8效用函数、间接效用函数和支出函数

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第二讲间接效用函数与支出函数

y p1
p2
请求消费者的马歇尔需求函数。
求解
v(p1,p2,y ) p1
y(p1
p
2
)
2
,
v(
p1,p p 2
2
,y
)
y(p1
p 2 )2
v(p1,p2,y ) y
(p1
p 2 )1
利用罗尔恒等式
v(p ,y )
pi v(p ,y )
xi*
xi(p ,y )
y 0
v(p1,p2,y )
我们有x1(p1,p2,y )
pi v(p,y )
xi*
xi(p,y )
y 0
练习
• 1、假设消费者效用函数为
U(x1, x2 ) x1x2
请推导消费者间接效用函数，并验证性质（5）
求解
消费者的效用最大化问题为：
百度文库
max u x1x2
s.t.p1x1 p2x2 y
拉格朗日表达式为L x1x2 [p1x1 p2x2 y ]
• （3）对于y严格递增；
• （4）对于p严格递减；
• （5）满足罗尔恒等式
如果v(p, y)
在点(
p0
,
y0
)是可导且
v y
(
p0
,
y0
)
0,
则有

五种效用函数

1.完全替代品（线性数用函数）

完全替代品指两种商品之间的替代比例是固定不变的情况，相应的无差异曲线是一条斜率不变的直线，且在任何一条无差异曲线上，两商品的边际替代率保持不变。

效用函数：U（X1，X2）=aX1+bX2

2.完全互补品（里昂惕夫效用函数）

完全互补品是指两种商品必须按固定不变的比例同时被使用的情况，相应的无差异曲线为直角形状。

效用函数：U（X1，X2）=MIN（aX1，bX2）

只有在无差异曲线的直角点上，两种互补商品刚好按固定比例被消费。

3.拟线性效用函数

U(X1，X2)=V(X1)+X2。效用函数对商品2来说是线性的，但对商品1来说是非线性的，因此称为拟线性。无论消费者收入如何变化，他对X1的消费量都是不变的，人们会把所有增加的收入用于消费X2商品。

4.柯布-道格拉斯效用函数

U（X1，X2）=X1αX2β

5.CES效用函数

CES效用函数又称不变替代弹性效用函数，其表达式为：

当ρ=1时，它是表示完全替代的线性效用函数；

当ρ=0时，它是科布−道格拉斯效用函数；

当ρ→∞时，它是表示完全互补的里昂惕夫效用函数。

（高级微观笔记）支出函数与希克斯需求函数

（⾼级微观笔记）⽀出函数与希克斯需求函数

⽀出函数与希克斯需求函数

⽀出函数：间接效⽤函数的反函数称之为⽀出函数，即在针对v(p,m)，我们对该函数求反函数，解出m；即给定⼀个效⽤⽔平和价格⽔平，我们可以达到效⽤u的最⼩收⼊m，我们可以⽤e(p,u).

即，e(p,u)=minpx

希克斯需求函数，就是关于解得的（p,u）的⼀函数，记为h(p,u)。该效⽤函数⼜称之为补偿效⽤函数，它描述的是当效⽤不变，当价格变动，收⼊必须变动以补偿价格变动所导致的效⽤变化。

但是在实际情况中，因为我们的效⽤通常是不可以观测的，所以，我们会通常使⽤马歇尔需求函数，即x(p,m).

证明：

（1）由于⽀出函数和效⽤函数是互为反函数，所以⽀出函数的单调性和间接效⽤函数的单调性是⼀致的。令B={x:px=m}，B’={x:p’x=m}，为了使⽀出最⼩，⼜因为p’p,因此B包含于B’，则e(p,u)在B’上的最⼩值⾄少⽐在B上的最⼩值要⼩。因此，当p’p时，e(p,m)e(p’,m)，得证。

（2）价格乘上正标量t不改变最⼩⽀出消费组合的性质，且⽀出增加t倍e(tp,u)=te(p,u)

