2014年第19届华杯赛模拟试题及答案详解
第十九届华杯赛决赛解答_初二
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初二组）（时间: 2014年4月12日）一、填空题 (每小题10分, 共80分)1. 计算:23322332623323333--⋅+-=________.【答案】45【解答】原式=()24513262436394-=-⋅⋅-4516=-. 2. 已知正整数a , b , c 满足三个等式：cba =3,9432=⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 6822=+b a , 那么2c 等于________.【答案】144. 【解答】由cba cb a ++==33, 知 9439322222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==c b a c b a c b a , 所以,153)(499222=+=+b a c . 得1442=c .3. 如图, E , F 分别是菱形ABCD 的边AB , AD 上的点,︒=∠60DCB , ︒=∠105DFE , 1=DF , 32-=BE , 那么这个菱形的边长等于________. 【答案】3【解答】设菱形ABCD 的边长为a , 如右图, 过F 作AB 的垂线, 垂足为H .在直角三角形AHF 中, 由已知条件可知:︒=∠60FAE , ︒=∠30AFH , 1-=a AF .进而得到:21-=a AH （直角三角形中, 30度角所对边长是斜边长的一半）, 32122-=-=a AH AF FH （勾股定理）. 由已知条件︒=∠105DFE 和︒=∠30AFH , 立即得到︒=︒-︒=∠453075EFH ,从而△EFH 是等腰直角三角形, FH HE =. 所以3232121-=----=-=a a a AE AB BE , 3=a . 4. 将一个四位数的四个数字之和的两倍与这个四位数相加得2379, 则满足条件的四位数有________个. 【答案】2【解答】设这个四位数为xyzw . 首先, 2=x . 因为 ,9,,0≤≤w z y 若1=x , 则有20552541999,54)(20=++≤++≤w z y ,与条件不符. 另一方面x 不能大于2. 于是, yzw xyzw 2=, 即有23792224101002000=+++++++w z y w z y .得到375312102=++w z y .容易验证, .2,1≠y 因此, .3=y 于是69312=+w z , 12369wz -=. 整数解： 4,7;5,3====z w z w .所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.5. 已知a a x 14501450-++=, 其中a 是正整数, 那么所有使得x 为整数的a 的取值之和为________. 【答案】158 【解答】首先,a x 14250021002-+=,则a 142500-为完全平方数, 令2142500y a =-, 0≥y ,则a y y 14)50)(50(=-+, )50(|14y + 或 )50(|14y -, 500≤≤y .因此, y 的可能取值为6, 8, 20, 22, 34, 36, 48, 50, 使得2x 为完全平方数的是22, 48, 对应的a 为144和14.6. 已知a , b , c 为互不相等的非零实数, 且存在实数x , y 满足 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333y cx c y bx b y ax a ,那么c b a ++的值是________. 【答案】0【解答】令⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++)3(.0)2(,0)1(,0333y cx c y bx b y ax a 由方程 (1), (2), 可得0)()(33=-+-x b a b a .因为0≠-b a , 所以022=+++x b ab a ,解得)(22b ab a x ++-=.代入方程 (1), 解得22ab b a y +=.将方程 (1), (2), (3) 相加, 得03)(333=++++++y x c b a c b a ,将y 代入, 得0)(3)(22333=+++++++y ab b a x c b a c b a .整理得0)2)(()()(22233=+--+++++=+++++x ca bc ab c b a c b a x c b a c b a .将x 代入整理得0))()(())((2=--++=--+++b c a c c b a ca bc ab c c b a .因为a , b , c 互不相等且均不等于0, 所以 0=++c b a .7. 如右图所示, 五边形ABCDE 中, AE AB =, CD BC =,2=AC 厘米, ︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠, 则五边形ABCDE 的面积是________平方厘米. 【答案】3【解答】因为五边形的内角和为︒540, 且︒=∠60BAE , E D BCD B ∠=∠=∠=∠所以︒=∠=∠=∠=∠120E D BCD B .见右图, 以A 为旋转中心, 逆时针旋转△ABC 到△AEF 的位置, 则AB AE =, BC EF =, AC AF =, ︒=∠=∠=∠120AED ABC AEF .所以CDE DEF ∠=︒=∠120.连接CF 交DE 于P , 则△CDP ≌△FEP . 相当于将△CDP 绕P 旋转︒180补到△FEP 的位置. 可见五边形ABCDE 的面积 = △ACF 的面积.又, △ACF 是边长为2厘米的正三角形, 所以其面积为32432=⨯（平方厘米）. 因此五边形ABCDE 的面积为3 平方厘米.8. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 10||,10||,10||<<<C B A ,且1是方程的根, 那么这种方程总共有________个. 【答案】270. 【解答】由已知,b x a b x a x b ax x x C Bx Ax x --+-+=++-=+++)()1())(1(23223,其中, a , b 为实数, 于是有b C a b B a A -=-=-=,,1,并且得到a , b 为整数. 由题目条件得10||,10||,10|1|<<-<-b a b a ,因此1010,1010,119<<-+<<-<<-b b a b a .当0=b 时, 由1010,119<<-<<-a a , 得109<<-a , 即a 能够取18个整数值; 当1=b 时, 由119<<-a , 知a 能够取19个整数值; 当2=b 时, 由128,119<<-<<-a a , 得118<<-a , 即a 能够取18个整数值; ……; 当9=b 时, 由191,119<<-<<-a a , 得111<<-a , 即a 能够取11个整数值. 同样地, 当1-=b 时, 由911,119<<-<<-a a , 得99<<-a , 即a 能 能够取17个整数值; ……; 当9-=b 时, 由119,119<<-<<-a a , 得19<<-a , 即a 能取9个整数值.这样, ),(b a 的取法, 亦即),,(C B A 的取法有270210272930)91617()111819(18=⨯+⨯=++++++++ （种）. 所以, 这种方程共有270个.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 关于x 的方程 ()02|4|21=--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+a x a x 的3个解恰好是某个直角三角形三条边的边长, 那么这个直角三角形面积的最大值是多少?【答案】4323+ 【解答】由已知, 原方程共有三个解:)2(41),2(41,12321-=+=-=a x a x a x . 当2>a , 它们才可能是某个直角三角形的三条边长. 下面分两种情况讨论. （1）26>>a . 在这种情形下, 312x x x >>, 2x 是斜边长. 因此,222)2(16112)2(161-+⎪⎭⎫⎝⎛-=+a a a , (*)解(*), 得到: 53±=a . 因为253<-, 仅有53+=a . 此时, 直角三角形面积为()853253161)2(161212231+=-+=-=a x x . （2）6≥a . 在这种情形下, 321x x x >>, 1x 是斜边长. 因此,222)2(161)2(16112-++=⎪⎭⎫⎝⎛-a a a , (**)解(**), 得到: ()322±=a . 因为()6322<-, 仅有()322+=a . 此时, 直角三角形面积为()43234324321)4(321212232+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-=a x x . 综上, 直角三角形面积的最大值是4323+. 10. 若干个选手参加象棋比赛, 每两个选手下一盘. 每盘棋的记分方法为：胜者得1分, 和棋各得0.5分, 负者得0分. 如果有两名选手共积11分, 其他选手的平均积分为整数, 那么一共下了多少盘棋? 【答案】21或231【解答】不论比赛状况如何, 下棋的盘数等于得分总数. 假设共有2+x 个人参加比赛, 那么共下)2)(1(21++x x 盘. 设n 为除两人外其余人的平均积分, 那么 nx x x =-++11)2)(1(21. 整理可得:020)32(2=--+x n x .由于人数为整数, 32-n 也为整数, 所以x 必为20的正约数. 又因为其中两名选手共得11分, 所以5≥x . 因此x 的取值只可能是5, 10或 20.当5=x , 7人比赛, 共计比赛21场, 总分21分, 其余人共得10分, 平均2分, 符合题意.当10=x 时, 12人比赛, 共计比赛66场, 总分66分, 其余人共得55分, 平均5.5分, 不合题意.当20=x 时, 22人比赛, 共计比赛231场, 总分231分, 其余人共得220分, 平均11分, 符合题意.因此, 参加比赛的选手人数可能为7人或者22人, 共举行的场数可能为21场或者231场.11. 在梯形ABCD 中, CD AB //, 8=AB , 6=CD .M , N 分别为AD , BC 的中点, MN 与梯形ABCD 的对角线AC , BD 分别相交于P , Q . 如图所示的四边形ABQP 的面积为18, 求梯形ABCD 的面积. 【答案】56【解答】见右图, 连接CQ . 因为M , N 分别为AD , BC 的中点, 所以P 为AC 的中点. 令x S QBN =∆, 则x S CQN =∆.因为P , N 分别为AC , BC 的中点, 所以421==AB PN . 同理可知321==CD QN .所以31=-==∆∆QN QN PN QN PQ S S CQNCPQ . 得x S CPQ 31=∆. 在CAB ∆中, x x x S S CPN ABNP 43133=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==∆.所以x S S S BNP ABNP ABQP 3=-=∆.得6=x . 所以321837=+=∆x S ABC 又43==∆∆AB CD S S ABC ACD , 得2443==∆∆ABC ACD S S . 最终,563224=+=ABCD S .12. 