2014年太原市一模考试数学试题
2014年山西省高中阶段教育学校招生统一考试数学试卷
2014年山西省高中阶段教育学校招生统一测试数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．计算﹣2+3的结果是（）A．1 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣6考点：有理数的加法．分析：根据异号两数相加的法则进行计算即可．因为﹣2，3异号，且|﹣2|＜|3|，所以﹣2+3=1．答案：A2．如图，直线AB、CD被直线EF所截，AB∥CD，∠1=110°，则∠2等于（）A．65°B．70°C．75°D．80°考点：平行线的性质．分析：根据“两直线平行，同旁内角互补”和“对顶角相等”来求∠2的度数．如图，∵AB∥CD，∠1=110°，∴∠1+∠3=180°，即100+∠3=180°，∴∠3=70°，∴∠2=∠3=70°．答案：B3．下列运算正确的是（）A．3a2+5a2=8a4B．a6•a2=a12C．（a+b）2=a2+b2D．（a2+1）0=1考点：完全平方公式；合并同类项；同底数幂的乘法；零指数幂．分析：A、原式=8a2，答案：项错误；B、原式=a8，答案：项错误；C、原式=a2+b2+2ab，答案：项错误；D、原式=1，答案：项正确．答案：D4．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A．黄金分割 B．垂径定理C．勾股定理D．正弦定理考点：勾股定理的证明．分析：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理．答案：C5．如图是由三个小正方体叠成的一个几何体，它的左视图是（）A．B．C．D．考点：简单组合体的三视图．分析：根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．从左边看第一层一个正方形，第二层一个正方形，答案：C6．我们学习了一次函数、二次函数和反比例函数，回顾学习过程，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现的数学思想是（）A．演绎 B．数形结合C．抽象D．公理化考点：二次函数的性质；一次函数的性质；反比例函数的性质．分析：从函数分析式到函数图象，再利用函数图象研究函数的性质正是数形结合的数学思想的体现．学习了一次函数、二次函数和反比例函数，都是按照列表、描点、连线得到函数的图象，然后根据函数的图象研究函数的性质，这种研究方法主要体现了数形结合的数学思想．答案：B7．在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是（）A．频率就是概率B．频率和试验次数无关C．概率是随机的，和频率无关D．随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率考点：利用频率估计概率．分析：根据大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率解答．∵大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近，可以用这个常数估计这个事件发生的概率，∴A、B、C错误，D正确．答案：D8．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接OA、OB，∠OBA=50°，则∠C的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．80°考点：圆周角定理．分析：根据三角形的内角和定理求得∠AOB的度数，再进一步根据圆周角定理求解．∵OA=OB，∠OBA=50°，∴∠OAB=∠OBA=50°，∴∠AOB=180°﹣50°×2=80°，∴∠C=∠AOB=40°．答案：B9．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm（1μm=0.000001m）的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它们含有大量的有毒、有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害．2.5μm用科学记数法可表示为（）A．2.5×10﹣5m B．0.25×10﹣7m C．2.5×10﹣6m D．25×10﹣5m考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，和较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2.5μm×0.000001m=2.5×10﹣6m；答案：C10．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A．a2B．a2C．a2D．a2考点：全等三角形的判定和性质；正方形的性质．分析：作EM⊥BC于点M，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积求解．解：作EM⊥BC于点M，EQ⊥CD于点Q，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD=90°，又∵∠EPM=∠EQN=90°，∴∠PEQ=90°，∴∠PEM+∠MEQ=90°，∵三角形FEG是直角三角形，∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°，∴∠PEM=∠NEQ，∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°，∴EP=EN，四边形MCQE是正方形，在△EPM和△EQN中，，∴△EPM≌△EQN（ASA）∴S△EQN=S△EPM，∴四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积，∵正方形ABCD的边长为a，∴AC=a，∵EC=2AE，∴EC=a，∴EP=PC=a，∴正方形MCQE的面积=a×a=a2，∴四边形EMCN的面积=a2，答案：D二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11．计算：3a2b3•2a2b=6a4b4．考点：单项式乘单项式．分析：根据单项式和单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．3a2b3•2a2b=（3×2）×（a2•a2）（b3•b）=6a4b4．答案：6a4b4．12．化简+的结果是．考点：分式的加减法．分析：原式通分并利用同分母分式的加法法则计算即可得到结果．原式=+==．答案：13．如图，已知一次函数y=kx﹣4的图象和x轴、y轴分别交于A、B两点，和反比例函数y=在第一象限内的图象交于点C，且A为BC的中点，则k=4．考点：反比例函数和一次函数的交点问题．分析：先确定B点坐标，根据A为BC的中点，则点C和点B关于点A中心对称，所以C点的纵坐标为4，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可确定C点坐标，然后把C 点坐标代入y=kx﹣4即可得到k的值．把y=0代入y=kx﹣4得y=﹣4，则B点坐标为（0，﹣4），∵A为BC的中点，∴C点的纵坐标为4，把y=4代入y=得x=2，∴C点坐标为（2，4），把C（2，4）代入y=kx﹣4得2k﹣4=4，解得k=4．答案4．14．甲、乙、丙三位同学打乒乓球，想通过“手心手背”游戏来决定其中哪两个人先打，规则如下：三个人同时各用一只手随机出示手心或手背，若只有两个人手势相同（都是手心或都是手背），则这两人先打，若三人手势相同，则重新决定．那么通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是．考点：列表法和树状图法．分析：首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果和通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的情况，再利用概率公式即可求得答案．分别用A，B表示手心，手背．画树状图得：∵共有8种等可能的结果，通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的有4种情况，∴通过一次“手心手背”游戏能决定甲打乒乓球的概率是：=．答案：．15．一走廊拐角的横截面积如图，已知AB⊥BC，AB∥DE，BC∥FG，且两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，的圆心为O，半径为1m，且∠EOF=90°，DE、FG分别和⊙O 相切于E、F两点．若水平放置的木棒MN的两个端点M、N分别在AB和BC上，且MN 和⊙O相切于点P，P是的中点，则木棒MN的长度为（4﹣2）m．考点：切线的性质．分析：连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于G，证得四边形BGOH是正方形，然后证得OB经过点P，根据勾股定理切点OB的长，因为半径OP=1，所以BP=2﹣1，然后求得△BPM≌△BPN得出P是MN的中点，最后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得．连接OB，延长OF，OE分别交BC于H，交AB于G，∵DE、FG分别和⊙O相切于E、F两点，∴OE⊥ED，OF⊥FG，∵AB∥DE，BC∥FG，∴OG⊥AB，OH⊥BC，∵∠EOF=90°，∴四边形BGOH是矩形，∵两组平行墙壁间的走廊宽度都是1m，⊙O半径为1m，∴OG=OH=2，∴矩形BGOH是正方形，∴∠BOG=∠BOH=45°，∵P是的中点，∴OB经过P点，在正方形BGOH中，边长=2，∴OB=2，∵OP=1，∴BP=2﹣1，∵p是MN和⊙O的切点，∴OB⊥MN，∵OB是正方形BGOH的对角线，∴∠OBG=∠OBH=45°，在△BPM和△BPN中∴△BPM≌△BPN（ASA）∴MP=NP，∴MN=2BP，∵BP=2﹣1，∴MN=2（2﹣1）=4﹣2，16．如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC边上的中线，∠ACE=∠BAC，CE交AB于点E，交AD于点F．若BC=2，则EF的长为﹣1．考点：勾股定理；等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．分析：过F点作FG∥BC．根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得AF=CF，在Rt△CDF中，根据三角函数可得AF=CF=2，DF=，根据平行线分线段成比例可得比例式GF：BD=AF：AD，求得GF=4﹣2，再根据平行线分线段成比例可得比例式EF：EC=GF：BC，依此即可得到EF=﹣1．过F点作FG∥BC．∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，∴BD=CD=BC=1，∠BAD=∠CAD=∠BAC=15°，AD⊥BC，∵∠ACE=∠BAC，∴∠CAD=∠ACE=15°，∴AF=CF，∵∠ACD=（180°﹣30°）÷2=75°，∴∠DCE=75°﹣15°=60°，在Rt△CDF中，AF=CF==2，DF=CD•t an60°=，∵FG∥BC，∴GF：BD=AF：AD，即GF：1=2：（2+），解得GF=4﹣2，∴EF：EC=GF：BC，即EF：（EF+2）=（4﹣2）：2，解得EF=﹣1．答案：﹣1．三、解答题（共8小题，共72分）17．（1）计算：（﹣2）2•sin60°﹣（）﹣1×；（2）分解因式：（x﹣1）（x﹣3）+1．考点：实数的运算；因式分解-运用公式法；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．分析：（1）本题涉及零指数幂、乘方、特殊角的三角函数值、二次根式化简四个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；（2）根据整式的乘法，可得多项式，根据因式分解的方法，可得答案．解：（1）原式=2﹣2×=﹣2；（2）原式=x2﹣4x+3+1=（x﹣2）2．18．解不等式组并求出它的正整数解：．考点：解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．分析：先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．解：解①得：x ＞﹣，解②得：x≤2，则不等式组的解集是：﹣＜x≤2．则正整数解是：1，219．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．几何中，平行四边形、矩形、菱形、正方形和等腰梯形都是特殊的四边形，大家对于它们的性质都非常熟悉，生活中还有一种特殊的四边形﹣﹣筝形．所谓筝形，它的形状和我们生活中风筝的骨架相似．定义：两组邻边分别相等的四边形，称之为筝形，如图，四边形ABCD是筝形，其中AB=AD，CB=CD判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形显然，菱形是特殊的筝形，就一般筝形而言，它和菱形有许多相同点和不同点如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：如果只研究一般的筝形（不包括菱形），请根据以上材料完成下列任务：（1）请说出筝形和菱形的相同点和不同点各两条；（2）请仿照图1的画法，在图2所示的8×8网格中重新设计一个由四个全等的筝形和四个全等的菱形组成的新图案，具体要求如下：①顶点都在格点上；②所涉及的图案既是轴对称图形又是中心对称图形；③将新图案中的四个筝形都图上阴影（建议用一系列平行斜线表示阴影）．考点：利用旋转设计图案；菱形的性质；利用轴对称设计图案．分析：（1）利用菱形的性质以及结合图形得出筝形的性质分别得出异同点即可；（2）利用轴对称图形和中心对称图形的定义结合题意得出答案．解：（1）相同点：①两组邻边分别相等；②有一组对角相等；③一条对角线垂直平分另一条对角线；④一条对角线平分一组对角；⑤都是轴对称图形；⑥面积等于对角线乘积的一半；不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线不互相平分；②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别相等；③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行；④菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角相等；⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补；⑥菱形的既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是轴对称图形不是中心对称图形；（2）如图所示：．20．某公司招聘人才，对应聘者分别进行阅读能力、思维能力和表达能力三项测试，其中甲、乙两人的成绩如下表（单位：分）：阅读思维表达项目人员甲93 86 73乙95 81 79 （1）若根据三项测试的平均成绩在甲、乙两人中录用一人，那么谁将能被录用？（2）根据实际需要，公司将阅读、思维和表达能力三项测试得分按3：5：2的比确定每人的最后成绩，若按此成绩在甲、乙两人中录用一人，谁将被录用？（3）公司按照（2）中的成绩计算方法，将每位应聘者的最后成绩绘制成如图所示的频数分布直方图（每组分数段均包含左端数值，不包含右端数值，如最右边一组分数x为：85≤x ＜90），并决定由高分到低分录用8名员工，甲、乙两人能否被录用？请说明理由，并求出本次招聘人才的录用率．考点：频数（率）分布直方图；算术平均数；加权平均数．分析：（1）根据平均数的计算公式分别进行计算即可；（2）根据加权平均数的计算公式分别进行解答即可；（3）由直方图知成绩最高一组分数段85≤x＜90中有7人，公司招聘8人，再根据x甲=85.5分，得出甲在该组，甲一定能被录用，在80≤x＜85这一组内有10人，仅有1人能被录用，而x乙=84.8分，在这一段内不一定是最高分，得出乙不一定能被录用；最后根据频率=进行计算，即可求出本次招聘人才的录用率．解：（1）∵甲的平均成绩是：x甲==84（分），乙的平均成绩为：x乙==85（分），∴x乙＞x甲，∴乙将被录用；（2）根据题意得：x甲==85.5（分），x乙==84.8（分）；∴x甲＞x乙，∴甲将被录用；（3）甲一定被录用，而乙不一定能被录用，理由如下：由直方图知成绩最高一组分数段85≤x＜90中有7人，公司招聘8人，又因为x甲=85.5分，显然甲在该组，所以甲一定能被录用；在80≤x＜85这一组内有10人，仅有1人能被录用，而x乙=84.8分，在这一段内不一定是最高分，所以乙不一定能被录用；由直方图知，应聘人数共有50人，录用人数为8人，所以本次招聘人才的录用率为=16%．21．如图，点A、B、C表示某旅游景区三个缆车站的位置，线段AB、BC表示连接缆车站的钢缆，已知A、B、C三点在同一铅直平面内，它们的海拔高度AA′，BB′，CC′分别为110米、310米、710米，钢缆AB的坡度i1=1：2，钢缆BC的坡度i2=1：1，景区因改造缆车线路，需要从A到C直线架设一条钢缆，那么钢缆AC的长度是多少米？（注：坡度：是指坡面的铅直高度和水平宽度的比）考点：解直角三角形的使用-坡度坡角问题．分析：过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，分别求出AE、CE，利用勾股定理求解AC即可．解：过点A作AE⊥CC'于点E，交BB'于点F，过点B作BD⊥CC'于点D，则△AFB、△BDC、△AEC都是直角三角形，四边形AA'B'F，BB'C'D和BFED都是矩形，∴BF=BB'﹣B'F=BB'﹣AA'=310﹣110=200，CD=CC'﹣C'D=CC'﹣BB'=710﹣310=400，∵i1=1：2，i2=1：1，∴AF=2BF=400，BD=CD=400，又∵EF=BD=400，DE=BF=200，∴AE=AF+EF=800，CE=CD+DE=600，∴在Rt△AEC中，AC===1000（米）．答：钢缆AC的长度是1000米．22．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？考点：一元二次方程的使用；分式方程的使用．分析：（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣=4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．23．课程学习：正方形折纸中的数学．动手操作：如图1，四边形ABCD是一张正方形纸片，先将正方形ABCD对折，使BC 和AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′．数学思考：（1）求∠CB′F的度数；（2）如图2，在图1的基础上，连接AB′，试判断∠B′AE和∠GCB′的大小关系，并说明理由；解决问题：（3）如图3，按以下步骤进行操作：第一步：先将正方形ABCD对折，使BC和AD重合，折痕为EF，把这个正方形展平，然后继续对折，使AB和DC重合，折痕为MN，再把这个正方形展平，设EF和MN相交于点O；第二步：沿直线CG折叠，使B点落在EF上，对应点为B′，再沿直线AH折叠，使D 点落在EF上，对应点为D′；第三步：设CG、AH分别和MN相交于点P、Q，连接B′P、PD′、D′Q、QB′，试判断四边形B′PD′Q的形状，并证明你的结论．考点：四边形综合题．分析：（1）由对折得出CB=CB′，在RT△B′FC中，sin∠CB′F==，得出∠CB′F=30°，（2）连接BB′交CG于点K，由对折可知，∠B′AE=∠B′BE，由∠B′BE+∠KBC=90°，∠KBC+∠GCB=90°，得到∠B′BE=∠GCB，又由折叠知∠GCB=∠GCB′得∠B′AE=∠GCB′，（3）连接AB′利用三角形全等及对称性得出EB′=NP=FD′=MQ，由两次对折可得，OE=ON=OF=OM，OB′=OP=0D′=OQ，四边形B′PD′Q为矩形，由对折知，MN⊥EF，于点O，PQ⊥B′D′于点0，得到四边形B′PD′Q为正方形。