（3）令（p,x）和（p’,x）是两个最⼩⽀出消费组合，再令p''=tp+(1-t)p’，则有：

e(p’’,u)=p’’x=tpx’’+(1-t)p’x’’

⾸先，我们不确定x''是否是价格p'或p的最⼩⽀出消费组合，我们px''e(p,u),p’x''e(p’,u)

从⽽有：e(p’’,u)te(p,u)+（1-t）e(p’,u)

最后证得，e(p,u)关于p是凹的。

高级微观经济学期末复习

第一部分：消费者理论

一、效用函数存在性证明

参考书

二、效用函数，求瓦尔拉斯需求函数

解答：从效用函数可知商品2对消费者没效用，因此最大化效用的结果是所有的收入都用于购买商品1,对商品2的需求为0,，

或者由可得到

实际上，这是一个边角解，

三、效用函数，求其1、瓦尔拉斯需求函数，间接效用函数，2、希克斯需求函数，支出函数。

答案:1、,,

2、,,(形式可能不一样）

四、证明对偶原理中的1。2.

参考书

五、效用函数，推导斯拉茨基方程，并分析替代效应、收入效应和总效应.

参考书

六、效用函数，求其货币度量的直接和间接效用函数。

答案：

七、效用函数，当，，求其等价变化和补偿变化。

答案: ，，

八、分析福利分析在税收方面的应用.

参考书

九、，假定,，，对商品1开征消费税0。25元。求开征消费税的无谓损失（包括两种情况)。

解答：max

s。t.

1．求瓦尔拉斯需求函数

（1）建立拉格朗日函数

（2）求极值一阶条件

(a）

(b）

（c)

由(a)和（b)整理得：

（3）瓦尔拉斯需求函数

分别将，代入预算约束(c)，有

2．求间接效用函数

将瓦尔拉斯需求函数代入目标函数，有

3．求支出函数

由间接效用函数，求反函数得：

4．求希克斯需求函数

法一：将支出函数

代入瓦尔拉斯需求函数，得到

法二:根据谢伯特引理，对支出函数对价格求导，也可得到希克斯需求函数。

5．求货币度量的效用函数

(1)货币度量的直接效用函数

由，有

（2)货币度量的间接效用函数

6．下标0表示征税前，下标1表示征收消费税后.

，，

，

等价变化分析：

按照征税前的价格计算的，消费者对征收消费税前后所获得效用的变化:

8效用函数、间接效用函数和支出函数

所以
v(0.25,1,1.5) v(0.5,1, 2)
征收所得税比商品税对消费者的影响要小
第二节支出函数
一、支出最小化问题
min p x ( M 2) s t u ( x) u
（一）支出函数
• 考虑既定效用水平下的最小支出，将支出和效用联系起来的函数，即为支出函数，是间接效用函数的逆函数。
则
e( p, u) e( p, u)
证：
e( p, u ) ph( p, u )
e(p,u)是效用为 u时最小支出
ph( p, u)
ph( p, u)
e( p, u)
利用包络定理 , e( p, u )是 min px s.t. u ( x ) u 的最优值构造拉格朗日函数 L px ( u ( x ) u ) e( p, u ) L x p p
v m u ( x ) xi xi m i 1
n n i 1
u pi xi

xi pi m
又
px m
两边对m求微分
xi pi 1 m i 1 v (2) m
n
由（1）、（2）可得
v p, m p j x j p, m v p, m m
牢牢记住e(p,u)是价格为p效用为u的最小支出，e(p',u)是价格为p'，效用为u是的最小支出。

