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2020版高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第二层提升篇：讲义 专题四第1讲 统计、统计案例

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2020年高考数学二轮复习专题讲义

2020年高考数学二轮复习专题讲义
第一讲 三角函数专题
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2020 年高考数学二轮复习五大专题讲义 益阳市第一中学 刘晖 编
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2020高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题二数列——第2讲第2讲 数列通项与求和

2020高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题二数列——第2讲第2讲 数列通项与求和

第2讲 数列通项与求和[全国卷3年考情分析] 年份 全国卷Ⅰ 全国卷Ⅱ 全国卷Ⅲ2019 等比数列的求和·T 14 递推公式的应用·T 19 等差数列的前n 项和·T 142018a n 与S n 关系的应用·T 14等差数列前n 项和的最值问题·T 172017等差数列的基本运算、数列求和·T 17等比数列的通项公式、a n 与S n 的关系·T 17三角形问题交替考查且多出现在第17(或18)题的位置，难度中等，2020年高考此内容难度有可能加大，应引起关注．若以客观题考查，难度中等的题目较多，有时也出现在第12、16题的位置，难度偏大．考点一 a n 与S n 关系的应用[例1] (1)(2019·成都第一次诊断性检测)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，a n ＋1＝S n ，n ∈N *，则a 5＝________．(2)(2019·武汉市调研测试)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，则a 4＝________．[解析] (1)法一：由a n ＋1＝S n ，得S n ＋1－S n ＝S n ，则S n ＋1＝2S n .又S 1＝a 1＝4，所以数列{S n }是首项为4，公比为2的等比数列，所以S n ＝4·2n －1＝2n ＋1，则a 5＝S 5－S 4＝26－25＝32.法二：当n ≥2时，由a n ＋1＝S n ，得a n ＝S n －1，两式相减，得a n ＋1－a n ＝a n ，即a n ＋1＝2a n ，所以数列{a n }是从第2项开始，公比为2的等比数列．又a 2＝S 1＝4，所以a 5＝a 2·23＝4×23＝32.(2)法一：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)可得S 2＝3S 1＋1＝3a 1＋1，即a 2＝2a 1＋1＝－1.根据S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，①知S n ＋1＝3S n ＋2n ＋1－3，② ②－①可得，a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)． 两边同时除以2n＋1可得a n ＋12n ＋1＝32·a n 2n ＋12(n ≥2)，令b n ＝a n 2n ，可得b n ＋1＝32·b n＋12(n ≥2)． ∴b n ＋1＋1＝32(b n ＋1)(n ≥2)，数列{b n ＋1}是以b 2＋1＝a 222＋1＝1－14＝34为首项，32为公比的等比数列．∴b n ＋1＝⎝⎛⎭⎫32n －2·34(n ≥2)，∴b n ＝12·⎝⎛⎭⎫32n －1－1(n ≥2)．又b 1＝－12也满足上式， ∴b n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1·12－1(n ∈N *)，又b n ＝a n 2n ，∴a n ＝2n b n ，即a n ＝3n －1－2n .∴a 4＝33－24＝11.法二：由S n ＝3S n －1＋2n －3(n ≥2)，a 1＝－1，知S 2＝3S 1＋4－3，∴a 2＝－1.S 3＝3S 2＋8－3，∴a 3＝1.S 4＝3S 3＋16－3，∴a 4＝11.[答案] (1)32 (2)11 [解题方略](1)给出S n 与a n 的递推关系求a n 的常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .(2)形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列．[多练强化]1．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－2a n ＝2n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．解析：a n ＋1－2a n ＝2n 两边同除以2n ＋1，可得a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝12，又a 12＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是以12为首项，12为公差的等差数列，所以a n 2n ＝12＋(n －1)×12＝n 2，所以a n ＝n ·2n －1.答案：n ·2n －12．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)．设b n ＝a n ＋1－a n . (1)证明：数列{b n }是等比数列； (2)设c n ＝b n（4n 2－1）2n，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)证明：因为a n ＋1＝3a n －2a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝a n ＋1－a n ， 所以b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1a n ＋1－a n ＝（3a n ＋1－2a n ）－a n ＋1a n ＋1－a n ＝2（a n ＋1－a n ）a n ＋1－a n ＝2，又b 1＝a 2－a 1＝2－1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)由(1)知b n ＝1×2n －1＝2n －1， 因为c n ＝b n（4n 2－1）2n， 所以c n ＝12（2n ＋1）（2n －1）＝14⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝14⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝14⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 4n ＋2. 考点二 数列求和 题型一 裂项相消求和[例2] (2019·安徽五校联盟第二次质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)记b n ＝2a n（a n ＋1）（a n ＋1＋1），求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－1，得a 1＝1.当n ≥2时，有S n －1＝2a n －1－1， 所以a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1.所以{a n }是公比为2，首项为1的等比数列，故通项公式a n ＝2n －1.(2)b n ＝2a n （a n ＋1）（a n ＋1＋1）＝2n （2n －1＋1）（2n ＋1）＝2⎝⎛⎭⎫12n －1＋1－12n ＋1， T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝2×⎝⎛⎭⎫120＋1－121＋1＋2×⎝⎛⎭⎫121＋1－122＋1＋2×⎝⎛⎭⎫122＋1－123＋1＋…＋2×⎝⎛⎭⎫12n －1＋1－12n ＋1＝2n－12n ＋1. [解题方略](1)裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项．(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．题型二 错位相减求和[例3] (2019·福建五校第二次联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n，求数列{c n }的前n 项和T n .[解] (1)因为S n ＝3n 2＋8n ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2＋8n －[3(n －1)2＋8(n －1)]＝6n ＋5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝11 所以a n ＝6n ＋5，n ∈N * 于是，b n ＋1＋b n ＝a n ＝6n ＋5.因为{b n }是等差数列，所以可设b n ＝kn ＋t (k ，t 均为常数)，则有k (n ＋1)＋t ＋kn ＋t ＝6n ＋5，即2kn ＋k ＋2t ＝6n ＋5对任意的n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧2k ＝6，k ＋2t ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，t ＝1，故b n ＝3n ＋1.(2)因为a n ＝6n ＋5，b n ＝3n ＋1，所以c n ＝（a n ＋1）n ＋1（b n ＋2）n ＝（6n ＋6）n ＋1（3n ＋3）n ＝2n×(6n ＋6)．于是，T n ＝12×2＋18×22＋24×23＋…＋2n ×(6n ＋6)，①所以2T n ＝12×22＋18×23＋24×24＋…＋2n ×6n ＋2n ＋1×(6n ＋6)，②①－②得，－T n ＝24＋6(22＋23＋…＋2n )－2n ＋1×(6n ＋6)＝24＋6×22－2n ×21－2－2n ＋1×(6n ＋6)＝－2n ＋1×6n ，故T n ＝2n ＋1×6n ＝2n ＋2×3n . [解题方略](1)求解此类题需掌握三个技巧：一是巧分拆，即把数列的通项转化为等差数列、等比数列的通项的积，并求出等比数列的公比；二是构差式，求出前n 项和的表达式，然后乘以等比数列的公比，两式作差；三是得结论，即根据差式的特征进行准确求和．(2)运用错位相减法求和时应注意三点：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置；三是相减时一定要注意最后一项的符号．题型三 分组转化求和[例4] 已知等差数列{a n }的首项为a ，公差为d ，n ∈N *，且不等式ax 2－3x ＋2<0的解集为(1，d )．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝3a n ＋a n －1，n ∈N *，求数列{b n }的前n 项和T n .[解](1)易知a ≠0，由题设可知⎩⎨⎧1＋d ＝3a ，1·d ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝2.故数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1. (2)由(1)知b n ＝32n －1＋2n －1－1，则T n ＝(3＋1)＋(33＋3)＋…＋(32n －1＋2n －1)－n ＝(31＋33＋…＋32n －1)＋(1＋3＋…＋2n －1)－n ＝31（1－9n ）1－9＋（1＋2n －1）n 2－n＝38(9n －1)＋n 2－n . [解题方略](1)在处理一般数列求和时，一定要注意运用转化思想．把一般的数列求和转化为等差数列或等比数列进行求和．在利用分组求和法求和时，常常根据需要对项数n 进行讨论．最后再验证是否可以合并为一个表达式．(2)分组求和的策略：①根据等差、等比数列分组；②根据正号、负号分组．[多练强化]1．(2019·福建五校第二次联考)在数列{a n }中，a 1＝13，1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），n ∈N *，且b n ＝13＋a n.记P n ＝b 1×b 2×…×b n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，则3n ＋1P n ＋S n ＝________．解析：因为1a n ＋1＝3a n （a n ＋3）＝1a n －1a n ＋3，所以b n ＝13＋a n ＝1a n －1a n ＋1，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1a 1－1a 2＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 3＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n ＋1＝1a 1－1a n ＋1.因为1a n ＋1＝3a n （a n ＋3），所以3＋a n ＝3a n ＋1a n ，所以b n ＝13＋a n ＝a n 3a n ＋1，所以P n ＝b 1×b 2×…×b n ＝a 13a 2×a 23a 3×…×a n 3a n ＋1＝a 13n a n ＋1.又a 1＝13，故3n ＋1P n ＋S n＝3a 1a n ＋1＋1a 1－1a n ＋1＝1a 1＝3. 答案：32．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a nn ，求数列{b n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n ，可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n， 又b n ＝a n n ，所以b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，累加可得(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，即b n －b 1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12＝1－12n －1，所以b n ＝2－12n－1.(2)由(1)可知a n ＝2n －n 2n －1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n 2n －1，①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n 2n ，② ①－②得12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，所以T n ＝4－n ＋22n －1. 易知数列{2n }的前n 项和为n (n ＋1)， 所以S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.数学运算——数列的通项公式及求和问题[典例] 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，已知S 3＝7，a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋ln a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1)． 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝7，a 1（1－6q ＋q 2）＝－7.由q >1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)由(1)得b n ＝2n －1＋(n －1)ln 2，所以T n＝(1＋2＋22＋…＋2n－1)＋[0＋1＋2＋…＋(n－1)]ln 2＝1－2n1－2＋n（n－1）2ln 2＝2n－1＋n（n－1）2ln 2.[素养通路]数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本题通过列出关于首项与公比的方程组，并解此方程组得出首项与公比，从而得出通项公式；通过分组分别根据等比数列求和公式、等差数列求和公式求和．。

全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程高难拉分攻坚特训四课件

全国通用2020版高考数学二轮复习专题提分教程高难拉分攻坚特训四课件

解 (1)由抛物线定义知45＋2p＝23，
得 p＝21， 故抛物线的方程为 x2＝y. 由M→P·M→Q＝0 得点 M 的轨迹 D 是以 PQ 为直径的圆， 其方程为 x2＋(y－6)2＝4.
(2)由△OAT 与△OBS 的面积相等得|AT|＝|BS|， 则|AS|＝|BT|， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，S(x3，y3)，T(x4，y4)， 由A→S＝(x3－x1，y3－y1)，T→B＝(x2－x4，y2－y4)， 且A→S＝T→B得 x3－x1＝x2－x4，即 x1＋x2＝x4＋x3. (ⅰ)当直线 l 的斜率为 0 时，l 的方程为 y＝m，此时只需点(0，m)在圆 D 内即可，此时 4<m<8.
的奇数项构成以 a1 为首项，2 为公差的等差数列，数列{an}的偶数项构成以
a2 为首项，2 为公差的等差数列，数列{a2n－1＋a2n}是以 4 为公差的等差数列，
所以 Sn＝nnnn22＋＋11，＋na为1－偶1数，. n为奇数，
当 n 为偶数时，nn＋ 2 1＝1350，无解(因为 50×51＝2550,52×53＝2756， 所以接下来不会有相邻两数之积为 2700)．当 n 为奇数时，nn＋ 2 1＋(a1－1) ＝1350，a1＝1351－nn2＋1，因为 a2<2，所以 3－a1<2，所以 a1>1，所以 1351 －nn＋ 2 1>1，所以 n(n＋1)<2700，又 n∈N*,51×52＝2652，所以 n≤51，故 选 A.
2．A，B 为单位圆(圆心为 O)上的点，O 到弦 AB 的距离为 23，C 是劣弧
︵ AB
(包含端点)上一动点，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ，μ∈R)，则 λ＋μ 的取值范围

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题二数列——第1讲等差数列、等比数列含

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题二数列——第1讲等差数列、等比数列含
3．(20xx·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；
(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．
解：(1)设{an}的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0.
由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2.
因此{an}的通项公式为an＝10－2n.
因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.
②∵T3＝1＋q＋q2，∴1＋q＋q2＝13，
解得q＝3或q＝－4，
由a2＋b2＝3，得d＝4－q，∴d＝1或d＝8.
由Sn＝na1＋ n(n－1)d，
得Sn＝ n2－ n或Sn＝4n2－5n.
[解题方略]等差(比)数列基本运算的解题思路
(1)设基本量：首项a1和公差d(公比q)；
(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；
(2)求{an}和{bn}的通项公式．
[解](1)证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝ (an＋bn)．
又因为a1＋b1＝1，
所以{an＋bn}是首项为1，公比为 的等比数列．
由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，
即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2.
又因为a1－b1＝1，
所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2)由(1)知，an＋bn＝ ，an－bn＝2n－1，
所以an＝ [(an＋bn)＋(an－bn)]＝ ＋n－ ，
bn＝ [(an＋bn)－(an－bn)]＝ －n＋ .
[解题方略]
数列{an}是等差数列或等比数列的证明方法

2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第一讲等差数列、等比数列

2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题四 第一讲等差数列、等比数列
(1)求{an}的通项公式．
(2)求Sn.并求Sn的最小值．
[解析](1)设等差数列{an}的公差为d.由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝2n－9.
(2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.
所以当n＝4时.Sn取得最小值.最小值为－16.
例1 (1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn.a1＋a3＝30.S4＝120.设bn＝1＋log3an.那么数列{bn}的前15项和为( B )
6．(20xx·全国卷Ⅰ.14)记Sn为数列 的前n项和．若Sn＝2an＋1.则S6＝－63..
[解析]依题意. 作差得an＋1＝2an.
所以数列{an}是公比为2的等比数列.
又因为a1＝S1＝2a1＋1.
所以a1＝－1.所以an＝－2n－1.
所以S6＝ ＝－63.
7．(20xx·全国卷Ⅱ.16)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知a1＝－7.S3＝－15.
A．1B．2
C．4D．8
[解析]设{an}的公差为d.则由
得
解得d＝4.
故选C．
4．(20xx·全国卷Ⅲ.9)等差数列{an}的首项为1.公差不为0.若a2.a3.a6成等比数列.则{an}的前6项和为( A )
A．－24B．－3
C．3D．8
[解析]由已知条件可得a1＝1.d≠0.
由a ＝a2a6可得(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d).
(3)注意整体思想.如在与等比数列前n项和有关的计算中.两式相除就是常用的计算方法.整体运算可以有效简化运算．
G
1．(20xx·邵阳模拟)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知a2a3＝2a1.且a4与2a7的等差中项为 .则S5＝( B )