2014年山西省太原市初中毕业班综合测试数学试题(三)及答案
太原市2014年初中毕业班综合测试（三）数学答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共30分）二、填空题：（每小题3分，共18分）12. 18 13.71015.4x +3.8=3x+1.4 16.120 9三、解答题：（本大题含8个小题，共72分） 17．（本题10分）解：（1）原式=1x x -÷221x x x-+……………………………………………………1分=1x x -·2(1)x x - ……………………………………………………3分 =11x -. …………………………………………………………………4分 由题意得x 不能取1,0两数，所以x 取-1和2………………………………5分 答案不唯一，写出下列哪个都可得1分：当x=2时,原式=121-=1. 当x=-1时,原式=111--=－12. ………………………………………………6分(2)第①步的错误是:去分母时,漏乘不含分母的项-1. …………………………1分第②步到第③步的错误是:不等式两边除以-2时,不等号方向没有改变. …2分 不等式的正确解集为x ＞12. ………………………………………………4分18.(本题5分)解:（1）1500人 315 ……………………………………………………2分 （2）210÷1500×360°=50.4°.答:“烟民戒烟毅力弱”一项所对应的圆心角度数为50.4°. …………4分 （3）200×21%=42（万人）.答:估算200万人中认为导致吸烟人口比例高的最主要的原因是“对吸烟危害健康的认识不足”的人数约为42万人. ……………………………………………………5分 19.(本题8分)解:(1)如图,⊙O 为所求作的圆. ………………………………………………………3分（说明：正确作图得2分,写出结论得1分. ）(2) ∵四边形ABCD 为菱形.∴AB=BC=CD=DA ，∠B=∠D.∵∠B=60°，∴△ABC ，△ADC 为等边三角形. ………………………4分 ∴∠BAC=60°,∠CAD=60°. ∵点O 是△ABC 的外心,∴点O 是三条边垂直平分线的交点.连接AO 并延长AO 交BC 于点E ，如图： ∴AE ⊥BC,AE 平分BC. ………………5分 ∵△ABC 为等边三角形，∴AB=AC, ∠BAC=60°.∴∠BAE=∠CAE=12∠BAC=30°. ……………………………………6分 ∴∠OAD=∠EAC+∠CAD=90°，∴OA ⊥AD. ………………………7分 ∵OA 是⊙O 的半径.∴AD 为⊙O 的切线. ………………………………………………………8分 20.(本题5分)解:（1）中心 ………………………………………………………1分 （2）如图，答案开放，正确画出一个图形得2分，共4分.例如： 只是轴对称图形的有：…既是轴对称图形又是中心对称图形的有：…21．（本小题8分）解：设每件商品降价为x 元时，商场日盈利可达到2100元.……………………………1分根据题意可得，;)x )(x -210023050=+（……………………………………………………………4分解，得x 1=15, x 2=20. ………………………………………………………………6分 因为要尽快减少库存，所以得x 1=15不符合题意，舍去，只取x 2=20. ………7分 答：当每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元. …………………8分 22.(本小题10分) （1）根据题意，得20050015.050045.0+⨯+⨯=x x y A ,;200300+=x …………………………………………………………………1分60050005050050+⨯+⨯=x .x .y B ,700275+=x . …………………………………………………………………2分（2）当A y ＞B y 时，300x ＋200＞275x ＋700，解，得 x ＞20. …………………3分当A y ＜B y 时，300x ＋200＜275x ＋700，解，得 x ＜20. ………………4分 当A y ＝B y 时，300x ＋200＝275x ＋700，解，得 x =20. ………………5分 因为15≤x ≤30，所以，当15≤x ＜20时，选择A 公司合算；当x ＝20时，选择A,B 两个公司同样合算；当20＜x ≤30时选择B 公司合算. ……………………………………………………7分 （3）上周运货量平均数为（17+20+19+22+22+23+24）÷7=21＞20， …………………8分从平均数分析，建议预定B 公司较合算； …………………………………………9分 从折线图走势分析，上周运货量周四（含周四）后大于20且呈上升趋势，建议预定B 公司较合算. ………………………………………………………………………………10分 23.(本小题12分)（1）解：∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴AB//DC. ∴∠B=∠BCF. ∵∠AEB=∠FEC ，∴△ABE ∽△FCE. ………………………………1分 ∴.CEBEFC AB = ∵CEBE＝1，∴1==CE BE FC AB ，AB=CF. ∵AB=6，∴CF=6. ………………………………2分证明： ∵AB//DC ，∴∠BAF=∠AFC .∵△ABE 沿直线AE 翻折得到△AB ’E ，∴∠BAF=∠MAF ， ………………………3分 ∴∠MAF =∠AFC.∴AM ＝FM. ………………………………4分（2）10；53；18145； ………………………………7分 （3）分类讨论如下：①当0＜x ≤6时，如图： ∵BE ＝x ，∴y=S △AB ’E =S △ABE =AB BE ⋅⋅21=621⋅⋅x =3x.……8分 ②当6＜x ≤8时，如图：∵△ABE 沿直线AE 翻折得到△AB ’E∴∠AEB=∠AEB ’，BE=B ’E ，AB=AB ’=6. ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴AD//BC.∴∠AEB=∠EAD. ∴∠AEB ’=∠EAD.∴AH=EH. ………………………………9分 ∴AH+B ’H=B ’E=BE=x.在Rt △AB ’H 中，由勾股定理得62+（x-EH ）2=EH 2. 解，得EH=x x 182+. ………………………………10分 ∴y=S △AEH ='21AB EH ⋅⋅=)182(621x x +⋅⨯=xx 5423+. ……………………………12分综上所述，y 与x 的函数关系为y =()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤.x x x x x 865423603＜，＜ 24.(本小题14分)解：（1）将x=0代入y=（x-2）2+1，得y=5.则抛物线y=（x-2）2+1与y 轴的交点A 的坐标为（0,5）. ………………1分 抛物线y=（x-2）2+1的顶点B 的坐标为（2,1）. ………………2分 设抛物线y=（x-2）2+1的友好直线AB 的表达式为y=kx+b ，则⎩⎨⎧=+=,12,5b k b 解，得⎩⎨⎧-==.2,5k b …………………………4分 ∴抛物线y=（x-2）2+1的友好直线AB 的表达式为y=-2x+5. ………5分 抛物线y=（x-2）2+1的友好四边形的面积为20. ……………………6分（2）如图，抛物线k )h x (a y +-=2的顶点为B(h ，k)，作BE ⊥AC 于点E ，由题意得四边形ABCD 是平行四边形，直线y=x-3与y 轴的交点A 的坐标为（0，-3），所以，点C 的坐标为（0，3），可得：AC=6. …………8分∵平行四边形ABCD 的面积为12，∴BE=2， …………………………9分∵h ＞0，即顶点B 在y 轴的右侧，∴h=2.∵点b 在直线y=x-3上，∴顶点B 的坐标为（2，-1）， ………………………………10分 又抛物线经过点A （0，-3），11分 （3）①当抛物线k )h x (a y +-=2的友好四边形ABCD 是菱形时，如图. AC ⊥BD ，OA=OC ，OB=OD ，A B C DE A BC D∵AC 在y 轴上，AC ⊥BD ，∴此时BD 在x 轴上，∴点B 的坐标为（h,0）. …………12分 ∵点B 在直线y=-2x+m 上，∴把y=0代入y=-2x+m ，得x=2m.∴抛物线顶点B 的坐标为（2m，0）. ………………………13分②当抛物线k )h x (a y +-=2的友好四边形ABCD 是矩形时， ∴抛物线顶点B 的坐标为B （m 54，m 53-）.……………14分说明：以上各题的其他解法请参照此标准评分.。
2024年山西省太原市中考一模数学试题(解析版)
太原市2024年初中学业水平模拟考试（一）数学（考试时间：上午8：30-10：30）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷 选择题（共30分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1. 计算的结果是（ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】【分析】本题考查了有理数的减法，根据减法法则计算即可，熟练掌握其运算法则是解题的关键．【详解】解：原式，，故选：．2. 国有企业是中国特色社会主义的重要物质基础和政治基础，是中国特色社会主义经济的“顶梁柱”．下列国有企业标志中，文字上方的图案既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的概念，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意；23--6-5-1-()23=-+-=5-B 180︒A、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；、是中心对称图形，也是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：．3. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了同底数幂相乘、相除、积的乘方、合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．【详解】解：A 、。
2014年山西省太原市中考一模数学试卷(解析版)
2014年山西省太原市中考数学一模试卷一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中最小的数是（）A．﹣3B．3C．0D．﹣2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．a6•a2＝a12B．（a6）2＝a8C．a6÷a2＝a3D．（ab）2＝a2b2 3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若AB∥CD，∠BCD＝30°，则∠ACD 的度数为（）A．30°B．60°C．75°D．120°4．（3分）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，小彬又拿来2个同样的正方体加上去，得到的新几何体的主视图和左视图如图所示，则添加的正方体不可能摆放在（）A．1号的前后B．2号的前后C．3号的前后D．4号的左右5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．6．（3分）已知在1个标准气压下，将1kg水的温度升高℃需要吸收4200J的热量，在同样的条件下，10kg水的温度升高50℃所吸收的热量用科学记数法表示为（）A．21×105J B．2.1×105J C．2.1×106J D．0.21×107J 7．（3分）某校组织“汉字听写大赛”，八年级五个班选手的成绩（单位：分）如图所示，小颖对这组数据的分析如下：①众数是72分；②中位数是72分；③平均数是75分．其中正确的结论有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③8．（3分）某种商品原价为100元，经过两次降价后，现价为64元/件，这两次降价中平均每次降价的百分率为（）A．10%B．18%C．20%D．36%9．（3分）如图，要测量底部不能到达的一座塔的高度AB，甲、乙两名同学分别在C，D两处进行了测量．已知点B，C，D在同一直线上，且AB⊥BD，CD＝12米，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，则塔的高度AB为（）A．12米B．6米C．12米D．6米10．（3分）如图，直径为6的半圆绕直径AB的端点A顺时针旋转45°，点B 的对应点为B′，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．9π二、填空题（本大题含6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：（a+3）（a﹣3）＝．12．（3分）某校对甲、乙两名跳高运动员近期跳高成绩进行统计并分析，结果如下：他们跳高的成绩平均为1.69米，s＝0.006，s＝0.0031，甲、乙两人中的成绩更稳定．13．（3分）如图，已知反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点A，原点B在x轴的正半轴上，若AO＝AB，则△OAB的面积为．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝AB，点E为CB边上一点（与点C不重合），点F是AC上一点．若AB＝3，BE＝1，∠AEF＝60°，则AF 的长度为．15．（3分）如图，某旅游景点的入口是一抛物线形拱门，它在地面上的水平宽度为10米，两侧距离地面4米高处各有一挂横匾用的铁环，两铁环间的水平距离为6米，则该拱门最高处到地面的距离为米．16．（3分）观察下列等式：第1个：a1＝﹣＝×（﹣1）；第2个：a2＝﹣＝×（﹣）；第3个：a3＝﹣＝×（﹣）；第4个：a4＝﹣＝×（﹣）；…照此规律，a1+a2+…+a2014的结果为．三、解答题（本题含8小题，共72分）17．（10分）（1）计算：（2）先化简，再求值：（），其中x＝﹣5．18．（5分）解方程：2x﹣6＝3x（x﹣3）．小明是这样解答的：将方程左边分解因式，得2（x﹣3）＝3x（x﹣3）…第一步方程两边同时除以（x﹣3），得2＝3x…第二步解，得x＝…第三步（1）小明的解法从第步开始出现错误；（2）写出正确的解答过程．19．（9分）如图，△ABC中，DE是一条中位线，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF．（1）判断线段AD与CF的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（2）若AC＝BC，连接DC，AF，求证：四边形ADCF是矩形．20．（8分）某商店“三八节”开展有奖促销活动，他们设立了一个可以自由转动的转盘（如图），转盘被分成3个面积相等的扇形，3个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”的字样．根据规定：顾客在该商店购买总价每满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，小明的妈妈在该商店购物一次，总价是210元．（1）妈妈可以转动转盘次，她最少可得元购物券，最多可得元购物券；（2）请用画树状图或列表的方法，求妈妈所获购物券金额不低于50元的概率．21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点，且∠BDE＝∠A．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，∠C＝60°，求DE的长．22．（8分）某河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行，某天，客轮从A码头出发，匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批建材匀速行驶到A码头．两船距B码头的距离y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数关系图象如图所示．（1）请根据图象解决下列问题：①A，B两个码头之间的距离是千米；②分别求出客轮和货轮距B码头的距离y1（千米），y2（千米）与x（分钟）之间的函数关系式；③点M的坐标为，点M的坐标所表示的实际意义为；（2）不添加其他条件，请根据图象和条件再提出一个有关客轮或货轮行驶过程中的数学问题．（不必解答）23．（10分）数学活动：折纸、画图与探究：问题情境：在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，折叠矩形纸片ABCD，使B 落在边AD（不与A重合）上，落点记为E，这是折痕与边CD或者边BC（含端点）交于点F，与边AB或者边AD（含端点）交于点G，然后展开铺平，则四边形BFEG称为矩形ABCD的“折痕四边形”．操作探究：（1）如图1，当点E在图1的位置时，请作出此时的“折痕四边形”BFEG（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），此时，图1中的等腰三角形有；（2）在折叠矩形的过程中，借助图2探究：当点E是AD的中点时，折痕四边形BFEG的边EG的长为；当AE＝时，折痕四边形BFEG是正方形；当AE取值范围是时，折痕四边形BFEG是非正方形的菱形；（3）在折叠矩形的过程中，当点F在线段CD上时，如图3，设AE的长度为x，折痕四边形BFEG的面积是y，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．