金版新学案(人教版)高中数学选修2-1练习：2.2.2 第1课时椭圆的简单几何性质(含答案)

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高中数学选修2-1课时作业16：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)一、选择题1.已知点(3,2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1上，则( ) A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.无法判断点(－3，－2)、(3，－2)、(－3,2)是否在椭圆上[答案] C[解析] 由椭圆的对称性知(－3,2)必在椭圆上.2.椭圆x 2＋4y 2＝1的离心率为( ) A.32 B.34 C.22 D.23[答案] A[解析] 将椭圆方程x 2＋4y 2＝1化为标准方程x 2＋y 214＝1，则a 2＝1，b 2＝14，即a ＝1，c ＝a 2－b 2＝32，故离心率e ＝c a ＝32. 3.椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|的值为( ) A.32 B. 3 C.72D.4 [答案] C[解析] 由x 24＋y 2＝1知，F 1，F 2的坐标分别为(－3，0)，(3，0)，即点P 的横坐标为x P ＝－3，代入椭圆方程得|y P |＝12，∴|PF 1|＝12. ∵|PF 1|＋|PF 2|＝4，∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝4－12＝72. 4.中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为32，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B.x 24＋y 2＝1或x 2＋y 24＝1 C.x 2＋4y 2＝1D.x 2＋4y 2＝4或4x 2＋y 2＝16[答案] D[解析] 若焦点在x 轴上，则a ＝2.又e ＝32，∴c ＝ 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴方程为x 24＋y 2＝1，即x 2＋4y 2＝4.若焦点在y 轴上，则b ＝2.又e ＝32，∴b 2a 2＝1－34＝14， ∴a 2＝4b 2＝16，∴方程为x 24＋y 216＝1，即4x 2＋y 2＝16. 5.椭圆x 212＋y 23＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则点P 的纵坐标是( ) A.±34B.±32C.±22D.±34[答案] B[解析] 设椭圆的右焦点为F 2，由题意知PF 2⊥x 轴，因为a 2＝12，b 2＝3，所以c 2＝a 2－b 2＝9，c ＝3.所以点P 和点F 2的横坐标都为3.故将x ＝3代入椭圆方程，可得y ＝±32.故选B. 6.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则椭圆的离心率为( )A.5－12B.3－12C.32 D.5＋12 [答案] A[解析] 依题意得，4b 2＝4ac ，∴b 2a 2＝c a，即1－e 2＝e . ∴e 2＋e －1＝0，∴e ＝5－12(舍去负值). 7.椭圆x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系为( ) A.有相等的长、短轴长 B .有相等的焦距C.有相同的焦点D.有相同的顶点[答案] B[解析] ∵(25－k )－(9－k )＝25－9＝16，∴焦距相等.二、填空题8.若点O 和点F 分别为椭圆x 22＋y 2＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则|OP |2＋|PF |2的最小值为________.[答案] 2[解析] 设P (x 0，y 0)，而F (－1,0)，∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋y 20＋(x 0＋1)2＋y 20.又y 20＝1－x 202， ∴|OP |2＋|PF |2＝x 20＋2x 0＋3＝(x 0＋1)2＋2≥2.∴|OP |2＋|PF |2的最小值为2.9.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是____________.[答案] x 25＋y 24＝1 [解析] ∵x ＝1是圆x 2＋y 2＝1的一条切线.∴椭圆的右焦点为(1,0)，即c ＝1.设P (1，12)，则k OP ＝12，∵OP ⊥AB ，∴k AB ＝－2，则直线AB 的方程为y ＝－2(x －1)，它与y 轴的交点为(0,2).∴b ＝2，a 2＝b 2＋c 2＝5，故椭圆的方程为x 25＋y 24＝1. 10.若椭圆x 2＋my 2＝1的离心率为32，则m ＝________. [答案] 14或4 [解析] 方程化为x 2＋y 21m＝1，则有m >0且m ≠1. 当1m<1，即m >1时，依题意有1－1m 1＝32，解得m ＝4，满足m >1；当1m>1，即0<m <1时，依题意有1m －11m ＝32，解得m ＝14，满足0<m <1. 综上，m ＝14或4. 三、解答题 11.分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)离心率是23，长轴长是6； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解 (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)或y 2a 2＋x 2b2＝1 (a >b >0). 由已知得2a ＝6，e ＝c a ＝23，∴a ＝3，c ＝2. ∴b 2＝a 2－c 2＝9－4＝5.∴椭圆的标准方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0).如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2上的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18，故所求椭圆的标准方程为x 218＋y 29＝1. 12.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，过点E (a 2c ，0)的直线与椭圆相交于点A ，B 两点，且F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，求椭圆的离心率.解由F 1A ∥F 2B ，|F 1A |＝2|F 2B |，得|EF 2||EF 1|＝|F 2B ||F 1A |＝12，从而a 2c －c a 2c＋c ＝12，整理得a 2＝3c 2. 故离心率e ＝c a ＝33. 13.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，两个焦点分别为A (－1，0)，B (1,0)，一个顶点为H (2,0).(1)求椭圆E 的标准方程；(2)对于x 轴上的点P (t,0)，椭圆E 上存在点M ，使得MP ⊥MH ，求实数t 的取值范围. 解 (1)由题意可得，c ＝1，a ＝2，∴b ＝ 3.∴所求椭圆E 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 0，y 0)(x 0≠±2)，则x 204＋y 203＝1.①MP →＝(t －x 0，－y 0)，MH →＝(2－x 0，－y 0)，由MP ⊥MH 可得MP →·MH →＝0，即(t －x 0)(2－x 0)＋y 20＝0.② 由①②消去y 0，整理得 t (2－x 0)＝－14x 20＋2x 0－3.∵x 0≠2，∴t ＝14x 0－32.∵－2<x 0<2，∴－2<t <－1.∴实数t 的取值范围为(－2，－1).。

人教新课标版数学高二高二数学新人教版选修2-1导学案椭圆的简单几何性质(一)

椭圆的简单几何性质(一)导学案【学习要求】1．理解椭圆的简单几何性质.2．利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题.【学法指导】通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体会数形结合的数学思想.通过几何性质的代数研究，养成辩证统一的世界观.【知识要点】1．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程范围顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点(±a2－b2，0)(0，±a2－b2)焦距|F1F2|＝2a2－b2对称性对称轴：对称中心：离心率e＝ca∈准线2．离心率的作用当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆.【问题探究】探究点一椭圆的简单几何性质问题1 观察椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的形状，你能从图中看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？问题2 如何用椭圆的标准方程(代数方法)研究你观察到的几何性质？问题3 观察不同的椭圆，椭圆的扁平程度不一样，怎样刻画椭圆的扁平程度呢？问题4 （1）b a 或c b的大小能刻画椭圆的扁平程度吗？为什么？（2）你能运用三角函数的知识解释：为什么e ＝c a 越大，椭圆越扁？e ＝c a越小，椭圆越圆吗？问题5 比较下列各组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？为什么？（1）4x 2＋9y 2＝36与x 225＋y 220＝1；（2）9x 2＋4y 2＝36与x 212＋y 216＝1.例1 求椭圆m 2x 2＋4m 2y 2＝1 (m >0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率. 跟踪训练1 已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率.探究点二由椭圆的几何性质求方程例2 椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63，求椭圆的标准方程. 跟踪训练2 求适合下列条件的椭圆的标准方程.（1）长轴在x 轴上，长轴的长等于12，离心率等于23；（2）长轴长是短轴长的2倍，且椭圆过点(－2，－4).探究点三求椭圆的离心率例3 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率.跟踪训练3 如图，A 、B 、C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC ＝90°，则该椭圆的离心率为 ( )A ．－1＋52B ．5－1C ．2＋12D ．2＋1【当堂检测】1．椭圆25x 2＋9y 2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是 ( )A ．5、3、0.8B ．10、6、0.8C ．5、3、0.6D ．10、6、0.6 2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13，则椭圆的方程是 ( )A ．x 2144＋y 2128＝1 B ．x 236＋y 220＝1 C ．x 232＋y 236＝1 D ．x 236＋y 232＝1 3．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ( )A ．45B ．35C ．25D ．154．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为______.【课堂小结】1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式要先化成标准形式，再确定焦点的位置，找准a 、b .2．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法.3．求离心率e 时，注意方程思想的运用.【拓展提高】1．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率e ＝32，则椭圆的方程是( )A ．x 24＋y 23＝1B ．x 216＋y 24＝1C ．x 216＋y 212＝1D ．x 216＋y 23＝1 2．椭圆1145222=++a y a x 的焦点在x 轴上，则它离心率的取值范围是 3．椭圆M ：2222x y a b+=1 (a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为椭圆M 上任一点，且12PF PF ⋅ 的最大值的取值范围是[2c 2，3c2]，其中c =则椭圆M 的离心率e 的取值范围是（） A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,33 B．[C ．D ．11[,)32 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右顶点分别为B A 、，右焦点是F ，过F 作直线与长轴垂直，与椭圆交于Q P 、两点（1）若060=∠PBF ，求椭圆的离心率（2）求证：APB ∠一定为钝角5．在平面直角坐标系内，已知点)0,2()0,2(-B A 、，P 是平面内一动点，直线PB PA 、的斜率之积为43- （1）求动点P 的轨迹C 的方程（2）过点)0,21(作直线l 与轨迹C 交于F E 、两点，线段EF 的中点为M ，求直线MA 的斜率k 的取值范围。

