2020年河北省石家庄市实验中学高三数学(理)高考模拟测试卷二

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2020届石家庄二模试卷(理科)答案

第 1 页共 11 页石家庄市2020届高三年级阶段性训练题答案数学理科一、选择题：1.B.【解析】由题意知{}|2B x x =>，故{}3≤<2=x x B A |I ，故选B.2. A.【解析】:p ⌝()0,0x ∃∈-∞，0023x x <，故选A.3. B.【解析】1(1)()11()1i i i i z i i i i -----====--⋅-，则1z i =-+，所以对应点在第二象限，故选B.4.C.【解析】由于x y 30=.在R 上单调递减，故1=30<30<0020...；由于x y 5=在R 上单调递增，故1=5>5030.；由于x y 20=.log 在()+∞0,上单调递减，故0=1<52020..log log .故b a c <<，故选C.5.D.【解析】由于sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此只需将函数x y 2=sin 的图象向右平移6π个单位，故选D.6.C.【解析】如图阴影部分为可行域，目标函数3+=x y z 表示可行域中点()y x ,与()0,3-连线的斜率，由图可知点()3,1P 与()0,3-连线的斜率最大，故z 的最大值为43，故选C.7.D.【解析】根据正弦定理知()()()B C c B A b a sin sin sin sin +=-+化为为()()()b c c b a b a +=-+，即bc c b a ++=222，故21-=2-+=222bc a c b A cos ，故32=πA ，则23=A sin .因为4=+c b ，bc c b 2≥+，所以4≤bc ，当且仅当2==c b ，等号成立，此时ABC Δ的面积3≤21=A bc S sin ，故ABC Δ的面积的最大值为3.故选D.。

2020年河北省石家庄二中高考数学二模试卷(二)(有答案解析)

8.答案：B
解析：解根据题意，可得曲线 y=sinx 与 y=cosx 围成的区域，其面积为（sinx-cosx）dx=（-cosx-sinx） =1-（- ）=1+ ；又矩形 ABCD 的面积为 2π，
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由几何概型概率公式得该点落在阴影区域内的概率是；
故选：B．利用定积分计算公式，算出曲线 y=sinx 与 y=cosx 围成的区域包含在区域 D 内的图形面积为 S=2π，再由定积分求出阴影部分的面积，利用几何概型公式加以计算即可得到所求概率．本题给出区域和正余弦曲线围成的区域，求点落入指定区域的概率．着重考查了定积分计算公式、定积分的几何意义和几何概型计算公式等知识，属于中档题．
解析：解：由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，体积为
=；
故选：D．由已知三视图得到几何体是一个圆锥沿两条母线切去部分后得到的几何体，因此计算体积．本题考查了几何体的三视图；要求对应的几何体体积；关键是正确还原几何体．
7.答案：A
解析：【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．函数 f（x）=ex-1+e1-x，则 f（x-1）=ex-2+e2-x，令 g（x）=f（x-1）-（e+e-1）=ex-2+e2-x-（e+e-1），利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：函数 f（x）=ex-1+e1-x，则 f（x-1）=ex-2+e2-x，令 g（x）=f（x-1）-（e+e-1）=ex-2+e2-x-（e+e-1）， g′（x）=ex-2-e2-x，令 g′（x）=0，解得 x=2．

