高中数学讲义指数与指数函数.板块一.教师版

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高中数学苏教版必修一《3.1.2指数函数第1课时指数函数的概念、图象与性质》课件

判断一个函数是否为指数函数，只需判定其解析式是否符合 y＝ax(a>0，a≠1)这一结构形式，其具备的特点为：
函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，求 a 的值．
【解】 ∵函数 y＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，
a2－3a＋3＝1， ∴a>0， a≠1，
解得 aa＝ >01，或a＝2， a≠1，
∵－1.8>－2.6，
∴(23)－1.8<(23)－2.6.
(2)考察函数 y＝(56)x，它在 R 上是单调减函数．
2
5
∵－3<0，∴
>(6)0＝1，∴
>1.
(3)由指数函数性质知 1.80.4>1.80＝1,0.75.1<0.70＝1，故 1.80.4>0.75.1.
【思路探究】本题主要考查指数型函数的定义域与值域，求值域时，关键由定义域、单调性和指数函数的值域求解．
一般来说，求复合函数的值域，通常先求函数的定义域 A，再由函数的定义域 A 求内函数的值域 B，然后以内函数的值域作为外函数的定义域求出原函数的值域，如第(4)小题是由函数 y＝t2＋2t－1 和函数 t＝3x 复合而成，先求得原函数的定义域为 R，再由 x∈R，得 t>0(即得到内函数的值域 B)，然后由 t>0，得到原函数的值域为{y|y>－1}．
3．解型如 af(x)>ag(x)(a>0 且 a≠1)的不等式，主要依据指数函数的单调性，当 a>1 时，可转化为 f(x)>g(x)，当 0<a<1 时，可转化为 f(x)<g(x).
1．下列函数中是指数函数的序号是________． (1)y＝x4；(2)y＝2－x；(3)y＝－2x； (4)y＝(－2)x；(5)y＝πx. 【解析】 (1)(3)不满足指数函数的基本形式，即 y＝ax，故不是指数函数； (4)中 a＝－2<0，不是指数函数；

高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修第一册

知识点2 指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
图象和性质
图象
a>1
0<a<1
图象和
性质
a>1
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
性质
(4)当x<0时,0<y<1;
(4)当x<0时,y>1;
当x>0时,y>1
当x>0时,0<y<1
(5)在R上是增函数
f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定
点(m,k+b).即令指数等于0,解出相应的x,y,则点(x,y)为所求定点.
角度2画指数型函数的图象
【例3】画出下列函数的图象,并说明它们是由函数f(x)=2x的图象经过怎
样的变换得到的.
变式探究
比较下面两个数的大小:
(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).
解∵a>1,且a≠2,∴a-1>0,且a-1≠1.
若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,
则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.
变式探究
本例中函数改为f(x)=5·a3x-2+4,其他条件不变,求点P的坐标.
解令 3x-2=0,得
2
x= ,此时
3
2
f( )=5×a0+4=9,故函数

4.2.2指数函数的图象与性质(课件)高一数学(湘教版2019必修第一册)

(3)函数是区间(−∞, +∞)上的减函数.
当然，作出来的图象是有限的，接下来我们借助“网络画板”，来看一下底
数对指数函数图象走势的影响吧！
新知探索
从动画中看指数函数 = ( > 0且 ≠ 1)的性质，和理性认识相符.
新知探索
1

如果底数 ∈ (0,1)，则它的倒数 > 1.若点(, )在函数 = (0 < < 1)的
(4)课本P110的习题4.2的10、11、12、13、14、15题.
谢谢学习
Thank you for learning
新知探索
活动1(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
通过列表、描点连线(也可借助信息技术在计算机上作图)，得图以下.

…
−2
−1
0
1
2
…
= 2
…
0.25
0.5
1
2
4
…

= 10
…
…
−1
0.1
−0.5
0.32
0
1
0.5
3.16
1
10
…
…
新知探索
活动(例3)：作出指数函数 = 2 和 = 10 的图象.
1
73
=
1
，
343
例析
例 6
一种放射性物质不断衰变为其他物质，每经过1年剩余的量是原来的84%，画
出这种物质的剩余量随时间变化的图象，并从图象上观察大约要经过多少年，剩余
量是原来的50%.
解可设原来的量是1个单位，经过年后，剩余量是个单位.
可得函数解析式为 = 0.84 .列表如下：

高中数学全套讲义必修1 指数函数基础教师版

目录指数函数 (2)模块一：指数幂运算 (2)考点1：分数指数幂运算 (2)模块二：指数函数图像的应用 (3)考点2：指数幂比较大小 (3)模块三：指数型复合函数 (3)考点3：指数型复合函数 (4)课后作业： (7)指数函数模块一：指数幂运算1．根式⑴ 如果存在实数x ，使得n x a = (a ∈R ，1n >，n *∈N )，则x 叫做a 的n 次方根． ⑵n 叫做根指数． ⑶ 根式的性质：①na =，(1n >，且*n ∈N )a n a n ⎧⎪⎨⎪⎩，当为奇数，当为偶数2．分数指数⑴规定正数的正分数指数幂的意义：)01mna a m n n *=>∈>N ，，，且 ⑵ 规定正数的负分数指数幂的意义：()101mnm naa m n n a-*=>∈>N，，，且3．实数指数幂的运算法则a a a αβαβ+=；()a a αβαβ= ；()ab a b ααα= （其中0a >，0b >，对任意实数α，β）．考点1：分数指数幂运算例1.（1）（2017秋•梁园区校级月考）11063471.5()86-⨯-+ ．12106233433433722215()82(23)()2231106333-⨯-+⨯+⨯--=++-=，故答案为：110例2.（1）已知12x y +=，9xy =且x y <，求11221122x y x y-+的值．解：x 又12x y +=，9xy =，②222()()41249108x y x y xy ∴-=+-=-⨯=．x y <，∴模块二：指数函数图像的应用指数函数：一般地，函数且，叫做指数函数. 指数函数图象与性质：考点2：指数幂比较大小例3.(1)（2019•拉萨二模）已知0.80.5a =，0.50.8b =，0.80.8c =，则( ) A ．c b a <，b a ∴>，又0.80.80.80.5c =>，c a ∴>，又0.50.80.80.8b c =>=， a c b ∴<<．故选：D ．模块三：指数型复合函数重点讲解内层是指数函数的复合函数的定义域、值域、单调性、奇偶性的问题x y a =(0a >1a ≠)x ∈R考点3：指数型复合函数例4.（1）（2016秋•公安县校级期中）求函数2233xx y -++=的定义域、值域和单调区间．【解答】解：根据题意，函数的定义域显然为(,)-∞+∞．令22()324(1)4u f x x x x ==+-=--．3u y ∴=是u 的增函数，当1x =时，max y f =（1）81=，而22330x x y -++=>．4033u ∴<，即值域为(0，81]．当1x 时，()u f x =为增函数，3u y =是u 的增函数，由x 越大推出u 越大，u 越大推出y 越大即x 越大y 越大∴即原函数单调增区间为(-∞，1]；当1x >时，()u f x =为减函数，3u y =是u 的增函数，由x 越大推出u 越小，u 越小推出y 越小，即x 越大y 越小∴即原函数单调减区间为[1，)+∞．证明同上．（2）（2013秋•德化县校级月考）函数211()([1,2])2x y x +=∈-的值域为( )A ．11[,]324 B ．1(0,]4C ．11[,]322 D ．11[,]4221t x =+()2y ∴=(y ∴=故选：C ．例5.（2017秋•禅城区校级月考）已知定义域为R 的函数13()33x x af x +-+=+是奇函数．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）判断并用定义法证明函数()f x 的单调性．【解答】解：（Ⅰ）()f x 是R 上的奇函数，(0)0f ∴=，则030a -+=，解得1a =，（Ⅱ）()3f x -=213331x =-++是R 证明如下：在R 上任取12x x <，则12()()f x f x - 122121)()333131x x -++212333(31)(3x x x -+12x x <，∴21330x x ->，1310x +>，2310x +>，()f x R ∴上的减函数．例6.（2017秋•建华区校级月考）已知定义域为R 的函数13()3x x af x b+-=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若()f x 在R 上是增函数，求不等式(2)(1)0f x f x +-<的解集．【解答】（本小题满分12分））定义域为（2）由()f x 在R 上是增函数且为奇函数，(2)(1)f x f x <-- 即(2)(1)f x f x <-，则有21x x <-，例7.（2017秋•沙湾区校级月考）已知函数2()21xf x a =-+是R 上的奇函数．（1）求a 的值；（2）证明：函数()f x 是R 上的增函数；（3）是否存在m 使2(24)(42)(0)f t f m t f -+->对任意[0t ∈，1]均成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．）函数解得1a =．在R 上任取1x ，2x ，令12x x <，12x x <，∴12220x x -<，1210x +>，2210x +>， 12()()0f x f x ∴-<，∴函数()f x 是R 上的增函数．解：（3）假设存在m 使2(24)(42)(0)f t f m t f -+->对任意[0t ∈，1]均成立，()f x 在R 上既是奇函数，又是增函数，2(24)(42)(24)f t f m t f t m ∴->--=-对任意[0t ∈，1]均成立，∴2242401t t m t ⎧->-⎨⎩，即22201t t m t ⎧->-⎨⎩， 14m -，解得98m ．的取值范围是课后作业：1.（2017= ．51516333aaa --÷2.已知11223x x-+=，求22123x x x x --+-+-的值．则17x x -+=，则1222()249x x x x --+=++=，则2247x x -+=，3.（2019•贵州二模）122a =，133b =，155c =则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c <，66b a ∴>，b a ∴>． 101032250a c -=->，1010a c >，a c ∴>．综上可得：b a c >>，故选：C ．4.（2016秋•公安县校级期中）求函数2233xx y -++=的定义域、值域和单调区间．【解答】解：根据题意，函数的定义域显然为(,)-∞+∞．令22()324(1)4u f x x x x ==+-=--．3u y ∴=是u 的增函数，当1x =时，max y f =（1）81=，而22330x x y -++=>．4033u ∴<，即值域为(0，81]．当1x 时，()u f x =为增函数，3u y =是u 的增函数，由x 越大推出u 越大，u 越大推出y 越大即x 越大y 越大∴即原函数单调增区间为(-∞，1]；当1x >时，()u f x =为减函数，3u y =是u 的增函数，由x 越大推出u 越小，u 越小推出y 越小，即x 越大y 越小∴即原函数单调减区间为[1，)+∞．证明同上．5.（2014春•清浦区校级月考）关于x 的不等式2410x x a ++>恒成立，求常数a 的取值范围．【解答】解：由2410x x a ++>得241x x a >--，122222x x x =，1)22x -，即2a >-，。

高中数学第四章指数函数与对数函数之函数的应用(二)(精讲)(必修第一册)(教师版含解析)

