高中数学苏教版必修四练习：2.4向量的数量积(一)(含答案)

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2016-2017数学苏教版必修4 第2章2.4向量的数量积(一) 作业 Word版含解析

答案：120°
设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝__________．
解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．又∵a⊥b，
∴a·b＝0.∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5.
答案：5
如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)
＝3×32－8×3×4cos＋4×42＝91＋48.
(2)|a＋b|＝＝
＝＝.
已知a，b是非零向量，且满足(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，求a与b的夹角．
解：∵(a－2b)⊥a，
∴(a－2b)·a＝0，即a2－2a·b＝0.
∵(b－2a)⊥b，∴(b－2a)·b＝0，即b2－2a·b＝0.
∴a2＝b2，即|a|＝|bห้องสมุดไป่ตู้.a·b＝a2，即a·b＝|a|2.
[学业水平训练]
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角θ为45°，则m·n＝________.
解析：m·n＝|m||n|cosθ＝4×6×cos 45°＝12.
答案：12
(2014·南通调研)在△ABC中，已知·＝4，·＝－12，则||＝________．
解析：将·＝4，·＝－12两式相减得·(－)＝2＝16，则||＝4.
∴cosθ＝＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝.
[高考水平训练]
如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是BC上一点，DC＝2BD，则·＝________．
解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，
答案：4
设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝______.
解析：|a＋b|＝＝

人教版数学必修四：2.4向量的数量积(1)(教师版)

课题：§2.4 向量的数量积（1）总第____课时班级_______________ 姓名_______________【学习目标】1．理解平面向量数量积的概念，掌握两向量夹角的概念及其取值范围[0，π]；2．掌握两向量共线及垂直的充要条件，3．掌握向量数量积的性质．【重点难点】学习重点：平面向量数量的概念；学习难点：向量数量积及其重要性质．【学习过程】一、自主学习与交流反馈：物理课中，物体所做的功的计算方法： ||||cos W F s θ=（其中θ是F 与s 的夹角）．二、知识建构与应用：（一）向量数量积的概念和性质1．向量的夹角定义：平面两非零向量和的夹角：当且仅当两非零向量a 、b 同方向时θ= ；当且仅，反方向时，θ= ；当θ= ，称与垂直，记作⊥.2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作a b ⋅，即．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关； A ab②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个量；实数与向量的积是一个量；③规定，零向量与任一向量的数量积是．3．数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a b a b θ⋅=； ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅； ③a b ⊥0a b ⇔⋅=；4．向量的数量积满足下列运算律：（1）a b b a ⋅=⋅（2）()()()a b a b a b a b λλλλ⋅=⋅=⋅=⋅（3）()a b c a c bc +⋅=⋅+ 三、例题例1 已知向量a 、b 的夹角为θ，2,3a b ==，分别在下列条件下求 a b ⋅：（1）135θ=︒；（2）a ∥b ；（3）a ⊥b ．例2 已知1,2a b ==，向量a 、b 的夹角为60︒，求：（1）2()a b +；（2）2()a b -；（3）)()(b a b a -⋅+．例3 已知向量a 、b 的夹角为60︒，4b =，72)3()2(-=-⋅+b a b a ，求向量a 的模．例4 已知平面内三个向量,,a b c 的模均为1，他们相互间的夹角为120°，（1）求证：()a b c -⊥；（2）若1()ka b c k R ++=∈，求k 的值．四、巩固练习1．已知,,a b c 是三个非零向量，下列结论正确的是__________(填序号).①若||||a b a b ⋅=，则a ∥b ；②若a c b c ⋅=⋅，则a b =；③若a b a b +=-，则a b ⊥．2．已知正三角形ABC 的边长为1，⋅=_____；⋅=_____；⋅=_____．3．已知4,6a b ==，向量a 、b 的夹角为60︒，求：（1）a b ⋅；（2）()a a b ⋅+．4．已知4,8.a b a b ==且与的夹角为120，计算：(1)(2)(2);a b a b +∙- (2)2.a b +5．求证：a b a b ⋅≤⋅．五、回顾反思六、作业批改情况记录及分析。

【数学】2.4《向量的数量积及应用》测试(苏教版必修4)

高中苏教数学④2.4~2.5测试题一、选择题1．a 、b 为非零向量，且|a +b |=|a -b |，则以下判断错误的是（）Ａ．a ·b =0Ｂ．a ∥bＣ．a ⊥bＤ．以a ，b 为邻边的平行四边形为矩形答案：B2．设a 、b 为单位向量，它们的夹角为90°，那么|a +3b |等于（）Ａ．7 Ｂ．10 Ｃ．13 Ｄ．4答案：B3．已知i 、j 分别为x 轴、y 轴方向上的单位向量，若28=-a +b i j ，816--a b =i +j 那么 a b 等于（）Ａ．63 Ｂ．63- Ｃ．33 Ｄ．33-答案：B4．若向量a ，b 的夹角是60°，|b |=4，（a +2b ）·（a -3b ）=-72，则向量a 的模是（）Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12答案：C5．在△ABC 中，AB =a ，AC =b ，当a ·b ＜0时，△ABC 为（）Ａ．直角三角形Ｂ．锐角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．等腰三角形答案：C6．若向量a 、b 、c 满足a +b +c =0，|a |=3，|b |=1，|c |=4，则a b +b c +c a 等于（）Ａ．-11 Ｂ．-12 Ｃ．-13 Ｄ．-14答案：C二、填空题7．已知a ·b =12，且|b |=5，则向量a 在向量b 方向上的射影为．答案：1258．已知点A （2，-4）、点B （-2，y ），若5AB = ，则y = ．答案：7-或1-9．已知点(22)(51)(14)A B C -，，，，，，则∠BAC 的余弦值为．答案：5747510．已知(2)(35)x b ==-，，，a ，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是．答案：10635x x x ⎧⎫<≠-⎨⎬⎩⎭且三、解答题11．已知向量1232-a =e e ，124b =e +e 其中e 1=（1，0），e 2=（0，1），求：（1）a ·b ，|a +b |；（2）a 与b 的夹角的余弦值．解：（1）1212324-=+ ，a =e e b e e12(10)(01)==，，，e e ，(32)(41)∴-，，，a =b =．1221052∴=-== ，a b a +b ；（2）cos <>= ，a b a b a b2222103(2)411010221.2211317=+-+==12．ABC △的顶点为(31)(1)(2)A B x C y -，，，，，，重心513G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．求：（1）AB 边上的中线长；（2）AB 边上的高的长．解：由题意可得532331(1)13x y ++⎧=⎪⎪⎨+-+⎪=⎪⎩，．解得03x y =⎧⎨=⎩，． (01)(23)B C -，，，∴．（1）AB ∵的中点为302D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，132CD ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴， AB ∴边的中线长372CD = ；（2）(12)(32)AC AB =-=-- ，，，∵，∴可找到与AB 垂直的一个向量(23)=-，b ． AC ∴在向量b 方向上的投影为813AC = b b ·． AB ∴边上的高的长为81313． 13．已知O 为△ABC 所在平面内的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -+-= ，试判断△ABC 的形状．解：()(2)OB OC OB OC OA -+- 22()[()()]()()()()()0.OB OC OB OA OC OA OB OC AB AC CB AB AC AB AC AB AC AB AC =--+-=-+=+=-+=-=.AB AC ∴=∴ ABC △为等腰三角形．14．已知(21)(17)(51)OP OA OB === ，，，，，，设C 是直线OP 上的一点，其中O 为坐标原点．（1）求使CA CB取得最小值时向量OC 的坐标；（2）当点C 满足（1）时，求cos ∠ACB ．解：（1）点C 在直线OP 上，∴可设(2)OC tOP t t == ，．(17)(2)(5,1)OA OC t t OB === ，，，，，(127)CA OA OC t t ∴=-=-- ，，(521)CB OB OC t t =-=-- ，．(12)(52)(7)(1)CA CB t t t t ∴=--+-- 22520125(2)8t t t =-+=--．∴当2t =时，CA CB 取得最小值8-，此时(42)OC = ，；（2）当(42)OC = ，时，(35)(11)CA CB =-=- ，，，， 4cos 1717CA CB ACB CA CB∴∠==- ．。