人教课标版高中数学选修2-1：《椭圆的简单几何性质(第1课时)》教案-新版

2.2.2 椭圆的简单几何性质（第一课时）一、教学目标（一）学习目标1.给定椭圆标准方程，能说出椭圆的范围，对称性，顶点坐标和离心率；2.在图形中，能指出椭圆中e c b a ,,,的几何意义及其相互关系；3.知道离心率大小对椭圆扁平程度的影响. （二）学习重点1.用方程研究椭圆上点的横纵坐标范围，对称性；2.椭圆的简单几何性质. （三）学习难点椭圆的离心率及椭圆几何性质的简单应用二.教学设计（一）预习任务设计 1.预习任务（1）读一读：阅读教材第43页至第46页.（2）想一想：椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响？（3）写一写：焦点分别在,x y 轴上的椭圆的范围、对称性、顶点. 2.预习自测判断（正确的打“√”，错误的打“×”）（1）椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴长为a .（）（2）椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.（）（3）若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10,8，则椭圆的方程为2212516x y +=.（）（4）已知点(,)m n 在椭圆228324x y +=上，则24m +的最大值为4+.（）【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】通过椭圆的标准方程22221x y a b +=可认识到椭圆的相应几何量：长轴长2a ，短轴长2b ，离心率e ca=，x 的取值范围取值范围a x a -≤≤. 【思路点拨】通过椭圆的标准方程认识几何性质. 【答案】（1）×；（2）×；（3）×；（4）√. （二）课堂设计 1.知识回顾椭圆的标准方程：当焦点在x 轴时，)0(12222>>=+b a b y a x当焦点在y 轴时，)0(12222>>=+b a b x a y2.新知讲解探究一：具体方程，认识图形 ●活动① 图形引发性质运用所学的知识，你能否画出方程14922=+y x 所对应的曲线？（如果不能精确地画出，也可以画出它的草图.）预案一：利用椭圆的定义，用绳子画图；预案二：根据所学先判断其为椭圆，求与x 轴y 轴的交点再连结；预案三：根据所学判断椭圆具有对称性，只需比较精确地画出第一象限的部分；【设计意图】让学生在画曲线的时候，通过动手能发现椭圆上点的坐标取值有范围限制，即椭圆的范围；发现椭圆具有对称性，从而为引出对称性作铺垫；发现特殊点（与对称轴的交点），即椭圆的顶点.研究曲线的性质，可以从整体上把握它的形状，大小和位置.以椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 为例，你觉得应该从哪些方面研究它的几何性质？【设计意图】引出研究曲线性质的意义，为后面研究椭圆的几何性质指明角度. 探究二：简化抽象、探究性质 ●活动① 归纳梳理、理解提升（1）范围：由标准方程知，椭圆上点的坐标(,)x y 满足不等式22221,1x y a b ≤≤，∴22x a ≤，22y b ≤，∴||x a ≤，||y b ≤.说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里. （2）对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称.若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称.所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称.这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心. （3）顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标.在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点.同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点. 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点.同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ，a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22R t O BF ∆中，2||O B b =，2||O F c =，22||BF a =，且2222222||||||O F B F O B =-，即222c a b =-. （4）离心率：椭圆的焦距与长轴的比e ca=叫椭圆的离心率.∵0a c >>，∴01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆.当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a+=.e 1,0c a b →→→⎧⎨⎩当时,椭圆图形越扁； e 00,c b a →→→⎧⎨⎩当时,椭圆越接近于圆. ●活动② 巩固基础、检查反馈例1.根据下列条件求椭圆的标准方程（1）28,e 3c ==；（2）过点(3,0)P ，离心率e =，求椭圆的标准方程. 【知识点】椭圆的标准方程以及离心率. 【解题过程】（1）8e ,1223c c a a e =∴===，又2222212880b a c =-=-= ∴椭圆标标准方程为22114480x y +=或22114480y x +=. （2）当椭圆的焦点在x 轴上时，3,c a c a ==∴=. 从而222963b a c =-=-=，∴椭圆的方程为22193x y +=.当椭圆的焦点在y 轴上时，3,c b a === 227a ∴=，∴椭圆方程为221927x y += ∴所求椭圆的方程为221927x y +=或22193x y +=. 【思路点拨】已知椭圆的某些性质，和与性质相关的条件求标准方程仍需先判定焦点位置，从而确定方程形式，并用待定系数的思想，求出方程中的,a b 值，得到方程.【答案】（1）22114480x y +=或22114480y x +=；（2）221927x y +=或22193x y +=.同类训练已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =，求m 的值. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，∴253m =⇒=. 【思路点拨】根据椭圆焦点的位置确定,,a b c 的值，结合离心率的定义建立方程求解.【答案】m =3或253. 例2.已知12,F F 分别为椭圆12222=+by a x 的左右焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭圆的一个交点，且12212PF F PF F ∠=∠，求这个椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意12PF F ∆为直角三角形，且90P ∠=，1260PF F ∠=，122F F c =，则12,PF c PF ==，所以由椭圆的定义知，122PF PF a +=，即2c a +=，得离心率e 1ca==. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.1-同类训练已知椭圆12222=+by a x (0)a b >>，过椭圆的右焦点作x 轴的垂线交椭圆于A B 、两点， 0OA OB ⋅=，求椭圆的离心率. 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】2(,0)F c ，把x c =代入椭圆12222=+b y a x 得2(,)b A c a .由0OA OB ⋅=，结合图形得22||||OF AF =，即：22222e e 10e b c b ac a c ac a =⇒=⇒-=⇒+-=⇒=. 【思路点拨】求离心率一般是先找到关于,,a b c 的一个齐次关系式，然后再变形求e 的值或范围.. 例3.如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的方程以及离心率. 【解题过程】分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程.25:44,5d M l x MF M P M d =⎧⎫⎪⎪==⎨⎬⎪⎪⎩⎭解：设是点到直线的距离，根据题意，点的轨迹就是集合4.5=22925225,x y +=将上式两边平方，并化简，得22 1.259x y +=即所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10,6的椭圆.【思路点拨】利用条件直接求轨迹方程，我们可以将例3抽象为下面问题：点(,)P x y 与定点(,0)F c 的距离和它到一定直线2:a l x c=的距离之比是常数ca(0)a c >>，求点P 的轨迹方程. （记222b ac =-，则轨迹方程为22221x y a b+=.）【答案】221259x y +=.3.课堂总结知识梳理椭圆的简单几何性质：重难点归纳利用椭圆轴长、离心率、准线等性质求解椭圆方程时，需注意：（1）在,,,e a b c 四个参数中，只要知道其中的任意两个，便可求出其它两个，必须正确地掌握四个参数间的相互关系；（2）离心率的转化和变形：222e (1)c bb a e a a==⇒=⇒=-. （三）课后作业基础型自主突破1.若焦点在y 轴上的椭圆x 2m ＋y 22＝1的离心率为12，则m 的值为（） A.1 B.32 C. 3 D.83 【知识点】椭圆的离心率.【解题过程】由题意得a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m ，又c a ＝12，∴2－m 2＝12，∴m＝32.【思路点拨】利用椭圆离心率定义解题. 【答案】B2.椭圆C 1：x 225＋y 29＝1和椭圆C 2：x 29－k ＋y 225－k ＝1 (0<k <9)有（）A.等长的长轴B.相等的焦距C.相等的离心率D.等长的短轴【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】依题意知椭圆C 2的焦点在y 轴上，对于椭圆C 1：焦距＝225－9＝8，对于椭圆C 2：焦距＝8=，故选B. 【思路点拨】灵活利用椭圆a,b,c 三者关系. 【答案】B3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为（） A.x 23＋y 22＝1 B.x 23＋y 2＝1 C.x 212＋y 28＝1 D.x 212＋y 24＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43， ∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. 【思路点拨】过焦点的直线利用椭圆的定义. 【答案】A.4.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别是A ，B ，左、右焦点分别是F 1、F 2.若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为（） A.14 B.55 C.12 D.5－2 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵A 、B 分别为左右顶点，F 1、F 2分别为左右焦点，∴|AF 1|＝a －c ，|F1F2|＝2c，|BF1|＝a＋c，又由|AF1|、|F1F2|、|F1B|成等比数列得(a－c)(a＋c)＝4c2，即a2＝5c2，所以离心率e＝5 5.【思路点拨】利用椭圆的几何性质中量的关系.【答案】B5.已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________.【知识点】椭圆的定义.【解题过程】由已知，2a＝8,2c＝215，∴a＝4，c＝15，∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y216＋x2＝1.【思路点拨】利用条件求a,b,c的值.【答案】y216＋x2＝1.6.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤32.则长轴长的取值范围为________.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵b＝1，∴c2＝a2－1，又c2a2＝a2－1a2＝1－1a2≤34，∴1a2≥14，∴a2≤4，又∵a2－1>0，∴a2>1，∴1<a≤2，故长轴长2<2a≤4.【思路点拨】利用离心率的定义建立不等关系. 【答案】2<2a≤4能力型师生共研7.已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设椭圆G的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，半焦距为c，则⎩⎨⎧2a ＝12，c a ＝32，∴⎩⎨⎧a ＝6，c ＝3 3. ∴b 2＝a 2－c 2＝36－27＝9， ∴椭圆G 的方程为x 236＋y 29＝1.【思路点拨】利用椭圆a,b,c 三者关系以及椭圆定义解题. 【答案】x 236＋y 29＝18.椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B .当△F AB 的周长最大时，△F AB 的面积是________. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】如图，当直线x ＝m ，过右焦点(1,0)时，△F AB 的周长最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 24＋y 23＝1，解得y ＝±32，∴|AB |＝3.∴S ＝12×3×2＝3.【思路点拨】数形结合解题. 【答案】3 探究型多维突破9.已知点P (x 0，y 0)是椭圆x 28＋y 24＝1上一点，A 点的坐标为(6,0)，求线段P A 中点M 的轨迹方程.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】设M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋62＝x ，y 0＋02＝y ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y .∵点P 在椭圆x 28＋y 24＝1上，∴x 208＋y 24＝1.把⎩⎨⎧x 0＝2x －6，y 0＝2y 代入x 208＋y 204＝1，得22(26)(2)184x y -+=，即22(3)12x y -+=为所求.【思路点拨】相关点转移法求轨迹.【答案】22(3)12x y -+=.10.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1和F 2，离心率e ＝22，连接椭圆的四个顶点所得四边形的面积为4 2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设A 、B 是直线l ：x ＝22上的不同两点，若AF 1→·BF 2→＝0，求|AB |的最小值. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】（1）由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧e ＝c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，S ＝12ab ＝42，解得：⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝ 2.所以椭圆的标准方程为：x 24＋y 22＝1.（2）由(1)知，F 1、F 2的坐标分别为F 1(－2，0)、F 2(2，0)，设直线l ：x ＝22上的不同两点A 、B 的坐标分别为A (22，y 1)、B (22，y 2)，则AF 1→＝(－32，－y 1)、BF 2→＝(－2，－y 2)，由AF 1→·BF 2→＝0得y 1y 2＋6＝0，即y 2＝－6y 1，不妨设y 1>0，则|AB |＝|y 1－y 2|＝y 1＋6y 1≥26，当y 1＝6、y 2＝－6时取等号，所以|AB |的最小值是2 6.【思路点拨】建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法，其关键是选取适当的变量建立目标函数，然后运用求函数最值得方法确定最值. 【答案】（1）x 24＋y 22＝1；（2）2 6. 自助餐1.过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为（） A.8,6 B.4,3 C.2， 3 D.4,2 3 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆过焦点的弦中最长的是长轴，最短的为垂直于长轴的弦(通径)是2b 2a .∴最长的弦为2a ＝4，最短的弦为2b 2a ＝2×32＝3，故选B. 【思路点拨】利用椭圆的几何性质量的关系解题. 【答案】B2.设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且，12:2:1PF PF =则△F 1PF 2的面积等于（） A.5 B.4 C.3 D.1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】由椭圆方程，得a ＝3，b ＝2，c ＝5，∴|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝6，又12:2:1PF PF =，∴|PF 1|＝4，|PF 2|＝2，由22＋42＝(25)2可知，△F 1PF 2是直角三角形，故△F 1PF 2的面积为12|PF 1|·|PF 2|＝12×4×2＝4，故选B. 【思路点拨】充分利用椭圆的定义求出三角形三边解题. 【答案】B3.已知A ＝{1,2,4,5}，a ，b ∈A ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆的概率为（）A.34B.38C.316D.12 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵a ，b ∈A ，∴不同的方程x 2a 2＋y 2b 2＝1共有16个. 由题意a 2<b 2，∴a ＝1时，b ＝2,4,5；a ＝2时，b ＝4,5； a ＝4时，b ＝5，共6个，∴所求概率P ＝616＝38. 【思路点拨】注意椭圆的焦点在y 轴上. 【答案】B4.已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)两个焦点，P 在椭圆上，∠F 1PF 2＝α，且当α＝2π3时，△F 1PF 2的面积最大，则椭圆的标准方程为（） A.x 212＋y 23＝1 B.x 214＋y 25＝1 C.x 215＋y 26＝1 D.x 216＋y 27＝1 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】∵当P 在短轴端点时，S △F 1PF 2最大，∴∠PF 1F 2＝π6，∴tan π6＝bc ，∵c ＝3，∴b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝12，椭圆方程为x 212＋y 23＝1.【思路点拨】利用几何关系. 【答案】A5.已知椭圆x 2＋(m ＋3)y 2＝m (m >0)的离心率e ＝32，求m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】椭圆方程可化为x 2m ＋y 2m m ＋3＝1，∵(2)33m m m m m m +-=>++，∴m >m m ＋3.即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3，c ==.由e ＝32得，m ＋2m ＋3＝32，∴m ＝1. ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1，∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1；两焦点坐标分别为F 1(－32，0)，F 2(32，0)；四个顶点分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1(0，－12)，B 2(0，12). 【思路点拨】利用离心率的定义建立关系.6.已知椭圆上横坐标等于焦点横坐标的点，它到x 轴的距离等于短半轴长的23，求椭圆的离心率.【知识点】椭圆的几何性质.【解题过程】解法一：设焦点坐标为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，依题意设M 点坐标为(c ，23b ).在Rt △MF 1F 2中，|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝|MF 1|2，即4c 2＋49b 2＝|MF 1|2，而|MF 1|＋|MF 2|＝4c 2＋49b 2＋23b ＝2a ，整理，得3c 2＝3a 2－2ab . 又c 2＝a 2－b23b ＝2a .∴b 2a 2＝49.∴e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝59，∴e ＝53.解法二：设M(c，23b)，代入椭圆方程，得c2a2＋4b29b2＝1，∴c2a2＝59，∴ca＝53，即e＝53.【思路点拨】利用椭圆的几何关系结合椭圆离心率的定义解题.。