4.5 函数的应用(二)思维导图常见考法考点一零点的求解【例1】(2020·武威第六中学高二期末(文))若函数()f x ax b =+的零点是2(0a ≠)，则函数2()g x ax bx=+的零点是( ) A ．2 B ．2和0C ．0D ．2-和0【答案】B【解析】由条件知(2)0f =，∴2b a =-，∴2()(2)g x ax bx ax x =+=-的零点为0和2.故选B.【举一反三】1．(2020·全国高三课时练习(理))已知函数f (x )＝22111log 1x x x x ⎧-≤⎨+>⎩，，，则函数f (x )的零点为( )A ．，0B ．－2，0C ．D ．0【答案】D【解析】当1x ≤时，令f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当1x >时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为1x >，所以此时方程无解.综上所述，函数f (x )的零点只有0.故选：D（1）代数法：根据零点的定义，解方程()0f x =，它的实数解就是函数()y f x =的零点. （2）几何法：若方程()0f x =无法求解，可以根据函数()y f x =的性质及图象求出零点.2.已知函数221,1()1log ,1x x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，则函数()f x 的零点为________．【答案】0【解析】当1x ≤时，由()210xf x =-=，解得0x =；当1x >时，由2()1log 0f x x =+=，解得12x =，又因为1x >，所以此时方程无解．综上，函数()f x 的零点为0.考点二零点区间的判断【例2】(2020·湖南娄底·高二期末)函数3()ln 9f x x x =+-的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【答案】C 【解析】可以求得，所以函数的零点在区间(2,3)内．故选C ．【举一反三】1．(2020·宁县第二中学高二期中(文))函数f(x)=23x x +的零点所在的一个区间是 A ．(-2，-1) B ．(-1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)【答案】B【解析】因为函数f(x)=2x +3x 在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=153022-=-<,f(0)=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的区间为(-1,0)，选B ．2．(2020·甘肃省岷县第一中学高二月考(文))函数1()22xf x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的零点所在区间为( )判断函数零点所在区间的三个步骤(1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值． (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断．(3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点．A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】D 【解析】()12125f -=++=，()01023f =-+=，()1311222f =-+=， ()1122244f =-+=，()1733288f =-+=-，()()230f f ∴⋅<，由零点存在定理可知：()f x 零点所在区间为()2,3.故选：D .3．(2020·浙江衢州·高一期末)函数()24xf x x =+-的零点所在的区间是( )A ．()1,0-B ．()2,3C ．()0,1D ．()1,2【答案】D 【解析】()19114022f -=--=-<，()010430f =+-=-<，()121410f =+-=-<，()242420f =+-=>，()38347f =+-=()()120f f ∴⋅< ()f x ∴零点所在区间为()1,2故选：D考点三零点个数的判断【例3】(1)(2020·哈尔滨市第十二中学校高二期末(文))函数()212log 6y x x =-++的零点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个(2)(2020·山东省枣庄市第十六中学高一期中)方程0lnx x +=的实数解的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．0【答案】(1)C(2)A【解析】(1)令0y =，则()212log 60x x -++=，即250x x -++=，又Δ1200=+>，故该方程有两根，且均满足函数定义域.故该函数有两个零点.故选：C(2)方程0lnx x +=的实数解的个数，即为方程lnx x =-的实数解的个数，即为函数ln y x =与函数y x =-图象的交点的个数，在同一坐标系中作出函数ln y x =与函数y x =-的图象，如图所示：只有一个交点，所以方程0lnx x+=的实数解的个数为1故选：A【举一反三】1．(2020·四川内江·高三三模(理))函数()()2ln14xf x x=⋅+-的零点个数为_______.【答案】2【解析】令()()2ln140xf x x=⋅+-=，则()24ln122xxx-+==，在同一直角坐标系中作出函数()ln1y x=+与22xy-=的图象，如图：由图象可知，函数()ln1y x=+当1x→-时，()ln1y x=+→+∞则与22xy-=的图象有必有两个交点，所以方程()24ln122xxx-+==有两个不同实根，所以函数()()2ln14xf x x=⋅+-的零点个数为2.判断函数零点个数的三种方法(1)方程法：若方程f(x)＝0的解可求或能判断解的个数，可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数．(2)图象法：由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系内作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数．(3)定理法：函数y＝f(x)的图象在区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，由f(a)·f(b)<0即可判断函数y ＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是单调函数，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．故答案为：2.2．(2020·浙江高一课时练习)方程21lg22x x-=的实根的个数为________．【答案】2个【解析】方程21lg22x x-=的实根个数可转为函数2122y x=-和lgy x=的交点个数，在同一坐标系中作出2122y x=-和lgy x=的图像，如图，可得交点个数为2个，故方程的实根个数是2个，故答案为：2个3.已知01a<<，则函数logxay a x=-的零点的个数为______.【答案】2【解析】函数logxay a x=-的零点的个数即为方程logxaa x=的解的个数，也就是函数()(01)xf x a a=<<与()log(01)ag x x a=<<的图象的交点的个数.画出函数图象如图所示，观察可得函数()(01)xf x a a=<<与()log(01)ag x x a=<<的图象的交点的个数为2，从而函数logxay a x=-的零点的个数为2考点四根据零点求参数【例4】．(2020·山西应县一中高二期中(文))已知关于x 的方程21xm -=有两个不等实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．(,1]-∞- B ．(),1-∞-C ．[1,)+∞D ．()1,+∞【答案】D【解析】由题意,画出()2xf x m =-的图像如下图所示:由图像可知,若方程21x m -=有两个不等实根则函数图像在y 轴左侧的最大值大于等于1即可所以1m 即(1,)m ∈+∞故选:D 【举一反三】1．(2020·江苏省海头高级中学高一月考)方程222(1)3110x k x k +-+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围为( ) A ．(,3)(2,)-∞-⋃+∞ B ．(3,2)-C ．(2,3)-D ．(,2)(3,)-∞-⋃+∞【答案】B【解析】方程222(1)3110x k x k +-+-=中，令∆0>，得224(1)4(311)0k k --->，化简得260k k +-<，解得32k -<<，所以(3,2)k ∈-时，方程有两个不相等的实数根；故选：B. 2．(2020·内蒙古集宁一中高二月考(文))若函数()27x f x x =+-的零点所在的区间为(,1)()k k k +∈Z ,则k =( ) A ．3B ．4C ．1D ．2【答案】D【解析】∵(2)4270,(3)8370,ff=+-<⎧⎨=+->⎩且()f x单调递增,∴()f x的零点所在的区间为(2,3),∴2k=.故选：D 3．函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．【答案】(1,2)【解析】由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，观察图象可知，0<a－1<1，所以1<a<2.即a的取值范围为(1,2)．考点五二分法【例5】(2020·福建高一期中)设()338xf x x=+-，用二分法求方程3380x x+-=在(1,2)x∈内近似解的过程中得()10f<，()1.50f>，()1.250f<，则方程的根落在区间()A．(1,1.25)B．(1.25,1.5)C．(1.5,2)D．不能确定【答案】B【解析】()338xf x x=+-又(1.5)0,(1.25)0f f><∴(1.5)(1.25)0f f⋅<由零点存在定理可得()f x在区间(1.25,1.5)存在零点.3380x x+-=∴方程的根落在区间(1.25,1.5)故选：B．【举一反三】1．(2020·全国高一单元测试)在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]二分法的适用条件判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．C．5[2,]2-D．1[,1]2-【答案】D【解析】∵第一次所取的区间是[－2,4]，∴第二次所取的区间可能为[－2,1]，[1,4]，∴第三次所取的区间可能为1155 [2,],[,1],[1,],[,4] 2222---.2．(2020·浙江高一单元测试)利用计算器，列出自变量的函数值的对应值如下表：0.20.6 1.0 1.4 1.8 2.2 2.6 3.0 3.4…1.149 1.5162.0 2.6393.4824.595 6.0638.010.556…0.040.36 1.0 1.96 3.24 4.84 6.769.011.56…那么方程的一个根位于下列区间( )A．(0.6，1.0)B．(1.4，1.8)C．(1.8，2.2)D．(2.6，3.0)【答案】C【解析】构造f(x)＝2x－x2，则f(1.8)＝0.242，f(2.2)＝－0.245，故在(1.8,2.2)内存在一点使f(x)＝2x－x2＝0，所以方程2x＝x2的一个根就位于区间(1.8,2.2)上．选C3．(2019·海南龙华·海口一中高二月考)下列函数图像与x轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是() A．B．C．D．【答案】C【解析】解：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a，b]上连续不断，并且有f(a)•f(b)＜0A、B中不存在f(x)＜0，D中函数不连续．故选C．考法六函数模型【例6】(2020·定远县育才学校)某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2016年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.10.041,lg20.301==)A ．2022年B ．2023年C ．2024年D ．2025年【答案】C【解析】设从2016年后，第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得：()100110%200n⨯+≥，即1.12n ≥，两边取对数可得：lg20.3017.3lg1.10.041n >=≈，则8n ≥，即该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是2024年.故选C . 【举一反三】1．(2020·湖北郧阳·高二月考)一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过( )小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h )A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时【答案】A【解析】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x=，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ．2．(2020·重庆)某品牌牛奶的保质期y (单位：天)与储存温度x (单位：C ︒)满足函数关系()0,1kx b y a a a +=>≠.该品牌牛奶在0C ︒的保质期为270天，在8C ︒的保质期为180天，则该品牌牛奶在24C ︒的保质期是( )A ．60天B ．70天C ．80天D ．90天【答案】C【解析】由题意可知，0270ba+=，8180k ba+=，可得8823k b kb a aa +==，所以()332482270803k b k b a a a +⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故该品牌牛奶在24C ︒的保质期是80天.故选：C3．(2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学)十三届全国人大一次会议《政府工作报告》指出：过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，年均增长7.1%，占世界经济比重从11.4%提高到15%左右，对世界经济增长贡献率超过30%，2018年发展的预期目标是国内生产总值增长6.5%左右．如果从2018年开始，以后每年的国内生产总值都按6.5%的增长率增长，那么2020年的国内生产总值约为( )(提示：31.065 1.208≈)A ．93.8万亿元B ．97万亿元C ．99.9万亿元D ．106.39万亿元【答案】C【解析】依题意可得2020年的国内生产总值约为()382.71 6.5%82.7 1.20899.901699.9⨯+≈⨯=≈ 故选：C4．(2020·辽宁锦州)水葫芦原产于巴西，1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2个月其覆盖面积为218m ，经过3个月其覆盖面积为227m . 现水葫芦覆盖面积y (单位2m )与经过时间()x x N ∈个月的关系有两个函数模型(0,1)=>>x y ka k a 与12(0)=+>y px q p 可供选择. (参考数据：2 1.414,3 1.732,lg 20.3010,lg 30.4771≈≈≈≈ )(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；(Ⅱ)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【答案】(1)38()()2x y x N =∈(2)原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.【解析】(Ⅰ)(0,1)x y ka k a =>>的增长速度越来越快，12(0)y px q p =+>的增长速度越来越慢. (0,1)x y ka k a ∴=>>依题意应选函数则有23=18=27ka ka ⎧⎨⎩，解得3=2=8a k ⎧⎪⎨⎪⎩ ()382x y x N ⎛⎫∴=∈ ⎪⎝⎭，(Ⅱ)当0x =时，8y =该经过x 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍. 有 38810002x ⎛⎫⋅=⨯ ⎪⎝⎭32log 1000x ∴= lg10003lg 2=3lg3lg2=- 17.03≈ 答：原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.。

新教材高中数学第三章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的图象和性质课件北师大版必修第一册

图象
①当 x＜0 时，__a__x＞__b_x_＞__1___；大小 ②当 x＝0 时，ax＝bx＝1；
③当 x＞0 时，__0_＜__a_x_＜__b_x＜__1____
知识点4 指数函数的图象和性质 0＜a＜1
图象
a＞1
性质
0＜a＜1
a＞1
(1)定义域：R
(2)值域：(0,＋∞)
(3)过定点____(_0_,1_)___,即x＝0时,y＝_____1
(4)当x＜0时,____y_＞__1__；
(4) 当 x ＜ 0 时 , ____0_＜__y_＜__1__ ；
当x＞0时,_____0_＜__y_＜__1_
当x＞0时,_____y_＞__1_
(5)__减____函数
(5)定是指数函数的是
A．y＝2x＋1
(B) (C)
[解析] (1)函数 y＝(－4)x 的底数－4＜0，故 A 中函数不是指数函数；
函数 y＝πx 的系数为 1，底数 π＞1，故 B 中函数是指数函数；
函数 y＝－4x 的系数为－1，故 C 中函数不是指数函数；
函数 y＝ax＋2＝a2·ax 的系数为 a2，故 D 中函数不是指数函数，故选 B．
B．y＝x2
C．y＝3－x
D．y＝－2·3x
(C)
[解析] 只有 y＝3－x＝(31)x 符合指数函数的概念，A，B，D 选项中函数都不符合 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的形式．
2．按复利计算利率的储蓄,存入银行2万元,如果年息3%,5年后支取,
本利和为人民币
(B )
A．2(1＋0.3)5万元
基础知识
知识点1 指数函数 (1)定义：给定正数a,且a≠1时,_______y_＝__a是x 一个定义在实数集上的

