一个常见不等式的加强及应用
一个不等式的加强
一个不等式的加强不等式是研究数量关系的有效工具，在现代数学中具有重要地位。
它试图用一定的条件来推断一个数量的大小关系，以此来表达某种结果或解决问题。
近年来，再加强不等式的研究受到了广泛的关注，旨在突破现有不等式存在的局限性，为理论研究和实际应用提供更有效的支持。
首先，加强不等式可以增强现有不等式的严谨性。
在传统不等式中，通常仅关注实数值之间的变化规律，比如不等式可以指出一个数量之间的大小关系，但不能很好地描述数值的变化趋势。
加强不等式的发展出现了非常不同的趋势，例如允许参数变化而获得更严谨的结果，以及允许参数变化而获得更宽的范围内的结果，从而更好地描述了实数的变化规律。
其次，加强不等式可以提高研究的准确性。
通常，由于研究的结果受到微小参数的影响，传统不等式无法满足研究的需求。
因此，加强不等式的研究受到了越来越多的重视，其中包括改进不等式的表示形式，以及引入新的增强方法，从而更好地模拟数值变化过程，获得更精确的结果。
此外，加强不等式还可以实现更高精度的模拟。
比如，在传统的积分不等式中，将近似替换为精确的积分可以提高精度，但也可能增加计算难度。
相反，在加强不等式的研究过程中，精确模拟和降低计算难度更容易达到相同的目标。
例如，在结果估计方面，可以通过加强不等式找到更高精度的模型，从而减少不确定性，提高结果的准确性。
总的来说，加强不等式的研究是当前数学研究领域的一个重要热点，它可以有效地提高研究的严谨性，准确性以及精度，为理论研究和实际应用提供更全面的支持。
在此基础上，研究人员需要进一步开发和完善增强不等式的理论体系，并着力研究不同类型及其特点，进而从计算难度和效率上获得最优化的解决方案。
另外，将加强不等式与其他数学工具，如函数空间理论，联合考虑，可以开辟出更多有趣的研究方向，为研究更复杂的应用场景提供更有效的支持。
未来，加强不等式的研究将得到进一步的发展，为解决实际问题和提高理论研究的准确性提供新的可能性，同时也将为现有的数学理论研究带来新的挑战和发展空间。
一个不等式的加强
一个不等式的加强
1不等式的加强
不等式是数学方法中的一种重要的概念，广泛应用于统计和科学研究中。
在中学数学课程中，学生们学习这个抽象的概念，但实际中不等式可以进行多种形式的加强，以及更复杂的分析方法。
不等式加强可以使不等式变得更加准确和精确，使得各种数理计算变得更容易。
它主要是考虑到不等式可能出现的计算误差，以及其可能的特殊情况，如某些不等式解可能会受影响。
普遍的不等式加强方法有不等式分裂、不等式乘数和不等式变换等。
不等式分裂是将原来的不等式分解为更多简单的不等式，对不等式的分析变得更加清晰。
不等式乘数是在不等式中加入一个负相关的乘数，使得满足不等式的解得到加强，从而解出更多正确的解。
不等式变换是将原大式中的变量进行替换，在替换过程中增大解的可能性，希望得到一个精确的解。
一般来说，在不等式加强方法中，重点是寻找一个更恰当的不等式表达方式。
比如将一个不等式f(x)=y改写为f(x)>y或者f(x)<y形式，可以更加准确的表示一个不等式的意思，并有助于准确求解这个等式。
此外，还需要加强分析能力，在不等式改写时，要尽可能考虑到整个问题的复杂性，以及每个参数可能带来的影响，这样才能更准确的改写出一个满足要求的不等式。
尽管加强不等式不是一个简单的小技巧，但是只要有恰当的方法在其中加以运用，就可以取得良好的成效。
在平常的数学作业中，可以多利用这个方法，从而提高题目的准确性，也可以节省时间和经历。
此外，对于想要学习数学的学生来说，既要掌握加强不等式的方法，也要明白将不等式加以强化，使其更恰当的意义。
概率论中几个不等式的推广及应用
概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。
（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。
（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。
（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。
（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。
2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。
（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。
