂不加固的部分有多长？【解】 (1)设平行四边形的另两个顶点为C 、D ，由围墙总长为8 km 得|CA |＋|CB |＝4>|AB |＝2，由椭圆的定义知，点C 的轨迹是以A 、B 为焦点，长轴长2a ＝4，焦距2c ＝2的椭圆(去除落在直线AB 上的两点)．以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系，则点C 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)．易知点D 也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD 面积最大，则C 、D 为此椭圆短轴的端点，此时，面积S ＝23(km 2)．(2)因为修建农艺园的可能范围在椭圆x 24＋y 23＝1(y ≠0)内，故暂不需要加固水沟的长就是直线l ：y ＝33(x ＋1)被椭圆截得的弦长，如图．因此，由⎩⎨⎧y ＝33(x ＋1)x 24＋y23＝1⇒13x 2＋8x －32＝0，那么弦长＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋(33)2·(－813)2－4×(－3213)＝4813，故暂不加固的部分长4813km.已知伸缩变换求点的坐标和曲线方程在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y .(1)求点A (13，－2)经过φ变换所得的点A ′的坐标；(2)点B 经过φ变换后得到点B ′(－3，12)，求点B 的坐标；(3)求直线l ：y ＝6x 经过φ变换后所得直线l ′的方程； (4)求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ变换后所得曲线C ′的焦点坐标．【思路探究】 (1)由伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，求得x ′，y ′，即用x ，y 表示x ′，y ′；(2)(3)(4)将求得的x ，y 代入原方程得x ′，y ′间的关系．【自主解答】 (1)设点A ′(x ′，y ′)．由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .又已知点A (13，－2)．于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1.∴变换后点A ′的坐标为(1，－1)．(2)设B (x ，y )，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x2y ′＝y 得到⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′，由于B ′(－3，12)，于是x ＝13×(－3)＝－1，y ＝2×12＝1，∴B (－1,1)为所求．(3)设直线l ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入y ＝6x 得2y ′＝6×(13x ′)，所以y ′＝x ′，即y ＝x 为所求． (4)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，∴曲线C ′的方程为x 29－y 216＝1.∴a 2＝9，b 2＝16，c 2＝25，因此曲线C ′的焦点F 1(5,0)，F 2(－5,0)．1．解答本题的关键：(1)是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；(2)是明确变换前后点的坐标关系，利用方程思想求解．2．伸缩变换前后的关系已知平面直角坐标系中的伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)y ′＝μy (μ>0)，则点的坐标与曲线的方程的关系为联系类型变换前变换后点P (x ，y ) (λx ，μy ) 曲线Cf (x ，y )＝0f (1λx ′，1μy ′)＝0若将例题中第(4)题改为：如果曲线C 经过φ变换后得到的曲线的方程为x 2＝18y ，那么能否求出曲线C 的焦点坐标和准线方程？请说明理由．【解】设曲线C 上任意一点M (x ，y )，经过φ变换后对应点M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝y 2.(*) 又M ′(x ′，y ′)在曲线x 2＝18y 上， ∴x ′2＝18y ′ ① 将(*)代入①式得 (3x )2＝18×(12y )．即x 2＝y 为曲线C 的方程．可见仍是抛物线，其中p ＝12，抛物线x 2＝y 的焦点为F (0，14)．准线方程为y ＝－14.由条件求伸缩变换在同一平面直角坐标系中，求一个伸缩变换，使得圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 29＋y 24＝1. 【思路探究】区分原方程和变换后的方程――→待定系数法设伸缩变换公式―→代入变换后的曲线方程―→与原曲线方程比较系数．【自主解答】将变换后的椭圆的方程x 29＋y 24＝1改写为x ′29＋y ′24＝1，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入上式．得λ2x 29＋μ2y 24＝1，即(λ3)2x 2＋(μ2)2y 2＝1.与x 2＋y 2＝1比较系数，得⎩⎨⎧(λ3)2＝1，(μ2)2＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝2. 所以伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .因此，先使圆x 2＋y 2＝1上的点的纵坐标不变，将圆上的点的横坐标伸长到原来的3倍，得到椭圆x 29＋y 2＝1，再将该椭圆的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到椭圆x 29＋y 24＝1.1．求满足图象变换的伸缩变换，实际上是让我们求出变换公式，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数可得．2．解题时，区分变换的前后方向是关键，必要时需要将变换后的曲线的方程改写成加注上(或下)标的未知数的方程形式．在同一平面坐标系中，求一个伸缩变换使其将曲线y ＝2sin x4变换为正弦曲线y ＝sin x .【解】将变换后的曲线的方程y ＝sin x 改写为y ′＝sin x ′，设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，代入y ′＝sin x ′， ∴μy ＝sin λx ，即y ＝1μsin λx .比较与原曲线方程的系数，知⎩⎨⎧ λ＝14，1μ＝2，∴⎩⎨⎧λ＝14，μ＝12，所以伸缩变换为⎩⎨⎧x ′＝14x ，y ′＝12y .即先使曲线y ＝2sin x 4的点的纵坐标不变，将曲线上的点的横坐标缩短为原来的14倍，得到曲线y ＝2sin x ；再将其横坐标不变，纵坐标缩短到原来的12倍，得正弦曲线y ＝sin x .(教材第8页习题1.1，第5题)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3xy ′＝y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋9y ′2＝9，求曲线C 的方程，并画出图象．(2013·郑州调研)在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝14y 后，曲线C 变为曲线x ′216＋4y ′2＝1，求曲线C 的方程并画出图形．【命题意图】本题主要考查曲线与方程，以及平面直角坐标系中的伸缩变换．【解】设M (x ，y )是曲线C 上任意一点，变换后的点为M ′(x ′，y ′)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝14y ，且M ′(x ′，y ′)在曲线x ′216＋4y ′2＝1上，得4x 216＋4y 216＝1， ∴x 2＋y 2＝4.因此曲线C 的方程为x 2＋y 2＝4，表示以O (0,0)为圆心，以2为半径的圆(如图所示).1．点P (－1,2)关于点A (1，－2)的对称点坐标为( ) A ．(3,6) B ．(3，－6) C ．(2，－4) D ．(－2,4)【解析】设对称点的坐标为(x ，y )，则x －1＝2，且y ＋2＝－4， ∴x ＝3，且y ＝－6. 【答案】 B2．如何由正弦曲线y ＝sin x 经伸缩变换得到y ＝12sin 12x 的图象( )A ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标也压缩为原来的12B ．将横坐标压缩为原来的12，纵坐标伸长为原来的2倍C ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标也伸长为原来的2倍D ．将横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标压缩为原来的12【解析】 y ＝sin x ――→横坐标伸长为原来的2倍y ＝sin 12x ――→纵坐标压缩为原来的12y ＝12sin 12x .故选D. 【答案】 D3．将点P (－2,2)变换为点P ′(－6,1)的伸缩变换公式为( ) A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝13x y ′＝2y B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12xy ′＝3y C.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝12y D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x y ′＝2y 【解析】将⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－6y ′＝1与⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝2代入到公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λxy ′＝μy 中，有⎩⎪⎨⎪⎧－6＝λ·(－2)，1＝μ·2， ∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝12.【答案】 C 4．将圆x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4xy ′＝3y 后的曲线方程为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝4x ，y ′＝3y .得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′4，y ＝y ′3.代入到x 2＋y 2＝1，得x ′216＋y ′29＝1.∴变换后的曲线方程为x 216＋y 29＝1.【答案】 x 216＋y 29＝1(时间40分钟，满分60分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．动点P 到直线x ＋y －4＝0的距离等于它到点M (2,2)的距离，则点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线【解析】 ∵M (2,2)在直线x ＋y －4＝0上，∴点P 的轨迹是过M 与直线x ＋y －4＝0垂直的直线．【答案】 A2．若△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1,2)，B (2,3)，C (3,1)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【解析】 |AB |＝(2－1)2＋(3－2)2＝2，|BC |＝(3－2)2＋(1－3)2＝5， |AC |＝(3－1)2＋(1－2)2＝5，|BC |＝|AC |≠|AB |，△ABC 为等腰三角形．【答案】 A3．在同一平面直角坐标系中，将曲线y ＝13cos 2x 按伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3y 后为( )A ．y ＝cos xB ．y ＝3cos 12xC ．y ＝2cos 13xD ．y ＝12cos 3x【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y ，得⎩⎨⎧x ＝x ′2，y ＝y ′3.代入y ＝13cos 2x ，得y ′3＝13cos x ′. ∴y ′＝cos x ′，即曲线y ＝cos x . 【答案】 A4．将直线x ＋y ＝1变换为直线2x ＋3y ＝6的一个伸缩变换为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝3x y ′＝2yB.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x y ′＝3yC.⎩⎨⎧x ′＝13xy ′＝12yD.⎩⎨⎧x ′＝12xy ′＝13y【解析】设伸缩变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy ，由(x ′，y ′)在直线2x ＋3y ＝6上， ∴2x ′＋3y ′＝6，则2λx ＋3μy ＝6. 因此λ3x ＋μ2y ＝1，与x ＋y ＝1比较，∴λ3＝1且μ2＝1，故λ＝3且μ＝2. 所求的变换为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝2y .【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分)5．若点P (－2 012,2 013)经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x2 013，y ′＝y2 012.后的点在曲线x ′y ′＝k 上，则k ＝________.【解析】 ∵P (－2 012,2 013)经过伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝x2 013，y ′＝y2 012，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2 0122 013，y ′＝2 0132 012.代入x ′y ′＝k ，得k ＝x ′y ′＝－1.【答案】－16．△ABC 中，若BC 的长度为4，中线AD 的长为3，则A 点的轨迹是________．【解析】取B 、C 所在直线为x 轴，线段BC 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (－2,0)、C (2,0)、D (0,0)．设A (x ，y )，则|AD |＝x 2＋y 2.注意到A 、B 、C 三点不能共线，化简即得轨迹方程：x 2＋y 2＝9(y ≠0)．【答案】以BC 的中点为圆心，半径为3的圆(除去直线BC 与圆的两个交点) 三、解答题(每小题10分，共30分)7．在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x 3，y ′＝y2后的图形．(1)x 2－y 2＝1； (2)x 29＋y 28＝1. 【解】由伸缩变换⎩⎨⎧ x ′＝x3，y ′＝y2.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x ′，y ＝2y ′.① (1)将①代入x 2－y 2＝1得9x ′2－4y ′2＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x3，y ′＝y2后，双曲线x 2－y 2＝1变成双曲线9x ′2－4y ′2＝1，如图(1)所示．(2)将①代入x 29＋y28＝1得x ′2＋y ′22＝1，因此，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝x3，y ′＝y2后，椭圆x 29＋y 24＝1变成椭圆x 2＋y 22＝1，如图(2)所示．8．台风中心从A 地以20 km/h 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 地正东40 km 处．求城市B 处于危险区内的时间．【解】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则B (40,0)，以点B 为圆心，30为半径的圆的方程为(x －40)2＋y 2＝302，台风中心移动到圆B 内时，城市B 处于危险区．台风中心移动的轨迹为直线y ＝x ，与圆B 相交于点M ，N ，点B 到直线y ＝x 的距离d ＝402＝20 2. 求得|MN |＝2302－d 2＝20(km)，故|MN |20＝1，所以城市B 处于危险区的时间为1 h. 9.图1－1－1学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．设计方案如图1－1－1，航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M (0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D (8,0)，观测点A (4,0)，B (6,0)同时跟踪航天器．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，观测点A ，B 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647.因为D (8,0)在抛物线上，∴a ＝－17.∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647.(2)设变轨点为C (x ，y )．根据题意可知⎩⎨⎧x 2100＋y 225＝1 ①y ＝－17x 2＋647 ②得4y 2－7y －36＝0，解得y ＝4或y ＝－94(不合题意)．∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(不合题意，舍去)． ∴C 点的坐标为(6,4)．|AC |＝25，|BC |＝4.所以当观测点A 、B 测得离航天器的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．教师备选10．已知A (－1,0)，B (1,0)，圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝4，在圆C 上是否分别存在一点P ，使|PA |2＋|PB |2取得最小值与最大值？若存在，求出点P 的坐标及相应的最值；若不存在，请说明理由．【解】假设圆C 上分别存在一点P 使|PA |2＋|PB |2取得最小值和最大值，则由三角形的中线与边长的关系式得|PA |2＋|PB |2＝2(|PO |2＋|AO |2)＝2|PO |2＋2，可见，当|PO |分别取得最小值和最大值时，相应地|PA |2＋|PB |2分别取得最小值与最大值．设直线OC 分别交圆C 于P 1，P 2，则|P 1O |最小，|P 2O |最大，如图所示．由已知条件得|OC |＝32＋42＝5，r ＝2，于是|P 1O |＝|OC |－r ＝5－2＝3， |P 2O |＝|OC |＋r ＝5＋2＝7，所以|PA |2＋|PB |2的最小值为2×32＋2＝20，最大值为2×72＋2＝100. 下面求P 1，P 2的坐标：直线OC 的方程为y ＝43x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43x .(x －3)2＋(y －4)2＝4，消去y 并整理得25x 2－150x ＋9×21＝0， ∴(5x －9)(5x －21)＝0，解得x 1＝95，x 2＝215，∴⎩⎨⎧x 1＝95，y 1＝125，或⎩⎨⎧x 2＝215，y 2＝285.∴P 1(95，125)，P 2(215，285)为所求．。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第二讲试验设计初步章末归纳提升新人教a版选修4-7

