铅锤高求三角形面积法解析

铅锤法求二次函数三角形面积

三角形是我们数学中很常见的一个几何图形，从小学我们就开始接触。我们知道，三角形的面积应该等于底乘以高除以二，但是在初中求解三角形的面积时却玩出了新花样，因为不会直接告诉我们三角形的底和高，最常见的是在反比例函数和二次函数中。在二次函数中，经常会求解三角形面积的最大值，常用的方法之一就是铅锤法。

在了解什么是铅锤法之前，我们先了解一下，铅锤法中涉及到的知识点。

1.坐标系中怎么求三角形的面积？常用的方法有哪些？

坐标系中求三角形的面积，方法和几何中求三角形的面积类似。割补法（“不规则”的三角形，也就是不知道底和高的三角形）、面积法（规则三角形）、铅锤法、转化法（同底等高的三角形面积相等）

2.坐标系中一般怎么求解特殊线段（平行于x轴或y轴的线段）长？

平行于x轴的线段长：右边点的横坐标—左边点的横坐标

平行于y轴的线段长：上面点的纵坐标—下面点的纵坐标3.坐标系中求解什么样的三角形需要用到铅锤法？

三边均不与坐标轴平行的三角形

4.铅锤法的具体做法是什么？什么是铅锤高？什么是水平宽？怎么用铅锤法求三角形的面积？

5.二次函数什么时候取得最大值？

开口向下的二次函数一般在对称轴处取得最大值

这就是利用铅锤法求三角形的面积，首先我们需要做辅助线，过三角形的任意一个顶点做x轴或y轴的垂线，然后去求铅锤高和水平宽，再利用公式：三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半，将三角形面积求解出来。在看一道求三角形面积最值的例题，感受下铅锤法和二次函数最值的求法。

例题2：如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，-2）三点．

【八年级下】数学·一次函数与三角形面积的铅垂线法

关于一次函数，我们已经为大家推送了不少微课、重难点专项，今天为大家推送一次函数与面积结合问题，分两讲：动点和铅垂线法。今天我们两讲，这一讲为大家讲解一次函数与三角形面积的铅垂线法！话不多说，请看下文↓↓

一．问题分析

我们知道，一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴围成一个三角形，若要求这个“坐标三角形”的面积，则只要知道其与x轴，y轴的交点坐标即可，难度不大，故不展开．

但如果有两条直线相交，你会求它们与坐标轴围成的三角形面积吗？

甚至如果有三条直线相交，你能求出这三条直线围成的三角形面积吗？

本讲就主要研究后2类问题及其变式．

二．实例感悟

(1)两线与一轴

即有两条直线相交，分别求两直线与x轴，y轴围成的三角形面积．例1：

已知直线y1＝－x＋3与y2＝x＋1，求两直线与坐标轴围成的三角形面积．

分析：

显然，我们要先求出5个关键点的坐标，y1与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，y2与x轴交点C的坐标，与y轴交点D的坐标，以及y1与y2的交点E的坐标．并确定△CEA是两直线与x轴围成的三角形，△DEB是两直线与y轴围成的三角形．

小结：

我们发现，三角形的底和高是可以不断变化的，如果两个点均在x 轴上，则用横坐标相减的绝对值表示两点间的距离，若两个点均在y 轴上，则用纵坐标相减的绝对值表示两点间的距离，当然，明确左右和上下的情况下，右减左和上减下，可保证为正．

变式1：

直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)和直线y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴所围成的三角形面积是4，求b1－b2．解析：