高中数学选修2-1理科2.2.2椭圆的简单几何性质公开课导学案

2.2.2椭圆的简单几何性质学习目标1．掌握椭圆的范围、对称性、离心率等几何性质．2．会根据椭圆的标准方程画出它的几何图形，能根据几何性质解决一些简单问题．3．掌握直线和椭圆位置关系的相关知识．学习重难点1. 重点是椭圆的简单几何性质；2难点是椭圆性质的综合应用．一.自主预习1．椭圆的简单几何性质1212心O的距离最远．2．椭圆的离心率由a、c确定其范围是．3．当椭圆的离心率越，则椭圆越扁；当椭圆离心率越，则椭圆越接近于圆问题探究：你认为椭圆上到焦点的距离取最大值和最小值各是何值？要点一利用椭圆方程研究其几何性质例1求椭圆25x2＋y2＝25的长轴和短轴的长及其焦点和顶点坐标变式练习1.求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．要点二利用椭圆的几何性质求标准方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)椭圆过(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 变式练习2.顶点是(0,2)，离心率e ＝12，对称轴为坐标轴的椭圆的标准方程是( )A.3x 216＋y 24＝1或y 24＋x 23＝1B.y 24＋x 23＝1 C.3x 216＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1或x 24＋y 23＝1 要点三求椭圆的离心率例3 若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( )A.45B.35C.25D.15变式练习3如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上一点，且MF 2⊥F 1F 2，∠MF 1F 2＝30°.试求椭圆的离心率．要点四直线与椭圆的位置关系例4 如图所示，已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB 的长．变式训练已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．当堂检测1．已知椭圆中心在原点，一个焦点为(－3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 2＝1 B ．x 2＋y 24＝1 C.x 23＋y 2＝1 D ．x 2＋y 23＝1 2．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则m 等于( )A. 3B.32C.83D.233．在一椭圆中，以焦点F 1、F 2为直径两端点的圆，恰好过短轴的两个端点，则此椭圆的离心率e 等于( ) A.12 B.22 C.32 D.25 4．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得的弦的中点坐标是( )A ．(23，53)B ．(43，73)C ．(－23，13)D ．(－132，－172)5．椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．。

高中数学选修2-1优质学案10：2.2.2 椭圆的简单几何性质(一)