2018高中数学苏教版必修四教学案：第2章 2.4 向量的数量积含答案

第1课时向量数量积的概念及运算律问题：一个物体在力F 的作用下位移为s ，则力F 所做功W ＝|F||s|cos θ，θ为F 和位移s 的夹角，试想功W 是力F 和位移s 的乘积吗？提示：不是．1．数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|²cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ²b ，即a ²b ＝|a||b|cos θ.2．规定零向量与任一向量的数量积为0.如图，△ABC 为等边三角形．问题1：向量AB 与向量AC 的夹角的大小是多少？提示：60°.问题2：向量AB 与向量BC 的夹角的大小是多少？提示：120°.两非零向量的夹角(1)定义：对于两非零向量a 和b ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB ＝θ叫做向量a与b 的夹角．(2)范围：0≤θ≤180°.(3)当θ＝0°时，a与b同向．当θ＝180°时，a与b反向．当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.已知向量a和b都是非零向量，θ为a与b的夹角．问题1：若θ＝90°，求a²b；若a²b＝0，求θ.提示：若θ＝90°，则a²b＝|a|²|b|cos 90°＝0；若a²b＝0，则|a|²|b|cos θ＝0，∴cos θ＝0.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝90°.问题2：若θ＝0°，求a²b；若θ＝180°，求a²b.提示：若θ＝0°，则a²b＝|a|²|b|cos 0°＝|a|²|b|；若θ＝180°，则a²b＝|a|²|b|cos 180°＝－|a|²|b|.1．两个向量的数量积(1)当a与b同向时，a²b＝|a||b|；(2)当a与b反向时，a²b＝－|a||b|；(3)a²a＝|a|2或|a|＝a²a.2．数量积的运算律(1)a²b＝b²a；(2)(λa)²b＝a(λb)＝λ(a²b)＝λa²b；(3)(a＋b)²c＝a²c＋b²c.1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．2．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．3．数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a ²b)²c ≠a ²(b ²c)，这是因为a ²b ，b ²c 都是实数，(a ²b)²c 与向量c 方向相同或相反．a ²(b ²c)与向量a 方向相同或相反，而a 与c 不一定共线，就是a 与c 共线，(a ²b)²c 与a ²(b ²c)也不一定相等．[例1] 已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)AB ²CD ；(2)AB ²AD ；(3)DA ²AC .[思路点拨] 求数量积时，利用定义要注意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来．[精解详析] (1)∵AB ，CD 的夹角为π，∴AB ²CD ＝|AB ||CD |cos π＝2³2³(－1)＝－4.(2)∵AB ，AD 的夹角为π2， ∴AB ²AD ＝|AB ||AD |cos π2＝2³2³0＝0. (或∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ⊥AD ，故AB ²AD ＝0) (3)∵DA ，AC 的夹角为3π4， ∴DA ²AC ＝|DA ||AC |cos 3π4＝2³22³⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－4. [一点通] 求平面向量的数量积时，常用到以下结论：(1)a 2＝|a|2；(2)(xa ＋yb)(mc ＋nd)＝xma ²c ＋xna ²d ＋ymb ²c ＋ynb ²d ，其中x ，y ，m ，n ∈R ，类似于多项式的乘法法则；(3)(a ＋b)2＝a 2＋2a ²b ＋b 2；(4)(a ＋b ＋c)2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ²b ＋2b ²c ＋2a ²c.。

苏教版数学高一必修4试题 2.4向量的数量积(1)

2.4 向量的数量积一、填空题 1．若|m|＝4，|n|＝6，m 与n 的夹角为135°，则m·n ＝________.【解析】 m·n ＝|m||n|cos 135°＝4×6×(－22)＝－12 2. 【答案】－12 22．若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________．【解析】由|a|＝|a ＋2b|，两边平方，得|a|2＝(a ＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b ，所以a·b ＝－|b|2.又|a|＝3|b|，所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝－|b|23|b|2＝－13. 【答案】－133．设a 与b 的模分别为4和3，夹角为60°，则|a ＋b|＝________.【解析】 |a ＋b|＝a ＋b 2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝42＋2×4×3×cos 60°＋32＝37.【答案】 374．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，且a ⊥b ，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝________.【解析】 ∵a ＋b ＋c ＝0，∴c ＝－(a ＋b)．又∵a ⊥b ，∴a·b ＝0.∴|c|2＝c 2＝(a ＋b)2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝5.【答案】 55．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 3，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．【解析】由于a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，所以|b|＝2，a·b ＝(e 1＋3e 2)·2e 1＝2e 21＋6e 1·e 2＝2＋6×12＝5，所以a 在b 方向上的射影为|a|·cos a ，b ＝a·b |b|＝52. 【答案】 526．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →·BE →＝________.【解析】选CA →，CB →为基底，则AD →＝－CA →＋12CB →，BE →＝－CB →＋13CA →， ∴AD →·BE →＝(－CA →＋12CB →)·(－CB →＋13CA →)＝－14. 【答案】－147．已知非零向量a ，b ，若(a ＋2b)⊥(a －2b)，则|a||b|＝________. 【解析】 ∵(a ＋2b)⊥(a －2b)，∴(a ＋2b)·(a －2b)＝0，∴a 2＝4b 2，∴|a|＝2|b|，∴|a||b|＝2. 【答案】 28．已知a ，b ，c 为单位向量，且满足3a ＋λb ＋7c ＝0，a 与b 的夹角为π3，则实数λ＝________. 【解析】由3a ＋λb ＋7c ＝0，可得7c ＝－(3a ＋λb)，即49c 2＝9a 2＋λ2b 2＋6λa·b ，而a ，b ，c 为单位向量，则a 2＝b 2＝c 2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos π3，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.【答案】－8或5二、解答题9．已知向量a 与b 满足|a|＝4，|b|＝2，且|a ＋b|＝2 3.(1)求|3a －4b|；(2)(a －2b)·(a ＋b)．【解】 ∵|a ＋b|＝23，∴(a ＋b)2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝42＋2a·b ＋22＝(23)2，∴a·b ＝－4.(1)∵|3a －4b|2＝9a 2－24a·b ＋16b 2＝9×42－24×(－4)＋16×22＝16×19，∴|3a －4b|＝419.(2)(a －2b)·(a ＋b)＝a 2－a·b －2b 2＝42－(－4)－2×22＝12.10．已知|a|＝5，|b|＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当k 为何值时，向量ka －b 与a ＋2b 垂直？【解】 ∵(ka －b)⊥(a ＋2b)，∴(ka －b)·(a ＋2b)＝0，ka 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，k×52＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0，∴k ＝1415，即k ＝1415时，向量ka －b 与向量a ＋2b 垂直． 11．已知|a|＝2，|b|＝3，a 和b 的夹角为45°，求当向量a ＋λb 与a ＋b 的夹角为锐角时λ的取值范围．【解】因为向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角，所以(a＋λb)·(a＋b)＝a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝12λ＋5＞0.由此解得λ＞－512.若向量a＋λb与a＋b同向，则存在惟一的正数k，使得a＋λb＝k(a ＋b)成立，有k＝λ＝1.要保证向量a＋λb与a＋b不同向，则必须λ≠1.综上所述，当λ＞－512且λ≠1时，向量a＋λb与a＋b的夹角为锐角．。

人教版数学必修四：2.4向量的数量积(1)(作业纸)

