山东省潍坊市高密一中2021届高三数学3月质量检测试题(含解析)

山东省潍坊市高密一中2021届高三数学3月质量检测试题（含解析）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|2,0xA y y x -==<，集合12|B x y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=（ ）A. [)1,+∞B. ()1,+∞C. ()0,+∞D. [)0,+∞ 【答案】B 【解析】 因为，，所以A B ⋂=()1,+∞.故选B.2.设()()()2i 3i 35i x y +-=++(i 为虚数单位），其中,x y 是实数，则ix y +等于( ) A. 5 13 C. 22 D. 2【答案】A 【解析】由()()()2i 3i 35i x y +-=++，得()()632i 35i x x y ++-=++，∴63325x x y +=⎧⎨-=+⎩，解得34x y =-⎧⎨=⎩，∴i 34i 5x y +=-+=．故选A ．3.已设,a b 都是正数，则“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由33a b log log ＜和333a b ＞＞分别求出a ，b 的关系，然后利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法得答案． 【详解】由33a b log log ＜，得01b a ＜＜＜或01a b ＜＜＜或1a b ＞＞，由333a b ＞＞，得1a b ＞＞，“33a b log log ＜”是“333a b ＞＞”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题主要考查了必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了不等式的性质，属于中档题．4.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知．3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名．若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是 A. 甲 B. 乙C. 丙D. 无法预测【答案】A 【解析】 【分析】若甲的预测正确，则乙、丙的预测错误，推出矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，推出矛盾！若丙的预测正确，甲、乙的预测错误，可推出三个人的名次．【详解】若甲的预测正确，乙、丙的预测错误，则丙是第一名，甲不是第三名，则甲是第二名，乙是第三名，矛盾！若乙的预测正确，甲、丙的预测错误，则乙是第三名，甲的预测错误，那么甲是第三名，矛盾！若丙的预测正确，则甲、乙的预测错误，则甲是第三名，乙不是第三名，丙是第一名，则乙是第二名．因此，第三名是甲，故选A ．【点睛】本题考查合情推理，突出假设法在推理中的应用，通过不断试错来推出结论，考查推理分析能力，属于中等题．5.《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题:“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4.在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.415B.158C.154D. 120【解析】 【分析】由题意，根据给出计算方法：扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式列出方程，即可求解.【详解】由题意，根据给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4，再由扇形的弧长公式，可得扇形的圆心角301584l r α===（弧度），故选C. 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式的实际应用问题，其中解答中认真审题，正确理解题意，合理利用扇形的弧长公式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.若22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A. 210B. 180C. 160D. 175【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得出二项式的指数n 的值，再利用展开式的通项公式求出常数项是多少．【详解】解：22nx ⎫⎪⎭展开式中只有第六项的二项式系数最大，∴展开式中共有11项，n ＝10；∴展开式的通项公式为551021101022()(1)2r rrr r r rr T C C x x--+=⋅-=-⋅⋅令5502r-=，得2r ，∴常数项是2221102180T C +=⋅=，故选B ．【点睛】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了逻辑推理与运算能力，是基础题目． 7.泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30°，则“泉标”的高度为（ ） A. 50mB. 100mC. 120mD. 150m【解析】 【分析】先设DC ＝x ，然后在△ABC 中，利用余弦定理可得2221(3)10021002x x x =+-⨯⨯⨯，再求解即可.【详解】解:根据题意，作出图形如图所示： 所以AB ＝100，∠BAC ＝60°，∠DBC ＝30°， 设DC ＝x ，所以AC ＝x ，BC 3x =，在△ABC 中，利用余弦定理的应用得2221(3)10021002x x x =+-⨯⨯⨯， 得25050000x x -=+， 又0x >， 解得50x =， 故选:A【点睛】本题考查了余弦定理的应用，重点考查了运算能力，属基础题. 8.已知函数()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，31()2x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像交点为()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，则128128x x x y y y +++++++的值为( )A. 20B. 24C. 36D. 40【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件判断()f x 和()g x 都关于()2,3中心对称，由此求得128128x x x y y y +++++++的值.