高中数学《球坐标系与柱坐标系》教案 新人教A版选修4
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计
人教版高中选修4-4四柱坐标系与球坐标系简介课程设计课程目标本课程旨在引导高中学生了解形式变量，学习如何应用数学知识来描述和解决问题。
通过本课程，学生将学习追踪点在三维空间中的运动的方程，并将使用四柱坐标系和球坐标系来描述和解决此类问题。
本课程将探讨以下重点：•四柱坐标系的基本原理和应用场景•球坐标系的基本原理和应用场景•如何将一个点的坐标从一个坐标系转换为另一个坐标系教学大纲课时一•介绍课程目标，概述课程内容。
•引导学生理解形式变量的概念，了解如何使用形式变量描述运动的方程。
•讲解四柱坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用四柱坐标系描述运动。
课时二•查看和解决熟练使用四柱坐标系描述运动的问题，并对于存在的疑惑做出解答。
•讲解球坐标系的概念和原理，演示应用场景。
•授课结束后，布置课后作业：熟练使用球坐标系描述运动。
课时三•查看和解决熟练使用球坐标系描述运动的问题，并就存在的疑惑进行解答。
•演示如何在四柱坐标系和球坐标系之间进行坐标转换。
•授课结束后，布置课后作业：熟练进行坐标转换。
课程重点四柱坐标系的基本原理和应用场景四柱坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由三个以原点为顶点的垂直平面构成，每个平面用直角坐标系来描述。
在四柱坐标系中，一个点的位置由其在三个坐标轴上的位置确定。
这个位置通常用一个三元组表示，例如(x,y,z)。
四柱坐标系通常用于描述在三维空间中的运动问题，例如运动的物体、飞行器、机器人等。
球坐标系的基本原理和应用场景球坐标系是三维空间中用于描述点和向量位置的坐标系统，由一个固定原点和一个点到原点的距离以及该点与原点之间的两个角度构成。
在球坐标系中，一个点的位置由三个分量确定：距离r，方位角 $\\theta$，天顶角 $\\phi$。
球坐标系通常用于描述绕点运动问题，例如在天体物理学中，用于描述运动星体相对于一个观测者或者一个中间点的运动修正。
高中数学 第1章坐标系教案 新人教版选修4-4
坐标系【基础知识导学】1、 坐标系包括平面直角坐标系、极坐标系、柱坐标系、球坐标系。
2、 “坐标法”解析几何学习的始终，同学们在不断地体会“数形结合”的思想方法并自始至终强化这一思想方法。
3、 坐标伸缩变换与前面学的坐标平移变换都是将平面图形进行伸缩平移的变换，本质是一样的。
应注意：通过一个表达式，平面直角坐标系中坐标伸缩变换将x 与y 的伸缩变换统一成一个式子了，即⎩⎨⎧>='>=0,0,/μμλλy y x x 我们在使用时，要注意对应性，即分清新旧。
【知识迷航指南】【例1】（2005年江苏）圆O 1与圆O 2的半径都是1，|O 1O 2|=4，过动点P 分别作圆O 1、圆O 2的切线PM 、PN （M 、N 分别为切点），使得PM=2PN ，试建立适当的坐标系，求动点P 的轨迹方程。
解：以直线O 1O 2为X 轴，线段O 1O 2的垂直平分线为Y轴，建立平面直角坐标系，则两圆的圆心坐标分别为O 1（-2，0），O 2（2，0），设P （y x ,） 则PM 2=PO 12-MO 12=1)2(22-++y x同理，PN 2=1)2(22-+-y x因为PM=2PN ，即1)2(22-++y x =2[1)2(22-+-y x ]，即,031222=++-y x x 即,33)6(22=+-y x 这就是动点P 的轨迹方程。
【点评】这题考查解析几何中求点的轨迹方程的方法应用，考查建立坐标系、数形结合思想、勾股定理、两点间距离公式等相关知识，及分析推理、计算化简技能、技巧等，是一道很综合的题目。
【例2】在同一直角坐标系中，将直线22=-y x 变成直线42='-'y x ，求满足图象变换的伸缩变换。
分析：设变换为⎩⎨⎧>⋅='>⋅='),0(,),0(,μμλλy y x x 可将其代入第二个方程，得42=-y x μλ，与22=-y x 比较，将其变成,442=-y x 比较系数得.4,1==μλX【解】⎩⎨⎧='='yy x x 4，直线22=-y x 图象上所有点的横坐标不变，纵机坐标扩大到原来的4倍可得到直线42='-'y x 。
高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课堂导学案新人教A版选修4_4
四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.解：由变换公式得ρ2=x 2+y 2=12+12=2, ∴ρ=2.又tanθ=x y =1, ∴θ=4π(M 在第Ⅰ卦限). 故M 的柱坐标为(2,4π,3). 温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.类题演练 1设M 的直角坐标为(1,3-,4),求其柱坐标.解:由公式得ρ2=1+3=4,∴ρ=2.又tanθ=x y =3-, ∴θ=32π. ∴柱坐标为(2,32π,4). 变式提升 1设M 的柱坐标为(2,6π,7),求直角坐标. 解:由公式得ρ2=x 2+y 2=4,又tan 6π=33=xy , ∴y=31x.∴y 2=1.∴y=1,x=3. ∴直角坐标为(3,1,7).二、已知直角坐标求球坐标【例2】 设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解：由公式得r=222z y x ++=2, 由rcosφ=z=2,得cosφ=222=r ,φ=4π. 又tanθ=x y =1,θ=4π. ∴点M 的球坐标为(2,4π,4π). 类题演练 2设M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标.解:由公式得r=222z y x ++=2,由rcosφ=z 得cosφ=21,φ=3π. 又tanθ=22-, ∴θ=π-arctan22. ∴球坐标为(2,3π,π-arctan 22). 三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB,AD,AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C 1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC 1，C 1点的（r,φ,θ)分别对应着AC 1,∠A 1AC 1,∠BAC.解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan 73,10)，C 1点的球坐标为(332,arccos 33210,arctan 73). 温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定.类题演练 3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.解:在赤道平面上，选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°).变式提升 2两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan 724,θa ),B(25,π-arctan 43,θb )，求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan 724,∠BOO 1=π-arctan 43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=11OO A O . ∵OA=25,∴OO 1=7.在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan43,tan∠BOO 2=43=22OO B O . ∵OB=25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.。
