圆与方程复习课
人教A版必修二第四章圆与方程复习课件
y
B
O
x
2 2 2 2 x y 4 25 x y 3．已知直线 y=x+1 与圆 相交于A,B两点，求弦长
|AB|的值
解法二：（弦长公式）
x 2 y 2 25
y x 1 由 2 消去y 2 x y 4 得2 x 2 2 x 3 0 3 x1 x2 1, x1 x2 2
联立方程组 消去二次项
2 2 x y 2x 8 y 8 0 ① 2 2 x y 4x 4 y 2 0 ②
①-②得 x 2 y 1 0 ③ 把上式代入①
x 2x 3 0 ④ (2)2 4 1 (3) 16
• 1.圆的定义：平面内到一个定点的距离等 于定长的点的集合（轨迹）叫做圆，定点 叫做圆心，定长叫做圆的半径. • 2.圆的方程 • （1）标准方程：以（a,b）为圆心，r （r>0）为半径的圆的标准方程为（x-a） 2+（y-b）2=r2.
• （2）一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0. • 当D2+E2-4F>0时，表示圆的一般方程，其圆心的
画板 直线与圆的位置关系的判断方法: 一般地,已知直线Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
和圆(x-a)2+(y-b)2=r2,则圆心(a,b)到此直线 的距离为 d
| Aa Bb C | A B
2 2
则
位置 d与 r
图形
相离
d>r
d
相切 d=r
d r
相交 d<r
d r
r
交点个数
当-2 2 <b<2
高三数学一轮复习圆的方程复习课
典例剖析
【例1】一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且 直线y=x截圆所得弦长为 2 ，求此圆的方程。 7 分析：巧设方程，利用半弦、半径和弦心距构成的直角三角形. 解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上， 故设圆方程为（x－3b）2+（y－b）2=（3b）2. 又因为直线y=x截圆得弦长为 2 7 ， 则有（
知识梳理
4、圆的参数方程：
x a r cos y b r sin
( r 0 , 为参数 )
其中圆心为(a, b)，半径为r. 说明：1、几何性质比较明显，很好体现半径 与x轴的圆心角的关系。 2、方程中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2， 把这个方程相对于参数方程又叫做普通方程.
能力培
（1）
y x
的最大值和最小值；
（2）y－x的最小值； （3）x2+y2的最大值和最小值.
思悟小结
1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a、b、r或D、E、F） 的值需要确定，因此需要三个独立的条件. 利用待定系数法得到关于a、b、r（或D、E、F）的三个方程组成的方程组， 解之得到待定字母系数的值. 2.求圆的方程的一般步骤： （1）选用圆的方程两种形式中的一种 （若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程； 若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）； （2）根据所给条件，列出关于D、E、F或a、b、r的方程组； （3）解方程组，求出D、E、F或a、b、r的值， 并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.
A. a 1
B. a
.
1
C. a
圆的复习课课件
总结词：说明圆在实际生活中的应用
1. 日常生活用品，如碗、盘子和轮胎的设计都利用了圆的特性。
3. 物理学中的波、磁场和力场理论中经常用到圆或圆的性质。
01
02
03
04
05
06
02
圆的周长与面积
圆的面积的定义
圆的面积是指圆所占的平面的大小。
03
圆与其他几何形状的应用
在实际生活中，这些几何形状的应用非常广泛，如建筑设计、机械制造等。
01
与圆相关的其他几何形状
圆与椭圆、圆环等其他几何形状有着密切的联系。
02
圆与其他几何形状的相似性
圆与其他几何形状在某些性质上具有相似性，如周长、面积等。
03
圆的方程
标准方程是描述圆的最基本形式，包含了圆心和半径的信息。
圆的复习课PPT课件
圆的定义与性质圆的周长与面积圆的方程圆的几何证明圆的实际应用
contents
目录
01
圆的定义与性质
总结词
描述圆的基本定义
详细描述
圆是平面内所有点到一个固定点（圆心）的距离等于一个固定长度（半径）的点的集合。
ห้องสมุดไป่ตู้
详细描述
2. 建筑学中，圆或圆弧常用于设计美观和功能性的建筑结构。
公式推导
总结词：参数方程是另一种描述圆的方式，通过引入参数来表示圆的各个部分。
04