2.2.2 椭圆的简单几何性质（一）学习目标1.掌握椭圆的几何性质，了解椭圆标准方程中a 、b 、c 的几何意义.(重点)2.会用椭圆的几何意义解决相关问题.(难点) 基础·初探教材整理1 椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) ________ 范围 ________________顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0，－b )，B 2(0，b )A 1(0，－a )，A 2(0，a )B 1(－b,0)，B 2(b,0)轴长短轴长＝________，长轴长＝________ 焦点 F 1(－c,0)，F 2(c,0)F 1(0，－c )，F 2(0，c )焦距 |F 1F 2|＝________对称性对称轴为________，对称中心为________1.椭圆x 281＋y 245＝1的长轴长为( )A.81B.9C.18D.452.椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A.12 B.2 C.14 D.4 教材整理2 离心率阅读教材，完成下列问题.1.定义：椭圆的焦距与长轴长的比________称为椭圆的________.2.性质：离心率e 的范围是________.当e 越接近于1时，椭圆________；当e 越接近于________时，椭圆就越接近于圆. 预习自测1.椭圆x 216＋y 28＝1的离心率为________.2.已知椭圆的两焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1→·AF 2→＝0，∠AF 2F 1＝60°，则该椭圆的离心率为________. 合作探究类型1 根据椭圆的方程研究其几何性质例1 设椭圆方程mx 2＋4y 2＝4m (m ＞0)的离心率为12，试求椭圆的长轴的长和短轴的长、焦点坐标及顶点坐标. 名师指导1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式的先化成标准形式，再确定焦点的位置，进而确定椭圆的类型.2.焦点位置不确定的要分类讨论，找准a 与b ，正确利用a 2＝b 2＋c 2求出焦点坐标，再写出顶点坐标.同时要注意长轴长、短轴长、焦距不是a ，b ，c ，而应是a ，b ，c 的两倍. 跟踪训练1.已知椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1，设椭圆C 2与椭圆C 1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C 2的焦点在y 轴上.(1)求椭圆C 1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率； (2)写出椭圆C 2的方程，并研究其性质.类型2 由几何性质求椭圆的方程例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)椭圆过点(3,0)，离心率e ＝63； (2)在x 轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为8. 名师指导1.用几何性质求椭圆的标准方程通常采用的方法是待定系数法.2.根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，即先明确焦点的位置或分类讨论.一般步骤是：①求出a 2，b 2的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程.3.在求解a 2、b 2时常用方程(组)思想，通常由已知条件与关系式a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca 等构造方程(组)加以求解. 跟踪训练2.若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是(3,0)，则椭圆的标准方程为( ) A.x 29＋y 216＝1 B.x 225＋y 216＝1 C.x 216＋y 225＝1 D.x 216＋y 29＝1 探究共研型探究点椭圆的离心率探究1 已知F 是椭圆的左焦点，A ，B 分别是其在x 轴正半轴和y 轴正半轴上的顶点，P 是椭圆上的一点，且PF ⊥x 轴，OP ∥AB ，怎样求椭圆的离心率？探究2 已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c,0)，A (－a,0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .例3 若椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率. 名师指导求e 的值或范围问题就是寻求它们的方程或不等式，具体如下： 1.若已知a ，c 可直接代入e ＝ca 求得；2.若已知a ，b ，则使用e ＝1－b 2a2求解； 3.若已知b ，c ，则求a ，再利用1或2求解；4.若已知a ，b ，c 的关系，可转化为关于离心率e 的方程不等式求值范围.跟踪训练3.若过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为________. 课堂检测1.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴长与y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A.a 2＝15，b 2＝16B.a 2＝9，b 2＝25C.a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D.a 2＝25，b 2＝92.已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1 B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝13.已知椭圆E的短轴长为6，焦点F到长轴的一个端点的距离等于9，则椭圆E的离心率于________.4.求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)过点(3,0)，离心率e＝6 3；(2)焦距为8，在y轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直.——★参考答案★——基础·初探[答案]y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a2b2a2c坐标轴原点预习自测 1.[答案] C[解析] 由标准方程知a ＝9，故长轴长2a ＝18. 2.[答案] C [解析] 方程化为x 2＋y 21m＝1，长轴长为2m ，短轴长为2，由题意，2m ＝2×2，∴m ＝14. 教材整理2 离心率阅读教材，完成下列问题. 1.[答案] ca 离心率2.[答案] (0,1) 越扁 0 预习自测 1.[答案]22[解析] ∵a 2＝16，b 2＝8， ∴e ＝1－816＝22. 2.[答案]3－1[解析] ∵AF 1→·AF 2→＝0， ∴AF 1⊥AF 2，且∠AF 2F 1＝60°. 设|F 1F 2|＝2c ，∴|AF 1|＝3c ，|AF 2|＝c .由椭圆定义知：3c ＋c ＝2a ，即(3＋1)c ＝2a . ∴e ＝c a ＝23＋1＝3－1.合作探究类型1 根据椭圆的方程研究其几何性质例1 解：椭圆方程可化为x 24＋y 2m＝1.(1)当0＜m ＜4时，a ＝2，b ＝m ，c ＝4－m ，∴e ＝ca ＝4－m 2＝12，∴m ＝3，∴b ＝3，c＝1，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别是4,23，焦点坐标为F 1()－1，0，F 2()1，0，顶点坐标为A 1()－2，0，A 2()2，0，B 1(0，－3)，B 2(0，3).(2)当m ＞4时，a ＝m ，b ＝2，∴c ＝m －4，∴e ＝c a ＝m －4m＝12，解得m ＝163，∴a ＝433，c ＝233，∴椭圆的长轴的长和短轴的长分别为833，4，焦点坐标为F 1⎝⎛⎭⎫0，－233，F 2⎝⎛⎭⎫0，233，顶点坐标为A 1⎝⎛⎭⎫0，－433，A 2⎝⎛⎭⎫0，433，B 1(－2,0)，B 2(2,0).跟踪训练1. 解：(1)由椭圆C 1：x 2100＋y 264＝1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6,0)，(－6,0)，离心率e ＝35.(2)椭圆C 2：y 2100＋x 264＝1.性质：①范围：－8≤x ≤8，－10≤y ≤10； ②对称性：关于x 轴、y 轴、原点对称；③顶点：长轴端点(0,10)，(0，－10)，短轴端点(－8,0)，(8,0)； ④离心率：e ＝35.类型2 由几何性质求椭圆的方程例2 解：(1)若焦点在x 轴上，则a ＝3， ∵e ＝c a ＝63，∴c ＝6，∴b 2＝a 2－c 2＝9－6＝3. ∴椭圆的方程为x 29＋y 23＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝3， ∵e ＝c a＝1－b 2a2＝1－9a 2＝63，解得a 2＝27. ∴椭圆的方程为y 227＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0).如图所示，△A 1F A 2为等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且|OF |＝c ，|A 1A 2|＝2b ， ∴c ＝b ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的方程为x 232＋y 216＝1.跟踪训练 2.[答案] B[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋2b ＝18，c ＝3，a 2＝b 2＋c 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝4.因为椭圆的焦点在x 轴上，所以椭圆的标准方程为x 225＋y 216＝1.探究共研型探究点椭圆的离心率探究1 【提示】如图，设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，P (－c ，m ).∵OP ∥AB ， ∴△PFO ∽△BOA ， ∴c a ＝m b， ①又P (－c ，m )在椭圆上， ∴c 2a 2＋m 2b2＝1. ②将①代入②，得2c 2a 2＝1，即e 2＝12，∴e ＝22.探究2 【提示】由A (－a,0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba ，故AB 所在的直线方程为y －b ＝ba x ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c,0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2，整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8⎝⎛⎭⎫c a 2－14c a＋5＝0. ∴8e 2－14e ＋5＝0，∴e ＝12或e ＝54(舍去).综上可知，椭圆的离心率e ＝12.例3 解：由题意得：2b ＝a ＋c ， ∴4b 2＝(a ＋c )2，又∵a 2＝b 2＋c 2，∴4(a 2－c 2)＝a 2＋2ac ＋c 2，即3a 2－2ac －5c 2＝0， ∴3－2·c a －5·⎝⎛⎭⎫c a 2＝0，即5·⎝⎛⎭⎫c a 2＋2·c a－3＝0， ∴e ＝c a ＝35.跟踪训练 3.[答案]33[解析] 由题意，△PF 1F 2为直角三角形，且∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2|PF 1|. 设|PF 1|＝x ，则|PF 2|＝2x ，|F 1F 2|＝3x ，又|F 1F 2|＝2c ，所以x ＝2c 3. 即|PF 1|＝2c 3，|PF 2|＝4c3. 由椭圆的定义知，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，所以2c 3＋4c 3＝2a ，即e ＝c a ＝33.课堂检测 1.[答案] D[解析] 由题意得，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，且2a ＝10，a ＝5,2b ＝6，b ＝3，故a 2＝25，b 2＝9. 2.[答案] D[解析] 右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上，c ＝1.又离心率为c a ＝12，故a＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.3.[答案] 45[解析] 根据题意得2b ＝6，a ＋c ＝9或a －c ＝9(舍去). 所以a ＝5，c ＝4，故e ＝c a ＝45.4.解：(1)当椭圆的焦点在x 轴上时，因为a ＝3，e ＝63，所以c ＝6，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时，因为b ＝3，e ＝63，所以a 2－b 2a ＝63，所以a 2＝27.所以椭圆的标准方程为y 227＋x 29＝1.综上可知，所求椭圆的标准方程为x 29＋y 23＝1或y 227＋x 29＝1.(2)设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，由已知，得c ＝4，b ＝4，则a 2＝b 2＋c 2＝32，故所求椭圆的标准方程为y 232＋x 216＝1.。

《金学案》数学·人教A选修2-1课件：2.2.2第1课时椭圆的简单几何性质

归纳升华 1．利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待定系数法． 2．根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”，一般步骤是：①求出 a2，b2 的值；②确定焦点所在的坐标轴；③写出标准方程． 3．解此类题要仔细体会方程思想在解题中的应用．
所以椭圆的长轴长 2a＝10，短轴长 2b＝2. 焦点坐标为 F1(0，－2 6)，F2(0，2 6)．顶点坐标 A1(0，－5)，A2(0，5)，B1(－1，0)，B2(1， 0)．
类型 2 根据性质求椭圆的方程
[典例 2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)经过点 P(－3，0)、Q(0，－2)； (2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是 6 且 cos ∠ OFA＝23.
(0， 69)．答案：D
3．若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数
列，则椭圆的离心率为( )
5－1
3－1A. 2源自B. 2C.3 2
5＋1 D. 2
解析：依题意，4b2＝4ac，所以ba22＝ac，即 1－e2＝e.
5－1 所以 e2＋e－1＝0，所以 e＝ 2 (舍去负值)．答案：A
4. 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和
焦点在y轴上
图形
标准方程
xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0)
－a≤x≤a，范围
－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
(－a，0)(a，0)， (0，－a)，(0，a)，顶点
(0，－b)(0，b) (－b，0)，(b，0)
轴长
短轴长＝2b，长轴长＝2a
焦点 (± a2－b2，0)

