八年级奥数第二讲二次根式(二)

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北师大版八年级数学上册《二次根式(2)》课件

2.7 二次根式
第2课时二次根式乘除法运算
1．二次根式的乘法法则和除法法则：
a· b＝___a_b___(a≥0，b≥0)； ba＝____ba____(a≥0，b＞0)． 2．二次根式也可以进行加减法运算，如果运算结果中出现 __被__开__方__数___相同的根式(同类二次根式)，应该将这些项___合__并____．
12．小明的作业本上有以下四题：① 16a4＝4a2；② 5a· 10a＝5 2a；
③a 1a＝ a2·1a＝ a；④ 8a÷ 2a＝4.做错的题是( D )
A．①
B．②
C．③
D．④
13．下列四个命题，正确的个数有( A )
①有理数与无理数之和是有理数；
②有理数与无理数之和是无理数；
③无理数与无理数之和是无理数；
1．(2 分)计算 10÷ 2＝( A )
A. 5
B．5
5 C2 2．(2 分) 20× 3．(6 分)化简：
10 D. 2
15＝___2___；
18× 6
5＝____1_5___．
(1) 16× 8；
20 (2) 5 .
解：(1)8 2
(2)4 5
4．(2 分)(2014·福州)计算：( 2＋1)( 2－1)＝__1____．
16．若一个长方体的长为 2 6 cm，宽为 3 cm，高为 2 cm，则
它的体积为__1_2___cm3.
17．化简： 27＋ 12＋ 43＝__1_37___3___． 18．计算( 2＋1)2015( 2－1)2014 的结果是___2_＋__1___． 19．(2014·凉山)已知 x1＝ 3＋ 2，x2＝ 3－ 2，则 x12＋x22＝
6－3 6

八年级下册数学二次根式知识点PPT

八年级下册数学二次根式知识点PPT 在八年级下册数学中，二次根式是必须要学习的知识点之一。

在这个学习过程中，老师可能会使用PPT演示来帮助学生更好地理解和掌握这个知识点。

本文将介绍八年级下册数学二次根式知识点PPT的内容和结构，以及如何根据PPT来巩固学习。

PPT的主要内容
1. 二次根式的定义和概念：通过图片和文字来解释定义和基本概念，包括二次根式的含义、形式等。

2. 平方差公式和完全平方公式：通过实例演示和公式推导来介绍平方差公式和完全平方公式，使学生能够几何和代数两个层面理解二次根式知识点。

3. 化简二次根式：通过实例演示来展示如何化简含有二次根式的代数式，但化简过程较为复杂，需要反复练习。

4. 二次根式的加减乘除：说明含有二次根式的代数式的加减乘除运算规律，并结合实例讲解具体操作方法。

PPT的学习策略
1. 认真查看PPT内容：在老师或自己演示PPT的过程中，需要认真查看PPT的每一个内容，理解公式的来源、准确性和应用。

2. 积极思考和提出问题：在学习过程中需要积极思考问题，并
向老师提出困惑和疑问，帮助更好地理解知识点。

3. 利用课后习题巩固和扩展：针对所学知识点的问题，可以在
老师的辅导下或自己学习习题集进行习题练习，巩固和扩展所学
的解决方案。

4. 借助各类教育工具提高学习效果：在学习过程中，可以借助
包括试题、考试、模拟考试、研究、替代题，乃至华容镇之战等
各类教育工具来提高学习效果和成果。

总之，通过PPT演示的方式，八年级下册数学二次根式知识点
得到了较为简单和生动的解释，在认真学习和巩固练习的过程中，学生能够更好地掌握这个知识点，进一步提升数学学习成绩。

北师大版八年级数学上册.2二次根式课件

将被开方数相同的二次根式进行合并。
温馨提示：
1.加减法的运算步骤：一化、二判、三合并
2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根
式才能进行合并。
例5.计算
（） +
解：

（） −

（）

+ ×

方法总结
二次根式的加减混合计算：
1、灵活转化二次根式的乘除法运算法则，找到
能直接开平方运算的数，直到化成最简二次根式。
2、对于根号内是分数的运算不是最简二次根式，

