北师大版高中数学必修五精练第一章数列1.2.2.1

2.2 等差数列的前n 项和

第1课时 等差数列的前n 项和

课后篇巩固探究

A 组

1.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,已知a 2=3,a 6=11,则S 7等于( )

A.13

B.35

C.49

D.63

解析:S 7=7(a 1+a 7)

2

=

7(a 2+a 6)

2

=

7×(3+11)

2

=49. 答案:C

2.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和,S 5=10,则a 3的值为 ( )

A.6

B.1

C.2

D.3

解析:∵S 5=

5(a 1+a 5)

2

=5a 3, ∴a 3=1

S 5=1

×10=2.

答案:C

3.已知数列{a n }的通项公式为a n =2n-37,则S n 取最小值时n 的值为( ) A.17

B.18

C.19

D.20

解析:由{a n ≤0,a n+1≥0,

得{2n -37≤0,2(n +1)-37≥0,∴352≤n ≤37

2.

∵n ∈N +,∴n=18.∴S 18最小,此时n=18.

答案:B

4.等差数列{a n }的前n 项和为S n (n=1,2,3,…),若当首项a 1和公差d 变化时,a 5+a 8+a 11是一个定值,则下列选项中为定值的是( ) A.S 17

B.S 18

C.S 15

D.S 14

解析:由a 5+a 8+a 11=3a 8是定值,可知a 8是定值,所以S 15=15(a 1+a 15)

2

=15a 8是定值. 答案:C

5.若两个等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为A n 与B n ,且满足A n B n

=

7n+14n+27(n ∈N +),则a

11b 11

的值是( )

A.74

B.32

C.43

D.7871

解析:因为

a n

b n

=A 2n -1

B 2n -1

=7(2n -1)+14(2n -1)+27

=

14n -6

8n+23

, 所以a 11b 11

=

14×11-68×11+23

=

148111

=43

.

答案:C

6.已知{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和,n ∈N +.若a 3=16,S 20=20,则S 10的值为 . 解析:设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d.

∵a 3=a 1+2d=16,S 20=20a 1+20×19

2

d=20, ∴{

a 1+2d =16,

2a 1+19d =2,

解得d=-2,a 1=20,

∴S 10=10a 1+

10×9

2

d=200-90=110. 答案:110

7.在等差数列{a n }中,前n 项和为S n ,若a 9=3a 5,则S

17S 9

= .

解析:S 17=17a 9,S 9=9a 5,

于是S

17S 9=17a

99a 5

=17

9×3=17

3.

答案:17

8.已知某等差数列共有10项,其奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差等于 . 解析:设公差为d ,则有5d=S 偶-S 奇=30-15=15,于是d=3. 答案:3

9.若等差数列{a n }的公差d<0,且a 2·a 4=12,a 2+a 4=8. (1)求数列{a n }的首项a 1和公差d ; (2)求数列{a n }的前10项和S 10的值.

解(1)由题意知(a 1+d )(a 1+3d )=12,(a 1+d )+(a 1+3d )=8,且d<0,解得a 1=8,d=-2.

(2)S 10=10×a 1+10×9

2d=-10.

10.

导学号33194010已知数列{a n }是首项为23,公差为整数的等差数列,且前6项均为

正,从第7项开始变为负. 求:(1)此等差数列的公差d ; (2)设前n 项和为S n ,求S n 的最大值; (3)当S n 是正数时,求n 的最大值.

解(1)∵数列{a n }首项为23,前6项均为正,从第7项开始变为负,

∴a 6=a 1+5d=23+5d>0,a 7=a 1+6d=23+6d<0,解得-235

6,又d ∈Z ,∴d=-4.

(2)∵d<0,∴{a n }是递减数列.

又a 6>0,a 7<0,∴当n=6时,S n 取得最大值, 即S 6=6×23+6×5

2×(-4)=78. (3)S n =23n+

n (n -1)

2×(-4)>0,整理得n (25-2n )>0,∴0

,又n ∈N +,∴n 的最大值为12.

B 组

1.设数列{a n }为等差数列,公差d=-2,S n 为其前n 项和,若S 10=S 11,则a 1=( ) A.18

B.20

C.22

D.24

解析:因为S 11-S 10=a 11=0,a 11=a 1+10d=a 1+10×(-2)=0,所以a 1=20. 答案:B

2.(2017全国1高考)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 4+a 5=24,S 6=48,则{a n }的公差为( ) A .1

B .2

C .4

D .8

解析:设首项为a 1,公差为d ,则a 4+a 5=a 1+3d+a 1+4d=24,S 6=6a 1+6×5

2

d=48,联立可得{

2a 1+7d =24,①

6a 1+15d =48,②

①×3-②,得(21-15)d=24,即6d=24,所以d=4.

答案:C

3.等差数列{a n }的前n 项和记为S n ,若a 2+a 4+a 15的值为一个确定的常数,则下列各数中也是常数的是( ) A.S 7

B.S 8

C.S 13

D.S 15

解析:∵a 2+a 4+a 15=3a 1+18d=3(a 1+6d )=3a 7为常数,

∴S 13=

13(a 1+a 13)

2

=13a 7为常数. 答案:C