探究中点引发的数量关系和位置关系

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全等三角形压轴题

..全等三角形压轴题 31. 在△ABC 中，BC=AC ，∠BCA=900，P 为直线AC 上一点，过A 作AD ⊥BP 于D ，交直线BC 于Q ．（1）如图1，当P 在线段AC 上时，求证：BP=AQ ．（2）当P 在线段AC 的延长线上时，请在图2中画出图形，并求∠CPQ ．（3）如图3，当P 在线段CA 的延长线上时，∠DBA = 时，AQ =2BD ．2.我们知道三角形的一条中线能将这个三角形分成面积相等的两个三角形，反之，若经过三角形的一个顶点引一条直线将这个三角形分成面积相等两个三角形，那么这条直线平分三角形的这个顶点的对边．如图1，S △ABD=S △ ADC ，则BD=CD 成立．请你直接应用上述结论解决以下问题：（1）已知：如图2，AD 是△ABC 的中线，沿AD 翻折△ADC ，使点C 落在点E ，DE 交AB 于F ，若△ADE 与△ADB 重叠部分面积等于△ABC 面积的14，问线段AE 与线段BD 有什么关系？在图中按要求画出图形，并说明理由．（2）已知：如图3，在△ABC 中，∠ACB = 900 ，AC =2，AB =4，点D 是AB 边的中点，点P 是BC 边上的任意一点，连接PD ，沿PD 翻折△ADP ，使点A 落在E ，若△PDE 与△PDB 重叠部分的面积等于△ABP 面积的14，直接写出BP 的值．3. 在△ABC 中，已知D 为边BC 上一点，若,ABC x BAD y ∠=∠=.QCBPDA BAQB P DACB DAACB DAPDCBA备用图N M C AB N MC DA B 图 1B AQDC M PG图 2N F E （1）当D 为边BC 上一点，并且CD=CA ，40x =，30y =时，则AB _____ AC （填“=”或“≠”）；（2）如果把（1）中的条件“CD=CA ”变为“CD=AB ”，且x,y 的取值不变，那么（1）中的结论是否仍成立？若成立请写出证明过程，若不成立请说明理由；（3）若CD= CA =AB ，请写出y 与x 的关系式及x 的取值围. （不写解答过程，直接写出结果）4. 在Rt △ABC 中，AC=BC ，P 是BC 垂直平分线MN 上一动点，直线PA 交CB 于点E ，F 是点E 关于MN 的对称点，直线PF 交AB 于点D ，连接CD 交PA 于点G. （1）如图1，若P 点在△ABC 的边BC 上时，此时点P 、E 、F 重合，线段AP 上的点Q 关于的对称点D 恰好在边AB 上，连接CQ ，求证：CQ 平分∠ACB ；（2）如图2，若点P 移到BC 上方，且∠CAP=22.5°，求∠CDP 的度数；（3）若点P 移动到△ABC 的部时，线段AE 、CD 、DF 有什么确定的数量关系，请画出图形，并直接写出结论： .5. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）分别为两坐标轴上的点，且a 、b 满足221212720a b a b +--+=，OC ∶OA=1∶3. （1）求A 、B 、C 三点的坐标；DCBA..ADCBEEBCGFDA（2）若D （1，0），过点D 的直线分别交AB 、BC 于E 、F 两点，设E 、F 两点的横坐标分别为E F x x 、.当BD 平分△BEF 的面积时，求E F x x +的值；（3）如图2，若M （2，4），点P 是x 轴上A 点右侧一动点，AH ⊥PM 于点H ，在HM 上取点G ，使HG=HA ，连接CG ，当点P 在点A 右侧运动时，∠CGM 的度数是否改变？若不变，请求其值；若改变，请说明理由.6. 如图，点D 、E 分别在等边△ABC 的AB 、AC 上，且CD ＞BD ，AE ＞EC ，AD 和BE 相交于点F..（1）若∠BAD=∠CBE ，则AD BE ；（填“＞”、“=”、“＜”）（2）若AD=BE ，求证：∠BAD=∠CBE ；（3）在（2）的条件下，以AB 为边作如图所示的等边△ABG ，连接FG ，若FG=11，BF=3，请直接写出线段AF 的长度为 .7. 如图1，已知A （a ，0），B （0，b ）.（1）当a 、b 满足2288320a a b b -+-+=时，求∠BAO 的度数；（2）如图1，在（1）的条件下，点C 为线段AB 上一点（BC ＞CA ），以点C 为直角顶点，OC 为腰作等腰Rt △OCD ，连接BD ，求证：∠BDO=∠BCO ；A BCO yOxyx图 1图 2QF EDB A（3）如图2，△ABO 的两条角平分线AE 、BF 交于点Q ，若△ABQ 的面积为24，求四边形AFEB 的面积.8. 已知：点A 、C 分别是∠B 的两条边上的点，点D 、E 分别是直线BA 、BC 上的点，直线AE 、CD 相交于点P(1) 点D 、E 分别在线段BA 、BC 上① 若∠B ＝60°（如图1），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，则∠APD 的度数为___________ ② 若∠B ＝90°（如图2），且AD ＝BE ，BD ＝CE ，求∠APD 的度数(2) 如图3，点D 、E 分别在线段AB 、BC 的延长线上，若∠B ＝90°，AD ＝BC ，∠APD ＝45°，求证：BD ＝CE9. 已知A(a ，0)、B(0，b)，且满足2a2＋b2＋4a －4b ＝－6，以A 为直角顶点，且以AB 为腰作等腰直角△ABC (1) 求C 点的坐标(2) 如图，若点C 在第二象限，点M 在BC 的延长线上，且AM ＝AN ，AM ⊥AN ，则CM 与BN 存在怎样的关系？请予以证明.(3) 如图，若点C在第二象限，以AB为边在直线AB的另一侧做等边△ABD，连接CD，过A作AF⊥BC于F，AF与CD交于点E，试判断线段CE、AE、CD 之间存在何种数量关系，并证明你的结论10.如图（1），已知A(0,a),B(b,0),且a,b满足a2+2ab+b2+（b+3)2=0,D为x轴上B点左边一动点，连AD,过A作AE⊥AD交x轴于F,且AE=AD,连BE交y轴于点P.(1) 求∠ABO的度数；(2)若AO=3OP,求E点的坐标;(3)如图（2）若C为线段BF(靠近B)的一个三等分点，且∠ACO=600,试求∠AFB的度数。

(2021年整理)全等三角形压轴题及分类解析

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BA O DCE图88年级三角形综合题归类一、双等边三角形模型1. （1）如图7,点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形OAB 和等边三角形OCD,连结AC 和BD ，相交于点E,连结BC ．求∠AEB 的大小；（2）如图8，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB 和ΔOCD 不能重叠），求∠AEB 的大小。

2. 已知:点C 为线段AB 上一点，△ACM，△CBN 都是等边三角形，且AN 、BM 相交于O.① 求证：AN=BM② 求 ∠AOB 的度数。

③ 若AN 、MC 相交于点P ，BM 、NC 交于点Q,求证：PQ ∥AB.（湘潭·中考题）同类变式：如图a,△ABC 和△CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C ，连接AF 和BE 。

(1)线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论；(2）将图a 中的△CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图b ，（1)中的结论还成立吗?作出判断并说明理由； (3）若将图a 中的△ABC 绕点C 旋转一定的角度,请你画出一个变换后的图形c （草图即可)，（1)中的结论还成立吗?作出判断不必说明理由.CBO D图7AEABCM N OPQ图c3. 如图9，若△ABC 和△ADE 为等边三角形，,M N 分别为,EB CD 的中点，易证： CD BE =，△AMN 是等边三角形．（1）当把△ADE 绕A 点旋转到图10的位置时，CD BE =是否仍然成立?若成立,请证明；若不成立，请说明理由；（2)当△ADE 绕A 点旋转到图11的位置时，△AMN 是否还是等边三角形？若是,请给出证明，若不是，请说明理由．同类变式：已知,如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． (1）求证：①BE CD =；②AN AM =;（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1)中的两个结论是否仍然成立.图9 图10 图11CEN DABM图①CAE M BDN 图②4。

全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．D C BAED F CB A3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

2中点辅助线.中位线(2014-2015)要点

2015年中考解决方案构造中位线学生姓名：×××上课时间：2014.××.××知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。

秘籍二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

秘籍三：构造三线合一自检自查必考点构造中位线解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。

他位置的也要能看出一、构造三角形中位线☞考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

“题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似功效．【例1】已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．C ED B A【练1】如右下图，在ABC ∆中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．E D CB A中考满分必做题【练2】在ABC △中，CD 、AE 分别为AB 、BC 边上的高，60B =︒∠，求证：12DE AC =． CE DB A【练3】在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，12AC BC =，以BC 为底作等腰直角BCD ∆，E 是CD 的中点，求证：AE EB ⊥且AE BE =．EDCBA【例2】已知四边形ABCD 的对角线AC BD =，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，连结EF 分别交AC 、BD于M 、N ，求证：AMN BNM =∠∠．MNF EDCB A【练1】已知四边形ABCD 中，AC BD <，E F 、分别是AD BC 、的中点，EF 交AC 于M ；EF 交BD 于N ，AC 和BD 交于G 点．求证：GMN GNM ∠>∠．GBCDEFM N A【练2】已知：在ABC ∆中，BC AC >，动点D 绕ABC ∆的顶点A 逆时针旋转，且AD BC =，连结DC ．过AB 、DC 的中点E 、F 作直线，直线EF 与直线AD 、BC 分别相交于点M 、N ．（1）如图1，当点D 旋转到BC 的延长线上时，点N 恰好与点F 重合，取AC 的中点H ，连结HE 、HF ，求证： AMF BNE ∠=∠（2）当点D 旋转到图2中的位置时，AMF ∠与BNE ∠有何数量关系？请证明．MN AB EF DC(N )M F EDCBA【例3】如图，在五边形ABCDE 中，90ABC AED ∠=∠=︒，BAC EAD ∠=∠，F 为CD 的中点．求证：BF EF =．EDFCBA【练1】如图所示，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使D E D F =．过E 、F 分别作直线CA 、CB 的垂线，相交于点P ，设线段PA 、PB 的中点分别为M 、N ．求证：（1）DEM FDN ∆∆≌；（2）PAE PBF ∠=∠．NMPFEDCBA【练2】已知：在ABC ∆中，分别以AB 、AC 为斜边作等腰直角三角形ABM ，和CAN ，P 是边BC 的中点．求证：PM PN =PNMCBA【练3】如图所示，已知ABD ∆和ACE ∆都是直角三角形，且90ABD ACE ∠=∠=︒，连接DE ，设M 为DE的中点．（1）求证MB MC =．（2）设BAD CAE ∠=∠，固定Rt ABD ∆，让Rt ACE ∆移至图示位置，此时MB MC =是否成立？请证明你的结论．EMDCBA EM DCBA【练4】在△ABC 中，AB=AC ，分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的外侧作等腰直角三角形，M 是BC边中点中点，连接MD 和ME（1）如图24-1所示，若AB=AC ，则MD 和ME 的数量关系是（2）如图24-2所示，若AB ≠AC 其他条件不变，则MD 和ME 具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；（3）在任意△ABC 中，仍分别以AB 和AC 为斜边，向△ABC 的内侧作等腰直角三角形，M 是BC 的中点，连接MD 和ME ，请在图24-3中补全图形，并直接判断△MED 的形状．EDMBCAEDMBCAMBCA2014年门头沟二模图24-1图24-2图24-3【例4】以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．（1）如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是________；线段AM 与DE 的数量关系是________；（2）将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NM EDCB A图②NM EDCBA【练1】（1）如图1，BD 、CE 分别是ABC △的外角平分线，过点A 作AD BD AE CE ⊥⊥、,垂足分别为D E 、，连接DE ．求证：()12DE BC DE AB BC AC =++，∥ （2）如图2，BD CE 、分别是ABC △的内角平分线，其他条件不变；（3）如图3，BD 为ABC △的内角平分线，CE 为ABC △的外角平分线，其他条件不变则在图2、图3两种情况下，DE BC 、还平行吗？它与ABC △三边又有怎样的数量关系？请你写出猜测，并给与证明．图1EDC BA图2BC E DAF ABCDE图3【点播】（模型）双垂直+角平分线=等腰三角形AEF ，可以让学生记住该模型FE DCBA【练2】已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AB 边上的高线CH 与ABC ∆的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点PM 、QN 的中点分别为E 、F ．求证：EF AB ∥．QPEF M N HC BA【例5】等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，AC BD =，AC 与BD 交于点O ，60AOB ∠=︒，P 、Q 、R 分别是OA 、BC 、OD 的中点，求证：PQR ∆是正三角形．Q P R O D CB A【练1】AD 是ABC ∆的中线，F 是AD 的中点，BF 的延长线交AC 于E ．求证：13AE AC =．FA DE CB【例6】如左下图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，E 、F 分别是AC 、BD 中点．求证：EF AB ∥，且()12EF AB CD =-．FECDBA【练习2】在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东，小明交流原问题：如图1，已知ABC ∆，90ACB ∠=︒，45ABC ∠=︒，分别以AB BC ，为边向外作ABD ∆和BCE ∆，且D A D B =，EB EC =，90ADB BEC ∠=∠=︒，连接DE 交AB 于点F ，探究线段DF 与EF 的数量关系。

2023年九年级中考数学高频考点专题强化-线段问题(旋转综合题)(含简单答案)

(3)在（2）的条件下，求点D的坐标（直接写出结果即可）．
15．如图，在平面直角坐标系中，，的半径为1．如果将线段绕原点逆时针旋转后的对应线段所在的直线与相切，且切点在线段上，那么线段就是⊙C的“关联线段”，其中满足题意的最小就是线段与的“关联角”．
(1)如图1，如果线段是的“关联线段”，那么它的“关联角”为______ ．
(2)如图②，连接，则在旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．
10．已知是正三角形，D为边上一点，连接．
(1)如图1，在上截取点E，使得，连接交于点F，若，，求点A到的距离；
(2)如图2，在（1）的条件下，连接，取的中点G，连接，证明；
参考答案：
1．（1）1（2）
2．(1) ，
(2)成立，
(3)
3．(1)
(2) ，
(3)
4．(1) ；
(2)
5．(1) ；
(2) ，0≤x≤1；
(3)AE的值为或．
6．（1）① ；② ；（2）；（3）或．
7．(1)11
(2) 为直角三角形，
(3) 150°
8．(1)11
(2)②
9．(1)①1.5
②求直线BD与直线AE所夹锐角的度数；
(2)如图2，BC=AC=3，当四边形ADCE是平行四边形时，直接写出线段DE的长
14．在平面直角坐标系中，点，点，点．以点O为中心，逆时针旋转，得到，点的对应点分别为．记旋转角为．
(1)如图①，当点C落在上时，求点D的坐标；
(2)如图②，当时，求点C的坐标；
拓展应用：
（3）如图3，若把（1）中的正方形改为菱形，，菱形的边长为8，，分别为边，上任意两点，且满足，请直接写出四边形的面积．