【详解】由于()f x 满足(2)(2)6f x f x -++=，当0x =时，()23f =，所以()f x 关于()2,3中心对称.由于()325315()3222x x g x x x x -+-===+---，所以()g x 关于()2,3中心对称.故()f x 和()g x 都关于()2,3中心对称.所以()f x 与()g x 的图像交点()11,x y ，()22,x y ，…，()88,x y ，两两关于()2,3对称.所以128128x x x y y y +++++++828340=⨯+⨯=.故选D.【点睛】本小题主要考查函数图像的对称性，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 二、多项选择题：本题共4小题，中学联盟每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F 为一个焦点的椭圆，如图所示，已知它的近地点A （离地面最近的点）距地面m 千米，远地点B （离地面最远的点）距地面n 千米，并且F A B 、、三点在同一直线上，地球半径约为R 千米，设该椭圈的长轴长、短轴长、焦距分别为222a b c 、、，则（ ）A. a c m R -=+B. a c n R +=+C. 2a m n =+D.()()b m R n R =++【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件数形结合可知m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，然后变形后，逐一分析选项，得到正确答案.【详解】因为地球的中心是椭圆的一个焦点，并且根据图象可得m a c Rn a c R =--⎧⎨=+-⎩，（*）a c m R ∴-=+ ，故A 正确； a c n R +=+，故B 正确；（*）两式相加22m n a R +=-，可得22a m n R =++，故C 不正确；由（*）可得m R a c n R a c+=-⎧⎨+=+⎩ ，两式相乘可得()()22m R n R a c ++=-222a c b -= ，()()2b m R n R b ∴=++⇒=，故D 正确.故选ABD【点睛】本题考查圆锥曲线的实际应用问题，意在考查抽象，概括，化简和计算能力，本题的关键是写出近地点和远地点的方程，然后变形化简.10.甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ） A. ()25P B =B. ()15|11P B A =C. 事件B 与事件1A 相互独立D. 1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件 【答案】BD 【解析】 【分析】由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，由条件概率公式求出1(|)P B A ，()()()()123P B P B A P B A P B A =⋅+⋅+⋅对照四个选项判断即可.【详解】由题意1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，12351213(),(),()10210510P A P A P A =====， ()11115()52111()112|P P BA P A B A ⨯===，故B 正确；()()()()123552434910111011101122P B P B A P B A P B A =⋅+⋅+⋅=⨯+⨯+⨯=，故A ，C 不正确；1A ，2A ，3A 是两两互斥的事件，故D 正确.故选：BD ．【点睛】本题考查了互斥事件和条件概率，考查了学生实际应用，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.11.已知点P 是双曲线E ：221169x y -=的右支上一点，1F ，2F 为双曲线E 的左、右焦点，12PF F ∆的面积为20，则下列说法正确的是（ ）A. 点P 的横坐标为203B. 12PF F ∆的周长为803C. 12F PF ∠小于3π D. 12PF F ∆的内切圆半径为34【答案】ABC 【解析】 【分析】设12F PF ∆的内心为I ，连接22IP IF IF 、、，设()P m n ，,利用12PF F ∆的面积为20，可求得P 点坐标；12PF F ∆的周长为2121|+|||||F P F F F P +，借助P 点坐标，可得解；利用1PF k ，2PF k 可求得12tan F PF ，可研究12F PF ∠范围；()12121212PF F S r PF PF F F ∆=++可求得内切圆半径r .【详解】设12F PF ∆的内心为I ，连接22IP IF IF 、、，双曲线E ：221169x y -=中的4a =，3b =，5c =， 不妨设()P m n ，，0m >，0n >， 由12PF F ∆的面积为20，可得1215202F F n cn n ===，即4n =， 由2161169m -=，可得203m =，故A 符合题意； 由2043P ⎛⎫⎪⎝⎭，，且()150F -，，()250F ，， 可得11235PF k =，2125PF k =， 则(121212360535tan 0312123191535F PF -==∈⨯+⨯，，则123F PF π<∠，故C 符合题意；由2123525371350161699333PF PF +=++=+=，则12PF F ∆的周长为50801033+=，故B 符合题意； 设12PF F ∆的内切圆半径为r ，可得()12121211422r PF PF F F F F ++=⋅⋅，可得80403r =，解得32r =，故D 不符合题意． 故选：ABC ．【点睛】本题考查了双曲线的性质综合，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于中档题.12.已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，侧棱11AA =，P 为上底面1111D C B A 上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（ ） A. 