2019届北师大版(理科数学) 不等式的性质及一元二次不等式单元测试

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2019版文数(北师大版)练习：第六章第一节不等式的性质、一元二次不等式

课时作业 A 组——基础对点练1．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f (x )＝1－x x ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]．答案：B3．已知集合A ＝{x ∈N|x 2－x －6＜0}，则集合A 的子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：不等式x 2－x －6＜0的解集为{x |－2＜x ＜3}，又x ∈N ，所以A ＝{0,1,2}，故集合A 的子集的个数为23＝8，故选D. 答案：D4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A. 答案：A5．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数， ∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b .故C 项不成立．答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．答案：D7．不等式(1＋x )( 1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n . 答案：B9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)．答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ． (1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A. 答案：A11．若a ， b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为__________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是__________．解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)．答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .求不等式f (x ＋2)＜5的解集．解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为 (－7,3)．B 组——能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B. a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >bc⇒a 0⇔⎩⎨⎧ab >0，a b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0，且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0，而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．在R 上定义运算：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：由定义知，不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：D4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m 无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，则⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m－1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B5．若0b C ．a b >b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a 恒成立．所以选D. 答案：D6．若a |b | B.1a －b >1a C.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a 成立，由a 0，由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a ·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B.答案：B7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a ＝f (log 47)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，c ＝f (21.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a log 47,21.6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c <b <a ，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5]解析：当MA ，MB 与圆相切时，|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2＝20，由题意，圆C 上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2≤20⇒2≤t ≤6，故选C.答案：C9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|(x ≤2)，2x －1(x >2)，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤1，53 B.⎣⎡⎦⎤53，3C ．(－∞，1)∪⎣⎡⎭⎫53，＋∞ D ．(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎨⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3，故选D. 答案：D10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图像的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：B11．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0，得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 12．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围．解析：不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.。

高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版

(x-2)2+1,所以f(x)min=f(2)=1,
由题意可知a≤1,且f(a)=f(b)=b,a<b,b>2,
由f(b)=b得到 3 b2-3b+4=b,
4
解得b= 4 (舍去)或b=4,
3
由抛物线的对称轴为x=2得到a=0,所以a-b=-4.
【思想方法指导】三个“二次”关系的应用一元二次不等式、一元二次方程、二次函数三者之间具有内在的、紧密的联系,解题时往往需要把不等式、方程问题转化为函数问题.
5.(必修5 P82例9改编)已知关于x的方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,则
实数a的取值范围是
()
A.(4,+∞)
B.(-∞,4)
C.(-∞,2)
D.(2,+∞)
【解析】选A.设f(x)=x2-ax+3,
若方程x2-ax+3=0有一根大于1,另一根小于1,
则只需要f(1)<0,即f(1)=1-a+3<0,得a>4,
复习课件
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式课件文北师大版
2021/4/17
高考数学一轮复习第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次
1
不等式课件文北师大版
第六章不等式第一节不等式的性质及一元二次不等式
内容索引
必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养·微专题核心素养测评
(1) a>b⇔ac2>bc2.( ) (2)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(x1,x2),则必有a<0. ( ) (3)不等式ax2+bx+c≥0在R上恒成立的条件是a>0且Δ=b2-4ac≤0. ( )

北师大版(2019)高中数学《不等式性质》示范PPT1

第二章·第一节
不等式性质
新课导入
用不等式(组)表示不等关系
(2)中国“神舟七号”宇宙飞船飞天取得了最圆满的成功.我们知道,
v 它的飞行速度(
)不小于第一宇宙速度(记作 v2 ),且小于第二
宇宙速度(记 v1 ）。 v1 v v2
新课讲授
对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h， “限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0＜v≤40.
北师大版（2019）高中数学《不等式性质》示范PPT 1
新课讲授
问题2：某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若
单价每提高0.1元销售量就可能相应减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x
元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
思考:(1)销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本 0.1
实际上，在初中我们已经通过具体实例归纳出了一些不等式的性质.那么这些性质为什么是正确的？还有其他不等式的性质吗？回答这些问题要用到关于两个实数大小关系的基本事实.
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的
对于(2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f应不
少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%.
f p
2.5% 2.3%
对于（3），设△ABC的三条边为a，b，c，则a+b＞c，a-b＜c.
40
对于（4），如图2.1-1，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD
点分别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a＜b；当点A在点B的右边时，a

超实用高考数学专题复习(北师大版)：第六章不等式推理与证明第一节不等式的性质及一元二次不等式

2．一元二次不等式的解法技巧求不等式 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集，先求出对应方程 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根，再根据口诀：大于取两边，小于取中间求解集．
3．分式不等式的转化 gf（（xx））＞0⇔f(x)·g(x)＞0； gf（（xx））≥0⇔fg（（xx））·≠g（0 x）≥0； gf（（xx））≤0⇔fg（（xx））·≠g（0 x）≤0.
挖掘 1 作差法(作商法)比较大小/ 自主练透 [例 1] (1)已知 a>0，且 a≠1，m＝aa2＋1，n＝aa＋1，则( )
A．m≥n
B．m>n
C．m<n
D．m≤n
[解析] 由题易知 m>0，n>0，两式作商，得mn ＝a(a2＋1)－(a＋1)＝aa(a－1)，当 a>1 时，a(a－1)>0，所以 aa(a－1)>a0＝1，即 m>n；当 0<a<1 时，a(a－1)<0，所以 aa(a－1)>a0＝1，即 m>n.综上，对任意的 a>0，a≠1，都有 m>n. [答案] B
养成良好的答题习惯，是决定高考数学成败的决定性因素之一。做题前，要认真阅读题目要求、题干和选项，并对答案内容作出合理预测;答题时，切忌跟着感觉走，最好按照题目序号来做，不会的或存在疑问的，要做好标记，要善于发现，找到题目的题眼所在，规范答题，书写工整;答题完毕时，要认真检查，查漏补缺，纠正错误。总之，在最后的复习阶段，学生们不要加大练习量。在这个时候，学生要尽快找到适合自己的答题方式，最重要的是以平常心去面对考试。数学最后的复习要树立信心，考试的时候遇到难题要想“别人也难 ”，遇到容易的则要想“细心审题”。越到最后，考生越要回归基础，单词最好再梳理一遍，这样有利于提高阅读理解的效率。另附高考复习方法和考前30 天冲刺复习方法。