24．（14分）如图1，平面直角坐标系中有Rt△OAB，直角顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在第一象限，OA＝4，AB＝2，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A，B．（1）直接写出A，B两点的坐标，并求该抛物线的表达式；（2）如图2，将Rt△OAB绕点B逆时针旋转，得到Rt△CDB，其中点C与点A 对应，点D与点O对应，当点D落在x轴的正半轴上时，求C，D两点的坐标．2014年山西省太原市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题含10个小题，每小题3分，共30分）1．（3分）下列各数中最小的数是（）A．﹣3B．3C．0D．﹣【解答】解：如图所示，，由图可知，最小的数是﹣3．故选：A．2．（3分）下列运算结果正确的是（）A．a6•a2＝a12B．（a6）2＝a8C．a6÷a2＝a3D．（ab）2＝a2b2【解答】解：A、a6•a2＝a8，故原题计算错误；B、（a6）2＝a12，故原题计算错误；C、a6÷a2＝a4，故原题计算错误；D、（ab）2＝a2b2，故原题计算正确；故选：D．3．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，若AB∥CD，∠BCD＝30°，则∠ACD 的度数为（）A．30°B．60°C．75°D．120°【解答】解：∵AB∥CD，∠BCD＝30°，∴∠B＝∠BCD＝30°．∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°，∴∠ACD＝∠ACB+∠BCD＝30°+30°＝60°．故选：B．4．（3分）如图是由4个大小相同的正方体搭成的几何体，小彬又拿来2个同样的正方体加上去，得到的新几何体的主视图和左视图如图所示，则添加的正方体不可能摆放在（）A．1号的前后B．2号的前后C．3号的前后D．4号的左右【解答】解：根据图示可得：此几何体的左视图是“日”字形，要变成，必须在1或2或3的前后各加一个正方体，故A、B、C均可，只有D添加错误；故选：D．5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【解答】解：由x﹣3≤﹣1，得x≤2；由﹣2x＜2，得x＞﹣1，不等式组的解集是﹣1＜x≤2，故选：A．6．（3分）已知在1个标准气压下，将1kg水的温度升高℃需要吸收4200J的热量，在同样的条件下，10kg水的温度升高50℃所吸收的热量用科学记数法表示为（）A．21×105J B．2.1×105J C．2.1×106J D．0.21×107J 【解答】解：4200J×10×50＝210000＝2.1×106J．故选：C．7．（3分）某校组织“汉字听写大赛”，八年级五个班选手的成绩（单位：分）如图所示，小颖对这组数据的分析如下：①众数是72分；②中位数是72分；③平均数是75分．其中正确的结论有（）A．①②B．②③C．①③D．①②③【解答】解：①众数是72分；②五个数从小到大排列是：65，72，72，75，84．则中位数是72分；③平均数是：（65+72+72+75+84）＝73.6（分）．则正确的是①②．故选：A．8．（3分）某种商品原价为100元，经过两次降价后，现价为64元/件，这两次降价中平均每次降价的百分率为（）A．10%B．18%C．20%D．36%【解答】解：设每次降价的百分率为x，第二次降价后价格变为100（x﹣1）2元，根据题意得：100（x﹣1）2＝64，即x﹣1＝0.8，解之得x1＝1.8，x2＝0.2．因x＝1.8不合题意，故舍去，所以x＝0.2．即每次降价的百分率为0.2，即20%．故选：C．9．（3分）如图，要测量底部不能到达的一座塔的高度AB，甲、乙两名同学分别在C，D两处进行了测量．已知点B，C，D在同一直线上，且AB⊥BD，CD＝12米，∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，则塔的高度AB为（）A．12米B．6米C．12米D．6米【解答】解：根据题意得：∠ABC＝90°，∵∠ACB＝60°，∠ADB＝30°，∴∠CAD＝∠ACB﹣∠ADB＝30°，∴∠CAD＝∠ADB，∴AC＝CD＝12米，在Rt△ABC中，AB＝AC•sin60°＝12×＝6（米），故选：B．10．（3分）如图，直径为6的半圆绕直径AB的端点A顺时针旋转45°，点B 的对应点为B′，则图中阴影部分的面积是（）A．B．C．D．9π【解答】解：S阴影＝S半圆AB+S扇形BAB′﹣S半圆AB′＝S扇形BAB′＝＝π，故选：C．二、填空题（本大题含6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）计算：（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9．【解答】解：原式＝a2﹣32＝a2﹣9．故答案是：a2﹣9．12．（3分）某校对甲、乙两名跳高运动员近期跳高成绩进行统计并分析，结果如下：他们跳高的成绩平均为1.69米，s＝0.006，s＝0.0031，甲、乙两人中乙的成绩更稳定．【解答】解：∵他们跳高的成绩平均为1.69米，s＝0.006，s＝0.0031，∴s＜s，∴甲、乙两人中乙的成绩更稳定．故答案为：乙．13．（3分）如图，已知反比例函数y＝的图象经过△OAB的顶点A，原点B在x轴的正半轴上，若AO＝AB，则△OAB的面积为2．【解答】解：过点A作AC⊥x轴，设点A（x，y），∵OA＝OB，∴OC＝BC，∴点B（2x，0），∵顶点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴xy＝2，S△ABC＝OB•AC＝×2x×y＝xy＝2．故答案为2．14．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝AB，点E为CB边上一点（与点C不重合），点F是AC上一点．若AB＝3，BE＝1，∠AEF＝60°，则AF的长度为．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵AC＝AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∵∠AEF＝60°，∴∠AEB+∠FEC＝∠AEB+∠BAE＝120°，∴∠BAE＝∠FEC，∴△ABE∽△ECF，∴AB：CE＝BE：CF，∵AB＝3，BE＝1，∴3：2＝1：CF，∴CF＝，∴AF＝3﹣＝．故答案为．15．（3分）如图，某旅游景点的入口是一抛物线形拱门，它在地面上的水平宽度为10米，两侧距离地面4米高处各有一挂横匾用的铁环，两铁环间的水平距离为6米，则该拱门最高处到地面的距离为米．【解答】解：以地面为x轴，大门左边与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，则抛物线过O（0，0）、E（10，0）、A（2、4）、B（8、4）四点，设该抛物线解析式为：y＝ax2+bx+c，则，解得：．故函数解析式为：y＝﹣x2+x．当x＝5时，可得y＝﹣+＝米．故答案为：．16．（3分）观察下列等式：第1个：a1＝﹣＝×（﹣1）；第2个：a2＝﹣＝×（﹣）；第3个：a3＝﹣＝×（﹣）；第4个：a4＝﹣＝×（﹣）；…照此规律，a1+a2+…+a2014的结果为﹣．【解答】解：a1+a2+…+a2014，＝×（﹣1）+×（﹣）+×（﹣）+…+×（﹣），＝（﹣1+﹣+﹣+…+﹣），＝×（﹣1），＝﹣，故答案为：﹣．三、解答题（本题含8小题，共72分）17．（10分）（1）计算：（2）先化简，再求值：（），其中x＝﹣5．【解答】解：（1）原式＝2﹣4×+1＝2﹣2+1＝1；（2）原式＝•＝，当x＝﹣5时，原式＝＝﹣．18．（5分）解方程：2x﹣6＝3x（x﹣3）．小明是这样解答的：将方程左边分解因式，得2（x﹣3）＝3x（x﹣3）…第一步方程两边同时除以（x﹣3），得2＝3x…第二步解，得x＝…第三步（1）小明的解法从第二步开始出现错误；（2）写出正确的解答过程．【解答】解：（1）小明的解法从第二步开始出现错误；（2）2x﹣6＝3x（x﹣3）2（x﹣3）＝3x（x﹣3）2（x﹣3）﹣3x（x﹣3）＝0（x﹣3）（2﹣3x）＝0x﹣3＝0，2﹣3x＝0x1＝3，x2＝．19．（9分）如图，△ABC中，DE是一条中位线，延长DE到点F，使EF＝DE，连接CF．（1）判断线段AD与CF的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（2）若AC＝BC，连接DC，AF，求证：四边形ADCF是矩形．【解答】证明：（1）∵DE是中位线，∴AE＝EC，∵∠AED＝∠CEF，DE＝EF，∴△AED≌△CEF，∴AD＝CF，∠A＝∠ACF，∴AD∥CF，即：AD＝CF，AD∥CF；（2）∵AD＝CF，AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC＝BC，AD＝DB，∴CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCF是矩形．20．（8分）某商店“三八节”开展有奖促销活动，他们设立了一个可以自由转动的转盘（如图），转盘被分成3个面积相等的扇形，3个扇形区域里分别标有“10元”、“20元”、“30元”的字样．根据规定：顾客在该商店购买总价每满100元就可以转动转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，小明的妈妈在该商店购物一次，总价是210元．（1）妈妈可以转动转盘2次，她最少可得20元购物券，最多可得60元购物券；（2）请用画树状图或列表的方法，求妈妈所获购物券金额不低于50元的概率．【解答】解：（1）∵购买总价每满100元就可以转动转盘一次，小明的妈妈在该商店购物一次，总价是210元，∴妈妈可以转动转盘2次，她最少可得20元购物券，最多可得60元购物券，故答案为2，20，60；（2）画树状图得：∵共有9种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有3种情况，∴该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为＝：21．（8分）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，交AC于点D，点E是AB延长线上的一点，且∠BDE＝∠A．（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若AB＝6，∠C＝60°，求DE的长．【解答】解：（1）DE与⊙O相切．理由如下：∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO+∠BDO＝90°，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ADO，∵∠BDE＝∠A，∴∠BDE＝∠ADO，∴∠BDE+∠BDO＝90°，即∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∴DE为⊙O的切线；（2）∵∠ABC＝90°，∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴∠DOE＝60°，在Rt△ODE中，∵∠E＝90°﹣∠DOE＝30°，∴DE＝OD＝3．22．（8分）某河道A，B两个码头之间有客轮和货轮通行，某天，客轮从A码头出发，匀速行驶到B码头，同时货轮从B码头出发，运送一批建材匀速行驶到A码头．两船距B码头的距离y（千米）与行驶时间x（分钟）之间的函数关系图象如图所示．（1）请根据图象解决下列问题：①A，B两个码头之间的距离是40千米；②分别求出客轮和货轮距B码头的距离y1（千米），y2（千米）与x（分钟）之间的函数关系式；③点M的坐标为（24，8），点M的坐标所表示的实际意义为两船同时出发经24分钟相遇，此时距B码头8千米；（2）不添加其他条件，请根据图象和条件再提出一个有关客轮或货轮行驶过程中的数学问题．（不必解答）【解答】解：（1）①根据图象得：A，B两个码头之间的距离是40千米；故答案为：40；②设y1＝k1x+b，把（0，40），（30，0）代入得：，解得：，∴，设y2＝k2x，把（120，40）代入得：40＝120k2，解得：，∴；③联立与得：，解得：，∴点M的坐标为（24，8），它的实际意义是：两船同时出发经24分钟相遇，此时距B码头8千米．故答案为：（24，8），两船同时出发经24分钟相遇，此时距B码头8千米．（2）货轮比客轮晚几分钟到达目的地？23．（10分）数学活动：折纸、画图与探究：问题情境：在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，折叠矩形纸片ABCD，使B 落在边AD（不与A重合）上，落点记为E，这是折痕与边CD或者边BC（含端点）交于点F，与边AB或者边AD（含端点）交于点G，然后展开铺平，则四边形BFEG称为矩形ABCD的“折痕四边形”．操作探究：（1）如图1，当点E在图1的位置时，请作出此时的“折痕四边形”BFEG（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），此时，图1中的等腰三角形有△BFE、△BGE；（2）在折叠矩形的过程中，借助图2探究：当点E是AD的中点时，折痕四边形BFEG的边EG的长为；当AE＝6时，折痕四边形BFEG是正方形；当AE取值范围是6＜AE≤10时，折痕四边形BFEG是非正方形的菱形；（3）在折叠矩形的过程中，当点F在线段CD上时，如图3，设AE的长度为x，折痕四边形BFEG的面积是y，求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围．【解答】解：（1）如图1，四边形BFEG是所求作的折痕四边形，由折叠的性质可知在：△BFE、△BGE是等腰三角形；（2）如图2，∵点E是AD的中点，∴AE＝AD＝5，由折叠的性质，BG＝EG，设EG＝x，则BG＝x，AG＝6﹣x，由勾股定理得，AG2+AE2＝EG2，即（6﹣x）2+25＝x2，解得，x＝，即EG＝；当折痕四边形BFEG是正方形时，BG＝EG，BG⊥EG，∴点G与点A重合，∴AE＝AB＝6；如图3，当AE＞6时，由题意得，GB＝GE，FE＝FB，∠BGF＝∠EGF，∵AD∥BC，∴∠EGF＝∠GFB，∴∠BGF＝∠GFB，∴BG＝BF，∴BG＝GE＝EF＝FG，∴四边形BFEG是菱形，∴当6＜AE≤10时，四边形BFEG是菱形；故答案为：；6；6＜AE≤10；（3）如图1，∵点B的对称点是点E，∴EG＝BG，设EG＝BG＝m，则AG＝6﹣m，由勾股定理得，m2＝x2+（6﹣m）2，化简得，m＝x2+3，∵点B与点E关于直线GC对称，∴△BFG≌△EFG，∴四边形BFEG的面积＝2×△BFG的面积，即S＝2×（x2+3）×10×＝x2+30，（0＜x≤2）．24．（14分）如图1，平面直角坐标系中有Rt△OAB，直角顶点A在y轴的正半轴上，顶点B在第一象限，OA＝4，AB＝2，抛物线y＝﹣+bx+c经过点A，B．（1）直接写出A，B两点的坐标，并求该抛物线的表达式；（2）如图2，将Rt△OAB绕点B逆时针旋转，得到Rt△CDB，其中点C与点A 对应，点D与点O对应，当点D落在x轴的正半轴上时，求C，D两点的坐标．【解答】解：（1）由题意得到：A（0，4），B（2，4）．将点A、B的坐标代入y＝﹣+bx+c，得，解得．故该二次函数解析式为：y＝﹣+x+4；（2）如图，过点B作BF⊥x轴于F．∴四边形AOFB是矩形，∴OF＝AB＝2，BF＝AO＝4．由旋转的性质可知，BD＝OB，BC＝BA＝2，∠DBC＝∠OBA，∴OD＝2OF＝4，∴点D的坐标是（4，0）．分别过点C、D作CE⊥AB，DG⊥OB，垂足分别是E、G．∴∠CEB＝∠BGD＝90°，∴＝．在直角△AOB中，OB＝＝2，∴BD＝2，∵OB•DG＝OD•BF，∴DG＝，∴＝，即CE＝，BE＝＝＝，∴点C的坐标为：（2﹣，4﹣），即（，）．。
2014年山西省太原市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2014年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|3x＞1}，则M∩N＝（）A．∅B．{x|x＞0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1} 2．（5分）复数等于（）A．﹣i B．i C．﹣i D．i3．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+α）在x＝时有极大值，则α的一个可能值是（）A．B．﹣C．D．﹣4．（5分）下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈（3，+∞），x2＞2x+1C．∃x∈R，x2+x＝﹣1D．5．（5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.66．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l 上，则数列{a n}的前15项和S15＝（）A．12B．32C．60D．1207．（5分）如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（）A．k≤6？B．k≤7？C．k≤8？D．k≤9？8．（5分）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的表面积是（）A．8B．C．16D．9．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）10．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．11．（5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC ＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．112．（5分）已知方程＝k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A．sinα＝αcosβB．sinα＝﹣αcosβC．cosα＝βsinβD．sinβ＝﹣βsinα二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sinα+cosα＝，则cos4α＝．14．（5分）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，C是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是．