传热学导热数值计算共44页

传热学导热问题的数值解法

导热问题的数值解法1 、重点内容：① 掌握导热问题数值解法的基本思路；② 利用热平衡法和泰勒级数展开法建立节点的离散方程。

2 、掌握内容：数值解法的实质。

3 、了解内容：了解非稳态导热问题的两种差分格式及其稳定性。

由前述3 可知，求解导热问题实际上就是对导热微分方程在定解条件下的积分求解，从而获得分析解。

但是，对于工程中几何形状及定解条件比较复杂的导热问题，从数学上目前无法得出其分析解。

随着计算机技术的迅速发展，对物理问题进行离散求解的数值方法发展得十分迅速，并得到广泛应用，并形成为传热学的一个分支——计算传热学（数值传热学），这些数值解法主要有以下几种：（１）有限差分法（ 2 ）有限元方法（ 3 ）边界元方法数值解法能解决的问题原则上是一切导热问题，特别是分析解方法无法解决的问题。

如：几何形状、边界条件复杂、物性不均、多维导热问题。

分析解法与数值解法的异同点：相同点：根本目的是相同的，即确定① t=f(x ，y ，z) ；②。

不同点：数值解法求解的是区域或时间空间坐标系中离散点的温度分布代替连续的温度场；分析解法求解的是连续的温度场的分布特征，而不是分散点的数值。

§4-1 导热问题数值求解的基本思想及内节点离散方程的建立实质对物理问题进行数值解法的基本思路可以概括为：把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，如导热物体的温度场等，用有限个离散点上的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。

该方法称为数值解法。

这些离散点上被求物理量值的集合称为该物理量的数值解。

2 、基本思路：数值解法的求解过程可用框图4-1 表示。

由此可见：1 ）物理模型简化成数学模型是基础；2 ）建立节点离散方程是关键；3 ）一般情况微分方程中，某一变量在某一坐标方向所需边界条件的个数等于该变量在该坐标方向最高阶导数的阶数。

一数值求解的步骤如图4-2 （a ），二维矩形域内无内热源、稳态、常物性的导热问题采用数值解法的步骤如下：1 建立控制方程及定解条件控制方程：是指描写物理问题的微分方程针对图示的导热问题，它的控制方程（即导热微分方程）为：（a ）边界条件：x=0 时，x=H 时，当y=0 时，当y=W 时，区域离散化（确立节点）用一系列与坐标轴平行的网格线把求解区域划分成若干个子区域，用网格线的交点作为需要确定温度值的空间位置，称为节点( 结点) ，节点的位置用该节点在两个方向上的标号m ，n 表示。

《传热学》第四章导热数值解法基础

——以右边界为例 1.第一类边界条件：
边界
2.第二类边界条件：
Байду номын сангаас
Δx＝Δy时简化为：
绝热边界：
3.第三类边界条件：
Δx＝Δy时简化为：
其他情况的节点方程 ——见教材表4－1
外拐角与内拐角节点
对流边界内部拐角节点热平衡：
节点方程式推导实例 ——对流边界外部拐角节点
Δx＝Δy时简化为：
数值导热离散方程组＝内节点离散方程＋边界节点离散方程
二、常用计算软件
1.MATLAB——矩阵计算软件
matlab软件主界面
2.FLUENT——流体流动通用数值计算软件
3. FLUENT AIRPAK ——人工环境系统分析软件，暖通空调专业和传热学领域必备软件
AIRPAK模拟温度场
第四章重点： 1.有限差分方程的建立 2.高斯－赛德尔迭代方法
谢谢观看
《传热学》
第四章导热数值解法基础
本章研究的目的 ——利用计算机求解难以用分析解求解的导热问题基本思想 ——把原来在时间、空间坐标系中连续的物理量的场，用有限个离散点的值的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程，来获得离散点上被求物理量的值。研究手段——有限差分法
数值导热离散方程组内节点离散方程边界节点离散方程三节点离散方程组的求解迭代法迭代法的原理离散方程组的求解方法消元法方程过多时计算机内存不足迭代法假定初值根据假定的初值求新值并重复此步骤若干次两次计算值足够接近认为达到真实值简单迭代法每次迭代时使用上次迭代的结果允许误差简单迭代法的缺点由于每次迭代中使用与真实值偏差较大的上次迭代的旧值使运算过程接近真实值的时间增加高斯赛德尔迭代法将本次迭代的最新结果立刻代入本次迭代过程计算其他未知值高斯赛德尔迭代法的优点由于每次迭代中使用与真实值偏差较小的本次迭代的新值使运算过程接近真实值的时间缩短第三节非稳态导热的数值计算一显式差分格式研究对象一维非稳态导热问题一维非稳态导热内节点差分方程

