人教A版教材《等式性质与不等式性质》优秀课件1
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人教A版(2019)必修第一册2.1等式性质与不等式性质 课件(共18张PPT)
1．不等关系 不等关系常用不等式 来表示．
2．实数 a，b 的比较大小
文字语言
数学语言
a－b 是正数a－b＞0源自a－b 等于零a－b＝0
a－b 是负数
a－b＜0
等价条件 a＞b a＝b a＜b
3
3.重要不等式 一般地，∀a，b∈R，有 a2＋b2≥2ab， 当且仅当 a＝b 时，等号成立．
4
4．等式的性质 (1) 性质 1 如果 a＝b，那么 b＝a； (2) 性质 2 如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c； (3) 性质 3 如果 a＝b，那么 a±c＝b±c； (4) 性质 4 如果 a＝b，那么 ac＝bc； (5) 性质 5 如果 a＝b，c≠0，那么ac＝bc.
.
(7)乘方法则：a＞b＞0⇒ _a_n_＞__b_n_＞__0_(_n_∈__N__,n_≥__2_)_．
ac＜bc .
6
C [限重就是不超过，可以直接 1．大桥头竖立的“限重 40 吨” 建立不等式 T≤40.] 的警示牌，是指示司机要安全通过该 桥，应使车货总重量 T 不超过 40 吨， 用不等式表示为( ) A．T<40 B．T>40 C．T≤40 D．T≥40
D [可利用赋值法．令 a＝－5， ) b＝0，则 A、B 正确而不满足 a> b.
再令 a＝－3，b＝－1，则 C 正确而 不满足 a> b，故选 D.]
10
即时巩固
【解】运用作差法：
0是正数与 负数的分界线， 它为比较实数的 大小提供了标 杆.
即时巩固
【解】运用作商法：
1是相等与 不等的分界线， 它也为比较实数 的大小提供了标 杆.
人教A版 必修 第一册
第二章 一元二次函数、方程和不等式
人教A版高中数学必修第一册《等式性质与不等式性质》PPT
例 2．已知 a b 0 , c 0 .求证 c c .
ab
证明：因为 a b 0 ，两边同乘以正数 1 ，得 1 1 ，即 1 1 ，又c 0 ，所
ab
ba
ab
以c c.
ab
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
又因为 c d ,所以 b c b d . ②
由①、②及性质 2，得 a c b d .
，即
.
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
例题讲解
例 3.已知： a＞b ， e f ， c 0 ，求证： f ac＜e bc ． 证明：因为 a＞b ， c 0 ，所以 ac＞bc，即 ac＜bc ，又 f＜e，由不等式 性质 5 可得： f ac＜e bc ．
学习新知——等式性质
等式的基本性质
（1）如果 a＝b，那么 b=a .
（2）如果 a＝b，b＝c，那么 a=c .
（3）如果 a＝b，那么a±c=b±c .
（4）如果 a＝b，那么 ac=bc .
（5）如果 a＝b，c≠0，那么
ab cc
.
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《2.1 等式性 质与不 等式性 质》第 二课时 （共12 张ppt）
说明：如果 a b c ，则 a b b c b ，也就是a c b .
等式性质与不等式性质课件(1)高一上学期数学人教A版
每本提价 0.2 元，则发行量将减少 4000 本，为使销 售总收入不小于 9 万元，需确定提价的范围，请用 不等式表示该不等关系.
解：若幼儿图书的定价为x元，则销售量减少：
x 2 0.4万本, 因此，销售总收入为： 0.2 (5 x 2 0.4)x万元.
0.2 那么不等关系“销售总收入不小于9万元”可以用不 等式为：
Hale Waihona Puke 例题课本38页例1：比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
解：(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)
作差
＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4) 变形
作 差 比
＝2>0，
定符号 较
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
确定大小 法
归纳总结
作差比较法的一般步骤是：①作差；②变形；③定号；
2.1 等式性质与不等式性质（1）
《必修》（第一册）P37 ~ P40
复习引入
1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等 和不等关系，例如：
长短 大小
轻重 高矮
在数学中，我 们怎样表示相 等与不等关系？
相等用等式表 示，不等用不 等式表示
2.我们用数学符号 , , , , 连接两个数或代数式，
分析：(1 )销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本
0.1
(2)现在销售量是多少? (8 x 2.5 0.2)万本
0.1
(3)销售总收入为多少? (8 x 2.5 0.2)x万元
0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本, 因此，销售总收入为： 0.1
解：若幼儿图书的定价为x元，则销售量减少：
x 2 0.4万本, 因此，销售总收入为： 0.2 (5 x 2 0.4)x万元.