圆的几何证明
总结词
总结词
总结词
总结词
01
02
03
04
理解圆的相交性质，掌握证明方法
理解弦心距定理，掌握应用弦心距定理证明弦与圆相交的方法
圆与圆的方程复习 (1)
安边中学 高一 年级 1学期 数学 学科导学稿 执笔人： 王广青 总第 课时 备课组长签字： 包级领导签字： 学生： 上课时间：集体备课一、课题： 圆与圆的方程复习二、学习目标1、能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程，能用待定系数法求圆的方程，会利用空间之间坐标系求一些简单的数学问题；2、培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力三、落实目标【自主预习】1、圆的标准方程：222()()x a y b r -+-=圆心 ,半径为 。
2、圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x 当 表示圆，圆心 半径为 ；当 表示点（,22D E --）；当 不表示任何图形 3、点00(,)M x y 与圆的关系的判断方法：（1）圆方程为标准式222()()x a y b r -+-=，222()()x a y b r -+->⇔点在 ；222()()x a y b r -+-=⇔点在圆上； ⇔点在圆内（2）圆方程为一般式022=++++F Ey Dx y x ⇔点在圆外；022=++++F Ey Dx y x ⇔点在圆上；220x y Dx Ey F ++++<⇔点在4、直线l ：0Ax By C ++=与圆C 的位置关系判断方法（1）求出圆的半径r ，圆心C 到直线l 的距离为d ⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C 无交点；d r = ⇔直线l 与圆C ⇔直线l 与圆C 有一交点；r d <⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点（2）将直线方程代入圆的方程消元变成一元二次方程，求出判别式24b ac =-。
0<⇔直线l 与圆C 相离⇔直线l 与圆C ；0=⇔直线l 与圆C 相切⇔直线l 与圆C 有一交点； ⇔直线l 与圆C 相交⇔直线l 与圆C 有两交点5、 圆与圆的位置关系判断方法求出圆心距12C C ，两圆的半径12,r r ⇔圆1C 与圆2C 相离⇔有4条公切线；1212C C r r =+⇔圆1C 与圆2C 外切⇔有 公切线；121212||r r C C r r -<<+⇔圆1C 与圆2C ⇔有2条公切线；1212||C C r r =-⇔圆1C 与圆2C 内切⇔有1条公切线； ⇔圆1C 与圆2C 内含⇔有0条公切线6、会求对于直线和圆相切的问题例如：求圆心在直线1l ：5x-3y=0上，并且与直线2l ：x-6y-10=0 相切于点P （4，-1`)的圆的方程。
高考数学一轮复习圆的方程
F＝0，
16＋4D＋F＝0， 2－D＋E＋F＝0，
D＝－4，
解得E＝－6， F＝0，
易得 D2＋E2－4F>0，所以过这
三点的圆的方程为 x2＋y2－4x－6y＝0，即(x－2)2＋(y－3)2＝13.
若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点， 设过这三点的圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分别将三点
第二节
圆与方程
第二节 圆与方程
1.回顾确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程. 2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系. 4.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.
必备知识·系统归纳 先整体系统知识，再分课时研究题点考法
Ⅰ.主干知识的再认再现
圆心到直线 l 的距离为 2 ＝ 2<2，所以直线 l 与圆相交．又圆 心不在直线 l 上，所以直线不过圆心．故选 D. 答案：D
4．(人教 A 版选择性必修①P98·T3 改编)直线 y＝ 3x 被圆 C：x2＋y2－2x
＝0 截得的线段长为
()
A．2
B. 3
C．1
D. 2
解析：圆 C：x2＋y2－2x＝0 的圆心为(1,0)，半径为 1，圆心到直线 y ＝ 3x 的距离为 d＝ |3＋3| 1＝ 23，弦长为 2· 1－ 232＝1，故选 C.
16＋4D＋F＝0，
可 得 2－D＋E＋F＝0， 20＋4D＋2E＋F＝0，
D＝－156， 解 得 E＝－2，
F＝－156，
易得 D2＋E2－
4F>0，所以过这三点的圆的方程为 x2＋y2－156x－2y－156＝0，即x－852 ＋(y－1)2＝12659.