15．（5分）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z＝x+3y的最大值为8，则k＝．16．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+2＝，a100＝a96，则a9+a10＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC 的外接圆的半径为，且a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B．（1）求∠C；（2）求△ABC的面积S的最大值．18．（12分）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如图所示茎叶图（单位：cm）．若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．（1）对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？（2）若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都能出售的概率．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2．（1）求证：AB1⊥A l C；（2）求点C到平面AA1B1的距离．20．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最小值．21．（12分）已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为，焦距为2，A，B是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；（2）动点P满足：＝+3，直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，求动点P的轨迹方程．选修4一1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知P A与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O 于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE＝∠AED；（Ⅱ）若AC＝AP，求的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．2014年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合M＝{x|﹣1＜x＜1}，N＝{x|3x＞1}，则M∩N＝（）A．∅B．{x|x＞0}C．{x|x＜1}D．{x|0＜x＜1}【解答】解：由N中的不等式变形得：3x＞1＝30，得到x＞0，∴N＝{x|x＞0}，∵M＝{x|﹣1＜x＜1}，∴M∩N＝{x|0＜x＜1}．故选：D．2．（5分）复数等于（）A．﹣i B．i C．﹣i D．i【解答】解：＝＝．故选：D．3．（5分）已知函数f（x）＝sin（2x+α）在x＝时有极大值，则α的一个可能值是（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：原函数f（x）＝sin（2x+α）在x＝时有极大值，即2×＝2kπ+，α＝2kπ+，k∈Z，当k＝0时，α＝．故选：A．4．（5分）下列命题中，真命题是（）A．B．∀x∈（3，+∞），x2＞2x+1C．∃x∈R，x2+x＝﹣1D．【解答】解：B项是正确的．∀x∈（3，+∞），x2﹣（2x+1）＝（x﹣1）2﹣2＞2＞0，由于对∀x∈R，sin x+cos x ≤，故A错误，方程x2+x+1＝0无实根，故C项错误；对于∀x∈（，π）tan x＜0＜sin x，故D错误．故选：B．5．（5分）在五个数字1，2，3，4，5中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字的和是奇数的概率是（）A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6【解答】解：根据题意，从5个数字中选3个，共有C53＝10种情况，满足条件的是剩下两个数字的和是奇数，即取出的三个数为两奇一偶；有C32C21＝6种结果，故剩下两个数字的和是奇数的概率是P＝．故选：D．6．（5分）已知数列{a n}，若点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l 上，则数列{a n}的前15项和S15＝（）A．12B．32C．60D．120【解答】解：由题意可得a8＝4∵点（n，a n）（n∈N*）在经过点（8，4）的定直线l上＝k（为常数）∴a n可写为关于n的一次函数即可设a n＝kn+m，则a n﹣a n﹣1∴{a n}为等差数列由等差数列的性质可知，a1+a15＝2a8＝8∴＝15a8＝60故选：C．7．（5分）如图是一算法的程序框图，若输出结果为S＝720，则在判断框中应填入的条件是（）A．k≤6？B．k≤7？C．k≤8？D．k≤9？【解答】解：根据程序框图，运行结构如下：S K第一次循环10 9第二次循环90 8第三次循环720 7此时退出循环，故应填K≤7？故选：B．8．（5分）如图是一个几何体的正（主）视图和侧（左）视图，其俯视图是面积为的矩形，则该几何体的表面积是（）A．8B．C．16D．【解答】解：此几何体是一个三棱柱，且其高为＝4，由于其底面是一个等腰直角三角形，直角边长为2，所以其面积为×2×2＝2，又此三棱柱的高为4，故其侧面积为，（2+2+2）×4＝16+8，表面积为：2×2+16+8＝20+8．故选：B．9．（5分）设M（x0，y0）为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）【解答】解：由条件|FM|＞4，由抛物线的定义|FM|＝y0+2＞4，所以y0＞2故选：C．10．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0）作圆x2+y2＝的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若＝（+），则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵|OF|＝c，|OE|＝，∴|EF|＝，∵，∴|PF|＝2，|PF'|＝a，∵|PF|﹣|PF′|＝2a，∴2﹣a＝2a，∴，故选：C．11．（5分）已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC ＝∠BSC＝30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（）A．3B．2C．D．1【解答】解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD．因为线段SC是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC＝∠SBC＝90°所以在Rt△SAC中，SC＝4，∠ASC＝30°得：AC＝2，SA＝2又在Rt△SBC中，SC＝4，∠BSC＝30°得：BC＝2，SB＝2则：SA＝SB，AC＝BC因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD＝＝＝在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD＝＝＝又SD交CD于点D所以：AB⊥平面SCD即：棱锥S﹣ABC的体积：V＝AB ，•S△SCD因为：SD＝，CD＝，SC＝4 所以由余弦定理得：cos∠SDC＝（SD2+CD2﹣SC2）＝（+﹣16）＝＝则：sin∠SDC＝＝由三角形面积公式得△SCD的面积S＝SD•CD•sin∠SDC＝＝3＝＝所以：棱锥S﹣ABC的体积：V＝AB•S△SCD故选：C．12．（5分）已知方程＝k在（0，+∞）上有两个不同的解α，β（α＜β），则下面结论正确的是（）A．sinα＝αcosβB．sinα＝﹣αcosβC．cosα＝βsinβD．sinβ＝﹣βsinα【解答】解：∵有两个根，∴函数y＝|sin x|和函数y＝kx在（0，+∞）上有两个交点，x＞0且k＞0，画出两个函数的图象，如图（1）图1函数y＝|sin x|和函数y＝kx在（0，π）上有一个交点A（α，sinα），在（π，2π）上有一个切点B（β，﹣sinβ）时满足题意，α，β是方程的根．当x∈（π，2π）时，f（x）＝|sin x|＝﹣sin x，f′（x）＝﹣cos x，∴在B处的切线为y+sinβ＝f′（β）（x﹣β），将x＝0，y＝0代入方程，得sinβ＝﹣β×（﹣cosβ），∴＝cosβ，∵O，AB三点共线，∴，∴＝﹣cosβ，∴sinα＝﹣αcosβ．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知sinα+cosα＝，则cos4α＝﹣．【解答】解：∵sinα+cosα＝，平方可得1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣．∴cos4α＝1﹣2sin22α＝1﹣2×＝﹣，故答案为：﹣．14．（5分）已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，C是圆x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是3．【解答】解：由圆方程化为变形方程得：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝1，∴圆心C（1，1），∵圆心C到直线3x+4y+8＝0的距离d＝＝3，∴|PC|的最小值为3．故答案为：315．（5分）已知点P（x，y）满足条件（k为常数），若z＝x+3y的最大值为8，则k＝﹣6．【解答】解：画出可行域将z＝x+3y变形为y＝，画出直线平移至点A时，纵截距最大，z最大，联立方程得，代入，∴k＝﹣6．故答案为﹣616．（5分）在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+2＝，a100＝a96，则a9+a10＝．【解答】解：∵a1＝1，a n+2＝，∴a3＝，a5＝＝，a7＝＝，a9＝＝，∵a n+2＝，a100＝a96，∴a100＝a96＝＝，∴a962+a96﹣1＝0，∴a96＝，∴a94＝，∴a10＝，∴a9+a10＝+＝．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC 的外接圆的半径为，且a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B．（1）求∠C；（2）求△ABC的面积S的最大值．【解答】解：（1）已知等式a sin A﹣c sin C＝（a﹣b）sin B，利用正弦定理化简得：a2﹣c2＝ab﹣b2，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝，∵C为三角形内角，∴C＝；（2）∵sin C＝sin＝，＝＝2R，即a＝2R sin A，b＝2R sin B，∴S＝ab sin C＝•2R sin A•2R sin B＝2sin A sin B，∵A+B＝π﹣C＝，即B＝﹣A，代入上式得：S＝ab sin C＝2sin A sin B＝2sin A sin（﹣A）＝2sin A（cos A+sin A）＝（sin2A﹣cos2A+）＝sin（2A﹣）+≤+＝，则当2A﹣＝，即A＝时，S max＝．18．（12分）某园艺师培育了两种珍稀树苗A与B，株数分别为8与12，现将这20株树苗的高度编写成如图所示茎叶图（单位：cm）．若树高在175cm以上（包括175cm）定义为“生长良好”，树高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非生长良好”，且只有“B生长良好”的才可以出售．（1）对于这20株树苗，如果用分层抽样的方法从“生长良好”和“非生长良好”中共抽取5株，再从这5株中任选2株，那么至少有一株“生长良好”的概率是多少？（2）若从所有“生长良好”中选2株，求所选中的树苗都能出售的概率．【解答】解：（1）根据茎叶图，可知“生长良好”有8株，“非生长良好”的有12株，用分层抽样的方法抽取，每株被抽取的概率是＝，从“生长良好”中共抽取株，“非生长良好”的有株．设“生长良好”的两株为1，2．“非生长良好”的3株为a，b，c．则所有的基本事件有：（1，2），（1，a），（1，b），（1，c），（2，a），（2，b），（2，c），（a，b），（a，c），（b，c）共有10种，至少有一株“生长良好”的事件有7个∴至少有一株“生长良好”的概率是．（2）依题意，一共有8株生长良好，其中A有5株，B有3株，所有可能的基本事件共有个，树苗都能出售的事件包含的基本事件为个，∴所求概率为．19．（12分）如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点O是A1C1的中点，AO⊥平面A1B1C1．已知∠BCA＝90°，AA1＝AC＝BC＝2．（1）求证：AB1⊥A l C；（2）求点C到平面AA1B1的距离．【解答】（1）证明：∵AO⊥平面A1B1C1，∴AO⊥，又∵A1C1⊥B1C1，且A1C1∩AO＝0，∴B1C1⊥平面A1C1CA，∴A1C⊥B1C1，又∵AA1＝AC，∴四边形A1C1CA为菱形，∴A1C⊥AC1，且B1C1∩AC1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，∴AB1⊥A1C．（2）∵CC1∥平面AA1B1，∴点C到平面AA1B2的距离与点C1到平面AA1B1的距离相等，设C1到平面AA1B1的距离为d，∵＝，∴，又∵在△AA 1B1中，，，∴d＝．20．（12分）已知函数f（x）＝（2﹣a）x﹣2（1+lnx）+a．（1）当a＝1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在区间（0，）无零点，求a的最小值．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x﹣1﹣2lnx，则f′（x）＝1﹣，定义域x∈（0，+∞），由f′（x）＞0，得x＞2；由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的单调减区间为（0，2），单调增区间为（2，+∞）．（2）f（x）＝（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，令m（x）＝（2﹣a）（x﹣1），x＞0；h（x）＝2lnx，x＞0，则f（x）＝m（x）﹣h（x），①当a＜2时，m（x）在（0，）上为增函数，h（x）在（0，）上为增函数．结合图象可知，若f（x）在（0，）无零点，则m（）≥h（）．即（2﹣a）×（﹣1）≥2ln，∴a≥2﹣4ln2．∴2﹣4ln2≤a＜2．②当a≥2时，在（0，）上m（x）≥0，h（x）＜0．∴f（x）＞0，∴f（x）在（0，）上无零点，由①②得a≥2﹣4ln2，∴a min＝2﹣4ln2．21．（12分）已知中心在原点O，左右焦点分别为F1，F2的椭圆的离心率为，焦距为2，A，B是椭圆上两点．（1）若直线AB与以原点为圆心的圆相切，且OA⊥OB，求此圆的方程；（2）动点P满足：＝+3，直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，求动点P的轨迹方程．【解答】解：（1）设椭圆方程为，由，解得：．∴椭圆方程为．①设直线AB为：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得：（1+3k2）x2+6kmx+3（m2﹣1）＝0．∴，∵OA⊥OB，∴，即x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝＝，即4m2﹣3k2﹣3＝0．∵直线AB与以原点为圆心的圆相切，∴圆的半径，则．∴圆的方程为；②当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，满足上述方程．综上，所求圆的方程为：．（2）设P（x，y），又A（x1，y1），B（x2，y2），由：＝+3，得，又直线OA与OB的斜率的乘积为﹣，∴，即x1x2+3y1y2＝0．∵A，B在椭圆上，∴．联立，消去x1，x2，y1，y2，得x2+3y2＝30．当OA斜率不存在时，即x 1＝0，得y1＝±1，y2＝0，．此时．同理OB斜率不存在时，．∴动点P的轨迹方程为x2+3y2＝30（）．选修4一1：几何证明选讲22．（10分）如图，已知P A与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O 于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE＝∠AED；（Ⅱ）若AC＝AP，求的值．【解答】解：（Ⅰ）∵P A是切线，AB是弦，∴∠BAP＝∠C．又∵∠APD＝∠CPE，∴∠BAP+∠APD＝∠C+∠CPE．∵∠ADE＝∠BAP+∠APD，∠AED＝∠C+∠CPE，∴∠ADE＝∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP＝∠C，∵∠APC＝∠BP A，∵AC＝AP，∴∠APC＝∠C∴∠APC＝∠C＝∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP＝180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC＝90°．∴∠APC+∠C+∠BAP＝180°﹣90°＝90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BP A中∠BAP＝∠C，∠APB＝∠CP A，∴△APC∽△BP A．∴．∴．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），且曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝．且以O为极点，X 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．（1）求曲线C1的普通方程，C2的极坐标方程；（2）若A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，求+的值．（1）由曲线C1上的点M（2，）对应的参数φ＝可得：，【解答】解：解得，∴曲线C1的普通方程为．设圆C2的半径为R，由于射线θ＝与曲线C2交于点D（，）．可得，解得R＝1．∴圆C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（2）曲线C1的极坐标方程为：，化为，∵A（ρ1，θ），B（ρ2，θ+）是曲线C1上的两点，∴+＝＝+＝＝．选修4-5：不等式选讲24．选修4﹣5：不等式选讲已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）解不等式f（x）≤4；（Ⅱ）若存在x使得f（x）+a≤0成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝，如图，它与y＝4的交点为（﹣8，4）和（2，4）．故不等式f（x）≤4的解集为[﹣8，2]．（Ⅱ）由f（x）的图象知，x ＝﹣时，f（x ）有最小值﹣，存在x使得f（x）+a≤0成立，等价于﹣a ≥﹣，a ≤，故实数a 的取值范围为（﹣∞，]．第21页（共21页）。