（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。
（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。
（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。
三元均值不等式的加强及其应用
三元均值不等式的加强及其应用引言在数学中，不等式是研究各种数学问题的重要工具之一。
三元均值不等式是数学中一类常见的不等式，它在很多问题中起到了重要的作用。
本文将介绍三元均值不等式的加强及其应用。
一、三元均值不等式及其证明三元均值不等式是指对于任意的非负实数$a$、$b$和$c$，成立以下不等式关系：$$\f ra c{a+b}{2}\ge q\sq rt{a b}\q ua d\t e xt{(1)}$$$$\f ra c{a+b+c}{3}\g e q\sq rt[3]{ab c}\q ua d\te xt{(2)}$$这两个不等式是数学中常用的基本不等式。
下面我们来证明这两个不等式。
1.不等式(1)的证明设$x=\s qr t{a}$，$y=\sq rt{b}$，则$x$和$y$为非负实数。
根据算术-几何平均不等式，有：$$\f ra c{x+y}{2}\ge q\sq rt{x y}\q ua d\t e xt{(3)}$$由于$\sq rt{a+b}=\s qr t{x^2+y^2}\ge q\s qr t{x^2}=x$，同理$\sq rt{a+b}\ge qy$，故有：$$\f ra c{a+b}{2}=\fr a c{x^2+y^2}{2}\g e q\fr ac{x+y}{2}\g eq\s qr t{x y}=\sq rt{a b}$$因此，不等式(1)得证。
2.不等式(2)的证明设$x=\s qr t[3]{a}$，$y=\sq rt[3]{b}$，$z=\s qr t[3]{c}$，则$x$、$y$和$z$为非负实数。
根据算术-几何平均不等式，有：$$\f ra c{x+y+z}{3}\g e q\sq rt[3]{xy z}$$由于$\sq rt[3]{a+b+c}=\sq rt[3]{x^3+y^3+z^3}\g eq\s qr t[3]{x^3}=x $，同理$\sq rt[3]{a+b+c}\ge qy$，$\s qr t[3]{a+b+c}\g e qz$，故有：$$\f ra c{a+b+c}{3}=\f ra c{x^3+y^3+z^3}{3}\ge q\fr ac{x+y+z}{3}\ge q\sq rt[3]{xyz}=\sq rt[3]{ab c}$$因此，不等式(2)得证。
一类优美代数不等式的合情加强
（ 、 ７ 。 ）
…
…
（ ４ ）
．
其中（ ７ ） 式取 等号 当且仅 当ａ＝ ｂ＝ Ｃ＝ （ 下转第７ － ４ ９ 页）
并且 （ ４ ） 式取等 号当且仅 当 ａ＝ ｂ ＝Ｃ ．
２ ０ １ ３ 年第 ７ 期
２ ｔ＋ ４、 ３ ｔ
数 学教 学
７ ４ ９
＋ ４ 均 不 为 整 数 ． 故 Ⅳ （ ） ＝ ４ ＋ ４ ＋ 直 线 ２ 过 点 （ １ ， ３ ） 时 ， ＝ 詈 ； 直 线 ２ Ａ 过 点 １ ， ２ ） 时 ， ＝ ２ ； 直 线 ｚ Ａ 过 点 （ ２ ， ３ ） 时 ， ＝ 耋 综上所述， 函数 Ｎ（ ｔ ） 的值域为 ｛ ９ ， １ １ ， １ ２ ｝ ． （
】 １ １ ３
车 ＋ ＋ 。 十 Ｙ ＋ ’ ＋ ｚ ≥
＋ ＿ Ｊ ｋ ． ‘ ……………………………・ ・ （ ４ ）
利用三元柯西（ Ｃ ａ ｕ ｃ ｈ ｙ ） 不等式（ ０ ｛ ＋ｎ ； ＋ 凸 ； ） （ ６ ｝ ＋ｂ ； ＋６ ； ） ≥（ ａ ｌ ｂ ｌ ＋ａ ２ ｂ ２ ＋ａ ３ ｂ ３ ） ２ ， 有
】 １ １
所 以， 定理 １ 获证 ．
Ｆ ＋ 而
—
＋
Ｆ
≥
注意到 ３ ＋ｋ ３ 一 （ ＋ｋ ） ＝（ ＋ ） （ 一 ２ ＋ｋ ） ＝（ ＋ ） （ 一 ） ≥０ ， 即入 ３ ＋ｋ ３ ≥ （ ＋ ） ， 有
３ ３
当 ｔ≠ ０ 时， 直线 ｆ Ａ 。 的方 程 为 ＝ ４
，
ｔ ０ （ ０ ， ４ ） ４ — ３ — （ ２ （ ２ ， ； ） — ３ ８ — （ ４
整 点个 数 ９ １ ２ ｌ １ １ ２ １ １ １ ２ １ １ １ ２ ９
关于三角形中线长的一个不等式的加强及其对偶不等式
(3 R 4r ) s 2 12 R2r (3 R 4 r )( s
2
3Rr 2 ≥ 0
2
16Rr + 5r ) + 2r ( R 2r )(18 R 5r ) ≥ 0.