2019高三数学理北师大版一轮教师用书：第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式

第章　不等式、推理与证明第一节　不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真]　(教师用书独具)1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．(对应学生用书第92页)[基础知识填充]1．两个实数比较大小的方法(1)作差法Error!(2)作商法Error!2．不等式的性质(1)对称性：a >b ⇔b <a ；(2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c ；(3)可加性：a >b ⇔a ＋c >b ＋c ；a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d ；(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc ；a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ；(5)乘方法则：a >b >0⇒a n >b n (n ≥2，n ∈N )；(6)开方法则：a >b >0⇒>(n ≥2，n ∈N )；n a nb (7)倒数性质：设ab >0，则a .1a 1b 3．“三个二次”的关系判别式Δ>0Δ＝0Δ<0Δ＝b 2－4ac 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图像一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a >0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1<x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b2a 没有实数根ax 2＋bx ＋c >0 (a >0)的解集{x |x <x 1或x >x 2}{x |x ≠x 1}R ax 2＋bx ＋c <0 (a >0)的解集{x |x 1<x <x 2}∅∅4.常用结论(口诀：大于取两边，小于取中间)(x －a )(x －b )＞0或(x －a )(x －b )＜0型不等式的解法解集不等式a ＜b a ＝b a ＞b (x －a )·(x －b )＞0{x |x ＜a 或x ＞b }{x |x ≠a }{x |x ＜b 或x ＞a }(x －a )·(x －b )＜0{x |a ＜x ＜b }∅{x |b ＜x ＜a }[知识拓展]　1.倒数性质，若ab >0，则a >b ⇔<.1a 1b 2．若a ＞b ＞0，m ＞0，则＜.b a b ＋ma ＋m 3．(1)＞0(＜0)⇔f (x )·g (x )＞0(＜0)．f (x )g (x )(2)≥0(≤0)⇔f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0.f (x )g (x )以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．4．不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔Error!或Error!不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔Error!或Error![基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个实数a ，b 之间，有且只有a ＞b ，a ＝b ，a ＜b 三种关系中的一种．( )(2)a >b ⇔ac 2>bc 2.( )(3)a >b >0，c >d >0⇒>.( )a d bc (4)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(5)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( )(6)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集一定不是空集．( )[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√2．已知a ，b 是实数，则“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件C [Error!⇒Error!又当ab ＞0时，a 与b 同号，结合a ＋b ＞0知a ＞0且b ＞0，故“a ＞0且b ＞0”是“a ＋b ＞0且ab ＞0”的充要条件．]3．若a ，b ∈R ，且a >b ，则下列不等式恒成立的是( )A ．a 2>b 2B ．>1ab C ．2a >2bD ．lg(a －b )>0C [取a ＝－1，b ＝－2，排除A ，B ，D.故选C.]4．不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(用区间表示)(－4,1)　[由－x 2－3x ＋4>0得x 2＋3x －4<0，解得－4<x <1，所以不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为(－4,1)．]5．(教材改编)若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集为Error!，则a ＋b ＝________.－14　[由题意知x 1＝－，x 2＝是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则1213Error!解得Error!(经检验知满足题意)．∴a ＋b ＝－14.](对应学生用书第93页)比较大小与不等式的性质　(1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞a B ．a ＞c ≥b C ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b(2)(2017·山东高考)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋<<log 2(a ＋b )1b b2a B.<log 2(a ＋b )<a ＋b2a 1b C ．a ＋<log 2(a ＋b )<1b b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋<1b b2a(1)A (2)B [(1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝＋＞0，(a －12)2 34∴b ＞a ，∴c ≥b ＞a .(2)法一：∵a >b >0，ab ＝1，∴log 2(a ＋b )>log 2(2)＝1.ab∵＝＝a －1·2－a ，令f (a )＝a －1·2－a ，b2a 1a 2a 又∵b ＝，a >b >0，∴a >，解得a >1.1a 1a ∴f ′(a )＝－a －2·2－a －a －1·2－a ·ln 2＝－a －2·2－a (1＋a ln 2)<0，∴f (a )在(1，＋∞)上单调递减．∴f (a )<f (1)，即<.b 2a 12∵a ＋＝a ＋a ＝2a >a ＋b >log 2(a ＋b )，1b ∴<log 2(a ＋b )<a ＋.b2a 1b 故选B.法二：∵a >b >0，ab ＝1，∴取a ＝2，b ＝，12此时a ＋＝4，＝，log 2(a ＋b )＝log 2 ，1b b2a 1852∴<log 2(a ＋b )<a ＋.b2a 1b 故选B.][规律方法]　1.比较两个数(式)大小的两种方法2．与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．3．与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．[跟踪训练]　(1)(2018·东北三省四市模拟(二))设a ，b 均为实数，则“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)已知m ∈R ，a ＞b ＞1，f (x )＝，则f (a )与f (b )的大小关系是( )m 2xx －1【导学号：79140188】A ．f (a )＞f (b )B ．f (a )＜f (b )C ．f (a )≤f (b )D ．不确定(1)A (2)C [(1)a ＞|b |能推出a ＞b ，进而得a 3＞b 3；当a 3＞b 3时，有a ＞b ，但若b ＜a ＜0，则a ＞|b |不成立，所以“a ＞|b |”是“a 3＞b 3”的充分不必要条件，故选A.(2)∵f (a )＝，f (b )＝，m 2a a －1m 2bb －1∴f (a )－f (b )＝－＝m 2m 2aa －1m 2bb －1(aa －1－b b －1)＝m 2·＝m 2·，a (b －1)－b (a －1)(a －1)(b －1)b －a(a －1)(b －1)当m ＝0时，f (a )＝f (b )；当m ≠0时，m 2＞0，又a ＞b ＞1，∴f (a )＜f (b )．综上，f (a )≤f (b )．]一元二次不等式的解法　解下列不等式：(1)3＋2x －x 2≥0；(2)x 2－(a ＋1)x ＋a <0.[解]　(1)原不等式化为x 2－2x －3≤0，即(x －3)(x ＋1)≤0，故所求不等式的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)原不等式可化为(x －a )(x －1)<0，当a >1时，原不等式的解集为(1，a )；当a ＝1时，原不等式的解集为∅；当a <1时，原不等式的解集为(a,1)．　将(2)中不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．[解]　若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于(x －1)>0，(x －1a )解得x <或x >1.1a 若a >0，原不等式等价于(x －1)<0.(x －1a )①当a ＝1时，＝1，(x －1)<0无解；1a (x －1a )②当a >1时，<1，解(x －1)<0得<x <1；1a (x －1a )1a ③当0<a <1时，>1，解(x －1)<0得1<x <.1a (x －1a )1a 综上所述：当a <0时，解集为Error!；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为Error!；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为Error!.[规律方法]　1.解一元二次不等式的一般方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式.(2)判：计算对应方程的判别式，根据判别式判断方程有没有实根(无实根时，不等式解集为R 或∅).(3)求：求出对应的一元二次方程的根.(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式.(2)判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系.(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式.[跟踪训练]　(1)不等式≥－1的解集为________．2x ＋1x －5(2)已知不等式ax 2－bx －1>0的解集是Error!，则不等式x 2－bx －a ≥0的解集是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |x ≤2或x ≥3}C.Error!D.Error!(1)Error!　(2)B [(1)将原不等式移项通分得≥0，3x －4x －5等价于Error!解得x ≤或x ＞5.43∴原不等式的解集为Error!.(2)∵不等式ax 2－bx －1>0的解集是Error!，∴ax 2－bx －1＝0的解是x 1＝－和x 2＝－，且a <0，1213∴Error!解得Error!则不等式x 2－bx －a ≥0即为x 2－5x ＋6≥0，解得x ≤2或x ≥3.]一元二次不等式恒成立问题◎角度1　形如f (x )≥0(x ∈R )求参数的范围　不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________.【导学号：79140189】(－2,2]　[当a －2＝0，即a ＝2时，不等式即为－4<0，对一切x ∈R 恒成立，当a ≠2时，则有Error!即Error!∴－2<a <2.综上，可得实数a 的取值范围是(－2,2]．]◎角度2　形如f (x )≥0求参数的范围(x ∈[a ，b ])　设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解]　要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ＋m －6<0在(x －12)2 34x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g (x )＝m＋m －6，x ∈[1,3]．(x －12)2 34当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0，所以m <，所以0<m <；6767当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述：m 的取值范围是Error!.法二：因为x 2－x ＋1＝＋>0，(x －12)2 34又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <.6x 2－x ＋1因为函数y ＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m <即可．6x 2－x ＋16767所以m 的取值范围是Error!.◎角度3　形如f (x )≥0(参数m ∈[a ，b ])求x 的范围　对任意的k ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(k －4)x ＋4－2k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <1或x >3}　[对任意的k ∈[－1,1]，x 2＋(k －4)x ＋4－2k >0恒成立，即g (k )＝(x －2)k ＋(x 2－4x ＋4)>0，在k ∈[－1,1]时恒成立．只需g (－1)>0且g (1)>0，即Error!解得x <1或x >3.][规律方法]　一元二次不等式恒成立问题的求解思路(1)形如f (x )＞0或f (x )＜0(x ∈R )的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解.(2)形如f (x )＞0或f (x )＜0(x ∈[a ，b ])的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.(3)形如f (x )＞0或f (x )＜0(参数m ∈[a ，b ])的不等式确定x 的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数.[跟踪训练]　(1)(2017·四川宜宾一中期末)不等式x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,4] B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5](2)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1,1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．不能确定(1)A (2)C [(1)x 2－2x ＋5＝(x －1)2＋4的最小值为4，所以要使x 2－2x ＋5≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4.(2)由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图像关于直线x ＝1对称，即＝1，解得a2a＝2.又因为f(x)开口向下，所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1＝b2－b－2，f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，解得b＜－1或b＞2.]。