0.2 那么不等关系“销售总收入不小于9万元”可以用不 等式为：
Hale Waihona Puke 例题课本38页例1：比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小．
解：(x+2)(x+3)－(x+1)(x+4)
作差
＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4) 变形
作 差 比
＝2>0，
定符号 较
∴(x+2)(x+3)>(x+1)(x+4).
确定大小 法
归纳总结
作差比较法的一般步骤是：①作差；②变形；③定号；
2.1 等式性质与不等式性质（1）
《必修》（第一册）P37 ~ P40
复习引入
1.在现实世界和日常生活中，大量存在着相等 和不等关系，例如：
长短 大小
轻重 高矮
在数学中，我 们怎样表示相 等与不等关系？
相等用等式表 示，不等用不 等式表示
2.我们用数学符号 , , , , 连接两个数或代数式，
分析：(1 )销售量减少了多少? x 2.5 0.2万本
0.1
(2)现在销售量是多少? (8 x 2.5 0.2)万本
0.1
(3)销售总收入为多少? (8 x 2.5 0.2)x万元
0.1
解：若杂志的定价为x元，则销售量减少：
x 2.5 0.2万本, 因此，销售总收入为： 0.1
高中数学新人教A版必修一等式性质与不等式性质课件35张
解:(1)3x3-(3x2-x+1)=(3x3-3x2)+(x-1) =3x2(x-1)+(x-1)=(3x2+1)(x-1). 由x≤1得x-1≤0,而3x2+1＞0. 所以(3x2+1)(x-1)≤0, 所以3x3≤3x2-x+1.
(2)已知a＞0,b＞0,比较aabb与abba的大小.
解:(2)因为 a>0,b>0,所以 aabb>0,abba>0. 所以 aabb = a a b =( a )a-b.
4.已知x＜1,则x2+2与3x的大小关系为
.
解析:(x2+2)-3x=(x-1)(x-2). 因为x＜1,所以x-1＜0,x-2＜0, 所以(x-1)(x-2)＞0, 所以x2+2＞3x. 答案:x2+2＞3x
5.若x≥1,y≥2,则2x+y的最小值为
.
解析:因为x≥1,所以2x≥2,又y≥2,所以2x+y≥2+2=4. 答案:4
课堂探究
题型一 用不等式来表示不等关系 【例1】 配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3 克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若 A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应 满足的不等关系式.
(3)关于a≤b和a≥b的含义 ①不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a＜b,或者a=b”,等 价于“a不大于b”,即若a＜b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确. ②不等式a≥b应读作“a大于或等于b”,其含义是指“或者a＞b,若者a=b”,等价 于“a不小于b”,即若a＞b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确. (4)用不等式表示不等关系 ①在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样 的不等关系. 例如:限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 40 km/h,写出不等式就是v≤40. ②文字语言与数学符号之间的转换,将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注 意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否 正确地用不等式表示出不等关系.
(2)已知a＞0,b＞0,比较aabb与abba的大小.
解:(2)因为 a>0,b>0,所以 aabb>0,abba>0. 所以 aabb = a a b =( a )a-b.
4.已知x＜1,则x2+2与3x的大小关系为
.
解析:(x2+2)-3x=(x-1)(x-2). 因为x＜1,所以x-1＜0,x-2＜0, 所以(x-1)(x-2)＞0, 所以x2+2＞3x. 答案:x2+2＞3x
5.若x≥1,y≥2,则2x+y的最小值为
.
解析:因为x≥1,所以2x≥2,又y≥2,所以2x+y≥2+2=4. 答案:4
课堂探究
题型一 用不等式来表示不等关系 【例1】 配制A,B两种药剂,需要甲,乙两种原料.已知配一剂A种药需甲料3 克,乙料5克;配一剂B种药需甲料5克,乙料4克.今有甲料20克,乙料25克,若 A,B两种药至少各配一剂,设A,B两种药分别配x,y剂(x,y∈N),请写出x,y应 满足的不等关系式.