高中数学第二章指数函数、对数函数和幂函数 2.1.1 指数概念的推广课件湘教版必修1

4.式子n a叫作根式 (n∈N，n≥2)，n 叫作根指数， a 叫作被开方数 .一般地，有(n a)n＝ a .当 n 为奇数时，n an＝a；当 n 为偶数时，n an＝|a|.
5.当a＞0，m，n∈N且n≥2时，规定
m
n am＝ a n
，1＝
m
an
.
n am
6.规定0的正分数指数幂为0,0没有负分数指数幂，在a＞0时，对于任意有理数m，n仍有公式
3 (2)
ab2
ab3(a，b＞0)；
3
33
3 57
解原式＝ ab2·a 2 b 2 ＝ a 2 b 2
5 71
57
＝(a 2 ·b 2 ) 3 ＝a 6 b 6 (a，b＞0)；
4 22 (3)( b 3 ) 3 (b＜0)；
212
1
解原式＝b 3 × 4 × 3 ＝(－b) 9 (b＜0)；
跟踪演练1 化简下列各式. 5
(1) －25； 5
解－25＝－2.
4 (2) －104；
4 解－104＝|－10|＝10.
4 (3) a－b4. 解 4 a－b4＝|a－b|＝a－b，a≥b，
b－a，a＜b.
要点二根式与分数指数幂的互化
例2 将下列根式化成分数指数幂形式：
3 (1)
4 a·
[知识链接]
1.4的平方根为 ±2 ,8的立方根为 2 .
2.23·22＝ 32
，(22)2＝ 16
，(2·3)2＝36
，
25 23
＝
4
.
[预习导引]
1.把n(正整数)个实数a的连乘记作 an ，当a≠0时有a0＝ 1 ，

4.2.1指数函数的概念课件(人教版)

第一章4统.2.计1 案例
指数函数的概念
高一数学必修第一册
第四章指数函数与对数指数
学习目标
1.通过具体实例,了解指数函数的实际意义； 2.理解指数函数的概念；
3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
一、新课引入情境
庄子曰:一尺之棰,日取其半, 万世不竭.
1.问题1:一根1米长的木棒，第一天取其一半剩下米,第二
死亡5730年后,生物体内碳14含量为(1 p)5730.
二、探究新知
1.视察函数
它们有何特点？
y = 2x 自变量x出现在指数上
底数2是一个大于0不等于1的常数
2.指数函数的定义：一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
为什么要规定a>0，a≠1?
3.为何规定a0，且a1?
A.10天
B.15天
C.19天
D.2天
五、课堂小结：
1.本节课你学习了哪些基本知识？
指数函数的概念：一般地,函数
叫做
指数函数，其中x是自变量，定义域是R.
2.本节课你学会了哪些思想方法？待定系数法
作业： (1)课本P118 , 习题4.2 1,2
(2)做完《一线课堂》对应习题
是
不是
不是
不是
不是
是
指数函数的解析式是：特点：的系数是1 ; 指数必须是单个x ;
底数是常量a0,且a1.
2.变式: 函数求的值.
是指数函数,
3例2.已知指数函数
的图象经过点
,求
解:因为
的图象经过点
的值.
待定系数法求a
,
所以
即
,
解得所以，

高中数学二轮讲义：专题1 第2讲基本初等函数、函数与方程(教师版)

