数学建模-铺路问题的最优化模型
数学建模实用教程课件第4章-最优化模型
2019/12/24
数学建模实用教程－高教出版社
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一、线性规划模型
4. 线性规划的求解方法
（2）用Lingo软件求解
LINGO(Linear INteractive and General Optimizer )的基
于生产 n 种产品 Bj ( j 1, 2, , n) ，
每种资源的拥有量和每单位
产品 资源
B1
产品所消耗的资源量，以及
A1
a11
单位产品的利润如下表，试
A2
a 21
问如何安排生产计划使得该
企业获利最大?
Am
a m1
利润
c1
B2 Bn 总 量
a12
a1 n
b1
a22
a2 n
b2
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数学建模实用教程－高教出版社
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一、线性规划模型
4. 线性规划的求解方法
（1）用MATLAB软件求解 应用MATLAB优化工具箱中的函数linprog来求
解线性规划问题，要求线性规划模型化为统一的 基本模型：
min C T x
A1 x b1 s.t. A2 x b2
x1 x x2
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数学建模实用教程－高教出版社
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一、线性规划模型
数学建模-最优化模型
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数学建模论文范文
数学建模论文范文
问题的提出
该偏远贫困村位于中国西南地区，年平均降水量不足20
毫米，成为了一个典型的缺水地区。过去，村民们的日常生活和农业生产用水主要依靠自建的小型蓄水池和四口水井。然而，由于环境破坏，小蓄水池的功能已经完全丧失，而四口水井的年产水量也在逐渐减少，无法满足需求。自2009年以来，村
民们不得不每天翻山越岭，走十几里路去背水来维持日常生活和农业生产。因此，政府决定着手解决该村的用水难题。
解决方案
政府从两个方面入手解决问题。一方面，地质专家经过勘察，在该村附近发现了8个可供打井的位置，它们的地质构造不同，每个位置打井的费用和预计的年产水量也不同。另一方面，政府考虑从长远角度出发，通过铺设管道的方式，从20
公里外的河流引入水源。铺设管道需要三年时间，每年投资费用为万元的整数倍。铺设管道的费用与道路长度成正比，用以下公式表示：0.51P=.66QL（万元），其中Q表示每年的可供
水量（万吨/年），L表示管道长度（公里）。政府希望在完
成铺设管道之后，每年能够提供至少100万吨水。
预算计划
政府从2010年开始，连续三年，每年最多可提供60万元用于该村打井和铺设管道。为了保证该村从2010至2014年这五年间每年至少获得150、160、170、180、190万吨水，政府需要制定一个三年的打井和铺设管道计划，并尽可能地降低总开支。在制定计划时，不考虑小蓄水池的作用和利息的因素。
表格
表1展示了现有各水井在近几年的产水量（万吨）。表2
列出了8个可供打井的位置、打井费用（万元）和当年产水量（万吨）。
2023年数学建模比赛d题
数学建模比赛D题通常是一个比较复杂的问题，需要学生运用数学知识和建模技巧来解决。以下是一个可能的D题示例：
题目：城市交通拥堵问题
背景：随着城市人口的增长和经济的发展，城市交通拥堵问题日益严重。为了缓解交通拥堵，提高城市交通效率，需要对城市交通系统进行优化。
问题：
1.建立城市交通系统的数学模型，包括车辆流量、道路长度、交通信号灯等参数。
2.根据历史数据，预测未来一段时间内的交通流量和拥堵情况。
3.设计一种优化算法，通过调整交通信号灯的配时方案，以最小化交通拥堵时间和车
辆平均等待时间。
4.对优化算法进行仿真实验，验证其可行性和有效性。
要求：
1.使用数学模型对城市交通系统进行描述，包括车辆流量、道路长度、交通信号灯等
参数。
2.利用历史数据，建立预测模型，预测未来一段时间内的交通流量和拥堵情况。
3.设计一种优化算法，通过调整交通信号灯的配时方案，以最小化交通拥堵时间和车