不等式不等式的性质及一元二次不等式课件理ppt

算术平均数不等式
算术平均数不等式
$a_1+a_2+...+a_n \geq \frac{n}{n}(a_1+a_2+...+a_n)=n\frac{(a _1\cdot a_2\cdot ...\cdot a_n)^{\frac{1}{n}}}{n}$
VS
应用场景
在生产、科研、日常生活中，凡涉及比较、大小、排序、分组等问题时，常需要用到不等式。
一元二次不等式在金融经济中的应用
一元二次不等式在金融经济学中也有着广泛的应用。例如，在研究公司财务理论时，公司需要根据其财务状况和目标来制定财务策略，这时一元二次不等式可以用来描述公司财务的约束条件。
在其他领域中的应用
不等式在其他领域中的应用
不等式不仅仅在数学建模和金融经济学中有广泛的应用，在其他领域中也同样有着广泛的应用。例如，在物理学中，不等式可以用来描述物理量的约束条件；在医学中，不等式可以用来描述疾病的控制和预防的约束条件。
03
一元高次不等式
一元高次不等式的解法
准备知识
一元高次不等式的解法需要先了解一元高次方程的解法，因为一元高次不等式和一元高次方程的解法类似。
解法步骤
将一元高次不等式化为标准形式，然后利用因式分解、数学归纳法等数学方法，逐步分解出各个因式，并求出不等式的解。
一元高次不等式的应用
实际应用
一元高次不等式可以应用于各种实际问题中，如最优化问题、分式不等式问题、多元函数极值问题等。
绝对值不等式
绝对值不等式
$|a|-|b| \leq |a+b| \leq |a|+|b|$
应用场景
绝对值不等式在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用，例如在求解最值问题时可以用来进行放缩和缩放。

一元二次不等式及其解法高一数学北师大版(2019)必修第一册+

2.二次函数y ax bx c(a 0)的图像是一条抛物线.
2
温故知新
1.作一次函数y 2 x 7图像并填空：
当x 3.5时，y 0, 即2x 7 0;
当x 3.5时，y 0, 即2x 7 0;
y
当x 3.5时，y 0, 即2x 7 0.
2

解得 2 3＜x＜2 3

即 x 2 3＜x＜2 3 ，原函数值为负数 .
o
●
●
x
思考交流
思考：当a 0时, 一元二次不等式
ax bx c 0(或 0或 0或 0) 如何求解？
2
点评：只要在不等式两边同乘-1，然后把不等号的方向
改变一下，就可化为二次项系数为正的情况.
即当x1 2 3, x2 2 3时，原函数的值等于0.
y
(2) 函数值是正数，即解不等式x 4 x 1＞0
2
解得x 2 3或x 2 3
即{x | x 2 3或x 2 3}，原函数值为正数.
(3) 函数值是负数，即解不等式 x 4 x 1＜0
2
2
由不等式x 2 10 x 1200 0，解得x 40或x 30
由不等式x 2 10 x 1500 0，解得 5 5 61 x 5 5 61
解得甲车的速度不大于40km / h,所以甲车没有违章.
解决问题
请你根据所学内容解出本节开头的两个不等式：
12 0.01x 2 0.1x 15和11 0.005 x 2 0.05 x 12，
并指出哪一辆车违章？
乙车即解不等式x 10 x 2200 0和x 10 x 2400 0

高中数学第三章不等式的性质和一元二次不等式的解法知识梳理素材北师大版必修5

不等式的性质和一元二次不等式的解法【知识精讲】（1）理解不等式的性质及其证明（2）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式（3）掌握简单不等式的解法【基础梳理】 1. 不等式的基本概念不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a <⇔<-=⇔=->⇔>- 2.不等式的基本性质（1）a b b a <⇔>（对称性）（2）c a c b b a >⇒>>,（传递性）（3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性）（4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加）（5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减）（6）bc ac c b a >⇒>>0,.（7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性）（8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘）(9)0,0a b a b c d c d>><<⇒>（异向不等式相除）11(10),0a b ab a b>>⇒<（倒数关系）（11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则）（12）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（开方法则）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：常用不等式的放缩法：①2(2)1(1)(1)1nn n n n n n n n n-==-≥++--1)2nn n n==≥+-（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa====+++++++≤++++∈∈332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x x x x≠有12121212()()()()()().2222x x f x f x x x f x f xf f++++≤≥或则称f(x)为凸（或凹）函数.5.不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法.6.不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）.步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解.特例① 一元一次不等式ax>b解的讨论；②一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)解的讨论.（2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()()0()()0()()0;0()0()()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ （3）无理不等式：转化为有理不等式求解1()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫⇒⎪⎬≥⎨⎭⎪>⎩定义域○2⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或 ○3⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f （4）.指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x ab a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>（5）对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩（6）含绝对值不等式○1应用分类讨论思想去绝对值； ○2应用数形思想； ○3应用化归思想等价转化 ⎩⎨⎧>-<>≤⇔>⎩⎨⎧<<->⇔<)()()()(0)()0)(),((0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|x g x f x g x f x g x g x f x g x g x f x g x f x g x g x g x f 或或不同时为。

近年届高考数学大一轮复习第七章不等式7.1不等式的性质与一元二次不等式学案理北师大版(2021年整

2019届高考数学大一轮复习第七章不等式7.1 不等式的性质与一元二次不等式学案理北师大版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019届高考数学大一轮复习第七章不等式7.1 不等式的性质与一元二次不等式学案理北师大版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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§7.1 不等关系与不等式最新考纲考情考向分析1。

了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系．2。

了解不等式(组)的实际背景。

以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.1．两个实数比较大小的方法（1)作差法错误! (a ,b ∈R ) (2）作商法错误! （a ∈R ，b 〉0) 2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性 a 〉b ⇔b 〈a ⇔ 传递性 a >b ,b >c ⇒a 〉c ⇒ 可加性 a >b ⇔a ＋c 〉b ＋c⇔ 可乘性错误!⇒ac 〉bc 注意c 的符号错误!⇒ac 〈bc 同向可加性错误!⇒a ＋c 〉b ＋d⇒同向同正可乘性错误!⇒ac >bd⇒可乘方性 a >b >0⇒a n〉b n(n ∈N ，n ≥1） a ,b 同为正数可开方性a >b >0⇒错误!>错误!（n ∈N ，n ≥2)3.不等式的一些常用性质（1）倒数的性质①a〉b，ab>0⇒错误!〈错误!。