一定要化成的情势，然后进行分母有理化运算。

专项练习1
考点1

（） ×

（）
×

（） + × −
专项练习2
考点2
下列计算是否正确？
（） + =
（） + =
3
2
思考：
二次根式的乘法法则推广：
多个二次根式相乘时此法则也适用
∙ ∙ ∙∙∙ = ∙∙∙ ≥ , ≥ ,∙∙∙, ≥
当二次根号外有因数（式）时，可以类比单项式乘
单项式的法则计算，即根号外的因数（式）的积作为
根号外的因数（式），被开放数的积作为被开放数，

（）
=

同类的二次根式
帮蟹宝宝回家

−

2.7.2
二次根式(二)
学习目标
1、能够理解二次根式的意义，会确定被开方数中字母
的取值范围。
2、通过动手练习，应用拓展，体验经历知识的形成过
程，培养学生分析问题，解决问题的能力。

第二讲：二次根式的加减

第二讲知识点一：二次根式的加减1.下列各组根式，化简后可以合并的一组是（） A.54和43 B.322和125.1 C.53c ab 和ab c 3 D.yx 21和54xy 2.下列各式中，计算正确的是（） A.853=+ B 、545357=- C 、6363=+ D 、6416623212+=+=+ 3.下列式子中，属于最简二次根式的是（） A.8 B.6 C.36 D.21 4.下列等式成立的是（） A.b a b a +=+ B 、x x x 63435=-C 、 x x x x x x 33436272=- D 、x m x x m 5353-=- 5.计算12-1831-27的结果是（） A.23- B.32- C.1 D.—16.若是最简二次根式12+a 和34-a 能够合并，则a 的值是__________________。

7.若b a ,为有理数，且22118-4b a +=+，则=+b a ___________________。

8.先化简)12232461(32--，再求得他的近似值为_________。

（精确到0.01，732.13414.12≈≈，）9.计算：（1）200-8275+；（2）318331-5.0332++；（3）4832-314-311312+；（4）32935148x x x x x x +--；（5）)153()347)(347(---+；（6）ab ab a ab b a +--233 10.如图，机器人从点A 沿着西南方向行了24个单位，到达点B 后观察到原点O 在它的南偏东︒60的方向上，求原来点A 的坐标。

11.若a a a =-+-20142013，求a 的值。

知识点二：二次根式的加减（2）1.已知8,8=-=+ab b a ，化简=+b a a a b b_________________。

2.若,23-=a 则=+aa 1_______________， ____________。

初中数学八年级下册《二次根式(2)》教学课件

（2）善于发现题目中的隐含条件，轻松突破二次根式的性质运用．如：化简 (3.14 )2，题目中就隐含了3.14<π的条件
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
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以
22 2；同理可得
0.52 0.5, 02 0, (2)2 2, ( 1)2 1 22
归纳总结： a2 a(a 0);当a 0时， a2 a
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测知识梳理
（1）二次根式 a (a 0) 具有双重非负性. （2）二次根式的性质：( a )2 a(a 0)
知识回顾问题探究课堂小结随堂检测
探究二：如何对二次根式进行化简？
难点知识▲
例3
化简：
22，
0.52 ，
02， (2)2 ，
(1 )2 2
详解： 22 2, 0.52 0.5, 02 0, (2)2 2, ( 1)2 1 22
点拨：根据算术平方根的意义，因为 22 4，4的算数平方根是2，所
.
（3）( 0.5)2 =
.（4）( 2 )2 =
5
.（5）( 0)2 =
.
详解：（1）2 （2）5 （3）0.5 （4）52 （5）0
点拨：根据算术平方根的意义可知， 2 是一个平方等于2的非负数，所以 ( 2 )2 2，也可理解为：面积为2的正方形的边长为 2 ，因
此 ( 2 )2 2 .因此可以得到一般性的结论： a2 a(a 0)
重点知识★
活动1 如何理解二次根式 a (a 0)的双重非负性？
例1.若 x 2 y 1 0 ，求 (x y)2016 的值.
详解：
x 2 0, y 1 0, x 2 y 1 0.