(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专题 数列 教案讲义

(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专题 数列 教案讲义

第1讲 等差数列、等比数列[例1] (1)(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A.a n ＝2n －5B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝12n 2－2n(2)(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝13，a 24＝a 6，则S 5＝________.[答案] (1)A (2)1213[解析] (1)设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2. 所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n （n －1）2×2＝n 2－4n .故选A.(2)由a 24＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝1a 1＝3.∴S 5＝13（1－35）1－3＝1213.[解题方略] 等差(比)数列基本运算的解题思路 (1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q ).(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.[跟踪训练]1.(2019·福州市质量检测)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，则a 9＝( )A.12 B.54 C.45D.－45解析：选C 因为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的公差d ＝1a 7－1a 37－3＝1－127－3＝18，所以1a 9＝1a 7＋(9－7)×18＝54，所以a 9＝45，故选C.2.(2019·开封市定位考试)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋4S 2＝0，则公比q ＝( )A.－1B.1C.－2D.2解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0.解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋2n －1＝n 2.解析：选C 法一：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 1q 2＋4a 1＋4a 1q ＝0，因为a 1≠0，所以q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2，故选C.法二：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 2q ＋4a 2q ＋4a 2＝0，因为a 2≠0，所以q ＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0，所以q ＝－2，故选C.3.(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和.[例2] (1)(2019·长春市质量监测一)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.(2)在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________.[解析] (1)法一：设数列{a n }的公比为q (q ＞0且q ≠1)，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝30， ①S 9＝a 1（1－q 9）1－q ＝70，②①÷②得，1－q 61－q 9＝1＋q 31＋q 3＋q 6＝37，又由q ＞0，得q 3＝2，再由S 3S 6＝a 1（1－q 3）1－q a 1（1－q 6）1－q＝11＋q 3＝13，得S 3＝13S 6＝10. 法二：由题意可得(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，即(30－S 3)2＝40S 3，即S 23－100S 3＋900＝0，解得S 3＝10或S 3＝90，又数列{a n }的各项均为正数，所以S 3＜S 6，S 3＝90(舍去)，故S 3＝10.(2)设{a n }的公差为d .法一：由3a 2＝11a 6，得3(13＋d )＝11(13＋5d )， 解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎪⎨⎪⎧－2n ＋15≥0，－2（n ＋1）＋15≤0，解得6.5≤n ≤7.5. 因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7（13－2×7＋15）2＝49.法二：由3a 2＝11a 6，得3(13＋d )＝11(13＋5d )， 解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 所以S n ＝n （13＋15－2n ）2＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49. [答案] (1)10 (2)49[解题方略] 与数列性质有关问题的求解策略[跟踪训练]1.在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为( ) A.－2＋22B.－ 2C. 2D.－2或 2解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－2，故选B.2.(2019·四省八校双教研联考)在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则15a 4＝( ) A.－1 B.0 C.1D.2解析：选C 法一：设{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.法二：设{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.法三：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，得4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.3.数列{a n }是首项a 1＝m ，公差为2的等差数列，数列{b n }满足2b n ＝(n ＋1)a n ，若对任意n ∈N *都有b n ≥b 5成立，则m 的取值范围是________.解析：由题意得，a n ＝m ＋2(n －1)， 从而b n ＝n ＋12a n ＝n ＋12[m ＋2(n －1)].又对任意n ∈N *都有b n ≥b 5成立，结合数列{b n }的函数特性可知b 4≥b 5，b 6≥b 5，故⎩⎪⎨⎪⎧52（m ＋6）≥3（m ＋8），72（m ＋10）≥3（m ＋8），解得－22≤m ≤－18.答案：[－22，－18][例3] 设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝b n －11＋b n －1(n ≥2，n ∈N *).(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式.[解] (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，解得a 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ， 即a n a n －1＝12(n ≥2，n ∈N *). 所以数列{a n }是首项为1， 公比为12的等比数列，故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.(2)因为a 1＝1，所以b 1＝2a 1＝2.因为b n ＝b n －11＋b n －1，所以1b n ＝1b n －1＋1，即1b n －1b n －1＝1(n ≥2).所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 是首项为12，公差为1的等差数列.所以1b n ＝12＋(n －1)·1＝2n －12，故数列{b n }的通项公式为b n ＝22n －1.[解题方略]数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数； ②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2).(2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n(n ∈N *)为一常数； ②利用等比中项，即证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(n ≥2).[跟踪训练]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *). (1)求a 1，a 2，a 3的值.(2)设b n ＝a n ＋3，证明数列{b n }为等比数列，并求通项公式a n . 解：(1)因为数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *). 所以n ＝1时，由a 1＝S 1＝2a 1－3×1，解得a 1＝3，n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，得a 2＝9， n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)因为S n ＝2a n －3n ， 所以S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)， 两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3，①把b n ＝a n ＋3及b n ＋1＝a n ＋1＋3，代入①式， 得b n ＋1＝2b n (n ∈N *)，且b 1＝6，所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以b n ＝6×2n －1，所以a n ＝b n －3＝6×2n －1－3＝3(2n－1).逻辑推理——等比数列运算中的分类讨论[典例] 已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( ) A.(－∞，－1] B.(－∞，0)∪[1，＋∞) C.[3，＋∞)D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)[解析] 设等比数列{a n }的公比为q ， 则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1q ＋1＋q ＝1＋q ＋1q.当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋1q≥1＋2q ·1q＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立；当公比q <0时，S 3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－q －1q ≤1－2（－q ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1q ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等号成立.所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞). [答案] D[素养通路]等比数列的公比q <0时，相邻两项一定异号，相隔一项的两项符号一定相同；等比数列的公比q >0时，数列中的各项符号相同.用等比数列前n 项和公式时，如果其公比q 不确定，要分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论.本题考查了逻辑推理及数学运算的核心素养.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A.16B.8C.4D.2解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 1>0，q >0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，∴a 3＝a 1q 2＝4.故选C.2.(2019·湖南省五市一校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6＝( )A.6B.7C.8D.9解析：选B 法一：由题意知，数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝12，a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，所以a 1＋a 6＝a 1＋a 1＋5d ＝7，故选B. 法二：由题意知，数列{a n }是等差数列，将a 2＋a 4＋a 6＝12与a 1＋a 3＋a 5＝9相加可得3(a 1＋a 6)＝12＋9＝21，所以a 1＋a 6＝7，故选B.3.(2019·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A.32B.31C.64D.63解析：选 B 法一：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝31，故选B. 法二：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3＝4，得q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B.4.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2019＝( ) A.1 B.－2 C.3D.－3解析：选A 因为a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n－1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2(n ≥3).所以a n ＋3＝－a n (n ∈N *)，所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ， 故{a n }是以6为周期的周期数列. 因为2019＝336×6＋3，所以a 2019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.5.(2019届高三·西安八校联考)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A.10B.11C.12D.13解析：选C 由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，S 12＝12（a 1＋a 12）2＝6(a 6＋a 7)>0，所以S 12S 13<0，即满足S n S n＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.6.已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝π2，若函数f (x )＝sin2x ＋2cos 2x 2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )A.0B.－9C.9D.1解析：选 C 由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin2x ＋cos x ＋1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1.∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin2x －cos x ＋1，∴f (π－x )＋f (x )＝2，∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9.二、填空题7.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝________.解析：设等比数列的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1＝qn －1.∵a 1＝1，S 3＝34，∴a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝34，即4q 2＋4q ＋1＝0，∴q ＝－12，∴S 4＝1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1241－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝58.答案：588.(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________.解析：∵a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10， ∴a 1＝－4，d ＝1， ∴a 5＝a 1＋4d ＝0， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n <0，则n <5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正. ∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10. 答案：0 －109.设某数列的前n 项和为S n ，若S nS 2n为常数，则称该数列为“和谐数列”.若一个首项为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________.解析：由S n S 2n ＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋12n (n －1)d ＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2n ＋12×2n （2n －1）d ，即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，∵对任意正整数n ，上式恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，k ＝14，∴数列{a n }的公差为2.答案：2 三、解答题10.(2019·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 解：(1)设{a n }的公差为d .因为a 1＝－10， 所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6). 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ). 解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n ≤6时，a n ≤0. 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.11.(2019·广西梧州、桂林、贵港等期末)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 3＝8，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)若S 3，a 14，S m 成等比数列，求S 2m .解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧S 9＝9a 5＝9（a 1＋4d ）＝81，a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)由(1)知，S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.∵S 3，a 14，S m 成等比数列，∴S 3·S m ＝a 214，即9m 2＝272，解得m ＝9，故S 2m ＝182＝324.12.(2019·广州市调研测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 3＝7，a n ＝2a n －1＋a 2－2(n ≥2).(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式，并判断n ，a n ，S n 是否成等差数列？解：(1)证明：∵a 3＝7，a 3＝3a 2－2，∴a 2＝3， ∴a n ＝2a n －1＋1， ∴a 1＝1，a n ＋1a n －1＋1＝2a n －1＋2a n －1＋1＝2(n ≥2)，∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列. (2)由(1)知，a n ＋1＝2n， ∴a n ＝2n－1，∴S n ＝2（1－2n）1－2－n ＝2n ＋1－n －2，∴n ＋S n －2a n ＝n ＋(2n ＋1－n －2)－2(2n－1)＝0，∴n ＋S n ＝2a n ，即n ，a n ，S n 成等差数列.B 组——大题专攻强化练1.(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }满足a n ＋1－3a n ＝3n(n ∈N *)且a 1＝1. (1)设b n ＝a n3n －1，证明：数列{b n }为等差数列；(2)设c n ＝n a n，求数列{c n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知得a n ＋1＝3a n ＋3n，得b n ＋1＝a n ＋13n＝3a n ＋3n3n＝a n3n －1＋1＝b n ＋1，所以b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，所以b 1＝1， 所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列. (2)由(1)知，b n ＝a n3n －1＝n ，所以a n ＝n ·3n －1，c n ＝13n －1，所以S n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ＝32－12·3n －1.2.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a 5. (1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 解：(1)设{a n }的公差为d . 由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0. 由a 3＝4得a 1＋2d ＝4. 于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n （n －9）d 2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }.3.(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列； (2)求{a n }和{b n }的通项公式.解：(1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝12(a n ＋b n ).又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为12的等比数列.由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8， 即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2. 又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列. (2)由(1)知，a n ＋b n ＝12n －1，a n －b n ＝2n －1，所以a n ＝12[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝12n ＋n －12，b n ＝12[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝12n －n ＋12.4.已知数列{a n }的首项a 1＝3，a 3＝7，且对任意的n ∈N *，都有a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2020成立的最小正整数n 的值. 解：(1)令n ＝1得，a 1－2a 2＋a 3＝0，解得a 2＝5.又由a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0知，a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1＝2， 故数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝2的等差数列， 于是a n ＝2n ＋1，b n ＝a 2n －1＝2n ＋1.(2)由(1)知，b n ＝2n＋1.于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝(21＋22＋ (2))＋n ＝2（1－2n）1－2＋n ＝2n ＋1＋n －2.令f (n )＝2n ＋1＋n －2，易知f (n )是关于n 的单调递增函数，又f (9)＝210＋9－2＝1031，f (10)＝211＋10－2＝2056， 故使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2020成立的最小正整数n 的值是10.第2讲 数列通项与求和[例1] (1)已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，当n ≥2时，S n －1＋1＝a n ，则a 8＝________.(2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，则a n ＝____________. [解析] (1)当n ＝2时，S 1＋1＝a 2，即a 2＝2.当n ≥2时，⎩⎪⎨⎪⎧S n －1＋1＝a n ，S n ＋1＝a n ＋1，相减得a n ＋1＝2a n ，又a 1＝1，所以a 2＝2a 1.所以数列{a n }构成一个等比数列， 所以a 8＝a 2·q 6＝2×26＝128.(2)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，①故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1， 又n ＝1时，a 1＝2适合上式， 从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1. [答案] (1)128 (2)22n －1[解题方略]1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.形如a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠1，q ≠0)，可构造一个新的等比数列.[跟踪训练]1.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且log 5(S n ＋1)＝n ＋1，则数列{a n }的通项公式为________.解析：由log 5(S n ＋1)＝n ＋1，得S n ＋1＝5n ＋1，所以S n ＝5n ＋1－1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4×5n；当n ＝1时，a 1＝S 1＝24，不满足上式.所以数列a n 的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧24，n ＝1，4×5n，n ≥2. 答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧24，n ＝1，4×5n，n ≥2 2.已知首项为2的数列{a n }满足a n ＋1(2n －1)＝a n (2n ＋1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.答案：4n －2解析：因为a n ＋1(2n －1)＝a n (2n ＋1)(n ∈N *)，且a 1＝2，所以a n ＋1a n ＝2n ＋12n －1，得a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝2×31×53×…×2n －12n －3＝4n －2. 考点二数列的求和题型一 分组转化求和[例2] 已知{a n }为等差数列，且a 2＝3，{a n }前4项的和为16，数列{b n }满足b 1＝4，b 4＝88，且数列{b n －a n }为等比数列.(1)求数列{a n }和{b n －a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和S n .[解] (1)设{a n }的公差为d ，因为a 2＝3，{a n }前4项的和为16，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝3，4a 1＋4×32d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2， 所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. 设{b n －a n }的公比为q ， 则b 4－a 4＝(b 1－a 1)q 3， 因为b 1＝4，b 4＝88，所以q 3＝b 4－a 4b 1－a 1＝88－74－1＝27，解得q ＝3，所以b n －a n ＝(4－1)×3n－1＝3n.(2)由(1)得b n ＝3n＋2n －1，所以S n ＝(3＋32＋33＋ (3))＋(1＋3＋5＋…＋2n －1) ＝3（1－3n）1－3＋n （1＋2n －1）2＝32(3n －1)＋n 2 ＝3n ＋12＋n 2－32. [解题方略]求解此类题的关键：一是会“列方程”，即会利用方程思想求出等差数列与等比数列中的基本量；二是会“用公式”，即会利用等差(比)数列的通项公式，求出所求数列的通项公式；三是会“分组求和”，观察数列的通项公式的特征，若数列是由若干个简单数列(如等差数列、等比数列、常数列等)组成，则求前n 项和时可用分组求和法，把数列分成几个可以直接求和的数列；四是会“用公式法求和”，对分成的各个数列的求和，观察数列的特点，一般可采用等差数列与等比数列的前n 项和公式求和.题型二 裂项相消求和[例3] (2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝S n －1＋1(n ≥2，n ∈N )，且a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)记b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 为{b n }的前n 项和，求使T n ≥2n成立的n 的最小值.[解] (1)由已知有S n －S n －1＝1(n ≥2，n ∈N )， ∴数列{S n }为等差数列，又S 1＝a 1＝1， ∴S n ＝n ，即S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又a 1＝1也满足上式，∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 由T n ≥2n得n 2≥4n ＋2，即(n －2)2≥6，∴n ≥5，∴n 的最小值为5. [解题方略]求解此类题需过“三关”：一是定通项关，即会利用求通项的常用方法，求出数列的通项公式；二是巧裂项关，即能将数列的通项公式准确裂项，表示为两项之差的形式；三是消项求和关，即把握消项的规律，求和时正负项相消，准确判断剩余的项是哪几项，从而准确求和.题型三 错位相减求和[例4] (2019·天津高考)设{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，公比大于0.已知a 1＝b 1＝3，b 2＝a 3，b 3＝4a 2＋3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式.(2)设数列{c n }满足c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，b n 2，n 为偶数.求a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n (n ∈N *).[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3q ＝3＋2d ，3q 2＝15＋4d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝3， 故a n ＝3＋3(n －1)＝3n ，b n ＝3×3n －1＝3n.所以，{a n }的通项公式为a n ＝3n ，{b n }的通项公式为b n ＝3n. (2)a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1)＋(a 2b 1＋a 4b 2＋a 6b 3＋…＋a 2n b n ) ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤n ×3＋n （n －1）2×6＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n ×3n )＝3n 2＋6(1×31＋2×32＋…＋n ×3n). 记T n ＝1×31＋2×32＋…＋n ×3n，① 则3T n ＝1×32＋2×33＋…＋n ×3n ＋1，②②－①得，2T n ＝－3－32－33－ (3)＋n ×3n ＋1＝－3（1－3n）1－3＋n ×3n ＋1＝（2n －1）3n ＋1＋32.所以，a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a 2n c 2n ＝3n 2＋6T n ＝3n 2＋3×（2n －1）3n ＋1＋32＝（2n －1）3n ＋2＋6n 2＋92(n ∈N *).[解题方略]运用错位相减法求和的关键：一是判断模型，即判断数列{a n }，{b n }是不是一个为等差数列，一个为等比数列；二是错开位置，为两式相减不会看错列做准备；三是相减，相减时一定要注意最后一项的符号，学生在解题时常在此步出错，一定要小心.[跟踪训练]1.已知{a n }为正项等比数列，a 1＋a 2＝6，a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若b n ＝log 2a na n，且{b n }的前n 项和为T n ，求T n .解：(1)依题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝6，a 1q 2＝8，则3q 2－4q －4＝0，而q ＞0，∴q ＝2.于是a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n. (2)由(1)得b n ＝log 2a n a n ＝n2n ，∴T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1， 两式相减得，12T n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，∴T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n2n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－n2n ＝2－n ＋22n.2.(2019·江西七校第一次联考)设数列{a n }满足：a 1＝1，3a 2－a 1＝1，且2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且b 1＝12，4b n ＝a n －1a n (n ≥2)，求T n .解：(1)∵2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2)，∴2a n ＝1a n －1＋1a n ＋1(n ≥2).又a 1＝1，3a 2－a 1＝1， ∴1a 1＝1，1a 2＝32，∴1a 2－1a 1＝12， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为12的等差数列.∴1a n ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)， 即a n ＝2n ＋1. (2)∵4b n ＝a n －1a n (n ≥2)， ∴b n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1(n ≥2)，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎛⎪⎫1－12＋ ⎛⎪⎫12－13＋…＋ ⎛⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. [例5] (2019·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7.(1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值.[解] (1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2(舍去).所以a n ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3.(2)由(1)可知，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＜8.因为a n ＞0，所以S n 单调递增.又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8). 又S n ＜m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8.[解题方略]求解数列与函数交汇问题注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别重视；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.[跟踪训练](2019·重庆市七校联合考试)已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2－dx －3＜0的解集为(－1，3).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2a n ＋12＋a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)由题意知，方程a 1x 2－dx －3＝0的两个根分别为－1和3.则⎩⎪⎨⎪⎧d a 1＝2，－3a 1＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，a 1＝1.故数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)知a n ＝2n －1，所以b n ＝2a n ＋12＋a n ＝2n＋(2n －1)， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋3＋5＋…＋2n －1)＝2n ＋1＋n 2－2.数学运算——数列的通项公式及求和问题[典例] 设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为其前n 项和，已知S 3＝7，a 1＋3，3a 2，a 3＋4构成等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝a n ＋ln a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公比为q (q >1).由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，（a 1＋3）＋（a 3＋4）2＝3a 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ＋q 2）＝7，a 1（1－6q ＋q 2）＝－7. 由q >1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)由(1)得b n ＝2n －1＋(n －1)ln2，所以T n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)＋[0＋1＋2＋…＋(n －1)]ln2＝1－2n1－2＋n （n －1）2ln2＝2n－1＋n （n －1）2ln2.[素养通路]数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等.本题通过列出关于首项与公比的方程组，并解此方程组得出首项与公比，从而得出通项公式；通过分组分别根据等比数列求和公式、等差数列求和公式求和.考查了数学运算这一核心素养.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ＋1·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 2020＝( )A.－3027B.3027C.－3030D.3030解析：选C 因为a 1＋a 2＋…＋a 2020＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2019＋a 2020)＝(1－4)＋(7－10)＋…＋[(3×2019－2)－(3×2020－2)]＝(－3)×1010＝－3030，故选C.2.已知数列{a n }满足a n ＋1a n ＋1＋1＝12，且a 2＝2，则a 4＝( )A.－12B.23C.12D.11解析：选D 因为数列{a n }满足a n ＋1a n ＋1＋1＝12，所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即数列{a n ＋1}是等比数列，公比为2，则a 4＋1＝22(a 2＋1)＝12，解得a 4＝11.3.(2019·广东省六校第一次联考)数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，b n ＝(－1)na n (n ∈N *)，则数列{b n }的前50项和为( )A.49B.50C.99D.100解析：选A 由题意得，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，所以数列{b n }的前50项和为(－3＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－98＋100)＝1＋2×24＝49，故选A.4.已知数列{a n }是等差数列，若a 2，a 4＋3，a 6＋6构成公比为q 的等比数列，则q ＝( ) A.1 B.2 C.3D.4解析：选A 令等差数列{a n }的公差为d ，由a 2，a 4＋3，a 6＋6构成公比为q 的等比数列，得(a 4＋3)2＝a 2(a 6＋6)，即(a 1＋3d ＋3)2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d ＋6)，化简得(2d ＋3)2＝0，解得d ＝－32.所以q ＝a 4＋3a 2＝a 1－92＋3a 1－32＝a 1－32a 1－32＝1.故选A.5.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一，现为世界文化遗产，龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处浮雕共7层，每上层的数量是下层的2倍，总共有1016个浮雕，这些浮雕构成一幅优美的图案，若从最下层往上，浮雕的数量构成一个数列{a n }，则log 2(a 3a 5)的值为( )A.8B.10C.12D.16解析：选C 依题意得，数列{a n }是以2为公比的等比数列， 因为最下层的浮雕的数量为a 1，所以S 7＝a 1（1－27）1－2＝1016，解得a 1＝8，所以a n ＝8×2n －1＝2n ＋2(1≤n ≤7，n ∈N *)，所以a 3＝25，a 5＝27，从而a 3×a 5＝25×27＝212， 所以log 2(a 3a 5)＝log 2212＝12，故选C.6.(2019·洛阳市统考)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且a n >0，6S n ＝a 2n ＋3a n ，b n ＝2a n（2a n －1）（2a n ＋1－1），若k >T n 恒成立，则k 的最小值为( )A.17 B.149 C.49D.8441解析：选B ∵6S n ＝a 2n ＋3a n ，∴6S n ＋1＝a 2n ＋1＋3a n ＋1， ∴6a n ＋1＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＋3(a n ＋1－a n )， ∴(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝3(a n ＋1＋a n )， ∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，∴a n ＋1－a n ＝3， 又6a 1＝a 21＋3a 1，a 1>0，∴a 1＝3.∴{a n }是以3为首项，3为公差的等差数列，∴a n ＝3n ，∴b n ＝17·⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1，∴T n ＝17·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫18－1－182－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫182－1－183－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18n －1－18n ＋1－1＝17·⎝ ⎛⎭⎪⎫17－18n ＋1－1<149， ∴k ≥149，∴k 的最小值为149，故选B.二、填空题7.在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q >0，因为a 1＝2，a 2n ＋2＋4a 2n ＝4a 2n ＋1， 所以(a n q 2)2＋4a 2n ＝4(a n q )2，化为q 4－4q 2＋4＝0， 解得q 2＝2，q >0，解得q ＝ 2.则数列{a n }的通项公式a n ＝2×(2)n －1＝2n ＋12.答案：2n ＋128.(2019·安徽合肥一模改编)设等差数列{a n }满足a 2＝5，a 6＋a 8＝30，则a n ＝________，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1的前n 项和为________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d .∵{a n }是等差数列，∴a 6＋a 8＝30＝2a 7，解得a 7＝15，∴a 7－a 2＝5d .又a 2＝5，则d ＝2.∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n ＋1.∴1a 2n －1＝14n （n ＋1）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1的前n 项和为14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4（n ＋1）.答案：2n ＋1n4（n ＋1）9.(2019·福州市质量检测)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n ＝λa n －1(λ为常数)，若数列{b n }满足a n b n ＝－n 2＋9n －20，且b n ＋1<b n ，则满足条件的n 的取值集合为________.解析：因为a 1＝1，且S n ＝λa n －1(λ为常数)， 所以a 1＝λ－1＝1，解得λ＝2，所以S n ＝2a n －1，所以S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，所以a n ＝2a n －1，∴数列{a n }是等比数列，首项是1，公比是2，所以a n ＝2n －1.因为a n b n ＝－n 2＋9n －20，所以b n ＝－n 2＋9n －202n －1， 所以b n ＋1－b n ＝n 2－11n ＋282n＝（n －4）（n －7）2n<0，解得4<n <7，又因为n ∈N *，所以n ＝5或n ＝6. 即满足条件的n 的取值集合为{5，6}. 答案：{5，6} 三、解答题10.(2019·江西七校第一次联考)数列{a n }满足a 1＝1，a 2n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *). (1)求证：数列{a 2n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2a n ＋a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和.解：(1)由a 2n ＋2＝a n ＋1得a 2n ＋1－a 2n ＝2，且a 21＝1， 所以数列{a 2n }是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以a 2n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，又由已知易得a n ＞0，所以a n ＝2n －1(n ∈N *). (2)b n ＝2a n ＋a n ＋1＝22n －1＋2n ＋1＝2n ＋1－2n －1，故数列{b n }的前n 项和T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(3－1)＋(5－3)＋…＋(2n ＋1－2n －1)＝2n ＋1－1.11.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，b n ＝a n2n ＋2n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2－2n ＋2＝2n，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，所以a n ＝2n .(2)∵b n ＝a n2n ＋2n ＝2n ＋1，∴a n b n ＝(2n ＋1)·2n.∴T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)·2n， 2T n ＝3×22＋5×23＋7×24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1，∴－T n ＝6＋23＋24＋…＋2n ＋1－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋23（1－2n －1）1－2－(2n ＋1)2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.12.(2019·郑州市第二次质量预测)数列{a n }满足：a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝n 2＋n ，n ∈N *.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，求满足S n >920的最小正整数n .解：(1)由题意知，a 12＋a 23＋…＋a nn ＋1＝n 2＋n ，当n ≥2时，a 12＋a 23＋…＋a n －1n ＝(n －1)2＋n －1，两式相减得，a nn ＋1＝2n ，a n ＝2n (n ＋1)(n ≥2).当n ＝1时，a 1＝4也符合，所以a n ＝2n (n ＋1)，n ∈N *. (2)b n ＝1a n＝12n （n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以S n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 2（n ＋1）， 由S n ＝n 2（n ＋1）＞920得n ＞9，所以满足条件的最小正整数n 为10.B 组——大题专攻强化练1.(2019·河北省九校第二次联考)已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝（－1）na n，求{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，2S n ＝a n ＋1a n，即2S n a n －a 2n ＝1，①当n ＝1时，由①式可得a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入①式，得2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1， 整理得S 2n －S 2n －1＝1.所以{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列，S 2n ＝1＋n －1＝n . 因为{a n }的各项都为正数，所以S n ＝n ， 所以a n ＝S n －S n －1＝n －n －1(n ≥2)，又a 1＝S 1＝1，所以a n ＝n －n －1.(2)b n ＝（－1）na n ＝（－1）nn －n －1＝(－1)n(n ＋n －1)，当n 为奇数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n －1＋n －2)－(n ＋n －1)＝－n ；当n 为偶数时，T n ＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n －1＋n －2)＋(n ＋n －1)＝n .所以{b n }的前n 项和T n ＝(－1)nn .2.(2019·安徽省考试试题)已知等差数列{a n }中，a 5－a 3＝4，前n 项和为S n ，且S 2，S 3－1，S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n4na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)设{a n }的公差为d ，由a 5－a 3＝4，得2d ＝4，d ＝2. ∴S 2＝2a 1＋2，S 3－1＝3a 1＋5，S 4＝4a 1＋12，又S 2，S 3－1，S 4成等比数列，∴(3a 1＋5)2＝(2a 1＋2)·(4a 1＋12)， 解得a 1＝1， ∴a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n4na n a n ＋1＝(－1)n⎝⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1，当n 为偶数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1，∴T n ＝－1＋12n ＋1＝－2n2n ＋1.当n 为奇数时，T n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋12n －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋12n ＋1，∴T n ＝－1－12n ＋1＝－2n ＋22n ＋1.∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2n ＋1，n 为偶数，－2n ＋22n ＋1，n 为奇数.3.(2019·江苏高考题节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M ­数列”. (1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足：a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，求证：数列{a n }为“M ­数列”；(2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足：b 1＝1，1S n ＝2b n －2b n ＋1，其中S n 为数列{b n }的前n 项和.求数列{b n }的通项公式.解：(1)证明：设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 4＝a 5，a 3－4a 2＋4a 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q 4＝a 1q 4，a 1q 2－4a 1q ＋4a 1＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.因此数列{a n }为“M ­数列”.(2)因为1S n ＝2b n －2b n ＋1，所以b n ≠0.由b 1＝1，S 1＝b 1，得11＝21－2b 2，则b 2＝2.由1S n ＝2b n －2b n ＋1，得S n ＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）. 当n ≥2时，由b n ＝S n －S n －1，得b n ＝b n b n ＋12（b n ＋1－b n ）－b n －1b n2（b n －b n －1），整理得b n ＋1＋b n －1＝2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n ＝n (n ∈N *). 4.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n . (1)设b n ＝a nn，求数列{b n }的通项公式； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)由a n ＋1＝n ＋1n a n ＋n ＋12n 可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋12n， 又b n ＝a n n ，所以b n ＋1－b n ＝12n ，由a 1＝1，得b 1＝1，所以当n ≥2时，(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝121＋122＋…＋12n －1，所以b n －b 1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12＝1－12n －1，即b n ＝2－12n －1(n ≥2)，易知b 1＝1满足上式，所以b n ＝2－12n －1(n ∈N *).(2)由(1)可知a n ＝2n －n 2n －1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 2n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝120＋221＋322＋…＋n2n －1，①12T n ＝121＋222＋323＋…＋n2n ，② 由①－②得，12T n ＝120＋121＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝120－12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n . 所以T n ＝4－n ＋22n －1.所以数列{a n }的前n 项和S n ＝n (n ＋1)－4＋n ＋22n －1.[思维流程——找突破口][典例] 已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)·a n .设b n ＝a n n. (1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式. [快审题][稳解题] (1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）na n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以a 2＝4. 将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以a 3＝12. 从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4.(2)数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列. 理由如下： 由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn， 即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列. (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.[题后悟道] 等差、等比数列基本量的计算模型(1)分析已知条件和求解目标，确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题.如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的逻辑次序.(2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等.[针对训练]已知正数数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式.(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若b n ＋1>b n 对任意n ∈N *恒成立，求实数a 的取值范围.。

