湖北省部分重点中学高二数学下学期期中试题 理 新人教A版

湖北武汉部分重点中学2012—2013学年度下学期期中考试
高二数学理试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列语句中，是命题的个数是①|x+2| ②－5∈Z ③π∉R ④{0}∈N A.1
B.2
C.3
D.4
2．武汉炼油厂某分厂将原油精练为汽油,需对原油进行冷却和加热,如果第x 小时时，原油温度（单位：)0
C 为)50(83
1)(23
≤≤+-=x x x x f ，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 A ．8
B.
3
20
C ．1-
D. 8-
3． 已知12,F F 为椭圆22
221x y a b
+=（0a b >>）的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若1AF B ∆的
周长为16，椭圆的离心率3
e =，则椭圆的方程为 A ．22
143
x y +=
B ．221163x y +=
C ．22
1164
x y +=
D ．22
11612
x y +=
4．若函数f(x)和g(x)的定义域、值域都是R ，则不等式f(x)> g(x)有解的充要条件是 A ∃ x ∈R , f(x)>g(x) B 有无穷多个x (x ∈R )，使得f(x)>g(x) C ∀ x ∈R ,f(x)>g(x) D { x ∈R | f(x)≤g(x)}=Φ
5．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2()a c - C ．2()a c + D ．以上答案均有可能
6．设a ∈R ,函数()e e x
x
f x a -=+⋅的导函数是()f x ',且()f x '是奇函数.若曲线()
y f x =的一条切线的斜率是
3
2
,则切点的横坐标为 A.ln 2 B.ln 2- C.ln 22 D.ln 2
2
-
7．已知圆柱的底面半径为2，高为3，用一个平面去截，若所截得的截面为椭圆，则椭圆的离心率的取值范围为
A ．3
[,1)5 B ．（0，3]5
C ．4
[,1)5 D ．（0，4]5
8．函数y ＝x
2－2sin x 的图象大致是
9．如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面为正方形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，M 为底面内的一个动点，且满足MP=MC ，则动点M 的轨迹为
A ．椭圆
B ．抛物线
C ．双曲线
D ．直线 10．已知ln ()ln 1x
f x x x
=
-+，()f x 在0x x =处取得最大值，以下各式中正确的序号为
①00()f x x < ②00()f x x = ③00()f x x > ④01()2f x <
⑤01()2
f x > A ． ①④ B. ②④ C. ②⑤ D. ③⑤
P
D
A
M
B
C
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11.设,p q 是两个命题2
2:log (||3)0,:6510p x q x x -<-+>，，则p 是q 的 ▲ 条
件。

（填“充分而不必要”、“ 必要而不充分”、“ 充分必要 ”、“ 既不充分也不必要”中的一个）
12．如右图，抛物线C ：2
y =2px (p>0)的焦点为F ，A 为C 上的点，以
F 为圆心，2
P
为半径的圆与线段AF 的交点为B ，
∠AFx=60°,A 在y 轴上的射影为N ，则∠ONB = ▲ ．
13.椭圆22
221x y a b
+=(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别
是F 1,F 2.若|AF 1|,|F 1F 2|,|F 1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 ▲ ．
14．对正整数n ,设曲线)1(x x y n -=在2x =处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ,则数列
1n a n ⎧⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和的公式是 ▲ 。

15．给出下列四个命题： ①函数f （x ）＝lnx －2＋x 在区间（1 , e ）上存在零点； ②若m≥－1，则函数212
log (2)y x x m =--的值域为R ；
③若0()0f x '=，则函数y ＝f （x ）在x ＝x 0处取得极值；
④“a =1”是“函数x
x ae e a x f +-=1)(在定义域上是奇函数”的充分不必要条件。