山西省太原市2014年初中毕业班综合测试(二)数学试题(扫描版,答案word)
太原市2014初中毕业班综合测试（二）数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共30分）11. x 2-9 12.60° 13.（2，-3）或（-2，3） 14.答案不唯一，如：①该公司三月份利润比一月份下降百分之几？②该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？③若每月利润下降的百分率相同，则从几月份开始利润为0？等等 15.416.①③④（写出一个正确答案得1分，共3分，多写错误答案均扣1分） 三、解答题：（本大题含8个小题，共72分） 17．（每小题5分，共10分） 解：（1）⎩⎨⎧=--=+②①.923,12y x y x方程①＋②，得 4x =8，……………………………………………1分解，得 x =2. …………………………………………………2分 把x =2代入①，得 2+2y ＝−1.解，得 .23-=y ……………………………………………………4分∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-==.23,2y x ……………………………………………5分（2）解：原式＝()()()()()x x x x x x x x x 1111112-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+………………1分 ＝()()xx x x x x 11122-⋅-++ …………………………………2分＝()x x x x 1112⋅++ ………………………………………3分＝112++x x . ………………………………………………4分当x=-2时，原式=12122+-+⨯-＝3. …………………………………5分18.(本小题8分) 解：（1）10÷20%＝50（人），即被抽查的学生有50人. ………………1分50－4－10－16－6＝14（人）. ………………………………2分 从统计图中的信息可知，阅读量为1本、2本、3本、4本、5本的人数分别为4人、10人、16人、14人、6人.所以，阅读量的众数为3本. ……………………………………3分 答：被抽查的学生有50人，课外阅读量的众数是3本.（2）32%，28% 条形统计图补充图略. …………………………6分（3）600×5061416++=600×72%=432（人）.………………………7分答：完成4月份课外阅读任务的学生约有432人. …………………8分 19.(本小题5分)解:（1）② …………………………………………………………………1分 （2）设P =Vm()0≠m ，将V =1.2,P =80代入,得 m =1.2×80=96. ∴ P 与V 的关系式为P =96V…………………………………3分图象略. ………………………………………………………4分（3）V ≥2435. ……………………………………………………………5分 20．（本小题6分）解：过点A 作AM ⊥CD 于M ,∴ ∠AMD=90°. ………………………1分由题意，得AB=6，∠ABC=45°，∠ADC=30°.在Rt △ABM 中, ∠AMB=90°，sin ∠ABM=AMAB,∴ AM =6⨯2米). ………………………………………3分 在Rt △ADM 中, ∠AMD=90°,sin ∠ADM=ADAM,∴ AD =︒30sin 23米). ………………………………………5分答:现在坡面AD 的长为. ………………………………………6分 21．（本小题8分）（1）解：设第一次购水果x 千克,则第二次购进水果（x +200）千克. …1分根据题意，得500(110%)x +=1650200x +. ………………………3分解,得x =100. ……………………………………………………4分经检验x =100是原方程的根.答:第一次购水果100千克. …………………………………………5分 （2）设这两批水果的销售价格为y 元/千克.则 (100+200+100)（1-4%）y －(500+1650)≥1690. ……………6分解得 y ≥10. ……………………………………………………7分 答:这两批水果的售价至少应为10元/千克. …………………………8分 22.(本小题9分) 解：（1）8π 6π ………………………………………………………2分 （2）证明：设⋂BE 与⋂DF 所对的圆心角为n °.⋂BE 的长=180OE n π , ⋂DF 的长=180OF n π ,OFOE OEn DF BE ==⋂⋂180180π的长的长. ……………………………………3分即.OFOEDF BE =⋂⋂的长的长 …………………………………………… 4分 由题意得OE=OF+6,所以，OF OF 668+=ππ. ……………………5分解，得 OF ＝18. OE=6+OF=24. ……………………………6分 又弧DF 的长＝180OF n π＝6π，得18018πn ＝6π，解，得n ＝60. ………………………………………………7分 答：⋂DF 所在圆的半径OF 等于18cm ，它所对的圆心角的度数为60°.9分 23.（本小题12分） 解：（1）①MN=DN.证明：∵点D 是BC 的中点，N 是CE 的中点，∴DN 是△BEC 的中位线. ∴DN =12BE. ………………………1分 ∵M 是EF 的中点，∴MN 是△EFC 的中位线. ∴MN =12FC . …………………………………………………2分 ∵AB=AC,AE=AF , ∴AB+AE=AC+AF ,∵点E,F 分别在BA,CA 的反向延长线上，∴BE=FC.∴DN=MN . …………………………………………………………3分 ②∠MND =180°-α. ……………………………………………4分 （2）解：①和②均仍然成立. 连接BE,CF .∵D 是BC 中点,N 是EC 中点, ∴DN 是△BEC 的中位线.∴DN =12BE ,DN ∥BE . 同理,MN =12CF ,MN ∥CF . ………………………………………5分∵∠BAC =∠EAF,∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,∴∠BAE=∠CAF . ………………………………………………6分 在△ABE 和△ACF 中,,,AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACF ,∴BE=CF ,∴DN=MN .即①仍然成立. ………………………………………7分 ∵DN ∥BE ,∴∠NDC =∠EBC . ……………………………………8分 ∵∠END=∠NDC+∠NCD∴∠END=∠EBC+∠ECB. ………………………………………9分MN ∥CF ,∴∠ENM=∠ECF . 即∠ENM=∠ECA+∠ACF .=∠ABE+∠ACE. ……………………………………10分 ∠DNM=∠EBC+∠ECB+∠ABE+∠ACE,=∠ABC+∠ACB =180°-∠BAC . …………………………11分∴∠DNM =180°-α. ………………………………………12分24.(本小题14分 )解：（1）A （6，8）；E （10，5）；………………………………………2分（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点A （6，8），D （10，0），∴⎩⎨⎧=+=+010*******b a b a ，解，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=31031b a . ∴此抛物线的解析式为x x y 310312+-=. …………………………4分 （3）存在，点M 的坐标为M 1(5，8-62)，M 2(5，8+62)，M 3(5，5)，M 4(5，2.5).………………………………………………………………8分(4)由A （6，8）可得直线OA 的表达式为x y 34=； 由E （10，5）可得直线OE 的表达式为x y 21=； ∵运动时间为t 秒时，OP =t ，∴P （t ，0）.∵直线l ⊥x 轴于点P ，点F ，G 是直线l 与OA ，OE 的交点，∴F （t t 34,），G （t t 21,），故FG=t t t 652134=-. …………………9分 分类讨论如下：当0<t ≤8时，点Q 在线段DC 上，如图1.过点Q 作QM ⊥直线l ，垂足为M ，则QM=PD.t t )t (t PD FG QM FG S 62512510652121212+-=-⋅=⋅=⋅=∴； ……………………………………………11分 当8≤t ＜9时，点Q 在线段CA 上，且在直线l 的右侧，如图2.由题可知，OP=t，图1 xy则PD=10-t ，DC+CQ=t,设FG 交AC 于点N ，则QN=CN-CQ=PD-CQ=10-t-(t-8)=18-2t.∴S=t t t t QN FG 21565)218(6521212+-=-⋅=⋅. …………………………………………13分当t =9时，点Q 恰好在直线l 上，此时，S =0；当9＜t ≤10时，点Q 在线段CA 上，且在直线l 的左侧，如图3.设FG 交AC 于点H ，则QH=CQ-CH=CQ-PD=(t-8)-(10-t)=2t-18.∴S=t t t t QH FG 21565)182(6521212-=-⋅=⋅. ………………………………………14分综上所述：S=()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤+-+-10921565982156580625125222t t t t t t t t t ＜＜＜＜ 说明：若学生没写出t=9时S=0以及最后的“综上所述”步骤的，不扣分.【说明：以上各题的其他解法请参照此标准评分】图3 xy 图2 x y。
太原市2014-2015学年高一上学期期末数学试题及答案统考
太原市20 1 4 ——20 1 5学年高一年级第二学段测评数学试卷（考试时间：上午8：00——9：30）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将其字母标号填入下表相应位置．1．在简单随机抽样中，某个个体被抽到的可能性A．与第n次有关，第一次可能性最大B．与第n次有关，第一次可能性最小C．与第n次无关，每次可能性不等D．与第n次无关，每次可能性相等答案：D解析：简单随机抽样中，每次可能性都相等，所以选D。
2．某射手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.20，0.30，0.20，则此射手在一次射击中不足8环的概率为A．0.40 B．0.30C．0.60 D．0.90答案：B解析：此射手在一次射击中不足8环的对立事件是：一次射击中大于等于8环。
此射手在一次射击中大于等于8环的概率P=0.20+0.30+0.20=0.7，所以答案为1-0.7=0.3.x y（i=1，2，…，10），得散点图(1)；对变量u，v有观测3．对变量x，y有观测数据(,)i iu v（i=1，2，…，10），得散点图(2)．由这两个散点图可以判断数据(,)i iA．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关答案：C.解析：从图中易看出y随着x增加呈下降趋势，v随着u的增加呈上升趋势，故选C.4．下列各数中，可能是五进制数的是A．55 B．106C．732 D．2134答案：D.解析：由进制的概念可知，进制为五，所有位数上的数5，故选D。
5．读下图程序，当输入的x为60时，输出y的值为A．30 B．31C．36 D．61答案：B.解析：本程序框图是条件结构，分段函数，输入x=60，y=25+0.6*（60-50）=31.6．某班共有52名学生，现根据学生的学号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、29号、42号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号是A. 10 B．11 C．12 D. 16答案：D.解析：系统抽样中，组距= 524=13，没有剔除数据，所以第一个数为3，第二个数为3+13=16.选D.7．如右图，平面图形中阴影部分面积S 是[]()0,h h H ∈的函数，则该函数的图象大致是答案：D.解析：由图中可知，S 随着h 的增加而减少，并且减小的趋势在减小，当2Hh =时，阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半，选D 。
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）含答案解析
山西省太原市高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜86．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜07．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．2169．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为_______．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为_______．15．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是_______．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=_______．﹣1三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．山西省太原市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，则（∁U A）∩（∁U B）为（）A．{5，6}B．{4，5}C．{0，3}D．{2，6}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】利用已知条件求出集合的补集关系，然后求解交集．【解答】解：全集U={0，1，2，3，4，5，6}，集合A={0，1，3}，集合B={2，6}，（C U A）∩（C U B）=C U（A∪B）={4，5}．故选：B．2．已知i是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A．1﹣i B．﹣1+i C．1+i D．﹣1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：，∴复数的共轭复数是1﹣i．故选：A．3．已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点坐标为（2，0），则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的标准方程．【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c=2，即a2+b2=4，解得a=1，b=，所求双曲线方程为：．故选：C．4．等比数列{a n}中，a1=1，公比q=2，前n项和为S n，下列结论正确的是（）A．B．∀n∈N*，a n•a n+1≤a n+2C．∀n∈N*，S n＜a n+1D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】由题意可得a n和S n，逐个选项验证可得．【解答】解：由题意可得，A.，，∴A错；B.，构造函数f（x）=2x，易知f（x）在R上单调递增，当x=2时，f（2x﹣1）=f（x+1），∴R上不能保证f（2x﹣1）≤f（x+1）恒成立，∴B错；C．S n＜a n+1恒成立即2n﹣1＜2n恒成立，显然C正确．同A的解析可得D错误．故选：C5．执行如图所示的程序框图，若输出的S=，则判断框内填入的条件可以是（）A．k≥7 B．k＞7 C．k≤8 D．k＜8【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=8时，退出循环，输出S的值为，故判断框图可填入的条件是k＜8．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：S=0，k=0满足条件，k=2，S=满足条件，k=4，S=+满足条件，k=6，S=+满足条件，k=8，S=++=由题意，此时应不满足条件，退出循环，输出S的值为．结合选项可得判断框内填入的条件可以是：k＜8．故选：D．6．设函数f（x）=e x+x﹣2，g（x）=lnx+x2﹣3．若实数a，b满足f（a）=0，g（b）=0，则（）A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数的值；不等关系与不等式．【分析】先判断函数f（x），g（x）在R上的单调性，再利用f（a）=0，g（b）=0判断a，b的取值范围即可．【解答】解：①由于y=e x及y=x﹣2关于x是单调递增函数，∴函数f（x）=e x+x﹣2在R 上单调递增，分别作出y=e x，y=2﹣x的图象，∵f（0）=1+0﹣2＜0，f（1）=e﹣1＞0，f（a）=0，∴0＜a ＜1．同理g（x）=lnx+x2﹣3在R+上单调递增，g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，g（）=，g（b）=0，∴．∴g（a）=lna+a2﹣3＜g（1）=ln1+1﹣3=﹣2＜0，f（b）=e b+b﹣2＞f（1）=e+1﹣2=e﹣1＞0．∴g（a）＜0＜f（b）．故选A．7．函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）=（）A．1 B．C．D．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图象可得A=1，由周期公式可得ω=2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f （x）=sin（2x+），再由题意可得x1+x2=，代入计算可得．