高中数学联赛真题分类汇编—函数方程
【高中】全国高中数学联赛分类汇编专题05集合函数
【关键字】高中1、（2000一试1）设全集是实数，若A ={x |2-x ≤0}，B ={x |2210-x=x 10},则B A 是（ ）(A) {2} (B) {-1} (C) {x |x ≤2} (D) ∅ 2、（2001一试1）已知a 为给定的实数，那么集合M={x|x2-3x-a2+2=0,x ∈R}的子集的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）不确定 【答案】C【解析】M 表示方程ｘ２－3ｘ－ａ２＋2＝0在实数范围内的解集．由于Δ＝1＋4ａ２＞0，所以Ｍ含有2个元素．故集合Ｍ有2２＝4身材集，选Ｃ． 5、（2002一试5）已知两个实数集合A={a1, a2, … , a100}与B={b1, b2, … , b50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的每一个元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤…≤f(a100)，则这样的映射共有( )(A) (B) (C) (D) 【答案】D【解析】不妨设b1<b2<…<b50，将A 中元素a1, a2, … , a100按顺序分为非空的50组，定义映射f ：A→B ，使得第i 组的元素在f 之下的象都是bi (i=1,2,…,50)，易知这样的f 满足题设要求，每个这样的分组都一一对应满足条件的映射，于是满足题设要求的映射f 的个数与A 按足码顺序分为50组的分法数相等，而A 的分法数为，则这样的映射共有，故选D 。
7、（2006一试5）设，则对任意实数，是的（ ）A. 充分必要条件B. 充分而不必要条件C. 必要而不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【解析】显然为奇函数，且单调递增。
于是若，则，有，即，从而有.反之，若，则,推出 ，即 。
8、（2007一试6）已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两身材集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A∩B 空集。
若n ∈A 时总有2n+2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 9、（2008一试1）函数在上的最小值是 （ ）。
专题02函数A辑(解析版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题02函数A辑历年联赛真题汇编1．【2008高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=5−4x+x22−x在(－∞，2)上的最小值是( ) A．0B．1C．2D．3【答案】C【解析】当x<2时2−x>0，因此f(x)=1+(4−4x+x 2)2−x =12−x+(2−x)⩾2⋅√12−x⋅(2−x)=2，当且仅当12−x=2−x时取得等号.而此方程有解x=1∈(－∞，2)，因此f(x)在(－∞，2)上的最小值为2.故选C．2．【2006高中数学联赛（第01试）】设log x(2x2+x−1)>log x2−1，则x的取值范围为( )A．12<x<1B．x>12且x≠1C．x>1D．0<x<1【答案】B【解析】因为{x>0,x≠12x2+x−1>0，解得x>12,x≠1，由log x(2x2+x−1)>log x2−1，所以log x(2x3+x2−x)>log x2，则{0<x<12x3+x2−x<2，解得0<x<1或{x>12x3+x2−x>2，解得x>1.所以x的取值范围为x>12且x≠1.故选B．3．【2006高中数学联赛（第01试）】设f(x)=x3+log2(x+√x2+1)，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f (b)⩾0的( )A．充分必要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】显然f(x)=x3+log2(x+√x2+1)为奇函数，且单调递增.于是，若a+b⩾0，则a⩾−b，有f(a)⩾f(−b)，即f(a)⩾−f(b)，从而有f(a)+f(b)⩾0.反之，若f(a)+f(b)⩾0，则f(a)⩾−f(b)=f(−b)，推出a⩾−b，即a+b⩾0.故选A．4．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=log12(x2−2x−3)的单调递增区间是( )A．(−∞,−1)B．(−∞,1)C．(1,+∞)D．(3,+∞)【答案】A【解析】由x2−2x−3=(x+1)(x−3)>0有x<－1或x>3.故函数log12(x2−2x−3)的定义域为x<－1或x>3.又因为u=x2−2x−3在(－∞，－1)内单调递减，在(3，+∞)内单调递增.而log12u在(0，+∞)上单调递减，所以log12(x2−2x−3)在(－∞，－1)单调递增，故选A.5．【2002高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=x1−2x −x2( )A．是偶函数但不是奇函数B．是奇函数但不是偶函数C．既是偶函数又是奇函数D．既不是偶函数也不是奇函数【答案】A【解析】函数f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)，当x≠0时，因为f(−x)=−x1−2−x−−x2=−x2x2x−1+x2=x+x(2x−1)1−2x+x2=x1−2x −x+x2=x1−2x−x2=f(x).所以f(x)为偶函数，显然f(x)不是奇函数，故选A.6．【2000高中数学联赛（第01试）】给定正数p，q，a，b，c其中p≠q，若p，a，q是等比数列，p，b，c，q 是等差数列，则一元二次方程bx2－2ax+c=0( )A．无实根B．有两个相等实根C．有两个同号相异实根D．有两个异号实根【答案】A【解析】解法一由各选择支确定且互不相容，可以用特值检验法.取等比数列1，2，4，等差数列1，2，3，4，符合题设，则方程是−2x2−4x+3=0，有Δ<0.故选：A.解法二依题意a2=pq，设等差数列p，b，c，q的公差为d≠0，Δ=4a2−4bc，由a2−bc=pq−(p+d)(q−d)=pd−qd+d2=(−3d)d+d2=−2d2<0可得Δ<0，故选：A.7．【1999高中数学联赛（第01试）】若(log23)x−(log53)x⩾(log23)−y−(log53)−y，则( )A．x−y⩾0B．x+y⩾0C．x−y≤0D．x+y⩽0【答案】B【解析】记f(t)=(log23)t−(log53)t，则f(t)在R上是严格增函数.原不等式即f(x)⩾f(−y)，故x⩾−y，即x+y⩾0.引申问题虽然简单，但我们可以挖掘一些东西，这样我们才会提高.该问题的解决得力于以下常被称作“整数离散性”的常识：如果有两个整数a，b，a<b，则a≤b－1.别小看这么简单的性质，它的作用可不小.以下一道难题的解决就很需要它：设a，b，c，d是自然数，满足a+c<n,ab +cd<1，证明ab+cd<1−1n3.值得一提的是，很多困难的数论和组合问题的解决利用的恰恰是一些很简单的性质.8．【1998高中数学联赛（第01试）】若a>1，b>1且1g(a+b)=lga+lgb，则1g(a－1)+1g(b－1)的值( )A．等于l g2B．等于1C．等于0D．不是与a，b无关的常数【答案】C【解析】因为lg(a+b)=lga+lgb，所以a+b=ab，即(a−1)(b−1)=1，因此lg(a−1)+lg(b−1)=0.9．【1996高中数学联赛（第01试）】如果在区间[1，2]上，函数f(x)=x2+px+q与g(x)=x+1x2在同一点取相同的最小值，那么f(x)在该区间上的最大值是( )A．4+1132√23+√43B．4−52√23+√43C．1−12√23−√43D．以上答案都不对【答案】B【解析】函数f (x )在(−p 2,4q−p 24)上取到最小值，而g(x)=x 2+x 2+1x 2⩾3(x 2x 21x2)13=3×413，等号取到当x 2=1x2时，即x =213，则有−p2=213，4q−p 24=3×413，解得p =−243,q =3×2−23+223.由于213−1<2−213，那么f (x )在区间[1，2]的最大值在x =2处取到， 即f(x)=f(2)=4−5×2−23+223.10．【1995高中数学联赛（第01试）】已知方程|x −2n|=k √x(n ∈N)在区间(2n －1，2n +1]上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( ) A ．k >0 B ．0<k ⩽2n+1C ．12n+1<k ⩽√2n+1D ．以上都不是.【答案】B【解析】显然k ≥0，而k =0导出x =2n .原方程只有一根，故k >0.又由(x −2n)2=k 2x 知，抛物线y =(x −2n)2与直线y =k 2x 在区间(2n －1，2n +1)上有两个不同交点， 所以，当x =2n －1时，有(x −2n)2>k 2x ， 而当x =2n +1时，有(x −2n)2⩾k 2x . 从而k 2(2n +1)⩽1，即k ⩽√2n+1.故选B .11．【1993高中数学联赛（第01试）】已知f(x)=asinx +b √x 3+4(a ，b 为实数)且f (lglog 310)=5，则f(lglg3)的值是( ) A ．−5B ．−3C ．3D ．随a ，b 取不同值而取不同值 【答案】C【解析】因为f (x )－4是奇函数，故f(−x)−4=−(f(x)−4)，即f(−x)=−f(x)+8. 而lglg3=−lglog 310，所以f(lglg3)=f (−lglog 310)=−f (lglog 310)+8=−5+8=3.12．【1992高中数学联赛（第01试）】设f (x )是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系：f (10+x )=f (10－x )，f (20－x )=－f (20+x ).则f (x )是( ) A ．偶函数，又是周期函数B．偶函数，但不是周期函数C．奇函数，又是周期函数D．奇函数，但不是周期函数【答案】C【解析】由所给第一式得f[10+(10−x)]=f[10−(10−x)]，所以f(x)=f(20−x)①又由所给第二式得f(x)=−f(20+x)②所以f(40+x)=f[20+(20+x)]=−f(20+x)=f(x).可见f(x)是周期函数.由式①，②得f(−x)=f(20+x)=−f(x)，所以f(x)是奇函数.13．【1991高中数学联赛（第01试）】设函数y=f(x)对一切实数x都满足f(3+x)=f(3－x)，且方程f(x)=0恰有6个不同的实根，则这6个实根的和为( )A．18B．12C．9D．0【答案】A【解析】若3+a是f(x)=0的一个根，则由已知f(3−a)=f(3+a)=0，即3－a也是一个根.因此可设方程f(x)=0的六个根为3±a1,3±a2,3±a3.于是它们的和等于18.14．【1990高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数，已知当x ∈[2，3]时，f(x)=x，则当x∈[－2，0]时，f(x)的解析式是( )A．f(x)=x+4B．f(x)=2−xC．f(x)=3−|x+1|D．f(x)=2+|x+1|【答案】C【解析】(1)由f(x)=x(2⩽x⩽3)及周期为2，有f(x+2)=x.(2)由于f(x)是偶数，得f(x)=−x+2(−1⩽x⩽0).15．【1989高中数学联赛（第01试）】对任意的函数y=f(x)，在同一个直角坐标系中，函数y=f(x－1)与函数y=f (－x+1)的图像恒( )A．关于x轴对称B．关于直线x=1对称C．关于直线x=－1对称D．关于y轴对称【答案】B【解析】f(x)和f(－x)的图像关于直线x=0对称，f(x－1)与f(－x+1)的图像关于直线x=1对称.16．【1988高中数学联赛（第01试）】设有三个函数，第一个是y=φ(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，那么第三个函数是( )A．y=−φ(x)B．y=−φ(−x)C．y=−φ−1(x)D．y=−φ−1(−x)【答案】B【解析】第一个函数的图像与第二个函数的图像关于x−y=0对称，第二个函数的图像与第三个函数的图像关于x+y=0对称，所以第一个函数的图像与第三个函数的图像关于原点对称.17．【1985高中数学联赛（第01试）】假定有两个命题：甲：a是大于0的实数；乙：a>b且a−1>b−1.那么( )A．甲是乙的充分而不必要条件B．甲是乙的必要而不充分条件C．甲是乙的充分必要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】因为仅有“甲”是不能使得“乙”成立，因此可知“甲”不是“乙”的充分条件.接着看“乙”在什么情况下成立.很明显，当且仅当a>0且b<0时，“乙”才能成立由此可知，“甲”是“乙”成立的不可缺少的条件，综上所述，得“甲”是“乙”的必要而不充分条件18．【1984高中数学联赛（第01试）】方程sinx=1gx的实根个数是( )A．1B．2C．3D．大于3【答案】C【解析】判断方程sinx=lgx解的个数，就是确定正弦曲线sinx和对数函数lgx的图像的交点个数.首先确定x的范围.由lgx的定义知x>0，又因为sinx⩽1，所以lgx⩽1.从而得0<x⩽10.在直角坐标系中作出0<x≤10范围内y=sinx和y=1gx的图像.因为0=lg1<sin1，lgπ>sinπ=0，所以当x∈(1,π)时，sinx=lgx必有一解.同理可知，当x∈(2π,2π+π2)和x∈(2π+π2,3π)时，方程各有一解.19．【1984高中数学联赛（第01试）】若a>0，a≠1，F(x)是一奇函数，则G(x)=F(x)⋅(1a x−1+12)是( )A．奇函数B．偶函数C．不是奇函数也不是偶函数D．奇偶性与a的具体数值有关【答案】B【解析】因为G(x)=F(x)⋅a x+12(a x−1)，所以G(−x)=F(−x)⋅a −x+12(a−x−1)=−F(x)⋅a x+12(1−a x)=G(x).即G(x)是偶函数20．【1984高中数学联赛（第01试）】若F(1−x1+x)=x，则下列等式中正确的是( )A．F(−2−x)=−2−F(x)B．F(−x)=F(1+x1−x)C．F(x−1)=F(x)D．F(F(x))=−x【答案】A【解析】先求出F(x)的表达式，作变换t=1−x1+x ，得x=1−t1+t.所以F(t)=1−t1+t，然后一一验证，知F(−2−x)=−2−F(x).21．【1983高中数学联赛（第01试）】x=1log1213+1log1513的值是属于区间( )A.(−2,−1)B.(1,2)C.(−3,−2)D.(2,3)【答案】D【解析】x=log1312+log1315=log13110=log310，2=log39<log310<log327<3.22．【1983高中数学联赛（第01试）】已知函数f(x)=ax2－c，满足：－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5.那么，f(3)应满足( )A．7⩽f(3)⩽26B．−4⩽f(3)⩽15C．−1⩽f(3)⩽20D．−283⩽f(3)⩽353【答案】C【解析】由−4⩽f(1)⩽−1得−4⩽a−c⩽−1，所以1⩽c−a⩽4①由−1⩽f(2)⩽5得−1⩽4a−c⩽5②由①+②得0⩽3a⩽9，即0⩽a⩽3.所以0⩽5a⩽15.由②+③得−1⩽9a−c⩽20，即−1⩽f(3)⩽20.23．【1982高中数学联赛（第01试）】如果log2[log12(log2x)]=log3[log13(log3y)]=log5[log15(log5z)]=0，那么( )A．z<x<y B．x<y<z C．y<z<x D．z<y<x 【答案】A【解析】由条件可得x=212=816=32110，y=313=916，z=515=25110.据幂函数的单调性可知z<x<y.24．【1982高中数学联赛（第01试）】已知x1，x2是方程x2－(k－2)x+(k2+3k+5)=0(k为实数)的两个实数根，x12+x22的最大值是( )A．19B．18C．559D．不存在【答案】B【解析】实系数一元二次方程有实数根，所以Δ=[−(k−2)]2−4⋅1⋅(k2+3k+5)⩾0，可解得−4⩽k⩽−43.由韦达定理，经整理，得到x12+x22=−(k+5)2+19，所以当k=－4时，x12+x22取到最大值，这最大值为18.25．【1981高中数学联赛（第01试）】对方程x|x|+px+q=0进行讨论，下面的结论中，哪一个是错误的( )A．至多有三个实根B．至少有一个实根C．仅当p2－4q≥0时才有实根D．当p<0和q>0时，有三个实根【答案】CD【解析】由题意得f(x)={x2+px+q(x⩾0)−x2+px+q(x<0)f(x)={(x+p2)2+4q−p24(x⩾0)−(x−p2)2+4q+p24(x<0)由此可得p取不同值时，函数的大致图像:其中q的变化，仅决定函数图像在坐标平面上、下平移.从上面的图像可见方程f(x)=0至多有三个实根，至少有一个实根.于是当且仅当p2－4q≥0时才有实根的结论不正确，所以选项C不成立.由p<0，q>0的图像可见选项D也不成立优质模拟题强化训练1．方程组{y=e|x|−e||x|−|y||=1的解的组数是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】如图，分别画出y=e|x|−e与||x|−|y||=1的图象，从中看出两图象有六个交点，故方程组解的组数有6组.故选：B.2．已知abc<0，则在下图的四个选项中，表示y=ax2+bx+c的图像只可能是（）。