高中数学第一讲坐标系四柱坐标系与球坐标系简介课堂导学案新人教A版选修4-4
四 柱坐标系与球坐标系简介课堂导学三点剖析一、已知直角坐标求柱坐标【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标. 解：由变换公式得ρ2=x 2+y 2=12+12=2, ∴ρ=2. 又tan θ=xy =1,∴θ=4π(M 在第Ⅰ卦限).故M 的柱坐标为(2,4π,3).温馨提示可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同. 类题演练 1设M 的直角坐标为(1,3-,4),求其柱坐标.解:由公式得ρ2=1+3=4, ∴ρ=2. 又tan θ=xy =3-,∴θ=32π.∴柱坐标为(2,32π,4).变式提升 1设M 的柱坐标为(2,6π,7),求直角坐标.解:由公式得ρ2=x 2+y 2=4, 又tan6π=33=xy ,∴y=31x.∴y 2=1.∴y=1,x=3.∴直角坐标为(3,1,7).二、已知直角坐标求球坐标【例2】 设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标. 解：由公式得r=222z y x ++=2, 由rcos φ=z=2,得cos φ=222=r,φ=4π.又tan θ=xy =1,θ=4π.∴点M 的球坐标为(2,4π,4π).类题演练 2设M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标. 解:由公式得r=222z y x ++=2, 由rcos φ=z 得cos φ=21,φ=3π.又tan θ=22-,∴θ=π-arctan22.∴球坐标为(2,3π,π-arctan22).三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题【例3】 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB,AD,AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.C 1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC 1，C 1点的（r,φ,θ)分别对应着AC 1,∠A 1AC 1,∠BAC.解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan73,10)，C 1点的球坐标为(332,arccos 33210,arctan73).温馨提示应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定. 类题演练 3经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标. 解:在赤道平面上，选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°). 变式提升 2两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan724,θa ),B(25,π-arctan43,θb )，求出这两个截面间的距离.解:由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan724,∠BOO 1=π-arctan43,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=11OOA O .∵OA=25,∴OO 1=7. 在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan 43,tan∠BOO 2=43=22OOB O .∵OB=25,∴OO 2=20.则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.∴两个截面间的距离O1O2为27.。
2019_2020学年高中数学第1讲坐标系4柱坐标系与球坐标系简介学案新人教A版选修4_4
四柱坐标系与球坐标系简介学习目标：1.了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)2.知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)教材整理1 柱坐标系阅读教材P16～P17“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点．它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点Q在平面Oxy上的极坐标，这时点P的位置可用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ<2π，－∞＜Z＜＋∞.已知点A的柱坐标为(1,0,1)，则点A的直角坐标为( )A．(1,1,0) B．(1,0,1)C．(0,1,1) D．(1,1,1)[解析] ∵x＝ρcos θ＝1，y＝ρsin θ＝0，z＝1，∴直角坐标为(1,0,1)，故选B.[答案] B教材整理2 球坐标系阅读教材P17～P18，完成下列问题．一般地，如图，建立空间直角坐标系Oxyz.设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ.设P在Oxy平面上的射影为Q，Ox轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ.这样点P的位置就可以用有序数组(r，φ，θ)表示．这样，空间的点与有序数组(r，φ，θ)之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(r，φ，θ)叫做点P的球坐标，记做P(r，φ，θ)，其中r≥0,0≤φ≤π，0≤θ＜2π.已知点A 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π2，π2，则点A 的直角坐标为( )A ．(3,0,0)B ．(0,3,0)C ．(0,0,3)D ．(3,3,0)[解析] ∵x ＝3×sin π2×cos π2＝0，y ＝3×sin π2×sin π2＝3，z ＝3×cos π2＝0，∴直角坐标为(0,3,0)．