【中考专题】中点模型（通关篇）—三种方法

【中考专题】中点模型（通关篇）—三种⽅法以微课堂⾼中版奥数国家级教练与四位⾼中特级教师联⼿打造，⾼中精品微课堂。

35篇原创内容公众号线段中点是⼏何部分⼀个⾮常重要的概念，和后⾯学习的中线，中位线等概念有着密切的联系.在⼏何证明题中也屡次出现.那么，如果在题中遇到中点你会想到什么？等腰三⾓形三线合⼀；直⾓三⾓形斜边上的中线等于斜边的⼀半；还是中位线定理？今天我们重点探究“倍长中线”法以及平⾏线间夹中点，延长中线交平⾏的应⽤。

建⽴模型模型⼀倍长中线如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线.当题中出现中线时，我们经常根据需要将AD延长，使延长部分和中线相等，这种⽅法叫做“倍长中线”.如下图：此时，易证△ACD≌EDB，进⽽得到AC=BE且AC//BE.模型⼆平⾏线夹中点如图，AB//CD，点E是BC的中点.可延长DE交AB于点F.平⾏线间夹中点.处理这种情况的⼀般⽅法是：延长过中点的线段和平⾏线我们把这种情况叫做平⾏线间夹中点相交.即“延长中线交平⾏”此时，易证△BEF≌△CED模型三中位线如图，在△ABC中，点D是AB边的中点.可作另⼀边AC的中点，构造三⾓形中位线.如下图所⽰：由中位线的性质可得，DE//BC且DE=1/2BC.模型运⽤例1、如图，在平⾏四边形ABCD中，AD=2AB，点E是BC边的中点.连接AE，DE.求∠AED的度数.分析：本题的证明⽅法有很多，⽐如利⽤“双平等腰”模型等（前⽂已对这种做法做过讲解，不再赘述.链接：课本例题引出的基本图形——双平等腰模型），这⾥主要讲⼀下平⾏线间夹中点的做法.根据平⾏四边形的性质可知，AB//CD，⼜点E是BC中点，构成了平⾏线间夹中点.当题中出现这些条件时，只需将AE延长和DC的延长线相交，就⼀定会得到全等三⾓形，进⽽得到我们需要的结果.证明：如图，延长AE交DC的延长线于点F.∵四边形ABCD是平⾏四边形∴AB//CD，即AB//DF∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE⼜∵点E是BC中点∴BE=CE∴△ABE≌△FCE∴CF=AB=CD，AE=FE∴DF=2CD, ⼜∵AD=2CD∴AD=DF,⼜因为点E是AF的中点∴DE⊥AF即∠AED=90°.反思：对于本题，还可以延长AE⾄点F使EF=AE，连接CF.通过证明△ABE≌△FCE得到AB//CF,利⽤经过直线外⼀点有且只有⼀条直线与已知直线平⾏，得到D、C、F三点共线.再证明△DAF 是等腰三⾓形，利⽤等腰三⾓形三线合⼀得到结论.对于第⼆种⽅法，同学们可以⾃⼰尝试.例2、在△ABC中，AB=AC，点F是BC延长线上⼀点，以CF为边，作菱形CDEF，使菱形CDEF与点A在BC的同侧，连接BE，点G是BE的中点，连接AG、DG．（1）如图①，当∠BAC=∠DCF=90°时，直接写出AG与DG的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC=∠DCF=60°时，试探究AG与DG的位置和数量关系，（3）当∠BAC=∠DCF=α时，直接写出AG与DG的数量关系．分析：由题可知，DE//BF，且点G是BE的中点，满⾜平⾏线间夹中点，所以可将DG延长与BF 相交.证明：（1）AG=DG，且AG⊥DG.如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是正⽅形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等腰直⾓三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-45°-90°=45°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=90°∴△DAH是等腰直⾓三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG=DG且AG⊥DG.反思：若将正⽅形绕点C旋转任意⾓度，在旋转的过程中，上述结论还成⽴吗？试试看动画链接：/svg.html#posts/16428（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）(2)AG⊥DG，AG=√3DG如图，延长DG交BF于点H，连接AH，AD.∵四边形CDEF是菱形，∴DE//CF即DE//BC∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDF⼜∵点G是BF的中点∴GB=GF∴△GBH≌△GDF(AAS)∴GD=GH，BH=DF∵DE=DC，∴BH=CD因为△ABC是等边三⾓形∴AB=AC,∠ACD=180°-60°-60°=60°=∠ABC∴△ABH≌△ACD∴AH=AD，∠BAH=∠CAD∴∠DAH=∠CAD+∠CAH=∠BAH+∠CAH=∠BAC=60°∴△DAH是等边三⾓形，⼜∵点G是DH的中点∴AG⊥DG.∠DAG=1/2∠DAH=30°∴AG=√3DG动画链接：/svg.html#posts/16429（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）（3）AG⊥DG，DG=AG×tan(α/2)证明：延长DG与BC交于H，连接AH、AD，∵四边形CDEF是菱形，∴DE=DC，DE∥CF，∴∠GBH=∠GED，∠GHB=∠GDE，∵G是BE的中点，∴BG=EG，∴△BGH≌△EGD（AAS），∴BH=ED，HG=DG，∴BH=DC，∵AB=AC，∠BAC=∠DCF=α，∴∠ABC=90°﹣α/2，∠ACD=90°﹣α/2，∴∠ABC=∠ACD，∴△ABH≌△ACD（SAS），∴∠BAH=∠CAD，AH=AD，∴∠BAC=∠HAD=α；∴AG⊥HD，∠HAG=∠DAG=α/2，∴tan∠DAG=tan(α/2)，∴DG=AGtan（α/2）．动画链接：/svg.html#posts/16430（选择复制并打开，可操作演⽰动画效果）反思：在本题的证明中，我们结合题⽬中给出的平⾏线间夹中点这⼀条件，将DG进⾏延长和BC相交，通过全等使问题得证.对于本题我们也可以采⽤倍长中线法进⾏证明.下⾯⽤倍长中线法对第⼀种情况加以证明.证明：如图，延长AG⾄点H，使GH=AG.连接EH，AD，DH.在△ABG和△HEG中BG=EG,∠AGB=∠HGE，AG=HG∴△ABG≌△HEG∴AB=HE，∠ABG=∠HEG∵AB=AC∴AC=HE∵DE//BC∴∠DEG=∠EBC∴∠HED=∠HEB+∠DEG=∠ABG+∠EBC=∠ABC=45°⼜∠ACD=180°-45°-90°=45°∴∠ACD=∠HED在△ACD和△HED中AC=HE，∠ACD=∠HED，DC=DE∴△ACD≌△HEDDA=DH，∠ADC=∠HDE∴∠ADC-∠HDC=∠HDE-∠HDC即∠ADH=∠CDE=90°所以△ADH是等腰直⾓三⾓形⼜因为点G是AH的中点所以DG=AG，DG⊥AG.上⾯我们⽤倍长中线证明了第⼀种情况，请你对第⼆三问加以证明.反思：在本题的证明过程中，容易犯的⼀个错误是，许多同学看到HE经过点C，就说∠HED=45°.⽽这⼀结论是需要证明的.⼩试⾝⼿如图1，在正⽅形ABCD的边AB上任取⼀点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG.易证：EG=CG且EG⊥CG.（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出你的猜想.（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3所⽰，则线段EG和CG⼜有怎样的数量和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明.（3）将△BEF绕点B旋转⼀个任意⾓度α，如图4所⽰，则线段EG和CG有怎样的数量和位置关系？请直接写出结论.前两问较简单，请同学们⾃⾏完成，这⾥只给出第三问的⼏种解法，仅供⼤家参考.解法⼀：如图，延长EG⾄点H，使GH=EG.连接DH，CE，CH.因为点G是DF的中点，所以GF=GD.根据SAS易证△GEF≌△GHDEF=HD且∠GEF=∠GHD，所以EF//DH.分别延长HD与EB交于点K，HD的延长线交BC于点M.如下图：因为EB⊥EF，⽽EF//DH，所以EK⊥HK，即∠BKM=∠MCD=90°.⼜∠BMK=∠CMD.根据三⾓形的内⾓和，可得∠KBM=∠MDC.所以∠EBC=∠HDC.⼜EB=HD，BC=DC所以△EBC≌△HDC.所以CE=CB且∠ECB=∠HCD.所以∠ECB=90°，即△BCE是等腰直⾓三⾓形，⼜因为点G是斜边EB的中点，所以CG⊥GE且CG=GE.⽹址链接：/svg.html#posts/16284（选中并打开⽹址看动态图）解法⼆：如图，延长CG⾄点N，是GN=CG.连接FN，EN，EC.以下过程可参照解法⼀⾃⾏完成解法三：延长FE⾄点P使得EP=EF，连接BP；延长DC⾄点Q，使得CQ=CD，连接BQ.连接FQ，DP。

中点四边形规律之探究及拓展

中点四边形规律之探究及拓展所谓“中点四边形”，是指顺次连接四边形四边的中点所构成的四边形。

在利用平行四边形的知识完成对三角形中位线这一知识点的学习之后，紧接着我们继续学习四边形的有关知识，而“中点四边形”是四边形学习的重点和难点。

一、例题解析例1:在人教版教材《数学》八年级下册第十八章中有这样一道目:我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。

（1）任意四边形的中点四边形是什么形状?为什么？请证明你的结论，并与同伴进行交流。

在做这道题时，因为没有给出图形，我就学让生依据已知条件画出图形，再写出已知，求证。

然后量一量、猜一猜，并证一证。

如图，在四边形ABCD中，点E是边AB的中点，点F、G、H分别是边BC、边CD、边AD的中点。

顺次连接点E、F、G、H，新构造成了四边形EFGH，四边形EFGH就是一个中点四边形。

思路点拨:为了说明题目的一般性，在画图形的时候我让孩子们不要把四边形画特殊了。

该题目是探索四边形EFGH的形状，我们可从四边形EFGH的四条边的数量关系和位置关系入手。

由题设知点E，F分别为AB，BC的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线，故连接AC，则EF是△BAC的中位线，同理GH是△DAC的中位线。

解:如图，四边形EFGH是平行四边形。

证明如下：连接AC，点E，F分别是边AB，BC的中点，所以EF∥AC，EF= AC,同理GH∥AC，GH= AC,所以EF∥GH，EF=GH。

四边形EFGH是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)。

评注:该题也可连接BD，通过证EF∥GH，FG∥EH，或证EF=GH，FG=EH，均可获得结论.这是对平行四边形的定义和判定定理的考查。

解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模”思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又体现出转化思想。

从该题的推理过程我们发现:中点四边形EFGH的形状是由原四边形ABCD的两条对角线AC和BD的数量关系和位置关系来确定的，不论原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题(角度问题)(附答案)

