8效用函数、间接效用函数和支出函数
第二讲 间接效用函数与支出函数
• 假设消费者的偏好是良好性状的。
• A点为最初的选择，B点为征从量税的最优选 择，C点为征所得税的最优选择。可见，在政 府向消费者征收相同数量的税收条件下，消费 者在政府课征所得税时的境况要好些。
X2
征从量税的预算线
初始预算线
X2*
B• •C •A
征所得税的预算线
O
X1*
X1
思考：
➢ 在政府征收从量税和等额所得税的情况下，消费 者的境况有没有可能一样好？如果有，是在什么 情况下？ 有，折拗性偏好，例如：完全互补
y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
p1 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
v(p1,p2,y )
x 2(p1,p2,y )
p 2 v(p1,p2,y )
y(p1 p 2 )2 (p1 p 2 )1
y
y(p1 p 2 )1
（三）间接效用函数的应用
• 可以分析价格和收入变动对消费者福利的影 响。
p ， *
u(x* )
i xi
0(偏好满足单调性），pi
平新乔课后习题详解(第2讲--间接效用函数与支出函数)
平新乔《微观经济学十八讲》第 2讲 间接效用函数与支出函数1 •设一个消费者的直接效用函数为u =• Inq。
求该消费者的间接效用函数。
并且运用罗尔恒等式去计算其关于两种物品的需求函数。
并验证：这样得到的需求函数与从直 接效用函数推得的需求函数是相同的。
解：（1）①当y-P 2 .0时，消费者的效用最大化问题为：构造拉格朗日函数:L = : Inq 72 川'；• j y -pq -P 2C 2L 对q 、C 2和，分别求偏导得:从而解得马歇尔需求函数为:y P 2q2二P 2由⑤式可知：当y_「p 2・0时，0，消费者同时消费商品 i 和商品2。
将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v p , P 2, y ；=u q ”,q2 = In p y -：P iP 2②当y -：巾2 _0时，消费者只消费商品 i ，为角点解的情况。
从而解得马歇尔需求函数为：P i将商品i 和商品2的马歇尔需求函数代入效用函数中得到间接效用函数:v P i , P 2, y 二 u q ；, q 2 = > In 工P i(2)①当y_「p 2・0时，此时的间接效用函数为：v p,P 2,y ；=u q ",q ^.M n 匹 -P iP 2将间接效用函数分别对 p i 、P 2和y 求偏导得:P t = 0-:C i C ip 2 = 0 池y~ p i q i_ p 2q^= 0OK从①式和②式中消去后得::、沱 P 2q p再把④式代入③式中得：C 2y P 2P 2① ②③④⑤②当y _<_p2^0时，间接效用函数为v P -, P 2, y =u q i”,q 2” ，将间接效用函数分P i别对P i 、P 2和y 求偏导得:由罗尔恒等式，得到:(3)比较可知，通过效用最大化的方法和罗尔恒等式的方法得出的需求函数相同。
2•某个消费者的效用函数是 u x i 必i=X 2X 2，商品I 和2的价格分别是p 和P 2，此消费者的收入为m ，求马歇尔需求函数和支出函数。
8效用函数、间接效用函数和支出函数
M (a ) f ( x (a ), a )，其中x (a )为f ( x , a )的最优解 两边对a微分 dM (a ) f ( x (a ), a )) x (a ) f ( x (a ), a )) （ 1） da x (a ) a a 因为x (a )为f ( x, a )的最优解 f ( x (a ), a )) 所以 0 x (a ) 代入（ 1）得到 dM (a ) f ( x (a ), a )) f ( x , a ) da a a
第一节间接效用函数
一、定义
v p, m max u x
n xR
S t px m
px m
瓦尔拉斯定 律
①它是极大化了的效用
②它的自变量不是消费计划， 而是价格与收入 ③控制消费者行为， 可以间接地控制p、m来实现
二、性质
（一）v（tp,tm）=v（p,m）(t>0) 即它是关于p,m的零次齐次函数
pn xn m
p1 x1 p2 x2
两边同时对pj偏微分
xi x j pi 0 p j i 1
n
n xi v pi p j p j i 1
故
v x j p j
（1）
②再求分母
v( p, m) u ( x( p, m))
对m求偏微分
x x (a )
三、应用 例，设 u( x1, x2 ) x1x2 •比较政府征收0.5元的所得税 •与0.5元的商品税对消费者效用 •的影响。
解： max x1 x2 p1 x1 p2 x2 m 的解为
m * x1 2 p 1 x* m 2 2 p2
（二） v( p, e( p, u )) u , 证：设x*为 m e( p, u ) 时 M1的解，故
第二讲间接效用函数与支出函数第一节间接效用函数间接效用函数的定义
2 2*0.5
2
税收总量 =2*0.25=0.5 。与所得税相同。
v%(.)