若3PD =，则满足条件的P 点有且只有一个 B. 若3PD =，则点P 的轨迹是一段圆弧 C. 若PD ∥平面1ACB ，则DP 长的最小值为2D. 若PD ∥平面1ACB ，且3PD =，则平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形的面积为94π 【答案】ABD 【解析】 【分析】若3PD =，由于P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一；()313PD =∈，，则12PD =，即点P 的轨迹是一段圆弧；当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为3=，可判断C ；平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为32=，可得D .【详解】如图：∵正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2， ∴1122B D =11AA =， ∴()2212213DB =+=，则P 与1B 重合时3PD =，此时P 点唯一，故A 正确；∵()13PD =，，11DD =，则1PD =P 的轨迹是一段圆弧，故B 正确；连接1DA ，1DC ，可得平面11//A DC 平面1ACB ，则当P 为11A C 中点时，DP 有最小值为=，故C 错误；由C 知，平面BDP 即为平面11BDD B ，平面BDP 截正四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球所32=，面积为94π，故D 正确． 故选：ABD ．【点睛】本题考查了立体几何综合，考查了学生空间想象，逻辑推理，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(1,1)a x =+，(,2)b x =，若满足a b ，且方向相同，则x =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【详解】∵a b ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1．【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．14.已知m 是2与8的等比中项，则圆锥曲线221yx m-=的离心率是_____．【解析】 【分析】由m 是2与8的等比中项算出4m =±,再分两种情况计算圆锥曲线221yx m-=的离心率即可.【详解】由m 是2与8的等比中项有22816m ,故4m =±.当4m =时圆锥曲线方程2214y x -=,为焦点在x 轴的双曲线,其中1,a c ==此时离心率e =当4m =-时圆锥曲线方程2214y x +=,,为焦点在y 轴的椭圆,其中2,a c ==此时离心率2e =【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线方程运用,属于基础题型.15.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数()f x 为“倒戈函数”．设()321xf x m =+-（m R ∈，且0m ≠）是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是_____．【答案】103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， 【解析】 【分析】()()00f x f x -=-即004332x x m -=--+，构造函数00332x x y -=--+，[]011x ∈-，，利用换元法求函数值域，即得解.【详解】∵()321xf x m =+-是定义在[﹣1，1]上的“倒戈函数，∴存在[]011x ∈-，满足()()00f x f x -=-， ∴00321321x x m m -+-=--+， ∴004332x x m -=--+，构造函数00332x x y -=--+，[]011x ∈-，，令03x t =，133t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， 12y t t =--+，403y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，， ∴4403m -≤<， ∴103m -≤<，故答案为：103⎡⎫-⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】本题考查了函数综合，考查了学生，综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.16.已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________. 【答案】 (1). 2π (2). 2π 【解析】 【分析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积； ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值．【详解】函数(),()f x x g x x ωω=，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，(),()f x x g x x ωω=．所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为2=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则22222222πω+⎭⋅＝， 解得ω的最小值为 2π． 故答案为：2π， 2π．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）13-=n n a ; （2）13211()()443n n n T . 