由 Gerretsen 不等 式 : s 2 ≥ 16Rr 5r 2 及 Euler 不等式: R ≥ 2 r , 知上式显然成立, 故定理 获证. 注意到 (2) 、(3) 式知 2 ma2 + mb + mc2
∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽∽ ( 接 P4) 参考文献
[1]余文森等.关注资源、 学科与课堂的统整.华东师范 大学出版社.2005 . [2]徐英俊.教学设计.教育科学出版社.2001. [3]柯跃海.交流——数学课堂的主旋律.福建中学数 学.2003.12. [4]柯跃海.数学研究性学习与课堂学习的整合初探. 福建中学数学.2005 .12.
cmc2 = (2 ca 2 + 2b 2 c c 3 ) / 4 . 以上三式相加, 并应用引理 2 的(4) 式, 有 am + bm + cm
2 a 2 b 2 c
巧 用 权 方 和 不 等 式 求 最 值
湖南师范大学数学与计算机科学学院 邹宇 沈文选 李章
= [2(a 2 b + b2 c + c 2a ) + 2( ab2 + bc 2 + ca 2 ) ( a 3 + b 3 + c3 )] /4 ≥ 9abc / 4 , m2 m2 m2 9 a + b + c ≥ . bc ca ab 4 定理 1 获证 . 易知三角形中的不等式(3)(即 (4)) 与代数 不等式(2) 等价 .所以说定理 1 几何不等式(1) 与代数不等式(2) 等价 .由于(2)式的“精确性” 已为众所周知 , 所以 (1) 式的精确程度可见一 斑. 2 对偶不等式 注意到由三角形中线长公式: ∴ m = (2 b + 2c
一个重要不等式的证明及应用
（） －１ ３ ，９ １
双 曲线 上 任 意一 点 作 平行 于 渐 近 线 的 两条 直线 ， 分别 交 与 点 Ｂ ， Ｃ ．求证 所 作 的两 条直 线 与 渐近 线
厂—————— 丁一
＝
（ ２ ）
从而 ｆ（１＋ ｘ） ｘ） ｆ（２＋…＋ （ ． ｆ ｘ＋ ）
≥（ ＋ ） （ 尼 １ ／ ） ，
厂—————
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＋ （ ６ … ） ２ 而 ］
＝
（ ａ …ａ ＋ ￣ ， …ｂ １ ２ 川 ／ｂ ｋ ） ｑ ￣ ＋ ， ｂ
数 ，证 明 ：
≥√ｌ …口＋ ｂ￣ ）， （口 ２ ｑ，… 口 ｂ
√口＋１ａ＋ …（ ） ａ ２ ＋ ｂ２ （ ｂ（ ） ＋ ｑ１ … ｑ，… ｌ ）２ ａ ｂ
当且仅 当 ＿ ：＿ 一 一 ＿ ａ ａ ｌ ２ ａ ｎ时 ，等 号成立 ．
ｑ Ｄ ２ Ｏ ｎ
ห้องสมุดไป่ตู้
当仅 詈 一 时等成・ 且当 一 ，号立
一
个重要 不等式 的证 明及应用
湖北省监利县朱河中学 （３ ３５ ４３２）
假 设 当 ｒ （ ２ 时 ，原 不等 式成立 ，即 ｌ ｋ ） ＝ｋ
（． １ ＋ ２…（ ＋ ） 口＋６ （： ６） ）
黄 尚鹏
１ ．不等式的提出 设 ａ ，２ …， ｂ，２ …， ≥ ） １ａ ， ａ ； ｌｂ ， （ ２ 是二组正实
２ １ 年第 ９ ０１ 期
Ｏ Ｐ上 ，所 以 ｋ。 ‘ｏ＂ １ Ａ．ｋｅ＝一 且
一
福建 中学数学
一个加强的不等式及其应用
一个加强的不等式及其应用1加强不等式加强不等式是指比较式中取其较大值，用更强的隐式关系来定义复杂函数的上界和下界。
它给比较式施加了更多的限制，因此加强不等式也被称为“紧”不等式。
例如，由x>y衍生的“紧”不等式就是x≥y，由x<y衍生的“紧”不等式就是x≤y。
2加强不等式的概念在数学中，加强不等式是一项基本的概念，用来比较两个不同变量或常量，但以更为严格的方式来建立关系。
记住，加强不等式只是两个不等式之间的关系。
这意味着，加强不等式的形式必须完全符合比较式的形式，而不是将其中一个变成了正确的式子，但却只是将另一个变成了错误的式子。
例如，假设a<b，那么它的加强不等式形式应该是a≤b，而不是a≥b或a>b。
因此，可以看出，只有当a<b时，加强不等式才有益处，它可以帮助使用者在给出条件时保持健壮性。
3加强不等式在几何学中的应用在几何学中，加强不等式主要是限制了任何几何关系的空间和结构，其中最常见的是多边形的面积和图形的周长。
当我们只知道其中一个值时，可以通过加强不等式来求另一个值，从而加强多边形和图形的空间数学特征。
例如，假设有一个三角形ABC，其中AB的长度为6，AC的长度为8，则最大可能的BC的长度不会大于10，因为它是由以下不等式组成的：BC≤10。
4加强不等式在概率论中的应用在概率论中，加强不等式也经常被用来研究定义不同事件的几率，这些事件可能是随机实验中的独立发生或某个条件下的特定结果。