专题一第2讲基本初等函数、函数与方程【要点提炼】考点一基本初等函数的图象与性质1．指数函数y＝a x(a>0，a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，a≠1)互为反函数，其图象关于y ＝x对称，它们的图象和性质分0<a<1，a>1两种情况，着重关注两函数图象的异同．2．幂函数y＝xα的图象和性质，主要掌握α＝1,2,3，12，－1五种情况．【热点突破】【典例】1 (1)已知f(x)＝2x－1，g(x)＝1－x2，规定：当|f(x)|≥g(x)时，h(x)＝|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，h(x)＝－g(x)，则h(x)( )A．有最小值－1，最大值1B．有最大值1，无最小值C．有最小值－1，无最大值D．有最大值－1，无最小值【答案】 C【解析】画出y＝|f(x)|＝|2x－1|与y＝g(x)＝1－x2的图象，它们交于A，B两点．由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|≥g(x)，故h(x)＝|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|<g(x)，故h(x)＝－g(x)．综上可知，y＝h(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值－1，无最大值．(2)已知函数f(x)＝e x＋2(x<0)与g(x)＝ln(x＋a)＋2的图象上存在关于y轴对称的点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1e B ．(－∞，e)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，eD.⎝⎛⎭⎪⎫－e ，1e 【答案】 B【解析】由题意知，方程f(－x)－g(x)＝0在(0，＋∞)上有解，即e －x＋2－ln(x ＋a)－2＝0在(0，＋∞)上有解，即函数y ＝e －x与y ＝ln(x ＋a)的图象在(0，＋∞)上有交点．函数y ＝ln(x ＋a)可以看作由y ＝ln x 左右平移得到，当a ＝0时，两函数有交点，当a<0时，向右平移，两函数总有交点，当a>0时，向左平移，由图可知，将函数y ＝ln x 的图象向左平移到过点(0,1)时，两函数的图象在(0，＋∞)上不再有交点，把(0,1)代入y ＝ln(x ＋a)，得1＝ln a ，即a ＝e ，∴a<e.【方法总结】 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a 的值不确定时，要注意分a>1和0<a<1两种情况讨论：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a<1时，两函数在定义域内都为减函数．(2)基本初等函数的图象和性质是统一的，在解题中可相互转化．【拓展训练】1 (1)函数f(x)＝ln(x 2＋2)－ex －1的大致图象可能是( )【答案】 A【解析】当x →＋∞时，f(x)→－∞，故排除D ；函数f(x)的定义域为R ，且在R 上连续，故排除B ；f(0)＝ln 2－e －1，由于ln 2>ln e ＝12，e －1<12，所以f(0)＝ln 2－e －1>0，故排除C.(2)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－2－x，则不等式f(x)<－12的解集是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－∞，－1] C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】 A【解析】当x>0时，f(x)＝1－2－x>0. 又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f(x)<－12的解集和f(x)>12的解集关于原点对称，由1－2－x >12得2－x <12＝2－1，即x>1，则f(x)<－12的解集是(－∞，－1)．故选A.【要点提炼】考点二函数的零点判断函数零点个数的方法： (1)利用零点存在性定理判断法． (2)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(3)几何法：对于不易求根的方程，将它与函数y ＝f(x)的图象联系起来，利用函数的性质找出零点或利用两个函数图象的交点求解．在利用函数性质时，可用求导的方法判断函数的单调性．考向1 函数零点的判断【典例】2 (1)(2020·长沙调研)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧xe x，x ≤0，2－|x －1|，x>0，若函数g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．2B ．2或2＋1eC ．2或3D ．2或3或2＋1e【答案】 D【解析】当x ≤0时， f ′(x)＝(x ＋1)e x，当x<－1时，f ′(x)<0，故f(x)在(－∞，－1)上单调递减，当－1<x ≤0时，f ′(x)>0，故f(x)在(－1,0]上单调递增，所以x ≤0时，f(x)的最小值为f(－1)＝－1e.又当x ≥1时，f(x)＝3－x ，当0<x<1时，f(x)＝x ＋1.作出f(x)的图象，如图所示．因为g(x)＝f(x)－m 有两个不同的零点，所以方程f(x)＝m 有两个不同的根，等价于直线y ＝m 与f(x)的图象有两个不同的交点，且交点的横坐标分别为x 1，x 2，由图可知1<m<2或m ＝0或m ＝－1e .若1<m<2，则x 1＋x 2＝2；若m ＝0，则x 1＋x 2＝3；若m ＝－1e ，则x 1＋x 2＝－1＋3＋1e ＝2＋1e.(2)设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f(x ＋2)＝f(2－x)，当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22x－1，则关于x 的方程f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上根的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】 C【解析】对于任意的x ∈R ，都有f(2＋x)＝f(2－x)， ∴f(x ＋4)＝f[2＋(x ＋2)]＝f[2－(x ＋2)]＝f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)是一个周期函数，且T ＝4.又∵当x ∈[－2,0]时，f(x)＝⎝⎛⎭⎪⎫22x－1，且函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(6)＝1，则函数y ＝f(x)与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上的图象如图所示，根据图象可得y ＝f(x)与y ＝log 8(x ＋2)在区间(－2,6)上有3个不同的交点，即f(x)－log 8(x ＋2)＝0在区间(－2,6)上有3个根．【特点突破】考向2 求参数的值或取值范围【典例】3 (1)已知关于x 的方程9－|x －2|－4·3－|x －2|－a ＝0有实数根，则实数a 的取值范围是________．【答案】 [－3,0) 【解析】设t ＝3－|x －2|(0<t ≤1)，由题意知a ＝t 2－4t 在(0,1]上有解，又t 2－4t ＝(t －2)2－4(0<t ≤1)， ∴－3≤t 2－4t<0，∴实数a 的取值范围是[－3,0)．(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x>a ，x 2＋6x ＋3，x ≤a ，若函数g(x)＝f(x)－2x 恰有2个不同的零点，则实数a 的取值范围为____________________．【答案】 [－3，－1)∪[3，＋∞)【解析】由题意得g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3－2x ，x>a ，x 2＋6x ＋3－2x ，x ≤a ，即g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x ，x>a ，x 2＋4x ＋3，x ≤a ，如图所示，因为g(x)恰有两个不同的零点，即g(x)的图象与x 轴有两个交点．若当x ≤a 时，g(x)＝x 2＋4x ＋3有两个零点，则令x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1，则当x>a 时，g(x)＝3－x 没有零点，所以a ≥3. 若当x ≤a 时，g(x)＝x 2＋4x ＋3有一个零点，则当x>a 时，g(x)＝3－x 必有一个零点，即－3≤a<－1，综上所述，a ∈[－3，－1)∪[3，＋∞)．【方法总结】利用函数零点的情况求参数值(或取值范围)的三种方法【拓展训练】2 (1)已知偶函数y ＝f(x)(x ∈R )满足f(x)＝x 2－3x(x ≥0)，若函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，－1x，x<0，则y ＝f(x)－g(x)的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4 【答案】 B【解析】作出函数f(x)与g(x)的图象如图，由图象可知两个函数有3个不同的交点，所以函数y ＝f(x)－g(x)有3个零点．(2)(多选)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2a ，x<0，x 2－ax ，x ≥0，若关于x 的方程f(f(x))＝0有8个不同的实根，则a 的值可能为( ) A ．－6 B ．8 C ．9 D ．12 【答案】 CD【解析】当a ≤0时，f(x)仅有一个零点x ＝0，故f(f(x))＝0有8个不同的实根不可能成立．当a>0时，f(x)的图象如图所示，当f(f(x))＝0时，f 1(x)＝－2a ，f 2(x)＝0，f 3(x)＝a.又f(f(x))＝0有8个不同的实根，故f 1(x)＝－2a 有三个根，f 2(x)＝0有三个根，f 3(x)＝a 有两个根，又x 2－ax ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 22－a24，所以－2a>－a24且a<2a ，解得a>8且a>0，综上可知，a>8. 专题训练一、单项选择题1．(2020·全国Ⅰ)设alog 34＝2，则4－a等于( ) A.116 B.19 C.18 D.16 【答案】 B【解析】方法一因为alog 34＝2，所以log 34a＝2，所以4a＝32＝9，所以4－a＝14a ＝19.方法二因为alog 34＝2，所以a ＝2log 34＝2log 43＝log 432＝log 49，所以4－a ＝4log 94-＝14log 94-＝9－1＝19.2．函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点一定位于区间( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5) 【答案】 B【解析】函数f(x)＝ln x ＋2x －6在其定义域上连续且单调， f(2)＝ln 2＋2×2－6＝ln 2－2<0， f(3)＝ln 3＋2×3－6＝ln 3>0，故函数f(x)＝ln x ＋2x －6的零点在区间(2,3)上．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)＝2－ax 和g(x)＝log a (x ＋2)(a>0且a ≠1)的大致图象可能为( )【答案】 A【解析】由题意知，当a>0时，函数f(x)＝2－ax 为减函数．若0<a<1，则函数f(x)＝2－ax 的零点x 0＝2a ∈(2，＋∞)，且函数g(x)＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为减函数；若a>1，则函数f(x)＝2－ax 的零点x 0＝2a ∈(0,2)，且函数g(x)＝log a (x ＋2)在(－2，＋∞)上为增函数．故A 正确．4．(2020·广东省揭阳三中模拟)已知a ，b ，c 满足4a ＝6，b ＝12log 4，c 3＝35，则( )A ．a<b<cB ．b<c<aC ．c<a<bD ．c<b<a【答案】 B【解析】 4a ＝6>4，a>1，b ＝12log 4＝－2，c 3＝35<1,0<c<1，故a>c>b.5．(2020·全国Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病典例数I(t)(t 的单位：天)的Logistic 模型：I(t)＝K1＋e－0.23t －53，其中K 为最大确诊病典例数．当I(t *)＝0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则t *约为(ln 19≈3)( ) A ．60 B ．63 C ．66 D ．69 【答案】 C【解析】因为I(t)＝K1＋e－0.23t －53，所以当I(t *)＝0.95K 时，*0.23531et K ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95K ，即*0.235311et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+＝0.95，即1＋*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95，即*0.2353et ⎛⎫-- ⎪⎝⎭＝10.95－1， ∴*0.2353et ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝19，∴0.23(t *－53)＝ln 19， ∴t *＝ln 190.23＋53≈30.23＋53≈66.6．(2020·泉州模拟)若函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，则a 的取值范围是( )A ．1<a<2B ．0<a<2，a ≠1C ．0<a<1D ．a ≥2【答案】 A【解析】令u(x)＝x 2－ax ＋1，函数y ＝log a (x 2－ax ＋1)有最小值，∴a>1，且u(x)min >0，∴Δ＝a 2－4<0，∴1<a<2，∴a 的取值范围是1<a<2.7．(2020·太原质检)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x>0，－2x 2＋4x ＋1，x ≤0(e 为自然对数的底数)，若函数g(x)＝f(x)＋kx 恰好有两个零点，则实数k 等于( ) A ．－2e B ．e C ．－e D ．2e 【答案】 C【解析】 g(x)＝f(x)＋kx ＝0，即f(x)＝－kx ，如图所示，画出函数y ＝f(x)和y ＝－kx 的图象，－2x 2＋4x ＋1＝－kx ，即2x 2－(4＋k)x －1＝0，设方程的两根为x 1，x 2，则Δ＝(4＋k)2＋8>0，且x 1x 2＝－12，故g(x)在x<0时有且仅有一个零点， y ＝－kx 与y ＝f(x)在x>0时相切．当x>0时，设切点为(x 0，－kx 0)，f(x)＝e x， f ′(x)＝e x，f ′(x 0)＝0e x ＝－k ，0e x ＝－kx 0，解得x 0＝1，k ＝－e.8．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的解，则a 的取值范围是( )A ．(1,2)B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 【答案】 D【解析】作出f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x|＋1，x ≠0的图象如图所示．设t ＝f(x)，则原方程化为2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0，解得t 1＝a ，t 2＝32.由图象可知，若关于x 的方程2f 2(x)－(2a ＋3)f(x)＋3a ＝0有五个不同的实数解，只有当直线y ＝a 与函数y ＝f(x)的图象有三个不同的交点时才满足条件，所以1<a<2.又方程2t 2－(2a ＋3)t ＋3a ＝0有两个不相等的实数根，所以Δ＝(2a ＋3)2－4×2×3a ＝(2a －3)2>0，解得a ≠32，综上，得1<a<2，且a ≠32.二、多项选择题9．(2020·临沂模拟)若10a＝4,10b＝25，则( ) A ．a ＋b ＝2 B ．b －a ＝1 C ．ab>8lg 22 D ．b －a>lg 6【答案】 ACD【解析】由10a＝4,10b＝25，得a ＝lg 4，b ＝lg 25，则a ＋b ＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A 正确；b －a ＝lg 25－lg 4＝lg 254>lg 6且lg 254<1，故B 错误，D 正确；ab ＝lg 4·lg25＝4lg 2·lg 5>4lg 2·lg 4＝8lg 22，故C 正确．10．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，则( ) A ．函数f(x)＋g(x)的定义域为(－1,1) B ．函数f(x)＋g(x)的图象关于y 轴对称 C ．函数f(x)＋g(x)在定义域上有最小值0 D ．函数f(x)－g(x)在区间(0,1)上是减函数【答案】 AB【解析】 ∵f(x)＝log a (x ＋1)，g(x)＝log a (1－x)，a>0，a ≠1，∴f(x)＋g(x)＝log a (x ＋1)＋log a (1－x)，由x ＋1>0且1－x>0得－1<x<1，故A 对；由f(－x)＋g(－x)＝log a (－x ＋1)＋log a (1＋x)＝f(x)＋g(x)，得函数f(x)＋g(x)是偶函数，其图象关于y 轴对称，B 对；∵－1<x<1，∴f(x)＋g(x)＝log a (1－x 2)，∵y ＝1－x 2在[0,1)上单调递减，由复合函数的单调性可知，当0<a<1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递增，有最小值f(0)＋g(0)＝log a (1－0)＝0；当a>1时，函数f(x)＋g(x)在[0,1)上单调递减，无最小值，故C 错；∵f(x)－g(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，当0<a<1时，f(x)＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递减，g(x)＝log a (1－x)在(0,1)上单调递增，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递减；当a>1时，f(x)＝log a (x ＋1)在(0,1)上单调递增，g(x)＝log a (1－x)在(0,1)上单调递减，函数f(x)－g(x)在(0,1)上单调递增，故D 错．11．(2020·淄博模拟)已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，对于任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)成立．当x ∈[0,2)时，f(x)＝2x－1.给出下列结论，其中正确的是( ) A ．f(2)＝0B ．点(4,0)是函数y ＝f(x)图象的一个对称中心C ．函数y ＝f(x)在区间[－6，－2]上单调递增D ．函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有3个零点【答案】 AB【解析】对于A ，因为f(x)为奇函数且对任意x ∈R ，都有f(x ＋4)＝f(x)＋f(2)，令x ＝－2，则f(2)＝f(－2)＋f(2)＝0，故A 正确；对于B ，由A 知，f(2)＝0，则f(x ＋4)＝f(x)，则4为f(x)的一个周期，因为f(x)的图象关于原点(0,0)成中心对称，则(4,0)是函数f(x)图象的一个对称中心，故B 正确；对于C ，因为f(－6)＝0，f(－5)＝f(－5＋4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，－6<－5，而f(－6)>f(－5)，所以f(x)在区间[－6，－2]上不是单调递增的，故C 错误；对于D ，因为f(0)＝0，f(2)＝0，所以f(－2)＝0，又4为f(x)的一个周期，所以f(4)＝0，f(6)＝0，f(－4)＝0，f(－6)＝0，所以函数y ＝f(x)在区间[－6,6]上有7个零点，故D 错误． 12．对于函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞，则下列结论正确的是( )A ．任取x 1，x 2∈[2，＋∞)，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤1B ．函数y ＝f(x)在[4,5]上单调递增C ．函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点D ．若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝132【答案】 ACD【解析】 f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ，x ∈[0，2]，12f x －2，x ∈2，＋∞的图象如图所示，当x ∈[2，＋∞)时，f(x)的最大值为12，最小值为－12，∴任取x 1，x 2∈[2，＋∞ )，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤ 1恒成立，故A 正确；函数y ＝f(x)在[4,5]上的单调性和在[0,1]上的单调性相同，则函数y ＝f(x)在[4,5]上不单调，故B 错误；作出y ＝ln(x －1)的图象，结合图象，易知y ＝ln(x －1)的图象与f(x)的图象有3个交点，∴函数y ＝f(x)－ln(x －1)有3个零点，故C 正确；若关于x 的方程f(x)＝m(m<0)恰有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，不妨设x 1<x 2<x 3，则x 1＋x 2＝3，x 3＝72，∴x 1＋x 2＋x 3＝132，故D 正确．三、填空题13．(2019·全国Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－e ax.若f(ln 2)＝8，则a ＝________. 【答案】－3【解析】当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e －ax.因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＝8，所以a ＝－3. 14．已知函数f(x)＝|lg x|，若f(a)＝f(b)(a ≠b)，则函数g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋22x ＋5，x ≤0，ax 2＋2bx，x>0的最小值为________．【答案】 2 2【解析】因为|lg a|＝|lg b|，所以不妨令a0，当x ≤0时，g(x)＝(x ＋2)2＋3≥3，取等号时x ＝－2；当x>0时，g(x)＝ax ＋2ax≥2ax ·2ax＝22，当且仅当x ＝2a时，等号成立，综上可知，g(x)min ＝2 2.15．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞，则函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为________．【答案】11－2π【解析】由题意知，当x<0时， f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x ，x ∈－1，0，|x ＋3|－1，x ∈－∞，－1]，作出函数f(x)的图象如图所示，设函数y ＝f(x)的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F(x)＝f(x)－1π的所有零点之和为11－2π.16．对于函数f(x)与g(x)，若存在λ∈{x ∈R |f(x)＝0}，μ∈{x ∈R |g(x)＝0}，使得|λ－μ|≤1，则称函数f(x)与g(x)互为“零点密切函数”，现已知函数f(x)＝ex －2＋x －3与g(x)＝x 2－ax －x ＋4互为“零点密切函数”，则实数a 的取值范围是________．【答案】 [3,4]【解析】由题意知，函数f(x)的零点为x ＝2，设g(x)的零点为μ，满足|2－μ|≤1，因为|2－μ|≤1，所以1≤μ≤3. 方法一因为函数g(x)的图象开口向上，所以要使g(x)的至少一个零点落在区间[1,3]上，则需满足g(1)g(3)≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0，g 3>0，Δ≥0，1<a ＋12<3，解得103≤a ≤4，或3≤a<103，得3≤a ≤4.故实数a 的取值范围为[3,4]．方法二因为g(μ)＝μ2－a μ－μ＋4＝0， a ＝μ2－μ＋4μ＝μ＋4μ－1，因为1≤μ≤3，所以3≤a ≤4. 故实数a 的取值范围为[3,4]．。