2020届高考数学二轮复习分层讲义(基础)数列

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第一章:等差数列与等比数列的综合核心考点一:等差、等比数列的判断与证明 方法总结判断和证明数列是等差、等比数列常见的3中方法如下： （1）定义法：对于2≥n 的任意正整数，都有1--n n a a （或1-n na a ）为同一常数（用于证明） （2）通项公式法：①若)()1(11d a nd d n a a n -+=-+=，则数列{}n a 为等差数列（用于判断）； ②若n nn n q c q qa q a a •=•==-111，则数列{}n a 为等比数列（用于判断）； （3）中项公式法：①若112+-+=n n n a a a （*,2N n n ∈≥），则数列{}n a 为等差数列（用于证明）；②若112+-=n n n a a a （*,2N n n ∈≥），则数列{}n a 为等比数列（用于证明）；例1.(1)设{}n a 为等差数列，证明：数列{}n a c （1,0≠>c c ）是等比数列。

(2)设{}n a 为正项等比数列，证明：数列{}n c a log （1,0≠>c c ）是等差数列。

解析（1）{}n a 为等差数列，则1--n n a a d =（*,2N n n ∈≥，d 为常数），令na n cb =，则0111≠===-+++d a a a a n n c c cc b b n n n n 是常数，所以数列{}n a c 是等比数列 （2）{}n a 为正项等比数列，则q a a nn =+1（0>q ）令n c n a b log =，则q a a b b c n c n c n n log log log 11=-=-++是常数，所以数列{}n c a log 是等差数列。

例2. 在数列{}n a 中，241+=+n n a S 且11=a（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列 （2）设22nn a c =，求证：数列{}n c 是等差数列 解析 （1）142n n S a +=+①*142(2,)n n S a n n N -=+≥∈②由①-②得1144n n n a a a +-=-，所以1112242(2)n n n n n n a a a a a a +---=-=-.当1n =时，211224265S a a a a =+==+⇒=，所以2125230,a a -=-=≠所以11222n n n n a a a a +--=-，令12n n n b a a +=-，所以*12(2,)n n bn n N b +=≥∈，故数列{}n b 是等比数列.（2）因为数列{}n b 是等比数列，12121312()233b a a S S a S a =-=--=-=.所以1111211(2)2322n n n n n n b b q a a a a ---+=⋅=-⋅=⋅=-， 则11232n n n a a -+-=⋅，所以113.224n n n n a a ++-= 令2n n na c =，又0n S ≠，故134n n c c +-=， 因此数列{}n c 是等差数列.例3. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，n n S nn a 21+=+（Λ,4,3,2=n ），证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等比数列。

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第二层提升篇：讲义 专题二第1讲 等差数列、等比数列

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第二层提升篇：讲义 专题二第1讲 等差数列、等比数列

专题二　数　列第1讲　等差数列、等比数列[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ等比数列基本运算·T 14等比数列的基本运算·T 62019等差数列的通项公式及求和·T 18等比数列的通项公式等差数列的求和·T 18等差数列的基本运算·T 142018数列的递推关系、等比数列的判定及计算·T 17等差数列的通项公式、前n项和公式及最值·T 17等比数列的通项公式、前n 项和公式·T 172017等比数列的通项公式与前n 项和公式、等差数列的判定·T 17等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式·T 17数列的递推关系及通项公式、裂项相消法求和·T 17(1)考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查等差数列、等比数列性质的应用，考查等差数列、等比数列的判断与证明等.(2)近三年高考考查数列多出现17(或18)题，试题难度中等，2020年高考可能以客观题考查，以基本运算为主，难度中等的题目较多，但有时也可能出现在第12题或16题位置上，难度偏大，复习时应引起关注.等差、等比数列的基本运算考点一[例1]　(1)(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8nD.S n ＝n 2－2n12(2)(2019·全国卷Ⅰ)设S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1＝，a ＝a 6，则1324S 5＝________.[解析]　(1)设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得解得{a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，){a 1＝－3，d ＝2.)所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋×2＝n 2－4n .n （n －1）2故选A.(2)由a ＝a 6得(a 1q 3)2＝a 1q 5，整理得q ＝＝3.241a 1∴ S 5＝＝.13（1－35）1－31213[答案]　(1)A (2)1213[解题方略]　等差(比)数列基本运算的解题思路(1)设基本量：首项a 1和公差d (公比q ).(2)列、解方程(组)：把条件转化为关于a 1和d (或q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量.[跟踪训练]1.(2019·福州市质量检测)已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1.若数列为等差数列，则{1an }a 9＝( )A. B.1254C.D.－4545解析：选C 因为数列为等差数列，a 3＝2，a 7＝1，{1an }所以数列的公差d ＝＝＝，所以＝＋(9－7)×＝，所以a 9＝，{1an }1a 7－1a 37－31－127－3181a 91a 7185445故选C.2.(2019·开封市定位考试)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋4S 2＝0，则公比q ＝( )A.－1 B.1C.－2D.2解析：选C 法一：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 1q 2＋4a 1＋4a 1q ＝0，因为a 1≠0，所以q 2＋4q ＋4＝0，所以q ＝－2，故选C.法二：因为a 3＋4S 2＝0，所以a 2q ＋＋4a 2＝0，因为a 2≠0，所以q ＋＋4＝0，即4a 2q 4q (q ＋2)2＝0，所以q ＝－2，故选C.3.(2019·全国卷Ⅱ)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，a 1＝2，a 3＝2a 2＋16.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和.解：(1)设{a n }的公比为q ，由题设得2q 2＝4q ＋16，即q 2－2q －8＝0.解得q ＝－2(舍去)或q ＝4.因此{a n }的通项公式为a n ＝2×4n －1＝22n －1.(2)由(1)得b n ＝(2n －1)log 22＝2n －1，因此数列{b n }的前n 项和为1＋3＋…＋2n －1＝n 2.等差数列、等比数列的性质考点二[例2]　(1)(2019·长春市质量监测一)各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 6＝30，S 9＝70，则S 3＝________.(2)在等差数列{a n }中，已知a 1＝13，3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________.[解析]　(1)法一：设数列{a n }的公比为q (q ＞0且q ≠1)，由题意可得{S 6＝a 1（1－q 6）1－q＝30， ①S 9＝a 1（1－q 9）1－q＝70， ②)①÷②得，＝＝，又由q ＞0，得q 3＝2，再由1－q 61－q 91＋q 31＋q 3＋q 637＝＝＝，得S 3＝S 6＝10.S 3S 6a 1（1－q 3）1－qa 1（1－q 6）1－q11＋q 31313法二：由题意可得(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，即(30－S 3)2＝40S 3，即S －100S 3＋900＝0，23解得S 3＝10或S 3＝90，又数列{a n }的各项均为正数，所以S 3＜S 6，S 3＝90(舍去)，故S 3＝10.(2)设{a n }的公差为d .法一：由3a 2＝11a 6，得3(13＋d )＝11(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.由得解得6.5≤n ≤7.5.{an ≥0，an ＋1≤0){－2n ＋15≥0，－2（n ＋1）＋15≤0，)因为n ∈N *，所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝＝49.7（13－2×7＋15）2法二：由3a 2＝11a 6，得3(13＋d )＝11(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15.所以S n ＝＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，n （13＋15－2n ）2所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49.[答案]　(1)10　(2)49[解题方略]　与数列性质有关问题的求解策略抓关系抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解用性质数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题[跟踪训练]1.在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则的值为( )a 2a 16a 9A.－ B.－2＋222C.D.－或222解析：选B 设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，所以a 3·a 15＝a ＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3<0，a 15<0，则a 9＝－，所以292＝＝a 9＝－，故选B.a 2a 16a 922.(2019·四省八校双教研联考)在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则a 4＝( )15A.－1 B.0C.1D.2解析：选C 法一：设{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以a 4＝1，故15选C.法二：设{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以a 4＝1，故选C.15法三：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，得4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以a 4＝1，故选C.153.数列{a n }是首项a 1＝m ，公差为2的等差数列，数列{b n }满足2b n ＝(n ＋1)a n ，若对任意n ∈N *都有b n ≥b 5成立，则m 的取值范围是________.解析：由题意得，a n ＝m ＋2(n －1)，从而b n ＝a n ＝[m ＋2(n －1)].n ＋12n ＋12又对任意n ∈N *都有b n ≥b 5成立，结合数列{b n }的函数特性可知b 4≥b 5，b 6≥b 5，故解得－22≤m ≤－18.{52（m ＋6）≥3（m ＋8），72（m ＋10）≥3（m ＋8），)答案：[－22，－18]等差(比)数列的判断与证明考点三[例3]　设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N *，都有S n ＝2－a n ，数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝(n ≥2，n ∈N *).bn －11＋b n －1(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)判断数列是等差数列还是等比数列，并求数列{b n }的通项公式.{1bn }[解]　(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，解得a 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a n －1－a n ，即＝(n ≥2，n ∈N *).anan －112所以数列{a n }是首项为1，公比为的等比数列，12故数列{a n}的通项公式为a n＝.(12)n －1(2)因为a 1＝1，所以b 1＝2a 1＝2.因为b n ＝，所以＝＋1，bn －11＋bn －11bn 1bn －1即－＝1(n ≥2).1bn 1bn －1所以数列是首项为，{1bn }12公差为1的等差数列.所以＝＋(n －1)·1＝，1bn 122n －12故数列{b n }的通项公式为b n ＝.22n －1[解题方略]数列{a n }是等差数列或等比数列的证明方法(1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法：①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2).(2)证明{a n }是等比数列的两种基本方法：①利用定义，证明(n ∈N *)为一常数；an ＋1an ②利用等比中项，即证明a ＝a n －1a n ＋1(n ≥2).2n [跟踪训练]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *).(1)求a 1，a 2，a 3的值.(2)设b n ＝a n ＋3，证明数列{b n }为等比数列，并求通项公式a n .解：(1)因为数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *).所以n ＝1时，由a 1＝S 1＝2a 1－3×1，解得a 1＝3，n ＝2时，由S 2＝2a 2－3×2，得a 2＝9，n ＝3时，由S 3＝2a 3－3×3，得a 3＝21.(2)因为S n ＝2a n －3n ，所以S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式相减，得a n ＋1＝2a n ＋3，①把b n ＝a n ＋3及b n ＋1＝a n ＋1＋3，代入①式，得b n ＋1＝2b n (n ∈N *)，且b 1＝6，所以数列{b n }是以6为首项，2为公比的等比数列，所以b n ＝6×2n －1，所以a n ＝b n －3＝6×2n －1－3＝3(2n －1).逻辑推理——等比数列运算中的分类讨论[典例]　已知等比数列{a n }中a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是( )A.(－∞，－1] B.(－∞，0)∪[1，＋∞) C.[3，＋∞)D.(－∞，－1]∪[3，＋∞)[解析]　设等比数列{a n }的公比为q ，则S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 2＝1＋q ＋.(1q＋1＋q)1q 当公比q >0时，S 3＝1＋q ＋≥1＋2＝3，当且仅当q ＝1时，等号成立；1q q ·1q 当公比q <0时，S 3＝1－≤1－2 ＝－1，当且仅当q ＝－1时，等(－q －1q )（－q ）·(－1q )号成立.所以S 3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).[答案]　D [素养通路]等比数列的公比q <0时，相邻两项一定异号，相隔一项的两项符号一定相同；等比数列的公比q >0时，数列中的各项符号相同.用等比数列前n 项和公式时，如果其公比q 不确定，要分q ＝1和q ≠1两种情况进行讨论.本题考查了逻辑推理及数学运算的核心素养.[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1.(2019·全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( )A.16 B.8C.4D.2解析：选C 由题意知{a 1>0，q >0，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＝15，a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，)解得∴ a 3＝a 1q 2＝4.故选C.{a 1＝1，q ＝2，)2.(2019·湖南省五市一校联考)已知数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，a 2＋a 4＋a 6＝12，a 1＋a 3＋a 5＝9，则a 1＋a 6＝( )A.6B.7C.8D.9解析：选B 法一：由题意知，数列{a n }是等差数列，设公差为d ，则解得所以a 1＋a 6＝a 1＋a 1＋5d ＝7，故选B.{a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋5d ＝12，a 1＋a 1＋2d ＋a 1＋4d ＝9，){a 1＝1，d ＝1，)法二：由题意知，数列{a n }是等差数列，将a 2＋a 4＋a 6＝12与a 1＋a 3＋a 5＝9相加可得3(a 1＋a 6)＝12＋9＝21，所以a 1＋a 6＝7，故选B.3.(2019·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A.32B.31C.64D.63解析：选B 法一：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得解得所以S 5＝31，故选B.{a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，){a 1＝1，q ＝2，)法二：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a ＝64，a 3＝4，得24q ＝2，a 1＝1，所以S 5＝31，故选B.4.数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝3，a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2，n ∈N *)，那么a 2 019＝( )A.1 B.－2C.3D.－3解析：选A 因为a n ＋1＝a n －a n －1(n ≥2)，所以a n ＝a n －1－a n －2(n ≥3)，所以a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2(n ≥3).所以a n ＋3＝－a n (n ∈N *)，所以a n ＋6＝－a n ＋3＝a n ，故{a n }是以6为周期的周期数列.因为2 019＝336×6＋3，所以a 2 019＝a 3＝a 2－a 1＝3－2＝1.故选A.5.(2019届高三·西安八校联考)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6>S 7>S 5，则满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为( )A.10B.11C.12D.13解析：选C 由S 6>S 7>S 5，得S 7＝S 6＋a 7<S 6，S 7＝S 5＋a 6＋a 7>S 5，所以a 7<0，a 6＋a 7>0，所以S 13＝＝13a 7<0，S 12＝＝6(a 6＋a 7)>0，所以13（a 1＋a 13）212（a 1＋a 12）2S 12S 13<0，即满足S n S n ＋1<0的正整数n 的值为12，故选C.6.已知数列{a n }满足a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，n ∈N *，且a 5＝，若函数f (x )＝sinπ22x ＋2cos 2 ，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为( )x2A.0 B.－9C.9D.1解析：选C 由已知可得，数列{a n }为等差数列，f (x )＝sin2x ＋cosx ＋1，∴f ＝1.∵f (π－x )＝sin(2π－2x )＋cos(π－x )＋1＝－sin 2x －cos x ＋1，∴f (π－x )(π2)＋f (x )＝2，∵a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝…＝2a 5＝π，∴f (a 1)＋…＋f (a 9)＝2×4＋1＝9，即数列{y n }的前9项和为9.二、填空题7.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，S 3＝，则34S 4＝________.解析：设等比数列的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1＝q n －1.∵ a 1＝1，S 3＝，∴ a 1＋a 2＋a 3＝1＋q ＋q 2＝，3434即4q 2＋4q ＋1＝0，∴ q ＝－，12∴ S 4＝＝.1×[1－(－12)4]1－(－12)58答案：588.(2019·北京高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________.解析：∵ a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，∴ a 1＝－4，d ＝1，∴ a 5＝a 1＋4d ＝0，∴ a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n <0，则n <5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后为正.∴ S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10.答案：0　－109.设某数列的前n 项和为S n ，若为常数，则称该数列为“和谐数列”.若一个首项SnS 2n 为1，公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }为“和谐数列”，则该等差数列的公差d ＝________.解析：由＝k (k 为常数)，且a 1＝1，得n ＋n (n －1)d ＝k，SnS 2n 12[2n ＋12×2n （2n －1）d]即2＋(n －1)d ＝4k ＋2k (2n －1)d ，整理得，(4k －1)dn ＋(2k －1)(2－d )＝0，∵对任意正整数n ，上式恒成立，∴得∴数列{a n }的公差为2.{d （4k －1）＝0，（2k －1）（2－d ）＝0，){d ＝2，k ＝14，)答案：2三、解答题10.(2019·北京高考)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列.(1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值.解：(1)设{a n }的公差为d .因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d .因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列，所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6).所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ).解得d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12.(2)由(1)知，a n ＝2n －12.则当n ≥7时，a n >0；当n ≤6时，a n ≤0.所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.11.(2019·广西梧州、桂林、贵港等期末)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 3＝8，S 9＝81.(1)求{a n }的通项公式；(2)若S 3，a 14，S m 成等比数列，求S 2m .解：(1)∵∴{S 9＝9a 5＝9（a 1＋4d ）＝81，a 2＋a 3＝2a 1＋3d ＝8，){a 1＝1，d ＝2，)故a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(2)由(1)知，S n ＝＝n 2.n （1＋2n －1）2∵S 3，a 14，S m 成等比数列，∴S 3·S m ＝a ，214即9m 2＝272，解得m ＝9，故S 2m ＝182＝324.12.(2019·广州市调研测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 3＝7，a n ＝2a n －1＋a 2－2(n ≥2).(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式，并判断n ，a n ，S n 是否成等差数列？解：(1)证明：∵a 3＝7，a 3＝3a 2－2，∴a 2＝3，∴a n ＝2a n －1＋1，∴a 1＝1，＝＝2(n ≥2)，an ＋1an －1＋12an －1＋2an －1＋1∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列.(2)由(1)知，a n ＋1＝2n ，∴a n ＝2n －1，∴S n ＝－n ＝2n ＋1－n －2，2（1－2n ）1－2∴n ＋S n －2a n ＝n ＋(2n ＋1－n －2)－2(2n －1)＝0，∴n ＋S n ＝2a n ，即n ，a n ，S n 成等差数列.B 组——大题专攻强化练1.(2019·湖南省湘东六校联考)已知数列{a n }满足a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)且a 1＝1.(1)设b n ＝，证明：数列{b n }为等差数列；3n －1(2)设c n ＝，求数列{c n }的前n 项和S n .n an 解：(1)证明：由已知得a n ＋1＝3a n ＋3n ，得b n ＋1＝＝＝＋1＝b n ＋1，an ＋13n 3an ＋3n 3n an 3n －1所以b n ＋1－b n ＝1，又a 1＝1，所以b 1＝1，所以数列{b n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)由(1)知，b n ＝＝n ，所以a n ＝n ·3n －1，c n ＝，an 3n －113n －1所以S n ＝＝＝－.1×(1－13n )1－1332(1－13n )3212·3n －12.(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9＝－a 5.(1)若a 3＝4，求{a n }的通项公式；(2)若a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值范围.解：(1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n .(2)由(1)得a 1＝－4d ，故a n ＝(n －5)d ，S n ＝.n （n －9）d 2由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10，所以n 的取值范围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }.3.(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝1，b 1＝0，4a n ＋1＝3a n －b n ＋4，4b n ＋1＝3b n －a n －4.(1)证明：{a n ＋b n }是等比数列，{a n －b n }是等差数列；(2)求{a n }和{b n }的通项公式.解：(1)证明：由题设得4(a n ＋1＋b n ＋1)＝2(a n ＋b n )，即a n ＋1＋b n ＋1＝(a n ＋b n ).2又因为a 1＋b 1＝1，所以{a n ＋b n }是首项为1，公比为的等比数列.12由题设得4(a n ＋1－b n ＋1)＝4(a n －b n )＋8，即a n ＋1－b n ＋1＝a n －b n ＋2.又因为a 1－b 1＝1，所以{a n －b n }是首项为1，公差为2的等差数列.(2)由(1)知，a n ＋b n ＝，a n －b n ＝2n －1，12n －1所以a n ＝[(a n ＋b n )＋(a n －b n )]＝＋n －，1212n 12b n ＝[(a n ＋b n )－(a n －b n )]＝－n ＋.1212n 124.已知数列{a n }的首项a 1＝3，a 3＝7，且对任意的n ∈N *，都有a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0，数列{b n }满足b n ＝a ，n ∈N *.2n －1(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2 020成立的最小正整数n 的值.解：(1)令n ＝1得，a 1－2a 2＋a 3＝0，解得a 2＝5.又由a n －2a n ＋1＋a n ＋2＝0知，a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝…＝a 2－a 1＝2，故数列{a n }是首项a 1＝3，公差d ＝2的等差数列，于是a n ＝2n ＋1，b n ＝a ＝2n ＋1.2n －1(2)由(1)知，b n ＝2n ＋1.于是b 1＋b 2＋…＋b n ＝(21＋22＋…＋2n )＋n ＝＋n ＝2n ＋1＋n －2.2（1－2n ）1－2令f (n )＝2n ＋1＋n －2，易知f (n )是关于n 的单调递增函数，又f (9)＝210＋9－2＝1 031，f (10)＝211＋10－2＝2 056，故使b 1＋b 2＋…＋b n ＞2 020成立的最小正整数n 的值是10.。