(3)关于a≤b和a≥b的含义 ①不等式a≤b应读作“a小于或者等于b”,其含义是指“或者a＜b,或者a=b”,等 价于“a不大于b”,即若a＜b与a=b之中有一个正确,则a≤b正确. ②不等式a≥b应读作“a大于或等于b”,其含义是指“或者a＞b,若者a=b”,等价 于“a不小于b”,即若a＞b与a=b之中有一个正确,则a≥b正确. (4)用不等式表示不等关系 ①在现实生活中,存在着许许多多的不等关系,在数学中,我们用不等式来表示这样 的不等关系. 例如:限速40 km/h的路标,指示司机在前方路段行驶时,应使汽车的速度v不超过 40 km/h,写出不等式就是v≤40. ②文字语言与数学符号之间的转换,将实际的不等关系写成对应的不等式时,应注 意实际问题中关键性的文字语言与对应的数学符号之间的正确转换,这关系到能否 正确地用不等式表示出不等关系.
人教A版高中数学必修第一册《等式性质与不等式性质》优秀课件
学习新知——实数大小关系的基本事实
两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b.
如果 a>b⇔ a-b>0 .
依据
如果 a＝b⇔ a-b=0 .
如果 a<b⇔ a-b<0 .
结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 差 与 0 的大小
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修等第式一册 性 第 质二 与章 不 等《式等性式 质性质》与优 不秀等pp式t 课性件质》 第一课 时课件 （共15 张ppt ）
综上， x6 1 x4 x2 .
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修等第式一册 性 第 质二 与章 不 等《式等性式 质性质》与优 不秀等pp式t 课性件质》 第一课 时课件 （共15 张ppt ）
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修等第式一册 性 第 质二 与章 不 等《式等性式 质性质》与优 不秀等pp式t 课性件质》 第一课 时课件 （共15 张ppt ）
例题讲解 例 3. a,b R，比较 a2 b2 与 2ab 的大小．
解： a2 b2 2ab a b2 0 ．
所以 a,b R， a2 b2 2ab ，当且仅当 a b 时取等号．
人教A版（ 高2中01数9）学高必中修数第学一必册《修等第式一册 性 第 质二 与章 不 等《式等性式 质性质》与优 不秀等pp式t 课性件质》 第一课 时课件 （共15 张ppt ）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 第二章 《等式 性质与 不等式 性质》 第一课 时课件 （共15 张ppt ）
学习新知——实数大小关系的基本事实
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规 定实数的大小关系：如图，设a，b是两个实数，它们在数轴上所对应的点分 别是A，B.那么，当点A在点B的左边时，a<b；当点A在点B的右边时，a>b.
等式性质与不等式性质【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件PPT1
C、2a 2b D、a2 b2
2、已知 a b 0 ，下列不等式成立的有（ ）
① a2 b2； ② 1 1；③ 1 1；④ 1 1 .
ab a b
ab
A、①②
B、①②③
C、①②④
D、①②③④
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
D
a2 b2
b
GF A aH E
D
CA
a
C b E(FGH)
BB
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。 适用范围：
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
a,b∈R
北京——第24届国际数学 家大会会标．
根据中国古代数学家赵爽 的弦图设计的，颜色的明 暗使它看上去象一个风车， 代表中国人民热情好客。
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
ICM2002会标
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT ) 2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
A
aHE
面积和S’ =＿2＿ab
３、S与S’有什么
样的关系？
B
问：那么它们有相等的情况吗？
S > S′
a2 b2 2ab
2.1等式性质与不等式性质-【新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
高中数学人教A版(2019)必修第一册等式性质与不等式性质课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件
解题方法（比较法的基本步骤） 比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件 高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件
才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这
个直角三角形面积的最大值等于
.