比如我们可以改变某个事件发生的时间，然后通过加强不等式来判断它出现的概率是多少。
一般来说，对于定义对概率的计算，加强不等式可以帮助确定上限和下限的范围，从而可以有效地提高概率的准确性。
因此，通过加强不等式，可以更好地理解传统概率分布和概率分布函数。
5总结总而言之，加强不等式是一个非常重要的数学概念，它用来定义复杂函数的多个上下界，广泛应用于几何学、概率论等领域，有助于求解更复杂的隐式关系函数。
R+.R+.Janic'不等式的加强及应用
初 数研 究R ．R ．Janic ＇不等式的加强及应用山东省高青一中 李 军 （邮编：２５６３００）山东省高青县教研室 董 林 （邮编：２５６３００） 本文约定：△A BC 的三边长为a 、b 、c ，三个内角为A 、B 、C ，外接圆半径为R ，内切圆半径为r ，半周长为s ，面积为△，∑表示循环和，∏表示循环积．R ．R ．Janic ＇曾经建立了如下不等式［１］：９r ≤∑a sin A ≤９２R ①本文将不等式①加强为：１２r －６r ２R ≤∑a sin A ≤４R ＋２r ２R②证明 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C＝２R 及∑a ２＝２s ２－８Rr －２r ２［１］，得∑a sin A ＝１２R ∑a ２＝s ２－４Rr －r ２R．利用Gerresten 不等式［１］：１６Rr －５r ２≤s ２≤４R ２＋４Rr ＋３r ２．立得不等式②成立，证毕．由著名的Euler 不等式R ≥２r ，可知不等式②强于不等式①．推论1 在△A BC 中，有cos A cos B cos C ≤８sin ２A ２sin ２B ２sin２C２③证明 对于不等式②的右边，由正弦定理及三角形恒等式sin A ２sin B ２sin C ２＝r４R及∑cos ２A ＝－４cos A cos B cos C －１，得１２r －６r ２R ≤∑a sin A ≤４R ＋２r ２R 骋∑sin ２A ≤２＋１６sin ２A ２sin ２B ２sin ２C２骋３２－１２∑cos ２A ≤２＋１６sin ２A ２sin ２B ２sin ２C ２骋cos A cos B cos C ≤８sin ２A ２sin ２B ２sin ２C ２， 所以不等式③成立．由Euler 不等式R ≥２r 得sin A ２sin B ２sinC２＝r ４R ≤１８，所以，不等式③加强了熟知的不等式cos A cos B cos C ≤１８．推论2 在△A BC 中，有∑a ２≤８R ２＋４r２④证明 在不等式②的右边利用正弦定理就可得到不等式④．由s ≥３３r 知不等式④加强了S ．Nakajimc不等式∑a ２≤８R ２＋４３３△．推论3 在△A BC 中，有∑a ２≥１２（２R －r ）４R ＋r ３△⑤证明 由Colombier －Doucet 不等式［３］s ２≤（４R ＋r ）２３即s ≤４R ＋r ３．由不等式②利用正弦定理得：∑a ２≥２４Rr －１２r ２＝１２（２R －r ）s △≥１２（２R －r ）４R ＋r３△．由Euler 不等式R ≥２r 易知１２（２R －r ）４R ＋r≥４，所以不等式⑤加强了著名的Weitzenb 迸ck 不等式∑a ２≥４３△．推论4 在△A BC 中，h a 、h b 、h c 分别为其三边上的高，则有∑h b h c h a ≥１２r －６r ２R⑥证明 由a bc ＝４R △及h a ＝２△a等，知∑h b h c h a ＝２△∑a bc ＝２△a bc ∑a ２＝∑a ２２R＝∑a sin A ≥１２r －６r２R，即不等式⑥成立．不等式⑥加强了常见的不等式∑h b h ch a≥９r ．推论5 在△A BC 中，有∏（b ２＋c ２－a ２）≤∏（b ＋c －a ）２ ⑦证明 根据不等式③利用余弦定理及sinA２＝（s －b ）（s －c ）bc等，即得不等式⑦．参考文献１ O ．Bottema 等著，单墫译．几何不等式［M ］．北京：北京大学出版社，１９９１２ S ．Nakajimc ，Tohoku Math ．J ．２５（１９２５）３ G ．Colombier －T ．Doucet ．Problem １０５１．Nouv Ann ．３１（１８７２），４６７（收稿日期：２０１４‐０６‐２３）０５中学数学教学２０１４年第５期。
外森比克不等式a2+b2+c2≥4√3S的一种加强
总之 ， 要提高学生 的数学素养 ， 教师应 当将不 断提升 学 生 的学 习境 界作 为 自己教 学 的一 种追 求．
外 森 比克 不 等 式 ａ ２＋ｂ ２＋ｃ ２≥４ 的 种 加 强 √
●黄 兆Ｊ 瞵 （ 天津港口管理中等专业学校 天津 ３０５ ） ０４６