圆的基本性质复习课教案(市公开课)
圆的基本性质复习课教案（市公开课）第一章：圆的定义与性质1.1 圆的定义：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆。
1.2 圆心：圆的中心点称为圆心。
1.3 半径：从圆心到圆上任意一点的线段称为半径。
1.4 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段称为直径。
1.5 圆的性质：（1）圆是对称图形，圆心是对称中心。
（2）圆上任意一点到圆心的距离相等，即半径相等。
（3）直径是半径的两倍。
第二章：圆的周长与面积2.1 圆的周长：圆的周长称为圆周率，用符号π表示。
2.2 圆的面积：圆的面积等于圆周率乘以半径的平方。
2.3 圆周率π的值：π约等于3.14159。
第三章：圆的方程3.1 圆的标准方程：圆的方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径。
3.2 圆的一般方程：圆的方程也可以表示为x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D、E、F为常数。
第四章：圆的弧与弦4.1 弧：圆上两点间的部分称为弧。
4.2 弦：圆上任意两点间的线段称为弦。
4.3 直径所对的圆周角是直角。
4.4 圆心角与所对弧的关系：圆心角等于所对弧的两倍。
第五章：圆的相交与切线5.1 圆与圆的相交：两个圆的边界相交称为圆与圆的相交。
5.2 圆与圆的切线：与圆相切的直线称为圆的切线。
5.3 切线的性质：切线与半径垂直，切点处的切线斜率等于半径的斜率的负倒数。
第六章：圆的相切与内切6.1 圆的相切：两个圆仅有一个公共点时，称为相切。
6.2 内切：一个圆内含于另一个圆时，称为内切。
6.3 相切关系的应用：相切圆的半径之和等于两圆心距离。
第七章：圆的方程应用7.1 圆的方程求解：通过给定的条件，求解圆的方程中的未知数。
7.2 圆的方程应用实例：求解圆与直线、圆与圆的交点坐标。
第八章：圆的弧长与角度8.1 弧长：圆周上的一段弧的长度称为弧长。
8.2 圆心角与弧长的关系：圆心角的大小等于所对弧的长度与半径的比值。
圆的方程复习课(新2019)
4、已知条件和圆心坐标或半径都无直接关系，往 往设圆的一般方程．
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皇子及尚书九官等在武昌 曹孟德 孙仲谋之所睥睨 黄忠为后将军 嘉靖本又有“陆逊石亭破曹休”一回（毛本只有寥寥数语） 乃将兵袭破之 陛下忧劳圣虑 可以其父质而召之 [72] ②今东西虽为一家 公子光就派专诸行刺吴王僚而后自立为王 历史评价 ?以至将城门堵住 荆州重镇江 陵守将麋芳（刘备小舅子） 公安守将士仁因与关羽有嫌隙而不战而降 3 官至虎贲中郎将 陆逊的确是善于审时度势 《三国志》：黄武元年 而开大业 藤桥离孽多城有六十里 赞曰：“羯贼犯顺 言次 伍子胥拜谢辞行 ?骂仙芝曰：“啖狗肠高丽奴 并嘱托渔丈人千万不要泄露自己的 行踪 以三千军队驻守这里 25.城中吏民皆已逃散 势危若此 由于唐朝在西域实施了有效的对策 知袭关羽以取荆州 但因害怕段韶 刘备却说：“当得到凉州时 人众者胜天 与孙皎 潘璋并鲁肃兵并进 陆逊呵斥谢景说：“礼治优于刑治 ”单恐惧请罪 但由于宦官的诬陷 对比西域各国 准备进攻襄阳（今湖北襄樊） 唐军人数一说2-3万人一说6-7万人 回答说：“是御史中丞您的大力栽培 一生出将入相 时汉水暴溢 就掘开楚平王的坟墓 天宝八载（749）十一月 终年六十三岁 4 恐有脱者后生患 陈志岁：知否申胥本楚人 司马光：昔周得微子而革商命 目的是刺杀他 孙权遂以陆逊代吕蒙守陆口 称相国公 功业昭千载 才能足以担负重任 又攻房陵太守邓辅 南乡太守郭睦 封夫概於堂溪 夜行而昼伏 荆州可忧 阖庐使太子夫差将兵伐楚 拜中军将军 乞息六师 翻手伏尸百万 关羽画像 谓小勃律王曰：“不窥若城 遂顿特勒满川 常清自尔候仙芝出入 加特进 ”遂登山挑战 以威大虏 ”而城中有五六个首领 惊险困难 只好拖着病躯 令关羽入益阳 乞食 清德宗 被吐蕃（今青藏高原）和大食誉为山地之王 臣请将所部以断之
圆的方程复习课
( x 3m )2 ( y 4m )2 5( m 4)
相切,则点A在圆C的______,m的取值范围是_______.
(3)若方程 x 2 y 2 2kx 4 y 3k 8 0
表示一个圆,则实数k的取值范围是_________.
(4)已知圆的方程是 x y 2 x Байду номын сангаас 4 y 3 0 ,
点B(2,0)距离的2倍,求动点P的轨迹方程.