高中数学竞赛专题 函数与方程
高中数学竞赛专题 函数与方程一、选择题（2005浙江预)1．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是（ ）(A) 无穷多 (B) 没有或者有限个(C) 有限个 (D) 没有或者无穷多（2006浙江预)2.下列三数124log ,82log ,232716的大小关系正确的是（ ） （A ）124log 82log 232716<< （B ）82log 124log 231627<< （C ）82log 23124log 1627<< （D ）2382log 124log 1627<< (2007浙江)3．如果23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围为 （ ）A ．01x <<B ．813x <<C ．1x <<+∞D ．83x <<+∞ (2007浙江)4．设非常值函数() ()f x x R ∈是一个偶函数，它的函数图像()y f x =关于直线2x =对称，则该函数是（ ）A ．非周期函数B ．周期为2的周期函数C D ．周期为2的周期函数 (2007浙江)5．如果23()1log 2log 9log 64x x x f x =-+-，则使()0f x <的x 的取值范围为（ ）A ．01x <<B ．813x <<C ．1x <<+∞D ．83x <<+∞(2007浙江)6．设{}2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2008浙江)7．当01x <<时，()lg x f x x=，则下列大小关系正确的是（ ） A ．22()()()f x f x f x << B. 22()()()f x f x f x <<C. 22()()()f x f x f x <<D. 22()()()f x f x f x <<(2008浙江)8．设()f x 在[0,1]上有定义，要使函数()()f x a f x a -++有定义，则a 的取值范围为（ ）A ．1(,)2-∞-； B. 11[,]22-； C. 1(,)2+∞； D. 11(,][,)22-∞-⋃+∞ (2008浙江)9．已知()()2222212f x x a b x a ab b =++-++-是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是（ ）AB. 2C. D. 4(2009浙江)10. 方程3120x x a -+=有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）A. ()16,16-B. []16,16-C. (),8-∞-D. ()8,+∞二、 填空题(2005浙江)11.设函数1343)1()(2232+++-=+x x x x x f x x f ，则 。
高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)：专题14三角函数与解三角形第一缉(解析版)
专题 14 三角函数与解三角形第一缉
1．【2021 年江西预赛】△ 퐴�
72° ,则∠� =
.
中,AB= �, � = �, 퐴 = � ,且�4 + �4 + �4 = 2�2 �2 + �2 ,若∠퐴 =
【答案】63
【解析】cos2
3
−
52 4
.
7．【2021 年浙江预赛】已知△ 퐴� 三个顶点的坐标为퐴(0,0), �(7,0), (3,4) ,过点(6 − 2 2, 3 − 2) 的
直线分别与线段 AC,BC 交于 P,Q。若�훥��
=
14 3
,则|
�| + |
�| =
.
【答案】4
+
42 3
【解析】如下图所示,
设
(6 − 2 2, 3 −
,
sin(�
+
�)
=−
3 5
, sin
�−�
4
=
12 13
.则 cos
�
+
� 4
的值为
.
【答案】−
56 65
【解析】因为�, � ∈
3� 4
,
�
.所以� + � ∈
3� 2
,
2�
,
�
−
� 4
∈
� 2
,
3� 4
.
因为
sin(�
+
�)
=−
3 5
,
sin
�−�
4
=
12 13
,
所以
高中数学竞赛题：函数迭代含详解
高中数学竞赛专题训练：函数迭代一、单选题1．设1()f x =对任意自然数n ，定义11()(())n n f x f f x +=.则1993()f x 的解析式为（）AB C D 2．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()02=f ，对任意x R ∈，都有()()()42f x f x f +=+成立.则()1998=f .（）A ．3996B ．1998C ．1997D ．03．已知函数()f x 在(0,)+∞上有定义且为增函数，并满足1()(())1f x f f x x⋅+=.则(1)f =（）A ．1B ．0C ．12+D ．124．已知()11xf x x+-=，记()()1f x f x =，()()()()11,2,k k f x f f x k +== ，则()2007f x =（）A ．11x x+-B ．11x x -+C ．xD ．1x-5．已知对每一对实数x 、y ，函数f 满足()()()1f x f y f x y xy +=+--．若()11f =，则满足()()f n n n Z =∈的个数是（）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数多个6．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x R ∈都有()()()10 5 f x f x f x +=+-．若()50f =，则()2005f 的值为（）．A ．2000B ．2005C ．2008D ．07．设函数()f x 的定义域是(,)∞+∞对于下列四个命题:(1)若()f x 为奇函数,则()()f f x 也为奇函数;(2)若()f x 为周期函数,则()()f f x 也为周期函数;(3)若()f x 为单调递减函数,则()()f f x 为单调递增函数;(4)若方程()()f f x x =有实根,则方程()f x x =也有实根,其中,正确的命题共有个（）A ．1B ．2C ．3D ．48．设()1211x f x x -=+,对2n ≥,定义()()()11n n f x f f x -=.若()2912x f x x +=-,则()2009 f x =______.9．设()()211xf x eg x ln x -＝，＝（＋）.则不等式()()()()1f g x g f x -的解集为_______.10．已知()[]12,0,1f x x x =-∈，那么方程()()()12f f f x x =的解的个数是_________.11．已知函数()f x 满足()()()3,1000;=+5,<1000.x x f x f f x x -≥⎧⎪⎨⎪⎩则()84f =________.12．设函数()f x 定义在R 上，对任意x R ∈，()110062f x +=+()310054f -=.则()2013f =___________.13．设定义在整数集上的函数f ，满足()()14,2000,n 19,2000.n n f f f n n -≥⎧⎪=⎨⎡⎤+<⎪⎣⎦⎩则()1989f =_____.14．设函数()f n 定义在正整数集上，对于任一正整数n ，有()()43f f n n =+，且对任意非负整数k ，有()1221k k f +=+．则()2303f =__________．15．设f(x)为定义在整数集上的函数,满足条件(1)()11f =,()20f =;(2)对任意的x 、y 均有()()()()()11f x y f x f y f x f y +=-+-则()2015f =______.三、解答题16．已知二次函数()()20f x ax bx c a =++≠.若方程()f x x =无实根，求证：方程()()f f x x =也无实根.17．已知()f x 是定义在实数集R 上的函数，()02f =，对任意x R ∈，有()()5254f x f x +=--，①()()3256f x f x -=-②，求()2012f 的值.18．对任意正整数m ，n ，定义函数(,)f m n 满足如下三个条件：①(1,1)1f =；②(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++；③(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-．（1）求(3,1)f 和(1,3)f 的值；（2）求(,)f m n 的解析式．参考答案：1．C【详解】n=1时，()1f x =假设n k =时，()k f x =则1n k =+时，()1k f x +==所以()1993f x 故答案为C2．D【详解】令2x =-，则有()()()224f f f =-+，即()()()224.f f f +=()()()()42204f f f x f x ∴==⇒+=，即()f x 是以4为周期的函数.()()()199********.f f f ∴=⨯+==3．D【详解】设()1f a =，1x =.由已知函数等式得()()()1111f f f +=，()11af a +=，()11f a a+=.设1x a =+，有()()11111f a f f a a ⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭，11111f a a a ⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，()11 11f a f a a ⎛⎫+== ⎪+⎝⎭.由()f x 是增函数，则有1111a a+=+，解得a=当()112f =时，有()()11111a f f a a <=<+=<矛盾，所以()112f =.选D.4．B【详解】()111x f x x +=-，()()1223121111, 111f f x f x f x f x f x ++-==-==--+，()34311f f x x f +==-据此，()4111n xf x x++=-，()()424311, 1n n x f x f x x x ++-=-=+，()4n f x x=因2007为4n+3型，故选B.5．B【详解】令1y =得()()()111f x f f x x +=+--，即()()12f x f x x +=++．令0x =得()()102f f =+．由()11f =知()01f =-．当n N +∈时，()()()()()()()113101012nnk k n n f n f k f k f k f ==+⎡⎤=--+=++=-⎣⎦∑∑．同理，()()312n n f n -+-=--．所以，()()312n n f n +=-，n Z ∈．令()f n n =，解得2n =-或1n =．6．D【详解】由题意得()()()()5105fx f x f x -+=-+，所以，()()()101515f x f x f x +=-=--从而，()()()2550f x f x f x =--=-故()f x 是以50为周期的周期函数.因此，()()()20055040550f f f =⨯+==.7．C【详解】若()f x )为奇函数,则()()()()()()f f x f f x f f x -=-=-.故()()f f x 也为奇函数.因此,命题(1)正确.若()f x 为周期函数,设T 为()f x 的一个周期,则()()()()f f x T f f x +=.故()()f f x 也为周期函数，因此,命题(2)正确.若()f x 为单调递减函数,则对任何x y <,由:()()()()()()f x f y f f x f f y >=<.故()()f f x 为单调递增函数，因此,命题(3)正确.但命题(4)不正确例如,取：()2,011,0;0, 1.x x f x x x ⎧=≠⎪==⎨⎪=⎩或；则()()4,010,0;1, 1.x x f f x x x ⎧+≠⎪==⎨⎪=⎩或；.故方程()()f f x x =有01、两个实根,但0x ≠或1时,()2f x x x =+>,而()()01,10f f ==,知方程()f x x =没有实根.8．12xx+-【详解】因为()3012x x f x f x +⎛⎫== ⎪-⎝⎭,所以,()()311f x f x =.而2009306629=⨯+,于是,()()20092912xf x f x x+==-.故答案为12xx +-9．(]1,1-【详解】注意到()()()()2f g x g f x x -=.故()()()()2f g x g f x x -=.又定义域为()1,-+∞，从而，不等式的解集为(]1,1-.10．8【详解】∵()12f x x =-112,0,2121,,12x x x x ⎧⎡⎤-∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎪-∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩即()f x 有关于x 的两个一次表达式.同理,()()f f x 有关于()f x 的两个一次表达式,而每个()f x 有关于x 的两个表达式,以所()()f f x 有关于x 的四个一次表达式.同理,()()()f f f x 有关于x 的八个不同的一次表达式,因此,所求方程解的个数是8.11．997【详解】记()()()()()n n f x f f f x个.