其中正确的是 ▲ 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答请写在答卷纸上，应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16.（本题12分）已知a >0且1≠a
命题P ：函数),0()1(log +∞+=在x y a 内单调递减；
命题Q ：曲线x x a x y 与1)32(2
+-+=轴交于不同的两点. 如果“P \/Q”为真且“P/\Q”为假，求a 的取值范围.
17. (本题满分12分) 已知实数a 满足1＜a ≤2，设函数f (x)＝13x 3－12
a +x 2
＋a x ．
(Ⅰ) 当a ＝2时，求f (x)的极小值；
(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x 3
＋3bx 2
－6(b ＋2)x (b ∈R ) 的极小值点与f (x)的极小值点相同， 求证：g(x)的极大值小于或等于10．
18. （本题12分）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴,焦点是（0），（0，），又点
A 在椭圆M 上.
(1)求椭圆M 的方程;
(2)已知直线l ,若直线l 与椭圆M 交于B 、C 两点,求ABC ∆面积的最大值.
19.（本题12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式210(6)3
a
y x x =
+--，其中3<x<6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克。

（I ）求a 的值
（II ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

20.（本题13分）如图,一水渠的横断面是抛物线形，O 是抛物线的顶点,口宽EF=4米，高3米
（1） 建立适当的平面直角坐标系，求抛物线方程.
（2） 现将水渠横断面改造成等腰梯形ABCD ，要求高度不变，只挖土，不填土，求梯形ABCD 的下底AB 多大时，所挖的土最少？
21．（本题14分） 已知函数()e x
f x kx x =-∈R ， （Ⅰ）若e k =，试确定函数()f x 的单调区间；
（Ⅱ）若0k >，且对于任意x ∈R ，()0f x >恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）设函数()()()F x f x f x =+-，求证：1
2
(1)(2)()(e 2)()n
n F F F n n +*>+∈N L ．
参考答案 一、
11、充分而不必要 12、0
30 13、5
14、122n +- 15、 ①②④ 16、解：0a >Q 且1a ≠
∴命题P 为真时⇔01a << 命题P 为假时⇔ 1a >
命题Q 为真时⇔ ()2
2340,a ∆=--> 且0,1,a a >≠ 即102a << 或52
a > 命题Q 为假时15
22
a ⇔
≤≤ 且1a ≠ 由“P Q ∨”为真且“P Q ∧”为假，知P 、Q 有且只有一个正确。

（1）：P 正确，且Q 不正确⇔ 0115,122
a a a <<⎧⎪⎨≤≤≠⎪⎩且 即1,12a ⎡⎫
∈⎪⎢⎣⎭ （2）：P 不正确，且Q 正确⇔ 115022
a a a >⎧
⎪⎨<<>⎪⎩或 即5,2a ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
综上，a 的取值范围是15,1,22⎡⎫
⎛⎫
⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭
………………12分
17.(Ⅰ)解：当a ＝2时，f ′(x )＝x 2
－3x ＋2＝(x －1)(x －2)． 列表如下：
所以，f (x )的极小值为f (2)＝
3
． …………………………6分
(Ⅱ) 解：f ′ (x )＝x 2
－(a ＋1)x ＋a ＝(x －1)(x －a )．
由于a ＞1，所以f (x )的极小值点x ＝a ，则g (x )的极小值点也为x ＝a ． 而g ′ (x )＝12x 2
＋6bx －6(b ＋2)＝6(x －1)(2x ＋b ＋2)，所以22
b a +=-，
即b ＝－2(a ＋1)．
又因为1＜a ≤2，所以 g (x )极大值＝g (1)＝4＋3b －6(b ＋2)＝－3b －8＝6a －2≤10．
故g (x )的极大值小于或等于10． …………………………12分
18、解: (Ⅰ)由已知抛物线的焦点为(0,,故设椭圆方程为22
2212
y x a a +=-.
将点A 代入方程得
2221
12
a a +=-,整理得42540a a -+=, 解得2
4a =或2
1a =(舍).故所求椭圆方程为22
142
y x +=. ….. ……5分
(Ⅱ)设直线BC 的方程为m x y +=
2,设1122(,),(,),B x y C x y
代入椭圆方程并化简得042242
2
=-++m mx x , 由0)8(8)4(1682
2
2
>-=--=∆m m m ,可得28m < ①.
由4
4
,2222121-=
-=+m x x m x x ,
故2BC x =-=又点A 到BC 的距离为3
m d =
, ………………….. 8分
故221
2(162)
2
2ABC
m m S BC d ∆+-=⋅=≤=当且仅当222162m m -=,即2±=m 时取等号(满足①式)
所以ABC ∆面积的最大值为2. ……………………………12分
19、解：（I ）因为x=5时，y=11，所以1011, 2.
2a
a +== 、、、、、、、、、、、、、、、、、4分
（II ）由（I ）可知，该商品每日的销售量22
10(6),3y x x =
+--
所以商场每日销售该商品所获得的利润
222
()(3)[
10(6)]210(3)(6),363f x x x x x x x =-+-=+--<<-
从而，2
'()10[(6)2(3)(6)]30(4)(6)f x x x x x x =-+--=--
'(),()f x f x 由上表可得，x=4是函数在区间（3，6）内的极大值点，也是最大值点； 所以，当x=4时，函数()f x 取得最大值，且最大值等于42。