故选B. [答案] B【例1(2)设点N 的柱坐标为(π，π，π)，求它的直角坐标．[思路探究] (1)已知直角坐标系中的直角坐标化为柱坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出ρ，θ即可．(2)已知柱坐标系中的柱坐标化为直角坐标，利用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求出x ，y ，z即可．[自主解答] (1)设M 的柱坐标为(ρ，θ，z )， 则由⎩⎪⎨⎪⎧1＝ρcos θ，1＝ρsin θ，z ＝1，解之得，ρ＝2，θ＝π4，因此，点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，1. (2)设N 的直角坐标为(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝πcos π，y ＝πsin π，z ＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－π，y ＝0，z ＝π，因此，点N 的直角坐标为(－π，0，π)．1．由直角坐标系中的直角坐标求柱坐标，可以先设出点M 的柱坐标为(ρ，θ，z )，代入变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z ，求ρ；也可以利用ρ2＝x 2＋y 2，求ρ.利用tan θ＝yx，求θ，在求θ的时候特别注意角θ所在的象限，从而确定θ的取值．2．点的柱坐标和直角坐标的竖坐标相同．1．根据下列点的柱坐标，分别求直角坐标： (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π6，3；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4，2.[解] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )．(1)⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ＝2cos5π6＝－3，y ＝ρsin θ＝2sin 5π6＝1，z ＝3，因此所求点的直角坐标为(－3，1,3)．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ＝2cos3π4＝－1，y ＝ρsin θ＝2sin 3π4＝1，z ＝2，因此所求点的直角坐标为(－1,1,2).【例2】 已知点M 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，4π，4π，求它的直角坐标．[思路探究] 球坐标――――――――――――――→x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ直角坐标[自主解答] 设点的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2sin 34πcos 34π＝2×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－1，y ＝2sin 34πsin 34π＝2×22×22＝1，z ＝2cos 34π＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－2，因此点M 的直角坐标为(－1,1，－2)．1．根据球坐标系的意义以及与空间直角坐标系的联系，首先要明确点的球坐标(r ，φ，θ)中角φ，θ的边与数轴Oz ，Ox 的关系，注意各自的限定范围，即0≤φ≤π，0≤θ<2π.2．化点的球坐标(r ，φ，θ)为直角坐标(x ，y ，z )，需要运用公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z＝r cos φ，转化为三角函数的求值与运算．2．若例2中“点M 的球坐标改为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，56π，53π”，试求点M 的直角坐标．[解] 设M 的直角坐标为(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ＝3sin5π6cos 5π3＝34，y ＝r sin φsin θ＝3sin 5π6sin 5π3＝－334，z ＝r cos φ＝3cos 5π6＝－332，∴因此M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫34，－334，－332.【例3】 已知长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面正方形ABCD 的边长为1，棱AA 1的长为2，如图所示，建立空间直角坐标系Axyz ，Ax 为极轴，求点C 1的直角坐标和球坐标．[思路探究] 先确定C 1的直角坐标，再根据空间直角坐标系与球坐标系的联系，计算球坐标．[自主解答] 点C 1的直角坐标为(1,1，2)．设C 1的球坐标为(r ，φ，θ)，其中r ≥0,0≤φ≤π，0≤θ<2π， 由x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ， 得r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋(2)2＋12＝2. 由z ＝r cos φ，∴cos φ＝22，φ＝π4， 又tan θ＝yx＝1， ∴θ＝π4，从而点C 1的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.1．由直角坐标化为球坐标时，我们可以设点M 的球坐标为(r ，φ，θ)，再利用变换公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r sin φcos θ，y ＝r sin φsin θ，z ＝r cos φ求出r ，θ，φ.2．利用r 2＝x 2＋y 2＋z 2，tan θ＝yx ，cos φ＝z r，特别注意由直角坐标求球坐标时，应首先看明白点所在的象限，准确取值，才能无误．3．若本例中条件不变，求点C 的柱坐标和球坐标． [解] 易知C 的直角坐标为(1,1,0)．设点C 的柱坐标为(ρ，θ，0)，球坐标为(r ，φ，θ)，其中0≤φ≤π，0≤θ<2π. (1)由于ρ＝x 2＋y 2＝12＋12＝ 2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，因此点C 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0.(2)由于r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋0＝ 2.又cos φ＝z r ＝0，∴φ＝π2.又tan θ＝y x ＝1，∴θ＝π4，故点C 的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，π4.柱、球坐标系—⎪⎪⎪—柱坐标系—球坐标系—柱坐标、球坐标的互化1．