第二章间接效用函数与支出函数

A B x2* C
x1*
x1
思考
• 如果政府对穷人的救济方式有：发放收入和食物折扣券这两种方式在政府开支是一样的情况下，哪种方式对穷人福利的增加更多？
支出最小化问题
消费者的选择
• 当收入，价格既定时，如何选择效用才能最大？ • 消费者还可能面临：如果要达到一定的效用水平，当价格既定时，如何选择才能花的钱最少？这两个问题都涉及消费者最优选择的问题。前者是极大值，后者是极小值。
支出函数
e p, u p h p, u
支出函数性质
1.是价格p的一次齐次函数： e(tp, u) t e( p, u)
2.支出函数性质:支出函数与补偿需求函数的关系
• 谢泼德引理
e p, u hij p, u p j
j 1, 2 n
练习题
• 第二讲课后习题：1,2,3,4,5,6,7
思考
• 希克斯需求函数与马歇尔需求函数的区别和联系是什么？
希克斯需求曲线和马歇尔需求曲线
P1
h( p1 , u0 )
p1 '
p
0 1
0 h( p1 ' , u0 ) h( p1 , u0 )
X1
马歇尔需求函数的含义
h1 ( p1 ' , u0 )
( p10 , m0 ) x1 ( p1 ' , m0 ) h1 ( p10 , u0 ) x1 ( p10 , m0 )

上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库4

二种商品的边际效用总是 1，而第一种商品的边际效用是递减的（我们假定 f (x1) 不
是 x1 的线性函数，并且满足一阶导数递减），所以增加的收入会都用在第二种商品
上。
5. 斯勒茨基方程
（1）证明 pσ(p.u)=0.其中 p=(p1, p2,.., pn), σ(p.u)是一个理性的消费者的 Slutsky 替代矩阵；
n i =1
∂xkh ∂pi
pi
=
0⋅
xkh ( p, u)
=
0
，k
= 1, 2,3.
2、效用函数 u(x1, x2 ) = f (x1) + x2 （其中 f (x1) 不是 x1 的线性函数）被称为拟线性
效用函数(quasi-linear)。拟线性效用函数的重要特点就是：（当收入足够大时）收入
的增加导致消费者总是把增加的收入都用于购买第 2 种商品。你可以这么理解：第
矩阵是对称的，
e f ⎥⎦
3⎤
2
⎥ ⎥
。
−7 / 6⎥⎦
说明：1、定义在 n 上的实值函数 f (x) 对于所有的正数 t 都满足 f (tx) ≡ tk f (x) ，则称 f (x)
是 k 次齐次函数。齐次函数的性质包括： A. 欧拉公式：如果 f (x) 是 k 次齐次函数，则其偏导数是 k −1次齐次函数。
β + (α + β p1 + γ p2 + δ w ) δ = β + (100 − 5 p1 + β p2 + δ w ) δ 。

第二讲间接效用函数与支出函数第一节间接效用函数间接效用函数的定义

也就是说，消费者最大化效用是收入和价格向量的函数。记这种效用函数为：
max
间接效用函数： v p, y
u x s.t. px y
x
v p, y u x* x p, y
间接效用函数的政策意义：通过价格政策（ p）和收入政策（ y）可以控制消费者行为。
二、间接效用函数的特征：
间接效用函数 v(p, y)
*
x
* i
〈
0
5、间接效用函数 v p , y 在 p, y 上拟凸
定义 A1.27 ：一个函数 f : D ? 是拟凸函数，当且仅当对于所
有 X 1 , X 2 D ，有： f (X t ) max[ f (X 1 ), f (X 2)] 。即凸组合的函
数值小于其中一个的函数值。
6 、罗伊恒等式：如果 v p, y 在 p0, y0 上可导，并且
ux
u
x
二、希克斯需求函数
支出函数的最优解为希克斯需求函数
px h p ,u
支出函数 e : n
? 为：
e p, u px h p ,u , x h x x
xh p, u ，最小支出为
n , u x u, u
min px , s.t., u x u
x px , x x x n ,u x u, u
2 2*0.5