辆平均等待时间。
4.对优化算法进行仿真实验，验证其可行性和有效性。
5.给出具体的实施方案和建议。
这个问题需要学生运用数学知识、建模技巧和计算机编程能力来解决。他们需要建立数学模型、预测模型和优化算法，并进行仿真实验来验证其可行性和有效性。同时，他们还需要给出具体的实施方案和建议，以帮助解决城市交通拥堵问题。
数学建模最优化模型
(
,
)bm
x1,x2,xn 0
通常称 x1,x2,为决,x策n变量， a11,a12, ,am 为n消耗系数,
c为1,c价2,值系,c数n ， b1,b2, ,为b资m 源限制系数。
min f (x) x
2、约束条件下极值问题的数学模型
min f (x) x
s.t. gi(x)0, i1,2,...,m hi(x)0, i1,2,...,n
其中，极大值问题可以转化为极小值问题来
进行求解。如求： max f ( x) x 可以转化为：min f (x) x
1、无约束极值问题的求解
一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。
建立最优化问题数学模型的三要素：
（1）决策变量和参数。
决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表 示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。
（2）约束或限制条件。
由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括 把决策变量限制在它们可行值之内的约束条件，而这 通常是用约束的数学函数形式来表示的。
电力市场的堵塞管理(2004B)
……
几个概念
• 最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种 以达到最优目标的学科。
• 最优方案是达到最优目标的方案。 • 最优化方法是搜寻最优方案的方法。 • 最优化理论就是最优化方法的理论。
数学建模最优化模型
2
min
m i 1
yi
a1
1
a3
a2 ln 1 exp
xi
x4 a5
有约束最优化
最优化方法分类
（一）线性最优化：目标函数和约束条件都是线 性的则称为线性最优化。
非线性最优化：目标函数和约束条件如果含 有非线性的，则称为非线性最优化。
（二）静态最优化：如果可能的方案与时间无关， 则是静态最优化问题。
f1='-2*exp(-x).*sin (x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
根据目标函数，约束条件的特点将最优 化方法包含的主要内容大致如下划分：
线性规划 整数规划 非线性规划 动态规划 多目标规划
对策论
最优化问题的一般算法
最优化问题的一般数学模型
min f x
s.t
.
hi x 0
i 1, 2,L , m
(P)
g j ( x) 0 j 1, 2,L p
整体（全局）最优解：若 x* D，对于一切 x D ，恒有
数学建模 最优化方法建模及实现
优化模型的分类
实际问题中 Min(或Max) z f ( x), x ( x1 , x n )T 的优化模型 s.t. g i ( x) 0, i 1,2, m x~决策变量 线性规划(LP) 二次规划(QP) 非线性规划(NLP) f(x)~目标函数 数学规划 0-1整数规划 一般整数规划 纯整数规划(PIP) 混合整数规划(MIP) gi(x)0~约束条件
8 4 x1 8 3 x2 32 x1 24 x2
因检验员错检而造成的损失为：
(8 25 2% x1 8 15 5% x2 ) 2 8x1 12 x2
故目标函数为：
min z (32 x1 24 x2 ) (8x1 12 x2 ) 40 x1 36 x2
To Matlab (xxgh2)
例3的解答
改写为： S.t.
问题
min z 13 9 10 11 12 8X
0 0 0.4 1.1 1 0 800 X 0 0 0 0 . 5 1 . 2 1 . 3 900
x1 x2 x 3 ，X 0 x4 x 5 x 6
T
（1） （2）
由（1）、（2）组成的模型属于约束优化，若只有（1）式 就是无约束优化，f(x)称为目标函数，gi(x)称为约束条件 若目标函数f(x)和约束条件g(x)都是线性函数，则称该模型 是线性规划.