石家庄市二中2020年6月高三数学(理)高考模拟试题卷附答案解析

石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,32．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．5125．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?，100n >?D ．n 是奇数?，100n >?8．下列判断正确的个数是（） ①“2x <-”是“()ln 30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0B ．1C ．2D ．39．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增 10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．311．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,413．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________.14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠；（2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB 和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）若二面角P AB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++；（2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.答案解析石家庄市二中2020年6月高三数学（理）高考模拟试题卷一、单选题 1．设集合(){}2|lg 34A x Z y xx =∈=-++，{}|24x B x =≥，则A B =（）A ．[)2,4 B ．{}2,4 C ．{}3D ．{}2,3【答案】D【解析】利用一元二次不等式的解法化简集合A ，再利用交集的定义与集合B 求交集. 由2340x x -++>得2340x x --<，则14x -<<，又由x ∈Z 得0,1,2,3x =. 所以{}0,1,2,3A =，而[)2,B =+∞.从而{}2,3A B ⋂=. 故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 2．满足条件4z i z i +=+的复数z 对应点的轨迹是（）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线【答案】A【解析】先令z a bi =+，代入化简可得250b +=，从而可得其轨迹方程【详解】解：设z a bi =+，则由4z i z i +=+得，(4)(1)a b i a b i ++=++，所以2222(4)(1)a b a b ++=++，化简得250b +=，52b =-，所以复数z 在复平面内对应的点为5(,)2a -，所以z 对应点的轨迹为直线52y =-，故选：A 【点睛】此题考查复数的模，复数的几何意义，考查转化思想，属于基础题. 3．已知()0,1x ∈，令log 5x a =，cos b x =，3x c =，那么a b c ，，之间的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<【答案】A【解析】因为(0,1)x ∈，所以log 50x a =<，因为y cosx =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减，所以，cos cos1cos 02b π<<<，所以01b << 因为函数3xy =在(0,1)上单调递增，所以0333x <<，即13c <<，比较大小即可求解【详解】因为()0,1x ∈，所以0a <.因为12π>，所以01b <<，因为()0,1x ∈，所以13c <<，所以a b c <<，故选：A. 【点睛】本题考查指数函数，对数函数和三角函数的单调性，以及利用单调性判断大小的题目，属于简单题 4．如图，点A 的坐标为()1,0，点C 的坐标为()2,4．函数()2f x x =，若在矩形ABCD 内随机取一点．则该点取自阴影部分的概率为（）A ．13B ．12C ．23D ．512【答案】D【解析】分别由矩形面积公式与微积分的几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为()223233111115444224113333x dx x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⨯-⨯-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于553412P ==，故选：D 【点睛】本题考查微积分的几何意义求面积，还考查了几何概型求概率，属于简单题.5．从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（） A ．40种 B ．60种C ．100种D ．120种【答案】B【解析】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有种情况，再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有种情况，则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有=60种.故选B ． 6．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（）A ．()()44||x xf x x -=+B ．()4()44log||x xf x x -=-C ．()14()44log ||x xf x x -=+ D ．()4()44log ||x x f x x -=+【答案】D【解析】结合图像，利用特值法和函数的奇偶性，即可求解【详解】A 项,(0)0f =,与所给函数图象不相符，故A 项不符合题意B 项，4()(44)log ||()xx f x x f x --=-=-，()f x 为奇函数，与所给函数图象不相符，故B 项不符合题意C 项，4414(2)(22)log 20f -=+<，与所给函数图象不符.故C 项不符合题意综上所述,A 、B 、C 项均不符合题意,只有D 项符合题意，故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的概念与性质，属于简单题7．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十“的推论.主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题其规律是:偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个判断框中，可以先后填入( )A ．n 是偶数?，100n ≥?B ．n 是奇数?，100n ≥?C ．n 是偶数?， 100n >?D ．n 是奇数?，100n >?【答案】D【解析】根据偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，可知第一个框应该是“奇数”，执行程序框图，1,0;2,2;3,4;n s n s n s ====== 22991100...;99,100,;22n s n s -==== 101100n =>结束，所以第二个框应该填100n >，故选D.8．下列判断正确的个数是（） ①“2x <-”是“()ln30x +<”的充分不必要条件②函数()22199f x x x =+++的最小值为2③当a ，R β∈时，命题“若a β=，则sin sin a β=”的逆否命题为真命题 ④命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定是“00x ∃≤，020*******x +≤” A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】对于①，由充分不必要条件的定义判断；对于②，利用基本不等式求解；对于③，由原命题的真假判断逆命题的真假；对于④，命题的否定是改量词，否结论. 【详解】解：对于①，当2x <-时，不能得到()ln 30x +<，所以“2x <-”不是“()ln 30x +<”的充分不必要条件，所以①错误；对于②，由基本不等式得，()221929f x x x =++≥+，而22199x x +=+不成立，所以取不到等号，所以②错误；对于③，命题“若a β=，则sin sin a β=”为真命题，所以它的逆否命题为真命题，所以③正确；对于④，命题“0x ∀>，201920190x +>”的否定为“0x ∃>，020*******x +≤”，所以④错误所以正确的有1个，故选：B 【点睛】此题考查了充分不必要条件、逆否命题、命题的否定、基本不等式，综合性强，但难度不大，属于基础题. 9．已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，其图象相邻的最高点之间的距离为π，将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后得到函数()gx 的图象，且()g x 为奇函数，则（）A ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C ．()f x 在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增【答案】C 【解析】根据函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，得到T π=，易得()()2sin 2f x x ϕ=+.将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 26g x x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭=，再根据()g x 是奇函数，得到()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，然后逐项验证即可.【详解】因为函数()f x 图象相邻的最高点之间的距离为π，所以其最小正周期为T π=，则22Tπω==. 所以()()2sin 2f x x ϕ=+. 将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位长度后，可得()2sin 22sin 2126x x g x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=的图象，又因为()gx 是奇函数，令()6k k Z πϕπ+=∈，所以()6k k ϕπ=π-∈Z .又2πϕ<，所以6πϕ=-.故()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当6x π=时，()1f x =，故()f x 的图象不关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故A 错误；当6x π=-时，()2f x =-，故()f x 的图象关于直线6x π=-对称，不关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，故B 错误；在,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，2,622x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，()f x 单调递增，故C 正确；在2,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，3,2262x πππ⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，()f x 单调递减，故D 错误.故选：C 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质及其图象变换，还考查了运算求解的能力，属于中档题.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F 、，圆222x y b +=与双曲线在第一象限内的交点为M ，若123MF MF =．则该双曲线的离心率为A ．2B ．3C ．2 D ．3【答案】D【解析】本题首先可以通过题意画出图像并过M 点作12F F 垂线交12F F 于点H ，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形2OMF 的形状并求出高MH 的长度，MH 的长度即M 点纵坐标，然后将M 点纵坐标带入圆的方程即可得出M 点坐标，最后将M 点坐标带入双曲线方程即可得出结果．【详解】根据题意可画出以上图像，过M 点作12F F 垂线并交12F F 于点H ，因为123MF MF ，M 在双曲线上，所以根据双曲线性质可知，122MF MF a ，即2232MF MF a ，2MF a =，因为圆222x y b +=的半径为b ，OM 是圆222x y b +=的半径，所以OM b =，因为OMb =，2MF a =，2OFc =，222+=a b c ，所以290OMF ，三角形2OMF 是直角三角形，因为2MHOF ，所以22OF MH OM MF ，ab cMH，即M 点纵坐标为ab c ，将M 点纵坐标带入圆的方程中可得22222a b c x b ，解得2b cx，2,b ab ccM，将M 点坐标带入双曲线中可得422221b a a c c ，化简得4422b a a c ，222422c aa a c ，223c a =，3c ae，故选D ．【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题．11．过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 作平面α，使每条棱在平面α的正投影的长度都相等，则这样的平面α可以作（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】每条棱在平面α的正投影的长度都相等，等价于每条棱所在直线与平面α所成角都相等，从而棱AB ，AD ，1AA 所在直线与平面α所成的角都相等，三棱锥1A A BD -是正三棱锥,直线AB ，AD ，1AA 与平面1A BD 所成角都相等，过顶点A 作平面α平面1A BD ，由此能求出这样的平面α的个数.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，每条棱在平面α的正投影的长度都相等⇔每条棱所在直线与平面α所成的角都相等⇔棱1AB AD AA 、、所在直线与平面α所成的角都相等，易知三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线1AB AD AA 、、与平面1A BD 所成的角都相等.过顶点A 作平面α平面1A BD ，则直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC 、平面1D AC 平行，直线1AB AD AA 、、与平面α所成的角都相等.所以这样的平面α可以作4个，故选：D. 【点睛】本题考查立体几何中关于线面关系和面面关系的相关概念，属于简单题12．已知22log (1),13()1235,322x x f x x x x ⎧-<≤⎪=⎨-+>⎪⎩ ，若()f x m =有四个不同的实根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()3412m m x x x x ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的取值范围( )A ．()0,10B ．[]0,10C ．()0,4D ．[]0,4【答案】A【解析】分析：因为题设有5个变量，故利用分段函数的图像可得()()12111x x --=，3410x x +=，所以()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭就可化成关于m 的函数，最后根据()f x m =有四个不同的实数根得到m 的取值范围即得()3412m m x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的取值范围．详解：由题设，有()f x m =在(]1,3上有两个不同的解12,x x ，在()3,+∞上有两个不同的解34,x x ．当(]1,3x ∈时， ()()2log 1f x x =-，故()()2122log 1log 1x x -=-，因12x x <，故()()2122log 1log 1x x --=-，所以()()12111x x --=即1212x x x x =+且01m <≤．当()3,x ∈+∞时， ()2123522f x x x =-+， 3410x x +=且01m <<．所以()()3412100,10m m x x m x x ⎛⎫++=∈ ⎪⎝⎭，故选A ．点睛：对于多变量函数的范围问题，降低变元的个数是首选方法，故需要利用函数图像找到各变量之间的关系．注意根据零点的个数判断m 的取值范围．二、填空题13．二项式51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含x 的项的系数是__________. 【答案】5-【解析】根据二项展开式通项公式确定含x 的项的项数，进而确定含x 的项的系数. 【详解】因为53521551()()()(1)rrrr r r r T C x C x x--+=-=-，所以令5312r -=得1,r =因此含x 的项的系数为115(1) 5.C -=-【点睛】本题考查二项展开式的项的系数，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．已知平面向量a b ，满足(1,1)a =-，||1b =，22a b +=，则a 与b 的夹角为________.【答案】34π【解析】将|2|2a b +=两边同时平方后展开,结合平面向量数量积运算及模的运算,即可求得a 与b 的夹角的余弦值,进而求得a 与b 的夹角即可. 【详解】因为(1,1)a =-,则2a =因为|2|2a b +=,等式两边同时平方可得22442a a b b +⋅+=代入2a =,||1b =可得1a b ⋅=-设,a b 夹角为α,则由平面向量数量积的定义可得12221cos a b a bα⋅-==-⨯⋅=因为0απ≤≤所以34πα=故答案为: 34π 【点睛】本题考查了平面向量数量积的定义及简单应用,向量夹角的求法,属于基础题.15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =且当2n ≥时，1n n n a S S -=-⋅，则{}n a 的通项公式n a =_______. 【答案】11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【解析】根据n S 与n a 的关系，当2n ≥时，可得1nn n a S S -=-，从而可得11n n n n S S S S ---⋅-=，从而可得1111n n S S --=，进而求出n S ，再根据n S 与n a 的关系即可求解. 