【解析】 【分析】（1）利用2n ≥时，1n n n a S S -=-求解；检验11a =成立即可求解 （2）由3n na b n a = ，得11(1)()3n nb n ，利用错位相减求和即可【详解】（1）令123S n n a a a a1n =时，11a = 2n ≥时，113n nnna S S ，11a =满足所以13-=n n a ； （2）由3n na b n a = ，11(1)()3n nb n12n n T b b b 2112()3311(1)()3n n ①23111()2()333n T 11(2)()3n n 1(1)()3n n ②①-②得 2211()333n T 111()(1)()33n n n 111[1()]233131()3n n T 1(1)()3n n13211()()443n n n T【点睛】本题考查利用前n 项和求通项公式，考查错位相减求和，准确利用前n 项和求出通项公式是关键，是中档题18.在锐角ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知sin sin 3b A a B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．（1）求角B 的大小； （2）求ca的取值范围 【答案】（1）3B π=；（2）1,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 分析】（1）根据正弦定理边化角，与两角和的正弦公式求得B 的值；（2）根据正弦定理边化角，再利用同角三角函数关系结合角的范围求得取值范围． 【详解】（1）由sin sin 3b A a B π⎛⎫=+⎪⎝⎭， 根据正弦定理，有sin sin sin sin 3B A A Bπ⎛⎫=+⎪⎝⎭即有1sin sin sin 32π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭B B B B则有tan 3B =，又0B π<<， 所以，3B π=（2）由（1），3B π=，则23A C π+=，又ABC ∆为锐角三角形， 所以，02A π<<且2032A <-<ππ， 所以62A ππ<<，于是3tan 3>A 则231sin cos sin sin 313222sin sin sin 2π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭====+<A A A c C a A A A 又31122+>所以，c a 的取值范围是1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了正弦定理、同角的三角函数关系以及两角和差的正弦公式，正确求得角的范围是解题的关键．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，CA CB =，145BAA ∠=︒，平面11AA C C ⊥平面11AA B B .（1）求证：1AA BC ⊥；（2）若122BB AB ==，直线BC 与平面11ABB A 所成角为45︒，D 为1CC 的中点，求二面角111B A D C --的余弦值.【答案】（1）见解析（2）22【解析】 【分析】（1）过点C 作CO ⊥AA 1，则CO ⊥平面AA 1B 1B ，CO ⊥OB ，推导出Rt△AOC ≌Rt△BOC ，从而AA 1⊥OB ，再由AA 1⊥CO ，得AA 1⊥平面BOC ，由此能证明AA 1⊥BC ．（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B 1﹣A 1D ﹣C 1的余弦值． 【详解】（1）过点C 作1CO AA ⊥，垂足为O ，因为平面11AA C C ⊥平面11AA B B ， 所以CO ⊥平面11AA B B ，故CO OB ⊥，又因为CA CB =，CO CO =，90COA COB ∠=∠=︒， 所以Rt AOC Rt BOC ∆≅∆，故OA OB =， 因为145A AB ∠=︒，所以1AA OB ⊥，又因为1AA CO ⊥，所以1AA ⊥平面BOC ，故1AA BC ⊥.（2）以O 为坐标原点，OA ，OB ，OC 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，因为CO ⊥平面11AA B B ，所以CBO ∠是直线BC 与平面11AA B B 所成角， 故45CBO ∠=︒， 所以2AB =，1AO BO CO ===，()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,0,1C ，()11,0,0A -，()12,1,0B -，()1,0,1D -，设平面11A B D 的法向量为()111,,n x y z =，则1100n A D n B D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以111100z x y z =⎧⎨-+=⎩， 令11x =，得()1,1,0n =， 因为OB ⊥平面11AAC C ，所以OB 为平面11AC D 的一条法向量，()0,1,0OB =， 2cos,n OB n OB n OB⋅==⋅， 所以二面角111B A D C --的余弦值为22. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 20.为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民乘车候车时间为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间随机变量X 满足正态分布()2,N μσ在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图频率分布直方图.（1）在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组中的各个值，试估计2,μσ的值； （2）在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由.5.16≈≈≈，76340.84130.2898,0.84130.3546,0.15870.0040,0.15870.0006≈≈≈≈，()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=，(33)0.9973P X μσμσ-<<+=）【答案】（1）10μ=，219.2σ=（2）准点率正常，详见解析 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图结合均值和方差公式可求出μ和σ；（2）由正态分布求得(14.38)P x >再根据n 次独立重复试验中事件发生k 次的概率公式求有3名乘客候车时间超过15分钟的概率从而得出结论.