数学建模中的最优化算法探讨
数学建模中的最优化算法探讨在数学建模中，最优化算法是一种重要的手段，它帮助我们在给定
的限制条件下，寻找出一个最好的解决方案。最优化算法的应用非常
广泛，在各个领域都起着至关重要的作用，如经济学、物理学、工程
学等。接下来，我们将讨论几种常见的最优化算法以及它们在数学建
模中的应用。
1. 梯度下降法
梯度下降法是一种基于一阶导数信息的最优化算法。它的基本思想
是通过不断迭代的方式，逐渐接近目标函数的最小值。在数学建模中，梯度下降法常常用于解决如拟合问题、参数估计等。例如，在机器学
习中，梯度下降法可以用来训练神经网络模型，通过不断调整模型参
数来最小化预测误差。
2. 动态规划法
动态规划法是一种基于最优子结构性质的最优化算法。它的基本思
想是将复杂的问题分解为一系列子问题，并逐步求解这些子问题的最
优解。在数学建模中，动态规划法常常用于解决如路径规划、资源分
配等问题。例如，在物流规划中，动态规划法可以用来确定最短路径
或最优路径，以提高运输效率。
3. 遗传算法
遗传算法是一种模拟自然选择和遗传机制的最优化算法。它的基本
思想是通过模拟优胜劣汰的过程，逐步找到最优解。在数学建模中，
遗传算法常常用于解决如优化调度、参数优化等问题。例如，在车辆
路径规划中，遗传算法可以用来确定最优的派送路线，以降低派送成本。
4. 线性规划法
线性规划法是一种求解线性优化问题的最优化算法。它的基本思想
是将问题转化为线性约束条件下的目标函数最大化（或最小化）问题，然后通过线性规划算法求解。在数学建模中，线性规划法常常用于解
决如资源分配、生产优化等问题。例如，在生产调度中，线性规划法
数学建模最优化模型
……
几个概念
• 最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种 以达到最优目标的学科。
• 最优方案是达到最优目标的方案。 • 最优化方法是搜寻最优方案的方法。 • 最优化理论就是最优化方法的理论。
经典极值问题
包括： ①无约束极值问题 ②约束条件下的极值问题
1、无约束极值问题的数学模型
x =1.0000 1.0000 fval =1.9151e-010 exitflag = 1
output= iterations: 108 funcCount: 202
或x=fminsearch（fun,X0 ，options） （3）[x，fval]= fminunc（...）；
或[x，fval]= fminsearch（...） （4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）
例 用fminsearch函数求解 输入命令:
f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2'; [x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f,[-1.2 2])
数学建模最优化模型
用MATLAB解无约束优化问题
1. 一元函数无约束优化问题: min f (x) x1 x x2
常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)
（3）[x，fval]= fminbnd（…） （4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（…） （5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（…）
f1='-2*exp(-x).*sin (x)';
[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)
运行结果： xmin = 3.9270 xmax = 0.7854
ymin = -0.0279 ymax = 0.6448
例2 有边长为3m的正方形铁板，在四个角剪去相等的正方形以 制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？