2023年九年级中考数学复习：几何探究压轴题（角度问题）1．已知：正方形ABCD ，以A 为旋转中心，旋转AD 至AP ，连接BP DP 、．(1)若将AD 顺时针旋转30︒至AP ，如图1所示，求BPD ∠的度数？ (2)若将AD 顺时针旋转α度()090α︒<<︒至AP ，求BPD ∠的度数？(3)若将AD 逆时针旋转α度()0180α︒<<︒至AP ，请分别求出090α︒<<︒、90α=︒、90180α︒<<︒三种情况下的BPD ∠的度数（图2、图3、图4）．2．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a ．(1)当点D 恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD '与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD '与CBD '△全等时，旋转角a 的值．3．图1是边长分别为a 和()b a b >的两个等边三角形纸片ABC 和CDE 叠放在一起（C 与C '重合）的图形．(1)操作：固定ABC ，将CDE 绕点C 按顺时针方向旋转20°，连结AD ，BE ，如图2，则ECA ∠=___ ___度，并直接写出线段BE 与AD 的数量关系____ ．(2)操作：若将图1中的CDE ，绕点C 按顺时针方向旋转120°，使点B 、C 、D 在同一条直线上，连结AD 、BE ，如图3．①线段BE 与AD 之间是否仍存在（1）中的结论？若是，请证明；若不是，请直接写出BE 与AD 之间的数量关系；②求APB ∠的度数．(3)若将图1中的CDE ，绕点C 按逆时针方向旋转一个角()0360αα<<︒，当α等于多少度时，BCD △的面积最大？请直接写出答案．4．我们定义：如图1，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB '，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B 'C '，当a +β＝180°时，我们称△AB 'C '是△ABC 的“旋补三角形”，△AB 'C 边B 'C '上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”．(1)[特例感知]在图2，图3中，△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，AD 是△ABC 的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC 为等边三角形，且BC ＝6时，则AD 长为． ②如图3，当∠BAC ＝90°，且BC ＝7时，则AD 长为．(2)[猜想论证]在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长AD 或延长B 'A ，…）(3)[拓展应用]如图4，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝150°，AB ＝12，CD ＝6，以CD 为边在四边形ABCD 内部作等边△PCD ，连接AP ，BP ．若△P AD 是△PBC 的“旋补三角形”，请直接写出△PBC 的“旋补中线”长及四边形ABCD 的边AD 长．5．如图，已知正方形ABCD ，点E 为AB 上的一点，EF AB ⊥，交BD 于点F ．(1)如图1，直按写出DFAE的值____ ___； (2)将△EBF 绕点B 顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE 、DF ，猜想DF 与AE 的数量关系，并证明你的结论；(3)如图3，当BE =BA 时，其他条件不变，△EBF 绕点B 顺时针旋转，设旋转角为(0360)αα︒<<︒，当α为何值时EA =ED ?请在图3或备用图中画出图形并求出α的值．6．如图，已知正方形ABCD ，将AD 绕点A 逆时针方向旋转(090)n n ︒<<到AP 的位置，分别过点C D 、作,CE BP DF BP ⊥⊥，垂足分别为点E 、F ．(1)求证：CE EF =；(2)联结CF ，如果13DP CF =，求ABP ∠的正切值；(3)联结AF ，如果AF AB =，求n 的值．7．把两个等腰直角△ABC 和△ADE 按如图1所示的位置摆放，将△ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2，连接BD ，EC ，设旋转角α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）当DE ⊥AC 时，旋转角α＝度，AD 与BC 的位置关系是，AE 与BC 的位置关系是；（Ⅱ）当点D 在线段BE 上时，求∠BEC 的度数；（Ⅲ）当旋转角α＝时，△ABD 的面积最大．8．已知：在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定的角度α得到AED △，点B 、C 的对应点分别是E 、D ．（1）如图1，若60α=︒时，连接BE ，求证：AB BE =；（2）如图2，当点E 恰好在AC 上时，求CDE ∠的度数；（3）如图3，点B 、C 的坐标分别是()0,0，()0,2，点Q 是线段AC 上的一个动点，点M 是线段AO 上的一个动点，是否存在这样的点Q 、M 使得CQM 为等腰三角形且AQM 为直角三角形？若存在，请求出满足条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9．把边长分别为4和6的矩形ABCO 如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C 顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF ．在旋转过程中，（1）如图①，当点E 在射线CB 上时，E 点坐标为；（2）当△CBD 是等边三角形时，旋转角a 的度数是（a 为锐角时）；（3）如图②，设EF 与BC 交于点G ，当EG=CG 时，求点G 的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF 的对称中心H 是否在以C 为顶点，且经过点A 的抛物线上．10．如图，ABC 是等边三角形，点D 是BC 边的中点，以D 为顶点作一个120︒的角，角的两边分别交直线AB AC 、于M 、N 两点，以点D 为中心旋转MDN ∠（MDN ∠的度数不变）(1)如图①，若DM AB ⊥，求证：BM CN BD +=；(2)如图②，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 上时，（1）中的结论是否成立？并说明理由；(3)如图③，若DM 与AB 不垂直，且点M 在边AB 上，点N 在边AC 的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，写出BM CN BD 、、之间的数量关系，并说明理由．11．如图1，在Rt ABC △中，90,ACB AC BC ∠==，点D 为AB 边上的一点，将BCD △绕点C 逆时针旋转90得到ACE △，易得BCD ACE ≌，连接BE ．(1)求BCE ACD ∠∠+的度数．(2)当5,BC BD ==BE CE 、的长．(3)如图2，在(2)的条件下，取AD 中点F ，连接CF 交BE 于H ，试探究线段BE CF 、的数量关系和位置关系，并说明理由．12．如图①，ABC 和ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒，点P 为射线,BD CE 的交点．(1)如图②，将ADE 绕点A 旋转，当C 、D 、E 在同一条直线上时，连接BD 、BE ，求证：BD CE =且BD CE ⊥．(2)若8,4AB AD ==，把ADE 绕点A 旋转， ①当90EAC ∠=︒时，求PB 的长；②旋转过程中线段BP 长的最小值是_____ __．13．如图1，ABC 中，90,30,ACB B AD ∠=︒∠=︒是角平分线，点E 、F 分别在边AC 、BC 上，45,CEF CF CD ∠=︒<、将CEF △绕点C 按逆时针方向旋转，使得EF 所在直线交线段AD 于点M ，交线段AB 于点N ．(1)当旋转75°时，如图2，直线EF 与AD 的位置关系是____ __，ANM ∠=__ ____°； (2)在旋转一周过程中，试探究：当CE 旋转多少度时，AMN 中有两个角相等．14．菱形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ．(1)如图1，过菱形ABCD 的顶点A 作AE BC ⊥于点E ，交OB 于点H ，若6AB AC ==，求OH 的长； (2)如图2，过菱形ABCD 的顶点A 作AF AD ⊥，且AF AD =，线段AF 交OB 于点H ，交BC 于点E ．当D ，C ，F 三点在同一直线上时，求证：2OH OA +=； (3)如图3，菱形ABCD 中，=45ABC ∠︒，点P 为直线AD 上的动点，连接BP ，将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BQ ，连接AQ ，当线段AQ 的长度最小时，直接写出BAQ ∠的度数．15．（1）阅读理解利用旋转变换解决数学问题是一种常用的方法．如图1，点P 是等边三角形ABC 内一点，P A ＝1，PB PC ＝2．求∠BPC 的度数．为利用已知条件，不妨把△BPC 绕点C 顺时针旋转60°得AP C '△，连接PP '．利用这种变换可以求∠BPC 的度数，请写出推理过程；（2）类比迁移如图2，点P 是等腰Rt △ABC 内一点，∠ACB ＝90°，P A ＝2，PB PC ＝1．求∠APC 的度数．16．ABC 为等边三角形，AB ＝8，AD ⊥BC 于点D ，E 为线段AD 上一点，AE =AE 为边在直线AD 右侧构造等边三角形AEF ，连接CE ，N 为CE 的中点．(1)如图1，EF 与AC 交于点G ，连接NG ，BE ，直接写出NG 与BE 的数量关系；(2)如图2，将AEF △绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，M 为线段EF 的中点，连接DN ，MN ．当30120α︒<<︒时，猜想∠DNM 的大小是否为定值，如果是定值，请写出∠DNM 的度数并证明，如果不是，请说明理由；(3)连接BN，在AEF△绕点A逆时针旋转过程中，请直接写出线段BN的最大值．17．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．D、E分别是AB、AC边的中点，连接DE．现将△ADE绕A点逆时针旋转，连接BD，CE并延长交于点F．(1)如图2，点E正好落在AB边上，CF与AD交于点P．①求证：AE•AB＝AD•AC；②求BF的长；(2)如图3，若AF恰好平分∠DAE，直接写出CE的长．18．如图①，在ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝1，D为ABC内部的一动点（不在边上），连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．(1)求证：BDA≌BFE；(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF．(3)如图②，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．参考答案：1．(1)135︒(2)135︒(3)45︒，45︒，45︒2．(1)30°(3)135°，315°3．(1)40，BE ＝AD(2)①存在，②60°(3)当α＝150°或330°时，BCD △的面积最大4．(1)①3；②3.5(2)AD ＝12BC ，(3)339=AD5．2(2)2DF AE =，(3)α的值为30°或150°，6．(2)23；(3)307．（Ⅰ）45；垂直；平行；（Ⅱ）90BEC ∠=︒；（Ⅲ）90︒或270︒8．（2）15°；（3）存在，23,03M ⎫⎪⎭或()423,0- 9．（1）E （4，13；（2）60°；（3）13(4,)3G ；（4）点H 不在此抛物线上．10．(2)成立，(3)不成立，BM CN BD -=，11．(1)180BCE ACD ∠+∠=︒(2)BE =CE =(3)2BE CF =；BE CF ⊥，12．(2)①PB =；②413．(1)垂直，60(2)当CE 旋转45°，90°，270°，315°时，△AMN 中有两个角相等14．(3)75︒15．（2）90°16．(1)2BE NG =(2)∠DNM 的大小是定值，为120°(3)17．(1)②18．(3)∠MPN 的值为定值，30°．。

与中点有关的问题

∴∠BDE=90°
∵∠3+∠4=90°，∠2+∠5=90°
∴∠4=∠5
∴DF=EF
∴BF=EF
∴ DF为BC边上的中线
∴ DF= 1 BE
2
第二部分的证明过程
证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠C
∵DF∥AB
∴∠ABC=∠6
∴∠6=∠C
∴DF=CD
∴
CD=
1 2
BE
第三、四部分的证明过程
从结论出发
分析方法2
∵AD平分∠BAC
∴D为BF的中点， E为BC的中点
例1：已知Rt△ABC,∠BAC=90°作
∠BAC的角平分线，过点B作BD垂直该角平分线交于点D，取BC的中点E，连接DE.(AB<AC) 求证：DE//AC
∴DE为△BFC 的中位线
∴DE//AC
例1：已知Rt△ABC,∠BAC=90°作
线构造结论中所需要的2CE，即做CF=2CE, 目标就改为通过证明△CBF≌△CBD得到
3 B
C
CD=CF.由于AC=AB=BD，借助倍长中线
构造全等三角形可得AC=BF,所以BD=BF,
且BC=BC,现在留下的问题是如何证明
∠FBC=∠DBC.
D
F
A
延长CE至 F使EF=CE，连结FB
△AEC≌△BEF { 3=A
BD=CD S△ABD=S△ACD AD⊥BC
AD平分∠BAC
3.直角三角形斜边的中线
如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，D
为AC的中点，则BD为Rt△ABC斜边的
中线
1
BD= 2 AC
AD=BD=CD
S△ABD=S△BCD

专题——中点的妙用(初三数学)

方法专题：中点的妙用联想是一种非常重要的数学品质.善于联想，才能更好的寻求解决问题的方法。

同学们当你遇到中点时，你会产生哪些联想呢？学习完这个专题后，能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么？1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半"；3、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理"；4、两条线段相等，为全等提供条件(遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时,常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）;7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理” 中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，点M 为BC 中点,MN ⊥AC 于点N ，则MN 等于（）A ．65B ．95C ．125D ．165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在Ｒｔ⊿ABC 中,∠A=90°，AC=AB,M 、N 分别在AC 、AB 上.且AN=BM 。

O 为斜边BC 的中点.试判断△OMN 的形状，并说明理由.3、如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QF 的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q 从点A 出发,沿图中所示方向按A D C B A →→→→滑动到点A 为止,同时点F 从点B 出发，沿图中所示方向按B A D C B →→→→滑动到点B 为止,那么在这个过程中，线段QF 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为（） A 。

2 B 。

4－π C 。

π D.1π-NMBO CADA BC QFM三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理” 4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图,已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且AC=BD ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，MN 分别交BD 、AC 于点E 、F.你能说出OE 与OF 的大小关系并加以证明吗？5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示,在三角形ABC 中,AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6，AC=14，求DE 的长6、(利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理）如图所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ,DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达F 点？7、(综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题)如图，等腰梯形ABCD 中，CD ∥AB ，对角线AC 、BD 相交于点O,60ACD ∠=︒,点S 、P 、Q 分别是DO 、AO 、BC 的中点.求证:△SPQ 是等边三角形。

(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)

全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

要证线段倍与半，延长缩短可试验。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，延长中线等中线。

从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。

几何证明——中点模型

几何证明——中点模型(高级)【经典例题】例1、已知ABC ∆中，090=∠ACB ，AB 边上的高线CH 与ABC ∆的两条内角平分线AM 、BN 分别交于P 、Q 两点，PM 、QN 的中点分别为E 、F ，求证：AB EF //。

N例2、已知，D 为AC 边的中点，C A ∠=∠3，︒=∠45ADB 求证：BC AB ⊥。

A C例3、已知FC 是正方形ABCD 和正方形AEFG 上的点F 、C 的连线，点H 是FC 的中点，连接EH 、DH 。

求证：DH EH =且DH EH ⊥。

F例4、如图，在四边形ABCD 中，CD AB =，F E ,分别是AD BC ,的中点，CD A ,的延长线分别交EF 的延长线H G ,。

求证：CHE BGE ∠=∠.B例5、如图，在ABC ∆中，D 为AB 的中点，分别延长CA 、CB 到点E 、F ，使DF DE =，过E 、F 分别作CA 、CB 的垂线，相交于P 。

求证：PBF PAE ∠=∠。

FE例6、如图，分别以ABC ∆的AC 和BC 为一边，在ABC ∆的外侧作正方形ACDE 和正方形CBFG ，过点C 作直线MN 垂直于AB ，交AB 于N ，交DG 于M ，证明：M 为DG 中点，且CM 的长为AB 的一半。

E例7、如图，已知四边形ABCD 、EFGH 均为正方形，I 、J 、K 、L 分别为AE 、BK 、CG 、DH 、的中点，求证：IJKL 为正方形。

B【提升训练】1、在ABC ∆中，D 是AB 的中点，DCADAC ∠=∠2，︒=∠30DCB ，求B ∠的度数。

A2、如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =，求证AMCD ⊥．BE3、在四边形ABCD 中，设M ,N 分别为CD ,AB 的中点，求证()12MN AD BC +≤，当且仅当AD BC ∥时等号成立．N MDCBA4、以ABC ∆的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt ABD ∆和等腰Rt ACE ∆，90BAD CAE ∠=∠=︒.连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点．探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系．⑴如图① 当ABC ∆为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是；线段AM 与DE 的数量关系是；⑵将图①中的等腰Rt ABD ∆绕点A 沿逆时针方向旋转θ︒(090θ<<)后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．图①NM EDCB A图②N M EDCBA5、如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且A 在线段EC 上，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．证明：MBD MDB ∠=∠．MDE C BA6、如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且AD AC ⊥，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ．结论MBD MDB ∠=∠成立吗?ABCEDM7、如图，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点，求证：MBD MDB ∠=∠．MD ECBA8、已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG ． ⑴求证：EG CG =；⑵将图①中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图②所示，取DF 中点G ，连接EG ，CG ．问⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．⑶将图①中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问⑴中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）图①GF EDC BA图②AB CDEFG图③ABCDE F10、如图，ABC ∆是等腰直角三角形，90C ∠=︒，点M ，N 分别是边AC 和BC 的中点，点D 在射线BM 上，且2BD BM =，点E 在射线NA 上，且2NE NA =，求证：BD DE ⊥．DEMCNBA11、如图，在Rt ABC ∆中，AB BC =，在Rt ADE ∆中，AD DE =，且E 在线段AC 上，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM ，结论MBD MDB ∠=∠成立吗?MDE CBA12、如图，以ABC ∆的AB 、AC 边为斜边向形外作ABD Rt ∆，和ACE Rt ∆，且使a ACE ABD =∠=∠，M 是BC 的中点，（1）求证：ME DM =；（2）求DME ∠的度数。

浅谈问题驱动教学法在初中数学教学中的运用----以“中点四边形教学”为例

浅谈问题驱动教学法在初中数学教学中的运用----以“中点四边形教学”为例发布时间：2022-09-07T05:49:56.203Z 来源：《中国教师》2022年第5月第9期作者：陈晓萍[导读] 对于知识的研究能够举一反三才能得到事半功倍的效果。

陈晓萍永康市教师进修学校附属初中浙江永康 321302 【内容摘要】对于知识的研究能够举一反三才能得到事半功倍的效果。

课堂是学生学习的主战地，良好的课堂教学大大促进学生思维能力的发展。

课堂教学不但反映教师的教学能力和教学水平，更能体现教师的教与学生学的结合程度.而驱动性问题正好是师生教与学之间的粘合剂。

问题驱动教学法有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，有利于提高学生的动手能力，有利于培养学生的创新精神。

【关键词】问题驱动教学资源有效生成一、问题驱动教学法（一）问题驱动教学法是以“问题”为载体，以问题背景的创设为出发点，以教学内容提出的问题为主线，以引导学生独立思考、主动探究及合作探究为主要手段，以分析解决问题为落脚点，师生共同合作完成的一种教学模式。

（二）问题驱动教学法有利于培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，有利于提高学生的动手能力，有利于培养学生的创新精神。

