山东省泰安市宁阳县2017-2018学年九年级上学期期末质量检测数学试题(解析版)

2017-2018九年级上学期质量检测试题
一、选择题
1. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）
A. 3：4
B. 9：16
C. 9：1
D. 3：1
【答案】B
【解析】试题解析：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选B．
考点：1.平行四边形的性质;2.相似三角形的判定和性质.
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2. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，AD：BD=5：3，CF=6，则DE的长为（）
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
【答案】C
【解析】试题分析：由DE∥BC可得出∠ADE=∠B，结合∠ADE=∠EFC可得出∠B=∠EFC，进而可得出BD∥EF，结合DE∥BC可证出四边形BDEF为平行四边形，根据平行四边形的性质可得出DE=BF，由
DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质可得出BC=DE，再根据CF=BC-BF=DE=6，即可求出DE的长度．
解：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B.
∵∠ADE=∠EFC，
∴∠B=∠EFC，
∴BD∥EF，
∵DE∥BF，
∴四边形BDEF为平行四边形，
∴DE=BF.
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DE:BC=AD:AB=AD:(AD+BD)=5:8，
∴BC=DE，
∴CF=BC−BF=DE=6，
∴DE=10.
故选C.
3. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB=12，BM=5，则DE的长为（）
A. 18
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】试题解析：∵四边形ABCD是正方形，
即解得:
即解得:
故选B.
4. 在△ABC中，AC=6，BC=5，sinA=，∠A、∠B为锐角，则tanB=
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】过点C作CD⊥AB与点D，如图所示：
∵AC=6，sinA=，
∴CD=4.
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，BC=5，CD=3，
∴BD==3，
∴tanB==.
故选：.
5. 如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接AO，若∠B=40°，则∠OAC= ．
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
【答案】B
【解析】连接CO，
∵∠B=40°，
∴∠AOC=2∠B=80°，
∴∠OAC=（180°-80°）÷2=50°，
故选：B.
6. 如图，直线x=2与反比例函数y=、y=的图象分别交于A、B两点，若点P是y轴上任意一点，则△PAB 的面积是（）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】连接PA，PB，
∵一次函数x=2与反比例函数y=和y=−的图象分别交于A、B两点
∴点A的坐标为：(2，1)，点B的坐标为：(2，−)，
∴AB=1−(−)=，
∵P是y轴上任意一点，
∴P到直线AB的距离为2，
∴S△PAB=××2=.
故选：C.
7. 如图，点A是反比例函数y=（x＜0）的图象上的一点，过点A作平行四边形ABCD，使点B、C在x 轴上，点D在y轴上．已知平行四边形ABCD的面积为6，则k的值为（）
A. 6
B. 3
C. ﹣6
D. ﹣3
【答案】C
【解析】作AE⊥BC于E，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥x轴，
∴四边形ADOE为矩形，
∴S平行四边形ABCD=S矩形ADOE，
而S矩形ADOE=|−k|，
∴|−k|=6，
而k<0，即k<0，
∴k=−6.
故选：C.
8. 已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）
A. k≤4且k≠3
B. k＜4且k≠3
C. k＜4
D. k≤4
【答案】D
【解析】（1）当k=3时，函数y=2x+1是一次函数，
∵一次函数y=2x+1与x轴有一个交点，
∴k=3；
（2）当k≠3时，y=（k-3）x2+2x+1是二次函数，
∵二次函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，
∴b2-4ac≥0，
∵b2-4ac=22-4（k-3）=-4k+16，
∴-4k+16≥0，∴k≤4且k≠3，
综合（1）（2）可知，k的取值范围是k≤4，
故选D.
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点及根的判别式，解答此题时要注意分类讨论，不要漏解．
9. 如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0；②a+b+c＞0；③2a﹣b=0；④c﹣a=3，其中正确的有（）个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】B
【解析】试题分析：根据图像可得：二次函数与x轴有两个交点，则，故①错误；根据函数的对称性可知：当x=1时，y0，即a+b+c0，故②错误；根据题意可知：函数的对称轴为直线x=-1，即，则2a-b=0，则③正确；当x=-1时，y=3，则a-b+c=3，根据③可知b=2a，则a-b+c=a-2a+c=c-a=3，故④正确；故本题选B．
点睛：本题注意考查的就是二次函数图像与各系数之间的关系，属于中等难度题型．a的符号要看函数的开口方向，如果开口向上，则，如果开口向下，则；b的符号要看对称轴的位置，如果对称轴在y轴的左边，则b的符号与a的符号相同，如果对称轴在y轴的右边，则b的符号与a的符号相反；c的符号看图像与y轴的交点，交于正半轴，则，交于负半轴，则；2a+b或2a-b看对称轴与1或-1的大小；a+b+c就是看当x=1时的函数值；a-b+c就是看当x=-1时的函数值；看函数与x轴的交点个数，如果有两个交点则，一个交点时，没有交点时．
10. 如图，点I是△ABC的内心，∠BIC=126°，则∠BAC= ．
A. 54°
B. 63°
C. 70°
D. 72°
【答案】D
【解析】∵点I是△ABC的内心，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∵∠BIC=126°，
∴∠IBC+∠ICB=180°−∠CIB=54°，
∴∠ABC+∠ACB=2×54°=108°，
∴∠BAC=180°−(∠ACB+∠ABC)=72°.
