用MATLAB分析闭环系统的频率特性(1)

用MATLAB 分析闭环系统的频率特性

1、等M 圆图与等N 圆图原理

1.1设有单位系统如图1示。其闭环频率特性G B (j )与开环频率特性G K (j )的关系为 )(j G 1)(j G )(j X )(j X )(j G K K i 0B ωωωωω+== (1)

图 1

可将其开环频率特性G K (j )写成

G K (j

)＝U （）＋jV() (2) 则闭环频率特性为

)(j B )e M(jV

U 1jV U )G (j 1)G (j )(j G ωαωωωω=+++=+= (3) 式中 M()——闭环的幅频特性

()——闭环的相频特性 闭环的幅频特性为

2

12222V )U (1V U |jV U 1||jV U |M ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++= (4) 所以 222

22

V U)(1V U M +++= (5) 则有 2

22

2222

1)-(M M V )1-M M (U =++ (6) 显然,式（6）是一个元的方程,他表明了开环的实频U 、虚频V 和闭环的幅频M 之间

G K (j )

X i (j )

X 0(j )

的的关系，该圆方程的圆心坐标为（1M M 22－－，j0），半径为|1-M M |2。当M 取不同的值时，便可以得到一簇圆，如图1，该图称为等M 圆图（邮称为等幅值轨迹图）。

有闭环的相频特性为

)V

U U V (tg )U 1V (tg )U V (tg )jV U 1jV U (221-1-1-++=+=+++∠=－α （7） 令22V

U U V tg N ++==α，上式可改为 22224N

1N )2N 1(V )21(U +=+++ （8） 可见式（8）也是一个圆方程，他表明了U 、V 与N 之间的关系。该圆方程的圆心坐标为

｜。－，半径为｜－1N )2N 1j ,21(2当N 取不同的值时，可画出一簇圆，如图2所示。该

方法复杂，也不准确，我们用一个具体的力来说明一下用MATLAB 解决这类问题的方

法。

［例］求开环频率特性为1)

1)(0.2j (0.05j j 3)(j G k ++=

ωωωω的单位反馈系统的闭环频率特性。 2、用MATLAB 解决闭环系统频率特性 <以G(s)=10/s(s+1)(s^2/4+1)为例

这种传递函数是零极点描述形式，因而要使用sys=zpk(z,p,k)的命令形式 其中，z 为传递函数的零点向量[z1,z2,z3,...],描述形式为(s-z1)(s-z2)...

p 为传递函数的极点向量，k 为增益，因而在该例中,应首先化为标准形式，即 G(s)=40/s(s+1)(s+2i)(s-2i)，于是有(在命令行输入)

k=40;z=[];p=[0 -1 -2i 2i];

sys=zpk(z,p,k);就得到了传递函数>

例题的开环传递函数为 )

5)(20(300)(++=s s s s G 用MATLAB 编程和运行结果如下：

%MATLAB PROGRAM

%Create system model

sys=zpk([],[0 -20 -5],300);

sysclose=feedback(sys,1);

%Get frequency response of the system

w=logspace(-1,2);

bode(sysclose,w)

[mag,phase,W]=bode(sysclose,w);

[l,c]=size(mag);

mag1=zeros(c,1);

for i=1:c

mag1(i)=20*log10(mag(1,1,i)); end

%显示系统闭环的幅值穿越频率

disp('crossover frequency:');

Wc=interp1(mag1,W,0,'spline')

%显示谐振频率

disp('Resonance frequency:'); [mag2,i]=max(mag1);

Wr=W(i)

%显示谐振峰值

disp('Resonance magnitude:') Magmax=mag2

%显示-3dB截止频率

disp('-3dB frequency:');

W_3db=interp1(mag1,W,-3,'spline') [l,c]=size(phase);

pha1=zeros(c,1);

for i=1:c

pha1(i)=phase(1,1,i);

end

%显示-90度截止频率

disp('-90 phase frequency:');

W_90=interp1(pha1,W,-90,'spline')运行结果：

>> crossover frequency:

Wc =

0.1763

Resonance frequency:

Wr =

2.5595

Resonance magnitude: Magmax =

0.7477

-3dB frequency:

W_3db =

9.5479

-90 phase frequency:

W_90 =

3.4641

如果在上述的M文件中再加下面几行，可以绘制Bode图并在图中标出幅值裕度和相位裕度，以及可求出相位角阶频率W cg和幅值交界频率W cp，W cg是指Bode图的相频曲线穿越－180时的频率，W cp是指Bode图的幅值曲线穿越0分贝线时的频率。

figure(2)

margin(sys)

[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(sys)

运行结果为：

Gm =

8.3333

Pm =

54.7410

Wcg =