已知十个互不相同的正数满足:1) 它们的和为385;2) 它们中任意两个数的和或者差的绝对值是这十个数中的某个数. 请写出这十个数.【答案】7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70【解答】设这十个数为1021,,,a a a , 且1021a a a <<< . 由于1010a a a i >+, 91≤≤i ,所以它们都不是这十个数中的成员, 因此i a a -10都是这十个数中的成员, 都小于10a , 且有10110710810910a a a a a a a a a <-<<-<-<- ,故有i i a a a -=-1010, 特别地1910a a a =-. 又因为10199a a a a a i =+>+, 81≤≤i ,也都不是这十个数中的成员, 所以i a a -9都是这十个数中的成员, 都小于9a , 且有9197989a a a a a a a <-<<-<- ,故有i i a a a -=-99, 特别地189a a a =-. 完全相同的道理, 可得11a a a i i =-+, 91≤≤i .所以385)1021(11021=+++=+++ a a a a .解得71=a . 所以这十个数是7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70.三、解答下列各题（每题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 右图中, ︒=∠=∠=∠45DAB BCD ABC , 2=BD 厘米,求四边形ABCD 的面积.【答案】2平方厘米【解答】见左图, 连接AC , 延长AD 交BC 于H . 则︒=∠90AHB , ︒=∠45CDH . 所以, BH AH =, HC DH =. 又在BHD ∆与AHC∆中,︒=∠=∠90AHC BHD , 所以AHC BHD ∆∆≌（边、角、边）. 得2==AC BD （厘米）.延长BD 交AC 于K , 由于︒=∠+∠90CAH ACH , 而KBH CAH ∠=∠ 所以︒=∠+∠90CAH KBH . 因此︒=∠90BKC , 得 AC BK ⊥, 即AC BD ⊥. 最终,四边形ABCD 的面积= ABC ∆的面积ADC ∆-的面积=)(212121DK BK AC DK AC BK AC -⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯ = 2222121=⨯⨯=⨯⨯BD AC （平方厘米）. 14. 有n 个人在网上购物, 2>n . 已知, 任意三个人中有两人买有同一种类的商品, 没有三个人买有同一种类的商品. 若他们中的甲和乙两人各买了四种商品, 但没有买同一种类的商品, 则n 的最大值是多少? 当n 最大时, n 个人一共最少买了多少种商品？【答案】10, 20【解答】分别用A 1, A 2表示甲、乙两人, 他们没买同一种商品. 由任意3人中有2人买了相同的商品, 余下的(2-n )个人可分成两组: A 1组, 与A 1买有同种商品的人; A 2组, 与A 2买有同种商品的人. 注意, 同一个人可以即在A 1组也在A 2组. 两个组每组最多5人. 否则, 设有一个组有6个或6个以上的人, 不妨设是A 1. 但是A 1只买了4种商品, 由抽屉原则, 另外5个或5个以上的人中必有2人与A 1都买有同一种类商品. 这与题设“没有三个人买有同一种类的商品”矛盾. 若10>n , 由抽屉原则有一组有6个或6个以上的人, 与“两个组每组最多5人”矛盾. 所以, 10≤n .考虑10=n 的情况. 记第i 个人为A i , 用B1, B2, …, B20表示20种不同种类的商品. 购物情况可以如下:A 1买B1, B2, B3, B4; A 2买B11, B12, B13, B14;A 3买B1, B5, B6, B7; A 7买B11, B15, B16, B17;A 4买B2, B5, B8, B9; A 8买B12, B15, B18, B19;A 5买B3, B6, B8, B10; A 9买B13, B16, B18, B20;A 6买B4, B7, B9, B10; A 10买B14, B17, B19, B20.满足题目的要求, 且两组各有5人.当10=n 时, 两个组只能各有5人且无人同属两组. 同一组中, 三人有二人购有同种商品, 而无其他同组人买这种商品. 这二人可以是同组中任意二人, 所以, 一个组就至少买了1025=C 种商品. 两个组至少买了20种商品.。
2014第十九届华杯赛初赛公开题解答
２０１４第十九届华杯赛初赛公开题解答
小学中年级（三、四年级）公开题
两个正整数的和小于１００，其中一个是另一个的两倍，则这两个数的和的最大值是（ ） A 、８３ B 、９９ C 、９６ D 、９８
答案：B
解：设两个数为a,b
a+b<100
a=2b
=>a 最大66，b 最大33
所以2个数的和最大为99
小学高年级（五、六年级）公开题
平面上的四条直线将平面分成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线相互平行。
A 、０
B 、２
C 、３
D 、４
答案：C “丰”字型
初一组公开题
用7块棱长为1厘米的小正方块堆成一立体，其俯视图如右示（田字），则共有_____种不同的堆法。
(经旋转能重合的算一种堆法)
答案是四种：第一层堆四个，①第二层三个即4+3，②4+2+1第二层横放二个，第三层一个③4+2+1第二层沿对角线斜放二个，第三层一个④即4+1+1+1型。
初二组公开题
已知y xy x y x 22422++=++，那么y x 2的值是（ ）
A 、2
B 、4
C 、6
D 、8
答案：(D)
解析：由y xy x y x 22422++=++得：
)22(2)4(222y xy x y x ++=++
0)22(2)4(222=++-++y xy x y x ()()()0444422222=+-++-++-y y x x y xy x ()()()022222=-+-+-y x y x
∴8,22===y x y x。
第十九届华杯赛决赛解答_小中
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试卷A （小学中年级组）（时间: 2014 年 4 月 12日）一、填空题 (每小题10分, 共80分)1. 用□和○表示两个自然数, 若42○□=⨯, 则()()=÷⨯⨯3○4□________.【答案】56【解答】由42○□=⨯, 得 168○)4(□=⨯⨯. 所以()()563○4□=÷⨯⨯.2. 计算:=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2343456787891234565678910________.【答案】132【解答】.132443]4272620[3)]7698()3254[(3)]765876()9871098[()]321432()543654[(=⨯=-+-⨯=⨯-⨯+⨯-⨯⨯=⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=原式3. 将学生分成35组, 每组3人. 其中只有1个男生的有10组, 不少于2个男生的有19组, 有3个男生的组数是有3个女生的组数的2倍. 则男生有________人.【答案】60【解答】因为总组数为35, 有男生的组数（即至少有1个男生的组数）为 1910+, 所以有3个女生的组数是.6191035=--这样男生人数为.6010)6219(2)62(3=+⨯-⨯+⨯⨯4. 从1~8这八个自然数中取三个数, 其中有连续自然数的取法有________种.【答案】36【解答】 1) 三个都连续, 有6种. 2) 只有两个连续, 取法中有1和2或者有7和8, 各有5种; 取法中有2和3, 3和4, 4和5, 5和6或6和7, 各有4种, 共30种. 所以, 取三个数有连续自然数的取法共有36种.5. 如右图, 三个圆交出七个部分. 将整数0～6分别填到七个部分中, 使得每个圆内的四个数字的和都相等, 那么和的最大值是________.【答案】15【解答】: 如左下图,用a, b, c, d, e, f, g 记所填的自然数, 并设这个和为S , 则.45)2106(42)()(2)()()(3=---+≤---+++++++⨯=+++++++++++=g c a d g f e d c b a g f d e f d c b e d b a S所以, 15≤S . 右上图是一种填法, 这种填法得到的和为15.6. 若干自然数的乘积为324, 则这些自然数的和最小为________.【答案】16【解答】: 首先有 .223333324⨯⨯⨯⨯⨯=因为对任意大于等于2的两个数a 和b , 都有b a b a +≥⨯. 例如,3333+>⨯, 2323+>⨯.如将324表示为22339324⨯⨯⨯⨯=, 五个自然数9, 3, 3, 2, 2的和大于六个自然数3, 3, 3, 3, 3, 2, 2的和. 同样, 如324表示为26333324⨯⨯⨯⨯=, 五个自然数3, 3, 3, 6, 2的和也大于六个自然数3, 3, 3, 3, 2, 2的和. 再将五个自然数9, 3, 3, 2, 2中的任何两个及以上的乘积作为一个新的自然数, 得到的这些自然数的和都不会比9, 3, 3, 2, 2的和小; 同样再将五个自然数3, 3, 3, 6, 2中的任意两个及以上的乘积作为一个新的自然数, 得到的这些自然数的和都会比3, 3, 3, 6, 2和大. 因此, 这些自然数的和最小为+3=+++3+3.216237.在嫦娥三号着月过程中, 从距离月面2.4千米到距离月面100米这一段称为接近段. 下面左图和右图分别是它到距月面2.4千米和月面100米处时, 录像画面截图. 则嫦娥三号在接近段内行驶的时间是________秒（录像时间的表示方法: 2830表示整个录像时间长为2小时10分钟48秒, 当前恰好播放到第:1048::2/30分钟28秒处）.【答案】114秒【解答】: 从左、右两个图可的看出, 嫦娥三号行驶的时间为1分钟54秒, 即114秒.8.将1~6这六个自然数分成甲、乙两组, 则甲组数的和与乙组数的和的乘积最大是________.【答案】110【解答】: 这六个数的和是21. 分成两组后, 甲、乙两组数的和有如下可能:①1和20, 乘积: 20;②2和19, 乘积: 38;③3和18, 乘积: 54;④4和17, 乘积: 68;⑤5和16, 乘积: 80;⑥6和15, 乘积: 90;⑦7和14, 乘积: 98;⑧8和13, 乘积: 104;⑨9和12, 乘积: 108;⑩10和11, 乘积: 110.因此, 两组数各自的和的乘积最大是110.二、解答下列各题（每题15分, 共60分, 要求写出简要过程）9.如下图, 将一个大三角形纸板剪成四个小三角形纸板（第一次操作）, 再将每个小三角形纸板剪成四个更小的三角形纸板（第二次操作）. 这样继续操作下去, 完成第5次操作后得到若干个小三角形纸板. 甲和乙在这些小三角形纸板上涂色, 每人每次可以在1至10个小三角形纸板上涂色, 谁最后涂完谁赢. 在甲先涂的情况下, 请设置一个方案使得甲赢.【解答】经过5次操作后, 得到1024个小三角形纸板. 又⨯=.1024+19311所以甲要赢, 一种方案为：甲先涂一个小三角形纸板, 以后每次涂的小三角形纸板数乙涂的小三角形纸板数=11.-这样, 最后只剩下11个小三角形纸板, 而且轮到乙涂, 乙不管怎样涂, 甲都会赢.10.如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为多少平方厘米?