八年级数学二次根式

二次根式最简二次根式同类二次根式
a 0 (a 0)
二
( a a (a 0)
次根
性质
( a2 a
式
ab a b (a 0,b 0)
a a bb
(a 0,b 0)
a b ab(a 0,b 0)
(2) a )2 a(a 0)
a(a 0)
(3) a2 a 0(a 0)
a(a 0)
注：若 a2 a 则 a 0 ; 若 a2 a 则 a 0;
2.二次根式的性质(2)：
(4) ab ab(a 0,b 0)
(5) a a(a 0 b 0)
b
b
3.二次根式的运算：
二次根式乘法法则 a b ab (a 0 , b 0)
二次根式除法法则 a a (a 0 , b 0) bb
解得 x 4,y 8
x y 4 (8) 4 8 12
2.已知x,y为实数,且
x 1 3( y 2)2 0 ,则 x y 的值为( D )
A.3
B.-3
C.1
D.-1
题型3:化简
把下列二次根化为最简二次根式(1) 48(2) 3 2
(3) 3 3 5
(3)(3 48 4 27 ) 2 3
(4) 12( 75 3 1 48) 3
(5) 20 5 1 12
5
3
（6)( 3 2)( 3 2)( 2 3)2
（ 7 ） ( 3-2）2010×（2+ 3 ）2010
通过这节课的学习，谈谈你的收获。
祝你成功！
概念

数学奥赛讲座：《二次根式》

二次根式的性质
1. 根式的乘法性质
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0, b geq 0$）。
2. 根式的除法性质
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 有根式的式子，可以通过有理化分母的方法，将分母化为有理数。
合并同类项
对于形如$sqrt{a+b}$和 $sqrt{a-b}$的二次根式，可以合并为$sqrt{2a}$。
运算规则
乘法运算
对于两个二次根式相乘，可以直接将它们的系数相乘，根号部分不变。
除法运算
对于两个二次根式相除，可以直接将它们的系数相除，根号部分不变。
二次根式的历史与发展
历史背景
二次根式起源于古希腊数学家对几何图形的研究，特别是对直角
三角形和圆的性质的研究。
文艺复兴时期，数学家开始系统研究二次根式的性质和运算规则，
为后续的发展奠定了基础。
17世纪，微积分学的发展推动了二次根式理论的进一步深化。
现代发展
计算机科学的发展为二次根式计算提供了更高效的算法和软件工具，如符号计算和数值计算。
总结词
二次根式具有一些基本的数学性质，如根式的乘法、除法、加法、减法等运算性质。
3. 根式的加法性质
$sqrt{a} + sqrt{b} = sqrt{(sqrt{a} + sqrt{b})^2}$ （$a geq 0, b geq 0$）。
4. 根式的减法性质
$sqrt{a} - sqrt{b} = sqrt{(sqrt{a} - sqrt{b})^2}$（$a geq 0, b geq 0$）。