二次函数之“铅垂法”求三角形面积

求三角形面积往往用公式

1

2

S a h

∆

=或

1

sin

2

S ab C

∆

=进行计算。在二次函数里，有

时用公式求三角形面积有一定的难度，我们不妨考虑用“铅垂法”来解决。

图1 图2

作法：

1、作铅直线PM交线段AB于点M；

2、分别过A、B两点作PM的垂线段。

计算：

如图1：S△PAB= S△PMA+S△PMB=1

2

×PM×h2+

1

2

×PM×h1=

1

2

×PM×(h2+h1)；①

如图2：S△PAB= S△PMA﹣S△PMB=1

2

×PM×h2－

1

2

×PM×h1=

1

2

×PM×(h2－h1)。②

理解：

我们把公式中的PM称为三角形的“铅直高度”，把(h2+h1)或(h2－h1)称为三角形的“水平宽度”，则三角形的面积等于“铅直高度”与“水平宽度”积的一半。特别地，在二次函数中，三角形的“铅直高度”就是动点P和铅直线PM与线段AB交点M的纵坐标之差（y P －y M），“水平宽度”就是两定点A与B的横坐标之差（x B－x A），即

S△=1

2

×（y P－y M）×（x B－x A）。我们把这种求三角形面积的方法叫做“铅垂法”。

运用：

例：如图，直线l:y=−x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点，抛物线y=ax2−2ax+a+4(a<0)经过点B。

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M 的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值及此时动点M的坐标。

解答：（1）y=－x 2+2x+3；

铅锤高求三角形面积法

作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法

------------ 二次函数教课反思

近来教课二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好方法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀” ，同学们很快掌握了这类

方法现总结以下：如图

1，过△ ABC 的三个极点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的

距离叫△ ABC 的“水平宽” ( a ) ，中间的这条直线在△ ABC 内部线段的长度叫△ ABC 的“铅垂高 ( h ) ” . 我们

可得出一种计算三角形面积的新方法：

S ABC

1

ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半

.

2

y

铅垂高

B

C

h

C

D

B

水平宽

A O x

A O

x

a

图 1

P

例 1．（2013 深圳）如图，在直角坐标系中，点

A 的坐标为（－ 2， 0），连接 OA ，将线段 OA 绕原点

O 顺时针旋转 120°，获得线段

OB. （ 1）求点 B 的坐标；（ 2）求经过 A 、O 、B 三点的抛物线的分析式；

（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上能否存在点 C ，使△ BOC 的周长最小？若存在，求出点 C 的坐标；若不

存在，请说明原由 . （ 4）假如点 P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在 x 轴的下方，那么△ PAB 能否有最

大面积？如有，求出此时 P 点的坐标及△ PAB 的最大面积；若没有，请说明原由.

解：（ 1）B （ 1， 3 ）

（ 2）设抛物线的分析式为 y=ax(x+a )，代入点 B （ 1,

铅垂法求三角形面积

二次函数三角形之面积问题（铅垂法）

专题前请先思考以下问题:

问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？

问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？

问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？

问题4：铅垂法的具体做法是什么？

问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？

以下是问题及答案，请对比参考:

问题1：坐标系背景下问题的处理原则是什么？

答：充分利用横平竖直线段长，几何特征函数特征互转。

问题2：坐标系中处理面积问题的思路有哪些？

答：公式法（规则图形）；割补法（分割求和，补形作差）；转化法（例：同底等高）。

问题3：具有什么样特征的三角形在表达面积时会使用铅垂法？

答：三边均是斜放置在坐标系中的三角形在表达面积时一般使用铅垂法。

问题4：铅垂法的具体做法是什么？

答：若是固定的三角形，则可从任意一点作铅垂；若为变化的图形，则从动点向另外两点所在的定直线作铅垂。

问题5：如何利用铅垂法表达三角形的面积？

答：从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。

例1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为(4,1)

的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为(0,3)．点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，当△PAC的面积最大时，求P的坐标和△PAC的最大面积.

解：

试题难度：三颗星知识点：铅垂法求面积（铅垂线在三角形内部）

例2：如图，一次函数

1

2

y x

=+与y轴、x轴分别交于点A，B，抛物线2

水平宽铅垂高求三角形面积

作三角形铅垂高是解决三角形面积问题的一个好办法

------------二次函数教学

反思

铅垂高

如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=1\2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．

最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现总结如下：如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1

=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

A 的

顺时针

2）求

经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△PAB 是否

图1

有最大面积若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.