课题：§2.4 向量的数量积（1）作业总第____课时班级_______________姓名_______________一、填空题：1. 已知向量a 与b 的夹角为30，2a =，3b =，则b a⋅= .2．已知等边三角形ABC 的边长为1，则⋅= . 3．对于向量和实数，下列命题中真命题是 .①若b a⋅=0，则0a =或0b =；②若0a λ=，则0λ=或0a =；③若22a b =，则a b =或a b =-； ④若c a b a ⋅=⋅，则b c =. 4．下列各式中，不正确的是 . ① ( a +b )2= a 2 +2 a ·b +b 2； ②(a ·b )·c =a ·(b ·c )； ③( a -b )2= a 2 -2 a ·b +b 2；④(a +b )·(a –b )= a 2- b 2.5．若向量,满足1,2a b ==，且,的夹角为3π，则a b += .6．若向量,满足4a b ==，且,的夹角为23π，则)2(b a b +⋅= .7．设向量b a,满足,323,1=-==b a b a 求b a +3= .8．已知,32,3,3===c b a ,0=++c b a且a c c b b a ⋅+⋅+⋅则=____ ．9．已知21,e e 是夹角为60的两个单位向量，2123e e a -=，2132e e b -=，则b a ⋅= .10．若向量,,满足1,2,3a b c ===，且,,两两所成的角相等，++= . 二、解答题：11．已知∣∣=4，∣∣=3.（1）若,的夹角为60°，求(2)(3);a b a b +⋅- （2）若(23)(2)61,a b a b -⋅+=求,的夹角.12. 在平行四边形ABCD 中，已知|AB |=4，|AD |=3， ∠DAB =600. 求:（1）⋅；（2）⋅；(3)⋅ .13．若向量,满足4,3a b ==，且,的夹角为23π，又2,2c a b d a kb =+=+，问.当k取何值时，c d三、作业错误分析及订正：1．填空题错误分析：[错误类型分四类：①审题错误；②计算错误；③规范错误；④知识错误；只有“知识性错误”需要写出相应的知识点.]2．填空题具体订正：_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 3．解答题订正：。

高中新课程数学苏教版必修四2.4.1.1向量的数量积Word版含答案

双基达标 (限时15分钟)1．已知|a |＝3，|b |＝5，且a ·b ＝12，则向量a 在b 方向上的投影为________．解析 |a |·cos θ＝a ·b |b |＝125.答案 1252．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________. 解析 ∵|a |＝2，∴|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12，∴|a ＋2b |＝2 3.答案 2 33．已知|a |＝1，|b |＝2，|c |＝4，a 与c 的夹角为90°，b 与c 的夹角为60°，则(a ＋b )·c ＝________.解析 (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ＝|b ||c |cos 60°＝2×4×12＝4.答案 44．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.解析 (a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝9－25λ2＝0，∴λ＝±35.答案 ±355．已知|a |＝2，|b |＝3，若a ∥b ，则a ·b ＝________；若a ⊥b ，则a ·b ＝________. 解析当a ∥b 时，则a 与b 的夹角为0°或180°；若θ＝0°，则a ·b ＝|a ||b |＝6；若θ＝180°，则a ·b ＝－|a ||b |＝－6.当a ⊥b 时，a ·b ＝0.答案 ±6 06.如图，已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →.解 (1)AB →与AC →的夹角为60°.∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)AB →与BC →的夹角为120°.∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×－12＝－12.(3)BC →与AC →的夹角为60°.∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12. 综合提高 (限时30分钟)7．若向量|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，则|a ＋b |＝________.解析 ∵|a |＝1，|b |＝2，|a －b |＝2，∴a 2－2a ·b ＋b 2＝4，即|a |2－2a ·b ＋|b |2＝4，得1－2a ·b ＋4＝4，∴2a ·b ＝1.于是|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋1＋4＝ 6. 答案 68．下列等式中，其中正确的是________．①|a |2＝a 2；②a ·b a 2＝b a ；③(a ·b )2＝a 2·b 2；④(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.解析 ①|a |2＝a 2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；②a ·b a 2＝|a ||b |cos θ|a |2＝|b ||a |cos θ≠b a ；③(a ·b )2＝(|a ||b |cos θ)2＝|a |2|b |2cos 2θ≠a 2·b 2；④(a ＋b )2＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＋b ·a ＋b 2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.答案 ①④9．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．解析因为(2a ＋b )·b ＝2a ·b ＋b 2＝0∴a ·b ＝－12|b |2，设a 与b 的夹角为θ∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－12|b |2|a ||b |＝－12，∴θ＝120°. 答案 120°10．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为________．解析 ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72，∴|a |＝6，|a |＝－4(舍去)．答案 611．已知向量a 与b 的夹角θ＝120°，且|a |＝4，|b |＝2，求：(1)a ·b ；(2)(a －2b )·(a ＋b )；(3)|3a －4b |.解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝4×2×cos 120°＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4. (2)(a －2b )·(a ＋b )＝a ·(a ＋b )－2b ·(a ＋b )＝|a |2＋a ·b －2a ·b －2|b |2＝|a |2－a ·b －2|b |2＝16－(－4)－2×4＝12.(3)因为(3a －4b )2＝9|a |2－24a ·b ＋16|b |2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，所以|3a －4b |＝(3a －4b )2＝16×19＝419.12．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n－3m 的夹角．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m ·n ＝|m ||n |cos 60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m ·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2＝4×1＋9×1－12m ·n ＝ 4×1＋9×1－12×12＝7，a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.13．(创新拓展)在△ABC 中，AB →＝c ，BC →＝a ，CA →＝b ，且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ，判断△ABC 的形状．解在△ABC 中，易知AB →＋BC →＋CA →＝0，即a ＋b ＋c ＝0，因此a ＋c ＝－b ，a ＋b ＝－c ，从而⎩⎨⎧ (a ＋b )2＝(－c )2(a ＋c )2＝(－b )2，两式相减可得b 2＋2a ·b －c 2－2a ·c ＝c 2－b 2. 因为a ·b ＝c ·a ＝a ·c ，所以2b 2＝2c 2，即|b |＝|c |.同理可得|a |＝|b | ，故|AB →|＝|BC →|＝|CA →|，即△ABC 是等边三角形．。