八年级二次根式知识点梳理

八年级二次根式知识点梳理在初中数学学习中，二次根式是一个重要的知识点，掌握好二次根式的运算和化简方法，对于后续的数学学习和应用都有着非常重要的作用。

本文将从基础概念、运算法则、化简方法和解题思路四个方面来进行二次根式知识点的梳理。

一、基础概念1. 二次根式的定义二次根式是指形如“a√b”的式子，其中a和b都是实数，a为系数，b为被开方数，√为根号符号。

2. 根式的运算符号根式的运算符号有加号、减号、乘号、除号，分别表示根式的加减、乘和除。

二、运算法则1. 二次根式的加减对于同类项，即被开方数相同的二次根式，其系数相加减即可，例如：3√2 + 5√2 = 8√24√3 - 2√3 = 2√3对于不同类项，则需要先化简为同类项后再进行加减运算，例如：2√3 + 5√2 - 3√3 = -√3 + 5√22. 二次根式的乘法二次根式的乘法可以使用分配律进行运算，例如：(3√2)(2√3) = 6√(2×3) = 6√63. 二次根式的除法二次根式的除法可以将被除数和除数同时乘以并分别化简为整数或同类项的二次根式，然后将化简后的结果进行相除，例如：(6√5) ÷ (2√5) = (6÷2)√(5÷5) = 34. 二次根式的混合运算二次根式的混合运算可以按照运算法则的顺序进行，先进行括号内的运算，然后进行乘除运算，最后进行加减运算，例如：(5√2 - 2√3) × 2√6 = 10√12 - 4√18 = 10√4√3 - 4√9√2 = 20√3 - 12√2三、化简方法1. 化简平方数根如√4、√9、√16等都是平方数根，可以直接化为整数，例如：√4 = 2√9 = 3√16 = 42. 分解因数将被开方数分解成若干个因子的积，然后再进行化简，例如：√32 = √16×2 = 4√2√75 = √25×3 = 5√33. 有理化分母二次根式的有理化分母可以将分母乘以分母的共轭形式，即将分母的加减号改为相反数的加减号，例如：(2+√3)÷(1-√3) = (2+√3)(1+√3)÷(1-√3)(1+√3) = 2√3 + 5四、解题思路1. 直观感受对于不确定的二次根式，可以通过估算其大小来判断其范围，例如：1 < √2 < 22 < √5 < 33 < √10 < 42. 转化为同类项将不同类项的二次根式转化为同类项后再进行加减运算，例如：√48 + √75 - √27 = 4√3 + 5√3 - 3√3 = 6√33. 有理化分母和化简将二次根式中的分母有理化并将其化简为整数或同类项的二次根式，然后再进行计算，例如：(1+√7)÷(1-√7) + √28 = (1+√7)(1+√7) ÷ (1-√7)(1+√7) +2√7 =8+2√7以上就是本文对八年级二次根式知识点的梳理，希望能够对大家的数学学习有所帮助。

八年级二次根式知识点免费

八年级二次根式知识点免费八年级二次根式知识点二次根式是数学中的一种基础的代数表达式，八年级学生也需要学会一些相关的知识点以应对学习和考试。

以下是八年级二次根式知识点的详细介绍：一、二次根式的定义二次根式是指根号内含有变量的代数表达式。

通常形式为：√a（a≥0）或者√(a+b)（a≥0，b≥0）其中，a、b为非负实数，并且“√”表示开方符号，即求平方根的运算。

二、二次根式的约简与分数化二次根式可以通过约简和分数化来简化表达式。

如果二次根式中含有完全平方数，可以进行相应的化简，例如：√4x²=2x√(9y²x)=3yx另外，二次根式也可以进行分数化，例如：√a/b=√a /√b√(a+b)/c=√a/c +√b/c三、二次根式的加减运算二次根式的加减法可以通过化简或者利用公式来计算，例如：√a ± √b=√a±b（仅当a≥0，b≥0时成立）√(a+b) ± √(c+d)=√a/c +√b/d±2√(ab/cd)四、二次根式的乘法运算二次根式的乘法可以通过简单规则和分式法则来计算，例如：√a × √b=√ab√a/√b=√a ÷ √b五、二次根式的除法运算二次根式的除法可以通过分式法则和有理数的乘法逆元来计算，例如：√a/√b=√a÷b√a÷√b=√a/√b六、二次根式的平方与立方运算二次根式的平方和立方运算可以通过简单的公式计算，例如：（√a）²=a（√a）³=a√a七、二次根式与三角函数的关系二次根式和三角函数之间存在一定的关系，例如：sin²x+cos²x=1（其中，sin²x和cos²x可以表示为√2/2等形式）tanx=√3是一个三角函数的典型例子，可以用于求三角形中的各种角度和边长此外，二次根式还有很多应用，例如在图形的面积、体积和物理学上都有应用。