则()()()()()1848489999f f f f === ()()()()()()18518418310041001998f ff===()()()()()()18418318210031000997f f f===()()()()()()18318218310029991004f f f ===()()()()()()18218118210019981003f ff===()()()18110001000997f f ==== .因此，()84997f =.12．12+【详解】由题意知()112f =+12=+()13100724f ==，()()1120131007100622f f =+==.13．()19891990f =【详解】(1989)[(2008)](1994)[(2013)](1999)[(2018)](2004)1990f f f f f f f f f f =======14．4607【详解】注意到23432303343434342=+⨯+⨯+⨯+⨯.而()()()()()4343f n f f f n f n +==+，则()()2332303343434342f f =++⨯+⨯+⨯=…()()()234323444433434343423434343421230342124607f =+⨯+⨯+⨯+=+⨯+⨯+⨯++=++-=15．1±【详解】在条件(2)中令0x =,则()()()()()011f y f f y f f y =-+，由()11f =,知()()010f f y -=.在上式中令0y =,则()()()01000f f f =⇒=.在条件(2)分别令1,1,2x =-得()()()()()1110f y f f y f f y +=-+()1f y =-,()()()()()1112f y f f y f f y -=--+()()()()1111f f y f f y =--=-+,()()()()()2211f y f f y f f y +=-+-()()1f f y =-，由()()()111f y f f y -=-+()()()12f y f f y =-+()()()21f y f f y ⇒=-()11f ⇒-=±.若()11f -=,则()()2f y f y +=，由条件(1)知()1,0,x f x x ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，经检验,f 满足条件故()20151f =.若()11f -=-,则()()2f y f y +=-()()()01x 141,14x f x mod x mod ⎧⎪=≡⎨⎪-≡-⎩，为偶数，，经检验,f 满足条件故()20151f =-.综上,()20151f =±.16．见解析【详解】将函数式()()20f x ax bx c a =++≠代入方程()f x x =，移项后，得()210ax b x c +-+=()0a ≠.已知这个方程无实根，所以它的判别式为负，即()21140b ac ∆=--<.进而，由()()()()()2f f x a f x bf x c =++，将()f x 的表达式代入方程()()f f x x =，得()()222a ax bx cb ax bxc c x++++++=()0a ≠.变形，得()()222220a ax bx c x ax b ax bx c x bx c x ⎡⎤⎡⎤++-++++-++-=⎣⎦⎣⎦，提公因式，得()()22110ax b x c a ax bx c x b ⎡⎤⎡⎤+-++++++=⎣⎦⎣⎦，即()()()22110f x x a x a b x ac b ⎡⎤⎡⎤-+++++=⎣⎦⎣⎦.由条件知方程()0f x x -=无实根，所以，上面这个四次方程()()22110a x a b x ac b +++++=与有相同的实根.所得辅助二次方程的判别式是()()()2222221411444a b a ac b a b b ac ⎡⎤∆=+-++=+---⎣⎦()()()22221144440a b ac a a ⎡⎤=---=∆-<⋅-<⎣⎦，所以，这个辅助二次方程无实根，进而推出原四次方程()()f f x x =无实根.17．2【详解】在式①中取()1322x y y R =-∈，得()()212f y f y +=-.在式②中取()1233x y y R =+∈，得()()12f y f y =-，于是，()()2f y f y +=，即()f x 是一个周期为2的函数，故()()()201221006002f f f =⨯+==.18．（1）(3,1)11f =，(1,3)7f =（2）22(,)231f m n m mn n m n =++--+【分析】（1）由已知关系式直接推得即可；（2）由(1,1),(1,2),,f f 依次推出(1,)f n ，再由(1,),(2,)f n f n ，L ，依次推出(,)f m n 即可.【详解】解：（1）因(1,)(,)2()f m n f m n m n +=++，令1m n ==代入得:(2,1)(1,1)2(11)145f f =++=+=，令2m =，1n =代入得:(3,1)(2,1)2(21)5611f f =++=+=，又(,1)(,)2(1)f m n f m n m n +=++-，令1m n ==代入得：(1,2)(1,1)2(111)123f f =++-=+=．令1m =，2n =代入得：(1,3)(1,2)2(121)347f f =++-=+=．（2）由条件②可得(2,1)(1,1)2(11)22f f -=⨯+=⨯，(3,1)(2,1)2(21)23f f -=⨯+=⨯，……(,1)(1,1)2(11)2f m f m m m --=⨯-+=⨯．将上述1m -个等式相加得：2(,1)2(23)(1,1)1f m m f m m =++⋅⋅⋅++=+-．由条件③可得：(,2)(,1)2(11)2f m f m m m -=+-=，(,3)(,2)2(21)2(1)f m f m m m -=+-=+，……(,)(,1)2(11)2(2)f m n f m n m n m n --=⨯+--=⨯+-．将上述n 1-个等式相加得：2(,)2[(1)(2)(2)]1f m n m m m m n m m =+++++⋅⋅⋅++-++-22231m m n n m n =++--+．【点睛】本题主要考查了函数的递推关系式，注意观察规律，细心完成即可.。
高中函数真题及解析及答案
高中函数真题及解析及答案高中数学是学生学习过程中的一门重要课程，其中函数部分是数学中的重要内容之一。
在高中数学的课程中，函数的学习和掌握对于学生的数学能力提升具有至关重要的作用。
为了帮助学生更好地掌握函数，以下将介绍几个高中函数的真题与解析。
第一题：已知函数f(x) = x^2 - 3x + 2，求解f(x) = 0的解。
解析：要求解f(x) = 0的解，就是求函数f(x)的零点或根。
将f(x) = x^2 - 3x + 2置为零，得到方程x^2 - 3x + 2 = 0。
接下来，我们可以使用因式分解或者配方法来解这个方程。
通过观察可以发现，x^2 - 3x + 2可以进行因式分解为(x -1)(x - 2) = 0。
由零乘积法则可知，若一个乘积等于零，那么乘积中的每一个元素都等于零。
因此，我们可以得到x - 1 = 0或x - 2 = 0，即x = 1或x = 2。
所以，方程的解为x = 1或x = 2，即f(x) = 0的解为x = 1或x = 2。
第二题：已知函数f(x) = 2x^3 - 4x^2 + 3x - 1，求f(-1)的值。
解析：要求f(-1)的值，即将x的值代入函数f(x)中求解。
将x = -1代入函数f(x)，得到f(-1) = 2(-1)^3 - 4(-1)^2 + 3(-1) - 1。
按照运算次序进行计算，可以得到f(-1) = -2 - 4 - 3 - 1 = -10。
所以，f(-1)的值为-10。
第三题：已知函数f(x) = 3x + 5，求解f(g(x)) = 0的解，其中g(x) = x^2 - 2x + 1。
解析：要求解f(g(x)) = 0的解，就是求f(g(x))的零点或根。
首先，我们需要计算g(x)的值。
将g(x) = x^2 - 2x + 1代入f(x)中，得到f(g(x)) = f(x^2 - 2x + 1) = 3(x^2 - 2x + 1) + 5。
高中数学一元二次函数方程和不等式真题
(每日一练)高中数学一元二次函数方程和不等式真题单选题1、若不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}，则ax +b >0的解集为（ ）A ．(−∞,−16)B ．(−∞,16)C ．(−16,+∞)D ．(16,+∞) 答案：A分析：利用根于系数的关系先求出a,b ，再解不等式即可. 不等式ax 2+bx +2>0的解集是{x |−12<x <13}则根据对应方程的韦达定理得到：{(−12)+13=−ba(−12)⋅13=2a ， 解得{a =−12b =−2，则−12x −2>0的解集为(−∞,−16) 故选：A2、已知x >0，y >0，且x +y =2，则下列结论中正确的是（ ） A ．2x+2y 有最小值4B ．xy 有最小值1C ．2x +2y 有最大值4D ．√x +√y 有最小值4 答案：A分析：利用基本不等式和不等式的性质逐个分析判断即可解：x>0，y>0，且x+y=2，对于A，2x +2y=12(x+y)(2x+2y)=2+xy+yx≥2+2√xy⋅yx=4，当且仅当x=y=1时取等号，所以A正确，对于B，因为2=x+y≥2√xy，所以xy≤1，当且仅当x=y=1时取等号，即xy有最大值1，所以B错误，对于C，因为2x+2y≥2√2x⋅2y=2√2x+y=4，当且仅当x=y=1时取等号，即2x+2y有最小值4，所以C 错误，对于D，因为(√x+√y)2=x+y+2√xy≤2(x+y)=4，当且仅当x=y=1时取等号，即√x+√y有最大值4，所以D错误，故选：A3、若正实数a,b，满足a+b=1，则b3a +3b的最小值为（）A．2B．2√6C．5D．4√3答案：C分析：化简b3a +3b=b3a+3a+3bb=b3a+3ab+3，然后利用基本不等式求解即可根据题意，若正实数a,b，满足a+b=1，则b3a +3b=b3a+3a+3bb=b3a+3ab+3≥2√b3a⋅3ab+3=5，当且仅当b=3a=34时等号成立，即b3a +3b的最小值为5；故选：C小提示：此题考查基本不等式的应用，属于基础题4、设a＞b＞1，y1=b+1a+1,y2=ba,y3=b−1a−1，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1答案：C分析：利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得出y1，y2，y3的大小关系.解：由a＞b＞1，有y1﹣y2=b+1a+1−ba=ab+a−ab−b(a+1)a=a−b(a+1)a＞0，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y3=ba −b−1a−1=ab−b−ab+aa(a−1)=a−ba(a−1)＞0，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.5、下列命题正确的是（）A．若ac>bc，则a>b B．若ac=bc，则a=bC．若a>b，则1a <1bD．若ac2>bc2，则a>b答案：D分析：由不等式性质依次判断各个选项即可.对于A，若c<0，由ac>bc可得：a<b，A错误；对于B，若c=0，则ac=bc=0，此时a=b未必成立，B错误；对于C，当a>0>b时，1a >0>1b，C错误；对于D，当ac2>bc2时，由不等式性质知：a>b，D正确.故选：D.6、已知y=(x−m)(x−n)+2022(n>m)，且α,β(α<β)是方程y=0的两实数根，则α，β，m，n的大小关系是（）A．α<m<n<βB．m<α<n<βC．m<α<β<n D．α<m<β<n答案：C分析：根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.∵α，β为方程y=0的两实数根，∴α，β为函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像与x轴交点的横坐标，令y1=(x−m)(x−n)，∴m，n为函数y1=(x−m)(x−n)的图像与x轴交点的横坐标，易知函数y=(x−m)(x−n)+2022的图像可由y1=(x−m)(x−n)的图像向上平移2022个单位长度得到，所以m<α<β<n.故选:C.7、若(x−a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x≤0，则实数a的取值范围为（）A．(−∞,4]B．[1,4]C．(1,4)D．(1,4]答案：D分析：解一元二次不等式､分式不等式求得题设条件为真时对应x的范围，再根据条件的充分不必要关系求参数a的取值范围.由(x−a)2<4，可得：a−2<x<a+2；由1+12−x =3−x2−x≤0，则{(x−2)(x−3)≤02−x≠0，可得2<x≤3；∵(x−a)2<4成立的一个充分不必要条件是1+12−x≤0，∴{a−2≤2a+2>3，可得1<a≤4.故选：D.8、已知−1≤x+y≤1,1≤x−y≤5，则3x−2y的取值范围是（）A．[2,13]B．[3,13]C．[2,10]D．[5,10]答案：A分析：设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，求出m,n 的值，根据x +y,x −y 的范围，即可求出答案.设3x −2y =m (x +y )−n (x −y )=(m −n )x +(m +n )y ，所以{m −n =3m +n =−2，解得：{m =12n =−52,3x −2y =12(x +y )+52(x −y ), ， 因为−1≤x +y ≤1,1≤x −y ≤5，所以3x −2y =12(x +y )+52(x −y )∈[2,13]， 故选：A.9、y =x +4x (x ≥1)的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C分析：利用均值不等式求解即可.因为y =x +4x(x ≥1)，所以x +4x≥2√x ×4x=4，当且仅当x =4x即x =2时等号成立.所以当x =2时，函数y =x +4x 有最小值4. 故选：C.10、若a >0，b >0，则下面结论正确的有（ ） A ．2(a 2+b 2)≤(a +b)2B ．若1a+4b=2，则 a +b ≥92C ．若ab +b 2=2，则a +b ≥4D ．若a +b =1，则ab 有最大值12答案：B分析：对于选项ABD 利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C 取特值即可判断即可. 对于选项A ：若a >0，b >0，由基本不等式得a2+b2≥2ab，即2(a2+b2)≥(a+b)2，当且仅当a=b时取等号；所以选项A不正确；对于选项B：若a>0，b>0，1 2×(1a+4b)=1，a+b=12×(1a+4b)(a+b)=12(5+ba+4ab)≥12(5+2√ba⋅4ab)=92，当且仅当1a +4b=2且ba=4ab，即a=32,b=3时取等号，所以选项B正确；对于选项C：由a>0，b>0，ab+b2=b(a+b)=2，即a+b=2b，如b=2时，a+b=22=1<4，所以选项C不正确；对于选项D：ab≤(a+b2)2=14，当且仅当a=b=12时取等则ab有最大值14，所以选项D不正确；故选：B填空题11、a>b>c，n∈N∗，且1a−b +1b−c≥na−c恒成立，则n的最大值为__．答案：4分析：将不等式变形分离出n，不等式恒成立即n大于等于右边的最小值；由于a−c=a−b+b−c，凑出两个正数的积是常数，利用基本不等式求最值．