高一数学苏教版必修四第二章2.4向量的数量积练习

高一数学苏教版必修四第二章2.4向量的数量积练习填空题若非零向量a，b，满足|a＋b|＝|b|，a⊥(a＋λb)，则λ＝________．【答案】2【解析】∵|a＋b|＝|b|，∴|a＋b|2＝|b|2，a2＋2a?b＝0①.又a⊥(a＋λb)，∴a?(a＋λb)＝0，a2＋λa?b＝0②.由①②比较得λ＝2.填空题已知两单位向量e1，e2的夹角为α，且cos α＝.若向量a＝3e1－2e2，则|a|＝__________．【答案】3【解析】∵a2＝(3e1－2e2)2＝9e－12e1?e2＋4e＝9－12×＋4＝9，∴|a|＝3.解答题已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．(1) 求向量b＋c的模的最大值；(2) 若α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．【答案】（1）2（2）见解析【解析】试题分析（1）根据向量加法坐标表示以及向量模的坐标表示可得|b＋c|2＝2(1－cos β)，再根据三角函数有界性可得模的最值（2）由向量垂直可得数量积为零，根据向量数量积坐标表示可得关于β的方程，解得β值，即得cos β的值．试题解析：解：(1) b＋c＝(cos β－1，sin β)，则|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.当cos β＝－1时，|b＋c|取最大值2，∴向量b＋c的模的最大值为2.(2) ∵b＋c＝(cos β－1，sin β)，∴a?(b＋c)＝cos αcos β－cos α＋sin αsin β＝cos(α－β)－cos α.∵a⊥(b＋c)，∴a?(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cos α.又α＝，∴cos＝cos，β－＝2kπ±(k∈Z)，∴β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，∴cos β＝0或cos β＝1.解答题已知a＝(1，2)，b＝(－2，n)，a与b的夹角是45°.(1) 求b；(2) 若c与b同向，且a与c－a垂直，求向量c的坐标．【答案】（1）(－2，6)．（2）(－1，3)【解析】试题分析（1）由向量夹角公式、向量模的坐标表示、向量数量积的坐标表示得关于n的方程，解方程可得n＝6，即得b；（2）由向量平行可设c＝λb(λ>0)，由向量垂直可得数量积为零，根据向量数量积坐标表示可得关于λ的方程，解得λ值，即得向量c的坐标试题解析：解：(1) ∵a?b＝2n－2，|a|＝，|b|＝，∴cos 45°＝＝，∴3n2－16n－12＝0(n>1)，∴n＝6或n＝－(舍去)，∴b＝(－2，6)．(2) 由(1)知，a?b＝10，|a|2＝5.∵c与b同向，故可设c＝λb(λ>0)．∵a与c－a垂直，∴(c－a)?a＝0，∴λb?a－|a|2＝0，∴λ＝＝＝.∴c＝b＝(－1，3)．填空题已知△ABC是正三角形，若a＝－λ与向量的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________________．【答案】(－∞，0)∪(0，2)【解析】因为－λ与向量的夹角为锐角，所以(－λ)?＞0，且－λ与不共线．由(－λ)?＞0及△ABC是正三角形，得||2－λ||?||cos 60°＞0，所以1－λcos 60°＞0，解得λ＜2.若－λ与共线，则存在实数m使－λ＝m，所以m＝1，λ＝0.所以－λ与不共线时，λ≠0.综上，实数λ的取值范围是(－∞，0)∪(0，2)．填空题已知向量a，b满足(2a－b)?(a＋b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a 与b的夹角为________．【答案】【解析】∵(2a－b)?(a＋b)＝6，∴2a2＋a?b－b2＝6.又|a|＝2，|b|＝1，∴a?b＝－1，∴cos θ＝＝－.又0＜θ＜π，∴a 与b的夹角θ＝.填空题若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角θ为120°，则a? (a ＋b)＝________．【答案】2.【解析】∵|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，∴a?b＝|a||b|cos 120°＝－.又a?a＝|a|2＝1，∴a? (a＋b)＝a?a＋a?b＝1－＝.填空题对任意两个非零的平面向量α和β，定义新的运算“?”：α?β＝.若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈，且a?b和b?a都在集合中，则a?b＝__________．【答案】【解析】根据新定义，得a?b＝＝＝cos θ，b?a＝＝＝cos θ.因为a?b和b?a都在集合中，设a?b＝，b?a＝(n1，n2∈Z)，那么(a?b)?(b?a)＝cos2θ＝.又θ∈，所以0<n1n2<2.所以整数n1，n2的值均为1.故a?b＝＝.填空题在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB＝1，EF＝，CD＝.若＝15，则＝__________．【答案】13【解析】2＝＋，平方并整理得?＝2，即?(－)＝?－?＝2①.由?＝15，得?(－)＝?－?＝15②，②－①，得?＝?(－)＝13.填空题给出下列命题：①0?a＝0；②a?b＝b?a；③a2＝|a|2；④(a?b)?c＝a?(b?c)；⑤|a?b|≤a?b.其中正确的命题是________．(填序号)【答案】②③【解析】②③显然正确；因为(a?b)?c 与c共线，而a?(b?c)与a 共线，故④错误；a?b可能是负数，故⑤错误；对于①0?a等于0，不等于零向量，故①也是错误的．填空题已知a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，且(a＋b)⊥(a－b)，则m 的值是________．【答案】－2【解析】a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－2－m)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴m(m＋2)－(m－4)(m＋2)＝0，∴m＝－2点睛;(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加减乘：解答题已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°.(1) 计算：①|a＋b|，②|4a－2b|；(2) 当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?【答案】（1）①4.②16（2）k＝－7【解析】试题分析（1）①将式子先平方，转化为向量数量积，根据向量数量积定义求值，最后开方，②将式子先平方，转化为向量数量积，根据向量数量积定义求值，最后开方（2）由向量垂直得数量积为零，根据多项式法则展开向量，根据向量数量积定义求值，得关于k的关系式，解方程可得k值试题解析：解：由已知得a?b＝4×8×＝－16.(1) ①∵|a＋b|2＝a2＋2a?b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48，∴|a＋b|＝4.②∵|4a－2b|2＝16a2－16a?b＋4b2＝16×16－16×(－16)＋4×64＝768，∴|4a－2b|＝16.(2) ∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)?(ka－b)＝0，ka2＋(2k－1)a?b－2b2＝0，即16k－16(2k－1)－2×64＝0，∴k＝－7.即k＝－7时，a＋2b与ka－b垂直．填空题已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ＝__________．【答案】【解析】∵⊥，∴?＝(λ＋)?(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)?＝0，即－λ×9＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.。

