Gamma函数和Beta函数在积分运算中的应用

＝ ｔｅ ｆ Ｆ／＝ ＿＿ ＝ （） ｌｔ １ １ 字． ／ｄ ２ ２
２ 通过正则变换把二重积分转化为 Ｇ ｍｍａ函数或 － ３ ａ
Ｂ ｔ 函数 ｅａ 设变换 Ｔ： ＝ｘｕ ｖ， （ ，） Ｙ＝ｙ ｕ ｙ， ” ｖ∈Ｄ （ ， ） （ ，）
性质 ９ Ｇ ｍ ａ ｍａ函数 与 Ｂ ｔ 函数有如下关系 ： ｅａ
非正 常积分 ；当 ｑ 时 ，Ｂ ｐ ｑ 是以 Ｘ 为瑕点的 ＜１ （ ，） ＝１ 无界 函数非正常积分 ． 性质 ５ Ｂ ｐ，１ （ ｑ 在定义域 Ｐ＞ ， ０内连续 ． ０ ｑ＞
Ｉｓ＝Ｉ ｅ ｘ （ —ｄ ， ）
（） ＝ 一 一ｄ ． ｘ ｅ
当 Ｓ 时 ｌｓ 是正常积分 ；当 ０ Ｓ 时 ｌｓ 是收敛 ≥１ （） ＜ ＜１ （） 的无界函数非正常积分 ； Ｓ ０时 （） 当 ＞ 是收敛的无穷 限非正常积分 ．在 任何闭区间 ，］ （ ０ ，对 于 ６上 ＞ ） 函数 ， ， ０ １ （） 当 ≤ 时有 ｅ ｅ ，由于积分 ＿
ｇ ｐ， ） （， ． （ ｇ ＝Ｂ ｑ ）
又 于 ｘｓ－ 。Ｓ－ｘ 在 何 由 ￣ －Ｘ ＋－Ｘ ｄ 任 （１） ￣Ｉｌ Ｘｅｄ ｘｅｎ
闭区间 ， 纠上一致收敛 ，于是 ｒ 在 ａ ｂＪ 可导 ， （） ， ］２
由 ａ和 ｂ的任意性可） Ｙ ｅ ｄ ＞０ ＝２ — ， ；
定义 １ 设含参量积分 厂（） ＝
＞ ， 厂（） Ｇ ｍｍ ０ 称 为 ａ ａ函数 ．
ｅ 。 ｘ 其 中 －ｄ ，
令 ＝Ｐ ， Ｙ Ｐ＞０ 则有 ，
厂（） ＝ ｅ ｘ 。ｄ ＝ｐ Ｙ ｅ￣ｄ ， ＞ ． ‘－ ｙ ０
＝ ，ｐ ＞０， ｑ＞ ０
） ＝
广 ～ｌｘ ｘ ＞０ ｅ ｎ ｄ ， ．
中 ，这 两种方法会使问题 复杂化 ，甚至根本行不通．
本文利用 Ｇ ｍｍ ａ ａ函数与 Ｂ ｔ 函数的特殊性质 ，把积 ｅ ａ 分运算转化为相应 的 Ｇ ｍ ａ ｍａ函数或 Ｂ ｔ ｅ ａ函数 ，从 而 简化 问题 的求解 ．
１ Ｇｍ ａ ｍａ函数和 Ｂ ｔ 函数 的主要性质 ｅａ
性质 ２ Ｇ ｍｍａ ａ 函数存在递推关系
ｒ（４１＝ｓ ｓ ， ＞０ ｓ－ ） ｔ（） ．
性质 ３ Ｇ ｍｍａ ａ 函数存在 Ｌ ｇｎ ｒ 加倍公式 ｅｅｄｅ
２ －１ ｓ
Ｆ ２） 一厂 厂 ｌ ） ０ （ｓ＝ （ ＋／ ， ） ２ ＞ ．
７ 【
性质 ４ 对于 Ｇ ｍｍａ ａ 函数 ，令 ＝Ｙ ，则有
由于对任何 Ｐ ０ ０ ｑ ｏ ０ 不等式 Ｐ ＞ ， ≥ｑ ＞ ，
Ｘ １ Ｘｑ ｐ （－ ） Ｊ １ ） 口 一ｘｑ ｏ （ ｏ
ｅ ｘ收敛 ，从而 ，ｓ 在［ ，】 ｄ （） 口 ６上一致收敛 ；对