在空间直角坐标系中，点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3，P 在xOy 平面上的射影为Q ，则Q点的坐标为( )A ．(2,0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，3D ．(2，π4，0) [解析] 由点的空间柱坐标的意义可知，选B. [答案] B2．柱坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫16，π3，5转换为直角坐标为( ) A ．(5,8,83) B ．(8,83，5) C ．(83，8,5)D ．(4,83，5)[解析] 由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θz ＝z ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝16cos π3＝8，y ＝16sin π3＝83，z ＝5，即P 点的直角坐标为(8,83，5)．[答案] B3．已知一个点的球坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，π4，则它的高低角为( )A ．－π4B.3π4C.π2D.π3[解析] ∵φ＝3π4，∴它的高低角为π2－φ＝－π4.[答案] A4．设点M 的直角坐标为(1,1，2)，则点M 的柱坐标为________，球坐标为________．[解析] 由坐标变换公式，可得ρ＝x 2＋y 2＝2，tan θ＝y x ＝1，θ＝π4(点(1,1)在平面xOy 的第一象限)，r ＝x 2＋y 2＋z 2＝12＋12＋(2)2＝2.由r cos φ＝z ＝2， 得cos φ＝2r＝22，φ＝π4. ∴点M 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2，球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，π45．已知点P 的柱坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，5，点B 的球坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫6，π3，π6，求这两个点的直角坐标．[解] 设点P 的直角坐标为(x 1，y 1，z 1)， 则x 1＝2cos π4＝1，y 1＝2sin π4＝1，z ＝5.设点B 的直角坐标为(x 2，y 2，z 2)，则x 2＝6sin π3cos π6＝6×32×32＝364，y 2＝6sin π3sin π6＝6×32×12＝324， z 2＝6cos π3＝6×12＝62. 所以点P 的直角坐标为(1,1,5)，点B 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫364，324，62.。
高中数学 柱坐标系与球坐标系简介(一)学案 新人教A版选修44
高中数学人教版选修4-4： 四 柱坐标系与球坐标系简介（一）
【自主学习】
任务1：阅读教材P22—24，理解下列问题：
任务2：完成下列问题：
柱坐标系
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点.它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序实数组(ρ,θ,z )(z ∈R)表示.
这样，我们建立了空间的点与有序实数组(ρ,θ,z )之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ,θ,z )，其中ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞. 柱坐标系又称半极坐标系. 空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式为
⎪⎩⎪⎨⎧===z
z y x θρθρsin cos
【合作探究】
设点M 的直角坐标为(1, 1, 1)，求它的柱坐标系中的坐标.
【目标检测】 )()3 ,3 ,1(.1C M ，则它的柱坐标是的直角坐标为设点--
x y
z P (ρ,θ,z )θρQ z
)3 ,35 ,2.(D )3 ,34 ,2.(C )3 ,32 ,2.(B )3 ,3 ,2.(A ππππ2. 建立适当的坐标系，写出棱长为2 的正方体的各顶点的空间直角坐标和柱坐标.
3 .如图：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ⊥CB ,且CA =CB =1,AA 1=2,D 、E 、F 分别是棱BA 、BC 、BB 1的中点，建立适当的坐标系，写出D 、E 、F 的空间直角坐标和柱坐标.
【学习反思】：本节课我学到了什么？我的学习效率如何？还有哪些没学懂。
B C 11C 1E D。
高中数学第一讲四柱坐标系与球坐标系简介1柱坐标系课件新人教A版选修4-4
将直角坐标化为柱坐标
[例 1] 设点 A 的直角坐标为(1， 3，5)，求它的柱坐标． [思路点拨] 由公式求出 ρ，再由 tan θ＝xy求 θ.
已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和 θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限 确定θ的值(θ的范围是[0,2π))．
1．点A的直角坐标为(1,1,1)，求它的柱坐标．
四
柱坐标系与球坐标系简介
1．柱坐标系
柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标，这时点 P 的位置可用有序数组 (ρ，θ，z) (z∈R)表示．这 样，我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间的一种对应关系．把 建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点 P 的柱坐标，记作 P(ρ，θ，z) ，其中_ρ_≥__0_,_0_≤__θ_＜__2_π_，__z_∈__R_.
解：ρ2＝x2＋y2＝12＋12＝2，∴ρ＝ 2， 又tan θ＝1，x>0，y>0，点在第一象限．
∴θ＝π4，
∴点A的柱坐标为
பைடு நூலகம்
2，π4，1.
将点的柱坐标化为直角坐标
[例 2] 已知点 P 的柱坐标为4，π3，8，求它的直角坐标． [思路点拨] 直接利用公式求解．
已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式
x＝ρcos θ， y＝ρsin θ， z＝z
即可．
3．点N的柱坐标为2，π2，3，求它的直角坐标．
x＝ρcos θ， 解：由变换公式y＝ρsin θ， 得
z＝z， x＝ρcos θ＝2cosπ2＝0，y＝ρsin θ＝2·sinπ2＝2， 故点 N 的直角坐标为(0,2,3)．
高中数学第1讲坐标系第7课时柱坐标系与球坐标系简介课件新人教A版选修44
x＝3sinπ6cosπ4＝3×12× 22＝342，
y＝3sinπ6sinπ4＝3×12× 22＝342，
z＝3cosπ6＝3×
23＝3
3 2.