高中数学 2.4向量的数量积练习(含解析)苏教版必修4

2．4 向量的数量积前面我们学习过向量的加减法，实数与向量的乘法，知道a＋b，a－b，λa(λ∈R)仍是向量，大家自然要问：两个向量是否可以相乘？相乘后的结果是什么？是向量还是数？1．已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量________叫做a与b的数量积，记作____________，即________________．答案：|a||b|cos θa·b a·b＝|a||b|cos θ2．两非零向量a与b的夹角为θ，a在b方向上的投影为________，b在a方向上的投影是________，a·b的几何意义为__________________________________________________________．当θ为________时，b在a上投影为正；当θ为________时，b在a上的投影为负；当θ为________时，b在a上的投影为零．答案：|a|cos θ|b|cos θa的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的积锐角钝角90°3．a，b同向时，a·b＝______，当a与b反向时，a·b＝________，特别地a·a＝________．答案：|a||b| －|a||b| |a|24．|a·b|与|a|·|b|的大小关系是________．答案：|a·b|≤|a|·|b|5．向量数量积的运算律为a·b＝________；(λa)·b＝________＝________；(a＋b)·c＝________．答案：b·aλ(a·b) a·(λb) a·c＋b·c6．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝________．答案：x 1x 2＋y 1y 27．如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，那么|a |＝________________________________________，这是平面内两点间的距离公式．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）28．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________．答案：x 1x 2＋y 1y 2＝09．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 、b 的夹角为θ，则有cos θ＝________________．答案：x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，我们把|a ||b |cos θ叫做向量a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ(0≤θ≤π)．其中|a |cos θ(|b |cos θ)叫做向量a 在b 方向上(b 在a 方向上)的投影．特别提示：(1)当0≤θ＜π2时，cos θ＞0，从而a ·b ＞0；当π2＜0≤π时，cos θ＜0，从而a ·b ＜0；当θ＝π2时，cos θ＝0，从而a ·b ＝0.(2)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．数量积的性质及运算律 1．数量积的重要性质．设a 与b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与e 的夹角． (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ； (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |；特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a ＝a 2，a ·a 也可记作a 2. (4)|a ·b |≤|a |·|b |. 2．数量积的运算律．已知a ，b ，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1)a ·b ＝b ·a (交换律)；(2)(λa )·b ＝a ·(λb )＝λ(a ·b )＝λa ·b (数乘结合律)； (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)．说明：(1)当a ≠0时，由a ·b ＝0不能推出b 一定是零向量．这是因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有a ·b ＝0.(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0)，则ab ＝bc ⇒a ＝c .但对向量的数量积，该推理不正确，即a ·b ＝b ·c 不能推出a ＝c .由图很容易看出，虽然a ·b ＝b ·c ，但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c ，有(a ·b )c ＝a (b ·c )；但对于向量a 、b 、c 而言，(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量，而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量，而c 与a 不一定共线，所以(a ·b )c ＝a (b ·c )未必成立．向量的模设a ＝(x ，y )，|a |2＝a ·a ＝(x ，y )·(x ，y )＝x 2＋y 2，故|a |＝x 2＋y 2，即向量的长度(模)等于它的坐标平方和的算术平方根．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.即得平面上两点间的距离公式，与解析几何中的距离公式完全一致．向量的夹角设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其夹角为θ，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2或a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 21＋y 21 x 22＋y 22cos θ，故cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22，当θ＝90°时，cos θ＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.基础巩固1．i ，j 是互相垂直的单位向量，a 是任一向量，则下列各式不成立的是( ) A ．a ·a ＝|a |2B ．i ·i ＝1C ．i ·j ＝0D ．a ·j ＝a 答案：D2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB →·AC →等于( ) A ．－16 B ．－8 C ．8 D ．16解析：∵∠C ＝90°，∴AC →·CB →＝0.∴AB →·AC →＝()AC →＋CB →·AC →＝()AC →2＋AC→·CB →＝16，故选D.答案：D3．已知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，则(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2)＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－92 D ．－232解析：∵|e 1|＝|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°， ∴(2e 1－e 2)·(－3e 1＋2e 2) ＝－6e 21＋7e 1·e 2－2e 22 ＝－6＋72－2＝－92.故选C. 答案：C4．若a ∥b ，a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )A ．4B ．3C ．2D ．0解析：∵a ∥b ，a ⊥c ，∴c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋c ·2b ＝0＋0＝0，故选D. 答案：D5．(2014·湖北卷)若向量OA →＝(1，－3)，|OA →|＝|OB →|，OA →·OB →＝0，则|AB →|＝________．解析：先判断△AOB 是等腰三角形，再计算斜边长．由题意，并可知△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，且腰长|OA →|＝|OB →|＝10，由勾股定理得|AB →|＝20＝2 5.答案：256．已知A (－1，1)，B (1，2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12，则AB →·AC →等于________．答案：1527．设单位向量m ＝(x ，y )，b ＝(2，－1)．若m⊥b ，则|x ＋2y |＝________．答案：58．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b 等于________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，329．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则a 与b 的夹角是________．答案：150°10．定义|a ×b |＝|a |·|b |sin θ，其中θ为向量a 与b 的夹角，若|a |＝2，|b |＝5，a ·b ＝－6，求|a ×b |.解析：∵a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×5×cos θ＝－6，∴cos θ＝－35.又∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝45.∴|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝2×5×45＝8.能力升级11．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是________．解析：由于(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧（a －2b ）·a ＝0，（b －2a ）·b ＝0，整理得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a ·b ，b 2＝2a ·b .又∵cos a ，b＝a ·b |a ||b |＝a ·b 2a ·b ·2a ·b ＝12， ∴a 与b 成的夹角为π3.答案：π312．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是________．解析：方程有实根，∴Δ＝|a |2－4a ·b ≥0，|a |2－4|a |·|b |cos 〈a ，b 〉≥0. ∴cos 〈a ，b 〉≤12.∴〈a ，b 〉∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π13．已知a ·b ＝0，|a |＝2，|b |＝3，且(3a ＋2b )⊥(ka －b )，则实数k 的值为________．解析：由(3a ＋2b )·(ka －b )＝3k |a |2－3a ·b ＋2ka ·b －2|b |2＝0得12k －18＝0，所以k ＝32.答案：3214．(2014·湖北卷)设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________．解析：通过向量的线性运算列方程求解．由题意得，(a ＋λb )·(a －λb )＝0，即a 2－λ2b 2＝18－2λ2＝0，解得λ＝±3. 答案：±315．已知|a |＝13，|b |＝19，|a ＋b |＝24，则|a －b |＝________．解析：∵|a |＝13，|b |＝19，∴|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝a ＋2a ·b ＋b 2＝242.∴2a ·b ＝242－132－192＝46.∴|a －b |2＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝484.∴|a －b |＝22.答案：2216．已知|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7，且a ＋b ＋c ＝0，则a ，b 的夹角 θ＝________.解析：∵|a |＝3，|b |＝5，|c |＝7，且a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c .∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝c 2.∴9＋2×3×5×cos θ＋25＝49. ∴cos θ＝12.∴θ＝60°.答案：60°17．已知向量a ，b ，c 两两所成的角相等且均为120°.且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝1，求向量a ＋b ＋c 的长度．解析：由已知向量a ，b ，c 两两所成的角相等，均为120°，且|a |＝2，|b |＝3，|c |＝1.∴a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－3，b ·c ＝|b ||c |cos 120°＝－32， a ·c ＝|a ||c |cos 120°＝－1.∴|a ＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝4＋9＋1－6－3－2＝3.∴|a ＋b ＋c |＝ 3.18．已知a 、b 是非零向量，当a ＋tb (t ∈R)的模取最小值时． (1)求t 的值；(2)求证：b ⊥(a ＋tb )．(1)解析：|a ＋tb |＝（a ＋tb ）2＝a 2＋t 2b 2＋2ta ·b ＝ |a |2＋|b |2t 2＋2a ·bt ＝|b |2t 2＋2a ·bt ＋|a |2，当t ＝－2a ·b 2|b |2＝－a ·b|b |2时，|a ＋tb |有最小值．故|a ＋tb |取最小值时，t ＝－a ·b|b |2. (2)证明：∵b ·(a ＋tb )＝b ·a ＋tb 2＝a ·b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ·b |b |2·|b |2＝a ·b －a ·b ＝0，∴b ⊥(a ＋tb )．19．已知a 为非零向量，向量a 与b 的夹角为120°，向量a －3b 与向量7a ＋5b 互相垂直，问：是否存在实数λ，使得向量a －4b 与向量λa －b 互相垂直？解析：∵(a －3b )⊥(7a ＋5b )，∴(a －3b )·(7a ＋5b )＝0. 即：7|a |2－15|b |2－16a ·b ＝0.①假设λ存在，则由(a －4b )⊥(λa －b )得：(a －4b )·(λa －b )＝0，即：λ|a |2＋4|b |2－(1＋4λ)a ·b ＝0.② 又a ·b ＝－12|a ||b |，③令|a |＝|b |，联立①、②、③得：⎝⎛⎭⎪⎫λ＋4＋1＋4λ2|a |2＝0. ∵a ≠0，∴|a |>0.∴λ＋4＋1＋4λ2＝0，即λ＝－32.故存在实数λ＝－32，满足条件．20．已知△ABC 是边长为2的正三角形，设BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，求AD →·BE →.解析：∵BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，∴AD →·BE →＝(AB →＋BD →)·(BC →＋CE →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →·⎝ ⎛⎭⎪⎫BC →＋13CA →＝AB →·BC →＋13AB →·CA →＋12BC →2＋16BC →·CA →＝－BA →·BC →－13AB →·AC →＋12BC →2－16CB →·CA →＝－2×2×cos 60°－13×2×2×cos 60°＋12×22－16×2×2×cos 60°＝－2－23＋2－13＝－1.。

数学苏教版必修四同步课堂精练-2.4 向量的数量积 Word版含答案

．已知＝，在方向上的投影是，则·＝.．在△中，是的中点，＝，点在上且满足，则等于．．已知，，是三个非零向量，则下列结论正确的个数是．①(＋)·＝·＋·②若·＝·，则＝③(λ)·＝·(λ)＝λ(·)(λ∈)④(·)·＝·(·)⑤＝，则＝或＝－．已知，是夹角为的两个单位向量，＝－，＝＋，若·＝，则的值为．．已知向量，满足(＋)·(－)＝－，且＝，＝，则与的夹角为．．已知，，，点在△内，且∠＝°，设(，∈)，则＝.．已知，，是坐标平面上的三点，其坐标分别为()，()，(，－)，求：和∠的大小，并判断△的形状．．已知，.()求证：⊥；()若存在不同时为的实数和，使＝＋(－)，＝－＋，且⊥，试求函数关系式＝()；()在()的结论中，求的最小值．.如图所示，已知，，，设是直线上的一点(其中点为坐标原点)．()求使取最小值的；()对()中求出的点，求∠的余弦值．参考答案.答案：解析：由数量积的几何意义知，..答案：解析：由题知为△重心，则.则..答案：解析：只有①③正确．∵·＝·⇒·－·＝(－)＝⇒⊥(－)，或＝，∴②不正确．∵·，·都是实数，(·)·与向量方向相反或相同，·(·)与向量方向相同或相反，而与不一定共线，即使共线，·，·是不等实数时，(·)·与·(·)也不一定相等，∴④不正确．∵＝＝＝，∴＝与不一定共线．∴⑤不正确．.答案：解析：由题意知，，∴..答案：解析：∵(＋)·(－)＝－，∴＋·－＝－，∴＋·－×＝－，∴·＝.，∴..答案：解析：.①.②由，得，∴..解：∵，，∴.∴.又∵.。