解 设剪去的正方形的边长为 x ，则水槽的容积为： (3 2x)2 x
2023深圳杯数学建模a题思路
2023深圳杯数学建模a题思路
在2023年深圳杯数学建模竞赛中，a题要求参赛者使用数学建模方法，分析和解决一个具体的现实问题。这是一个涉及到数学、统计学、计
算机科学和现实应用的综合性竞赛题目，需要参赛者具备扎实的数学
基础和创新能力。在本文中，我将针对2023深圳杯数学建模a题，
从深度和广度展开讨论，并共享我的个人观点和理解。
我简要介绍一下2023深圳杯数学建模a题的背景和要求。该题目涉
及到一个实际问题：某城市交通系统的拥堵问题。参赛者需要利用数
学建模的方法，分析该城市的交通状况，提出改善措施，并对这些措
施进行定量分析和评价。
在深入讨论具体的解题思路之前，我首先会对题目进行分析和总结。
从题目要求中可以看出，该问题涉及到交通流量、道路网络、拥堵原
因等多个方面。解题的思路可以从以下几个方面展开：需要对该城市
的交通状况进行实地调研和数据收集，包括交通流量、道路拥堵情况、交通信号等；可以利用数学建模的方法，对这些数据进行分析和处理，找出其中的规律和问题；需要提出改善措施，并对这些措施进行模拟
和评估。
在解题的过程中，我认为参赛者需要具备良好的数据分析和数学建模
能力。他们需要熟练掌握数据收集和处理的方法，包括问卷调查、实
地观察和数据统计等；需要灵活运用数学模型，包括概率统计、最优化模型等，对交通状况进行定量分析和预测；需要具备计算机编程和模拟的能力，对改善措施进行模拟和评估。
2023深圳杯数学建模a题是一个涉及到现实问题的综合性竞赛题目。参赛者需要通过实地调研和数据分析，利用数学模型找出交通拥堵的规律和原因，并提出改善措施并进行模拟和评估。在解题的过程中，参赛者需要具备数据分析、数学建模和计算机编程的能力。
数学建模常用算法
数学建模常用算法
数学建模是指将实际问题转化为数学模型，并通过数学方法进行求解
的过程。在数学建模中，常用的算法有很多种，下面将介绍一些常见的数
学建模算法。
1.最优化算法:
-线性规划算法:如单纯形法、内点法等，用于求解线性规划问题。
-非线性规划算法:如最速下降法、牛顿法等，用于求解非线性规划问题。
-整数规划算法:如分支定界法、割平面法等，用于求解整数规划问题。
2.概率统计算法:
-蒙特卡洛模拟:通过模拟随机事件的方式，得出问题的概率分布。
-贝叶斯统计:利用先验概率和条件概率，通过数据更新后验概率。
-马尔可夫链蒙特卡洛:用马尔可夫链的方法求解复杂的概率问题。
3.图论算法:
-最短路径算法:如迪杰斯特拉算法、弗洛伊德算法等，用于求解两点
之间的最短路径。
-最小生成树算法:如普里姆算法、克鲁斯卡尔算法等，用于求解图中
的最小生成树。
- 最大流最小割算法: 如Edmonds-Karp算法、Dinic算法等，用于
求解网络流问题。
4.插值和拟合算法:
-多项式插值:如拉格朗日插值、牛顿插值等，用于通过已知数据点拟合出多项式模型。
-最小二乘法拟合:通过最小化实际数据与拟合模型之间的差异来确定模型参数。
-样条插值:通过使用多段低次多项式逼近实际数据，构造连续的插值函数。
5.遗传算法和模拟退火算法:
-遗传算法:通过模拟自然选择、遗传变异和交叉等过程，优化问题的解。
-模拟退火算法:模拟固体退火过程，通过随机策略进行，逐步靠近全局最优解。
6.数据挖掘算法:
- 聚类算法: 如K-means算法、DBSCAN算法等，用于将数据分为不同的类别。
数学建模之优化模型
需要进行调整和改进。
02
CATALOGUE
线性规划模型
线性规划模型的定义与特点
线性规划模型是数学优化模型的 一种，主要用于解决具有线性约 束和线性目标函数的优化问题。
线性规划模型的特点是目标函数 和约束条件都是线性函数，形式
简单且易于处理。
线性规划模型广泛应用于生产计 划、资源分配、投资决策等领域
优化模型的基本步骤
建立数学模型
将实际问题转化为数学表达式 ，明确变量、参数和约束条件
。
求解方法选择
根据问题的性质选择合适的求 解方法，如解析法、迭代法、 启发式算法等。
求解过程实现
