07-08学年师大附中第一学期期末考试高二数学试卷-(理科)(0)

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2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷附答案解析

2023-2024学年湖南师大附中高二数学上学期期末考试卷时量：120分钟满分：150分一､选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，1．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则A．22+11()x y +=B．22(1)1x y -+=C．22(1)1y x +-=D．22(+1)1y x +=2．直线() 2140x m y +++=与直线 320mx y +-=平行，则m =A．2B．2或3-C．3-D．2-或3-3．已知角α的终边与单位圆的交于点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin tan αα⋅=()A．3-B．3±C．32-D．32±4．随着新一轮科技革命和产业变革持续推进，以数字化、网络化、智能化以及融合化为主要特征的新型基础设施建设越来越受到关注.5G 基站建设就是“新基建”的众多工程之一，截至2020年底，我国已累计开通5G 基站超70万个，未来将进一步完善基础网络体系，稳步推进5G 网络建设，实现主要城区及部分重点乡镇5G 网络覆盖.2021年1月计划新建设5万个5G 基站，以后每个月比上一个月多建设1万个，预计我国累计开通500万个5G 基站时要到（）A．2022年12月B．2023年2月C．2023年4月D．2023年6月5．已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝（）A．1B．243C．121D．1226．设椭圆E 的两焦点分别为1F ，2F ，以1F 为圆心，12F F 为半径的圆与E 交于P ，Q 两点，若12PF F ∆为直角三角形，则E 的离心率为A．1C．17．如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 为线段BD 上的一动点，若()0,0AF x AE yDC x y =+>>，则22341x y -+的最大值为（）A．12B．34C．1D．28．已知当e x ≥时，不等式11e ln ax x a xx +-≥恒成立，则正实数a 的最小值为（）A．1B．1eC．eD．21e二､多选题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A．4个班分别从3个景点选择一处游览，不同的选法的种数是43；B．从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有10个；C．两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，一共有5种取法；D．从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，一共可以组成10个分数；10．设等比数列{}n a 的公比为q，其前n 项和为n S ，前n 项积为nT，并且满足条件11a >，781a a ⋅>，87101a a -<-，则下列结论正确的是（）A．01q <<B．791a a ⋅>C．n S 的最大值为9S D．n T 的最大值为7T 11．已知函数()sin cos f x x x x x=+-的定义域为[)2,2ππ-，则（）A．()f x 为奇函数B．()f x 在[)0,p 上单调递增C．()f x 有且仅有4个极值点D．()f x 恰有4个极大值点12．下列有关正方体的说法，正确的有（）A．正方体的内切球､棱切球､外接球的半径之比为B．若正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,Q 为正方体侧面11BCC B 上的一个动点，,E F 为线段1AC 的两个三等分点，则QE QF+的最小值为C．若正方体8个顶点到某个平面的距离为公差为1的等差数列，则正方体的棱长为D．若正方体ABCD A B C D -''''的棱长为3，点P 在棱CC '上，且2PC PC ='，则三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为99π4三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知函数()2ln 2f x x x ax =++，若()e 0f '=，则=a .14．若直线10x ay a +--=与圆22:(2)4C x y -+=交于,A B 两点，当AB 最小时，劣弧 AB 的长为.15．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()2cos sin cos a c B A A -=，a =且cos sin B C =-，则bc =.16．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n -=>>有公共焦点()()12,0,,0(0)F c F c c ->，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率为2e ，点P 为两曲线的一个公共点，且1260,F PF I ∠=为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，且0,GP IP x ⋅=轴上点,A B 满足,AI IP BG GP λμ==，则12e e 的最小值为；22λμ+的最小值为.四､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．已知函数()()2cos cos sin f x x x x x=-+.(1)求函数()f x 的单调递减区间和最小正周期；(2)若当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()f x m ≥有解，求实数m 的取值范围.18．用总长为52m3的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制容器底面一边比另一边的长多1m ，那么高为多少时容器的容积最大？最大容积是多少？19．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架,ABCD ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子,M N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN的长度保持相等，记(0CM BN t t ==<<.(1)求MN 长的最小值；(2)当MN 的长最小时，求二面角A MN B --的正弦值.20．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足13,,4,.nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数(1)记2n n b a =，证明：{}1n b +为等比数列；(2)求数列{}n a 的通项公式及其前21n -项和21n S -.21．阅读材料并解决如下问题：Bézier 曲线是计算机图形学及其相关领域中重要的参数曲线之一.法国数学家DeCasteljau 对Bézier 曲线进行了图形化应用的测试，提出了DeCasteljau 算法：已知三个定点，根据对应的一定比例，使用递推画法，可以画出抛物线.反之，已知抛物线上三点的切线，也有相应边成比例的结论.已知抛物线2Γ:2(0)y px p =>上的动点到焦点距离的最小值为12.(1)求Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；(2)如图，,,A B C 是Γ上的三点，过三点的三条切线分别两两交于点,,D E F ，若//AC DF ，求BD BF的值.22．设()()e e 21x x f x ax =--且()0f x ≥恒成立.(1)求实数a 的值；(2)证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2--<<f x .1．C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -=则22(1)1y x +-=．故选C．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．2．B【分析】两直线平行，斜率相等；按10m +=，0m =和10,0m m +≠≠三类求解.【详解】当10m +=即1m =-时，两直线为240x +=，320x y -+-=，两直线不平行，不符合题意；当0m =时，两直线为240x y ++=，320y -=两直线不平行，不符合题意；当10,0m m +≠≠即1,0m m ≠-≠时，直线2(1)40x m y +++=的斜率为21m -+，直线320mx y +-=的斜率为3m -，因为两直线平行，所以213mm -=-+，解得2m =或3-，故选B.【点睛】本题考查直线平行的斜率关系，注意斜率不存在和斜率为零的情况.3．C【详解】分析：首先求出点P 的坐标，再利用三角函数的定义得出cos ,sin αα的值，进而由同角三角函数基本关系式求出结果即可．详解：∵点1,2P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭在单位圆上，2y ∴=±，则由三角函数的定义可得得1cos ,22αα=-=±则23sin 34sin ·tan .1cos 22αααα===--点睛：此题考查了三角函数的定义以及同角三角函数基本关系式的应用，求出y 的值是解题的关键．4．B【分析】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，结合等差数列的前n 项和公式列得关于n 的方程，解之即可．【详解】每个月开通5G 基站的个数是以5为首项，1为公差的等差数列，设预计我国累计开通500万个5G 基站需要n 个月，则(1)70515002n n n -++⨯=，化简整理得，298600n n +-=，解得25.17n ≈或34.17-（舍负），所以预计我国累计开通500万个5G 基站需要25个月，也就是到2023年2月.故选：B．5．B【分析】运用赋值法建立方程组，解之可得选项.【详解】令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1①，令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243②，①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.，①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.故选：B.【点睛】方法点睛：对形如()(),nax b a b R +∈的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令1x =即可；对形如()(),nax by a b R +∈的式子求其展开式中各项系数之和，只需令1x y ==即可.6．B【分析】由12PF F ∆为直角三角形，得01290PF F ∠=，可得122,PF c PF ==，利用椭圆的定义和离心率的概念，即可求解.【详解】如图所示，因为12PF F ∆为直角三角形，所以01290PF F ∠=，所以122,PF c PF ==，则22c a +=，解得1ce a ==，故选B【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中合理利用椭圆的定义和离心率的概念求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.7．A【分析】设BD、AE 交于O，根据题意可得AOB EOD ∽△△，所以32AE AO=，进而可得32AF x AO y AB=+ ，根据O、F、B 三点共线，可得x，y 的关系，代入所求，即可基本不等式，即可得答案.【详解】设BD、AE 交于O，因为DE AB ∕∕，所以AOB EOD ∽△△，所以2AO ABOE DE ==,所以2AO OE =，则32AE AO= ，所以32AF x AO y ABx AE yDC ++== ，因为O、F、B 三点共线，所以312x y +=，即232x y -=，所以222322141414x y y y y y -==+++，因为0,0x y >>，所以144y y +≥，当且仅当14y y =，即12y =时等号成立，此时13x =，所以223221141424x y y y -=≤=++，故选：A8．B【分析】原不等式可变形为11e ln e ln a a x xx x -≤-，令()ln f x x x =-则()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭对于e x ≥恒成立，利用导数判断()ln f x x x=-的单调性可得1e axx ≤，转化为1ln a x x ≥，令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，利用导数求()h x最小值可得1ln x x 的最大值即可求解.【详解】由题意，原不等式可变形为11e ln a xx a x x -≤-，即11e ln e ln a a x x x x -≤-，设()ln f x x x=-，则当e x ≥时，()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭恒成立，因为()111x f x x x -'=-=，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，因为e x ≥，0a >所以1e 1x>，1ax >，因为()f x 在()1,+∞上单调递增，所以要使()1e a x f f x ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，只需1e a xx ≤，两边取对数，得1ln a x x ≤，因为e x ≥，所以1ln a x x ≥；令()[)()ln e,h x x x x =∈+∞，因为()ln 10h x x '=+>，所以()h x 在[)e,+∞上单调递增，所以()()min e eh x h ==，所以110ln e x x <≤，则1e a ≥，故正实数a 的最小值为1e ，故选：B.9．AB【分析】计算4个班分别从3个景点选择一处游览，共有几种选法，判断A;计算出从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数一共有几个，判断B;根据分步乘法原理计算两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，有几种取法，判断C;考虑1作分子情况和不选1时的情况，计算出分数的个数，判断D.【详解】A,4个班分别从3个景点选择一处游览，每一个班都有3种选择，分4步完成，故有433333⨯⨯⨯=种选法，A 正确；B，从1，2，3，4，5选择2个数（可重复）组成两位偶数，先确定个位数字有2种可能，再确定十位数字有5种可能，故共有2510⨯=个偶数，B 正确；C，两个口袋分别装有2个和3个小球，从两个口袋分别各取1个球，共有236⨯=种取法，C 错误；D，从1，3，5，7，10选择2个不相同的数作为分子分母组成分数，若选1作分子，则分母有4种可能，此时有4个分数，不选1时，共有24A 12=个分数，故共有41216+=个分数，故D 错误，故选：AB 10．AD【分析】根据题意71a >，81a <，再利用等比数列的定义以及性质逐一判断即可.【详解】因为11a >，781a a ⋅>，8711a a -<-，所以71a >，81a <，所以01q <<，故A 正确.27981a a a =<⋅，故B 错误；因为11a >，01q <<，所以数列{}n a 为递减数列，所以n S 无最大值，故C 错误；又71a >，81a <，所以n T 的最大值为7T ，故D 正确.故选：AD【点睛】本题考查了等比数列的性质、定义，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.11．BC【分析】由函数的定义域不关于原点对称，可知函数是非奇非偶函数，求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性与极值.【详解】因为()f x 的定义域为[)22ππ-，，定义域不关于原点对称，所以()f x 是非奇非偶函数，又()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x'+--+＝＝，当[)0,x Îp 时，()0f x ¢>，则()f x 在[)0,p 上单调递增，显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x =-，分别作出sin y x =，y1x =-在区间[)22ππ-，上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)22ππ-，上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)22ππ-，上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点，故选：BC．12．ABD【分析】设正方体棱长为a ，分别求出正方体的内切球､棱切球､外接球的半径判断A；利用补体法，把QE QF+转为1QE QF +，当1E Q F ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，利用余弦定理求出1EF 判断B；利用已知条件确定棱长与8个顶点到某个平面的距离的关系，利用等体积法求出棱长判断C；利用坐标法求出球心坐标，进而求出球的半径，从而求出外接球表面积判断D.【详解】对于选项A，设正方体边长为a ，则其内切球､棱切球､外接球半径分别为12a ，故比值为，故A 正确；对于选项B，如图1QE QF QE QF +=+，当1E QF ､､共线的时候1QE QF EF +=最小，在1AC M 中，22211111||1cos 23C A C M AM AC M C A C M+-∠==，由余弦定理得22211111111112cos 9EF C E C F C E C F AC M =+-∠=，所以1EF =，所以QE QF +有最小值，故B 正确；对于选项C，因为点1111,,,,,,,A B C D A B C D 到某个平面的距离成等差数列，且公差为1.不妨设平面α为符合题意的平面，α过点C ，延长1111,,D C A B AB 分别交平面α于点,,E F G ，则点1111,,,,,,,C C B B D D A A 与平面α的距离分别应为0,1,2,3,4,5,6,7，因为11,,,D E A F DC AG 互相平行，所以它们与平面α所成角相等，故由比例关系得1111::::::1:2:3:4:5:6:7C E BG B F DC D E AG A F =.设正方体的棱长为4a ，则11,2,3C E a BG a B F a ===，用几何方法可解得,,EF EC CF ===，由余弦定理可得222cos 2CE EF CF CEF CE EF +-∠==⋅，sin CEF∠==，故21sin2ECFS EF EC CEF=⋅⋅⋅∠=，由1CC⊥平面1111DCBA，知1CC为四面体1C EC F-的底面1EC F上的高，所以由11C ECF C EC FV V--=，算得点1C到平面α的距离，12121EC FECFS CCd aS⋅===，因为1d=，所以121a=，从而可得4a=，所以正方体的棱长为4a=C错误；对于选项D，以D为坐标原点，,,DA DC DD'所在直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,3,0,3,2,3,3,3,3,0,0D P B A''，设三棱锥B D AP'-'的外接球球心为(),,N x y z，由2222||ND NP NB NA===''得，222222222222(3)(3)(2)(3)(3)(3)(3)x y z x y z x y z x y z++-=+-+-=-+-+-=-++，解得75,44x z y===，所以三棱锥B D AP '-'的外接球半径3114R ==，所以三棱锥B D AP '-'的外接球表面积为2994ππ4S R ==，D 正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：几何体外接球半径的求法主要有：①直接法：确定球心位置，求出半径；②补形法：把几何体补成常见几何体，如正方体，长方体等；③向量坐标法：建立坐标系，设出球心，利用半径相等可得球心坐标，进而可求半径.13．1e -##1e--【分析】利用导数的运算法则及求导公式求出导数，再由给定的导数值求出a .【详解】函数()2ln 2f x x x ax =++，求导得()1ln 2f x x ax =++'，于是(e)2e 20f a =+='，所以1a e =-.故答案为：1e-14．π【分析】先求出直线10x ay a +--=过定点的坐标，再求出圆22:(2)4C x y -+=的圆心和半径，当MC AB ⊥时AB 取得最小值，最后求出劣弧 AB 的长.【详解】直线10x ay a +--=可化为()()110x a y -+-=，则当10x -=且10y -=，即1x =且1y =时，等式恒成立，所以直线恒过定点()1,1M ，圆C 的圆心为()2,0C ，半径2r =，当MC AB ⊥时，AB取得最小值，且最小值为==，此时弦长AB 所对的圆心角为π2，所以劣弧 AB 的长为π2π2⨯=.故答案为：π【分析】利用正弦定理、诱导公式、和角公式、差角公式、二倍角公式分析运算即可得解.【详解】解：由题意，()2cos sin cos a c B A A-=，则由正弦定理可得()sin 2sin cos sin cos A C B A A A-=，∵0πA <<，∴sin 0A ≠，∴sin 2sin cos A C B A -=，又∵πA B C ++=，则()πA B C =-+，()sin sin A B C =+∴()sin 2sin cos B C C B A+-=，∴()sin B C A -=.又由πcos sin cos 2⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭B C C ，可得：π0π2<<<<C B ，则πππ22<+<C ，∴π2B C=+，即π2B C -=，则()sin 1B C -=，1A =，即cos 2A =，由0πA <<解得：π4A =，∴由π23π4B C B C ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得：5π8=B ，π8C =.∴由正弦定理可得：π5ππsin sin sin488==b c ，解得：5π2sin 8=b ，π2sin 8=c ，∴5πππππ2sin 2sin 4sin cos 2sin 88884=⋅===bc .16．21【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得12,PF m a PF a m=+=-，进而根据余弦定理，结合离心率公式可得2221314e e +=，即可利用基本不等式求解空1，根据内心的性质，结合椭圆定义和双曲线定义可得1e λ=，2e μ=，进而根据基本不等式乘“1”法即可求解.【详解】由题意得椭圆与双曲线的焦距为122F F c=，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2m ，不妨设点P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义：122PF PF m-=，由椭圆的定义：122PF PF a+=，可得：12,PF m a PF a m=+=-，又1260F PF ∠=，由余弦定理得：22221212124PF PF PF PF F F c +-⋅==，即()()222()()4,m a a m m a a m c ++--+⋅-=整理得：22234a m c +=，所以：2222221231344a m c c e e +=⇒+=；则1222121213,2e e e e e e +≥≥，当且仅当2212132e e ==时取等号.I 为12F PF △的内心，所以1IF 为12PF F ∠的角平分线，由于111112111211sin 2211sin 22PF I AF IPF IF PF F S PI S IA AF IF PF F ∠==∠ ,则有11PF IP AF AI =，同理：22PF IP AF AI=，所以1212PF PF IP AF AF AI==，所以12121212IPPF PF a AIAF AF c e +===+，即1AI e IP=，因为AI IP λ=，所以||||||AI IP λ= ，故1e λ=，I 为12F PF △的内心，1,,F I G 三点共线，即1F G 为1PF B ∠的角平分线，延长射线1F P ，连接2F G ，由G 点向112,,F P F B F P 作垂线，垂足分别为,,E D H ，1260,0F PF GP IP ∠=⋅=，260F PB BPE ∠∠∴== ，即BP 为2EPF ∠的角平分线.GH GE GD ∴==，即2F G 为2PF B ∠的角平分线，则有2121GBBF BF PG PF PF ==，又21BF BF ≠，所以1221222BGBF BF c e PGPF PF m-===-，即2BG e GP= ，因为BG GP μ=，所以||||BG GP μ= ，故2e μ=，所以()22222222221212121222222212212133113113134214442e e e e e e e e e e e e e e λμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=+++≥+⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2241221222133334e e e e e e +=⇒==时，等号成立，所以22λμ+的最小值为312+.故答案为：32，312+【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用.17．(1)()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，π；(2)(],2-∞.【分析】（1）利用二倍角正弦、余弦公式和辅助角公式对函数进行化简，利用正弦定理函数的性质可得出函数()f x 的单调递减区间，利用正弦函数的周期公式即可求出函数()f x 的最小正周期；（2）根据题意可知m 小于等于()f x 的最大值，结合正弦函数的定义域求出的最大值，即可知m 的取值范围.【详解】（1）()()222cos 3sin cos sin 23sin cos cos sin f x x x x x x x x x=-+=-+π3sin2cos22sin 26x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.所以函数()f x 的最小正周期πT =.由ππ3π2π22π,262k x k k +≤-≤+∈Z ，解得π5πππ,36k x k k +≤≤+∈Z .所以函数()f x 的单调递减区间为()π5ππ,π36k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由题意可知，即max ()m f x ≤.因为ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ5π2666x ≤-≤.故当ππ262x -=，即π3x =时，()f x 取得最大值，且最大值为π23f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以2m ≤，实数m 的取值范围为(],2-∞.18．当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m3.【分析】设底面的一边的长为m x ，求出另一边的长为()1m x +，以及高，表示出体积，利用导数求出最大值即可.【详解】设底面的一边的长为m x ，另一边的长为()1m x +.因为钢条长为52m3，所以，长方体容器的高为()52441103243x x x --+=-.设容器的容积为V ，则()()32104105122,03333V V x x x x x x x x ⎛⎫==+-=-++<<⎪⎝⎭，()28106033V x x x =-++='，解得59x =-（舍去），1x =，当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 在()0,1单调递增；当51,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0V x '<，()V x 在51,3⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减；因此，1x =是函数()V x 在50,3⎛⎫⎪⎝⎭内的极大值点，也是最大值点.此时长方体容器的高为4m 3.所以，当长方体容器的高为4m 3时，容积最大，最大容积为38m 3.19．(1)22(2)【分析】（1）根据条件，建立空间直角坐标系，求出,0,122M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,022N t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，再利用空间两点间的距离公式，即可求出结果；（2）根据（1）结果，得到1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再求出平面AMN 和BMN 的法向量，再利用两平面夹角的向量法，即可求出结果.【详解】（1）因为面ABCD ⊥面ABEF ，又面ABCD ⋂面ABEF AB =，CB AB ⊥，CB ⊂面ABCD ，所以CB ⊥面ABEF ，又AB BE ⊥，如图，以B 为原点，,,BA BE BC 所在直线分别为x 轴､y 轴､z轴建立空间直角坐标系，因为两个正方形的边长为1，则()()1,0,0,0,0,0,(0,0,1)A B C ，又CM BN t ==，则CM ==-，得到,0,1M ⎫⎪⎪⎝⎭，同理可得,0N ⎫⎪⎪⎝⎭，所以MN =又0t <<t =时，MN 的长最小，最小值为22.（2）由（1）知，MN 的长最小时，M N ､分别为正方形对角线AC 和BF 的中点，可得1111,0,,,,02222M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设平面AMN 的一个法向量为()111,,m x y z =r，又1111,0,,0,,2222MA MN ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由1111110,22110,22m MA x z m MN y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设平面BMN 的一个法向量为(,,)n a b c = ，又11(,0,)22BM = ，110,,22⎛⎫=- ⎪⎝⎭ MN ，由110,22110,22n BM a n MN b c ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，取1a =-，可得()1,1,1n =- ，则1cos ,||||3m n m n m n ⋅==⋅，所以sin ,3m n == ，因此，二面角A MN B --的正弦值为3.20．(1)证明见解析(2)-1222544,54 1.n n n n a n -⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数，1212574533n n S n --=⨯--.【分析】（1）先求出 n b 的递推关系式，利用等比数列的定义可证结论；（2）利用分组求和的方法可求答案.【详解】（1）因为13,,4,,nn n a n a a n ++⎧=⎨⎩为奇数为偶数且2n n b a =，则()()12122121134343n n n n n n b a a a a b +++++===+=+=+，可得()1141n n b b ++=+.且12134b a a ==+=，所以{}1n b +是以5为首项，4为公比的等比数列.（2）由（1）可得1154n n b -+=⨯，所以1541n n b -=⨯-，即12541n n a -=⨯-.又因为2213n n a a -=+，则12123544n n n a a --=-=⨯-.所以数列{}n a 的通项公式为1222544,,541,.n n n n a n --⎧⨯-⎪=⎨⎪⨯-⎩为奇数为偶数又1112125445411045n n n n n a a ----+=⨯-+⨯-=⨯-，所以()()()2112342122n n n nS a a a a a a a --=++++++- ()()()()0111104510451045541n n --=⨯-+⨯-++⨯--⨯- ()()0111104445541n n n --=⨯+++--⨯- 1114257105541451433n n n n n ---=⨯--⨯+=⨯---.所以数列{}n a的前21n -项的和1212574533n n S n --=⨯--.21．(1)抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-(2)1【分析】（1）根据题意可得122p =，求出p ，即可得Γ的方程及其焦点坐标和准线方程；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，联立方程，根据Δ0=求出t ，进而可求得抛物线上过点A 的切线方程，同理可求得抛物线上过点,B C 的切线方程，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标，再分别求出,,AD EF DBDE FC BF，再根据//AC DF 即可得解.【详解】（1）因为抛物线22(0)y px p =>上的点到焦点距离的最小值为12，转化为到准线距离的最小值为12，所以122p =，所以1p =，因此抛物线Γ的标准方程为22y x =，其焦点坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程为12x =-；（2）设()()()322312123445566,,,,,,,,,,222y y y A y B y Cy D x y E x y F x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则抛物线22y x =上过点A 的切线方程为()2112y x t y y -=-，将切线方程与抛物线方程联立，得：联立()211222y x t y y y x ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去x ，整理得2211220y ty ty y -+-=，所以()()2222211111Δ(2)4248440t ty y t ty y t y =---=-+=-=，从而有1t y =，所以抛物线上过点A 的切线方程为2112y x y y =-，同理可得抛物线上过点,B C 的切线方程分别为223223,22y y x y y x y y =-=-，两两联立，可以求得交点,,D E F 的纵坐标分别为132312456,,222y y y y y y y y y +++===，则121141213124523222y y y AD y y y y y y y y DE y y y y +---===++---，同理可得12122323,EF y y DB y y FCy y BFy y --==--，即AD EF DB DEFCBF==，当//AC DF 时，ADCF DE FE=，故EFFC FCEF=，即EF FC=，因此1BDEF BFFC==.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．22．(1)12(2)证明见解析【分析】（1）将问题转化为()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，()0x ϕ≥恒成立，利用导数求解()x ϕ的单调性，即可求解()ln222ln210a a a a ϕ=--≥，构造函数()22ln21(0)g a a a a a =-->，继续利用导数求解函数的单调性得最值即可求解，（2）利用导数求解函数的单调性，结合零点存在性定理，即可求证.【详解】（1）由条件知()()e e 210x x f x ax =--≥恒成立，e 0,e 210x x ax >∴--≥ 恒成立，令()e 21,x x ax x ϕ=--∈R，则()0x ϕ≥恒成立，()e 2x x aϕ∴-'=，①当0a ≤时，()()0,x x ϕϕ'>在R 上单调递增，又()00ϕ=，∴当0x <时，()0x ϕ<，与()0x ϕ≥矛盾，不合题意；②当0a >时，()x ϕ在(),ln2a ∞-单调递减，在()ln2,a ∞+单调递增，∴当ln2=x a 时，()x ϕ有极小值，也为最小值，且最小值为()ln222ln21a a a a ϕ=--，又()0x ϕ≥恒成立，22ln210a a a ∴--≥，令()22ln21(0)g a a a a a =-->，则()22ln222ln2g a a a-=-'=-，令()2ln20g a a ='->，解得102a <<，()g a ∴在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递减，()102g a g ⎛⎫∴≤= ⎪⎝⎭，所以由()22ln210g a a a a =--≥，解得12a =，综上，实数a 的值为12.（2）由题可得()()e 2e 2x x f x x '=--，令()2e 2xh x x =--，则()2e 1xh x ='-，由()0h x '=得1ln2x =，在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0h x '<，在1ln ,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭上，()0h x '>，所以()h x 在1,ln 2∞⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递减，在1ln ,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭单调递增，又()()()1ln 22211200,ln 2e ln 2ln210,22e 22022e h h h -⎛⎫==--=--=---= ⎪⎝⎭，()12ln 02h h ⎛⎫∴-< ⎪⎝⎭，由零点存在定理及()h x 的单调性知，方程()0h x =在12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一根，设为0x 且002e 20xx --=，从而()h x 有两个零点0x 和0，且在区间()0,x ∞-上，()0f x '>，在区间()0,0x 上，()0f x '<,在区间()0,∞+上，()0f x '>，所以()f x 在()0,x ∞-单调递增，在()0,0x 单调递减，在()0,∞+单调递增，从而()f x 存在唯一的极大值点0x ，由002e 20x x --=得0002e ,12x x x +=≠-，()()()()022000000000222111ee 1122224424x x x x x xf x x x x x -++-++⎛⎫⎛⎫∴=--=--=-+≤== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，等号不成立，所以()202f x -<，又()012ln ,2x f x -<<在()0,x ∞-单调递增，所以()()()2242202e e 21e e ef x f -----⎡⎤>-=---=+>⎣⎦，综上可知，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且()220e2f x --<<成立.【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.。