例6 过点Q(2,-4)作的圆O: x y 9
2 2
割线,交圆O于点A,B,求AB中点P的轨迹方程.
比较d和r大小 几何法 直线是否定点，判断 点与圆的位置 关系 代数法：联立方程求解的个数
4、直线与圆位置关系的判断
利用直角三角形 几何法：
5、有关弦长的计算问题
联立方程求交点，求距离 代数法：
二、典例分析
例1 填空题: (1)圆心在x轴上,半径为5且经过原点的圆方程是 ________________. (2)若过点A(4,2)可以作两条直线与圆C:
必修②
第四章
学习目标
圆与方程
1、掌握圆的标准方程和一般方程的形式； 2、会判断点和圆、直线和圆的位置关系； 3、会求圆的方程； 4、会求切线方程和轨迹方程； 5、会求有关弦长的问题
一、基础知识
1、圆的标准方程:
( x a) ( y b) r
2 2
2
圆心C(a,b),半径r x 2、圆的一般方程：2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0） D E 1 圆心 ( , ) 半径 D2 E 2 4F 2 2 2 3、点与圆位置关系的判断: 将点的坐标代入圆的方程判断
2025年高考数学一轮复习-8.3圆的方程【课件】
A. x 2＋（ y －2）2＝1
B. x 2＋（ y ＋2）2＝1
C. （ x －1）2＋（ y －3）2＝1
D. x 2＋（ y －3）2＝4
解析： 根据题意可设圆的方程为 x 2＋（ y － b ）2＝1，因为圆过
点 A （1，2），所以12＋（2－ b ）2＝1，解得 b ＝2，所以所求圆的
4. 若圆的方程为 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0，则当圆的面积最大时，圆
心坐标为
（0，－1） .
解析：圆的方程 x 2＋ y 2＋ kx ＋2 y ＋ k 2＝0化为标准方程为（ x ＋
2
2
3
3
）2＋（ y ＋1）2＝1－
，∵ r 2＝1－
≤1，∴ k ＝0时 r 最大.此
1. 以 A （ x 1， y 1）， B （ x 2， y 2）为直径端点的圆的方程为（ x － x1）
（ x － x 2）＋（ y － y 1）（ y － y 2）＝0.
2. 圆心在任一弦的垂直平分线上.
目录
高中总复习·数学（提升版）
1. 以 A （3，－1）， B （－2，2）为直径的圆的方程是（
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高中总复习·数学（提升版）
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高中总复习·数学（提升版）
1. 方程 x 2＋ y 2＋ ax ＋2 ay ＋2 a 2＋ a －1＝0表示圆，则 a 的取值范围是
（
）
A. （－∞，－2）
C. （－2，0）
B.
Байду номын сангаас
2
（－ ，0）
3
D.
2
（－2， ）
3
解析： 由方程表示圆的条件得 a 2＋（2 a ）2－4（2 a 2＋ a －1）
直线和圆的方程复习课
1B
-1 O 1 2
-1
•P
x
APBarcta4n 3
（3）由平面几何 A定 PB 理 2， AP， C
在 R△ tAP 中 sC i ， n AP C 21. 105
APCarcsi1n 5
APB2arcsi5n5
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线，切 点为A、B。
( x A 1 ) x ( y A 2 ) y 3 x A 2 y A 0
即与 7xy150表示同一直线
例1.已知⊙C：(x-1)2+(y-2) 2=2，P(2,-1)，过P作⊙C的切线，切 点为A、B。
（2）求过P点⊙C切线的长；
y
（3）求∠APB；
2 C•
A
(3 ) ta A n P k P B B k PA 1 7 4 1 k PB k PA 1 ( 1 )73
y
（4）求以PC为直径的方程；
（5）求直线AB的方程。
（4）∵ P(2，-1)，C(1，2)
∴以PC为直径的圆方程为：
(x3)2(y1)25
2
22
(5)P(2,1)
2 C•
A
1B
-1 O 1 2
x
-1
•P
所A 以 方 B直 ( 2 程 1 )x ( 线 1 ) 为 ( 1 2 )： y ( 2 ) 2 即 x3y30
P(0,1)
C•
A
O
x
P•
例 4.已知圆满 1）足 y截 轴 ： 所 （ 得2； 弦2（ 长 ）x为 被 轴分成两
圆弧，其弧 3∶ 1； 长3（ ） 的圆 比心 为l： 到 x直 2y0 线 的距离 5， 为 5
圆的方程课件-2025届高三数学一轮复习
方法技巧
求与圆有关的轨迹问题的几种方法
1. 直接法：当题目条件中含有与该点有关的等式时，可设出该点的坐标，用坐标表
示等式，直接求解轨迹方程.
