2018年山西省太原高考数学二模试卷(理科)Word版含解斩

2018年山西省太原五中高考二模试卷（理科数学）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R ，A={x|x 2﹣2x ＜0}，B={x|x ≥1}，则A ∪（∁U B ）=（ ） A ．（0，+∞） B ．（﹣∞，1） C ．（﹣∞，2） D ．（0，1） 2．已知复数，则（ ）A ．z 的共轭复数为1+iB ．z 的实部为1C ．|z|=2D ．z 的虚部为﹣13．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为（ ） A ．a=45，c=15 B ．a=40，c=20 C ．a=35，c=25 D ．a=30，c=30 4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4033是函数的极值点，则log 6a 2017=（ ）A ．1B ．2C ．D ．﹣15．已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域上一个动点，则•的最大值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．06．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（ ）A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.1517．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．C．7 D．9．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．9610．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．11．已知双曲线Γ：﹣=1（a＞0，b＞0）的焦距为2c，直线l：y=kx﹣kc．若k=，则l与Γ的左、右两支各有一个交点；若k=，则l与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为（ ）A ．（1，2）B ．（1，4）C ．（2，4）D ．（4，16）12．已知函数，如在区间（1，+∞）上存在n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，x 3，…，x n ，使得比值==…=成立，则n 的取值集合是（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{2，3，4}二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知=（，），=（2cos α，2sin α），与的夹角为60°，则|﹣2|= ．14．已知（2x 2+x ﹣y ）n 的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x 5y 2的系数为 ．（用数字作答）15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为 ．（容器壁的厚度忽略不计）16．对于正整数n ，设x n 是关于x 的方程nx 3+2x ﹣n=0的实数根，记a n =[（n+1）x n ]（n ≥2），其中[x]表示不超过实数x 的最大整数，则（a 2+a 3+…+a 2015）= ．三．解答题17．如图，在平面四边形ABCD中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB边上取点E，使得BE=1，连接EC，ED．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin∠BCE的值；（Ⅱ）求CD的长．18．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考数据：，， =17.5．参考公式：回归直线方程为其中=， =﹣．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且．（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），点A（1，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M 、N 时，能在直线y=上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．21．已知函数f （x ）=ln （x+1），g （x ）=x 2﹣x ．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f （x ）相切的直线方程；（Ⅱ）设h （x ）=af （x ）+g （x ），其中a 为非零实数，若y=h （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：2h （x 2）﹣x 1＞0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），直线C 2的方程为y=，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求+．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）求不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集．（Ⅱ）设a，b，均为正数，，证明：h≥2．2018年山西省太原五中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）1．已知全集U=R，A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x≥1}，则A∪（∁B）=（）UA．（0，+∞）B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2） D．