【解答】解：由图象可得A=1，=，解得ω=2，∴f（x）=sin（2x+φ），代入点（，0）可得sin（+φ）=0∴+φ=kπ，∴φ=kπ﹣，k∈Z又|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（2x+），∴sin（2×+）=1，即图中点的坐标为（，1），又，且f（x1）=f（x2）（x1≠x2），∴x1+x2=×2=，∴f（x1+x2）=sin（2×+）=，故选：D8．现有12张不同的卡片，其中红色、黄色、绿色、蓝色卡片各3张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且蓝色卡片至多1张．则不同的取法的共有（）A．135 B．172 C．189 D．216【考点】计数原理的应用．【分析】不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，由此可得结论．【解答】解：由题意，不考虑特殊情况，共有种取法，其中每一种卡片各取三张，有4种取法，两种蓝色卡片，共有种取法，故所求的取法共有﹣4﹣=189种．故选：C．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A．2 B．C．4 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，求出相应数据即可求出几何体的体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图所示，ABCD的面积为2×=2，△SAD中，SD=AD=，SA=2，∴cos∠SDA==，∴sin∠SDA=，∴S△SAD==2设S到平面ABCD的距离为h，则=2，∴h=所以几何体的体积是=，故选：B．10．已知变量x，y满足约束条件，若，则实数a的取值范围是（）A．（0，1]B．[0，1）C．[0，1]D．（0，1）【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出a的取值范围即可．【解答】解：表示区域内点（x，y）与定点A（2，0）连线斜率K，由图易观察到BC与y轴重合时，，当BC向右移动时，，综上，a∈[0，1]．故选：C．11．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD为边长为2的正三角形，顶点A在底面BCD上的射影为△BCD的中心，若E为BC的中点，且直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，则三棱锥A﹣BCD外接球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π【考点】球的体积和表面积．【分析】先判断三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故可得正方体的棱长，即可求出外接球的半径，从而可得三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．【解答】解：∵定点A在底面BCD上的射影为三角形BCD的中心，而且底面BCD是正三角形，∴三棱锥A﹣BCD是正三棱锥，∴AB=AC=AD，令底面三角形BCD的重心（即中心）为P，∵底面BCD为边长为2的正三角形，DE是BC边上的高，∴DE=，∴PE=，DP=∵直线AE与底面BCD所成角的正切值为2，即∴AP=，∵AD2=AP2+DP2（勾股定理），∴AD=2，于是AB=AC=AD=BC=CD=DB=2，∴三棱锥为正四面体，构造正方体，由面上的对角线构成正四面体，故正方体的棱长为，∴正方体的对角线长为，∴外接球的半径为∴外接球的表面积=4πr2=6π．故选：D．12．若函数有唯一零点x0，且m＜x0＜n（m，n为相邻整数），则m+n的值为（）A．1 B．3 C．5 D．7【考点】函数零点的判定定理．【分析】构造函数，由函数有唯一零点x0，则y1，y2有公切点，由此求x0的解析式，即可求出m、n的值．【解答】解：令，则，在（0，1）上y1为减函数，在（1，+∞）上y1为增函数，所以y1为凹函数，而y2为凸函数；∵函数有唯一零点x0，∴y1，y2有公切点（x0，y0），则，消去a，得+﹣2（﹣）lnx0=0；构造函数，则g（1）=3，欲比较5与7ln2大小，可比较e5与27大小，∵e5＞27，∴g（2）＞0，，∴x∈（2，e）；∴m=2，n=3，∴m+n=5．二、填空题13．若（a+x）（1+x）4的展开式中，x的奇数次幂的系数和为32，则展开式中x3的系数为18．【考点】二项式定理的应用．【分析】设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，分别令x=1、x=﹣1，求得a的值，再利用排列组合的知识求得x3的系数．【解答】解：设f（x）=（a+x）（1+x）4=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，令x=1，则a0+a1+a2+…+a5=f（1）=16（a+1）…①，令x=﹣1，则a0﹣a1+a2﹣…﹣a5=f（﹣1）=0…②，①﹣②得，2（a1+a3+a5）=16（a+1），所以2×32=16（a+1），所以a=3．当（3+x）中取3，则（1+x）4取x，x，x，1，即可得x3的系数为，当（3+x）中取x，则（1+x）4取x，x，1，1，即x3的系数为，∴展开式中x3的系数为18．故答案为：18．14．圆心在曲线上，且与直线2x+y+1=0相切的面积最小的圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．【考点】圆的标准方程．【分析】根据圆心在曲线上，设出圆心的坐标，然后根据圆与直线2x+y+1=0相切，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，要使圆的面积最小即为圆的半径最小，利用点到直线的距离公式表示出设出的圆心到已知直线的距离d，利用基本不等式求出d的最小值及此时a的值，进而得到此时的圆心坐标和圆的半径，根据圆心坐标和半径写出圆的方程即可．【解答】解：由圆心在曲线上，设圆心坐标为（a，）a＞0，又圆与直线2x+y+1=0相切，所以圆心到直线的距离d=圆的半径r，由a＞0得到：d=≥=，当且仅当2a=即a=1时取等号，所以圆心坐标为（1，2），圆的半径的最小值为，则所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=515．已知在锐角△ABC中，已知∠B=，|﹣|=2，则的取值范围是（0，12）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，得到C的坐标，找出三角形为锐角三角形的A的位置，得到所求范围．【解答】解：以B为原点，BA所在直线为x轴建立坐标系，因为∠B=，|﹣|=||=2，所以C（1，），设A（x，0）因为△ABC是锐角三角形，所以A+C=120°，∴30°＜A＜90°，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以1＜x＜4，则=x2﹣x=（x﹣）2﹣，所以的范围为（0，12）．故答案为：（0，12）．16．若数列{a n}满足a n﹣（﹣1）n a n﹣1=n（n≥2，n∈N*），S n是{a n}的前n项和，则S40=440．【考点】数列的求和．【分析】由（n≥2），对n分类讨论，可得：a2k+a2k﹣2=4k﹣1，a2k+1+a2k ﹣1=1，分组求和即可得出．【解答】解：∵（n≥2），∴当n=2k时，即a2k﹣a2k﹣1=2k，①当n=2k﹣1时，即a2k﹣1+a2k﹣2=2k﹣1，②当n=2k+1时，即a2k+1+a2k=2k+1，③①+②a2k+a2k﹣2=4k﹣1，③﹣①a2k+1+a2k﹣1=1，S40=（a1+a3+a5+…+a39）+（a2+a4+a6+a8+…+a40）=．三、解答题17．已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，且a=2csinA．（1）求角C；（2）若c=，且△ABC的面积为，求a+b的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由正弦定理化简已知等式可得，结合A锐角，sinA＞0，可得sinC=，又C为锐角，即可得解C的值．（2）由余弦定理及已知可得7=a2+b2﹣ab，又由△ABC的面积公式可得ab=6，即可得解a+b 的值．【解答】解：（1）∵a=2csinA，∴正弦定理得，∵A锐角，∴sinA＞0，∴sinC=，又∵C为锐角，∴C=，（2）∵三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即7=a2+b2﹣ab，又∵由△ABC的面积得S=absinC=ab×=．即ab=6，∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25，∵由于a+b为正，∴a+b=5．18．在“出彩中国人”的一期比赛中，有6位歌手（1～6）登台演出，由现场的百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星，各家媒体地在投票器上选出3位出彩候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他必不选2号；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名．（Ⅰ）求媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率；（Ⅱ）X表示3号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，由等可能事件概率公式求出P（A），P（B），由此利用相互事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式能求出媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率．（Ⅱ）先由等可能事件概率计算公式求出P（C），由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设A表示事件：“媒体甲选中3号歌手”，事件B表示“媒体乙选中3号歌手”，事件C表示“媒体丙选中3号歌手”，P（A）==，P（B）==，媒体甲选中3号且媒体乙未选中3号歌手的概率：P（A）=P（A）（1﹣P（B））==．（Ⅱ）P（C）=，由已知得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）=P（）=（1﹣）（1﹣）（1﹣）=，P（X=1）=P（A）+P（）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=2）=P（AB）+P（A）+P（）=+（1﹣）×=，P（X=3）=P（ABC）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB ∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC 所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…20．如图所示，已知椭圆C的离心率为，A、B、F分别为椭圆的右顶点、上顶点、右焦点，且．（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，若直线l与椭圆C交于M、N两点．求△OMN面积的最大值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质．【分析】（1）设出椭圆方程，利用椭圆C的离心率为，，建立方程，联立，即可求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，确定m，k的关系，直线代入椭圆方程，表示出面积，换元，利用配方法，即可确定结论．【解答】解：（1）设方程为（a＞b＞0），则A（a，0），B（0，b），F（c，0）∵椭圆C的离心率为，∴=∴a=2b，∴①∵②∴联立①②，解得b=1，c=∴a=2，∴椭圆的方程为；（2）圆O的圆心为坐标原点，半径为2，∵直线l：y=kx+m被圆O：x2+y2=4所截弦长为，∴=1∴m2=1+k2③直线l代入椭圆方程，可得（）x2+2kmx+m2﹣1=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，∴==④③代入④可得=，∴|x1﹣x2|=∴|MN|==∴=令t=4k2+1≥1，则代入上式的，S=∴t=3，即4k2+1=3，解得时，S取得最大值为1．21．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x（1）若k∈z，且f（x﹣1）+x＞k（1﹣）对任意x＞1恒成立，求k的最大值．（2）对于在（0，1）中的任意一个常数a，是否存在正数x0，使得e f（x0）＜1﹣x02成立．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，根据函数的单调性求出函数的最小值，从而求出k的最大值即可；（2）假设存在这样的x0满足题意，得到+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，根据函数的单调性求出h（x）的最小值，从而求出满足条件的x的值．【解答】解：（1）∵f（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx﹣（x﹣1）+x＞k（1﹣），∴lnx+1＞k（1﹣），即xlnx+x﹣kx+3k＞0，令g（x）=xlnx+x﹣kx+3k，则g′（x）=lnx+1+1﹣k=lnx+2﹣k，若k≤2，∵x＞1，∴lnx＞0，g′（x）＞0恒成立，即g（x）在（1，+∞）上递增；∴g（1）=1+2k≥0，解得，k≥﹣；故﹣≤k≤2，故k的最大值为2；若k＞2，由lnx+2﹣k＞0，解得x＞e k﹣2，故g（x）在（1，e k﹣2）上单调递减，在（e k﹣2，+∞）上单调递增；∴g min（x）=g（e k﹣2）=3k﹣e k﹣2，令h（k）=3k﹣e k﹣2，h′（k）=3﹣e k﹣2，∴h（k）在（1，2+ln3）上单调递增，在（2+ln3，+∞）上单调递减；∵h（2+ln3）=3+3ln3＞0，h（4）=12﹣e2＞0，h（5）=15﹣e3＜0；∴k的最大取值为4，综上所述，k的最大值为4．（2）假设存在这样的x0满足题意，∵e f（x0）＜1﹣x02，∴+﹣1＜0，令h（x）=x2+﹣1，则h′（x）=x（a﹣），令h′（x）=0，得：e x=，故x=﹣lna，取x0=﹣lna，在0＜x＜x0时，h′（x）＜0，当x＞x0时，h′（x）＞0；∴h min（x）=h（x0）=（﹣lna）2+alna+a﹣1，在a∈（0，1）时，令p（a）=（lna）2+alna+a﹣1，则p′（a）=（lna）2≥0，故p（a）在（0，1）上是增函数，故p（a）＜p（1）=0，即当x0=﹣lna时符合题意．四、请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：几何证明选讲22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ADC的外接圆交BC于点E，AB=2AC （Ⅰ）求证：BE=2AD；（Ⅱ）当AC=3，EC=6时，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）连接DE，证明△DBE∽△CBA，利用AB=2AC，结合角平分线性质，即可证明BE=2AD；（Ⅱ）根据割线定理得BD•BA=BE•BC，从而可求AD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，∵ACED是圆内接四边形，∴∠BDE=∠BCA，又∠DBE=∠CBA，∴△DBE∽△CBA，即有，又∵AB=2AC，∴BE=2DE，∵CD是∠ACB的平分线，∴AD=DE，∴BE=2AD；…（Ⅱ）解：由条件知AB=2AC=6，设AD=t，则BE=2t，BC=2t+6，根据割线定理得BD•BA=BE•BC，即（6﹣t）×6=2t•（2t+6），即2t2+9t﹣18=0，解得或﹣6（舍去），则．…23．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|=，求点M轨迹的直角坐标方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l的普通方程，消去参数可得曲线C的直角坐标方程；（2）设点M（x0，y0）以及平行于直线l1的直线参数方程，直线l1与曲线C联立方程组，通过|MA|•|MB|=，即可求点M轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围，【解答】解：（1）直线l的极坐标方程为θ=，所以直线斜率为1，直线l：y=x；曲线C的参数方程为．消去参数θ，可得曲线…（2）设点M（x0，y0）及过点M的直线为由直线l1与曲线C相交可得：，即：，x2+2y2=6表示一椭圆…取y=x+m代入得：3x2+4mx+2m2﹣2=0由△≥0得故点M的轨迹是椭圆x2+2y2=6夹在平行直线之间的两段弧…24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）=|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用||x﹣1|+2|＜5，转化为﹣7＜|x﹣1|＜3，然后求解不等式即可．（2）利用条件说明{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，通过函数的最值，列出不等式求解即可．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…9月9日。
山西省太原市2014年初中毕业班综合测试试题(数学)(二)(扫描版)