∴P 点的直角坐标为34 2，342，323．
同理 Q 点的直角坐标为－34 2，342，32 3． ∴PQ＝ x1－x22＋y1－y22＋z1－z22＝3 2 2．
坐标为1＋2 1，1－2 3，1＋2 4，即1，1－2 3，52．
直角坐标系与柱、球坐标系的互化
【例 1】 (1)空间一点 M 的直角坐标为(1,1,3)，求其在相应 的柱坐标系中的坐标；
(2) 空间一点 M 的直角坐标为(1,1， 2)，求其在相应的球 坐标系中的坐标．
【解题探究】 由柱坐标、球坐标化为直角坐标，给出了 具体的公式，将直角坐标化为柱坐标、球坐标，要会将公式逆 运用．
柱坐标系中的几何问题
【例 3】 如图，在柱坐标系中， 长方体的两个顶点坐标为 A1(4,0,5)， C1 6，π2，5 ， 求 长 方 体 的 外 接 球 的 体 积．
【解题探究】 根据顶点的柱坐标求出长方体的三边长， 其外接球的直径恰为长方体的对角线的长．
【解析】由柱坐标的定义可得 OA＝4，OC＝6，OO1＝5， 则对角线的长为 42＋52＋62＝ 77． 则外接球的体积为43×π× 2773＝77 677π．
B．2，π4，54π
C．2，54π，π4
D．2，34π，π4
【答案】B
x＝
2cos54π，
【解析】设点 M 的直角坐标为(x，y，z)，则y＝ 2sin54π，
z＝ 2，
即xy＝ ＝－ －11， ， z＝ 2，
∴M 的直角坐标为 M(－1，－1， 2)．
高中数学第一章坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教A版选修4
高中数学第一章坐标系1.4柱坐标系与球坐标系简介教案新人教A 版选修4教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.⎪⎩⎪⎨⎧===z z y x θρθρsin cos变式训练标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度.思考: 在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则；2．柱坐标系的作用与规则。
高二数学《第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介》教案 新人教A版
湖南省蓝山二中高二数学《第一讲 坐标系 四、柱坐标系与球坐标系简介》教案 新人教A 版知识与技能： 通过本节知识的学习，使我们了解除了空间直角坐标系之外，还常用到柱坐标系等，我们日常生活中这种坐标系经常用到，从而进一步明确坐标系的实际应用价值，了解柱坐标系及其与极坐标系之间的关系，会把直角坐标系化为柱坐标系.情感、态度与价值观：通过本节知识的学习，我们认识到，知识来源于实践，又应用于实践，我们在平常的学习中要多思考、多探究，不要墨守陈规，要用于创新，积极发现，为我们的数学知识体系再创新天地，同时，树立起学好数学用好数学的良好个性品质、积极向上，把学习的知识用用到实践中去.教学过程如图，在圆形体育场内，如何确定看台上某个座位的位置？ 右图是一个圆形体育场，自正东方向起，按逆时针方向等分为十二个圆形区域，顺次记为一区，二区……十二区.我们设圆形体育场第一排与体育中心O 的距离为300m ，每相邻两排的间距为1m ，每层看台的高度为0.6m.现在需要确定第九区第三排正中的位置A ，如何描述这个位置？柱坐标系一般地，建立空间直角坐标系Oxyz .设P 是空间任意一点.它在Oxy 平面上的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序实数组(ρ,θ,z )(z ∈R)表示.这样，我们建立了空间的点与有序实数组(ρ,θ,z )之间的一种对应关系.把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ,θ,z )叫做点P 的柱坐标，记作P (ρ,θ,z )，其中ρ≥0，0≤θ＜2π，－∞＜z ＜＋∞. 柱坐标系又称半极坐标系. 空间点P 的直角坐标(x ,y ,z )与柱坐标(ρ,θ,z )之间的变换公式为⎪⎩⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos例1. 设点M 的直角坐标为(1, 1, 1)，求它的柱坐标系中的坐标.y课堂练习)()3 ,3 ,1(.1C M ，则它的柱坐标是的直角坐标为设点--)3 ,35 ,2.(D )3 ,34 ,2.(C )3 ,32 ,2.(B )3 ,3 ,2.(A ππππ2. 建立适当的坐标系，写出棱长为2 的正方体的各顶点的空间直角坐标和柱坐标.课后作业1.如图：直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，CA ⊥CB ,且CA =CB =1,AA 1=2,D 、E 、F 分别是棱BA 、BC 、BB 1的中点，建立适当的坐标系，写出D 、E 、F 的空间直角坐标和柱坐标.2.《学案》第一讲 NO. 4.1。
高中数学人教A版选修(4-4)1.4 教学设计 柱坐标系(人教A版)
《柱坐标系》
赵县实验中学 赵连霞
建立直角坐标系后，平面上的点可以直角坐标表示；建立极坐标系后，平面上点可以用极坐
标表示；建立空间极坐标系，空间的点就可以用极坐标表示了
【知识与能力目标】
了解在柱坐标系中刻画空间点位置的方法
【过程与方法目标】
了解柱坐标和直角坐标之间的互化公式
【情感态度价值观目标】
通过培养、探索、发现的创造性过程，培养创新意识
【教学重点】
体会与空间直角坐标系中刻画空间点位置的方法的区别和练习
【教学难点】
利用它进行简单的数学应用
观察在圆形体育场内，如何确定看台上摸个作为的位置
第一课时 柱坐标系
一．复习引入：