②a〈0〈b⇒错误!〈错误!.③a>b>0，0〈c<d⇒错误!〉错误!.④0〈a<x〈b或a〈x<b<0⇒错误!<错误!〈错误!.(2）有关分数的性质若a>b>0，m〉0，则①错误!〈错误!;错误!>错误!（b－m>0）．②错误!〉错误!；错误!<错误!(b－m>0）．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√"或“×”）（1)两个实数a，b之间，有且只有a>b,a＝b，a〈b三种关系中的一种．（√）（2）若错误!>1，则a〉b.（×）(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．（×）(4)a>b〉0，c>d〉0⇒ad>错误!。

高考数学一轮复习第6章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式讲义理(含解析)-

第六章不等式第1讲不等关系与不等式的性质及一元二次不等式[考纲解读] 1.不等式性质是进行变形、证明、解不等式的依据，掌握不等式关系与性质及比较大小的常用方法：作差法与作商法．(重点)2.能从实际情景中抽象出一元二次不等式模型，通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数，一元二次方程之间的联系，能解一元二次不等式．(重点、难点)[考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点内容，但一般不会单独命题．预测2020年将会考查：利用不等式的性质判断结论的成立性，求参数的取值X围；一元二次不等式的解法，对含参数的二次不等式的分类讨论等．命题时常将不等式与函数的单调性相结合．试题一般以客观题的形式呈现，属中、低档题型.1．两个实数比较大小的依据2．不等式的基本性质3．必记结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0b >0,0<c <d ⇒a c >b d. (4)0<a <x b >0，m >0，则b a b －m a －m (b －m >0)；a b >a ＋m b ＋m ； a b <a －m b －m(b －m >0)． 4．一元二次函数的三种形式(1)一般式：□01y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (2)顶点式：□02y ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a (a ≠0)． (3)两根式：□03y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． 5．三个二次之间的关系1．概念辨析(1)a＞b⇔ac2＞bc2.( )(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，x1)∪(x2，＋∞)，则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.( )(3)若方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( )(4)不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ＝b2－4ac≤0.()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N等于( )A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[－1,0)D ．(－1,0] 答案 B解析因为M ＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}，所以M ∩N ＝[0,4)． (2)已知a ，b ，c 满足c ac B ．c (b －a )<0 C ．cb 2<ab 2D ．ac (a －c )>0 答案 A解析因为c 0，c <0.b 的符号不确定，b －a <0，a －c >0，据此判断A 成立，B ，C ，D 不一定成立．(3)设M ＝2a (a －2)，N ＝(a ＋1)(a －3)，则有( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D ．M ≤N 答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)－(a ＋1)(a －3)＝a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2>0，故M >N . (4)已知函数f (x )＝ax 2＋ax －1，若对任意实数x ，恒有f (x )≤0，则实数a 的取值X 围是________．答案 [－4,0]解析当a ＝0时，f (x )＝－1≤0成立，当a ≠0时，若对∀x ∈R ，f (x )≤0，须有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4×a ×－1≤0，a <0，解得－4≤a ＜0.综上知，实数a 的取值X 围是[－4,0]．题型一不等式性质的应用1．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞b d B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c答案 D 解析解法一：⎭⎪⎬⎪⎫c ＜d ＜0⇒cd ＞0 c ＜d ＜0⇒⎭⎪⎬⎪⎫c cd ＜d cd ＜0⇒1d ＜1c ＜0⇒－1d ＞－1c ＞0 a ＞b ＞0⇒－a d ＞－b c ⇒a d ＜b c .故选D. 解法二：依题意取a ＝2，b ＝1，c ＝－2，d ＝－1，代入验证得A ，B ，C 均错误，只有D 正确．故选D.2．已知等比数列{a n }中，a 1>0，q >0，前n 项和为S n ，则S 3a 3与S 5a 5的大小关系为________．答案S 3a 3<S 5a 5解析当q ＝1时，S 3a 3＝3，S 5a 5＝5，所以S 3a 3<S 5a 5. 当q >0且q ≠1时，S 3a 3－S 5a 5＝a 11－q 3a 1q 21－q －a 11－q 5a 1q 41－q ＝q 21－q 3－1－q 5q 41－q ＝－q －1q 4<0，所以S 3a 3<S 5a 5.综上可知S 3a 3<S 5a 5.3．已知二次函数y ＝f (x )的图象过原点，且1≤f (－1)≤2,3≤f (1)≤4，求f (－2)的取值X 围．解由题意知f (x )＝ax 2＋bx ，则f (－2)＝4a －2b ，由f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，设存在实数x ，y ，使得4a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，即4a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝4，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝3，所以f (－2)＝4a －2b ＝(a ＋b )＋3(a －b )．又3≤a ＋b ≤4,3≤3(a －b )≤6，所以6≤(a ＋b )＋3(a －b )≤10，即f (－2)的取值X 围是[6,10]．1．判断不等式是否成立的方法(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．(2)在判断一个关于不等式的命题的真假时，可结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断．2．比较两个数(式)大小的两种方法3．求代数式的取值X 围利用不等式性质求某些代数式的取值X 围时，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体X 围，是避免错误的有效途径．如举例说明3.1．若1a <1b <0，给出下列不等式：①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2.其中正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案 C解析因为1a <1b <0，所以b <a <0，|b |>|a |，所以|a |＋b <0，ln a 2<ln b 2，由a >b ，－1a>－1b 可推出a －1a >b －1b ，显然有1a ＋b <0<1ab，综上知，①③正确，②④错误． 2．若a >0，且a ≠7，则( ) A ．77a a<7a a 7B ．77a a ＝7a a 7C ．77a a >7a a 7D ．77a a与7a a 7的大小不确定答案 C解析显然77a a>0,7a a 7>0，因为77a a7a a 7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 7a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7·⎝ ⎛⎭⎪⎫7a －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a.当a >7时，0<7a <1,7－a <0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1，当0<a <7时，7a>1,7－a >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫7a 7－a>1. 综上知77a a>7a a 7.3．若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值X 围是________．答案 (－3,3)解析 ∵－4<β<2，∴0≤|β|<4，∴－4<－|β|≤0. ∴－3<α－|β|<3.题型二不等式的解法1．函数f (x )＝1ln －x 2＋4x －3的定义域是( )A ．(－∞，1)∪(3，＋∞) B．(1,3) C ．(－∞，2)∪(2，＋∞) D．(1,2)∪(2,3) 答案 D解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x －3>0，ln －x 2＋4x －3≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－4x ＋4≠0.解得1<x <3且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为(1,2)∪(2,3)． 2．解关于x 的不等式ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )．解本题采用分类讨论思想．原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a >0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a或x ≤－1.③当a <0时，原不等式化为⎝⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a >－1，即a <－2时，解得－1≤x ≤2a；当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意；当2a<－1，即0>a >－2，解得2a≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a >0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≥2a或x ≤－1；当－2<a <0时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2a≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{－1}；当a <－2时，不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－1≤x ≤2a .条件探究把举例说明2中的不等式改为“ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，a ∈R ”，如何解答？解若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，则原不等式等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0，解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0.①当a ＝1时，1a＝1，⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0无解；②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1a<x <1；③当0<a <1时，1a>1，解⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >1；当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ；当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.1．解一元二次不等式的四个步骤2．分式不等式的解法求解分式不等式的关键是对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)求解． (1)f xg x>0(<0)⇔f (x )·g (x )>0(<0)；如巩固迁移2.(2)f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f x ·g x ≥0≤0，g x ≠0.1．关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a ＝( ) A.52 B.72 C.154 D.152 答案 A解析由条件知x 1，x 2为方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根，则x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2.故(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4×(－8a 2)＝36a 2＝152，得a ＝52，故选A.2．不等式2x ＋1x －5≥－1的解集为________．答案 {x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5解析将原不等式移项通分得3x －4x －5≥0，等价于⎩⎪⎨⎪⎧3x －4x －5≥0，x －5≠0，解得x ≤43或x >5.∴原不等式的解集为{x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≤43或x >5.题型三二次不等式中的任意性与存在性角度1 任意性与存在性1．(1)若关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)，某某数a 的取值X 围； (2)若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，某某数a 的取值X 围．解 (1)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ＞0的解集为(－∞，＋∞)⇔f (x )＞0在(－∞，＋∞)上恒成立⇔f (x )min ＞0，即f (x )min ＝－4a ＋a24＞0，解得－4＜a ＜0(或用Δ<0)．(2)设f (x )＝x 2－ax －a ，则关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集⇔f (x )≤－3在(－∞，＋∞)上能成立⇔f (x )min ≤－3，即f (x )min ＝－4a ＋a24≤－3，解得a ≤－6或a ≥2.角度2 给定区间上的任意性问题2．(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值X 围是________．(2)设函数f (x )＝mx 2－mxx ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值X 围．答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 (2)见解析解析 (1)要满足f (x )＝x 2＋mx －1＜0对于任意x ∈[m ，m ＋1]恒成立，只需⎩⎪⎨⎪⎧ f m ＜0，f m ＋1＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2m 2－1＜0，m ＋12＋m m ＋1－1＜0，解得－22＜m ＜0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：解法一：令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数，所以g (x )max ＝g (3)，即7m －6<0，所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)，即m －6<0，所以m <6，所以m <0.综上所述，m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.解法二：因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可．所以m 的取值X 围是{m ⎪⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度3 给定参数X 围的恒成立问题3．已知a ∈[－1,1]时不等式x 2＋(a －4)x ＋4－2a ＞0恒成立，则x 的取值X 围为()A ．(－∞，2)∪(3，＋∞)B ．(－∞，1)∪(2，＋∞)C ．(－∞，1)∪(3，＋∞)D ．(1,3)答案 C解析把不等式的左端看成关于a 的一次函数，记f (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4，则由f (a )＞0对于任意的a ∈[－1,1]恒成立，所以f (－1)＝x 2－5x ＋6＞0，且f (1)＝x 2－3x ＋2＞0即可，解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－5x ＋6＞0，x 2－3x ＋2＞0，得x ＜1或x ＞3.故选C.形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的X 围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数X 围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求参数的X 围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求X 围．如举例说明2.(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的X 围，要注意变换主元，一般地，知道谁的X围，就选谁当主元，求谁的X 围，谁就是参数．如举例说明3.1．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值X 围是________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞ 解析由Δ＝a 2＋8>0，知方程x 2＋ax －2＝0恒有两个不等实数根，又知两根之积为负，所以方程x 2＋ax －2＝0必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞. 2．函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，某某数a 的取值X 围； (3)当a ∈[4,6]时，f (x )≥0恒成立，某某数x 的取值X 围．解 (1)∵当x ∈R 时，x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，需Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，∴实数a 的取值X 围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)： ①如图1，当g (x )的图象恒在x 轴上方且满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2.②如图2，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≤－2，g －2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－43－a ≥0，－a 2≤－2，4－2a ＋3－a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6，a ≥4，a ≤73，解得a ∈∅. ③如图3，g (x )的图象与x 轴有交点，但当x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2≥2，g 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－43－a ≥0，－a 2≥2，7＋a ≥0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a ≤－4，a ≥－7.∴－7≤a ≤－6.综上，实数a 的取值X 围是[－7,2]．(3)令h (a )＝xa ＋x 2＋3.当a ∈[4,6]时，h (a )≥0恒成立．只需⎩⎪⎨⎪⎧ h 4≥0，h 6≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋4x ＋3≥0，x 2＋6x ＋3≥0，解得x ≤－3－6或x ≥－3＋ 6.∴实数x 的取值X 围是(－∞，－3－6]∪[－3＋6，＋∞)．。