故选：D.
11. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，则∠A的正弦值为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，
∴BC==5，
∴sin∠A==，
故选：D.
12. 如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为．
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A
【解析】连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：r2+122=(8+r)2，
解得r=5.
故选：A.
点睛：本题考查了切线的性质和勾股定理的应用，关键是得出直角三角形ABO，主要培养了学生运用性质进行推理的能力.
二、填空题（每题3分，5小题共15分）
13. 在平面直角坐标系中，点C、D的坐标分别为C（2，3）、D（1，0），现以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB．若点D的对应点B在x轴上且OB=2，则点C的对应点A的坐标为_____________．【答案】（4，6）或（﹣4，﹣6）
【解析】已知点D（1，0），点D的对应点B在x轴上，且OB=2，所以位似比为2，即可得点A的坐标为（2×2，3×2）或[2×（-2），3×（-2）],即点A的坐标为（4，6）或（-4，-6）.
14. 如图，已知⊙O内切于△ABC，切点分别为D、E、F，若∠A=50°，则∠EDF=________．
【答案】65°
【解析】连接OE、OF，
∵⊙O内切于△ABC，∴∠OEA=∠OFA=90°，∴∠EOF=180°﹣∠A=130°，
由圆周角定理得，∠EDF=∠EOF=65°.
15. 一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为_______．
【答案】y=﹣2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1
【解析】由题意可知：该抛物线的解析式为y=−2(x−h)2+k，
又∵顶点坐标(−1，3)，
∴y=−2(x+1)2+3=-2x2-4x+1，
故答案为：y=﹣2（x+1）2+3 或y=-2x2-4x+1.
16. 如图，直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣1，p），B（4，q）两点，则关于x的不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集是_________．
【答案】x＜﹣1或x＞4
【解析】观察函数图象可知：当x＜-1或x＞4时，直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方，
∴不等式mx+n＞ax2+bx+c的解集为x＜-1或x＞4．
故答案为x＜-1或x＞4．
17. 如图，Rt△ABC的两个锐角顶点A，B在函数y=（x＞0）的图象上，AC∥x轴，AC=2，若点A的坐标为（2，2），则点B的坐标为_______．
【答案】（4，1）
【解析】试题分析：∵点A（2，2）在函数（x＞0）的图象上，∴2=，得k=4，∵在Rt△ABC中，AC∥x轴，AC=2，∴点B的横坐标是4，∴y==1，∴点B的坐标为（4，1），故答案为：（4，1）．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征．
18. 若∠A为锐角，当tanA=时，cosA=__．
【答案】
【解析】∵∠A为锐角，tanA=，∴∠A=30°，
则cosA=cos30°=.
故答案为：.
三、解答题（7小题，共66分）
19. 选用适当的方法，解下列方程：（1）2x（x﹣2）=x﹣3；（2）（x﹣2）2=3x﹣6
【答案】（1） x=1或x=（2） x1=2，x2=5．
【解析】试题分析：（1）先化为一般式，再分解因式即可求解；
（2）先移项后，提取公因式分解因式，即可求解.
试题解析：（1）2x（x﹣2）=x﹣3，
2x2﹣5x+3=0，
（x-1）（2x-3）=0，
x-1=0或2x-3=0，
x=1或x=；
（2）（x﹣2）2=3x﹣6，
（x﹣2）2-3（x﹣2）=0，
（x﹣2）（x﹣2-3）=0，
x﹣2=0或x﹣5=0，
x1=2，x2=5.
20. 已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3=0 有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根．
【答案】（1）m＜6且m≠2；
（2）x1=﹣，x2=﹣2．
【解析】试题分析：（1）∵方程有两个不相等的实数2m根.
∴=b2-4ac=(2m)2-4(m-2)( m+3)＞0
∴m＜6且m≠2
（2）∵m取满足条件的最大整数
∴m=5
把m=5代入原方程得：3x2+ 10x + 8= 0
解得：
考点：一元二次方程的判别式
点评：本题考查一元二次方程的判别式，掌握一元二次方程的判别式与根的情况是解本题的关键
21. 如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于点O，过点A作AG⊥BD分别交BD、BC于点G、E．（1）求证：BE2=EG•EA；
（2）连接CG，若BE=CE，求证：∠ECG=∠EAC．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】分析：（1）由四边形ABCD是矩形，得到∠ABC=90°，得到∠ABC=∠BGE=90°，根据相似三角形的性质即可得到结论；（2）由（1）证得BE²=EG•EA，推出△CEG∽△AEC，根据相似三角形的性质即可得到结论.