【详解】当2n ≥时，1nn n a S S -=-⋅，则11n n n n S S S S ---⋅-=，1111n n S S -∴-=， 112a =，∴112S =，即112S =，()12111nn n S ∴=+-⨯=+，所以11n S n =+，所以当2n ≥时，()111111n n n a S S n n n n--=-=-=++，当1n =时，112a =，不满足上式，故11212(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨-⎪≥+⎪⎩，故答案为：11212(1)n n n n ⎧=⎪⎪⎨-⎪≥+⎪⎩【点睛】本题主要考查了n S 与n a 的关系、等差数列的通项公式，需熟记公式，属于中档题.16．四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形，若224SC ≤≤，则四棱锥S ABCD -的体积取值范围为_____．【答案】438,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】如图所示，四棱锥S ABCD -中，可得：;AD SA AD AB AD ⊥⊥⇒⊥平面SAB ⇒平面SAB ⊥平面ABCD ，过S 作SO AB ⊥于O ，则SO ⊥平面ABCD ，故1433S ABCD ABCD V S SO SO -=⋅=，在SAB ∆中，2SA AB ==，设SAB θ∠=，则有，232cos SC θ=-,又224SC ≤≤112cos [,]2233ππθθ⇒-≤≤⇒∈，则2sin [3,2]SO θ=∈，四棱锥S ABCD -的体积取值范围为438[,]33.三、解答题 17．如图．在ABC 中，点P 在边BC 上，3C π=，2AP =，4AC PC ⋅=．（1）求APB ∠；（2）若ABC 的面积为532．求sin PAB ∠ 【答案】（1）23APB ∠=π；（2）357sin 38PAB ∠=．【解析】（1）在APC △中，设AC x =， 4AC PC ⋅=，得到4PC x=，再由余弦定理2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅，解得x ，利用平面几何知识求解.（2）由ABC 的面积为532，利用153sin 232ABC S AC BC π=⋅⋅=△，解得BC ，得到则BP ，作AD BC ⊥交BC 于D ，得到AD ，PD ，进而得到AB ，然后在ABP △中，利用正弦定理求解. 【详解】（1）在APC △中，设AC x =，因为4AC PC ⋅=，4PCx=，又因为3C π=，2AP =，由余弦定理得：2222cos3AP AC PC AC PC π=+-⋅⋅⋅即：2224422cos 3x x x x π⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，解得2x =，所以AC PC AP ==，此时APC △为等边三角形，所以23APB ∠=π；（2）由153sin 232ABCS AC BC π=⋅⋅=△，解得5BC =，则3BP =，作AD BC ⊥交BC 于D ，如图所示：由（1）知，在等边APC △中，3AD =，1PD =，在Rt △ABD 中2231619AB AD BD =+=+=．在ABP △中，由正弦定理得sin sin AB PB APB PAB=∠∠，所以333572sin 3819PAB ⨯∠==．【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理以及平面几何知识，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且2PA PB ==，若点E ,F 分别为AB和CD 的中点．（1）求证：平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）若二面角PAB C 的平面角的余弦值为36，求PC 与平面PAB 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）226【解析】（1）先由线面垂直的判定定理证得AB ⊥平面PEF ，再由面面垂直的判定定理证得平面ABCD ⊥平面PEF ；（2）由二面角的定义及题意可知，3cos 6PEF ∠=，建立空间直角坐标系，求出平面PAB 的法向量n ，PC ，利用sin cos ,n PC n PC n PCθ⋅=〈〉=⋅即可得解.【详解】（1）PA PB =，E 为AB 中点，∴AB PE ⊥，又AB EF ⊥，PE ⊂平面PEF ，EF⊂平面PEF ，PE EF E ⋂=，∴AB ⊥平面PEF ，又AB平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面PEF .（2）PE AB ⊥，EF AB ⊥，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，∴PEF ∠就是二面角PAB C 的平面角，所以3cos 6PEF ∠=，如图作PO EF ⊥，垂足为O ，则363OE OE PE ==，所以12OE =，32OF =，则112OP =，如图，建立空间直角坐标系，则11(0,0,)2P ，3(1,,0)2C ，1(1,,0)2A --，1(1,,0)2B -，设平面PAB 的法向量为(,,)n x y z =，则00PB n AB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即11102220x y z x ⎧--=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，则0111x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，则(0,11,1)n =-是平面PAB 的一个法向量，311(1,,)22PC=-，则21122sin cos ,6126n PC n PC n PCθ⋅=〈〉===⋅⋅.所以PC 与平面PAB 所成角的正弦值226.【点睛】本题考查了线面垂直和面面垂直的判定定理以及向量法求线面角的正弦值，考查学生的推理与运算能力，建立恰当的空间直角坐标系是解题的关键，属于中档题.19．某花卉企业引进了数百种不同品种的康乃馨，通过试验田培育，得到了这些康乃馨种子在当地环境下的发芽率，并按发芽率分为8组：[)0.486,0.536、[)0.536,0.586、、[)0.836,0.886加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．企业对康乃馨的种子进行分级，将发芽率不低于0.736的种子定为“A 级”，发芽率低于0.736但不低于0.636的种子定为“B 级”，发芽率低于0.636的种子定为“C 级”．（Ⅰ）现从这些康乃馨种子中随机抽取一种，估计该种子不是“C 级”种子的概率；（Ⅱ）该花卉企业销售花种，且每份“A 级”、“B 级”、“C 级”康乃馨种子的售价分别为20元、15元、10元．某人在市场上随机购买了该企业销售的康乃馨种子两份，共花费X 元，以频率为概率，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）企业改进了花卉培育技术，使得每种康乃馨种子的发芽率提高到原来的1.1倍，那么对于这些康乃馨的种子，与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差是否发生变化？若发生变化，是变大了还是变小了？（结论不需要证明）．【答案】（Ⅰ）0.8；（Ⅱ）分布列详见解析，数学期望为31；（Ⅲ）方差变大了．【解析】（Ⅰ）利用频率分布直方图中矩形面积之和为1，求出a 的值，再结合频率分布直方图以及对立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（Ⅱ）由题意可知，随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，计算出随机变量X 在不同取值下的概率，由此可列出随机变量X 的分布列，进而可求得随机变量X 的数学期望；（Ⅲ）根据离散型随机变量方差的性质可得出结论. 【详解】（Ⅰ）设事件M 为：“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子不是“C 级”种子”，由图表，得()0.4 1.2 4.0 6.0 4.4 1.20.40.051a +++++++⨯=，解得 2.4a =，由图表，知“C 级”种子的频率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=，故可估计从这些康乃馨种子中随机抽取一种，该种子是“C 级”的概率为0.2．因为事件M 与事件“从这些康乃馨种子中随机抽取一种，且该种子是“C 级”种子”为对立事件，所以事件M 的概率()10.20.8PM =-=；（Ⅱ）由题意，任取一颗种子，恰好是“A 级”康乃馨的概率为()4.4 1.20.40.050.3++⨯=，恰好是“B 级”康乃馨的概率为()4.0 6.00.050.5+⨯=，恰好是“C 级”的概率为()0.4 1.2 2.40.050.2++⨯=．随机变量X 的可能取值有20、25、30、35、40，且()2200.20.04PX ===，()2520.50.20.2P X ==⨯⨯=，()2300.520.30.20.37P X ==+⨯⨯=，()350.30.520.3P X ==⨯⨯=， ()2400.30.09P X ===.所以X 的分布列为：X20 253035 40P0.04 0.20.370.3 0.09故X 的数学期望()200.04250.2300.37350.3400.0931EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅲ）与旧的发芽率数据的方差相比，技术改进后发芽率数据的方差变大了．【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，同时也考查了离散型随机变量分布列及数学期望的计算，考查计算能力，属于中等题.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，43【解析】（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a 、b ，即可写出椭圆方程；（2）设出直线PQ 的方程与点,P Q 的坐标，求出直线BP 、BQ 的方程进而求出点M 、N 的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于1x 、2x 的表达式，直线PQ 的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出12x x 、12x x +，代入横坐标的乘积化简即可证明. 【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,Aa Bb -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=①，又由23=12c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简得2a b =②， ①②两式联立解得：=1b 或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=，∴椭圆方程为2214x y +=；（2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+，直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+，1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=，由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k+=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k+==-+++22212412489363k k k =-++，是定值．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用、椭圆的简单几何性质、直线的方程、椭圆中的定值问题，属于较难题. 21．已知函数21()ln 22f x x x ax =+-，其中a R ∈. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x （其中21x x >），且()()21f x f x -的取值范围为1532ln 2,ln 284⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求a 的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】（1）对函数进行求导，将导数的正负转化成研究一元二次函数的根的分布问题；（2）利用韦达定理得到122x x a +=，121=x x ，将()()21f x f x -转化成关于12,x x 的表达式，再利用换元法令21(1)x t t x =>，从而构造函数11()ln 22h t t t t=-+，根据函数的值域可得自变量t 的范围，进而得到a 的取值范围. 【详解】解：（1）2121()2(0)x ax f x x a x x x-+'=+-=>.令2()21g x x ax =-+，则244a ∆=-.①当0a ≤或0∆≤，即1a ≤时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增. ②当00a >⎧⎨∆>⎩，即1a >时，由()0f x '>，得201x a a <<--或21x a a >+-；由()0f x '<，得2211a a x a a --<<+-，∴()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.综上所述，当1a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在2(0,1)a a --和2(1,)a a +-+∞上单调递增，在22(1,1)a a a a --+-上单调递减.（2）由（1）得，当1a >时，()f x 有两极值点1x ，2x （其中21x x >）.由（1）得1x ，2x 为2()210g x x ax =-+=的两根，所以122x x a +=，121=x x .所以()()()()22221212111ln22x f x f x x x a x x x -=+--- 22222212212211112112ln ln ln 2222x x x x x x x x x x x x x x x x --=-=-=-+.令21(1)x t t x =>，则()()2111()ln 22f x f x h t t t t-==-+，因为2222211121(1)()02222t t t h t t t t t-+---'=--==<，所以()h t 在(1,)+∞上单调递减，而3(2)ln 24h =-，15(4)2ln 28h =-，所以24t ≤≤，又()212212142([2,4])x x a t t x x t+==++∈，易知1()2x t t ϕ=++在[2,4]上单调递增，所以2925424a ≤≤，所以实数a 的取值范围为325,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、已知双元函数的值域求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意换元法的应用.22．选修4-4：坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方程为,x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为242,131013x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），点P 的坐标为()2,0-．（1）若点Q 在曲线C 上运动，点M 在线段PQ 上运动，且2PM MQ =，求动点M 的轨迹方程．（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求PA PB ⋅的值．【答案】（1）222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭（2）3 【解析】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),Mx y ，由2PM MQ =即得动点M 的轨迹方程；（2）由题得直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设()Q cos ,sin θθ，(),M x y ，则由2PM MQ =，得()()2,2cos sin θθ+=--x y x,y ，即323cos ,32sin .x y θθ+=⎧⎨=⎩消去θ，得222439x y =⎛⎫++ ⎪⎝⎭，此即为点M 的轨迹方程.（2）曲线C 的普通方程为221x y +=，直线l 的普通方程()5212y =x +，设α为直线l 的倾斜角，则5tan 12α=，512sin ,cos 1313αα==，则直线l 的参数方程可设为122,13513x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪='⎩'⎪（t '为参数），代入曲线C 的普通方程，得2483013t t +=''-，由于24827612013169⎛⎫∴∆=--=> ⎪⎝⎭，故可设点,A B 对应的参数为1t '，2t '，则21213PA PB t t t t ''''⋅=⋅==．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查动点的轨迹方程，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.23．（1）已知,,+∈a b c R ，且1a b c ++=，证明：1119a b c++；（2）已知,,+∈a b c R ，且1abc =，证明：111c b a a b c++++.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）结合1a b c ++=代人所证不等式的左边中的分子,通过变形转化，利用基本不等式加以证明即可（2）结合不等式右边关系式的等价变形，通过基本不等式来证明即可【详解】证明：（1）111a b c a b c a b c a b c a b c++++++++=++ 111b c a c a ba ab bc c =++++++++39b a b c a c a b c b c a=++++++，当a b c ==时等号成立. （2）因为1111111111111122222a b c a b a c b c ab ac bc ⎛⎫⎛⎫++=+++++⨯++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为1abc =，所以1c ab =，1b ac =，1a bc =，111cb a a b c∴++++.当a b c ==时等号成立，即原式不等式成立.【点睛】本题考查基本不等式的应用，考查推理论证能力，化归与转化思想。