2024学年北师大学附中高二数学第一学期期末调研试题含解析

2024学年北师大学附中高二数学第一学期期末调研试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．命题“0x R ∃∈，200210x x ++≤”的否定形式是（）A.x R ∀∈，2210x x ++>B.0x R ∃∈，200210x x ++> C.x R ∃∈，2210x x ++>D.x R ∀∈，2210x x ++≤2．双曲线221124x y -=的渐近线方程为（）A.0x ±= 0y ±= C.30x y ±=D.0x y ±=3．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440 B.330 C.220D.1104．若正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A C 的中点，则直线AD 与平面1B DC 所成角的正弦值为A.45 B.35C.345．蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美、和谐的音乐，殊不知蟋蟀鸣叫的频率x （每分钟鸣叫的次数）与气温y （单位：℃）存在着较强的线性相关关系.某地观测人员根据如表的观测数据，建立了y 关于x 的线性回归方程0.25y x k =+，则下列说法不正确的是（）A.k 的值是20B.变量x ，y 呈正相关关系C.若x 的值增加1，则y 的值约增加0.25D.当蟋蟀52次/分鸣叫时，该地当时的气温预报值为33.5℃6．把点M 随机投入长为5，宽为4的矩形ABCD 内，则点M 与矩形ABCD 四边的距离均不小于1的概率为（）A.310B.25 C.35D.457．已知椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为（） A.8 B.C.16D.8．已知12(3,0),(3,0)F F -是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>两个焦点，P 在椭圆上，12F PF α∠=，且当23πα=时，12F PF △的面积最大，则椭圆的标准方程为（） A.221123x y += B.221145x y +=C.221156x y +=D.221167x y += 9．在ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a A b B =，222a b ab c +-=，2a =，则ABC 的面积为（） A.2B.1D.210．在数列{}n a 中，()1111,1(2)nn n a a n a --==+≥，则5a 等于A.32B.53C.85D.2311．已知圆C ：()223100x y ++=和点B ()3,0，P 是圆上一点，线段BP 的垂直平分线交CP 于点M ，则点M 的轨迹方程是:（）A.2212516y x +=B.2212516x y += C.2262511x y -= D.222x y +=12．椭圆的两焦点之间的距离为 A.10 10 C.222二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

福建省师大附中第一学期期末考试(理科)

福建省师大附中2007—2008学年度第一学期期末考试高三数学（理科）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知命题p : :对任意的,sin 1x R x ∈≤有，则p ⌝是（）A ．存在,sin 1x R x ∈≥有B ．对任意的,sin 1x R x ∈≥有C ．存在,sin 1x R x ∈>有D ．对任意的,sin 1x R x ∈>有 2． (2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为（）A． B ． 2C ．D ．103．已知函数sin ,4()6(1),4x x f x f x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，则(5)f 的值为（） A ．12B ．C ．D ．14．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于（）A ．9B ． 8C ． 7D ．65．若函数()3cos()f x wx θ=+对任意的,()()66x R f x f x ππ∈+=-有，则()6f π等于（） A ．3- B ． 0 C ． 3 D ．3±6．设1()f x -是函数1()2()3x x f x x =-+的反函数，则1()1f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．83x >B ． 83x <C ． 803x << D ．0x <7．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若111111,a b a b ==，则（）A ．66a b =B ． 66a b >C ． 66a b <D ．66a b >或66a b <8．设a b →→,是非零向量，若函数()()()f x x a b a x b →→→→=+∙-的图像是一条直线，则必有（） A ．a b →→⊥B ． //a b →→C ． a b →→= D ．a b →→≠9．若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是（）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形 10．若22)4sin(2cos -=-παα，则ααcos sin +的值为（）A． B ． 12- C ．12D11．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和，且7413n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值（）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为。

