错在哪里

数 学

园 地错 在 哪 里1江苏盐城师院一附中曹大方(邮编:224002)

题 若抛物线C y =x 2log 2(a -2)-2x -6上的点到直线l 2x -y +4=0的最小距离不小于5,求实数a 的取值范围.

解 设过抛物线C 上的点M (x 0,y 0)的切线l 与l 平行,则k l =y |x =x 0=2x 0log 2(a-2)-2.由k l =k l ,得2x 0log 2(a-2)-2=2 x 0=

2log 2(a -2)

,所以y 0=x 20log 2(a -2)-2x 0-6=4lo g 22(a -2)!log 2(a -2)-4log 2(a -2)-6=-6,即点M 的坐标为2lo g 2(a-2),-6.点M 到l 的距离d =2!2log 2(a -2)+6+45=4log 2(a -2)+105就是抛物线C 上的点到直线l 的最小距离.由题意,4lo g 2(a -2)+105∀5 4log 2(a -2)+10∀5 4log 2(a -2)+10#-5,或4log 2(a -2)

+10∀5 15log 2(a-2)+4lo g 2(a-2)#0或5log 2(a-2)+4log 2(a -2)∀0 -415#lo g 2(a-2)<0或log 2(a-2)#-45或log 2(a-2)>0 2

-415#a-2<1或0

或a -2>1 2+2-415#a <3或2

#2+2-4

5或a >3.故23即为所求.解答错了!错在哪里?

错在忽略了题中的隐含条件.

由题意,抛物线C 与直线l 必定没有公共点.因为抛物线C 恒过定点(0,-6),且点(0,-6)在直线l 2x -y +4=0的下方,所以抛物线C 的开口只能向下(否则C 与l 必相交),于是lo g 2(a-2)<0,且抛物线C 上的点必须都在直线l 的下方,即x 2lo g 2(a -2)-2x -6<2x +4必须恒成立.这些都被上述错解忽略了.正解 由上述解法,得lo g 2(a -2)#-45或-415#log 2(a-2)<0或lo g 2(a -2)>0∃

由于抛物线C 恒过定点(0,-6),且点(0,-

6)在直线l 2x -y +4=0的下方,故满足题设的抛物线C 的开口必定向下(否则C 与l 必相交,与已知矛盾)从而与lo g 2(a-2)<0,且抛物线C 上所有点必都在直线l 的下方,即x 2lo g 2(a -2)-2x -6<2x +4,亦即x 2lo g 2(a -2)-4x -10<0必定恒成立.由log 2(a-2)<0且 =16+40log 2(a -2)<0,得

lo g 2(a -2)<-2

5

%由∃、%得log 2(a-2)#-

45 0

-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,在

正方体表面上与点A 距离

为233的点的集合形成一条曲线,这条曲线的长度为 .解 问题即以A 为球心,23

3为半径的球与正方体的六个面交线的长度,由于球面和平面的交线都是圆,故该曲线为六段圆弧(图中E FGH IJ ).