二、教学案例：（一）教材分析“中点四边形”是平行四边形及特殊平行四边形这两章拓展的内容，教材中没有专门的章节呈现，但对中点四边形的性质进行探究，既对本章所学的特殊四边形是一个提升，也是对三角形中位线内容的巩固，这对学生思维发散能力的培养有重要作用。

（二）学情分析笔者所教班级的学生知识水平和认知水平参差不齐，在设计问题的过程中，既要考虑基础弱的学生，又要考虑学习能力强的学生，同时还要兼顾中等水平的学生。

为了问题驱动更顺利，组建6人合作小组，分为AABBCC的模式（A强B中C弱）。

（三）重难点重点:利用三角形中位线的性质,判断和证明不同四边形的中点四边形的形状；难点:利用中点四边形的性质解决复杂问题. （四）教学流程：1.情景引入，温故知新师:（屏幕上呈现）我们把顺次连接三角形三边中点的三角形叫做中点三角形。

中考数学专题：《动态动点几何问题》带答案

《动态几何问题》专题突破训练（附答案）1．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AB =5cm ，BC =4cm ．动点P 从点A 出发，沿线段AB 向终点B 以5cm /s 的速度运动，同时动点Q 从点A 出发沿射线AC 以5cm /s 的速度运动，当点P 到达终点时，点Q 也随之停止运动；连接PQ ，设∠APQ 与∠ABC 重叠部分图形的面积为S （cm 2），点P 运动的时间为t （s ）（t ＞0）．（1）直接写出AC = cm ；（2）当点A 关于直线PQ 的对称点A '落在线段BC 上时，求t 的值；（3）求S 与t 之间的函数关系式；（4）若M 是PQ 的中点，N 是AB 的中点，当MN 与BC 平行时，t = ；当MN 与AB 垂直时，t = ．2．如图，矩形ABCD 中，P 是边AD 上的一动点，联结BP 、CP ，过点B 作射线交线段CP 的延长线于点E ，交边AD 于点M ，且使得ABE CBP =∠∠，如果2AB =，5BC =，AP x =，PM y =（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当4AP =时，求 tan EBP ∠；（3）如果EBC ∆是以EBC ∠为底角的等腰三角形，求AP 的长A-，点3．如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，O为坐标原点，点(8,0)()C BC交y轴于点.D动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位长度的速度3,4终点B运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为t（秒）．（1）用t的代数式表示：BE=________，OF=________（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．（3）当BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．4．在∠ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作∠ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE为多少？说明理由；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不需证明．5．问题情境：如图1，已知正方形ABCD与正方形CEFG，B、C、G在一条直线上，M是AF的中点，连接DM，EM．探究DM，EM的数量关系与位置关系．小明的思路是：小明发现AD//EF，所以通过延长ME交AD于点H，构造∠EFM和∠HAM全等，进而可得∠DEH是等腰直角三角形，从而使问题得到解决，请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题：（1）猜想图1中DM、EM的数量关系，位置关系．（2）如图2，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转180°，此时点E在线段DC的延长线上，点G落在线段BC上，其他条件不变，（1）中结论是否成立？请说明理由；（3）我们可以猜想，把图1中的正方形CEFG绕点C旋转任意角度，如图3，（1）中的结论（“成立”或“不成立”）拓展应用：将图1中的正方形CEFG绕点C旋转，使D，E，F三点在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，请画出图形，并直接写出MF的长．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C，点P 是抛物线上一动点，连接PB，PC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当点P在直线BC上方时，过点P作PD上x轴于点D，交直线BC于点E．若PE＝2ED，求∠PBC的面积；（3）抛物线上存在一点P，使∠PBC是以BC为直角边的直角三角形，求点P的坐标．7．如图，已知ABC 和ADE 均为等腰三角形，AC ＝BC ，DE ＝AE ，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现：如图①，当60ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，则CEB ∠＝ °，线段BD 、CE 之间的数量关系是；（2）拓展探究：如图②，当90ACB AED ∠∠︒＝＝时，点B 、D 、E 在同一直线上，连接CE ，请判断CEB ∠的度数及线段BD 、CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题：如图③，90ACB AED ∠∠︒＝＝，AC ＝AE ＝2，连接CE 、BD ，在AED 绕点A 旋转的过程中，当DE BD ⊥时，请直接写出EC 的长．8．如图，∠O 的半径为5，弦BC ＝6，A 为BC 所对优弧上一动点，∠ABC 的外角平分线AP 交∠O 于点P ，直线AP 与直线BC 交于点E ．（1）如图1，①求证：点P 为BAC 的中点；②求sin∠BAC 的值；（2）如图2，若点A 为PC 的中点，求CE 的长；（3）若∠ABC 为非锐角三角形，求PA •AE 的最大值．9．如图1，已知∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝6，点D 在AB 边的延长线上，且CD ＝AB ．（1）求BD 的长度；（2）如图2，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'．①若α＝30°，A'D'与CD 相交于点E ，求DE 的长度；②连接A'D 、BD'，若旋转过程中A'D ＝BD'时，求满足条件的α的度数．（3）如图3，将∠ACD 绕点C 逆时针旋转α（0°＜α＜360°）得到∠A'CD'，若点M 为AC 的中点，点N 为线段A'D'上任意一点，直接写出旋转过程中线段MN 长度的取值范围．10．如图，P 是等边ABC 内的一点，且5PA =，4PB =，3PC =，将APB △绕点B 逆时针旋转，得到CQB △．（1）求点P 与点Q 之间的距离；（2）求BPC ∠的度数；（3）求ABC 的面积ABC S．11．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，8BC cm =，如果点E 由点B 出发沿BC 方向向点C 匀速运动，同时点F 由点D 出发沿DA 方向向点A 匀速运动，它们的速度分别为2/cm s 和1/cm s ，FQ BC ⊥，分别交AC ，BC 于点P 和Q ，设运动时间为()04ts t <<．（1）连接EF ，若运动时间t =_______s 时，EF =；（2）连接EP ，当EPC 的面积为23cm 时，求t 的值；（3）若EQP ADC ∽△△，求t 的值．12．如图，边长为ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（点P 与A 、C 不重合），连接BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°得到BQ ，连接QP ，QP 与BC 交于点E ，其延长线与AD （或AD 延长线）交于点F ．（1）连接CQ ，证明：CQ AP =；（2）设AP x =，CE y =，试写出y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）试问当P 点运动到何处时，PB PE +的值最小，并求出此时CE 的长．（画出图形，直接写出答案即可）13．已知：O 是ABC ∆的外接圆，且,60,AB BC ABC D =∠=︒为O 上一动点．（1）如图1，若点D 是AB 的中点，求DBA ∠的度数．（2）过点B 作直线AD 的垂线，垂足为点E ．①如图2，若点D 在AB 上．求证CD DE AE =+．②若点D 在AC 上，当它从点A 向点C 运动且满足CD DE AE =+时，求ABD ∠的最大值．14．抛物线239344y x x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段OA 上有一动点P (不与O A 、重合)，过点P 作y 轴的平行线交直线AB 于点C ，交抛物线于点M （1）求直线AB 的解析式；（2）点N 为线段AB 下方抛物线上一动点，点D 是线段AB 上一动点；①若四边形CMND 是平行四边形，证明：点M N 、横坐标之和为定值；②在点P N D 、、运动过程中，平行四边形CMND 的周长是否存在最大值？若存在，求出此时点D 的坐标，若不存在，说明理由15．如图，在平面直角坐标系中，点C 在x 轴上，90,10cm,6cm OCD D AO OC CD ︒∠=∠====．（1）请求出点A 的坐标．（2）如图（2），动点P Q 、以每秒1cm 的速度分别从点O 和点C 同时出发，点P 沿OA AD DC 、、运动到点C 停止，点Q 沿CO 运动到点O 停止，设P Q 、同时出发t 秒． ①是否存在某个时间t （秒），使得OPQ △为直角三角形？若存在，请求出值；若不存在，请说明理由．②若记POQ △的面积为()2cm y ，求()2cm y 关于t （秒）的函数关系式． 16．已知，点O 是等边ABC 内的任一点，连接OA ，OB ，OC ．（∠）如图1所示，已知150AOB ∠=︒，120BOC ∠=︒，将BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60︒得ADC ．①求DAO ∠的度数：②用等式表示线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系，并证明；（∠）设AOB α∠=，BOC β∠=．①当α，β满足什么关系时，OA OB OC ++有最小值？并说明理由；②若等边ABC 的边长为1，请你直接写出OA OB OC ++的最小值．17．如图，在正方形ABCD 中，AB =4，动点P 从点A 出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB 方向匀速运动，到达点B 停止．连接DP 交AC 于点E ，以DP 为直径作∠O 交AC 于点F ，连接DF 、PF ．（1）则∠DPF 是三角形；（2）若点P 的运动时间t 秒．①当t 为何值时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；②将∠EFP 沿PF 翻折，得到∠QFP ，当点Q 恰好落在BC 上时，求t 的值．18．已知四边形ABCD 为矩形，对角线AC 、BD 相交于点O ，AD AO =．点E 、F 为矩形边上的两个动点，且60EOF ∠=︒．（1）如图1，当点E 、F 分别位于AB 、AD 边上时，若75OEB ∠=︒，求证：AD BE =；（2）如图2，当点E 、F 同时位于AB 边上时，若75OFB ∠=︒，试说明AF 与BE 的数量关系；（3）如图3，当点E 、F 同时在AB 边上运动时，将OEF 沿OE 所在直线翻折至OEP ，取线段CB 的中点Q ．连接PQ ，若()20AD a a =>，则当PQ 最短时，求PF 之长．19．如图，在∠ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，点D为AB上的点，且BD＝34AB，如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向终点C运动，同时，点Q在线段CA上由C点向终点A运动．当一点到达终点时，另一点也随之停止运动．（1）如（图一）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，∠BPD与∠CQP是否全等，请说明理由．（2）如（图二）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等（点P不与点B和点C重合），连接点A与点P，连接点B与点Q，并且线段AP，BQ相交于点F，求∠AFQ的度数．（3）若点Q的运动速度为6cm/s，当点Q运动几秒后，可得到等边∠CQP？20．如图，Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若∠BPQ与∠ABC相似，求t的值；（2）试探究t为何值时，∠BPQ是等腰三角形；（3）试探究t为何值时，CP＝CQ；（4）连接AQ，CP，若AQ∠CP，求t的值．21．如图1，在正方形ABCD 中，4AB m =，点P 从点D 出发，沿DA 向点A 匀速运动，速度是1/cm s ，同时，点Q 从点A 出发，沿AB 方向，向点B 匀速运动，速度是2/cm s ，连接PQ 、CP 、CQ ，设运动时间为()(02)t s t <<．()1是否存在某一时刻，使得//PQ BD 若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由； ()2设PQC △的面积为()2S cm ，求S 与t 之间的函数关系式；()3如图2，连接AC ，与线段PQ 相交于点M ，是否存在某一时刻t ，使QCM S ：4PCM S =：5？若存在，直接写t 的值；若不存在，说明理由．22．如图，在 RtΔABC 中，∠C=90°，BC=5cm ，tanA 512=．点 M 在边 AB 上，以 2 cm/s 的速度由点B 出发沿BA 向点A 匀速运动；同时点N 在边AC 上，以1 cm/s 的速度由A 出发沿AC 向点C 匀速运动．当点M 到达A 点时，点M ，N 同时停止运动．连接MN ，设点M 运动的时间为t (单位：s)．（1）求AB 的长；（2）当t 为何值时，ΔAMN 的面积为∠ABC 面积的326；（3）是否存在时间t ，使得以A ，M ，N 为顶点的三角形与ΔABC 相似？若存在，求出时间t 的值；若不存在，请说明理由．23．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+3与x 轴交于A ，B 两点，且点B 的坐标为(2，0)，与y 轴交于点C ，抛物线对称轴为直线x 12=-．连接AC ，BC ，点P 是抛物线上在第二象限内的一个动点．过点P 作x 轴的垂线PH ，垂足为点H ，交AC 于点Q ．过点P 作PG∠AC 于点G ．（1）求抛物线的解析式．（2）求PQG 周长的最大值及此时点P 的坐标．（3）在点P 运动的过程中，是否存在这样的点Q ，使得以B ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．24．如图，直线1:1l y kx =+与x 轴交于点D ，直线2:l y x b =-+与x 轴交于点A ，且经过定点(1,5)B -，直线1l 与2l 交于点(2,)C m ．（1）求k 、b 和m 的值；（2）求ADC ∆的面积；（3）在x 轴上是否存在一点E ，使BCE ∆的周长最短？若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）若动点P 在线段DA 上从点D 开始以每秒1个单位的速度向点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒．是否存在t 的值，使ACP ∆为等腰三角形？若存在，直接写出t 的值；若不存在，清说明理由．25．如图，已知抛物线2()30y ax bx a =++≠与x 轴交于点(1,0)A 和点(3,0)B -，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使CMP ∆为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）作直线BC ，若点(,0)D d 是线段BM 上的一个动点（不与B 、M 重合），过点D 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，交BC 于点E ，当BDE CEF S S ∆∆=时，求d 的值．26．正方形ABCD 和等腰Rt DEF △共顶点D ，90DEF ∠=︒，DE EF =，将DEF 绕点D 逆时针旋转一周．（1）如图1，当点F 与点C 重合时，若2AD =，求AE 的长；（2）如图2，M 为BF 中点，连接AM 、ME ，探究AM 、ME 的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）条件下，连接DM 并延长交BC 于点Q ，若22AD DE ==，在旋转过程中，CQ 的最小值为_________．27．综合与探究如图，抛物线245y x bx c =++经过点()0,4A ，()10B ,，与x 轴交于另一点C （点C 在点B 的右侧），点()P m n ,是第四象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的函数解析式及点C 的坐标；（2）若APC △的面积为S ，请直接写出S 关于m 的函数关系表达式，并求出当m 的值为多少时，S 的值最大？最大值为多少？（3）是否存在点P ，使得PCO ACB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．28．某学校活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程：操作发现：（1）如图1，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作等边∠ABD 和等边∠ACE ，连接BE ､CD ，请你完成作图并证明BE =CD ．（要求：尺规作图，不写作法但保留作图痕迹）类比探究：（2）如图2，分别以AB 和AC 为边向∠ABC 外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ､BG ，则线段CE ､BG 有什么关系？说明理由．灵活运用：（3）如图3，在四边形ABCD 中，AC 、BD 是对角线，AB =BC ，∠ABC =60°，∠ADC =30°，AD =3，BD =5，求CD 的长．参考答案1．（1）3；（2）38t =；（3）当305t <≤时，210S t =；当315t <≤时，215309S t t =-+-；（4）38；58．2．（1）4y x x =-．定义域为25x <≤；（2）34；（3）4或53+ 3．（1）5－t ，2t ；（2）3t =或133t =；（3）53t =或910t = 4．（1）90°；（2）①α＋β＝180°；②点D 在直线BC 上移动，α＋β＝180°或α＝β．5．（1）DM∠EM ，DM ＝ME ；（2）结论成立；（3）成立；拓展应用： 6．（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）3；（3）点P 的坐标为（1，4）或（﹣2，﹣5）7．（1）60BD CE ，＝；（2）45CEB BD ∠︒＝，；（3）CE 的长为或48．（1）①证明；②3sin 5BAC ∠=；（2）CE =；（3）80.9．（1）﹣（2）；②45°或225°；（3）﹣＋310．（1）4PQ =；（2）150BPC ∠=︒；（3）9ABC S =． 11．（1）23；（2）2；（3）212．（1）见解析；（2）2(06)y x x =+<<；（3）P 位置如图所示，此时PB PE +的值最小，6CE =-13．（1）30DBA ∠=；（2）①；②当点D 运动到点I 时ABI ∠取得最大值，此时30ABD ∠=．14．（1）334y x =-；（2）①证明；②存在；点D 的坐标为111111,,3434⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；． 15．（1）(8,6)A ．（2）①存在，40 s 9t =或者50 s 9t =．②233(010)10S t t t =-+<<． 16．（1）①90°；②线段OA ，OB ，OC 之间的数量关系是OA 2+OB 2=OC 2，证明；（2）①当α=β=120°时，OA+OB+OC 有最小值．证明；②线段OA+OB+OC17．(1)等腰直角;(2)①当t 为1时，点E 恰好为AC 的一个三等分点；．18．（1）证明；（2）2AF BE =；（3）.2FP a =19．（1）BPD CQP ≌；（2）60︒（3）4320．（1）1或3241；（2）23或89或6457；（3）329-；（4）78． 21．()1存在，43t =；()2228(02)S t t t =-+<<；()3存在，1t = 22．（1）13cm ；（2）t=2或92s ；（3）存在，15637t =或16938t =s23．（1）y 12=-x 212-x+3；（2）)9108，P(32-，218)；（3）存在，Q 1(，+3)，Q 2(﹣1，2)24．（1）12k =，4b =，2m =；（2）6；（3存在，8(7E ，0)；（4）存在，6-4或2．25．（1）223y x x =--+；（2）存在，P (-或(1,-或(1,6)-或5(1,)3-；（3）d =26．（1）AE =（2）AM ME =，AM ME ⊥；（3）227．（1）2424455x x y -+=；点C 的坐标为（5，0）；（2）当m ＝52时，S 的值最大，最大值为252；（3）存在点P ，使得使得∠PCO ＝∠ACB ．点P 的坐标为（2，－125）. 28．（1）；（2）CE=BG ；（3）CD=4。