效用函数公式

效用函数是经济学中重要的概念，它指的是一个人或一个组织对一种特定产品或服务的满足程度，是衡量他们对购买某种商品或接受某种服务的满意程度的重要指标。它可以用数学公式来表示为U=f(x1,x2,…,xn)，其中U表示效用，

x1,x2,…,xn表示决定效用的因素，f表示一个或多个关系函数。

效用函数是经济决策中重要的工具，它可以帮助经济学家和经济管理者更好地识别和分析消费者的需求，以及实现最大的满意度。例如，可以通过效用函数来确定消费者对某一商品的最佳购买量。另外，效用函数还可以帮助我们更好地分析和识别消费者的需求变化。例如，当物价上涨时，消费者的需求会有所变化，那么我们可以通过对效用函数的改进，来更准确地分析消费者的变化。

效用函数也可以用来研究经济体系中的相关现象，例如经济增长、价格变动以及收入分配等。通过对效用函数的分析，我们可以更清楚地了解各个变量之间的相互关系，以及它们对经济体系的影响，从而为政策制定提供有效的参考依据。

此外，效用函数也可以用来评估社会福利，即政府为了提高社会福利而推出的政策和措施的效用。因此，效用函数的研究和分析对于政府来说也是非常重要的，它可以帮助政府更好地了解公众的需求，并制定出有效的政策和措施，从而有效地改善社会福利。

总之，效用函数是一个重要的概念，它既可以用于经济学研究，也可以用于社会政策制定。由于效用函数具有重要的经济和社会意义，因此对其进行研究和分析是非常重要的，能够为经济学家和政策制定者提供有效的参考依据，从而更好地满足消费者的需求，改善社会福利。

常用的效用函数

线性效用函数是一种简单直接的效用函数，它表示人对一种商品或服务的满意程度与其数量成线性关系。例如，如果一个人每天喝一杯咖啡的效用为10个单位，那么每天喝两杯咖啡的效用就是20个单位，依此类推。

边际效用递减函数则是指随着消费数量的增加，每一单位的效用逐渐减少。这是因为人对某种商品或服务的需求是有限的，随着消费数量的增加，人对其的满意程度自然会逐渐降低。例如，一个人第一次吃糖的效用为10个单位，第二次吃的效用为8个单位，第三次吃的效用为6个单位，以此类推。

指数效用函数则是一种非线性的效用函数，它表示人对一种商品或服务的满意程度与其数量呈指数级别的增长。这种效用函数通常用于描述人在消费高档商品或服务时的心理反应，例如，一些人在拥有了一部豪华轿车之后，每一次开车都会感到非常满足和愉悦。

总之，不同的效用函数适用于不同的消费场景，理解和应用它们对于个人和企业做出合理消费决策都非常重要。

- 1 -

效用函数几种常见的公式

效用函数是描述消费者对不同商品组合的偏好程度的数学函数。常见

的效用函数有线性效用函数、凹凸效用函数、倍诺效用函数和Cobb-Douglas效用函数等。下面将详细介绍这几种常见的效用函数。

1.线性效用函数

线性效用函数是最简单的效用函数形式，表示消费者对不同商品数量

的偏好是线性的。线性效用函数的一般形式为U = ax + by，其中U表示

总效用，x和y分别表示两种商品的数量，a和b是效用的边际收益（表

示单位商品数量带来的边际效用）。线性效用函数假设消费者对每单位商

品数量的边际效用保持不变，即边际效用处处相等。

2.凹凸效用函数

凹凸效用函数是消费者偏好曲线呈现凹（convex）或凸（concave）

形状的效用函数。凹凸效用函数可以是一次函数、二次函数、对数函数等。凹凸效用函数的特点是随着消费数量的增加，边际效用递减。凹凸效用函

数可以用来描述消费者的递减边际效用的情况，即对于同一商品，消费数

量越多，边际效用越低。

3.倍诺效用函数

倍诺效用函数是消费者偏好曲线呈现S形状的效用函数，也被称为双

曲正切函数（Hyperbolic Tangent function）或双曲正切效用函数。倍

诺效用函数的一般形式为U = a * tanh(bx)，其中U表示总效用，x表示

商品的数量，a和b是函数的参数。倍诺效用函数具有递增边际效用和递

减边际效用的特点，即当消费数量较小或较大时，边际效用较高，而在中

间数量区间边际效用较低。

4. Cobb-Douglas效用函数

Cobb-Douglas效用函数是一种常用的多商品效用函数形式，常用于

效用函数几种常见的公式

效用函数是衡量个体对不同商品或服务的偏好的一种数学表示方式。在经济学和消费者理论中，效用函数是非常重要的工具，因为它能够帮助我们预测消费者的行为和认识不同商品之间的差异。本文将介绍几种经济学中常见的效用函数公式。