(北师大版理)2019届高考数学复习课件：一元二次不等式及其解法

没有实数根
一元二次不等式ax2＋ bx＋c>0 (a>0)的解集
{x|x<x1或x>x2} ____________
b xx≠－ 2a
{x|x∈R} _________
一元二次不等式ax2＋ bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1< x<x2} __________
跟踪训练解下列不等式： (1)0<x2－x－2≤4；
∴a＋b＝－14.
1
2
3
4
5
6
解析
答案
6.已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集为空集，则实数
6 － 2 ， 5 a的取值范围为_________.
解析
当a2－4＝0 时，a ＝±2.若a ＝－2，不等式可化为－ 1≥0 ，显
然无解，满足题意；
若a＝2，不等式的解集不是空集，所以不满足题意；
解析由题意，得3x2－2x－2>0，
1－ 7 1＋ 7 令 3x －2x－2＝0，得 x1＝，x2＝， 3 3
2
1－ 7 1＋ 7 ∪ ∴3x －2x－2>0 的解集为－∞，，＋∞. 3 3
2
1
2
3
4
5
6
解析
答案
题组三易错自纠 (－4,1) 用区间表示) 4.不等式－x2－3x＋4>0的解集为________.( 解析由－x2－3x＋4>0可知，(x＋4)(x－1)<0，得－4<x<1.
___ ∅
___ ∅
2.常用结论 (x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解法不等式 (x－a)· (x－b)>0 (x－a)· (x－b)<0 解集 ab} _____________ a＝b {x|x≠a} ________ __ ∅ a>b {x|x<b或x>a} _____________ {x|b<x<a} _________ 教材改编

2019年一轮北师大版(理)数学教案：第6章第1节不等式的性质与一元二次不等式 Word版含解析

第六章不等式、推理与证明
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1．从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题．客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明．2．不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明．
3．从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查．
[导学心语]
1．加强不等式基础知识的复习．不等式的基础知识是进行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题．
2．强化推理证明和不等式的应用意识．从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键．
3．重视数学思想方法的复习．明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化．
第一节不等式的性质与一元二次不等式[考纲传真] 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的算法框图．。