第2章2.4向量的数量积(二) 作业 Word版含解析苏教版必修4数学

[学业水平训练]1．已知a ＝(3，x )，|a |＝5，则x ＝________．解析：由题意知，|a |＝9＋x 2＝5.∴x ＝±4.答案：±42．若向量a ＝(3，m )，b ＝(2，－1)，a ·b ＝0，则实数m 的值为________．解析：由题意知6－m ＝0，∴m ＝6.答案：63．若向量a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝__________．解析：∵a ＝(1，1)，b ＝(2，5)，∴8a －b ＝(8，8)－(2，5)＝(6，3)．又∵(8a －b )·c ＝30，∴(6，3)·(3，x )＝18＋3x ＝30.∴x ＝4.答案：44．已知向量a ＝(2，1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.解析：∵|a ＋b |＝52，∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.答案：55.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝2，则AE →·BF →＝________. 解析：法一：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则A (0，0)，B (2，0)，E (2，1)，F (x ，2)．故AB →＝(2，0)，AF →＝(x ，2)，AE →＝(2，1)，BF →＝(x －2，2)，∴AB →·AF →＝(2，0)·(x ，2)＝2x .又AB →·AF →＝2，∴x ＝1.∴BF →＝(1－2，2)．∴AE →·BF →＝(2，1)·(1－2，2)＝2－2＋2＝ 2.法二：设DF →＝xAB →，则CF →＝(x －1)AB →.AB →·AF →＝AB →·(AD →＋DF →)＝AB →·(AD →＋xAB →)＝xAB →2＝2x ，∴x ＝22. ∴BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋(22－1)AB →. ∴AE →·BF →＝(AB →＋BE →)·[BC →＋(22－1)AB →] ＝(AB →＋12BC →)[BC →＋(22－1)AB →] ＝(22－1)AB →2＋12BC 2→＝(22－1)×2＋12×4＝ 2. 答案：26．设向量a ＝(1，2)，b ＝(x, 1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于__________．解析：a ＋2b ＝(1＋2x ，4)，2a －b ＝(2－x ，3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1，2)·(12，1)＝1×12＋2×1＝52. 答案：527.(2014·大连高一检测)已知a ＝(1，2)，b ＝(－3，2)，当k 为何值时：(1)k a ＋b 与a －3b 垂直？(2)k a ＋b 与a －3b 平行？平行时它们同向还是反向？解：(1)k a ＋b ＝k (1，2)＋(－3，2)＝(k －3，2k ＋2)，a －3b ＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．当(k a ＋b )·(a －3b )＝0时，这两个向量垂直．由(k －3)×10＋(2k ＋2)×(－4)＝0.解得k ＝19，即当k ＝19时，k a ＋b 与a －3b 垂直．(2)当k a ＋b 与a －3b 平行时，存在惟一的实数λ，使k a ＋b ＝λ(a －3b )．由(k －3，2k ＋2)＝λ(10，－4)，得：⎩⎪⎨⎪⎧k －3＝10λ，2k ＋2＝－4λ.解得⎩⎨⎧k ＝－13，λ＝－13. 所以当k ＝－13时，k a ＋b 与a －3b 平行，因为λ＜0，所以k a ＋b 与a －3b 反向．8．已知a ＝(2，－3)，求与a 垂直的单位向量的坐标．解：设单位向量为e ，其坐标为(x ，y )．根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝0，x 2＋y 2＝1，解得⎩⎨⎧x 1＝31313y 1＝21313或⎩⎨⎧x 2＝－31313y 2＝－21313，所以e ＝(31313，21313)或(－31313，－21313)． [高考水平训练]1．已知向量OA →＝(2，2)，OB →＝(4，1)，在x 轴上有一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P的坐标是__________．解析：设点P 的坐标为(x ，0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1).AP →·BP →＝(x －2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1，此时点P 的坐标为(3，0)．答案：(3，0)2.如果向量a 与b 的夹角为θ，那么我们称a ×b 为向量a 与b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它的长度为|a ×b |＝|a |·|b |sin θ.如果|a |＝5，|b |＝1，a ·b ＝－3，则|a ×b |＝________．解析：由于a ·b ＝|a ||b |cos θ＝－3，所以cos θ＝－35. 又因为θ为向量a 与b 的夹角，所以sin θ＝45，所以|a ×b |＝|a ||b |sin θ＝4.答案：43.已知a ＝(3，－1)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，32，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y ＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t 的最小值．解：由已知得|a |＝（3）2＋（－1）2＝2，|b |＝⎝⎛⎭⎫12＋⎝⎛⎭⎫322＝1， a·b ＝3×12－1×32＝0.∵x ⊥y ，∴x·y ＝0， ∴[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0.化简得k ＝t 3－3t 4， ∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74，即当t ＝－2时，k ＋t 2t 有最小值－74. 4．已知c ＝m a ＋n b ＝(－23，2)，a 与c 垂直，b 与c 的夹角为120°，且b ·c ＝－4，|a |＝22，求实数m ，n 的值及a 与b 的夹角θ.解：∵a 与c 垂直，∴a ·c ＝0.又∵c ＝m a ＋n b ，∴c ·c ＝m a ·c ＋n b ·c ，∴12＋4＝－4n ，∴n ＝－4.∵b ·c ＝|b ||c |cos 120°，∴－4＝|b |×4×(－12)，∴|b |＝2. 又a ·c ＝m a 2－4a ·b ，|a |＝22，∴a ·b ＝2m .又b ·c ＝m (a ·b )－4b 2，∴－4＝2m 2－16，∴m 2＝6，∴m ＝± 6.当m ＝6时，a ·b ＝2 6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝2622×2＝32，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π6. 当m ＝－6时，a ·b ＝－2 6. ∴cos θ＝－32，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝5π6. 因此m ＝6，n ＝－4时，θ＝π6；m ＝－6，n ＝－4时，θ＝5π6.。

高中数学苏教版必修四练习：第2章 2.4 课时训练18 向量的数量积

2.4向量的数量积第1课时向量的数量积课时训练18向量的数量积基础夯实1.已知|a|=2,|b|=5,a·b=-3,则|a+b|等于()B.29C.D.★答案★C解析由|a+b|2=a2+2a·b+b2=4+25-6=23得|a+b|=.2.设非零向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则a与b的夹角θ等于()B.90°C.60°D.30°★答案★A解析由c=a+b,|a|=|b|=|c|,得|a|2=|b|2=|a+b|2,即a2=b2=a2+2a·b+b2.从而2a·b=-a2,cosθ=-,θ=120°.3.导学号51820129已知a,b,c是三个非零向量,则下列结论正确的个数是()①(a+b)·c=a·c+b·c;②若a·b=a·c,则b=c;③(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)(λ∈R);④(a·b)·c=a·(b·c);⑤若a2=b2,则a=b或a=-b.A.4B.3D.1★答案★C解析只有①③正确.∵a·b=a·c⇒a·b-a·c=a·(b-c)=0⇒a⊥(b-c),或b=c,∴②不正确.∵a·b,b·c都是实数,(a·b)·c与向量c方向相反或相同,a·(b·c)与向量a方向相同或相反,而a与c不一定共线,即使共线,a·b,b·c是不等实数时,(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等,∴④不正确.∵|a|2=a2=b2=|b|2,∴|a|=|b|.a与b不一定共线.∴⑤不正确.4.已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为()B. C. D.★答案★B解析∵(a+2b)·(a-b)=-6,∴a2+a·b-2b2=-6.∴1+a·b-2×4=-6.∴a·b=1.设a与b的夹角为θ,则cosθ=,∴θ=.a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=.★答案★3解析∵a,b的夹角为45°,|a|=1,∴a·b=|a|×|b|cos45°=|b|,|2a-b|2=4-4×|b|+|b|2=10.∴|b|=3.6.导学号51820130(2016·广东揭阳惠来一中检测)已知A,B,C的坐标分别为C(cos α,sin α),α∈.若,O为坐标原点,则角α的值是.★答案★解析=(-3,3),=(cosα,sinα).∵,∴-3sinα-3cosα=0,∴tanα=-1.∵α∈,∴α=.|a|=5,|b|=4,且a与b的夹角为60°,则当k为何值时,向量k a-b与a+2b垂直?解∵(k a-b)⊥(a+2b),∴(k a-b)·(a+2b)=0,k a2+(2k-1)a·b-2b2=0,k×52+(2k-1)×5×4×cos60°-2×42=0.∴k=,即k=时,向量k a-b与向量a+2b垂直.能力提升8.已知|a|=1,|b|=,a+b=(,1),试求:a-b|;(2)a+b与a-b的夹角.解(1)∵a+b=(,1),|a|=1,|b|=,∴|a+b|2=a2+2a·b+b2,即4=1+2a·b+3.∴a·b=0.又|a-b|===2,∴|a-b|=2.(2)设a+b与a-b的夹角为θ,则cosθ===-,而θ∈0°,180°],∴θ=120°.9.导学号51820131(1)已知|a|=2,|b|=3,a·b=-3,求a与b的夹角;|a|=,|b|=3,a和b的夹角为45°,求当向量a+λb与a+b的夹角为锐角时λ的取值范围.解(1)设a与b的夹角为θ,cosθ==-.因为0°≤θ≤180°,所以θ=120°.(2)因为向量a+λb与a+b的夹角为锐角,所以(a+λb)·(a+b)=a2+(1+λ)a·b+λb2=12λ+5>0.由此解得λ>-.若向量a+λb与a+b同向,则存在唯一的正数k,使得a+λb=k(a+b)成立,有k=λ=1.要保证向量a+λb与a+b不同向,则必须λ≠1.综上所述,当λ>-且λ≠1时,向量a+λb与a+b的夹角为锐角.。