八年级秋季班-第2讲：二次根式的运算

➢ 要点一：最简二次根式与同类二次根式 1、最简二次根式的概念：（1）被开方数中各因式的指数都为1；（2）被开方数不含分母．被开方数同时符合上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2、同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．● 类型一：最简二次根式的概念【例】判断下列二次根式是不是最简二次根式：（1） 1.5a ；（2）228a b ；（3）32()a b b ；（4）228a a b ．知识结构知识精讲例题解析二次根式的运算【难度】★【举一反三】1.下列各式中，最简二次根式的个数有（）1.22xy 22m n x21025x x6xA ．0个B ． 1个C ．2个D ． 3个【难度】★类型二：化简二次根式【例】将下列二次根式化成最简二次根式：（112a ；（23410)2x y x ；（3324(0)x y y ；（42244)x xy y x y ．【难度】★【举一反三】 1.化简：（1200)aab b ，；（2212(4)3x x xx ；（323(4)12x x x x ．【难度】★2.将下列二次根式化成最简二次根式：（1）223327x a b00x a ，）；（24221632a a b（3）222(0)ab a b ab b a ．【难度】★★3.将下列式子化成最简二次根式：（12211()4()4(14)xxx xx；（2）242312x x xx ，求的值．【难度】★★★4.将下列式子化成最简二次根式：若x 、y 为实数，且114412y x x =--22x yx yy x yx的值．【难度】★★★5.526412．【难度】★★★类型三：同类二次根式【例】判断下列二次根式是否为同类二次根式．（1118533和（22aa 和；（3222a a 和（4(0)m n m nm n mn mn和．【难度】★【举一反三】 1.127+x y xy x 若和x y 和的值．【难度】★★2.分别求出满足下列条件的字母a的取值：（13a与8是同类二次根式；（23a与8是同类二次根式．【难度】★★类型四：将根号外的因式移到根号里【例】将下列根号外的因式移到根号里面：（11524nnn m；（2）322()(0)bx y x yx y；（3）21a aa ；（4）1(1)1aa．【难度】★★【举一反三】1.把代数式1(1)1xx根号外的因式移入根号内，结果为_______；【难度】★类型五：化简求值【例】已知22121x x x x，求的值．【难度】★★【举一反三】1.已知等式2269(3)03x xxx成立，求x的值．【难度】★★★小结1➢ 要点二：二次根式的运算1、二次根式的加减运算：把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项（加或者减）． 2、二次根式的乘除运算：（1）两个二次根式相乘，被开方数相乘，根指数不变；（2）两个二次根式相除，被开方数相除，根指数不变．● 类型一：二次根式的加减运算【例】计算：11213282．【难度】★【举一反三】 1.化简：（1）2241963b a a a ab a aba ；（2）21146429xx x xx x．【难度】★知识精讲例题解析● 类型二：二次根式乘除运算【例】化简：（131182bc abc a；（2328325663x x x ；（3523()2ab ab b ．【难度】★【举一反三】 1.53231(00)23bab a b a bba，．【难度】★★● 类型三：加减乘除运算【例】化简：（121962(0)34x x xx x ；（2）32()9x y x nx m n xy x．【难度】★★【举一反三】 1.()a b b a b ba bababba b ．【难度】★★2.解下列不等式（11248273x x；（2）425205x x ．【难度】★★类型四：整体代入思想【例】已知54x y xy，x y y x的值．【难度】★★【举一反三】 1.3200111994(419971994)2xx x 当时，求多项式的值．【难度】★★★● 类型五：比较大小1.比较大小：（1）35与211；（262与53；（3）2x y与xy（41514与1413．【难度】★★【举一反三】● 类型六：二次根式运算的运用【例】已知长方形的长11321823A B ，，（1）求该长方形的周长；（2）若另一个正方形，其面积与该长方形面积相等，试计算该正方形的周长．【难度】★★【举一反三】1.若等式(31)(2)312x x x x成立，化简：249612x x x x．【难度】★★★1..将下列二次根式化成最简二次根式：（1）22()()(0)x y y x x y；（2）2(20)2m nm nm n；（3）433422(0)2x y x y x yx yy x xy y．【难度】★★小结2自主巩固（45分钟）2.计算：（12(31)(3223)(3223)；（2ba ab a b．【难度】★★3.已知32323232x y，，求代数式22353x xy y的值．【难度】★★4.解下列不等式：（1）552449x x；（2）23252x x．【难度】★★5.3(0)aa化简后的结果为（）A a B．a C．a D a 【难度】★★6.若2152a ab 与是同类二次根式，求b a 的值．【难度】★★7.计算：（1）126(63322)8；（2）22(2)(2())x y x x y x +++．【难度】★★8.化简并计算：（12211()()(00)y x x y x y ，；（2）1(62)34xx x x ．【难度】★★9.若22215102x x x x ，求的值．【难度】★★10．将下列二次根式化成最简二次根式．（1）2421x x x （14x <<）；（2）已知a 、b 、c 为正数，d 2222ab c d ．【难度】★★11.已知x ，y 分别是811的整数部分和小数部分，求22xy y 的平方根．【难度】★★★12.438a 与是同类二次根式，解答下列问题：（1）若a 是正整数，则符合条件的a 有几个？试写出a 的最大值和最小值；（2）若a 是整数，则符合条件的a 有几个，是否存在a 的最大值和最小值？为什么？【难度】★★★13.把1()a b a b 化成最简二次根式．【难度】★★★14.已知118812y x x ，求代数式22x y x y y x y x 的值．【难度】★★★15.已知a 是43的小数部分，求代数式22224442a a a a a a a a a的值．【难度】★★★。