选修2-1教案22-2椭圆的简单几何性质【2】

选修2-1 第二章《圆锥曲线与方程》 2.2.2椭圆的简单几何性质第二课时：椭圆的第二定义教学目标：1.了解椭圆的第二定义，并会用第二定义解决相关问题，理解准线的概念；2.能根据焦距、长轴长、离心率、准线方程，求椭圆的标准方程.教学重、难点：用坐标法研究椭圆的另一种定义；理解焦点与相应准线的相互关系及其相互转化关系.教学过程：（一）复习：椭圆：2222 1 (0)x y a b a b +=>> 顶点坐标：(,0)a ±，(0,)b ±对称性：对称轴为坐标轴，对称中心是原点，长轴长2a ，短轴长2b焦点坐标：(,0)c ±，22c a b =-离心率：c e a=（01e <<）（二）新课讲解：1．椭圆的第二定义：例1．点(,)M x y 与定点(,0)F c 的距离和它到定直线l ：2a x c =的距离比是常数c a（0a c >>），求点M 的轨迹．解：设d 是点M 到直线l 的距离，由题意，所求点M 属于集合||{|}MF c P M d a=，由此得22()||x c y c a x c-+=-，将上式两边平方，化简得22222222()()a c x a y a a c -+=-设222a c b -=，上式可化为2222 1 (0)x y a b a b+=>>，为椭圆的标准方程．所以，点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为2,2a b 的椭圆，这个定点是椭圆的焦点，c e a=为离心率，定直线为这个焦点对应的准线．说明：21a a x a a a c c==⋅>⋅=． 2．椭圆的准线方程：（1）22221x y a b +=，对应焦点(,0)F c 的准线方程：2a x c=，右准线；对应焦点(,0)F c -的准线方程：2a x c=-，左准线．（2）22221y x a b+=，对应焦点(0,)F c 的准线方程：2a y c =；对应焦点(0,)F c -的准线方程：2a y c=-． x y O M F l l '【练习】方程223(1)(1)|22|x y x y -+-=++所表示的曲线的轨迹是____________. 解：22(1)(1)313|22|3x y x y -+-=<++，即点(,)P x y 到定点(1,1)F 的距离与到定直线 :220l x y ++=的距离之比为313e =<，所以点P 的轨迹是椭圆。

教案人教版-高中数学选修2-1-2.2.2-椭圆的简单几何性质2).ppt

则 m 的取值范围是( )
A．m>1
B．m>1 且 m≠3
C．m>3
D．m>0 且 m≠3
2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线
x2 y2 1
94
交点情况满足( )
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.有公共点
14
1直线与椭圆的位置关系
例2 . 已知椭圆
x2 25
y2 9
1，直线
l：4x - 5y 40 0
相离 11
1.直线与椭圆的位置关系
例1.k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6 有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
3
3
当- 6 k< 6 时没有交点
3
3
13
变式：
1．直线 y＝x＋2 与椭圆xm2＋y32＝1 有两个公共点，
的右焦点，
19
弦中点问题
例 4.已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点
被平分，求此弦所在直线的方程.
解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造 20
弦中点问题
例 4.已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点
被平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 21 出中点坐标和斜率．
6
点与椭圆的位置关系
类比圆可
探究
以吗？
点与椭圆有几种位置关系，该怎样判断呢？
(1)点 P(x0，y0)与椭圆ax22＋yb22＝1(a>b>0)的位置关系：点 P 在椭圆上⇔xa202＋yb202＝1；点 P 在椭圆内部⇔xa202＋yb202<1；点 P 在椭圆外部⇔xa202＋yb202>1.

高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-1《2.2.2椭圆及其简单几何性质(1)》课件

还要注意 e＝ac的代换，通过方程思想求离心率．
(2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、
正弦定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识．
【变式3】如图所示，F1，F2 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点 M 的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴
长的23，求椭圆的离心率．
焦点在x轴上
焦点在y轴上
图形
标准方程
__ax_22_＋__yb_22＝__1_ _(_a_＞__b_＞__0_)
__ay2_2＋__xb_22_＝__1__ _(a_＞__b_＞__0_)_
焦点的位置范围
顶点轴长
焦点在x轴上 __－__a_≤_x_≤_a__ __且__－__b_≤_y≤_b___
(3)如图所示椭圆中的△OF2B2 找出 a，b，c， e 对应的线段或量为 a＝|F2B2|，b＝|OB2|，c＝|OF2|，
e＝ac＝||FO2FB22||＝cos∠OF2B2.
(4)若椭圆的标准方程为ax22＋yb22＝1(a>b>0)，则椭圆与 x 轴的交点 A1，A2 到焦点 F2 的距离分别最大和最小，且|A1F2|＝a＋c，|A2F2| ＝a－c.
顶点坐标为 A1(－3，0)，A2(3，0)，B1(0，－2)，B2(0，2)，
离心率
e＝ac＝
5 3.
题型二由椭圆的几何性质求标准方程
【例2】求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是 10，离心率是45； (2)在 x 轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为 6.
[思路探索] 解答本题可先由已知信息判断焦点所在坐标轴并设出标准方程，再利用待定系数法求参数a，b，c.

《2.2.2椭圆的简单几何性质》教学设计

《2.2.2椭圆的简单几何性质》教学设计椭圆的简单几何性质YZK19018一、概述本节课是普通高中课程标准实验教科书人教版数学理科选修2-1的第二章《2.2.2椭圆的简单几何性质》，主要学习椭圆的简单几何性质及其应用。

在此之前，学生已经学习过了椭圆的定义及其标准方程，而本节课是结合椭圆定义、方程和图形来发现总结椭圆的几何性质，再利用性质去解决问题；本节课教材，让学生用方程在探究推出性质的基础上，充分认识到数形结合的奇妙和转化思想，体会到数与形的辩证统一，且本节课内容的掌握程度直接影响以后学习双曲线和抛物线几何性质，为双曲线和抛物线几何性质的学习奠定了基础。

二、学习目标分析根据课程标准，结合高考要求和我校实际学情，制定以下教学目标：【知识与技能】：理解并掌握椭圆的几何性质，能根据这些几何性质解决简单问题，初步学会利用方程研究曲线几何性质的方法。

运用数形结合、函数与方程、转化的思想。

培养学生培养学生勇于探索、勤于思考的精神；培养学生观察、分析、探究、归纳、概括的能力以及运用数学工具解决实际问题的能力。

【过程和方法】：这是第一次学习用方程研究几何性质，通过初步尝试，是学生经历性质的得出过程，使学生认识到不仅注意对研究结果的理解和掌握，也要注意对过程的重视和其中数学思想和方法的渗透；以自主探究，合作讨论为主，进一步体会数形结合的思想，掌握利用方程研究几何性质的方法，也培养学生良好的合作和分享意识。

【情感态度和价值观】：通过对本节课的学习，进一步体会曲线与方程的对应关系,体会椭圆的和谐美和对称美，培养审美习惯和良好的思维品质，认识椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用。

三、学习者特征分析我校是一所农村普通高中，根据中考录取统计，学生大多属于二类生源，本课上课班级是一个普通理科班，大部分同学基础较为薄弱，自主分析，独立解决问题的能力不是很强，但是同时，学生也已经具备一定的自学能力，多数同学对数学有较强的兴趣和学习积极性,在探究问题的能力，合作交流的意识等方面发展不够均衡，尚有待加强。

高中数学选修2-1新教学案：2.2.1椭圆及其标准方程(1)-推荐下载

选修２—１ 2.2.1 椭圆及其标准方程（教案）
． x2 y2
8．设 P 是椭圆16+12=1 上一点,P 到两焦点 F'1、F2 的距离之差为 2,则△P F1F2 形状为
3
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

人教版高中选修2-1数学2.2椭圆教案(10)

课题：椭圆的简单几何性质设计意图：本节内容是椭圆的简单几何性质，是在学习了椭圆的定义和标准方程之后展开的，它是继续学习双曲线、抛物线的几何性质的基础。

因此本节内容起到一个巩固旧知，熟练方法，拓展新知的承上启下的作用，是发展学生自主学习能力，培养创新能力的好素材。

本教案的设计遵循启发式的教学原则，以培养学生的数形结合的思想方法，培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力。

教学目标：了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．培养学生的数形结合的思想方法。

教学重点：椭圆的简单几何性质的应用。

教学难点：椭圆的简单几何性质的应用。

二过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗椭圆的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心；③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ac e =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a ，b ，c e 00 ．（iii ）例题讲解与引申、扩展例1 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为e =求m 的值．解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ===，∴=，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有a b c ===，∴2553m =⇒=．例2 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC FF ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例3如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a =()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-． (3)小结1．知识总结：椭圆的几何性质2．思想方法总结：教师根据学生的总结做适当补充、归纳、点评。