高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件
解题方法（重要不等式的应用及多项式的取值范围）
1、利用已知条件列出满足的等式和不等式，然后利用重要不等式解 决相应的问题。（注意等于号满足的条件） 2、多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相 乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
知识清单
1、实数大小比较依据
AB
B
A
ab b>a
b
a
a>b
a>ba-b>0
基本事实（公理） a < b a - b < 0
b=a b-a=0
注:是比较两个数大小的依据
例1 比较（X＋２）（X＋３）和（X＋１）（X＋４）的大小
2、两个实数比较大小的方法
可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证.
答案：（1） > （2） <
（3） <
解题方法（比较法的基本步骤） 比较法的基本步骤： 1.作差(或作商) 2.变形 3.定号(与0比较或与1比较).
高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件 高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件
才提出并证明了勾股定理.如果一个直角三角形的斜边长等于5,那么这
个直角三角形面积的最大值等于
.
高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件
高中数学人教A版（2019）必修第一册 等式性 质与不 等式性 质 课件
解题方法（重要不等式的应用及多项式的取值范围）
1、利用已知条件列出满足的等式和不等式，然后利用重要不等式解 决相应的问题。（注意等于号满足的条件） 2、多项式的取值范围，许将单项式的范围之一求出，然后相加或相 乘.（将减法转化为加法，将除法转化为乘法）
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
知识清单
1、实数大小比较依据
AB
B
A
ab b>a
b
a
a>b
a>ba-b>0
基本事实（公理） a < b a - b < 0
b=a b-a=0
注:是比较两个数大小的依据
例1 比较（X＋２）（X＋３）和（X＋１）（X＋４）的大小
2、两个实数比较大小的方法
可用特殊值代入验证，也可用不等式的性质推证.
答案：（1） > （2） <
（3） <
2.1等式性质与不等式性质课件(人教版)
用不等式表示。
万物皆数--毕达哥拉斯
2
人教A版（2019）
基本事实
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定
实数的大小关系；如图，设，是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，
B，当点A在点B的左边时， < ；当点A在点B的右边时， > ；当点A和点B重
合时， = .
（2）已知1 < < 4，2 < < 8，求 的取值范围
（3）已知−6 < < 8，2 < <
3，求 的取值范围
解：（3）因为 < < ，所以 <
<
①当− < < 时，−< <
②当 ≤ < 时， ≤
由①②得，−< <
<
如果 > > ， > > ，那么 >
如果 > > 那么 > （ ∈ , 且 ≥ ）
万物皆数--毕达哥拉斯
8
人教A版（2019）
例题讲讲
例2 已知 > > ， < ，求证 >
方法一：作差法
证明：
− =
−
=
−
于是 ∙
由 <
>
，得
∙ ，即
>
万物皆数--毕达哥拉斯
2
人教A版（2019）
基本事实
由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上的点的位置关系来规定
实数的大小关系；如图，设，是两个实数，他们在数轴上所对应的点分别是A，
B，当点A在点B的左边时， < ；当点A在点B的右边时， > ；当点A和点B重
合时， = .
（2）已知1 < < 4，2 < < 8，求 的取值范围
（3）已知−6 < < 8，2 < <
3，求 的取值范围
解：（3）因为 < < ，所以 <
<
①当− < < 时，−< <
②当 ≤ < 时， ≤
由①②得，−< <
<
如果 > > ， > > ，那么 >
如果 > > 那么 > （ ∈ , 且 ≥ ）
万物皆数--毕达哥拉斯
8
人教A版（2019）
例题讲讲
例2 已知 > > ， < ，求证 >
方法一：作差法
证明：
− =
−
=
−
于是 ∙
由 <
>
，得
∙ ，即
>
2.1 等式性质与不等式性质 (人教A版2019必修一)-【优秀公开课获奖课件】高一数学
c
b a
ab
大正方形的构成：
4个全等的直角三角形
1个小正方形
等 面
4 1 ab (a b)2 c2
积 法
2
即a2 b2 c2
第24届国际数学家大会会标 是根据赵爽弦图设计的.
不等关系
2.赵爽弦图中的不等关系 (面积关系)
b
a2 b2
a
b a
a,b>0
大正方形面积 >4个直角三角形的面积和
①判断正误:
若ca
b ,
d
则a
c
b
d.(
3>2，1>-2，
) 但3－1<2－(-2).
②填空:
若ca
b ,
d
则a
d
_>__
b
c.
