历年自主招生考试数学试题大全-2009年上海复旦大学自主招生数学试题+Word版缺答案

2009年复旦大学自主招生考试数学试题1．若x>y>1，0<a<b<1，则下列各式中一定成立的是________．A ．>B ．<C．>D ．<2．设a>0，a1，函数f（x）=11xx-+在（1，+）上单调递减，则f（x）_________．A．在（−，−1）上单调递减，在（−1，1）上单调递增B．在（−，−1）上单调递增，在（−1，1）上单调递减C．在（−，−1）上单调递增，在（−1，1）上单调递增D．在（−，−1）上单调递减，在（−1，1）上单调递减3．若要求关于x的函数lg 的定义域是（），则a，b的取值范围是________．A ．B．a<0 C ．−4a<0D．a=b=04．设是有理数集，集合X={X|X =2+，a，b}，在下列集合中（1）{2x|x};（2）{x /};（3）{1/x| x } ;（4）{x2|x }中和X相同的集合有________个．A．4个B．3个C．2个D．1个5．设x，y，z>0满足xyz+y+z=12，则++的最大值是________．A．3 B．4 C．5 D．66．定义全集X的子集A的特征函数为f A（X）=1,,0,,Xx Ax A∈⎧⎨∈⎩ð错误！未找到引用源。

，这里，错误！未找到引用源。

X Að表示在A在X中的补集，那么，对A，B，下列命题中不准确的是_________。

A．A B ．（x）=1−，C ．（x ）=，D ．（x ）=+，7．如果一个函数f （x ）在其定义区间对任意x ，y 都满足()()22x y f x f y f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则称这个函数是下凹函数，下列函数（1）f （x ）=2x（2）f （x ）=x3（3）f （x ）=（x >0） （4）f （x ）=错误！未找到引用源。

,0,2,0,x x x x <⎧⎨>⎩ 中是下凹函数的有_______．A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（3）（4）D ．（1）（4） 8．若实数x 满足对任意正数a >0，均有x 2<1+a ，则x 的取值范围是________． A ．（−1，1）B ．[−1，1]C ．（−）D ．不能确定9．设函数y =错误！未找到引用源。

的图像是曲线C ，曲线C 1和C 2关于直线x =1对称，曲线C 2和C 1关于直线y =x 对称，则C 2是下列哪个函数的图像？A ．y =1−2lg xB ．y =2−2lg xC ．y =2lg x +1D ．y =2lgx +210．下列曲线中哪一条拿住两端后不打结？________．A ．B ．C ．D ．11．用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？______．A ．2种B ．3种C ．4种D ．5种12．一个菱形边长与其内切圆的直径之比为k:1（k>1），则这个菱形的一个小于错误！未找到引用源。

的内角等于__________．A ．arctan （kB ．arctan 错误！未找到引用源。

C ．arctan （）D ．arctan 错误！未找到引用源。

13．设a ，b 是实常数，则二元一次方程组错误！未找到引用源。

1,2,ax by x y a b +=⎧⎨-=--⎩无解的充分必要条件是______．A ．2a+b =0且aB ．2a+b =0且a+b −1C ．a =1，b =−2或a =−1，b=2D ．2a+b =014．已知关于x 的方程+22cos2x错误！未找到引用源。

=a 在区间（0，2π）内有两个不同的根，则常数a 的取值范围是________．A ．（−1，3）B ．（−1，2）（2，3）C ．[−1，3]D ．[−1，2）2，3]15．设X ={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，定义X 上的运算符如下：对任意m ，nm n等于m+n 除以10的余数，给定初值n 0X ，记n 1=n 0n 0，n k =n k −1n 0，k=1，2，3……，则使得数列{n k }取遍X 中所有元素的初值n 0的集合是_______．A ．B ．XC ．{1，3，9}D ．{1，3，7，9}16．“要使函数f （x ）成立，只要x 不在区间[a ，b ]内就可以了”的意思是_________． A ．如果f （x ），则x[a ，b ]B ．如果x[a ，b ]，则f （x ）<0C ．如果x[a ，b ]，则f （x ）D ．前面三个解释都不准确17．实轴R 中的集合X 如果满足：任意非空开区间都含有X 中的点，则称X 在R 中稠密，那么，“R 中集合X 在R 中不稠密”的充分必要条件是_________．A ．任意非空开区间都不含有X 中的点B ．存在非空开区间不含有X 中的点C ．任意非空开区间都含有X 的补集中的点D ．存在非空开区间含有X 的补集的点18．某种细胞如果不能分裂而死亡，并且一个细胞死亡和分裂为两个细胞的概率都为1/2，现在有两个这样的细胞，则两次分裂后还有细胞存活的概率是________．A．3964B．2564C．3164D．296419．设有n+1个不同颜色的球，放入n个不同的盒子中，要求每个盒子至少有一个球，则不同的放法有_______．A．（n+1）!种B．n（n+1）!种C．错误！未找到引用源。

