8效用函数、间接效用函数和支出函数

M (a ) f ( x (a ), a )，其中x (a )为f ( x , a )的最优解 两边对a微分 dM (a ) f ( x (a ), a )) x (a ) f ( x (a ), a )) （ 1） da x (a ) a a 因为x (a )为f ( x, a )的最优解 f ( x (a ), a )) 所以 0 x (a ) 代入（ 1）得到 dM (a ) f ( x (a ), a )) f ( x , a ) da a a
max u x max u x tp x tm t 0 px m
（二） p ' p时 , v p ', m v p, m 证：记 B x px m B x px m
显然 B B
maxu ( x )满足x属于B B， B B B k，因为v(p, m) k和v(p, m) k
（五）罗伊（Roy identity）等式：
v p, m 0 如果 m
则
v p, m p j x j p, m v p, m m
pn xn m
p1 x1 p2 x2
两边同时对pj偏微分
xi x j pi 0 p j i 1
n
n xi v pi p j p j i 1
故
v x j p j
（1）
②再求分母
v( p, m) u ( x( p, m))
对m求偏微分
故 v( p1 , p2 , m) x x
* * 1 2 2
m 4 p1 p2
p1 0.25, p2 1, m 2
2 * x1 2 0.25 4 2 * x2 1 2 1
时
v( p1 , p2 , m) v(0.5,1, 2) 4
x x (a )
三、应用 例，设 u( x1, x2 ) x1x2 •比较政府征收0.5元的所得税 •与0.5元的商品税对消费者效用 •的影响。
解： max x1 x2 p1 x1 p2 x2 m 的解为
m * x1 2 p 1 x* m 2 2 p2
xB xB
• （四）V（P，M)对价格P是拟凸的，即对 p：v(p, m) k 是个凸集 所有的k，
假设p和p 满足v(p, m) k和v(p, m) k。 令p tp (1 t )p。 需要证明：v(p, m) k 定义预算集： B x : px m B x : px m
第一节间接效用函数
一、定义
v p, m max u x
n xR
S t px m
px m
瓦尔拉斯定 律
①它是极大化了的效用
②它的自变量不是消费计划， 而是价格与收入 ③控制消费者行为， 可以间接地控制p、m来实现
二、性质
（一）v（tp,tm）=v（p,m）(t>0) 即它是关于p,m的零次齐次函数
j 1,
,n
证明： ①先求分子
v( p, m) u( x( p, m))
v u xi p j i 1 xi p j
n
u 又 pi xi
(i 1,
, n)
（最大化一阶条件）
n xi v pi p j p j i 1
同时 即
px m
v m u ( x ) xi xi m i 1
n n i 1
u pi xi

xi pi m
又
px m
两边对m求微分
xi pi 1 m i 1 v (2) m
n
由（1）、（2）可得
v p, m p j x j p, m v p, m m
源自文库8 间接效用函数与支出函数
•
Outline of Today’s Class
• • • • • 1.间接效用函数 2.罗伊（Roy identity）等式 3.支出最小化问题 4.支出函数 5.希克斯（补偿）需求函数
• • • •
6.谢泼特（Shephard）引理 7.效用最大化与支出最小化的关系 8.斯卢茨基方程 9.替代效应与收入效应
v x j p j (1)
v m
(2)
包络定理
• 考察参数变化对值函数的影响 • 假设f(x,a)是x和a的函数，a为决定于所研究 问题之外的一个参数，x为所研究的变量。 假定选择x来最大化这一函数，对于每一个 a，存在一个不同的x的最优选择。 • 定义值函数M(a)=f(x(a),a) • 现在我们想知道a的变动如何影响M(a)的变 动，即dM(a)/da
B x : p x m 我们将证明B中的任意消费束 x 或者属于B，或者属于B，即B B B
• 反证法证明： • 假设存在一个x，使得tpx+(1-t)p'x≤m，但是 px>m，p'x>m。 • 则有tpx>tm，(1-t)p'x>(1-t)m。求和得到 • tpx+(1-t)p'x>m • 与假设矛盾 • 因此 v(p, m) max u ( x )满足x属于B
故 max u x max u x
xB xB
即v p ', m v p, m
（三） m m时, v 证：记
p, m v p, m B x px m
B x px m 显然 B B 故
max u x max u x 即 v p , m v p , m
现在假设政府对商品1按0.25元/ 单位征收消费税，即