解：由于1+1≥n恒成立，且a>c即n ≤a−c a−b+a−c b−c恒成立只要n ≤a−c a−b +a−cb−c 的最小值即可 ∵ a−ca−b +a−cb−c =a−b+b−c a−b+a−b+b−c b−c=2+b −c a −b +a −bb −c∵a >b >c∴a −b >0，b −c >0，故(a−ca−b +a−cb−c )≥4，因此n ≤4 所以答案是：4．12、x −y ≤0，x +y −1≥0，则z =x +2y 的最小值是___________. 答案：32##1.5分析：分析可得x +2y =32(x +y )−12(x −y )，利用不等式的基本性质可求得z =x +2y 的最小值.设x +2y =m (x +y )+n (x −y )=(m +n )x +(m −n )y ，则{m +n =1m −n =2 ，解得{m =32n =−12， 所以，z =x +2y =32(x +y )−12(x −y )≥32，因此，z =x +2y 的最小值是32.所以答案是：32.13、若正数a ，b 满足1a+1b=1，则4a−1+16b−1的最小值为__．答案：16分析：由条件可得1b−1=ab ，1a−1=ba ，代入所求式子，再由基本不等式即可求得最小值，注意等号成立的条件. 解：因为正数a ，b 满足1a +1b =1， 则有1a =1−1b =b−1b，则有1b−1=ab，1 b =1−1a=a−1a，即有1a−1=ba，则有4a−1+16b−1=4ba+16ab≥2√4ba⋅16abb=16，当且仅当4ba =16ab即有b＝2a，又1a+1b=1，即有a=32，b＝3，取得最小值，且为16．所以答案是：16．14、命题p:∀x∈R，x2+ax+a≥0，若命题p为真命题，则实数a的取值范围为___________. 答案：[0,4]分析：根据二次函数的性质判别式解题即可.∀x∈R，要使得x2+ax+a≥0，则Δ=a2−4a≤0，解得0≤a≤4.若命题p为真命题，则实数a的取值范围为[0,4].所以答案是：[0,4].15、已知a,b,c均为正实数，且aba+2b ⩾13,bcb+2c⩾14,cac+2a⩾15，那么1a+1b+1c的最大值为__________．答案：4分析：本题目主要考察不等式的简单性质，将已知条件进行简单变形即可因为a,b,c均为正实数，所以由题可得：0<a+2bab ≤3,0<b+2cbc≤4,0<c+2aac≤5，即0<1b+2a≤3，0<1c+2b≤4，0<1a +2c≤5，三式相加得：0<3(1a+1b+1c)≤12，所以0<1a+1b+1c≤4所以1a +1b+1c的最大值为4所以答案是：416、已知关于x的不等式−x2+6ax−3a2≥0(a>0)的解集为[x1,x2]，则x1+x2+3ax1x2的最小值是___________. 答案：2√6分析：由题知x 1+x 2=6a,x 1x 2=3a 2，进而根据基本不等式求解即可. 解：因为关于x 的不等式−x 2+6ax −3a 2≥0(a >0)的解集为[x 1,x 2]， 所以x 1,x 2是方程−x 2+6ax −3a 2=0(a >0)的实数根， 所以x 1+x 2=6a,x 1x 2=3a 2， 因为a >0，所以x 1+x 2+3ax 1x 2=6a +1a ≥2√6，当且仅当6a =1a ，即a =√66时等号成立， 所以x 1+x 2+3ax1x 2的最小值是2√6所以答案是：2√617、已知a >b >0，那么当代数式a 2+4b (a−b )取最小值时，点P (a,b )的坐标为______答案：(2,1)分析：根据题意有b(a −b)≤(b+a−b 2)2，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，所以a 2+4b (a−b )≥a 2+16a 2≥16，结合a >b >0以及两个不等式等号成立的条件可求出a,b 的值，从而可求得答案 解：由a >b >0，得a −b >0，所以b(a −b)≤(b+a−b 2)2=a 24，当且仅当b =a −b ，即a =2b 时取等号，所以a 2+4b (a−b )≥a 2+16a 2≥16，其中第一个不等式等号成立的条件为a =2b ，第二个不等式等号成立的条件为a 2=16a 2，所以当a 2+4b (a−b )取最小值时，{a 2=16a 2a =2b a >b >0，解得{a =2b =1所以点P (a,b )的坐标为(2,1)， 所以答案是：(2,1)小提示：关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件，考查计算能力，属于中档题18、已知实数x ，y ，满足{−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3,则z =2x −3y 的取值范围是________．（用区间表示）答案：[3,8]分析：直接用x +y,x −y 表示出2x −3y ，然后由不等式性质得出结论． 2x −3y =m(x +y)+n(x −y)=(m +n )x +(m −n )y ,则{m +n =2m −n =−3 解得{m =−12n =52 ，则2x −3y =−12(x +y)+52(x −y)， 又−1≤x +y ≤4,2≤x −y ≤3， −2≤−12(x +y )≤12, 5≤52(x −y )≤152∴5−2≤2x −3y ≤12+152，即3≤2x −3y ≤8， 所以答案是：[3,8]．19、 设x >0，y >0，x +2y =4，则(x+1)(2y+1)xy的最小值为__________.答案：92.分析：把分子展开化为(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy，再利用基本不等式求最值．由x +2y =4，得x +2y =4≥2√2xy ，得xy ≤2(x+1)(2y+1)xy=2xy+x+2y+1xy=2xy+5xy=2+5xy ≥2+52=92，等号当且仅当x=2y，即x=2,y=1时成立．故所求的最小值为92．小提示：使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．20、已知∀a∈[0,2]时，不等式ax2+(a+1)x+1−32a<0恒成立，则x的取值范围为__________．答案：(−2,−1)分析：由题意构造函数关于a的函数f(a)=(x2+x−32)a+x+1，则可得{f(0)<0f(2)<0，从而可求出x的取值范围.由题意，因为当a∈[0,2]，不等式ax2+(a+1)x+1−32a<0恒成立，可转化为关于a的函数f(a)=(x2+x−32)a+x+1，则f(a)<0对任意a∈[0,2]恒成立，则满足{f(0)=x+1<0f(2)=2x2+2x−3+x+1<0，解得−2<x<−1，即x的取值范围为(−2,−1)．所以答案是：(−2,−1)解答题21、已知关于x的不等式ax2−x+1−a≤0．（1）当a∈R时，解关于x的不等式；（2）当a∈[2,3]时，不等式ax2−x+1−a≤0恒成立，求x的取值范围．答案：（1）答案见解析；（2）[−12,1]．分析：（1）不等式ax2−x+1−a≤0可化为(x−1)(ax+a−1)≤0，然后分a=0，a<0，0<a<12，a =12，a >12五种情况求解不等式； （2）不等式ax 2−x +1−a ≤0对a ∈[2,3]恒成立，把a 看成自变量，构造函数f (a )=(x 2−1)a +(−x +1)，则可得{f (2)≤0f (3)≤0，解不等式组可求出x 的取值范围 解：（1）不等式ax 2−x +1−a ≤0可化为(x −1)(ax +a −1)≤0，当a =0时，不等式化为x −1≥0，解得x ≥1，当a <0时，不等式化为(x −1)(x −1−a a )≥0， 解得x ≤1−a a ，或x ≥1；当a >0时，不等式化为(x −1)(x −1−a a )≤0； ①0<a <12时，1−a a >1，解不等式得1≤x ≤1−a a ， ②a =12时，1−a a =1，解不等式得x =1， ③a >12时，1−a a <1，解不等式得1−a a ≤x ≤1．综上，当a =0时，不等式的解集为{x|x ≥1}，当a <0时，不等式的解集为{x |x ≤1−a a或x ≥1}， 0<a <12时，不等式的解集为{x|1≤x ≤1−a a }， a =12时，不等式的解集为{x|x =1}，a >12时，不等式的解集为{x|1−a a ≤x ≤1}．（2）由题意不等式ax 2−x +1−a ≤0对a ∈[2,3]恒成立，可设f (a )=(x 2−1)a +(−x +1)，a ∈[2,3]，则f (a )是关于a 的一次函数，要使题意成立只需：{f (2)≤0f (3)≤0 ⇒{2x 2−x −1≤03x 2−x −2≤0， 解得：−12≤x ≤1，所以x 的取值范围是[−12,1]．22、设y =f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=2x −x 2.（1）求当x <0时，f (x )的解析式；（2）请问是否存在这样的正数a ，b ，当x ∈[a,b ]时，g (x )=f (x )，且g (x )的值域为[1b ,1a ]？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，请说明理由.答案：（1）当x <0时，f (x )=x 2+2x （2）a =1，b =1+√52分析：（1）根据函数的奇偶性f (x )=−f (−x )，求解解析式即可；（2）根据题意，结合函数单调性，将问题转化为a ，b (0<a <b )是方程−x 2+2x =1x 的两个根的问题，进而解方程即可得答案.（1）当x <0时，−x >0，于是f (−x )=2(−x )−(−x )2=−2x −x 2.因为y =f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (x )=−f (−x )=−(−2x −x 2)=2x +x 2，即f (x )=2x +x 2(x <0).（2）假设存在正实数a 、b ，当x ∈[a,b ]时，g(x)=f(x)且g(x)的值域为[1b ,1a ]， 根据题意，g (x )=−x 2+2x (x >0)，因为g (x )=−x 2+2x =−(x −1)2+1≤1 ，则0<1a ≤1，得a ≥1.又函数g (x )在[1,+∞)上是减函数，所以{g(a)=1a g(b)=1b ，由此得到：a,b (1≤a <b )是方程−x 2+2x =1x的两个根， 解方程求得a =1,b =1+√52所以，存在正实数a =1,b =1+√52，当x ∈[a,b ]时，g(x)=f(x)且g(x)的值域为[1b ,1a ]。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编函数大题强化训练(原卷版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题22函数大题强化训练(省赛试题汇编)1．【2018年浙江预赛】设，且对任意实数b均有，求a的取值范围. 2．【2018年山西预赛】求解函数的最大最小值.3．【2018年福建预赛】函数是数学中重要的概念之一，同学们在初三、高一分别学习过，也知晓其发展过程.1692年，德国数学家莱布尼茨首次使用function这个词，1734年瑞士数学家欧拉首次使用符号f(x)表示函数.1859年我国清代数学家李善兰将function译作函数，“函”意味着信件，巧妙地揭示了对应关系.密码学中的加密和解密其实就是函数与反函数.对自变量恰当地赋值是处理函数问题，尤其是处理抽象函数问题的常用方法之一.请你解答下列问题.已知函数f(x)满足：对任意的整数a，b均有f(a+b)=f(a) +f(b)+ab+2，且f(－2)=－3.求f(96)的值. 4．【2018年贵州预赛】已知函数，求该函数的值域．5．【2018年湖南预赛】已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．6．【2018年湖南预赛】已知函数.(1)当时，求满足的值；(2)若函数是定义在R上的奇函数，函数满足，若对任意≠0,不等式恒成立，求实数m的最大值.7．【2018年重庆预赛】设函数（a≠0）满足，求当的最大值．8．【2018年贵州预赛】已知函数，求该函数的值域．9．【2018年湖南预赛】已知二次函数.（1）若函数在区间上存在零点，求实数p的取值范围；（2）问是否存在常数，使得当时，的值域为区间D，且D的长度为. （注：区间的长度为）.10．【2018年湖北预赛】对任意正整数，定义函数如下：①；②；③.（1）求的解析式；（2）设是数列的前项和，证明：. 11．【2018年山东预赛】实数满足，试求的最大值．12．【2018年河北预赛】若函数的定义域为且满足条件：①存在实数，使得；②当时，有恒成立.（1）证明：（其中）；（2）判断上的单调性，并证明你的结论；（3）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围. 13．【2018年山西预赛】求解函数的最大最小值.。
高中奥林匹克数学竞赛 函数与方程
函数与方程例1：填空（1） 若二次函数)(x f y =满足()()x f x f -=+33且()0=x f 有实根21,x x ，则________21=+x x 。
（2） 设函数)(x f y =的图象关于直线1=x 对称，若当x ≤1时，12+=x y ，则当1>x 时，y= 。
（3） 若函数432+-=x x y 与函数22a x y -=的图象有公共点，则a 的取值范围是 。
（4） 已知函数a ax x y 62--=的图象与x 轴交于A 、B 两点，若线段AB 的长不超过5，则a 的取值范围是 。
例2：方程()()0522=-+--a x a x 的两根都大于2，求实数a 的取值范围。
例3：已知关于x 的方程02212=-++k kx kx 两个实根分别在（0，1）与（-1，0）之间，试求实数k 的取值范围。
例4：已知方程()0116322=++--m x m x 的两个实根绝对值之和为2，求实数m的值。
例5：m 取何值时，关于x 的方程0cos sin 2=++m x x 有实数解？例6：已知关于x 的方程()()()2lg 2lg 1lg 2+=--+a x x 有两个不相等的实根，求a 的取值范围，并求出两根。
例7：已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点（-1，10），并且方程02=++c bx ax 的两实根的平方和等于12，求a 、b 、c 的值。
例8：已知函数a ax x y 322++=的定义域为R ，求关于x 的方程()0652|2|4=++--a a x 的解的范围。
例9：当0≤m ≤2时，求方程()0122=--+m mx x 的实根的取值范围。
例10：设}05202|{},31|{22⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤+-=<<=bx x a x x x B x x A ，（a ，b ∈R ），如果B A ⊆，确定a 、b 的取值范围。
例11：设函数()()()()x x g x x f a a +=-=1log ,1log ，()10≠>a a 且若关于x 的方程()()x a a k f x x g -=+-12只有一解，求k 的取值范围。
全国高中数学联赛与各省市预赛历届(2009-2019)试题汇编 函数(解析版)