利用计算机编程实现求解过程 ，进行迭代计算直至找到最优 解。
结果分析
对求解结果进行分析，评估最 优解的质量和可行性，并根据
通过线性规划模型，可以 优化生产计划，提高生产 效率和降低成本。
资源分配优化
通过线性规划模型，可以 优化资源分配，实现资源 利用的最大化和最优化。
投资决策优化
通过线性规划模型，可以 优化投资决策，实现投资 收益的最大化和风险的最 小化。
03
CATALOGUE
非线性规划模型
非线性规划模型的定义与特点
总结词
非线性规划模型是一种数学优化模型， 用于解决目标函数和约束条件均为非线 性函数的问题。
VS
全国数模竞赛优秀论文钢管订购与运输的优化模型(浙江师范大学 胡国英 柯 懿 张惠锋) 精品
（1）如果要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路、公路和管道构成网络，请
就这种更一般的情形给出一种解决办法，并对图二（见附录一）按（1）的要求给出模型和结果。
（二）问题的分析
本题要铺设一条A
1~A
15
的天然气管道，使得总费用最小。
可以这样考虑问题：我们可以先把钢厂生产的钢管运到各个站点
A
i
(i≠1)再往两边运送，再计算出总的费用使之最小。事实上我们并不知道每个站点上要运去多少货，所以设每个钢厂运往站点的数量为一变量及站点运往两边的钢管量也为变量，再通过图中已知信息相应的列出一些恒等式和约束条件。为了使问题便于求解，我们把铁路费用及销价相应转换为公路费用（其简化的图示见附录一的图三），又因为铁路运费为一分段函数，故要对一些点之间加线使运费相当。转换完毕后再利用赋权图的性质求出厂到站点的最短路。（其具体数据见附录三）
（三）模型的假设
（１）运钢管过程中若用火车则可直接把钢管运到公路与铁路交接处,即下了火车不上火车。（２）假设运输单位可提供足够的火车与汽车。
（３）费用计算时按照钢管数量来算，不考虑其他计费方法及因素。
（４）运费中不足整公里部分按整公里计。
（５）假设向每个钢管厂都订购钢管。
（６）设１Ｋm主管道钢管为１单位钢管。
（７）路中铺设的钢管只允许由其相邻站点提供。
（８）不计各个环节中的装卸费用。
（四）符号说明
Ｓ
i
: 表示生产钢管的钢厂（i=1,2…7）。
A
i
：表示暂存钢管的站点。(i=1,2…15)
Ｘ
1
,+
k
k 与Ｘ
1
,-
k
k
：分别表示Ａ
k
运往Ａ
1+
k
方向的钢管的数量和Ａ
k
运往Ａ
最优化问题的数学建模步骤
最优化问题的数学建模步骤
最优化问题的数学建模步骤可以分为以下几个步骤：
1. 指定目标函数：首先需要明确最优化问题的目标函数，即要优化的量。这个函数通常是与实际问题相关的一些指标，例如成本、收益、效率等等。
2. 确定决策变量：在确定目标函数后，需要确定决策变量，即可以控制或调整的参数或变量。这些变量的取值可以影响目标函数的值，因此需要选择最优的取值。
3. 建立约束条件：除了目标函数和决策变量外，还需要考虑一些约束条件。这些约束条件通常是实际问题的限制条件，例如资源限制、技术限制、法规限制等等。
4. 建立数学模型：将目标函数、决策变量和约束条件用数学语言表达出来，建立数学模型。这个模型通常是一个优化问题的数学表示形式，可以使用线性规划、非线性规划、整数规划等方法进行求解。
5. 求解最优解：根据建立的数学模型，使用相应的优化方法求解最优解。这个最优解是指在满足约束条件的前提下，使目标函数取得最大值或最小值的决策变量取值。
6. 验证和分析：最后需要对求解结果进行验证和分析，看看是否符合实际需求，是否满足实际约束条件等等。如果结果不满足要求，需要重新调整模型或重新选择优化方法进行求解。
以上是最优化问题的数学建模步骤，通过这些步骤可以将实际问题转化为数学问题，并使用数学方法进行求解，得到最优的决策方案。
高中数学中常见的数学建模题分析
高中数学中常见的数学建模题分析
一、引言
数学建模题在高中数学学习中起到了非常重要的作用，它既锻炼了
学生的数学思维能力，又培养了学生的实际问题解决能力。本文将重
点分析高中数学中常见的数学建模题，并探讨解决这些问题的方法和
步骤。
二、数学建模题的分类