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学第二讲试验设计初步章末归纳提升新人教A 版选修4-7正交表介绍正交表的特征正交试验设计正交试验的应用确定试验的因素和水平选择合适的正交表安排试验方案试验结果分析，选出最佳组合1.正交试验设计是用正交表安排多因素的试验设计和分析的一种方法，它可以帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的试验方案，应用正交试验设计安排试验，还可以把考察的因素进行排队，看哪些是主要因素，哪些是次要因素，从而抓住主要因素进一步试验，当主要因素较少时，可以转化成第一讲中的优选法得出最佳点．2．正交表的含义及特征(1)教材以L 4(23)为例讲解了正交表的含义.m (2)正交表的两个特征．①每列中不同的数字出现的次数相同；②将任意两列的同一行数字看成有序数对时，每种数对出现的次数相等．这两个特征是判断一张表是否为正交表的依据． 3．试验结果的分析教材主要介绍了两种方式，直接对比法和直观分析法，并利用直观分析法分析了相关因素对试验结果影响的主次，为探寻试验的最佳方案，提供理论依据．为提高山楂原料的利用率，研究酶法液化工艺制造山楂原汁，拟通过正交试验来寻找酶法液化的最佳工艺条件．已知液化率＝果肉重量－液化后残渣重量果肉重量×100%.9出分析．【解】 ∵K 11＝41%，K 12＝13%，K 13＝46%，K 14＝89%，K 21＝87%，K 22＝82%， K 23＝71%，K 24＝46%，K 31＝61%， K 32＝94%，K 33＝72%，K 34＝54%，∴k 11≈13.7%，k 12≈4.3%，k 13≈15.3%，k 14≈29.7%，k 21≈29.0%，k 22≈27.3%， k 23≈23.7%，k 24≈15.3%，k 31≈20.3%， k 32≈31.3%，k 33≈24.0%，k 34≈18.0%，∴R 1＝max{k 11，k 21，k 31}－min{k 11，k 21，k 31}＝max{13.7%,29.0%,20.3%}－min{13.7%，29.0%，20.3%} ＝29.0%－13.7%＝15.3%. 同理可求R 2＝27.0%，R 3＝8.7%，R 4＝14.3%.所得结果列表如下：23312143综合检测(二) 第二讲试验设计初步(时间80分钟，满分100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．某次试验选取的正交表为L 16(45)，则需做的试验个数为( ) A ．10 B ．7 C ．8 D ．16【解析】由正交表L 16(45)可知共需做16次试验．【答案】 D2．在价格竞猜游戏中，为了最快猜中价格，最好使用( ) A ．0.618法 B ．分数法 C ．对分法 D ．盲人爬山法【解析】结合实际的需要，最好做一次试验就明确试验下一步的方面，对分法恰好，满足此要求．【答案】 C3．用0.618法寻找某试验的最优加入量时，若当前存优范围是[628,774]，好点是718，则此时要做试验的加入点值是( ) A.628＋7742B ．628＋0.618×(774－628)C ．628＋774－718D ．2×718－774【解析】结合黄金分割法的原理：“加两头减中间”的方式可知，此时要做试验的加入点值为628＋774－718. 【答案】 C4．在区间[1,5]上不是单峰函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x C ．y ＝2xD ．y ＝ln x【解析】 y ＝x ，y ＝2x，y ＝ln x ，在[1,5]上均单调增加，都是单峰函数，函数y ＝sin x 在[1，π2]上单调递增，在[π2，5]上不是单调的．因此不满足单峰函数的定义．【答案】 A5．南海舰队在某海岛修建一个军事设施，需要大量加入了抗腐剂的特种混凝土预制件．该种混凝土预制件质量很受混凝土搅拌时间的影响，搅拌时间不同，混凝土预制件的强度也不同，根据生产经验，混凝土预制件的强度是搅拌时间的单峰函数．为了确定一个搅拌的标准时间，拟用分数法从12个试验点中找出最佳点，则需要做的试验次数至少是( )A ．5次B ．6次C．7次 D．8次【解析】因为12＝13－1＝F6－1＝F5＋1－1，由分数法的最优性原理可知，至少做5次试验能找到其中的最佳点，故选A.【答案】 A6．有一多因素试验，其正交表试验如下：A．因素A B．因素BC．因素C D．不确定【解析】R A＝0.5，R B＝6.5，R C＝2.5.所以B为主要因素，然后是C，最后是A，故选B.【答案】 B7．下列说法中，不正确的是( )A．纵横对折法是在每一步确定好点后，都将试验的矩形区域舍弃一半B．爬山法中的步法常常采用“两头慢，中间快”的办法C．平行线法中，可以多次采用“平行线加速”求后续最佳点D．对分法的要点是每个试点都取在因素范围的中点【解析】由纵横对折法，爬山法、平行线法及对分法的意义，A、C、D是正确的；B是错误的，事实上，爬山法中往往采用的是“两头小，中间大”的办法．【答案】 B8．图2－1是某正交试验后，绘成的结果和因素关系图(已知结果越大越好)，则该试验的最佳组合为( )图2－1A ．(A 1，B 1，C 2) B ．(A 1，B 2，C 1) C ．(A 2，B 1，C 2)D ．(A 2，B 2，C 2)【解析】由图可知对A 而言，k 21＞k 11，故A 2优于A 1，对B 而言，k 12＞k 22，故B 1优于B 2，对于C 而言k 13＜k 23，即C 2优于C 1，故最优组合为(A 2，B 1，C 2)．【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)9．某车床的走刀量(单位：mm/r)共有如下13级：0.3,0.33,0.35,0.40,0.45,0.48,0.50,0.55，0.60，0.65,0.71,0.81,0.91. 那么第一、二次的试点分别为________．【解析】由题意知符合分数法的优选要求．第一次应选0.55做为试点，第二次应选0.45做为试点．【答案】 0.55 0.4510．(2012·益阳模拟)某试验对象取值范围是[1,6]内的整数，采用分数法确定试点值，则第一个试点值可以为________．【解析】由分数法的原理可知，第一试点的值可以为x 1＝1＋35×(6－1)＝4或6－35×(6－1)＝3.【答案】 4或3(写出一个也正确)11．有一双因素优选试验，2≤x ≤4,10≤y ≤20.使用纵横对折法进行优选．分别对因素x 和y 进行了一次优选后，其新的存优范围的面积为__________．【解析】由纵横对折法知对因素x 和y 进行了一次优选后得到两个好点，无论哪个好点的试验结果更优，其新的存优范围的面积为原存优范围面积的一半，即12×(4－2)×(20－10)＝10.【答案】 1012．下列正交表中：L 4(23)，L 8(27)，L 16(215)，L 9(34)，L 16(45)，L 27(313)属于三水平正交表的是________．【解析】 L 9(34)，L 27(313)同为三水平正交表．【答案】 L 9(34)，L 27(313)三、解答题(本大题共3小题，满分40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(本小题满分13分)(2012·长沙模拟)在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.8 k Ω，1.2 k Ω，1.8 k Ω，3 k Ω，3.5 k Ω，4 k Ω，5 k Ω等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻从小到大安排序号，则第2个试点选的电阻是多少k Ω？【解】把阻值由小到大排列并编号阻值 0.8 1.2 1.8 3 3.5 4 5 编号 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)为方便使用分数法，可在两端增加虚点(0)，(8)，使因素范围凑成8格，∴第2试点为38处，即序号(3)的位置1.8 k Ω.14．(本小题满分13分)用对分法求方程x 2＋3x －2＝0的一个正根(精确度为0.1)【解】令f (x )＝x 2＋3x －2，由f (0)＝－2＜0，f (1)＝2＞0可知以区间[0,1]为因素范围使用对分法因为f (12)＝14＋32－2＜0，所以考虑区间[12，1]．因为f (34)＝916＋94－2＞0，所以考虑区间[12，34]．因为f (58)＝2564＋158－2＞0，所以考虑区间[12，58]．因为f (916)＞0，所以考虑区间[12，916]．又∵|916－12|＜0.1，所以方程x 2＋3x －2＝0的一个正根为[12，916]中的任意一个值，不妨取1732.15．(本小题满分14分)如果一个3因素2水平的正交试验结果如下表：【解】 k 11＝79＋652＝72，k 12＝79＋882＝83.5，k 13＝79＋812＝80，k 21＝88＋812＝84.5，k 22＝65＋812＝73，k 23＝65＋882＝76.5， ∴R 1＝84.5－72＝12.5，R 2＝83.5－73＝10.5，R 3＝80－76.5＝3.5. 其正交试验表如下表所示：由上表可知，该试验的最优组合为(211又∵R1＞R2＞R3，∴该试验的主要因素为A，B次之，C再次之．。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学第一讲优选法综合检测新人教A版选修4-