yy
22 =1.41
2p1 2p2 2*0.5 2*1
商品税带来的效用损失大于所得税。
为什么？
第二节支出函数 一、 支出函数的定义
x*
给定价格 p 实现某一效用水平 u 所需的最小支出：
e( P, u )
min px ,
s.t.,
*
x
* i
〈
0
5、间接效用函数 v p , y 在 p, y 上拟凸
定义 A1.27 ：一个函数 f : D ? 是拟凸函数， 当且仅当对于所
有 X 1 , X 2 D ，有： f (X t ) max[ f (X 1 ), f (X 2)] 。即凸组合的函
数值小于其中一个的函数值。
6 、 罗 伊 恒 等 式 ： 如 果 v p, y 在 p0, y0 上 可 导 ， 并 且
xih p0 ,u0 。根据包络定理。 。。
例子：消费者的效用函数为 u x1, x2 x1 x12 ，求希克斯需求函
数和支出函数。
max 解： x1, x2 p1x1 p2x2 s.t., u x1, x2
x1 x12
u
构造拉格朗日函数，利用一阶条件，解得希克斯需求函数：
x1h p1, p2 ,u
ux
u
x
二、希克斯需求函数
支出函数的最优解为希克斯需求函数
px h p ,u
支出函数 e : n
? 为：
e p, u px h p ,u , x h x x
xh p, u ，最小支出为
n , u x u, u
min px , s.t., u x u
中级微观经济学习题集
一、解释下列概念 1、消费束，2、预算集，3、偏好，4、无差异曲线，5、边际替代率，6、效用， 7、效用函数，8、边际效用，9、消费者需求，10、需求函数，11、市场需求，12、瓦 尔拉斯需求函数，13、希克斯需求函数，14、间接效用函数，15、支出函数，16 对偶 性问题，17、可积性问题。 二、简答下列各题 1、偏好关系公理，2、无差异曲线的性质，3、边际替代率递减规律，4、边际效 用递减规律及其对需求曲线形状的影响，5、罗伊等式，6、谢伯德引理，7、显示性偏 好弱公理，8、显示性偏好强公理，9、消费者效用最大化的一阶条件，10、消费者支 出最小化的一阶条件。 三、论述下列各题 1、分析并比较税收、补贴和配给对预算集、预算线的影响。 2、偏好关系凸性假设及其经济意义。 3、基数效用论与序数效用论下消费者均衡分析框架的异同。 4、对偶性原理。 5、可积性问题求解的基本思路。 四、计算下列各题 1、根据下面的描述，画出消费者的无差异曲线。
第一章 微观经济学概论
一、解释下列概念 1、均衡，2、需求均衡，3、供给均衡，4、市场均衡、5、边际分析方法，6、弹 性分析方法，7、效应分析方法，8、博弈分析方法。 二、简答下列各题 1、微观经济活动过程，2、经济人假设，3、市场均衡的条件 三、论述下列各题 1、比较分析古典经济学、新古典经济学、凯恩斯经济学的差异。 2、微观经济学的研究范式。 3、微观经济学的理论体系。
河北经贸大学研究生教学参考资料
中级微观经济学习题集
彭国富编
河北经贸大学 2012 年 10 月
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
消费者行为理论的读书笔记
消费者行为理论的读书笔记及学习心得一、引言消费者是指购买、使用各种产品与服务的个人或组织。
消费者行为是指消费者为获取、使用、处置消费物品或服务所采取的各种行动，包括先于且决定这些行动的决策过程，消费者行为是与产品或服务的交换密切联系在一起的。
经济学家对消费者行为描述为，在消费者既定的预算约束下选择他们支付得起的最优消费束。
在学习了微观经济学后，我总结了消费者行为理论的主要内容，本文是以范里安的《微观经济学：现代观点》和平新乔的《微观经济学十八讲》为主要参考资料，在参阅了其他一些文章之后，所作的读书笔记以及作者的收获心得。
总结来说影响消费者行为的因素有：预算约束，消费者偏好，商品效用以及价格等，消费者正是从这些因素出发做出最优选择或是改变自己的决策，从而最终引出市场需求理论。