【答案】56.5【解答】见右图, 可将马的剪影分成七部分:阴影部分①, 面积为31平方厘米;马头部分②, 面积为6.5平方厘米;马后身③, 面积为6.5平方厘米;马肚部分④, 面积为4平方厘米;马后腿⑤, 面积为3平方厘米;马尾⑥, 面积为1平方厘米;马前腿⑦, 面积为4.5平方厘米.所以红鬃烈马剪影的面积= 31 + 6.5 + 6.5 + 4 + 3 + 4.5 + 1 = 56.5（平方厘米）.11.从一块正方形土地上, 划出一块宽为10米的长方形土地（如右图）, 剩下的长方形土地面积是1575平方米. 那么, 划出的长方形土地的面积是多少？【答案】450 (平方米)【解答】剩下的长方形土地, 长-宽=10米. 将四个同样的长方形拼在一起, 得一个大正方形, 如右图. 这个大正方形的中间有个正方形洞, 且洞的边长恰好是长方形的长与宽之差, 等于10米. 大正方形面积：1575 × 4 + 10 × 10 ＝6400 (平方米).因为6400等于80 ×80, 所以大正方形边长是80米. 这样长方形的长+宽为80 (米). 因此,长=(80＋10) ÷ 2 ＝45 (米), 宽= 80 – 45 ＝35 (米).那么划出的长方形面积是：45 × 10 ＝450 (平方米).12. 三位数中, 有些数本身是该数的数字和的19倍, 如)091(19190++⨯=, 请写出所有这样的三位数.【答案】114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285, 399【解答】因为三位数等于百位、十位、个位数字的100倍、10倍、l 倍之和, 所以符合题意的三位数, 它的百位数字的 (100-19) 倍等于十位数字的 (19-10) 倍与个位数字的 (19-1) 倍之和, 即符合题意的三位数的百位数字的9倍等于十位数字的1倍与个位数字的2倍之和.1) 设百位数字为1：若个位数字是0, 则十位数字是 =⨯-⨯20919;若个位数字是1, 则十位数字是7；若个位数字是2, 则十位数字是5；若个位数字是3, 则十位数字是3；若个位数字是4, 则十位数字是1.2) 设百位数字为2：若个位数字为5, 则十位数字是 82592=⨯-⨯; 若个位数字为6, 则十位数字是6；若个位数字为7, 则十位数字是4；若个位数字为8, 则十位数字是2；若个位数字为9, 则十位数字是0.3) 设百位数字为3：若个位数字为9, 则十位数字是 .92993=⨯-⨯所以, 符合题意的三位数有114, 133, 152, 171, 190, 209, 228, 247, 266, 285, 399,共有11个.。
2014第十九届华杯初赛小学高年级组B卷(含解析)
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷（小学高年级B组）（时间:2014年3月15日8:00～9:00）一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母填在答题卡相应题处．）1．平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（）条直线互相平行．A．0 B．2 C．3 D．42．在下列四个算式中：2÷=，0AB CD-=，4代表0~9中的不同数字，+=，A JI JE F⨯=，1G H那么两位数AB不可能是（）．A．54 B．58 C．92 D．963．淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（）A．淘气的剪法利用率高B．笑笑的剪法利用率高C．两种剪法利用率一样D．无法判断4．小华下午2点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了4分钟，他特意在上午10点时对好了表．当小华按照自己的表于下午2点到少年宫时，实际早到了（）．A．14 B．15 C．16 D．175．甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是72岁．几年前（至少一年）甲是22岁时，乙是16岁．又知道，当甲是19岁的时候，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1岁）．如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（）种情况．A．4 B．6 C．8 D．106．有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分2张．他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是8的倍数”乙：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是9的倍数”丙：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是10的倍数”丁：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是11的倍数”已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（）．A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空题（每小题10 分，满分40 分．）7．算式33111324443100719(12345)522÷+÷+⨯÷++++⨯-的计算结果是______．8．海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有______个．9．甲、乙二人同时从A地出发匀速走向B地，与此同时丙从B地出发匀速走向A地．出发后20分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即调头；甲调头后10分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向B地．结果当甲走到B 地时，乙恰走过A、B两地中点105米，而丙离A地还有315米．甲的速度是乙的速度的________倍，A、B两地间的路程是________米．10．从1，2，3，…，2014中取出315个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含1的有________种取法；总共有________种取法．第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷（小学高年级B 组）参考答案参考解析1．平面上的四条直线将平面分割成八个部分，则这四条直线中至多有（ ）条直线互相平行． A ．0B ．2C ．3D ．4【考点】几何 【难度】☆☆ 【答案】C【解析】这是一道考前公开题．当四条直线相互平行的时候把平面分成五个部分，当三条直线平行，另一条直线与它们相交的时候四条直线恰好把平面分成八个部分．所以选择C2．在下列四个算式中：2AB CD ÷=，0E F ⨯=，1G H -=，4I J +=，A J 代表0~9中的不同数字，那么两位数AB 不可能是（）． A ．54B ．58C ．92D ．96【考点】数论，数字谜专题中的横式数字谜问题 【难度】☆☆ 【答案】D【解析】首先可以确定的是0E F ⨯=，,E F ⇒中必有一个是0．那么4I J +=，I ⇒，J 只能为1，3；此时剩下的数字还有2，4，5，6，7，8，9．1G H -=，,G H ⇒相差1；讨论如下 若5427AB CD =⇒=，那么,G H 为8，9 若5829AB CD =⇒=，那么,G H 为6，7 若9246AB CD =⇒=，那么,G H 为7，8若9648AB CD =⇒=，此时,G H 无法取值．所以96AB ≠，选D ．3．淘气用一张正方形纸剪下了一个最大的圆（如图甲），笑笑用一张圆形纸剪下了七个相等的最大圆（如图乙），在这两种剪法中，哪种剪法的利用率最高？（利用率指的是剪下的圆形面积和占原来图形面积的百分率）下面几种说法中正确的是（ ）A ．淘气的剪法利用率高B ．笑笑的剪法利用率高C ．两种剪法利用率一样D ．无法判断 【考点】几何 【难度】☆☆ 【答案】A【解析】根据提议，根据题意，如右甲图中正方形的面积为()2224r r =，圆的面积为2r π，所以淘气的剪法利用率为2278.5%44r r ππ=≈；如左乙图中3R r =，大圆面积为()2239r r ππ=，七个小圆面积和为27r π，所以笑笑的剪法利用率为2279r rππ=777.8%9≈；所以选A ．4．小华下午2点要到少年宫参加活动，但他的手表每个小时快了4分钟，他特意在上午10点时对好了表．当小华按照自己的表于下午2点到少年宫时，实际早到了（）． A ．14B ．15C ．16D ．17 【考点】行程，时钟问题【难度】☆☆ 【答案】B【解析】小华所带的“快表”每小时快了4分钟，说明准确时间走60分钟的时候，“快表”已经走了64分钟了，这样我们就可以得到6416==6015快表标准表；现在快表走了460=240⨯分钟，那么标准表走了2401516=225⨯÷分钟；所以实际上早到了24022515-=分钟，选B ．5．甲乙丙丁四个人今年的年龄之和是72岁．几年前（至少一年）甲是22岁时，乙是16岁．又知道，当甲是19岁的时候，丙的年龄是丁的3倍（此时丁至少1岁）．如果甲乙丙丁四个人的年龄互不相同，那么今年甲的年龄可以有（）种情况．A．4B．6C．8D．10【考点】典型应用题中年龄问题【难度】☆☆【答案】B【解析】甲乙的年龄差是22166-=岁；当甲19岁时，13岁；至少一年前甲22岁，所以当甲19岁的时候，此时至少是4年前的年龄，那么甲今年至少是23岁；甲19岁时，丙的年龄是丁的3倍，假设丁为1岁，丙为3岁，此时四人的年龄和至少是19+13+1+3=36岁；且甲今年的年龄至多为()19+7236428-÷=岁；所以甲今年的年龄可能是23，24，25，26，27，28；共6种，所以选B．6．有七张卡片，每张卡片上写有一个数字，这七张卡片摆成一排，就组成了七位数2014315．将这七张卡片全部分给甲、乙、丙、丁四人，每人至多分2张．他们各说了一句话：甲：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是8的倍数”乙：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数仍不是9的倍数”丙：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是10的倍数”丁：“如果交换我卡片上的2个数字在七位数中的位置，那么新的七位数就是11的倍数”已知四人中恰有一个人说了谎，那么说谎的人是（）．A．甲B．乙C．丙D．丁【考点】组合中的逻辑推理，数论中的整除问题【难度】☆☆☆【答案】C【解析】可以直接判断乙必定说的是真话，可以直接判断乙必定是说真话的，乙中的数字不管怎么变换都不可能是9的倍数因为七位数的数字之和为2+0+1+4+3+1+5=16，不是9的倍数；如果丙说真话，那么他手中的数字是0和5，可以实现对调位置后被10整除；如果甲说真话，那么他手中的数字只能是5和2，可以实现对调位置后被8 整除；如果丁说真话，那么他手中的数字只能是0和3，这样才能使得奇数位数字之和减去偶数位数字之和的差是11的倍数(2314015，(5012)(143)0+++-++=)．综上，如果丙说真话，那甲和丁都是说谎话的人，两个人说谎话，不符合题意，所以说谎话的人是丙，选C．7．算式33111324443100719(12345)522÷+÷+⨯÷++++⨯-的计算结果是______．【考点】计算，繁分数计算【难度】☆☆☆【答案】4【解析】33111324443100719(12345)522÷+÷+⨯÷++++⨯- 74413143931007752219⨯+⨯+=⨯⨯- 741133310071953++=⨯⨯1213=⨯4=8．