第一讲优选法(时间80分钟，满分100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列函数在区间(－1,5)上是单峰函数的有( )(1)y＝3x2＋2；(2)y＝－x2－3x；(3)y＝cos x；(4)y＝2x.A．0个B．1个C．2个 D．3个【解析】(1)在(－1,5)上先减后增是单峰函数；(2)在(－1,5)上单调递减，是单峰函数；(3)在(－1,5)上有最大值和最小值不是单峰函数；(4)在(－1,5)上是单调递增函数，是单峰函数．【答案】 D2．下列问题不属于优选问题的是( )A．小明每天7：00到校上课B．每天锻炼多长时间，选择在什么时间锻炼会使身体更健康C．在军事上，炮弹的发射角多大时，才能使炮弹的射程最远D．荤素搭配满足什么比例时，才能使我们的饮食更合理【解析】A选项只陈述了一个事实，并不涉及优选问题，而B、C、D选项，均带有一定的试验性，且试验结果随因素的变化不同．【答案】 A3．若洗水壶要用1分钟、烧开水要用10分钟、洗茶杯要用2分钟、取茶叶要用1分钟、沏茶1分钟，那么较合理的安排至少也需要( )A．10分钟 B．11分钟C．12分钟 D．13分钟【解析】本题属于时间的优选问题，显然在烧开水的时间内，可以安排洗茶杯，取茶叶，故最少需要洗水壶(1分钟)＋烧开水(10分钟)＋沏茶(1分钟)共12分钟．【答案】 C4．(2012·某某模拟)根据生产经验，混凝土预制体的强度是搅拌时间的单峰函数，为了确定搅拌的标准时间，拟用分数法从7个试验点中找出最佳点，则要做的试验次数至多为( )A．3 B．4C．5 D．6【解析】由于7＝8－1＝F5－1，故只需做5－1＝4次试验就可以找到最佳试验点．【答案】 B5. 如图，用平行线法处理双因素问题时，首先难以调整的因素Ⅱ固定在0.618处，得到最佳点在A1处，然后再把因素Ⅱ固定在0.382处，得到最佳点A2，若A2处的试验结果比A1处的好，则第三次试验时，将因素Ⅱ固定在( )图1－1A．0.764 B．0.236C．0.500 D．0.309【解析】因为A2处的试验结果比A1处的好，所以好点在因素Ⅱ的0～0.618之间，由0.618法，第三次试验时，将因素Ⅱ固定在0.618＋0－0.382＝0.236处．【答案】 B6．下列有关优选法的叙述正确的个数有( )①在生产中仪器仪表的调试通常采用盲人爬山法；②在单峰的目标函数中特别是有有限个试点的优选问题通常采用分数法；③在优选试验中为了加快试验的进度，尽快找出最佳点，通常可采用分批试验法；④在双因素优选试验中，对于某因素不宜调整的试验通常采用双因素平行线法．A．1 B．2C．3 D．4【解析】由优选法的意义及适用X围知，①、②、③、④都正确，故选D.【答案】 D7. 下列结论中正确的是( )A．运用0.618法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点B．在目标函数为单峰的情形，运用分数法寻找最佳点时，一定可以在有限次内准确找出最佳点C．运用对分法和分数法在确定下一个试点时，都需要比较前两个试点的试验结果D．运用盲人爬山法寻找最佳点，在试验X围内取不同的点作起点，其效果快慢差别不大【解析】运用0.618法寻找最佳点时，随着试验次数的增加，最佳点被限定在越来越小的X围内，故A错；在目标函数为单峰的情形下，按照分数法安排试验，通过n次试验保证能从(F n＋1－1)个试点中找出最佳点，故B正确；运用对分法在确定下一个试点时，只需要比较试验结果与已知标准(或要求)，故C错；爬山法的效果快慢与起点的关系很大，起点选得好可以省好多次试验，故D错．【答案】 B8．在调试某设备的线路设计中，要选一个电阻，调试者手中只有阻值分别为0.9 kΩ，1.1 kΩ，2.7 kΩ，3 kΩ，3.6 kΩ，4 kΩ，5 kΩ等七种阻值不等的定值电阻，他用分数法进行优选试验时，依次将电阻值从小到大安排序号，则第1个试点的阻值是( )A ．1.1 kΩ B．2.7 kΩC ．3.6 kΩ D．5 kΩ 【解析】把阻值由小到大排列并编号阻值 0.9 1.1 2.7 3 3.6 4 5排列 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)为方便使用分数法，可在两端增加虚点(0)、(8)使因素X 围凑成8格，∴第1试点为58位置即序号(5)的位置，3.6 kΩ.【答案】 C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填在题中横线上)9．(2012·株洲模拟)用分数法对[0,105]进行优选法试验，若将此区间段均分为21等份，则第一个试点为________．【解析】将区间[0,105]均分为21等分，则相应分点为5,10,15， (100)由分数法原理可知第一试点x 1＝0＋1321(105－0)＝65或x 1＝105－1321(105－0)＝40. 【答案】 65或40(填一个也正确)10．采用纵横对折法，去掉两个坏点后所剩矩形区域面积是原矩形区域面积的________．【解析】如图所示，假设A 1与A 2是两个坏点，由纵横对称法知，先去掉A 1所在的阴影区域，再去掉A 2所在的阴影区域，显然所剩面积是原矩形面积的14. 【答案】1411．(2012·某某高考)某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选增养温度，试验X 围定为29 ℃～63 ℃，精确度要求±1 ℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．【解析】由题意知，存优X 围长度为34，选择分数2134优选，利用分数法选取试点，最少试验7次．【答案】 712．在配置某种清洗液时，需要加入某种材料，加入量大于130 mL 或小于10 mL 均不好，若利用均匀分批试验法在(10,130)内优选加入量，每批安排2个试验，则第1批试验加入的量为________mL 和________mL.【解析】将试验X 围分为3份，中间两个分点为50,90.【答案】 50 90三、解答题(本大题共3小题，满分40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)13．(本小题满分13分)卡那霉素发酵液生物测定，国内外通常规定培养温度为(37±1)℃，培养时间在16小时以上．某制药厂为缩短时间，决定优选培养温度，试验X 围定为29 ℃～50 ℃，精确度要求±1 ℃，中间试验点共有20个，试用分数法进行优选．【解】用分数法安排试验，要将试验X 围21等分，于是F n ＋1＝21所以n ＝6，共需做6次试验．第一个试验点选在第13个分点，即x 1＝29＋(50－29)×1321＝42(℃)处；第二个试验点是其对称点，即x 2＝50＋29－42＝37(℃)的地方，也就是第8个分点处：依次类推，6次试验的结果如图：14．(本小题满分13分)某化学反应，温度和反应时间会影响最终化合物的生成量，根据以往经验，定出其试验X 围为温度：20 ℃～40 ℃；时间：20 min ～100 min ；请说明如何用纵横对折法安排试验．【解】先把温度固定在试验区间中点30 ℃，对时间进行优选(优选方法可以是0.618法)，例如找到点为A 1；然后把时间固定在试验区间中点60 min ，对温度进行优选(优选方法可以是0.618法)，例如找到点为B 1；比较A 1和B 1，如果好点为B 1，丢弃不包括好点B 1的平面区域．然后在新X 围的温度的中点，对因素时间进行重新优选．类似这样做下去，直到找出满意的点．15．(本小题满分14分) 如图1－2，一正三角形，边长为20 cm ，在它的内部内接一矩形．问矩形的底边为多少时其面积最大？试用0.618法进行优选．图1－2【解】设内接矩形在底边到底角的距离为x，内接矩形的面积为S.则有S＝(20－2x)×3x，其中(20－2x)为矩形底边的长，3x为矩形的宽．x的变化X围为0～10(cm)．为使内接矩形面积为最大，用0.618法安排试验．第一试验点x1，有x1＝(10－0)×0.618＋0＝6.18，Sx1＝(20－2×6.18)×3×6.18≈81.78(cm2)．第二试验点x2，x2＝(10＋0)－6.18＝3.82，Sx2＝(20－2×3.82)×3×3.82≈81.78(cm2)．在Sx1和Sx2相等时，可同时消去(0,3.82)和(6.18,10)这两个区间．第三试验点可在区间(3.82,6.18)区间中继续用0.618法安排试验．x3＝3.82＋(6.18－3.82)×0.618≈5.28，Sx3＝(20－2×5.28)×3×5.28≈86.33(cm2)．x4＝6.18＋3.82－5.28＝4.72，Sx4＝(20－2×4.72)×3×4.72≈86.33(cm2)．Sx3＝Sx4，同样可同时消去(3.82,4.72)和(5.28,6.18)两个区间．在区间(4.72,5.28)中，再用0.618安排试验．x5＝4.72＋(5.28－4.72)×0.618≈5.07，Sx5＝(20－2×5.07)×3×5.07≈86.58(cm2)．x6＝4.72＋5.28－5.07＝4.93，Sx6＝(20－2×4.93)×3×4.93≈86.58(cm2)．由于5.07－4.93＝0.14，两点相差小于0.2 cm，如果认为精度已达到要求，可终止试验．此时矩形底边长为20－2×5.07＝9.86(cm)，或为20－2×4.93＝10.14(cm)．如果认为精度还不够，可继续在区间(4.93,5.07)中用0.618法安排试验，直到达到精度要求为止．。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.4 平面向量的坐标课时训练北师大版必修4

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.4 平面向量的坐标课时训练北师大版必修4一、选择题1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b 等于( )A ．(7,3)B ．(7,7)C ．(1,7)D ．(1,3)【解析】 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．【答案】 A2．(2013·海口高一检测)已知a ＝(2,4)，b ＝(x,1)，当a ＋b 与a －b 共线时，x 值为( )A.13B ．1 C.12 D.14【解析】 a ＋b ＝(2＋x,5)，a －b ＝(2－x,3)，∵a ＋b 与a －b 共线，∴3(2＋x )－5(2－x )＝0，解得：x ＝12. 【答案】 C3．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( )A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线【解析】 a ＋b ＝(x,1)＋(－x ，x 2)＝(0，x 2＋1)，由于x 2＋1≥1，∴点(0，x 2＋1)在y 轴正半轴上．∴a ＋b 平行于y 轴，故选C.【答案】 C4．已知两点A (4,1)，B (7，－3)，则与向量AB →同向的单位向量是( )A ．(35，－45) B ．(－35，45) C ．(－45，35) D ．(45，－35)【解析】 ∵与AB →同向的单位向量为 A B →| A B →|， | AB →|＝－2＋＋2＝5.AB →＝(7，－3)－(4,1)＝(3，－4)，∴ A B →| A B →|＝(35，－45)．【答案】 A5．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10)【解析】若a∥b ，则m ＋2×2＝0，∴m ＝－4，∴b ＝(－2，－4)．因此2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)，故选C.【答案】 C二、填空题6．在▱ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB →＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则BD →＝________.【解析】 AD →＝AC →－AB →＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．【答案】 (－3，－5)7．已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，则向量OA →的坐标为________．【解析】过A 分别作AM 、AN 垂直于x 轴、y 轴，垂足为M 、N .易知AM ＝1，AN ＝3，∴A (－3，1)，∴OA →＝(－3，1)．【答案】 (－3，1)图2－4－48．(2012·山东高考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P 的位置在(0,0)，圆在x 轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于(2,1)时，OP →的坐标为________．【解析】设A (2,0)，B (2,1)，由题意知劣弧长为2，∠ABP ＝21＝2.设P (x ，y )，则x ＝2－1×cos(2－π2)＝2－sin 2，y ＝1＋1×sin(2－π2)＝1－cos 2， ∴OP →的坐标为(2－sin 2,1－cos 2)．【答案】 (2－sin 2,1－cos 2)三、解答题9．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是(－2,1)、(－1,3)、(3,4)，求顶点D 的坐标．【解】设顶点D 的坐标为(x ，y )，∵AB →＝(－1,3)－(－2,1)＝(1,2)，DC →＝(3,4)－(x ，y )＝(3－x,4－y )．∴由AB →＝DC →，得(1,2)＝(3－x,4－y )即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝3－x 2＝4－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2y ＝2.∴平行四边形ABCD 顶点D 的坐标为(2,2)．10．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ，(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．11．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →，(1)求E ，F 的坐标；(2)判断EF →与AB →是否共线．【解】 (1)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，依题意得AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，由AE →＝13AC →，可知(x 1＋1，y 1)＝13(2,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋1＝23y 1＝23，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－13y 1＝23，∴E (－13，23)．由BF →＝13BC →可知(x 2－3，y 2＋1)＝13(－2,3)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3＝－23y 2＋1＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝73y 2＝0.∴F (73，0)． ∴E 点坐标为(－13，23)，F 点坐标为(73，0)． (2)由(1)知： EF →＝OF →－OE →＝(73，0)－(－13，23)＝(83，－23)，又∵AB →＝(4，－1)，∴EF →＝23(4，－1)＝23AB →，即EF →与AB →共线.。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学第二章平面向量综合检测北师大版必修4