二、主要内容（一）、偏好、效用及消费者的基本问题1、偏好与效用（1）、偏好关系及无差异曲线首先定义消费集，我们把消费者选择的目标称为消费束或消费集，记n R X +=为消费集，代表所有的消费计划的集合，n 表示消费者想要的物品的种类有n 种。
每一个消费计划以n n R x x x x +∈=),...,,(21代表。
i x 代表对物品i 的计划消费量。
通俗地说偏好是指你对物品的喜欢程度或是主观评价。
偏好关系是指一种定义于消费集X 中的二项关系，记为≥。
如果21x x ≥，就说“1x 至少与2x 一样好”。
偏好关系具有以下公理：完备性公理：对于任何X 中的21x x ≠，或者21x x ≥，或者12x x ≥。
反身性公理：对所有的x x X x ≥∈,。
即一个消费计划至少与它本身一样好。
传递性公理：对于任何三个消费计划，,,,321X x x x ∈如果21x x ≥，且32x x ≥，那么31x x ≥。
另外偏好还具有连续性，局部非餍足性，单调性，凸性和严格凸性。
当满足以上公理时，消费者偏好就可以由无差异曲线来描述，如图1。
平新乔微观经济学十八讲》答案
5.1. 当 ρ = 1 ，该效用函数为线性．
证明：当 ρ = 1 时，效用函数为
u(x1, x2 ) = α1x1 + α 2 x2 此时，函数 u 是线性的．
4
第一讲 偏好、效用……
5.2.
当ρ
→
0 时，该效用函数趋近于 u(x1 ,
x2 )
=
x α1 1
x α2 2
β1
证明：令
=
α1 α1 + α2
2 x12
因此 x1 的边际效用是递减的．同理， x2 的边际效用也是递减的．i
4.2. 请给出一个效用函数形式，使该形式不具备边际效用递减的性质．
答：可能的一个效用函数是 u(x1, x2 ) = x1 + x2 ．
5. 常见的常替代弹性效用函数形式为
请证明：
( )1
u(x1 , x2 ) = α1 x1ρ + α 2 x2 ρ ρ
述的偏好中，商品 1 与商品 2 是完全替代的．
4. 若某个消费者的效用函数为
u ( x1 ,
x2 )
=
1 2
ln
x1
+
1 2
ln
x2
其中， x1, x2 ∈ R+
4.1. 证明： x1 与 x2 的边际效用都递减．
证明： u(x1, x2 ) 对 x1 取二阶偏导：
∂2u = − 1 < 0
∂x12
不具有完备性．同理可以说明无差异关系也不具有完备性．
8.2. ≈ 满足反身性
说明：如果无差异关系不具有完备性，那么根据无差异关系的定义，则必存在一个消
费束严格偏好于它自身，也就是说，这个消费束同时既偏好于它本身又不偏好于它本
间接效用函数
数学附录
• ４ 内点和界点：欧氏空间中一个子集X的点x叫做一个 内点，如果它的某一个邻域B(x,)整个被包含在X内； 称x为X的一个界点，如果x的每一个邻域既包含X的点 也包含余集Xc的点。X的全体内点之集记为Int(X)，X 的全体界点之集记为Bdy(X)。 • 一个开集G的每个点都是内点，一个闭集F包含它所有 界点。 • ５ 紧致性：欧氏空间中一个子集X叫做紧致的（序列 紧），如果X中每一个序列都有子序列收敛于X本身某 个点。可以证明，欧氏空间中的每个有界闭集都是紧 致集，反之亦然。
偏好和效用
• 消费集：考虑一个有M种商品的经济。一个各分 量非负的M-维向量x=(x1,...,xM)就称为一个商品向 量，这个向量的第m个分量xm表示第m种商品的量。 一个消费者i意欲消费的商品向量的全体Xi构成他 的消费集。在一般情况下，我们认为Xi=RM+。 • 容许消费集：对消费者i来说，一个商品向量称为 容许的，如果他的收入足够支付购买这个商品向 量所需的花费。对于给定的价格向量p和给定的收 入I, 消费者i的所有容许商品向量构成他的容许消 费集，记为Bi(p,I)。
数学附录
• 9 凹函数： Assume that a real-valued function f is defined on a convex set Xn. f is said to be concave if for any x’ and x” in X, and any real number (0, 1), it holds that