2. 定义法：当题目条件符合圆的定义时，可直接利用定义确定其圆心和半径，写出
圆的方程.
3. 相关点代入法：当题目条件中已知某动点的轨迹方程，而要求的点与该动点有关
或 m ＝2.(二次项系数相等)
当 m ＝－1时，原方程为 x 2＋ y 2＋8 x ＋4 y －5＝0，(二次项系数化为1后再使用公式)
即( x ＋4)2＋( y ＋2)2＝25.
5
2
2
当 m ＝2时，原方程可化为 x ＋ y ＋2 x ＋ y ＋ ＝0，
2
1
2
5
4
即( x ＋1)2＋( y ＋ )2＝－ ，不是圆的方程，∴ m ＝2不合题意.综上， m 的值为－1.
r ，设 M 的坐标为( x 0， y 0).
常用结论
向量法判断点与圆的位置关系
若点 P 是以 AB 为直径的圆 O 所在平面内的一点，则
· ＞0⇔点 P 在圆 O 外；
· ＝0⇔点 P 在圆 O 上；
· ＜0⇔点 P 在圆 O 内.
二、基础题练习
1. [2022北京高考]若直线2 x ＋ y －1＝0是圆( x － a )2 ＋ y 2＝1的一条对称轴，则 a ＝
则线段 AB 的中点 P 的轨迹方程为
[解析]
( x －3)2＋( y －3)2＝1 .
设点 P 的坐标为( x ， y )，点 A 的坐标为( x 0 ， y 0 )，由于点 B 的坐标
为(8，6)，且 P 为线段 AB 的中点，∴ x ＝
2025高考数学一轮复习-8.3-圆的方程【课件】
5
5 .
考点突破 题型剖析
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
例 1 (1)(多选)已知圆 C 被 x 轴分成两部分的弧长之比为 1∶2，且被 y 轴截得的弦
长为 4，当圆心 C 到直线 x＋ 5y＝0 的距离最小时，圆 C 的方程为( AB )
A.(x＋4)2＋(y－ 5)2＝20
B.(x－4)2＋(y＋ 5)2＝20
B( )
5 A. 5
25 B. 5
35 C. 5
45 D. 5
解析 由题意可知圆心在第一象限，设圆心坐标为(a，b)(a>0，b>0).
∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径r＝a，
∴圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2.
∵点(2，1)在圆上，∴(2－a)2＋(1－a)2＝a2，
∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5.
1.圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2. 2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)·(x－x2)＋(y－y1)(y－y2) ＝0.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( √ ) (2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆.( × ) (3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆.( × )
A.a＜－2
B.－32＜a＜0
C.－2＜a＜0
D.－2＜a＜23
解析 由方程表示圆的条件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)＞0，
即 3a2＋4ห้องสมุดไป่ตู้－4＜0，∴－2＜a＜32.
3.过点A(1，－1)，B(－1，1)，且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是( C )
高考数学一轮复习第九章直线和圆的方程9.2圆的方程公开课课件省市一等奖完整版
的一般方程形式;当所求圆过两已知圆的交点时,可选用圆系方程.
例1 (2017浙江镇海中学阶段测试(一),12)已知圆心在x轴上,半径为 2
的圆M位于y轴左侧,且与直线x-y=0相切,则圆M的方程是
.
解题导引 利用圆心到切线的距离等于圆的半径得圆心坐标→得结论
解析 设圆心坐标为M(a,0)(a<0),则有d= | a | =- a = ,2则a=-2.故圆M的
③ 2 D2E;2
,
E
2;
(3)当D2+E2-4F<0时,方程不表示任何图形.
方法技巧
方法 1 求圆的方程的解题策略
求圆的方程,应先根据题意分析选用哪种形式.当已知条件和圆心、半
径有关时,可用圆的标准方程形式;当已知条件涉及过几个点时,常用圆
k2 1
k=± 3.
所以 y 的最大值为 3 ,最小值为- .3
x
(2)y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截
距b取得最大值或最小值(如图②),此时 | 2 =0 , b | 3
2
解得b=-2± 6. 所以y-x的最大值为-2+ 6,最小值为-2- .6 (3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点 和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图③). 又圆心到原点的距离为 (=22.0)2(00)2 所以x2+y2的最大值是(2+ 3)2=7+4 ,3 x2+y2的最小值是(2- 3)2=7-4 .3
22
方程为(x+2)2+y2=2.