第二章平面向量(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若向量a ，b ，c 满足a ∥b ，且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．0【解析】 ∵a ⊥c ，∴a·c ＝0.又∵a ∥b ，∴可设b ＝λa ，则c ·(a ＋2b )＝c ·(1＋2λ)a ＝0.【答案】 D2．已知向量a ＝(1,0)与向量b ＝(－1，3)，则向量a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6【解析】 cos 〈a ，b 〉＝a·b |a |·|b |＝－11·2＝－12.∴〈a ，b 〉＝2π3.【答案】 C3．已知a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，μ＝a ＋b ，υ＝a －b ，且μ∥υ，则x 的值为( ) A.12 B ．－12C.16D ．－16【解析】 ∵μ＝(1＋x,3)，υ＝(1－x,1)，μ∥υ. ∴(1＋x )×1－3×(1－x )＝0，∴x ＝12.【答案】 A4．已知|a |＝2|b |，|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π3，π]C ．[π3，2π3]D ．[π6，π]【解析】 Δ＝|a |2－4a·b ＝|a |2－4|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝4|b |2－8|b |2·cos〈a ，b 〉≥0.∴cos 〈a ，b 〉≤12，〈a ，b 〉∈[0，π]．∴π3≤〈a ，b 〉≤π. 【答案】 B5．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2【解析】 ∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴|a ||b |cos θ－|a |2＝2， ∴1×6×cos θ－1＝2，∴cos θ＝12，又0≤θ≤π，∴θ＝π3，故选C.【答案】 C6．已知OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上一点P 使AP →·BP →有最小值，则P 点的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【解析】设P (x,0)，∴AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋2＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →取最小值，此时P (3,0)．【答案】 B7．若a ，b 是非零向量，且a ⊥b ，|a |≠|b |，则函数f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )是( ) A ．一次函数且是奇函数 B ．一次函数但不是奇函数 C ．二次函数且是偶函数 D ．二次函数但不是偶函数【解析】 ∵a ⊥b ，∴a ·b ＝0，∴f (x )＝(x a ＋b )·(x b －a )＝x 2(a ·b )＋(|b |2－|a |2)x －a ·b ＝(|b |2－|a |2)x ，又|a |≠|b |，∴f (x )是一次函数且为奇函数，故选A.【答案】 A8．已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形【解析】 AB→|AB →|和|AC →||AC →|分别是与AB →，AC →同向的两个单位向量．∴AB→|AB →|＋AC →|AC →|是∠BAC 角平分线上的一个向量，由(AB→|AB →|＋AC→|AC →|)·BC →＝0知该向量与边BC 垂直，∴△ABC 是等腰三角形．由AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝12知∠BAC ＝60°.∴△ABC 是等边三角形．【答案】 A9．(2013·湖北高考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152【解析】由已知得AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，因此AB →在CD →方向上的投影为AB →·CD →|CD →|＝1552＝322.【答案】 A10．在直角三角形ABC 中，点D 是斜边AB 的中点，点P 为线段CD 的中点，则|PA |2＋|PB |2|PC |2＝( )A ．2B ．4C ．5D ．10【解析】 ∵PA →＝CA →－CP →， ∴|PA →|2＝CA →2－2CP →·CA →＋CP →2.∵PB →＝CB →－CP →，∴|PB →|2＝CB →2－2CP →·CB →＋CP →2.∴|PA →|2＋|PB →|2＝(CA →2＋CB →2)－2CP →·(CA →＋CB →)＋2CP →2＝AB →2－2CP →·2CD →＋2CP →2. 又AB →2＝16CP →2，CD →＝2CP →，代入上式整理得|PA →|2＋|PB →|2＝10|CP →|2，故所求值为10. 【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝5 2，则|b |等于________．【解析】 ∵|a ＋b |＝5 2，∴(a ＋b )2＝50，即a 2＋b 2＋2a ·b ＝50，又|a |＝5，a ·b ＝10， ∴5＋|b |2＋2×10＝50. 解得|b |＝5. 【答案】 512．已知a ＝(3,1)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b .则4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝________.【解析】 ∵a ∥b ，∴3cos α＝sin α， ∴tan α＝3.4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57.【答案】 5713．(2013·课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________.【解析】如图，以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (2,0)，D (0,2)，E (1,2)，∴AE →＝(1,2)，BD →＝(－2,2)， ∴AE →·BD →＝1×(－2)＋2×2＝2. 【答案】 214．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a ·b ＝0，则实数k 的值为________．【解析】由题意a ·b ＝0，即有(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0 ∴k e 21＋(1－2k )e 1·e 2－2e 22＝0. 又∵|e 1|＝|e 2|＝1，〈e 1，e 2〉＝2π3，∴k －2＋(1－2k )·cos 2π3＝0，∴k －2＝1－2k 2，∴k ＝54.【答案】 5415．(2012·安徽高考)设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a |＝________.【解析】 a ＋c ＝(1,2m )＋(2，m )＝(3,3m )． ∵(a ＋c )⊥b ，∴(a ＋c )·b ＝(3,3m )·(m ＋1,1)＝6m ＋3＝0， ∵m ＝－12，∴a ＝(1，－1)，|a |＝12＋－2＝ 2.【答案】2三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2013·江苏高考)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2. 又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.17．(本小题满分12分)平面内三点A 、B 、C 在一条直线上，OA →＝(－2，m )，OB →＝(n,1)，OC →＝(5，－1)，且OA →⊥OB →，求实数m 、n 的值．【解】 AC →＝OC →－OA →＝(7，－1－m )， BC →＝OC →－OB →＝(5－n ，－2)．∵A 、B 、C 三点共线，∴AC →∥BC →， ∴－14＋(m ＋1)(5－n )＝0.①又OA →⊥OB →. ∴－2n ＋m ＝0.②由①②解得m ＝6，n ＝3或m ＝3，n ＝32.18．(本小题满分12分)已知a ，b 是两个非零向量，当a ＋t b (t ∈R )的模取最小值时． (1)求t 的值； (2)求证：b ⊥(a ＋t b )．【解】 (1)(a ＋t b )2＝|a |2＋|t b |2＋2a ·t b ， |a ＋t b |最小，即|a |2＋|t b |2＋2a ·t b 最小，即t 2|b |2＋|a |2＋2t |a ||b |cos 〈a ，b 〉最小．故当t ＝－|a |cos 〈a ，b 〉|b |时，|a ＋t b |最小．(2)证明：b ·(a ＋t b )＝a ·b ＋t |b |2＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|a |cos 〈a ，b 〉|b ||b |2＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝0，故b ⊥(a ＋t b )．19．(本小题满分13分)△ABC 内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3OA →＋4OB →＋5OC →＝0.(1)求数量积OA →·OB →，OB →·OC →，OC →·OA →； (2)求△ABC 的面积．【解】 (1)∵3OA →＋4OB →＋5OC →＝0， ∴3OA →＋4OB →＝0－5OC →，即(3OA →＋4OB →)2＝(0－5OC →)2.可得9OA →2＋24OA →·OB →＋16OB →2＝25OC →2. 又∵|OA |＝|OB |＝|OC |＝1， ∴OA →2＝OB →2＝OC →2＝1， ∴OA →·OB →＝0. 同理OB →·OC →＝－45，OC →·OA →＝－35.(2)S △ABC ＝S △OAB ＋S △OBC ＋S △OAC ＝12|OA →|·|OB →|sin ∠AOB ＋12|OB →|·|OC →|sin ∠BOC ＋12|OC→|·|OA →|sin ∠AOC .又|OA |＝|OB |＝|OC |＝1.∴S △ABC ＝12(sin ∠AOB ＋sin ∠BOC ＋sin ∠AOC )．由(1)OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos ∠AOB ＝cos ∠AOB ＝0得sin ∠AOB ＝1. OB →·OC →＝|OB →|·|OC →|·cos ∠BOC ＝cos ∠BOC ＝－45，∴sin ∠BOC ＝35，同理sin ∠AOC ＝45.∴S △ABC ＝65.20．(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．【解】 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，从而5t ＝－11，所以t ＝－115.图121．(本小题满分13分)如图1，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120°，OA →与OC →的夹角为30°，且|OA →|＝|OB →|＝1，|OC →|＝2 3.若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求λ＋μ的值．【解】法一：作CD ∥OB 交直线OA 于点D ，作CE ∥OA 交直线OB 于点E ，则OC →＝OD →＋OE →，由已知∠OCD ＝∠COE ＝120°－30°＝90°，在Rt △OCD 中，OD ＝OCcos 30°＝4，CD ＝OC tan 30°＝2，∴OE ＝CD ＝2.又∵|OA →|＝|OB →|＝1，∴OD →＝4OA →，OE →＝2 OB →，即OC →＝OD →＋OE →＝4OA →＋2OB →，从而λ＋μ＝6，法二：由图可知∠BOC ＝120°－30°＝90°，即OB →⊥OC →，又∵OC →＝λOA →＋μOB → ∴⎩⎪⎨⎪⎧OC →2＝λOA →·OC →＋μOB →·OC →①OC →·OA →＝λOA →2＋μOB →·OA →②∴⎩⎪⎨⎪⎧32＝λ|OA →||OC →|cos 30°|OC →||OA →|cos 30°＝λ＋μ|OB →||OA →|cos 120°解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝4μ＝2，∴λ＋μ＝6.。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.1.4 数乘向量配套名师课件新人教B版必修4