北师大版高一数学必修第一册(2019版)_《不等式的性质》课标解读

《不等式的性质》课标解读教材分析本节的主要内容是不等式的性质，初中已学过不等式的基本性质，即不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.高中所需要做的一是扩展不等式的性质，二是证明这些性质.借助熟悉的不等式，学习证明不等式的基本方法——作差法.本节一开始，以基本事实的方式给出了作差法的依据，接着用作差法证明了不等式的传递性，然后证明了初中学习的三个不等式的基本性质接下来的例1和例2并不是应用不等式的性质解题，而是继续练习使用作差法比较大小和证明不等关系，性质4、性质5、性质6是初中学习的不等式的性质的扩展.证明性质6时采用了反证法实际上，性质2与性质4可以合并在++.若限制了性质3中的a和b都是正数，它一起，表达为：如果a b>，c d，那么a c b d与性质5也可以合并在一起，表达为：④如果0,0>>>，那么ac bda b c d>；②如果>><，那么ac bda b c d0,0<.高考中主要考查不等式性质的应用.本节内容涉及的数学核心素养有数学运算、逻辑推理等.学情分析学生的认知基础有：第一，会比较两个数的大小；第二，理解等式的性质并知道等式的性质是解方程的依据；第三，具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的经验，有一定的抽象概括能力、数学建模能力和合情推理归纳能力.对不等式性质3（2）缺少生活经验的依据，已有知识经验对性质3（2）造成负迁移，导致学生不理解运用性质3（2）时“为什么要改变不等号的方向”；在不等式的等价变形时不知道“什么时候要改变不等号的方向”教学时可借用类比的学习方法，使学生对不等式性质3深有所感，让学生在感知、归纳、纠错、完善的过程中，经历充分的思考过程，自发生成.教学建议证明不等式是非常重要的问题，本节给出了两种最基本的方法：比较法、反证法.在教学不等式的证明时，要让学生思考并明确运用的什么方法，做到思路清晰，证法准确，让学生明晰教材是以怎样的逻辑展开不等式性质这部分的.在完成基本学习任务的前提下，为不同的学生创造不同的学习空间.教材利用了作差法证明不等式的性质，它是比较法的一种.比较法还包括“作商法”，这种方法的依据是不等式的基本性质，即当0a >，0b >时，1a a b b >⇔>，1a a b b <⇔<，1a a b h=⇔=.教材第25页“思考交流”是开放的，可以让学有余力的学生利用作商法证明“若0a b <<，0m >，则a m a b m b+>+”.显然a m b m ++，a b 和都大于0，而111a m a a m b ab mb mb ma m b a b m b b m a ab ma ab ma a b m+++--÷=⋅==+=+⋅>+++++，所以a m a b m b +>+. 通过教学不等式的性质1~3，让学生回顾初中所学的不等式的基本性质，掌握证明不等式性质的基本方法，并在此基础上，使学生理解并学会证明不等式的性质4~6.学科核心素养目标与素养通过具体情境，感受、理解不等关系在现实生活中是普遍存在的，证明并掌握不等式的基本性质，会运用不等式的基本性质比较两个实数的大小，感受证明不等式的基本方法“作差法”，达到逻辑推理核心素养水平一的要求.情境与问题本案例通过描述现实生活普遍存在的一些现象，表明现实世界中的量，不等是普遍的、绝对的，而相等则是局部的、相对的，要描述现实生活中的一些现象，研究它们的规律，就需要学习不等式的有关知识，激发学生的学习兴趣，体会数学源于生活，从而引入新课.内容与节点本节是对初中所学不等式知识的再认识，也是初中所学不等式知识的拓展和延伸，是知识的生长和发展，也是我们后续学习基本不等式和不等式的解法的基础，因此起着承上启下的作用.过程与方法不等式的基本性质及性质的证明过程是本节的重点，通过建立初高中内容之间的连接，提升对已学内容的认识，在此基础上进行拓展，也就是“回顾、梳理、提炼、迁移”的过程，其中提炼是关键通过这一过程提升学生的数学探究能力，培养学生的数学抽象和逻辑推理核心素养.教学重点难点重点不等式的性质及其证明.难点不等式性质的应用.。

2019版高考数学大一轮复习第七章不等式第1节不等式的性质与一元二次不等式课件北师大版

x－3)>0，解得 x>32或 x<－1. ∴不等式 2x2－x－3>0 的解集为x|x>32或x<－1.
答案 B
命题角度2 含参不等式【例2－2】解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a≤0).
解原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当 a＜0 时，原不等式化为x－2a(x＋1)≤0. 当2a＞－1，即 a＜－2 时，解得－1≤x≤2a；
法二由1a＜1b＜0，可知 b＜a＜0.①中，因为 a＋b＜0，ab＞0，所
0.故有a＋1 b＜a1b，即①正确； ②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0， ③中，因为 b＜a＜0，又1a＜1b＜0，则－1a＞－1b＞0，所以 a－1a＞b－ ④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以正确. 答案 (1)A (2)C
法一令 g(x)＝mx－122＋34m－6，x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0. 所以 m＜67，则 0＜m＜67. 当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0. 综上所述，m 的取值范围是m0＜m＜67或m＜0.
)
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
解析 (1)∵c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，∴c≥b. 又b＋c＝6－4a＋3a2，∴2b＝2＋2a2，∴b＝a2＋1， ∴b－a＝a2－a＋1＝a－122＋34>0，∴b>a，∴c≥b>a. (2)法一因为1a＜1b＜0，故可取 a＝－1，b＝－2. 显然|a|＋b＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a2＝ln(－1)2＝＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A，B，D.