（0，1）【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，根据全集R及B，求出B的补集，找出A与B补集的并集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0＜x＜2，∴A=（0，2），∵全集U=R，B={x|x≥1}，B=（﹣∞，1），∴∁UB）=（﹣∞.2），则A∪（∁U故选：C．2．已知复数，则（）A．z的共轭复数为1+i B．z的实部为1C ．|z|=2D ．z 的虚部为﹣1【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数的代数形式的混合运算化简复数为：a+bi 的形式即可判断选项．【解答】解：复数==﹣1﹣i ，可得，复数的虚部为：﹣1． 故选：D ．3．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X与Y 有关系的可能性最大的一组为（ ） A ．a=45，c=15 B ．a=40，c=20 C ．a=35，c=25 D ．a=30，c=30 【考点】BO ：独立性检验的应用． 【分析】根据题意，a 、c 相差越大，与相差就越大，由此得出X 与Y 有关系的可能性越大．【解答】解：根据2×2列联表与独立性检验的应用问题， 当与相差越大，X 与Y 有关系的可能性越大；即a 、c 相差越大，与相差越大；故选：A ．4．正项等比数列{a n }中的a 1，a 4033是函数的极值点，则log 6a 2017=（ ）A ．1B ．2C ．D ．﹣1【考点】88：等比数列的通项公式；6D ：利用导数研究函数的极值． 【分析】f′（x ）=x 2﹣8x+6，由正项等比数列{a n }中的a 1，a 4033是函数的极值点，利用韦达定理得a 1×a 4033=6，从而=，由此能求出log 6a 2017．【解答】解：∵，∴f′（x ）=x 2﹣8x+6，∵正项等比数列{a n }中的a 1，a 4033是函数的极值点，∴a 1×a 4033=6，∴=，∴log 6a 2017=．故选：C ．5．已知O 是坐标原点，点A （﹣1，1），若点M （x ，y ）为平面区域上一个动点，则•的最大值为（ ） A ．3B ．2C ．1D ．0【考点】7C ：简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=•，求出z 的表达式，利用z 的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=•，∵A （﹣1，1），M （x ，y ），∴z=•=﹣x+y ，即y=x+z ，平移直线y=x+z ，由图象可知当y=x+z ，经过点B （0，2）时，直线截距最大，此时z 最大为z=﹣0+2=2． 故选：B ．6．我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生（0，1）内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为（）A．3.119 B．3.126 C．3.132 D．3.151【考点】EF：程序框图．【分析】我们可分析出程序的功能是利用随机模拟实验的方法求任取（0，1）上的x，y，z，求x2+y2+z2＜1的概率，计算x2+y2+z2＜1发生的概率为=，代入几何概型公式，即可得到答案．【解答】解：x2+y2+z2＜1发生的概率为=，当输出结果为521时，i=1001，m=521，x2+y2+z2＜1发生的概率为P=，∴=，即π=3.126，故选B．7．过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，且|AF|=2|BF|，则直线AB的斜率为（）A．B．C．或D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】当点A在第一象限，通过抛物线定义及|AF|=2|BF|可知B为CE中点，通过勾股定理可知|AC=2|BC|，进而计算可得结论．【解答】解：如图，点A在第一象限．过A、B分别作抛物线的垂线，垂足分别为D、E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=2|BF|，∴|AD|=|CE|=2|BE|，即B为CE中点，∴|AB|=3|BC|，在Rt△ABC中，|AC|=2|BC|，∴直线l的斜率为=2；当点B在第一象限时，同理可知直线l的斜率为﹣2，∴直线l的斜率为±2，故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．5 B．C．7 D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个正方体切去一个底面边长为1的直角三角形，高为2的三棱锥和切去一个底面为边长为1和2的直角三角形，高为2的三棱柱．从而可得该几何体的体积．【解答】解：由已知的三视图，可知该几何体是一个正方体切去一个底面边长为1的直角三角形，高为2的三棱锥和切去一个底面为边长为1和2的直角三角形，高为2的三棱柱．从而可得该几何体的体积．∴三棱锥的体积，三棱柱的体积．正方体的体积V=2×2×2=8．故得：该几何体的体积．故选D．9．小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为（）A．60 B．72 C．84 D．96【考点】D8：排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，分3种情况讨论：①、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻，②、小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻，③、小明的父母都与小明相邻，分别求出每一种情况下的排法数目，由分类计数原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有C21=2种情况，将小明与选出的家长看成一个整体，考虑其顺序有A22=2种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有A22×A32=12种安排方法，此时有2×2×12=48种不同坐法；②、若小明的父母的只有1人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有2种情况，考虑父母之间的顺序，有2种情况，则这个整体内部有2×2=4种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时有2×2×6=24种不同坐法；③、小明的父母都与小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将3人看成一个整体，考虑父母的顺序，有A22=2种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有A33=6种情况，此时，共有2×6=12种不同坐法；则一共有48+24+12=84种不同坐法；故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g（x）的图象．