河北省石家庄市 2020届高三毕业班综合训练(二)数学(理)含答案

①
，
，且
，则
②
，
，且
，则
④
，
，且
，则
④
，
、且
，则
A．①②③
B．①③④
C．②④
D．③④
8．已知函数
，则
的解集为（）
A．
B．
C．
D．
9．已知 x，y 满足
，且目标函数 z=2x+y 的最大值为 9，最小值为 1，则
=（）
A．
B．6
C．
D．7
10．已知△ABC 的三条边 a，b，c 满足 b=2，ac=4，分别以边 a，c
．
（Ⅰ ）求 C1 的方程；（Ⅱ ）直线 l：y=kx+m（k＞0，m＞0）与 x 轴交于点 Q，且与椭圆 C1 和圆 C2 都相切，切点分别为 M，
N，记△F1F2M 和△QF2N 的积分别为 S1 和 S2，求
的量小值．
21．（本小题满分 12 分）
已知函数
，且
．
（Ⅰ ）求 a 的值；（Ⅱ ）在函数 f（x）的图象上任意取定两点
右焦点 F 的直线交 C 的右支于 A，B 两点，直线 AO（O 是坐标
原点）交 C 的左支于点 D．若 DF⊥ AB，且
，则双曲线 C 的离心率为（）
A． B．
C． C．ຫໍສະໝຸດ 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．等差数列{an}中，a3=5，a8=15，则 a6=．
2
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合
，集合
，则 A∩B=（）