传热系数与导热系数换算公式

传热系数与导热系数换算公式
传热系数与导热系数之间存在换算关系，具体如下：
热传导率 = 导热系数 / (物质的密度× 物质的比热容)
根据这个公式，我们可以将导热系数和传热系数进行相互换算。

例如，假设某物质的导热系数为W/(m·K)，密度为1000 kg/m³，比热容为1000
J/(kg·K)，我们可以先计算出该物质的热传导率：
热传导率= / (1000 × 1000) = 5 × 10^-7 m²·K/W
然后，通过热传导率可以计算出该物质的传热系数：
传热系数 = 1 / 热传导率= 1 / (5 × 10^-7) = 2 × 10^6 W/(m²·K)
通过以上计算，我们得知了该物质的传热系数为2 × 10^6 W/(m²·K)。

以上内容仅供参考，建议查阅传热学或物理学书籍获取更全面和准确的信息。

传热学数值计算

Fe aE De 2
Thermal
Fw Fe aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
2、对方程的几点说明由于连续性，Fe=Fw， aP aW aE（只是在流场满足连续性条件时才具有这一性质）；方程 aP P aE E aW W 隐含着分段线性分布的含
讨论只有对流项和扩散项存在时的一维稳态问题，控制方程为：
u j ( ) S x j x j x j
d d d u ( ) dx dx dx
d 连续方程： u 0 dx
u const
任务：导出相应方程的离散化形式
义，也是熟知的中心差分格式（用左右节点值表示
界面上的值以及界面上的导数值）；方程必须遵守四项基本法则，否则会产生灾难性的结果。
2018-11-24
太原理工大学
7 /70
Thermal
例如：设 De Dw 1， Fe Fw 4 若E、W给定，即可由离散方程求得P 。
即， F 2D时，有可能使 aE 或aW 为负产生不切实际的结果
2018-11-24
太原理工大学
8 /70
Thermal
这就是中心差分格式求解对流换热问题时仅限于低
Fw Fe Re(低的F/D)的原因 . aP Dw De aW aE Fe Fw 2 2
原通用方程可改写为
u j ( )S x j x j x j
对于已知的ρ、uj、Γ及S（常量）的分布，任何解及
+c 将同时满足方程，故系数和的法则仍然适用。
2018-11-24
太原理工大学

传热学-第4章-导热数值解法基础

节能减排，创建和谐社会第四章导热数值解法基础
环境与能源工程学院 ( SEEE )
二阶导数的中心差分表达式 [1]-[2]相加
在表示温度对时间的一阶导数时只采用向前或向后差分表达式——温度对时间的中心差分表达式求解非稳态导表达式中心差分热问题将导致数值解的不稳定，参考：《工程传热学》导致数值解的不稳定以常物性、无内热源、二维稳态导热为例 P(I,j)
2ΔxqW 1 = (2ti −1, j + ti , j +1 + ti , j −1 + ) λ 4
第三类边界条件
i,j+1 i1,j i,j
Beijing University of Civil Engineering and Architecture ( BUCEA )
传热学 ( Heat transfer )
环境与能源工程学院：School of Environment and Energy Engineering -SEEE
第四章导热数值解法基础 4-1 建立离散方程的方法 4-2 稳态导热的数值计算 4-3 非稳态导热的数值计算
ti +1, j ⎛ ∂ 2t ⎞ Δx 2 ⎛ ∂ 3t ⎞ Δx 3 ⎛ ∂t ⎞ = ti , j + ⎜ ⎟ Δx + ⎜ 2 ⎟ ⎜ ∂x ⎟ 2! + ⎜ ∂x 3 ⎟ 3! + LL ⎜ ⎟ ⎝ ∂x ⎠i , j ⎝ ⎠i , j ⎝ ⎠i , j
节点（i, j）一阶导数的向后差分表达式（一阶截差公式）；
P(i.j)
q ∂t ∂ 2t ∂ 2t = a( 2 + 2 ) + v ρc ∂τ ∂x ∂y
二维导热问题；网格；沿x、 y方向的间距为Δx、Δy；网格单元（Nodal point）节点：网格线的交点；p(i,j) 节点