高中数学选修2-1优质学案13：2.2.2 椭圆的简单几何性质(二)

2.2.2 椭圆的简单几何性质（二）课堂互动区知识点1 直线与椭圆的位置关系思考1 判断直线与圆的位置关系有哪几种方法？思考2 能否利用判断直线与圆的位置关系的方法判断直线与椭圆的位置关系？思考3 已知直线l 和椭圆C 的方程，如何判断直线与椭圆的位置关系？讲一讲1．已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .问m 为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离．类题通法判断直线与椭圆的位置关系的方法练一练1．若直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆x 25＋y 2m＝1总有公共点，求m 的取值范围．知识点2 直线与椭圆的相交弦问题思考1 若直线l 与圆C 相交于点A ，B ，如何求弦长|AB |?思考2 若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，如何求|AB |的值？讲一讲2．已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4，2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点． (1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度； (2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．类题通法(1)弦长公式设直线方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，直线与椭圆的两个交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2，所以|AB |＝（x 1－x 2）2＋（kx 1－kx 2）2 ＝1＋k 2·（x 1－x 2）2 ＝1＋k 2·（x 1＋x 2）2－4x 1x 2，或|AB |＝⎝⎛⎭⎫1k y 1－1k y 22＋（y 1－y 2）2 ＝1＋1k 2·（y 1－y 2）2 ＝1＋1k2·（y 1＋y 2）2－4y 1y 2. 其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．(2)解决椭圆中点弦问题的两种方法①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．②点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的两个不同的点，M (x 0，y 0)是线段AB 的中点，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b 2＝1，①x 22a 2＋y 22b 2＝1，② 由①－②，得1a 2(x 21－x 22)＋1b 2(y 21－y 22)＝0，变形得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－b 2a 2·x 0y 0，即k AB ＝－b 2x 0a 2y 0. 练一练2．直线y ＝x ＋1被椭圆x 24＋y 22＝1所截得线段的中点的坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫23，53 B.⎝⎛⎭⎫43，73 C.⎝⎛⎭⎫－23，13 D.⎝⎛⎭⎫－132，－1723．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且椭圆与直线x ＋2y ＋8＝0相交于P ，Q ，且|PQ |＝10，求椭圆方程．知识点3 与椭圆有关的最值问题讲一讲3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的离心率e ＝63. (1)若2a 2c ＝32，求椭圆方程； (2)直线l 过点C (－1，0)交椭圆于A 、B 两点，且满足：，试求△OAB 面积的最大值．类题通法解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．练一练4．在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．——————————————[课堂归纳·感悟提升]———————————————1．本节课的重点是直线与椭圆位置关系的判断、直线与圆的相交弦问题，难点是与椭圆有关的最值问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)直线与椭圆位置关系的判定方法，见讲1.(2)弦长问题及中点弦问题的求解方法，见讲2.(3)与椭圆有关的最值问题，见讲3. ——★ 参考答案 ★——课堂互动区知识点1 直线与椭圆的位置关系思考1 名师指津：(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 与圆的半径的大小关系判断，d ＝r ⇔相切；d >r ⇔相离；d <r ⇔相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，利用方程组解的个数判断．思考2 名师指津：不能采用几何法，但是可以利用代数法判断直线与椭圆的位置关系．思考3 名师指津：判断直线与椭圆的位置关系，通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，消去方程组中的一个变量，得到关于另一个变量的一元二次方程，则Δ>0⇔直线与椭圆相交；Δ＝0⇔直线与椭圆相切；Δ<0⇔直线与椭圆相离．讲一讲1．解：将y ＝x ＋m 代入4x 2＋y 2＝1，消去y 整理得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0.Δ＝4m 2－20(m 2－1)＝20－16m 2.当Δ＝0时，得m ＝±52，直线与椭圆相切；当Δ>0时，得－52<m <52，直线与椭圆相交；当Δ<0时，得m <－52或m >52，直线与椭圆相离．练一练1．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y 2m ＝1，消去y ，整理得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，所以Δ＝100k 2－20(m ＋5k 2)(1－m )＝20m (5k 2＋m －1)，因为直线与椭圆总有公共点，所以Δ≥0对任意k ∈R 都成立，因为m >0，所以5k 2≥1－m 恒成立，所以1－m ≤0，即m ≥1.又因为椭圆的焦点在x 轴上，所以0<m <5，综上，1≤m <5，即m 的取值范围是[1，5)．知识点2 直线与椭圆的相交弦问题思考1 名师指津：(1)利用r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫l 22求解；(2)利用两点间的距离公式求解；(3)利用弦长公式|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|求解．思考2 名师指津：|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|．讲一讲2．解：(1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x . 由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2＋14（x 1－x 2）2 ＝52（x 1＋x 2）2－4x 1x 2 ＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)法一：设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 29＝1，y －2＝k （x －4），消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4，2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0. 这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9（x 2＋x 1）36（y 2＋y 1），由于P (4，2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即y ＝－12x ＋4. 练一练2．[答案]C[解析]联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 24＋y 22＝1，消去y 得3x 2＋4x －2＝0.设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，x 1＋x 2＝－43，x 0＝x 1＋x 22＝－23，y 0＝x 0＋1＝13. ∴所求中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，13. 3．解：∵e ＝32，∴b 2＝14a 2.∴椭圆方程为x 2＋4y 2＝a 2. 与x ＋2y ＋8＝0联立消去y ，得2x 2＋16x ＋64－a 2＝0，由Δ>0得a 2>32，由弦长公式得10＝54×[64－2(64－a 2)]．∴a 2＝36，b 2＝9.∴椭圆方程为x 236＋y 29＝1. 知识点3 与椭圆有关的最值问题讲一讲3．解：(1)由题意知⎩⎨⎧c a ＝63，2a 2c ＝32，解得a ＝3，c ＝ 2.所以a 2＝3，b 2＝1，所以椭圆方程为x 23＋y 2＝1. (2)由e ＝c a ＝63，及a 2＝b 2＋c 2，得a 2＝3b 2，可设椭圆的方程为x 23b 2＋y 2b2＝1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2),由题意知直线l 的斜率存在，则设l 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋1），x 23b 2＋y 2b 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6k 2x ＋3k 2－3b 2＝0，且Δ＝12(3b 2－1)k 2＋12b 2，因为直线l 交椭圆于A 、B 两点，且，所以点C 在椭圆内部，所以a >1，所以3b 2>1，所以Δ>0.所以x 1＋x 2＝－6k 23k 2＋1. 因为，所以(x 1＋1，y 1)＝3(－1－x 2，－y 2)，所以x 1＝－4－3x 2，所以x 2＋1＝－13k 2＋1，所以|x 1－x 2|＝43k 2＋1. 又O 到直线l 的距离为d ＝|k |1＋k 2，所以S △ABO ＝12|AB |d ＝121＋k 2|x 1－x 2|·d ＝2|k |3k 2＋1＝23|k |＋1|k |≤33，所以当且仅当3|k |＝1|k |，即k ＝±33时， S △ABO 取得最大值33. 练一练4．解：设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4，故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，显然y ＝32x －4距l 最近，d ＝|16－8|32＋（－2）2＝813，切点为P ⎝⎛⎭⎫32，－74.。

【金版学案】高二数学人教A版选修2-1同步训练：2.2.2 椭圆及其标准方程(二) Word版含解析[ 高考]