全国高中数学历届(2009-2019)联赛与各省市预赛试题汇编专题20函数真题汇编与预赛典型例题1．【2019年全国联赛】已知正实数a满足，则的值为.【答案】【解析】由..2．【2018年全国联赛】设f（x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足，则不等式组的解集为.【答案】【解析】由f（x）为偶函数及在[0，1]上严格递减知，f（x）在[-1，0]上严格递增，再结合f（x）以2为周期可知，[1，2]是f（x）的严格递增区间.注意到.所以.而，故原不等式组成立当且仅当.3．【2017年全国联赛】设为定义在R上的函数，对任意实数x有.当0≤x＜7时，.则的值为____________。
【答案】【解析】由题得，所以函数的周期为7，.故答案为：4．【2016年全国联赛】设正实数u、v、w均不等于1.若，则的值为________.【答案】 【解析】 令.则:.故. 从而，.5．【2015年全国联赛】设为不相等的实数.若二次函数满足，则的值为______. 【答案】4 【解析】由已知条件及二次函数图像的轴对称性得.故答案为：46．【2014年全国联赛】若正数a ，b 满足2362log 3log log ()a b a b +=+=+，则11a b+= ． 【答案】108 【解析】试题分析：设232362log 3log log ()2,3,6t t t a b a b t a b a b --+=+=+=⇒==+=⇒11a ba b ab++=23610823tt t --==•． 考点：指数与对数运算． 7．【2014年全国联赛】设集合中的最大、最小元素分别为M 、m ，则的值为___________. 【答案】【解析】 由，知.当时，取得最大元素.又，当时，取得最小元素.因此，.8．【2014年全国联赛】若函数()21f x x a x =--在[)0,+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是 .【答案】[0,2] 【解析】试题分析：()[)()22,1,,,1x ax a x f x x ax a x ⎧-+∈+∞⎪=⎨+-∈-∞⎪⎩，[)1,x ∈+∞时，()f x =2x ax a -+=22a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭24a a +-，(),1x ∈-∞时，()f x =2x ax a +-=2224a a x a ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭.①当12a >即a >2时，()f x 在2a ⎛⎫1, ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递增，不合题意;②当012a ≤≤即02a ≤≤时，符合题意;③当02a <即0a <时，不符合题意.综上，a 的取值范围是[]0,2.考点：绝对值定义、函数单调性、分类讨论. 9．【2013年全国联赛】设为实数，函数满足：对任意的，有.则的最大值为______. 【答案】 【解析】 易知，则.当，即时，取最大值. 10．【2012年全国联赛】设.则的最大值是______.【答案】.【解析】 不妨设.则.。
专题03函数B辑(原卷版)-备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题03函数B辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设a>0,函数f(x)=x+100x在区间(0,a]上的最小值为m1,在区间[a,+∞)上的最小值为m2.若m1m2=2020,则a的值为.2．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设a,b>0,满足:关于x的方程√|x|+√|x+a|=b恰有三个不同的实数解x1,x2,x3,且x1<x2<x3=b,则a+b的值为.3．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】若实数x满足log2x=log4(2x)+log8(4x),则x=. 4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】已知首项系数为1的五次多项式f(x)满足: f(n)=8n,n=1,2,⋯,5,则f(x)的一次项系数为.5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】已知正实数a满足a a=(9a)8a，则log a(3a)的值为. 6．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=2，则不等式组{1⩽x⩽21⩽f(x)⩽2的解集为.7．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[1，2]上严格递减，且满足f(π)=1,f(2π)=0，则不等式组{0⩽x⩽10⩽f(x)⩽1的解集为.8．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x+3)⋅f(x−4)=−1.又当0≤x<7时，f(x)=log2(9−x)，则f(－100)的值为.9．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】若实数x、y满足x2+2cosy=1，则x−cosy的取值范围是.10．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶函数，则f(1)的值为.11．【2016高中数学联赛（第01试）】正实数u,v,v均不等于1，若log u vw+log v w=5,logu+log w v=3，则log w u的值为.12．【2015高中数学联赛（第01试）】设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(a)=f(b)，则f(2)的值为.13．【2014高中数学联赛（第01试）】若正数a，b满足2+1og2a=3+log3b=log6(a+b)，则1a +1b的值为.14．【2014高中数学联赛（第01试）】若函数f(x)=x2+a|x−1|在[0，+∞]上单调递增，则实数a的取值范围是.15．【2012高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈[a，a +2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是.16．【2011高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=√x2+1x−1的值域为.17．【2010高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=√x−5−√24−3x的值域是.18．【2010高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=a2x+3a x−2(a>0,a≠1)在区间x∈[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.19．【2009高中数学联赛（第01试）】若函数f(x)=2，且f(n)(x)=f[f[f⋯f(x)]]⏟n，则f(99)(1)=.20．【2009高中数学联赛（第01试）】使不等式1n+1+1n+2+⋯+12n+1<a−200713对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为.21．【2009高中数学联赛（第01试）】若方程lgkx=2lg(x+1)仅有一个实根，那么k的取值范围是.22．【2008高中数学联赛（第01试）】设f(x)=ax+b，其中a，b为实数，f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f(f n(x))，n=1，2，3，…，若f7(x)=128x+381，则a+b=.23．【2006高中数学联赛（第01试）】方程(x2006+1)(1+x2+x4+⋯+x2004)=2006x2005的实数解的个数为.24．【2005高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)<f(3a2−4a +1)成立，则a的取值范围是.25．【2004高中数学联赛（第01试）】设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=.26．【2003高中数学联赛（第01试）】已知a，b，c，d均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a－c=9，则b－d=.27．【2002高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1－x，则g(2002)=.28．【2001高中数学联赛（第01试）】函数y=x+√x2−3x+2的值域为.29．【1998高中数学联赛（第01试）】若f(x)(x∈R)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x1 1998，则f(98 19),f(10117),f(10415)由小到大的排列是.30．【1997高中数学联赛（第01试）】设x，y为实数，且满足{(x−1)3+1997(x−1)=−1(y−1)3+1997(y−1)=1，则x+y=.31．【1995高中数学联赛（第01试）】用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x−[lgx]−2=0的实根个数是.32．【1990高中数学联赛（第01试）】在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，联结原点O与点A n(n，n+3)，用f(n)表示线段OA n上除端点外的整点个数，则f(1)+f(2)+…+f(1990)= .33．【1989高中数学联赛（第01试）】(1)若log a√2<1，则a的取值范围是.(2)已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l'⊥l，则l'与l的交点坐标为.(3)设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)−1|，f2(x)=|f1(x)−2|，则函数y=f2(x)的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是.(4)一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身构成等比数列，则该数为.(5)如果从数1，2，…，14中，按由小到大的顺序取出a1,a2,a3，使同时满足a2−a1⩾3与a3−a2⩾3，那么所有符合上述要求的不同取法有种.(6)当s和t取遍所有实数时，则(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2所能达到的最小值是.34．【1987高中数学联赛（第01试）】已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，|x|，y}，并且M=N，那么(x+1y)+(x2+1y2)+(x3+1y3)+⋯+(x2001+1y2001)的值等于.35．【1985高中数学联赛（第01试）】对任意实数x，y，定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy，其a，b，c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x都有x*d=x，则d=.优质模拟题强化训练1．设f(x)=|x+1|+|x|−|x−2|，则f(f(x))+1=0有________个不同的解.2．设a、b为不相等的实数.若二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(a)=f(b)，则f(2)的值为______.3．已知定义在R上的奇函数f(x)，它的图象关于直线x=2对称．当0<x≤2时，f(x)=x+1，则f(−100)+ f(−101)=______．4．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2，当时x>0时，f(x)是增函数，且对任意的x、y∈R，都有f(x+y )=f(x)+f(y)．则函数f(x)在区间[−3,−2]上的最大值是______．5．设函数f(x)=1−4x2x−x，则不等式f(1−x2)+f(5x−7)<0的解集为________.6．若x、y∈R，且2x=18y=6xy，则x+y=___________。
高一数学《函数与方程》竞赛试题与答案
高一数学《函数与方程》竞赛试题第I 卷（选择题）一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）若函数y ＝f (x )图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y ＝f (x )的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）已知函数2229,0()4,041232,4x x f x x x x x x x +<⎧⎪=-+≤≤⎨⎪-+>⎩，则此函数的“黄金点对”有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对2．（2021·黑龙江·鸡西实验中学高一竞赛）已知函数()lg ,010=11,10x x f x x x ⎧<≤⎨-+>⎩，若,,a b c 互不相等，且()()()f a f b f c ==，则abc 的取值范围是（）A ．()1，10B ．()111，C ．()1011，D ．()10+∞，3．（2022安徽·高一竞赛）已知单调函数()f x 的定义域为(0,)+∞，对于定义域内任意x ，[]2()log 3f f x x -=，则函数()()9g x f x x =+-的零点所在的区间为A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)4．（2022浙江温州·高一竞赛）已知函数32log ,0()41,0x x f x x x x ⎧>=⎨++≤⎩，函数()()F x f x b =-有四个不同的零点1x ，2x ，3x ，4x ，且满足：1234x x x x <<<，则1234x x x x +的值是（）.A ．-4B ．-3C ．-2D ．-15．（2022广东潮州·高一竞赛）已知()()20f x ax bx c a =++>，分析该函数图像的特征，若方程()0f x =一根大于3，另一根小于2，则下列推理不一定成立的是（）A ．232ba<-<B ．240ac b -≤C ．()20f <D ．()30f <6．（2022湖南·衡阳市八中高一竞赛）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()122xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若在区间(]2,6-内关于x 的方程()()log 20(01)a f x x a -+=<<恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（）A．1,42⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．4⎛ ⎝⎭C ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7．