2020年石家庄市二模数学有答案(理科)

2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(理科）注意事项：1. 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3. 回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.4. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第I卷(选择题60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合M={5，6，7 }，N={5，7，8 }，则A. B. C. D.2. 若F(5，0)是双曲线(m是常数）的一个焦点，则m的值为A. 3B. 5C. 7D. 93. 已知函数f(x)，g(x)分别由右表给出，则，的值为A. 1B.2C. 3D. 44. 的展开式中的常数项为A. -60B. -50C. 50D. 605. 的值为A. 1B.C.D.6. 已知向量a=(1，2)，b=(2，3)，则是向量与向量n=(3，-1)夹角为钝角的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件7. —个几何体的正视图与侧视图相同，均为右图所示，则其俯视图可能是8. 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：根据上表可得回归直线方程，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重为A. 70.09B. 70.12C. 70.55D. 71.059. 程序框图如右图，若输出的s值为位，则n的值为A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知a是实数，则函数_的图象不可能是11. 已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线l与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M 的概率为P.则下列结论正确的是A.不论边长AB，CD如何变化，P为定值；B.若-的值越大，P越大；C.当且仅当AB=CD时，P最大；D.当且仅当AB=CD时，P最小.12. 设不等式组表示的平面区域为Dn an表示区域Dn中整点的个数(其中整点是指横、纵坐标都是整数的点），则=A. 1012B. 2020C. 3021D. 4001第II卷(非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 复数（i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为_________.14. 在ΔABC 中，，，则 BC 的长度为________.15. 己知F1 F2是椭圆（a>b>0)的两个焦点，若椭圆上存在一点P使得，则椭圆的离心率e的取值范围为________.16. 在平行四边形ABCD中有，类比这个性质，在平行六面体中ABCD-A1B1C1D1中有=________三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分）已知Sn 是等比数列{an}的前n项和，S4、S10、S7成等差数列.(I )求证而a3,a9,a6成等差数列；(II)若a1=1，求数列W{a3n}的前n项的积.18. (本小题满分12分）我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理（即确定一个居民月均用水量标准〜用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费）.为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图，(I)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整；(II)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准&则月均用水量的最低标准定为多少吨，并说明理由；(III)若将频率视为概率，现从该市某大型生活社区随机调查3位居民的月均用水量(看作有放回的抽样），其中月均用水量不超过（II)中最低标准的人数为x，求x的分布列和均值.19. (本小题满分12分）在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=1，，D为AA1中点，BD与AB1交于点0，C0丄侧面ABB1A1(I )证明：BC丄AB1；(II)若OC=OA,求二面角C1-BD-C的余弦值.20. (本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知直线l:y=-1，定点F(0，1)，过平面内动点P作PQ丄l 于Q点，且•(I )求动点P的轨迹E的方程；(II)过点P作圆的两条切线，分别交x轴于点B、C，当点P的纵坐标y 0>4时，试用y表示线段BC的长，并求ΔPBC面积的最小值.21. (本小题满分12分）已知函数(A ,B R，e为自然对数的底数），.(I )当b=2时，若存在单调递增区间，求a的取值范围；(II)当a>0 时，设的图象C1与的图象C2相交于两个不同的点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线交C1于点，求证.请考生在第22〜24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. (本小题满分10分)选修4-1几何证明选讲已知四边形ACBE,AB交CE于D点，，BE2=DE-EC.(I)求证:；(I I)求证：A、E、B、C四点共圆.23. (本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，X 轴的正半轴为极轴，取与直角坐标系相同的长度单位建立极坐标系.曲线C 1的参数方程为：（为参数）；射线C 2的极坐标方程为：,且射线C 2与曲线C 1的交点的横坐标为(I )求曲线C 1的普通方程；(II)设A 、B 为曲线C 1与y 轴的两个交点，M 为曲线C 1上不同于A 、B 的任意一点，若直线AM 与MB 分别与x 轴交于P,Q 两点，求证|OP|.|OQ|为定值.24. (本小题满分10分)选修4-5不等式选讲设函数 (I)画出函数的图象；(II)若不等式，恒成立，求实数a 的取值范围.2020年石家庄市高中毕业班第二次模拟考试高三数学(理科答案) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1-5 CDADB 6-10 ABBCB 11-12 AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 1 14. 1或 2 15. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭16.22214()AB AD AA ++.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17. 解：（Ⅰ）当1q =时，10472S S S ≠+所以1q ≠ ………………………………………………..2分10472S S S =+由,得()()1074111211(1)111a q a q a q q q q---=+--- 104710,12a q q q q ≠≠∴=+ ， ………………………….4分则8251112a q a q a q =+，9362a a a ∴=+，所以3,9,6a a a 成等差数列. ………………………6分(Ⅱ)依题意设数列{}3n a 的前n 项的积为n T ,n T =3333123n a a a a ⋅⋅3323131()()n q q q -=⋅⋅=33231()()n q q q -⋅3123(1)()n q ++-==(1)32()n n q -，…………………8分又由（Ⅰ）得10472q q q =+，63210q q ∴--=，解得3311(,2q q ==-舍）.…………………10分所以()1212n n n T -⎛⎫=- ⎪⎝⎭. …………………………………………….12分18. 解: （Ⅰ）………………………………3分（Ⅱ）月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的20%，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为 2.5吨.……………………………………………6分（Ⅲ）依题意可知,居民月均用水量不超过（Ⅱ）中最低标准的概率是45，则4~(3,)5X B ，311(0)()5125P X === 1234112(1)()55125P X C ===2234148(2)()()55125P X C ===3464(3)()5125P X ===………………8分 X0 1 2 3 P1125 12125 48125 64125分412()355E X =⨯=………………………………………………………………12分19. 解：（Ⅰ）因为11ABB A 是矩形，D 为1AA 中点，1AB =，12AA =，2AD =, 所以在直角三角形1ABB 中,112tan 2AB AB B BB ∠==, 在直角三角形ABD中,12tan 2AD ABD AB ∠==, 所以1AB B ∠=ABD ∠, 又1190BAB AB B ∠+∠=，190BAB ABD ∠+∠=，所以在直角三角形ABO 中，故90BOA ∠=，即1BD AB ⊥， (3)分又因为11CO ABB A ⊥侧面，111AB ABB A ⊂侧面,所以1CO AB ⊥所以，1AB BCD ⊥面,BC BCD ⊂面, 故1BC AB ⊥…………………………5分（Ⅱ）解法一：如图，由（Ⅰ）可知，,,OA OB OC 两两垂直，分别以,,OA OB OC 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -. 在Rt ABD中，可求得63OB =,66OD =,33OC OA ==，在1Rt ABB 中，可求得1233OB = ，故60,,06D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,60,,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,30,0,3C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,123,0,03B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭所以 60,,02BD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,630,,33BC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,1236,,033BB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭可得，1123263,,333BC BC BB ⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭…………………………………8分设平面1BDC 的法向量为(),,x y z =m ，则 10,0BD BC ⋅=⋅=m m ，即23263060x y z y ⎧-++=⎪⎪⎨⎪=⎪，取1,0,2x y z ===，则()1,0,2=m ， …………………………………10分又BCD 面()1,0,0=n ，故5cos ,5==m n ，所以，二面角1C BD C --的余弦值为5…………………………………12分解法二：连接1CB 交1C B 于E ,连接OE ，因为11CO ABB A ⊥侧面，所以BD OC ⊥，又1BD AB ⊥，所以1BD COB ⊥面，故BD OE ⊥所以EOC ∠为二面角1C BD C --的平面角…………………………………8分BD =，1AB =1112AD AO BB OB ==，1123OB AB ==113OC OA AB === ，在1Rt COB中，13B C === ，……………………10分又EOC OCE ∠=∠1cos 5OC EOC CB ∠==故二面角1C BD C --的余弦值为…………………………12分 20.解：（Ⅰ）设(),P x y ，则(),1Q x -， ∵QP QF FP FQ =，∴()()()()0,1,2,1,2y x x y x +-=--． …………………2分即()()22121y x y +=--，即24x y =，所以动点P 的轨迹E 的方程24x y =． …………………………4分（Ⅱ）解法一：设00(,),(,0),(,0)P x y B b C c ，不妨设b c >．直线PB 的方程:00()y y x b x b=--，化简得 000()0y x x b y y b ---=．又圆心(0,2)到PB 的距离为22= ，故222220000004[()]4()4()y x b x b x b y b y b +-=-+-+，易知04y >，上式化简得2000(4)440y b x b y -+-=，同理有2000(4)440y c x c y -+-=． …………6分所以0044x b c y -+=-，0044y bc y -=-，…………………8分则2220002016(4)()(4)x y y b c y +--=-．因00(,)P x y 是抛物线上的点，有2004x y =，则 2202016()(4)y b c y -=-，0044y b c y -=-． ………………10分所以0000002116()2[(4)8]244PBC y S b c y y y y y ∆=-⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分解法二：设),(00y x P , 则4200x y =，PB 、PC 的斜率分别为1k 、2k ，则PB ：2010()4x y k x x -=-，令0y =得20014B x x x k =-，同理得20024C x x x k =-；所以||4|44|||||212120120220k k k k x k x k x x x BC C B -⋅=-=-=，……………6分下面求||2121k k k k -, 由(0,2)到PB ：2010()4x y k x x -=-的距离为22010|2|2x k x +-=，因为04y >，所以2016x >，化简得2222220001010(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=，同理得2222220002020(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=…………………8分所以1k 、2k 是22222200000(4)(4)()024x x x k x k x -+⋅-+-=的两个根.所以2001220(4)2,4x x k k x -+=-222220*********(1)()164,44x x x x k k x x --==--201220||4x k k x -==-，1220121||116k k x k k -=-， 22000120200120411||||44411416B C x x y k k x x y y x k k y --=⋅=⋅=⋅=---，……………10分所以0000002116||2[(4)8]244PBC y S BC y y y y y ∆=⋅=⋅=-++--832≥=．当20(4)16y -=时，上式取等号，此时008x y ==．因此PBC S ∆的最小值为32． ……………………12分21.解:（Ⅰ）当2b =时，若2()()()2x x F x f x g x ae e x =-=+-，则2()221x x F x ae e '=+-，原命题等价于2()2210x x F x ae e '=+-在R 上有解．……………2分法一：当0a 时，显然成立；当0a <时，2211()2212()(1)22x x x F x ae e a e a a '=+-=+-+ ∴ 1(1)02a -+>，即102a -<<．综合所述 12a >-．…………………5分法二：等价于2111()2x x a e e>⋅-在R 上有解，即∴ 12a >-．………………5分（Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y ，不妨设12x x <，则2102x x x +=，2222x x ae be x +=，1121x x ae be x +=，两式相减得：21212221()()x x x x a e e b e e x x -+-=-，……………7分整理得 212121212121221()()()()2()x x x x x x x x x x x x x x a e e e e b e e a e e e b e e +-=-++--+- 则21212122x x x x x x ae b e e +-+-，于是21212121212202()x x x x x x x x x x e ae be f x e e +++-'⋅+=-，…………………9分而212121212121221x x x x x x x x x x x x e e e e e +----⋅=⋅-- 令210t x x =->，则设22()ttG t e e t -=--，则2222111()1210222t t t t G t e e e e --'=+->⋅⋅⋅-=， ∴ ()y G t =在(0,)+∞上单调递增，则22()(0)0t t G t e et G -=-->=，于是有22t t e e t -->，即21t t e te ->，且10t e ->，∴ 211t t t e e <-，即0()1f x '<．…………………12分请考生在第22～24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分22．选修4-1几何证明选讲证明：(Ⅰ)依题意，DE BE BE EC=，11∠=∠ ，所以DEB BEC ∆∆,………………2分得34∠=∠,因为45∠=∠,所以35∠=∠,又26∠=∠，可得EBD ACD ∆∆.……………………5分 (Ⅱ)因为因为EBD ACD ∆∆，所以ED BD AD CD =,即ED AD BD CD=,又ADE CDB ∠=∠,ADE CDB ∆∆,所以48∠=∠，………………7分因为0123180∠+∠+∠=，因为278∠=∠+∠，即274∠=∠+∠，由(Ⅰ)知35∠=∠，所以01745180,∠+∠+∠+∠=即0180,ACB AEB ∠+∠=所以A 、E 、B 、C 四点共圆.………………10分23．选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)曲线1C 的普通方程为2221x y a+=，射线2C 的直角坐标方程为(0)y x x =≥，…………………3分可知它们的交点为⎝⎭，代入曲线1C 的普通方程可求得22a =. 所以曲线1C 的普通方程为2212x y +=.………………5分 (Ⅱ) ||||OP OQ ⋅为定值.由(Ⅰ)可知曲线1C 为椭圆，不妨设A 为椭圆1C 的上顶点，设,sin )M ϕϕ,(,0)P P x ，(,0)Q Q x , 因为直线MA 与MB 分别与x 轴交于P 、Q 两点，所以AM AP K K =,BM BQ K K =,………………7分由斜率公式并计算得1sin P x ϕϕ=-，1sin Q x ϕϕ=+, 所以||||2P Q OP OQ x x ⋅=⋅=.可得||||OP OQ ⋅为定值.……………10分24.选修4-5：不等式选讲解: (Ⅰ)由于37,2,()35 2.x x f x x x +≥-⎧=⎨--<-⎩…………2分则函数的图象如图所示:（图略）……………5分 (Ⅱ) 由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知,当且仅当132a -≤≤时,函数y ax =的图象与函数()y f x =图象没有交点,……………7分所以不等式()f x ax ≥恒成立,则a 的取值范围为1,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.…………………10分。