解：（1）B （1，

3）

（2）设抛物线的解析式为y =ax (x+a )，代入点B （1,

三角形面积铅垂法公式

就是沿三角形的最高点做一条垂直于平面的直线,另外两点作这条线的垂线,如果在平面直角坐标系中,两条高就是两个点横坐标的差,再求出那条直线在三角形内的长就行了。

设三角形abc，铅垂线ad垂直bc焦点d，面积为ad*bc/2。三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段‘首尾’顺次连接所组成的封闭图形，在数学、建筑学有应用。

常用的三角形按边棕斑普通三角形（三条边都不成正比），等腰三角（腰与底左右的等腰三角形、腰与底成正比的等腰三角形即为等边三角形）；按角分存有直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形泛称横三角形。

从动点向另外两点所在的固定直线作铅垂，将变化的竖直线段作为三角形的底，则高就是两个定点的横坐标之差，然后结合三角形的面积公式表达。

用铅垂高法计算三角形的面积

・．．
ｆｓ。＼
｛
ＰＥ＝一ａ２ — ２。＋３一（口＋３＝－ａ２ — ３ａ
‘ ．
．
Ｓ口 ∞ 忸＝ｓｓ △ ∞ ｝Ｄ曰 ‘ ＯＣ＋｝ＯＢ ‘ 船
＝一×３ ×３＋ — １× ３・（一６２ — ３ａ）
证明如下：
ｈ。Ｓ￣Ｂｃ＝Ｓ △ ｃｓ。－１－一
２
｝ｎ２
＝
）＝
利用茎三嘉角形面积等于水平宽与铅垂Ｌ函
稠
高乘积的一半的方法去求三角形的面积会有三种方法，这三种方法中的铅垂高有一种是在三角形的里面，有两种是在三角形的外
１
１
、
知识引入
用铅垂高的方法简单计算方便，不容易出错。如图ｌ，过ＡＡＢＣ的三个顶点分别作出与水平线垂直的三算量大，【例２】如图５：已知抛物线，，＝嬲ｚ＋６＋３（ａ ≠０）与轴交于点Ａ条直线，外侧两条直线之间的距离叫ＡＡＢＣ的“ 水平宽 ” ㈨，中（１，０１和点Ｂ（一３，ｏ１，与Ｙ轴交于点ｃ。若点Ｅ为第二象限抛物线间的这条直线在ＡＡＢＣ内部线段的长度叫ＡＡＢＣ的 “ 铅垂高

完整版铅锤高求三角形面积法

作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法

最近教学二次函数遇到很多求三角形面积的问题，经过研究，我发现作三角形铅锤高是解决三角形面积问题的一个好办法。在课堂上我还风趣地说遇到“歪歪三角形中间砍一刀”，同学们很快掌握了这种方法现陈述总结如下：如图1，过△A B C 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△A B C 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△A B C 内部线段的长度叫△A B C 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ah S ABC 2

1

=∆，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.

例1．（2013深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结O A ，将线段O A 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段O B .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△B O C 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P A B 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P A B 的最大面积；若没有，请说明理由. 解：（1）B （1

（2）设抛物线的解析式为y =a x (x +a )，代入点B （1,

，得a =

，因此2y x =

+ （3）如图，抛物线的对称轴是直线x =—1，当点C 位于对称轴与线段A B 的交点时，

△B O C 的周长最小.

三角形面积公式——之水平宽铅垂高叶茂恒

三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现

如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD BD ，

通常取最外两条垂线的宽度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B ）之间的距离.

公式推导

如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝11

22

AG BD CH +＝()12AG CH BD +＝1

2

EF BD .

公式应用1——上下垂线

例1（适合八年级）如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（）.

A .

281a B . 2161a C . 2

32

1a D .

说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF 利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.

解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），

∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（

1

2a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，1

2a ），

∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，1

4a ）.