2．2.2 椭圆及其标准方程(二)基础梳理1．平面内与两个定点F 1，F 2的2． ________________________________________________________________________的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的______，__________________________叫做椭圆的焦距．2．填表：想一想：已知M 为椭圆x a 2＋y b2＝1(a >b >0)上一动点，F 1为椭圆的左焦点，那么线段MF 1的中点P 的轨迹是不是椭圆？基础梳理1．距离的和等于常数(大于|F 1F 2|) 焦点两焦点间距离2.x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) (－c ，0)，(c ，0) (0，－c )，(0，c ) a 2－b 2想一想：由题意知|PO |＝12|MF 2|，|PF 1|＝12|MF 1|，又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，所以|PO |＋|PF 1|＝a >|F 1O |＝c ，故由椭圆的定义知P 点的轨迹是椭圆．自测自评1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距等于2，则m 的值为( ) A ．5或3 B ．8C ．5D ．162．已知椭圆x 216＋y 2b2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( ) A ．8 B ．12C ．2 3D ．433．已知A (0，－1)、B (0，1)两点，△ABC 的周长为6，则△ABC 的顶点C 的轨迹方程是( )A.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) B.y 23＋x 24＝1(y ≠±2) C.x 24＋y 23＝1(y ≠0) D.y 24＋x 23＝1(x ≠0) 自测自评1．A2．解析：把点(－2，3)代入x 216＋y 2b 2＝1，得b 2＝4，∴c 2＝a 2－b 2＝12.∴c ＝2 3.∴2c ＝4 3.答案：D3．D基础巩固1．椭圆4x 2＋9y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(±5，0)B ．(0，±5)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫±56，0 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫±536，0 1．解析：椭圆4x 2＋9y 2＝1的标准形式为x 214＋y 219＝1， ∴a 2＝14，b 2＝19.故c 2＝14－19＝536. 答案：C2．椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|PF 2|等于( ) A.32 B. 3 C.72D ．4 2．解析：不妨设F 1的坐标为(3，0)，P 点坐标为(x 0，y 0)，∵PF 1与x 轴垂直，∴x 0＝ 3.把x 0＝3代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得y 20＝14.∴|PF 1|＝12.∴|PF 2|＝4－|PF 1|＝72. 答案：C3．对于常数m 、n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．解析：由mn ＞0，若m ＝n ＞0，则方程mx 2＋ny 2＝1表示圆，故mn ＞0D ⇒/方程mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，若mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，则必有mn ＞0，故选B.答案：B4．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________．4．8 能力提升5．已知F 1(－1，0)，F 2(1，0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A 、B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为( ) A.x 22＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 24＝1 5．解析：如图，|AF 2|＝12|AB |＝32，|F 1F 2|＝2，由椭圆定义得，|AF 1|＝2a －32，① 在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|2＝|AF 2|2＋|F 1F 2|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22，② 由①、②得，a ＝2，所以b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故选C. 答案：C6．曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1(0<k <9)的关系是( ) A ．有相等的焦距，相同的焦点B ．有相等的焦距，不同的焦点C ．有不相等的焦距，不同的焦点D ．以上都不对6．解析：对于方程x 225＋y 29＝1，其焦点在x 轴上，且c ＝4.对于方程x 29－k ＋y 225－k＝1，∵0<k <9，∴0<9－k <9，16<25－k <25. ∴25－k >9－k ，且25－k －(9－k )＝16.由此可知，方程x 29－k ＋y 225－k＝1的焦点在y 轴上，且c ＝4.故曲线x 225＋y 29＝1与x 29－k ＋y 225－k＝1有相等的焦距，不同的焦点．答案：B7．设F 1、F 2分别是椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点，若点P 在椭圆上，且PF 1→·PF 2→＝0，则|PF 1→＋PF 2→|＝______． 7．解析：由PF 1→·PF 2→＝0，得PF 1⊥PF 2， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|＝|F 1F 2|＝6. 答案：68．(2014·济南高二检测)若椭圆C 1：x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)和椭圆C 2：x 2a 22＋y 2b 22＝1(a 2>b 2>0)的焦点相同且a 1>a 2.给出如下四个结论： ①椭圆C 1和椭圆C 2一定没有公共点；②a 1a 2>b 1b 2； ③a 21－a 22＝b 21－b 22；④a 1－a 2<b 1－b 2.其中，所有正确结论的序号是__________．8．解析：由题意，a 21－b 21＝a 22－b 22，因为a 1>a 2，所以b 1>b 2，所以①③正确；又a 21－a 22＝b 21－b 22，a 1>b 1>0，a 2>b 2>0，所以④正确．答案：①③④9．一动圆过定点A (2，0)，且与定圆x 2＋4x ＋y 2－32＝0内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．9．解析：将圆的方程化为标准形式(x ＋2)2＋y 2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B (－2，0)，半径为6，如图：设动圆圆心M 的坐标为(x ，y )，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C .∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC |－|MC |＝|BM |，而|BC |＝6，∴|BM |＋|CM |＝6，又|CM |＝|AM |，∴|BM |＋|AM |＝6，根据椭圆的定义知M 的轨迹是以点B (－2，0)和点A (2，0)为焦点，线段AB 的中点(0，0)为中心的椭圆．∴a ＝3，c ＝2，b ＝a 2－c 2＝5，∴所求圆心的轨迹方程为x 29＋y 25＝1. 10．P 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上的任意一点，F 1，F 2是它的两个焦点，O 为坐标原点，OQ →＝PF 1→＋PF 2→，求动点Q 的轨迹方程． 10．解析：由OQ →＝PF 1→＋PF 2→，又PF 1→＋PF 2→＝2PO →＝－2OP →，设Q (x ，y )，则OP →＝－12OQ →＝－12(x ，y )＝(－x 2，－y 2)，即P 点坐标为(－x 2，－y 2)，又P 点在椭圆上， ∴（－x 2）2a 2＋（－y 2）2b 2＝1，即x 24a 2＋y 24b 2＝1， ∴动点Q 的轨迹方程为x 24a 2＋y 24b 2＝1(a >b >0)．。

人教新课标版数学高二选修2-1导学案椭圆的简单几何性质(二)教师版

2.2.2椭圆的简单几何性质(二)【教学目标】1.进一步巩固椭圆的简单几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系的相关知识．【教学过程】一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生观看《2.2.2椭圆的简单几何性质(二)》课件“新课导入”部分，回顾直线与圆的位置关系，类比思考直线与椭圆的位置关系。

通过互相交流，引入本节课要学习椭圆的简单几何性质第二课时的知识.二、自主学习知识点一点与椭圆的位置关系设P(x0，y0)，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二(1)判断直线和椭圆位置关系的方法：将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线和椭圆相交；若Δ＝0，则直线和椭圆相切；若Δ<0，则直线和椭圆相离．(2)根与系数的关系及弦长公式：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b为常数)与椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫做直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫做弦长．下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得AB＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2，将y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b代入上式，得AB＝(x1－x2)2＋(kx1－kx2)2＝(x1－x2)2＋k2(x1－x2)2＝1＋k2|x1－x2|，而|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2，所以AB＝1＋k2·(x1＋x2)2－4x1x2，其中x1＋x2与x1·x2均可由根与系数的关系得到．(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l ：y ＝k (x －2)＋1和椭圆x 216＋y 29＝1.无论k 取何值，直线l 恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交.三、合作探究问题1 点P (x 0，y 0)与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)有几种位置关系？答案点P 与椭圆有三种位置关系：在椭圆外、在椭圆内、在椭圆上．问题2 直线与椭圆有几种位置关系？答案有三种位置关系，分别有相交、相切、相离．问题3 如何判断y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的位置关系？答案联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程探究点1 例1 (1)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定答案 A解析直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交．(2)在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．解由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0，解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程 (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．探究点2 直线与椭圆的相交弦问题例2 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A 、B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程．解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y29＝1，消去y 可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18.于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y 得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝32k 2－16k 1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 1＋x 22＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎨⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y229＝1，两式相减得x 22－x 2136＋y 22－y 219＝0，整理得k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝－9(x 2＋x 1)36(y 2＋y 1)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4，于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.反思与感悟处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．探究点3 椭圆中的最值(或范围)问题例3 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，由(1)知：5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2.所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|P A |＋|PB |的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|P A |＋|PB |取得最值．(2)求解形如|P A |的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围．(3)求解形如ax ＋by 的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决． (4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．四、当堂测试1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1答案 A解析由题意知a 24＋12＜1，解得－2＜a ＜ 2.2．已知直线l ：x ＋y －3＝0，椭圆x 24＋y 2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．相切或相交答案 C解析把x ＋y －3＝0代入x 24＋y 2＝1，得x 24＋(3－x )2＝1，即5x 2－24x ＋32＝0. ∵Δ＝(－24)2－4×5×32＝－64<0, ∴直线与椭圆相离．3．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D.3 答案 B解析椭圆的右焦点为F (1,0)，由点到直线的距离公式得d ＝33＋1＝32.选B. 4．椭圆x 216＋y 24＝1上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( )A ．3 B.11 C ．2 2 D.10答案 D解析设与直线x ＋2y －2＝0平行的直线为x ＋2y ＋m ＝0与椭圆联立得，(－2y －m )2＋4y 2－16＝0，即4y 2＋4my ＋4y 2－16＋m 2＝0得2y 2＋my －4＋m 24＝0. Δ＝m 2－8⎝⎛⎭⎫m 24－4＝0, 即－m 2＋32＝0， ∴m ＝±4 2.∴两直线间距离最大是当m ＝42时， d max ＝|2＋42|5＝10.5．若直线y ＝x ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1相交于A ，B 两个不同的点，则|AB |＝________.答案423解析由题意⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝1，解得A ，B 两个不同的点的坐标分别为(0,1)，⎝⎛⎭⎫－43，－13，故|AB |＝169＋169＝4 23. 五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?(1)点P (x 0，y 0)和椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的关系①P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b2<1；②P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1；③P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.(2)如图，过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2a，称为通径．(3)如图，P 为椭圆上的点，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠F 1PF 2＝θ，则△F 1PF 2的面积为b 2·tan θ2.(4)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 2a 2＋y 2b 2＝k (k >0)有相同的离心率．。

人教版高中选修2-1数学2.2椭圆教案(1)