本题解析：（1）证明：四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AE⊥BD，
∴∠ABC=∠BGE=90°，
∵∠BEG=∠AEB，
∴△ABE∽△BGE，
∴，
∴BE²=EG⋅EA；
(2)由(1)证得BE²=EG⋅EA，
∵BE=CE，
∴CE²=EG⋅EA，
∴，
∵∠CEG=∠AE C，
∴△CEG∽△AEC，
∴∠ECG=∠EAC.
22. 如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4，图2为其侧面展开图．
（1）求阴影部分面积（π可作为最后结果）；
（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜糖？
【答案】（1）S阴= 4π﹣8；（2）一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．【解析】试题分析：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C．设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π•1，求出n即可解决问题；
（2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度．
试题解析：（1）如图2中，作SE⊥AF交弧AF于C，
设图2中的扇形的圆心角为n°，由题意=2π•1，
∴n=90°，
∵SA=SF，
∴△SFA是等腰直角三角形，
∴ S△SAF= ×4×4=8
又S扇形S﹣AF=，
∴S阴=S扇形S﹣AF﹣S△SAF=﹣8=4π﹣8．
在图2中，∵SC是一条蜜糖线，AE⊥SC， AF=，AE=2，
∴一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬2个单位长度才能吃到蜜糖．
23. 如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡比DE:EC=1：，高为DE，在斜坡下的点C 处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）．
【答案】（1）斜坡CD的高度DE是5米；（2）大楼AB的高度是34米．
【解析】试题分析：（1）根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，高为DE，可以求得DE的高度；
（2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度．
试题解析：（1）∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：，
∴，
设DE=5x米，则EC=12x米，
∴（5x）2+（12x）2=132，
解得：x=1，
∴5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD的高度DE是5米；
（2）过点D作AB的垂线，垂足为H，设DH的长为x，
由题意可知∠BDH=45°，
∴BH=DH=x，DE=5，
在直角三角形CDE中，根据勾股定理可求CE=12，AB=x+5，AC=x-12，
∵tan64°=，
∴2=，
解得，x=29，AB=x+5=34，
即大楼AB的高度是34米．
24. 如图1，□OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC＝3，A(2，1)，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，将线段OA延长交y＝(x＞0)的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，①求直线BD的解析式；②求线段ED的长度．
【答案】（1）B(2，4)，反比例函数的关系式为y＝；（2）①直线BD的解析式为y＝－x＋6；②ED＝2【解析】试题分析：（1）过点A作AP⊥x轴于点P，由平行四边形的性质可得BP=4，可得B(2，4)，把点B坐标代入反比例函数解析式中即可；
（2）①先求出直线OA的解析式，和反比例函数解析式联立，解方程组得到点D的坐标，再由待定系数法求得直线BD的解析式；②先求得点E的坐标，过点D分别作x轴的垂线，垂足为G（4，0），由沟谷定理即可求得ED长度.
试题解析：（1）过点A作AP⊥x轴于点P，
则AP＝1，OP＝2，
又∵AB＝OC＝3，
∴B(2，4).，
∵反比例函数y＝(x＞0)的图象经过的B，
∴4＝，
∴k＝8.
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）①由点A（2，1）可得直线OA的解析式为y＝x．
解方程组，得，．
∵点D在第一象限，
∴D(4，2)．
由B(2，4)，点D(4，2)可得直线BD的解析式为y＝－x＋6；
②把y＝0代入y＝－x＋6，解得x＝6，
∴E(6，0)，
过点D分别作x轴的垂线，垂足分别为G，则G（4，0），
由勾股定理可得：ED＝.
点睛：本题考查一次函数、反比例函数、平行四边形等几何知识，综合性较强，要求学生有较强的分析问题和解决问题的能力.
25. 如图，抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y=﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值．
（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；（2）PN的最大值是；（3）PM的最大值是.
【解析】试题分析：（1）把B（3，0），C（0，-2）代入y=x2+bx+c解方程组即可得到结论；
（2）设P（m，m2-m-2），得到N（m，-m-），根据二次函数的性质即可得到结论；
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试题解析：（1）把B（3，0），C（0，﹣2）代入y=x2+bx+c，
得：，∴，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2；
（2）设P（m，m2﹣m﹣2），
∵PN∥y轴，N在直线AD上，
∴N（m，﹣m﹣），
∴PN=﹣m﹣﹣m2+m+2=﹣m2+m+，
∴当m=时，PN的最大值是；
（3）设P（m，m2﹣m﹣2），
∵PM∥x轴，M在直线AD上，M与P纵坐标相同，
把y=m2﹣m﹣2，代入y=﹣x﹣中，得x=﹣m2+2m+2，
∴M（﹣m2+2m+2，m2﹣m﹣2），
∴PM=﹣m2+2m+2 -m= ﹣m2+m+2
∴当m=时，PM的最大值是.
点睛：本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，二次函数的性质，正确理解题意是解题的关键.。