1．极坐标的意义和极坐标与直角坐标的互化原理
2．在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法
二．讲解新课：
1.柱坐标系的概念： 建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用()θρ，表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有序数组()z ，，θρ表示，这样，我们建立了空间点与有序数组之间的对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组()z ，，θρ叫做点P 的柱坐标
其中()+∞∞≤≥ z -20,0，πθρ
2.空间点P(x,y,z)的直角坐标与柱坐标()z ，，θρ之间对的变换公式:
⎪⎩
⎪⎨⎧===z z sin y cos x θρθρ
例1. 将点M 的柱坐标⎪⎭
⎫ ⎝⎛
834，，π化为直角坐标。
高中数学人教A版选修4-4学案第1讲-4 柱坐标系与球坐标系简介 Word版含解析
四柱坐标系与球坐标系简介．了解柱坐标系、球坐标系的意义，能用柱坐标系、球坐标系刻画简单问题中的点的位置．(重点)．知道柱坐标、球坐标与空间直角坐标的互化关系与公式，并用于解题．(难点、易错点)[基础·初探]教材整理柱坐标系阅读教材～“思考”及以上部分，完成下列问题．一般地，如图--，建立空间直角坐标系.设是空间任意一点．它在平面上的射影为，用(ρ，θ)(ρ≥≤θ<π)表示点在平面上的极坐标，这时点的位置可用有序θ，，)(数组(∈ρ之间的，))表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组θ，ρ(，有序数组(一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系ρ，，θ，)，其中ρ()叫做点的柱坐标，记作ρ，θ∞.＜＜＋∞θ<π，－≥≤图--已知点的柱坐标为()，则点的直角坐标为( )．()．()．()．()【解析】∵＝ρθ＝，＝ρθ＝，＝，∴直角坐标为()，故选.【答案】教材整理球坐标系阅读教材～，完成下列问题．一般地，如图--，建立空间直角坐标系.设是空间任意一点，连接，记＝，与轴正向所夹的角为φ.设在平面上的射影为，轴按逆时针方向旋转到时所转过θ为最小正角的.这样点的位置就可以用有序数组(，表示．这样，空间的点)θ，φ(，与有序数组φ之间建立了一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系)θ，叫做球坐标系(或空间极坐标系)，有序数组(，φ，θ)叫做点的球坐标，记做(，φ，θ)，其中≥≤φ≤π，≤θ＜π.图--已知点的球坐标为，则点的直角坐标为( )．()．()．()．()【解析】∵＝××＝，＝××＝，＝×＝，∴直角坐标为()．故选.【答案】[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问：解惑：疑问：解惑：疑问：解惑：。
2020年高二数学(人教版)选修4-4教案：第9节 球坐标系与柱坐标系
第9节：球坐标系与柱坐标系教学目的：知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)。
有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)表示点在平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系。
有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 。
空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：⎪⎩⎪⎨⎧===zz y x θρθρsin cos3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标.变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程.变式训练标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度.思考:在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?三、小 结：本节课学习了以下内容：1.柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法；2.柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
人教A版高二数学数学—4柱坐标系教案
课题：柱坐标系使用说明：1、利用15分钟自学课本16，17页，完成问题导学；2、独立完成例题，并总结规律、方法；3、完成配餐作业，加强落实整理。
一、学习目标：1、理解并掌握柱坐标系的概念；2、学会应用柱坐标系解决一些简单问题；3、培养学生分析、归纳、推理等能力。
二、教学重点难点：柱坐标系的应用，柱坐标与极坐标的联系三、问题导学1、建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 使空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为Q ，用______________表示点Q 在平面Oxy 上 的极坐标，这是点P 的位置可用有序数组),,(z θρ之间的一种对应关系，把建立上述对应关系的坐标系叫做_________，有序数组),,(z θρ叫做点P 的___________，记做P ),,(z θρ，其中__________________.2、空间点P 的直角坐标),,(z y x 与柱坐标),,(z θρ之间的变换公式为____________.四、典型例题例1、给定一个底面半径为r ，高位h 的圆柱，建立柱坐标系，利用柱坐标系描述圆柱上、下底面中心的位置，以及侧面上点的位置。