第二章 §2.7 指数与指数函数-2025高中数学大一轮复习讲义人教A版

§2.7指数与指数函数课标要求1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用．知识梳理1．根式(1)一般地，如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *.(2)式子na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．(3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，n a n ＝|a |a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂：m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)．正数的负分数指数幂：m n a＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )．4．指数函数及其性质(1)概念：一般地，函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，定义域是R .(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R 值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1当x>0时，y >1；当x <0时，0<y <1当x <0时，y >1；当x >0时，0<y <1增函数减函数常用结论1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a )12.如图所示是指数函数(1)y ＝a x ，(2)y ＝b x ，(3)y ＝c x ，(4)y ＝d x 的图象，则c >d >1>a >b >0，即在第一象限内，指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象越高，底数越大．自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)4(－4)4＝－4.(×)(2)2a ·2b ＝2ab .(×)(3)指数函数y ＝a x 与y ＝a －x (a >0，且a ≠1)的图象关于y 轴对称．(√)(4)若a m <a n (a >0，且a ≠1)，则m <n .(×)2．已知函数y ＝a ·2x 和y ＝2x ＋b 都是指数函数，则a ＋b 等于()A ．不确定B ．0C ．1D ．2答案C解析由函数y ＝a ·2x 是指数函数，得a ＝1，由y ＝2x ＋b 是指数函数，得b ＝0，所以a ＋b ＝1.3．已知关于x 的不等式－4≥3－2x ，则该不等式的解集为()A ．[－4，＋∞)B ．(－4，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－4,1]答案A 解析不等式－4≥3－2x ，即34－x ≥3－2x ，由于y ＝3x 是增函数，所以4－x ≥－2x ，解得x ≥－4，所以原不等式的解集为[－4，＋∞)．4．(2023·福州质检)3(－4)3＋120.254＝________.答案5解析3(－4)3＋120.254＝－4＋1＋0.5×16＝5.题型一指数幂的运算例1计算：－2×2310227-⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×(2＋π)02；(2)23×331.5×612.解(1)原式＝128116⎛⎫ ⎪⎝⎭－2×236427-⎛⎫⎪⎝⎭－2＝14232⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2×23334⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦－2＋916＝94－2×916－2＋916＝94－98－2＋916＝－516.(2)原式＝11132623233(23)2⎛⎫⨯⨯⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭1111133362623-+++=⨯⨯＝6×3＝18.思维升华(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．跟踪训练1(多选)下列计算正确的是()A.12(－3)4＝3－3B ．2115113366221()(3)9(0,0)3a a b a b a a b ⎛⎫-÷=->> ⎪⎝⎭C.39＝33D ．已知x 2＋x －2＝2，则x ＋x －1＝2答案BC解析对于A ，12(－3)4＝1234＝143123=3＝33≠3－3，所以A 错误；对于B ，2115211115113366326236221()(3)93a b a b a b a b +-+⎛⎫-÷=-⋅ ⎪⎝⎭＝－9a (a >0，b >0)，所以B 正确；对于C ，391163=9=3＝33，所以C 正确；对于D ，因为(x ＋x －1)2＝x 2＋2＋x －2＝4，所以x ＋x －1＝±2，所以D 错误．题型二指数函数的图象及应用例2(1)(多选)已知实数a ，b 满足等式3a ＝6b ，则下列可能成立的关系式为()A ．a ＝bB ．01时，若3a ＝6b ＝k ，则01，则3a <3b <2b ·3b ＝6b ，故选项D 错误．(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴实数b的取值范围是(0,2)．思维升华对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．跟踪训练2(多选)已知函数f(x)＝a x－b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象不经过第三象限，则a，b 的取值范围可能为()A．0<a<1，b<0B．0<a<1,0<b≤1C．a>1，b<0D．a>1,0<b≤1答案ABC解析若0<a<1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，或向下平移不超过1个单位长度，故－b>0或－1≤－b<0，解得b<0或0<b≤1，故A，B正确；若a>1，则函数y＝a x的图象如图所示，要想f(x)＝a x－b的图象不经过第三象限，则需要向上平移，故－b>0，解得b<0，即C正确，D错误．题型三指数函数的性质及应用命题点1比较指数式的大小例3(2024·海口模拟)已知a＝1.30.6，b0.4，c，则()A．c<b<a B．a<b<cC ．c <a <bD ．b <c <a 答案D解析a ＝1.30.6>1.30＝1，b 0.4，c ，因为指数函数y 是减函数，所以＝1，所以b <c <1，所以b <c <a .命题点2解简单的指数方程或不等式例4已知p ：a x <1(a >1)，q ：2x ＋1－x <2，则p 是q 的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案B解析∵a x <1，当a >1时，y ＝a x 是增函数，∴p ：{x |x <0}．对于不等式2x ＋1<x ＋2，作出函数y ＝2x ＋1与y ＝x ＋2的图象，如图所示．由图象可知，不等式2x ＋1<x ＋2的解集为{x |－1<x <0}，∴q ：{x |－1<x <0}．又∵{x |－1<x <0}⊆{x |x <0}，∴p 是q 的必要不充分条件．命题点3指数函数性质的综合应用例5已知函数f (x )＝8x ＋a ·2xa ·4x (a 为常数，且a ≠0，a ∈R )是奇函数．(1)求a 的值；(2)若∀x ∈[1,2]，都有f (2x )－mf (x )≥0成立，求实数m 的取值范围．解(1)f (x )＝1a ·2x ＋12x ，因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即1a ·12x ＋2x xx 0，即1a ＋1＝0，解得a ＝－1.(2)由(1)知a ＝－1，所以f (x )＝12x －2x ，x ∈[1,2]，所以122x －22x ≥所以m ≥12x ＋2x ，x ∈[1,2]，令t ＝2x ，t ∈[2,4]，设y ＝12x ＋2x ，则y ＝t ＋1t ，t ∈[2,4]，由于y ＝t ＋1t 在[2,4]上单调递增，所以m ≥4＋14＝174.所以实数m 的取值范围是174，＋思维升华(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断．跟踪训练3(1)(多选)(2023·重庆模拟)已知函数f (x )＝e x －1e x ＋1，则下列结论正确的是()A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(－1,1)C ．函数f (x )是奇函数D ．函数f (x )为减函数答案ABC解析因为e x >0，所以e x ＋1>0，所以函数f (x )的定义域为R ，故A 正确；f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1，由e x >0⇒e x ＋1>1⇒0<1e x ＋1<1⇒－2<－2e x ＋1<0⇒－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)，故B 正确；因为f (－x )＝e －x－1e －x ＋1＝1e x －11e x ＋1＝1－e x1＋ex ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，故C 正确；因为函数y ＝e x ＋1是增函数，所以y ＝e x ＋1>1，所以函数y ＝2e x ＋1是减函数，所以函数y ＝－2e x ＋1是增函数，故f (x )＝e x －1e x ＋1＝1－2e x ＋1是增函数，故D 不正确．(2)(2023·银川模拟)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．答案32或12解析当a >1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递增，由题意可得，f (2)－f (1)＝a 2－a ＝a2，解得a ＝32或a ＝0(舍去)；当0<a <1时，函数f (x )在区间[1,2]上单调递减，由题意可得，f (1)－f (2)＝a －a 2＝a2，解得a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，a ＝32或a ＝12.课时精练一、单项选择题1．下列结论中，正确的是()A ．若a >0，则4334·a a ＝a B ．若m 8＝2，则m ＝±82C ．若a ＋a －1＝3，则1122a a-+＝±5D.4(2－π)4＝2－π答案B解析对于A ，根据分数指数幂的运算法则，可得443325334412a a aa +⋅==，当a ＝1时，2512a ＝a ；当a ≠1时，2512a≠a ，故A 错误；对于B ，m 8＝2，故m ＝±82，故B 正确；对于C ，a ＋a －1＝3，则21122a a -⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a ＋a －1＋2＝3＋2＝5，因为a >0，所以1122a a -+＝5，故C 错误；对于D ，4(2－π)4＝|2－π|＝π－2，故D 错误．2．已知函数f (x )＝a x －a (a >1)，则函数f (x )的图象不经过()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案B解析y ＝a x (a >1)是增函数，经过点(0,1)，因为a >1，所以函数f (x )的图象需由函数y ＝a x (a >1)的图象向下平移超过1个单位长度得到，所以函数f (x )＝a x －a 的图象如图所示．故函数f (x )的图象不经过第二象限．3．已知a ＝31.2，b ＝1.20，c 0.9，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a <c <bB ．c 0.9>0，所以31.2>30.9>30＝1，即a >c >b .4．(2023·新高考全国Ⅰ)设函数f (x )＝2x (x －a )在区间(0,1)上单调递减，则a 的取值范围是()A ．(－∞，－2]B ．[－2,0)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)答案D解析函数y ＝2x 在R 上是增函数，而函数f (x )＝2x (x－a )在区间(0,1)上单调递减，则函数y ＝x (x －a )－a 24在区间(0,1)上单调递减，因此a2≥1，解得a ≥2，所以a 的取值范围是[2，＋∞)．5．(2023·潍坊模拟)“关于x 的方程a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解”的一个必要不充分条件是()A ．a ≤12B ．a >1C ．a ≤12或a ≥1D ．a <12或a ≥1答案C解析a (2|x |＋1)＝2|x |，因为2|x |＋1>0，所以a ＝2|x |2|x |＋1＝1－12|x |＋1，因为2|x |≥20＝1，所以2|x |＋1≥2,0<12|x |＋1≤12，12≤1－12|x |＋1<1，要使a (2|x |＋1)＝2|x |没有实数解，则a <12或a ≥1，由于a <12或a ≥1不能推出a ≤12，故A 不成立；由于a <12或a ≥1不能推出a >1，故B 不成立；由于a <12或a ≥1⇒a ≤12或a ≥1，且a ≤12或a ≥1不能推出a <12或a ≥1，故C 正确；D 为充要条件，不符合要求．6．(2024·辽源模拟)已知函数f (x )＝2x －2－x ＋1，若f (a 2)＋f (a －2)>2，则实数a 的取值范围是()A ．(－∞，1)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)答案C解析令g (x )＝2x －2－x ，定义域为R ，且g (－x )＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，且是增函数，因为f (x )＝g (x )＋1，f (a 2)＋f (a －2)>2，则g (a 2)＋g (a －2)>0，即g (a 2)>－g (a －2)，又因为g (x )是奇函数，所以g (a 2)>g (2－a )，又因为g (x )是增函数，所以a 2>2－a ，解得a <－2或a >1，故实数a 的取值范围是(－∞，－2)∪(1，＋∞)．二、多项选择题7．已知函数f (x )＝|2x －1|，实数a ，b 满足f (a )＝f (b )(a 2B ．∃a ，b ∈R ，使得0<a ＋b <1C ．2a ＋2b ＝2D ．a ＋b <0答案CD解析画出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示．由图知1－2a ＝2b －1，则2a ＋2b ＝2，故A 错误，C 正确；由基本不等式可得2＝2a ＋2b >22a ·2b ＝22a ＋b ，所以2a ＋b <1，则a ＋b <0，故B 错误，D 正确．8．已知函数f (x )＝m －e x 1＋e x是定义域为R 的奇函数，则下列说法正确的是()A ．m ＝12B ．函数f (x )在R 上的最大值为12C ．函数f (x )是减函数D ．存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根答案AC 解析因为函数f (x )＝m －e x 1＋e x 是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝m －e 01＋e 0＝0，解得m ＝12，此时f (x )＝12－e x 1＋e x，则f (－x )＝12－e －x 1＋e －x ＝12－11＋e x＝12－1＋e x －e x 1＋e x＝12－1＋e x 1＋e x ＝e x 1＋e x －12＝－f (x )，符合题意，故A 正确；又f (x )＝12－e x 1＋e x ＝12－e x ＋1－11＋ex ＝11＋e x －12，因为e x >0，所以e x ＋1>1，则0<11＋ex <1，所以－12<f (x )<12，即f (x )－12，B 错误；因为y ＝e x 是增函数，y ＝e x >0，且y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，所以f (x )＝11＋e x －12是减函数，故C 正确；因为f (x )是减函数，所以y ＝f (x )与y ＝n 最多有1个交点，故f (x )－n ＝0最多有一个实数根，即不存在实数n ，使得关于x 的方程f (x )－n ＝0有两个不相等的实数根，故D 错误．三、填空题9．013623290.125[(2)]8-⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭＝________.答案81解析原式＝13131326322112(23)2⎛⎫⨯- ⎪⨯⎝⎭⎛⎫-++⨯ ⎪⎝⎭＝2－1＋8＋(23×32)＝81.10．(2023·福州模拟)写出一个同时具备下列性质的函数f (x )＝________.①f (x ＋1)＝f (x )f (1)；②f ′(x )<0.答案e －x (答案不唯一)解析∵f (x ＋1)＝f (x )f (1)是加变乘，∴考虑指数函数类型，又f ′(x )<0，∴f (x )是减函数，∴f (x )＝e －x 满足要求．11．已知函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭有最大值3，则a 的值为________．答案1解析令g (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )(x )，∵f (x )有最大值3，∴g (x )有最小值－1，1，解得a ＝1.12．(2024·宁波模拟)对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋m －1(m ∈R ，m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是________．答案－23，解析∵f (x )＝3x ＋m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴存在x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴03x -＋m －1＝03x -－m ＋1，∴2m ＝0033x x ---＋2，构造函数y ＝0033x x ---＋2，x 0∈[－1,1]，令t ＝03x ，t ∈13，3，则y ＝－1t－t ＋2＝2在13，1上单调递增，在(1,3]上单调递减，∴当t ＝1时，函数取得最大值0，当t ＝13或t ＝3时，函数取得最小值－43，∴y ∈－43，0，又∵m ≠0，∴－43≤2m <0，∴－23≤m <0.四、解答题13．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值．解令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)；当0<a <1时，因为x ∈[－1,1]，所以t ∈a ，1a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在a ，1a 上单调递增，则y max －2＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上，a ＝3或a ＝13.14．已知定义域为R 的函数f (x )＝a －2x b ＋2x是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，求实数k 的取值范围．解(1)因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即a －1b ＋1＝0，所以a ＝1，又因为f (－x )＝－f (x )，所以a －12x b ＋12x ＝－a －2x b ＋2x ，将a ＝1代入，整理得2x －1b ·2x ＋1＝2x －1b ＋2x，当x ≠0时，有b ·2x ＋1＝b ＋2x ，即(b －1)(2x －1)＝0，又因为当x ≠0时，有2x －1≠0，所以b －1＝0，所以b ＝1.经检验符合题意，所以a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，函数f (x )＝1－2x 1＋2x ＝－(1＋2x )＋21＋2x ＝－1＋21＋2x ，因为y ＝1＋2x 为增函数，且1＋2x >0，则函数f (x )是减函数．(3)因为存在t ∈[0,4]，使f (k ＋t 2)＋f (4t －2t 2)<0成立，且函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以不等式可转化为f (k ＋t 2)<f (2t 2－4t )，又因为函数f (x )是减函数，所以k ＋t 2>2t 2－4t ，所以k >t 2－4t ，令g (t )＝t 2－4t ＝(t －2)2－4，由题意可知，问题等价转化为k >g (t )min ，又因为g (t )min ＝g (2)＝－4，所以k >－4，即实数k 的取值范围为(－4，＋∞)．15．(2023·深圳模拟)已知αa ＝(cos α)sin α，b ＝(sin α)cos α，c ＝(cos α)cos α，则()A ．b >c >aB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >b >c 答案A 解析已知α0<cos α<sin α<1，因为y ＝(cos α)x 在(0,1)上单调递减，故c ＝(cos α)cos α>(cos α)sin α＝a ；因为幂函数y ＝x cos α在(0,1)上单调递增，故c ＝(cos α)cos α<(sin α)cos α＝b ，故b >c >a .16．(2023·徐州模拟)正实数m ，n 满足e 1－2m ＋2－2m ＝e n －1＋n ，则n m ＋1n的最小值为________．答案5 2解析由e1－2m＋2－2m＝e n－1＋n，得e1－2m＋(1－2m)＝e n－1＋(n－1)，令f(x)＝e x＋x，则原等式为f(1－2m)＝f(n－1)，显然函数f(x)为增函数，于是1－2m＝n－1，即2m＋n＝2，而m>0，n>0，因此nm＋1n＝nm＋2m＋n2n＝nm＋mn＋12≥2nm·mn＋12＝52，当且仅当nm＝mn，即m＝n＝23时取等号，所以当m＝n＝23时，nm＋1n取得最小值52.。