1.柯布-道格拉斯效用函数

柯布-道格拉斯效用函数是一种常见的经济学效用函数，它可以帮助我们定量地衡量商品数量对消费者福利的影响。柯布-道格拉斯效用函数的公式如下：

U(某,y)=某^αy^β

其中，U表示效用，某和y分别表示消费者消费的商品1和商品2的数量，α和β分别表示商品1和商品2的边际效用。

2.边际效用递减效用函数

边际效用递减效用函数是一种通用的效用函数，它描述了当消费者消费一定数量的某种商品时，其边际效用将逐渐减少。边际效用递减效用函数的公式如下：

MU(某)=U’(某)

其中，MU表示某种商品的边际效用，U’表示效用函数的导数。边际效用递减效用函数的应用范围和柯布-道格拉斯效用函数相似，但它更加侧重于描述商品数量对效用的影响。

3.指数效用函数

指数效用函数是一种常见的描述风险偏好的效用函数，它可以帮助我

们测量人们在面临风险情况下做出选择的倾向。指数效用函数的公式如下：U(某)=e^{-a某}

其中，U表示效用，某表示收益或者损失，a表示风险趋避系数。根

据指数效用函数的公式，我们可以看出当风险趋避系数较大时，消费者越

容易选择安全的选项，而不会冒险去追求高回报的投资。

总的来说，以上介绍的效用函数公式只是经济学中的一小部分，不同

的效用函数公式可以应用于不同的场景和分析方法。学习和理解效用函数

第2章间接效用函数与支出函数

xR

（3）在收入上y是严格递增的，而在价格p上则是严格递减的。 v( p, y) max u ( x), s.t. p x y n
xR
x* ( p, y) arg max u ( x), s.t. p x y n
xR
we have the first order condition as follows
运用包络定理，可得到：
e( p, u ) L( x* , * ) h xi xi ( p, u ) * pi pi
例：
min( p1 x1 p2 x2 )
x1 , x2
1
由u( x1 , x2 ) ( x1 x2 ) , 0 1),求支出函数.
1 1
1 1
令r
1
, 可得到:
1
1 p1 h x2 u 1 p2

ux2 ( p1r p )
1 1 r r 2
r 1 p2
x u( p p )
h 1 r 1
1 1 r r 2
L 0
因此，可得到:
* x2 p1 p1 * 即x2 x1 * x1 p2 p2
y y * x , x2 2 p1 2 p2
* 1
* * 把x1 和x2 代入u( x1 , x2 ), 可得到:

间接效用函数与支出函数

5（1）
min x
p1x1
+
p2 x2
s.t. u(x) = x1x2
构造拉氏方程： ψ (x,λ) = p1x1 + p2x2 + λ(u(x) − x1x2 )
∂ψ ∂x1
=
p1
− λx2
=0
（1）
∂ψ ∂x2
=
p2
− λx1
=0
∂ψ ∂λ
= u(x) − x1x2
=0
由 (1) 得: (2)
x1
=
p2 x2 p1
;
x2
=
p1x1 p2
把上两式分别代入（3）式得希克斯需求函数：
1
1
h1 (
p,u)
=
⎜⎜⎝⎛
up2 p1
⎟⎟⎠⎞ 2
；
h2
(
p,
u)
=
⎜⎜⎝⎛
up1 p2
⎟⎟⎠⎞
2
把上所得的希克斯需求函数代入目标函数得支出函数：
e(
p,
m)
=
2(up1
p2
)1 2
（2）（3）
（2）设 u′(x) = ln u(x)
− λx12
=0
∂ψ ∂λ
=
u
−
x2 1
x2
=0
由 (1) 得: (2)