(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专题 函数与导数教案讲义汇编全集

(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专题 函数与导数教案讲义汇编全集

第1讲 函数的图象与性质[例1] (1)已知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，a x ＋b ，x ≤0(0＜a ＜1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A.－2B.2C.3D.－3(2)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________.[解析] (1)由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，①f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0＜a ＜1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x ＞0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2，故选B.(2)当x ≥1时，f (x )＝2x －1≥1，∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x <1，2x －1，x ≥1的值域为R ，∴当x <1时，y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞，1]内的所有实数，则⎩⎪⎨⎪⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥1，解得0≤a ＜12.[答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 [解题方略]1.函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数 “分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解[跟踪训练]1.已知函数f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋8－2x的定义域为( )A.[0，3]B.[0，2]C.[1，2]D.[1，3]解析：选A 由题意，函数f (x )的定义域为[0，2]，即x ∈[0，2]，因为函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋8－2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧0≤12x ≤2，8－2x ≥0，得0≤x ≤3，即函数g (x )的定义域为[0，3]，故选A. 2.函数f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)的值域为( )A.(2.4)B.[2，4)C.[2，4]D.(2，4]解析：选B 法一：因为f (x )＝2＋|x |－x2(－2＜x ≤2)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，－2＜x ≤0，2，0＜x ≤2.函数f (x )的图象如图所示，由图象得，函数f (x )的值域为[2，4).法二：因为f (x )＝2＋|x |－x 2(－2＜x ≤2)，当－2＜x ≤0时，f (x )＝2－x ，所以2≤f (x )＜4；当0＜x ≤2时，f (x )＝2.综上，函数f (x )的值域为[2，4).3.已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A.①② B.①③ C.②③D.①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足.综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③. 考点二函数的图象及应用题型一 函数图象的识别[例2] (1)(2019·开封市定位考试)函数f (x )的大致图象如图所示，则函数f (x )的解析式可以是( )A.f (x )＝x 2·sin|x |B.f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x ·cos 2xC.f (x )＝()e x－e－xcos ⎝⎛⎭⎪⎫π2xD.f (x )＝x ln|x ||x|(2)(2019·福建五校第二次联考)函数f (x )＝x 2＋ln(e －x )ln(e ＋x )的图象大致为( )[解析] (1)由题中图象可知，在原点处没有图象，故函数的定义域为{}x |x ≠0，故排除选项A 、C ；又函数图象与x 轴只有两个交点，f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫x －1x cos2x 中cos2x ＝0有无数个根，故排除选项B ，正确选项是D.(2)因为f (－x )＝(－x )2＋ln(e ＋x )ln(e －x )＝x 2＋ln(e －x )ln(e ＋x )＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数，据此可排除选项C ()也可由f （0）＝1排除选项C .当x →e 时，f (x )→－∞，据此可排除选项B 、D.故选A.[答案] (1)D (2)A [解题方略]寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法知式选图①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置②从函数的单调性，判断图象的变化趋势 ③从函数的奇偶性，判断图象的对称性 ④从函数的周期性，判断图象的循环往复知图选式①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域 ②从图象的变化趋势，观察函数的单调性③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性 ④从图象的循环往复，观察函数的周期性题型二 函数图象的应用[例3] (1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x ＞2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是( )A.－14≤a ＜0B.a ≤－14C.－1≤a ≤－14D.a ≤－1(2)(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A.(－∞，－1]B.(0，＋∞)C.(－1，0)D.(－∞，0)[解析] (1)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x －1，x ＞2，ax －1，x ≤2是R 上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－12a ≤2，2a －1≥4a ＋2－1，解得a ≤－1，故选D.(2)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示. 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. [答案] (1)D (2)D [解题方略]1.利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解，但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题，从而利用数形结合求解.2.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性.[跟踪训练]1.已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( ) A.f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞) B.f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1) C.f (x )是奇函数，递减区间是(－1，1) D.f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)解析：选C 将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x ＜0，作出函数f (x )的图象， 如图，观察图象可知，函数f (x )为奇函数，且在(－1，1)上单调递减.2.(2019·安徽五校联盟第二次质检)函数y ＝x 2＋12x的图象大致为( )解析：选C 因为函数y ＝x 2＋12x为奇函数，所以其图象关于原点对称，当x ＞0时，y＝12x 2＋1x 2＝121＋1x 2，所以函数y ＝x 2＋12x在(0，＋∞)上单调递减，所以排除选项B 、D ；又当x ＝1时，y ＝22＜1，所以排除选项A ，故选C. 3.已知函数f (x )＝2xx －1，则下列结论正确的是( ) A.函数f (x )的图象关于点(1，2)对称 B.函数f (x )在(－∞，1)上是增函数C.函数f (x )的图象上至少存在两点A ，B ，使得直线AB ∥x 轴D.函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称 解析：选A 因为f (x )＝2x x －1＝2x －1＋2，所以函数f (x )在(－∞，1)上是减函数，排除B ；画出函数f (x )的大致图象如图所示，结合图象排除C 、D.因为f (x )＋f (2－x )＝2xx －1＋2（2－x ）（2－x ）－1＝2x x －1＋4－2x1－x＝4，所以函数f (x )的图象关于点(1，2)对称.[例4] (1)(2019·广东六校第一次联考)在R 上函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，|2－x |，0≤x <1，其中a ∈R ，若f (－5)＝f (4.5)，则a ＝( )A.0.5B.1.5C.2.5D.3.5(2)(2019·济南市模拟考试)已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＋x x 2＋1＋1，则f (x )的最大值与最小值的和为( )A.0B.1C.2D.4[解析] (1)由f (x ＋1)＝f (x －1)，即有f (x ＋2)＝f (x )，得f (x )是周期为2的函数，又f (－5)＝f (4.5)，所以f (－1)＝f (0.5)，即－1＋a ＝1.5，所以a ＝2.5，故选C.(2)由已知得f (x )＝sin2x ＋x x 2＋1＋1，因为y ＝sin2x ，y ＝xx 2＋1都为奇函数，所以不妨设f (x )在x ＝a 处取得最大值，则根据奇函数的对称性可知，f (x )在x ＝－a 处取得最小值，故f (a )＋f (－a )＝sin2a ＋aa 2＋1＋1＋sin(－2a )＋－aa 2＋1＋1＝2.故选C. [答案] (1)C (2)C[解题方略] 函数3个性质及应用[跟踪训练]1.(2018·全国卷Ⅲ)下列函数中，其图象与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是( )A.y ＝ln(1－x )B.y ＝ln(2－x )C.y ＝ln(1＋x )D.y ＝ln(2＋x )解析：选B 函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝f (a －x )的图象关于直线x ＝a2对称，令a ＝2可得与函数y ＝ln x 的图象关于直线x ＝1对称的是函数y ＝ln(2－x )的图象.故选B.2.(2019·河北省九校第二次联考)已知函数f (x )＝x 3＋2x ＋sin x ，若f (a )＋f (1－2a )>0，则实数a 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(－∞，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13解析：选B f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又f ′(x )＝3x2＋2＋cos x >0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，∴由f (a )＋f (1－2a )>0，得f (a )>f (2a －1)，a >2a －1，解得a <1，故选B.3.函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，记a ＝12f (2)，b ＝f (1)，c ＝－13f (－3)，则a ，b ，c 之间的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.a >c >b解析：选B 因为对任意两个正数x 1，x 2(x 1<x 2)，都有x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，所以f （x 1）x 1>f （x 2）x 2，得函数g (x )＝f （x ）x 在(0，＋∞)上是减函数，又c ＝－13f (－3)＝13f (3)，所以g (1)>g (2)>g (3)，即b >a >c ，故选B.数学抽象——抽象函数与函数的三大性质[典例] 定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上是( ) A.减函数且f (x )>0 B.减函数且f (x )<0 C.增函数且f (x )>0D.增函数且f (x )<0[解析] 当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，由f (x )＝log 12(1－x )可知f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上函数f (x )也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数f (x )的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上，函数f (x )单调递增且f (x )<0.故选D. [答案] D [素养通路]数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养.主要包括：从数量与数量关系，图形与图形关系中抽象出数学概念与概念之间的关系，从事物的具体背景中抽象出一般规律与结构，并用数学语言予以表征.本题由函数的奇偶性得到其对称区间的单调性，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )得知f (x )的周期，进而得出f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上的性质.考查了数学抽象这一核心素养. [专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1.函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域是( ) A.(2，3) B.(2，＋∞) C.(3，＋∞)D.(2，3)∪(3，＋∞)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －4＞0，x －3≠0，解得x ＞2且x ≠3，所以函数y ＝log 2(2x －4)＋1x －3的定义域为(2，3)∪(3，＋∞)，故选D. 2.若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x，则f (2)＝( )A.12B.eC.1eD.－1解析：选B 法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.3.(2019·长沙市统一模拟考试)下列函数中，图象关于原点对称且在定义域内单调递增的是( )A.f (x )＝sin x －xB.f (x )＝ln(x －1)－ln(x ＋1)C.f (x )＝e x ＋e －x2D.f (x )＝e x－e－x2解析：选D 由题意，f (x )＝sin x －x ，该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，而f ′(x )＝cos x －1≤0，即在定义域内f (x )＝sin x －x 单调递减，故A 不满足；对于B ，研究定义域可得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，x ＋1>0，即该函数的定义域为(1，＋∞)，所以该函数是非奇非偶函数，故B 不满足；对于C ，函数的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，所以该函数是偶函数，不满足图象关于原点对称的条件，故C 不满足；对于D ，函数的定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，所以该函数是奇函数，满足图象关于原点对称的条件，又f ′(x )＝e x ＋e－x2>0，所以该函数在其定义域内单调递增，满足题目中的条件，故选D.4.(2019·江西九江两校3月联考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点，且满足f (－x )＝f (－1＋x )，则函数f (x )在[－1，3]上的值域为( )A.[0，12]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，12 解析：选B 因为函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象过坐标原点， 所以f (0)＝0，则b ＝0.由f (－x )＝f (－1＋x )，可知函数的图象的对称轴为直线x ＝－12，即－a 2×1＝－12，所以a ＝1，则f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，所以当x ＝－12时，f (x )取得最小值，且最小值为－14.又f (－1)＝0，f (3)＝12，所以f (x )在[－1，3]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，12.故选B.5.函数f (x )＝ln|x |＋1ex的图象大致为( )解析：选C 函数f (x )＝ln|x |＋1e x 是非奇非偶函数，排除A 、B ；函数f (x )＝ln|x |＋1e x的零点是x ＝±e －1，当x ＝e 时，f (e)＝2e e <1e，排除选项D.6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A.f (－25)<f (11)<f (80)B.f (80)<f (11)<f (－25)C.f (11)<f (80)<f (－25)D.f (－25)<f (80)<f (11)解析：选D 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数， 则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3).由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1).因为f (x )在区间[0，2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数，所以f (x )在区间[－2，2]上是增函数，所以f (－1)<f (0)<f (1)，即f (－25)<f (80)<f (11).7.设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(]－2，1上的图象，则f (2019)＋f (2020)＝( )A.2B.1C.－1D.0解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，所以f (2019)＝f (2019－673×3)＝f (0)，f (2020)＝f (2020－673×3)＝f (1)，由题中图象知f (0)＝0，f (1)＝1，所以f (2019)＋f (2020)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1，故选B.8.(2019·湖北武汉3月联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的单调递减区间是( )A.(－∞，0]B.[0，1)C.[1，＋∞)D.[－1，0]解析：选B 由题意知g (x )＝x 2f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ＞1，0，x ＝1，－x 2，x ＜1，画出函数g (x )的图象(图略)，由图可得函数g (x )的单调递减区间为[0，1).故选B.9.(2019·湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，1x，x ＜0，g (x )＝－f (－x )，则函数g (x )的图象大致是( )解析：选D 先画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，1x，x ＜0的图象，如图(1)所示，再根据函数f (x )与－f (－x )的图象关于坐标原点对称，即可画出函数－f (－x )的图象，即g (x )的图象，如图(2)所示，故选D.10.(2019·湖北武汉部分重点中学3月联考)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (1)＝－1，若f (2x －1)≥－1，则x 的取值范围为( )A.(－∞，－1]B.[1，＋∞)C.[0，1]D.(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C 由题意，得f (x )在(－∞，0]上单调递增，且f (1)＝－1，所以f (2x －1)≥f (1)，则|2x －1|≤1，解得0≤x ≤1.故选C.11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3（a －3）x ＋2，x ≤1，－4a －ln x ，x ＞1，对于任意的x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0成立，则实数a 的取值范围是( )A.(－∞，3]B.(－∞，3)C.(3，＋∞)D.[1，3)解析：选D 由(x 1－x 2)[f (x 2)－f (x 1)]＞0，得函数f (x )为R 上的单调递减函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a －3＜0，3（a －3）＋2≥－4a ，解得1≤a ＜3.故选D. 12.已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|＜g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )( )A.有最小值－1，最大值1B.有最大值1，无最小值C.有最小值－1，无最大值D.有最大值－1，无最小值解析：选C 作出函数g (x )＝1－x 2和函数|f (x )|＝|2x－1|的图象如图①所示，得到函数h (x )的图象如图②所示，由图象得函数h (x )有最小值－1，无最大值.二、填空题13.(2019·山东济宁期末改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋b ，x ＞1，e x －2，x ≤1，若f (e)＝－3f (0)，则b ＝________，函数f (x )的值域为________________.解析：由f (e)＝－3f (0)得1＋b ＝－3×(－1)，即b ＝2，即函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2，x ＞1，e x－2，x ≤1.当x ＞1时，y ＝ln x ＋2＞2；当x ≤1时，y ＝e x－2∈(－2，e －2].故函数f (x )的值域为(－2，e －2]∪(2，＋∞).答案：2 (－2，e －2]∪(2，＋∞)14.(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝－e ax，若f (ln2)＝8，则a ＝________.解析：设x >0，则－x <0.∵当x <0时，f (x )＝－e ax ，∴f (－x )＝－e －ax.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝－f (－x )＝e －ax，∴f (ln2)＝e－a ln2＝(e ln2)－a ＝2－a.又∵f (ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a ＝－3. 答案：－315.已知定义在R 上的偶函数f (x )满足当x ≥0时，f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，且a ≠1)，则当－1<f (－1)<1时，a 的取值范围为________.解析：因为f (x )是定义在R 上的偶函数， 所以f (－1)＝f (1)＝log a 2.因为－1<f (－1)<1，所以－1<log a 2<1，所以log a 1a<log a 2<log a a .①当a >1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a <2，a >2，解得a >2；②当0<a <1时，原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧1a >2，a <2，解得0<a <12.综上，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞).答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)16.(2019·河北保定两校3月联考)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ＜0，kx ＋2，x ≥0，若曲线f (x )存在“优美点”，则实数k 的取值范围为________.解析：由“优美点”的定义，可知若点(x 0，f (x 0))是曲线y ＝f (x )的“优美点”，则点(－x 0，－f (x 0))也在曲线y ＝f (x )上.如图，作出函数y ＝x 2＋2x (x ＜0)的图象，然后作出其关于原点对称的图象，此图象对应的函数解析式为y ＝－x 2＋2x (x ＞0).设过定点(0，2)的直线y ＝k 1x ＋2与曲线y ＝f (x )＝－x 2＋2x (x ＞0)切于点A (x 1，f (x 1))，则k 1＝y ′|x ＝x 1＝－2x 1＋2＝－x 21＋2x 1－2x 1－0，解得x 1＝2或x 1＝－2(舍去)，所以k 1＝－22＋2.由图可知，若曲线y ＝f (x )存在“优美点”，则k ≤2－2 2. 答案：(－∞，2－22]B 组——“5＋3”提速练1.设y ＝f (x )是R 上的奇函数，且f (x )在区间(0，＋∞)上递减，f (2)＝0，则f (x )＞0的解集是( )A.(－∞，－2)B.(0，2)C.(－∞，－2)∪(0，2)D.(－2，0)∪(0，2)解析：选C 根据题意，函数f (x )是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减，且f (2)＝0，则函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (－2)＝－f (2)＝0. 当x ＞0时，若f (x )＞0，即f (x )＞f (2)，必有0＜x ＜2，当x ＜0时，若f (x )＞0，即f (x )＞f (－2)，必有x ＜－2， 即f (x )＞0的解集是(－∞，－2)∪(0，2).2.(2019·全国卷Ⅲ)函数y ＝2x32x ＋2－x 在[－6，6]的图象大致为( )解析：选B ∵y ＝f (x )＝2x32x ＋2－x ，x ∈[－6，6]，∴f (－x )＝2（－x ）32－x ＋2x ＝－2x32－x ＋2x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，排除选项C.当x ＝4时，y ＝2×4324＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97∈(7，8)，排除选项A 、D.故选B.3.已知函数f (x )为偶函数，且函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，若g (3)＝2，则f (－2)＝( )A.－2B.2C.－3D.3解析：选D 因为函数f (x )与g (x )的图象关于直线y ＝x 对称，且g (3)＝2，所以f (2)＝3，因为函数f (x )为偶函数，所以f (－2)＝f (2)＝3，故选D.4.