（n+1）!种D．错误！未找到引用源。

n（n+1）!种20．设X是含n（n>2）个元素的集合，A，B是X中的两个互不相交的子集，分别含有m，k（m，k）个元素，则X中既不包含A也不包含B的子集个数是_________．A．B．C．D．21．三棱柱ABC−A’B’C’的底是边长为1的正三角形，高AA’=1，在AB上取一点P，设三角形PA’C’与底的二面角为，三角形PB’C’与底的二面角为，则tan（）的最小值为_______．A．B． C．D．22．半径为R的球的内部装有4个有相同半径r的小球，则小球半径r可能的最大值是________．A．错误！未找到引用源。

R． B．错误！未找到引用源。

RC．错误！未找到引用源。

R D．错误！未找到引用源。

R23．平面上三条直线x−2y+2=0，x−2=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分成六个部分，则k可能的取值情况是_________．A．只有唯一值B．可取两个不同值C．可取三个不同值D．可取无穷多个值24．设三角形ABC的三边之比AB:BC:CA=3:2:4，已知顶点A的坐标是（0，0），B的坐标是（a，b），则C的坐标一定是_______．A ．7715,66a b a ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭B ． 7715,88a b a ⎛⎫±⎪ ⎪⎝⎭C ． 77,6666a b ⎛⎫±± ⎪ ⎪⎝⎭D ． 77,8888a b ⎛⎫±± ⎪ ⎪⎝⎭25．设实数a ，b ，c 0，,,bc ca aba b c成等差数列，则下列不等式一定成立的是______． A ．|b||ac|B ．b2|ac| C ．a2D ．|b|错误！未找到引用源。

||||2a c +≤26．已知x 2−（tan ）x +1=0（0<<π），且满足x +x 3+…+x2n+1的值是______．A ．错误！未找到引用源。

5,66ππB,63ππ C ．2,33ππD ． 错误！未找到引用源。

25,,,3366ππππ27．设a >0，极坐标方程，0，所表示的曲线大致是______28．设数列{a n }，{b n }满足b n = a n −a n −1，n =1，2，3…，如果a 0=0，a 1=1，且{b n }是公比为2的等比数列，又设S n =a 1+a 2+…+a n ，则错误！未找到引用源。

limnn nS a →∞=__________．A ．0B ．错误！未找到引用源。

C ．1D ．229．复平面上点z o =1+2i 关于直线l ：|z −2−2i|=|z |的对称点的复数表示是_______． A ．−IB ．1−IC ．1+ID ．i30．设实数r >1，如果复平面上的动点z 满足|z |=r ，则动点w =z +的轨迹是________． A ．焦距为4的椭圆 B ．焦距为错误！未找到引用源。

的椭圆 C ．焦距为2的椭圆D ．焦距为2r的椭圆31．给定一组向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），c =（c 1，c 2，c 3），如果存在不全为0的实数k 1，k 2，k 3，使得k 1a +k 2b +k 3c =0（0表示0向量），则称向量组a ，b ，c 是线性相关的，下面各组向量中，哪一组向量a ，b ，c 是线性相关的？___________．A ．a =（1，2，1），b =（−1，3，2），c =（3，1，0）B ． a =（1，2，1）， b =（−1，3，2）， c =（0，1，−1）C ． a =（1，2，0）， b =（−1，3，2）， c =（0，1，−1）D ． a =（1，2，1）， b =（−1，0，2）， c =（0，1，−1）32．设向量x =（cos cos），y =cos sinθψθψθ⎫⎪⎭，其中02πθ≤≤，如果|x |=|y |，则向量x 和y 的最大值是_________．A ．错误！未找到引用源。

2πB ．错误！未找到引用源。

C ． 23π D ．错误！未找到引用源。

6π。