于函数 Ｊ ｓ ，当 １ ＜ 一时有 ｅ ¨ｅ 。 由于 （ ） 斗 。≤ －，
关键词 ：Ｇ ｍｍａ函数 ；Ｂ ｔ ａ ｅ ａ函数 ；积 分运算 ；非正常积分 中图分 类号：Ｏ１ ５ ７ 文献标 志码 ：Ａ 文章编号 ：１０ — ２ １２ １） ２ ０ ８— ２ ０ ６ ５ ６ （０ ０ ０ — ０ ０ ０
在求解正常积分或非正常积分 问题时 ，常用的方
法有换元积分法和分部积分法 ，但是在某些积分问题
第２ ５卷
第２ 期
天 中 学 刊
Ｊｕ ｎ ｌ ｆ ｉｎ ｈ ｎ ｏ ｒ ａ ａ ｚ ｏ ｇ ｏＴ
２１ ０ ０年 ４月
Ｖ＿． ５ ＮＯ ２ ０ ２ １ ． Ａｐ ． ０ ０ ｒ２ １
Ｇ ｍｍａ函数和 Ｂ ｔ 函数在积分运算 中的应用 ａ ｅ ａ
赵文 菊，夏银红
（ 黄淮学院 数学科学系 ，河南 驻马店 ４ ３ ０ ６ ０ ０） 摘 要 ：通过分析 Ｇ ｍｍａ函数和 Ｂ ｔ ａ ｅ ａ函数的相 关性质 ， 讨论 了这 两类特殊函数在积分运算特别是非正常积分运 算 中的应 用，以便 为定积分 的教 学改革提供参 考．
性质 １ 厂（） 在定义域 Ｓ 内连续且 可导 ． ＞０ Ｇ ｍｍａ ａ 函数可写成两个积分之和 ，即
．
定义 ２ 设含参量积分
ｒ（） （） （） ｓ ＝， ＋ ，
Ｂｐｑ：【Ｐ（ ｄ， （， ） ｘ Ｉ一 ） ｘ －１
其中 Ｐ＞０ ｑ＞ ， Ｂ ｐ，） Ｂ ｔ ， ０ 称 （ ｑ为 ｅ ａ函数． 当 Ｐ＜１ ，Ｂ ｐ，） 以 ＝０ 时 （ ｑ是 为瑕点的无界 函数
收稿 日期 ：２ ０ ．９０ ０ ９０ —８
性质 ７ Ｂ ｔ函数存在递推关系 ｅ ａ
作者简介：赵文菊 （ ９ ５ ） ，河南驻 马店人 ，讲 师 １７ 一 ，女
赵文菊 ，夏银 红 ：Ｇ ｍｍａ函数和 Ｂ ｔ ａ ｅ ａ函数在积分运算中的应 用
・ １． ８
Ｂ，１南 ， （ｇ） （ ｐ＋ ｐ
成立 ，而积分
（一 ） ｄ 收敛 ，故 由维尔斯 特 １ ｘｑ ｘ 。
ｆ ｅ ｄ 收 从而 （ 在［ ｂ ２ 致收敛． ＿ — ｘ 敛， 口 ］ ￣ ） ，Ｊ
拉斯 Ｍ 判别法知 Ｂ ｐ ｑ 在 Ｐ Ｐ＜０ ｑ ｑ ０ （ ，） ０ ，０ ＜ 上一 致收敛 ，从而 Ｓ ｐ， ） Ｐ＞０ ｇ （ ｑ在 ， ＞０内连续 ． 性质 ６ ｅ 函数具有对称性 ，即 Ｂ ｔ ａ
如果 ， 都是 自然数 ，则 （ ） ， ＝ ． 性质 ８ 对 于 Ｂ ｔ 函数 ，令 ＝ＣＳ ， 有 ｅ ａ Ｏ 则
Ｂ ｐ，） ｓ ￣ ｏ ｒ （ （ ｇ ＝２ ｉ ｎ ａ ｓ ｐ ｏ ｃ ｄ ．
仁 ｄ＝ ｘ２
ｄ： ｘ（ ｘ 一 ｄ ） ｅ
： 一Ｉ Ｊ ｅ ｄ ：ｒ ｅ ｄ 一ｅ １ ０ 一 Ｊ 一 ｘ ７＋ｒ ０ ０