2022-2023学年北京师大附中高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年北京师大附中高二（上）期末数学试卷1. 已知向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，那么xy=( )A. −18B. 9C. −9D. 182. 已知O为原点，点A(2,−2)，以OA为直径的圆的方程为( )A. (x−1)2+(y+1)2=2B. (x−1)2+(y+1)2=8C. (x+1)2+(y−1)2=2D. (x+1)2+(y−1)2=83. 已知双曲线x2m −y2=1的渐近线方程为y=±12x，则实数m的值为( )A. 14B. 4 C. −4 D. −144. 为抛物线y2=2px(p>0)的焦点与椭圆x29+y25=1的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为( )A. x=−1B. x=1C. x=2D. x=−25. 已知直线l过点A(−3,1)，且与直线x−2y+3=0垂直，则直线l的一般式方程为( )A. 2x+y+3=0B. 2x+y+5=0C. 2x+y−1=0D. 2x+y−2=06. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达⋅芬奇方砖，在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1)，把三片这样的达⋅芬奇方砖形成图2的组合，这个组合表达了图3所示的几何体．如图3中每个正方体的棱长为1，则点A到平面QGC的距离是( )A. 14B. 12C. √22D. √327. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱CD上的动点．则下列结论不正确的是( )A. D1E//平面A1B1BAB. EB1⊥AD1C. 直线AE与B1D1所成角的范围为(π4,π2 )D. 二面角E−A1B1−A的大小为π48. 设{a n}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意正整数n，a2n−1>a2n”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9. 已知圆的方程为x 2+y 2−8x +15=0，若直线y =kx +2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C 有公共点，则k 的最小值是( )A. −43 B. −53 C. −35 D. −5410. 已知曲线C ：x|x|+4y 2=4，点F(√3,0)，下面有四个结论：①曲线C 关于x 轴对称；②曲线C 与y 轴围成的封闭图形的面积不超过4； ③曲线C 上任意点P 满足|PF|≥2−√3；④曲线C 与曲线(x −2y −2)(x +2y −2)=0有5个不同的交点．则其中所有正确结论的序号是( )A. ②③B. ①④C. ①③④D. ①②③11. 已知等比数列{a n }中，a 1=1，a 2a 3=27，则数列{a n }的前5项和S 5=______.12. 已知圆C ：(x −1)2+(y +1)2=4，若直线y =kx +1与圆C 相交得到的弦长为2√3，则k =______.13. 已知椭圆x 29+y 2b2=1(0<b <3)的两个焦点分别为F 1，F 2，离心率为√63，点P 在椭圆上，若PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则△PF 1F 2的面积为______.14. 已知正方体的ABCD−A1B1C1D1棱长为2，点M，N分别是棱BC、C1D1的中点，点P在平面A1B1C1D1内，点Q在线段A1N上，若PM=√5，则PQ长度的最小值为______.15. 角谷猜想又称冰雹猜想，是指任取一个正整数，如果它是奇数，就将它乘以3再加1；如果它是偶数，则将它除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1.如取正整数m=6，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需要经过8个步骤变成1(简称为8步“雹程”)，已知数列{a n}满足a1=m(m为正整数)，a n+1={a n2,当a n为偶数时3a n+1,当a n为奇数时.①若m=13，则使得a n=1至少需要______步雹程；②若a9=1；则m所有可能取值的和为______.16. 已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅰ)设数列{b n}满足b n=1(a n−1)(a n+1)，若数列{b n}前n项和T n.17. 如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E为DD1的中点．(Ⅰ)求证：BD1//平面ACE；(Ⅰ)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．18. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，△ABC是边长为2的正三角形，AA1= 3，D，E分别为AB，BC的中点．(1)求证：CD⊥平面AA1B1B；(2)求二面角B−AE−B1的余弦值．19. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为12，且经过点(−1,−32).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点(1,0)作直线l与椭圆相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在定点Q，使得两条不同直线QA，QB恰好关于x轴对称，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．20. 已知抛物线E：x2=2py(p>0)的焦点为F，A(2,y0)是E上一点，且|AF|=2.(1)求E的方程；(2)设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线y=x−3交于点P，过点P作x轴的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点．21. 已知有限数列A：a1，a2，⋯，a m为单调递增数列．若存在等差数列B：b1，b2，⋯，b m+1，对于A中任意一项a i，都有b i≤a i<b i+1，则称数列A是长为m的Ω数列．(Ⅰ)判断下列数列是否为Ω数列(直接写出结果)：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16.(Ⅰ)若a<b<c(a,b,c∈R)，证明：数列a，b，c为Ω数列；(Ⅰ)设M是集合{x∈N|0≤x≤63}的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的Ω数列．答案和解析1.【答案】D【解析】解：因为向量a⃗=(−1,2,1)，b⃗ =(3,x,y)，且a⃗//b⃗ ，所以3−1=x2=y1，解得x=−6，y=−3，所以xy=−6×(−3)=18.故选：D.根据空间向量的共线定理列方程求出x、y的值，再计算xy.本题考查了空间向量的共线定理应用问题，是基础题．2.【答案】A【解析】解：O为原点，点A(2,−2)，则|OA|=√(0−2)2+(0+2)2=2√2，OA的中点坐标为(1,−1)，故以OA为直径的圆的方程为(x−1)2+(y+1)2=2.故选：A.先求出圆心与半径，即可求解．本题主要考查圆的标准方程的求解，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由双曲线x 2m −y2=1的渐近线方程为y=±12x，∴m>0，√m =12，解得m=4，故选：B.由双曲线x 2m −y2=1的渐近线方程为y=±12x，可得m>0，√m=12，解得m.本题考查了双曲线的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵椭圆x 29+y25=1的右焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的焦点坐标为(2,0)，∴抛物线的准线方程为x=−2.故选：D.先求出椭圆的焦点坐标即是抛物线的焦点坐标，即可求出准线方程．本题考查了抛物线的标准方程及其性质，是基础题．5.【答案】B【解析】解：直线l 与直线x −2y +3=0垂直，则可设直线l 为2x +y +k =0， ∵直线l 过点A(−3,1)，∴2×(−3)+1+k =0，解得k =5，∴2x +y +5=0.故选：B.根据已知条件，结合直线垂直的性质，即可求解．本题主要考查直线垂直的性质，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：建立空间直角坐标系如图，则A(1,1,0)，C(0,2,0)，G(0,0,2)，Q(1,0,2)， GQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,−2)，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,0)，设平面QGC 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，由{n ⃗ ⋅GQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x =0n⃗ ⋅GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y −2z =0，取z =1，得n ⃗ =(0,1,1)，∴点A 到平面QGC 的距离是|n⃗ ⋅CA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗|=√2=√22.故选：C.由题意建立空间直角坐标系，求出平面QCG 的一个法向量，再由点到平面的距离公式求解．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是中档题．7.【答案】C【解析】解：对于A ，因为平面CDD 1C 1//平面A 1B 1BA ，D 1E ⊂平面CDD 1C 1，则D 1E//平面A 1B 1BA ，故选项A 正确；建立空间直角坐标系如图所示，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，B 1(1,1,1)，D 1(0,0,1)，A 1(1,0,1)，设E(0,m,0)，0≤m ≤1，所以EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1−m,1),AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,1)，因为EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+0+1=0，则EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，即EB 1⊥AD 1，故选项B 正确；对于C ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,m,0),B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−1,0)，设直线AE 与B 1D 1所成角为θ，所以|cos <AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|1−m|√1+m 2×√2，当m =0时，cosθ最大值为√22，则θ的最小值为π4，当m =1时，cosθ最小值为0，则θ的最大值为π2，故选项C 错误；对于D ，二面角E −A 1B 1−A 即二面角D −A 1B 1−A ，因为DA 1⊥A 1B 1，AA 1⊥A 1B 1，DA 1⊂平面EA 1B 1，AA 1⊂平面AA 1B 1，所以∠DA 1A 即为二面角D −A 1B 1−A 的平面角，在正方形ADD 1A 1中，∠DA 1A =π4，故二面角E −A 1B 1−A 的大小为π4，故选项D 正确．故选：C.利用面面平行的性质，即可判断选项A ，建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，即可判断选项B ，利用线面角的计算公式，即可判断选项C ，由二面角的定义，得到二面角E −A 1B 1−A 的大小为π4，即可判断选项D.本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．8.【答案】A【解析】解：∵a2n−1>a2n，∴a1q2n−2>a1q2n−1，∴a1q2n−2(1−q)>0，∵a1>0，q2n−2>0，∴1−q>0，∴q<1，∵(−∞,0)⫋(−∞,1)，∴q<0为q<1的充分不必要条件，即q<0是对任意的正整数n，a2n−1>a2n的充分不必要条件．故选：A.根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列的性质和公式是解决本题的关键．9.【答案】A【解析】解：∵圆C的方程为x2+y2−8x+15=0，∴整理得：(x−4)2+y2=1，∴圆心为C(4,0)，半径r=1.又∵直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，∴|4k−0+2|√k2+1≤2，化简得：3k2+4k≤0，解之得−43≤k≤0，∴k的最小值是−43.故选：A.圆C的圆心为C(4,0)，半径r=1，从而得到点C到直线y=kx+2的距离小于或等于2，由此能求出k的最小值．本题考查实数值的最小值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意直线与圆相交的性质的合理运用．10.【答案】D【解析】解：当x≥0时，曲线C方程可化为：x 24+ y2=1，(x≥0)，表示部分椭圆；当x<0时，曲线C方程可化为：y2−x 24=1，(x< 0)，表示部分双曲线．作出曲线C的图形，如图所示，对①，由图可知：曲线C关于x轴对称，∴①正确；对②，由图可知：曲线C与y轴围成的封闭图形的面积显然小于2×2=4，∴②正确；对③，∵F 为椭圆的焦点，且椭圆中a =2，b =1，c =√3，∴由椭圆的几何性质及双曲线的几何性质可得：|PF|≥a −c =2−√3，∴③正确；对④，如图，由题意可得直线x −2y −2=0与直线x +2y −2=0与双曲线分别切于(0,−1)，(0,1)，且两直线都过(2,0)，∴曲线C 与曲线(x −2y −2)(x +2y −2)=0有3个不同的交点，∴④错误．故选：D.先分类讨论化简曲线C 的方程，再根据椭圆与双曲线的几何性质，数形结合即可分别求解．本题考查分类讨论思想，椭圆与双曲线的几何性质，化归转化思想，数形结合思想，属中档题．11.【答案】121【解析】解：根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，又由a 1=1，a 2a 3=27，则有q ×q 2=27，即q 3=27，解可得q =3，则数列{a n }的前5项和S 5=a 1(1−q 5)1−q=243−12=121；故答案为：121.根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，由等比数列的通项公式可得q ×q 2=27，即q 3=27，解可得q =3，进而由等比数列的前n 项和公式计算可得答案．本题考查等比数列的性质，关键是掌握等比数列的通项公式．12.【答案】−34【解析】解：由圆C ：(x −1)2+(y +1)2=4，得圆心C(1,−1)，半径r =2，则圆心C(1,−1)到直线y =kx +1即kx −y +1=0的距离为d =√k +1，∴(√k +1)2+(12×2√3)2=4，解得k =−34.故答案为：−34.根据圆的标准方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式，利用弦长的一半，圆心到直线的距离与圆的半径的关系列出关于k 的方程，解之即可．本题考查直线与圆相交的弦长问题，考查运算求解能力，属基础题．13.【答案】3【解析】解：由椭圆的方程可得焦点在x 轴上，离心率e =√1−b 29=√63，可得b 2=3，所以椭圆的方程为：x 29+y 23=1，所以c 2=9−3=6，因为PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以PF 1⊥PF 2，则|PF 1|2+|PF 2|2=|F 1F 2|2，由椭圆的定义可得(|PF1|+|PF2|)2−2|PF1|⋅|PF2|=|F1F2|2=4c2，即2|PF1|⋅|PF2|=4a2−4c2=4b2，所以|PF1|⋅|PF2|=2b2=6，所以S△PF1F2=12|PF1|⋅|PF2|=12×6=3，故答案为：3.由椭圆的方程及离心率可得b2的值，再由数量积为，可得PF1⊥PF2，由椭圆的定义和勾股定理可得|PF1|⋅|PF2|的值，代入三角形的面积公式，可得△PF1F2的面积．本题考查椭圆的性质的应用及数量积的运算性质的应用，属于基础题．14.【答案】3√55−1【解析】解：如图，取B1C1中点O，则MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，∵PM=√5，则OP=1，∴点P在以O为圆心，1以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上．可得O到A1N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OH⊥A1N于H，△A1ON的面积为2×2−12×2×1−12×1×1=32，∴1 2A1N×OH=32，可得OH=3√55，∴PQ长度的最小值为3√55−1.故答案为：3√55−1取B1C1中点O，则MO⊥面A1B1C1D1，即MO⊥OP，可得点P在以O为圆心，1以半径的位于平面A1B1C1D1内的半圆上．即O到A1N的距离减去半径即为PQ长度的最小值，作OH⊥A1N于N，可得OH，PQ长度的最小值为OH−1.本题考查线段长的最小值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题15.【答案】9 385【解析】解：m=13，依题意，3m+1=40→20→10→5→16→8→4→2→1，共9共步骤；若a 9=1，a 8=2，a 7=4，a 6=8或a 6=1，若a 6=8,a 5=16{a 4=32,a 3=64{a 2=128,a 1=256a 2=21,a 1=42a 4=5,a 3=10{a 2=20,a 1=40a 2=3,a 1=6若a 6=1,a 5=2,a 4=4{a 1=32a 3=8,a 2=16a 3=1,a 2=2,a 1=4，a 1的集合为{256,42,40,6,32,5,4}，其和为385；故答案为：9，385.根据题目所给的步骤逐步计算即可．本题考查数列的新定义，考查学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】解析：(Ⅰ)由题意知：{a 22=a 1a 4S 10=110⇒{(a 1+d)2=a 1(a 1+3d)10a 1+45d =110…..…(4分) 解得a 1=d =2，故数列a n =2n ；…(6分)(Ⅰ)由(Ⅰ)可知b n =1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，…..(8分) 则T n =12[(11−13)+(13−15)+⋯+(12n−1−12n+1)]…..(10分) =12(1−12n+1)=n2n+1…(12分) 【解析】(Ⅰ)通过首项和公差表示出S 10，a 1，a 2，a 4，进而利用条件联立方程组，计算即可； (Ⅰ)通过(I)的结论，利用裂项相消法即可求和．本题考查数列的通项与求和，考查裂项相消法，注意解题方法的积累，属于基础题．17.【答案】(Ⅰ)证明：连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，在正方形ABCD 中，OB =OD.因为E 为DD 1的中点，所以OE//BD 1.………………(3分)因为BD 1⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ，所以BD 1//平面ACE.………………(5分)(Ⅰ)解：不妨设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系A −xyz.则A(0,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，E(0,2,1)，所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1).………………(8分)设平面ACE 的法向量为n ⃗ =(x,y,z)，所以{n ⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以{2x +2y =0,2y +z =0,即{x =−y,z =−2y,………………(10分) 令y =−1，则x =1，z =2，于是n ⃗ =(1,−1,2).………………(11分)设直线AD 与平面ACE 所成角为θ，则sinθ=|cos⟨AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ ⟩|=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗ |=22√6=√66.………………(13分) 所以直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值为√66.【解析】(Ⅰ)连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，证明OE//BD 1.然后证明BD 1//平面ACE.(Ⅰ)不妨设正方体的棱长为2，建立空间直角坐标系A −xyz.求出平面ACE 的法向量，利用空间向量的数量积求解直线AD 与平面ACE 所成角的正弦值即可．本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．18.【答案】解：(1)证明：在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，因为AA 1⊥底面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以AA 1⊥CD.又△ABC 为等边三角形，D 为AB 的中点，所以CD ⊥AD.因为AB ∩AA 1=A ，所以CD ⊥平面AA 1B 1B.(2)解：取A 1B 1中点F ，连结DF ，则因为D ，F 分别为AB ，A 1B 1的中点，所以DF ⊥AB.由(1)知CD ⊥AB ，CD ⊥DF ，如图建立空间直角坐标系D −xyz ，由题意得A(1,0,0)，B(−1,0,0)，C(0,0,√3)，A 1(1,3,0)，B 1(−1,3,0)，C 1(0,3,√3)，D(0,0,0)，E(−32,0,√32)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,0,√32)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3,0)，设平面AB 1E 的法向量n ⃗ =(x,y,z)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,0,√32)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,3,0)，则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−32x +√32z =0n ⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x +3y =0，令x =1，则n ⃗ =(1,23,√3). 平面BAE 法向量AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,0).因为cos <AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=√1010，由题意知二面角B −AE −B 1为锐角，所以它的余弦值为√1010.【解析】(1)推导出AA 1⊥CD.CD ⊥AD.由此能证明CD ⊥平面AA 1B 1B.(2)取A 1B 1中点F ，连结DF ，则DF ⊥AB.由CD ⊥AB ，CD ⊥DF ，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出二面角B −AE −B 1的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】解：(1)由题意， { c a =12a 2=b 2+c 21a 2+94b 2=1，解得{a =2b =√3c =1. ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)在x 轴上假设存在点Q ，使得QA ，QB 恰好关于x 轴对称，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，再设直线l ：x =my +1，Q(t,0)，联立{x =my +13x 2+4y 2−12=0，得(4+3m 2)y 2+6my −9=0. 则y 1+y 2=−6m 4+3m 2，y 1y 2=−94+3m 2，由k QA +k QB =0，可得y 1x 1−t +y2x 2−t =0，即y 1(my 2+1−t)+y 2(my 1+1−t)=0，可得2my 1y 2+(1−t)(y 1+y 2)=0.则2m ⋅(−94+3m 2)+(1−t)⋅(−6m4+3m 2)=0，得4−t =0，即t =4.故在x 轴上是否存在定点Q(4,0)，使得两条不同直线QA ，QB 恰好关于x 轴对称．【解析】(1)由题意列关于a ，b ，c 的方程组，求解a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；(2)在x 轴上假设存在点Q ，使得QA ，QB 恰好关于x 轴对称，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，再设直线l ：x =my +1，Q(t,0)，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系结合k QA +k QB =0列式求解t 得结论．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查运算求解能力，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．20.【答案】(1)解：根据题意知，4=2py 0，①……………………………………………(1分) 因为|AF|=2，所以y 0+p2=2.②．…………………………………………………(2分)联立①②解的y 0=1，p =2.…………………………………………………………(4分)所以E 的方程为x 2=4y.………………………………………………………………(5分)(2)证明：设B(x 1,y 1)，M(x 2,y 2).由题意，可设直线BM 的方程为y =kx +b ，代入x 2=4y ，得x 2−4kx −4b =0.由根与系数的关系．得x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4b.③…………………………(6分)由MP ⊥x 轴及点P 在直线y =x −3上，得P(x 2,x 2−3)，则由A ，P ，B 三点共线，得x 2−4x 2−2=kx 1+b−1x 1−2，………………………………(8分) 整理，得(k −1)x 1x 2−(2k −4)x 1+(b +1)x 2−2b −6=0.将③代入上式并整理，得(2−x 1)(2k +b −3)=0.……………………………………………………………………(10分)由点B 的任意性，得2k +b −3=0，所以y =kx +3−2k =k(x −2)+3.即直线BM 恒过定点(2,3).……………………………………………………………(12分)【解析】(1)根据抛物线的性质即可得到4=2py 0，y 0+p 2=2，解得即可；(2)设B(x 1,y 1)，M(x 2,y 2).由题意，可设直线BM 的方程为y =kx +b ，由根与系数的关系．得x 1+x 2=4k ，x 1x 2=−4b ，再根据A ，P ，B 三点共线，化简整理可得y =k(x −2)+3.即可求出直线BM 过定点．本题考查了抛物线的性质和直线和抛物线的位置关系，以及直线过定点的问题，属于中档题 21.【答案】解：(Ⅰ)根据题意可得，数列1，4，5，8是Ω数列；数列2，4，8，16是Ω数列． (Ⅰ)证明：①当b −a =c −b 时，令b 1=a ，b 2=b ，b 3=c ，b 4=2c −b ，所以数列b 1，b 2，b 3，b 4为等差数列，且b 1≤a <b 2≤b <b 3≤c <b 4，所以数列a ，b ，c 为Ω数列．②当b −a <c −b 时，令b 1=2b −c ，b 2=b ，b 3=c ，b 4=2c −b ，所以数列b 1，b 2，b 3，b 4为等差数列，且b 1≤a <b 2≤b <b 3≤c <b 4.所以数列a ，b ，c 为Ω数列．③当b −a >c −b 时，令b 1=a ，b 2=a+c 2，b 3=c ，b 4=3c−a 2，所以数列b 1，b 2，b 3，b 4为等差数列，且b 1≤a <b 2≤b <b 3≤c <b 4.所以数列a ，b ，c 为Ω数列．综上，若a <b <c ，数列a ，b ，c 为Ω数列．(Ⅰ)证明：假设M 中没有长为4的Ω数列，考虑集合M k ={16k,16k +1,⋯,16k +15}，k =0，1，2，3.因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k ，使得M k 中没有一个元素属于M.对于其余的k ，再考虑集合M k,j ={16k +4j,16k +4j +1,16k +4j +2,16k +4j +3}，j =0，1，2，3.因为16k +4j ，16k +4j +4，16k +4j +8，16k +4j +12，16k +4j +16是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j，使得M k,j中没有一个元素属于M.因为M k,j中4个数成等差数列，所以每个M k,j中至少有一个元素不属于M.所以集合{x∈N|0≤x≤63}中至少有16+4×3+1×9=37个元素不属于集合M.所以集合M中至多有64−37=27个元素，这与M中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M中的元素必能构成长为4的Ω数列．【解析】(I)根据题中Ω数列的定义，进行判定得出结果；(II)根据题中定义，使用讨论法进行证明；(3)根据定义，使用反证法，使用归纳法进行演绎推理．本题属于新定义题型，主要考查学生对数列性质的应用，属于中档题．。