河北省石家庄市2019-2020学年高考数学二模考试卷含解析

河北省石家庄市2019-2020学年高考数学二模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()f x 是R 上的偶函数，且当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，则()2log 5f ，31log 5f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()5log 3f 的大小关系是（）A ．()()3521log log 3log 55f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭B ．()()3251log log 5log 35f f f <<⎛⎫⎪⎝⎭C ．()()5321log 3log log 55f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< D ．()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭< 【答案】D 【解析】【分析】利用对数函数的单调性可得235log 5log 5log 3>>，再根据()f x 的单调性和奇偶性可得正确的选项. 【详解】因为33log 5log 31>=，5550log 1log 3log 51=<<=，故35log 5log 30>>.又2233log 5log 42log 9log 50>==>>，故235log 5log 5log 3>>. 因为当[)0,x ∈+∞时，函数()f x 是单调递减函数，所以()()()235log 5log 5log 3f f f <<. 因为()f x 为偶函数，故()()3331log log 5log 55f f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭-，所以()()2351log 5log log 35f f f ⎪<⎛⎫⎝⎭<. 故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、单调性以及对数函数的单调性在大小比较中的应用，比较大小时注意选择合适的中间数来传递不等关系，本题属于中档题.2．若,x y 满足约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A ．10B ．8C ．5D ．3【分析】画出可行域,将2z x y =+化为122zy x =-+,通过平移12y x =-即可判断出最优解,代入到目标函数,即可求出最值. 【详解】解:由约束条件02636x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩作出可行域如图,化目标函数2z x y +＝为直线方程的斜截式,122zy x =-+.由图可知当直线122zy x =-+过()3,0A 时,直线在y 轴上的截距最大,z 有最大值为3. 故选:D. 【点睛】本题考查了线性规划问题.一般第一步画出可行域,然后将目标函数转化为y ax bz =+ 的形式,在可行域内通过平移y ax =找到最优解,将最优解带回到目标函数即可求出最值.注意画可行域时,边界线的虚实问题.3．已知向量()()1,3,2a m b ==-v v ，，且()a b b +⊥vv v ，则m=( )A ．−8B ．−6C ．6D ．8【答案】D 【解析】【分析】由已知向量的坐标求出a b +rr 的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案．【详解】∵(1,),(3,2),(4,2)a m b a b m ==-∴+=-r r r r ，又()a b b +⊥rr r ，∴3×4+（﹣2）×（m ﹣2）＝0，解得m ＝1．本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题．4．已知函数()cos f x x m x =+，其图象关于直线3x π=对称，为了得到函数()g x x=的图象，只需将函数()f x 的图象上的所有点（） A ．先向左平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 B ．先向右平移6π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变 C ．先向右平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变 D ．先向左平移3π个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变【答案】D 【解析】【分析】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得1m =，进而得()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，得3f π⎛⎫=⎪⎝⎭322m +=1m =，所以()cos 2sin 2cos 63f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2cos2g x x =，故只需将函数()f x 的图象上的所有点“先向左平移3π个单位长度，得2cos ,y x =再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2g x x =”即可. 故选：D 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题5．已知关于x sin 2x x m π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭在区间[)0,2π上有两个根1x ，2x ，且12x x π-≥，则实数m 的取值范围是（）A ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．[)1,2C ．[)0,1D ．[]0,1【答案】C 【解析】【分析】先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数2sin()6y x π=+，将方程的解的问题转化为函数图象的交点问题，画出函数图象，再结合12x x π-≥，解得m 的取值范围. 【详解】由题化简得3sin cos x x m +=，2sin()6m x π=+，作出2sin()6y x π=+的图象，又由12x x π-≥易知01m ≤<．故选：C. 【点睛】本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.6．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（）A ．7B ．5C ．3D ．2【答案】B 【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论. 【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩，将2z x y =+变形为2y x z =-+，平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时，直线在y 轴上的截距最大， z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7．下图是我国第24~30届奥运奖牌数的回眸和中国代表团奖牌总数统计图，根据表和统计图，以下描述正确的是（）．金牌（块）银牌（块）铜牌（块）奖牌总数 24 5 11 12 28 25 16 22 12 54 26 16 22 12 50 27 28 16 15 59 28 32 17 14 63 2951212810030 38 27 23 88A ．中国代表团的奥运奖牌总数一直保持上升趋势B ．折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不具有实际意义C ．第30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、银牌数、铜牌数都有所下降D ．统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数的中位数是54.5 【答案】B 【解析】【分析】根据表格和折线统计图逐一判断即可. 【详解】A.中国代表团的奥运奖牌总数不是一直保持上升趋势，29届最多，错误；B.折线统计图中的六条线段只是为了便于观察图象所反映的变化，不表示某种意思，正确；C.30届与第29届北京奥运会相比，奥运金牌数、铜牌数有所下降，银牌数有所上升，错误；D. 统计图中前六届奥运会中国代表团的奥运奖牌总数按照顺序排列的中位数为545956.52+=,不正确；故选：B 【点睛】此题考查统计图，关键点读懂折线图，属于简单题目.8．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<+=„，()220.9544P X μσμσ-<+=„.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.9544【答案】C 【解析】【分析】根据服从的正态分布可得80μ=，5σ=，将所求概率转化为()2P X μσμσ-<≤+，结合正态分布曲线的性质可求得结果. 【详解】由题意，80μ=，5σ=，则()75850.6826P X <=„，()70900.9544P X <=„，所以()()185900.95440.68260.13592P X <=⨯-=„，()75900.68260.13590.8185P X <=+=„. 故果实直径在(]75,90内的概率为0.8185. 故选：C 【点睛】本题考查根据正态分布求解待定区间的概率问题，考查了正态曲线的对称性，属于基础题.9．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为ˆy=0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg 【答案】D 【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确；回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误．故选D ．10．已知α322sin αα=，则cos2α等于（） A ．23B ．29C ．13-D ．49-【答案】C 【解析】【分析】322sin αα=可得3cos 3α=，再利用2cos 22cos 1αα=-计算即可. 【详解】因为23cos 2sin ααα=，sin 0α≠，所以3cos 3α=，所以221cos22cos 1133αα=-=-=-. 故选：C. 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力，属于基础题. 11．在三棱锥S ABC -中，4SB SA AB BC AC =====，26SC =，则三棱锥S ABC -外接球的表面积是（） A ．403πB ．803πC ．409πD ．809π【答案】B 【解析】【分析】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，推导出90SDC ∠=o ，设设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F ，可得出OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，利用勾股定理计算出球O 的半径，再利用球体的表面积公式可得出结果. 【详解】取AB 的中点D ，连接SD 、CD ，由SAB ∆和ABC ∆都是正三角形，得SD AB ⊥，CD AB ⊥，则34232SD CD ==⨯=，则(((222222336SD CD SC +=+==，由勾股定理的逆定理，得90SDC ∠=o .设球心为O ，ABC ∆和SAB ∆的中心分别为E 、F . 由球的性质可知：OE ⊥平面ABC ，OF ⊥平面SAB ，又312343OE DF OE OF =====，由勾股定理得2226OD OE DE =+=所以外接球半径为R===.所以外接球的表面积为22804433S Rπππ⎛===⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的计算，解题时要分析几何体的结构，找出球心的位置，并以此计算出球的半径长，考查推理能力与计算能力，属于中等题.12．已知符号函数sgnx100010xxx⎧⎪==⎨⎪-⎩，＞，，＜f（x）是定义在R上的减函数，g（x）＝f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn[g（x）]＝sgn x B．sgn[g（x）]＝﹣sgnxC．sgn[g（x）]＝sgn[f（x）] D．sgn[g（x）]＝﹣sgn[f（x）]【答案】A【解析】【分析】根据符号函数的解析式，结合f（x）的单调性分析即可得解.【详解】根据题意，g（x）＝f（x）﹣f（ax），而f（x）是R上的减函数，当x＞0时，x＜ax，则有f（x）＞f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＞0，此时sgn[g （x）]＝1，当x＝0时，x＝ax，则有f（x）＝f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＝0，此时sgn[g （x）]＝0，当x＜0时，x＞ax，则有f（x）＜f（ax），则g（x）＝f（x）﹣f（ax）＜0，此时sgn[g （x）]＝﹣1，综合有：sgn[g （x）]＝sgn（x）；故选：A．【点睛】此题考查函数新定义问题，涉及函数单调性辨析，关键在于读懂定义，根据自变量的取值范围分类讨论.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020石家庄高考模拟理数

∴BM⊥平面 ADE，CN⊥平面 ADE，∴BM∥CN；由题意知 Rt△ABE≌Rt△DCE，∴BM＝CN， ∴四边形 BCNM 是平行四边形，∴BC∥MN；又 BC⊄平面 ADE，MN⊂平面 ADE，∴BC∥平面 ADE； …… …..5 分（2）由已知，AE、DE 互相垂直，以 E 为原点，ED 所在直线为 x 轴， EA 所在直线为 y 轴，建立空间直角坐标系 E−xyz，如图所示；则 E（0，
于另一点 D，点 O 是△ABD 的重心，则△ACD 的外接圆的半径为（）
A．2
B． 57 6
C． 57 3
D．8
12．已知定义在 R 上的函数 f ( x) 的图像关于 y 轴对称,其导函数为 f ( x) ,当 x…0 时,不等式
xf ( x) 1− f ( x) . 若 x R ,不等式 ex f (ex ) − ex + ax − axf (ax) 0 恒成立,则正整数
2z = 0
1）；……… ….8 分
ur
mv
uuuv EA
=
0
ur
设平面
AEB
的法向量为
m
＝（x，y，z），则
mv
uuuv EB
=
0
，得
m
＝（1，0，0），………
….9
分
ur r cos m, n =
ur r urm nr
= −11+ 0 + 0 = −
3 ，……… ….11 分
=
(2n
−1) 3n−1 ，(n
2)
当 n = 1 时上式也成立，所以 an = (2n −1) 3n−1 .……… …..6 分
……… …..5 分
（2）由（1）知 an = (2n −1) 3n−1 ，

2020届河北省石家庄市高三毕业班综合训练(二)数学(理)试题(wd无答案)

2020届河北省石家庄市高三毕业班综合训练（二）数学（理）试题一、单选题(★★) 1. 已知，集合，则（）A．B．C．D．(★) 2. 设，则的共轭复数的虚部为（）A．-1B．C．1D．(★) 3. 从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（）A．甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B．甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C．乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D．乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐(★★★) 4. 已知关于的不等式的解集为，，则是的A．既不充分也不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．充分而不必要条件(★★) 5. 已知为抛物线：上－点，抛物线的焦点为，则（）A．3B．5C．7D．8(★★★) 6. 若，则的一个可能值为（）A．B．C．D．(★★★) 7. 已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是（）① ，，且，则② ，，且，则③ ，，且，则④ ，、且，则A．①②③B．①③④C．②④D．③④(★★★) 8. 已知函数，则的解集为（）A．B．C．D．(★★★)9. 已知、满足，且目标函数的最大值为，最小值为，则（）A．B．C．D．(★★★★) 10. 已知的三条边，，满足，，分别以边，为一边向外作正方形，.如图，分别为两个正方形的中心（其中，，三点不共线），则当的值最大时，的面积为（）A．B．C．2D．(★★★★) 11. 已知函数，，其中，为自然对数的底数，若，使，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★) 12. 过双曲线：右焦点的直线交的右支于，两点，直线（是坐标原点）交的左支于点.若，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题(★★) 13. 等差数列中，，，则__________.(★★★) 14. 已知，则__________.(★★★★★) 15. 已知向量，，若，的方向是沿方向绕着点按逆时针方向旋转角得到的，则称经过一次变换得到.已知向量经过一次变换后得到，经过一次变换后得到，…，如此下去，经过一次变换后得到，设，则__________.(★★★★) 16. 在四面体中，，，平面，，分别为线段，的中点，现将四面体以为轴旋转，则线段在平面内投影长度的取值范围是__________.三、解答题(★★) 17. 已知数列中，，当时，.（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）设，数列的前项和为，求证：.(★★★) 18. 在三棱柱中，底面是正三角形，侧棱平面，，分别是，的中点，且.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.(★★★★) 19. 某精密仪器生产厂准备购买，，三种型号数控车床各一台，已知这三台车床均使用同一种易损件.在购进机器时，可以额外购买这种易损件作为备件，每个0.1万元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个0.2万元.现需要决策在购买机器时应同时购买几个易损件，为此搜集并整理了三种型号各120台车床在一年使用期内更换的易损零件数，得到如下统计表：每台车床在一年中更换易损件的件数567频数型号60600型号306030型号08040将调查的每种型号车床在一年中更换的易损件的频率视为概率，每台车床在易损件的更换上相互独立. （Ⅰ）求一年中，，三种型号车床更换易损件的总数超过18件的概率；（Ⅱ）以一年购买易损件所需总费用的数学期望为决策依据，问精密仪器生产厂在购买车床的同时应购买18件还是19件易损件？(★★★★) 20. 已知椭圆：和圆：，，为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，当直线与圆相切时，.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）直线：与轴交于点，且与椭圆和圆都相切，切点分别为，，记和的积分别为和，求的最小值.(★★★★★) 21. 已知函数，且.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）在函数的图象上任意取定两点，，记直线的斜率为，求证：存在唯一，使得成立.(★★★) 22. 以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，将曲线绕极点逆时针旋转后得到曲线.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若直线：与，分别相交于异于极点的，两点，求的最大值.(★★★) 23. 已知函数，.（Ⅰ）求函数的最小值；（Ⅱ）对于任意，存在，使得成立，求的取值范围.。

