黄亚钧《宏观经济学》第4版考研真题精选(计算答题)【圣才出品】

黄亚钧《宏观经济学》第4版考研真题精选
三、计算题
1．考虑包含技术进步的新古典经济增长模型。

经济的总量生产函数为：
()()()()1Y t K t A t L t αα-=⎡⎤⎣⎦
资本和知识积累方程为：
()()
()
d d K t K t sY t t == ()()
()d d A t A t Y t t ϕ
== 其中：s 为储蓄率，φ∈（0，1），人口增长率为n。

回答下列问题。

（1）请给出知识积累方程的经济学解释。

（2）将资本和知识积累的增长率()()()K K t g t K t = 和()()()
A A t g t A t = 表示为A （t），K（t）和L（t）的函数。

（3）经济存在资本和知识积累增长率为常数的稳态吗？如果存在，请计算出资本和知识积累的稳态增长率。

（4）储蓄率如何影响稳态人均产出增长率？[中国人民大学2019研]
解：（1）知识积累方程为：
()()()d d A t A t Y t t ϕ==
方程中，•
A（t）是技术状态（知识水平）进步的速率，A（t）是技术状态（知识水平），
Y（t）是总产出，指数φ∈（0，1）。

知识积累方程表明技术状态（知识水平）的进步速率是总产出的增函数，当φ固定不变时，总产出越大，技术状态（知识水平）的进步速率越大。

这是因为随着时间的推移，一国的产出越高，对科技、教育、医疗等方面的资本和劳动力资源投入越多，技术进步速率也就越大。

（2）将资本积累方程和总量生产函数代入资本积累的增长率，可得：
()()()()()()()()()
()()()11K K t A t L K
t sY t g t K t K t s t K t A t L t s t K ααα--⎡⎤⎣==
=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
⎦ 将知识积累方程和总量生产函数代入知识积累的增长率，可得：()()()()()()()(){}()
()()()()()()1A K t A t L t K t A t L A
t Y t g t A t A t A t A t t t A L t αααϕϕϕ
ϕϕ-⎡⎤⎣⎦
==
=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
（3）设按有效劳动平均的产出为
()()()
y t A t L t =按有效劳动平均的资本存量为
()()()()
K t k t A t L t =
则经济的总量生产函数可写成：()()()()()()()()()()()()()()()()()1K t Y t K t A t L t A t L t A t L t Y t K t A t L t A t L t y t k t α
αααα
-⎡⎤==⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎡⎤⇒=⎢⎥⎣⎦
⇒=稳态时，按有效劳动平均的资本存量k（t）为常数，其增长率为零。

资本积累的增长率为：
()()()()()11K K t k t A t L g t s s t αα--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦
故经济存在资本积累增长率为常数的稳态；此时资本积累的稳态增长率为sk（t）α－1。

知识积累的增长率为：
()()()()()()()()()()()A K t A t L t A t L t A g t A t k t A t L t t αϕϕϕϕ
ϕαϕ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
=故经济不存在知识积累增长率为常数的稳态。

（4）稳态时，按有效劳动平均的产出()()
()()Y t y t A t L t =为常数，其增长率为零。

则稳态人均产出()()()Y t y t L t *=的增长率等于知识积累的增长率：
()()()()()A A t g t L k A t t t ϕϕ
αϕ=当其他条件不变时，储蓄率提高使稳态人均资本存量提高，初始提高速度很快，然后逐渐放缓，直至初始提高速度降为零，经济实现人均资本存量更高的新的稳态，进而使稳态人均产出的增长率（即知识积累的增长率）提高，初始提高速度很快，然后逐渐放缓，直至经济实现人均产出的增长率更高的新的稳态。