海滩上有一堆栗子，这是四只猴子的财产，它们想要平均分配．第一只猴子来了，它左等右等别的猴子都不来，便把栗子分成四堆，每堆一样多，还剩下一个，它把剩下的一个顺手扔到海里，自己拿走了四堆中的一堆．第二只猴子来了，它也没有等别的猴子，于是它把剩下的栗子等分成四堆，还剩下一个，它又扔掉一个，自己拿走一堆．第三只猴子也是如此，等分成四堆后，把剩下的一个扔掉，自己拿走一堆；而最后一只猴子来，也将剩下的栗子等分成了四堆后，扔掉多余的一个，取走一堆．那么这堆栗子原来至少有______个． 【考点】应用题，还原问题 【难度】☆☆☆ 【答案】253 【解析】有：()333{[11]1}4k 1444x ---=+，,x k 均为自然数；化简得：25617527k x +=，变形可得243162131327k k x +++=；经计算26k =，此时x 最小；所以2562617525327x ⨯+==．9．甲、乙二人同时从A 地出发匀速走向B 地，与此同时丙从B 地出发匀速走向A 地．出发后20分钟甲与丙相遇，相遇后甲立即调头；甲调头后10分钟与乙相遇，然后甲再次调头走向B 地．结果当甲走到B 地时，乙恰走过A 、B 两地中点105米，而丙离A 地还有315米．甲的速度是乙的速度的________倍，A 、B 两地间的路程是________米． 【考点】行程，多人相遇【难度】☆☆☆ 【答案】3，1890【解析】假设全程为s ，甲乙的速度关系已经得知，现在我们从甲丙的路程关系中入手；从乙开始到最后共走了11052s +米，那么甲就共走了13310531522s s ⎛⎫⨯+=+ ⎪⎝⎭米；丙共走了315s -；又知道甲丙相遇之时甲所走的路程正好是3131531522s s s +-=+米；此时丙走1131531522s s s ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭；说明从甲丙相遇后到甲走到B 地，丙恰好走了一半的路程，即()1131531522s s s ⎛⎫---= ⎪⎝⎭；这段时间乙共走的路程为：11111053152323s s s ⎛⎫+-⨯+= ⎪⎝⎭；所以乙丙的速度比是11:2:332s s =，所以甲乙丙速度比是6:2:3；全程113151189023s ⎛⎫=÷--= ⎪⎝⎭米．10．从1，2，3，…，2014中取出315个不同的数（不计顺序）组成等差数列，其中组成的等差数列中包含1的有________种取法；总共有________种取法． 【考点】数论计数 【难度】☆☆☆☆ 【答案】6，5490【解析】要形成等差数列，那么315个数中有314个公差，公差最小是1；公差最大是6，因为31461884201431472205⨯=<<⨯=；含有1的只有6种；公差为1的有：()201431511700--=种；公差为2的有：()20142314111386-⨯++=种； 公差为3的有：()20143314111072-⨯++=种； 公差为4的有：()2014431411758-⨯++=种； 公差为5的有：()2014531411444-⨯++=种； 公差为6的有：()2014631411130-⨯++=种； 共有1700138610727584441305490+++++=种．131315米A。
第19届华杯赛高年级c组解答1
2014华杯赛落下帷幕，现将高年级c 组题发给大家分享一下。
由于时间仓促如有不足，请孩子们发现后提出来哈。
希望孩子们空的时候多看看，找找自己的差距。
“见了便做做，做了便了，了了有何不了？慧生于觉，觉生于自在，生生还是无生！”第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C(小学高年级组)(时间：2014年4月12日10：00~11：30)一、填空题(每小题10分，共80分)1、计算：14 ) ＋2×0.32.3－125=________________。
答案为1（考点：计算能力）【我们在加课时讲过4次的类型题。
】2、在右边的算式中, 每个汉字代表 0 至 9 这十个数字中的一个, 相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字. 则“数学竞赛 ”所代表的四位数是__________。
分析：”数学”为19，那么“竞赛”=（2024-1900）÷2=62，答案为1962.【此题的解题方法我们在四年级的那本书上讲过数字谜类型与计数法。
】3、如右图, 在直角三角形 ABC 中, 点 F 在 AB 上且 AF=2FB,四边形 EBCD 是平行四边形, 那么FD: EF 为________。
分析与解答：EB ∥AC 那么△EFB 和△DFA 是一组漏斗，FD ：EF=AF:FB=2：1【我们讲过的漏斗】4、右图是由若干块长 12 厘米、宽 4 厘米、高 2 厘米的积木搭成的立体的正视图, 上面标出了若干个点. 一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面. 如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒 2 厘米, 向下爬行的速度为每秒 3 厘米, 水平爬行的速度为每秒 4 厘米, 则蚂蚁至少爬行了________秒。
分析：横向距离12×2+8×2=40用10秒。
向上、向下距离一样：12×2+2×6=36用18秒，12秒。
共耗时40秒。
【此题为长方形周长类型，四年级讲过类型】5、设a 、b 、c 、d 、e 均是自然数，并且a ＜b ＜c ＜d ＜e ，a ＋2b ＋3c ＋4d ＋5e=300，则a ＋b 的最大值为___________。
2014年第19届华杯赛中年级初试模拟卷
2014年第十九届华杯赛中年级组初试模拟卷
一、填空题。
1、19998+39996+49995+69996=。
2、设a、b都表示数，规定：a○b=6×a－2×b。
则3○4=。
3、有60名同学到到河对岸的树林里玩耍。
岸边只有一只能载6个人的小船，问最少要分_______次才能全部到达对岸？
4、两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是_______。
5、一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。
不允许用眼睛看，那么至少要取出_______只袜子，才能保证有2双同色的袜子？
6、甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。
甲说："我会开。
"乙说："我不会开。
"丙说："甲不会开。
"三人的话只有一句是真话。
会开车的是______
二、问答题（写出简要过程）。
7、一个长方形，如果它的长减少3米，或它的宽减少2米，那么它的面积都减少36平方米。
求这个长方形原来的面积。
8、下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？
a b c d
×9
d c b a
9、学校将一批铅笔奖给三好学生。
如果每人奖9支，则缺45支；如果每人奖7支，则缺7支。
三好学生有多少人？铅笔有多少支？
10、把1 ~ 6六个数分别填入图中的六个圆圈中，使每条边上三个数的和都等于9。
2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小中组)后附答案解析
2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）一、选择题（每小题10分，满分60分）1．（10分）两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（）A．83B．99C．96D．982．（10分）现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多4厘米，宽比正方形的边长少2厘米，那么长比正方形的边长多（）厘米．A．2B．8C．12D．43．（10分）用8个3和1个0组成的九位数有若干个，其中除以4余1的有（）个．A．5B．6C．7D．84．（10分）甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（）种不同的围坐方法．A．10B．8C．12D．165．（10分）新生开学后去远郊步行拉练，到达A地时比原计划时间10点10分晚了6分钟，到达C地时比原计划时间13点10分早了6分钟，A，C之间恰有一点B是按照原计划时间到达的，那么到达B点的时间是（）A．11点35分B．12点5分C．11点40分D．12点20分6．（10分）如图中的正方形的边长为10，则阴影部分的面积为（）A．56B．44C．32D．78二、填空题（每小题0分，满分30分）7．（10分）爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄，爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍．那么小林的年龄是岁．8．（10分）五个小朋友A、B、C、D和E参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5个编号之和等于35．已知站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21和7．那么A、C、E三名选手编号之和是．9．用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是．10．（10分）在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，如图是一示例．现在用20根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有个单位边长的正方形．2014年第十九届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小中组）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，满分60分）1．（10分）两个正整数的和小于100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（）A．83B．99C．96D．98【分析】因为一个数是另一个数的两倍，这就说明这两个数的和是另一个数的3倍，因此只要判断100以内3的最大的倍数是多少即可．【解答】解：根据3的倍数特征，不难判断83和98都不是3的倍数，99和96都是，但99＞96，所以这两个数的最大值是99．故选：B．【点评】这题实际上是一个和倍问题，和是较小数的（1+2）倍，根据3的倍数特征求解．2．（10分）现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多4厘米，宽比正方形的边长少2厘米，那么长比正方形的边长多（）厘米．A．2B．8C．12D．4【分析】显然长方形的周长比正方形的周长多4厘米，则长方形的长和宽比正方形的两条边长之和多2厘米，而宽比正方形的边长少2厘米，则长应该比正方形的边长多：2+2=4厘米．【解答】解：根据分析，长方形的周长=2×（长+宽），正方形的周长=2×（边长+边长），∵长方形的周长比正方形的周长多4厘米，∴长方形的长和宽之和比正方形的两条边长之和多2厘米，宽比正方形的边长少2厘米，则则长应该比正方形的边长多：2+2=4厘米．故选：D．【点评】本题考查了巧算周长，本题的突破点是：利用周长之差，得到长宽与边长之差，不难求得差值．3．（10分）用8个3和1个0组成的九位数有若干个，其中除以4余1的有（）个．