(2019·重庆4月调研)已知函数f (x )＝2x ＋log 32＋x 2－x ，若不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >3成立，则实数m 的取值范围是( )A.(1，＋∞)B.(－∞，1)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选D 由2＋x 2－x >0，得－2<x <2，因为y ＝2x 在(－2，2)上单调递增，y ＝log 32＋x2－x ＝log 3x －2＋42－x ＝log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－4x －2在(－2，2)上单调递增，所以函数f (x )为增函数，又f (1)＝3，所以不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m >3成立等价于不等式f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＞f (1)成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＜1m ＜2，1m ＞1，解得12<m <1.故选D.5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f (x )的图象恰好经过n (n ∈N *)个整点，则称函数f (x )为n 阶整点函数，给出下列函数：①f (x )＝sin2x ；②g (x )＝x 3；③h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x；④φ(x )＝ln x . 其中是一阶整点函数的是( ) A.①②③④ B.①③④ C.①④D.④解析：选C 对于函数f (x )＝sin2x ，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除D ；对于函数g (x )＝x 3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，…，所以它不是一阶整点函数，排除A ；对于函数h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(－1，3)，…，所以它不是一阶整点函数，排除B.6.已知函数f (x )的图象关于点(－3，2)对称，则函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象的对称中心为________.解析：函数h (x )＝f (x ＋1)－3的图象是由函数f (x )的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f (x )的图象关于点(－3，2)对称，所以函数h (x )的图象的对称中心为(－4，－1).答案：(－4，－1)7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x －1），x ≥0，－f （－x ），x <0，则满足f (x )＋f (x －1)<2的x 的取值范围是________.解析：当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－[－x (－x －1)]＝－x (x ＋1)， ①若x <0，则x －1<－1，由f (x )＋f (x －1)<2得－x (x ＋1)－(x －1)x <2， 即－2x 2<2，即x 2>－1，此时恒成立，此时x <0. ②若x ≥1，则x －1≥0，由f (x )＋f (x －1)<2得x (x －1)＋(x －1)(x －2)<2，即x 2－2x <0，即0<x <2，此时1≤x <2. ③若0≤x <1，则x －1<0，则由f (x )＋f (x －1)<2得x (x －1)－(x －1)x <2， 即0<2，此时不等式恒成立，此时0≤x <1， 综上x <2，即不等式的解集为(－∞，2). 答案：(－∞，2)8.若函数y ＝f (x )满足：对于y ＝f (x )图象上任意一点P (x 1，f (x 1))，总存在点P ′(x 2，f (x 2))也在y ＝f (x )图象上，使得x 1x 2＋f (x 1)f (x 2)＝0成立，称函数y ＝f (x )是“特殊对点函数”.给出下列五个函数：①y ＝x －1；②y ＝e x －2；③y ＝ln x ；④y ＝1－x 2(其中e 为自然对数底数).其中是“特殊对点函数”的序号是________.(写出所有正确的序号)解析：由P (x 1，f (x 1))，P ′(x 2，f (x 2))满足x 1x 2＋f (x 1)·f (x 2)＝0，知OP ―→·OP ′―→＝0，即OP ―→⊥OP ′―→.①y ＝x －1.当P (1，1)时，由图象知满足OP ―→⊥OP ′―→的点P ′(x 2，f (x 2))不在y ＝x －1上，故①y ＝x －1不是“特殊对点函数”；②y ＝e x －2.作出函数y ＝e x－2的图象，由图象知，满足OP ―→⊥OP ′―→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则②是“特殊对点函数”；③y ＝ln x .当P (1，0)时，满足OP ―→⊥OP ′―→的点不在y ＝ln x 上，故③y ＝ln x 不是“特殊对点函数”；④y ＝1－x 2.作出函数y ＝1－x 2的图象，由图象知，满足OP ―→⊥OP ′―→的点P ′(x 2，f (x 2))都在y ＝f (x )图象上，则④是“特殊对点函数”.答案：②④第2讲 基本初等函数、函数与方程[例1] (1)若当x ∈R 时，函数f (x )＝a |x |(a >0，且a ≠1)满足f (x )≤1，则函数y ＝log a (x ＋1)的图象大致为( )(2)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，函数f (x )是单调递减函数，则f (log 25)，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315，f (log 53)的大小关系是( )A.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315<f (log 53)<f (log 25)B.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315<f (log 25)<f (log 53)C.f (log 53)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315<f (log 25)D.f (log 25)<f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315<f (log 53) [解析] (1)由a |x |≤1(x ∈R )，知0<a <1，又函数y ＝log a (x ＋1)的图象是由y ＝log a x 的图象向左平移一个单位而得，故选C.(2)因为f (x )在R 上为偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎪⎫log 315＝f (－log 35)＝f (log 35).由对数函数的单调性可知，log 25>log 35>1>log 53>0. 又因为f (x )在[0，＋∞)上为单调递减函数， 所以f (log 53)>f (log 35)>f (log 25)， 即f (log 53)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 315>f (log 25). [答案] (1)C (2)D[解题方略] 基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a 的值不确定，要注意分a >1和0<a <1两种情况讨论：当a >1时，两函数在定义域内都为增函数；当0<a <1时，两函数在定义域内都为减函数.(2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断.(3)对于幂函数y ＝x α的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同.[跟踪训练]1.若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )解析：选B ∵y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，∴a >1，则y ＝log a x 在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称.因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B.2.(2019·天津高考)已知a ＝log 27，b ＝log 38，c ＝0.30.2，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.c <b <a B.a <b <c C.b <c <aD.c <a <b解析：选A ∵a ＝log 27>log 24＝2，b ＝log 38<log 39＝2且b >1，c ＝0.30.2<0.30＝1，∴c <b <a .故选A.3.已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，且a ≠1)满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x ＞0的解集为( )A.(0，1)B.(－∞，1)C.(1，＋∞)D.(0，＋∞)解析：选C 因为函数f (x )＝log a x (a ＞0且a ≠1)在(0，＋∞)为单调函数，而2a ＜3a且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ，所以f (x )＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ＞0，得0＜1－1x ＜1，所以x ＞1，故选C.考点二函数与方程题型一 确定函数零点个数或所在区间[例2] (1)(2019·新疆乌鲁木齐地区三检)在下列区间中，函数f (x )＝e x＋3x －4的零点所在的区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14B.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 (2)(2019·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝2sin x －sin2x 在[0，2π]的零点个数为( ) A.2 B.3 C.4D.5[解析] (1)因为f ′(x )＝e x＋3＞0，所以函数f (x )在R 上单调递增. 易知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12＋32－4＝e 12－52， 因为e ＜254，所以e 12＜52，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，但f (1)＝e ＋3－4＝e －1＞0， 所以结合选项可知，函数f (x )的零点所在区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，故选C.(2)令f (x )＝0，得2sin x －sin2x ＝0， 即2sin x －2sin x cos x ＝0，∴2sin x (1－cos x )＝0，∴sin x ＝0或cos x ＝1. 又x ∈[0，2π]，∴由sin x ＝0得x ＝0，π或2π，由cos x ＝1得x ＝0或2π. 故函数f (x )的零点为0，π，2π，共3个.故选B. [答案] (1)C (2)B [解题方略]1.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断. 2.判断函数零点个数的3种方法题型二 根据函数的零点求参数的范围[例3] (2019·江西八所重点中学联考)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |（x ≤1），－x 2＋4x －2（x ＞1），若关于x的方程a ＝f (x )恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[)1，2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[)1，2C.(1，2)D.[)1，2[解析] 关于x 的方程a ＝f (x )恰有两个不同的实根，即函数f (x )的图象与直线y ＝a 恰有两个不同的交点，作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可得实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪[)1，2，故选B.[答案] B[解题方略]利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法[跟踪训练]1.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x（x ＜1），log 2x （x ≥1），则函数g (x )＝f (x )－1的所有零点之和等于( )A.4B.2C.1D.0解析：选B 令g (x )＝0，则f (x )＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＜1，2x ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，log 2x ＝1，解得x ＝0或x ＝2，所以函数g (x )＝f (x )－1的所有零点之和等于2.故选B.2.对于实数a ，b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，a ＜b ，b 2－a 2，a ≥b ，设f (x )＝(2x －3)⊗(x －3)，且关于x 的方程f (x )＝k (k ∈R )恰有三个互不相同的实根，则k 的取值范围为( )A.(0，2)B.(0，3)C.(]0，2D.(]0，3解析：选B 因为a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b －a ，a ＜b ，b 2－a 2，a ≥b ，所以f (x )＝(2x －3)⊗(x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ＜0，－3x 2＋6x ，x ≥0， 其图象如图所示：由图可得，要使关于x 的方程f (x )＝k (k ∈R )恰有三个互不相同的实根，则k ∈(0，3).[例4] (1)(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2－m 1＝52lg E 1E 2，其中星等为m k 的星的亮度为E k (k ＝1，2).已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A.1010.1B.10.1C.lg10.1D.10－10.1(2)某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.则该场________天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.[解析] (1)设太阳的星等为m 1，天狼星的星等为m 2，则太阳与天狼星的亮度分别为E 1，E 2，由条件m 1＝－26.7，m 2＝－1.45，m 2－m 1＝52lg E 1E 2，得52lg E 1E 2＝－1.45＋26.7＝25.25.∴lgE 1E 2＝25.25×25＝10.1，∴E 1E 2＝1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.(2)设该场x (x ∈N *)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y 元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，所以x 天饲料的保管费与其他费用共是6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元).从而有y ＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417，当且仅当300x＝3x ，即x＝10时，y 有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.[答案] (1)A (2)10[解题方略]1.应用函数模型解决实际问题常见类型 (1)应用所给函数模型解决实际问题. (2)构建函数模型解决实际问题.2.求解函数应用问题的一般程序及关键(1)一般程序：读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答.(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.[跟踪训练]1.某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B （x －A ），x ＞A .已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表：若四月份该家庭使用了20m 3的煤气，则其煤气费为( ) A.11.5元 B.11元 C.10.5元D.10元解析：选A 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12（x －5），x ＞5，所以f (20)＝4＋12×(20－5)＝11.5.2.(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A 型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.解析：设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x ＝14.4.化简得x －6×0.9x＝0. 令f (x )＝x －6×0.9x ，易得f (x )为单调递增函数，又f (3)＝－1.374＜0，f (4)＝0.0634＞0，所以函数f (x )在(3，4)上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元. 答案：4直观想象——数形结合法在函数零点问题中的应用[典例] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A.1B.2C.3D.4[解析] 函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象的交点的个数.如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个.故选B.[答案] B [素养通路]直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数.考查了直观想象这一核心素养.[专题过关检测]A 组——“12＋4”满分练一、选择题1.幂函数的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，14，则它的单调递增区间是( )A.(0，＋∞)B.[)0，＋∞C.(－∞，＋∞)D.(－∞，0)解析：选D 设f (x )＝x a ，则2a ＝14，所以a ＝－2，所以f (x )＝x －2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0).故选D.2.(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.c <a <bD.b <c <a解析：选B 由对数函数的单调性可得a ＝log 20.2<log 21＝0，由指数函数的单调性可得b ＝20.2>20＝1，0<c ＝0.20.3<0.20＝1，所以a <c <b .故选B.3.函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3)D.(3，4)解析：选B 函数f (x )＝－|x |－x ＋3是单调减函数，因为f (1)＝1＞0，f (2)＝1－2＜0，所以f (1)f (2)＜0，可知函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为(1，2).4.(2019·广州市综合检测(一))如图，一高为H 且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T .若鱼缸水深为h 时，水流出所用时间为t ，则函数h ＝f (t )的图象大致是( )解析：选B 水位由高变低，排除C 、D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.5.若函数y ＝a －a x(a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( )A.1B.2C.3D.4解析：选C ∵当a >1时，函数y ＝a －a x在[0，1]上单调递减，∴a －1＝1且a －a ＝0，解得a ＝2；当0<a <1时，函数y ＝a －a x在[0，1]上单调递增，∴a －1＝0且a －a ＝1，此时无解.∴a ＝2，因此log a 56＋log a 485＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫56×485＝log 28＝3.故选C.6.若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A.f (x )＝e x ＋1B.f (x )＝e x －1C.f (x )＝e－x ＋1D.f (x )＝e－x －1解析：选D 与y ＝e x的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x.依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.7.某商场为了解商品的销售情况，对某种电器今年一至五月份的月销售量Q (x )(台)进行统计，得数据如下：根据表中的数据，你认为能较好地描述月销售量Q (x )(台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数是( )A.Q (x )＝ax ＋b (a ≠0)B.Q (x )＝a |x －4|＋b (a ≠0)C.Q (x )＝a (x －3)2＋b (a ≠0) D.Q (x )＝a ·b x(a ≠0，b >0且b ≠1)解析：选C 观察数据可知，当x 增大时，Q (x )的值先增大后减小，且大约是关于Q (3)对称，故月销售量Q (x )(台)与时间x (月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x ＝3对称的，显然只有选项C 满足题意，故选C.8.已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，且在x ＝0处有意义，则该函数为( )A.(－∞，＋∞)上的减函数B.(－∞，＋∞)上的增函数C.(－1，1)上的减函数D.(－1，1)上的增函数解析：选D 由题意知，f (0)＝lg(2＋a )＝0，∴a ＝－1，∴f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x －1＝lg x ＋11－x ，令x ＋11－x >0，则－1<x <1，排除A 、B ，又y ＝21－x－1在(－1，1)上是增函数，∴f (x )在(－1，1)上是增函数.选D.9.设函数f (x )＝ax －k－1(a >0，且a ≠1)过定点(2，0)，且f (x )在定义域R 上是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析：选A 由题意可知a2－k－1＝0，解得k ＝2，所以f (x )＝ax －2－1，又f (x )在定义域R 上是减函数，所以0<a <1.此时g (x )＝log a (x ＋2)在定义域上单调递减，且恒过点(－1，0)，故选A.10.(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A.[－1，0)B.[0，＋∞)C.[－1，＋∞)D.[1，＋∞)解析：选C 令h (x )＝－x －a ，则g (x )＝f (x )－h (x ).在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )的示意图，如图所示.若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象，可知当直线y ＝－x －a 过点(0，1)时，有2个交点，此时1＝－0－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意.综上，a 的取值范围为[－1，＋∞).故选C.11.(2019·贵阳市第一学期监测)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递减，若a ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.5)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A.a ＜b ＜cB.b ＜a ＜cC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a解析：选D 由题意，函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，因为函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215＝f (－log 25)＝f (log 25)，因为log 25＞log 24.1＞2＞20.5＞0，所以f (log 25)＞f (log 24.1)＞f (20.5)，即c ＜b ＜a ，故选D.12.(2019·福州市质量检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x ＞0，当x ∈[m ，m ＋1]时，不等式f (2m －x )＜f (x ＋m )恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.(－∞，－4)B.(－∞，－2)C.(－2，2)D.(－∞，0)解析：选B 易知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＋4，x ≤0，－x 3－x ＋5，x ＞0在x ∈R 上单调递减，又f (2m －x )＜f (x ＋m )在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2m －x ＞x ＋m ，即2x ＜m 在x ∈[m ，m ＋1]上恒成立，所以2(m ＋1)＜m ，解得m ＜－2，故选B.二、填空题13.(2019·广州市综合检测(一))已知函数f (x )＝x 3＋a log 3x ，若f (2)＝6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.解析：由f (2)＝8＋a log 32＝6，解得a ＝－2log 32，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋a log 312＝18－a log 32＝18＋2log 32×log 32＝178. 答案：17814.(2019·河北模拟调研改编)已知函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0，且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0]，则实数a ＝________；若函数g (x )＝a x ＋m－3的图象不经过第一象限，则实数m 的取值范围为________.解析：函数f (x )＝log a (－x ＋1)(a ＞0且a ≠1)在[－2，0]上的值域是[－1，0].当a ＞1时，f (x )＝log a (－x ＋1)在[－2，0]上单调递减，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝0，f （0）＝log a 1＝－1，无解；当0＜a＜1时，f (x )＝log a (－x ＋1)在[－2，0]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧f （－2）＝log a 3＝－1，f （0）＝log a 1＝0，解得a ＝13.∵g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ＋m－3的图象不经过第一象限，∴g (0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13m－3≤0，解得m ≥－1，即实数m 的取值范围是[－1，＋∞).。