北师大版版高考数学一轮复习不等式推理与证明不等式的性质与一元二次不等式教学案理解析版

[考纲传真] １．了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景.２．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.３．通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.４．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．１．两个实数比较大小的方法（１）作差法错误!（２）作商法错误!２．不等式的性质（１）对称性：a>b⇔b<a；（２）传递性：a>b，b>c⇒a>c；（３）可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；（４）可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；（５）乘方法则：a>b>0⇒a n>b n（n≥２，n∈N）；（6）开方法则：a>b>0⇒错误!>错误!（n≥２，n∈N）；（7）倒数性质：设ab>0，则a<b⇔错误!>错误!.３．“三个二次”的关系判别式Δ＝b２—４acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a>0）的图像１．若a＞b＞0，m＞0，则错误!＜错误!；若b＞a＞0，m＞0，则错误!＞错误!.２．（x—a）（x—b）＞0或（x—a）（x—b）＜0型不等式的解法口诀：大于取两边，小于取中间．３．恒成立问题的转化：a＞f（x）恒成立⇒a＞f（x）m ax；a≤f（x）恒成立⇒a≤f（x）min.４．能成立问题的转化：a＞f（x）能成立⇒a＞f（x）min；a≤f（x）能成立⇒a≤f（x）m ax.[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）a＞b⇔ac２＞bc２. （）（２）若不等式ax２＋bx＋c＜0的解集为（x１，x２），则必有a＞0．（）（３）若方程ax２＋bx＋c＝0（a＜0）没有实数根，则不等式ax２＋bx＋c＞0的解集为R. （４）不等式ax２＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a＜0且Δ＝b２—４ac≤0．[答案] （１）×（２）√（３）×（４）×２．（教材改编）设A＝（x—３）２，B＝（x—２）（x—４），则A与B的大小关系为（）Ａ．A≥BＢ．A＞BＣ．A≤BＤ．A＜BB[∵A—B＝（x—３）２—（x—２）（x—４）＝x２—6x＋9—x２＋6x—8＝１＞0，∴A＞B，故选Ｂ．]３．（教材改编）若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有（）Ａ．错误!＞错误!Ｂ．错误!＜错误!Ｃ．错误!＞错误!Ｄ．错误!＜错误!B[∵c＜d＜0，∴—c＞—d＞0，∵a＞b＞0，∴—ac＞—bd，∴—错误!＞—错误!，即错误!＜错误!.故选Ｂ．]４．不等式—x２—３x＋４>0的解集为________．（用区间表示）（—４,１）[由—x２—３x＋４>0得x２＋３x—４<0，解得—４<x<１，所以不等式—x２—３x ＋４>0的解集为（—４,１）．]５．（教材改编）若不等式ax２＋bx＋２＞0的解集为错误!，则a＋b＝________.—１４[由题意知x１＝—错误!，x２＝错误!是方程ax２＋bx＋２＝0的两个根，则错误!解得错误!（经检验知满足题意）．∴a＋b＝—１４．]比较大小及不等式性质的应用１．设α∈错误!，β∈[0，π]，那么２α—错误!的取值范围是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[∵α∈错误!，β∈[0，π]，∴２α∈错误!，错误!∈错误!，即—错误!＜２α＜π，—错误!≤—错误!≤0．∴—错误!＜２α—错误!＜π，故选Ｄ．]２．已知a，b，c满足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列选项中一定成立的是（）Ａ．ab＞acＢ．c（b—a）＜0Ｃ．cb２＜ab２Ｄ．ac（a—c）＞0A[∵c＜b＜a，且ac＜0，∴c＜0，a＞0，∴ac＜ab，即A选项正确．]３．设f（x）＝ax２＋bx，若１≤f（—１）≤２,３≤f（１）≤４，则f（—２）的取值范围是________．[6,１0] [法一：（待定系数法）由题意知f（—２）＝４a—２b，设存在实数m，n，使得４a—２b ＝m（a＋b）＋n（a—b），即４a—２b＝（m＋n）a＋（m—n）b，所以错误!解得错误!所以f（—２）＝４a—２b＝（a＋b）＋３（a—b）．又３≤a＋b≤４,３≤３（a—b）≤6，所以6≤（a＋b）＋３（a—b）≤１0，即f（—２）的取值范围是[6,１0]．法二：（运用方程思想）由错误!得错误!所以f（—２）＝４a—２b＝３f（—１）＋f（１）．又错误!所以6≤３f（—１）＋f（１）≤１0，即f（—２）的取值范围是[6,１0]．][规律方法] １．用同向不等式求差范围的技巧错误!⇒错误!⇒a—d＜x—y＜b—c.这种方法在三角函数中求角的范围时经常用到．２．比较大小的三种常用方法（１）作差法：直接作差判断正负即可．（２）作商法：直接作商与１的大小比较，注意两式的符号．（３）函数的单调性法：把比较的两个数看成一个函数的两个值，根据函数的单调性比较．【例１】解下列不等式：（１）３＋２x—x２≥0；（２）x２—（a＋１）x＋a<0．[解] （１）原不等式化为x２—２x—３≤0，即（x—３）（x＋１）≤0，故所求不等式的解集为{x|—１≤x≤３}．（２）原不等式可化为（x—a）（x—１）<0，当a>１时，原不等式的解集为（１，a）；当a＝１时，原不等式的解集为∅；当a<１时，原不等式的解集为（a,１）．[母题探究] 将本例（２）中不等式改为ax２—（a＋１）x＋１<0，求不等式的解集．[解] 若a＝0，原不等式等价于—x＋１<0，解得x>１．若a<0，原不等式等价于错误!（x—１）>0，解得x<错误!或x>１．若a>0，原不等式等价于错误!（x—１）<0．１当a＝１时，错误!＝１，错误!（x—１）<0无解；２当a>１时，错误!<１，解错误!（x—１）<0得错误!<x<１；３当0<a<１时，错误!>１，解错误!（x—１）<0得１<x<错误!.综上所述：当a<0时，解集为错误!；当a＝0时，解集为{x|x>１}；当0<a<１时，解集为错误!；当a＝１时，解集为∅；当a>１时，解集为错误!.２．解含参数的一元二次不等式的步骤：（１）二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．（２）判断方程的根的个数，讨论判别式Δ与0的关系．（３）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．２２（）Ａ．{x|２<x<３}Ｂ．{x|x≤２或x≥３}Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）不等式错误!≥—１的解集为________．（１）B（２）错误![（１）∵不等式ax２—bx—１>0的解集是错误!，∴ax２—bx—１＝0的解是x１＝—错误!和x２＝—错误!，且a<0，∴错误!解得错误!则不等式x２—bx—a≥0即为x２—５x＋6≥0，解得x≤２或x≥３．（２）将原不等式移项通分得错误!≥0，等价于错误!解得x≤错误!或x＞５．∴原不等式的解集为错误!.]一元二次不等式恒成立问题►考法１在R上恒成立，求参数的范围【例２】不等式（a—２）x２＋２（a—２）x—４<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．（—２,２] [当a—２＝0，即a＝２时，不等式即为—４<0，对一切x∈R恒成立，当a≠２时，则有错误!即错误!∴—２<a <２．综上，可得实数a 的取值范围是（—２,２]．]►考法２在指定区间上恒成立，求参数的范围【例３】设函数f （x ）＝mx ２—mx —１．若对于x ∈[１,３]，f （x ）<—m ＋５恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f （x ）<—m ＋５在x ∈[１,３]上恒成立，即m 错误!２＋错误!m —6<0在x ∈[１,３]上恒成立．有以下两种方法：法一：令g （x ）＝m 错误!２＋错误!m —6，x ∈[１,３]．当m >0时，g （x ）在[１,３]上是增函数，所以g （x ）m ax ＝g （３）⇒7m —6<0，所以m <错误!，所以0<m <错误!；当m ＝0时，—6<0恒成立；当m <0时，g （x ）在[１,３]上是减函数，所以g （x ）m ax ＝g （１）⇒m —6<0，所以m <6，所以m <0．综上所述：m 的取值范围是错误!.法二：因为x ２—x ＋１＝错误!２＋错误!>0，又因为m （x ２—x ＋１）—6<0，所以m <错误!.因为函数y ＝错误!＝错误!在[１,３]上的最小值为错误!，所以只需m <错误!即可．所以m 的取值范围是错误!.►考法３变换主元，求x 的范围【例４】对任意的k ∈[—１,１]，函数f （x ）＝x ２＋（k —４）x ＋４—２k 的值恒大于零，则x 的取值范围是__________．{x |x <１或x >３} [对任意的k ∈[—１,１]，x ２＋（k —４）x ＋４—２k >0恒成立，即g （k ）＝（x —２）k ＋（x ２—４x ＋４）>0，在k ∈[—１,１]时恒成立．只需g（—１）>0且g（１）>0，即错误!解得x<１或x>３．][规律方法] 一元二次不等式恒成立问题的求解思路（１）形如f（x）＞0或f（x）＜0（x∈R）的不等式确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解．（２）形如f（x）＞0或f（x）＜0（x∈[a，b]）的不等式确定参数范围时，常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．（３）形如f（x）＞0或f（x）＜0（参数m∈[a，b]）的不等式确定x的范围时，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．２（２）求使不等式x２＋（a—6）x＋9—３a＞0（|a|≤１）恒成立的x的取值范围．（１）错误![设f（x）＝x２＋ax—２，由题知Δ＝a２＋8＞0，所以方程x２＋ax—２＝0恒有一正一负两根，于是不等式x２＋ax—２＞0在区间[１,５]上有解的充要条件是f（５）＞0，即a∈错误!.]（２）[解] 将原不等式整理为形式上是关于a的不等式（x—３）a＋x２—6x＋9＞0．令f（a）＝（x—３）a＋x２—6x＋9，因为f（a）＞0在|a|≤１时恒成立，所以（１）若x＝３，则f（a）＝0，不符合题意，舍去．（２）若x≠３，则由一次函数的单调性，可得错误!即错误!解得x＜２或x＞４．综上可知，使原不等式恒成立的x的取值范围是（—∞，２）∪（４，＋∞）．１．（２0１6·全国卷Ⅰ）设集合A＝{x|x２—４x＋３<0}，B＝{x|２x—３>0}，则A∩B＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!D[∵x２—４x＋３＜0，∴１＜x＜３，∴A＝{x|１＜x＜３}．∵２x—３＞0，∴x＞错误!，∴B＝错误!.∴A∩B＝{x|１＜x＜３}∩错误!＝错误!.故选Ｄ．]２．（２0１6·全国卷Ⅲ）设集合S＝{x|（x—２）（x—３）≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝（）Ａ．[２,３] Ｂ．（—∞，２]∪[３，＋∞）Ｃ．[３，＋∞）Ｄ．（0,２]∪[３，＋∞）D[由题意知S＝{x|x≤２或x≥３}，则S∩T＝{x|0＜x≤２或x≥３}．故选Ｄ．]。