湘教版高中数学必修第一册第4章4-2-1 4-2-2第1课时指数函数的概念、图象与性质课件

[解] (1)y＝2x+1的图象是由y＝2x的图象向左平移1个单位长度得到． (2)y＝2x-1的图象是由y＝2x的图象向右平移1个单位长度得到． (3)y＝2x＋1的图象是由y＝2x的图象向上平移1个单位长度得到． (4)∵y＝2－x与y＝2x的图象关于y轴对称，∴作y＝2x的图象关于y轴的对称图形便可得到y＝2－x的图象． (5)∵y＝2|x|为偶函数，故其图象关于y轴对称，故先作出当x≥0时，y ＝2x的图象，再作关于y轴的对称图形，即可得到y＝2|x|的图象．
3．如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，
则a，b，c，d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d √B．b＜a＜1＜d＜c
题号
1
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
2
B [作直线x＝1，与四个图象分别交于A，
3
4
B ， C ， D 四点，则 A(1 ， a) ， B(1 ， b) ，
2．能画出具体指数函数的图象，并值域的求法，培养逻辑推理
能根据指数函数的图象说明指数函数素养．
的性质．(重点)
必备知识·情境导学探新知
知识点1 指数函数的概念如果让底数为常数而取指数为自变量x，则得到一类新的函数 __y_＝__a_x__(x∈R)，叫作指数函数，其中a>0，且a≠1．思考1．为什么指数函数的底数a>0，且a≠1． [提示] ①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数； ③当a＝1时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且 a≠1．
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点． (2)利用图象变换，如函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的奇偶性与单调性．奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势．

新教材高中数学第3章指数运算与指数函数3指数函数第1课时指数函数的概念图象和性质课件北师大版必修一

判断一个函数是指数函数，需判断其解析式是否可化为y＝ ax(a>0，且a≠1)的形式．
[跟进训练]
1．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则( )
A．a＝1或a＝3
B．a＝1
C．a＝3
D．a>0且a≠1
C [由指数函数定义知（a>a0－，2且）a2≠＝11，，所以解得a＝3.]
指数函数的图象
自主预习探新知
1．指数函数的定义函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.
思考1：为什么规定y＝ax中a>0，且a≠1? 提示：①当 a≤0 时，ax 可能无意义；②当 a>0 时，x 可以取任意实数；③当 a＝1 时，ax＝1(x∈R)，无研究价值．因此规定 y＝ax 中 a>0，且 a≠1.
第三章指数运算与指数函数
§3 指数函数第1课时指数函数的概念、图象和性质
学习目标 1．理解指数函数的概念与意义．(重点) 2．掌握指数函数的图象和性质．(重点) 3．掌握函数图象的简单变换．(易混点)
核心素养
1．通过指数函数的图象的学习，培养直观想象素养． 2．借助指数函数性质的应用，培养逻辑推理素养．
(1)
(2)
(3)
指数函数的性质
【例5】
(1)设a＝
3 5
2 5
，b＝
2 5
3 5
，c＝
2 5
2 5
，则a，b，c的大小关系
是( )
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
(2)y＝ 1－21x的定义域是________，值域是________．

高考数学一轮复习讲义7 指数及指数函数(老师版)

第五讲指数及指数函数一．根式 1.根式的概念2.两个重要公式①na n＝⎩⎨⎧a (n 为奇数)，|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)，－a (a <0)(n 为偶数)；②(na )n＝a (注意a 必须使na 有意义)．二．有理指数幂 (1)分数指数幂的表示①正数的正分数指数幂是mna ＝na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；②正数的负分数指数幂是m na＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)；③0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义． (2)有理指数幂的运算性质 ①a s a t＝as ＋t(a >0，t ，s ∈Q )；②(a s )t ＝a st(a >0，t ，s ∈Q )； ③(ab )t＝a t b t(a >0，b >0，t ∈Q )．三．指数函数的图象与性质（1）指数函数的定义一般地，函数y ＝a x(a >0，a ≠1)叫做指数函数，函数的定义域是R . （2）指数函数的图象与性质R 考向一指数的运算【例1】计算化简(1)(12)−1+823+(2019)0= .（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425=______．（3）已知x 12+x −12=3，求下列各式的值： ①x +x−1；②x 2+x−2；③x 32−x−32x 12−x −12.【答案】（1）7 （2）52 （3）－6a b（4）①7②47③8【解析】(1)(12)−1+823+(2019)0=2+4+1=7（2）(278)13−(30.5)2+(0.008)−23×425，=(32)3×13−312×2+(15)3×(−23)×425 =32−3+4=52．（3）①因为x 12+x −12=3，所以(x 12+x −12)2=x +2+x −1=9,即x +x −1=7.②因为x +x −1=7所以(x +x −1)2=x 2+2x ⋅x −1+x −2=x 2+2+x −2=49，即x 2+x −2=47. ③x 32−x−32x 12−x −12=(x 12)3−(x−12)3x 12−x −12=(x 12−x−12)(x+1+x −1)x 12−x −12=x +1+x −1=8.【举一反三】1．0.027−13−(−16)−2+2560.75+(125729)−13+(59)−1−729−16＝__________.【答案】31 【解析】原式＝0.3−1−36+25634−(125729)−13+95−93×(−16)=103−36+43−95+95−13=31.故答案为：312．化简：(√3+√2)2015×(√3−√2)2016＝_________________________________. 【答案】√3−√2【解析】(√3+√2)2015×(√3−√2)2016 =[(√3+√2)(√3−√2)]2015×(√3−√2)=√3−√2. 故答案为：√3−√23．(0.25)12−[−2×(37)0]2×[(-2)3]43+(√2-1)-1-212＝________．【答案】−1252【解析】原式=(14)12−(−2)2×(−2)4√2−1√2=12−4×16+(√2−1)−√2 =12−4×16+(√2+1)−√2 =−1252，故答案为−1252.4.已知x ＋x －1＝3，则3322xx的值为．【答案】 2 5 【解析】11222()xx ＝x ＋2＋x －1＝5，11225,xx331112222()(1)x x x x x x ＝5(3－1)＝2 5.5.已知a ，b 是方程x 2－6x ＋4＝0的两根，且a >b >0，则a －ba ＋b＝ . 【答案】55【解析】由已知得，a ＝3＋5，b ＝3－5，所以a ＋b ＝6，ab ＝4，所以⎝⎛⎭⎪⎫a －b a ＋b 2＝a ＋b －2ab a ＋b ＋2ab ＝6－246＋24＝15.因为a >b >0，所以a >b ，所以a －b a ＋b ＝55. 6．设2x＝8y ＋1，9y ＝3x －9，则x ＋y 的值为．【答案】 27 【解析】 ∵2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，∴x ＝3y ＋3，∵9y ＝3x －9＝32y，∴x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，∴x ＋y ＝27.7．已知a －1a＝3(a >0)，则a 2＋a ＋a －2＋a －1的值为．【答案】 11＋13【解析】由a －1a＝3，得⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝9，即a 2＋1a2－2＝9，故a 2＋a －2＝11.又(a ＋a －1)2＝a 2＋a －2＋2＝11＋2＝13，且a >0，所以a ＋a －1＝13.于是a 2＋a ＋a －2＋a －1＝11＋13.考向二指数函数的判断【例2】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x是指数函数，则有（） A ．a ＝1或a ＝2 B ．a ＝1 C ．a ＝2 D ．a>0且a ≠1 【答案】C【解析】函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数,根据指数函数的定义得到a 2－3a ＋3=1，且a>0,解得a=1或2，因为指数函数的底数不能为1，故结果为2.故答案为：C.【举一反三】1．函数y =（a 2–3a +3）⋅a x 是指数函数，则a 的值为 A ．1或2 B ．1 C ．2 D ．a >0且a ≠1的所有实数【答案】C【解析】∵y =（a 2–3a +3）⋅a x是指数函数，∴{a 2−3a +3=1a >0且a ≠1，解得a =2．故选C ．2．函数f （x ）=（2a –3）a x 是指数函数，则f （1）= A ．8 B ．32 C ．4 D ．2【答案】D【解析】函数f （x ）=（2a-3）a x 是指数函数，∴2a-3=1，解得a=2；∴f （x ）=2x ，∴f （1）=2．故选：D ． 3．函数f (x )=(m 2−m −1)a x 是指数函数，则实数m =（） A ．2 B ．1 C ．3 D ．2或−1 【答案】D【解析】由指数函数的定义，得m 2−m −1=1，解得m =2或−1，故选D.考向三指数函数的单调性【例3】函数f (x )=51−|2x+4|的单调递增区间为（） A ．[−2,+∞) B ．[−32,+∞)C ．(−∞,−32]D ．(−∞,−2]【答案】D【解析】由题意，函数f (x )的定义域为R ，设u =g (x )=1−|2x +4|={−2x −32x +5 x >−2x ≤−2，则g (x )在(−2,+∞)上单调递减，在(−∞,−2]上单调递增，又因为y =5u 在R 上单调递增，根据复合函数的单调性，可得函数f (x )的单调递增区间为(−∞,−2].【举一反三】 1.函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（）A ．(−2,+∞)B ．(2,+∞)C ．(−∞,−2)D ．(−∞,2)【答案】D【解析】因为y =e x ，是指数函数，是增函数，y =−x 2+4x −9是开口向下的二次函数，所以x ＜2时，二次函数y =−x 2+4x −9是增函数，x ＞2时，y =−x 2+4x −9是减函数，由复合函数的单调性可知：函数f （x ）=e −x 2+4x−9的单调递增区间是（−∞，2）．故选：D ．2.函数f (x )＝4x－2x ＋1的单调增区间是________．【答案】 [0，＋∞)【解析】设t ＝2x (t >0)，则y ＝t 2－2t 的单调增区间为[1，＋∞)，令2x ≥1，得x ≥0，又y ＝2x在R 上单调递增，所以函数f (x )＝4x －2x ＋1的单调增区间是[0，＋∞)．3．若函数f (x )＝a|2x －4|(a >0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．【答案】 [2，＋∞)【解析】由f (1)＝19，得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增，所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．考向四指数函数的定义域和值域【例4】（1）函数y =√4−2x 的定义域为_______．（2）设函数f （x ）=√4−4x ，则函数f （x4）的定义域为。