中级微观经济学习题（消费者理论部分）

中级微观经济学习题

消费者理论部分

【尼克尔森3、4、5、6章】

1. 【尼克尔森3.1】画出下列效用函数的无差异曲线，并判断他们是否是凸的（及边际替代率MRS是否是随着x的增加而递减）。

（1）U(x,y)=3x+y

（2）U(x,y)=xy

（3）U(x,y)=x+y

（4）U(x,y)= x2−y2

（5）U(x,y)=xy

x+y

2. 某大学生仅有6天时间复习经济学、高等数学、英语三门课，要使这三门客的期末考试取得尽可能高的总成绩，他必须安排好每门课程的复习时间。如果每门可得复习时间与相应的考试分数用下表表示，请问该学生应该如何分配复习时间才能取得尽可能搞得成绩？他可能得到的最高总分是多少？

3. 【尼克尔森3.3】对于如下效用函数，请证明尽管这些效用函数具有递减的MRS，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。

（1）U(x,y)=xy

（2）U(x,y)=x2y2

（3）U(x,y)=lnx+lny

4. 【尼克尔森3.5】Phillie Phanatic总是喜欢以一种特定的方式来吃Ballpark Franks牌热狗：他将1英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜调味品同时食用。他的效用是以上四种食品的函数，亲切额外一种食品的数量增加而其他食品不变是不会增加他的效用的。

（1）Phillie Phanatic对这四种食品的效用函数的形式是什么？

（2）我们可以如何将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题？这种商品是什么？

（3）假设每英尺热狗的价格为1元，小圆面包价格为0.5元，每盎司芥末的价格为0.05元，每盎司咸菜调味品的价格为0.15元，那么第（2）问中定义的商品价格是多少？

间接效用函数

间接效用函数是一种重要的经济概念，它是用来衡量消费者的满意度的一种技术。它指的是以消费者以获得某种消费品花费的金钱数量来衡量消费者从购买消费品中获得的满意度。它在经济学中被广泛使用，来帮助企业分析消费者的消费行为，从而为企业提供有效的经营策略。

间接效用函数的计算是基于消费者的货币价值的假设，即消费者认为每一件物品的价值都是由其所花费的货币数量决定的。间接效用函数可以用来衡量消费者在购买某种消费品时所获得的满意度，即消费者认为花费更多货币购买某种消费品时，所获得的满意度会更高，而花费较少货币购买某种消费品时，所获得的满意度则会更低。间接效用函数也可以用来衡量消费者对某一特定商品的偏好程度，以及消费者在做出消费决策时的偏好性。它还可以用来评估消费者对某种消费品的价值，以及他们对某种消费品的购买行为。此外，间接效用函数还可以用来分析商品价格的影响，以及消费者对特定商品的需求情况。

总之，间接效用函数是一种重要的经济概念，它可以帮助企业或组织分析消费者的决策行为，从而为其提供更有效的经营策略。因此，企业应该认真研究间接效用函数，以更好地了解消费者的行为，并制定更具成效的经营策略。

8效用函数、间接效用函数和支出函数

第二讲 间接效用函数与支出函数

五种效用函数

（高级微观笔记）支出函数与希克斯需求函数

高级微观经济学期末复习

8效用函数、间接效用函数和支出函数

第二章间接效用函数与支出函数

上海财经大学经济学院《高级微观经济学》题库4

第二讲间接效用函数与支出函数第一节间接效用函数间接效用函数的定义

效用函数公式

常用的效用函数

效用函数几种常见的公式

效用函数几种常见的公式

第2章 间接效用函数与支出函数

间接效用函数与支出函数

中级微观经济学习题（消费者理论部分）

间接效用函数

第二讲间接效用函数与支出函数

第2章间接效用函数与支出函数