过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横

坐标为3

8

a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点

G 的纵坐标为3

8

a ，

∴△BDF 的铅垂高FG ＝38a －14a ＝1

铅垂线法求三角形面积

铅垂线法是一种求三角形面积的方法，其基本思路是通过画出三角形的高线，将三角形分为两个直角三角形，并利用直角三角形的面积公式求出三角形的面积。具体步骤如下：

1. 从三角形的顶点向底边引一条垂线，使其与底边垂直相交。

2. 连接垂线的底部和三角形的底边两个端点，形成两个直角三角形。

3. 利用直角三角形的面积公式，分别求出两个直角三角形的面积。

4. 两个直角三角形的面积相加即为整个三角形的面积。

三角形的面积公式为：面积= 底边长度×高/ 2，其中高为垂直于底边的高线的长度。通过这种方法，我们可以简单而准确地求出任意三角形的面积。

三角形面积公式——之水平宽铅垂高

1

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三角形的面积公式计算较多，垂高面积公式会更加的方便. 公式呈现

如右图所示，过△ABC 三个顶点分别作x 线，其中过A ，C 两条垂线与x 轴交于点E ，F 线段EF 的长度称为△ABC 的水平宽，而过B 的垂线与边AC 交于点D ，线段BD 度，对应铅垂高取经过夹在中间的顶点（B ）之间的距离.

公式推导

如右图，过点A ，C 作铅垂高BD 上的高AG ，则有S △ABC ＝S △ABD +S △BCD ＝11

22

AG BD CH +＝()12AG CH BD +＝1

2

EF BD .

公式应用1——上下垂线

例1（适合八年级）如图，已知边长为a 形E ABCD ,为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为中点，则△BFD 的面积是（）.

A .

281a B . 216

1a C . 2

321a D .

说明：本题可以连结CF ，由△BCD 的面积减去与△CDF

2

利用三角形水平宽铅垂高面积公式求得.

解析：不妨以B 为原点，BC 为x 轴，BA 为y 轴建立平面直角坐标系，则点C 坐标为（a ，0），点D 坐标为（a ，a ），

∵E 为AD 的中点，∴点E 坐标为（

1

2a ，a ）， ∵P 为CE 的中点，∴点P 坐标为（34a ，1

2a ），

∵F 为BP 的中点，∴点F 坐标为（38a ，1

4a ）.

过F 点作BC 的垂线交BD 于点G ，则点G 的横

坐标为3

8

a ，又直线BD 的解析式为y x =，∴点

G 的纵坐标为3

8

a ，

2022年中考数学二次函数压轴突破专题06 铅垂法求三角形面积最值问题(学生版)

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求三角形的面积是几何题中常见问题之一，可用的方法也比较多，比如面积公式、割补、等积变形、三角函数甚至海伦公式，本文介绍的方法是在二次函数问题中常用的一种求面积的方法——铅垂法．

【问题描述】在平面直角坐标系中，已知()1,1A 、()7,3B 、()4,7C ，求△ABC 的面积．

【分析】显然对于这样一个位置的三角形，面积公式并不太好用，割补倒是可以一试，比如这样：

构造矩形ADEF ，用矩形面积减去三个三角形面积即可得△ABC 面积．这是在“补”，同样可以采用“割”：

()111

222

ABC

ACD

BCD

S

CD AE CD BF CD AE BF =+=⋅+⋅=+ 此处AE +AF 即为A 、B 两点之间的水平距离．由题意得：AE +BF =6．下求CD ：

根据A 、B 两点坐标求得直线AB 解析式为：12

33y x =+

由点C 坐标(4,7)可得D 点横坐标为4，将4代入直线AB 解析式得D 点纵坐标为2，故D 点坐标为(4,2)，CD =5,

1

65152

ABC

S =⨯⨯=．

【方法总结】作以下定义：

A 、

B 两点之间的水平距离称为“水平宽”；

过点C 作x 轴的垂线与AB 交点为D ，线段CD 即为AB 边的“铅垂高”．

如图可得：=

2

ABC

S

⨯水平宽铅垂高

【解题步骤】

(1)求A 、B 两点水平距离，即水平宽；

(2)过点C 作x 轴垂线与AB 交于点D ，可得点D 横坐标同点C ； (3)求直线AB 解析式并代入点D 横坐标，得点D 纵坐标； (4)根据C 、D 坐标求得铅垂高； (5)利用公式求得三角形面积．

二次函数压轴题铅垂法求三角形面积

1

铅垂法求面积最值