若g（x1）g（x2）=9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则2x1﹣x2的最大值为（）A．B．C．D．【考点】3H ：函数的最值及其几何意义；3O ：函数的图象．【分析】由已知可得g （x ）=+1，若g （x 1）g （x 2）=9，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，则g （x 1）=g （x 2）=3，则，结合x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，可得答案．【解答】解：函数的图象向左平移个单位，可得y=的图象，再向上平移1个单位，得到g （x ）=+1的图象．若g （x 1）g （x 2）=9，且x 1，x 2∈[﹣2π，2π]， 则g （x 1）=g （x 2）=3，则，即，由x 1，x 2∈[﹣2π，2π]，得：x 1，x 2∈{﹣，﹣，，}，当x 1=，x 2=﹣时，2x 1﹣x 2取最大值，故选：A11．已知双曲线Γ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的焦距为2c ，直线l ：y=kx ﹣kc ．若k=，则l 与Γ的左、右两支各有一个交点；若k=，则l 与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为（ ）A ．（1，2）B ．（1，4）C ．（2，4）D ．（4，16） 【考点】KC ：双曲线的简单性质．【分析】由题意可知双曲线的渐近线斜率＜＜，根据e==，即可求得Γ的离心率的取值范围．【解答】解：由题意可知：直线l ：y=k （x ﹣c ）过焦点F （c ，0）．双曲线的渐近线方程y=x ，可得双曲线的渐近线斜率＜＜，∵e==，由3＜＜15，4＜1+＜16，∴2＜e ＜4，∴双曲线离心率的取值范围为（2，4）． 故选C ．12．已知函数，如在区间（1，+∞）上存在n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，x 3，…，x n ，使得比值==…=成立，则n 的取值集合是（ ）A ．{2，3，4，5}B ．{2，3}C ．{2，3，5}D ．{2，3，4} 【考点】5B ：分段函数的应用．【分析】==…=的几何意义为点（x n ，f （x n ））与原点的连线有相同的斜率，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：∵的几何意义为点（x n ，f （x n ））与原点的连线的斜率，∴==…=的几何意义为点（x n ，f （x n ））与原点的连线有相同的斜率，函数的图象，在区间（1，+∞）上，与y=kx 的交点个数有1个，2个或者3个， 故n=2或n=3，即n 的取值集合是{2，3}． 故选：B ．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知=（，），=（2cosα，2sinα），与的夹角为60°，则|﹣2|= ．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】运用向量的模的公式，求出||，||，再由向量数量积的定义可得•，运用向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到所求值．【解答】解： =（，），=（2cosα，2sinα），与的夹角为60°，可得||==1，||==2，•=||•||•cos60°=1×2×=1，则|﹣2|====．故答案为：．14．已知（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，则展开式中x5y2的系数为120 ．（用数字作答）【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】根据（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，求出n=5，将（2x2+x ﹣y）5=[（x2+x）﹣y]5，利用通项公式，求出x5y2的项，可得其系数．【解答】解：由题意，（2x2+x﹣y）n的展开式中各项系数的和为32，即2n=32，∴n=5，那么（2x2+x﹣y）5=[（x2+x）﹣y]5，通项公式Tr+1=，展开式中含有x5y2，可知r=2．那么（2x2+x）3中展开必然有x5，由通项公式，可得含有x5的项：则t=1，∴展开式中x5y2的系数为=120．故答案为120．15．鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为6，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为41π．（容器壁的厚度忽略不计）【考点】LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由题意，该球形容器的半径的最小值为=，即可求出该球形容器的表面积的最小值．【解答】解：由题意，该球形容器的半径的最小值为=，∴该球形容器的表面积的最小值为=41π．故答案为41π16．对于正整数n，设xn 是关于x的方程nx3+2x﹣n=0的实数根，记an=[（n+1）xn]（n≥2），其中[x]表示不超过实数x的最大整数，则（a2+a3+…+a2015）= 2017 ．【考点】8E ：数列的求和．【分析】根据条件构造f （x ）=nx 3+2x ﹣n ，求函数的导数，判断函数的导数，求出方程根的取值范围进行求解即可．