山西省太原市2014年初中毕业班综合测试（二）数学试题（扫描版）太原市2014初中毕业班综合测试（二）数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共30分）二、填空题：（每小题3分，共18分）11. x 2-9 12.60° 13.（2，-3）或（-2，3） 14.答案不唯一，如：①该公司三月份利润比一月份下降百分之几？②该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？ ③若每月利润下降的百分率相同，则从几月份开始利润为0？等等 15.416.①③④（写出一个正确答案得1分，共3分，多写错误答案均扣1分） 三、解答题：（本大题含8个小题，共72分） 17．（每小题5分，共10分） 解：（1）⎩⎨⎧=--=+②①.923,12y x y x方程①＋②，得 4x =8，……………………………………………1分 解，得 x =2. …………………………………………………2分 把x =2代入①，得 2+2y ＝−1.解，得 .23-=y ……………………………………………………4分∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-==.23,2y x ……………………………………………5分（2）解：原式＝()()()()()x x x x x x x x x 1111112-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+………………1分 ＝()()xx x x x x 11122-⋅-++ …………………………………2分＝()x x x x 1112⋅++ ………………………………………3分＝112++x x . ………………………………………………4分当x=-2时，原式=12122+-+⨯-＝3. …………………………………5分18.(本小题8分)解：（1）10÷20%＝50（人），即被抽查的学生有50人. ………………1分 50－4－10－16－6＝14（人）. ………………………………2分从统计图中的信息可知，阅读量为1本、2本、3本、4本、5本的人数分别为4人、10人、16人、14人、6人.所以，阅读量的众数为3本. ……………………………………3分 答：被抽查的学生有50人，课外阅读量的众数是3本.（2）32%，28% 条形统计图补充图略. …………………………6分 （3）600×5061416++=600×72%=432（人）.………………………7分答：完成4月份课外阅读任务的学生约有432人. …………………8分 19.(本小题5分)解:（1）② …………………………………………………………………1分（2）设P =Vm()0≠m ，将V =1.2,P =80代入,得 m =1.2×80=96. ∴ P 与V 的关系式为P =96V…………………………………3分图象略. ………………………………………………………4分 （3）V ≥2435. ……………………………………………………………5分 20．（本小题6分）解：过点A 作AM ⊥CD 于M ,∴ ∠AMD=90°. ………………………1分由题意，得AB=6，∠ABC=45°，∠ADC=30°. 在Rt △ABM 中, ∠AMB=90°，sin ∠ABM=AMAB,∴ AM=6⨯(米). ………………………………………3分 在Rt △ADM 中, ∠AMD=90°,sin ∠ADM=ADAM,∴ AD =︒30sin 23(米). ………………………………………5分答:现在坡面AD 的长为米. ………………………………………6分 21．（本小题8分）（1）解：设第一次购水果x 千克,则第二次购进水果（x +200）千克. …1分 根据题意，得500(110%)x +=1650200x +. ………………………3分解,得x=100. ……………………………………………………4分经检验x=100是原方程的根.答:第一次购水果100千克. …………………………………………5分 （2）设这两批水果的销售价格为y 元/千克.则 (100+200+100)（1-4%）y －(500+1650)≥1690. ……………6分解得 y ≥10. ……………………………………………………7分 答:这两批水果的售价至少应为10元/千克. …………………………8分 22.(本小题9分)解：（1）8π 6π ………………………………………………………2分 （2）证明：设⋂BE 与⋂DF 所对的圆心角为n °.⋂BE 的长=180OE n π , ⋂DF 的长=180OF n π , OFOE OF n OEn DF BE ==⋂⋂180180ππ的长的长. ……………………………………3分 即.OFOEDF BE =⋂⋂的长的长 …………………………………………… 4分 由题意得OE=OF+6,所以，OF OF 668+=ππ. ……………………5分解，得 OF ＝18. OE=6+OF=24. ……………………………6分 又弧DF 的长＝180OF n π＝6π，得18018πn ＝6π，解，得n ＝60. ………………………………………………7分 答：⋂DF 所在圆的半径OF 等于18cm ，它所对的圆心角的度数为60°.9分 23.（本小题12分） 解：（1）①MN=DN.证明：∵点D 是BC 的中点，N 是CE 的中点， ∴DN 是△BEC 的中位线. ∴DN =12BE. ………………………1分 ∵M 是EF 的中点，∴MN 是△EFC 的中位线. ∴MN =12FC . …………………………………………………2分 ∵AB=AC,AE=AF, ∴AB+AE=AC+AF ,∵点E,F 分别在BA,CA 的反向延长线上，∴BE=FC.∴DN=MN . …………………………………………………………3分②∠MND =180°-α. ……………………………………………4分 （2）解：①和②均仍然成立. 连接BE,CF .∵D 是BC 中点,N 是EC 中点, ∴DN 是△BEC 的中位线.∴DN =12BE ,DN ∥BE . 同理,MN =12CF ,MN ∥CF . ………………………………………5分∵∠BAC =∠EAF,∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,∴∠BAE=∠CAF . ………………………………………………6分 在△ABE 和△ACF 中,,,AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACF ,∴BE=CF ,∴DN=MN .即①仍然成立. ………………………………………7分 ∵DN ∥BE ,∴∠NDC =∠EBC . ……………………………………8分 ∵∠END=∠NDC+∠NCD∴∠END=∠EBC+∠ECB. ………………………………………9分MN ∥CF,∴∠ENM=∠ECF.即∠ENM=∠ECA+∠ACF.=∠ABE+∠ACE. ……………………………………10分 ∠DNM=∠EBC+∠ECB+∠ABE+∠ACE,=∠ABC+∠ACB =180°-∠BAC. …………………………11分11 / 12 ∴∠DNM =180°-α. ………………………………………12分24.(本小题14分 )解：（1）A （6，8）；E （10，5）；………………………………………2分（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点A （6，8），D （10，0）， ∴⎩⎨⎧=+=+010*******b a b a ，解，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=31031b a . ∴此抛物线的解析式为x x y 310312+-=. …………………………4分 （3）存在，点M 的坐标为M 1(5，8-62)，M 2(5，8+62)，M 3(5，5)，M 4(5，2.5).………………………………………………………………8分(4)由A （6，8）可得直线OA 的表达式为x y 34=； 由E （10，5）可得直线OE 的表达式为x y 21=； ∵运动时间为t 秒时，OP =t ，∴P （t ，0）.∵直线l ⊥x 轴于点P ，点F ，G 是直线l 与OA ，OE 的交点，∴F （t t 34,），G （t t 21,），故FG=t t t 652134=-. …………………9分 分类讨论如下：当0<t ≤8时，点Q 在线段DC 上，如图1.过点Q 作QM ⊥直线l ，垂足为M ，则QM=PD.t t )t (t PD FG QM FG S 62512510652121212+-=-⋅=⋅=⋅=∴； ……………………………………………11分 当8≤t ＜9时，点Q 在线段CA 上，且在直线l 的右侧，如图2.由题可知，OP=t ，则PD=10-t ，DC+CQ=t, 设FG 交AC 于点N ，则QN=CN-CQ=PD-CQ=10-t-(t-8)=18-2t.∴S=t t t t QN FG 21565)218(6521212+-=-⋅=⋅. …………………………………………13分 当t =9时，点Q 恰好在直线l 上，此时，S =0；图1 xy 图2 xy12 / 12 当9＜t ≤10时，点Q 在线段CA 上，且在直线l 的左侧，如图3.设FG 交AC 于点H ，则QH=CQ-CH=CQ-PD=(t-8)-(10-t)=2t-18.∴S=t t t t QH FG 21565)182(6521212-=-⋅=⋅.………………………………………14分综上所述：S=()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤+-+-10921565982156580625125222t t t t t t t t t ＜＜＜＜说明：若学生没写出t=9时S=0以及最后的“综上所述”步骤的，不扣分.【说明：以上各题的其他解法请参照此标准评分】图3 x y。
山西省太原市2014年初中数学毕业班综合测试试题(二)(扫描版)
山西省太原市2014年初中毕业班综合测试（二）数学试题（扫描版）太原市2014初中毕业班综合测试（二）数学试题参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共30分）11. x 2-9 12.60° 13.（2，-3）或（-2，3） 14.答案不唯一，如：①该公司三月份利润比一月份下降百分之几？②该公司一到三月份平均每月利润下降的百分率是多少？③若每月利润下降的百分率相同，则从几月份开始利润为0？等等 15.416.①③④（写出一个正确答案得1分，共3分，多写错误答案均扣1分） 三、解答题：（本大题含8个小题，共72分） 17．（每小题5分，共10分） 解：（1）⎩⎨⎧=--=+②①.923,12y x y x方程①＋②，得 4x =8，……………………………………………1分解，得 x =2. …………………………………………………2分 把x =2代入①，得 2+2y ＝−1.解，得 .23-=y ……………………………………………………4分∴原方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧-==.23,2y x ……………………………………………5分（2）解：原式＝()()()()()x x x x x x x x x 1111112-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-+………………1分 ＝()()xx x x x x 11122-⋅-++ …………………………………2分 ＝()x x x x 1112⋅++ ………………………………………3分＝112++x x . ………………………………………………4分当x=-2时，原式=12122+-+⨯-＝3. …………………………………5分18.(本小题8分) 解：（1）10÷20%＝50（人），即被抽查的学生有50人. ………………1分50－4－10－16－6＝14（人）. ………………………………2分 从统计图中的信息可知，阅读量为1本、2本、3本、4本、5本的人数分别为4人、10人、16人、14人、6人.所以，阅读量的众数为3本. ……………………………………3分 答：被抽查的学生有50人，课外阅读量的众数是3本.（2）32%，28% 条形统计图补充图略. …………………………6分（3）600×5061416++=600×72%=432（人）.………………………7分答：完成4月份课外阅读任务的学生约有432人. …………………8分 19.(本小题5分)解:（1）② …………………………………………………………………1分 （2）设P =Vm()0≠m ，将V =1.2,P =80代入,得 m =1.2×80=96. ∴ P 与V 的关系式为P =96V…………………………………3分图象略. ………………………………………………………4分（3）V ≥2435. ……………………………………………………………5分 20．（本小题6分）解：过点A 作AM ⊥CD 于M ,∴ ∠AMD=90°. ………………………1分由题意，得AB=6，∠ABC=45°，∠ADC=30°.在Rt △ABM 中, ∠AMB=90°，sin ∠ABM=AMAB,∴ AM=6⨯2米). ………………………………………3分 在Rt △ADM 中, ∠AMD=90°,sin ∠ADM=ADAM,∴ AD =︒30sin 23米). ………………………………………5分答:现在坡面AD 的长为. ………………………………………6分 21．（本小题8分）（1）解：设第一次购水果x 千克,则第二次购进水果（x +200）千克. …1分根据题意，得500(110%)x+=1650200x +. ………………………3分 解,得x=100. ……………………………………………………4分经检验x=100是原方程的根.答:第一次购水果100千克. …………………………………………5分 （2）设这两批水果的销售价格为y 元/千克.则 (100+200+100)（1-4%）y －(500+1650)≥1690. ……………6分解得 y ≥10. (7)分答:这两批水果的售价至少应为10元/千克. …………………………8分 22.(本小题9分) 解：（1）8π 6π ………………………………………………………2分 （2）证明：设⋂BE 与⋂DF 所对的圆心角为n °.⋂BE 的长=180OE n π , ⋂DF 的长=180OF n π ,OFOE OF n OEn DF BE ==⋂⋂180180ππ的长的长. ……………………………………3分 即.OFOEDF BE =⋂⋂的长的长 …………………………………………… 4分 由题意得OE=OF+6,所以，OF OF 668+=ππ. ……………………5分解，得 OF ＝18. OE=6+OF=24. ……………………………6分 又弧DF 的长＝180OF n π＝6π，得18018πn ＝6π，解，得n ＝60. ………………………………………………7分 答：⋂DF 所在圆的半径OF 等于18cm ，它所对的圆心角的度数为60°.9分 23.（本小题12分）解：（1）①MN=DN.证明：∵点D 是BC 的中点，N 是CE 的中点，∴DN 是△BEC 的中位线. ∴DN =12BE. ………………………1分 ∵M 是EF 的中点，∴MN 是△EFC 的中位线. ∴MN =12FC . …………………………………………………2分 ∵AB=AC,AE=AF, ∴AB+AE=AC+AF ,∵点E,F 分别在BA,CA 的反向延长线上，∴BE=FC.∴DN=MN . …………………………………………………………3分②∠MND =180°-α. (4)分（2）解：①和②均仍然成立. 连接BE,CF .∵D 是BC 中点,N 是EC 中点, ∴DN 是△BEC 的中位线.∴DN =12BE ,DN ∥BE . 同理,MN =12CF ,MN ∥CF . ………………………………………5分∵∠BAC =∠EAF,∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,∴∠BAE=∠CAF. ………………………………………………6分 在△ABE 和△ACF 中,,,AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△ACF ,∴BE=CF,∴DN=MN .即①仍然成立. ………………………………………7分 ∵DN ∥BE ,∴∠NDC =∠EBC . ……………………………………8分 ∵∠END=∠NDC+∠NCD∴∠END=∠EBC+∠ECB. ………………………………………9分MN ∥CF,∴∠ENM=∠ECF. 即∠ENM=∠ECA+∠ACF.=∠ABE+∠ACE. ……………………………………10分 ∠DNM=∠EBC+∠ECB+∠ABE+∠ACE,=∠ABC+∠ACB =180°-∠BAC. …………………………11分∴∠DNM =180°-α. (12)分24.(本小题14分 )解：（1）A （6，8）；E （10，5）；………………………………………2分（2）∵抛物线y ＝ax 2＋bx 经过点A （6，8），D （10，0）， ∴⎩⎨⎧=+=+010*******b a b a ，解，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=31031b a . ∴此抛物线的解析式为x x y 310312+-=. …………………………4分 （3）存在，点M 的坐标为M 1(5，8-62)，M 2(5，8+62)，M 3(5，5)，M 4(5，2.5).………………………………………………………………8分(4)由A （6，8）可得直线OA 的表达式为x y 34=； 由E （10，5）可得直线OE 的表达式为x y 21=； ∵运动时间为t 秒时，OP =t ，∴P （t ，0）.∵直线l ⊥x 轴于点P ，点F ，G 是直线l 与OA ，OE 的交点，∴F （t t 34,），G （t t 21,），故FG=t t t 652134=-. …………………9分 分类讨论如下：当0<t ≤8时，点Q 在线段DC 上，如图1.过点Q 作QM ⊥直线l ，垂足为M ，则QM=PD.t t )t (t PD FG QM FG S 62512510652121212+-=-⋅=⋅=⋅=∴； ……………………………………………11分 当8≤t ＜9时，点Q 在线段CA 上，且在直线l 的右侧，如图2.由题可知，OP=t ，则PD=10-t ，DC+CQ=t,设FG 交AC 于点N ，图1 xy则QN=CN-CQ=PD-CQ=10-t-(t-8)=18-2t.∴S=t t t t QN FG 21565)218(6521212+-=-⋅=⋅. …………………………………………13分当t =9时，点Q 恰好在直线l 上，此时，S =0；当9＜t ≤10时，点Q 在线段CA 上，且在直线l 的左侧，如图3.设FG 交AC 于点H ，则QH=CQ-CH=CQ-PD=(t-8)-(10-t)=2t-18.∴S=t t t t QH FG 21565)182(6521212-=-⋅=⋅. ………………………………………14分综上所述：S=()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤-≤+-+-10921565982156580625125222t t t t t t t t t ＜＜＜＜ 说明：若学生没写出t=9时S=0以及最后的“综上所述”步骤的，不扣分.【说明：以上各题的其他解法请参照此标准评分】 图3 xy。
2014一中九年级一模试题(数学)
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山西四校高三上学期数学第一次联考试卷2014
高中是重要的一年，大家一定要好好把握高中，小编为大家整理了山西四校高三上学期数学第一次联考试卷，希望大家喜欢。
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号)