专题7几何图形—7.11之中点结构-2021年鲁教版(五四制)九年级数学专题复习训练

中点结构【知识点睛】中点是初中数学几何问题中的常见特征．在实际解决问题时，应用与中点有关的定理，也可以看作是中点与其他几何特征进行的组合搭配．1.与中点有关的定理① ① ①等腰+中点直角+中点多个中点__________ ________________ 考虑__________2.与中点有关的构造（1）将中点看作是对称中心，构造中心对称图形平行夹中点见中点，要倍长________________ 考虑________________（2）将中点看作线段间的比值关系，考虑相似或者面积转化；3.其他背景下的中点（1）坐标系中见到中点，考虑中点坐标公式；如图，已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则线段AB 的中点M 的坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）圆背景下的中点，考虑圆中的相关定理；如：①圆中四组量关系定理；②垂径定理；③圆周角定理等；倍长中线（1）【条件】：在矩形ABCD中，BD=BE，DF=EF；【结论】：AF⊥CF；模型思路：存在平行线AD平行BE；平行线间线段有中点DF=EF；可以构造“8”字全等△ADF≌△HEF；（2）【条件】在平行四边形ABCD中，BC=2AB，AM=DM，CE⊥AB；【结论】∠EMD=3∠MEA辅助线：有平行AB①CD，有中点AM=DM，延长EM，构造①AME①①DMF，连接CM构造等腰①EMC，等腰①MCF。

（通过构造8字全等线段数量及位置关系，角的大小转化）【经典例题1】已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B 重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系式；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．【解析】（1）AE①BF，QE=QF，理由是：如图1，①Q为AB中点，①AQ=BQ，①BF①CP，AE①CP，①BF①AE，①BFQ=①AEQ，在①BFQ和①AEQ中①①BFQ①①AEQ（AAS），①QE=QF，故答案为：AE①BF，QE=QF．（2）QE=QF，证明：如图2，延长FQ交AE于D，①AE①BF，①①QAD=①FBQ，在①FBQ和①DAQ中①①FBQ①①DAQ（A SA），①QF=QD，①AE①CP，①EQ是直角三角形DEF斜边上的中线，①QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的结论仍然成立，证明：如图3，延长EQ、FB交于D，①AE①BF，①①1=①D，在①AQE和①BQD中，①①AQE①①BQD（AAS），①QE=QD，①BF①CP，①FQ是斜边DE上的中线，①QE=QF．练习1-1已知正方形ABCD，以CE为边在正方形ABCD外部作正方形CEFG，连AF，H是AF的中点，连接BH，HE．（1）如图1所示，点E在边CB上时，则BH，HE的关系为；（2）如图2所示，点E在BC延长线上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请给出新的结论并证明．（3）如图3，点B，E，F在一条直线上，若AB＝13，CE＝5，直接写出BH的长．【解析】（1）BH⊥HE，BH＝HE；理由如下：延长EH交AB于M，如图1所示：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB∥CD∥EF，AB＝BC，CE＝FE，∠ABC＝90°，∴∠AMH＝∠FEH，∵H是AF的中点，∴AH＝FH，∴△AMH≌△FEH（AAS），∴AM＝FE＝CE，MH＝EH，∴BM＝BE，∵∠ABC＝90°，ME＝HE；∴BH⊥HE，BH＝12（2）结论仍然成立．BH⊥HE，BH＝HE．理由如下：延长EH交BA的延长线于点M，如图2所示：∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，∴∠ABE＝∠BEF＝90°，AB＝BC，AB∥CD∥EF，CE＝FE，∴∠HAM＝∠HFE，∴△AHM≌△FHE（ASA），∴HM＝HE，AM＝EF＝CE，∴BM＝BE，∵∠ABE＝90°，EM＝EH；∴BH⊥EH，BH＝12（3）延长EH到M，使得MH＝EH，连接AH、BH，如图3所示：同（2）得：△AMH≌△FEH（SAS），∴AM＝FE＝CE，∠MAH＝∠EFH，∴AM∥BF，∴∠BAM+∠ABE＝180°，∴∠BAM+∠CBE＝90°，∵∠BCE+∠CBE＝90°∴∠BAM＝∠BCE，∴△ABM≌△CBE（SAS），∴BM＝BE，∠ABM＝∠CBE，∴∠MBE＝∠ABC＝90°，EM＝MH＝EH，∵MH＝EH，∴BH⊥EH，BH＝12在Rt△CBE中，BE＝2−CE2＝12，∵BH＝EH，BH⊥EH，BE＝6√2．∴BH＝√22练习1-2（1）如图1，在线段AB上取一点C（BC＞AC），分别以AC、BC为边在同一侧作等边①ACD与等边①BCE，连结AE、BD，则ACE经过怎样的变换（平移、轴对称、旋转）能得到①DCB？请写出具体的变换过程；（不必写理由）【A】（2）如图2，在线段AB上取一点C（BC＞AC），如果以AC、BC为边在同一侧作正方形ACDG与正方形CBEF，连结EG，取EG的中点M，设DM的延长线交EF于N，并且DG=NE；请探究DM与FM的关系，并加以证明；【B】（3）在图2的基础上，将正方形CBEF绕点C顺时针旋转（如图3），使得A、C、E在同一条直线上，请你继续探究线段MD、MF的关系，并加以证明．【解析】（1）将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；理由如下：①①ACD和①BCE是等边三角形，①AC＝CD，CE＝CA，①ACD＝①BCE＝60°，①①ACE＝①DCB，在①ACE和①DCB中，，①①ACE①①DCB（SAS），①将①ACE绕点C顺时针旋转60°后能得到①DCB；（2）如图，相等且垂直．理由如下：①EF①GD，①①NEM＝①DGM，在①MGD和①MEN中，，①①MGD①①MEN（SAS），①DM＝NM，在Rt①DNF中，FM＝DN＝DM，①NE＝GD，GD＝CD，①NE＝CD，①FN＝FD，即FM①DM，①DM与FM相等且垂直．（3）MD与MF相等且垂直．理由如下：延长DM交CE于N，连接DF、FN，如图所示：根据（2）可以得到①MGD①①MNE，①DM＝NM，NE＝DG，①①DCF＝①FEN＝45°，DC＝DG＝NE，FC＝FE，①在①DCF和①NEF中，，①①DCF①①NEF（SAS），①DF＝FN，①DFC＝①NFE，①①DFN＝90°，即①FDN为等腰直角三角形，①DM＝NM，即FM为斜边DN的中线，①FM＝DM＝NM＝DN，且FM①DN，则FM＝DM，FM①DM．练习1-3如图，已知①BAD和①BCE均为等腰直角三角形，①BAD=①BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．（1）当A ，B ，C 三点在同一直线上时（如图1），求证：M 为AN 的中点；（2）将图1中的①BCE 绕点B 旋转，当A ，B ，E 三点在同一直线上时（如图2），求证：①ACN 为等腰直角三角形；（3）将图1中①BCE 绕点B 旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．【解析】（1）证明：如图1，①EN①AD ，①①MAD=①MNE ，①ADM=①NEM ．①点M 为DE 的中点，①DM=EM ．在①ADM 和①NEM 中，①MAD MNE ADM NEM DM EM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩．①①ADM①①NEM ．①AM=MN ．①M 为AN 的中点．（2）证明：如图2，①①BAD 和①BCE 均为等腰直角三角形， ①AB=AD ，CB=CE ，①CBE=①CEB=45°． ①AD①NE ，①①DAE+①NEA=180°．①①DAE=90°，①①NEA=90°．①①NEC=135°．①A ，B ，E 三点在同一直线上， ①①ABC=180°-①CBE=135°．①①ABC=①NEC ．①①ADM①①NEM （已证），①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．（3）①ACN 仍为等腰直角三角形．证明：如图3，延长AB 交NE 于点F ，①AD①NE ，M 为中点，①易得①ADM①①NEM ，①AD=NE ．①AD=AB ，①AB=NE ．①AD①NE ，①AF①NE ，在四边形BCEF 中，①①ACN=①BFE=90°①①FBC+①FEC=360°-180°=180°①①FBC+①ABC=180°①①ABC=①FEC在①ABC 和①NEC 中，AB NE ABC NEC BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩①①ABC①①NEC ．①AC=NC ，①ACB=①NCE ．①①ACN=①BCE=90°．①①ACN 为等腰直角三角形．练习1-4图1，在①ABC中，①ACB=90①，点D、点E分别在AC、AB边上，连结DE、DB，使得①DEA=90①，若点O是线段BD的中点，连结OC、OE，则易得OC=OE；操作：现将①ADE绕A点逆时针旋转得到①AFG(点D. 点E分别与点F. 点G对应)，连结FB，若点O是线段FB的中点，连结OC、OG，探究线段OC、OG 之间的数量关系；(1)如图2，当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)如图3，当点G在线段CA上时，线段OC=OG是否成立；若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图4，在①ADE的旋转过程中，线段OC、OG之间的数量关系是否发生了变化?请直接写出结论，不用说明理由.【解析】（1）当点G在线段CA的延长线上时，OC=OG成立理由：如图2，延长GF，CO相较于点D，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ，（2）当点G 在线段CA 上时，线段OC=OG 是成立，理由：如图3，延长GF ，CO 相较于点D ，①①ACB=①FGA=90°，①GD①BC ，①①BCO=①D ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①OC=OD ，在Rt①CDG 中，OG=21CD=OC ，（3）在①ADE 的旋转过程中，线段OC 、OG 之间的数量关系不发生了变化，理由：如图4，连接CG ，延长GF 交BC 于M ，过点F 作FD①BC ，连接DG ，①①BCO=①FDO ，①点O 是线段BD 的中点，①OB=OF ，在①BOC 和①FOD 中，①BCO=①D ①BOC=①FOD OB=OF ，①①BOC①①FOD ，①OC=OD ，BC=DF由题意知，①AFG①①ABC ，①AF/AB=FG/BC ，①AF/AB=FG/DF ，①①ACB=①AGF=90°，①点A ，C ，M ，G 四点共圆，①①CAG=①BMG ，①FD①BC ，①①GFD=①BMG ，①①CAG=①GFD ，①AF/AB=FG/DF ，①①GAC①①GFD ，①①CGD=①ACF=90°，①OC=OD ， ①OG=21CD=OC ．点评此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质，解本题的关键是判断出①BOC①①FOD ，难点是（3）中判断出①CGD=90°．练习1-5已知：点P 是平行四边形ABCD 的对角线AC 所在直线上的一个动点（点P 不与点A 、C 重合），分别过点A 、C 向直线BP 作垂线，垂足分别为点E 、F ．点O 为AC 的中点．（1）如图1，当点P 与点O 重合时，线段OE 和OF 的关系是__________；（2）当点P 运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点P 在线段OA 的延长线上运动，当∠OEF=30°时，试探究线段CF 、AE 、OE 之间的关系．【解析】（1）①AE①PB ，CF①BP ，①①AEO=①CFO=90°，在①AEO 和①CFO 中，①AEO=①CFO①AOE=①COFAO=OC ，①①AOE①①COF ，①OE=OF．（2）图2中的结论为：CF=OE+AE．图3中的结论为：CF=OE-AE．选图2中的结论证明如下：延长EO交CF于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①EAO=①GCO，在①EOA和①GOC中，①EAO=①GCOAO=OC①AOE=①COG，①①EOA①①GOC，①EO=GO，AE=CG，在Rt①EFG中，①EO=OG，①OE=OF=GO，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=GF，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG+CG，①CF=OE+AE．选图3的结论证明如下：延长EO交FC的延长线于点G，①AE①BP，CF①BP，①AE①CF，①①AEO=①G，在①AOE和①COG中，①AEO=①G①AOE=①GOCAO=OC，①①AOE①①COG，①OE=OG，AE=CG，在Rt①EFG中，①OE=OG，①OE=OF=OG，①①OFE=30°，①①OFG=90°-30°=60°，①①OFG是等边三角形，①OF=FG，①OE=OF，①OE=FG，①CF=FG-CG，①CF=OE-AE．练习1-6如图1，在Rt①ABC中，①BAC＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，BE，点P为DC的中点，【观察猜想】图1中，线段AP与BE的数量关系是，位置关系是．（1）（2）【探究证明】把①ADE 绕点A 逆时针旋转到图2的位置，（1）中的猜想是否仍然成立？若成立请证明，否请说明理由；（3）【拓展延伸】把①ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出线段AP 长度的最大值和最小值．图1 图2【答案】（1）AP ＝BE ，P A ①BE ；（2）（3）见解析．【解析】（1）设P A 交BE 于点O ．①AD ＝AE ，AC ＝AB ，①DAC ＝①EAB ，①①DAC ①①EAB ，①BE ＝CD ，①ACD ＝①ABE ，①①DAC ＝90°，DP ＝PC ，①P A ＝CD ＝PC ＝PD ， ①P A ＝BE ，①C ＝①P AE ， ①①CAP +①BAO ＝90°，①①ABO +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ，（2）结论成立．121212理由：延长AP 至M ，使PM ＝P A ，连接MC ，延长P A 交BE 于O ．①P A ＝PM ，PD ＝PC ，①APD ＝①CPM ，①①APD ①①MPC ，①AD ＝CM ，①ADP ＝①MCP ，①AD ①CM ，①①DAC +①ACM ＝180°，①①BAC ＝①EAD ＝90°，①①EAB ＝①ACM ，①AB ＝AC ，AE ＝CM ，①①EAB ①①MCA ，①BE ＝BM ，①CAM ＝①ABE ，①P A ＝AM ，P A ＝BE ， ①①CAM +①BAO ＝90°，①①ABE +①BAO ＝90°，①①AOB ＝90°，①P A ①BE ．（3）①AC ＝10，CM ＝4，①10﹣4≤AM ≤10+4，①6≤AM ≤14，①AM ＝2AP ，①3≤P A ≤7．①P A 的最大值为7，最小值为3．1212练习1如图，在矩形ABCD 中，①BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F .（1）若AB =2，AD =3，求EF 的长；（2）若G 是EF 的中点，连接BG 和DG ，求证：DG =BG .【解析】（1）EC=CF=1 EF=2（2）连接CG ，易证△CGD ≌△CGB ，∴DG=BG练习小题1.如图所示，在①ABC 中，AD 是①BAC 的平分线，M 是BC 的中点，ME①AD 且交AC 的延长线于E ，CE=21CD ，求证：①ACB=2①B ．【解析】延长EM 交AB 于F ，过B 作BG①EF 交AD 的延长线于K ，交AE 的延长线于G ，设AK ，EF 交于H ，连接DG ，①AD 是①BAC 的平分线，①①BAH=①EAH ，①ME①AD ，①①AHF=①AHE ，在①AFH 与①AEH 中，①FAH=①EAH AH=AH ①AHF=①AHE ，①①AFH①①AEH ，①FH=EH ，①AH 垂直平分EF ，①AK 垂直平分BG ，①AB=AG ，①EF①BG ，BM=CM ， ①CE=21CG ， ①CE=21CD ，①CD=CG ，①①CDG=①CGD ，①①ACB=①CDG+①CGD=2①CGD ，在①ABD 与①AGD 中，AB=AG ①BAD=①GAD AD=AD ，①①ABD①①AGD ，①①ABC=①AGD ，①①ACB=2①B ．点评本题考查了全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，平行线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．2.如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，90ABD CBE ∠=∠=︒，BA BD =，BC BE =，延长CB 交DE 于F .求证：EF DF =.【解析】3.已知：如图，AD 为ABC ∆的中线，AG HG =.求证：BH AC =.【解析】4.已知：如图，AD 是△ABC 的中线，求证：AB+AC ＞2AD ．【解析】证明：延长AD 到M ，使AD=DM ，连接BM ，CM ，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD=DC ，∵AD=DM ，∴四边形ABMC 是平行四边形，∴BM=AC ，在△ABM 中，AB+BM>AM ，即AB+AC>2AD ．5.如图所示，BCD ∆和BCE ∆中，90BDC BEC ∠=∠=︒，O 为BC 的中点，BD ，CE 交于A ，120BAC ∠=︒，求证：DE OE =.【解析】法一：连接OD.∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点∴B ，C ，D ，E 四点共圆，且圆心为O∴OD=OE ，∠COD=2∠CBD ，∠BOE=2∠BCE∵∠BAC=120°∴∠CBD+∠BCE=60°∠COD+∠BOE=120°∴∠DOE=60°∴△DOE 是等边三角形∴DE=OE法二：如图，连接OD ，∵∠BDC=∠BEC=90°，O 为BC 的中点，∴OD=OE=OB=OC ，∴∠CBA=∠BDO ，∠BCA=∠CEO ，由三角形的外角性质得，∠BOE=∠BCA+∠CEO=2∠BCA ，∠COD=∠CBA+∠BDO=2∠CBA ，∵∠BAC=120°，∴∠CBA+∠BCA=180°-120°=60°，∴∠DOE=60°，∴△DOE 是等边三角形，∴DE=OE ．6.如图所示，在ABC ∆中，AD 交BC 于点D ，点E 是BC 中点，EF AD ∥交CA 的延长线于点F ，交AB 于点G ，若BG CF =，求证：2BAC BAD ∠=∠.【解析】延长FE ，截取EH=EG ，连接CH①E 是BC 中点，那么BE=CE①BEG=①CEH①①BEG①①CEH(SAS)①①BGE=①H ，那么①BGE=①FGA=①HBG=CH①CF=BG①CH=CF①①F=①H=①FGA①EF①AD①①F=①CAD ，①BAD=①FGA①①CAD=①BAD那么AD 平分①BAC7.如图，在四边形ABCD 中，①ABC =90°，AC =AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN ．若∠BAD =60°，AC 平分∠BAD ，AC =2，则BN 的长为____________．【解析】28.如图，在□ABCD 中，AD =2AB ，CE ⊥AB 于点E ，F 为AD 的中点，连接CF ，NMDC B A则下列结论：△BEC =2S △CEF ；④∠DFE =3∠AEF ．其中一定正确的是_________．【解析】①∵F 是AD 的中点，∴AF=FD ，∵在▱ABCD 中，AD=2AB ，∴AF=FD=CD ，∴∠DFC=∠DCF ，∵AD ∥BC ，∴∠DFC=∠FCB ，∴∠DCF=∠BCF ，∴∠BCD=2∠DCF ，故①正确； ②延长EF ，交CD 延长线于M ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DFM 中，∠A=∠FDMAF=DF∠AFE=∠DFM ，∴△AEF ≌△DMF （ASA ）， AB C DE F∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FE，∴∠ECF=∠CEF，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC>BE，∴S△BEC<2S△EFC，故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．故答案为：①②④．9.如图，在①ABC中，点D是BC的中点，若AB=5，AC=13，AD=6，则BC的长为____________．【解析】延长AD 到E ，使DE=AD=6，连接BE ，CE ．①CD=BD ，①四边形ABEC 是平行四边形，①AB①CE ，EB=CA=13；①52+122=132，①①CEA=90°，①①EAB=90°，=．10.如图，在①ABC 中，①ACB =60°，AC =1，D 是边AB 的中点，E 是边BC 上一点．若DE 平分①ABC 的周长，则DE 的长是___________．【解析】23 ECB A11.如图，在四边形ABCD 中，AD ①BC ，①D =90°，AD =4，BC =3，分别以点A ，C 为圆心，大于12AC 长为半径作弧，两弧交于点E ．作射线BE 交AD 于点F ，交AC 于点O ．若点O 是AC 的中点，则CD 的长为（）A． B ．4 C ．3 D【解析】10F EDC B A O。