Ｂ — Ｃ
１ １ 年 ， 名 儿 伺 学 冢 Ｒ． ｅｔｎ ｏ ｋ（ 森 比 ９９ 者 Ｗ ｉ ｂｃ 外 ｅ
大部分学生有 自主学习的愿望 ， 问题在于他们缺乏 进行 有效 自主学 习 的 方 法 和技 术． 学 生 体 验 “ 让 怎
样 编题 ” 的教 学方 式 ， 学生 的 自主学 习提 供 了一 为 种范 式 ， 于引导 学 生 改进 学 习方 式 、 好 经 典 习 对 做 题 的积累 、 会类 比学 习 、 学 培养 创 造 意识 与 探 究 能
２
克） 提出并证明了不等式 口 ＋ ｃＩ４ ， 中 ｂ ＋ √ 其 ＞
０ ｂｃＳ分 别 为 ＡＡ Ｃ的 ３条 边 长 及 面积 ． 文 给 ，，， Ｂ 本 出其如 下 一种 加强 ， 供参 考 ． 加 强命 题 在 ＡＡ Ｃ 中 ， ＢＣ的 面 积 为 Ｓ， Ｂ ＡＡ 角 Ａ， Ｃ的对 边分 别 为 口 ｂｃ则 Ｂ， ， ，，
＋ ２Ｏ Ｃ Ｓ Ｃ ≥４
．
４Ｓ ・３
￣ （ｓ￣（３７１ ｉ １ｉ ） －ｎ）≤ １ ＋ － ３ｓ 丁 ｎ ｉ
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下 面 给 出 加 强 命 颢 的证 明 讨 稃 ．
所以 口 丁－ ６Ｃｓ － ２ ｓ － ２ Ｂ Ｃ＋ ２Ｏ 丁 Ａ Ｃ 。 Ａ Ｂ≥ 丁
不等式的加强与铺垫
不等式的加强与铺垫不等式是数学中常见的一个概念。
它可以用来描述两个量之间的关系，比如大小关系、变化关系等。
在不等式中，加强和铺垫是两个非常重要的概念，它们有助于我们更好地理解不等式，并用它们来解决实际问题。
加强是指在一个不等式的两边同时加上相同的数，使得不等式的关系更加明显。
比如，对于不等式x>3，我们可以在两边同时加上2，得到x+2>5，这个不等式比原来的更加明显，因为它告诉我们x至少要比5大2。
加强在不等式的证明中也非常有用。
比如，在证明一个不等式成立的时候，我们常常需要对不等式的两边都加上或者减去相同的数，使得不等式的形式更加符合我们的需要。
例如，在证明(x+y)^2>=0的时候，我们可以直接根据平方的定义来证明，但是也可以对(x+y)^2进行拆开，得到x^2+2xy+y^2>=0，然后再根据二次方程的解法来证明该不等式成立。
铺垫是指在一个不等式的两边同时乘上一个正数或除以一个正数，使得不等式的关系更加明显。
比如，对于不等式x>3，我们可以在两边同时乘以2，得到2x>6，这个不等式比原来的更加明显，因为它告诉我们x至少要比3大。
铺垫在不等式的证明中也非常有用。
比如，在证明一个不等式成立的时候，我们常常需要将不等式的两边同时乘上一个正数或者分母，从而使得不等式的形式更加符合我们的需要。
例如，在证明a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=3/2的时候，我们可以将左边的分式都乘以2，得到2a/(b+c)+2b/(a+c)+2c/(a+b)>=3，然后再运用柯西-施瓦茨不等式来证明该不等式成立。
综合起来，加强和铺垫都是非常重要的工具，它们能够帮助我们更好地理解和应用不等式。
在学习不等式的时候，我们应该学会如何巧妙地利用加强和铺垫，从而将不等式的形式变得更加简洁明了，并用它们来解决实际问题。
一个常见不等式的加强及应用
一个常见不等式的加强及应用作者：宗仲来源：《数学教学通讯·高中版》2017年第12期[摘要] 一个常见不等式lnx[关键词] 加强不等式；启发；构造；等价变形；外接；证明不等式问题一直是高考命题中的一个热点，对有些不等式的求解，常有学生不会变通或思维定式，导致因运算过繁而计算终止或弃而不解，针对这种情况，本文就结合教学中一个常见的不等式进行了加强和应用，帮助学生优化解题.不等式lnx证明：令f（x）=x-lnx，所以f′（x）=1-=，所以f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）min=f（1）=1，所以x-lnx>1>0，所以x>lnx.同理：令g（x）=ex-x，所以g′（x）=ex-1>0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递增，所以g（x）min=g（0）=1，所以ex-x>1>0，所以ex>x.综上：lnx从图像上来深入研究：y=lnx的图像与y=ex的图像关于直线y=x对称.（1）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位，【加强1】lnx+1≤x≤ex-1（当x=1时等号同时成立）.（2）将y=lnx图像向左平移一个单位，将y=ex图像向右平移一个单位，【加强2】 ln（x+1）≤x≤ex-1（等号不同时成立）.