2020年河北省石家庄二中高考数学一模试卷(理科)

2020年河北省石家庄二中高考数学一模试卷（理科）一.选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合1|244x A x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭剟，1|,10B y y lgx x ⎧⎫==>⎨⎬⎩⎭，则(A B =I )A ．[2-，2]B ．(1,)+∞C ．(1-，2]D ．(-∞，1](2,)-+∞U2．（5分）已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1,2)-，则(1zi=+ ) A ．3322i -+ B ．3122i -+ C ．1322i -+ D ．1322i +3．（5分）若,a b rr 是非零向量，则“||||a b =r r ”是“||||a b a b +=-r r r r ”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）函数1()cos 1x x e f x x e +=-g 的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．5．（5分）如图茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩（单位：分，每题5分，共16题）．已知两组数据的平均数相等，则x 、y 的值分别为()A ．0，0B ．0，5C ．5，0D ．5，56．（5分）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”( “钱”是古代一种质量单位），在这个问题中，甲比戊多得( )钱？ A ．23B ．13C ．56D ．167．（5分）将函数()cos2f x x =图象上所有点向左平移4π个单位长度后得到函数()g x 的图象，如果()g x 在区间[0，]a 上单调递减，那么实数a 的最大值为( ) A ．8π B ．4π C ．2π D ．34π8．（5分）已知双曲线2222:1(0,(0)x y C a b a b-=>>，O 为坐标原点，1F 、2F 为其左、右焦点，点G 在C 的渐近线上，2F G OG ⊥，16||||OG GF =，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．2y x =±B ．3y x =±C ．y x =±D ．2y x =±9．（5分）如图所示，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +的最小值为14，则该正四面体的外接球表面积是( )A ．12πB ．32πC ．8πD ．24π10．（5分）已知点G 在ABC ∆内，且满足2340GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r ，现在ABC ∆内随机取一点，此点取自GAB ∆，GAC ∆，GBC ∆的概率分别记为1P 、2P 、3P ，则( ) A ．123P P P ==B ．321P P P >>C ．123P P P >>D ．213P P P >>11．（5分）《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多g 达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵77cm ，横53cm ．油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm （如图所示）．有一身高为175cm 的游客从正面观赏它（该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15)cm ，设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ．为使观赏视角θ最大，x 应为( )A ．77B ．80C ．100D ．212．（5分）已知点P 是曲线sin y x lnx =+上任意一点，记直线(OP O 为坐标原点）的斜率为k ，给出下列四个命题： ①存在唯一点P 使得1k =-； ②对于任意点P 都有0k <； ③对于任意点P 都有1k <；④存在点P 使得1k …，则所有正确的命题的序号为( ) A ．①②B ．③C ．①④D ．①③二.填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）若实数x ，y 满足约束条件2020240x y x y x y -+⎧⎪-⎨⎪+-⎩…„„，则x y +的最小值为14．（5分）已知121101x dxm π--=⎰，则()m x x-的展开式中2x 的系数为（用数字表示）15．（5分）已知点P 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上一点，点P 在第一象限且点P 关于原点O 的对称点为Q ，点P 在x 轴上的投影为E ，直线QE 与椭圆C 的另一个交点为G ，若PQG ∆为直角三角形，则椭圆C 的离心率为．16．（5分）若函数()f x 的导函数()cos()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ'=+>><，()f x '部分图象如图所示，则ϕ= ，函数()()12g x f x π=-，当12,[,]123x x ππ∈-时，12|()()|g x g x -的最大值为．三、解答题（共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求选择其中一个作答.）（一）必考题（共60分）17．（12分）如图，四棱锥P ABCD -中侧面PAB 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB BC ⊥，//BC AD ，12AB BC AD ==，E 是PD 的中点．（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）求二面角B PC D --的余弦值．18．（12分）甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知，（1）判断1S ，2S ，3S 的关系；（2）若133a a -=，设||12n n nb a =，记{}n b 的前n 项和为n T ，证明：43n T <．甲同学记得缺少的条件是首项1a 的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是1S ，3S ，2S 成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．19．（12分）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>2，点(0,1)P 在短轴CD 上，且1PC PD =-u u u r u u u rg。

河北省石家庄市2020届高三数学二模试题理(含解析)

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河北省石家庄市 2020 届高三数学二模试题理（含解析）
一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的
1.设 i 是虚数单位，复数 1 i （） i
A. 1 i
B. -1 i
【答案】D
C. 1 i
D. 1 i
AD1 (3a)2 (3a)2 3 2a,
D1N (3a)2 a2 10a,
AN (3 2a)2 (2a)2 22a,
cos D1NA
10a2 2
22a2 10a
18a2 22a
2
7, 55
sin D1NA
3 2
19 , 55
SD1NA
1 2
A. x |1 x 2
B. {x 1 ＃x 2}
C. x 1 x 1
D. x | x 1
【答案】B 【解析】【分析】
由补集的运算求得 CU A x x 1 ，再根据集合的并集运算，即可求解，得到答案．【详解】由题意，集合 A x x 1, B x 1 x 2 ，则 CU A x x 1 ，根据集合的并集运算，可得 CU A B x 1 x 2 ，故选 B．
线展开到与 AM 所在的面共面， AM , MN, ND1 三线共线时， AM MN ND1 最小，
9
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∴ BM
1 3
BB1
,
C1
N
1 3
C1C
设正方体 AC1 的棱长为 3a ，则 27a3 V ，
∴ a3 V ． 27
取
BG
1 3
BC
，连接
NG

2020年河北省石家庄二中高考数学一模试卷(理科)(有答案解析)