例2、在柱坐标系中，长方体的两个顶点坐标为),5,0,4(1A )5,2,6(1πC 则此长方体外接球的体积为多少？五、课堂检测1、设点M 的直角坐标为（1，1，1），则它在柱坐标系中的坐标为______2、设点M 的柱坐标为)7,6,2(π则它的直角坐标为________3、已知空间两点A,B 的柱坐标分别为),7,6,2()1,4,2(ππ和则AB 的中点C 的直角坐标为___________4、 直角坐标)3,23,21(对应的柱坐标为_______________5、 柱坐标（6,4,2π）对应的直角坐标为__________6、 空间两点的柱坐标分别为_____),2,34,2()1,611,4(则两点的距离为与ππ 7、 在直三棱柱111C B A ABC -中，090,1=∠==BCA BC CA 棱21=AA ,M 是11B A 的中点，在如图所示坐标系内求出点M 的空间直角坐标、柱坐标y。
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球坐标系与柱坐标系教学目的：知识与技能：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法过程与方法：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。
情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系教学难点：利用它们进行简单的数学应用授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：一、复习引入：情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。
问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？学生回顾在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理二、讲解新课：1、球坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为ϕ，点P 的位置可以用有序数组),,(ϕθr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系)有序数组),,(ϕθr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤ϕ＜2π。
空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(ϕθr 之间的变换关系为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====++θϕθϕθcos sin sin cos sin 2222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为：3、数学应用例1建立适当的球坐标系,表示棱长为1的正方体的顶点.变式训练建立适当的柱坐标系, 表示棱长为1的正方体的顶点.例2.将点M 的球坐标)65,3,8(ππ化为直角坐标. 变式训练1.将点M 的直角坐标)2,1,1(--化为球坐标.2.将点M 的柱坐标)8,3,4(π化为直角坐标.3.在直角坐标系中点),,(a a a a (＞0)的球坐标是什么?例3.球坐标满足方程r=3的点所构成的图形是什么?并将此方程化为直角坐标方程. 变式训练标满足方程ρ=2的点所构成的图形是什么?例4.已知点M 的柱坐标为),3,4,2(π点N 的球坐标为),2,4,2(ππ求线段MN 的长度. 思考:在球坐标系中,集合⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫≤≤≤≤≤≤=πϕπθϕθ20,20,62),,(r r M 表示的图形的体积为多少?三、巩固与练习四、小 结：本节课学习了以下内容：1．球坐标系的作用与规则；2．柱坐标系的作用与规则。
五、课后作业：教材P15页12，13，14，15，16曲线的参数方程教学目标知识与技能：弄清理解曲线参数方程的概念.过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程情感、态度与价值观：初步了解如何应用参数方程来解决某些具体问题，在问题解决的过程中，形成数学抽象思维能力，初步体验参数的基本思想。
教学重点：曲线参数方程的概念。
教学难点：曲线参数方程的探求。
授课类型：新授课教学模式：启发、诱导发现教学.教学过程：（一）曲线的参数方程概念的引入引例：2002年5月1日，中国第一座身高108米的摩天轮，在上海锦江乐园正式对外运营。
并以此高度跻身世界三大摩天轮之列，居亚洲第一。
已知该摩天轮半径为51.5米，逆时针匀速旋转一周需时20分钟。
如图所示，某游客现在0P 点（其中0P 点和转轴O 的连线与水平面平行）。
问：经过t 秒，该游客的位置在何处?引导学生建立平面直角坐标系，把实际问题抽象到数学问题，并加以解决（1、通过生活中的实例，引发学生研究的兴趣；2、通过引例明确学习参数方程的现实意义；3、通过对问题的解决，使学生体会到仅仅运用一种方程来研究往往难以获得满意的结果，从而了解学习曲线的参数方程的必要性；4、通过具体的问题，让学生找到解决问题的途径，为研究圆的参数方程作准备。