（3）将y=lnx图像向上平移一个单位，将y=ex图像向下平移一个单位，【加强3】lnx+1≤x≤ex-1（等号不同时成立）.（4）将y=lnx图像向左平移一个单位，将y=ex图像向下平移一个单位，【加强4】 ln（x+1）≤x≤ex-1（当x=0时等号同时成立）.（5）将lnx+1≤x变形？圯ln+1≤？圯-lnx+1≤？圯1-≤lnx，【加强5】≤lnx≤x-1（当x=1时等号同时成立）.（6）将x+1带入加强5中，【加强6】≤ln（x+1）≤x（当x=0时等号同时成立）.【加强不等式的应用】例1：用二分法求方程lnx=在[1，2]上的近似值，取中点x=，则下一个有根区间为___________.分析：计算f（x）=lnx-在x=1，x=2，x=处的符号，然后利用零点存在定理确定区间. 此时可利用加强5：≤lnx≤x-1，将x=代入即可得：≤ln≤0，因此下一个有根区间为，2.例2：求证：···…分析：一般看到有关正整数的证明首选的方法便是数学归纳法，而这里我们发现仍然是跟lnx有关的问题，且不等式左边是连续相乘，因此希望左边可以累乘.利用加强5：≤lnx≤x-1可以得到≤（当x=1时等号同时成立），因此···…例3：求证：1+++…+>ln（n+1）（n∈N*）.分析：类似例2，此时我们利用加强6：≤ln（x+1）≤x，将代入得ln+1≤，所以ln≤，所以ln+ln+ln+…+ln所以ln··…=ln（n+1）例4：已知函数f（x）=ex，g（x）=lnx，对于它们的公共定义域内的任意实数x0，我们把f（x0）-g（x0）的值称为两函数在x0处的偏差，求证：函数y=f（x）和函数y=g（x）在公共定义域内的所有偏差都大于2.分析：要证明两函数的所有偏差都大于2，只要证f（x0）-g（x0）>2在公共定义域内恒成立. 利用加强3：lnx+1≤x≤ex-1（等号不同时成立）可得ex≥x+1.又因为lnx+1≤x，所以ex≥x+1≥lnx+2（等号不同时成立），所以ex-lnx>2得证.当然还可以对不等式进一步加强，此外必须强调一点：若要利用强化不等式解题是需要证明的，当然证明类比最初的不等式，利用构造函数的思想处理即可. 另外，加强不等式的相关应用还有很多，需要学生在不断解题过程中去挖掘它们的优势.。
几个常见三角不等式的加强
：
—
同 理 可 得 — １
，
ＣＯ Ｓ
Ｃ ＯＳ
Ｃ Ｃ Ｏ Ｓ （ Ａ — Ｂ）≤ Ｃ ． 所 以（ ａ＋ｂ ） （ ｃ ｏ ｓ Ａ＋
—
≥
， 把 ｊ 以－ 以上 ［ 二 三式 佃， 二 相加 Ｊ ｕ 并利 ／ 卜
ｃ ｏ ｓ Ｂ） ＝ （ ａ ｃ ｏ ｓ Ａ ＋ｂ ｃ ｏ ｓ Ｂ） ＋ （ ａ ｃ ｏ ｓ Ｂ ＋ ｂ ｃ ｏ ｓ Ａ）≤ Ｃ＋ Ｃ ＝ ２ ｃ ， 即 ｃ ｏ ｓ Ａ ＋ｃ ｏ ｓ Ｂ≤
同理可得ｖ 厂
≤
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＋ ＋丁
＋
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２ ０ １ ３年 第 ４期
河北理科教 学研 究
短 文集锦
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北京大学 出版社 ， １ ９ ９ １ ： ２ ９
基本不等式的一个变式及应用
ʏ田发胜设a ,b ɪR ,则a 2+b 2ȡ2a b (当且仅当a =b 时等号成立)㊂在这个基本不等式两边同加上a 2+b 2,可得2(a 2+b 2)ȡa 2+b 2+2a b ,也即2(a 2+b 2)ȡ(a +b )2,再在两边同除以4,得到不等式:a 2+b 22ȡa +b 2()2(当且仅当a =b 时等号成立)㊂这个不等式实现了两个数的平方和与两个数的和之间的相互转化,它在求解最值问题中有着广泛的应用㊂进一步观察这个不等式的结构特征,可以发现不等式的两边是对称的,所以这个不等式只能适用于解决具有对称结构的有关问题㊂如果要解决的问题是不对称的,有没有简捷的解决途径呢?下面给出一个结论,供同学们在学习中参考㊂结论:设x >0,y >0,则对任意的a ,b ɪR ,都有a 2x +b 2y ȡ(a +b )2x +y(当且仅当b x =a y时等号成立)㊂利用作差比较法,很容易证明上面的结论(证明略)㊂利用上面的结论,可以简便地解决一类不等式的最值或证明问题㊂例1 设实数x ,y 满足3x 2+2y 2ɤ6,求p =2x +y 的最大值㊂解:由已知及上述结论得6ȡ3x 2+2y 2=(2x )243+y 212ȡ(2x +y )243+12,即2x +y ɤ11,所以所求的最大值为11㊂例2 设a ,b ɪR ,a 2+2b 2=6,则a +b的最小值是( )㊂A .