2020年河北省石家庄二中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B.C. D. ，2.已知复数z在复平面内对应的点的坐标为，则A. B. C. D.3.若是非零向量，则“”是“”的A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数的部分图象大致为A. B.C. D.5.下边的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各5名同学在一次数学小题训练测试中的成绩单位：分，每题5分，共16题已知两组数据的平均数相等，则x、y的值分别为A. 0，0B. 0，5C. 5，0D. 5，56.九章算术是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分五钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”“钱”是古代一种质量单位，在这个问题中，甲比戊多得钱？A. B. C. D.7.将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，如果在区间上单调递减，那么实数a的最大值为A. B. C. D.8.已知双曲线C：O为坐标原点，为其左、右焦点，点G在C的渐近线上，，，则该双曲线的渐近线方程为A. B. C. D.9.如图所示，正四面体ABCD中，E是棱AD的中点，P是棱AC上一动点，的最小值为，则该正四面体的外接球表面积是A.B.C.D.10.已知点G在内，且满足，现在内随机取一点，此点取自，，的概率分别记为、、，则A. B. C. D.11.蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵77cm，横油画挂在墙壁上的最低点处B离地面如图所示有一身高为175cm的游客从正面观赏它该游客头顶T到眼睛C的距离为，设该游客离墙距离为xcm，视角为为使观赏视角最大，x应为A. 77B. 80C. 100D.12.已知点P是曲线上任意一点，记直线为坐标原点的斜率为k，给出下列四个命题：存在唯一点P使得；对于任意点P都有；对于任意点P都有；存在点P使得，则所有正确的命题的序号为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若实数x，y满足约束条件，则的最小值为______14.已知，则的展开式中的系数为______用数字表示15.已知点P是椭圆上一点，点P在第一象限且点P关于原点O的对称点为Q，点P在x轴上的投影为E，直线QE与椭圆C的另一个交点为G，若为直角三角形，则椭圆C的离心率为______．16.若函数的导函数，部分图象如图所示，则______，函数，当时，的最大值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，四棱锥中侧面PAB为等边三角形且垂直于底面ABCD，，E是PD的中点．证明：直线平面PAB；求二面角的余弦值．18.甲、乙两同学在复习数列时发现原来曾经做过的一道数列问题因纸张被破坏，导致一个条件看不清，具体如下：等比数列的前n项和为，已知______，判断，，的关系；若，设，记的前n项和为，证明：．甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q的值，并且他俩都记得第问的答案是，，成等差数列．如果甲、乙两同学记得的答案是正确的，请你通过推理把条件补充完整并解答此题．19.如图，椭圆E：的离心率是，点在短轴CD上，且Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点．是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．20.调味品品评师的重要工作是对各种品牌的调味品进行品尝，分析、鉴定，调配、研发，周而复始、反复对比．对调味品品评师考核测试的一种常用方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的调味品让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n瓶调味品，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试．根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现设，分别以，，，表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种调味品在第二次排序时的序号，并令，则X是对两次排序的偏离程度的一种描述．如第二次排序时的序号为1，3，2，4，则．写出X的所有可能值构成的集合；假设，，的排列等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X的数学期望；某调味品品评师在相继进行的三轮测试中，都有．试按中的结果，计算出现这种现象的概率假定各轮测试相互独立；请你判断该调味品品评师的品味鉴别能力如何？并说明理由．21.已知函数．求曲线在处的切线方程；关于x的不等式在上恒成立，求实数的取值范围；若，且，证明：．22.已知曲线：为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．把的参数方程化为极坐标方程；求与交点的极坐标．23.已知绝对值不等式：当时，求x的范围；若对于任意的实数x以上不等式恒成立，求a的范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：集合，，．故选：C．求出集合A，B，由此能求出．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：解：由题意，，则．故选：D．由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：D解析：解：由向量加法的平行四边形法则知：平行四边形是菱形，推不出两条对角线相等，即推不出；平行四边形是矩形，推不出；“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．根据充分条件和必要条件的定义结合向量加法的平行四边形法则进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义结合向量加法的平行四边形法则是解决本题的关键．4.答案：A解析：解：因为，所以为奇函数，排除C，当时，，排除B、D，故选：A．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，结合极限思想进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和极限思想是解决本题的关键．比较基础．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查的是茎叶图的有关知识，根据两组数据的平均数相等得到两组数据的和相等，然后列式求解即可．【解答】解：由题意两组数据的平均数相等，两组数据和相等，则，即，则，．故选B．6.答案：A解析：解：设甲、乙、丙、丁、戊五人分五得的钱数分别为，，，，，公差为d，则由题意可得，，，，解可得，，故选：A．由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可直接求解．本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式在实际问题中的应用，属于基础试题．7.答案：B解析：解：将函数图象上所有点向左平移个单位长度后得到函数的图象，则，设，则当时，，，即，要使在区间上单调递减，则得，得，即实数a的最大值为，故选：B．根据条件先求出的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合平移关系求出函数的解析式，以及利用换元法结合三角函数的单调性是解决本题的关键，难度不大．8.答案：D解析：解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，焦点，，设G在第一象限，坐标为，因为，所以，即，整理可得：，解得：，所以，因为，可得，整理可得：，可得，，，所以所以双曲线的渐近线的方程为：，故选：D．由题意设G的坐标，再由可得数量积为0可得G的坐标，再由可得a，c，b的关系式，再由双曲线中的a，b，c之间的关系求出a，b的关系，进而可得双曲线的渐近线的方程．考查双曲线的性质及其渐近线的方程的求法，由线段的垂直可得向量的数量积为0的性质，属于中档题．9.答案：A解析：解：将三角形ABC与三角形ACD展成平面，的最小值，即为BE两点之间连线的距离，则设，则，由余弦定理，解得，则正四面体棱长为，因为正四面体的外接球半径是棱长的倍，所以，设外接球半径为R，则，则表面积．故选：A．根据题给的动点问题，将问题从立体转为平面，即可求出正四面体的棱长，求出答案．本题考查球的表面积，考查动点问题，以及正四面体外接球问题，属于中档题．10.答案：C解析：解：点G在内，且满足，，延长GB到，使得，延长GC到，使得，连接、、，则，所以G是的重心，如图所示；设的面积为3S，则；又，，；所以，，的面积比为：：：3：2；所以：：：3：2，所以．故选：C．根据题意延长GB到，使得，延长GC到，使得，得出，G是的重心；设的面积为3S，求出，，的面积比，即可得出、、的大小．本题考查了平面向量的线性运算问题，也考查了运算求解能力，是难题．11.答案：D解析：解：如图所示，设，则．，解得，当且仅当，即时取等号．故选：D．如图所示，设，可得，化简解出，变形利用基本不等式的性质即可得出．本题考查了基本不等式的性质、解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.答案：D解析：解：任意取x为一正实数，一方面，另一方面由和直线的图象容易证成立，，与中两个等号成立条件不一样，恒成立，，则正确，错误；当时，，，则错误；对于，存在唯一点P使得，也就是存在唯一解，令，则存在唯一解，恒成立，函数，在上单调递增，又，，存在唯一解，故正确，故选：D．结合正弦函数的值域和对数函数和直线的关系，即可判断；当时，，即可判断；对于，存在唯一点P使得，即存在唯一解，令，则存在唯一解，运用导数判断单调性结合零点存在定理，可判断，由排除法即可得到结论．本题考查直线的斜率的范围，正弦函数的性质，函数的导数与单调性的运用和零点存在定理，考查了考查分类讨论思想和推理能力，属中档题．13.答案：解析：解：由题意作平面区域如下，由解得，，令则经过可行域的A时，目标函数取得最小值．故的最小值是，故答案为：．由题意作平面区域，根据的几何意义，从而求最小值．本题考查了线性规划，同时考查了学生的作图能力及数形结合的思想方法应用．14.答案：解析：解：因为，而表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆的面积；故；；其展开式的通项公式为：；令；的展开式中的系数为：．故答案为：．先有积分的几何意义求解m，再根据其通项公式求解结论．本题主要考查二项式定理以及定积分的应用，二项式展开式的通项公式，属基础题．15.答案：解析：解：设，则有题意可得：，，设，，由作差可得：，所以，所以，所以，因为为直角三角形，所以，所以，，所以，所以，所以离心率，故答案为：．设P的坐标，有题意可得Q，E的坐标，设P的坐标，有题意可得，再由三角形PQG 为直角三角形，所以，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系求出离心率．本题考查椭圆的性质，关于中心对称的椭圆上的点与椭圆上其他点的斜率之积为定值，及求离心率，属于中档题．16.答案：解析：解：由图可知，，，故，因此，由“五点作图法”得：，解得：，故，所以，，所以，当时，，，所以，，所以，当时，--，故答案为：；．由的图象可求得其解析式，继而可得与的解析式，由时，，，可得，，从而可得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，求得的解析式是关键，考查三角函数的图象变换及三角函数的性质，考查识图能力与运算能力，属于中档题．17.答案：解：取PA的中点F，连接FE，FB，是PD的中点，，又，，四边形EFBC是平行四边形，，又CE不在平面PAB内，BF在平面PAB内，平面PAB．在平面PAB内作于O，不妨令，则，由是等边三角形，则，O为AB的中点，，分别以AB、PO所在的直线为x轴和z轴，以底面内AB的中垂线为y轴建立空间直角坐标系，则，，设平面PBC的法向量为，平面PDC的法向量为，则，故可取，，故可取，，经检验，二面角的余弦值的大小为．解析：证明四边形EFBC是平行四边形，可得，进而得证；建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求得余弦值．本题考查线面平行的判定以及利用空间向量求解二面角的余弦值，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于基础题．18.答案：解析：解：由题意可得，，，可得，即，，成等差数列；证明：由，可得，解得，，则，，上面两式相减可得--，化简可得，由，可得．可补充公比q的值，由等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，计算可得所求结论；由等比数列的通项公式求得，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，不等式的性质，即可得证．本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ根据题意，可得，，又，且，，解得，，椭圆E的方程为：；Ⅱ结论：存在常数，使得为定值．理由如下：对直线AB斜率的存在性进行讨论：当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，联立，消去y并整理得：，，，，从而．当时，，此时为定值；当直线AB的斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时；故存在常数，使得为定值．解析：Ⅰ通过、，计算即得、，进而可得结论；Ⅱ分情况对直线AB斜率的存在性进行讨论：当直线AB的斜率存在时，联立直线AB与椭圆方程，利用韦达定理计算可得当时；当直线AB的斜率不存在时，．本题考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想，注意解题方法的积累，属于难题．20.答案：解：的可能值集合为2，4，6，，在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以，中的奇数个数等于，中的偶数个数，因此与的奇偶性相同，从而必为偶数，X的值非负，且易知其值不大于8．由此能举出使得X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X值，在等可能的假定下，得到X 0 2 4 6 8P．首先，将三轮测试都有的概率记做p，由上述结果和独立性假设，得．由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．解析：在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，从而，中的奇数个数等于，中的偶数个数，进而与的奇偶性相同，由此能举出使得X所有可能值构成的集合．可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，由此能求出X的数学期望．首先，将三轮测试都有的概率记做p，由独立性假设能求出结果．由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小，从而我们认为该品酒师确定有良好的味觉鉴别功能，不是靠随机猜测．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21.答案：解：，所以，，故曲线在处的切线方程为即；，，即，，当时，当时，可得，令，，则，设，，则，即在上单调递增，，故，故在上单调递增，，由洛必达法则可知，，故，当时，同理可得，，综上可得，．设，，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，故当时，函数取得最小值0，因此，设直线与的交点为则，，且，当且仅当时取等号．又由可知，记直线分别于交于点．则，，且，当且仅当时取等号．因此．因为等号成立的条件不能同时满足，．．解析：利用导数的几何意义求解；等价于，，当时，当时，可得，令，，可得故在上单调递增，，由洛必达法则可得．设直线与的交点为则，记直线分别于交于点则，，且，当且仅当时取等号．可得即可证明．本题考查了利用导数处理切线、恒成立问题，考查了切线放缩，考查了转化思想，属于难题．22.答案：解：把曲线：的参数t消去，可得：，即，把代入可得，故的极坐标方程为．曲线的极坐标方程为，化为，化为普通方程：．联立，解得或．极坐标分别为，．解析：利用把曲线：的参数t消去，可得：，即把代入即可得出．曲线的极坐标方程为，化为，化为普通方程：联立解得即可．本题考查了把参数方程、极坐标方程化为普通方程、两圆的交点转化为方程联立，考查了计算能力，属于基础题．23.答案：解当时，原不等式变为：，故或或，解此不等式可得：或，由，所以恒成立，即恒成立，所以．解析：代入a的值，通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；求出的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．本题考查了分类讨论思想，转化思想，考查不等式的性质，是一道基础题．。