传热学数值计算

传热学
数值计算
4、一无限大平壁厚度为 0.3m，其导热系数为λ =36.4 W/ (m·K)。平壁两侧表面均给定为第三类边界条件，即 h 1 =60W/ (m 2 ·K)，t f 1 =25℃；h 2 =300W/ (m 2 ·K)，t f 2 =215℃。当平壁中具有均匀的内热源 q v =2 10 W / m 时，试计算沿平壁厚度的稳态温度分布。
k
0
k k 1
11
k 2Fo (t 10 t f Bi ) (1 2Fo 2Bi Fo) t11 t11
0
四、
计算过程
⑴ 设定初值：
t (1~11) 35 ℃;
36W / m k ;
Bi h / ;
根据不同的 Fo 计算Δ τ ：
qv x 2

)/2
h2 x
h2 x TRB

qv x 2

) /(1

)
|T[i]-t[i]|<=EPS
NO
IT=IT+1
YES
打印“t[i]” ， “IT”
YES
IT>K
NO
停止
⑷ 程序与计算结果 #include"iostream.h" #include"iomanip.h" #include"math.h" #include"stdio.h" #define N 16 void main() { int M,i,IT,flag; //定义节点个数
计算结果：
各节点温度：节点 1 2 411.24 10 422.65 3 420.33 11 414.23 4 427.22 12 403.62 5

传热学课件第四章导热问题数值解法基础

i , j
t x

t i 1 , j t i , j x
0 x
2.一阶导级的向后差分表达式：舍去<2>式△x2后各项，则有：
i , j
t x

t i , j t i 1 , j x
0 x
第一节建立离散方程的方法
二、泰勒级数展开法（有限差分法）
k 2 k 1
对流 h t f t1 A
k k

显式
△x
C.内能增量△u：
u c
x 2
A t1
k

k 1
t1 /
k

△x/2
k hx
据热平衡A+B=C并整理得：
k f
t 2 t1
k

t
t1
k

1 2

c

x
2
t1

k 1
LP
△y
t i 1 , j t i , j x
t i , j 1 t i , j y

y 2
x 2
1
BP

1
x 2
y 2
EP h t f t i , j
△x
1
FP h t f t i , j
t x
t
2
2
x i , j 2!
2

t x
3
x i , j 3!
3
3.一阶导级的中心差分表达式：<1>-<2>式且忽略后项，则有：
i , j
t x

传热学第四章导热问题的数值解法

三.灰体表面间的辐射换热
由于灰体表面存在着多次的反射和吸收，计算起来比黑体复杂得多，为了计算方便我们引进了两个概念： 1.投入辐射G和有效辐射J G—单位时间内投射到表面单位面积上的总辐射能。 J—单位时间内离开该表面单位面积的总辐射能。
G(投入辐射) (1-α)G(反射辐射) αG (吸收辐射) J(有效辐射) E= ε Eb (本身辐射)
定义：表面1发出的辐射能直接落到表面2上的百分数，称表面1对表面2的角系数，记为X1,2，同理有X2,1。角系数是一个无量纲能量百分比。引入角系数是为了说明两个表面之间的辐射换热量与它们之间的相对位置有很大关系。角系数为几何因子，其值取决于物体的几何特性（形状、尺寸及物体的相对位置）而与物体的种类和温度无关。
i =1 n

表面为凸面或平面时，有何性质？
3.可加性
从表面1上发出落到表面2上的总能量，等于落到表面2各部分的能量之和。于是有：
X 1， 2 = X 1， 2 a + + X 1， 2 n = ∑ X 1， 2i
i =a n
设表面由a、b两部分组成，写出其可加性表达式。
三.角系数的计算

或写成：
Eb − J q = ， 1− ε
ε
1− ε 称为表面辐射热阻 εA
2.灰体表面间的辐射换热
考虑两个等温的漫灰表面组成的二维封闭系统，表面1、2间的Φ为： φ1, 2 = A1 J 1 X 1, 2 − A2 J 2 X 2,1
J 1 A1 = A1 Eb1 − (1 / ε 1 − 1)φ1, 2 J 2 A2 = A2 Eb 2 − (1 / ε 2 − 1)φ 2,1
本节讨论的是被透热介质隔开的两固体表面间的辐射换热。透热介质是指不参与热辐射的介质，最常见的是空气。