八年级奥数：二次根式的运算

八年级奥数：二次根式的运算解读课标（a >0）叫二次根式，二次根式的性质是根式化简的依据，而化二次根式为最简根式，又是根式运算的基础，常用的基本性质有：1．2．3．4．最简二次根式、同类二次根式是二次根式中重要概念，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式．二次根式的运算是在整式、分式运算的基础上发展起来的，因此，恰当运用公式、分解因式、字母化等是二次根式运算中的常用技巧．问题解决例1 （1）已知a <0=__________________．（2）当1≤x ≤2时，经化简，__________________．例2 设，则． A ．24 B ．25 C ．D ．例3 计算（1）)0()(2≥=a a a )0,0(≥≥⋅=b a b a ab )0,0(6>≥=b a a b a |,|2a a ==--+-+1212x x x x 1a 323126120a a a +--=1012)632)(632(+--+（2）（3）例4 阅读材料：黑自双雄、纵横江湖；双剑合璧，天下无敌．这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取长补短，威力无比．在二次根式中也有这种相辅相成的“对子”．如：，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式．于是，二次根式除法可以这样解：如像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化．解决问题：（1）的有理化因式是___________，分母有理化得______________．（2）计算：；2001)13(2)13(2)13(|199920002001++-+-+)19992001)(19972001(2001)20011999)(19971999(1999)20011997)(19991997(1997--+--+--3)25)(25(,1)32)(32(=-+=-+347)32)(32()32)(32(3232,33333131+=+-++=-+=⨯⨯=74+23231627321-++①②．（3）已知，求的值．例5 （1）设实数x ，y 满足，求x +y 的值．（2）已知实数．x ，y ，满足，求的值．200420031431321211++++++++ 1313,1313-+=+-=y x 44y x +1)1)(1(22=++++y y x x 2002)2002)(2002(2=++++y x x 58664322+----y x y xy x数学冲浪知识技能广场1．已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简的结果为_____________．2．计算：（1） _____________________．（2）________________．（3）________________． 3．观察下列各式请你将猜想到的规律用含自然数n （n ≥1）的代数式表示出来是_______________．4．当时，代数式的值为______________． 5．估计的运算结果应在（）． A ．6到7之间 B ．7到8之间 C ．8到9之间 D．9到10之间6．如图，数轴上与1对应的点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点为C ，设点C 表示的数为x ，则（）． AB ．C ．D ．27．若化简的结果为，则x 的取值范围是（）．A ．x 为任意实数B ．1≤x ≤4C ．x ≥1D ．x ≤48．已知整数x 、y 满足，那么整数对（x ，y ）的个数是（）． 2|1|a a +-=+---18)21(1221=-+-+)23)(23(32712=+-8214273 514513,413412,312311=+=+=+231-=m m m m -+-2422202132+⨯=+-xx 2|2|168|1|2+---x x x 25x -502=+y xA ．0B ．1C ．2D ．39．计算：（1）；（2）（3）（4）10．已知，求代数式的值．2163)1526-⨯-21812118-++20|52|2009)61(01--+--20)21()23(3632918++-++-21+=x 111222---++x x x x x思想方法天地11．计算的结果是______________．12．已知，则分式的值等于___________．13．已知，则_______________．14．当，化简的结果是_______________．15．a 、b 为有理数，且满足等式，则的值为（）．． A ．2 B ．4 C ．6 D ．816．计算的值等于（）．17．已知，则的值是（）． A ． B ． C ． D ．18．已知则的值是（）．A ．3 8．4 C ．5 D ．619．已知实数x ，y 满足，求的值．20．先阅读再化简求值．（1）在化简的过程中，小王和小李的化简结果不一样：小王的化简过程如下：小李的化简过程如下：请判断谁的化简结果正确，并说明理由．2200612008200720062005-+⨯⨯⨯122+=x 15119232----x x x x 2323,2323+-=-+=y x =+x yy x 521+-=a a a a a a a a -+-+-+-22212369324163++⋅=+b a b a +)7103)(32130(-+-+76.A 76.-B 76320.+C 76320.-D )0(0232>=--x y xy x 222292164y xy x y xy x -+-+2349162516272152522=---x x 221525x x -+-2008)2008)(8(22=----y y x x 2007332322--+-y x y x 1027-.52)52()5(522)2(55222222-=-=+⋅-=+⨯-=原式.25)52()5(522)2(222-=-=+⋅-=原式（2）化简求值：已知，求的值（结果保留根号）．应用探究乐园：21．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：①（其中a 、b 、c 为三角形的三边长，S 为面积），而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：（其中）．（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积S ；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．22．已知，求x 的值．526-=x )1(24).2121(2--++-x x x x =-+-])2([41222222c b a b a S ② ))()((c p b p a p p S ---=2c b a p ++=x x x x x 71357139722=+-+++。