高中数学讲义指数与指数函数.参考教案.教师版

指数运算和指数函数要求层次重点难点幂的运算 C①根式的概念②有理指数幂③实数指数幂④幂的运算①分数指数幂的概念和运算性质②无理指数幂的理解③实数指数幂的意义指数函数的概念B在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数在理解实数指数幂的意义的前提下理解指数函数指数函数的图象和性质C①对于底数1a>与01a<<时指数函数的不同性质②掌握指数函数的图象和运算性质①对于底数1a>与01a<<时指数函数的不同性质②掌握指数函数的图象和运算性质③掌握指数函数作为初等函数与二次函数、对数函数结合的综合应用问题知识内容高考要求模块框架指数与指数函数（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。

即若a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。

②性质：1）a a nn =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n。

（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n(ΛN *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。

②性质：1）r a a a a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a aa sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）；3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr ,0,0()( Q ）。

（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。

2．指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。

高一数学暑期讲义第5讲指数与指数函数教师版

58指数引入在初中的时候我们学习了一些特殊的函数，如一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，而且根据前几节课的学习，我们能够把这些函数的性质更完整的表述出来.那在高中我们又会学习哪些特殊的函数呢？这些函数具有什么样的性质呢？就是今天包括后边几天我们要学习的内容.今天我们先学习一个指数函数，其实这个函数我们在初中就接触过，比如22，32等，只不过当时我们没有给它规定具体的名字，那在高中阶段我们将给它取个具体的名字，就跟每个人都要有自己的名字一样.那在讲指数之前我们先来看一个有趣的故事：在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求．西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得这事挺好办，欣然同意．计数麦粒的工作开始了，第一格内放1粒，第二格内放2粒，第三格内放4粒，，还没有到第二十格，一袋麦子已经空了，一袋又一袋的麦子被扛到国王面前来，但是，麦粒数一倍接一倍飞快增长着，国王很快就看出，即便拿出全国的粮食，也兑换不了他对西萨的诺言.这到底有多少粒小麦呢，我们可以估算一下：方格中有的小麦数依次为：631248162，，，，，，，最后一格中有632粒小麦，1032102410=≈，6018210≈，也就是百亿亿，那6360282=⨯就是八百亿亿．这还不包括前面63个格子的．其中，我们归纳一下求个和，知道小麦数一共是6421-，大约是一千六百亿亿．这大概是全世界两千年所产的小麦的总和．再直观一点，给这么多小麦建一个宽四米，高四米的粮仓，这个粮仓可以绕地球赤道7500圈．如果把这些小麦堆放在一间教室（16平）里，堆到太阳上，也才堆了一半！这个故事一定会让你吃惊，开始微不足道的数字，两倍两倍的增长，会变得这么巨大！事实的确如此，因为国王碰到了“指数爆炸”.满分晋级第5讲函数4级函数的奇偶性函数5级指数与指数函数函数6级对数及其运算指数与指数函数59一种事物如果成倍成倍地增大（如222⨯⨯⨯），则它是以指数形式增大，这种增大的速度就像“大爆炸”一样，非常惊人.那么到底什么是指数函数呢？指数函数具有哪些的性质？我们先来看一下指数幂.1．整数指数在初中我们就学过正整数指数幂，如2a ，3a 等，并且我们也知道235a a a ⋅=，32a a a=，那么在这些整指数幂中a 叫做什么？23，又叫做什么呢？它的运算法则又是什么呢？下面我们就来具体回忆一下正整数指数幂.⑴ 正整数指数幂：n n a a a a =⋅⋅⋅个，是n 个a 连乘的缩写（N n +∈），n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数，这样的幂叫做正整数指数幂． ⑵ 正整数指数幂的运算法则：① m n m na a a +⋅=；②()m n mn a a =；③(,0)m m n n a a m n a a-=>≠；④()m m m ab a b =【整数指数幂引入】刚刚我们说的正整数指数幂要求指数必须是正整数，但是我们的数系不仅仅是正整数，我们现在学到的最大数系是实数，等到我们上高二的时候我们还会把实数扩大到复数，所以万一某一天我们遇到的指数幂的指数不是正整数，而是负整数、分数那我们应该怎么办呢？所以我们先来取消法则③中m n >的限制，则正整数指数幂就推广到整数幂.例如，当0a ≠时，有33303a a a a-==，33525a a a a --==，这些结果不能用正整数幂的定义来解释.但我们知道，331a a =，3521a a a =.这就启示我们，如果规定02211a a a -==，，则上述运算就合理了.于是，我们得出如下的整数指数幂：⑶ 整数指数幂：01(0)a a =≠，1(0,)n na a n a -+=≠∈N ．【教师备案】①如此规定的零指数幂和负整数指数幂，就把正整数指数幂推广到整数指数幂，并且正整数指数幂的运算法则对整数指数幂运算仍然成立.②对于整数指数幂的要求是“底数不等于0”.为什么底数不等于0，因为分母不等于0③老师可以给学生举一些小例子，例如，081=；()081-=；()()01a b a b -=≠；3311010-=；6611164121642-⎛⎫-=== ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭；()()333312208x x x x ---==≠； 2364246x x r r r x ---⎛⎫== ⎪⎝⎭；40.000110-=；22212a a b c b c --=5.1指数与指数幂的运算知识点睛60我们已经把正整数指数幂成功的引申到整数指数幂了，那由整数指数幂到分数指数幂又有什么样的变化呢？分数指数幂具有什么样的运算性质呢？我们来看一下分数指数幂：2．分数指数在讲分数指数幂之前我们先来看一下初中就学过的一个东西——根式： ⑴根式① n 次方根：如果存在实数x ，使得n x a =(,1,)a n n +∈>∈R N ，那么x 叫做a 的n 次方根． ② 求a 的n 次方根，叫做a 开n 次方，称做开方运算．ⅰ）当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数．这时，a 的nⅱ）当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，它们互为相反数．正数a 的正、负n 次方根分0)a >．③ 正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算术根．负数没有偶次方根．0的任何次方根都是00．④n 叫做根指数，a 叫做被开方数．【根式性质引入】根式具有什么样的性质呢？比如n么？下面我们来举几个例子说明一下：1.n是实数a 的n 次方根的n 次幂，其中实数a 的取值范围由n 的奇偶性来决定：①当n 为大于1的奇数时，a ∈R .例如，327=，532=-，70=；②当n 为大于1的偶数时，0a ≥.例如，427=，23=，60=；若0a <，式子n无意义，例如，2，4均无意义，也就不能说它们的值了.因此只要n有意义，其值恒等于a，即na =n a 的n 次方根，是一个恒有意义的式子，不受n 的奇偶性限制，a ∈R .但是这个式子的值受n 的奇偶性限制： ①当n 为大于1的奇数时，其值为aa =2=-，6.1；②当n 为大于1的偶数时，其值为a a.3，33-=.由此当n a=；当n 0||0a a a a a ⎧=⎨-<⎩，≥，所以，我们得到根式具有如下的性质：⑤根式具有的性质：()1n a n n +=>∈N ，且；当nn 0||0a a a a a ⎧==⎨-<，≥，．61【分数指数幂引入】下面我们再来看一下分数指数幂.例如，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，()2233233a a a ⨯==.显然，这些运算都不能用整数指数幂的定义来解释.但是如果规定13a，23a =.为避免讨论，如不特别说明，我们约定底数0a >，于是分数指数幂定义为：⑵ 分数指数幂① 正分数指数幂：)10na a =>；0,,,)m m nma a n m n+==>∈N 且为既约分数． ② 负分数指数幂：1(0,,,)m n m nma a n m na -+=>∈N 且为既约分数⑶ 整数指数幂推广到有理指数幂，有理指数幂的运算法则： ① (0)r s r s a a a a r s +=>∈Q ，，； ② (0)s rs r a a a a r s ==>∈Q ，，；③ ()(00)ab a b a b r =>>∈Q ，，【教师备案】①整数指数幂的运算性质，比如()k n kn a a =，对分数指数幂仍然适用.注意讲解时，由学生熟悉的整数指数幂的概念性质逐渐推广到有理数指数幂，让学生知道新的概念与法则与已有的概念与法则是相容的．②分数指数幂是学生新接触的一个概念，所以在讲完分数指数幂后一定要给学生举几个例子，例如，2212338824⎛⎫=== ⎪⎝⎭；55151123222--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；332322933125255527---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦；3232155588888+⨯===；111111123623623333339+++⨯⨯⨯===；33322113233444a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 22111111222222a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；2111122222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭.【无理指数幂引入】通过上面分数指数幂的学习，我们将指数的取值范围由整数推广到了有理数，那么当指数是无理数时，我们又应当如何理解它？比如．在这里还不能给出无理指数幂严格的定义，只有一个感性的认识和相关结论．通过下面的分析让学生体会“用有理数逼近无理数”的思想，感受“逼近”的过程．观察（课件中“无理指数幂引入”中有下图）：62由上表不难发现：的近似值从大于的方向逼近；时，的近似值从小于的方向逼近；所以我们得到如下的无理指数幂：3．无理数指数幂⑴ 无理指数幂(0,a a αα>是无理数）是一个确定的实数． ⑵ 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．⑶ 一般地，当0a >，α为任意实数值时，实数指数幂a α都有意义．对实数指数幂，上述有理指数幂的运算法则仍然成立【教师备案】建议老师把指数幂按照由正整数指数幂到无理指数幂按顺序讲完，讲完以后就可以让学生做例1和例2，例1主要是进行简单的根式与幂运算.学生会很快做完，但是学生很容易出现计算上的错误，所以老师一定要强调让学生细心算.例2是对指数幂进行化简与求值，难度高于例1，其主要目的还是要锻炼学生熟练掌握指数幂运算法则.考点1：利用分数指数幂进行根式与幂运算【例1】 ⑴细心算一算①_______；②=________； ③=_______；④=_________（其中a b <）；⑤=__________；⑥ 238=_______；⑦ 1225-=________；⑧ 341681-⎛⎫= ⎪⎝⎭______________．⑵计算下列各式①2a ②0)a > ③111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭>-. 【解析】 ⑴ ①5-； ②3； ③5； ④b a -； ⑤ 2π6-．⑥4；⑦15； ⑧278.⑵ ① 83a ； ②1；③ 132ab ．考点2：化简与求值问题【例2】 ⑴若1002x =，105y =，则2x y +的值为（） A ．3 B.2 C.1 D.0 ⑵已知11223a a-+=，求1a a -+，22a a -+，33a a -+的值.经典精讲63⑶化简：()111122221112333300a a b a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭>>⎛⎫++ ⎪⎝⎭，【解析】 ⑴C⑵17a a -+=；2247a a -+=；33322a a -+=⑶1133a a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭【备选()21x y +-，则1yx 的值为．【解析】827a 的取值范围是（）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a > D ．12a ≤【解析】D，所以老师在讲不一定等于a 一样.指数幂我们已经非常清楚了，那到底什么是指数函数呢？所以下边我们来看一下指数函数以及它具有的性质：我们先来看一下指数函数的定义：考点3：指数函数的定义我们规定如下的函数为基本初等函数：⑴ 常值函数（也称常数函数）y c =（其中c 为常数） ⑵ 指数函数 x y a =(0,1)a a >≠且 ⑶ 对数函数 log a y x =(0,1)a a >≠且⑷ 幂函数 y x α=（α∈R ）⑸ 三角函数：（其中包括六种三角函数：正弦，余弦，正切，余切，正割，余割）⑹ 反三角函数：（其中包括四种反三角函数：反正弦，反余弦，反正切，反余切；关于反正割，反余割一般不用．注意：反三角函数目前高考中不考．）所谓初等函数就是由基本初等函数经过有限次的四则运算和复合而成的函数．