需要注意的是，因为经济不存在知识积累增长率为常数的稳态，所以经济也不存在人均产出增长率为常数的稳态。

2．索洛模型中，假设某国的生产函数Y＝0.6K 0.5L 0.5，劳动增长率（n）＝0.09，储蓄率（s）＝0.4，折旧率（δ）＝0.11，试求：
（1）长期稳态下的人均资本和人均产出？
（2）长期稳态下的人均产出增长率和总产出增长率？
（3）目前的储蓄率符合黄金规则水平吗？若不符合，偏高或偏低？
（4）储蓄率为何值，才能达到黄金规则水平？[中央财经大学2018研]
解：（1）由题设可知，人均生产函数为：y＝0.6k0.5，其中k为人均资本存量。

该国的人均投资：i＝sy＝0.4×0.6k0.5＝0.24k0.5。

该国的资本增量为：Δk＝i－（n＋δ）k＝0.24k0.5－0.2k。

长期稳态下，资本存量保持不变即资本增量为零：Δk＝0.24k0.5－0.2k＝0。

解得：k*＝1.44，y*＝0.72，即长期稳态下人均资本为1.44，人均产出为0.72。

（2）长期稳态下的人均资本增量Δk＝0，所以人均产出增长率为0。

长期稳态下的总产出增长率＝劳动增长率＝0.09。

（3）人均消费函数为：c＝y－i＝y－sy。

因为稳态下有：Δk＝sy－（n＋δ）k＝0，即：sy＝（n＋δ）k。

所以稳态下的人均消费函数为：c＝y－（n＋δ）k＝0.6k0.5－0.2k。

黄金规则要求稳态下的人均消费最大化，即：dc/dk＝0.3k－0.5－0.2＝0。

解得：k gold*＝2.25，所以黄金储蓄率为s gold*＝0.5＞s（s＝0.4），即目前的储蓄率低于黄金规则水平。

（4）由（3）可知，当储蓄率为0.5时才能达到黄金规则水平。

3．假设某国的社会总生产函数为：Y＝Kθ（αL×E）1－θ，其中K代表着资本存量，L 是总人口，E是劳动生产率，α是劳动参与率，其中0＜α≤1，1/2＜θ＜1。

需要额外注意的是在该国，只有αL人口是劳动力。

该国的储蓄率为s，资本折旧率为δ，人口的增长速度为n，劳动生产率的增长率为g，其中0＜s＜1，0＜δ＜1。

定义每个效率工人的资本为k＝K/（αL×E）。

（1）计算稳态时的每个效率工人的资本表达式。

（2）为了获得黄金规则下的每个效率工人的资本，对应的储蓄率应该为多少？
（3）假设该国当前经济处于稳态，由于该国实施延迟退休的政策，使得劳动参与率提高。

请分析该政策对该国稳态时每个效率工人的资本以及总产出的影响，并用图形来表示每个效率工人的资本和总产出增长速度随着时间变化的趋势。

[中山大学2019研]解：（1）由题可知：Y＝Kθ（αL×E）1－θ，y＝Y/L，k＝K/L。

稳态时，Δk＝sf（k*）－（n＋g＋δ）k*，而稳态时Δk＝0，所以sy*＝（n＋g＋δ）k*。

即：sY*＝（n＋g＋δ）K*。

s（K*）θ（αL×E）1－θ＝（n＋g＋δ）K*
s[（αL×E）/K*]1－θ＝（n＋g＋δ）
而每个效率工人的资本为：k*＝K*/（αL×E）。

将其代入上式可得：
k*＝[s/（n＋g＋δ）]1/（1－θ），其中0＜s＜1，0＜δ＜1，0＜1－θ＜1/2。

（2）资本的黄金律条件为：MPK＝δ。

Y′＝[Kθ（αL×E）1－θ]′，为了达到黄金律稳定状态，需要储蓄率sg。

（3）劳动参与率提高后，αL×E提高，参加劳动的劳动人口增加。

由于0＜1－θ＜1/2，（αL×E）＞0，所以k也增加，即稳态时每个效率工人的资本都增加了。