-22 B .-533C .-3D .-72解:由已知及上述结论得6=a 2+2b 2=a 2+b 212ȡ(a +b )21+12,即a +b ɤ3,所以所求的最小值为-3㊂应选C ㊂例3 已知x ,y 都是正实数,且x +y =1,求1x +4y的最小值㊂解:由上述结论得1x +4y ȡ(1+2)2x +y=9当且仅当x =13,y =23时取等号(),所以1x +4y的最小值是9㊂例4 已知x >0,y >0,且x +2y =4,则x 2x +2+2y 2y +1的最小值为㊂解:由已知条件及上述结论得x 2x +2+2y 2y +1=x 2x +2+(2y )22(y +1)ȡ(x +2y )2x +2y +4=168=2,所以x 2x +2+2y 2y +1的最小值是2㊂例5 设a ,b ,c 为正数,且a +b +c =1,求证:11-a +11-b +11-c ȡ21+a +21+b+21+c㊂证明:由a +b +c =1,可得11-a+11-b +11-c =1b +c +1a +c +1a +b㊂由上述结论得1b +c +1a +cȡ(1+1)2b +c +a +c =4a +b +2c =41+c ,1b +c+1a +b ȡ(1+1)2b +c +a +b =4a +c +2b =41+b ,1a +c +1a +b ȡ(1+1)2a +c +a +b =4b +c +2a=41+a㊂据此相加再除以2,即得所证结论㊂作者单位:山东省淄博四中(责任编辑 郭正华)5知识结构与拓展高一数学 2022年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高一不等式解题技巧
高一不等式解题技巧高一数学中，不等式解题是一个重要的内容。
掌握一些解不等式的技巧对于提高解题效率、加强数学思维能力都有很大帮助。
下面我将介绍一些高一不等式解题的常用技巧，希望对你有所帮助。
一、基本不等式：在不等式解题中，一些基本的不等式是需要掌握的。
其中，最基本的不等式就是对任意实数a、b都成立的数学关系：1. a > b，即a大于b2. a < b，即a小于b3. a ≥ b，即a大于等于b4. a ≤ b，即a小于等于b这些基本不等式在解题过程中常常会用到，所以要熟练掌握。
二、加减乘除法：在解不等式时，一些基本的数学运算对于简化不等式形式也是非常有帮助的。
1.加减法：可以将不等式两边同时加减一个数，不等式的方向不变。
2.乘法：可以将不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向不变；但如果乘以一个负数，不等式的方向会发生改变。
3.除法：可以将不等式两边同时除以一个正数，不等式的方向不变；但如果除以一个负数，不等式的方向会发生改变。
三、绝对值不等式：绝对值不等式是高一常见的一类不等式。
对于形如|a| > b，|a| < b，|a| ≥ b或|a| ≤ b的不等式，我们可以根据a的正负情况分别进行讨论。
1.当a > 0时，对于|a| > b，解得a > b或a < -b；对于|a| < b，解得-b < a < b；对于|a| ≥ b，解得a ≥ b或a ≤ -b；对于|a| ≤ b，解得-b ≤ a ≤ b。
2.当a < 0时，对于|a| > b，解得a > b或a < -b；对于|a| < b，解得-b < a < b；对于|a| ≥ b，解得a ≥ b或a ≤ -b；对于|a| ≤ b，解得-b ≤ a ≤ b。
根据上述讨论，我们可以很方便地解决一般形式的绝对值不等式。
四、二次不等式：二次不等式是高一数学中的重点内容。
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为‘ ４， Ｂ 都是椭 圆上 的点 ， 所 以ｆ ｎ 『 得方
叶 Ｉ Ｉ 辅 助 函数 ． 再借助 函数的性质 来解决 问题会让问题 简单化 ． 而且这 种方法思 路 清晰 ，是一种 不可多得 的好方法 。 如 果 能够 熟练掌握这 种方法 ． 许 多难题将
会迎刃而解．
导 ，得 （ ） ＝
多问题 ． 将这 个常见不等式不断地等价 变形 、 灵活构造 、 充分证 明、 知识构 架下加 强处理 ， 并巧妙 应
用 于常 见的 题 型 中 ． 化 繁 为 简．
加强 不等式 ； 启发 ； 构造 ； 等 价变形 ； 外接 ； 证明 ［ 关键词 ］
不等 式 问题 一 足离 弓命 题 中 的
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解 题．
一
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图３