数学附录 • ７ 凸集：A set Xn is said to be a convex set if for any two points x’ and x” in X and any real number [0, 1], the point x=(1-)x’+x” is contained in X. The intersection of any number of convex set is also convex. • ８. For any m points x1,…,xm in n, and any 1,…,m in [0, 1] such that ii=1, x=iixi is said to be a convex combination of x1,…,xm.
中级微观经济学习题（消费者理论部分）
中级微观经济学习题消费者理论部分【尼克尔森3、4、5、6章】1. 【尼克尔森3.1】画出下列效用函数的无差异曲线，并判断他们是否是凸的（及边际替代率MRS是否是随着x的增加而递减）。
（1）U(x,y)=3x+y（2）U(x,y)=xy（3）U(x,y)=x+y（4）U(x,y)= x2−y2（5）U(x,y)=xyx+y2. 某大学生仅有6天时间复习经济学、高等数学、英语三门课，要使这三门客的期末考试取得尽可能高的总成绩，他必须安排好每门课程的复习时间。
如果每门可得复习时间与相应的考试分数用下表表示，请问该学生应该如何分配复习时间才能取得尽可能搞得成绩？他可能得到的最高总分是多少？3. 【尼克尔森3.3】对于如下效用函数，请证明尽管这些效用函数具有递减的MRS，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。
（1）U(x,y)=xy（2）U(x,y)=x2y2（3）U(x,y)=lnx+lny4. 【尼克尔森3.5】Phillie Phanatic总是喜欢以一种特定的方式来吃Ballpark Franks牌热狗：他将1英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜调味品同时食用。
他的效用是以上四种食品的函数，亲切额外一种食品的数量增加而其他食品不变是不会增加他的效用的。
（1）Phillie Phanatic对这四种食品的效用函数的形式是什么？（2）我们可以如何将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题？这种商品是什么？（3）假设每英尺热狗的价格为1元，小圆面包价格为0.5元，每盎司芥末的价格为0.05元，每盎司咸菜调味品的价格为0.15元，那么第（2）问中定义的商品价格是多少？（4）如果每英尺热狗的价格增加50%（即增至1.5元），那么该商品的价格增加的百分比是多少？（5）小圆面包的价格上涨50%将如何影响该商品的价格？观察此答案与（4）的答案有什么不同？（6）如果政府对Phillie Phanatic购买的每单位商品征税1元，则税收将如何在这4中商品中分担，从而使Phillie Phanatic的效用成本最小化？5. 【尼克尔森3.6】许多广告语是会表明了人们的某些偏好，你将如何用效用函数来描述下列广告语？（1）人造黄油与真黄油一样好。
间接效用函数与支出函数
(2)
∂ψ ∂x j
= α j Ax1α1 LL xαj j −1L xnα n
− λp j1 = 0
(3)
∂ψ ∂x1
=
αn
Ax1α1
xα 2 2
LLL
xnα
n
−1
−
λpn
=0
(4)
∑ ∂ψ
∂λ
n
=m−
i =1
pi xi
=0
(5)
由 (2) 得: (3)
xi
=
αi pjxj α j pi
;
把上两式分别代入（5）式得:
1
1
1
( ) e( p,u) =
p1⎜⎜⎝⎛
2up2 p1
⎟⎟⎠⎞3
+
p2 ⎜⎜⎝⎛
up12 4 p22
⎟⎟⎠⎞ 3
=
2up12 p2
1 3
+
⎜⎜⎝⎛
up12 p2 4
⎟⎟⎠⎞
3
1
e(
p,u)
=
3⎜⎜⎝⎛
up12 p2 4
⎟⎟⎠⎞ 3