不等式的性质课件高一上学期数学北师大版(2019)

3x 4
2
2.5
x 2
.
②
解: 解不等式①,得解不等式②,得
x 1 2
x 12 5
把① ,②两个不等式的解表示在数轴上，如图
-3 -2 -1 0 1 1 2 123 4 5 6
2
5
所以原不等式组无解
步骤：
(1)求—依次求解每个不等式
(2)表示—将每个不等式的解表示在同一条数轴上
(3)写—利用数轴写出原不等式组（解的公共部分）
A 0 1234567
解不等式
则数有同的点都因示理点B大此解，右表于可集不边示-以x1≤等所，的像-式有1而数图.-的点2都那x点≥A小样左表2于表的边示-解1所的集为x≤-1.
把表示-1 的点 B画成实心圆点，表示解集包括-1.
先在数轴上标出表示-1的点B
B -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
性质3称为同向不等式的可加性．
证明由a＞b，c＞d，由性质2得
a c b c , b c b d, 由性质3得 a c b d
不等式基本性质
不等式基本性质
性质4表明，不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；
不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
去括号移项合并同类项系数化为1
要注意什么呢？
解一元一次不等式
解一元一次不等式
解一元一次不等式
解一元一次不等式
在数轴上表示为：
解一元一次不等式
在数轴上表示为：
一元一次不等式组的概念
由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组.
判断下列不等式组是不是一元一次不等式组：

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2019届北师大版（理科数学）不等式的性质及一元二次不等式单元测试
1. 若
，则下列不等式成立的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
2.【2017山东，理1】设函数A ，函数y=ln(1-x)的定义域为B ,则A B ⋂=
（A ）（1,2）（B ）⎤⎦(1,2 （C ）
（-2,1）（D ）[-2,1) 【答案】D
【解析】试题分析：由2
40x -≥得22x -≤≤，由10x ->得1x <，故A B={|22}{|1}{|21}x x x x x x -≤≤⋂<=-≤<，选D.
3. 若a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（）
A ．
B ．（a ﹣b ）c 2≥0 C． a 2＞b 2 D ． ac ＞bc
【答案】B
【解析】
A:a=1,b=-1,结论不正确；B ：c 2
≥0恒成立，且a ＞b ，所以a ﹣b>0,故正确；
C ：a=1,b=-1，. a 2=b 2，故不正确；
D ：令c=0,得到ac=bc ，故不正确.
故答案为：B.
4．已知函数()21f x x mx =--+，若对于任意[],1x m m ∈+，都有()0f x >成立，则实数m 的取值范围是（）
A ．⎡⎤⎢⎥⎣⎦
B ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
C ．⎡⎢⎣
D ．⎛ ⎝
【答案】B
5．对任意的实数x ，不等式
恒成立，则实数m 的取值范围是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
当时，不等式恒成立；
当时，应满足：，解得：，综上，实数的取值范围是
，本题选择B 选项.
B 能力提升训练
1．【2016高考新课标3理数】设集合{}{}|(2)(3)0,|0S x x x T x x =--≥=> ，则S T =（） (A) [2，3 (B)（-∞ ，2 U [3,+∞） (C) [3,+ ∞） (D)（0，2 U [3,+∞）
【答案】D
【解析】
由(2)(3)0x x --≥解得3x ≥或2x ≤，所以{|23}S x x x =≤≥或，所以{|023}S
T x x x =<≤≥或，
故选D ．
2．【山东、湖北部分重点中 2018年高考冲刺（五）】若，则下列结论一定成立的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
由得到.当时，由不等式同向可乘性知，即；当时，
；当时，，由不等式同向可乘性知，故，.
故选：B 3．【2018江西赣州厚德外国语校模拟】下列结论正确的是（）
A. 若a b >，则ac 2>bc 2
B. 若22
a b >，则a b >
C. 若,0a b c ><，则a c b c +<+
D. <，则a b <
【答案】D
4．【2018河南南阳市第一中模拟】下列不等式：①12x x +≥；②12x x
+≥；③若01a b <<<，则log log 2a b b a +≤-；④若01a b <<<，则log log 2a b b a +≥.其中正确的是（）
A. ②④
B. ①②
C. ②③
D. ①②④
【答案】C 【解析】①12x x +≥或12x x
+≤-，所以不正确； ④若01a b <<<，则log 0,log 0,a b b a << ()log log log log 2a b a b b a b a ∴+=---≤-，所以不正确，所以②③正确.
本题选择C 选项.
5．【2018江苏海安质检】关于的不等式的解集，则的值为 .
【答案】5 【解析】由题意可得，解之得，应填答案.
C 思维拓展训练
1．若，给出下列不等式：①a ＋b ＜ab ；②|a |＞|b |；③a ＜b ；④.其中正确的有( )
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
【答案】B
【解析】因为，故，所以，故①正确，③错误．
又，故，故④正确．
又，故，故②错误，综上，①④正确，故选B ．
2.若实数a ， b ， c ，满足对任意实数x ， y 有345345x y ax by c x y +-≤++≤++，则（）
A. a b c +-的最小值为2
B. a b c -+的最小值为-4
C. a b c +-的最大值为4
D. a b c -+的最大值为6
【答案】A
3.已知两单位向量12,e e 的夹角为60，若实数,x y 满足12|2|3xe ye +=，则2x y +的取值范围是．
【答案】]2,2[- 【解析】
试题分析：2
121=⋅e e ，令2,2t x y x t y =+∴=-，由22123,2430,xe ye x xy y +=∴++-=∴ 222223(2)2(2)430,4230,0,(2)44(3)0t y t y y y y ty t t t -+-+-=∴-+-=∴∆≥∴--⨯⨯-≥， 22≤≤-t ．故y x 2+的取值范围为]2,2[-．
4．【2018广东阳春第一中模拟】设0a <，若不等式()22
cos 1cos 0x a x a -+-+≥对于任意的x R ∈恒成立，则a 的取值范围是．
【答案】2a ≤-
【解析】令[]cos 1,1t x =∈- ，则不等式()()22
10f t t a t a =---≤ 对[]1,1t ∈- 恒成立，因此
()()22100{ { ,021020f a a a a f a a -≤-≤⇒<∴≤-≤--≤ 5．设,a b R +∈，现有下列命题：①若221a b -=，则1a b -<；②若111b a
-=，则1a b -<；③若
|1=，则||1a b -<；④若22||1a b -=，则||1a b -<
其中正确命题的序号为 .
【答案】①，④。

2019届北师大版(理科数学) 不等式的性质及一元二次不等式 单元测试

2019版文数(北师大版)练习：第六章 第一节 不等式的性质、一元二次不等式