2．1.4 数乘向量
教师用书独具演示
●三维目标 1．知识与技能掌握向量的数乘运算及其几何意义．
2．过程与方法通过由向量加法运算探究向量的数乘运算的过程，使学生形成数形结合的研究问题的方法，由 λ 符号来判断 λa 与 a 方向是否相同的过程，培养学生用分类讨论的思想研究问题的方法． 3．情感、态度与价值观通过对向量数乘运算的探究学习，经历数学探究活动的过程，培养学生的探索精神和创新意识；通过数乘向量的实际应用，体会数学的应用价值，学会用数学的方式解决问题.
(1)定义：实数 λ 和向量 a 的乘积是一个向量，记作 λa， λa 的长度|λa|＝|λ|·|a| .若 a≠0，当 λ＞0 时，λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ＜0 时，λa 的方向与 a 的方向相反．当 λ＝ 0 或 a＝0 时，0a＝ 0 或 λ0＝ 0 .
(2)数乘向量的几何意义：把向量 a 沿着 a 的方向或 a 的反方向放大或缩小．
课时作业（十六）
如图所示，O 为△ABC 的外心，H 为垂心，求证：O→H＝ O→A＋O→B＋O→C.
【思路探究】作直径 BD，连接 DA、DC，根据四边形 AHCD 是平行四边形求解．
【证明】作直径 BD，连接 DA、DC，则O→B＝－O→D， DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.
图 2－1－29
【思路点拨】利用 DE∥BC 等条件进行转化．
【规范解答】 ∵DE∥BC，A→D＝23A→B，
1分
∴A→E＝23A→C＝23b，B→C＝A→C－A→B＝b－a.
4分
由△ADE∽△ABC，得D→E＝23B→C＝23(b－a). 6 分
又 AM 是△ABC 底边 BC 的中线，DE∥BC，

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.3.2 平面向量的坐标运算教案苏教版必修4

2．3.2 平面向量的坐标运算(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的坐标运算，能准确表述向量的加法、减法、实数与向量的坐标运算法则，并能进行相关运算．(2)理解用坐标表示的平面向量共线的条件．2．过程与方法(1)通过向量的正交分解及坐标运算，进一步体会向量的工具作用．(2)通过学习平面向量共线的坐标表示及应用，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观培养学生学习数学的兴趣，勤于思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．●重点难点重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算．难点：平面向量平行条件的理解．(教师用书独具)●教学建议1．关于平面向量的坐标的概念教学教学时，建议教师从学生熟悉的平面向量基本定理出发，结合物理知识中力的正交分解，自然引出向量的正交分解，并类比平面直角坐标系中“点与坐标”的关系，得出“平面向量的坐标”的概念，并强调指出平面直角坐标系中“点的坐标同以原点为起点的向量是一一对应的”．2．关于平面向量的坐标的线性运算的教学教学时，建议教师让学生结合向量加、减及数乘向量的定义和向量的坐标的概念自主推导出平面向量的坐标的线性运算，并就每种运算的特征加以概括；在此基础上要求学生通过练习熟练掌握平面向量的坐标的线性运算．3．关于平面向量平行的坐标表示的教学教学时，建议教师引导学生从向量共线定理出发，自主推导出向量共线时的坐标关系，并会应用向量的坐标关系解决与平行有关的平面几何证明问题．●教学流程创设问题情境，引入平面向量的坐标概念.⇒引导学生结合向量加、减及数乘运算，推导出平面向量的坐标的线性运算.⇒引导学生结合向量共线定理，推导出向量平行的坐标表示，并总结利用向量坐标关系判断向量平行的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握结合图形用坐标表示向量的方法.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握平面向量坐标的线性运算方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平行向量的坐标表示，解决有关向量平行问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，任作一向量OA →.根据平面向量基本定理，OA →＝x i ＋y j ，那么(x ，y )与A 点的坐标相同吗？【提示】相同．2．如果向量OA →也用(x ，y )表示，那么这种向量OA →与实数对(x ，y )之间是否一一对应？【提示】是一一对应．(1)平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，对于平面上的向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则把有序实数对(x ，y )称为向量a 的(直角)坐标，记作a ＝(x ，y )．(2)平面向量的坐标运算①已知向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)和实数λ，那么a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．②已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，O 为坐标原点，则AB →＝OB →－OA →＝(x 2，y 2)－(x 1，y 1)＝(x 2设a ＝(1,3)，b ＝(2,6)，向量b 与a 共线吗？【提示】 b ＝(2,6)＝2(1,3)＝2a ，∴b 与a 共线．设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)(a ≠0)，如果a ∥b ，那么x 1y 2－x 2y 1＝0；反过来，如果x 1y2－x 2y 1＝0，那么a ∥b .图2－3－10在直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图2－3－10所示，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝4，分别计算出它们的坐标．【思路探究】利用三角函数求出各向量在x 轴、y 轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标．【自主解答】设a ＝(a 1，a 2)，b ＝(b 1，b 2)，c ＝(c 1，c 2)，则a 1＝|a |cos 45°＝2×22＝2，a 2＝|a |sin 45°＝2×22＝2， b 1＝|b |cos 120°＝3×(－12)＝－32，b 2＝|b |sin 120°＝3×32＝332， c 1＝|c |cos(－30°)＝4×32＝23， c 2＝|c |sin(－30°)＝4×(－12)＝－2.因此a ＝(2，2)，b ＝(－32，332)，c ＝(23，－2)．1．向量的坐标等于终点的坐标减去起点的相应坐标，只有当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标才等于终点的坐标．2．求向量的坐标一般转化为求点的坐标，解题时常常结合几何图形，利用三角函数的定义和性质进行计算．图2－3－11如图2－3－11，已知O 是坐标原点，点A 在第二象限，|OA →|＝2，∠xOA ＝150°，求向量OA →的坐标．【解】过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，作AC ⊥y 轴于点C ，设A (x ，y )，则x ＝|OA →|cos 150°＝－3，y ＝|OA →|sin 150°＝1.所以OA →(2)已知三点A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)，试求向量3AB →＋12CA →，BC →－2AB →.【思路探究】 (1)中分别给出了两向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行．(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算．【自主解答】 (1)∵a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，c ＝(0,5)， ∴3a －b ＋c ＝3(1，－3)－(－2,4)＋(0,5)＝(3，－9)－(－2,4)＋(0,5)＝(3＋2＋0，－9－4＋5) ＝(5，－8)．【答案】 (5，－8)(2)∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)． ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)，∴3AB →＋12CA →＝3(1,5)＋12(4，－1)＝(5，292)，BC →－2AB →＝(－5，－4)－2(1,5)＝(－7，－14)．平面向量坐标的线性运算的方法：(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．若题(2)中条件不变，如何求2AB →－3BC →＋CA →呢？【解】 ∵A (2，－1)，B (3,4)，C (－2,0)， ∴AB →＝(3,4)－(2，－1)＝(1,5)， BC →＝(－2,0)－(3,4)＝(－5，－4)， CA →＝(2，－1)－(－2,0)＝(4，－1)， ∴2AB →→→AB 与CD 是否平行？(2)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )．当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线？【思路探究】 (1)判断AB →∥CD →→判断点A 是否在直线CD 上→结论．(2)求A ，B ，C 三点共线时k 的值，则一定有AB →＝λAC →成立．先求AB →，AC →，再列方程组求解k .【自主解答】 (1)因为AB →＝(2,4)，AD →＝(4,11)－(－1，1)＝(5,10)，AC →＝(－2，－1)－(－1,1)＝(－1，－2)，所以AB →＝－2AC →，AD →＝－5AC →.所以AB →∥AC →∥AD →.由于AB →与AC →，AD →有共同的起点A ，所以A ，B ，C ，D 四点共线．因此直线AB 与CD 重合． (2)AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝ (10－k ，k －12)，若A ，B ，C 三点共线，则AB →∥AC →， ∴(4－k )(k －12)＝－7×(10－k )，解得k ＝－2或11，∴当k ＝－2或11时，A ，B ，C 三点共线．1．对于根据向量共线的条件求值的问题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb (b ≠0)列方程组求解，二是利用向量共线的坐标表达式x 1y 2－x 2y 1＝0直接求解．2．利用x 1y 2－x 2y 1＝0求解，解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“λ”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，求实数x 的值．【解】因为a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，所以a ＋b ＝(3，x ＋1)，4b －2a ＝(6,4x －2)，由于a ＋b 与4b －2a 平行，得6(x ＋1)－3(4x －2)＝0，解得x ＝2.忽略平行四边形顶点顺序的讨论致误已知A (2,1)，B (3,2)，C (－1,4)，若A ，B ，C 是平行四边形的三个顶点，求第四个顶点D 的坐标．【错解】设点D 的坐标为(x ，y )，则由AD →＝BC →，得x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故所求点D 的坐标为(－2,3)．【错因分析】错解中认为平行四边形的四个顶点的顺序是ABCD .事实上，本题没有给出是四边形ABCD ，因此，需要分类讨论．【防范措施】在求平行四边形某一顶点的坐标时，常常需要对平行四边形顶点顺序进行讨论．【正解】设点D 的坐标为(x ，y )．当四边形为平行四边形ABCD 时，则有AD →＝BC →，从而有x －2＝－1－3，y －1＝4－2，即x ＝－2，y ＝3，故点D 的坐标为(－2,3)．当四边形为平行四边形ADBC 时，则有AD →＝CB →，从而有x －2＝3－(－1)，y －1＝2－4，即x ＝6，y ＝－1，故点D 的坐标为(6，－1)．当四边形为平行四边形ABDC 时，则有AC →＝BD →，从而有x －3＝－1－2，y －2＝4－1，即x ＝0，y ＝5，故点D 的坐标为(0,5)，故第四个顶点D 的坐标为(－2,3)或(6，－1)或(0,5)．1．向量的坐标运算(1)向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标．(2)解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 2．两个向量共线条件的表示方法已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， (1)当b ≠0时，a ＝λb . (2)x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)当x 2y 2≠0时，x 1x 2＝y 1y 2，即两向量的相应坐标成比例.1．设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝________. 【解析】 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3,5)－(－4,2)＝(7,3)．【答案】 (7,3)2．已知M (3，－2)，N (－5，－1)，MP →＝12MN →，则P 点坐标为________．【解析】设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)，MN →＝(－8,1)． ∵MP →＝12MN →，∴(2x －6,2y ＋4)＝(－8,1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －6＝－8，2y ＋4＝1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－32.【答案】 (－1，－32)3．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，是k ＝________. 【解析】 a －c ＝(3－k ，－6)，b ＝(1,3)，∵(a －c )∥b ，∴3－k 1＝－63.∴k ＝5.【答案】 54．已知A ，B ，C 三点的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且AE →＝13AC →，BF →＝13BC →.求证：EF →∥AB →.【证明】 ∵AC →＝(2,2)，BC →＝(－2,3)，∴AE →＝13AC →＝(23，23)，BF →＝13BC →＝(－23，1)∴E (－13，23)，F (73，0)．∴EF →＝(83，－23)．又AB →＝(4，－1)，所以AB →＝32EF →.即EF →∥AB →.一、填空题1．下列说法正确的有________． (1)向量的坐标即此向量终点的坐标； (2)位置不同的向量其坐标可能相同；(3)一个向量的坐标等于它的始点坐标减去它的终点坐标； (4)相等的向量坐标一定相同．【解析】我们所学的向量是自由向量，位置不同，可能是相同的向量，同时相等的向量坐标一定相同．故正确的说法是(2)(4)．【答案】 (2)(4)2．若向量a ＝(3,2)，b ＝(0，－1)，则向量2b ＋a 的坐标是________．【解析】 2b ＋a ＝2(0，－1)＋(3,2)＝(0，－2)＋(3,2)＝(3,0)．【答案】 (3,0)3．已知a ＝(－1，x )与b ＝(－x,2)共线，且方向相同，则实数x ＝________.【解析】设a ＝λb ，则(－1，x )＝(－λx,2λ)，所以有⎩⎪⎨⎪⎧－1＝－λx ，x ＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，λ＝22或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，λ＝－22.又a 与b 方向相同，则λ＞0，所以λ＝22，x ＝ 2. 【答案】24．(2013·连云港高一检测)已知点M (3，－2)，N (－6,1)，且MP →＝2PN →，点P 的坐标为________．【解析】设P (x ，y )，则MP →＝(x －3，y ＋2)， PN →＝(－6－x,1－y )，∴由MP →＝2PN →得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－12－2x ，y ＋2＝2－2y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－3，y ＝0，∴点P 的坐标为(－3,0)．【答案】 (－3,0)5．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量之间的一个运算为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q ＝________.【解析】设q ＝(x ，y )，则由题意可知 ⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，所以q ＝(－2,1)．【答案】 (－2,1)6．已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，若A ，B ，C 三点共线，则实数k ＝________.【解析】由题意得AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)， BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，∵AB →与BC →共线． ∴(4－k )×(k －5)－6×(－7)＝0，解得k ＝－2或11. 【答案】－2或117．下列说法正确的有______________． (1)存在向量a 与任何向量都是平行向量；(2)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 1＝x 2y 2；(3)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ∥b ，则x 1y 2－x 2y 1＝0；(4)如果向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且x 1y 1＝x 2y 2，则a ∥b .【解析】 (1)当a 是零向量时，零向量与任何向量都是平行向量；(2)不正确，当y 1＝0或y 2＝0时，显然不能用x 1y 1＝x 2y 2来表示；(3)(4)正确．【答案】 (1)(3)(4)8．已知向量m ＝(2,3)，n ＝(－1,2)，若a m ＋b n 与m －2n 共线，则a b等于________．【解析】 a m ＋b n ＝(2a,3a )＋(－b,2b )＝(2a －b,3a ＋2b )，m －2n ＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)，∵a m ＋b n 与m －2n 共线，∴b －2a －12a －8b ＝0，∴a b ＝－12.【答案】－12二、解答题9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b ， (1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ；(3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．【解】由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1. (3)设O 为坐标原点，∵CM →＝OM →－OC →＝3c ， ∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ， ∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2) ，∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18)．10．已知O (0,0)，A (1,2)，B (4,5) 及OP →＝OA →＋tAB →，求： (1)t 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．【解】 (1)设P (x ，y )，AB →＝(3,3)，由OP →＝OA →＋tAB →得(x ，y )＝(1,2)＋t (3,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .若P 在x 轴上，则y P ＝0，即2＋3t ＝0，∴t ＝－23.若P 在y 轴上，则x P ＝0，即1＋3t ＝0，∴t ＝－13.若P 在第二象限，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＜0，2＋3t ＞0，∴－23＜t ＜－13.(2)四边形OABP 不能为平行四边形．因为若四边形OABP 能构成平行四边形，则OP →＝AB →，即(1＋3t,2＋3t )＝(3,3)． ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3， t 无解，故四边形OABP 不能为平行四边形． 11．已知a ＝(1,2)，b ＝(－2,1)，x ＝a ＋(t 2＋1)b ，y ＝－1k a ＋1tb ，是否存在正实数k ，t 使得x ∥y ？若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由．【解】不存在．理由：依题意，x ＝a ＋(t 2＋1)b＝(1,2)＋(t 2＋1)(－2,1)＝(－2t 2－1，t 2＋3)．y ＝－1k a ＋1tb＝－1k (1,2)＋1t(－2,1)＝(－1k －2t，－2k ＋1t)．假设存在正实数k ，t ，使x ∥y ，则(－2t 2－1)(－2k ＋1t )－(t 2＋3)·(－1k －2t)＝0，化简得t 2＋1k ＋1t ＝0，即t 3＋t ＋k ＝0. ∵k ，t 为正实数，∴满足上式的k ，t 不存在，∴不存在这样的正实数k ，t ，使x ∥y .(教师用书独具)已知△AOB 中，O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 交于点M ，求点M 的坐标．【思路探究】由已知条件易求得点C ，D 的坐标，再由点M 是AD 与BC 的交点，即A ，M ，D 三点共线与B ，M ，C 三点共线可得到以点M 的坐标为解的方程组，解方程组即可．【自主解答】 ∵点O (0,0)，A (0,5)，B (4,3)， ∴OA →＝(0,5)，OB →＝(4,3)，OC →＝14OA →＝(0，54)， ∴点C 的坐标为(0，54)．同理可得D (2，32)．设点M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，∵A ，M ，D 共线，∴AM →与AD →共线．又AD →＝(2－0，32－5)＝(2，－72)， ∴－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①∵CM →＝(x ，y －54)，CB →＝(4－0,3－54)＝(4，74)， CM →与CB →共线，∴74x －4(y －54)＝0，即7x －16y ＝－20.②由①②得x ＝127，y ＝2， ∴M 的坐标为(127，2)．在求点或向量的坐标中充分利用两个向量共线，要注意方程思想的应用，在题目中充分利用向量共线、向量相等等条件作为列方程的依据．如图所示，已知点A (4,0)，B (4,4)，C (2,6)，求AC 和OB 的交点P 的坐标．【解】法一设OP →＝tOB →＝t (4,4)＝(4t,4t )，则AP →＝OP →－OA →＝(4t,4t ) －(4,0)＝(4t －4,4t )，AC →＝(2,6)－(4,0)＝(－2,6)．由AP →，AC →共线的条件知(4t －4)×6－4t ×(－2)＝0，解得t ＝34. 所以OP →＝(4t,4t )＝(3,3)，所以P 点的坐标为(3,3)．法二设P (x ，y )，则OP →＝(x ，y )，OB →＝(4,4)．因为OP →，OB →共线，所以4x －4y ＝0.①又CP →＝(x －2，y －6)，CA →＝(2，－6)，且向量CP →，CA →共线，所以－6(x －2)＋2(6－y )＝0.②解①②组成的方程组，得x ＝3，y ＝3，所以P点的坐标为(3,3)．。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学第一章三角函数综合检测北师大版必修4

