概率论_课件 2.3

xp( x)dx 。
数学期望简称为期望，又称为均值。
几何意义：
期望是分布密度曲线与 x 轴之间的平面 图形的重心的横坐标。
E
xi pi
i
xp(x)dx
ξ是离散随机变量 ξ是连续随机变量
数学期望的本质---加权平均 数学期望是个数值！不再是随机变量！
例l.甲乙两台自动机床生产同一种标准件，生产1000只
X
2 的概率密度密度为:
p(
x)
b
1
a
,
0,
a xb ,
其它
则 EX
b a
x
b
1
a
dx
1 2(b
a
)
x2
b a
b2 a2 a b 2(b a) 2
例2.3.4 设随机变量 X 服从柯西分布，其密度函数为
p
(x)
1 (1
x2
)
,
x
求数学期望 EX.
解： EX
x
(1
1
x
2
)
dx
x 0 1 x2
dx
1 2
ln(1
x2
)
0
发散
所以
|x| 1 x2
dx发散，
即
x 1 x2
dx
不是绝对收敛，
故 EX 不存在。
随机变量的数学期望不一定存在。
随机变量函数的数学期望 及数学期望的性质
3
一. 随机变量的函数的数学期望 随机变量的函数, 仍是随机变量
例 通过测量圆轴直径d, 得到截面面积 A 1 d 2 4
解：设该外贸企业年初进货t 吨，显然，
2000≤t≤4000,该企业年终利润是一随机变量，记为Y,
则
Y
g(
X
)
3
X
3t (t
X
)
X t X t
3t 4X
t
X t X t
又
1
f
X
(
x
)
2000
2000 x 4000
0
其它
5
E(Y )
g( x) f ( x)dx
4000 2000
1200, 0X1.2
Y f(X)1600400, 1.2X2
1600,
X2
EY Ef ( X ) f ( x) p( x)dx
1.2 1
(1200)
1 x2
dx
2 1200
1.2
1 x2
dx
2
1600
1 x2
dx
1000
例. 设随机变量X表示国际市场上每年对我国某外
贸企业某种出口商品的需求量 (单位:吨),其服从 区间[2000，4000]上的均匀分布，且每售出一吨这 种商品，一年可为企业赚得外汇3万元，但假如销 售不出去而囤积于仓库，则每吨这种商品一年需花 费保管费外汇1万元，试问年初该外贸企业需组织 多少吨货物，才能使该企业年终利润的数学期望达 到最大？
若d是随机变量,则A是随机变量, 称为随机变量的函数. 例 某商店的某种商品的销售量是随机变量X, 销售该商品 的利润Y也是随机变量,它是X的函数 f (X), 即Y = f (X)
需要求 EY=?
. 随机变量 Y 是随机变量 ξ 的函数，Y f ( )
1)随机变量ξ是离散的，
分布律为 P( xk ) pk ， k 1,2,,n
xl ml (xl )
总计 n 1
计算随机变量 X 的样本平均值：
x
x1m1 x2 m2 xl ml n
1 n
l
xim i
i 1
或者，
x
x1
m1 n
x2
m2 n
xi
ml n
l
x1 (x1 ) x2 (x2 )xl (xl ) xi (xi )
i1
与期望 E( X ) = xi pi 比较
i1 70.0
为这 3 个数字的加权平均
数学期望的概念源于此
数学期望的定义
离散随机变量的数学期望
定义：设离散型随机变量 的分布律为
ξ
x1 x2 … x i …
pk p1 p2 … pi …
若级数 xi pi 绝对收敛，则称级数 xi pi 的和
i 1
i 1
为随机变量 的数学期望，记为 E( ) 或 E 。
即 E( ) = xi pi 。 i 1
1
连续随机变量的数学期望
定义：设连续型随机变量 的概率密度为 p( x) ，若
积分 xp( x)dx 绝对收敛（即 | x | p( x)dx 存
在），则称积分 xp( x)dx 的值为随机变量
的数学期望。记为 E( ) 或 E 。即
E( ) =
(1) X 的分布律为
X 10 30 50
pk 1/6 3/6 2/6
候车时间的数学期望为
E(
X
)
10
1 6
30
3 6
50
2 6
33.33 （分钟）
(2) X 的分布律为
X 10 30
50
70
90
pk 3