（2022陕西渭南·高二竞赛）已知定义在R 上的函数()f x 满足：(](]222,1,0()2,0,1x x f x x x ⎧--∈-⎪=⎨-∈⎪⎩且(2)()f x f x +=，52()2xg x x -=-，则方程()()f x g x =在区间[]37-,上的所有实根之和为（）A ．14B ．12C ．11D ．78．（2022河南·高三竞赛（理））已知函数lg ,0,()2,0,x x x f x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩若关于x 的方程2()()10f x af x -+=有且只有3个不同的根，则实数a 的值为A ．2-B ．1C ．2D ．3二、多选题:本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．（2021·福建·厦门一中高一竞赛）已知定义在R 上的偶函数f (x )，满足f （x ＋2）＝－f (x )＋f (1)，且在区间[0，2]上是增函数，下列命题中正确的是（）A ．函数()f x 的一个周期为4B ．直线4x =-是函数()f x 图象的一条对称轴C ．函数()f x 在[6,5)--上单调递增，在[5,4)--上单调递减D ．方程()0f x =在[0，2021]内有1010个根10．（2022·湖南衡阳·高二竞赛）已知函数()22,0log ,0x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若()f x a =有三个不等实根123,,x x x ，且123x x x <<，则（）A ．()f x 的单调递减区间为()0,1B ．a 的取值范围是()0,2C ．123x x x 的取值范围是(]2,0-D ．函数()()()g x f f x =有4个零点11．（2022·山东德州·高二竞赛）对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数．人们更习惯称之为“取整函数”，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，则下列命题中的真命题是（）A ．[1,0]x ∀∈-，[]1x =-B ．x ∀∈R ，[]1x x <+C ．函数[]y x x =-的值域为［0，1）D ．方程22022[]20230x x --=有两个实数根12．（2022·辽宁高二竞赛）已知函数()221,0log ,0xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()()()222g x f x mf x =-+，下列说法正确的是（）A ．()y f x =只有一个零点()1,0B ．若()y f x a =-有两个零点，则2a >C ．若()y f x a =-有两个零点1x ，()212x x x ≠，则121=x x D ．若()g x 有四个零点，则32m >第II 卷（非选择题）三、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数()11||f x x x x +=-++，则方程()()21f x f x -=所有根的和是___________．14．（2022浙江高三竞赛）已知()f x 是偶函数，0x ≤时，()[]f x x x =-(符号[]x 表示不超过x 的最大整数)，若关于x 的方程()() 0f x kx k k =+>恰有三个不相等的实根，则实数k 的取值范围为__________．15．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数222101,()2 1,x mx x f x mx x ⎧+-≤≤=⎨+>⎩，，，若()f x 在区间[)0,+∞上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是_________.16．（2021·浙江省杭州学军中学高一竞赛）已知函数22log (2),20()21,0x x f x x x x +-<≤⎧=⎨-+>⎩，若函数[]2()(())(1)(())()g x f f x a f f x R a a =-++∈恰有8个不同零点，则实数a 的取值范围是____________．四、解答题:本大题共5小题，17题共10分，其余各题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（2022湖南·高三竞赛）已知二次函数2()163f x x x p =-++.（1）若函数在区间[1,1]-上存在零点，求实数p 的取值范围；（2）问是否存在常数(0)q q ≥，使得当[,10]x q ∈时，()f x 的值域为区间D ，且D 的长度为12q -.（注：区间[,]a b ()a b <的长度为b a -）.18．（2022浙江高二竞赛）已知函数()2,,f x x ax b a b =++∈R ，(1)0f =．(1)若函数()y f x =在[0,1]上是减函数，求实数a 的取值范围；(2)设()()()21212x xF x f a =-+--，若函数()F x 有三个不同的零点，求实数a 的取值范围；19．（2022四川高一竞赛））已知函数()21log f x x =+，()2xg x =.(1)若()()()()()F x f g x g f x =⋅，求函数()F x 在[]1,4x ∈的值域；(2)若()H x 求证()()11H x H x +-=.求12320212022202220222022H H H H ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)令()()1h x f x =-，则()()()()24G x h x k f x =+-，已知函数()G x 在区间[]1,4有零点，求实数k 的取值范围.20．（2022广东高一竞赛）已知函数21()log 4(1)22x xf x k k k ⎡⎤=⋅--++⎢⎣⎦．(1)当2k =时，求函数()f x 在[0,)+∞的值域；(2)已知01k <<，若存在两个不同的正数a ，b ，当函数()f x 的定义域为[],a b 时，()f x 的值域为[1,1]a b ++，求实数k 的取值范围．21．（2022·山西运城高二竞赛）已知函数()()44log 41log 2x x f x =+-，()142log 23x g x a a -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭.(1)若1x ∀∈R ，对[]21,1x ∃∈-，使得()221420x xf x m +≥-成立，求实数m 的取值范围；(2)若函数()f x 与()g x 的图象有且只有一个公共点，求实数a 的取值范围.22．（2022江苏盐城高一竞赛）若定义域为(0,)+∞的函数()f x 满足()0a f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则称()f x 为“a 型”弱对称函数.(1)若函数sin ()ln 1x mf x x x +=-+为“1型”弱对称函数，求m 的值；(2)已知函数()f x 为“2型”弱对称函数，且函数()f x 恰有101个零点(1,2,...,101)i x i =，若1011i i x =∑>λ对任意满足条件函数()f x 的恒成立，求λ的最大值.高一数学《函数与方程》竞赛试题答案一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分。
专题06基本初等函数二(解析版)-备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)
备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题06基本初等函数第二缉1．【2019年重庆预赛】函数f (x )=(√1+x +√1−x −3)(√1−x 2+1)的最小值为m ，最大值为M ，则M m=________.【答案】3−√22【解析】设t =√1+x +√1−x ,则t ≥0且t 2=2+2√1−x 2，∴t ∈[√2,2]. f (x )=(t −3)·t 22，令g (t )=12t 2(t −3)，t ∈[√2,2].令g ′(t )=0得t =2，g(√2)=√2−3，g (2)=−2， ∴M =g (t )max =√2−3，m =g (t )min =−2，∴Mm =3−√22.2．【2019年重庆预赛】设f(x)是定义在(0,+∞)上的单调函数，对任意x >0有f(x)>−4x ，f(f(x)+4x )=3，则f(8)=. 【答案】72【解析】由题意存在x 0>0使f(x 0)=3。
又因f(x)是(0,+∞)上的单调函数，这样的x 0>0是唯一的，再由f(f(x 0)+4x 0)=3得x 0=f(x 0)+4x 0=3+4x 0解得x 0=4或x 0=−1（舍）。
所以f(x)=4−4x，f(8)=4−48=72。
3．【2019年北京预赛】函数f (x )满足f (1)=1,且f (n )=f (n −1)+1n (n−1),其中n ≥2,n ∈N +,那么f (2019)=. 【答案】40372019.【解析】因为f(n)−f(n −1)=1n(n−1)=1n−1−1n ,所以 f(2)−f(1)=1−12, f(3)−f(2)=12−13,f(4)−f(3)=13−14,⋯⋯f(2018)−f(2017)=12017−12018,f(2019)−f(2018)=12018−12019,将以上各式等号两边分别相加得f(2019)−f(1)=1−12019,进而有 f(2019)=2−12019=120182019.4．【2019年福建预赛】函数f(x)=√2x −x 2+x 的值域为 .【答案】[0,√2+1]【解析】解法一:f(x)=√1−(x −1)2+x .设x −1=sinα (−π2≤α≤π2)，则f(x)=cosα+(1+sinα)=√2sin (α+π4)+1.由−π2≤α≤π2，得−π4≤α+π4≤3π4, −√22≤sin (α+π4)≤1.∴f (x )值域为[0,√2+1]. 解法二:f ′(x)=√2+1=√21 (0<x <2).∵ 0<x <1+√22时，f ′(x)>0;1+√22<x <2时，f ′(x)<0.∴f (x )在区间[0,1+√22]上为增函数，在区间[1+√22,2]上为减函数. ∴f (x )值域为[0,√2+1].5．【2019年福建预赛】已知f(x)=x 3+ax 2+bx +2的图象关于点(2，0)对称，则f (1)=.【答案】4【解析】解法一:由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知：f(x +2)=(x +2)3+a(x +2)2+b(x +2)+2=x 3+(a +6)x 2+(b +4a +12)x +4a +2b +10为奇函数.∴{a +6=04a +2b +10=0,{a =−6b =7∴ f(1)=1+a +b +2=1−6+7+2=4. 解法二:由f (x )的图象关于点(2，0)对称，知 对任意x ∈R ，f (2+x )+f (2-x )=0于是，对任意x ∈R ，(2+x)3+a(2+x)2+b(2+x)+2+(2−x)3+a(2−x)2+b(2−x)+2=0. 即(2a +12)x 2+(8a +2b +20)=0恒成立. ∴{2a +12=08a +4b +20=0,{a =−6b =7.∴ f(1)=1+a +b +2=1−6+7+2=4.解法三:依题意，有f (x )=(x -2)3+m (x -2). 利用f (0)=-8-2m =2，得m =-5.于是，f (x )=(x -2)3-5(x -2)，f (1)=-1-(-5)=4.6．【2019年福建预赛】已知f(x)=x 5−10x 3+ax 2+bx +c ，若方程f (x )=0的根均为实数，m 为这5个实根中最大的根，则m 的最大值为 .【答案】4【解析】设f (x )=0的5个实根为x 1≤x 2≤x 3≤x 4≤m ，则由韦达定理，得m +x 1+x 2+x 3+x 4=0. m (x 1+x 2+x 3+x 4)+(x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4)=−10. 于是，x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4=−10+m 2.∴ x 12+x 22+x 32+x 42=(x 1+x 2+x 3+x 4)2−2(x 1x 2+x 1x 3+x 1x 4+x 2x 3+x 2x 4+x 3x 4)=m 2−2(−10+m 2)=20−m 2.另一方面，由柯西不等式，知(x 1+x 2+x 3+x 4)2≤4(x 12+x 22+x 32+x 42)于是，m 2≤4(20−m 2),m 2≤16,m ≤4.又对f(x)=(x −4)(x +1)4=x 5−10x 3−20x 2−15x −4，方程f (x )=0的根均为实数，且5个实根中最大的根m =4. ∴m 的最大值为4.7．【2019年广西预赛】已知xyz +y +z =12,则log 4x +log 2y +log 2z 的最大值为 .【答案】3【解析】log 4x +log 2y +log 2z =log 2x 2+log 2y +log 2z =log 2(xyz⋅y⋅z)2⩽log 2(xyz+y+z 3)32=3.当xyz=y=z=4取到等号.8．【2019年贵州预赛】已知方程x 5−x 2+5=0的五个根分别为x 1,x 2,x 3,x 4,x 5,f(x)=x 2+1.则∏s i=1f (x i )=.【答案】37【解析】设g(x)=x 5−x 2+5,则g(x)=∏(x −x k )5k=1,又f(x)=x 2+1=(x-i)(x+i),所以∏5i=1f (x k )=∏(x k −i )5i=1⋅∏(x k +i )5i=1=g(i)⋅g(−i)=(i 5−i 2+5)⋅[(−i)5−(−i)2+5]=(6+i)(6−i)=37.9．【2019年吉林预赛】已知函数f(x)=-x 2+x+m+2,若关于x 的不等式f(x)≥|x|的解集中有且仅有1个整数,则实数m 的取值范围为.【答案】[-2,-1)【解析】f(x)≥|x|⇔2−|x|≥x 2−x −m . 令g(x)=2−|x|,h(x)=x 2−x −m . 在同一直角坐标系内作出两个函数的图象, 由图象可知,整数解为x=0,故{f(0)≥0−0−m f(1)<1−1−m.解得−2≤m <−1.10．【2019年吉林预赛】已知函数f(x)=a +x −b x 的零点x 0∈(n,n +1)(n ∈Z),其中常数a 、b 满足条件2019a =2020, 2020b =2019,则n 的值为 .【答案】-1【解析】因为2019°=2020,2020b =2019,所以1<a<2,0<b<1,故函数f(x)在R 上为増函数,又f(0)=a −1>0, f(−1)=a −1−1b <a −1−1<0,故由零点定理可知,函数f(x)在区间(1,0)有唯ー的零点,则n 的值是-1. 11．【2019高中数学联赛A 卷（第01试）】已知正实数a 满足a a =(9a)8a ，则log a (3a)的值为.【答案】916【解析】由条件知9a =a 18，故3a =√9a ⋅a =a 916，所以log a (3a)=916.12．【2018年山西预赛】函数y =√1−x 22+x的值域为________.【答案】[0,√33] 【解析】由条件知x ∈[−1,1]. 令x =cosα(α∈[0,π]).则 y =sinα2+cosα(y ≥0)，⇒2y =sinα−ycosα=√1+y 2sin (α+θ)≤√1+y 2， ⇒1+y 2≥4y 2⇒y 2≤13， 因为y ≥0，所以，y ∈[0,√33]. 13．