万有引力理论的成就宇宙航行习题课1

六 万有引力理论的成就 宇宙航行 习题课

【要点导学】

1．万有引力和重力

重力是万有引力产生的,由于地球的自转,

因而地球表面的物体随地球自转时需要向心力.

重力实际上是万有引力的一个分力.另一个分力

就是物体随地球自转时需要的向心力.如图所示,

由于纬度的变化,物体做圆周运动的向心力向F 不

断变化,因而表面物体的重力随纬度的变化而变

化,即重力加速度只随纬度变化而变化,从赤道

到两极逐渐增大.通常的计算中因重力和万有引

力相差不大,而认为两者相等,即2R

Mm G mg =。2

R GM g =常用来计算星球表面重力加速度的大小.在地球的同一纬度处,g 随物体离地面高度的增大而减小即

2)(h R GM g h +=。 在赤道处,物体的万有引力F 分解的两个分力向F 和mg 又刚好在一条直线上,则有mg F F +=向

所以22自向ωmR R

Mm G

F F mg -=-= 因地球自转角速度很小，22自ωmR R Mm

G >>,所以2R

Mm G mg ≈ 假设地球自转加快,即自ω变大,由22自ωmR R

Mm G mg -=知物体的重力将变小,当22自ωmR R Mm G =时，0=mg ,此时地球上物体无重力.但是它要求地球自转的角速3

R GM =自ω，比现在地球自转角速度要大得多，同学们可以自己计算其数值.

2.讨论天体包括人造卫星运动规律的基本思路

(1)万有引力全部提供人造地球卫星绕地球做圆周运动的向心力,因此所有的人造地球卫星的轨道圆心都必定在地心.

(2)人造卫星的轨道半径与它的高度不同.

(3)离地面不同高度,重力加速度不同,设离地球表面高为h 处,重力加

mg

速度为h g ,地面处重力加速度为g ,地球半径为R ,则:

mg R

GMm =2，h mg h R GMm =+2)( 故g h

R R g h 2)(+= 3.卫星问题中几点疑难问题的解析

(1)卫星绕地球运动的向心加速度和物体随地球自转的向心加速度. 卫星绕地球运动的向心力完全由地球对卫星的引力提供,而放在地面上的物体随地球自转所需的向心力是由万有引力的一个分力提供的.

卫星绕地球运动的向心加速度21r

GM a =,其中M 为地球的质量,r 为卫星与地心间的距离,物体随地球自转的向心加速度22224T

R R a πω==,其中T 为地球自转周期,R 为地球半径。2a 要比近地卫星绕地球运动的向心加速度21R

GM a =小得多。 (2)环绕速度与发射速度

近地人造卫星的环绕速度9.7===gR R GM v km/s ，通常称为第一宇宙速度,也是人造卫星的最小发射速度.

不同高度处的人造卫星在圆轨道上的运行速度r

GM v =,其大小随半径的增大而减小.但是,由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功,所以将卫星发射到距地球越远的轨道,在地面上所需的发射速度就越大.

(3)卫星的超重和失重

卫星进入轨道前加速过程中,卫星上的物体超重.

卫星进人轨道后正常运转时,系统具有向下的加速度且等于轨道处的重力加速度r g ,卫星上的物体完全失重.

【范例精选】

【例1】（2000年北京）可以发射一颗这样的人造地球卫星,使其圆轨道

( )

A.与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心圆

B.与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

C.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,且卫星相对地球表面是静止的

D.与地球表面上的赤道线是共面同心圆,但卫星相对地球表面是运动的 解析:万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地圆周运动的向心力.A 选项的情景中,万有引力在某一纬度面内的一个分力提供向心力,万有引力的另一分力会使卫星轨道离开该纬度平面.B 选项的情景,万有引力全部提供了卫星圆周运动的向心力,使其轨道平面相对地心、两极固定下来,但由于地球不停地自转,轨道平面不会固定于某一经线决定的平面,故选项A 、B 错.赤道轨道上卫星受的万有引力全部提供向心力,除通信卫星采用“地球静止轨道”外,赤道轨道上的其他卫星都相对地球表面是运动的,故选项C 、D 正确.

【例2】用m 表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量,h 表示它离地面的高度,R 表示地球的半径,g 表示地球表面处重力加速度,ω表示地球自转的角速度,则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小 ( )

A.等干O

B.等于22)

(h R g mR + C.等于342ωg R m ∙ D.以上结果都不对 解析:通讯卫星所受万有引力的大小2)

(h R GMm F += ① 地球表面物体的重力认为等于万有引力, 即2R Mm G mg = ， 故2R

GM g = ② 由①②式可得: 22)

(h R g mR F += 显然B 选项是正确的.

由于通讯卫星的角速度等于地球自转的角速度ω, 由22)()

(ωh R m h R GMm +=+ 即 32ωGM h R =+ ③

联立①②③得 342ωg R m F ∙= .故选BC

拓展: 同步卫星的轨道的高度和运行周期分别为多少?

【例3】在圆轨道上运动的质量为m 的人造地球卫星,它到地面的距离等于地球半径R ,地面上的重力加速度为g ，则 ( )

A.卫星运动的速度为gR 2

B.卫星运动的周期为g R

24π C.卫星运动的加速度为

2g D.卫星的动能为4

mgR 解析:设地球质量为M ,则有r v m r GM m 2

2

= 而2gR GM =,R r 2=

故2gR v = ，知A 不对;

卫星运动的周期g

R v r T 242ππ==，B 正确 卫星运动的加速度g r v a 4

12==，C 不对; 卫星的动能mgR mv E k 4

1212==,D 正确 所以B 、D 正确.

拓展:卫星的线速度与卫星质量有关吗?它由什么决定?

【例4】某人在某星球上以0v 的初速度竖直上抛一物体,经t 时间落回原处,若星球半径为R ,则在该星球上发射卫星的“第一宇宙速度”是多少? 解析:由竖直上抛运动可求出该星球的表面处重力加速度和重力,重力作为最低卫星的向心力,可求最小的发射速度.

设星球表面处的重力加速度为g ,则由竖直上抛运动

2

00t g v -= ① 人造卫星的向心力由重力提供R

v m mg 2

= ②