数量关系和位置关系

数量关系和位置关系嘿，咱聊聊数量关系和位置关系。

数量关系，那可有点像生活中的小算盘。

你想想，买东西的时候得算数量吧？几个苹果、几瓶饮料，这数量可重要啦。

要是数量没算好，买多了浪费，买少了不够用。

就像玩游戏，得知道有多少个道具，才能更好地通关嘛。

数量关系在数学里也老重要了，做算术题的时候，一加一等于二，这就是简单的数量关系。

可别小瞧这简单的数字，组合起来能解决好多难题呢。

位置关系呢，就像一场有趣的捉迷藏游戏。

东西放在哪儿，人站在什么位置，这可都有讲究。

比如在地图上找一个地方，得知道它的位置坐标吧？要是位置搞错了，那可就南辕北辙啦。

在几何图形里，位置关系更是复杂多样。

点和线、线和面、面和面之间的位置关系，有的平行，有的相交，就像一群小伙伴在玩不同的游戏。

平行的时候，就像两条永不相交的铁轨，各自朝着自己的方向前进。

相交的时候呢，就像两个人在路口相遇，说不定会碰撞出什么奇妙的火花。

数量关系和位置关系有时候还会一起出现呢。

就像一群小伙伴一起做游戏，互相配合。

比如在排队的时候，你前面有几个人，后面有几个人，这就是数量关系。

而你在队伍中的位置呢，就是位置关系。

只有把这两个关系都搞清楚了，才能知道自己在队伍中的具体情况。

在生活中，数量关系和位置关系也无处不在。

装修房子的时候，得算好需要多少材料，这是数量关系。

还得考虑家具怎么摆放，这就是位置关系。

要是摆放得不好，不仅不美观，还可能影响使用。

出去旅游的时候，得知道有多少人一起去，这是数量关系。

还得规划好路线，知道每个景点的位置，这就是位置关系。

只有把这两个关系都处理好了，才能有一个愉快的旅行。

总之，数量关系和位置关系就像两个好朋友，一起在我们的生活和学习中发挥着重要的作用。

咱可得好好掌握它们，让它们为我们的生活增添更多的乐趣和便利。

对中点四边形的探究与延伸

对中点四边形的探究与延伸一、基本性质归纳：、、、刚好在其梯形院子ABCD各边的中点上，例1．①杨伯家小院子的四棵小树E F G H若在四边形EFGH种上小草，则这块草地的形状是（）A．平行四边形B．矩形C．正方形D．菱形②顺次连接菱形各边的中点所得的四边形一定是（）A．等腰梯形B．正方形C．平行四边形D．矩形分析：这是对平行四边形的定义和判定定理的考查．解该题的思路是构造三角形及其中位线，这是数学中常用的“建模”思想，把四边形两边的中点转化为三角形两边的中点，又体现出转化思想．我们可从四边形EHGF的四条边的数量关系和位置关系入手，由题设可知E、H分别为AB、AD的中点，符合三角形中位线定理的条件，可构造三角形的中位线．中E、H分别为AB、AD的中点∴解：如图所示：以梯形的中点四边形为例，在ABDEH平行且等于DB的一半，同理，FG平行且等于DB的一半，所以EH平行且等于FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又因为菱形的两条对角线互相垂直，所以四边形邻边互相垂直，故菱形的中点四边形是矩形．所以①选A；②选D．温馨提示：判定中点四边形的形状要抓住两个关键点：一是三角形中位线定理的应用，二是原四边形两条对角线的数量关系和位置关系．为了便于同学们更好地理解和掌握，我们把常见的中点四边形形状归纳如下表．原四边形中点四边形任意四边形平行四边形平行四边形两条对角线相等的四边形（包括矩形和等腰梯形）菱形两条对角线互相垂直的四边形（包括菱形）矩形两条对角线相等且互相垂直的四边形（包括正方形）正方形二、新题探究：㈠条件开放性问题：例2．在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，如果四边形EFGH为菱形，那么四边形ABCD是（只要写出一种即可）．解析：本题是一个开放性问题，结论不唯一：如图：四边形EFGH为一个中点四边形，其形状能够由原四边形的对角线来决定，因为任意四边形的中点四边形都是平行四边形，使四=，（即四边相等的边形EFGH为菱形，只要有原四边形的对角线相等即可，即AC BD四边形为菱形）；当然也能够从菱形的判定出发，因为四边形EFGH为平行四边形，所以⊥（即符合对角线对角线相互平分，只要再有对角线相互垂直即可，所以能够添加EG HF=（即对边相等的平行四边形为菱相等且相互平分的四边形为菱形）；还能够添加EF FG形）．温馨提示：中点四边形EFGH形状是由原四边形ABCD的两条对角线AC和BD的数量关系和位置关系来确定的，首先，不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形，其次，具体的中点四边形的形状还需需参考原四边形的具备的其他条件来决定．㈡问题延伸：例3．在□ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE．（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC＝BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由．解析：（1）根据题意容易得EO＝FO，GO＝HO，从而判断四边形EGFH为平行四边形；（2）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得答案；（3）从图形观察可知AC与BD 的数量关系并不影响四边形EGFH的形状；（4）当AC＝BD，AC⊥BD时，□ABCD为正方形，结合已知条件容易得△BOG≌△COF，所以有OG＝OF，即EF＝GH，结合EF⊥GH，可得□EGFH是正方形．解：（1）四边形EGFH是平行四边形．证明：∵□ABCD的对角线AC、BD交于点O．∴点O是□ABCD的对称中心．∴EO＝FO，GO＝HO．∴四边形EGFH是平行四边形．（2）菱形．（3）菱形．（4）四边形EGFH是正方形证明：∵AC＝BD，∴□ABCD是矩形．又∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形．∴□ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°．OB＝OC．∵EF⊥GH，∴∠GOF＝90°．∴∠BOG＝∠COF．∴△BOG≌△COF．∴OG＝OF，∴GH＝EF．由（1）知四边形EGFH是平行四边形，又∵EF⊥GH，EF＝GH．∴四边形EGFH是正方形．温馨提示：本题是探索题属于思维创新型试题，也是课本习题的引申，体现了中考题与课本的紧密联系，但又不拘泥于课本原题，做了一定的提炼，重点考查了特殊四边形的判定，所以在备考时抓住课本是中考复习的一个突破口．跟踪练习：1．顺次连接等腰梯形各边的中点所得的四边形是（）A ．菱形B ．正方形C ．矩形D ．等腰梯形2．如图，顺次连结四边形ABCD 各中点得四边形EFGH ，要使四边形EFGH 为矩形，应添加的条件是（）A ．AB ∥DC B ．AB ＝DCC ．AC ⊥BD D ．AC ＝BD FE HG DA B C3．四边形ABCD 为边长等于1的菱形，顺次连结它的各边中点组成四边形EFGH （四边形EFGH 称为原四边形ABCD 的中点四边形），再顺次连结四边形EFGH 的各边中点组成第二个中点四边形，，则按上述规律组成的第八个．．．中点四边形的边长等于． 4．观察探究，完成证明和填空．如图，四边形ABCD 中，点E 、F 、G 、H 分别是边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，顺次连接E 、F 、G 、H ，得到的四边形EFGH 叫中点四边形．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形；（2）如图，当四边形ABCD 变成等腰梯形时，它的中点四边形是菱形，请你探究并填空：当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD变成菱形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；（3）根据以上观察探究，请你总结中点四边形的形状由原四边形的什么决定的？。