【详解】（1）0.120.260.4100.2140.11810μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()22222280.140.2(1010)0.419.2s σ==⨯⨯+⨯+-⨯=（2）10 4.3814.38μσ+=+=，设3名乘客候车时间超过15分钟的事件为A ，1()(14.38)0.15872p X P x μσμσ--<<+>==，33710()(0.1587)(0.8413)0.1390.003P A C =≈>，准点率正常【点睛】考查正态分布，考查数学建模，数据分析，数学运算的数学素养.21.已知椭圆2:2(0)C y px p =>，点F 为抛物线的焦点，焦点F 到直线3x-4y+3=0的距离为d 1，焦点F 到抛物线C 的准线的距离为d 2，且1235d d =． (1)抛物线C 的标准方程;(2)若在x 轴上存在点M ，过点M 的直线l 分别与抛物线C 相交于P 、Q 两点，且2211PMQM+为定值，求点M 的坐标.【答案】（1）24y x =；（2）()2,0M【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离公式以及抛物线的性质可求得1d 和2d ，再结合1235d d =解出p 即可得抛物线的方程；（2）设点M 的坐标为(),0t ，设点P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，设直线l 的方程为x my t =+，与抛物线方程联立可得PM ， QM ，把根与系数的关系代入可得()2222211221t m m t PMQM++=+，由其为定值可得2t =，即得结果. 代入同理可得结论．【详解】（1）由题意知，焦点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则133362510pp d ++==，2d p =， 又363105p p +=，解得：2p =.故抛物线C 的标准方程为24y x =. （2）设点M 的坐标为(),0t ，设点P ，Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 显然直线l 的斜率不为0.设直线l 的方程为x my t =+.联立方程2,4,x my t y x =+⎧⎨=⎩消去x ，并整理得2440y my t --=，则()2160m t ∆=+>且124y y m +=，124y y t .由1PM ==，2QM y ==.有()()()221222222222212121111111y y m ym ym y y PMQM++=+=+++.()()222222168216121m t t m m t m t ++==++若2211PMQM +为定值，必有2t =.所以当2211PMQM+为定值时，点M 的坐标为()2,0.【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、定点问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 22.已知函数()()20f x lnx ax x a =--+≥．()1讨论函数()f x 的极值点的个数；()2若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，证明：()()12322f x f x ln +>-．【答案】(1)见解析 (2)见解析 【解析】 【分析】()1先求出函数的导函数，通过讨论a 的范围确定导函数的符号，从而得出函数的单调区间，进而判断函数极值点个数；()2由()1可知当且仅当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 有极小值1x 和极大值2x ，且1x ，2x 是方程的两个正根，则1212x x a +=，121.2x x a=根据函数()2f x lnx ax x =--+表示出()()121214f x f x lna ln a +=+++，令()1214g a lna ln a=+++，通过对()g a 求导即可证明结论． 【详解】解：()1函数()()20f x lnx ax x a =--+≥，()()2212121210ax x ax x f x ax x x x x-+-+-∴=--+>=-'=， 0x > 0a ≥，∴当0a =时，()1x f x x'-=，0x >， 当()0,1x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；∴当1x =时，()f x 有极小值；当18a ≥时，0≤，故()0f x '≤， ()f x ∴在()0,+∞上单调递减，故此时()f x 无极值； 当108a <<时，0>，方程()0f x '=有两个不等的正根1x ，2x ．可得114x a =214x a=．则当x ⎛∈ ⎝⎭及x ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭时， ()0f x '<，()f x 单调递减；当x ∈⎝⎭时，()0f x '> ；()f x 单调递增； ()f x ∴在1x x =处有极小值，在2x x =处有极大值．综上所述：当0a =时，()f x 有1个极值点； 当18a ≥时，()f x 没有极值点； 当108a <<时，()f x 有2个极值点． ()2由()1可知当且仅当10,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时()f x 有极小值点1x 和极大值点2x ，且1x ，2x 是方程的两个正根， 则1212x x a +=，1212x x a=． ()()()(()()2121212121211[)2ln 212144f x f x x x a x x x x lnx lnx a lna ln a a ⎤∴+=+-+--+=++=+++⎦；令()1214g a lna ln a=+++， 108a <<；()24104a g x a-'=<， ()g a ∴在10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，故()13228g a g ln ⎛⎫>=- ⎪⎝⎭， ()()12322f x f x ln ∴+>-．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，注意分类讨论思想的运用，属于难题．。