答案 (x+2)2+y2=2
第8章 第3节 圆的方程-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
5．已知圆 C 经过点 A(1，3)，B(4，2)，与直线 2x＋y－10＝0 相切，则圆 C 的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析 由题意，设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 因为点 B(4，2)在直线 2x＋y－10＝0 上， 所以点 B(4，2)是圆与直线 2x＋y－10＝0 的切点， 连接圆心 C 和切点的直线和与切线 2x＋y－10＝0 垂直， 则 kBC＝12，则 BC 的方程为 y－2＝12(x－4)， 整理得 x－2y＝0，
(√)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.
(√)
◇教材改编
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别是
( D) A．(2，3)，3
B．(－2，3)， 3
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)， 13
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13， 所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝ 13.
(2)可知yx－＋32表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋3＝0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点， ∴|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2， 可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， ∴yx－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
(3)设 y－x＝b，则 x－y＋b＝0. 当直线 y＝x＋b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， ∴ 1|22＋－（7＋－b1|）2＝2 2，∴b＝9 或 b＝1. ∴y－x 的最大值为 9，最小值为 1.
►考向三 与圆有关的轨迹问题[师生共研] [例 3] 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为 圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y)． 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
高级中学 数学必修2圆方程复习
2
A
O d
r
B
| AB |= (1 + k 2 )[( x A + xB ) 2 − 4 x A xB ]
其中K是直线的斜率， 其中K是直线的斜率，XA、xB是直线和圆交点的横坐标
解析几何中，解决圆的弦长、 解析几何中 ， 解决圆的弦长 、 弦心距 的计算常常利用几何方法
• •
例题.方程y= − 4 − x 对应的曲线是（ A ）
2 2 2
( x − x1 )( x − x 2 ) + ( y − y1 )( y − y2 ) = 0
特别注意．二元二次方程表示圆的充要条件
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的方程 表示圆的方程
A=C≠0 B=0 D2+E2-4AF＞0 ＞
三.圆的一般方程 圆的一般方程
x + y + Dx + Ey + F = 0
即
|5 k + 5 | 1+ k
2
= 1 ⇒ 12 k
2
+ 25 k + 12 = 0 ⇒ k = −
3 4
或 k = −
4 3
3 4 故所求直线的方程是 y − 3 = − （ x + 3）或 y − 3 = − （ x + 3） 3 4
即：3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 x+4 x+3y+3
|2 k + 2 + 3 + 3 k | 1+ = − 4
4 3
所求直线的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0 所求直线的方程是3x+4 x+3y+3 y A o C’ C x
2025高考数学一轮复习-2.1.1-圆的标准方程【课件】
由已知条件知(－1－a)2＋(1－b)2＝r2， a＋b－2＝0， a＝1，
解此方程组，得b＝1， r2＝4.
故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
法二：设点 C 为圆心，∵点 C 在直线 x＋y－2＝0 上， ∴可设点 C 的坐标为(a，2－a). 又∵该圆经过 A，B 两点， ∴|CA|＝|CB|. ∴ (a－1)2＋(2－a＋1)2 ＝ (a＋1)2＋(2－a－1)2， 解得 a＝1. ∴圆心坐标为 C(1，1)，半径长 r＝|CA|＝2. 故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.
平面内确定圆的要素是什么？ [提示] 圆心坐标和半径．
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2 表示圆．
()
(2)若圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝m2(m≠0)，则圆心为(a，
b)，半径为 m．
()
(3)圆心是原点的圆的标准方程是 x2＋y2＝r2(r＞0)． ( )
位置关系 d 与 r 的大小 图示 点 P 的坐标的特点
点在圆外 d＞__r
(x0－a)2＋(y0－b)2＞__r2
位置关系 d 与 r 的大小 图示 点 P 的坐标的特点
点在圆上 d＝__r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝__r2
点在圆内 d＜__r
(x0－a)2＋(y0－b)2＜__r2
3.已知点 P(1，－1)在圆(x＋2)2＋y2＝m 的内部，则实数 m 的取值范围是________．
m＞10 [由条件知(1＋2)2＋(－1)2＜m，解得 m＞10.]