证明:a b,a d b d; c d,b c b d;
a d b c.
3.不等式性质——同向可加性 关键：减化加
3a+2b
[例2]已知1 a b 1,则a b的取值范围是__2___a__b____0.
a b,c 0 a b
cc
用不等式的性质证明不等式
(1)若ac2 bc2 ,则a b. c 0,c2 0,a b.
(2)若a b 0,则a2 ab b2. a b,a 0,a2 ab.
a b,b 0,ab b2.
(3)若a
b
0,则
1 a
1 b
.
a b (a)
方法：待求的整体用已知的整体表示，仅用1次同向可加性
3.不等式性质——同向可加性
方法：待求的整体用 已知的整体表示
[例4]已知1 a b 2且2 a b 4,求4a 2b的取值范围.
人教A版2.1等式性质与不等式性质课件
题型一 用不等式(组)表示不等式关系 [学透用活]
[典例 1] 用一段长为 30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩 形菜园，墙长 18 m，要求菜园的面积不小于 110 m2，靠墙的 一边长为 x m．试用不等式表示其中的不等关系．
[解] 由于矩形菜园靠墙的一边长为 x m，而墙长为 18 m， 所以 0<x≤18，
(2)已知 c>a>b>0，求证：c－a a>c－b b.
[解析] 证明：∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0，
由a＞b＞0⇒1a＜1b， c＞0
⇒ac＜bc
⇒c－a a＜c－b b，
c－a＞0，
⇒c－a a＞c－b b.
c－b＞0
[方法技巧]
1．利用不等式判断正误的 2 种方法 (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性 质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满 足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取 的值要有代表性．
题型四 利用不等式的性质求取值范围 [学透用活]
[典例 4] 已知 1＜a＜4,2＜b＜8，试求 2a＋3b 与 a－b 的 取值范围．
[解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故 2a＋3b 的取值范围是 8<2a＋3b<32，a－b 的取值范围 是－7<a－b<2.
题型二 作差法比较大小 [学透用活]
[典例 2] (1)已知 a，b 为正数，且 a≠b，比较 a3＋b3 与 a2b ＋ab2 的大小；
2.1 等式性质与不等式性质 (人教A版2019必修一)-【优秀公开课获奖课件】高一数学
问题3：.类比等式的性质，你能推出不等式的性质吗？
[答案] 能.
新知生成
不等式的基本性质：
（1） 对称性： ____.
（3） 可加性： _______________.
（4） 可乘性： ， __________； ， __________.
方法总结 用重要不等式证明不等式时，应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备重要不等式的结构和条件，然后合理地选择重要不等式进行证明.
已知 ，求证： ．
[解析] （法一）利用 ． ， ,当且仅当 时，等号成立．（法二） ， .
巩固训练
探究3 不等式的性质
小明说：“ 是 成立的充要条件.”
A.如果 ， ，那么 B.如果 ，那么 C.对任意正实数 和 ， ，当且仅当 时，等号成立D.如果 ， ，那么
C
[解析] 可将图中直角三角形的两直角边分别记作 ， ，斜边记为 ，则外围的正方形的面积为 ，也就是 ，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为 ，故对任意正实数 和 ，有 ，当且仅当 时，等号成立.故选C.
随堂检测·精评价
1.如果 ，那么 成立吗？
[答案] 成立.
2.如果 ，那么 成立吗？
[答案] 成立.
3.如果 ， ，那么 成立吗？ 呢？
[答案] 成立， 不一定成立，但 成立．
4.如果 ， ，那么 成立吗？
[答案] 不成立．
预学忆思
自主预习·悟新知
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
方法总结 （1）注意不等式成立的条件，在解选择题时，可利用特值法进行排除.取值要求：一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
（2）应用不等式的性质证明时，应注意不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．
[答案] 能.
新知生成
不等式的基本性质：
（1） 对称性： ____.
（3） 可加性： _______________.
（4） 可乘性： ， __________； ， __________.
方法总结 用重要不等式证明不等式时，应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备重要不等式的结构和条件，然后合理地选择重要不等式进行证明.
已知 ，求证： ．
[解析] （法一）利用 ． ， ,当且仅当 时，等号成立．（法二） ， .