A．5B．6C．7D．8【分析】4的整除特性是只看后两位是4的倍数，只要满足后两位数除以4余数是1就是满足条件的数．只需要考虑0的位置即可．【解答】解：当尾数是033时，满足条件，其余数字都是唯一确定的有一个数字．当尾数是333时，9位数字中还有6位数字，0不能在首位，0的位置有5种情况．共5个数字．当尾数是03或者30都不满足条件．故选：B．【点评】本题是考察4的整除特性，关键是要找到满足条件的后两位，再进行讨论问题解决．4．（10分）甲、乙、丙、丁、戊围坐在圆形桌子边玩扑克，甲有自己的固定座位．如果乙和丁的座位不能相邻，那么共有（）种不同的围坐方法．A．10B．8C．12D．16【分析】此题实际上就是按一定的顺序给乙、丙、丁、戊4人排位置．故可以：①将4人全排列坐法种数为：=24．②乙丁相邻时排列分两步：第一步是先把2人捆绑为1人，此坐法种数是=2；第二步是用捆绑的2人作为1人，再与丙、戊进行全排列，其排列做法种数为=6．所以乙丁相邻时坐法种数是2×6=12．③4人全排列坐法种数﹣乙丁相邻时坐法种数=乙丁不相邻时的坐法种数．至此问题就解决了．【解答】解：将乙丙丁戊进行全排列坐法种数是=4×3×2×1=24．乙丁相邻时坐法种数是×=2×1×3×2×1=12．乙丁不相邻时坐法种数是24﹣12=12故选：C．【点评】对于比较复杂的排列题，不好直接求解的，不妨换种思路，用间接的方法来求解，比如此题．5．（10分）新生开学后去远郊步行拉练，到达A地时比原计划时间10点10分晚了6分钟，到达C地时比原计划时间13点10分早了6分钟，A，C之间恰有一点B是按照原计划时间到达的，那么到达B点的时间是（）A．11点35分B．12点5分C．11点40分D．12点20分【分析】首先分析时间差为12分钟，那么要恰好准点，需要赶回第一个时间差6分钟即可．【解答】解：依题意可知：开始晚到6分，最后提前6分，那么时间差是12分．从起始点A到C共用时间是3小时．那么准点是时间就是需要时间差为6分钟的时候．6分钟和12分钟比较正好为一半的时间，即从10：10分开始过后的1.5小时正好是准时的．即时间是11：40分．故选：C．【点评】本题考查对追及问题的理解和运用，关键问题是找到需要追及的时间差和总时间差的关系．问题解决．6．（10分）如图中的正方形的边长为10，则阴影部分的面积为（）A．56B．44C．32D．78【分析】如下图进行切割，图中a、b、c、d 4个部分空白处面积和对应的阴影部分面积相等，找到这个等量关系即可解．【解答】解：如上图的方法进行切割，可知：图中a、b、c、d 4个部分空白处面积和对应的阴影部分面积相等；空白的面积=（正方形面积﹣3×4的小长方形面积）÷2=（10×10﹣3×4）÷2=44；阴影部分面积=正方形面积﹣空白的面积=10×10﹣44=56．故选：A．【点评】对图形的分割是本题的关键．二、填空题（每小题0分，满分30分）7．（10分）爷爷的年龄的个位数字和十位数字交换后正好是爸爸的年龄，爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍．那么小林的年龄是9岁．【分析】设爷爷的年龄为=10a+b，则爸爸的年龄为=10b+a，根据“爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍．”可得10a+b﹣（10b+a）=9（a﹣b），所以9（a﹣b）是5的倍数，再根据a﹣b的值只能小于10，可以推算出小林的年龄．【解答】解：设爷爷的年龄为=10a+b，则爸爸的年龄为=10b+a，爷爷与爸爸的年龄差是：10a+b﹣（10b+a）=9（a﹣b），因为爷爷与爸爸的年龄差是小林年龄的5倍，所以，9（a﹣b）是5的倍数，即（a﹣b）是5的倍数，又因为a﹣b＜10，所以a﹣b=5，则小林的年龄只能是9岁．答：小林的年龄是9岁．故答案为：9．【点评】本题考查了年龄问题和位置原则的综合应用，有一定的难度，关键是得出爷爷年龄的十位数字和个位数字的差是5．8．（10分）五个小朋友A、B、C、D和E参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的选手编号牌，5个编号之和等于35．已知站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21和7．那么A、C、E三名选手编号之和是24．【分析】因为“站在E、D、A、C右边的选手的编号的和分别为13、31、21和7”，即小朋友的位置越靠左，右边的人数的越多，则编号之和越大，31＞21＞13＞7，所以EDAC四位小朋友的顺序从左到右为D、A、E、C．C右边小朋友的编号和为7，说明C右边还有一位小朋友B，那么五位小朋友从做到右依次为D，A，E，C，B．D右边的和为31，所以D为35﹣31=4A右边的和为21，所以A为35﹣21﹣4=10，E右边的和为13，所以E为35﹣13﹣4﹣10=8，C右边的和为7，所以C为35﹣7﹣4﹣10﹣8=6C右边的和为7，所以B为7那么A、C、E三名选手编号之和是10+8+6=24据此解答即可．【解答】解：根据分析知：右侧数字和越大的位置越向左，由题意可知：E，D，A，C，从左到右的顺序为DAEC．C右边的选手号为7，只能是B．而最右侧的D应为：35﹣31=4所以：A+C+E=35﹣（7+4）=24故答案为：24．【点评】本题属于组合模块，重点在于分析出小朋友的左右顺序．9．用图1的四张含有4个方格的纸板拼成了图2所示的图形．若在图2的16个方格分别填入1，3，5，7（每个方格填一个数），使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重复，那么A，B，C，D四个方格中数的平均数是4．【分析】如图2，，根据每个纸板内四个格子里的数不重复，可得：A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A=G，B=H或A=H，B=G，所以G+H=A+B，据此求出A，B，C，D四个方格中数的平均数是多少即可．【解答】解：如图2，，因为每个纸板内四个格子里的数不重复，所以A≠E，A≠F，B≠E，B≠F，所以A=G，B=H或A=H，B=G，所以G+H=A+B，所以A，B，C，D四个方格中数是1，3，5，7（每个方格填一个数），所以A，B，C，D四个方格中数的平均数是：（1+3+5+7）÷4=4．答：A，B，C，D四个方格中数的平均数是4．故答案为：4．【点评】此题主要考查了平均数问题，考查了分析推理能力的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：A=G，B=H或A=H，B=G．10．（10分）在一个平面上，用若干个单位长度的木棍可以摆出由多个正方形相邻的图形，如图是一示例．现在用20根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，那么这样的图形中最多有7个单位边长的正方形．【分析】从上图可以看出，只要小正方形的边相邻，才能节省小木棍，摆成的图形越接近大正方形就越节省木棍．因此这题可以从2×2的正方形和3×3的正方形入手．从上图可以看出左边2×2的正方形需要12根木棍，右边3×3的正方形需要24根木棍，20根摆成的图形可以由3×3这个图形去掉一些木棍得到．【解答】解：将上面3×3这个图形去掉4根木棍得到下图故此题填7【点评】在这题中要使正方形的个数最多，就尽量使正方形与正方形之间共用的木棍尽量的多．。
第十九届华杯赛决赛试卷_小高C
7. 用八块棱长为1cm的小正方块堆成一立体,其俯视图如右图所示,问共有种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）。
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛
决赛试题C（小学高年级组）
（时间: 2014年4月12日10:00～11:30）
一、填空题（每小题10分,共80分）
1.计算: .
2. 在右边的算式中,每个汉字代表0至9这十个数字中的一个,相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字.则“ ”所代表的四位数是.
3.如右图,在直角三角形ABC中,点F在AB上且 ,四边形EBCD是平行四边形,全平方数,求此自然数.
三、解答下列各题（每小题15分，共30分，要求写出详细过程）
13. 如右图,圆周上均匀地标出十个点.将1～10这十个自然数分别放到这十个点上.用过圆心的一条直线绕圆心旋转,当线上没有标出的点时,就把1～10分成两组.对每种摆放方式,随着直线的转动有五种分组方式.对于每种分组都有一个两组数和的乘积,记五个积中最小的值为K.问所有的摆放中,K最大为多少?
8. 如右图,在三角形ABC中, , , .连接CF交DE于P点,求 的值.
二、解答下列各题（每题10分,共40分,要求写出简要过程）
9.有三个农场在一条公路边,分别在下图所示的A, B和C处. A处农场年产小麦50吨, B处农场年产小麦10吨, C处农场年产小麦60吨.要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A到C方向是每吨每千米1.5元,从C到A方向是每吨每千米1元.问仓库应该建在何处才能使运费最低？
2014年第十九届华杯赛中年级组初赛(详解)
在用 20 根单位长的小木棍摆出一个图形，要求除第一行的方格外，下面几行方格构成一个长方形，
那么这样的图形中最多有
个单位边长的正方形．
【考点】组合，构造 【答案】7 【分析】反向思考：摆 1 个正方形至少需要 4 根小木棍，摆 2 个需 7 根，3 个需 10 根，此时可摆出
“L”形，则摆第 4 个需要增加 2 根，依次类推 5 个至少需要 15 根，6 个至少需要 17 根，7 个至少 需要 20 根，构造如下图所示：
【答案】B
【分析】两数之和为 3 倍量，100 以内满足条件的最大值是 99．
2. 现有一个正方形和一个长方形，长方形的周长比正方形的周长多 4 厘米，宽比正方形的边长少 2
厘米，那么长比正方形的边长多（ ）厘米．
（A）2
（B）8 （C）12
（D）4
【考点】几何，周长计算
【答案】D
【 分 析 】 设 正 方 形 边 长 为 a ， 则 周 长 为 4a ， 长 方 形 周 长 为 4aห้องสมุดไป่ตู้ 4 ， 长 方 形 两 长 为
1
【考点】行程问题 【答案】C 【分析】由于全程是匀速运动，所以从晚 6 分追到早 6 分，前半程和后半程所需时间是一样的，所以
经过中点的时间应该是不变的，就是 10 点 10 分和 13 点 10 分的中点 11 点 40 分．
6. 右图中的正方形的边长为 10，则阴影部分的面积为（ ）． （A）56 （B）44 （C）32 （D）78
2014 年第十九届华杯赛中年级组初赛试卷
（时间: 2014 年 3 月 15 日 10:00～11:00）
一、选择题 (每小题 10 分， 满分 60 分)
1. 两个正整数的和小于 100，其中一个是另一个的两倍，则这两个正整数的和的最大值是（ ）．
2014第十九届“华杯赛”初二初赛数学试题及答案