关于中点的几点联想

关于中点的几点联想一、与中点有关的知识点：1、 2、 3、二、由中点产生的联想：三、例题：（1）如图，△ABC 中，D 为BC 中点，E 为AC 上一点，AD 、BE 相交于点F ，且BF=AC 。

求证：EA=EF 。

（2）如图，在梯形ABCD 中，E 为CD 中点，EF 垂直AB 于F ，且AB=6，EF=8，求梯形的面积。

（3）如图，△ABC 中，BD ⊥AC,CE ⊥AB,M 为BC 中点，且MN ⊥ED,求证：N 为ED 中点。

BCB CM4．如图24-1，已知点D 在AC 上，ABC ∆和ADE ∆都是等腰直角三角形，点M 为EC 的中点. （1）求证：BMD ∆为等腰直角三角形.图24-1（2）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒45，如图24-2，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由.图24-2（3）将ADE ∆绕点A 逆时针旋转︒135，如图24-3，（1）中的“BMD ∆为等腰直角三角形”成立吗？请说明理由.图24-35．在□ABCD 中，(4)．已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ∆，BE=EF ，∠BEF=90︒，按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，联结EG 、CG.（1）探索EG 、CG 的数量关系和位置关系并证明；（2）将图1中△BEF 绕B 点顺时针旋转45︒，再联结DF ，取DF 中点G （如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1中△BEF 绕B 点转动任意角度（旋转角在0︒到90︒之间），再联结DF ，取DF 的中点G （如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.图1 图2 图3（第25题图）如图：正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共的顶点A ，连接BG, DE, M 为DE 的中点，连AM,1. 图1中AE ，AG 分别与AB ， AD 重合时，AM 和BG 的数量和位置关系分别是（）和（）2. 如图2中将正方形AEFG 绕A 逆时针旋转∂（090oo<∂<）时1中的结论是否成立，试证明。

专题05 线段的数量和位置关系的探究题(解析版)

专题05线段的数量和位置关系的探究题【题型概述】线段的数量关系一般是指线段的相等、和差关系、乘积关系和比例关系，线段的位置关系一般是指平行关系、垂直关系和夹角问题。

线段的数量关系和位置关系的探究题，一般通过以下方式求解：(1)通过证明三角形全等或者三角形相似，再根据全等三角形或相似三角形的性质，得到线段的数量关系，通过转化可以求解。