江西师大附中高二上学期期末数学试题与答案

江西师大附中高二上学期期末数学试题一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(x) xf (x ) f (x) 是f (x ) 12 x 0 1．已知函数 f ，的导函数，若，则（）3 0 222A. 2B ．C ．D ． 2．命题“对任意 x R,都有 x2019 2”的否定是（）R，都有 x 2019x RB. 不存在x2019 ，使得A. 对任意 x 2 2 R x2019 R x2019 C. 存在 x，使得 D. 存在 x，使得 2 02 00 0(1 i )(2 i ) 3．复数 z ，则其对应复平面上的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限x，所围成的封闭图形的面积为(y 0与曲线 y cosx4．由直线 x ， )6 613 3D.A.B.1C.22(x) ex x [1,3] 5．已知函数 f 2x，，则下列说法正确的是()1 1 (x ) 的最大值为3f (x) 的最小值为3A ．函数 f C ．函数 fB ．函数 D ．函数 ee(x) f (x)的最小值为 3的最大值为 36. 用反证法证明某命题时，对结论：“自然数 a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（）A ．a ，b ，c 中至少有两个偶数 C ．a ，b ，c 都是奇数B ．a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数 D ．a ，b ，c 都是偶数2，则 y f x 的图象大致为（7. 已知函数 fx ）x l nx 1A. B. C. D.x 2 mln 1 x8．设函数 f x 有两个极值点，则实数的取值范围是()m1 (1, )2 1 (0, )2 1 (0, ]2 1(1, ]2A. B. C. D. (x) ex x 1 g(x) 2x 3 Q f (x) g(x) ， P 、分别是函数、图象上9. 已知函数 f 与 x 2 的动点，则的最小值为（）P Q 5A ．52 5 52 5B ．C ．D ． 510．下列命题中，真命题是（）, zC z z 1z , z 1A ．设 z ，则为实数的充要条件是为共轭复数；1222B ．“直线l 与曲线C 相切”是“直线l 与曲线 C 只有一个公共点”的充分不必要条件； l1，则它们的斜率之积等于”的逆命题；C ．“若两直线l12(x) f (x)( ) 0 的极值点，则 f x ”的否命题．D ． f 是 R 上的可导函数，“若 x 是 00 x 2 y 2, F 1(a 0,b 0)l ,l的左、右焦点，两条渐近线分别为，11.已知 F 分别是双曲线1 2 a 2 b2 12,l经过右焦点 F 垂直于l 的直线分别交l 于 A B 两点，若 OA, | | | | 2 | |AB ，且 F 在 O B 2 1 1 2 2 线段上，则该双曲线的离心率为（） AB 525D ．A ．B ． 2C. 2(x) (t 2t)e d t 0,，则 f x 在的单调递增区间是(12．已知函数 f A ．(0, )x)2 t 0B ．(0, 2)C ．( 2,) D ．(2,)二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）x x x (x)1(x 0),观察： f (x) f (x) f (x) f ( f (x)) 13．设函数 f ，， 1 x 1 2 1 2x 1 xx xf (x) f ( f (x)) ， f (x) f ( f (x)) ，，根据以上事实，由归纳 3x 1 4x 13 24 3 (x)推理可得： f.20194 16 dx14．x2 dx x3 ．2 42: 4x 3y 11 0 l : x 1 2y4x 上一动点 P 到直线 l 和15．已知直线 l 和直线，抛物线 2 1 1直线的距离之和的最小值是l ．2ax am a [1,2) x(0,1] ln x e 16．已知，，使得，则实数的取值范围ma 0 2 2 00 为．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．(本小题满分 10 分):f (x) x mx 1 x [1,2]q :上单调递减；命题曲线已知命题 p 函数在 3 2 x 2 y 21为双曲线． m 2 6 m（Ⅰ）若“ p 且q ”为真命题，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若“ p 或q ”为真命题，“ p 且 q ”为假命题，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分 12 分)(x) xx 2 已知函数 f ． 3 f (x) 在点(2,8)（Ⅰ）求曲线 y （Ⅱ）直线l 为曲线 y 处的切线方程；f (x) l 的切线，且经过原点，求直线的方程及切点坐标.19．(本小题满分 12 分)0,1C : x y 6x 8 0 , ，直线l 与圆C 交于 A B 不同两点．已知直线l 过点 P ，圆 2 2 （Ⅰ）求直线l 的斜率k 的取值范围； 6,4（Ⅱ）是否存在过点Q 且垂直平分弦 AB 的直线l ？若存在，求直线l 斜率k 的值，111若不存在，请说明理由．20．(本小题满分 12 分)1 x 1 x (x) l n (ax 1) x 0 ），其中a0 ．已知函数 f （Ⅰ）若 f （Ⅱ）若 f （ (x) x 1 在处取得极值，求实数a 的值；(x) a 的最小值为 1，求实数的取值范围．21．(本小题满分 12 分)x y 2 2: 1 ( 0) a bF (1,0) F (1,0)已知椭圆 C 的左右焦点分别为、，经过 F 的 2 a 2 b 2 1 2 F AB 直线与椭圆C 交于 A 、 B 两点，且 l的周长为 8．1（Ⅰ）求椭圆C 的方程；AF F BF F SS 1（Ⅱ）记与的面积分别为S 和 S ，求 1的最大值．1 21 22222. (本小题满分 12 分)(x)(ax 2)(lna l n x) x 0 a 0 ， f (x) ），记函数的导函数为已知函数 f （其中 g(x) f (x ) ．（Ⅰ）求函数 g(x)的单调区间；(x) 0 （Ⅱ）是否存在实数 a ，使得 f 对任意正实数 x 恒成立？若存在，求出满足条件的实数a ；若不存在，请说明理由．江西师大附中高二上学期期末数学试题答案一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.C D A B D B A B B C A D二、填空题（本题共 4 道小题，每小题 5 分，共 20 分）x(,e 1)16.13．14．8 15．32019x 1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.32( ) 3 2 0 在 x [1,2]17．【解析】（Ⅰ）若 p 为真命题， f xx mx 恒成立，即 m x 在2 3x [1,2]恒成立，∵ x 在 x [1,2]的最大值是 3， m 3 ①2 若 q 为真命题，则(m 2)(6 m) 0，解得2 m 6，② m 3 若“ p 且 q ”为真命题，即 p ，q 均为真命题，所以，解得3 m 6， 2 m 6综上所述，若“ p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围为[3,6)；………………5 分（Ⅱ）若“ p 或q ”为真命题，“ p 且 q ”为假命题，即 p ， q 一真一假，m 3m 2或m 66，当 p 真q 假时，，解得m m 3 当 p 假q 真时，，解得2 m 3， 2 m 6综上所述，实数m 的取值范围为(2,3) [6,)．………………………………………10 分( ) 3 1 (2) 13 ………………………………………3 分18．【解析】（Ⅰ） f xx ，所以 f 2 所以所求的切线方程为 y 8 13(x 2) ，即13x y 18 0 ………………………6 分…………………………………7 分……………………………9 分（x , x x2) f (x ) 3x 1 （Ⅱ）设切点为 3 ，则 2 02x x2 3x 1 (x x ) 所以切线方程为 y3 02x x 2 x 3x 1 ，因为切线过原点，所以 3 02x 2 x1 0所以 3 ，解得，…………………………………………………………11分(1) 44x ，所以 f 又因为 f ，故所求切线方程为 y (1) 4 ，切点为(1,4)………12 分19．【解析】（Ⅰ）法 1：直线 l 的方程为 yk x 1，则y kx 1 1 x2x 6 x 9 0 2 由由2 2 6 80 得 k x y x 3= 2k6 36 k 1 0 24k 36k 2 0 k 0 22得，故 ………………6 分4法 2：直线 l 的方程为 yk x 1，即kx y 1 0，3k 1圆心为 C （3，0），圆的半径为 1 则圆心到直线的距离d ，k 12 3k 13 因为直线与有交于 A ，B 两点，故1，故 k 0 ．………………6 分4k126,4 ,C 3,0（Ⅱ）假设存在直线l 垂直平分于弦 AB ，此时直线l 过Q，114 0 4 34AB 的斜率k ，故则 k 1 6 3 3 ，由（1）可知，不满足条件．………………12 分所以，不存在直线l 垂直于弦 AB ．1a2 ax a 2 2 ( ) f x 20．【解析】（Ⅰ）求导函数可得． ax 1 (x 1) (ax 1)(x 1) 22 2a 2(x ) x 1 在 f (1) 0 0 错误 !未找到引用源。