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请賽初賽试卷(初二组)一、选择题(每小题10企满分60分.以卜毎题的四个选项中，仅 何一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在毎题的囲括号 内•)1.已知F+b+4・2"・T>・ + 2y ・那么Fy 的值足()・(A) 2(B) 4(C) 6(D) 82.満足式子|x-5H|r + 2f«i0的镀数对(x.y)ff ()对.3.在宜角三角形4BGK 三条边的长度均为费数.分别记为h 其中(促斜 边长.若"竺・(“朋 则符诈条件的直角三角形有()个.6(A) 3(B) 4(C) 6(D) 124. 右图中..4BCD 足边长为1的疋方形.FFGH 於血枳竽「5的正方形，设AE^a 9 AF = b,则("掰等丁・()•(B) 2-S (C> S-VJ (D) S-F1(A) 40(B) 42(C) 43(D) 45(A) S-1BC6・关Fx 的方秤|"-2 =加7有3个互不相问的解.刪刖的M 大）・二填空■（每小題10分，满分40分）7・己知a>b> 0.(十一 ““‘一/>)足形珂1戌/(x) = -<□ * A t x + 4,/ + A 4X 4 + &X'的因式.若-4 + 4 口我局 *£) = £ *局 4(375 + 4｝人4甩)工0・WJ 41(a + 2b)的(ft 笹于 ___ .«.在ZU3C •中.za4C=9O°・ ・4B = l2cm. /fC=6cm;D. E 分别为 AB. AC ±的点.IL-4D=Xcm. -4£ = 5cm.连接BE 利CD,记它心的交•点为G W AG 为 ent.9•将Jt 个整救中的毎一个®E«lH 換戚JI 余*数的和.幷诚去20M ・ 的k个敷.若新的女个啟9原來的*个致相问，則*的加人值为 ________ -单位正方形.至少需望4眾单位K 的木禺.那么抿岀18个单位正方形・少笛旻 _______ 粮单位长的水・•(A)屁I (B) 2(C) V3-1 (D) V2第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题答案（初二组）一、选择题（每小题10分，满分60分）二填空题（每小题10分，满分40分）。
2014年第19届华杯决赛A高年级组试题答案详解解析
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题A （小学高年级组）一、填空题（每小题 10 分, 共80 分）1. 如右图, 边长为12米的正方形池塘的周围是草地, 池塘边A , B , C , D 处各有一根木桩, 且AB =BC =CD =3米. 现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的某根木桩上. 为了使羊在草地上活动区域的面积最大, 应将绳子拴在 处的木桩上. 【考点】圆与扇形 【答案】B【解析】拴在B 处活动区域最大，为43圆。
2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2014并且是14的倍数的数之和是 . 【考点】最小公倍数，等差数列 【答案】14700【解析】[]14014,20=，141402014=⎥⎦⎤⎢⎣⎡，()1470014321140=+++⨯ .3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有 种. 【考点】计数 【答案】20【解析】解法一：枚举法（1）三奇数：135、137、157、357，4个； （2）三偶数：246、248、268、468，4个；（3）两奇一偶：136、138、158、147、358、257，6个； （4）两偶一奇：247、258、146、148、168、368，6个； 共4+4+6+6=20种.解法二：排除法1~8中任取三个数，有5638 C 种不同的取法其中三个连续数有6种（123~678）两个连续数有5+4+4+4+4+4+5=30种（如124、125、126、127、128等） 则满足题意的取法有56—6—30=20种.4. 如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为1平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪影（马的轮廓由小线段组成, 小线段的端点在格子点上或在格线上）, 则这个剪影的面积为 平方厘米.【考点】格点与面积 【答案】56.5【解析】如图（见下页），通过分割和格点面积公式可得小马总面积为56.5个正方形，即面积为56.5平方厘米。
华杯赛复赛模拟题一二三答案
2014参考答案年华杯赛决赛模拟考试（一）1.分组放缩，答案为62.“一半模型”易得100-73=273.一个数能被36整除，这个数必是4和9的倍数。
能被4整除的数末尾两位数是4的倍数，能被9整除的数各个数位上的数字之和是9的倍数，要使所得的商尽量小，则A取0，B取2，C取4，即这个最小的五位数是12024.4.由题意知小王与小李从甲地到乙地所用时间分别是60分、45分，因此小王与小李的速度比是3:4，设小王、小李的速度分别为3、4，小李比小王15分钟多行的路程恰是骑车人15分钟的路程，因此骑车人的速度为(43)15151-⨯÷=，即小王的速度是骑车人的3倍，而小王追上骑车人要15分钟，所以骑车人行这段路程要45分钟，因此骑车人是7点30分出发的．5.数显然为1，从而学=0，爱=9，故“真+更”有进位，真=好+1从而“知+好”有进位，更=8，进而易知好=5，知=7，玩=2，故为106526.依题意，这个长方体的长、宽、高之和是48412÷=（厘米），于是它的宽与高等于12(211)3÷++=（厘米），它的长则是326⨯=（厘米）．所以，这个长方体的体积是63354⨯⨯=（立方厘米）．7.倒推，易得B 筐原有38千克8.要付2角3分钱，即23分．最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时，共值12分，所以最少要用3枚5分币．使用3枚5分币时，5×3＝15，23－15＝8，所以使用2分币最多4枚，最少2枚，可有23＝15＋(2＋2＋2＋2)，23＝15+(2＋2＋2十1＋1)．23＝15＋(2＋2＋1＋1＋1＋1)，3种支付方法当使用4枚5分币时，5×4＝20，23－20＝3。
所以2分币最多使用1枚，从而可有23＝20＋(2＋1),23＝20＋(1＋1＋1）2种支付方法，共有3+2=5种不同的支付方法9.连接HF ,AE ,根据差不变原理，给所求的面积之差同时补上△ABK ,面积差改为梯形ABCF 与△ABH S 的差，而△△△ABH AHE AEF S S S ==,因此所求面积之差为1160103522△△△梯形AEF ABE ECF ABCF S S S S -=+=⨯+⨯=10.用（a ，b ）表示第a 行第b 列的方格，第4列已有数字1、2、3、4、5，第6行已有数字6、7、9，所以方格（6，4）＝8；第3行和第5行都有数字9，所以（7，4）＝9；正中的“小九宫”中已有数字7，所以只能是（3，4）＝7；此时，第4列中只余（5，4），这一列只有数字6未填，所以（5，4）＝6。
2014华杯赛复赛模拟四.pdf
答 要 不 内 封 线
2． 20142013201220112010 除以 36 所得余数是____34___。 3．如图，是一个由四段半径为 3 的圆弧构成的“花瓶”，其中上面三
1 3 段的圆弧都是 的圆周，下面一段圆弧是 的圆周，则“花瓶”的面积 4 4
是__36__。
4． abcd dcba 2088 ，满足条件的四位数 abcd 有___63__个。 5．如图，图中共有__17_个三角形。
所以，坐车时间和步行时间之比是 9 : 4 评分细则：（请阅卷老师先仔细研究题目） 答案对（方程法）则给满分； 答案不对，酌情给分。
解：用 1 代表数字朝上，用 2 表示头像朝上，按如下方法进行移动： 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 评分细则：（请阅卷老师先仔细研究题目） 此处 5 为什么是最是可以不做解释； 只要找到移动方法的（大于 5 次），至少给 5 分； 没有移动方法的不给分。 14．由 81 个相同数字组成的整数能否被 81 整除，请说明理由。
9个1
评分细则：（请阅卷老师先仔细研究题目） 说理清楚，即得满分。
第3页 共4页
第4页 共4页
1．本试卷共 4 页，14 题，满分 150 分； 2．认真填写姓名、联系方式、座位号； 须知 3．考试时间为 90 分钟。
考生
一、 填空题（每题 10 分，共 80 分，将答案填在下面的空格处）
题
1．
2013 1 1 1 2013 ( ) __ __ 。 38 19 53 106 2 19 53 2014
2014年第十九届华杯赛小中组初赛详解
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快乐思维
8．五个小朋友 A ， B ， C ， D 和 E 参加“快乐读拼音”比赛，上场时五个人站成一排．他们胸前有每人的 选手编号牌，5 个编号之和等于 35．已知站在 E ， D ， A ， C 右边的选手的编号的和分别为 13，31， 21 和 7．那么 A ， C ， E 三名选手编号之和是________． 【考点】杂题——编号问题 【难度】☆☆ 【答案】24 【解析】 由于选手右侧的其他选手编号和越大， 选手就越靠近左边， 所以从左到右的编号是 D（4） ，A（10） ， E （8） ， C （6 ） ， B （7） ． 9． 用左下图的四张含有 4 个方格的纸板拼成了右下图所示的图形． 若在右下图的 16 个方格分别填入 1， 3， 5，7（每个方格填一个数） ，使得每行、每列的四个数都不重复，且每个纸板内四个格子里的数也不重 复，那么 A ， B ， C ， D 四个方格中数的平均数是________． 【考点】数阵图 【难度】☆☆☆ 【答案】4 【解析】填入的 1，3，5，7 分别为 M ， N ， P ， Q 其中的一个．
目前还剩下 3 根木棍，最后无论如何摆放，都只能再组成一个正方形．
综上：最多可组成 7 个正方形．
帅帅思维公众号：shuaiteacher
帅
【考点】循环，找规律 【难度】☆☆☆☆ 【答案】7 【解析】当摆第一个正方形时，需要 4 根木棍，
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可以先填入第四行．由于在左下角纸板内的四个数不重复，则 A 、 B 只能填入 M 、 N ； C 、 D 只能填入 P 、 Q ；所以 A 、 B 、 C 、 D 四个格子填入 4 个不 同的数即 1，3，5，7．他们的平均数为 (1 3 5 7) 4 4 ．
2014年第19届华杯赛高年级组决赛A卷详解
【答案】15 【分析】如左下图，用 a、b、 c、d、 e、 f、 g 记所填的自然数, 并设这个和为 S, 则
3S (a b d e) (b c d f ) (e d f g ) 2 (a b c d e f g ) (d a c g ) 42 (6 0 1 2) 45.
8 7 6 56 种. 所以没有连续 3 2 1
4.
如右图所示, 网格中每个小正方格的面积都为 1 平方厘米. 小明在网格纸上画了一匹红鬃烈马的剪 影（马的轮廓由小线段组成 , 小线段的端点在格子点上或在格线上） , 则这个剪影的面积为 平方厘米.
【答案】56.5 【分析】见右图, 可将马的剪影分成七部分:阴影部分①, 面积为 31 平方厘米; 马头部分②, 面积为 6.5 平方厘米; 马肚部分④, 面积为 4 平方厘米; 马尾⑥, 面积为 1 平方厘米; 马后身③, 面积为 6.5 平方厘米; 马后腿⑤, 面积为 3 平方厘米; 马前腿⑦, 面积为 4.5 平方厘米.
6 20 1 v0 : v1 1: 1 5 : 6 ， (t0 1) : t1 6 : 5 ，所以 t0 1 3 （小时）. 60 5
30 4 72 1 2 小时 类似地， v0 : v2 1: 1 3 : 4 ， t0 : t2 4 : 3 .所以后部分按原速走需用时 60 v0 3
14. 在右边的算式中，字母 a，b，c，d 和“□”代表十个数字 0 到 9 中的一个. 其中 a， b，c，d 四个 字母代表不同的数字，求 a，b，c，d 代表的数字之和.