也可根据间接效用函数与支出函数互为倒函数的关系直接得出：
1
v( p, m)
=
αim
n
pi α j
j =1
；因为
n
αj
j =1
=
1 ；所以
xi
(
p,
m)
=
αim pi
；
我们还可以通过对其效用函数进行单调变化，进而可方便的得出其马歇尔需求函数；
n
∑ ln u(x) = ln A + αi ⋅ ln xi i =1
（2）把上所得的马歇尔需求函数代入目标函数得间接效用函数：
《微观经济十八讲》第二章间接效用函数与支出函数
运用包络定理，可得到：
e( p, u ) L( x* , * ) h xi xi ( p, u ) * pi pi
例：
min( p1 x1 p2 x2 )
x1 , x2
1
由u( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) , 0 1),求支出函数.
* 1
* x1 2 。说明政府开征 p1从0.25涨到0.5元后， 商品税后，消费者仍会购买2单位的商品X1， 政府的税收也是0.5元。
(2) p1 0.5, 代入v( p1, p2 , y), 新的间接效用函数为:
y 2 (2) v ( p1 , p2 , y) 1.41 1.5 0.5 0.5 0.5 2( p1 ) ( p2 ) 2(0.5) 1
五、对偶性问题
就是指在经济学中具有成对意义的一些概念和问 题。在需求分析中的主要的对偶关系有：
(1) x( p, y ) h p, v ( p, y ) (2) h( p, u ) x p, e( p, u ) (3)e p, v ( p, y ) y (4)v p, e( p, u ) u
两式相除，就可以得到ห้องสมุดไป่ตู้尔恒等式。
3.间接效用函数的应用:政府税收对效用的影响 设效用函数为: u( x1 , x2 ) x1 x2 最大化问题为: max x1 x2
s.t. p1x1 p2 x2 y
L x1 x2 ( y p1 x1 p2 x2 )
L 0 x1 L 0 x2
L 0
因此，可得到:
* x2 p1 p1 * 即x2 x1 * x1 p2 p2
y y * x , x2 2 p1 2 p2
间接效用函数
一、间接效用函数
• 2.间接效用函数
• （1）基本概念
• 若 v(p,y)ux成(p 立,y，)则
就v为( p间, 接y )效用函数。
• 间接效用函数表示收入和价格两个变量下消费者
的最优消费时的效用。
• 间接效用函数的存在对于说明政府水平的福利影 响有比较便利的条件
一、间接效用函数
• （2）间接效用函数的性质
p 1 2
x1
1
y
p
1
1
p 1 1
p 1 2
1
p1 p2
1
一、间接效用函数
令
r 1
x1 x2
y
p
r 1 1
p
r 1
p
r 2
y
p
r 1 2
p
r 1
p
r 2
一、间接效用函数
• （3）马歇尔需求函数的性质 • A.在价格和收入上，需求函数是零次齐次的。
即对于任意给定的p、y，都有a>0，使得 成立。 x(ap,ay)x(p,y) • B.瓦尔拉斯定理。即最优的消费束都在预算线 的上界。 xR,pxy
w
| x x ( p ,w )
v( p,w ) p
L (x,
p
)
| x x ( p , w )
x
二、支出函数
• 1.支出函数： • 这是个支出最小化问题，选择合适的x使得满足
约束条件
m in
px
s .t
u (x) u
L = p x - u ( x ) - u
L
xi L pi pj
u ( x 1 ,x 2 ) ( x 1 x 2 ) 1 , 0 1 , 求 x i x i ( p 1 ,p 2 ,y ) , i 1 ,2
需求函数与支出函数求法
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需求函数与支出函数求法
一．求马歇尔需求函数的解法
1、已知直接效用函数，利用效用最大化原则，构建拉格朗日函数可解得。
2、已知间接效用函数，利用罗伊恒等式可求得。
3、已知间接效用函数和希克斯需求函数，用间接效用函数直接代入希克斯