传热学-第四章-热传导问题的数值解法

23
判断迭代是否收敛的准则：
迭代次数，表示第k次迭代
Monday, March 30, 2020
表示第k次迭代所得计算域内的最大值当有温度t接近于零的时，选此准则较好
24
例题：
Monday, March 30, 2020
25
Monday, March 30, 20day, March 30, 2020
27
1. 一维非稳态导热的数值求解：第三类边界条件下，常物性、无内热源无限大平壁的一维非稳态导热问题为例。
1) 求解域的离散
2) 节点温度差分方程的建立
运用热平衡法可以建立非稳态导热物体内部节点和边界节点温度差分方程。
Monday, March 30, 2020
29
➢ 两点结论：
(a) 任意一个内部节点n在(i+1)时刻的温度都可以由该节点及其相邻节点(n-1) 、(n+1)在i 时刻的温度由上式直接求出，不必联立求解方程组，这是显式差分格式的优点。这样就可以从初始温度出发依次求出各时刻的节点温度；
(b) 必须满足显式差分格式的稳定性条件，即
物理意义:
15
§4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解
第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。
n=N
封闭
(m,n+1)
第二类边界条件或第三类边界条件：部分边界温度未知。
不封闭
w (m-1,n)
n e
(m,n) s
(m,n-1)
(m+1,n)
y
n=1
m=1
m
x
m=M
Monday, March 30, 2020

热传导和导热系数的计算方法

热传导和导热系数的计算方法热传导是指热量在物体内部由高温区向低温区传递的过程，其本质是物体内部粒子（如电子、原子、分子）的振动和碰撞引起的能量传递。

热传导的计算方法主要包括傅里叶定律、导热系数的概念及其计算方法。

1.傅里叶定律傅里叶定律是热传导的基本定律，表述为：物体内部的热流密度q与温度梯度dT/dx之间存在以下关系：[ q = -k ]其中，q表示热流密度，单位为瓦特每平方米（W/m^2）；k表示导热系数，单位为瓦特每米·开尔文（W/m·K）；dT/dx表示温度梯度，单位为开尔文每米（K/m）。

2.导热系数导热系数是描述材料导热性能的一个物理量，定义为：在稳态热传导条件下，1米厚的物体，在两侧表面温差为1开尔文时，单位时间内通过单位面积的热量。

导热系数用符号k表示，其单位为瓦特每米·开尔文（W/m·K）。

导热系数的计算方法主要有：（1）实验测定：通过实验方法，如热线法、热板法等，测定材料的导热系数。

（2）理论计算：根据材料的微观结构和组成，运用热力学和物理学原理，计算导热系数。

例如，对于均匀多晶材料，导热系数可通过以下公式计算：[ k = ( k_1 + k_2 + k_3 ) ]其中，k1、k2、k3分别为材料三个方向上的导热系数。

3.热传导的计算方法热传导的计算方法主要包括以下步骤：（1）建立热传导模型：根据实际问题，假设物体为均匀、各向同性或各向异性，简化模型以便于计算。

（2）确定边界条件和初始条件：如物体表面的温度、热流密度等。

（3）选择合适的数学方法求解：如有限差分法、有限元法、解析法等。

（4）分析结果：根据计算得到的温度分布、热流密度等，分析问题的热传导特性。

总之，热传导和导热系数的计算方法是热力学和物理学中的重要知识点，掌握这些方法有助于我们更好地理解和解决实际中的热传导问题。

习题及方法：1.习题：一长方体铜块的尺寸为2m×1m×0.5m，左表面温度为100℃，右表面温度为0℃。

热传导和导热系数的计算

热传导和导热系数的计算热传导是指热量在物体内部由高温区向低温区传递的过程，它是固体、液体和气体等物质的一种基本热传递方式。

热传导的计算通常涉及到导热系数这个物理量，它是一个材料特性，用来描述材料内部热量传递的能力。

一、热传导的基本公式1.一维稳态热传导：对于一维稳态热传导，热量在物体内部的传递可以用傅里叶定律来描述：[ q = -kA ]其中，( q ) 是单位面积的热流量（W/m^2），( k ) 是导热系数（W/m·K），( A ) 是物体的横截面积（m^2），( ) 是温度梯度（K/m）。

2.二维和三维稳态热传导：对于二维和三维稳态热传导，热量在物体内部的传递可以用傅里叶定律的微分形式来描述：[ = ]其中，( q ) 是单位体积的热流量（W/m^3），( t ) 是时间（s），( ) 是热扩散系数（m^2/s），( T ) 是温度（K或°C），( ) 是温度梯度的二阶导数。