a 4 6 c b d
+
□ □ □ □ □ □ □ 2
第十九届华杯赛决赛解答_小高C
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题C （小学高年级组）（时间: 2014 年4月12日）一、填空题 (每小题10分, 共80分)1. 计算: =-⨯++⨯-5213.23.0241225.095.22.3 . 【答案】1【解答】132319.06.075.025.0=+=+=原式 2. 在右边的算式中, 每个汉字代表0至9这十个数字中的一个, 相同汉字代表相同数字、不同汉字代表不同数字. 求“ 数学竞赛”所代表的四位数.【答案】1962【解答】由算式可得：4202赛竞赛竞学数+. 因为“赛”+“赛”和的个位数为4, 所以“赛”表示的数为2或7.若“赛”表示的数字为7, 则“竞”+“竞”和的个位数为1, 显然不存在满足这样的数.所以“赛”表示的数为2, “竞”+“竞”和的个位数为2, 所以“竞”表示的数字为1或6.若“竞”表示数字1, 则“学”表示的数字为0, “数”表示的数字为2; 此时, 2012=数学竞赛，但数和赛不能表示同一个数字，舍去; 若“竞”表示的数字为6, 则“学”表示的数字为9, “数”数字为1, 此时, 1962=数学竞赛.·· 3. 如右图, 在直角三角形ABC 中, 点F 在AB 上且FB AF 2=, 四边形EBCD 是平行四边形, 那么EF FD :为 .【答案】2:1【解答】连接FC , BD , 设kEF FD =, S S BFE =∆, 那么kS S BDF =∆,S k S S FBC BCD )1(+==∆∆. 由FB AF 2=可知kS S AFD 2=∆, 进而S k S A B C )41(+=∆, 得kk S S AFD ABC 2)41(+=∆∆. 又kk S S S BC FB S BC AB S S AFD FBC AFD AFD AFD ABC 2)1(33232+==⨯=⨯=∆∆∆∆∆∆, 所以)1(341k k +=+.解得, 2=k . 因此, EF FD 2=.4. 右图是由若干块长12厘米、宽4厘米、高2厘米的积木搭成的立体的正视图, 上面标出了若干个点. 一只蚂蚁从立体的左侧地面经过所标出的点爬到右侧的地面. 如果蚂蚁向上爬行的速度为每秒2厘米, 向下爬行的速度为每秒3厘米, 水平爬行的速度为每秒4厘米, 则蚂蚁至少爬行了________秒.【答案】40【解答】蚂蚁要从立体的左侧地面经所标出的点爬到右侧的地面, 向上至少爬行6212236⨯+⨯=厘米, 需要18秒钟, 向下至少爬行36厘米, 需要12秒钟, 平行爬行40122422=⨯+⨯⨯厘米, 需要10秒钟. 因此至少需要40秒钟.5. 设a , b , c , d , e 均是自然数, 并且e d c b a <<<<, 3005432=++++e d c b a , 则b a +的最大值为________.【答案】35【解答】因为 e d c b a <<<<, 所以b b a 2<+, 并且.32)(21532)(7267)1(62614)3(5)2(4)1(325432300++>+++=+++++≥++=+++++++≥++++=b a b b a b b a a b a b b b b a e d c b a 由此得到151135+<+b a . 所以b a +最大不能超过35. 另一方面, 令 22,20,19,18,17=====e d c b a , 则35=+b a 且满足3005432=++++e d c b a .最终得到, b a +的最大值为35.6. 现有甲、乙、丙三个容量相同的水池. 一台A 型水泵单独向甲水池注水, 一台B 型水泵单独向乙水池注水, 一台A 型和一台B 型水泵一起向丙水池注水. 已知注满乙水池比注满丙水池所需时间多4个小时, 注满甲水池比注满乙水池所需时间多5个小时, 则注满丙水池的三分之二需要________个小时.【答案】4【解答】A 型和B 型水泵一起向丙水池注水, 设注满水池需要t 小时, 则注满乙和甲水池需要的时间分别是 )4(+t 个小时和 )9(+t 个小时. 可列出方程:14191=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++t t t , 解得6=t , 4326=⨯. 7. 用八块棱长为1 cm 的小正方块堆成一立体, 其俯视图如右图所示, 问共有多少种不同的堆法（经旋转能重合的算一种堆法）?【答案】10【解答】底层已用了四块小方体, 考虑第二层分别有一、二、三、四块的情况. 见下图, 第二层有一块, 只有1种堆法; 第二层有两块, 有5种堆法; 第二层有三块, 有3种堆法; 第二层有四块, 只有1种堆法,总计有10种堆法.8. 如右图, 在三角形ABC 中, BF AF 2=, AE CE 3=, BD CD 4=. 连接CF 交DE 于P 点, 求DPEP 的值. 【答案】815 【解答】如右图所示, 设x SBDF =∆. 因为BD CD 4=, 所以x S FDC 4=∆,x S CFB 5=∆.因为BF AF 2=, 所以2==∆∆BF AF S S CFB CAF , 得x S CAF 10=∆. 因为31==∆∆CE AE S S EFC AFE , 所以x S EFC 215=∆. 因为DPPE S S S S CPD CEP DPF EFP ==∆∆∆∆, 所以815==∆∆FDC EFC S S DP PE . 9. 答案：A 处（1）讨论变化趋势，比较A 、B 两点设仓库可知A →B 运费越来越高，而B →A 则运费越来越低，同理可知C →B 运费越来越低，而B →C 则运费越来越高。
2014年第19届华杯赛北京数学冬令营测试二(小高组)
2014华杯赛北京冬令营测试二（小高组）1、算式1532194.85-3.6+6.1535.5 1.7514185321⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯÷⨯+-⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦的计算结果是_________2、所有除以15所得的商数等于所得余数的自然数之和等于________3、在下面的等式中，华杯赛冬令营7=冬令营华杯赛6⨯⨯，其中每个汉字代表一个数码，不同汉字代表不同的数码，当等式成立时，华杯赛=_________4、右图中D是△ABC的BC上的一点，且BD:CD=2:1，过D点作DF∥AC交AB于E，延长DE到F，使FE:ED=2:1，如果△CDF的面积是42平方厘米，则△ABC的面积是_____平方厘米5、现有质量分别为11g和17g的砝码若干个，在天平上要称出质量为3g的物体，则至少需要用______个这样的砝码。
6、桌子上有2014枚棋子，甲乙两人轮流取走棋子。
规则是：每人每次取的个数是1枚至5枚，谁最后取光桌上的棋子谁就获胜。
如果甲先取，那么甲先取_____枚棋子，才能保证自己必胜。
7、甲乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，当甲走了一半路程时，乙距A地120千米；当乙走到一半路程时，甲距B地还有75千米，那么A、B两地的距离为_____千米。
8、如图所示的圆内接正六边形ABCDEF的面积是18，以AB、BD、DE、EA 为直径向外作四个半圆，那么四个月牙形（阴影）面积的和等于_______。
9、使得关于x的方程x23x+x2357x k⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦有正整数解的所有正整数k的和是_____10、如图一个3X3的网格中填好了数，定义一次操作：讲这个表中的一行或一列或一条对角线上的数减去或加上同一个自然数。
请你判断能否经过有限次操作，使得这9个数相等？如果能，请指出最少操作的次数；如果不能，请答0。
你的结论是_______11、一个凸2012边型被剖成n个三角形，那么n的最小值是_______12、有足够多的如图所示的甲、乙、丙三种拼板，用它们来覆盖9X9的棋盘，拼板的边必须与棋盘的网格线重合，且任意两片拼板都不重叠，那么至少需要甲种拼板_______片(甲、乙、丙都由1X1的正方形组成)。
第十九届华杯赛决赛解答_初一
第十九届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题解答（初一组）（时间: 2014年4月12日）一、填空（每题10分, 共80分）1. 计算: =÷-+-⨯+-÷--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⨯---÷+-⨯-]6)8()3[(12)3()]27(0[625.385|54|)2(16)5(3233 . 【答案】2-【解答】原式 =⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+-÷+--÷+-⨯-31312)3(27920)8(16)5(27=2611225299202135-=-=--+--. 2. 如图，由单位正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点, 以格点为顶点做了一个三角形, 记L 为三角形边上的格点数目, N 为三角形内部的格点数目, 三角形的面积可以用下面的式子求出来：顶点在格点的三角形的面积=121-+N L如果三角形的边上与内部共有20个格点, 则这个三角形的面积最大等于 , 最小等于 .【答案】17.5, 9【解答】（题目中的公式取自闵嗣鹤教授写的《格点与面积》一本小册子, 只用到顶点数目, 其说明也易于理解. 下面的说明也是取自该书）,根据顶点在格点图形的面积=121-+N L ,因为L 为三角形边上的格点数目, N 为图形内部的格点数目, 要使三角形面积最大, 则要求L 最小. 当L 最小的时候, 三角形只有三个顶点在格点上,其它的点在三角形的内部. 此时面积为17.5.这种图形是存在的, 在相邻的3列格点中, 三角形的三个顶点分别在其中一列上, 使得只有3个顶点在三角形的边上, 见下图.考虑面积最小的情况, 当所有的格点都在三角形的边上时, 面积最小. 取相邻两行格点, 三角形的一个顶点在其中一行, 底边包含19个格点在另一行, 此时面积为9, 见下图.下面叙述这个公式的一步步的说明过程.（1）考虑1+m 行, 1+n 列的矩形, 则图形内的点数为))((11--n m , 边上的点数为)(2n m +, 图形的面积为mn . 而1))(2(21)1)(1(-++--=n m n m mn . 因此公式成立.（2）对于直角三角形, 设直角边的长度分别为m , n . 设斜边上的点数为K , 则三角形内部的格点数为2211+---K n m ))((, 三条边上的格点数为1-++K n m .因此,1211212211+=-++++---mn K n m K n m )())((. 而三角形的面积为mn 21, 故公式成立. （3）对于一般的三角形, 有下面的三种方式：对于每个上述情况, 可以把这个三角形记为T , 放入一个矩形中. 这样把矩形分割成一些直角三角形, 矩形与T . 对这些直角三角形与矩形进行编号 ,3,2,1. 记i 个图形的内部格点数目为i N , 边上的格点数目为i L , 每个图形面积满足121-+i i L N . 注意到：a) 每个图形的内部格点一定是外部矩形的内部格点.b) 每个公共边上内部的格点属于两个图形.c) 公共边的端点可能为多个图形的顶点. 如上左图中A , B 属于两个图形边的顶点, C 为3个图形顶点.把每个点对应一个数, 图形内部的格点对应1, 图形边上的格点对应21. 这样用外部矩形面积公式减去T 之外的其他直角三角形与矩形面积公式.T 之内的格点为对应的数1, T 边上内部的格点对应的数为21211=-, T 的三个顶点对应数的和是21212212123-=⨯---, 公式中常数1对应的值为1121=-⨯--)(, 其他格点对应的数为0. 这样外部矩形面积公式减去T 之外的其他直角三角形与矩形面积公式= T 的内部格点数+⨯21(边的内部格点数3-)+(121+-) = T 的内部格点数+⨯21(边的内部格点数)1-,因此公式对T 成立.对其他两个图形也进行类似的讨论. 3. 长为4的线段AB 上有一动点C , 等腰三角形ACD 和等腰三角形BEC 在过AB 的直线同侧, DC AD =, EB CE =, 则线段DE 的长度最小为 .【答案】2.【解答】 分别从D , E 向AB 作垂线, 过D 或E 做与AB 的平行线, 可以得到一个矩形, 参见右图. 线段DE 最短等于该矩形平行于AB 的边的长度（由过一点D 或E 到另一直线的距离, 垂线最短的结论）. 