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇专题六 函数与导数第1讲 函数的图象与性质

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇专题六 函数与导数第1讲 函数的图象与性质

综上.不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞.0)．故选D.法二：∵f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x≤0，1，x>0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知.要使f (x ＋1)<f (2x ).则需⎩⎨⎧x ＋1<0，2x<0，2x<x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x<0，∴x <0.故选D.4.[分段函数求参数值或范围]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（1－2a ）x ＋3a ，x<1，2x －1，x≥1的值域为R.则实数a 的取值范围是________． 解析：当x ≥1时.f (x )＝2x －1≥1.∵函数f (x )＝⎩⎨⎧（1－2a ）x ＋3a ，x<1，2x －1，x≥1的值域为R .∴当x <1时.y ＝(1－2a )x ＋3a 必须取遍(－∞.1]内的所有实数.则⎩⎨⎧1－2a>0，1－2a ＋3a≥1，解得0≤a ＜12. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12[解题方略]1．函数定义域的求法求函数的定义域.其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则.列出不等式或不等式组.然后求出它们的解集即可．2．分段函数问题的5种常见类型及解题策略 求函数值弄清自变量所在区间.然后代入对应的解析式.求“层层套”的函数值.要从最内层逐层往外计算求函数最值 分别求出每个区间上的最值.然后比较大小 解不等式 根据分段函数中自变量取值范围的界定.代入相应的解析式求解.但要注意取值范围的大前提求参数 “分段处理”.采用代入法列出各区间上的方程 利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质.利用该性质求解[小创新——变换角度考迁移]1.[概念型新定义函数问题]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2（1－x ），0≤x≤1，x －1，1＜x≤2，如果对任意的n ∈N *.定义f n (x )＝(x )]}.那么f 2 020(2)的值为( ) A ．0 B.1 C ．2D.3解析：选B ∵f 1(2)＝f (2)＝1.f 2(2)＝f (1)＝0.f 3(2)＝f (0)＝2.∴f n (2)的值具有周期性.且周期为3.∴f 2 020(2)＝f 3×673＋1(2)＝f 1(2)＝1.故选B.2.[性质型新定义函数问题]已知具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数.我们称为满足“倒负”变换的函数.下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B.①③ C ．②③D.①解析：选B 对于①.f (x )＝x －1x .f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x ).满足；对于②.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x ).不满足；对于③.f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x ).满足．综上可知.满足“倒负”变换的函数是①③.故选B.考点二 函数的图象及应用题型一 函数图象的识别[例1](1)已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x>0，g （x ），x<0是偶函数.f (x )＝log a x 的图象过点(2.1).则y ＝g (x )在(－∞.0)上对应的大致图象是( )(2)(20xx·××市检测(一))如图.一高为H 且装满水的鱼缸.其底部装有一排水小孔.当小孔打开时.水从孔中匀速流出.水流完所用时间为T .若鱼缸水深为h 时.水流出所用时间为t .则函数h ＝f (t )的图象大致是( )(3)已知某个函数的部分图象如图所示.则这个函数的解析式可能是( ) A ．y ＝x ln xB ．y ＝x ln x －x ＋1C ．y ＝ln x ＋1x －1 D ．y ＝－ln xx ＋x －1[解析] (1) 因为f (x )＝log a x 的图象过点(2.1).且恒过点(1.0).且y ＝⎩⎨⎧f （x ），x>0，g （x ），x<0是偶函数.所以y ＝g (x )在(－∞.0)上对应的图象和f (x )＝log a x 的图象关于y 轴对称.所以y ＝g (x )的图象过点(－2.1)和(－1.0)．观察图象只有选项B 满足题意．(2)水位由高变低.排除C 、D 半缸前下降速度先快后慢.半缸后下降速度先慢后快．故选B.(3)对于选项A .当x ＝2时.2ln 2＝ln 4＞ln e ＝1.由图象可知选项A 不符合题意；对于选项B .当x ＝e 时.eln e －e ＋1＝1.由图象可知选项B 不符合题意；对于选项C .当x ＝e 时.ln e ＋1e －1＝1e ＜1.由图象可知选项C 不符合题意．故选D.[答案] (1)B (2)B (3)D [解题方略]寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法知式选图①从函数的定义域.判断图象的左右位置；从函数的值域.判断图象的上下位置②从函数的单调性.判断图象的变化趋势 ③从函数的奇偶性.判断图象的对称性 ④从函数的周期性.判断图象的循环往复知图选式①从图象的左右、上下分布.观察函数的定义域、值域②从图象的变化趋势.观察函数的单调性 ③从图象的对称性方面.观察函数的奇偶性 ④从图象的循环往复.观察函数的周期性题型二 函数图象的应用[例2] (1)已知函数f (x )＝x |x |－2x .则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数.递增区间是(0.＋∞)B ．f (x )是偶函数.递减区间是(－∞.1)C ．f (x )是奇函数.递减区间是(－1.1)D ．f (x )是奇函数.递增区间是(－∞.0)(2)函数f (x )＝－x 2＋3x ＋a .g (x )＝2x －x 2.若f (g (x ))≥0对x ∈[0.1]恒成立.则实数a 的取值范围是( )A ．[－e.＋∞) B.[－ln 2.＋∞)C ．[－2.＋∞)D.⎝⎛⎦⎥⎤－12，0 [解析] (1)将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值.得f (x )＝⎩⎨⎧x2－2x ，x≥0，－x2－2x ，x ＜0，作出函数f (x )的图象. 如图.观察图象可知.函数f (x )为奇函数.且在(－1.1)上单调递减．故选C.(2)如图所示.在同一坐标系中作出y ＝x 2＋1.y ＝2x .y ＝x 2＋32的图象. 由图象可知.在[0.1]上. x 2＋1≤2x ＜x 2＋32恒成立. 即1≤2x －x 2＜32.当且仅当x ＝0或x ＝1时等号成立. ∴1≤g (x )＜32.∴f (g (x ))≥0⇒f (1)≥0⇒－1＋3＋a ≥0⇒a ≥－2. 则实数a 的取值范围是[－2.＋∞)． [答案] (1)C (2)C [解题方略]1．利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解.但其与函数有关时.常将不等式问题转化为两函数图象的上下关系问题.从而利用数形结合求解．2．利用函数的图象研究函数的性质对于已知或解析式易画出其在给定区间上图象的函数.其性质常借助图象研究：①从图象的最高点、最低点.分析函数的最值、极值；②从图象的对称性.分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势.分析函数的单调性、周期性．[多练强化]1．(20xx·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin x＋xcos x＋x2在[－π.π]的图象大致为( )解析：选D∵f(－x)＝sin（－x）－xcos（－x）＋（－x）2＝－sin x＋xcos x＋x2＝－f(x).∴f(x)为奇函数.排除A；∵f(π)＝sin π＋πcos π＋π2＝π－1＋π2>0.∴排除C；∵f(1)＝sin 1＋1cos 1＋1.且sin 1>cos1.∴f(1)>1.∴排除B.故选D.2.某地一年的气温Q(t)(单位：℃)与时间t(月份)之间的关系如图所示．已知该年的平均气温为10 ℃.令C(t)表示时间段[0.t]的平均气温.下列四个函数图象中.最能表示C(t)与t之间的函数关系的是( )(2)(20xx·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞.＋∞)的奇函数.满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2.则f(1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B.0 C ．2 D.50(3)(20xx·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数.且当x <0时.f (x )＝－e ax .若f (ln2)＝8.则a ＝________．[解析] (1)由f (x )为奇函数.在(0.＋∞)上单调递增.且f (－1)＝0.可得f (1)＝0.作出函数f (x )的示意图如图所示.由f (x ＋1)＞0.可得－1＜x ＋1＜0或x ＋1＞1.解得－2＜x ＜－1或x ＞0.所以f (x ＋1)＞0的解集为(－2.－1)∪(0.＋∞)．故选D.(2)法一：∵f (x )是奇函数.∴f (－x )＝－f (x ).∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x ).得－f (x －1)＝f (x ＋1).∴f (x ＋2)＝－f (x ).∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x ).∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数得f (0)＝0.又∵f (1－x )＝f (1＋x ).∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称.∴f (2)＝f (0)＝0.∴f (－2)＝0.又f (1)＝2.∴f (－1)＝－2.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0.∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.故选C.法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x .作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知.f (x )的一个周期为4.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.故选C.。

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇专题七 选考系列第2讲 不等式选讲 Word版

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇专题七 选考系列第2讲 不等式选讲 Word版
解：(1)f(x)＝|x＋5|－|x－4|≥x＋1等价于
或 或
解得x≤－10或0≤x＜4或4≤x≤8.
于是原不等式的解集为(－∞.－10]∪[0.8]．
(2)易知|x＋5|－|x－4|≤|(x＋5)－(x－4)|＝9.即M＝9.
所以(a＋1)(b＋1)＝9.
即9＝(a＋1)(b＋1)＝[( )2＋1][( )2＋1]≥( ＋1)2.
(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式.可用零点分区间法脱去绝对值符号.将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．
(4)几何法：利用绝对值的几何意义.画出数轴.将绝对值转化为数轴上两点的距离求解．
(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象.利用函数图象求解．
≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2].
所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥ .
当且仅当x＝ .y＝－ .z＝－ 时等号成立．
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为 .
(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2
＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)·(z－a)＋(z－a)(x－2)]
(1)不等式选讲是高考的选考内容之一.考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等.命题的热点是绝对值不等式的求解.以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．
(2)此部分命题形式单一、稳定.难度中等.备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．
[例1](20xx·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．
②当 ≤x<1时.f(x)＝x≤4.∴ ≤x＜1；

2020高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题四 概率与统计 第2讲 统计、统计案例

2020高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题四 概率与统计 第2讲 统计、统计案例

第2讲统计、统计案例[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019数字特征·T5频率分布直方图、均值的应用·T172018统计图的识别与分析·T3折线图、线性回归方程模型问题·T18茎叶图的应用及独立性检验·T182017频率分布直方图、独立性检验·T18折线图的识别与分析·T3(1)统计与统计案例在选择题或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置．(2)统计与统计案例在解答题中多出现在第18或19题位置，考查茎叶图、直方图、数字特征及统计案例，多以计算为主．考点一抽样方法[题组练透]1．福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为()81 47 23 68 63 93 17 90 12 69 86 81 62 93 50 60 91 33 75 85 61 39 8506 32 35 92 46 22 54 10 02 78 49 82 18 86 70 48 05 46 88 15 19 20 49A.12B.33C.06D.16解析：选C被选中的红色球号码依次为17，12，33，06，32，22.所以第四个被选中的红色球号码为06，故选C.2．利用系统抽样法从编号分别为1，2，3，…，80的80件不同产品中抽出一个容量为16的样本，如果抽出的产品中有一件产品的编号为13，则抽到产品的最大编号为() A．73 B.78C．77 D.76解析：选B 样本的分段间隔为8016＝5，所以13号在第三组，则最大的编号为13＋(16－3)×5＝78.故选B.3．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：最喜爱 喜爱 一般 不喜欢 4 8007 2006 4001 600电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为( )A.25，25，25，25B.48，72，64，16C.20，40，30，10D.24，36，32，8解析：选D 因为抽样比为10020 000＝1200， 所以每类人中应抽选的人数分别为4 800×1200＝24，7 200×1200＝36，6 400×1200＝32，1 600×1200＝8.故选D. 4．某班共有学生56人，学号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知学号为2，30，44的同学在样本中，则样本中还有一位同学的学号为________．解析：由题意得，将56人按学号从小到大分成4组，则分段间隔为14，所以抽取的学号依次为2，16，30，44，故还有一位同学的学号为16.答案：16[解题方略] 系统抽样和分层抽样中的计算 (1)系统抽样①总体容量为N ，样本容量为n ，则要将总体均分成n 组，每组Nn 个(有零头时要先去掉)．②若第一组抽到编号为k 的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为k ＋Nn ，…，k＋(n －1)Nn.(2)分层抽样按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比. 考点二 用样本估计总体[例1](2019·全国卷Ⅲ)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．[解](1)由已知得0.70＝a＋0.20＋0.15，故a＝0.35，b＝1－0.05－0.15－0.70＝0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15＋3×0.20＋4×0.30＋5×0.20＋6×0.10＋7×0.05＝4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05＋4×0.10＋5×0.15＋6×0.35＋7×0.20＋8×0.15＝6.00.[解题方略]1．方差的计算与含义(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算．(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大．2．从频率分布直方图中得出有关数据的方法 频率 频率分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示频率组距，频率＝组距×频率组距频率比 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，各小长方形高的比也就是频率比 众数 最高小长方形底边中点的横坐标中位数 平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 平均数频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和[多练强化]1．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示：用电量/度 120 140 160 180 200 户数23582则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是( ) A ．180，170 B.160，180 C ．160，170D.180，160解析：选A 用电量为180度的家庭最多，有8户，故这20户家庭该月用电量的众数是180；将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，180，故这20户家庭该月用电量的中位数是170.故选A.2．(2019·贵阳模拟)如图的折线图是某超市2018年一月份至五月份的营业额与成本数据，根据该折线图，下列说法正确的是( )A ．该超市2018年的前五个月中三月份的利润最高B．该超市2018年的前五个月的利润一直呈增长趋势C．该超市2018年的前五个月的利润的中位数为0.8万元D．该超市2018年前五个月的总利润为3.5万元解析：选D第1个月利润为3－2.5＝0.5(万元)，第2个月利润为3.5－2.8＝0.7(万元)，第3个月利润为3.8－3＝0.8(万元)，第4个月利润为4－3.5＝0.5(万元)，第5个月利润为5－4＝1(万元)，其中第5个月利润最高，为1万元，所以A错误．第4个月利润相比第3个月在下降，所以B错误．前五个月的利润的中位数为0.7万元，所以C错误，前五个月的总利润为0.5＋0.7＋0.8＋0.5＋1＝3.5(万元)，所以D正确．3．(2019·武昌区调研考试)对参加某次数学竞赛的1 000名选手的初赛成绩(满分：100分)作统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据直方图完成以下表格；成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数(2)求参赛选手初赛成绩的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)如果从参加初赛的选手中选取380人参加复赛，那么如何确定进入复赛选手的成绩？解：(1)填表如下：成绩[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]频数50150350350100(2)平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，方差s2＝(－23)2×0.05＋(－13)2×0.15＋(－3)2×0.35＋72×0.35＋172×0.1＝101.(3)进入复赛选手的成绩为80＋350－（380－100）350×10＝82(分)，所以初赛成绩为82分及其以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及其以上均可) 考点三 统计案例题型一 回归分析在实际问题中的应用[例2] (2018·全国卷Ⅱ)下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y (单位：亿元)的折线图．为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y 与时间变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，17)建立模型①：y ^＝－30.4＋13.5t ；根据2010年至2016年的数据(时间变量t 的值依次为1,2，…，7)建立模型②：y ^＝99＋17.5t .(1)分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； (2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．[解] (1)利用模型①，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝－30.4＋13.5×19＝226.1(亿元)．利用模型②，可得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y ^＝99＋17.5×9＝256.5(亿元)．(2)利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：(ⅰ)从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y ＝－30.4＋13.5t 上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y ^＝99＋17.5t 可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．(ⅱ)从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．(以上给出了2种理由，答出其中任意一种或其他合理理由均可) [解题方略] 求回归直线方程的方法(1)若所求的回归直线方程是在选择题中，常利用回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必经过样本点的中心(x ，y )快速选择．(2)若所求的回归直线方程是在解答题中，则求回归直线方程的一般步骤为：题型二 独立性检验在实际问题中的应用[例3] (2019·武汉市调研测试)2019年，在庆祝中华人民共和国成立70周年之际，又迎来了以“创军人荣耀，筑世界和平”为口号的第七届世界军人运动会(以下简称“军运会”)．据悉，这次军运会将于2019年10月18日至27日在美丽的江城武汉举行，届时将有来自100多个国家的近万名军人运动员参赛．相对于奥运会、亚运会等大型综合赛事，军运会或许对很多人来说还很陌生，所以武汉某高校为了在学生中更广泛地推介普及军运会相关知识内容，特在网络上组织了一次“我所知晓的武汉军运会”知识问答比赛．为便于对答卷进行对比研究，组委会抽取了1 000名男生和1 000名女生的答卷，他们的成绩(单位：分)频率分布直方图如下：(注：答卷满分为100分，成绩≥80的答卷为“优秀”等级)(1)从现有1 000名男生和1 000名女生的答卷中各取一份，分别求答卷成绩为“优秀”等级的概率；(2)求下面列联表中a，b，c，d的值，并根据列联表回答：能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”？男女总计优秀 a b a＋b非优秀 c d c＋d总计 1 000 1 000 2 000(3)根据男、女生成绩频率分布直方图，对他们的成绩的优劣进行比较．附：P(K2≥k0)0.050.0250.010k0 3.841 5.024 6.635K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.[解](1)男生答卷成绩为“优秀”等级的概率P＝(0.058＋0.034＋0.014＋0.010)×5＝0.58，女生答卷成绩为“优秀”等级的概率P1＝(0.046＋0.034＋0.016＋0.010)×5＝0.53.(2)男女总计优秀 580 530 1 110 非优秀 420 470 890 总计1 0001 0002 000∴a ＝580，b ＝530，c ＝420，d ＝470. 由K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )得，K 2＝2 000×(580×470－530×420)21 110×890×1 000×1 000≈5.061＞5.024，∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“答卷成绩为‘优秀’等级与性别有关”．(3)根据男、女生成绩频率分布直方图可得，男、女生成绩的中位数均在80到85之间，但男生的成绩分布集中程度较女生成绩分布集中程度高，因此，可以认为男生的成绩较好且稳定．[解题方略] 独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K 2的观测值k ，若2×2列联表没有列出来，要先列出此表．(2)K 2的观测值k 越大，对应假设事件H 0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H 0不成立的概率越大．[多练强化]1．(2019·福建质量检测)“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段．某IT 从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁～35岁(2009年～2018年)之间各年的月平均收入y (单元：千元)的散点图：(1)由散点图知，可用回归模型y ＝b ln x ＋a 拟合y 与x 的关系，试根据有关数据建立y 关于x 的回归方程；(2)如果该IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为3 000元/月，试利用(1)的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税．附注：1.参考数据：∑i ＝110x i ＝55，∑i ＝110y i ＝155.5，∑i ＝110(x i －x )2＝82.5，∑i ＝110(x i －x )(y i －y )＝94.9，∑i ＝110t i ＝15.1，∑i ＝110(t i －t )2＝4.84，∑i ＝110(t i －t )(y i －y )＝24.2，其中t i ＝ln x i ；取ln 11＝2.4，ln 36＝3.6.2．参考公式：回归方程v ＝bu ＋a 中斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^＝∑i ＝1n(u i －u )(v i －v )∑i ＝1n(u i －u )2，a ^＝v －b ^u .3．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下：旧个税税率表(个税起征点3 500元) 新个税税率表(个税起征点5 000元) 缴税级数每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点 税率(%)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除税率(%) 1不超过1 500元的部分 3不超过3 000元的部分 3 2超过1 500元至4 500元的部分10超过3 000元至12 000元的部分103超过4 500元至9 000元的部分20 超过12 000元至25 000元的部分204超过9 000元至35 000元的部分25 超过25 000元至35 000元的部分255 超过35 000元至55 000元的部分30 超过35 000元至55 000元的部分30 ......... ......解：(1)令t ＝ln x ，则y ＝bt ＋a .b ^＝∑i ＝110(t i －t )(y i －y )∑i ＝110(t i －t )2＝24.24.84＝5， y ＝∑i ＝110y i10＝155.510＝15.55，t ＝∑i ＝110t i10＝15.110＝1.51，a ^＝y －b ^t ＝15.55－5×1.51＝8， 所以y 关于t 的回归方程为y ＝5t ＋8.因为t ＝ln x ，所以y 关于x 的回归方程为y ＝5ln x ＋8. (2)由(1)得该IT 从业者36岁时月平均收入为 y ＝5ln 11＋8＝5×2.4＋8＝20(千元)． 旧个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为1 500×3%＋3 000×10%＋4 500×20%＋(20 000－3 500－9 000)×25%＝3 120(元)． 新个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为3 000×3%＋(20 000－5 000－3 000－3 000)×10%＝990(元)．故根据新旧个税政策，该IT 从业者36岁时每个月少缴纳的个人所得税为3 120－990＝2 130(元)．2．(2019·江西八所重点中学联考)2019年2月25日，第11届罗马尼亚数学大师赛(简称RMM)于罗马尼亚首都布加勒斯特闭幕，最终成绩揭晓，以色列选手排名第一，而中国队无一人获得金牌，最好成绩是获得银牌的第15名，总成绩排名第6.在分量极重的国际数学奥林匹克(IMO)比赛中，过去拿冠军拿到手软的中国队，已经连续4年没有拿到冠军了．人们不禁要问“中国奥数究竟怎么了？”，一时间关于各级教育主管部门是否应该下达“禁奥令”成为社会讨论的热点．某重点高中培优班共50人，现就这50人对“禁奥令”的态度进行问卷调查，得到如下的列联表：不应下“禁奥令” 应下“禁奥令” 总计 男生 5 女生 10 总计50若按对“禁奥令”的态度采用分层抽样的方法从50人中抽出10人进行重点调查，知道其中认为不应下“禁奥令”的同学共有6人．(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关？说明你的理由．(2)现从这10人中抽出2名男生、2名女生，记此4人中认为不应下“禁奥令”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式与数据：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828解：(1)由题意将列联表补充如下：不应下“禁奥令”应下“禁奥令”总计 男生 20 5 25 女生 10 15 25 总计302050所以K 2＝50×(20×15－5×10)225×25×30×20＝253≈8.333＞6.635， 所以有99%的把握认为对下“禁奥令”的态度与性别有关．(2)由题意，可知在这10人中，男、女生各5人，其中男生有4人、女生有2人认为不应下“禁奥令”，ξ的所有可能取值有1,2,3,4.P (ξ＝1)＝C 14C 11C 23C 25C 25＝12100；P (ξ＝2)＝C 24C 23＋C 14C 11C 12C 13C 25C 25＝42100； P (ξ＝3)＝C 14C 11C 22＋C 24C 12C 13C 25C 25＝40100； P (ξ＝4)＝C 24C 22C 25C 25＝6100.所以ξ的分布列是ξ 1 2 3 4 P1210042100401006100所以E (ξ)＝12＋2×42＋3×40＋4×6100＝2.4.考点四 概率与统计的综合问题[例4]从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件，测量这些产品的一项质量指标值(记为Z)，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)公司规定：当Z≥95时，产品为正品；当Z<95时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利90元；若是次品，则亏损30元，记ξ为生产一件这种产品的利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望；(2)由频率分布直方图可以认为，Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)．①利用该正态分布，求P(87.8<Z<112.2)；②某客户从该公司购买了500件这种产品，记X表示这500件产品中该项质量指标值位于区间(87.8,112.2)内的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 7.P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 5.[解](1)由频率估计概率，产品为正品的概率为(0.033＋0.024＋0.008＋0.002)×10＝0.67，所以随机变量ξ的分布列为ξ90－30P 0.670.33所以E(ξ)＝90×0.67＋(－30)×0.33＝50.4.(2)由频率分布直方图知，抽取产品的该项质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝70×0.02＋80×0.09＋90×0.22＋100×0.33＋110×0.24＋120×0.08＋130×0.02＝100，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋02×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.①因为Z～N(100,150)，从而P(87.8<Z<112.2)＝P(100－12.2<Z<100＋12.2)＝0.682 7.②由①知，一件产品中该项质量指标值位于区间(87.8，112.2)内的概率为0.682 7，依题意知X～B(500,0.682 7)，所以E(X)＝500×0.682 7＝341.35.[解题方略]解决概率与统计综合问题的一般步骤[多练强化](2019·武汉市调研测试)中共十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加．为了更好地制定2019年关于加快提升农民年收入，力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入(单位：千元)并制成如下频率分布直方图：(1)根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入x(单位：千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)．(2)由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为年平均收入x，σ2近似为样本方差s2，经计算得s2＝6.92.利用该正态分布，解决下列问题：(ⅰ)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？(ⅱ)为了调研“精准扶贫，不落一人”的落实情况，扶贫办随机走访了1 000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？附：参考数据与公式6.92≈2.63，若X～N(μ，σ2)，则①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈0.682 7；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈0.954 5；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈0.997 3.解：(1)x＝12×0.04＋14×0.12＋16×0.28＋18×0.36＋20×0.10＋22×0.06＋24×0.04＝17.40(千元)．(2)由题意，X～N(17.40,6.92)．(ⅰ)P(X＞μ－σ)≈12＋0.682 72≈0.841 4，μ－σ≈17.40－2.63＝14.77，即最低年收入大约为14.77千元．(ⅱ)由P(X≥12.14)＝P(X≥μ－2σ)≈0.5＋0.954 52≈0.977 3，得每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 3，记这1 000位农民中年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B(103，p)，其中p＝0.977 3，于是恰好有k位农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率是P(ξ＝k)＝C k103p k(1－p)103－k，从而由P(ξ＝k)P(ξ＝k－1)＝(1 001－k)×pk×(1－p)＞1，得k＜1 001p，而1 001p＝978.277 3，所以，当0≤k≤978时，P(ξ＝k－1)＜P(ξ＝k)，当979≤k≤1 000时，P(ξ＝k－1)＞P(ξ＝k)，由此可知，在所走访的1 000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978.数学建模——回归分析问题的求解[典例]二手车经销商小王对其所经营的A型号二手汽车的使用年数x与销售价格y(单位：万元/辆)进行整理，得到如下数据：使用年数x 234567售价y 20128 6.4 4.4 3z＝ln y 3.00 2.48 2.08 1.86 1.48 1.10 下面是z关于x的折线图：(1)由折线图可以看出，可以用线性回归模型拟合z 与x 的关系，请用相关系数加以说明．(2)求y 关于x 的回归方程并预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约为多少？(b ^，a ^小数点后保留两位有效数字)(3)基于成本的考虑，该型号二手车的售价不得低于7 118元，请根据(2)求出的回归方程预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过多少年？参考公式：回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1n (x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x)2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ^＝y －b ^x .r ＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2∑i ＝1n(y i －y )2.参考数据：∑i ＝16x i y i ＝187.4，∑i ＝16x i z i ＝47.64，∑i ＝16x 2i＝139,∑i ＝16(x i －x )2≈4.18,∑i ＝16(y i －y)2≈13.96, ∑i ＝16(z i －z )2≈1.53，ln 1.46≈0.38，ln 0.711 8≈－0.34.[解] (1)因为x ＝16×(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4.5，z ＝16×(3＋2.48＋2.08＋1.86＋1.48＋1.10)＝2，且 ∑i ＝16x i z i ＝47.64,∑i ＝16(x i －x )2≈4.18,∑i ＝16(z i －z )2≈1.53，所以r ＝∑i ＝16(x i －x )(z i －z )∑i ＝16(x i －x)2∑i ＝16(z i －z )2≈47.64－6×4.5×24.18×1.53≈－0.99，所以z 与x 的相关系数大约为0.99，说明z 与x 的线性相关程度很高． (2)由已知，得b ^＝∑i ＝16x i z i －6 x z∑i ＝16x 2i －6x2＝47.64－6×4.5×2139－6×4.52≈－0.36，所以a ^＝z －b ^x ＝2＋0.36×4.5＝3.62， 所以z 与x 的线性回归方程是z ^＝－0.36x ＋3.62. 又z ＝ln y ，所以y 关于x 的回归方程是y ^＝e －0.36x ＋3.62. 令x ＝9，得y ^＝e －0.36×9＋3.62≈1.46，即预测某辆A 型号二手车当使用年数为9年时售价约1.46万元． (3)当y ^≥0.711 8时，e －0.36x ＋3.62≥0.711 8＝e ln 0.711 8＝e －0.34， 所以－0.36x ＋3.62≥－0.34，解得x ≤11，因此预测在收购该型号二手车时车辆的使用年数不得超过11年． [素养通路]本题是典型的回归分析问题，在实际问题中收集数据，画散点图，可以用线性回归模型拟合变量关系，再用最小二乘法求出回归方程，进而用回归模型对实际问题进行预测，考查了数学建模这一核心素养．。