【解答】解：设f （x ）=nx 3+2x ﹣n ，则f′（x ）=3nx 2+2， 当n 是正整数时，f′（x ）＞0，则f （x ）为增函数，∵当n ≥2时，f （）=n ×（）3+2×（）﹣n=•（﹣n 2+n+1）＜0，且f （1）=2＞0，∴当n ≥2时，方程nx 3+2x ﹣n=0有唯一的实数根x n 且x n ∈（，1），∴n ＜（n+1）x n ＜n+1，a n =[（n+1）x n ]=n ，因此（a 2+a 3+a 4+…+a 2015）=（2+3+4+…+2015）==2017，故答案为：2017．三．解答题17．如图，在平面四边形ABCD 中，已知∠A=，∠B=，AB=6，在AB 边上取点E ，使得BE=1，连接EC ，ED ．若∠CED=，EC=．（Ⅰ）求sin ∠BCE 的值； （Ⅱ）求CD 的长．【考点】HT ：三角形中的几何计算．【分析】（Ⅰ）在△CBE 中，正弦定理求出sin ∠BCE ；（Ⅱ）在△CBE 中，由余弦定理得CE 2=BE 2+CB 2﹣2BE•CBcos120°，得CB ．由余弦定理得CB 2=BE 2+CE 2﹣2B E•CEcos∠BEC ⇒cos ∠BEC ⇒sin ∠BEC 、cos ∠AED 在直角△ADE 中，求得DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD 2=CE 2+DE 2﹣2CE•DEcos120°即可【解答】解：（Ⅰ）在△CBE 中，由正弦定理得，sin ∠BCE=，（Ⅱ）在△CBE 中，由余弦定理得CE 2=BE 2+CB 2﹣2BE•CBcos120°，即7=1+CB 2+CB ，解得CB=2．由余弦定理得CB2=BE2+CE2﹣2BE•CEcos∠BEC⇒cos∠BEC=．⇒sin∠BEC=，sin∠AED=sin=，⇒cos∠AED=，在直角△ADE中，AE=5，═cos∠AED=，⇒DE=2，在△CED中，由余弦定理得CD2=CE2+DE2﹣2CE•DEcos120°=49∴CD=7．18．随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系．求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份的市场占有率；（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限各不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元．不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？参考数据：，， =17.5．参考公式：回归直线方程为其中=， =﹣．【考点】BK：线性回归方程．【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；（Ⅱ）分别计算相应的数学期望，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意， =3.5， =16， ==2， =﹣•=16﹣2×3.5=9，∴=2x+9，x=7时， =2×7+9=23，即预测M公司2017年4月份（即x=7时）的市场占有率为23%；（Ⅱ）由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，∴每辆A款车的利润数学期望为×0.2+×0.35+×0.35+×0.1=175元；每辆B款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，∴每辆B款车的利润数学期望为×0.1+×0.3+×0.4+×0.2=150元；∵175＞150，∴应该采购A款车．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且．（Ⅰ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值．【考点】MI：直线与平面所成的角；LT：直线与平面平行的性质．【分析】（Ⅰ）取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为所求；（Ⅱ）以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，由已知可得A，E，B，C，F的坐标，进一步求出平面ECF的法向量及，设直线EB与平面ECF所成的角为θ，则sinθ=|cos＜＞|=||=．【解答】解：（Ⅰ）取线段CD的中点Q，连结KQ，直线KQ即为所求．如图所示：（Ⅱ）以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），∴，，，设平面ECF 的法向量为，由，得，取y=1，得平面ECF 的一个法向量为，设直线EB 与平面ECF 所成的角为θ，∴sin θ=|cos ＜＞|=||=．20．已知椭圆C ： +=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0），点A（1，）在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）是否存在斜率为2的直线l ，使得当直线l 与椭圆C 有两个不同交点M 、N 时，能在直线y=上找到一点P ，在椭圆C 上找到一点Q ，满足=？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）方法一、运用椭圆的定义，可得a ，由a ，b ，c 的关系，可得b=1，进而得到椭圆方程；方法二、运用A 在椭圆上，代入椭圆方程，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）设直线l 的方程为y=2x+t ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 3，），Q （x 4，y 4），MN 的中点为D （x 0，y 0），联立椭圆方程，运用判别式大于0及韦达定理和中点坐标公式，由向量相等可得四边形为平行四边形，D 为线段MN 的中点，则D 为线段PQ 的中点，求得y 4的范围，即可判断．