）（二）曲线的参数方程1、圆的参数方程的推导（1）一般的，设⊙O 的圆心为原点，半径为r ，0OP 所在直线为x 轴，如图，以0OP 为始边绕着点O 按逆时针方向绕原点以匀角速度ω作圆周运动，则质点P 的坐标与时刻t 的关系该如何建立呢？（其中r 与ω为常数，t 为变数）结合图形，由任意角三角函数的定义可知：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==t tr y t r x ωω t 为参数 ① （2）点P 的角速度为ω，运动所用的时间为t ，则角位移t ωθ=，那么方程组①可以改写为何种形式？结合匀速圆周运动的物理意义可得：),0[sin cos +∞∈⎩⎨⎧==θθθr y r x θ为参数 ②（在引例的基础上，把原先具体的数据一般化，为圆的参数方程概念的形成作准备，同时也培养了学生数学抽象思维能力）（3）方程①、②是否是圆心在原点，半径为r 的圆方程？为什么？由上述推导过程可知：对于⊙O 上的每一个点),(y x P 都存在变数t （或θ）的值，使t r x ωcos =，t r y ωsin =（或θsin r y =，θcos r x =）都成立。
对于变数t （或θ）的每一个允许值，由方程组所确定的点),(y x P 都在圆上；（1、对曲线的方程以及方程的曲线的定义进行必要的复习；2、学生从曲线的方程以及方程的曲线的定义出发，可以说明以上由变数t （或θ）建立起来的方程是圆的方程；）（4）若要表示一个完整的圆，则t 与θ的最小的取值范围是什么呢？)2,0[sin cos ωπωω∈⎩⎨⎧==t t r y t r x ， )2,0[sin cos πθθθ∈⎩⎨⎧==r y r x（5）圆的参数方程及参数的定义我们把方程①（或②）叫做⊙O 的参数方程，变数t （或θ）叫做参数。
（6）圆的参数方程的理解与认识（ⅰ）参数方程)2,0[sin 3cos 3πθθθ∈⎩⎨⎧==y x 与]2,0[sin 3cos 3πθθθ∈⎩⎨⎧==y x 是否表示同一曲线？为什么？（ⅱ）根据下列要求，分别写出圆心在原点、半径为r 的圆的部分圆弧的参数方程： ①在y 轴左侧的半圆（不包括y 轴上的点）；②在第四象限的圆弧。
（通过具体问题的解决，加深对圆的参数方程的理解与认识，体会到参数的取值范围也是圆的参数方程的重要组成部分；并为曲线的参数方程的定义及其理解与认识作铺垫。
）（7）曲线的参数方程的定义（ⅰ）一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数)()()(D t t g y t f x ∈⎩⎨⎧== ③，并且对于t 的每一个允许值，由方程组③所确定的点),(y x P 都在这条曲线C 上，那么方程组③就叫做这条曲线的参数方程。
变数t 叫做参变量或参变数，简称参数。
（ⅱ）相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标x 、y 间关系的方程0),(=y x F 叫做曲线的普通方程。
（8）曲线的参数方程的理解与认识（ⅰ）参数方程的形式；（横、纵坐标x 、y 都是变量t 的函数，给出一个t 能唯一的求出对应的x 、y 的值，因而得出唯一的对应点；但横、纵坐标x 、y 之间的关系并不一定是函数关系。
）（ⅱ）参数的取值范围；（在表述曲线的参数方程时，必须指明参数的取值范围；取值范围的不同，所表示的曲线也可能会有所不同。
）（ⅲ）参数方程与普通方程的统一性；（普通方程是相对参数方程而言的，普通方程反映了坐标变量x 与y 之间的直接联系，而参数方程是通过变数反映坐标变量x 与y 之间的间接联系；普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式；参数方程可以与普通方程进行互化。
）（ⅳ）参数的作用；（参数作为间接地建立横、纵坐标x 、y 之间的关系的中间变量，起到了桥梁的作用。
） （ⅴ）参数的意义。
（如果参数选择适当，参数在参数方程中可以有明确的几何意义，也可以有明确的物理意义，可以给问题的解决带来方便。
即使是同一条曲线，也可以用不同的变数作为参数。
）（三）巩固曲线的参数方程的概念例题1：（1）质点P 开始位于坐标平面内的点)1,3(0P 处，沿某一方向作匀速直线运 动。
水平分速度3=x v 厘米/秒，铅锤分速度1=y v 厘米/秒，（ⅰ）求此质点P 的坐标与时刻t （秒）的关系；（ⅱ）问5秒时质点P 所处的位置。
（2）写出经过定点)1,3(P ，且倾斜角为6π的直线l 的参数方程。
问题：作出例题1中两小题的直线图像，判断它们的位置关系；从中你能得到什么启示呢？（第一小题通过运动质点的位置与时间有关建立表现质点位置的参数方程；第二小题通过选取适当的参数建立直线的参数方程；从而使学生了解参数的选取有多种方法，同一曲线可以由不同的参数方程来表示。
）例题2：已知点),(y x A 在圆C ：422=+y x 上运动，求y x +的最大值。
（通过普通方程化为参数方程求得函数的最值，使学生初步体验参数方程的作用与意义。
）（四）课堂小结1、知识内容：知道圆的参数方程以及曲线参数方程的概念；能选取适当的参数建立参数方程；通过对圆和直线的参数方程的研究，理解其中参数的意义。
2、思想与方法：参数思想。
（引导学生回顾本节课的学习过程，小结与交流学习体会，包括数学知识的获得，数学思想方法的领悟。
）（五）作业课本P26，习题2.1，第1、2题。
（六）思考（1）若圆的一般方程为222)()(r b y a x =-+-，你能写出它的一个参数方程吗？（2）针对引例中的实际情况，游客总是从摩天轮的最低点登上转盘。
若某游客登上转盘的时刻记为0t ，则经过时间t 该游客的位置在何处？在引例所建立的坐标系下，你能否通过建立相对应的参数方程，并得到游客的具体位置呢？。