苏教版高中数学必修4§2.4 向量的数量积(一)

§2.4 向量的数量积(一)课时目标1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做________________．当θ＝0°时，a 与b ________；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作________．2．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量____________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，其中θ是a与b的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为________．(3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向上的投影是________，向量b在a方向上的投影是________．3．数量积的几何意义a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影________的乘积．4．向量数量积的运算律(1)a·b＝________(交换律)；(2)(λa)·b＝________＝________(结合律)；(3)(a＋b)·c＝________(分配律)．一、填空题1．|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影为________．2．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ＝________.3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|＝________.4．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________． 6．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________． 7．给出下列结论：①若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；②若a ·b ＝b ·c ，则a ＝c ；③(a ·b )c ＝a (b ·c )；④a ·[b (a ·c )－c (a ·b )]＝0.其中正确结论的序号是________．8．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________.9．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为________．10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．二、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ； (3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.能力提升13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一个与c 共线的向量，而(a·c)·b＝|a|·|c|cos〈a，c〉·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．3．向量b在a上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a在b方向上的射影与b在a方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§2.4 向量的数量积(一)知识梳理1．a与b的夹角同向a⊥b2．(1)|a||b|cosθ(2)0 (3)|a|cosθ|b|cosθ3．|b|cosθ4．(1)b·a(2)λ(a·b) a·(λb) (3)a·c＋b·c作业设计1．－1解析a在b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1.2.32解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32.3．2 2解析 |2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2.4．－32解析 a ·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos60°＝－12.同理b ·c ＝－12，c ·a ＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32.5．120°解析由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∴θ＝120°.6．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋|b |2＝2×4×4×cos120°＋42＝0. 7．④解析因为两个非零向量a 、b 垂直时，a ·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a ·b ＝b ·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a ·b )c 与c 共线，a (b ·c )与a 共线，故③不正确； ④正确，a ·[b (a ·c )－c (a ·b )] ＝(a ·b )(a ·c )－(a ·c )(a ·b )＝0. 8．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°. 9．6解析 ∵a ·b ＝|a|·|b |·cos60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b＝|a |2－2|a |－96＝－72. ∴|a |＝6. 10．[0,1]解析 b ·(a －b )＝a ·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ(θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]， ∴0≤|b |≤1.11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos0°＝12. 若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°， ∴a ·b ＝|a||b |cos180°＝4×3×(－1)＝－12. (2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°， ∴a ·b ＝|a||b |cos90°＝4×3×0＝0. (3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a ·b ＝|a||b |cos60°＝4×3×12＝6.12．解 a ·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.13．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos120°－12＝12.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1. ∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12.∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12.14．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m ·n ＝|m||n |cos60°＝1×1×12＝12.|a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m ·n＝4×1＋1＋4×12＝7，|b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m ·n＝4×1＋9×1－12×12＝7，a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b |＝－727×7＝－12.又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.。

苏教版数学高一-苏教数学必修4【过关训练】2.4向量的数量积(二)

2.4 向量的数量积(二)一、填空题1．设|a |＝3，|b |＝5，且a ＋λb 与a －λb 垂直，则λ＝________.2．若|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则向量a 与b 的夹角为________．3．已知向量a ，b 的夹角为120°，|a |＝1，|b |＝5，则|3a －b |＝________.4．在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝________.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)＝______.6．若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －⎝⎛⎭⎫a ·a a ·b b ，则向量a 与c 的夹角为________． 7．已知向量a ≠e ，|e |＝1，对任意t ∈R ，恒有|a －t e |≥|a －e |，则________． ①a ⊥e ②a ⊥(a －e ) ③e ⊥(a －e )④(a ＋e )⊥(a －e )8. 在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则OA →·(OB →＋OC →)的最小值是________．二、解答题9．已知非零向量a ，b ，满足|a |＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a ·b ＝12. (1)求向量a ，b 的夹角；(2)求|a －b |.10．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角．11．已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围．三、探究与拓展12．已知非零向量a ，b ，且a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直，求a 与b 的夹角．答案1．±35 2.120° 3.7 4.－32 5.－49 6.π2或(90°) 7．③ 8．－29．解 (1)∵(a －b )·(a ＋b )＝12， ∴a 2－b 2＝12，即|a |2－|b |2＝12；又|a |＝1，∴|b |＝22.∵a ·b ＝12， ∴|a |·|b |cos θ＝12，∴cos θ＝22， ∴向量a ，b 的夹角为45°.(2)∵|a －b |2＝(a －b )2＝|a |2－2|a ||b |cos θ＋|b |2＝12， ∴|a －b |＝22. 10．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 的夹角是60°，∴m·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m·n ＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m·n ＝4×1＋9×1－12×12＝7， a·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3. 11．(1)证明因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 之间的夹角均为120°，所以(a －b )·c ＝a·c －b·c ＝|a||c |cos 120°－|b||c |cos 120°＝0，所以(a －b )⊥c .(2)解因为|k a ＋b ＋c |>1，所以(k a ＋b ＋c )2>1，即k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a·b ＋2k a·c ＋2b·c >1，所以k 2＋1＋1＋2k cos 120°＋2k cos 120°＋2cos 120°>1. 所以k 2－2k >0，解得k <0，或k >2. 所以实数k 的取值范围为k <0，或k >2.12．解由向量垂直得⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋3b )·(7a －5b )＝0(a －4b )·(7a －2b )＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧7a 2＋16a ·b ＝15b 27a 2－30a ·b ＝－8b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a ·b ＝12|b |2|a |＝|b |， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12|b |2|b |2＝12， ∴a 与b 的夹角为π3.。

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随堂练习：向量的数量积（2）1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝3，且|2a＋b|＝7，则a与b的夹角θ为2．已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的值为。