重庆市西南师大附中—上学期期末考试高二数学试题(理科)

重庆市西南师大附中2007—2008学年度上学期期末考试高二数学试题（理科）（总分：150分考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．圆22230x y x+--=的圆心到直线y = x距离为（）A．2 B C D．1 22．已知点F1（– 3，0）和F2（3，0），动点P到F1、F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为（）A．221(0)45x yy-=>B．221(0)45x yx-=>C．221(0)45y xy-=>D．221(0)45y xx-=>3．关于曲线||||1x y-=所围成的图形，下列判断不正确的是（）A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线y = x对称4．方程4422440x y x y--+=表示的曲线是（）A．两个圆B．四条直线C．两相交直线和一个圆D．两平行直线和一个圆5．设两平行直线a、b间距离为20cm，平面α与a、b都平行且与a、b的距离均为10cm，则这样的平面α有（）A．4个B．3个C．2个D．1个6．双曲线221916x y-=的两条渐近线所成的四个角中，夹双曲线的角是（）A．42arctan3B．4arctan3π-C．24arctan()7-D．3arctan4π-7．若抛物线22(0)y px p=>上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点横坐标为（）A．6 B．8 C．1或9 D．108．椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的两焦点分别为F1、F2，以F1、F2为边作等边三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为（） A．4(2B1-C．11)2D．12)49．以下命题：①若m l αα⊂⊄，，l 与m 不相交，则//l α；②若b c l ααα⊂⊂⊄，，且b 、c 相交，l 与b 、c 不相交，则//l α；③若b ∥c ，//b α，则//c α；④若//l α，//b α，则l ∥b ．其中是真命题的个数为（） A ．0B ．1C ．2D ．310．如图，M 为椭圆22194x y +=上任一点，F 1、F 2是椭圆两焦点，I 为△MF 1F 2内心，延长MI 交F 1F 2于N ，则||||MI IN 的值为（）ABCD二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填写在答题卡相应位置上． 11．已知直线l 1：3210x y -+=与直线l 2：230x ay ++=平行，则a 值为_______________．12．将参数方程12cos ()3sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数化为普通方程是_________________． 13．已知F 为抛物线23y x =的焦点，P 为抛物线上任一点，A （3，2）为平面上一定点，则||||PF PA +的最小值为___________________．14．已知21002350x y y x x y +-≤⎧⎪≤⎨⎪-+≤⎩，则z y x =-的最大值为___________________．15．与不共面的四个点距离相等的平面共有_______________个．16．无论a 取什么实数，方程22210x y ax ay a +-+--=表示的椭圆都和一条定直线相交，且截得的弦长为定值，则这个定值是__________________．三、解答题：本大题共6小题，共76分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17． (12分) 已知双曲线C 与椭圆22925225x y +=有相同的焦点，且离心率e = 2(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若P 为双曲线右支上一点，F 1、F 2为其焦点，且PF 1⊥PF 2，求△PF 1F 2的面积．（10题图）18． (12分) 已知⊙C ：22(3)(3)4x y -+-=，直线l ：1y kx =+．(1) 若l 与⊙C 相交，求k 的取值范围；(2) 若l 与⊙C 交于A 、B 两点，且||2AB =，求l 的方程．19． (12分) 如图，D 是△ABC 所在平面外一点，DC ⊥AB ，E 、F 分别是CD 、BD 的中点，且AD = 10，CD = BC = 6，AB = (1) 求证：EF ∥平面ABC ；(2) 求异面直线AD 与BC 所成的角．20． (12分) 已知抛物线方程为22y x =，在y 轴上截距为2的直线l 与抛物线交于M 、N 两点，O 为坐标原点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．21． (14分) 如图，P 是正方形ABCD 所在平面外一点，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，点Q 是P A 的中点，P A = 4，AB = 2． (1) 求证：PC ⊥BD ； (2) 求点Q 到BD 的距离； (3) 求点A 到平面QBD 的距离．（19题图） ABCDEF（21题图）22． (14分) 已知向量(20)(01)OA OC AB ===，，，，动点M （x ，y ）到直线y = 1的距离等于d ，并且满足2()OM AM k CM BM d =-（其中O 是坐标原点，k R ∈）．(1) 求动点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2) 当12k =时，求|2|OM AM + 的取值范围．重庆市西南师大附中2007—2008学年度上学期期末考试高二数学试题参考答案（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．B 3．D 4．C 5．B 6．A 7．C 8．B 9．A 10．A 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．11．43-12．22(1)149x y -+=13．154 14．215．716三、解答题：本大题共6小题，共76分．17．解：(1) 设双曲线C 的方程为22221(00)x y a b a b-=>>，椭圆22229252251259x y x y +=+=可化为∴4c = ∵ 2ce a== ∴ a = 2 ∴ 22216412b c a =-=-=∴ 所求双曲线方程为 221412x y -= ····················································· 6分 (2) 由已知得122221212||||4|||||64PF PF PF PF F F -=⎧⎪⎨==⎪⎩①|+②122||||48PF PF = 2②-①得∴ 12||||24PF PF = ∴ 12121||||122PF F S PF PF ∆== ························································ 12分18．解：(1) 由已知C （3，3），r = 2 ·································································· 2分∵ l 与⊙C2< ··················································· 4分25120k k ⇒-<∴ 1205k << ··············································································· 6分(2) ∵ l 与⊙C 相交于A 、B ，且 | AB | = 2，r = 2故222||()()4132AB r =-=-= ··········································· 8分 261210k k ⇒-+= ···································································· 10分∴1k =±所求l：(1)1y x =+ ······························································ 12分 19．解：(1) ∵ E 、F 分别是CD 、BD 的中点∴ EF ∥BC ····················································································· 2分 ∵ EF ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC∴ EF ∥平面ABC ································ 5分 (2) 分别取AC 、BC 的中点G 、H ，连结GH 、GF 、EG 、FH∵ F 、H 分别为BD 、BC 中点∴ FH ∥DC ，132FH DC == ················· 6分又G 、H 分别为AC 、BC 中点∴ GH ∥AB ，12GH AB == ············· 7分∵ DC ⊥AB ， ∴ FH ⊥GH在Rt △FGH 中，GF =············································ 8分 ∵ EG ∥AD ，EF ∥BC∴ ∠GEF 就是异面直线AD 与BC 所成的角（或其补角） ······················ 10分∵ AD = 10，BC = 6 ∴ EG =12AD = 5，EF =12BC = 3 在△EFG 中，222259191cos 22532EG EF GF GEF EG EF +-+-∠===⨯⨯ ∴ ∠GEF = 60°即异面直线AD 与BC 所成的角为60° ························· 12分20．解：设直线l 的方程为2+=kx y ··································································· 1分（19题图） ABC DEFHG由⎩⎨⎧+==222kx y x y 消去x 得：2240ky y -+= ·················································· 3分 ∵ 直线l 与抛物线相交∴ 01044160k k k k ≠⎧⎪⇒<≠⎨∆=->⎪⎩且 ························································ 5分设M （x 1，y 1）、N （x 2，y 2），则124y y k= ················································· 6分从而2212122422y y x x k == ········································································ 8分 ∵ OM ⊥ON ∴ 12120x x y y += ·················································· 10分即0442=+k k解得1k =-符合题意 ∴ 直线l 的方程为2+-=x y ······························································ 12分21．解：(1) 连结AC∵ P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，AB AD A = ∴ P A ⊥平面ABCD ··························· 2分 ∴ AC 为斜线PC 在平面ABCD 内的射影 ∵ ABCD 是正方形∴ AC ⊥BD ∴ PC ⊥BD ································································· 4分 (2) 设AC BD O = ，连结OQ∵ Q 为P A 中点，O 为AC 中点 ∴ OQ ∥PC ∵ PC ⊥BD ∴ OQ ⊥BD∴ OQ 的长就是点Q 到BD 的距离 ······················································ 7分 ∵ AB = 2，P A = 4 ∴AC = ∴OA =QA = 2 ∴OQ 即点Q 到BD································································· 9分 (3) 过A 作AH ⊥OQ 于H∵ BD ⊥QO ，BD ⊥P A ∴ BD ⊥平面AOQ ∴ BD ⊥AH 又AH ⊥OQ ∴ AH ⊥平面QBD∴ AH 的长就是点A 到平面QBD 的距离 ············································ 12分在△QAO中，OQ AQ = 2，AO =（21题图）∴ AQ AO AH OQ === ····················································· 14分 22．解：(1) ∵ O 为原点，且(20)(01)OA OC AB ===，，，∴ A （2，0），B （2，1），C （0，1） ················································· 1分∴ ()(2)(21)OM x y AM x y BM x y ==-=-- ，，，，，，(1)|1|CM x y d y =-=-，， ·························································· 2分又2()OM AM k CM BM d =-∴ 222(2)[(2)(1)(1)]x x y k x x y y -+=-+--- 2222(2)x x y k x x ⇒-+=-22(1)2(1)0k x k x y ⇒-+-+= ··························································· 5分 1) 当k = 1时，y = 0，动点轨迹是一条直线；2) 当k ≠1时，22(1)11y x k-+=-①若22110(1)1k k x y -=⇒=-+=时，动点轨迹是一个圆；②若101010k k k k ->⎧⇒<≠⎨-≠⎩且时，动点轨迹是椭圆； ③若101k k -<⇒>时，动点轨迹是双曲线． ································· 9分 (2) 当12k =时，M 轨迹方程为22(1)21x y -+=∴ 2211(1)22y x =-- ····································································· 10分∴ |2||()2(2)||(343)|t OM AM x y x y x y =+=+-=-，，，=······ 12分又222(1)21(1)102x y x x -+=⇒-≤⇒≤≤∴ 当 min 53x t ==时，当 x = 0时，max 4t =∴ |2|OM AM + 的取值范围是，4]． 14分。

福建省师大附中高三数学第一学期期末考试试题(理科)

福建省师大附中2007-2008学年度高三数学第一学期期末考试试题（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知命题p : :对任意的,sin 1x R x ∈≤有，则p ⌝是（）A ．存在,sin 1x R x ∈≥有B ．对任意的,sin 1x R x ∈≥有C ．存在,sin 1x R x ∈>有D ．对任意的,sin 1x R x ∈>有 2． (2,1),(3,4)a b →→==，则向量a b →→在向量方向上的投影为（）A． B ． 2C ．D ．103．已知函数sin ,4()6(1),4x x f x f x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩，则(5)f 的值为（） A ．12B ．C ．D ．14．已知数列{}n a 的前n 项和29n S n n =-，第k 项满足58k a <<，则k 等于（）A ．9B ． 8C ． 7D ．65．若函数()3cos()f x wx θ=+对任意的,()()66x R f x f x ππ∈+=-有，则()6f π等于（）A ．3-B ． 0C ． 3D ．3±6．设1()f x -是函数1()2()3x x f x x =-+的反函数，则1()1f x ->成立的x 的取值范围是（）A ．83x >B ． 83x <C ． 803x << D ．0x <7．已知{}n a 为等差数列，{}n b 为正项等比数列，公比1q ≠，若111111,a b a b ==，则（） A ．66a b =B ． 66a b >C ． 66a b <D ．66a b >或66a b <8．设a b →→,是非零向量，若函数()()()f x x a b a x b →→→→=+∙-的图像是一条直线，则必有（）A ．a b →→⊥B ． //a b →→C ． a b →→= D ．a b →→≠9．若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是（）A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形 10．若22)4sin(2cos -=-αα，则ααcos sin +的值为（）A． B ． 12- C ．12D11．已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n n A B 和，且7413n n A n B n +=+，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．512．定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x -=-+，当2x >时，()f x 单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x +<--<+且则的值（）A ．恒小于0B ．恒大于0C ．可能为0D ．可正可负二、填空题（每小题4分，共16分）13．已知等比数列{}n a ，若151,4a a ==，则3a 的值为。

福建省师大附中—度高三数学第一学期期末考试

C 1B 1D 1 A 1CBA D福建省师大附中2007—2008学年度第一学期期末考试高一数学试题（满分：150分，时间：120分钟）说明：试卷分第1卷和第2卷两部分，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第1卷共100分一、选择题：（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在空间中，可以确定一个平面的条件是（） A ．一条直线 B ．不共线的三个点 C ．任意的三个点 D ．两条直线2．有一个几何体的正视图和侧视图都是等腰梯形，俯视图是两个同心圆，则这个几何体是一个（） A ．圆台 B ．圆锥 C ．棱台 D ．球 3．直线x + y + 1 = 0的倾斜角与在 y 轴上的截距分别是（） A ．135°，1 B ．45°，－1 C ．45°，1 D ．135°，－1 4．圆 (x – 2 )2+ ( y – 3 )2 = 1关于x 轴对称的圆方程是（）A ．(x – 2 )2 + ( y + 3 )2 = 1B ．（x – 3 ）2 + ( y + 2 )2 = 1C ．( x + 2 )2 + ( y + 3 )2 = 1D ．( x + 2 )2 + ( y – 3 )2 = 1 5．两直线3 x + 2 y + m = 0和5 x – 3 y – 3 m = 0的位置关系是（） A ．平行 B ．相交 C ．重合 D ．与m 的取值有关 6．直线x – y = 0与圆x 2 + y 2 – 2 x – 2 y – 3 = 0的位置关系是（）A ．相切B ．相离C ．直线与圆相交且直线过圆心D ．直线与圆相交但不过圆心 7．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与BD 1垂直的面的对角线有（） A ．4条 B ． 6条 C ． 8条 D ．12条8．一个圆柱和一个圆锥的底面直径．．和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为（）A ．1：2：3B ．2：1：3C ．3：1：2D ．3：2：1D 1DCA 1B 1C1N9．在右图的正方体中，M ．N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（） A ．30° B ．45° C ．90° D ．60°10．过点P(2 ，1)且被圆C ：x 2＋y 2 – 2x ＋4y = 0 截得弦长最长的直线l 的方程是（） A ．3x – y – 5 = 0 B ．3x ＋y – 7 = 0 C ．x ＋3y – 5 = 0 D ．x – 3y ＋5 = 0 二、填空题：（本大题2小题，每小题4分，共8分，把答案填在答卷上） 11．已知点M 在z 轴上，A （1，0，2），B （1，－3，1），且|MA|=|MB|，则点M 的坐标是12．已知正三棱锥的底面边长是5，则它的体积为三、解答题：（本大题共4题，满分42分） 13．（本题满分10分）求经过直线l 1 ：3 x + 4 y – 5 = 0与直线l 2 ：2 x – 3 y + 8 = 0的交点M ，且满足下列条件的直线方程（1）与直线2x + y + 5 = 0平行；（2）与直线2x + y + 5 = 0垂直。