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第二层提升篇：讲义 专题一第1讲 三角函数的图象与性质

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国通用)第二层提升篇：讲义 专题一第1讲 三角函数的图象与性质

法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.
题型二 三角函数的图象变换
( )π
π
2x＋
[例 3] (1)(2019·福建省质量检查)将函数 y＝sin
6 的图象向右平移 6 个单位长度
后，所得图象的一个对称中心为( )
( ) π ，0 A. 12
( ) π ，0 B. 4
( ) π ，0 C. 3
π 再将所得图象向右平移3个单位长度即得函数 f(x)的图象，故 f(x)
[ ( ) ] ( ) π 1
1
3 × 2 x－ － π
6x－ π
＝sin
3 6 ＝sin 6 .故选 B.
2.(2019·湖南省五市十校联考)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的部
分图象如图所示，则 f(2 019)的值为________.
值为( )
1 A.2
B.－ 3
3 C.－ 2
1 D.－2
( )π
－ ，2 [解析] (1)由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点 2 ，最低点
( ) 3π
，－2
2
，
所以函数的最大值为 2，即 A＝2.
π 3π 由图象可得，x＝－2，x＝ 2 为相邻的两条对称轴，
[ ( )] 3π π
[跟踪训练]
( ) π
1
－α
1.(2019·福建适应性练习)已知 α∈(0，π)，sin 2 ＝－3，则 tan(α＋π)＝( )
2 A. 4
2 B.－ 4
C.2 2
D.－2 2
( )π
1
－α
解析：选 D 由 sin 2 ＝－3，得 cos

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题一三角函数与解三角形第二讲解三角形

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇 专题一三角函数与解三角形第二讲解三角形

第2讲 三角恒等变换与解三角形[全国卷3年考情分析](2)若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第4～9或第13～15题位置上．(3)若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题(或18题)位置上，难度中等．考点一 三角恒等变换[大稳定——常规角度考双基]1.[化简求值]2sin 47°－ 3sin 17°cos 17°＝( )A ．－3B ．－1C ． 3D ．1解析：选D 原式＝2×sin 47°－sin 17°cos 30°cos 17°＝2×sin (17°＋30°)－sin 17°cos 30°cos 17°＝2sin30°＝1.故选D.2.[条件求值](2019·全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( ) A.15 B ．55 C.33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin α·cos α＝2cos 2α. ∵ α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ 2sin α＝cos α.又∵ sin 2α＋cos 2α＝1， ∴ sin 2α＝15.又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ sin α＝55. 故选B.3.[给值求角]已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( ) A.5π12 B ．π3C.π4 D ．π6解析：选C ∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2.∵sin(α－β)＝－1010，sin α＝55， ∴cos(α－β)＝31010，cos α＝255，∴cos β＝cos [α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝255×31010＋55×⎝⎛⎭⎫－1010＝22， ∴β＝π4.故选C.4.[与三角函数结合](2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________．解析：∵ f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1,1]，∴ f (x )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t ＋342＋178， 又函数f (x )图象的对称轴t ＝－34∈[－1,1]，且开口向下，∴ 当t ＝1时，f (x )有最小值－4.答案：－4[解题方略] 三角函数求值的类型及方法[小创新——变换角度考迁移]1.[与复数交汇](2019·洛阳尖子生第二次联考)若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．－7 B ．－17C ．7D ．－7或－17解析：选A由复数z 为纯虚数，得⎩⎨⎧cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，即⎩⎨⎧cos θ＝45，sin θ≠35，又sin 2θ＋cos 2θ＝1，所以sin θ＝－35，所以tan θ＝－34，于是tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－tan π41＋tan θ tan π4＝－34－11＋⎝⎛⎭⎫－34×1＝－7.故选A.2.[与不等式交汇]已知tan 2α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，函数f (x )＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f (x )≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为( ) A ．－255 B ．－55 C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2 α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f (x )＝sin(x＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos x sin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，tan α＝－3，sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255.故选A. 3.[与向量交汇]设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a ⊥b ，则tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝________. 解析：∵a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a ⊥b ，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝⎛⎭⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan α·tanπ4＝2－11＋2×1＝13.答案：13考点二利用正、余弦定理解三角形题型一 利用正、余弦定理进行边、角计算[例1] (2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .设(sin B －sin C )2＝sin 2A －sin B sin C .(1)求A ；(2)若2a ＋b ＝2c ，求sin C .[解] (1)由已知得sin 2B ＋sin 2C －sin 2A ＝sin B sin C ， 故由正弦定理得b 2＋c 2－a 2＝bc . 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.因为0°＜A ＜180°，所以A ＝60°.(2)由(1)知B ＝120°－C ，由题设及正弦定理得2sin A ＋sin(120°－C )＝2sin C ，即62＋32cos C ＋12sin C ＝2sin C ，可得cos(C ＋60°)＝－22. 因为0°＜C ＜120°，所以sin(C ＋60°)＝22， 故sin C ＝sin [(C ＋60°)－60°]＝sin(C ＋60°)cos 60°－cos(C ＋60°)sin 60°＝6＋24. [解题方略] 正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理； (2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理． [注意] 应用定理要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”． 题型二 利用正、余弦定理进行面积计算[例2] (2019·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A ＋C2＝b sin A .(1)求B ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且c ＝1，求△ABC 面积的取值范围．[解] (1)由题设及正弦定理得sin A sin A ＋C 2＝sin B sin A ．因为sin A ≠0，所以sinA ＋C2＝sin B .由A ＋B ＋C ＝180°，可得sin A ＋C 2＝cos B2，故cos B 2＝2sin B 2cos B2.因为cos B 2≠0，所以sin B 2＝12，所以B ＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC ＝34a . 由(1)知A ＋C ＝120°，由正弦定理得a ＝c sin A sin C ＝sin (120°－C )sin C ＝32tan C ＋12.由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°. 由(1)知，A ＋C ＝120°，所以30°<C <90°， 故12<a <2，从而38<S △ABC <32. 因此，△ABC 面积的取值范围是⎝⎛⎭⎫38，32.[解题方略] 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用含该角的公式．(2)与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化． 题型三 正、余弦定理的实际应用[例3] 如图，为了估测某塔的高度，在同一水平面的A ，B 两点处进行测量，在点A 处测得塔顶C 在西偏北20°的方向上，仰角为60°；在点B 处测得塔顶C 在东偏北40°的方向上，仰角为30°.若A ，B 两点相距130 m ，则塔的高度CD ＝________m.[解析] 设CD ＝h ，则AD ＝h3，BD ＝3h . 在△ADB 中，∠ADB ＝180°－20°－40°＝120°， 则由余弦定理AB 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos 120°， 可得1302＝3h 2＋h 23－2·3h ·h 3·⎝⎛⎭⎫－12， 解得h ＝1039，故塔的高度为1039 m. [答案] 1039[解题方略] 解三角形实际应用问题的步骤[多练强化]1．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B ＝4c sin C ，cos A ＝－14，则b c ＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：选A ∵a sin A －b sin B ＝4c sin C ， ∴由正弦定理得a 2－b 2＝4c 2，即a 2＝4c 2＋b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－(4c 2＋b 2)2bc ＝－3c 22bc ＝－14，∴b c ＝6.故选A.2．(2019·天津高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知b ＋c ＝2a,3c sin B ＝4a sin C .(1)求cos B 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6的值． 解：(1)在△ABC 中，由正弦定理b sin B ＝csin C ，得b sin C ＝c sin B ．由3c sin B ＝4a sin C ， 得3b sin C ＝4a sin C ，即3b ＝4a .因为b ＋c ＝2a ，所以b ＝43a ，c ＝23a .由余弦定理可得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋49a 2－169a 22·a ·23a＝－14.(2)由(1)可得sin B ＝1－cos 2B ＝154， 从而sin 2B ＝2sin B cos B ＝－158， cos 2B ＝cos 2B －sin 2B ＝－78，故sin ⎝⎛⎭⎫2B ＋π6＝sin 2B cos π6＋cos 2B sin π6＝－158×32－78×12＝－35＋716.3．(2019·广东六校第一次联考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b 2＋c 2－a 2＝ac cos C ＋c 2cos A .(1)求A ；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝2534，且a ＝5，求sin B ＋sin C . 解：(1)∵b 2＋c 2－a 2＝ac cos C ＋c 2cos A ， ∴2bc cos A ＝ac cos C ＋c 2cos A ， ∵c ＞0，∴2b cos A ＝a cos C ＋c cos A ，由正弦定理得2sin B cos A ＝sin A cos C ＋sin C cos A ， 即2sin B cos A ＝sin(A ＋C )． ∵sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，∴2sin B cos A ＝sin B ，即sin B (2cos A －1)＝0， ∵0<B <π，∴sin B ≠0，∴cos A ＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.(2)∵S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ＝2534，∴bc ＝25.∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋c 2－252×25＝12，∴b 2＋c 2＝50，∴(b ＋c )2＝50＋2×25＝100，即b ＋c ＝10(或求出b ＝c ＝5)， ∴sin B ＋sin C ＝b ·sin A a ＋c ·sin A a ＝(b ＋c )·sin Aa ＝10×325＝ 3.考点三 解三角形的综合问题 题型一 与平面几何的综合问题[例4] (2019·洛阳尖子生第二次联考)如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC 为锐角，AD ⊥BD ，AC 平分∠BAD ，BC ＝23，BD ＝3＋6，△BCD 的面积S ＝3(2＋3)2. (1)求CD ； (2)求∠ABC .[解] (1)在△BCD 中，S ＝12BD ·BC ·sin ∠CBD ＝3(2＋3)2，∵BC ＝23，BD ＝3＋6，∴sin ∠CBD ＝12.∵∠ABC 为锐角，∴∠CBD ＝30°.在△BCD 中，由余弦定理得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos ∠CBD ＝(23)2＋(3＋6)2－2×23×(3＋6)×32＝9， ∴CD ＝3.(2)在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD ，即23sin ∠BDC ＝3sin 30°，解得sin ∠BDC ＝33.∵BC ＜BD ，∴∠BDC 为锐角，∴cos ∠BDC ＝63. 在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC ＝CDsin ∠CAD，所以AC sin ⎝⎛⎭⎫π2＋∠BDC ＝CDsin ∠CAD ，即ACcos ∠BDC ＝3sin ∠CAD.①在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BCsin ∠BAC，即AC sin ∠ABC ＝23sin ∠BAC.②∵AC 平分∠BAD ，∴∠CAD ＝∠BAC .由①②得sin ∠ABCcos ∠BDC ＝323，解得sin ∠ABC ＝22.∵∠ABC 为锐角，∴∠ABC ＝45°. [解题方略]利用正、余弦定理求解平面几何中的问题，应根据图形特征及已知条件，将所给量及待求量放在同一个三角形中，结合三角形内角和定理，外角和定理及正、余弦定理求解．题型二 与三角函数的交汇问题[例5] 如图，在△ABC 中，三个内角B ，A ，C 成等差数列，且AC＝10，BC ＝15.(1)求△ABC 的面积；(2)已知平面直角坐标系xOy 中点D (10,0)，若函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫M >0，ω>0，|φ|<π2的图象经过A ，C ，D 三点，且A ，D 为f (x )的图象与x 轴相邻的两个交点，求f (x )的解析式．[解] (1)在△ABC 中，由角B ，A ，C 成等差数列，得B ＋C ＝2A ， 又A ＋B ＋C ＝π，所以A ＝π3.设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， 由余弦定理可知a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3，所以c 2－10c －125＝0，解得c ＝AB ＝5＋5 6. 因为CO ＝10×sin π3＝53，所以S △ABC ＝12×(5＋56)×53＝252(32＋ 3)．(2)因为AO ＝10×cos π3＝5，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2×(10＋5)＝30， 故ω＝π15.因为f (－5)＝M sin ⎣⎡⎦⎤π15×(－5)＋φ＝0， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0，所以－π3＋φ＝k π，k ∈Z . 因为|φ|<π2，所以φ＝π3.因为f (0)＝M sin π3＝53，所以M ＝10，所以f (x )＝10sin ⎝⎛⎭⎫π15x ＋π3. [解题方略]解三角形与三角函数交汇问题一般步骤[多练强化]1．(2019·福州模拟)如图，在△ABC 中，M 是边BC 的中点，cos ∠BAM ＝5714，cos ∠AMC ＝－277. (1)求B ；(2)若AM ＝21，求△AMC 的面积．解：(1)由cos ∠BAM ＝5714，得sin ∠BAM ＝2114，由cos ∠AMC ＝－277，得sin ∠AMC ＝217.又∠AMC ＝∠BAM ＋B ，所以cos B ＝cos(∠AMC －∠BAM )＝cos ∠AMC cos ∠BAM ＋sin ∠AMC sin ∠BAM＝－277×5714＋217×2114＝－12，又B ∈(0，π)，所以B ＝2π3.(2)法一：由(1)知B ＝2π3，在△ABM 中，由正弦定理AM sin B ＝BMsin ∠BAM ，得BM ＝AM sin ∠BAM sin B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以MC ＝ 3.故S △AMC ＝12AM ·MC ·sin ∠AMC ＝12×21×3×217＝332. 法二：由(1)知B ＝2π3， 在△ABM 中，由正弦定理AM sin B ＝BM sin ∠BAM， 得BM ＝AM sin ∠BAM sin B ＝21×211432＝ 3.因为M 是边BC 的中点，所以S △AMC ＝S △ABM ，所以S △AMC ＝S △ABM ＝12AM ·BM ·sin ∠BMA ＝12×21×3×217＝332. 2．已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin(π－x )cos(π＋x )－12. (1)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间；(2)在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知f (A )＝－1，a ＝2，b sin C ＝a sin A ，求△ABC 的面积．解：(1)f (x )＝cos 2x －3sin x cos x －12 ＝1＋cos 2x 2－32sin 2x －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ， 解得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z ，又x ∈[0，π]， ∴函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤0，π3和⎣⎡⎦⎤5π6，π. (2)由(1)知f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∴f (A )＝－sin ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝－1， ∵△ABC 为锐角三角形，∴0<A <π2， ∴－π6<2A －π6<5π6，∴2A －π6＝π2，即A ＝π3. 又b sin C ＝a sin A ，∴bc ＝a 2＝4，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝ 3.数学建模——解三角形的实际应用[典例] 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测．如图所示，A ，B ，C 三地位于同一水平面上，这种仪器在C 地进行弹射实验，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ，在A 地测得该仪器至最高点H 处的仰角为30°. (1)求A ，C 两地间的距离；(2)求这种仪器的垂直弹射高度HC .(已知声音的传播速度为340 m/s)[解] (1)设BC ＝x m ，由条件可知AC ＝x ＋217×340＝(x ＋40)m. 在△ABC 中，由余弦定理，可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ，即x 2＝1002＋(x ＋40)2－2×100×(x ＋40)×12， 解得x ＝380.所以AC ＝380＋40＝420 m ，故A ，C 两地间的距离为420 m.(2)在Rt △ACH 中，AC ＝420，∠HAC ＝30°，所以HC ＝AC tan 30°＝420×33＝1403， 故这种仪器的垂直弹射高度为140 3 m.[素养通路]数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养．数学建模过程主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题．本题中把求A，C两地间的距离问题建立数学模型，在△ABC中，通过解三角形求AC 的长，把求高度HC建立数学模型，在Rt△ACH中，通过解三角形求HC的长．。