2.2 椭圆2.2.1椭圆及其标准方程◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标（1）预习与引入过程当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形？又是怎么样变化的？特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时，截口曲线是椭圆，再观察或操作了课件后，提出两个问题：第一、你能理解为什么把圆、椭圆、双曲线和抛物线叫做圆锥曲线；第二、你能举出现实生活中圆锥曲线的例子．当学生把上述两个问题回答清楚后，要引导学生一起探究P 41页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条（约10cm 长，两端各结一个套），教师准备无弹性细绳子一条（约60cm ，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图形是椭圆．启发性提问：在这一过程中，你能说出移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？〖板书〗2．1．1椭圆及其标准方程．（2）新课讲授过程（i ）由上述探究过程容易得到椭圆的定义．〖板书〗把平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆（ellipse ）．其中这两个定点叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做椭圆的焦距．即当动点设为M 时，椭圆即为点集P ={}12|2M MF MF a +=．（ii ）椭圆标准方程的推导过程提问：已知图形，建立直角坐标系的一般性要求是什么？第一、充分利用图形的对称性；第二、注意图形的特殊性和一般性关系．无理方程的化简过程是教学的难点，注意无理方程的两次移项、平方整理．设参量b 的意义：第一、便于写出椭圆的标准方程；第二、,,a b c 的关系有明显的几何意义．类比：写出焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆的标准方程()222210y x a b a b+=>>．（iii ）例题讲解与引申例1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，()2,0，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程．分析：由椭圆的标准方程的定义及给出的条件，容易求出,,a b c ．引导学生用其他方法来解．另解：设椭圆的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，因点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上，则22222591444a a bb a b ⎧⎧+==⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪⎩-=⎩．例2 如图，在圆224x y +=上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？分析：点P 在圆224x y +=上运动，由点P 移动引起点M 的运动，则称点M 是点P 的伴随点，因点M 为线段PD 的中点，则点M 的坐标可由点P 来表示，从而能求点M 的轨迹方程．引申：设定点()6,2A ，P 是椭圆221259x y +=上动点，求线段AP 中点M 的轨迹方程．解法剖析：①（代入法求伴随轨迹）设(),M x y ，()11,P x y ；②（点与伴随点的关系）∵M 为线段AP 的中点，∴112622x x y y =-⎧⎨=-⎩；③（代入已知轨迹求出伴随轨迹），∵22111259x y +=，∴点M 的轨迹方程为()()223112594x y --+=；④伴随轨迹表示的范围．例3如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则直线AM ，BM 的斜率就可以用含,x y 的式子表示，由于直线AM ，BM 的斜率之积是49-，因此，可以求出,x y 之间的关系式，即得到点M 的轨迹方程．解法剖析：设点(),M xy ，则()55AM yk x x =≠-+，()55BM yk x x =≠-；代入点M 的集合有4559y y x x ⨯=-+-，化简即可得点M 的轨迹方程．引申：如图，设△ABC 的两个顶点(),0A a -，(),0B a ，顶点C 在移动，且AC BC k k k ⨯=，且0k <，试求动点C 的轨迹方程．引申目的有两点：①让学生明白题目涉及问题的一般情形；②当k 值在变化时，线段AB 的角色也是从椭圆的长轴→圆的直径→椭圆的短轴．◆ 情感、态度与价值观目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；必须让学生认同与体会：椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定点间距离时，轨迹是线段；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量b =数学的和谐美；让学生认同与领悟：例1使用定义解题是首选的，但也可以用其他方法来解，培养学生从定义的角度思考问题的好习惯；例2是典型的用代入法求动点的伴随点的轨迹，培养学生的辩证思维方法，会用分析、联系的观点解决问题；通过例3培养学生的对问题引申、分段讨论的思维品质．◆能力目标（1）想象与归纳能力：能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆、双曲线和抛物线的实际例子，能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义，能正确且直观地绘作图形，反过来根据图形能用数学术语和数学符号表示．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）数学活动能力：培养学生观察、实验、探究、验证与交流等数学活动能力．（5）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：第45页1、2、3、4、作业：第53页2、3、2．1．2 椭圆的简单几何性质◆ 知识与技能目标了解用方程的方法研究图形的对称性；理解椭圆的范围、对称性及对称轴，对称中心、离心率、顶点的概念；掌握椭圆的标准方程、会用椭圆的定义解决实际问题；通过例题了解椭圆的第二定义，准线及焦半径的概念，利用信息技术初步了解椭圆的第二定义．◆ 过程与方法目标（1）复习与引入过程引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点，在本节中不仅要注意通过对椭圆的标准方程的讨论，研究椭圆的几何性质的理解和应用，而且还注意对这种研究方法的培养．①由椭圆的标准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围；②由方程的性质得到椭圆的对称性；③先定义圆锥曲线顶点的概念，容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴、短轴的概念；④通过P 48的思考问题，探究椭圆的扁平程度量椭圆的离心率．〖板书〗§2．1．2椭圆的简单几何性质．（2）新课讲授过程（i ）通过复习和预习，知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质．提问：研究曲线的几何特征有什么意义？从哪些方面来研究？通过对曲线的范围、对称性及特殊点的讨论，可以从整体上把握曲线的形状、大小和位置．要从范围、对称性、顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质．（ii ）椭圆的简单几何性质①范围：由椭圆的标准方程可得，222210y x b a=-≥，进一步得：a x a -≤≤，同理可得：b y b -≤≤，即椭圆位于直线x a =±和y b =±所围成的矩形框图里；②对称性：由以x -代x ，以y -代y 和x -代x ，且以y -代y 这三个方面来研究椭圆的标准方程发生变化没有，从而得到椭圆是以x 轴和y 轴为对称轴，原点为对称中心； ③顶点：先给出圆锥曲线的顶点的统一定义，即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶点．因此椭圆有四个顶点，由于椭圆的对称轴有长短之分，较长的对称轴叫做长轴，较短的叫做短轴；④离心率：椭圆的焦距与长轴长的比ace =叫做椭圆的离心率（10<<e ），⎩⎨⎧→→→椭圆图形越扁时当01a ，，b ，c e ；⎩⎨⎧→→→椭圆越接近于圆时当a，b ，c e 00 ．（iii ）例题讲解与引申、扩展例4 求椭圆221625400x y +=的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．分析：由椭圆的方程化为标准方程，容易求出,,a b c ．引导学生用椭圆的长轴、短轴、离心率、焦点和顶点的定义即可求相关量．扩展：已知椭圆()22550mx y m m +=>的离心率为5e =m 的值．解法剖析：依题意，0,5m m >≠，但椭圆的焦点位置没有确定，应分类讨论：①当焦点在x 轴上，即05m <<时，有a b c ====，得3m =；②当焦点在y 轴上，即5m >时，有,a b c =，∴253m =⇒=．例5 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分．过对对称的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上，由椭圆一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知12BC FF ⊥，1 2.8F B cm =，12 4.5F F cm =．建立适当的坐标系，求截口BAC 所在椭圆的方程．解法剖析：建立适当的直角坐标系，设椭圆的标准方程为22221x y a b+=，算出,,a b c 的值；此题应注意两点：①注意建立直角坐标系的两个原则；②关于,,a b c 的近似值，原则上在没有注意精确度时，看题中其他量给定的有效数字来决定．引申：如图所示， “神舟”截人飞船发射升空，进入预定轨道开始巡天飞行，其轨道是以地球的中心2F 为一个焦点的椭圆，近地点A 距地面200km ，远地点B 距地面350km ，已知地球的半径6371R km =．建立适当的直角坐标系，求出椭圆的轨迹方程．例6如图，设(),M x y 与定点()4,0F 的距离和它到直线l ：254x =的距离的比是常数45，求点M 的轨迹方程．分析：若设点(),M x y ，则MF =，到直线l ：254x =的距离254d x =-，则容易得点M 的轨迹方程．引申：（用《几何画板》探究）若点(),M x y 与定点(),0F c 的距离和它到定直线l ：2a x c=的距离比是常数c e a =()0a c >>，则点M 的轨迹方程是椭圆．其中定点(),0F c 是焦点，定直线l ：2a x c=相应于F 的准线；由椭圆的对称性，另一焦点(),0F c '-，相应于F '的准线l '：2a x c=-．◆ 情感、态度与价值观目标在合作、互动的教学氛围中，通过师生之间、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究，教学相长的教学活动情境，结合教学内容，培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观，激励学生创新．必须让学生认同和掌握：椭圆的简单几何性质，能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围、对称性、顶点和离心率；必须让学生认同与理解：已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，①充分利用图形对称性，②注意图形的特殊性和一般性；必须让学生认同与熟悉：取近似值的两个原则：①实际问题可以近似计算，也可以不近似计算，②要求近似计算的一定要按要求进行计算，并按精确度要求进行，没有作说明的按给定的有关量的有效数字处理；让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题，培养学生学习数学的兴趣和掌握利用先进教学辅助手段的技能．◆能力目标（1）分析与解决问题的能力：通过学生的积极参与和积极探究,培养学生的分析问题和解决问题的能力．（2）思维能力：会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．（3）实践能力：培养学生实际动手能力，综合利用已有的知识能力．（4）创新意识能力：培养学生思考问题、并能探究发现一些问题的能力，探究解决问题的一般的思想、方法和途径．练习：第52页1、2、3、4、5、6、7作业：第53页4、5补充： 1.课题:双曲线第二定义学法指导：以问题为诱导，结合图形，引导学生进行必要的联想、类比、化归、转化.教学目标知识目标：椭圆第二定义、准线方程；能力目标：1使学生了解椭圆第二定义给出的背景；2了解离心率的几何意义；3使学生理解椭圆第二定义、椭圆的准线定义；4使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用；5使学生掌握椭圆第二定义的简单应用；情感与态度目标：通过问题的引入和变式，激发学生学习的兴趣，应用运动变化的观点看待问题，体现数学的美学价值.教学重点：椭圆第二定义、焦半径公式、准线方程；教学难点：椭圆的第二定义的运用；教具准备：与教材内容相关的资料。