湖南师大附中高二年级第一学期期末数学考试试卷

湖南师大附中高二年级数学期末考试试卷命题人：李昌平审题人：张宇（时量120分钟满分100分）第 I 卷一. 选择题 (本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若直线x = 1的倾斜角为α ，则αA. 等于0B. 等于4π C. 等于2πD. 不存在 2．双曲线3x 2 －y 2 ＝3的渐近线方程是A. y = ±3xB. y = ±3xC. y =±31x D. y = ±33x3．圆x 2 + y 2－2 x = 0和 x 2 + y 2 ＋4y = 0的位置关系是A. 相离B. 外切C. 内切D. 相交 4. 下列命题中不正确的是A. 若ααα⊂==⊂⊂l B b l A a l b a 则，,,,B. 若a ∥c ，b ∥c ，则a ∥bC. 若a ⊄α，b ⊂α，a ∥b ，则a ∥αD. 若一直线上有两点在已知平面外，则直线上所有点在平面外5. 已知圆C ：x 2 + y 2－2 x －4y －20 = 0，则过原点的直线中，被圆C 所截得的最长弦与最短弦的长度之和为 A. 10＋45B. 10＋25C. 5＋45D. 5＋256．长轴在x 轴上，短半轴长为1，两准线之间的距离最近的椭圆的标准方程是A. 1222=+y x B. 1222=+y x C. 1322=+y x D. 1422=+y x7．已知F 1、F 2是双曲线16x 2 －9y 2 ＝144的焦点，P 为双曲线上一点，若 |PF 1||PF 2| =32, 则∠F 1PF 2 =A. 6πB. 3πC. 2πD.32π8．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得| PQ | = | PF 2 |，那么动点Q 的轨迹是 A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线的一支 D. 抛物线9. 设椭圆12222=+ny m x ，双曲线12222=-n y m x ，抛物线y 2 = 2 (m+n) x (m>n>0 )的离心率分别为e 1、e 2、e 3，则A. e 1e 2 > e 3B. e 1e 2 < e 3C. e 1e 2 = e 3D. e 1e 2与e 3的大小关系不确定10．在同一坐标系中，方程a 2 x 2 + b 2 y 2 = 1与a x + b y 2 = 0 (a > b > 0 )的曲线大致是A. B.C. D.11．已知两点A ( –2, 0 ) , B ( 0 , 2 ), 点P 是椭圆9y 16x 22+=1上任意一点，则点P 到直线AB 距离的最大值是 A.223 B. 32. C.227 D . 72 12. 对于抛物线 y 2 ＝4x 上任意一点Q ，点P ( a, 0 )都满足 | PQ | ≥ | a |，则a 的取值范围是A. （－∞，0）B. （－∞，2 ]C. [ 0，2 ]D. （0，2）湖南师大附中高二年级数学期末考试答卷班学号姓名第 I 卷一. 选择题（将正确答案的代号填入下表内）第 II 卷二. 填空题 (本大题共4小题，每小题4分，共16分. 把答案填在题中横线上.)13. 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，异面直线A 1B 和AC 所成的角的大小是 .14. 已知圆 x 2 + y 2－6x －7 = 0与抛物线y 2 = 2px ( p> 0 ) 的准线相切，则 p = .15. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<+>>123400y x y x 表示的平面区域内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）共有个.16. 对于椭圆19y 16x 22=+和双曲线19y 7x 22=-有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点; ④椭圆与双曲线有两个顶点相同. 其中正确命题的序号是 .三. 解答题 (本大题共6小题，. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17．（本小题满分8分）已知过点P 的直线l 绕点P 按逆时针方向旋转α 角﹝0＜α＜2π﹞，得直线为 x －y －2 = 0，若继续按逆时针方向旋转 2π－α角，得直线2x ＋y －1 = 0，求直线l 的方程.AB C D A 1B 1C 1D 1如图，已知直线l 与抛物线y 2 = x 相交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，与x 轴相交于点M ，若y 1y 2 = －1，（1）求证：M 点的坐标为（1，0）；（2）求证：OA ⊥OB ；（3）求△AOB 的面积的最小值.19．（本小题满分8分）设F 1、F 2为椭圆 14922=+y x 的两个焦点，P 为椭圆上的一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且 | PF 1 | > | PF 2 |，求||||21PF PF 的值.有三个信号监测中心A 、B 、C ，A 位于B 的正东方向, 相距6千米, C 在B 的北偏西 30，相距4千米. 在A 测得一信号，4秒后, B 、C 才同时测得同一信号，试建立适当的坐标系，确定信号源P 的位置. (即求出P 的坐标. 设该信号的传播速度为1千米/秒)21．（本小题满分8分）已知A 、B 是圆x 2 + y 2 = 1与x 轴的两个交点，CD 是垂直于AB 的动弦，直线AC 和DB 相交于点P ，问是否存在两个定点E 、F, 使 | | PE |－| PF | | 为定值？若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，请说明理由.A已知以坐标原点为中心的椭圆，满足条件（1）焦点F 1的坐标为 ( 3, 0 )；（2）长半轴长为5.则可求得此椭圆方程为 1162522=+y x （※）问可用其他什么条件代替条件（2），使所求得的椭圆方程仍为（※）？（注：每列出一种正确替代条件，得2分，列出三种正确替代条件，得满分6分. 列出多于三种正确替代条件的，每多一种，另加2分，但本题最高不超过10分，全卷不超过100分.）湖南师大附中高二年级数学期末考试参考答案一、选择题CBDDA ACABD CB 二、填空题13. 60° 14. 2 15. 3 16. ① ② 三、解答题 17. 由⎩⎨⎧=-+=--01202y x y x 得 P ( 1,－1)据题意，直线l 与直线012=-+y x 垂直，故l 斜率21=k ∴ 直线l 方程为 )1(211-=+x y 即 032=--y x .18. (1 ) 设M 点的坐标为（x 0, 0）, 直线l 方程为 x = my + x 0 , 代入y 2 = x 得 y 2－my －x 0 = 0 ① y 1、y 2是此方程的两根, ∴ x 0 ＝－y 1y 2 ＝1，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ y 1y 2 ＝－1∴ x 1x 2 + y 1y 2 = y 12y 22 +y 1y 2 ＝y 1y 2 (y 1y 2 +1) = 0∴ OA ⊥OB.（3）由方程①，y 1＋y 2 = m , y 1y 2 ＝－1 , 且 | OM | = x 0 =1, 于是S △AOB =21| OM | |y 1－y 2| =212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当m = 0时，△AOB 的面积取最小值1.19. 由已知得 | PF 1 | + | PF 2 | = 6 , | F 1F 2 | = 25, ∵△PF 1F 2为直角三角形，且| PF 1 | > | PF 2 | ∴∠PF 2F 1为直角或∠F 1PF 2为直角(1) 若∠PF 2F 1为直角，则 | PF 1 |2 ＝| PF 2 |2 + | F 1F 2 |2,∴| PF 1 |2 = (6－| PF 1 | )2 + 20 ⇒ | PF 1 | = 314, | PF 2 | = 34故27||||21=PF PF（2）若∠F 1PF 2为直角，则 | F 1F 2 |2 = | PF 1 |2 + | PF 2 |2∴20 = | PF 1 |2 + (6－| PF 1 | )2 ⇒ | PF 1 | = 4, | PF 2 | = 2, 故 2||||21=PF PF .20. 取A 、B 所在直线为x 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立直角坐标系. 则A 、B 、C 的坐标为A ( 3, 0 )、B (－3, 0 )、C (－5, 23), (长度单位为千米).由已知 | PB |－| PA | = 4, 所以点P 在以A 、B 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，其方程为15422=-y x （x ≥2） ① 又B 、C 同时测得同一信号，即有 | PB | = | PC |∴ 点P 又在线段BC 的中垂线上，其方程为)4(333+=-x y 即 )7(33+=x y ② 由①、② 可得点P 的坐标为 ( 8, 53).21. 由已知得 A (－1, 0 )、B ( 1, 0 ),设 P ( x, y ), C ( x 0, y 0 ) , 则 D (x 0, －y 0 ), 由A 、C 、P 三点共线得1100+=+x y x y① 由D 、B 、P 三点共线得1100－－－x y x y=② ①×② 得 11202022－－－x y x y = ③又 x 02 + y 02 = 1, ∴ y 02 = 1－x 02 代入③得 x 2－y 2 = 1，即点P 在双曲线x 2－y 2 = 1上，故由双曲线定义知，存在两个定点E (－2, 0 )、 F (2, 0 )（即此双曲线的焦点），使 | | PE |－| PF | | = 2 (即此双曲线的实轴长) 为定值.22. 用下列任一条件代替（2），都可使所求得的椭圆方程仍为（※） ① 短半轴长为4； ② 离心率 e =53； ③ 右准线方程为 x = 325； ④ 点P ( 3,516) 在椭圆上； ⑤ 椭圆上两点间的最大距离为10； ……（答案是开放的，还可写出多种替换条件.）。

湖南省师大附中～度高二数学第一学期期末考试(理)

湖南师大附中08－09学年度第一学期期末考试高二数学（选修2－1）命题人：朱海棠审题人：吴锦坤考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共20个小题，考试时间120分钟，试卷满分100分.一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填写在答题卷中相应的表格内. 1.椭圆22145x y +=的一个焦点坐标是（ D ）A .（3，0）B .（0，3）C . （1，0）D .（0，1）2.给出下列四个语句：①两条异面直线有公共点；②你是师大附中的学生吗？③x ∈{1，2，3，4}；④方向相反的两个向量是共线向量.其中是命题的语句共有（ C ）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个3.在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，设A B =uuu r a ，A C =uuu r b ，1AA =uuu r c ，则1BC =u u u u r（ A ）A .－a ＋b ＋cB . a －b ＋cC .－a ＋b －cD . a －b －c 4.“a＜1”是“11a>”的（ B ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件5.在空间直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2，－2)，b ＝(－2，－4，4)，c ＝(2，1，2)，则下列结论正确的是（ A ）A . a //b 且a ⊥cB . a ⊥b 且a //cC . a //b 且a //cD . a ⊥b 且a ⊥c 6.下列命题的否命题为真命题的是（ C ）A .正方形的四条边相等B .正弦函数是周期函数C .若a ＋b 是偶数，则a ，b 都是偶数D .若x ＞0，则|x |＝x7.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点在直线x ＝3上，则|AB |＝（ B ）A . 6B . 8C . 10D . 148.给出下列两个命题：命题p ：空间任意三个向量都是共面向量；命题q ：若a ＞0，b ＞0，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ D ）A .p ∧qB . p ∨qC . (﹁p )∧qD . (﹁p )∨q 9.如图，在四面体ABCD 中，E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点，则向量EF uu u r 与AB uuu r 、CD uu u r的（ C ）A. 1122EF A B CD =+uuur uuu r uuu rB. 1122EF A B CD =-+uuur uu u r uu u rC. 1122EF A B CD =-uuu r uuu r uuu r D. 1122EF A B CD =--uuur uuu r uuu r10.点F 1、F 2分别为双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>的左、右焦点，点B 为该双曲线虚轴的一个端点，若∠F 1BF 2＝120°，则双曲线的离心率为（ A ） A .BC .D . 32二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卷中相应题次后的横线上.11.命题“若a ＞2，则a 2＞4”的逆否命题可表述为：若 a 2≤4，则a ≤2 . 12.抛物线y 2＋12x ＝0的准线方程是 x ＝3 .13.设条件p ：0＜x ＜4；条件q ：|x －1|＜a ，若p 是q 的充分条件，则实数a 的取值范围是[3，＋∞）.14.如图，l ，m 为异面直线，点A ，B 在直线l 上，点C ，D 在直线m 上，已知AC ⊥m ，BD ⊥m ，且AB ＝2，CD ＝1，则AB CD?uuu r uu u r1 ；直线l 与m 所成的角为 60°.15.已知动点M 分别与两定点A (1，0)，B (－1，0)的连线的斜率之积为定值m (m ≠0)，若点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆(除去点A 、B )，则m 的取值范围是（－1，0）；若点M 的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A 、B )，则m 的值为 3 .三、解答题：本大题共5小题，共40分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分6分)已知含有量词的两个命题p 和q ，其中命题p ：任何实数的平方都大于零；命题q ：二元一次方程2x ＋y ＝3有整数解.（Ⅰ）用符号“"”与“$”分别表示命题p 和q ；（Ⅱ）判断命题“(﹁p )∧q ”的真假，并说明理由. 【解】（Ⅰ）命题p ："x ∈R ，x 2＞0；（1分）命题q ：$x 0∈Z 且y 0∈Z ，2x 0＋y 0＝3.（3分）（Ⅱ）因为当x ＝0时，x 2＝0，所以命题p 为假命题，从而命题﹁p 为真命题. （4分）因为当x 0＝2，y 0＝－1时，2x 0＋y 0＝3，所以命题q 为真命题. （5分）故命题“(﹁p )∧q ”是真命题. （6分）17.(本小题满分8分)在空间直角坐标系中，已知三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5).（Ⅰ）求〈,AB CA u u u r u u r〉的大小；（Ⅱ）设直线AB 与坐标平面xOy 的交点为D ，求C ，D 两点间的距离.【解】（Ⅰ）由已知，得A B =uuu r (－2，－1，3)，CA =uu r(－1，3，－2). （1A B ClmD分）则AB CA?uuu r uu r 2―3―6＝－7.||||AB CA ==u u u r u u r .（2分）所以cos 〈,AB CA u u u r u u r 〉＝12||||A B CA A B CA ?==-×uuu r uu r uuu r uu r .（3分）故〈,AB CAu u u r u u r 〉＝120°.（4分）（Ⅱ）设点D (x ，y ，0)，则A D =uuu r(x ，y －2，－3). （5分）因为向量AD uuu r 与AB uuu r共线，设AD AB l =uuu r uuu r ，则(x ，y －2，－3)＝λ(－2，－1，3). （6分）于是2122333x y x y l l l l ììïï=-=-ïïïïïï镲-=-?眄镲镲镲=-=镲ïïîî，所以点D (2，3，0).（7分）故CD d ==，即C ，D两点间的距离是.（8分）18.(本小题满分8分)已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，点F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，点P 为椭圆上一点.若椭圆的离心率为13，且△PF 1F 2的周长为16. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆左顶点作直线l ，若动点M 到椭圆右焦点的距离比它到直线l 的距离小4，求点M 的轨迹方程.【解】（Ⅰ）设椭圆的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为c ，则|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，（1分）因为△PF 1F 2的周长为16，即|PF 1|＋|PF 2|＋|F 1F 2|＝16，所以2a ＋2c ＝16，即a ＋c ＝8.（2分）又13c a =，即a ＝3c ，从而4c ＝8，所以c ＝2，a ＝6，b 2＝a 2－c 2＝36－4＝32. （3分）因为椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程是2213632x y +=. （4分）（Ⅱ）法一：因为a ＝6，所以直线l 的方程为x ＝－6，又c ＝2，所以右焦点为F 2(2，0). （5分）过点M 作直线l 的垂线，垂足为H ，由题设，|MF |＝|MH |－4. 设点M (x ，y )，则(6)42x x =+-=+.（6分）两边平方，得222(2)(2)x y x -+=+，即y 2＝8x .（7分）故点M 的轨迹方程是y 2＝8x .（8分）法二：因为a ＝6，c ＝2，所以a －c ＝4，从而椭圆左焦点F 1到直线l 的距离为4. （5分）由题设，动点M 到椭圆右焦点的距离与它到直线x ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以右焦点为F 2(2，0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线. （7分）显然抛物线的顶点在坐标原点，且p ＝|F 1F 2|＝4，故点M 的轨迹方程是y 2＝8x . （8分）19.(本小题满分8分)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝1，∠BAC ＝90°，试用向量方法解决下列问题. （Ⅰ）求点C 1到平面AB 1C 的距离；（Ⅱ）求二面角A 1－B 1C －A 的大小. 【解】（Ⅰ）因为AA 1⊥平面ABC ， AB ⊥AC ，分别以AB ， AC ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系.分）因为AB ＝AC ＝AA 1＝1，则点C (0，1，0)，B 1(1，0，1)， C 1(0，1，1)，所以1AB uuu u r ＝(1，0，1)，AC uuu r ＝(0，1，分）设n u r＝(x ，y ，z )为平面AB 1C 的法向量，则100n A B n A C ìï?ïïíï?ïïîuuu u r u r uuu r u r ，即00x z y +=ìïïí=ïïî. 取x ＝1，则n u r ＝(1，0，－1).（3分）又1C C uuu r ＝(0，0，－1)，故点C 1到平面AB 1C 的距离1||||2C C n d n ×===uuu r u r u r. （4分）（Ⅱ）因为点A 1(0，0，1)，所以1CA u u u r ＝(0，－1，1)，1CB uuu r＝(1，－1，1). （5分）设m u r＝(x ，y ，z )为平面A 1B 1C 的法向量，则1100m CA m CB ìï?ïïíï?ïïîuuu r u r uuu ru r ，即00y z x y z -+=ìïïí-+=ïïî.取z ＝1，则m u r ＝(0，1，1). （6分）因为n u r ＝(1，0，－1)，则1cos ,||||2m n m n m n ?<>===-u r u r u r u ru r u r，所以,m n <>=o u r r .（7分）A由图知，二面角A 1－B 1C －A 的平面角为锐角，故二面角A 1－B 1C －A 的大小为60°. （8分）20.(本小题满分10分)已知双曲线的焦点在x轴上，两渐近线方程为y =?，点A 、B 在双曲线上，且关于直线 x ＋y ＋2＝0对称，|AB |＝（Ⅰ）求线段AB 的中点C 的坐标；（Ⅱ）求这双曲线的方程；（Ⅲ）过点(0，1)作直线l 与双曲线的左、右两支分别相交于P 、Q 两点，点M (0，－1)为定点，试推断是否存在直线l ，使5MP MQ?u u u r u u u r？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由. 【解】（Ⅰ）设双曲线方程为3x 2－y 2＝λ（λ＞0），点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 0，y 0)，则221122221212222233()3x y x x y y x y l l ì-=ïïï?=-íï-=ïïî，即3(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2). （1分）因为点A 、B 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，所以1AB k =，即12121y y x x -=-.又C 为AB 的中点，所以x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0. 于是有3x 0＝y 0. （2分）因为点C 在直线x ＋y ＋2＝0上，所以x 0＋y 0＋2＝0. 于是4 x 0＋2＝0，即012x =-，从而032y =-，故点13(,)22C --.（3分）（Ⅱ）因为|AB |＝|AC |11(2x +=，即x 1＝1. （4分）又1A C k =，即10101y y x x -=-，所以1100131()022y x x y =-+=---=. （5分）因为点A (1，0)在双曲线上，所以λ＝3x 12－y 12＝3.故双曲线方程是2213y x -=. （6分）（Ⅲ）设直线l 的方程为y ＝k x ＋1，代入双曲线方程，得223(1)3x kx -+=，即22(3)240k x kx ---=.（7分）设点P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)，则34223kx x k +=--，34224433x x k k ?-=--. （8分）因为33(,1)MP x y =+u u u r ，44(,1)MQ x y =+u u u r.所以34343434(1)(1)(2)(2)MP MQ x x y y x x kx kx ?+++=+++u u u r u u u r2234342224(1)24(1)2()4244333k k k x x k x x k k k k +=++++=-+=+---.（9分）因为P 、Q 分别为双曲线左、右两支上的点，则342403x x k ?<-. 所以24443MP MQ k ?+<-uuu r uuu r .故不存在直线l ，使5MP MQ?u u u r u u u r.（10分）。