二、导热系数的定义和影响因素导热系数（k）是描述材料内部热量传递能力的物理量，单位为W/m·K。

导热系数反映了材料在单位厚度、单位温差条件下，单位时间内通过单位面积的热量。

2.影响因素：a)材料的种类：不同材料的导热系数不同，金属的导热系数一般较大，而绝缘材料的导热系数较小。

b)温度：材料的导热系数随温度的变化而变化，一般情况下，随着温度的升高，导热系数增大。

c)湿度：对于多孔材料，湿度对导热系数有较大影响，湿度越大，导热系数越大。

d)孔隙率：对于多孔材料，孔隙率越大，导热系数越小。

三、常见材料的导热系数以下是一些常见材料的导热系数（单位：W/m·K）：1.金属：40-460（如铜：380，铝：237）2.木材：0.1-0.2（如松木：0.14，柚木：0.2）3.塑料：0.1-1.5（如聚乙烯：0.4，聚丙烯：1.0）4.玻璃：1-2（如普通玻璃：1.1，高强度玻璃：1.6）5.空气：0.026（在常温常压下）四、热传导和导热系数的应用1.建筑领域：热传导和导热系数的计算在建筑领域具有重要意义，可以用于设计保温层、隔热材料等，以提高建筑的能源效率。

传热量的计算公式

传热量的计算公式传热量是一个在物理学和工程学中非常重要的概念，它的计算公式能帮助我们理解和解决很多实际问题。

先来说说啥是传热量。

打个比方，冬天的时候，我们在屋里会感觉暖和，这是因为屋里的暖气在向周围传递热量。

而这个传递的热量多少，就可以用传热量来衡量。

传热量的计算公式是Q = kAΔT / L 。

这里的 Q 就表示传热量啦，k 是导热系数，A 是传热面积，ΔT 是温度差，L 是传热长度。

咱一个一个来解释哈。

导热系数 k 呢，就好比是不同材料传热能力的“身份证”。

像金属的导热系数一般就比较大，比如铜、铝，所以它们传热快；而像木头、塑料这类材料，导热系数小，传热就慢。

再说传热面积 A 。

想象一下，同样的温度差和材料，一块大的暖气片和一块小的暖气片，哪个传热多？肯定是大的呀，因为它的面积大嘛。

温度差ΔT 也好理解。

还是拿冬天的暖气来说，暖气里的水温跟室内的温度差越大，传的热量就越多。

要是暖气里的水跟室内温度差不多，那可就没啥传热效果啦。

最后是传热长度 L ，它就像是传热路上的“障碍”，长度越长，传热量就会受到一定的影响。

我记得有一次，我家里的空调坏了，找了个师傅来修。

师傅在检查的时候就跟我讲了不少关于传热的知识。

他说这空调的铜管就像是传热的“通道”，如果铜管有损坏或者被压扁了，就会影响导热系数 k ，进而影响传热量，导致空调制冷或制热效果不好。

当时我就觉得，原来这些物理学的知识在生活中这么有用！在实际应用中，比如设计暖气管道、制造换热器、研究电子设备的散热问题等等，都离不开传热量的计算公式。

工程师们会根据具体的情况，选择合适的材料，确定传热面积、温度差和传热长度，通过计算传热量来优化设计，保证设备的正常运行和高效工作。

对于我们普通人来说，了解传热量的计算公式虽然不能让我们马上成为专家，但至少能让我们在生活中多一些思考和理解。

比如，为啥夏天冰箱门开久了，里面就不那么冷了？这其实就和传热量有关。

因为冰箱内外的温度差，再加上开门后增大的传热面积，会导致外面的热量大量传入冰箱，从而影响制冷效果。

传热学 -- 导热数值分析解法

•
else T(i,1)=(qw*0.5*b+0.5*h*b*tf+0.5*a*T(i-1,1)+0.5*a*T(i,j+1))/(a+0.5*h*b);
•
end
•
end
• end
• for j=2:5
•
for i=1:4
•
c(i,j)=T(i,j);
•
if i==1
•
T(i,j)=(a*T(i,j+1)+0.5*a*T(i,j-1)+a*T(i+1,j))/(2*a);•ຫໍສະໝຸດ end•end
•
end
• end
• for i=1:4
•
for j=1:5
•
z=max(T(i,j)-c(i,j));
•
eps=z;
•
end
•
end
• end
• surf(T);
下图为本题的温度分布
节点越多，温度场划分越细。如下图以10mm为步长划分节点
谢谢观看！
根据题意进行边界条件分析及节点划分，如下：
6 5 4
3 2
1
2
3
4
对每个节点按热平衡法列稳态方程:
1) 若 ti,j为平壁的内部节点，则有
ti-1,j-ti,j y+ ti+1,j -ti,j y ti,j-1-ti,j x+ ti,j+1-ti,j x 0
x
x
•
else if i>1&&i<4
•
T(i,j)=(a*T(i,j+1)+a*T(i+1,j)+a*T(i-1,j)+a*T(i,j-1))/(4*a);