1. 已知集合，，则
A. [1,2] B. [0,2] C. [-1,1] D. (0,2)
2. 若为虚数单位，则
A. B. C. D.
3. 集合，从集合中各任意取一个数，则这两个数的和等于的
概率是
A. 23 B. 12 C. 13 D. 16
4. 已知双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为
1。
2013-2014学年山西省太原市八年级(上)期末数学试卷
2013-2014学年山西省太原市八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题含10小题，每小题2分，共20分）下列各题的四个选项中，只有一个符合要求，请将正确答案的字母代号填入表中相应的位置1．（2分）下列各数中与相乘结果为有理数的是（）A．B．C．2 D．2﹣2．（2分）在平面直角坐标系中P（﹣3，4）到y轴的距离是（）A．3 B．4 C．5 D．﹣33．（2分）已知直线y=kx+2经过点（2，3），则k的值为（）A．3 B．﹣C．D．﹣24．（2分）下列计算结果正确的是（）A．B．C．D．25．（2分）一次函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，则（）A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜06．（2分）下列命题是假命题的是（）A．互补的两个角不能都是锐角B．两直线平行，同位角相等C．若a∥b，a∥c，则b∥cD．同一平面内，若a⊥b，a⊥c，则b⊥c7．（2分）下列图形中，一定能判断∠1＞∠2的是（）A．直线a，b相交于点OB．△ABC中，∠C=90°C．点O是△ABC的边BC延长线上一点D．直线a∥b且被直线c所截8．（2分）如图，一个长为2.5米的梯子，一端放在离墙角1.5米处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙角有（）A．0.2米B．0.4米C．2米D．4米9．（2分）甲、乙两名射击运动员在某场测试中各射击10次，成绩如下（单位：环）：甲：7，7，8，8，8，9，9，9，10，10乙：7，7，7，8，8，9，9，10，10，10这两人射击成绩的平均数==8.5．则测试成绩比较稳定的是（）A．甲B．乙C．甲乙两人的成绩一样稳定D．无法确定10．（2分）甲、乙两个两位数，若把甲放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，求着两个数．如果甲数为x，乙数为y，则得方程组是（）A．B．C．D．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）实数6的平方根是．12．（3分）计算（﹣2）×（+2）的结果是．13．（3分）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其顶点坐标分别为A（﹣2，2），B（﹣4，﹣2），C（﹣1，﹣2）．在坐标系中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．14．（3分）如图，△ABC中，AD是BC边的中线，AC=17，BC=16，AD=15，△ABC的面积为．15．（3分）如图，是一根生活中常用的塑料软尺，软尺一面的刻度表示市寸，另一面的刻x（市寸）与（厘米）之间的关系如下表：的函数关系式为（0≤x≤30）16．（3分）为了检查某种面包的质量达标情况，随机抽取10个同种规格的面包进行检查，绘制成如图的统计图，根据图中信息，这10个面包质量的众数为g，中位数为g．17．（3分）如图，Rt△ABO中，∠ABO=90°，其顶点O为坐标原点，点B在第二象限，点A在x轴负半轴上．若BD⊥AO于点D，OB=，AB=2，则点A的坐标为，点B 的坐标为．18．（3分）如图，长方形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm．点E是BC边上一点，连接AE并将△AEB沿AE折叠，得到△A′E′B′，以C，E，B′为顶点的三角形是直角三角形时，BE的长为cm．三、解答题（共8小题，满分56分）19．（8分）计算：（1）；（2）．20．（6分）解方程组：．21．（6分）已知：如图，在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，点D，E分别在边AB和AC 上，且∠ADE=50°．求证：DE∥BC．22．（8分）某校九年级小聪、小亮两位同学毕业评价的三项成绩如下表（单位：分）．学校“优秀”“优秀”水平？（2）若按综合素质、考试成绩、体育测试三项进成绩按4：4：2计算毕业评价成绩，通过计算说明小聪和小亮谁能达到“优秀”水平？23．（6分）某一天，蔬菜经营户王大叔花90元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共40千24．（6分）如图，直线l1：y=x+1与直线l2：y=mx+n相交于点P（1，b），直线l2与x轴交于点A（4，0）．（1）求b的值并直接写出关于x，y的方程组的解；（2）求直线l2的表达式；（3）判断直线l3：y=nx+m是否也经过点P？请说明理由．25．（6分）△ABC中，D是AB边上的一点，过点D作DE∥BC，交∠ABC的角平分线与点E．（1）如图1，当点E恰好在AC 边上时，求证：∠ADE=2∠DEB；（2）如图2，当点D在BA的延长线上，其余条件不变，请直接写出∠ADE与∠DEB之间的数量关系．26．（10分）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶．设慢车行驶的时间x（h），两车之的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）两车同时出发后经h相遇；图象理解：（3）请直接写出图中D的实际意义；（4）求慢车和快车的速度；问题解决：（5）直接写出线段BC表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（6）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求此时两列快车之间的距离．2013-2014学年山西省太原市八年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本大题含10小题，每小题2分，共20分）下列各题的四个选项中，只有一个符合要求，请将正确答案的字母代号填入表中相应的位置1．A；2．A；3．C；4．B；5．B；6．D；7．C；8．C；9．A；10．D；二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．；12．-1；13．；14．120；15．y=x；16．100；100；17．（-5，0）；（-1，2）；18．3或6；三、解答题（共8小题，满分56分）19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．900；4；。
太原市2013-2014八年级下学期期末数学试题答案 (1)
太原市2013-2014学年八年级第四次测评数学试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题含10个小题，每小题2分，共20分）二、填空题（本大题含8个小题，每小题2分，共16分）11.1800 12.1 13.3 14.x ＜1 15.OA=OB,BN=AM,AN=BM,AP=BP ,PN=PM 等 写出两个正确结论的得2分 16.BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于点E BD=CE 17.23 18. 10+10, 10+103, 445 三、解答题（本大题含8个小题，共64分）19. 分解因式或计算：(每小题4分，共12分) 解：（1）原式=3mn （m+3n-6）. ……………………………………………………………4分 （2）原式=y （222y xy x +-） ……………………………………………………………2分=y ()2y x -. ……………………………………………………………………………4分（3）原式=2221199299100+⨯⨯+ …………………………………………………………1分 =()22199100+ ………………………………………………………………………3分=1. …………………………………………………………………………………4分20.（本小题满分8分） 解：原式=()()()12211122++--⋅-+-m m m m m m …………………………………………………3分 =()1212+++-m m m …………………………………………………………………5分 =1+m m. ……………………………………………………………………6分 当m=3时，原式=43133=+. …………………………………………………8分 21. （本小题6分）证明： 四边形ABCD 是平行四边形,∴AD=BC (平行四边形的对边相等）, …………………………………………1分AD ∥BC （平行四边形的定义）. …………………………………………2分 点E ，F 分别在AD ，BC 上，且AE=CF , ∴ED=AD-AE ，BF=BC-CF ，即ED=BF ，ED ∥BF . ………………………………………………4分 ∴四边形EBFD 是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ………………………………………………5分 ∴线段BE 与DF 平行且相等(平行四边形的对边平行且相等).………………………………………………6分 22. （本小题5分）解：（1）53 …………………………………………………………………………1分 （2）B 2（-1，-2） ………………………………………………………………2分如图：说明：画出△A 1B 1C 1,得2分，画出△A 2B 2C 2得1分………………………………………………………………………………………5分23.（本小题7分）解：设工程队原计划每小时抢修道路x 米，则实际每小时抢修1.5x 米，…………………1分 根据题意，得.25.1240240=-xx ………………………………………………3分 解这个方程，得.40=x ………………………………………………5分 经检验，40=x 是所列方程的根 . ………………………………………………6分 所以，工程队原计划每小时抢修道路40米. ……………………………………………7分 24. （本小题8分）解：设工厂招聘甲工种工人x 人，则招聘乙工种工人（150-x ）人，每月所付工资为y 元.………………………………………………1分根据题意，得150x -≥2x . ………………………………………………3分 解这个不等式，得x ≤50. ………………………………………………4分 根据题意，得y =1500 x +3000(150- x ) ， ………………………………………………5分 整理，得 y = -1500 x+450000. ………………………………………………6分y 是x 的一次函数，其中k =-1500< 0，∴y 的值随x 增大而减小，∴当x=50时，y 的值最小， ……………………………………………7分B 1C 1 2B 2C 2A 1答：当招聘甲工种工人50人时，每月所付工资最少. …………………………………8分 25．（本小题8分） 解：（1）MN ∥BC ，MN=21BC 三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半； …………………………………………2分 （2）证明：∵线段DE 是线段AC 平移所得，∴AD ∥BC. …………………………………………………………………3分 ∴∠DAN=∠EGN. ……………………………………………………………………4分 ∵点N 是线段DE 的中点，∴DN=NE. ∵∠AND=∠GNE,∴△AND ≌△GNE. …………………………………………………………………5分 ∴AN=NG ,AD=EG . ……………………………………………………………………6分 ∵点M 是线段AB 的中点，∴MN 是△ABG 的中位线，∴MN=21BG . …………………………………………………………………………7分 ∵BG=BE+EG=AD+BE,∴MN=21（AD+BE ）. ………………………………8分26.（本小题10分） （1）证明：△ABC 是等边三角形，AO ⊥BC 于点O ,∴∠ACO=60°，∠AOC =90°， …………………………………………1分α=30°，∴∠COM=60°，∠OMC=60°，∴∠ACO =∠COM =∠OMC ， …………………………2分 ∴△COM 是等边三角形. ……………………………………3分（2）证明：△ABC 是等边三角形，AO ⊥BC 于点O , ∴BO=CO=BC 21=1.∵△AOC 旋转得到△POQ ，∴CO =QO =1，AO=PO ，∠POQ=∠AOB 90°.…………………………………4分∠BOP=∠AOB+∠AOP =90°+α，∠AOQ=∠POQ+∠AOP =90°+α，∴∠BOP=∠QOA ， ……………………………………5分∴△BOP ≌△QOA, ……………………………………6分 ∴BP=AQ. ……………………………………7分（3）32. ……………………………………8分 （4）能.α=135°或α=315°. ……………………………………10分说明：以上各题的其他解法，请参照此标准评分.。