需求函数可得到。
二．求希克斯需求函数方法
1、已知直接效用函数，利用支出最小法原理，构建拉格朗日函数可解得。
2、已知支出函数，利用谢泼德引理可直接求得。
3、已知间接效用函数，利用间接效用函数和支出函数是反函数的关系，可先求出支出函数，再利用谢泼德引理可求得。
4、已知支出函数和马歇尔函数，将支出函数代入马歇尔函数可得到。
三．求间接效用函数的解法
1、已知直接效用函数和马歇尔需求函数，将马歇尔需求函数代入直接效用函数可求得。
2、已知支出函数，利用支出函数和间接效用函数是反函数的关系，用求支出函数的反函数的方法可求得。
四．求支出函数的解法
1、已知希克斯需求函数，直接代入支出函数可求得。
2、已知间接效用函数，利用支出函数和间接效用函数是反函数的关系，用求间接效用函数的反函数的方法可求得。
3、已知直接效用函数，利用支出最小化原理，构建拉格朗日函数，先求得希克斯需求函数，然后再代入直接效用函数中可求得。
边际替代率——精选推荐
1、 边际替代率(MRS)是指消费者在保证效用相等的前提下，用一种商品替代另一种商品的比率。
2、瓦尔拉斯需求函数：),(*w p x 效用最大消费束*x 与价格),,(1n p p p =和财富水平w 的关系，是消费者实现效用最大化的最优消费束。
3、 间接效用函数)],([),(*w p x u w p v =，),(w p v 为间接效用函数。
此时的效用是由价格和收入间接表示的商品量决定的，故称为间接效用函数。
4、 支出最小化问题（EMP ），可表示成：x p ⋅minu x u t s ≥)(..5支出最小化与效用最大化为对偶问题。
6支出函数为支出最小化问题x p u p e ⋅=min ),(，0)(..u x u t S ≥的解。
7最小支出问题的解*x 定义为希克斯需求函数，记为),(u p h ，其表示消费者在最小支出条件下选择的最优消费束.反映希克斯需求函数与为达到效用u 的最小支出函数),(u p e 之间关系的公理，称为谢伯特定理。
ii i p u p e u p h x ∂∂==),(),(* n i ,,2,1 =对偶性是指一些成对问题或概念,是目标和约束条件的表达正好相反。
需求分析中还存在下列四个重要的恒等关系，被称之为对偶性。
1.)],(,[),(w p v p h w p x ≡2.)],(,[),(u p e p x u p h ≡3.w w p v p e ≡)],(,[4.u u p e p v ≡)],(,[、需求价格弹性的经济内涵：需求对价格变动的反应。
E>1或E<-1为奢侈品；E<1或E>-1为必需品需求交叉价格弹性。
需求交叉价格弹性定义为商品2的需求量变动比率与商品1的价格变动比率之比，即：古诺合并条件：需求弹性与需求交叉弹性的关系意义是若已知自身的需求价格弹性，则可以由此条件来确定需求交叉价格弹性。
211211221221ln ln x p dp dx p dp x dx p d x d E ⋅===x p dp dx p dp x dx p d x d E ⋅===ln ln 1212111a E a E a -=+支出的比重。
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j 1,
,n
证明： ①先求分子
v( p, m) u( x( p, m))
v u xi p j i 1 xi p j
n
u 又 pi xi
(i 1,
, n)
（最大化一阶条件）
n xi v pi p j p j i 1
同时 即
px m
max u x max u x tp x tm t 0 px m
（二） p ' p时 , v p ', m v p, m 证：记 B x px m B x px m
显然 B B
v x j p j (1)
v m
(2)
包络定理
• 考察参数变化对值函数的影响 • 假设f(x,a)是x和a的函数，a为决定于所研究 问题之外的一个参数，x为所研究的变量。 假定选择x来最大化这一函数，对于每一个 a，存在一个不同的x的最优选择。 • 定义值函数M(a)=f(x(a),a) • 现在我们想知道a的变动如何影响M(a)的变 动，即dM(a)/da