【解答】解：（Ⅰ）方法一：设椭圆C 的焦距为2c ，则c=1，因为A （1，）在椭圆C 上，所以2a=|AF 1|+|AF 2|=+=2，因此a=，b 2=a 2﹣c 2=1，故椭圆C 的方程为+y 2=1；方法二：设椭圆C 的焦距为2c ，则c=1，因为A （1，）在椭圆C 上，所以c=1，a 2﹣b 2=c 2， +=1，解得a=，b=c=1，故椭圆C 的方程为+y 2=1；（Ⅱ）设直线l 的方程为y=2x+t ，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x 3，），Q （x 4，y 4），MN 的中点为D （x 0，y 0），由消去x ，得9y 2﹣2ty+t 2﹣8=0，所以y 1+y 2=，且△=4t 2﹣36（t 2﹣8）＞0故y 0== 且﹣3＜t ＜3，由=，知四边形PMQN 为平行四边形，而D 为线段MN 的中点，因此D 为线段PQ 的中点，所以y 0==， 可得y 4=，又﹣3＜t ＜3，可得﹣＜y 4＜﹣1， 因此点Q 不在椭圆上，故不存在满足题意的直线l ．21．已知函数f （x ）=ln （x+1），g （x ）=x 2﹣x ．（Ⅰ）求过点（﹣1，0）且与曲线y=f （x ）相切的直线方程；（Ⅱ）设h （x ）=af （x ）+g （x ），其中a 为非零实数，若y=h （x ）有两个极值点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：2h （x 2）﹣x 1＞0．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程；6D ：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出f （x ）的导数，设出切点，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得切点坐标，进而得到所求切线的方程；（Ⅱ）求出h （x ）的解析式和导数，讨论a ＜0，0＜a ＜1，a ≥1，求出极值点和单调区间，由2h （x 2）﹣x 1＞0等价为2h （x 2）+x 2＞0，由x 2=，可得a=1﹣x 22，即证明2（1﹣x 22）ln （x 2+1）+x 22﹣x 2＞0，由0＜x 2＜1，可得1﹣x 2＞0，即证明2（1+x 2）ln （x 2+1）﹣x 2＞0，构造函数t （x ）=2（1+x ）ln （1+x ）﹣x ，0＜x ＜1，求出导数判断单调性，即可得证．【解答】解：（Ⅰ）函数f （x ）=ln （x+1）的导数为f′（x ）=，设切点为（x 0，y 0），则切线的斜率为k=，点（x 0，y 0）在f （x ）=ln （x+1）上，则y 0=ln （1+x 0），可得=，解得x 0=e ﹣1，可得切线的斜率为，则切线方程为y ﹣0=（x+1）， 即为x ﹣ey+1=0；（Ⅱ）证明：h （x ）=af （x ）+g （x ）=aln （x+1）+x 2﹣x ，导数h′（x ）=+x ﹣1=，x ＞﹣1，当a ﹣1≥0时，即a ≥1时，h′（x ）≥0，h （x ）在（﹣1，+∞）上单调递增；当0＜a ＜1时，由h′（x ）=0得，x 1=﹣，x 2=，故h （x ）在（﹣1，﹣）上单调递增，在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增；当a ＜0时，由h′（x ）=0得，x 0=，h （x ）在（﹣，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．当0＜a ＜1时，h （x ）有两个极值点，即x 1=﹣，x 2=，可得x 1+x 2=0，x 1x 2=a ﹣1，由0＜a ＜1得，﹣1＜x 1＜0，0＜x 2＜1，由2h （x 2）﹣x 1＞0等价为2h （x 2）+x 2＞0，即为2aln （x 2+1）+x 22﹣x 2＞0，由x 2=，可得a=1﹣x 22，即证明2（1﹣x 22）ln （x 2+1）+x 22﹣x 2＞0，由0＜x 2＜1，可得1﹣x 2＞0， 即证明2（1+x 2）ln （x 2+1）﹣x 2＞0，构造函数t （x ）=2（1+x ）ln （1+x ）﹣x ，0＜x ＜1，t′（x ）=2（1+x ）•+2ln （x+1）﹣1=1+2ln （1+x ）＞0，t （x ）在（0，1）上单调递增，又t （0）=0，所以t （x ）＞0在（0，1）时恒成立， 即2（1+x 2）ln （x 2+1）﹣x 2＞0成立 则2h （x 2）﹣x 1＞0．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为（α为参数），直线C 2的方程为y=，以O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，（1）求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；（2）若直线C 2与曲线C 1交于A ，B 两点，求+．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH ：参数方程化成普通方程． 【分析】（1）利用三种方程的转化方法，即可得出结论；（2）利用极坐标方程，结合韦达定理，即可求+．【解答】解：（1）曲线C 1的参数方程为（α为参数），直角坐标方程为（x ﹣2）2+（y ﹣2）2=1，即x 2+y 2﹣4x ﹣4y+7=0，极坐标方程为ρ2﹣4ρcos θ﹣4ρsin θ+7=0直线C 2的方程为y=，极坐标方程为tan θ=；（2）直线C 2与曲线C 1联立，可得ρ2﹣（2+2）ρ+7=0，设A ，B 两点对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=2+2，ρ1ρ2=7，∴+==．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）求不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集．（Ⅱ）设a，b，均为正数，，证明：h≥2．【考点】R5：绝对值不等式的解法；72：不等式比较大小．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，得到﹣2＜﹣2x﹣1＜0，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）求出h3≥8，从而求出h的范围．【解答】解：（Ⅰ）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0，解得：﹣＜x＜，则不等式的解集为（﹣，）．（Ⅱ）证明：，，故 h≥2．。