2
6
6
1 1 66
3 1 66
2 1 66
E( X ) 10 3 30 2 50 1 70 3 90 2
n
则 EY f (xk ) pk k 1
分布律为 P( ξ xk ) pk ， k 1,2,,
则 EY f (xk ) pk . k 1
2). 连续的情况下,
E
xp(x)dx
xdF
(
x)
随机变量函数的期望
Ef ( )
f (x) p(x)dx
f
( x)dF
(x)
引例
学生甲乙参加数学竞赛, 观察其胜负
初 复决 赛 赛赛
总 成 算术 绩 平均
加权平均
3:3:4 2:3:5 2:2:6
甲 90 85 53 228 76 73.7 70.0 66.8 乙 88 80 57 225 75 73.2 70.1 67.8
胜者 甲 甲 乙 甲 甲 甲 乙 乙
称
3
xi pi 90 0.2 85 0.3 53 0.5
E (Y2 ) ( 1) 0.6 1 0.3 3 0.1 0 E ( Z1 ) 0 0 1 0.2 4 0.8 3.4 E (Z2 ) 0 0.6 1 0.3 4 0.1 0.7
例 已知随机变量 X 的概率密度为
p
(x)
1 b a
,
0,
a x b 其它 ,
因为 E( X ) E(Y )
所以机床甲的质量好一些
注意：随机变量的数学期望与实际进行的试
验中所得随机变量的观测值的算术平
均值（称为样本平均值）有密切的关
系。 设 进 行 n 次 独 立 试 验 ，得 到 随 机 变 量 X 的
统计分布如下：
X 频数 频率
x1 m1 (x1)
x2 m2 (x2 )
2.3 数学期望
分布函数能完整地描述 r.v.的统计特性, 但实际应用中并不都需要知道分布函数，而 只需知道 r.v.的某些特征.
例如：
判断棉花质量时, 既看纤维的平均长度又要看 纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度越长,偏离 程度越小, 质量就越好;
考察一射手的水平, 既要看他的平均环数是否高, 还 要看他弹着点的范围是否小, 即数据的波动是否小.
i 1
上式中，只是用频率 (xi ) 代替了概率 pi
已知，当试验次数很大时，事件{ X xi }的频率 (xi ) 在 对应的概率 pi 附近摆动，所以，当试验次数很大时，随 机变量 X 的样本平均值 x 将在随机变量 X 的数学期望 E( X ) 附近摆动。
2
例 2.按规定，某车站每天 8:00~9:00,9:00~10:00 都恰有
条件: 绝对收敛
n
EY f (xk ) pk k 1
例 甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为 X1 、
X2 它们的分布律分别为
X1 0 1 2
X2 0 1 2
pk 0 0.2 0.8
pk 0.6 0.3 0.1
求 Yi
2Xi
1, 和 Ziຫໍສະໝຸດ X2 i(i
1,2) 的数学期望。
解：E(Y1) (1) 0 1 0.2 3 0.8 2.6
6
6
36
36
36
27.22 （分钟）
两点分布（0-1分布）
若 的分布律为 P( x) px (1 p)1 x , x 0,1 ，
则 E( ) = p . [证] E( ) = 0 (1 p) 1 p = p .
均匀分布
若X ~ U (a, b), 则EX a b .
已知随机变量
1 x2
,
x
1
(单位 : 万小时)
0, 其它 公司每售出一台机器可获利1600元,若机器售出后使用1.2万
小时之内出故障,则予以更换,这时每台亏损1200元;若在1.2万
到2万小时之间出故障,予以维修, 公司负担维修费400元;使用
2万小时之后,则用户自己负责.求公司每台机器的平均获利.
解 设Y 表示售出一台机器的获利, 则
4. f ( )、g( )都是随机变量的连续或分段连续函数， 数学期望都存在, 则
E f ( ) g( ) Ef ( ) Eg( )
5. f ( ) g( )都是随机变量的连续或分段连续 函数，对应期望都存在；则
Ef ( ) Eg( )
例 某公司生产的机器无故障工作时间X有密度函数
p(
x)