1. 线性规划问题
线性规划是数学建模中最基本的问题之一。该问题通常涉及到在一
定的约束条件下，求解一个线性方程组的最优解。例如，某工厂在一
定的资源限制下，如何安排生产，以使成本最小化或产量最大化。
2. 最优化问题
最优化问题包括最大化问题和最小化问题。这类问题的解决方法通
常是通过求导数进行优化，找到使目标函数取得极值的点。例如，在
扔老师纳什扬尼的蛋问题中，要确定扔鸡蛋的起始楼层，以便在最坏
情况下扔的次数最少。
3. 动态规划问题
动态规划问题是将一个复杂的问题分解为多个重叠子问题，通过求
解子问题的最优解来获取原问题的最优解。例如，在路径规划问题中，我们可以使用动态规划来确定从起点到终点的最短路径。
4. 概率模型问题
概率模型问题涉及到在给定的概率条件下，预测某个事件发生的概率。例如，在赌博游戏中，我们可以使用概率模型来计算某个玩家获
胜的概率。
5. 统计问题
统计问题主要是研究如何通过样本数据来推断总体的某些特性。通
常通过收集样本数据，计算样本均值、标准差等统计量，然后通过统
计推断方法来估计总体的参数。
三、数学建模题的解决方法和步骤
1. 理解问题
首先要对问题进行深入的理解，包括确定问题的背景、目标、约束
条件等。通过仔细阅读问题描述，了解问题所涉及的数学概念和模型。
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铺路问题的最优化模型
摘要
本文采用了两种方法，一种是非线性规划从而得出最优解，另一种是将连续问题离散化利用计算机穷举取最优的方法。
根据A地与B地之间的不同地质有不同造价的特点，建立了非线性规划模型和穷举取最优解的模型，解决了管线铺设路线花费最小的难题。
问题一：在本问题中，我们首先利用非线性规划模型求解，我们用迭代法求出极小值（用Matlab实现），计算结果为总费用最小为748.6244万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.6786km，3.1827 km，2.1839 km，5.8887km，13.0661km。然后，我们又用穷举法另外建立了一个模型，采用C语言实现，所得最优解为最小花费为748.625602万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为15.70km,3.20km,2.20km,5.90km,13.00km。
问题二：本问题加进了一个非线性的约束条件来使转弯处的角度至少为160度，模型二也是如此。非线性规划模型所得计算结果为最小花费为750.6084万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.4566km,4.3591km,2.5984km,6.5387km,12.0472km。遍历模型所得最优解为最小花费为750.821154万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为14.10km,4.30km, 2.70km,6.70km,12.20km。
问题三：因为管线一定要经过一确定点P，我们将整个区域依据P点位置分成两部分，即以A点正东30km处为界，将沙土层分成两部分。非线性规划模型最小花费为752.6432万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.2613km,3.3459km,2.2639km,3.1288km,2.4102km,7.5898km。遍历模型最小花费为752.649007万元，管线在各土层中在东西方向上的投影长度分别为21.30km,3.30km,2.30km,3.10km,2.40km,7.60km。
关键词：非线性规划逐点遍历穷举法
一．问题重述
准备在A地与B地之间修建一条地下管线，B地位于A地正南面26km和正东40km 交汇处，它们之间有东西走向岩石带。地下管线的造价与地质特点有关，下图给出了整个地区的大致地质情况，显示可分为三条沿东西方向的地质带，其宽度分别为：沙土地质带宽C1，C5；沙石地质带宽C2；沙石土地质带宽：C4；岩石地质带宽C3。