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大。

……..12分
20、（1）解：如图 以O 为原点，AB
为X 轴，建立平面直角坐标系， 则F （2，3），设抛物线的方程是
)0(22>=p py x
因为点F 在抛物线上，所以
3
2
,3222=
⨯=p p 所以抛物线的方程是
y x 3
4
2=
(2) 解：等腰梯形ABCD 中,AB ∥CD ，线段AB 的中点O 是抛物线的顶点，AD ，AB ，BC 分别与抛物线切于点M ，O ，N
x y 2
3
=
'，设),(00y x N ，)0(0>x ，则抛物线在N 处的切线方程是 )(23000x x x y y -=-，所以)3,24(),0,21
(0
2
00x x C x B +， ……………………9分
梯形ABCD 的面积是
x
,
262)
2
(3)42(233)4(21min 0000002
00==+=+=⨯++=S x x x x x x x x S 时，当且仅当 答：梯形ABCD 的下底AB=2米时，所挖的土最少. …………………13分
21、 解：（Ⅰ）由e k =得()e e x
f x x =-，所以()e e x
f x '=-．
由()0f x '>得1x >，故()f x 的单调递增区间是(1)+∞，，
由()0f x '<得1x <，故()f x 的单调递减区间是(1)-∞，． (4)
分 （Ⅱ）由()()f x f x -=可知()f x 是偶函数．
于是()0f x >对任意x ∈R 成立等价于()0f x >对任意0x ≥成立． 由()e 0x
f x k '=-=得ln x k =．
①当(01]k ∈，时，()e 10(0)x
f x k k x '=->->≥．
此时()f x 在[0)+∞，上单调递增． 故()(0)10f x f =>≥，符合题意． ②当(1)k ∈+∞，时，ln 0k >．
当x 变化时()()f x f x '，的变化情况如下表：
由此可得，在[0)+∞，上，()(ln )ln f x f k k k k =-≥．
依题意，ln 0k k k ->，又11e k k >∴<<，． ……............8分
综合①，②得，实数k 的取值范围是0e k <<． （Ⅲ）()()()e e x
x
F x f x f x -=+-=+Q ，
12()()F x F x ∴=12121212121212()()e e e e e e 2e 2x x x x x x x x x x x x x x +-+--++-+++++>++>+， 1(1)()e 2n F F n +∴>+，
11(2)(1)e 2
()(1)e 2.
n n F F n F n F ++->+>+L L
由此得，2
1
[(1)(2)()][(1)()][(2)(1)][()(1)](e
2)n n F F F n F F n F F n F n F +=->+L L
11 故12
(1)(2)()(e 2)n
n F F F n n +*>+∈N L ，． .............14分。