福建省师大附中高二数学上学期期末考试试题理新人教A版

高二数学理试题本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I 卷和第II 卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I 卷共60分一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．抛物线x y 212=的焦点到准线的距离为（ ***** ） A. 18 B. 14 C. 12D. 12．已知()()0,3,0,321F F -，动点P 满足：621=+PF PF ，则动点P 的轨迹为（ ***** ） A.椭圆 B. 抛物线 C. 线段 D. 双曲线3．命题“若a >-3，则a >-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ***** ）A ．1B ．2C ．3D ．4 4．已知向量)0,1,1(=a ，)2,0,1(-=b ，且b a k +与b a -2互相垂直，则k 的值是（ ***** ） A ．1 B ．51 C ．53 D ．575．下列有关命题的说法正确的是（ ***** ）A ．命题“若21x =，则1=x ”的否命题为：“若21x =，则1x ≠”． B ．“1x =-”是“2560x x --=”的必要不充分条件．C ．命题“x R ∃∈，使得210x x ++<”的否定是：“x R ∀∈，均有210x x ++<”． D ．命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题。

6．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么异面直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ***** ）A ．52-B ．52C ．1010-D ．10107．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，E 为PD 中点，若PA a =，PB b =，PC c =，则BE =（ ***** ）A.111222a b c -+ B.111222a b c -- C.131222a b c -+ D.113222a b c -+ 8．设21,F F 为双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且02190=∠PF F ，则21PF F ∆的面积是（ ***** ）A ．1B ．25C ．2D ．5 9．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线与抛物线21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为（***** ） A. 5 B.5255410．如图，在棱长为3的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， M 、N 分别是棱A 1B 1、A 1D 1的中点，则点B 到平面AMN 的距离是（ ***** ） A ．29 B ．3 C ．32D ．211．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面是边长为1的正方形，若01160A AB A AD ∠=∠=，且13A A =，则1AC 的长为（ ***** ） A 5B ．22C 14D 1712．由半椭圆12222=+b y a x （x ≥0）与半椭圆12222=+cx b y （x ≤0）合成的曲线称作“果圆”，如图所示，其中222a b c =+，a >0b c >>．由右椭圆12222=+by ax （0x ≥）的焦点0F 和左椭圆12222=+cx b y （0x ≤）的焦点1F ，2F 确定的012F F F ∆叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆12222=+by ax （0x ≥）的离心率的取值范围为（ ***** ）A ．)1,31(B ．)1,32(C ．)1,33( D ．)33,0(第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置. 13．椭圆1422=+y m x 的焦距为2，则m 的值等于 ******** .14．已知点P 是圆F 14)3(:22=++y x 上任意一点，点F 2与点F 1关于原点对称. 线段PF 2的中垂线与PF 1交于M 点,则点M 的轨迹C 的方程为 ******** .15．设P 是曲线24=y x 上的一个动点，则点P 到点(1,2)-A 的距离与点P 到1=-x 的距离之和的最小值为 ******** .16．如图，抛物线形拱桥的顶点距水面2米时，测得拱桥内水面宽为12米，当水面升高1米后，则拱桥内水面的宽度为 ******** 米.17．已知动点(,)P x y 在椭圆2212516x y +=上,若A 点坐标为(3,0),||1AM =,且0PM AM ⋅=则||PM 的最小值是 ******** .三、解答题：本大题有5题，共65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（本小题满分12分）已知命题p ：方程11222=--m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，命题q ：双曲线1522=-mx y 的离心率)2,1(∈e ，若 “p q 或”为真命题，“p q 且”为假命题，求实数m 的取值范围．19．（本小题满分15分）已知直三棱柱111C B A ABC -中，△ABC 为等腰直角三角形， ∠BAC ＝90°，且AB ＝1AA ，D 、E 、F 分别为A B 1、C C 1、BC 的中点． (I)求证：DE ∥平面ABC ； (II)求证：F B 1⊥平面AEF ；(III)求二面角F AE B --1的余弦值．12220．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，F 是抛物线)0(2:2>=p px y C 的焦点，圆Q 过O 点与F 点，且圆心Q 到抛物线C 的准线的距离为23. （1）求抛物线C 的方程；（2）过F 作倾斜角为060的直线L ，交曲线C 于A ，B 两点，求OAB ∆的面积；（3）已知抛物线上一点)4,4(M ，过点M 作抛物线的两条弦ME MD 和，且ME MD ⊥，判断：直线DE 是否过定点？说明理由。

湖南省师大附中～度高二数学第一学期期末考试(文)

湖南师大附中08－09学年度第一学期期末考试高二数学（选修1－1）命题人：朱海棠审题人：吴锦坤考生注意：本试卷分选择题、填空题和解答题三部分,共20个小题，考试时间120分钟，试卷满分100分.一.选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把各题答案的代号填写在答题卷中相应的表格内. 1.椭圆22145x y +=的一个焦点坐标是（ D ）A .（3，0）B .（0，3）C .（1，0）D .（0，1）2.给出下列四个语句：①两条异面直线有公共点；②你是师大附中的学生吗？③x ∈{1，2，3，4}；④方向相反的两个向量是共线向量.其中是命题的语句共有（ C ）A . 4个B . 3个C . 2个D . 1个3.给出下列五个导数式：①43()4x x ¢=；②(cos )sin x x ¢=；③(2)2ln 2x x¢=；④1(ln )x x¢=-；⑤211()x x¢=.其中正确的导数式共有（ A ）A .2个B . 3个C .4个D .5个 4.“a＜1”是“11a>”的（ B ）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件 5.函数()(xf x xe =-的单调递增区间是（ A ）A .[0，＋∞）B . [1，＋∞）C .（－∞，0]D .（－∞，1] 6.下列命题的逆命题为真命题的是（ C ）A .正方形的四条边相等B .正弦函数是周期函数C .若a ＋b 是偶数，则a ，b 都是偶数D .若x ＞0，则|x |＝x7.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 作直线l ，交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB |＝（ B ）A . 6B . 8C . 10D . 148.给出下列两个命题：命题p 命题q ：若a ＞0，b ＞0，则方程221ax by +=表示的曲线一定是椭圆.那么下列命题中为真命题的是（ D ）A .p ∧qB . p ∨qC . (﹁p )∧qD . (﹁p )∨q9.设a 为非零常数，若函数3()f x ax x =+在1x a=处取得极值，则a 的值为（ C ）A. -B.C. －3D. 310.设点A 为双曲线221124x y -=的右顶点，则点A 到该双曲线的一条渐近线的距离是（ A ）A B .3 C . 2D . 32二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填写在答题卷中相应题次后的横线上.11.命题“若a ＞2，则a 2＞4”的逆否命题可表述为：若 a 2≤4，则a ≤2 .12.抛物线y 2＝－12x 的准线方程是 x ＝3 .13.设某物体在时间t 秒内所经过的路程为s ，已知2443(0)s t t t =+-?，则该物体在第2秒末的瞬时速度为 20 m /s . 14.曲线sin x y x =在点M (π，0)处的切线的斜率是1p-.15.已知动点M 分别与两定点A (1，0)，B (－1，0)的连线的斜率之积为定值m (m ≠0)，若点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆(除去点A 、B )，则m 的取值范围是（－1，0）；若点M 的轨迹是离心率为2的双曲线(除去点A 、B )，则m 的值为 3 .三、解答题：本大题共5小题，共40分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分6分)已知含有量词的两个命题p 和q ，其中命题p ：任何实数的平方都大于零；命题q ：二元一次方程2x ＋y ＝3有整数解.（Ⅰ）用符号“"”与“$”分别表示命题p 和q ；（Ⅱ）判断命题“(﹁p )∧q ”的真假，并说明理由. 【解】（Ⅰ）命题p ："x ∈R ，x 2＞0；（1分）命题q ：$x 0∈Z 且y 0∈Z ，2x 0＋y 0＝3.（3分）（Ⅱ）因为当x ＝0时，x 2＝0，所以命题p 为假命题，从而命题﹁p 为真命题. （4分）因为当x 0＝2，y 0＝－1时，2x 0＋y 0＝3，所以命题q 为真命题. （5分）故命题“(﹁p )∧q ”是真命题. （6分）17.(本小题满分8分) 已知函数21()3ln 22f x x x x =-+. （Ⅰ）确定函数()f x 的单调区间，并指出其单调性；（Ⅱ）求函数()y f x =的图象在点x ＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积.【解】（Ⅰ）2233223()2(0)x x x x f x x x x x x-+--¢=-+==->. （1分）由()0f x ¢>，得x 2－2x －3＜0，即(x ＋1)(x －3)＜0，所以0＜x ＜3. （2分）由()0f x ¢<，得x 2－2x －3＞0，即(x ＋1)(x －3)＞0，所以x ＞3. （3分）故()f x 在区间(0，3)上是增函数，在区间(3，＋∞)上是减函数. （4分）（Ⅱ）因为(1)3f ¢=-+=，13(1)222f =-+=，（5分）所以切线的方程为34(1)2y x -=-，即542y x =-.（6分）从而切线与两坐标轴的交点坐标为5(0,)2-和5(,0)8. （7分）故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积1552522832S =创=. （8分）18.(本小题满分8分)已知椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长等于12，离心率为13. （Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆左顶点作直线l ，若动点M 到椭圆右焦点的距离比它到直线l 的距离小4，求点M 的轨迹方程. 【解】（Ⅰ）设椭圆的半长轴长为a ，半短轴长为b ，半焦距为由已知，2a ＝12，所（1分）又13c a =，即a ＝3c ，所以3c ＝6，即c ＝分）于是b 2＝a 2－c 2＝36（3分）因为椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的标准方程是2213632x y +=. （4分）（Ⅱ）法一：因为a ＝6，所以直线l 的方程为x ＝－6，又c ＝2，所以右焦点为F 2(2，0). （5分）过点M 作直线l 的垂线，垂足为H ，由题设，|MF |＝|MH |－4. 设点M (x ，y )，则(6)42x x =+-=+.（6分）两边平方，得222(2)(2)x y x -+=+，即y 2＝8x .（7分）故点M 的轨迹方程是y 2＝8x .（8分）法二：因为a ＝6，c ＝2，所以a －c ＝4，从而椭圆左焦点F 1到直线l 的距离为4. （5分）由题设，动点M 到椭圆右焦点的距离与它到直线x ＝－2的距离相等，所以点M 的轨迹是以右焦点为F 2(2，0)为焦点，直线x ＝－2为准线的抛物线. （7分）显然抛物线的顶点在坐标原点，且p ＝|F 1F 2|＝4，故点M 的轨迹方程是y 2＝8x . （8分）19.(本小题满分8分)某汽车制造厂有一条价值为60万元的汽车生产线，现要通过技术改造来提高其生产能力，进而提高产品的增加值.已知投入x 万元用于技术改造，所获得的产品的增加值为2(60)x x -万元，并且技改投入比率(0,5]60xx∈-. （Ⅰ）求技改投入x 的取值范围；（Ⅱ）当技改投入多少万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为多少万元？【解】（Ⅰ）由05600x xx ⎧<≤⎪⇒-⎨⎪>⎩006060005050(60)5x x x x x x x >⎧<<⎧⎪->⇒⇒<≤⎨⎨≤⎩⎪≤-⋅⎩. （3分）故技改投入x的取值范围是(0，50].（4分）（Ⅱ）设223()(60)60f x x x x x =-=-，(0,50]x ∈. 则2()12033(40)f x x x x x '=-=--.（5分）由()0f x '>，得04x <<；由()0f x '<，得405x <≤.（6分）所以()f x 在区间（0，40]内是增函数，在区间[40，50]内是减函数，从而当x ＝40时()f x 取最大值.（7分）又2(40)(6040)4032000f =-⋅=，故当技改投入40万元时，所获得的产品的增加值为最大，其最大值为32000万元.（8分）20.(本小题满分10分)已知双曲线中心在原点，焦点在x轴上，过左焦点F1作倾斜角为30°的直线l，交双曲线于A，B两点，F2为双曲线的右焦点，且AF2⊥x轴，如图（Ⅰ）求双曲线的离心率；（Ⅱ）若|AB|＝16，求双曲线的标准方程.【解】（Ⅰ）设双曲线方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>.由已知∠AF1F2＝30°，∠ A（1分）在Rt△AF2F1中，121|F F||AF|cos303==o，212|AF||F F|tan30c3==o .（3分）因为|AF1|－|AF2|＝2a，2a-=，a=，所以cea==.（5分）（Ⅱ）因为c=，所以22222b c a a=-=，从而双曲线方程化为222212x ya a-=，即22222x y a-=. （6分）因为右焦点为F2，0)，则直线l的方程为)3y x=+.代人双曲线方程，得22212()23x x a-+=，即22590x a--=.（7分）设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则212129,55x x x x a+==-.（8分）所以12||||AB x x=-=1655a=.（9分）因为|AB|＝16，所以a＝5，从而22250b a==.故双曲线方程是2212550x y-=.(10分)。