在给定三种地质条件上每千米的修建费用的情况如下：
地质条件沙土沙石土沙石岩石
费用(万元/千米) 12 16 18 28
试解决以下几个问题：
(1) 图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜；而路径ARSB过岩石和沙石的路径最短，但是否是最好的路径呢？试建立一个数学模型，确定最便宜的管线铺设路线。（若C1=6，C2=4，C3=5，C4=6，C5=5，确定最便宜的管线铺设路线。）
160，确定最便宜的管线铺设路线。
(2) 铺设管线时，如果要求管线转弯时，角度至少为0
(3) 铺设管线时，如果要求管线必须通过位于沙石地质带或岩石地质带中的某一已知点P（位于A地正南面18km和正东30km交汇处）时，确定最便宜的铺设路线。
二.模型假设
1、修建费用仅与管线长度和不同地质的造价有关，不含其他费用；
2、在无特殊要求情况下，管线可以向任意方向延伸；
3、不考虑管线宽度；
4、所有管线都铺设在同一水平面上；
三.符号说明
()x f 为修建总费用
1x 为管线与沙土层1c 中东西方向上的投影长度
2x 为管线与沙石层2c 中东西方向上的投影长度 3x 为管线与岩石层3c 中东西方向上的投影长度
4x 为管线与沙石土层4c 中东西方向上的投影长度（在问题三中指在过P 点的东西方
向的直线上的P 点以西的投影长度）
5x 为管线与沙土层5c 中东西方向上的投影长度（在问题三中指在过P 点的东西方向
的直线上的P 点以东的投影长度）
6x 为管线与沙土层5c 中东西方向上的投影长度
1p 为沙土层1c 每千米的修建费用 2p 为沙石层2c 每千米的修建费用 3p 为岩石层3c 每千米的修建费用
4p 为沙石土层4c 每千米的修建费用
5p 为沙土层5c 每千米的修建费用(在问题三中指在沙石土层每千米的修建费用) 6p 为问题三中沙土层6c 每千米的修建费用
4c 在问题一、二中指沙石土层的宽度，在问题三中指沙石土层P 点以上的半层的宽
度
5c 在问题一、二中指沙石土层的宽度，在问题三中指沙石土层P 点以下的半层的宽
度
6c 问题三中最下面的沙土层的宽度
四.问题分析
4．1 问题一:
本问题主要围绕由A 点到B 点铺设管线展开，要求花费最少。根据不同地质条件的花费，确定在某一土层中铺设管线的长度。我们采用了两种方法求得最少的花费，分别为非线性规划模型和逐点遍历模型。
4．1．1 方案一
我们首先利用非线性规划求解，可以得出一个关于工程总造价的目标函数f(x)，而且可知f(x)在整个区域连续且可微，f(x)符合在某一点有局部极小点的条件。因此我们用迭代法求出极小值（用Matlab 实现），我们分别选用了几组不同的初始值来保证所得到的极小值也是整个区域上的最小值。
4．1．2 方案二
我们又用穷举法另外建立了一个模型，用来确保模型一的结果是最小值，采用C 语言实现，我们先在每两种不同地质间的交界线上每隔0.1km 确定一个点，然后每条交界线都任取一点，连线，得出一条路径。之后将每一条可能的路径都遍历一遍，将最小值和对应的点保存，得出结果。
4．2 问题二
本问题与问题一相比，增加了约束条件“要求管线转弯时，角度至少为0
160”，我们在问题一所建立的两种模型的基础上均增加相应约束条件，通过求出管线转弯处的管线角度的正切值，并利用反正切函数得出管线角度，从而对管线的铺设方向加以限制，得出最少花费的管线铺设线路。
4．3 问题三
本问题要求铺设管线一定要经过一确定点P ，因此可以将此问题分为两步，即从A 到P 的路径为第一步，从P 到B 的路径为第二步。因为从A 到P 的路径选择及其花费与从P 到B 的路径选择及其花费无关，所以求出第一步从A 到P 的最优解，以及第二步求从P 到B 的最优解，这两的最优解之和便为整个管线铺设的最优解。
五.模型建立与求解
5．1 问题一
5．1．1 方案一.
根据题意，在第i 个土层中的管线长度为
22i i i c x d +=
所以，在该层中的修建花费为
i i i d p S ⨯=
则总花费为