3．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则AP·(PB ＋PC)等于4．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝|b|＝1，c与a＋b同向，则|a－c|的最小值为5．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC 的形状为________．6．已知|a|＝6，a与b的夹角为π3，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72.则|b|＝________.7．在△ABC中，C＝90°，CB＝3，点M满足BM＝2MA，则CM·CB＝________.8．已知非零向量a，b，满足a⊥b，且a＋2b与a－2b的夹角为120°，则|a||b|＝________.9．已知|a|＝1，a·b＝12，(a－b)·(a＋b)＝12.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.10．已知a ，b 均是非零向量，设a 与b 的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a ＋b |＝3|a －b |成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．答案1.解析：∵|2a ＋b |2＝4＋9＋4a·b ＝7，∴a·b ＝－32，cos θ＝a·b |a ||b |＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3. 答案：θ＝2π3. 2.解析：∵c·d ＝0，∴(2a ＋3b )·(ka －4b )＝0，∴2ka 2－8a·b ＋3ka·b －12b 2＝0，∴2k ＝12，∴k ＝6.答案：63.解析：∵AM ＝1，且AP ＝2PM ，∴|AP |＝23. 如图，AP ·(PB ＋PC )＝AP ·2PM ＝AP ·AP ＝AP 2＝(23)2＝49. 答案：494．解析：∵|a |＝|b |＝1，c 与a ＋b 同向，∴a 与c 的夹角为60°.又|a －c |＝a 2－2a·c ＋c 2＝1－|c |＋|c |2＝ (|c |－12)2＋34故|a －c |min ＝32.答案：325.解析：OB ＋OC －2OA ＝OB －OA ＋OC －OA ＝AB ＋AC ，OB －OC ＝CB ＝AB －AC ，于是|AB ＋AC |＝|AB －AC |，所以|AB ＋AC |2＝|AB －AC |2，即AB ·AC ＝0，从而AB ⊥AC .答案：直角三角形6.解析：由已知，a 2－a ·b －6b 2＝－72，∴|a |2－|a ||b |cos π3－6|b |2＝－72，即2|b |2＋|b |－36＝0.∴(2|b |＋9)(|b |－4)＝0.∵|b |≥0，∴|b |＝4.答案：47.解析：∵CM ＝CB ＋BM＝CB ＋23BA ＝CB ＋23(CA －CB ) ＝23CA ＋13CB ，又C ＝90°，AC ·CB ＝0， ∴CM ·CB ＝(23CA ＋13CB )·CB ＝13CB 2＝3. 答案：38.解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ，∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2.∴cos 120°＝(a ＋2b )·(a －2b )|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2(a 2＋4b 2)2 ＝a 2－4b 2a 2＋4b2＝－12. ∴a 2b 2＝43.∴|a ||b |＝233. 答案：2339.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1， ∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12， ∴|b |＝22. ∴cos θ＝a·b |a ||b |＝121×22＝22. 又θ∈[0，π]，∴θ＝π4，故a 与b 的夹角为π4. (2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝102. 10.解：假设存在满足条件的θ，∵|a ＋b |＝3|a －b |，∴(a ＋b )2＝3(a －b )2. ∴|a |2＋2a·b ＋|b |2＝3(|a |2－2a·b ＋|b |2)．∴|a |2－4a·b ＋|b |2＝0.∴|a |2－4|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧cos θ>0，Δ＝(4|b |cos θ)2－4|b |2≥0，解得cos θ∈[12，1]．又∵θ∈[0，π]， ∴θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3. 故当θ∈⎣⎡⎦⎤0，π3时， |a ＋b |＝3|a －b |成立．。

2019-2020学年高一数学苏教版必修4同步练习：2.4 向量的数量积 Word版含答案

2.4 向量的数量积1、在四边形ABCD 中,(1,2),(4,2)AC BD ==-,则该四边形的面积为( )B.C.5D.102、已知,a b 是非零向量,且满足(2),(2)a b a b a b -⊥-⊥,则a 与b 的夹角是( ) A.π6B.π3C.2π3 D.5π63、若向量()()1,2,1,1a b ==-,则2a b +与a b -的夹角等于( ) A. 4π- B.6π C. 4πD. 34π4、已知向量,a b 的夹角为120,1a b ==,c 与1a b +=共线,则a c +的最小值为( ) A. 1B. 12C. 34D.25、在ABC ∆中,若2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅,则ABC ∆是( ) A.等边三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形6、若向量a 与b 的夹角为, ()()4,2?372b a b a b =+-=-,则向量a 的模为( ) A.2 B.4 C.6 D.127、已知a 与b 均为单位向量,它们的夹角为60,那么a 3b += ( )A.B.C.D. 48、1,2,a b c a b ===+且c a ⊥,则a 与b 的夹角为( ) A. 30 B. 60 C. 120D. 1509、若向量,,a b c 满足a b 且a c ⊥,则()2c a b ⋅+= ( ) A.4 B.3 C.2 D.010、已知6a =,3b =,12a b ⋅=-,则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A. 4- B. 4 C. 2- D. 211、如图,在矩形ABCD 中,2AB BC ==,点E 为BC 的中点,点F 在边CD 上,若2AB AF ⋅=则AE BF ⋅的值是__________.12、设向量,a b ,不平行,向量a b λ+与2a b +平行,则实数λ=__________. 13、设()()()1,2,3,1,1,1a b c =-==-则()()a b a c +⋅-等于__________14、已知O 是坐标原点,A B 是坐标平面上的两点,且向量()()1,2,3,.OA OB m =-=若AOB ∆是直角三角形,则m =__________15、已知平面上三个向量,,a b c 的模均为1,它们相互之间的夹角均为120︒. (1)求证:()a b c -⊥;(2)若1(R)ka b c k ++>∈,求k 的取值范围.答案以及解析1答案及解析：答案：C解析：(1,2)(44)0AC BD ⋅=⋅-+=,所以AC BD ⊥.所以11522S AC BD =⋅=.2答案及解析：答案：B解析：设a 与b 的夹角为θ,由题意有22a a b =⋅,22b a b =⋅,则a b =,则22112cos 2aa b a b aθ⋅===. 又[0,π]θ∈,则π3θ=.3答案及解析：答案：C解析：()()()221,21,13,3.a b +=+-=()()()()()1,21,10,3,2?9a b a b a b -=--=+-=, 23,3a b a b +=-=,设所求两向量夹角为α,则cos α==所以4πα=4答案及解析：答案：D 解析：∵1a b ==,c 与a b +共线. ∴a 与c 的夹角为60或120.当60θ=︒时22221321a c a a c c c c c ⎛⎫+=+⋅+=++=++ ⎪ 1mina c∴+=当120θ=时, 22131a c c c c ⎛⎫+=-+=-+ ⎪min32a c∴+=5答案及解析：答案：D解析：由2AB AB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅, 得2-=AB AB AC BA BC AC BC ⋅⋅+⋅, 即AB CB BC BC ⋅=⋅,得0AC CB ⋅=,2C π∠=,选D 项.6答案及解析：答案：C 解析：由题意知1·232a b a b cos a b a π===,()()22222?3?626472a b a b a a b b a a +-=--=--⨯=-6a ∴=7答案及解析：答案：C 解析：222369a b a a b b +=+⋅+16 60913cos =+⨯︒+=,所以313a b +=8答案及解析：答案：C 解析：c a ⊥,设a 与b 的夹角为θ,则()·0a b a +=,所以20a a b +⋅=, 所以2 0a a b cos θ+=,则12 0cos θ+=,所以12cos θ=-,所以120.θ=︒9答案及解析：答案：D解析：解法一:由题意得0a b b c ⋅=⋅=, 所以()220c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅=, 故选D. 解法二:∵a b ,()2a ba ∴+.又∵a c ⊥,()2a b c ∴+⊥, 故()20c a b ⋅+=,故选D.10答案及解析：答案：A解析：设a 与b 的夹角为θ,因为a b ⋅为向量b 的模与向量a 在向量b 方向上的投影的乘积,而2cos 3a ba b θ⋅==-,所以2cos 643a θ⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭.11答案及解析：解析：解法一:以A 为原点,AB 所在直线为x 轴,AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设(,2)F x , ∴(,2)AF x =,(2,0)AB =,∴2AB AF x ⋅==∴1x =, ∴(1,2)F ,∴()1BF =. ∵点E 为BC 的中点,∴E , ∴()2,1AE =,∴2AE BF ⋅=解法二:∵cos AB AF AB AF BAF ⋅=∠=2AB =∴cos 1AF BAF ∠=,即1DF =, ∴21CF =,()()AE BF AB BE BC CF ⋅=+⋅+ AB BC AB CF BE BC BE CF =⋅+⋅+⋅+⋅ AB CF BE BC =⋅+⋅)()11121=⨯-+⨯⨯=12答案及解析：答案：12解析：因为a b λ+与2a b +平行,所以存在实数μ,使()2,a b a b λμ+=+即()()120a b λμμ-+-= ,由于,a b 不平行,所以0{120λμμ-=-= ,解得12λ=.13答案及解析：答案：11解析：()()4,1,2,3a b a c +=--=- ∴()()()()24+1311a b a c +⋅-=⨯-⨯-=14答案及解析：答案：32或4 解析：15答案及解析：答案：(1)因为1a b c ===，且,,a b c 之间的夹角均为120︒，所以()cos120cos1200a b c a c b c a c b c -⋅=⋅-⋅=︒-︒=. 所以()a b c -⊥. (2)因为1ka b c ++>，所以2()1ka b c ++>，即22222221k a b c ka b ka c b c +++⋅+⋅+⋅>. 因为1cos1202a b a c b c ⋅=⋅=⋅=︒=-，所以220k k ->，解得0k <或2k >.即k 的取值范围是(,0)(2,)-∞⋃+∞. 解析：。