【2018年福建预赛】函数f(x)=[log 3(13√x)]⋅[log √3(3x 2)]的最小值为________. 【答案】−258【解析】设log 3x =t ，则log 3(13√x)=−1+12t ，log √3(3x 2)=32log √3=2(1+2t).∴f(x)=g(t)=(−1+12t)⋅2(1+2t)=2t 2−3t −2=2(t −34)2−258.∴当t =34，log 3x =34，x =334时，f (x )取最小值−258.14．【2018年福建预赛】若函数f (x )=x 2－2ax +a 2－4在区间[a －2，a 2](a >0)上的值域为[－4，0]，则实数a 的取值范围为________. 【答案】[1，2] 【解析】∵f (x )=x 2－2ax +a 2－4=(x －a )2－4，f (a )=－4，f (a －2)=0，f (x )在区间[a －2，a 2]上的值域为[－4，0]，f (x )的图像为开口向上的拋物线.∴{a −2≤a ≤a 2a ≥a−2+a 22 ，解得－1≤a ≤0或1≤a ≤2.结合a >0，得1≤a ≤2. ∴a 的取值范围为[1，2].15．【2018年江苏预赛】设g(n)=∑(k,n)nk=1，期中n ∈N *，(k,n)表示k 与n 的最大公约数，则g(100)的值为________. 【答案】520 【解析】如果(m,n)=1，则g(mn)=g(m)g(n)，所以g(100)=g(4)g(25). 又g(4)=1+2+1+4=8.g(25)=5×4+25+(25−5)=65， 所以g(100)=8×65=520. 故答案为：52016．【2018年贵州预赛】牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手，这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同；②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是_______．【答案】牛得亨先生的女儿 【解析】由题意知，最佳选手和最佳选手的孪生同抱年龄相同；由②，最佳选手和最差选手的年龄相同；由①，最佳选手的孪生同胞和最差选手不是间一个人．因此，四个人中有三个人的年龄相同．由于牛得亨先生的年龄肯定大于他的儿子和女儿，从而年龄相同的三个人必定是牛得亨先生的儿子、女儿和妹妹．由此，牛得亨先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞．因此，牛得亨先生的儿子或女儿是最佳选手，而牛得亨先生的妹妹是最差选手．由①，最佳选手的孪生同胞一定是牛得亨先生的儿子，而最佳选手无疑是牛得亨先生的女儿． 故答案为：牛得亨先生的女儿17．【2018年贵州预赛】函数z =√2x 2−2x +1+√2x 2−10x +13的最小值是______． 【答案】√10 【解析】因为z =√2x 2−2x +1+√2x 2−10x +13=√(x −0)2+(x −1)2+√(x −2)2+(x −3)2此即为直线y =x 上的点（x ，y ）到点（0，1）与到点（2，3）的距离之和，根据镜像原理，z 的最小值应为点（1，0）到点（2，3）的距离√10． 故答案为：√1018．【2018年贵州预赛】若方程a x >x （a >0，a ≠1）有两个不等实根，则实数a 的取值范围是_______． 【答案】1<a <e 1e 【解析】由a x >x 知x >0，故x ⋅lna −lnx =0⇒lna =lnx x，令f(x)=lnx x（x >0），则f ′(x)=1−lnx x 2．当x ∈(0，e)时，f ′(x)>0；当x ∈(e ，+∞)时，f ′(x)<0．所以f(x)在(0，e )上递增，在(e ，+∞)上递减．故0<lna <f(e)=1e，即1<a <e 1e ． 故答案为：1<a <e 1e19．【2018年浙江预赛】已知a 为正实数，且f(x)=1a −1a x +1是奇函数，则f(x)的值域为________.【答案】(−12，12) 【解析】由f(x)为奇函数可知1a −1a x +1=−1a +1a −x +1，解得a = 2，即f(x)=12−12x +1， 由此得f(x)的值域为(−12，12).20．【2018年北京预赛】已知实数a,b,c,d 满足5a =4,4b =3,3c =2,2d =5，则(abcd )2018=________. 【答案】1 【解析】化5a =4,4b =3,3c =2,2d =5为对数，有a =log 54=ln4ln5,b =ln3ln4,c =ln2ln3,d =ln5ln2，所以(abcd )2018=(ln4ln5×ln3ln4×ln2ln3×ln5ln2)2018=12018=1.21．【2018年北京预赛】已知函数f (x )满足f (x +1x )=x 2+1x 2，那么f (x )的值域为_______.【答案】[2,+∞) 【解析】设函数y =f (x )满足f (t +1t )=t 2+1t 2，{x =t +1t (|x |≥2)y =t 2+1t 2(y ≥2)，y =t 2+1t 2=(t +1t)2−2=x 2−2.所以所求函数是f (x )=x 2−2(|x |≥2)，其图像如图，易知f (x )=x 2−2(|x |≥2)的值域是[2,+∞).22．【2018年湖南预赛】函数f(x)=√4−x 2+ln(2x −1)的定义城为_________. 【答案】[−2,12)【解析】由{4−x 2≥02x −1>0得-2≤x <12，所以函数f(x)=√4−x 2+ln(2x −1)的定义城为[−2,12). 故答案为[−2,12)23．【2018年湖南预赛】已知函数f(x)对任意的实数满足：f(x +6)=f(x)，且当−3≤x <−1时，f(x)=−(x +2)2，当−1≤x <3时，f(x)=x ，则y =f(x)象与y =lg |1x |的图象的交点个数为___________。
12不定方程1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编不定方程部分2011B 一、（本题满分40分）求所有三元整数组(,,)x y z ，使其满足333320111515x y z xyz x y ⎧++-=⎪≥⎨⎪≥⎩★解析：由20113333=-++xyz z y x ，得()()()()[]4022222=-+-+-++x z z y y x z y x ①因220114022⨯=，且()()()0222≡-+-+-x z z y y x ()2m od ，所以①等价于()()()⎩⎨⎧=-+-+-=++40221222x z z y y x z y x ②或()()()⎩⎨⎧=-+-+-=++22011222x z z y y x z y x ③ 对方程组②，消去z 得()()()40221212222=-++-++-y x y x y x ，即67022=--++y x xy y x ④⑴若15=x ，15=y ，则67064522<=--++y x xy y x 与④矛盾；⑵若16≥x ，15≥y ，则670690434256))(1(2>=+≥+-+y x y x 与④矛盾；⑶若15≥x ，16≥y ，则670690434256))(1(2>=+≥+-+y x x y 与④矛盾；综上方程组②无解；对方程组③，由()()()2222=-+-+-x z z y y x 可得y x -，z y -，x z -中有两个为1，一个为0。
⑴若1=-y x ，1=-z y ，0=-x z ，则z x y ==+1或z x y ==-1，z x y ==+1代入③的第一个方程，无解；z x y ==-1代入③的第一个方程，解得671=y ，670==z x ⑵若1=-y x ，0=-z y ，1=-x z ，同理可得671=x ，670==z y ⑶若0=-y x ，1=-z y ，1=-x z ，同理可得671=z ，670==y x综上，满足条件的三元数组为()670,670,671，()670,671,670，()671,670,6702010AB 8、方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解),,(z y x 的个数是 ◆答案： 336675★解析：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C . 把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类： （1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k .易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k 200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.2010B 二、（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：11111112(1)().1m m nmmmk k j j m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑L ★证明：1111)m m jj m j q Cq +++=+=∑由（得到1110(1),mm m j jm j q qC q +++=+-=∑ 1,2,,q n =L 分别将代入上式得： 11021,mm jm j C ++=-=∑1110322,m m m j jm j C +++=-=∑ L L 1110(1)(1),mm m j jm j nn C n +++=--=-∑ 111(1).mm m j j m j n nC n +++=+-=∑ n 将上面个等式两边分别相加得到： 111(1)1(),mnm jjm j i n Ci++==+-=∑∑ （20分）11111(1)(1)1(1),m n nmj j mm j i i n n n Ci m i -+===++-=+++∑∑∑（）11111112(1)().1m m nmmmk k j j m m k j i n n C n C i m -+===⎧⎫+++=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑∑L （40分）2008A B5、方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=++000y xz yz xy z xyz z y x 的有理数解),,(z y x 的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4◆答案： B★解析：若0z =，则00.x y xy y +=⎧⎨+=⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，或11.x y =-⎧⎨=⎩， 若0z ≠，则由0xyz z +=得1xy =-． ① 由0x y z ++=得z x y =--． ②将②式代入0xy yz xz y +++=得220x y xy y ++-=． ③由①式得1x y=-，代入③式化简得3(1)(1)0y y y ---=.易知310y y --=无有理数根，故1y =，由①式得1x =-，由②式得0z =，与0z ≠矛盾，故该方程组共有两组有理数解0,0,0x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩或1,1,0.x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩2008B 二、（本题满分50分）求满足下列关系式组2222,50,x y z z y z ⎧+=⎨<≤+⎩的正整数解组(,,)x y z 的个数．★解析：令r y z =-，由条件知050r <≤，方程化为222()2x z r z ++=，即2222x zr r z ++=． （1）因0y z r -=>，故22222z x y z x =+->，从而z x >．设0p z x =->．因此（1）化为22220zp p zr r -+++=．（2） 下分r 为奇偶讨论，（ⅰ）当r 为奇数时，由（2）知p 为奇数．令121r r =+，121p p =+，代入（2）得221111112()10p p zp zr r r +-++++=． （3）（3）式明显无整数解．故当r 为奇数时，原方程无正整数解．（ⅱ）当r 为偶数时，设12r r =，由方程（2）知p 也为偶数．从而可设12p p =，代入（2）化简得2211110p zp zr r -++=． （4）由（4）式有221111()0z p r p r -=+>，故11p r >，从而可设11p r a =+，则（4）可化为2211()0r a za r +-+=，2211220r ar za a +-+=． （5）因21122r z r a a=++为整数，故212a r ，又1122()z z x p r a >-==+，因此22111()2()r a r za r a a ++=>+，得2212a r <，即a <．因此，对给定的11,2,,25r =⋅⋅⋅，解的个数恰是满足条件a 的212r 的正因数a 的个数1()N r ．因212r 不是完全平方数，从而1()N r 为212r 的正因数的个数21(2)r σ的一半．即211()(2)/2N r r σ=．由题设条件，1125r ≤≤．而25以内有质数9个：2，3，5，7，11，13，17，19，23．将25以内的数分为以下八组：012341{2,2,2,2,2}A =，2{23,25,27,211}A =⨯⨯⨯⨯，223{23,25}A =⨯⨯，34{23}A =⨯，25{23}A =⨯，1{3,5,7,11,13,17,19,23}B =， 222{3,5}B =，3{35,37}B =⨯⨯，从而易知012341()(2)(2)(2)(2)(2)1234515N A N N N N N =++++=++++=，2()(23)46424N A N =⨯⨯=⨯=，3()9218N A =⨯=，4()12N A =，5()10N A =，1()3824N B =⨯=，2()5210N B =⨯=，3()9218N B =⨯=，将以上数相加，共131个．因此解的个数共131．2006*11、方程()()20052004422006200611x x x x x=+++++Λ的实数解的个数为 ◆答案：1 ★解析：200520044220062006)1)(1(x x x x x=+++++Λ24200420051()(1)2006x x x x x⇔+++++=L 35200520052003200111112006x x x x x x xx⇔+++++++++=L L 320051112006210032006x x x ⇔=++++++≥=L g要使等号成立，必须 3200532005111,,,x x x x x x===L ，即1x =±。
高中数学竞赛辅导05竞赛辅导(五)函数方程与迭代
∴
∴
f ( n 1) f ( n )
f (n) n 2
1 2
,
,∴ f (1 9 9 8 ) 9 9 9
高中数学竞赛辅导 7
2012-8-28
4. (教程 P9 3 6 )已知函数 f(x)对于 x>0 有意义， 且满 足条件 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y),f(x)是增函数. ⑴证明 f(1)=0; ⑵若 f(x)+f(x－2)≥2 成立，求 x 的取值范围.
5
) k k
2
50
2
，
(3
3) y
时，
S min 50
2
取得最小值，其最小值是
2012-8-28
450 (3 3 )
2
25 2
(3
3)
11
2
k 高中数学竞赛辅导
.