八年级二次根试知识点讲解

八年级二次根试知识点讲解在初中数学学习中，二次根式是一个非常重要的知识点，而二次根试题更是考试中难度较大的部分。

下面，本文将详细讲解八年级二次根试的相关知识点。

一、什么是二次根式？二次根式通常表示为 $\sqrt{a}$，其中 $a$ 表示一个正实数，且它的二次方 $\mathrm{a^2}$ 不为平方数，可化简为不含根式的形式。

例如，$\sqrt2$ 与 $\sqrt6$ 都是二次根式，而 $\sqrt4$ 和$\sqrt9$ 不是二次根式。

二、如何进行基本的二次根式运算？1. 二次根式的化简化简二次根式是指将二次根式中的根号去掉，使其变为更简便的形式。

其中较简单的是约分和提取因式。

约分指将同类项的二次根式进行合并。

例如 $\sqrt2+\sqrt8$ 可以化简为 $\sqrt2+2\sqrt2=\sqrt2(1+2)=\sqrt2\times3$。

提取因式是将二次根式中的公共因式提取出来。

例如，$\sqrt8+\sqrt{32}$ 可以化简为$\sqrt8+4\sqrt2=4\sqrt2(\frac{\sqrt2}{2}+1)=4\sqrt2\times\frac{\sqrt2+ 2}{2}$。

2. 二次根式的加减运算二次根式的加减需要先化简后，再按照同、异根的形式进行加减，具体步骤如下：（1）将所有二次根式化为最简形式。

（2）将同根二次根式进行加减，即将同样的数值相加减，仍保留根号。

（3）对于异根之和，需要进行化简，化简方法为换元法，例如 $\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 可以化为 $\sqrt{m}+\sqrt{m}$ 的形式，其中$m=a\times b$。

3. 二次根式的乘除运算二次根式的乘除运算同样需要先化简后，再进行乘除。

（1）乘法：将二次根式相乘后，进行化简。

例如，$\sqrt5\times\sqrt{20}$ 可以化为$\sqrt{5}\times2\sqrt5=2\times5=10$。

八年级二次根式必考知识点

八年级二次根式必考知识点在八年级数学中，二次根式作为一个重要的知识点，经常出现在考试中。

二次根式是关于代数和几何的一种基本概念和运算方法。

了解和掌握二次根式的基本性质和运算规律是十分重要的，下面我们来看看八年级二次根式必考知识点：一、二次根式基本定义二次根式就是形如“根号下a”的式子，其中a为一个正实数。