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Ｈ
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图５
（ ） 在（ ０ ， ＋ ） 上恒成立 ，
所 以 （ ） 在（ ０ ， ＋ ） 上单调递增 ，
所 以ｇ （ ） ． ＝ ｇ （ （ ） ） ＝ ｌ ， 所＞ Ｒ ｅ 一 ＞ ｌ ＞ ０ ，
所 以ｅ ＞ ．
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（ ｙ ２ 。 ） ＝ ０ ， 根 据 中点 公 式 上 式 可 化 简 为
ｘ （ ｘ ２ １ ） ＋ （ － ｙ １ ） ＝ Ｏ ， 所 以～ ｙ ２ － ｙ ｌ ＝
Ｘ２ －Ｘ １
（ ２ ０ １ ７ 年北京市高 考模拟 题 ）已知
。 ， ） 一 ２ （ ＋ ； ） １ ＞ 。 ， 所 以 当 ｅ （ 。 ， １ ）
图４
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证明 ： 钉 （ ） ： 一ｈ Ｉ Ｘ ， 所以 ． ／ ’ （ ） ＝ 卜
１
＝
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Ｘ －】
图２
【 Ｊ Ｊ Ｉ Ｉ 曲 １ 】Ｉ ａ ｒ － ＋ ｌ ≤ ≤‘ 一 （ 当 ＝ １ ］ 、 Ｊ 等
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．
一
所 以厂 （ ） 在（ ０ ， １ ） 上 单调 递 减 ， 在 （ １ ， ＋ 。 。 ） 上单 调进 增 ， 所 以， ’ （ 』 ）
时等号同日 寸 成立） ．
（ ５ ） 将ｌ ｎ ｘ ＋ ｌ ≤Ｙ 变形 ｊ ｌ ｎ １＋ １ ≤ Ｉ ｊ
Ｉ ｎ ｘ ＋１≤
—
综 上： ｌ ｍ＇ ＜ ａ ＜ （ 、 在（ ０ ， ＋ ∞） 恒成立． 从 图 像 来 深 入 研 究 ＝ Ｉ ｍｄ ＇ ｌ ￣ Ｊ 像 ｊ 的 图像 关 丁 线 刈 称．
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个热 点 ． 对 有 此 小 等 的 求 解 ． 常 有 小解 ． 针 对 这 种
学 生 会 变 通 或 思 维 定 式 ． 致 运 算 过 繁 计 算 终 止 成
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图１
同叫成 ０ ） ．
（ ３ ） 将
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将ｙ ： ｅ 像 Ｆ 移一 个 化 ．
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（ １ ） 求｝ 拊线 Ｙ － ＿ ｆ （ ） 在点 （ ０ （ ０ ） ） 处 的 切线 方 程 ：
一
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而
即为
， 曰 两点 的直 线斜
写在最 后
古 语有云 ： “ 他Ｉ 之石 ，可以攻玉” ． 高中数学 中所 学到 的数 列 、 方程 、 函数
２
一
２（ １ 托 ） ＝
．当
吲 ＝ ｏ ， ①
程 组
ｌ
∈（ ０ ， １ ） 时， Ｆ （ ） 恒 大于０ ， 所 以 （ ） 在
； ＋ ｙ ０ ， ②
（ ０ ， １ ） 上是单渊增 函数 ， 所以Ｆ （ ） ＞ （ Ｏ ） ＝
②一 ① 得 Ｉ＾ １（ ２ 叫１ ） （ ２ １ ） ＋ （ ｙ ２ － ｙ １ ） ・
数 学教 学通 讯
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个常见不等式的加强及应用
宗 仲
江 苏 省前 黄 高级 中学 国际分校 ２ １ ３ １ Ｏ ０
［ 摘
要］ 个常见不等式１
一
＜ ｅ 在（ ０ ， ＋ 。 。 ） 恒成 立在 函数 、 导数 等问题 中渗透较 多， 常会 涉及超越 函数 等诸
（ ４ ） 将 ｌ
． 像向左平移 一 个 似． １ 时 等 号 同 时成 立 ）
将 Ｉ 皋 １ 像向下平 移一个 ｆ ．
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（ 下转第 ７ ９页 ）
２ ０ １ ７ 年第１ ２ 期（ 下 旬） ＜ ７１
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