又∵
1 a
c
，c＞1
∴a
1 c
1
a＜c,∴
b t1
c t
10
0
2012-8-28
高中数学竞赛辅导
2.在边长为 10 的正三角形 ABC 中，以如图所示的方式内接两个正方形 (甲、 乙两个正方形有一边相重叠， 都有一边落在 BC 上， 甲有一顶点在 AB 上，乙有一顶点在 AC 上） ，试求这样内接的两个正方形面积和的最小值．
2
f (0) 1
x
x
.假设存在某个 x 0 R , 使 f ( x 0 ) 0 ，
则对任何 x 0, 有 f ( x )
2函数与方程-历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编函数与方程部分2019A1、已知正实数a 满足()89aa a a =，则()log 3a a 的值为 ． ◆答案：916★解析：由条件知189a a =，故9163a a ==，所以()9log 316a a =。
2019A 二、（本题满分 40 分）设整数122019,,,a a a 满足122019199a a a =≤≤≤=． 记()()22212201913243520172019f a a a a a a a a a a a =+++-++++，求f 的最小值0f ．并确定使0f f =成立的数组()122019,,,a a a 的个数．★解析：由条件知()()2017222221220182019212i i i f a a aaa a +==++++-∑． ①由于12,a a 及2i i a a +-（1,2,2016i =）均为非负整数，故有221122,a a a a ≥≥且()222i i i i a a a a ++-≥-．于是()()()201620162221221222017201811i i i i i i a a a a a a a a a a ++==++-≥++-=+∑∑②………………10 分由①、②得()2222017201820192017201820192f a a a a a a ≥++-++，结合20192019a =及201820170a a ≥>，可知()()2222201720172017201712999949740074002f a a a a ⎡⎤≥+-++=-+≥⎣⎦ ．③ ………20 分另一方面，令1219201a a a ====，19202119202k k a a k +-+==（1,2,,49k =），201999a = 此时验证知上述所有不等式均取到等号，从而f 的最小值07400f =．………………30 分 以下考虑③的取等条件．此时2018201749a a ==，且②中的不等式均取等， 即121a a ==，{}20,1i i a a +-∈（1,2,2016i =）。
专题03函数B辑(原卷版)-高中数学联赛之历年真题汇编(1981-2020)
备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020）专题03函数B辑历年联赛真题汇编1．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设a>0,函数f(x)=x+100x在区间(0,a]上的最小值为m1,在区间[a,+∞)上的最小值为m2.若m1m2=2020,则a的值为.2．【2020高中数学联赛A卷（第01试）】设a,b>0,满足:关于x的方程√|x|+√|x+a|=b恰有三个不同的实数解x1,x2,x3,且x1<x2<x3=b,则a+b的值为.3．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】若实数x满足log2x=log4(2x)+log8(4x),则x=. 4．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】已知首项系数为1的五次多项式f(x)满足: f(n)=8n,n=1,2,⋯,5,则f(x)的一次项系数为.5．【2019高中数学联赛A卷（第01试）】已知正实数a满足a a=(9a)8a，则log a(3a)的值为. 6．【2018高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[0，1]上严格递减，且满足f(π)=1，f(2π)=2，则不等式组{1⩽x⩽21⩽f(x)⩽2的解集为.7．【2018高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间[1，2]上严格递减，且满足f(π)=1,f(2π)=0，则不等式组{0⩽x⩽10⩽f(x)⩽1的解集为.8．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数x有f(x+3)⋅f(x−4)=−1.又当0≤x<7时，f(x)=log2(9−x)，则f(－100)的值为.9．【2017高中数学联赛A卷（第01试）】若实数x、y满足x2+2cosy=1，则x−cosy的取值范围是.10．【2017高中数学联赛B卷（第01试）】设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)+x2是奇函数，f(x)+2x是偶函数，则f(1)的值为.11．【2016高中数学联赛（第01试）】正实数u,v,v均不等于1，若log u vw+log v w=5,logu+log w v=3，则log w u的值为.12．【2015高中数学联赛（第01试）】设a，b为不相等的实数，若二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(a)=f(b)，则f(2)的值为.13．【2014高中数学联赛（第01试）】若正数a，b满足2+1og2a=3+log3b=log6(a+b)，则1a +1b的值为.14．【2014高中数学联赛（第01试）】若函数f(x)=x2+a|x−1|在[0，+∞]上单调递增，则实数a的取值范围是.15．【2012高中数学联赛（第01试）】设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x2.若对任意的x∈[a，a +2]，不等式f(x+a)≥2f(x)恒成立，则实数a的取值范围是.16．【2011高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=√x2+1x−1的值域为.17．【2010高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=√x−5−√24−3x的值域是.18．【2010高中数学联赛（第01试）】函数f(x)=a2x+3a x−2(a>0,a≠1)在区间x∈[－1，1]上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是.19．【2009高中数学联赛（第01试）】若函数f(x)=2，且f(n)(x)=f[f[f⋯f(x)]]⏟n，则f(99)(1)=.20．【2009高中数学联赛（第01试）】使不等式1n+1+1n+2+⋯+12n+1<a−200713对一切正整数n都成立的最小正整数a的值为.21．【2009高中数学联赛（第01试）】若方程lgkx=2lg(x+1)仅有一个实根，那么k的取值范围是.22．【2008高中数学联赛（第01试）】设f(x)=ax+b，其中a，b为实数，f1(x)=f(x)，f n+1(x)=f(f n(x))，n=1，2，3，…，若f7(x)=128x+381，则a+b=.23．【2006高中数学联赛（第01试）】方程(x2006+1)(1+x2+x4+⋯+x2004)=2006x2005的实数解的个数为.24．【2005高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在(0，+∞)上的减函数，若f(2a2+a+1)<f(3a2−4a +1)成立，则a的取值范围是.25．【2004高中数学联赛（第01试）】设函数f：R→R，满足f(0)=1，且对任意x，y∈R，都有f(xy+1)=f(x)f(y)－f(y)－x+2，则f(x)=.26．【2003高中数学联赛（第01试）】已知a，b，c，d均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a－c=9，则b－d=.27．【2002高中数学联赛（第01试）】已知f(x)是定义在R上的函数，f(1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1.若g(x)=f(x)+1－x，则g(2002)=.28．【2001高中数学联赛（第01试）】函数y=x+√x2−3x+2的值域为.29．【1998高中数学联赛（第01试）】若f(x)(x∈R)是以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x1 1998，则f(98 19),f(10117),f(10415)由小到大的排列是.30．【1997高中数学联赛（第01试）】设x，y为实数，且满足{(x−1)3+1997(x−1)=−1(y−1)3+1997(y−1)=1，则x+y=.31．【1995高中数学联赛（第01试）】用[x]表示不大于实数x的最大整数，方程lg2x−[lgx]−2=0的实根个数是.32．【1990高中数学联赛（第01试）】在坐标平面上，横坐标和纵坐标均为整数的点称为整点，对任意自然数n，联结原点O与点A n(n，n+3)，用f(n)表示线段OA n上除端点外的整点个数，则f(1)+f(2)+…+f(1990)= .33．【1989高中数学联赛（第01试）】(1)若log a√2<1，则a的取值范围是.(2)已知直线l：2x+y=10，过点(－10，0)作直线l'⊥l，则l'与l的交点坐标为.(3)设函数f0(x)=|x|，f1(x)=|f0(x)−1|，f2(x)=|f1(x)−2|，则函数y=f2(x)的图像与x轴所围成图形中的封闭部分的面积是.(4)一个正数，若其小数部分、整数部分和其自身构成等比数列，则该数为.(5)如果从数1，2，…，14中，按由小到大的顺序取出a1,a2,a3，使同时满足a2−a1⩾3与a3−a2⩾3，那么所有符合上述要求的不同取法有种.(6)当s和t取遍所有实数时，则(s+5－3|cost|)2+(s－2|sint|)2所能达到的最小值是.34．【1987高中数学联赛（第01试）】已知集合M={x，xy，lg(xy)}及N={0，|x|，y}，并且M=N，那么(x+1y)+(x2+1y2)+(x3+1y3)+⋯+(x2001+1y2001)的值等于.35．【1985高中数学联赛（第01试）】对任意实数x，y，定义运算x*y为x*y=ax+by+cxy，其a，b，c为常数，等式右端中的运算是通常的实数加法、乘法运算.现已知1*2=3，2*3=4并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x都有x*d=x，则d=.优质模拟题强化训练1．设f(x)=|x+1|+|x|−|x−2|，则f(f(x))+1=0有________个不同的解.2．设a、b为不相等的实数.若二次函数f(x)=x2+ax+b满足f(a)=f(b)，则f(2)的值为______.3．已知定义在R上的奇函数f(x)，它的图象关于直线x=2对称．当0<x≤2时，f(x)=x+1，则f(−100)+ f(−101)=______．4．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=2，当时x>0时，f(x)是增函数，且对任意的x、y∈R，都有f(x+y )=f(x)+f(y)．则函数f(x)在区间[−3,−2]上的最大值是______．5．设函数f(x)=1−4x2x−x，则不等式f(1−x2)+f(5x−7)<0的解集为________.6．若x、y∈R，且2x=18y=6xy，则x+y=___________。
第05讲 集合函数20212021全国高中数学联赛分类汇编
2021-2021全国高中数学联赛分类汇编第05讲：集合函数一、（2021一试1）若函数()21x f x x =+且()()()n nf x f f f f x ⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()991f = ． 【答案】110【解析】()()()121x f x f x x==+，()()()2212x f x f f x x==⎡⎤⎣⎦+，……，()()992199x f x x=+．故()()991110f =． 二、（2021一试6）若方程()lg 2lg 1kx x =+仅有一个实根，那么k 的取值范围是 ． 【答案】0k <或4k = 【解析】当且仅当 0kx > ① 10x +>② ()2210x k x +-+=③对③由求根公式得1x ，221242x k k k ⎡⎤=-±-⎣⎦ ④2400k k k ∆=-⇒≥≤或4k ≥．(ⅲ)当4k >时，由③得12122010x x k x x +=->⎧⎨=>⎩，所以1x ，2x 同为正根，且12x x ≠，不合题意，舍去．综上可得0k <或4k =为所求． 3、（2010一试1）函数x x x f 3245)(---=的值域是 .【答案】]3,3[-【解析】易知)(x f 的概念域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 4、（2021一试5）函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 . 【答案】41-【解析】令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ； 当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g . 综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.五、（2021一试1）设集合},,,{4321a a a a A =，若A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为}8,5,3,1{-=B ，则集合=A ．【答案】{3,0,2,6}-.六、（2021一试2）函数11)(2-+=x x x f 的值域为 ．【答案】2(,](1,)2-∞-+∞ 【解析】设22,tan πθπθ<<-=x ，且4πθ≠，则)4sin(21cos sin 11tan cos 1)(πθθθθθ-=-=-=x f ．设)4sin(2πθ-=u ，则12<≤-u ，且0≠u ，所以 ),1(]22,(1)(+∞--∞∈= u x f ．学@科网7、（2021一试6）设()f x 是概念在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[2,).+∞【解析】由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()(2).f x f x =因此,原不等式等价于()(2).f x a f x +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以2,x a x +≥即(21).a x ≥-又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,(21)x -取得最大值21)(2).a +因此,(21)(2),a a ≥+解得 2.a ≥故a 取值范围是2,).+∞八、（2021一试1）设集合{}2,0,1,3A =，集合{}2|,2B x x A x A =-∈-∉.则集合B 中所有元素的和为 . 【答案】-5九、（2021一试5）设,a b 为实数，函数()f x ax b =+知足：对任意[]0,1x ∈，有()1f x ≤.则ab 的最大值为 . 【答案】14. 【解析】易知()()10a f f =-，()0b f =，则()()()()()()()()()()222111101001112444ab f f f f f f f ⎛⎫=⋅-=--+≤≤ ⎪⎝⎭.当()()2011f f ==±，即12a b ==±时，14ab =.故ab 的最大值为14. 10、（2021一试1）若正数b a ,知足)log(log 3log 232b a b a +=+=+,则ba 11+的值为__________. 【答案】108【解析】212342log 3log log (),2,3,k k a b a b k a b --+=+=+===设则1一、（2021一试3）若函数|1|)(2-+=x a x x f 在),0[+∞上单调递增，则a 的取值范围为_______. 【答案】[-2,0].【解析】2[1,)()1, 2.2af x x ax a a +∞=+-≤≥-在上，单调递增，等价于-即在 1二、(2021一试1)设,a b 为不相等的实数,若二次函数2()f x x ax b =++知足()()f a f b =,则(2)f 的值是 . 【答案】4【解析】由已知条件及二次函数图象的轴对称性，可得22a b a+=-，即20a b +=，所以 13、（2021一试3）正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为 . 【答案】5414、（2021一试1）设()f x 是概念在R 上的函数，对任意实数x 有(3)(4)1f x f x +-=-.又当07x ≤<时，2()log (9)f x x =-，则(100)f -的值为 .【答案】12-【解析】由条件知，1(14)().(7)f x f x f x +=-=+所以1五、（2021一试9）设函数|)1lg(|)(+=x x f ，实数)(,b a b a <知足)21()(++-=b b f a f ，2lg 4)21610(=++b a f ，求b a ,的值．【解析】因为)21()(++-=b b f a f ，所以|)2lg(||)21lg(||)121lg(||)1lg(|+=+=+++-=+b b b b a ， 所以21+=+b a 或1)2)(1(=++b a ，又因为b a <，所以21+≠+b a ，所以1)2)(1(=++b a ． 又由|)1lg(|)(+=a a f 成心义知10+<a ，从而2110+<+<+<b b a ， 于是2110+<<+<b a ．所以 1210)2(6)2(6)1(101)21610(>+++=+++=+++b b b a b a ． 从而 ]210)2(6lg[|]210)2(6lg[|)21610(+++=+++=++b b b b b a f ． 又2lg 4)21610(=++b a f ，所以2lg 4]210)2(6lg[=+++b b ， 故16210)2(6=+++b b ．解得31-=b 或1-=b （舍去）． 把31-=b 代入1)2)(1(=++b a 解得52-=a ． 所以 52-=a ，31-=b ．1六、（2021二试3）（本题满分50分）设S={1，2,3，…，100}.求最大的整数k ，使得S 有k 个互不相同的非空子集，具有性质：对这k 个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同.当n=3时，将{1，2,3}的全数7个非空子集分成3组，第一组：{3}，{1,3}，{2,3}；第二组：{2}，{1,2}；第三组：{1}，{1,2,3}.由抽屉原理，任意4个非空子集必有两个在同一组中，取同组中的两个子集别离记为,i j A A ，排在前面的记为i A ，则知足（1）. 假设结论在n(n ≥3)时成立，考虑n+1的情形.若122,,,n A A A 中至少有12n -个子集不含n+1，对其中的12n -个子集用归纳假设，可知存在两个子集知足（1）. 若最多有121n --个子集不含n+1,则至少有121n -+个子集含n+1,将其中121n -+子集都去掉n+1,取得{1,2，…，n}的121n -+个子集.由于{1,2，…，n }的全部子集可分成12n -组，每组两个子集互补，故由抽屉原理,在上述121n -+个子集中必然有两个属于同一组，即互为补集.因此，相应地有两个子集,i j A A ，知足ij A A ={n+1},这两个集合显然知足（1），故n+1时结论成立.综上所述，所求99max 21k =-.学科*网17、（2021一试 10）(本题满分20分)设1234,,,a a a a 是四个有理数,使得{|14}i j a a i j ≤<≤,31{24,2,,,1,3}28=----求1234a a a a +++的值.1八、（2021二试2）(本题满分40分)设12{,,,}n S A A A =,其中12,,,n A A A 是n 个互不相同的有限集合(2)n ≥,知足对任意,i j A A S ∈,均有i j A A S ∈,若1min ||2i i nk A ≤≤=≥,证明:存在1n i i x A =∈,使得x 属于12,,,n A A A 中的至少nk个集合(这里||X 表示有限集合X 的元素个数) 1九、（2021一试10）（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0<x ，均有)()1(x xf x xf =-. 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)511()501(f f +的值.【解析】设n nf a n )(1(==1，2，3，…），则1)1(1==f a .在)()1(x xf x x f =-中取*)(1N k kx ∈-=，注意到111111+=---=-k k k x x ，及)(x f 为奇函数.可知 即k a a k k 11=+，从而)!1(11111111-==•=∏∏-=-=+n ka a a a n k n k k k n . 因此50504910111011(1)!(100)!!(99)!i ii i i a ai i i i -=====--•-∑∑∑。