三角形ACD 和三角形BCD 是等腰三角形, DE 最短等于AB 的一半, 即为2.4. 正整数c b a ,,满足等式, c b a =3, 且9432=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++c b a , 又6822=+b a , 则=c . 【答案】12.【解答】由 cb ac b a ++==33, 知 9439322222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++==c b a c b a c b a , 所以,153499222=+=+)(b a c . 得1442=c , 12=c .5. 如图, 直角三角形ABC 中, F 为AB 上的点, 且FB AF 2=, 四边形EBCD 为平行四边形, 那么【答案】2【解答】连接FC , BD , 设kEF FD =, S S BFE =∆, 那么kS S BDF =∆, S k S S FBC BCD )1(+==∆∆. 由FB AF 2=可知kS S AFD 2=∆, 进而S k S A B C )41(+=∆, 得又所以)1(341k k +=+.解得, 2=k . 因此, EF FD 2=.6. 方程023=+++C Bx Ax x 的系数C B A ,,为整数, 5||,5||,5||<<<C B A , 且1是方程的一个根, 那么这种方程总共有 个.【答案】60【解答】由已知,b x a b x a x b ax x x C Bx Ax x --+-+=++-=+++)()1())(1(23223,其中, a , b 为实数, 于是有b C a b B a A -=-=-=,,1,并且得到a , b 为整数. 由题目条件得5||,5||,5|1|<<-<-b a b a .因此555564<<-+<<-<<-b b a b a ,,.当0=b 时, 由55,64<<-<<-a a , 得54<<-a , 即a 能够取8个整数值. 类似地, 当b 为1, 2, 3, 4 时, a 分别可以取9, 8, 7, 6个整数值. 同样地, 当1-=b 时, 由46,64<<-<<-a a , 得44<<-a , 即a 能能够取7个整数值. 类似地, 当b 为4,3,2---时, a 分别可以取6, 5, 4个整数值.这样, ),(b a 的取法, 亦即),,(C B A 的取法有60)4567()67898(=++++++++（种）所以, 这种方程共有60个.7. 一辆公交快车和一辆公交慢车沿某环路顺时针运行, 它们的起点分别在A站和B 站, 快车每次回到A 站休息4分钟, 慢车每次回到B 站休息5分钟, 两车在其他车站停留的时间不计. 已知沿顺时针方向A 站到B 站的路程是环路全程的52, 两车环行一次各需45分钟和51分钟（不包括休息时间）, 那么它们从早上6时同时出发, 连续运行到晚上10时, 两车同在B 站共 次.【答案】3【解答】记早上6时为第0分钟, 从6时到22时是 9606016=⨯分钟, 快车环行一周连同休息时间需49445=+分钟, 294919960+⨯=, 慢车环行一周连同休息时间需56551=+分钟, 85617960+⨯=. 即第960分钟时, 快车共环行了19次, 慢车环行了17次.设慢车第m 次（171≤≤m , 6点出发为第0次）到达B 站的时间为第 m T 分钟, 则有:556-=m T m .快车第1次到达B 站是在第185245=⨯ 分钟, 11491918960+⨯=-, 快车经过B 站共20次. 记第n 次（201≤≤n ）经过B 站的时间为n t 分钟, 则3149)1(4918-=-+=n n t n .两车同在B 站时, m , n 必须满足:m n m 563149556≤-≤-. 26495631n m ≤-≤推出31564926≤-≤m n , 73187726≤-≤m n . 既然m n 87-是整数, 故有4874≤-≤m n , 即得到二元整数方程:487=-m n .由上面的方程得,51,4≤≤=k k n ,得到:,4847=-⨯m k 127=-m k .所以, k 为奇数. 当k 为1, 3, 5时, m 分别为3, 10, 17, n 分别为4, 12, 20.所以, 快车和慢车同在B 站3次.8. 如果a , b , c 为不同的正整数, 且 222c b a =+¸那么乘积abc 最接近2014的值是 .【答案】2040【解答】解答1. 设如若平方数c ²取3m 或13+m 的形式, 那么a , b 中必有3的倍数, 不然c ²为23+m , 而与原设矛盾.如若设平方数c ²取5m 或5m ±1的形式, 那么, 要是a , b 都不是5的倍数, 则c ²必为5m 或5m ±2, 而与原设矛盾; 要是a , b 都是5m , 则c 为5的倍数, 要是a , b 是5m ±2, 则c 不是5的倍数, 而与题设矛盾, 则a , b 中必有5的倍数.若设平方数c ²取4m 或14+m 的形式, 要是a , b 都不是4的倍数, 则c ²必为24+m 的形式, 与题设矛盾. 故, a , b 中必有4的倍数.因而可知abc 必为3, 4, 5的公倍数, 且4, 5, 6的最小公倍数为60. 又 19803360=⨯, 3419802014=-, 20403460=⨯, 2620142040=-, 并且当17,8,15===c b a 时, 22217815=+, 204017815=⨯⨯.所以abc 中最接近2014的值是2040.解答2. 根据a , b , c 为不同的正整数, 满足222c b a =+, 则存在正整数)(,n m n m >, 使得22n m a -=, mn b 2=, 22n m c +=.所以)()(22222n m mn n m abc +-=.根据2)(2)2()()2()(222222222n m mn n m mn n m +=+-≤⨯-, 知道2)()(2)(3222222n m n m mn n m abc +≤+-=. （*） 当3=m 时, 根据n m >, n 最大为2,221972492233222222=+≤+≤+-=)()()()(n m n m mn n m abc . 另外4222222222m n m mn n m n m n m mn n m abc ≥++-=+-=)())(()()(. （**） 所以当7≥m 时,48042224222222=≥++-=+-=m n m mn n m n m n m mn n m abc )())(()()(.考察6,5,4===m m m , 把n 的所有情况代人公式)(2)(2222n m mn n m abc +-=有下表:所以abc 中最接近2014的值是2040.二、解答下列各题（每题10分, 共40分, 要求写出简要过程）9. 有三个农场在一条公路边, 如图A 、B 和C 处. A 处农场年产小麦50吨, B处农场年产小麦10吨, C 处农场年产小麦60吨. 要在这条公路边修建一个仓库收买这些小麦.假设运费从A 到C 方向是1.5元/吨千米, 从C 到A 方向是1元/吨千米. 问仓库应该建在何处才能使运费最低？A【答案】A 处【解答】设仓库离B 处x 公里 (靠C 处), 则运费为：109503010950)120(6015)50(505.1≥+=-+++⨯x x x x 元.设仓库离B 处x 公里 (靠A 处), 则运费为：10700510950)120(601050505.1≥-=+++-⨯x x x x ）（元.因此, 应该将仓库建在A 处.10. 如图, 在ABC Δ中, D 为BC 中点, FB AF 2=,AE CE 3=. 连接CF 交DE 于P 点, 求DPEP 的值. 【答案】3.【解答】如图所示, 连接EF , DF . 设x S BDF =Δ. 因为D 为BC 的中点, 所以x S FDC =∆, x S CFB 2=∆.因为BF AF 2=, 所以2==∆∆BFAF S S CFB CAF , 得x S CAF 4=∆. 因为31==∆∆CE AE S S EFC AFE , 所以x S EFC 3=∆. 因为DP PE S S S S CPD CEP DPF EFP ==∆∆∆∆, 所以3==∆∆FDC EFC S S DP PE . 11. 某地参加华杯赛决赛的104名小选手来自当地14所学校. 请你证明：其中一定存在两所学校选手的人数是相同的.【解答】如果结论不成立, 则这14所学校的选手数彼此互不相同. 也就是这14所学校的选手数是彼此不同的14个正整数. 而14个彼此不同的正整数之和最小为1051413121110987654321=+++++++++++++,104105>, 得出矛盾.所以这14所学校的选手数彼此不同不能成立. 因此, 一定存在两所学校选手的人数是相同的.12. 将一个四位数中的各数字和的两倍与这个四位数相加得2379. 求这个四位数.【答案】2353, 2347.【解答】设这个四位数为xyzw . 首先, 2=x . 因为 ,9,,0≤≤w z y 若1=x , 则有20552541999,54)(20=++≤++≤w z y ,与条件不符. 另一方面x 不能大于2. 于是, yzw xyzw 2=, 即有23792224101002000=+++++++w z y w z y .得到375312102=++w z y .容易验证, .2,1≠y 因此, .3=y 于是69312=+w z , 12369w z -=. 整数解： 4,7;5,3====z w z w . 所求四位数为：2353, 2347. 经验证, 都符合要求.三、解答下列各题（每小题15分, 共30分, 要求写出详细过程）13. 求质数c b,a,使得ab+bc=abc a+715.【答案】29,2,2===c b a ;11,5,11===c b a 或者13,3,13===c b a【解答】因为bc a |, 所以b a |或者c a |. 因为 a , b , c 都是质数, 所以b a =或者c a =.① 当b a =时,c a ac a a 2275=++,所以ac c a =++715,2112271⨯==--))((c a .若 ⎩⎨⎧=-=-27111c a , 得⎩⎨⎧==912c a , 与题意不符; 若⎩⎨⎧=-=-11721c a , 得⎩⎨⎧==1813c a , 也与题意不符; 若⎩⎨⎧=-=-17221c a , 得⎩⎨⎧==823c a , 也与题意不符. 若⎩⎨⎧=-=-22711c a , 得⎩⎨⎧==292c a , 与题意相符, 29,2,2===c b a 为一个答案. ②当c a =时,b a ac ab a 2715=++,所以b a ab a 2815=+, 由ab b =+815变化得到53151)8(×=×b=a -.若 ⎩⎨⎧==-1518b a , 得 ⎩⎨⎧==159b a , 与题意不符; 若 ⎩⎨⎧==-1158b a , 得 ⎩⎨⎧==123b a , 与题意不符; 若 ⎩⎨⎧==-538b a , 得 ⎩⎨⎧==511b a , 与题意相符, 11,5,11===c b a 为一个答案; 若 ⎩⎨⎧==-358b a , 得 ⎩⎨⎧==313b a , 与题意相符, 13,3,13===c b a 为一个答案.. 14. 如果正数10321,,,,a a a a 满足条件:,10,10,109432110321≤++++≤+≥≥≥≥a a a a a a a a a a那么210232221a a a a ++++ 的最大值是多少？【答案】100【解答】记⎪⎩⎪⎨⎧≤++++≤+≥≥≥≥)3(,10)2(,10)1(,109432110321a a a a a a a a a a 由 (2) 和 (3) 得2010321≤++++a a a a .根据 (1) 和 (2),,100)()()())((100)()()()(1002)(1022010)10(1021042432321221021024242323212221023222103212210232222210232222210232221≤-++-+-+-+=-++-+-+-+=++++++++-≤++++-=++++-≤++++a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a并且等号成立当且仅当乘积10210323212)(,,)(,)(a a a a a a a a a ---都等于0.取0,10104321======a a a a a ,或0,510654321========a a a a a a a ,则10321,,,,a a a a 都满足 (1), (2), (3), 并且100210232221=++++a a a a .综和上述讨论, 210232221a a a a ++++ 的最大值是100.。