第一章三角函数(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝3sin(x 2－π4)，x ∈R 的最小正周期为( )A.π2B ．πC ．2πD ．4π【解析】 T ＝2πω＝2π12＝4π.【答案】 D2．化简sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝( )A ．2sin αB ．2cos αC ．sin α＋cos αD ．0【解析】 sin(9π－α)＋cos(－9π2－α)＝sin(π－α)＋cos(π2＋α)＝sin α－sin α＝0.【答案】 D3．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)图像的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1D.π4 【解析】由题意知截得线段长为一周期，∴T ＝π4，∴ω＝ππ4＝4，∴f (π4)＝tan (4×π4)＝0.【答案】 A4．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6【解析】 ∵sin 2π3>0，cos 2π3<0，∴点(sin 2π3，cos 2π3)在第四象限．又∵tan α＝cos2π3sin2π3＝－33，∴α的最小正值为2π－16π＝116π.【答案】 D5．要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度【解析】由于y ＝sin(4x －π3)＝sin[4(x －π12)]，所以只需把y ＝sin 4x 的图像向右平移π12个单位长度，故选D.【答案】 D6．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图像关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图像关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图像D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数【解析】 f (π3)＝sin(2×π3＋π3)＝sin π＝0，故A 错；f (π4)＝sin(2×π4＋π3)＝sin(π2＋π3)＝cos π3＝12≠0，故B 错；把f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到y ＝cos 2x 的图像，故C 正确．【答案】 C7．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】法一 ∵正弦函数图像的对称轴过图像的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .取k ＝－1，则x ＝－π4.法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D 项也不正确．【答案】 C8．(2013·西安高一检测)下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( )A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错．y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数．∴y ＝－cos 2x 满足条件．【答案】 D9．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】 T ＝6，则5T4≤t ，如图：∴t ≥152，∴t min ＝8.故选C. 【答案】 C10．(2012·天津高考)将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图像向右平移π4个单位长度，所得图像经过点(3π4，0)，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2【解析】根据题意平移后函数的解析式为y ＝sin ω(x －π4)，将(3π4，0)代入得sinωπ2＝0，则ω＝2k ，k ∈Z ，且ω>0，故ω的最小值为2. 【答案】 D二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上) 11．已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm 2. 【解析】 15°＝π12，∴扇形的面积为S ＝12r 2·α＝12×62×π12＝3π2.【答案】3π212．sin(－120°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________. 【解析】原式＝－sin(180°－60°)·cos(3·360°＋210°)＋cos(－1 080°＋60°)·sin(－3×360°＋30°)＝－sin 60°cos(180°＋30°)＋cos 60°·sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·江苏高考)函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．【解析】函数y ＝3sin(2x ＋π4)的最小正周期T ＝2π2＝π.【答案】 π图114．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像如图所示，则ω＝________. 【解析】由图像可知，T ＝4×(2π3－π3)＝4π3， ∴ω＝2πT ＝32.【答案】 3215．关于x 的函数f (x )＝sin(x ＋φ)有以下命题：①对于任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数；②不存在φ，使f (x )既是奇函数又是偶函数；③存在φ，使f (x )是奇函数；④对任意的φ，f (x )都不是偶函数．其中假命题的序号是________．【解析】当φ＝2k π，k ∈Z 时，f (x )＝sin x 是奇函数；当φ＝(2k ＋1)π，k ∈Z 时，f (x )＝－sin x 仍是奇函数；当φ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，f (x )＝cos x 或φ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )＝－cos x都是偶函数．所以①和④是错误的，③是正确的．又因为φ无论取何值都不能使f (x )恒为零，故②正确．所以填①④. 【答案】 ①④三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)．(1)求：sin(π－x )－sin(π2＋x )的值；(2)写出角x 的集合S .【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2k π＋π3，k ∈Z }.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0)图像上的一个最高点的坐标为(π8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y ＝2交于点(38π，2)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数表达式； (2)求函数的对称中心．【解】 (1)由题意得A ＝22－2＝ 2.由T 4＝3π8－π8＝π4， ∴周期为T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)＋ 2.以点(π8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有2×π8＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.(2)由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数的对称中心为(k π2－π8，2)(k ∈Z )． 18．(本小题满分12分)(2012·陕西高考)函数f (x )＝A sin(ωx －π6)＋1(A >0，ω>0)的最大值为3，其图像相邻两条对称轴之间的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f (α2)＝2，求α的值．【解】 (1)∵函数f (x )的最大值为3，∴A ＋1＝3，即A ＝2. ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T ＝π，∴ω＝2，∴函数f (x )的解析式为y ＝2sin(2x －π6)＋1.(2)∵f (α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，∴sin(α－π6)＝12.∵0<α<π2，∴－π6<α－π6<π3，∴α－π6＝π6，∴α＝π3.19．(本小题满分13分)已知y ＝a －b cos 3x (b >0)的最大值为32，最小值为－12.(1)求函数y ＝－4a sin(3bx )的周期、最值，并求取得最值时的x 的值； (2)判断(1)问中函数的奇偶性．【解】 (1)∵y ＝a －b cos 3x ，b >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y max＝a ＋b ＝32，ymin ＝a －b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝1.∴函数y ＝－4a sin(3bx )＝－2sin 3x ， ∴此函数的周期T ＝2π3.当x ＝2k π3＋π6(k ∈Z )时，函数取得最小值－2；当x ＝2k π3－π6(k ∈Z )时，函数取得最大值2.(2)∵函数解析式为y ＝－2sin 3x ，x ∈R ， ∴－2sin(－3x )＝2sin 3x ，即f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．20．(本小题满分13分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．图2(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．【解】 (1)由题意知T ＝π＝2πω，∴ω＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，∴y ＝f 2(x )的最大值为2. 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }．∵y ＝cos x 的减区间为x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ，∴f 2(x )＝－2cos (2x ＋π6)的增区间为{x |2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z }，解得{x |k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z }， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为x ∈[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .图321．(本小题满分13分)已知定义在区间[－π，2π3]上的函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝－π6对称，当x ∈[－π6，2π3]时，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π2<φ<π2)，其图像如图所示．(1)求函数y ＝f (x )在[－π，2π3]上的表达式；(2)求方程f (x )＝22的解．【解】 (1)由图像可知，A ＝1，T 4＝2π3－π6＝π2，∴T ＝2π.∴ω＝2πT ＝2π2π＝1.∵f (x )＝sin(x ＋φ)过点(2π3，0)，∴2π3＋φ＝π. ∴φ＝π3.∴f (x )＝sin(x ＋π3)，x ∈[－π6，2π3]．∵当－π≤x <－π6时，－π6≤－x －π3≤2π3，又∵函数y ＝f (x )在区间[－π，2π3]上的图像关于直线x ＝－π6对称，∴f (x )＝f (－x －π3)＝sin[(－x －π3)＋π3]＝sin(－x )＝－sin x ，x ∈[－π，－π6]．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋π3，x ∈[－π6，2π3]，－sin x ，x ∈[－π，－π6(2)当－π6≤x ≤2π3时，π6≤x ＋π3≤π.由f (x )＝sin(x ＋π3)＝22，得x ＋π3＝π4或x ＋π3＝3π4，∴x ＝－π12或x ＝5π12.当－π≤x <－π6时，由f (x )＝－sin x ＝22，即sin x ＝－22得x ＝－π4或x ＝－3π4.∴方程f (x )＝22的解为x ＝－π12或5π12或－π4或－3π4.。