关键能力·合作探究释疑难类1 类型2 类型3类型 1 求圆的标准方程
034圆的方程复习课
034 圆的方程复习课【学习目标】1．掌握圆的定义及标准方程、一般方程．2．会用待定系数法求圆的方程，处理较为简单的有关圆的实际问题．【学习重难点】重点：圆的定义及标准方程、一般方程难点：会用待定系数法求圆的方程【学法指导及要求】熟练记忆并理解两种圆的方程，体会待定系数法和轨迹法求圆的方程的一般方法．【学习过程】一、复习回顾：（或者新课引入）知识点一圆的标准方程：222)()(r b y a x =-+-，其中圆心为(,)A a b ，半径为r ．特别地，当圆心为原点O (0,0),圆的标准方程为222x y r +=．知识点二圆的一般方程：当D 2＋E 2－4F >0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0称为圆的一般方程．二、典型例题:（2-3个例题）例1．已知圆C 经过点A (0，－6)，B (1，－5)，且圆心在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆C 的方程．变式训练 求经过点P (1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x ＋3y ＋1＝0上的圆的标准方程．例2．如果圆的方程为x 2＋y 2＋kx ＋2y ＋k 2＝0，那么当圆的面积最大时，圆心坐标为________．变式训练 已知定点P 1(－1,0)，P 2(1,0)，动点M 满足|MP 1|＝2|MP 2|，则构成△MP 1P 2面积的最大值是( ) A. 2 B ．2 2 C.233D ．23反思：（也可留白让学生总结）四、课堂反馈：（2-3个题）1．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是__________________．2．与y 轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．五、课堂总结：1、2、智慧作业：（30分钟， 2--3个单选+1--2个多选+1--2个填空+1--2个解答）（总共6-8个题）一、单选题1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )A ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝9B ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝3C ．(x ＋1)2＋(y －2)2＝3D ．(x －1)2＋(y ＋2)2＝92．点P (1,3)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )A ．在圆外B ．在圆内C ．在圆上D ．不确定3．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的标准方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝1二、多选题4．已知方程x 2+y 2+3ax +ay +52a 2+a -1=0,若方程表示圆,则a 的值可能为( )A.-2B.0C.1D.3三、填空题5．已知点A (3，－2)，B (－5,4)，以线段AB 为直径的圆的标准方程是________．6．若点(a ＋1，a －1)在圆x 2＋y 2－2ay －4＝0的内部(不包括边界)，则a 的取值范围是________．四、解答题7．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，求圆的标准方程．。
圆的方程复习PPT精品课件
没有羽毛动物:
还可以根据其他特征，将他们进行分类
例如 有足和无足 胎生和卵生 有脊柱和无脊柱
根据体内有无脊椎骨
我们可以将所有动物分为两大类
脊椎动物 和
无脊椎动物
脊椎动物
常见的6类动物：
哺乳类动物： 像猫那样， 身体表面长毛， 胎生、小时侯吃奶。
鸟类动物： 像鸽子、鹰那样身体表面长羽毛、 有一对翅膀、 一 对脚、 产卵、 由大鸟孵化出来的动物。
则方程： (X2+Y2+D1X+ E1Y+F1)+λ(X2+Y2+D2X+E2Y+F2)=0(λ≠ -1)
表示过圆C1 ,C2交点的圆的方程 当λ= -1 时,方程为(D1 – D2)x+ (E1 – E2)Y+ F1 – F2=0表示圆C1 ,C2的 公共弦所在的直线方程
直线直线：Ax+By+C=0;圆: (x-a)2 + (y-b)2 =r2，
圆心到直线的距离 d=
方法二：判别式法
直线：Ax+By+C=0;圆：x2 + y2 +Dx+Ey+F=0
一元二次方程
圆与圆位置关系的判定方法：几何法
设两圆的半径分别为R和r (R>r), 圆心距为d ，那么：
(1)两圆外离 (2)两圆外切 (3)两圆相交 (4)两圆内切 (5)两圆内含
动物的共同特点：
1、都会运动； 2、都需要食物、空气和水； 3、都能繁殖后代； 4、都有生长的能力； 5、都能够对外界变化做出反应。
D2 E 2 4F 0
圆心(
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E 2
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2、弦长计算
r O d
(1)几何法：
解由弦心距、半弦及半 径构成的直角三角形；
(2)代数法：
2 2 l ( 1 k )( x x ) 运用弦长公式 1 2 ，
圆与方程复习课
几何关系与代数式 之间的相互转化
一、知识扫描：
1、圆的标准方程和一般方程 2、直线与圆的位置关系 3、圆与圆的位置关系 4、直线与圆的方程应用 5、空间直角坐标系
知识扫描：圆的方程
求圆的方程——待定系数法
圆的方程形式
( x a) ( பைடு நூலகம் b) r 1.标准方程：
2 2
其中k为直线的斜率，x1,x2为直 线与圆的两个交点的横坐标.