二次根式也可以写成下面的形式：根号下a = a^1/2二次根式可以用于求解各种几何题目，但是在运算中，二次根式的拆分、合并和化简则是必须掌握的核心知识。

二、二次根式的加减法二次根式的加减法的运算规律是，对于任意的正实数a和b，有：根号下a ±根号下b = 根号下(a ± b)例如，根号下2 + 根号下3 = 根号下5，根号下8 - 根号下2 = 2根号下2。

三、二次根式的乘法二次根式的乘法的运算规律是，对于任意的正实数a和b，有：根号下a ×根号下b = 根号下ab例如，根号下2 ×根号下3 = 根号下6，根号下8 ×根号下2 =4 × 2 = 8。

四、二次根式的除法二次根式的除法的运算规律比较特殊，要求分子和分母中只有二次根式。

对于任意的正实数a和b，有：根号下a ÷根号下b = 根号下(a ÷ b)例如，根号下6 ÷根号下2 = 根号下(6 ÷ 2) = 根号下3。

五、二次根式的化简在运算中，二次根式的化简是必须掌握的核心知识。

化简的原则是数字尽可能取出平方因子，变成整数或者分数的形式，同时尽量消去根号。

下面是一些常见的化简方法：1. 合并同类项根号下2 + 3根号下2 = 4根号下22. 有理化分母根号下2 ÷根号下3 = 根号下6 ÷ 3 = （根号下6 ÷根号下9） ×根号下9 = （根号下6 ÷ 3） × 3 = （1 ÷根号下3） × 3 = 3 ÷根号下33. 分离出平方因子根号下8 = 根号下4 × 2 = 2根号下24. 二次根式的除法（根号下7 + 根号下5） ÷（根号下7 - 根号下5） = （根号下7 + 根号下5）×（根号下7 + 根号下5） ÷（根号下7 - 根号下5）×（根号下7 + 根号下5） = （7 + 2根号下35 + 5）÷2 = 6 + 根号下35以上就是八年级二次根式必考的知识点，要想在考试中得高分，必须要掌握这些知识。

八年级二次根式知识点汇总

八年级二次根式知识点汇总二次根式是初中数学中的一个重要知识点，也是高中数学中的基础。

在初中八年级数学中，学生们需要广泛学习二次根式的相关知识，本文将对八年级二次根式知识点进行汇总，以帮助学生们更好地掌握和运用这些知识。

一、基本概念在进行二次根式的学习之前，我们需要先了解一些基本概念。

二次根式指的是形如√a的数，其中a为正实数。

如果a不能表示为一个整数的平方，那么√a就是一个无理数。

如果a可以表示为一个整数的平方，那么√a就是一个有理数。

二、简化二次根式要简化二次根式，我们需要找到它的一个整数平方因式。

例如，要简化√27，我们可以写成√9×3。

因为9可以完全平方，即√9=3，所以√27可以简化为3√3。

可以看出，简化二次根式的关键是找到其中的整数平方因式。

三、加减二次根式当加减二次根式时，我们首先需要将它们化成同类项。

例如，要把3√2-2√3和4√3+5√2相加，我们可以将它们化成同类项，即3√2-2√3+5√2+4√3，然后将同类项合并，得到8√3+2√2。

四、乘法公式当我们要求两个二次根式的积时，可以使用乘法公式。

具体地说，对于任意的正实数a和b，有以下乘法公式：√a×√b=√(ab)例如，要求解√2×√3，可以使用上述乘法公式，将其化简为√6。

需要注意的是，当a和b都是无理数时，上述乘法公式并不成立。

五、除法公式当我们要求两个二次根式的商时，可以使用除法公式。

具体地说，对于任意的正实数a和b（b≠0），有以下除法公式：√a/√b=√(a/b)例如，要求解√6/√2，可以使用上述除法公式，将其化简为√3。

需要注意的是，当a和b都是无理数时，上述除法公式并不成立。

六、有理化分母在一些具体问题中，我们可能需要将二次根式有理化分母。

例如，要有理化分母的二次根式为1/√2，我们可以将其乘以√2/√2，得到√2/2。

需要注意的是，在有理化分母时，我们需要保证等式的左右两边相等。