【课堂新坐标】(教师用书)2013-2014学年高中数学 2.2 空间向量的运算课时训练北师大版选

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 2.2 空间向量的运算课时训练北师大版选修2-1一、选择题1．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 和BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则下列式子中与B 1M →相等的是( )A ．－12a ＋12b ＋cB ．12a ＋12b ＋cC.12a －12b ＋c D ．－12a －12b ＋c 【解析】B 1M →＝B 1B →＋BM →＝c ＋12BD →＝c ＋12B 1D 1→＝c ＋12b －12a ，故选A.【答案】 A2．a ，b 是两个非零向量，现给出以下命题： ①a ·b ＞0⇔〈a ，b 〉∈[0，π2)； ②a ·b ＝0⇔〈a ，b 〉＝π2；③a ·b ＜0⇔〈a ，b 〉∈(π2，π]；④|a ·b |＝|a ||b |⇔〈a ，b 〉＝0.其中正确的命题有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【解析】只有④是假命题，故选C. 【答案】 C3．空间四边形ABCD 的各边和对角线长均为1，E 是BC 的中点，那么( ) A.AE →·BC →＜AE →·CD → B ．AE →·BC →＝AE →·CD → C.AE →·BC →＞AE →·CD →D ．AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小【解析】∵AE →⊥BC →， ∴AE →·BC →＝0. 又〈AE →，CD →〉＞90°，∴AE →·CD →＜0.∴AE →·BC →＞AE →·CD →. 【答案】 C4．已知点A ，B ，C ∈平面α，点P ∉α，则AP →·AB →＝0，且AP →·AC →＝0是AP →·BC →＝0的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【解析】由⎩⎨⎧AP →·AB →＝0AP →·AC →＝0，得AP →·(AB →－AC →)＝0，即AP →·CB →＝0，亦即AP →·BC →＝0，反之，若AP →·BC →＝0，则AP →·(AC →－AB →)＝0⇒AP →·AB →＝AP →·AC →，未必等于0. 【答案】 A5．如图2－2－9所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos〈OA →，BC →〉的值为( )A.12B ．22 C ．－12D ．0图2－2－9【解析】∵OA →·BC →＝OA →·(OC →－OB →)＝OA →·OC →－OA →·OB →＝|OA →|·|OC →|cos 〈OA →，OC →〉－|OA →|·|OB →|·cos〈OA →，OB →〉 ∵OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3， ∴OA →·BC →＝0，即OA →⊥BC →，∴cos 〈OA →，BC →〉＝0. 【答案】 D 二、填空题6．在四面体O －ABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)【解析】如图，E 为AD 的中点，根据向量的平行四边形法则，得OE →＝12(OA →＋OD →)，同理可得OD →＝12(OB →＋OC →)，∴OE →＝12OA →＋14OB →＋14OC →＝12a ＋14b ＋14c .【答案】12a ＋14b ＋14c7．如图2－2－10，在45°的二面角α－l －β的棱上有两点A 、B ，点C 、D 分别在α、β内，且AC ⊥AB ，∠ABD ＝45°，AC ＝BD ＝AB ＝1，则CD 的长度为________．图2－2－10【解析】由CD →＝CA →＋AB →＋BD →， cos 〈AC →，BD →〉＝cos 45°cos 45°＝12，∴|CD →|2＝CA →2＋AB →2＋BD →2＋2(CA →·AB →＋AB →·BD →＋CA →·BD →) ＝3＋2×(0＋1×1×cos 135°＋1×1×cos 120°) ＝2－2，∴|CD →|＝2－ 2. 【答案】2－ 28．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E 、F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为________．【解析】如图设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝a ，且a ，b ，c 三向量两两夹角为60°. AE →＝12(a ＋b )，AF →＝12c ，∴AE →·AF →＝12(a ＋b )·12c ＝14(a ·c ＋b ·c )＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 【答案】14a 2三、解答题9．如图2－2－11所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，E ，F ，G ，H ，P ，Q 分别是AB ，BC ，CC 1，C 1D 1，D 1A 1，A 1A 的中点，求证：EF →＋GH →＋PQ →＝0.图2－2－11【证明】设A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则EF →＝12a ＋12b ，GH →＝－12c －12a ，PQ →＝－12b ＋12c ，∴EF →＋GH →＋PQ →＝12a ＋12b －12c －12a －12b ＋12c ＝0.10．在三棱锥A －BCD 中，AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，求证：AD ⊥BC . 【证明】如图由AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，得AB →·CD →＝0，AC →·BD →＝0，又∵CD →＝AD →－AC →，BD →＝AD →－AB →，∴AB →·(AD →－AC →)＝0，AC →·(AD →－AB →)＝0，即AB →·AD →－AB →·AC →＝0，AC →·AD →－AC →·AB →＝0，两式相减得 AB →·AD →－AC →·AD →＝0，即(AB →－AC →)·AD →＝0， ∴BC →·AD →＝0， ∴BC →⊥AD →， ∴AD ⊥BC .11．如图2－2－12所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC 1⊥AB 1，BC 1⊥A 1C . 求证：AB 1＝A 1C .图2－2－12【证明】∵A 1C →＝A 1C 1→＋C 1C →，BC 1→＝BC →＋CC 1→，A 1C →·BC 1→＝(A 1C 1→＋C 1C →)·(BC →＋CC 1→)＝A 1C 1→·BC →－C 1C →2＝0， ∴C 1C →2＝A 1C 1→·BC →.同理AB 1→＝AB →＋BB 1→，BC 1→＝BB 1→＋B 1C 1→， AB 1→·BC 1→＝AB →·BC →＋CC 1→2＝0，∵C 1C →2＝A 1C 1→·BC →，∴AB →·BC →＋A 1C 1→·BC →＝0.又A 1C 1→＝AC →，∴BC →·(AB →＋AC →)＝0. 设D 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2AD →， ∴2BC →·AD →＝0，∴BC ⊥AD ，∴AB ＝AC .又A 1A ＝B 1B ，∠A 1AC ＝∠ABB 1＝90°∴A 1C ＝AB 1.。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 1.1.1 任意角教案苏教版必修4