知识点睛5.2指数函数及其性质64既然我们说指数函数就是基本初等函数，所以我们就来看一下指数函数：指数函数：一般地，函数x y a =(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.在指数函数中我们要注意以下3点：【注意】1.在这个函数中，自变量x 出现在指数的位置上. 2.底数a 是一个大于0且不等于1的常量.3.指数函数的形式必须是纯粹的.【教师备案】1.指数函数中为什么规定底数0a >且1a ≠？①若0a <，则对于x 的某些数值，可使x a 无意义.如()2x-，当1124x =，，等等，在实数范围内函数无意义②若0a =，则当0x >时，0x a =；当0x ≤时，x a 无意义③若1a =，则对于任何x ∈R ，x a 是一个常量1，没有研究的必要性为了避免上述各种情况，所以规定0a >且1a ≠，这样对于任何x ∈R ，x a 都有意义 2.为什么函数的形式必须是纯粹的，不能为x q y ba c +=+（其中q b c ，，是常数，0a >且 1a ≠）？紧扣指数函数的定义来分析.指数函数的定义：一般地，函数x y a =(0a >且1a ≠，)x ∈R 叫做指数函数.则指数函数的解析式x y a =中x a 的系数是1且指数位置仅有自变量x ，而函数x q y ba c +=+的解析式不符合指数函数解析式的这些特征，故不是指数函数.例如，121232xx x ++⋅，，都不是指数函数，但2x -是指数函数，因为122xx-⎛⎫= ⎪⎝⎭【教师备案】老师在讲完指数函数并给学生强调指数函数应该注意的问题后就可以让学生做例3了.例3主要就是判断是否为指数函数和如果是指数函数求参数的值.【例3】 ⑴指出下列函数中哪些是指数函数①6x y =；②4y x =；③4x y =-；④()4xy =-；⑤28x y =⋅；⑥24x y =； ⑦()21xy a =-（12a >且1a ≠，a 为常数） ⑵①函数3x y m =⋅（m 是常数）是指数函数，则m = ．②函数12x y a +=（a 是常数）是指数函数，则a = ．③函数()243xy a a =-（a 是常数）是指数函数，则a 的取值范围为．【解析】 ⑴①⑦⑵①1m =；②12a =；③()113011444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∪，∪，∪，现在我们已经知道了什么是指数函数，那指数函数的图象又怎么画呢？所以接下来我们来看一下指数函数的图象：考点4：指数函数的图象与性质经典精讲【教师备案】上图是一个总的图，老师可以按照下边的方法一个一个拆分讲解，并且为了建立更直观的感觉，可以让学生自己动手画函数的图象，如：①先画()2xf x =，从这个图象上让学生体会指数函数的增长速度特别快.老师可以举个例子，如在讲义开始的那个象棋问题，刚开始第1个格子放1粒麦子，到第64格就放了632粒麦子，总共所有的格一共放了641921 1.610-≈⨯粒麦子，可见增长的速度相当快；如果学生认为642这个数不大，老师可以再举个汉诺塔的例子，一位法国数学家曾编写过一个印度的古老传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针.印度教的主神梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔.不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面.僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽.不管这个传说的可信度有多大，如果考虑一下把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序.这需要多少次移动呢?这里需要递推的方法.假设有n 片，移动次数是()f n .显然()11f =，()23f =，()37f =，.此后不难证明()21n f n =-.64n =时，()64642118446744073709551615f =-= ，假如每秒钟移动一次，共需多长时间呢？一个平年365天有31536000秒，闰年366天有31622400秒，平均每年31556952秒，计算一下，1844674407370955161531556952584554049253.855=年.这表明移完这些金片需要5845亿年以上，而地球存在至今不过45亿年，太阳系的预期寿命据说也就是数百亿年.真的过了5845亿年，不说太阳系和银河系，至少地球上的一切生命，连同梵塔、庙宇等，都早已经灰飞烟灭.所以说642是个很庞大的数，所以我们会发现这条曲线后面的增长会越来越快.并且从图象上看出函数的定义域为R ，值域为()0+∞，，且过定点()01，.②让学生再画一个()3x g x = 知识点睛x66比较这两个图象.可以发现，当1a >时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远．③由②的结论老师可以提问，若01a <<，则图象应该则么样？那我们可以先取个函数()12xh x ⎛⎫= ⎪⎝⎭试试观察发现，2x 与12x⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以13x⎛⎫⎪⎝⎭与3x 的图象也关于y 轴对称，如图，所以当01a <<时，a 越大，第一象限图象离x 轴越远.老师按照上面的方式讲完指数函数的图象之后，就可以让学生做下面的练习：1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数3x ，πx ，25x⎛⎫⎪⎝⎭，0.7x 的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？【解析】由图象可以直接看出1:3xC ，2:πxC ，3:0.7xC ，42:5xC ⎛⎫⎪⎝⎭或者也可以作直线1x =，则与四条曲线的交点就是指数函数的底数.【教师备案】做完上边的练习之后，就可以进一步得出：①所有的指数函数分为两类：1a >和01a <<②指数函数的单调性：1a >时，是增函数；01a <<时，是减函数，而且a 越大，第一象限的图象离x 轴越远③指数函数的奇偶性：非奇非偶【教师备案】老师在讲完指数函数的图象并让学生做了上边的练习之后，就可以让学会做下边的例4，例4主要考察指数函数的图象.例4①与前边的练习一样，例4②主要考察讨论底数范围，例4③虽然乍看一眼有点难，但是读完题之后就比较简单了，尤其画完图象之后就更简单了.经典精讲h x (1x67【例4】 ⑴曲线1C ，2C ，3C ，4C 分别是指数函数1x y a =，2x y b =，3x y c =，4x y d =的图象，判断a ，b ，c ，d ，1 的大小关系是． ⑵函数()x f x a =与()g x ax a =-的图象大致是（）ABCD⑶用{}min a b c ，，表示a ，b ，c 三个数中的最小值，设{}()min 2210xf x x x =+-，，(0)x ≥，则()f x 的最大值为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】 ⑴1b a d c <<<<．⑵ C ⑶ C我们在上边的讲解中都一直在强调指数函数的图象，所以我们要在直观上认清图象，比如：根据图象要会求指数函数在不同区间上的值域问题，即例5，根据图象要能够判断两个幂的大小，即例6.下面我们先来看一下区间上的值域问题，即例5：考点5：区间上的值域问题【例5】 ⑴已知函数()2x f x =，①当()0x ∈+∞，时，函数值域为____________；②当(]2x ∈-∞，时，函数值域为____________；③当(]13x ∈-，时，函数值域为____________.⑵已知函数1()3xg x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，①当(]1x ∈-∞，时，函数值域为_____________； ②当()2x ∈+∞，时，函数值域为______________；③当[)21x ∈-，时，函数值域为______________；【解析】 ⑴ ①()1+∞，；②(]04，；③182⎛⎤ ⎥⎝⎦，. ⑵ ①13⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；②109⎛⎫ ⎪⎝⎭，；③193⎛⎤⎥⎝⎦，.下面我们再来看一下幂的比较大小：考点6：幂的比较大小如果给咱们两个幂，比如13与23，这时你肯定知道谁大谁小，但是你并不是根据指数函数得出的，那对于一个一般的幂我们应该如何比较大小呢？老师就可以把下边的铺垫给学生讲解一下，并由铺垫得出对于底相同指不同应该如何比较大小，对于底不同指相同应该如何比较大小，对于底、指都不相同又应该如何比较大小.讲完铺垫以后，就可以让学生自己做一下例6了.【铺垫】比较下列各题中两个值的大小①0.53-，0.63-；②0.53-，0.5π-；③π0.5，0.5π【解析】 ①0.50.633-->；②0.50.53π--> ③π0.50.5π<【方法总结】幂的大小比较的方法比较大小常用方法有：⑴比差（商）法：⑵函数单调性法；⑶中间值法：要比较A 与B 的大小，先找一个中间值C ，再比较A 与C 、B 与C 的大小，由不等式的传递性得到A 与B 之间的大小.在比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：⑴ 对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断． ⑵ 对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可利用指数函数图象的变化规律来判断或第8讲中幂函数的单调性来判断．⑶ 对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过中间值来比较．⑷ 对于三个（或三个以上）数的大小比较，则应根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可．【例6】 ⑴比较下列各题中两个值的大小：① 2.51.7，31.7；② 0.10.8-，0.20.8-； ③ 0.31.7， 3.10.9，④0.31.7-， 3.10.9-． ⑵设232555322555a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解析】 ⑴ ① 2.51.7<31.7；②0.10.8-<0.20.8-；③0.31.7> 3.10.9，④0.31.7-< 3.10.9-．⑵ A在前边我们已经讲了复合函数，那与指数相关的复合函数是什么样子的呢?这样的复合函数的性质又是什么样子的？所以本讲只讲外层是指数函数的复合函数，对于内层是指数函数的复合函数我们将在同步的时候再具体讲解.考点7：与指数函数相关的复合函数的定义域、值域及单调性问题老师可以用下边的铺垫给学生讲一下外层是指数函数的复合函数的性质，讲完性质后就可以让学生做例7了.经典精讲5.3 指数函数性质的应用【铺垫】求下列函数的定义域、值域和单调区间．⑴23x y +=；⑵12y ⎛= ⎪⎝⎭；⑶2453x x y -+=；⑷2122x x y +-=【解析】 ⑴ 定义域为R ；值域为()0+∞，；单调增区间为R⑵ 定义域为[)1+∞，；值域为(]01，；单调减区间为[)1+∞， ⑶ 定义域为R ；值域为[)3+∞，；单调增区间为[)2+∞，，单调减区间为(]2-∞， ⑷定义域为R ；值域为(]04，；单调增区间为(]1-∞，，单调减区间为[)1+∞，【例7】求下列函数的定义域、值域和单调区间．⑴ 112x y -= ； ⑵ 3xy -=；⑶12y ⎛= ⎪⎝⎭；⑷12y ⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】 ⑴ 定义域为{},1x x x ∈≠R 且；值域为{}0,1y y y >≠且；单调减区间为(1)-∞，和(1+)∞，⑵ 定义域为R ；值域为(]0,1；单调增区间为(]0-∞，，单调减区间为[)0+∞， ⑶ 定义域为[]31-，；值域为114⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；单调增区间为[]11-，，单调减区间为[]31--， ⑷ 定义域为(][)24-∞+∞，∪，；值域为[)1+∞，；单调增区间为[)4+∞，，单调减区间为(]2-∞，【演练1】等于（）A .23x -B .32x -C .()23x ±-D .23232233x x x x ⎧-⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，≥，【解析】 D【演练2】下列函数：①23x y =；②6x y =；③23x y +=；④62x y =⋅；⑤81x y =+；⑥6x y =-.其中一定为指数函数的有（）A ．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个【解析】 B【演练3】设0.914y =，0.4828y =， 1.5312y -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A .312y y y >>B .213y y y >>C .123y y y >>D .132y y y >>【解析】 D实战演练【演练4】如图若曲线1C ，2C ，3C ，4C 是指数函数5x，4.7x，45x⎛⎫⎪⎝⎭，0.9x 的图象，则1C ，2C ，3C ，4C 分别代表哪个指数函数？【解析】1:4.7xC ，2:5xC ，3:0.9xC ， 44:5xC ⎛⎫⎪⎝⎭【演练5】函数228113x x y --+⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调增区间是________．【解析】 [)2-+∞，．⑴0(0)a a ≠=___ ；⑵(0,)n a a n -+≠∈=N ____；⑶()1n n n +>∈=N ，且_____；=______________；⑸()10na a >=_______；⑹(0,,)m naa n m +>∈=N _____________；⑺(0,,)=m na a n m -+>∈N ___________；⑻(0Q)r s a a a r s >∈=，，______________；⑼()(0Q)rs a a r s >∈=，，______________；⑽()(00Q)r ab a b r >>∈=，，______________． ⑾答案： ⑴1；⑵1n a ；⑶a ；⑷当n a ；当n 0||0a a a a a ⎧==⎨-<⎩，≥，．概念要点回顾；⑻r sa+；⑼rs a；⑽r ra b ⑾。