(2)通过利用勾股定理和直角三角形的性质，得到线段的数量与位置关系。

(3)通过证明或者构造等腰三角形，利用等腰三角形的性质和三线合一的性质，得到线段的数量与位置关系。

(4)通过证明或构造平行四边形或特殊的平行四边形，利用平行四边形或特殊的平行四边形的性质，得到线段的数量与位置关系。

【真题精析】例1.(2022·辽宁朝阳·统考中考真题)【思维探究】如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=60°，∠BCD=120°，AB= AD，连接AC．求证：BC+CD=AC．(1)小明的思路是：延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．根据∠BAD+∠BCD=180°，推得∠B+∠ADC=180°，从而得到∠B=∠ADE，然后证明△ADE≌△ABC，从而可证BC+CD=AC，请你帮助小明写出完整的证明过程．(2)【思维延伸】如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，连接AC，猜想BC，CD，AC之间的数量关系，并说明理由．(3)【思维拓展】在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD=6，AC与BD相交于点O．若四边形ABCD中有一个内角是75°，请直接写出线段OD的长．【思路分析】(1)如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．证明△ADE≌△ABC(SAS)，推出∠DAE=∠BAC，AE=AC，推出△ACE的等边三角形，可得结论；(2)结论：CB+CD=2AC．如图2中，过点A作AM⊥CD于点M，AN⊥CB交CB的延长线于点N．证明△AMD≌△ANB(AAS)，推出DM=BN，AM=AN，证明Rt△ACM≌Rt△ACN(HL)，推出CM=CN，可得结论；(3)分两种情形：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．如图3-2中，当∠CBD=75°时，分别求解即可．【答案】(1)AC=BC+CD；理由见详解；(2)CB+CD=2AC；理由见详解；(3)33-3或3-3【详解】(1)证明：如图1中，延长CD到点E，使DE=BC，连接AE．∵∠BAD +∠BCD =180°，∴∠B +∠ADC =180°，∵∠ADE +∠ADC =180°∴∠B =∠ADE ，在△ADE 和△ABC 中，DA =BA∠ADE =∠B DE =BC，∴△ADE ≌△ABC (SAS )，∴∠DAE =∠BAC ，AE =AC ，∴∠CAE =∠BAD =60°，∴△ACE 的等边三角形，∴CE =AC ，∵CE =DE +CD ，∴AC =BC +CD ；(2)解：结论：CB +CD =2AC ．理由：如图2中，过点A 作AM ⊥CD 于点M ，AN ⊥CB 交CB 的延长线于点N ．∵∠DAB =∠DCB =90°，∴∠CDA +∠CBA =180°，∵∠ABN +∠ABC =180°，∴∠D =∠ABN ，∵∠AMD =∠N =90°，AD =AB ，∴△AMD ≌△ANB (AAS )，∴DM =BN ，AM =AN ，∵AM ⊥CD ，AN ⊥CN ，∴∠ACD =∠ACB =45°，∴AC =2CM ，∵AC =AC ．AM =AN ，∴Rt △ACM ≌Rt △ACN (HL )，∴CM=CN ，∴CB+CD=CN-BN+CM+DM=2CM=2AC；(3)解：如图3-1中，当∠CDA=75°时，过点O作OP⊥CB于点P，CQ⊥CD于点Q．∵∠CDA=75°，∠ADB=45°，∴∠CDB=30°，∵∠DCB=90°，∴CD=3CB，∵∠DCO=∠BCO=45°，OP⊥CB，OQ⊥CD，∴OP=OQ，∴SΔOBCSΔCDO=12CD∙OQ12BC∙OP=CDBC，∴OD OB=CDCB=3，∵AB=AD=6，∠DAB=90°，∴BD=2AD=23，∴OD=31+3×23=33-3．如图3-2中，当∠CBD=75°时，同法可证ODOB=13，OD=11+3×23=3-3，综上所述，满足条件的OD的长为33-3或3-3．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，解直角三角形，等边三角形的判定和性质，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．例2.(2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题)在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线．(1)如图1，点E、F分别是线段BD、AD上的点，且DE=DF，AE与CF的延长线交于点M，则AE与CF的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，点E、F分别在DB和DA的延长线上，且DE=DF，EA的延长线交CF于点M．①(1)中的结论还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；②连接DM，求∠EMD的度数；③若DM=62，ED=12，求EM的长．【思路分析】(1)证明△ADE≌△CDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=CF，∠DAE=∠DCF，由直角三角形的性质证出∠EMC=90°，则可得出结论；(2)①同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS)，由全等三角形的性质得出AE=CF，∠E=∠F，则可得出结论；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，证明△DEG≌△DFH(AAS)，由全等三角形的性质得出DG=DH，由角平分线的性质可得出答案；③由等腰直角三角形的性质求出GM的长，由勾股定理求出EG的长，则可得出答案．【答案】(1)AE=CF，AE⊥CF(2)①成立，理由见解析；②45°；③6+63【详解】(1)∵AB=AC，∠BAC=90°，AD是△ABC的角平分线，∴AD=BD=CD，AD⊥BC，∴∠ADE=∠CDF=90°，又∵DE=DF，∴△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF，∠DAE=∠DCF，∵∠DAE+∠DEA= 90°，∴∠DCF+∠DEA=90°，∴∠EMC=90°，∴AE⊥CF．故答案为：AE=CF，AE⊥CF；(2)①(1)中的结论还成立，理由：同(1)可证△ADE≌△CDF(SAS)，∴AE=CF，∠E=∠F，∵∠F+∠ECF=90°，∴∠E+∠ECF=90°，∴∠EMC=90°，∴AE⊥CF；②过点D作DG⊥AE于点G，DH⊥CF于点H，∵∠E=∠F，∠DGE=∠DHF=90°，DE=DF，∴△DEG≌△DFH(AAS)，∴DG=DH，又∵DG⊥AE，DH ⊥CF，∴DM平分∠EMC，又∵∠EMC=90°，∴∠EMD=12∠EMC=45°；③∵∠EMD=45°，∠DGM=90°，∴∠DMG=∠GDM，∴DG=GM，又∵DM=62∴DG=GM=6，∵DE=12，∴EG=ED2+DG2=122+62 =63∴EM=GM+EG=6+63．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．例3.(2022·辽宁锦州·中考真题)在△ABC中，AC=BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE=CD，过点E 作EF ⊥AB ，交直线AB 于点F ．(1)如图1，若∠ACB =120°，请用等式表示AC 与EF 的数量关系：．(2)如图2．若∠ACB =90°，完成以下问题：①当点D ，点F 位于点A 的异侧时，请用等式表示AC ,AD ,DF 之间的数量关系，并说明理由；②当点D ，点F 位于点A 的同侧时，若DF =1,AD =3，请直接写出AC 的长．【思路分析】(1)过点C 作CG ⊥AB 于G ，先证明△EDF ≌△CDG ，得到EF =CG ，然后等腰三角形的性质和含30度直角三角形的性质，即可求出答案；(2)①过点C 作CH ⊥AB 于H ，与(1)同理，证明△EDF ≌△CDH ，然后证明△ACH 是等腰直角三角形，即可得到结论；②过点C 作CG ⊥AB 于G ，与(1)同理，得△EDF ≌△CDG ，然后得到△ACG 是等腰直角三角形，利用勾股定理解直角三角形，即可求出答案．【答案】(1)EF =12AC (2)①AD +DF =22AC ；②42或22；【详解】(1)解：过点C 作CG ⊥AB 于G ，如图，∵EF ⊥AB ，∴∠EFD =∠CGD =90°，∵∠EDF =∠CDG ，DE =CD ，∴△EDF ≌△CDG ，∴EF =CG ；∵在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =120°，∴∠A =∠B =12×(180°-120°)=30°，∴CG =12AC ，∴EF =12AC ；故答案为：EF =12AC ；(2)解：①过点C 作CH ⊥AB 于H ，如图，与(1)同理，可证△EDF ≌△CDH ，∴DF=DH，∴AD+DF=AD+DH=AH，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAH=45°，∴△ACH是等腰直角三角形，∴AH=22AC，∴AD+DF=22AC；②如图，过点C作CG⊥AB于G，与(1)同理可证，△EDF≌△CDG，∴DF=DG=1，∵AD=3，当点F在点A、D之间时，有∴AG=1+3=4，与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，∴AC=2AG=42；当点D在点A、F之间时，如图：∴AG=AD-DG=3-1=2，与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，∴AC=2AG=22；综合上述，线段AC 的长为42或22．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解直角三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线，正确得到三角形全等．【精练模拟题】例1.(2022·辽宁大连·校考模拟)在△ABC 中，D 在AC 上，且∠ABD =∠C =45°．(1)如图1，若AD =4，CD =2，求AB 的长度．(2)如图2，作DE ⊥AB 于E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，作FG ⊥BC 于G ，探究FG 与BC 的关系，并证明你的结论．(3)如图3，作DE ⊥AB 于E ，BH ∥AC ，DH ∥BC ，探究EB 与EH 的数量关系，并证明．【答案】(1)AB =26(2)BC =2FG ，证明见解析(3)EH =EB ，证明见解析【分析】(1)根据题意证明△ABD ∽△ACB 即可得到AB 2=AD ∙AC ，再结合题意即可解答；(2)连接BF ，根据平行线的性质△AFE ∽△ABD 即可得证；(3)根据题意证明四边形HBCD 是平行四边形，可得∠BHD =∠C =45°，过点B 作BM ⊥DH 于点M ，连接EM ，证明△BOM ∽△DOM ，可得OM OB =OE OD，进而证明△EMH ≌△EMB 即可得到解答．【详解】(1)∵∠ABD =∠C ，∠A =∠A ，∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC =AD AB，∴AB 2=AD ·AC ，∵AD =4，CD =2，∴AC =6，∴AB =26；(2)BC =2FG ，证明：连接BF ，∵EF ∥BC ，∴∠AFE =∠C ，∵∠C =∠ABD ，∴∠AFE =∠ABD ，又∵∠EAF=∠DAB，∴△AFE∽△ABD，∴AF AB=AE AD，∴AF AE=AB AD，∴△ABF∽△AED，∴∠ABF=∠ADE，∵∠BOE=∠DOF，∴∠BFD=∠BED=90°，∴∠FBC=∠C=45°，∴FB=FC，∵FG⊥BC，∴BC=2FG；(3)EH=EB．证明：∵BH∥AC，DH∥BC，∴四边形HBCD是平行四边形，∴∠BHD=∠C=45°，过点B作BM⊥DH于点M，连接EM，∴∠BMH=∠BMD=90°，∴∠MHB=∠MBH=45°，∴MH=MB，∵∠BMO=∠DEO=90°，∠BOM=∠DOE，∴△BOM∽△DOE，∴OMDE=OB OD，∴OMOB=OE OD，∵∠MOE=∠BOD，∴△MOE∽△BOD，∴∠EMO=∠EBD=45°，∴∠EMB=∠EMH=135°，∵EM=EM，在△EMH和△EMB中EM=EM∠EMH=∠EMBMH=MB∴△EMH≌△EMB SAS，∴EH=EB．例2.(2022·四川南充·南充市实验中学校考模拟)如图，已知点E是射线BC上的一点，以BC、CE为边作正方形ABCD和正方形CEFG，连接AF，取AF的中点M，连接DM、MG．(1)如图1，判断线段DM 和MG 的数量关系是，位置关系是；(2)如图2，在图中的正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转的过程中，其他条件不变，(1)中的结论是否成立？说明理由；(3)已知BC =10，CE =2，正方形CEFG 绕点C 旋转的过程中，当A 、F 、E 共线时，直接写出△DMG 的面积．【答案】(1)DM =MG ，DM ⊥MG(2)结论成立：DM =MG ，DM ⊥MG(3)满足条件的△DMG 的面积为20或34．【分析】(1)延长GM 交AD 于H ，证明△FMG ≌△AMH ASA ，得到HM =GM ，根据直角三角形的性质得到DM =MG ，等量代换得到答案；(2)如图2中，延长GM 使得MH =GM ，连接AH 、DH 、DG ，延长AD 交GF 的延长线于N ，交CD 于O ．利用全等三角形的性质，想办法证明△HDG 是等腰直角三角形即可；(3)分两种情形根据题意画出完整的图形，利用勾股定理解决问题即可．【详解】(1)解：如图1，延长GM 交AD 于H ，∵AD ∥GF ，∴∠GFM =∠HAM ，在△FMG 和△AMH 中，∠GFM =∠HANFM =AM ∠FMG =∠AMH，∴△FMG ≌△AMH ASA ，∴HM =GM ，AH =FG ，∵AD =CD ，AH =FG =CG ，∴DH =DG ，∵∠HDG =90°，HM =GM ，∴DM =MG ，DM ⊥MG ，故答案为：DM =MG ，DM ⊥MG ；(2)解：结论成立：DM =MG ，DM ⊥MG ，理由：如图2中，延长GM 使得MH =GM ，连接AH 、DH 、DG ，延长AD 交GF 的延长线于N ，交CD 于O．∵AM=MF，∠AMH=∠FMG,MH=MG，∴△AMH≌△FMG SAS，∴AH=GF=CG，∠AHM=∠FGM，∴AH∥GN，∴∠HAD=∠N，∵∠ODN=∠OGC=90°，∠DON=∠GOC，∴∠N=∠OCG，∴∠HAD=∠DCG，∵AH=CG，AD=CD，∴△HAD≌△GCD SAS，∴DH=DG，∠HDA=∠CDG，∴∠HDG=∠ADC=90°，∴△HDG是等腰直角三角形，∵MH=MG，∴DM⊥GH，DM=MH=MG；(3)①如图3-1中，连接AC．在Rt△ABC中，AC=AB2+BC2=102，在Rt△ACE中，AE=AC2-EC2=14，∴AF=AE-EF=14-2=12，∴FM=AM=12AF=6，在Rt△MGF中，MG=FM2+FG2=210，∴S△DMG=12×210×210=20；②如图3-2中，连接AC．同法可得AE=14，AF=16，FM=8，MG=82+22=217，∴S△DMG=12×217×217=34，综上所述，满足条件的△DMG的面积为20或34．例3.(2022·河南洛阳·统考一模)在△ABC中，点G是射线CB上一个动点，延长CA到D，使得AD=CG，过点D作DE∥BC，交BA的延长线于点E，连接交CD于点F．(1)①如图1，当AB=AC=BC时，EF与FG之间的数量关系是；②如图2，当AB=AC=3，BC=4，点G在射线CB上移动时，EF与FG之间的数量关系是否与①中的数量关系相同，若相同，请说明理由；若不相同，请求出新的数量关系；(2)设△ABC三边的长分别为BC=a，AC=b，AB=c，其中a≠b≠c，当点G在射线CB上移动时，请直接写出EF与FG之间的数量关系．【答案】(1)①EF=FG，②不相同，EF=43GF(2)EF:FG=a:b【分析】(1)①结论：EF=FG．证明△ADE是等边三角形，推出AD=DE=CG，利用平行线分线段成比例定理证明即可；②数量关系不同．结论：EF:FG=4:3．相似三角形的性质证明即可；(2)结论：EF:FG=a:b．利用相似三角形的性质证明即可．【详解】(1)解：①结论：EF=FG．理由：如图1中，∵AB=BC=AC，∴∠B=∠C=60°，∵DE∥CB，∴∠D=∠C=60°，∠DEA=∠B=60°，∴∠D=∠DAE=∠AED=60°，∴△ADE是等边三角形，∴AD=DE，∵CG=AD，∴CG=DE，∵DE∥CG，∴EF:FG=DE:CG=1，∴EF=FG．故答案为：EF=FG；②EF与FG之间有新的数量关系：EF=43GF．理由如下：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC．∴DE CB=AD AC．∵AC=3，BC=4，∴DE AD=4 3．∵AD=CG，∴DE CG=4 3∵DE∥GC，∴△DEF∽△CGF．∴DE CG=EFGF=43．∴EF=43GF．(2)解：结论：EF:FG=a:b.理由：∵DE∥CB，∴△ADE∽△ACB，∴DE:AD:AE=BC:AC:AB=a:b:c，设DE=ak，AD=bk，AE=ck，∵CG=AD=bk，∴EF:FG=DE:CG=ak:bk=a:b．例4.(2022·浙江嘉兴·一模)如图1，已知正方形ABCD和正方形CEFG，点B、C、E在同一直线上，BC=m(m>1)，CE=1．连接AF、BG．(1)求图1中AF 、BG 的长(用含m 的代数式表示)．(2)如图2，正方形ABCD 固定不动，将图1中的正方形CEFG 绕点C 逆时针旋转α度(0°<α≤90°)，试探究AF 、BG 之间的数量关系，并说明理由．(3)如图3，在(2)条件下，当点A ，F ，E 在同一直线上时，连接CF 并延长交AD 于点H ，若FH =2，求m 的值．【答案】(1)BG =m 2+1　，AF =2m 2+2(2)AF =2BG (3)1+3【分析】(1)延长FG 交AB 于H ，在Rt △BCG 中，由勾股定理，求BG 的长，在Rt △AHG 中，由勾股定理，求AF 的长；(2)连接AC 、CF ，在等腰Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC =2BC ，在等腰Rt △FGC 中，由勾股定理，得CF =2CG ，则AC BC =FC CG =2，从而可证△ACF ∽△BCG ，得AF BG =AC BC =2，即可得出结论；(3)连接AC ，证明△AHF ∽△CHA ，得AH CH =HF AH ，又由正方形CEFG ，EF =CE =1，可求得CF =CE 2+EF 2=2，即从而求得CH =CF +FH =2+2=22，代入得AH 22=2AH ，即可求得AH =2，DH =AD -AG =m -2，然后在Rt △CDH 中，由勾股定理，得CD 2+DH 2=CH 2，即m 2+m -2 2=22 2求解即可．【详解】(1)解：延长FG 交AB 于H ，如图1，∵正方形ABCD 和正方形CEFG ，点B 、C 、E 在同一直线上，∴∠ABC =∠BCD =∠CGD =∠CGH =90°，AB =BC =m ，CG =GF =CE =1，在Rt △BCG 中，由勾股定理，得BG =BC 2+CG 2=m 2+12=m 2+1；∴∠BHG =90°，∴四边形BCGH 是矩形，∠AHG =90°，∴GH =BC =m ，BH =CG =1，∴AH =m -1，在Rt △AHG 中，由勾股定理，得AF =AH 2+HF 2=m -1 2+m +1 2=2m 2+2；(2)解：连接AC 、CF ，如图2，∵正方形ABCD 和正方形CEFG ，∴∠ACB =∠FCG =45°，∴∠ACB +∠ACG =∠FCG +∠ACG ，∴∠BCG =∠ACF ，在等腰Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC =2BC ，在等腰Rt △FGC 中，由勾股定理，得CF =2CG ，∴AC BC =FC CG=2，∴△ACF ∽△BCG ，∴AF BG =AC BC=2，即AF =2BG ；(3)解：连接AC ，如图3，∵正方形ABCD 和正方形CEFG ，∴∠CAD =∠CFE =45°，CD =AD =BC =m ，∵∠CFE =∠CAF +∠ACF ，∠CAD =∠CAF +∠FAH ，∴∠FAH =∠ACF ，∵∠AHF =∠CHA ，∴△AHF ∽△CHA ，∴AH CH =HF AH ，∵正方形CEFG ，EF =CE =1，∴CF =CE 2+EF 2=2，∴CH =CF +FH =2+2=22，∴AH 22=2AH ，∴AH =2，∴DH =AD -AG =m -2，在Rt △CDH 中，由勾股定理，得CD 2+DH 2=CH 2，即m 2+m -2 2=22 2解得：m 1=1+3，m 2=1-3(不符合题意，舍去)．∴m 的值为1+3．例5.(2022·北京海淀·校考三模)如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC >BC ，D 是AB 的中点，F 是BC 延长线上一点，平移AB 到FH ，线段FH 的中垂线与线段CA 的延长线交于点E ，连接EH 、DE ．(1)连接CD，求证：∠BDC=2∠DAC；(2)依题意补全图形，用等式表示线段DE，DF，EH之间的数量关系，并证明．【答案】(1)见解析(2)图见解析，结论：DE2+DF2=EH2，理由见解析【分析】(1)利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；(2)图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2，想办法证明∠EDF=90°即可．【详解】(1)证明：连接CD．∵∠ACB=90°，AD=DB，∴CD=AD=DB，∴∠DAC=∠DCA，∴∠BDC=∠DAC+∠DCA=2∠DAC；(2)解：图形如图所示，结论：DE2+DF2=EH2．理由：连接EF，AH，取FH的中点T，连接AT，DT，ET．∵点E在FH的垂直平分线上，∴EF=EH，∵AD=DB，HT=TF，AB=FH，∴AD=FT=HT，∵AD∥FH，∴四边形AHTD，四边形ADFT是平行四边形，∴AH∥DT，AT∥DF，∴∠FDT=∠ATD=∠TAH，∵AH∥BF，∴∠HAC=∠ACB=90°，∵EH=EF，HT=FT，∴ET⊥FH，∠TEH=∠TEF，∴∠EAH=∠ETH=90°，∴四边形A,E,H,T四点共圆，∴∠TAH=∠TEH，∴∠FDT=∠FET，∴E，D，F，T四点共圆，∴∠EDF+∠ETF=180°，∴∠EDF=90°，∴DE2+DF2=EH2．例6.(2022·山东济南·济南育英中学校考模拟)如图，在△ABC与△DEF中，∠ACB=∠EDF=90°，BC=AC,ED= FD，点D在AB上．(1)如图1，若点F在AC的延长线上，连接AE，探究线段AF、AE、AD之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若点D与点A重合，且AC=32，DE=4，将△DEF绕点D旋转，连接BF，点G为BF的中点，连接CG，在旋转的过程中，求32CG+BG的最小值；(3)如图3，若点D为AB的中点，连接BF、CE交于点M，CE交AB于点N，且BC:DE:ME=7:9:10，请直接写出NDCN的值．【答案】(1)AE+2AD=AF，证明见解析(2)32CG+BG的最小值是32CH=972(3)52-317【分析】(1)过F作FH⊥AB于H，过E作EG⊥AB于G，结合K字型全等，等腰直角三角形，四点共圆即可得到答案；(2)第二问考察隐圆问题与阿氏圆，取AB的中点O，连接OG，在OB上取OH=43，连接GH，构建相似，转化线段即可得到答案；(3)过点C作BF平行线，点F作BC平行线交于点G；过点G作GH⊥BF于点H，过点K作KI⊥FG，证明△BDF≌△CDE，设BC=7t，则DE=9t，ME=10t，结合勾股定理、相似三角形及解直角三角形的知识进行计算．【详解】(1)解：线段AF、AE、AD之间的数量关系：AE+2AD=AF，证明如下：过F作FH⊥AB于H，过E作EG⊥AB于G，如图：∵FH⊥AB,EG⊥AB,∠EDF=90°，∴∠FHD =∠DGE =90°,∠FDH =90°-∠EDG =∠DEG ，又∵DF =DE ，∴△FHD ≌△DGE AAS ，∴FH =DG =AD +AG ，∵∠ACB =∠EDF =90°,BC =AC ,ED =FD ，∴∠FAB =∠FED =45°，∴点F 、D 、A 、E 四点共圆，∴∠FAE =∠FDE =90°，∠EAG =∠DFE =45°，∵FH ⊥AB ,EG ⊥AB ,∠BAC =45°，∴△FAH 和△EAG 为等腰直角三角形，∴AF =2FH ，AE =2AG ，∴AF =2(AD +AG )=2AD +2AG =2AD +AE ；(2)取AB 的中点O ，连接OG ，在OB 上取OH =43，连接GH ，如图：∵G 为BF 的中点，O 为AB 中点，∴OG 是△ABF 的中位线，∴OG =12AF =12DF =12DE =2，∵AC =32，∴AB =2AC =6,OB =12AB =3，∴OG OB =23，而OH OG =432=23，∴OG OB =OH OG，又∠HOG =∠GOB ，∴△HOG ∽△GOB ，∴HG BG =OG OB =23，∴HG =23BG ，∴32CG +BG =32CG +23BG =32CG +HG ，要使32CG +BG 的最小，需CG +HG 最小，∴当H 、G 、C 三点共线时，32CG +BG 的最小，32CG +BG 的最小值是32CH ，如图：∵OC =12AB =3,OH =43，∴CH =OH 2+OC 2=973，∴32CG +BG 的最小值是32 CH =32×973=972．(3)过点C 作BF 平行线，点F 作BC 平行线交于点G ；过点G 作GH ⊥BF 于点H ，过点K 作KI ⊥FG ，如图：∵∠BDC =∠FDE =90°，∴∠BDC +∠CDF =∠FDE +∠CDF ，即∠BDF =∠CDE ，又∵CD =BD ，DE =DF ，∴△BDF ≌△CDE SAS ，∴BF =CE ，∠DEC =∠DFB ，∵∠DEC +∠DPE =90°,∠DPE =∠MPF ，∴∠DFB +∠MPF =90°，∴∠FME =90°由BC :DE :ME =7:9:10，设BC =7t ，则DE =9t ，ME =10t ；∴EF =2DE =92t ，∵CG ∥BF ，FG ∥BC ，∴四边形BFGC 为平行四边形，∴CE =BF =CG ，∠ECG =∠FME =90°，∴△ECG 为等腰直角三角形，∴∠CGE =45°=∠GKH ，∴△GKH 为等腰直角三角形，∴GE CE =2，FG CD =BC CD =2，EF DE =2，∴GE CE =FG CD=EF DE ，∴△CDE ∽△GFE ，∴∠DCE =∠FGE ，∴ND CN=sin ∠DCE =sin ∠FGE ；Rt △MFE 中，MF =EF 2-ME 2=62t ，∴FK =MK -MF =ME -MF =10t -62t ,FG =BC =7t ，设∠GFH =α，∠KGI =∠NCD =β，∴sin α=GH FG ,sin β=KI KG =DN CN ，Rt △FKI 中，sin α=KI FK ，∴KI =FK ⋅sin α=FK ⋅GH FG ，∵GH =KG 2，∴KI =FK ⋅KG 2FG =FE ⋅KG 2FG ，∴sin β=KI KG =FK ⋅KG 2FG KG =FK 2FG =10t -62t 2⋅7t=52-317，∴ND CN =52-317．。