江苏省南通市2019届高三练习卷(四模)数学试卷及答案

江苏省南通市2019届高三练习卷（四模）数学试题
2019．5
第I 卷（必做题，共160分）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{}12x x -<≤，B ＝{}
0x x <，则A B ＝ ．
2．已知复数2
2i 1i
z =
++（i 是虚数单位），则z 的共轭复数为 ． 3．执行如图所示的伪代码，则输出的S 的值为 ．
4．从某小学随机抽取100名学生，将他们的身高（单位：cm ）数据绘制成如图所示的频率分布直方图，则身高在[120，130)内的学生人数为 ．
5．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线的方程为
2y x =±，则该双曲线的离心率为 ．
6．现有3个奇数，2个偶数．若从中随机抽取2个数相加，则和是偶数的概率为 ． 7．已知圆锥的轴截面是直角边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 8．给出下列三个函数：①1y x =
；②sin y x =；③x
y e =，则直线12
y x b =+(b ∈R)不能作为函数 的图像的切线（填写所有符合条件的函数的序号）．
9．如图，在平面四边形ABCD 中，∠CBA ＝∠CDA ＝90°，
∠ACD ＝30°，AB ＝BC ，点E 为线段BC 的中点．若AC
AD AE λμ=+(λ，μ∈R)，则λμ的值为 ．
10．已知实数x ，y 满足(2)(23)0x y x y +--+≥，则2
2
x y +
的最小值为 ．
11．己知()f x 是定乂在R 上且周期为
32的周期函数，当x ∈(0，3
2
]时，()121f x x =--．若
函数()log a y f x x =-(a ＞1)在(0，+∞)上恰有4个互不相同的零点，则实数a 的值为 ．
12．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ．若9362S S S =+，则63
1
S S +
取得最小值时，9S 的值为 ．
13．在平面直角坐标系xOy 中，已知A(1x ，1y )，B(2x ，2y )为圆2
2
1x y +=上两点，且
12121
2
x x y y +=-．若C 为圆上的任意一点，则CA CB ⋅的最大值为 ．
14．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长，S 为△ABC 的面积．若不等式
kS ≤3b 2＋3c 2﹣a 2恒成立，则实数k 的最大值为 ．
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）
已知函数()sin()f x x ωϕ=+(ω＞0，ϕ＜2
π)的图象关于直线6x π
=对称，两个相邻
的最高点之间的距离为2π．
（1）求()f x 的解析式；
（2）在△ABC 中，若3
(A)5
f =-
，求sinA 的值． 16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AC ＝AA 1，D 是棱AB 的中点． （1）求证：BC 1∥平面A 1CD ； （2）求证：BC 1⊥A 1C ．
17．（本小题满分14分）
如图，在宽为14 m 的路边安装路灯，灯柱OA 高为8 m ，灯杆PA 是半径为r m 的圆C 的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P 到路面的距离为10 m ，到灯柱所在直线的距离为2 m ．设Q 为灯罩轴线与路面的交点，圆心C 在线段PQ 上．
（1）当r 为何值时，点Q 恰好在路面中线上?
（2）记圆心C 在路面上的射影为H ，且H 在线段OQ 上，求HQ 的最大值．
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22
221x y a b
+=(a ＞b ＞0)经过点(0，)，
点F 是椭圆的右焦点，点F 到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F 的直线l 交椭圆
于M ，N 两点．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）当MF ＝2FN 时，求直线l 的方程；
（3）若直线l 上存在点P 满足PM ·PN ＝PF 2，且点P 在椭圆外，证明：点P 在定直线上．
19．（本小题满分16分）
设函数32
()f x x ax bx =++(a ，b ∈R)的导函数为()f x ．已知1x ，2x 是()f x '的两个
不同的零点．
（1）证明：2
3a b >；
（2）当b ＝0时，若对任意x ＞0，不等式()ln f x x x ≥恒成立，求a 的取值范围；
（3）求关于x 的方程12
11()()()()2
x x f x f x x f x +'=-+的实根的个数．
20．（本小题满分16分）
对于数列{}n a ，若存在正数k ，使得对任意m ，n N *
∈，m ≠n ，都满足m n a a k m n -≤-，
则称数列{}n a 符合“L(k )条件”．
（1）试判断公差为2的等差数列{}n a 是否符合“L(2)条件”? （2）若首项为l ，公比为q 的正项等比数列{}n a 符合“L(
1
2
)条件”．①求q 的取值范
围；②记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：存在正数0k ，使得数列{}n S 符合“L(0k )条件”．
第II 卷（附加题，共40分）
21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝ 1 2 0x -⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，B ＝ 5 72 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦．B 的逆矩阵B -1满足AB -1
＝7 17 7y -⎡⎤⎢⎥-⎣⎦．
（1）求实数x ，y 的值；
（2）求矩阵A 的特征值．
B ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，圆C 的方程为2cos 0ρθ+=，直线l 的方程为72sin()06
m π
ρθ-+=． （1）若直线l 过圆C 的圆心，求实数m 的值； （2）若m ＝2，求直线l 被圆C 所截得的弦长．
C ．选修4—5：不等式选讲
已知实数x ，y ，z 满足2
2
2
491212x y z ++=．证明：
22222
111
323x y y z z ++≥++．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）
如图，已知F 是抛物线C ：2
4y x =的焦点，过E(﹣l ，0)的直线l 与抛物线分別交于A ，B 两点（点A ，B 在x 轴的上方）．
（1）设直线AF ，BF 的斜率分別为1k ，2k ，证明：120k k +=； （2）若△ABF 的面积为4，求直线l 的方程．
23．（本小题满分10分）
（1）阅读以下案例，利用此案例的想法化简01122334
34343434C C C C C C C C +++． 【案例】考察恒等式5
2
3
(1)(1)(1)x x x +=++左右两边2
x 的系数．
因为右边2
3
1
2
2
03
12
2
3
2223333(1)(1)()()x x C C x C x C x C x C x C ++=+++++，
所以，右边2
x 的系数为0
1
1
2
2
3
232323C C C C C C ++，
而左边2x 的系数为2
5C ，
所以0
1
1
2
2
3
232323C C C C C C ++＝2
5C ． （2）求证：2
2212220
(1)()(1)n
r n n
n n n r r C
n C n C --=+-=+∑．
参考答案
1．(﹣1，0) 2．1﹣I 3．17 4．30 5 6．
2
5
7．
8．① 9 10．95 11．72 12 13．3
2
14．15．
16．
17．
18．
19．
20．
21．A
B
C
22．
23．。