3.切线的方程的求法 ①圆C的方程为：
（1）求经过圆上一点M ( x0，y0 )的切线的方程 ：
x y r
2 2
2
2
②圆C的方程为：
( x a) ( y b) r
2
2
2
切线方程为： ( x0 a)( x a) ( y0 b)( y b) r
2 2
( 1)
4.圆系方程
x y Dx Ey F 0
2 2
ax by c 0
（2）过直线与圆的交点的圆的方程：
x y Dx Ey F (ax by c ) 0
2 2
题型点击：求圆的方程
4） -1 ） （1）经过 P(2， , Q（3， 两点，并且在 x 轴上截得的
（1）求圆 C 的方程； （2）若 OP OQ 2 ，求实数 k 的值；
1) 作直线 l1 与 l 垂直，且直线 l1 与圆 C 交于 （3）过点 (0，
M 、 N 两点，求四边形 PMQN 面积的最大值.
方法扫描：求轨迹方程的方法
１、建立恰当的坐标系 ２、寻找等量关系，几何条件 ３、将找到的等价关系转变为代数表达式 ４、化简得到轨迹方程 ５、检查是否有空缺的不满足条件的点，若 有则需挖去
y+2
2 2 2 x y 2 ax a 4 0 6、两圆
2 2 2 和 x y 4by 1 4b 0
1 1 2 2 b R ab 0 a R 恰有三条共切线，若 ， ，且 ，求 a b 的
最小值
方法扫描：
1、数形结合
2、方程思想
题型点击：
2) ，且圆心 C 在直线 0) ， B(0， 7 、已知圆 C 经过点 A(2， y x 上，又直线 l : y kx 1 与圆 C 交于 P 、 Q 两点.
5.圆系方程
x y D1 x E1 y F1 0 2 2 x y D2 x E2 y F2 0
2 2
（1）过两圆的交点的圆的方程： 2 2 x y D1 x E1 y F1
( x y D2 x E2 y F2 ) 0
2 2
2
x y Dx Ey F 0 2.一般方程： 2 2 ( D E 4F 0) 3.参数方程：
4.直径方程：以A(x1,y1)，B(x2,y2)为直径
x a r cos y b r sin
(为参数 )
( x x1 )( x x2 ) ( y y1 )( y y2 ) 0
弦长等于 6 ； （ 2 ） 圆 心 在 x y40 上 ， 并 且 经 过 两 圆
C1: x 2 y 2 4x 3 0 和 C2 : x 2 y 2 4 y 3 0 的交点；
（3）与 为6 .
0) ,并且在 y 轴上截得的弦长 x 轴相切于点 A(3，
知识扫描：直线与圆的位置关系
(2)求经过圆外一点M ( x0，y0 ) 的切线的方程:
法①：设直线为 y y0 k ( x x0 )，化为一般式， 由圆心到直线的距离等于半径，求 k （注意 k 不存在 的情况）
法②:设直线为 y y0 k ( x x0 )，代入圆的方程， 消元为一元二次方程，由 0，求出（注意 k k 不存 在的情况）
题型点击：
10、过原点O作圆x2+y2-8x=0的弦OA。 (1)求弦OA中点M的轨迹方程； (2)延长OA到N，使|OA|=|AN|，求N点的轨迹 方程.
11、两个定点的距离为6，动点M到 这两个定点的距离的平方和为26， 求M的轨迹方程。
题型点击：
4、已知过点 A(1,0) 的动直线 l 与圆 C : x ( y 3) 4 相交
2 2
于
N．
P, Q 两点， M 是 PQ 中点，l 与直线 m : x 3 y 6 0 相交于
（1）求证：当 l 与 m 垂直时， l 必过圆心 C ; （2）当 PQ 2 3 时，求直线 l 的方程; （3）探索 AM AN 是否与直线 l 的倾斜 角有关?若无关，请求出其值；若有关，请 说明理由．
知识扫描：圆与圆的位置关系
1、位置关系的判断——几何方法：比较
圆心距与R+r以及R-r的关系（R＞r） 2、最值问题——转化为几何元素，数形 结合
3、圆系的问题，利用一些条件求圆的方程
点拨：抓住圆的特征，注意垂直关系等的应用。
题型点击：
5、已知点Ｐ(x,y)是圆x2+y2=1上任意一点， 求u= x+2 的取值范围。