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇专题七 选考系列第1讲 坐标系与参数方程

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第二层提升篇专题七 选考系列第1讲 坐标系与参数方程

专题七 选考系列 第1讲 坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析] 年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019直线的极坐标方程、椭圆的参数方程、点到直线的距离极坐标方程的应用极坐标方程的应用2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参数方程与普通方程的互化、参数方程的应用 2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程与普通方程的互化、动点轨迹方程的求法(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．(2)全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．考点一 极坐标方程及其应用[例1] (2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． [解] (1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.[解题方略]1．直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可． (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等．2．求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用；(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[多练强化]1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sinθ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程； (2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 解：(1)因为M (ρ0，θ0)在曲线C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点．在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ )，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点； 当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.考点二 参数方程及其应用[例2] (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率．[解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tanα·x ＋2－tan α，当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内， 所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0. 又由①得t 1＋t 2＝－4（2cos α＋sin α）1＋3cos 2α， 故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.[解题方略] 参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法．(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法．(3)常见消参数的关系式： ①t ·1t＝1；②⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2－⎝⎛⎭⎫t －1t 2＝4； ③⎝⎛⎭⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1. [多练强化]1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求|AB |的值；(2)若F 为曲线C 的左焦点，求FA ―→·FB ―→的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去参数θ得x 216＋y 24＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23消去参数t 得y ＝2x －4 3. 将y ＝2x －43代入x 2＋4y 2＝16中，得17x 2－643x ＋176＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝64317，x 1x 2＝17617.所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝1＋417×（643）2－4×17×176＝4017，所以|AB |的值为4017.(2)由(1)得，F (－23，0)，则FA ―→·FB ―→＝(x 1＋23，y 1)·(x 2＋23，y 2) ＝(x 1＋23)(x 2＋23)＋(2x 1－43)(2x 2－43) ＝x 1x 2＋23(x 1＋x 2)＋12＋4[x 1x 2－23·(x 1＋x 2)＋12] ＝5x 1x 2－63(x 1＋x 2)＋60 ＝5×17617－63×64317＋60 ＝44，所以FA ―→·FB ―→的值为44.2．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.考点三 极坐标与参数方程的综合应用题型一 直线的参数方程中参数几何意义的应用[例3] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P (a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2(t 为参数，a ∈R )．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0.(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1与曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA |＝2|PB |，求实数a 的值．[解](1)∵曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2(t 为参数，a ∈R )，∴曲线C 1的普通方程为x －y －a ＋1＝0.∵曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ－ρ＝0， ∴ρ2cos 2θ＋4ρcos θ－ρ2＝0， 又ρcos θ＝x ，ρ2＝x 2＋y 2， ∴x 2＋4x －x 2－y 2＝0，即曲线C 2的直角坐标方程为y 2＝4x . (2)设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝a ＋2t 2，y ＝1＋2t2，得t 2－22t ＋2－8a ＝0.Δ＝(－22)2－4(2－8a )>0，即a >0，∴⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2－8a ， 根据参数方程中参数的几何意义可知|PA |＝|t 1|，|PB |＝|t 2|， ∴由|PA |＝2|PB |得t 1＝2t 2或t 1＝－2t 2，∴当t 1＝2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝3t 2＝22，t 1·t 2＝2t 22＝2－8a ，解得a ＝136>0，符合题意，当t 1＝－2t 2时，有⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝－t 2＝22，t 1·t 2＝－2t 22＝2－8a ，解得a ＝94>0，符合题意．综上所述，a ＝136或a ＝94.[解题方略]利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：(1)t 0＝t 1＋t 22； (2)|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22； (3)|AB |＝|t 2－t 1|； (4)|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.题型二 极坐标方程中极径几何意义的应用[例4] 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程； (2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．[解] (1)由圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，可得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0.由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可得， 圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)由⎩⎨⎧θ＝π3，ρ－2cos θ＝0得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π3，由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝π3，2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3，结合图可得|PQ |＝|OQ |－|OP |＝|ρQ |－|ρP |＝3－1＝2. [解题方略] 极径的几何意义及其应用(1)几何意义：极径ρ表示极坐标平面内点M 到极点O 的距离．(2)应用：一般应用于过极点的直线与曲线相交，所得的弦长问题，需要用极径表示出弦长，结合根与系数的关系解题．[多练强化]1．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t1＋t2(t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． 解：(1)因为－1<1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)， l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.2．(2019·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝1＋sin φ(φ为参数)，过原点O 且倾斜角为α的直线l 交M 于A ，B 两点．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l 和M 的极坐标方程；(2)当α∈⎝⎛⎦⎤0，π4时，求|OA |＋|OB |的取值范围．解：(1)由题意可得，直线l 的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R )． 曲线M 的普通方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1， 因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2，所以M 的极坐标方程为ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0. (2)设A (ρ1，α)，B (ρ2，α)，且ρ1，ρ2均为正数， 将θ＝α代入ρ2－2(cos θ＋sin θ)ρ＋1＝0， 得ρ2－2(cos α＋sin α)ρ＋1＝0，当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，Δ＝4sin 2α＞0，所以ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)，根据极坐标的几何意义，|OA |，|OB |分别是点A ，B 的极径．从而|OA |＋|OB |＝ρ1＋ρ2＝2(cos α＋sin α)＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.当α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π4时，α＋π4∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π4，π2， 故|OA |＋|OB |的取值范围是(2，2 2 ]．。

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第一层方法篇学案

2020版高考数学二轮复习分层设计(全国I卷)学案：第一层方法篇学案

方法思路概述高考选择题、填空题绝大部分属于低中档题目，一般按由易到难的顺序排列，注重多个知识点的小型综合，渗透各种数学思想和方法，能充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．(1)解题策略：选择题、填空题是属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，另外对选择题可以先排除后求解．(2)常用方法：选择题、填空题属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解．主要分直接法和间接法两大类．具体的方法有：直接法，特值法，图解法，构造法，估算法，对选择题还有排除法(筛选法)等．解法分类指导技法一排除法方法诠释排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论适用范围这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较繁杂的选择题[例1](1)(2019·全国卷Ⅲ)函数y＝2x32x＋2－x在[－6,6]的图象大致为()(2)若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B ．b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b2a[解析] (1)∵ y ＝f (x )＝2x 32x ＋2－x ，x ∈[－6,6]，∴ f (－x )＝2(－x )32－x ＋2x ＝－2x 32－x ＋2x ＝－f (x )，∴ f (x )是奇函数，排除选项C.当x ＝4时，y ＝2×4324＋2－4＝12816＋116＝128×16257≈7.97∈(7,8)，排除选项A 、D.故选B. (2)由题意知a >1,0<b <1，所以b2a <1，log 2(a ＋b )>log 22ab ＝1，排除C 、D,2a ＋1b >a ＋1b >a ＋b ⇒a ＋1b >log 2(a ＋b )．故选B. [答案] (1)B (2)B [方法点睛]排除法的使用技巧排除法适用于不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件找出明显与之矛盾的选项予以否定，再根据另一些条件在缩小的范围内找出矛盾，这样逐步排除，直接得到正确的选项．[跟踪训练]函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )解析：选D 因为y ＝－x 4＋x 2＋2， 所以y ′＝－4x 3＋2x ， 令y ′>0，解得x <－22或0<x <22， 令y ′<0，解得x >22或－22<x <0， 所以函数y ＝－x 4＋x 2＋2在⎝⎛⎭⎫－∞，－22，⎝⎛⎭⎫0，22上单调递增，排除A 、B ，在⎝⎛⎭⎫22，＋∞，⎝⎛⎭⎫－22，0上单调递减，排除C.故选D.技法二 特值法方法诠释从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特值法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊数列等适用范围适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题[例2] (1)已知E 为△ABC 的重心，AD 为BC 边上的中线，令AB ＝a ，AC ＝b ，若过点E 的直线分别交AB ，AC 于P ，Q 两点，且AP ―→＝m a ，AQ ―→＝n b ，则1m ＋1n ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．13(2)(2019·湛江模拟)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为点P ，若AP ＝3，则AP ―→·AC ―→＝________.[解析] (1)由于题中直线PQ 的条件是过点E ，所以该直线是一条“动”直线，所以最后的结果必然是一个定值．故可利用特殊直线确定所求值．法一：如图1，PQ ∥BC ，则AP ―→＝23AB ―→，AQ ―→＝23AC ―→，此时m ＝n ＝23，故1m ＋1n ＝3.故选A.法二：如图2，取直线BE 作为直线PQ ，显然，此时AP ―→＝AB ―→，AQ ―→＝12AC ―→，故m ＝1，n ＝12，所以1m ＋1n ＝3.故选A.(2)把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP ―→·AC ―→＝18.[答案] (1)A (2)18 [方法点睛]特值法应注意的问题特值法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但用特值法解选择题或填空题时，要注意以下两点：第一，取特值尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解．[跟踪训练]1．(2019·济南模拟)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，若e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1解析：选A 设C 1：x 24＋y 2＝1，焦点坐标(3，0)，(－3，0)，C 2：x 22－y 2＝1，焦点坐标(3，0)，(－3，0)，则m ＝2，n ＝2，e 1＝32，e 2＝32， 所以m >n ，e 1e 2＝322>1.故选A.2．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 解析：由题意知，函数f (x )的定义域为R ， 又因为函数为偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－13－f ⎝⎛⎭⎫13＝0， 即ln(e －1＋1)－a 3－ln(e ＋1)－a 3＝0，ln e －1－2a 3＝0，解得a ＝－32，将a ＝－32代入原函数，检验知f (x )是偶函数，故a ＝－32.答案：－32技法三 图解法(数形结合法) 方法诠释 对于一些含有几何背景的题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等 适用范围图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算的夹角为( )A.π6 B ．π3C.2π3D ．5π6(2)(2019·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x ，x ＞1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤54，94 B ．⎝⎛⎦⎤54，94 C.⎝⎛⎦⎤54，94∪{1}D ．⎣⎡⎦⎤54，94∪{1}[解析] (1)法一：由(a －b )⊥b ，可得(a －b )·b ＝0，∴a ·b ＝b 2. ∵|a |＝2|b |，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a |·|b |＝b 22b 2＝12. ∵0≤〈a ，b 〉≤π，∴a 与b 的夹角为π3.故选B.法二：如图，设OA ―→＝a ， OB ―→＝b ，则BA ―→＝a －b ，∴B ＝π2，|OA ―→|＝2|OB ―→|，∴∠AOB ＝π3，即〈a ，b 〉＝π3.(2)由题意画出f (x )的图象，如图所示，当直线y ＝－14x ＋a 与曲线y ＝1x (x ＞1)相切，方程1x ＝－14x ＋a 有一个解，x 2－4ax ＋4＝0，Δ＝(－4a )2－4×4＝0，得a ＝1，此时f (x )＝－14x ＋a 有两个解．当直线y ＝－14x ＋a 经过点(1,2)时，即2＝－14×1＋a ，所以a ＝94，当直线y＝－14x ＋a 经过点(1,1)时，1＝－14×1＋a ，得a ＝54，从图象可以看出当a ∈⎣⎡⎦⎤54，94时，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x ＞1的图象与直线y ＝－14x ＋a 有两个交点，即方程f (x )＝－14x ＋a 有两个互异的实数解．故选D.[答案] (1)B (2)D [方法点睛]图解法实质上就是数形结合的思想方法，在解决问题时，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．[跟踪训练]1．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (8,0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0解析：选A 如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12，因为A (8,0)，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0，故选A.2．不等式⎝⎛⎭⎫|x |－π2·sin x ＜0，x ∈[－π，2π]的解集为________． 解析：在同一坐标系中分别作出y ＝|x |－π2与y ＝sin x 的图象：根据图象可得不等式的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π)． 答案：⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2∪(π，2π) 技法四 构造法方法诠释构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模型，揭示问题的本质，从而找到解题的方法适用范围适用于求解问题中常规方法不能解决的问题则有()A．e2 020f(－2 020)<f(0)，f(2 020)>e2 020f(0)B．e2 020f(－2 020)<f(0)，f(2 020)<e2 020f(0)C．e2 020f(－2 020)>f(0)，f(2 020)>e2 020f(0)D．e2 020f(－2 020)>f(0)，f(2 020)<e2 020f(0)(2)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________．[解析](1)构造函数g(x)＝f(x)e x，则g′(x)＝f′(x)e x－(e x)′f(x)(e x)2＝f′(x)－f(x)e x，因为对∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，并且e x>0，所以g′(x)<0，故函数g(x)＝f(x)e x在R上单调递减，所以g(－2 020)>g(0)，g(2 020)<g(0)，即f(－2 020)e－2 020>f(0)，f(2 020)e2 020<f(0)，也就是e2 020f(－2 020)>f(0)，f(2 020)<e2 020f(0)．故选D.(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.[答案](1)D(2)6π[方法点睛]构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．如(2)题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．[跟踪训练]1．已知f (x )为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f (x )>xf ′(x )恒成立，则不等式x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0的解集为________．解析：设g (x )＝f (x )x ，则g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2，又因为f (x )>xf ′(x )， 所以g ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0在(0，＋∞)上恒成立，所以函数g (x )＝f (x )x为(0，＋∞)上的减函数， 又因为x 2f ⎝⎛⎭⎫1x －f (x )>0⇔f ⎝⎛⎭⎫1x 1x>f (x )x ⇔g ⎝⎛⎭⎫1x >g (x )， 则有1x <x ，解得x >1. 答案：(1，＋∞)2．已知f (x )＝(x ＋1)2＋a sin x －1x 2(a ∈R )，则f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝________.解析：由题意得， f (x )＝(x ＋1)2＋a sin x －1x 2＝x 2＋2x ＋a sin x x 2＝1＋2x ＋a sin x x 2， 令g (x )＝2x ＋a sin xx 2，x ≠0， 则g (－x )＝－2x －a sin xx 2＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数．所以f (x )＋f (－x )＝2＋g (x )＋g (－x )＝2， f (－3)＋f (－2)＋f (－1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝[f (－3)＋f (3)]＋[f (－2)＋f (2)]＋[f (－1)＋f (1)]＝6. 答案：6 技法五 估算法 方法诠释由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程．因此，有些题目，不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量适用范围难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用估算法确定选项[例5] (2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫5－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是( )A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190 cm[解析] 不妨设此人咽喉至肚脐的长度为x cm ，则26x ≈0.618，得x ≈42，故某人身高大约为26＋42＋105＝173(cm)，考虑误差，结合选项，可知选B.[答案] B [方法点睛]估算法的应用技巧估算法就是不需要计算出准确数值，可根据变量变化的趋势或极值的取值情况进行估算出大致取值范围从而解决相应问题的方法．当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，常采用估算法．[跟踪训练]已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5⎝⎛⎭⎫π2<θ<π，则tan θ2＝( ) A.m －39－m B ．m －3|9－m |C ．－15D ．5解析：选D 由于受条件sin 2θ＋cos 2θ＝1的制约，m 为一确定的值，进而推知tan θ2也为一确定的值，又π2<θ<π，所以π4<θ2<π2，故tan θ2>1.故选D.。

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30 商场服务满意的概率的估计值为 0.8.女顾客中对该商场服务满意的比率为50＝0.6，因此女 顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 0.6.
100 × （40 × 20－30 × 10）2 (2)K2 的观测值 k＝ 50 × 50 × 70 × 30 ≈4.762.
由于 4.762>3.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
14＋7
2
企业频率为 100 ＝0.21.产值负增长的企业频率为100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布
得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为 2%.
1
(2)y＝100×(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，
题型二 独立性检验在实际问题中的应用 [例 4] (2019·全国卷Ⅰ)某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾 客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
男顾客 女顾客
满意 40 30
不满意 10 20
(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
(2)各组中点值和相应的频率依次为
中点值 30 35 40
45
50
频率 0.1 0.2 0.375 0.25 0.075
x＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40， s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.
b^
， ＝y－ x.
1
[解] (1)x＝4(9＋7＋3＋1)＝5， 1
y＝4(0.5＋3.5＋6.5＋9.5)＝5，
∑4,i＝1xiyi＝9×0.5＋7×3.5＋3×6.5＋1×9.5＝58.
∑4,i＝1x2i ＝92＋72＋32＋12＝140，
( ) 所以b^＝581－404－×4
5 ×
× 52
5＝－2210，a^ ＝5－
3：
M 日均收 入(元)
[0，200)
[200，400) [400，600) [600，800) [800，1 000]
－2 000
－1 000
车店 2019 年 11 月份每天的平均收入.
y^ b^ a^
b^
附参考公式： ＝ x＋ ，其中 ＝
a^
李洗车店 2019 年 11 月份每天的平均收入为30×(－2 000×3－1 000×6＋2 000×12＋6 000×6＋8 000×3)＝2 400(元).
[解题方略] 求回归直线方程的方法
^y b^ a^ (1)若所求的回归直线方程是在选择题中，常利用回归直线 ＝ x＋ 必经过样本点的中 心(x，y)快速选择. (2)若所求的回归直线方程是在解答题中，则求回归直线方程的一般步骤为：
男 女 总计
同意限定区域停车 20 10 30
不同意限定区域停车 5 15 20
总计 25 25 50
则认为“是否同意限定区域停车与家长的性别有关”的把握约为( )
A.0.1%
B.0.5%
C.99.5%
号学生被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是( )
A.8 号学生
B.200 号学生
C.616 号学生
D.815 号学生
1 000
解析：选 C 根据题意，系统抽样是等距抽样，所以抽样间隔为 100 ＝10.因为 46 除
以 10 余 6，所以抽到的号码都是除以 10 余 6 的数，结合选项知应为 616.故选 C.
(2)统计与统计案例在解答题中多出现在第 17、18 或 19 题位置，考查茎叶图、直方图、
数字特征及统计案例，多以计算为主. 考点一
抽样方法
[例 1] (1)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查
的一共有 20 000 人，其中各种态度对应的人数如下表所示：
最喜爱 喜爱 一般 不喜欢
专题四 统计与概率 第 1 讲 统计、统计案例
[全国卷 3 年考情分析]
年份 2019
2018 2017
全国卷Ⅰ
全国卷Ⅱ
全国卷Ⅲ
系统抽样·T6
样本平均数·T14
随机抽样、用样本估 计总体·T4
独立性检验·T17(2)
用样本的频率分布估 计总体分布样本的数
字特征·T19
由频率分布直方图求 参数平均值·T17
②若第一组抽到编号为 k 的个体，则以后各组中抽取的个体编号依次为
N
N
k＋n，…，k＋(n－1)n.
(2)分层抽样
按比例抽样，计算的主要依据是：各层抽取的数量之比＝总体中各层的数量之比.
[跟踪训练]
1.(2019·全国卷Ⅰ)某学校为了解 1
000 名新生的身体素质，将这些学生编号为
1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验.若 46
000×60%×100＝12.故选 A.
考点二 用样本估计总体 [例 2] (2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查 了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.
y 的分组 [－0.20，0)
[0，0.20)
[0.20，0.40) [0.40，0.60) [0.60，0.80)
21 －
20
41 ×5＝ 4 ，
所以 y 关于 x 的线性回归方程为^y＝－2210x＋441.
(2)根据表 3 可知，该月 30 天中有 3 天每天亏损 2 000 元，有 6 天每天亏损 1 000 元，
有 12 天每天收入 2 000 元，有 6 天每天收入 6 000 元，有 3 天每天收入 8 000 元，估计小 1
统计图的识别与分 析·T3
折线图、线性回归模 型问题·T18
抽样方法·T14 茎叶图的应用及独立
性检验·T18
用样本的数字特征估
折线图的识别与分
计总体的数字特征·T2
析·T3
(1)统计与统计案例在选择题或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计
总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在 2～4 题的位置.
[解题方略]
1.方差的计算与含义
(1)计算：计算方差首先要计算平均数，然后再按照方差的计算公式进行计算.
(2)含义：方差是描述一个样本和总体的波动大小的特征数，方差大说明波动大.
2.从频率分布直方图中得出有关数据的方法
频率
频率
频率
频率分布直方图中横轴表示组数，纵轴表示组距，频率＝组距×组距
频率比 频率分布直方图中各小长方形的面积之和为 1，各小长方形高的比也就是频率比
考点三 统计案例
题型一 回归分析在实际问题中的应用 [例 3] 某省的一个气象站观测点在连续 4 天里记录的 AQI 指数 M 与当天的空气水平 可见度 y(单位：cm)的情况如表 1：
M 900 700 300 100
y 0.5 3.5 6.5 9.5
该省某市 2019 年 11 月份 AQI 指数频数分布如表 2：
企业数
2
24
53
14
7
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中
点值为代表).(精确到 0.01) 附： 74≈8.602.
[解] (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于 40%的
(2)采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为
1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为 9，抽到的 32 人
中，编号落入区间[1，450]的人做问卷 A，编号落入区间[451，750]的人做问卷 B，其余的
人做问卷 C，则抽到的人中，做问卷 B 的人数为( )
A.7
B.9
C.10
D.15
100 1
[解析] (1)因为抽样比为20 000＝200，
1
1
所以每类人中应抽选的人数分别为 4
1
1
800×200＝24，7
200×200＝36，6
400×200＝32，1 600×200＝8.故选 D.
(2)由题意知应将 960 人分成 32 组，每组 30 人.设每组选出的人的号码为
5
1 ∑n
s2＝100i＝1 i(yi－y)2 1
＝100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53＋0.202×14＋0.402×7] ＝0.029 6，
s＝ 0.029 6＝0.02× 74≈0.17.
所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30，0.17.
克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5)，[37.5，42.5)，[42.5，47.5)，[47.5，52.5]分为 5 组， 其频率分布直方图如图所示.
(1)求图中 a 的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数 x 和方差 s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作
代表).
解：(1)由 5×(0.020＋0.040＋0.075＋a＋0.015)＝1，得 a＝0.050.
4 800 7 200 6 400 1 600
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选 100 人进行更为详细的调查，
为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选的人数分别为( )
A.25，25，25，25
B.48，72，64，16
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