故 v( p1 , p2 , m) x x
* * 1 2 2
m 4 p1 p2
p1 0.25, p2 1, m 2
2 * x1 2 0.25 4 2 * x2 1 2 1
时
v( p1 , p2 , m) v(0.5,1, 2) 4
maxu ( x )满足x属于B B， B B B k，因为v(p, m) k和v(p, m) k
（五）罗伊（Roy identity）等式：
v p, m 0 如果 m
则
v p, m p j x j p, m v p, m m
xB xB
• （四）V（P，M)对价格P是拟凸的，即对 p：v(p, m) k 是个凸集 所有的k，
假设p和p 满足v(p, m) k和v(p, m) k。 令p tp (1 t )p。 需要证明：v(p, m) k 定义预算集： B x : px m B x : px m
v m u ( x ) xi xi m i 1
n n i 1
u pi xi
xi pi m
又
px m
两边对m求微分
xi pi 1 m i 1 v (2) m
n
由（1）、（2）可得
v p, m p j x j p, m v p, m m
第一节间接效用函数
一、定义
v p, m max u x
n xR
S t px m
px m
瓦尔拉斯定 律
①它是极大化了的效用
②它的自变量不是消费计划， 而是价格与收入 ③控制消费者行为， 可以间接地控制p、m来实现
二、性质
（一）v（tp,tm）=v（p,m）(t>0) 即它是关于p,m的零次齐次函数
故 max u x max u x
xB xB
即v p ', m v p, m
（三） m m时, v 证：记
p, m v p, m B x px m
B x px m 显然 B B 故
max u x max u x 即 v p , m v p , m
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即
8 间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等Байду номын сангаас 3.支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数
• • • •
6.谢泼特（Shephard）引理 7.效用最大化与支出最小化的关系 8.斯卢茨基方程 9.替代效应与收入效应
pn xn m
p1 x1 p2 x2
两边同时对pj偏微分
xi x j pi 0 p j i 1
n
n xi v pi p j p j i 1
故
v x j p j
（1）
②再求分母
v( p, m) u ( x( p, m))
对m求偏微分
M (a ) f ( x (a ), a )，其中x (a )为f ( x , a )的最优解 两边对a微分 dM (a ) f ( x (a ), a )) x (a ) f ( x (a ), a )) （ 1） da x (a ) a a 因为x (a )为f ( x, a )的最优解 f ( x (a ), a )) 所以 0 x (a ) 代入（ 1）得到 dM (a ) f ( x (a ), a )) f ( x , a ) da a a
B x : p x m 我们将证明B中的任意消费束 x 或者属于B，或者属于B，即B B B
• 反证法证明： • 假设存在一个x，使得tpx+(1-t)p'x≤m，但是 px>m，p'x>m。 • 则有tpx>tm，(1-t)p'x>(1-t)m。求和得到 • tpx+(1-t)p'x>m • 与假设矛盾 • 因此 v(p, m) max u ( x )满足x属于B
x x (a )
三、应用 例，设 u( x1, x2 ) x1x2 •比较政府征收0.5元的所得税 •与0.5元的商品税对消费者效用 •的影响。
解： max x1 x2 p1 x1 p2 x2 m 的解为
m * x1 2 p 1 x* m 2 2 p2