重庆市西南师大附中高二上学期期末考试(数学理).doc

西南师大附中—上期期末考试高二数学试题（理科）（总分：150分考试时间：1）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．直线x + 3y– 6 = 0的倾斜角的大小是（）A．钝角B．锐角C．直角D．无法确定2．如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1 = 2，E为棱CC1上的点，则B1D1与AE所成的角（）A．30︒B．45°C．60︒D．90°3．若PQ是圆229x y+=的弦，PQ的中点是（1，2），则直线PQ的方程是（）A．230x y+-= B．250x y+-=C．240x y-+=D．20x y-=4．若椭圆C1的离心率为513，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（）A．221169x y-=B．22116925x y-=C．221916x y-=D．221169144x y-=5．已知F1、F2为椭圆C：22153x y+=的左、右焦点，点P在C上，1260F PF∠=︒，则12||||PF PF=g（）A．2 B．4 C．6 D．86．下面各命题中正确的是（）A．直线m，n，m∥面α，n∥面α，则m∥n；B．直线m∥n，m⊂面α，n⊂面β，则α∥β；C．直线m⊥面α，直线n⊥面α，则m∥n；D．直线m⊂面α，n⊂面β，α∥β，则m，n异面．7．设抛物线y2 = 4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为3-，那么||PF=（）A．43B．8 C．83D．48．设双曲线C：22194x y-=的右焦点为F，右准线为l，设某条直线m交其左支、右支和右准线分别于P、Q、R，则PFR QFR∠∠和的大小关系是（）A．大于B．小于C．等于D．大于或等于9．若点O和点F分别为椭圆22143x y+=的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OP FPu u u r u u u rg的最大值为（）A．2 B．3 C．6 D．8（第2题图）10．已知点P 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）右支上一点，F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，I 为△PF 1F 2的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ=+△△△成立，则λ的值为（） A ．22a b +B ．22a b + C ．b aD ．a b二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填写在答题卡相应位置上．11．三条直线10280350x y x y ax y ++=-+=+-=，，只有两个不同的交点，则a = ． 12．在四面体PABC 中，各棱长均为2，M 为棱AB 的中点，则异面直线PA 和CM 所成角的余弦值为．13．变量x 、y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪≥⎨⎪≤⎩，则43z x y =-的最大值为．14．若点A 的坐标为(32)-，，F 为抛物线24y x =-的焦点，点P 是抛物线上的动点，当||||PA PF +取最小值时，P 的坐标为．15．右图是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的一种平面展开图，在这个正方体中，E 、F 、M 、N 均为所在棱的中点① NE ∥平面ABCD ；② FN ∥DE ；③ CN 与AM 是异面直线；④ FM 与BD 1垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分13分)已知圆C 的圆心在y 轴上，半径为1，且经过点P （1，2）． (1) 求圆的方程；(2) 直线l 过点P 且在圆上截得的弦长为3，求l 的方程．17． (本小题满分13分)如图所示，P 为△ABC 所在平面外一点，PA ⊥平面ABC ，90ABC ∠=︒． (3) 求证：BC ⊥PB ；(4) 若AB = BC = 2，PA =23，E 为PC 中点，求AE 与BC 所成角的余弦值． PAEBC（第10题图）A B CPM（第12题图）A （第15题图）B CD E MNF A 1 B 1（第17题图）18． (本小题满分13分)抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1) 写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)若直线AB 与x 轴交于点M （x 0，0），且124y y =-g ，求证：点M 的坐标为（1，0）．19． (本小题满分12分)如图，边长为a 的正三角形ABC ，PA ⊥平面ABC ，PA = a ，QC ⊥平面ABC ， QC =2a ，PQ 与AC 延长线交于F 点． (1) 若D 为PB 中点，证明：QD ∥平面ABC ； (2)证明：BF ⊥平面PAB ．20． (本小题满分12分)已知点3(1)2P -，是椭圆E ：22221x y a b +=（a > b > 0）上一点，F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，O是坐标原点，PF 1⊥x 轴． (1) 求椭圆E 的方程； (2)设A 、B 是椭圆E 上两个动点，是否存在λ，满足PO PB PA λ=+（0<λ<4，且λ≠2），且M （2，1）到AB 的距离为5？若存在，求λ值；若不存在，说明理由．21． (本小题满分12分)如图，设抛物线C 1：24(0)y mx m =>的准线与x 轴交于F 1，焦点为F 2；以F 1，F 2为焦点，离心率12e =的椭圆C 2与抛物线C 1在x 轴上方的交点为P 。

东北师大附中07—08学年高二数学(理)期末考试

东北师大附中07—08学年高二数学（理）期末考试本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 共120分，考试时间120分钟.注意事项：1．各题的答案或解答过程均写在答题纸内的指定处，写在试卷上的无效. 2．答题前，考生务必将自己的“姓名”，“班级”和“学号”写在答题纸上. 3．考试结束，只交答题卡和答题纸.第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把答案涂在答题卡上。

1．用数学归纳法证明：)12)(1()12(4321++=++++++n n n ，在验证1=n 时等式成立时，等式的左边的式子是（）A ．1B ．21+C ．321++D ．4321+++ 2．sinx 2sin lim 0x x →的值是（）A ．2B ．1C ．0D ．不存在3．某个命题与正整数n 有关. 如果当)(*N k k n ∈=时该命题成立，那么可推得当1+=k n 时该命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得（）A ．当6=n 时该命题不成立B ．当4=n 时该命题不成立C ．当6=n 时该命题成立D ．当4=n 时该命题成立 4．i 是虚数单位，ii 3)1(-=（） A ．i 22+- B ．i 22-- C ．i --2 D ．i +-25．将容量为100的样本数据，分成8组，如下表：则第6组的频率为（）A ．0.14B ．14C ．0.15D ．156．=-++++∞→)23741(lim 2222n n n n n n（）A ．21-B ．0C ．1D ．23 7．已知随机变量),(~2σμξN ，3.0)1(=-F ，7.0)3(=F ，则μ等于（）A ．0B ．1C ．2D ．38．现有男女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同的方案，那么男、女生人数分别是（） A ．男生2人，女生6人 B ．男生3人，女生5人 C ．男生5人，女生3人 D ．男生6人，女生2人 9．一个棱长为2的正四面体的顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）A ．3πB ．πC ．3πD ．4π 10．若9)21x -（展开式的第3项为288，则1x x +的值为（）A ．23B ．32 C ．613D ．13611．将一个四棱锥ABCD S —的每个顶点都染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，若只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A ．240种B ．300种C ．360种D ．420种12．已知直二面角B A B A l ,,,,βαβα∈∈--两点均不在直线l 上，又直线AB 与l 成30°角，且线段8=AB ，则线段AB 的中点M 到l 的距离为（）A ．2B ．3C ．4D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题，共72分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题纸上。

高二数学上学期期末考试试题理(8)word版本

福建师大附中2016-2017学年上学期期末考试高二(理科班)数学试卷试卷说明：(1)本卷共三大题，23小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。

(2)考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。

第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题有12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知抛物线的焦点到准线距离为1，则（******）A. 4B. 2C.D.2．双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（ ******* ）A．B．2 C．D．13．参数方程，(为参数)表示的曲线是（******）A．双曲线B．双曲线的上支C．双曲线的下支 D．椭圆4．已知,则双曲线:与:的（ ****** ）A．实轴长相等B．虚轴长相等 C．离心率相等D．焦距相等5．若正数满足，则的最小值是( ****** )A．B． C． D．6．下列命题： (1)“若，则”的逆命题；(2)“全等三角形面积相等”的否命题； (3)“若，则关于的不等式的解集为”的逆否命题； (4)命题“为假”是命题“为假”的充分不必要条件其中真命题的个数是（******）A ．B ．C ．D ． 7．设是椭圆的左、右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（******） A ．B ．C ．D ．8．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则=( ***** ) ...3 .29．已知椭圆E ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交椭圆于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E 的方程为（******） A ．x245＋y236＝1B ．x236＋y227＝1C ．x227＋y218＝1 D ．x218＋y29＝110．已知M （）是双曲线C ：上的一点，是C 上的两个焦点，若，则的取值范围是( ****** )A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，=，则C的焦点到准线的距离为（ ****** ）A．2 B．4 C．6 D．812．已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）与圆C2：x2+y2=b2，若在椭圆C1上不存在点P，使得由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是（***** ）A．（0，）B．（0，） C．[，1） D．[，1）第Ⅱ卷共90分二、填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答卷的相应位置.13．,集合是奇数集,集合是偶数集.若命题则命题的否定是 ******** .14．过抛物线焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点M的纵坐标为4，则|AB|= ******** .15．已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为_ ******** .16．已知是的左焦点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为 ******** .17．如图是抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，则拱桥内水面的宽度为 ******** 米.18．如右图，的顶点，，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是 ******** .三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分）已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，命题双曲线的离心率，若命题为真命题，为假命题，求实数的取值范围．20．（本小题满分12分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为为参数)，M为C1上的动点，P 点满足OP →＝2OM →，点P 的轨迹为曲线C 2.(Ⅰ)求C 2的普通方程；(Ⅱ) 设点（x ，y ）在曲线C 2上，求x+2y 的取值范围．21．（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，已知点，是动点，且的三边所在直线的斜率满足．（1）求点的轨迹的方程；（2）过点作倾斜角为的直线，交曲线于，两点，求的面积.22．（本小题满分12分）选修4—5：不等式选讲23.(本小题满分14分)已知椭圆C ：=1的顶点B 到左焦点F 1的距离为2，离心率e=．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 为椭圆C 的右頂点，过点A 作互相垂直的两条射线，与椭圆C 分別交于不同的两点M ，N （M ，N 不与左、右顶点重合），试判断直线MN 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．福建师大附中2016-2017学年上学期期末考试高二(理科班)数学试卷解答一、选择题：DABCA, BCCDA,BA第Ⅱ卷共90分二、填空题： 13．;14． 12 ;15．2316．9 ; 17．; 18．() ．三、解答题：本大题有5题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19．（本小题满分12分）解：若真，则有，即：； …2分若真，则有，且，即：………4分若命题为真命题，为假命题，则一真一假． ……5分若真、假，则，且，即：； …8分若假、真，则，且，即：； … 11分，∴所求的取值范围为或． …12分20．（本小题满分12分）解：(Ⅰ)设P (x ，y )，则由条件知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y2. 由于M 点在C 1上，所以，即，消去参数α得即C2的普通方程为(Ⅱ) 由椭圆的参数方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin（θ+φ），其中tanφ=．∴x+2y的取值范围是[﹣5，5]．21．（本小题满分10分）解：（1）设点P的坐标为P（x，y），则，k OQ=2，，由+=，得．整理得点P的轨迹的方程为：y2=4x（y≠0,y≠2）；（2）设，由得：=22．（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）（ⅰ）当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是；···················· 2分（ⅱ）当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式无解；4分（ⅲ）当时，原不等式可化为，解得，此时原不等式的解是；6分综上，．7分（Ⅱ）因为8分9分．10分因为，所以，，11分所以，即．·······12分解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）因为，9分所以，要证，只需证，即证，10分即证，即证，即证．11分因为，所以，所以成立，所以原不等式成立．························12分23.(本小题满分14分)解：（1）由题意可知：，解得：，故椭圆的标准方程为；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），当直线MN的斜率不存在时，MN⊥x轴，△MNA为等腰直角三角形，∴|y1|=|2﹣x1|，又，M，N不与左、右顶点重合，解得，此时，直线MN过点；当直线的斜率存在时，设直线MN的方程为y=kx+m，由方程组，得（1+k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（1+k2）（4m2﹣4）＞0，整理得4k2﹣m2+1＞0，．由已知AM⊥AN，且椭圆的右顶点A为（2，0），∴，，即，整理得5m2+16km+12k2=0，解得m=﹣2k或，均满足△=4k2﹣m2+1＞0成立．当m=﹣2k时，直线l的方程y=kx﹣2k过顶点（2，0），与题意矛盾舍去．当时，直线l的方程，过定点，故直线过定点，且定点是．。

湖南师大附中高二上学期期末考试数学(理)Word版含答案

湖南师大附中高二上学期期末考试数学（理）Word版含答案数学(理科)命题：贺仁亮朱修龙严勇华周艳军审题：高二数学备课组时量：120分钟满分：150分得分：______________一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2i1．设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于1－iA．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11 2．设向量a＝(1，0)，b＝2，2，则下列结论中正确的是A．|a|＝|b|B．a·b＝2C．a∥bD．a－b与b垂直23．设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①α∥βα∥γβ∥γ；②α⊥βm∥αm⊥β；③m⊥αm∥βα⊥β；④m∥nnαm∥α.其中正确的命题是A．①④B．②③C．①③D．②④4．已知命题p：正确的是A．p为真B．綈q为真C．p∧q为真D．p∨q为真5．若曲线某2＋y2＋2某－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线k某＋2y－4＝0对称，则k的值为A．1B．－1C.D．226．已知f(某)＝in某＋3co某(某∈R)，函数y＝f(某＋φ)的图象关于直线某＝0对称，则φ的房东是个大帅哥某0∈R，使in某0＝5；命题q：2π某∈0，，某>in某，则下列判断2值可以是ππππA.B.C.D.23467．若(2某＋3)4＝a0＋a1某＋a2某2＋a3某3＋a4某4，则(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2的值为A．1B．－1C．0D．28．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：年收入某(万元)年支出y(万元)8.26.28.67.510.08.011.38.511.99.8^^^^^^根据上表可得回归直线方程y＝b某＋a，其中b＝0.76，a＝y－b某，据此估计，该社区一户年收入为15万元时家庭年支出为A．11.4万元B．11.8万元C．12.0万元D．12.2万元π9．若曲线f(某)＝某in某＋1在某＝处的切线与直线a某＋2y＋1＝0互相垂直，则实数a等2于A．－2B．－1C．1D．210．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”。