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 1.1.1 任意角教案苏教版必修41．1任意角、弧度1．1.1 任意角(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念；(3)理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合；(5)能进行简单的角的集合之间的运算．2．过程与方法以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，类比初中所学的角的概念，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系；引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．●重点难点1．重点：理解正角、负角和零角及象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断．2．难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．(教师用书独具)●教学建议1．任意角的概念：建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性．教学时，可以先让学生自己描述“校准”手表的过程，然后引导学生体会仅用0°～360°之间的角已经无法解决当前的问题．2．象限角的概念：建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系，引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示，并注意讲解“终边落在坐标轴上的角，它不属于任何一个象限”．3．终边相同的角的表示：建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知，通过具体角寻找终边相同角的规律，归纳其一般表示形式．教学时，有条件的可以利用信息技术，利用动态的观点，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，从而达到对终边相同角的认知的统一．●教学流程创设问题情境，复习初中角的定义，引出任意角的概念.⇒引导学生结合任意角的定义，理解正角与负角的概念并加以区分，理解角的分类.⇒通过引导学生探究在直角坐标系中，按角的终边的位置不同定义不同的象限角，并理解终边相同的角的表示方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握角的概念及其应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握终边相同的角的表示方法及其注意事项.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握象限角的表示及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课标解读1.了解任意角的概念．2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点) 3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)任意角的概念【问题导思】1．在初中时我们是如何定义角的？【提示】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．如果你的手表慢了10分钟，你是怎样校准的？【提示】校准方法很多，由于分针转一圈为360°，故10分钟分针需要转过60°，且要调快分针可顺时针转，故可让分针顺时针旋转60°.(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．象限角及终边相同的角【问题导思】1．如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴正半轴，那么角终边的位置在坐标系中有几种情况？【提示】在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合．2．0°角与360°角的终边相同吗？【提示】相同．(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.角的概念及相关应用(1)下列各命题正确的有________．(填序号)①终边相同的角一定相等；②第一象限角都是锐角；③锐角都是第一象限角；④小于90°的角都是锐角．(2)下列说法正确的是________．(填序号)①一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．②在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.③将钟表调快一个小时，则分针转了360°.④顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角．【思路探究】根据各种角的含义进行判断．【自主解答】(1)对于①，－60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，∴应排除①.对于②，390°角是第一象限角，但它不是锐角，∴应排除②.对于④，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除④.∵锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，∴锐角是第一象限角．∴③正确．(2)如果一条射线绕端点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故①不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°，故②不正确．将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了－360°，③不正确．顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故④正确．【答案】(1)③(2)④解答概念辨析题，一是利用定义直接判断；二是利用反例排除错误答案，要说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可．下列说法正确的是________．(填序号)①三角形的内角必是第一、二象限角；②第一象限角一定是正角；③第二象限角一定比第一象限角大；④与30°终边相同的角有无穷多个．【解析】90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限角，又不是第二象限角，故①错；－330°是第一象限角，但不是正角，故②错；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°>120°，故③错；④正确．【答案】④终边相同的角在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出此角是第几象限角．(1)430°(2)909°(3)－60°(4)－1 550°【思路探究】将所给角α写成α＝k·360°＋β(0°≤β＜360°)的形式，则β即为所求．【自主解答】(1)430°＝1×360°＋70°，所以在0°～360°范围内与430°终边相同的角为70°，此角为第一象限角．(2)909°＝2×360°＋189°，所以在0°～360°范围内与909°终边相同的角为189°，此角为第三象限角．(3)－60°＝－1×360°＋300°，所以在0°～360°范围内与－60°终边相同的角为300°，此角为第四象限角．(4)－1 550°＝－5×360°＋250°，所以在0°～360°范围内与－1 550°终边相同的角为250°，此角为第三象限角．将任意角写成α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式的关键是确定k.可用观察法(α绝对值较小时)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，余数是正数．如图1－1－1，分别写出终边落在所示直线上的角的集合．图1－1－1【解】由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0°到180°范围内)，因此相对应的角的集合为：(1)S＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}；(2)S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}；(3)S＝{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}；(4)S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{α|α＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．象限角的表示及其应用已知α为第一象限角，求2α，α2，α3所在的象限．【思路探究】用不等式表示α→求2α，α2，α3的范围→分类讨论→得出结论【自主解答】 ∵α为第一象限角，∴360°·k ＜α＜360°·k ＋90°，k ∈Z ，∴360°·2k ＜2α＜360°·2k ＋180°，k ∈Z ，∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y 轴正半轴上的角．∵180°·k ＜α2＜180°·k ＋45°，k ∈Z ，当k 为奇数时，α2是第三象限角；当k 为偶数时，α2是第一象限角． ∴α2为第一或第三象限角．又∵120°·k ＜α3＜120°·k ＋30°，k ∈Z ，当k ＝3n (k ∈Z )时，360°·n ＜α3＜360°·n ＋30°，n ∈Z ， ∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(k ∈Z )时，360°·n ＋120°＜α3＜360°·n ＋150°，n ∈Z ，∴α3是第二象限角；当k ＝3n ＋2(k ∈Z )时，360°·n ＋240°＜α3＜360°·n ＋270°，n ∈Z ，∴α3是第三象限角．∴α3为第一、第二或第三象限角． 1．用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法．2．α，α2，2α终边位置关系： α 第一象限第二象限第三象限第四象限 α2 第一、三象限第一、三象限第二、四象限第二、四象限 2α 第一、二象限或y 轴的正半轴第三、四象限或y 轴的负半轴第一、二象限或y 轴的正半轴第三、四象限或y 轴的负半轴把本例中条件改为“若α是第三象限角”，求角2α，2所在的象限．【解】由角α是第三象限角可知，k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z ，于是，2k ·360°＋360°＜2α＜2k ·360°＋540°，k ∈Z ，即(2k ＋1)·360°＜2α＜(2k ＋1)·360°＋180°，k ∈Z .所以2α为第一、二象限角或终边在y 轴的正半轴上的角．因为k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°，k ∈Z ，当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°，n ∈Z ，此时α2为第四象限角；当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ，则n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°，n ∈Z ，此时α2为第二象限角．因此α2为第二象限角或第四象限角．区间角表示错误图1－1－2用角度表示顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在图1－1－2所示的阴影区域内的角的集合(含边界)．【错解】因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°，所以它表示的角的集合为{α|k ·360°＋300°≤α≤k ·360°＋45°，k ∈Z }．【错因分析】因为45°≤300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式．【防范措施】表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在(0°，360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α，β(α＜β)，再在所得到的范围{x |α＜x ＜β}两边加上k ·360°，即得区域角的集合{x |k ·360°＋α＜x ＜k ·360°＋β，k ∈Z }．【正解】由题意可知300°角与－60°角的终边相同，所以它表示的角的集合为{α|k ·360°－60°≤α≤k ·360°＋45°，k ∈Z }．1．对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．2．在运用终边相同的角时，需注意以下几点：(1)k 是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k ·360°与α之间用“＋”连结，如k ·360°－30°应看成k ·360°＋(－30°)(k ∈Z )；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是________．【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了240°，故填－240°.【答案】－240°2．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．【解析】 148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角，而－1 601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．【答案】 43．若角α＝2 008°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．【解析】 ∵2 008°＝5×360°＋208°，∴与2 008°角终边相同的角的集合为{α|α＝208°＋k ·360°，k ∈Z }，∴最小正角是208°，最大负角是－152°.【答案】 208° －152°4．求0°～360°范围内与－30°终边相同的角．【解】与－30°角终边相同的角为k ·360°－30°，k ∈Z ，取k ＝1，得1×360°－30°＝330°，0°≤330°＜360°，因此所求角为330°.一、填空题1．(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．【解析】分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周．【答案】－120° －1 440°2．543°是第________象限角．【解析】 543°＝183°＋360°，又183°是第三象限角，故543°也是第三象限角．【答案】三3．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】 405°－360°＝45°，故与405°角终边相同的角可表示为k ·360°＋45°，k ∈Z .【答案】 {α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }4．(2013·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k ·360°，k ∈Z }，与θ终边相同的最小正角是当k ＝9时，θ＝－3 000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】 240°5．若α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】因为α是第二象限角，所以k ·360°＋90°＜α＜k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·360°＜180°－α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，所以180°－α是第一象限角．【答案】一6．(2013·曲阜师大附中检测)在－720°～720°内与－1 050°角终边相同的角是________．【解析】与－1 050°终边相同的角可表示为k ·360°－1 050°(k ∈Z )，k ＝1时，1×360°－1 050°＝－690°，k ＝2时，2×360°－1 050°＝－330°，k ＝3时，3×360°－1 050°＝30°，k ＝4时，4×360°－1 050°＝390°.【答案】－690°或－330°或30°或390°7．在－360°～0°内与160°角终边相同的角是________．【解析】与160°角终边相同的角α＝k ·360°＋160°，k ∈Z .∵－360°≤α＜0°，∴取k ＝－1，得α＝－360°＋160°＝－200°.故在－360°～0°内与160°角终边相同的角是－200°.【答案】－200°8．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为________．【解析】 ∵角α和角β的终边关于x 轴对称，∴α＋β＝k ·360°(k ∈Z )．∴α＝k ·360°－β(k ∈Z )．【答案】 k ·360°－β(k ∈Z )二、解答题9．写出终边在如图1－1－3所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图1－1－3【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则(1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }；(2){α|－210°＋k ·360°≤α≤30°＋k ·360°，k ∈Z }．10．写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中满足不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.【解】与15°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝15°＋k ·360°，k ∈Z }，其中，满足－1 080°≤β＜720°的元素有：k ＝－3时，β＝－1 065°；k ＝－2时，β＝－705°；k ＝－1时，β＝－345°；k ＝0时，β＝15°；k ＝1时，β＝375°，∴集合中满足条件的元素β有－1 065°，－705°，－345°，15°，375°.11．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°(k ∈Z )}中：(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于－360°且小于360°的角？(3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．【解】 (1)当k ＝4n,4n ＋1,4n ＋2,4n ＋3，n ∈Z 时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．(2)由－360°＜k ·90°＋45°＜360°，得－92＜k ＜72. 又k ∈Z ，故k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个．(3)其中是第二象限的角可表示成k ·360°＋135°，k ∈Z .(教师用书独具)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内，求角α的取值范围．【思路探究】先在－180°～180°范围内找出终边落在阴影内的角，然后写出角的集合(注意边界)．【自主解答】当角α的终边落在阴影的上半部分时，α∈{α|k ·360°＋30°＜α≤k ·360°＋150°，k ∈Z }，当角α的终边落在阴影的下半部分时，α∈{α|k ·360°－150°＜α≤k ·360°－30°，k ∈Z }．由此可知满足题意的角α为{α|k ·180°＋30°＜α≤k ·180°＋150°，k ∈Z }．1．角的终边为虚线，则不等式中应不带“＝”号．2．本题实质上是求两个范围内角的并集，应注意化简为最简结果．如图所示，写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为________．【解析】与－30°角终边在一条直线上的角的集合为S 1＝{α|α＝－30°＋k ·180°，k ∈Z }＝{α|α＝150°＋k ·180°，k ∈Z }．与45°＋90°＝135°角终边在同一直线上的角的集合为S 2＝{β|β＝135°＋k ·180°，k ∈Z }，从而图中阴影部分的角的取值集合为{α|135°＋k ·180°≤α≤150°＋k ·180°，k ∈Z }．【答案】 {α|135°＋k ·180°≤α≤150°＋k ·180°，k ∈Z }。

【课堂新坐标】(教师用书)高中数学 2.5 向量的应用配套名师课件苏教版必修4

【自主解答】设点 M(x，y)为轨迹上的任意一点，设 A(0，b)，Q(a,0)(a＞0)，则A→M＝(x，y－b)，M→Q＝(a－x，－y)． ∵A→M＝－32M→Q，∴(x，y－b)＝－32(a－x，－y)． ∴a＝x3，b＝－2y，则 A(0，－2y)，Q(x3，0)，P→A＝(3，－2y)，A→M＝(x，32y)． ∵P→A·A→M＝0，∴(3，－2y)·(x，32y)＝0. ∴3x－34y2＝0，∴所求轨迹方程为 y2＝4x(x＞0)．
2．平面向量在坐标表示下的应用利用平面向量的坐标表示，可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为代数运算的问题，运用此种方法必须建立适当的坐标系．实现向量的坐标化，有时是最不容易做到的．
3．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤 (1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题； (2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型； (3)参数的获取，求出数学模型的相关解； (4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.
已知直角三角形的两直角边长分别为 2 和 4，求两直角边上的中线所夹的锐角的余弦值．
【解】如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别是 BC，AC 边的中点．BC＝2，AC＝4.则 CD＝1，CE＝2.
∴|A→D|＝ A→C2＋C→D2＝ 17， |B→E|＝ B→C2＋C→E2＝2 2. A→D·E→B＝(A→C＋C→D)·(E→C＋C→B) ＝A→C·E→C＋A→C·C→B＋C→D·E→C＋C→D·C→B
●教学流程设计
演示结束
1.会用向量方法解决简单的物理问题及其他的一些实际问题．课标解读 2.会用向量方法解决某些简单的几何问题．(重
点、难点)

【课堂新坐标,同步教学参考】2013-2014学年高中北师大版数学必修四 第一章课时作业2]

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