巩固训练
探究3 不等式的性质
小明说：“ 是 成立的充要条件.”
A.如果 ， ，那么 B.如果 ，那么 C.对任意正实数 和 ， ，当且仅当 时，等号成立D.如果 ， ，那么
C
[解析] 可将图中直角三角形的两直角边分别记作 ， ，斜边记为 ，则外围的正方形的面积为 ，也就是 ，四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为 ，故对任意正实数 和 ，有 ，当且仅当 时，等号成立.故选C.
随堂检测·精评价
1.如果 ，那么 成立吗？
[答案] 成立.
2.如果 ，那么 成立吗？
[答案] 成立.
3.如果 ， ，那么 成立吗？ 呢？
[答案] 成立， 不一定成立，但 成立．
4.如果 ， ，那么 成立吗？
[答案] 不成立．
预学忆思
自主预习·悟新知
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
方法总结 （1）注意不等式成立的条件，在解选择题时，可利用特值法进行排除.取值要求：一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
（2）应用不等式的性质证明时，应注意不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．
人教A版高中数学《等式性质与不等式性质》专家课件-ppt1
例题讲解
已知a b 0，求证：c c .
ab
分析：要证明
c a
c b
,因为c
0，所以可以先证明 1 a
1 b
.
利用已知a b 0和性质3,即可证明 1 1 . ab
证明：a b 0,所以ab 0, 1 0 ab
于是a 1 b 1 ,即 1 1 ab ab b a
2人.1教等A式 版性 高质 中与 数不 学《等等式式性性质-质【与新不教等材式】性人质教》A 版 全（ 文2课0 1件9） 1 高 中数学 必修第 一册课 件(共2 5张ppt )
由于c 0,则 c c ab
2人.1教等A式 版性 高质 中与 数不 学《等等式式性性质-质【与新不教等材式】性人质教》A 版 全（ 文2课0 1件9） 1 高 中数学 必修第 一册课 件(共2 5张ppt )
例题讲解
已知2 a 3,2 b 1，
（1）求2a b的取值范围； （2）求2a b的取值范围.
=(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2 >0 所以 (x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)
人教A版高中数学《等式性质与不等式 性质》 全文课 件1
人教A版高中数学《等式性质与不等式 性质》 全文课 件1
如图是在北京召开的第24届国际数 学家大会的会标,会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的 明暗使它看上去像一个风车,代表中 国人民热情好客.
人教A版高中数学《等式性质与不等式 性质》 全文课 件1
人教A版高中数学《等式性质与不等式 性质》 全文课 件1
思考： 你能在这个图中找出些相等关系和不 等关系吗?
人教A版高中数学《等式性质与不等式 性质》 全文课 件1
已知a b 0，求证：c c .
ab
分析：要证明
c a
c b
,因为c
0，所以可以先证明 1 a
1 b
.
利用已知a b 0和性质3,即可证明 1 1 . ab
证明：a b 0,所以ab 0, 1 0 ab
于是a 1 b 1 ,即 1 1 ab ab b a
2人.1教等A式 版性 高质 中与 数不 学《等等式式性性质-质【与新不教等材式】性人质教》A 版 全（ 文2课0 1件9） 1 高 中数学 必修第 一册课 件(共2 5张ppt )
由于c 0,则 c c ab
2人.1教等A式 版性 高质 中与 数不 学《等等式式性性质-质【与新不教等材式】性人质教》A 版 全（ 文2课0 1件9） 1 高 中数学 必修第 一册课 件(共2 5张ppt )
例题讲解
已知2 a 3,2 b 1，
（1）求2a b的取值范围； （2）求2a b的取值范围.
=(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2 >0 所以 (x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)
人教A版高中数学《等式性质与不等式 性质》 全文课 件1
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如图是在北京召开的第24届国际数 学家大会的会标,会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的 明暗使它看上去像一个风车,代表中 国人民热情好客.
人教A版高中数学《等式性质与不等式 性质》 全文课 件1
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思考： 你能在这个图中找出些相等关系和不 等关系吗?
人教A版高中数学《等式性质与不等式 性质》 全文课 件1
《等式性质与不等式性质》ppt课件高中数学人教A版
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.1等 式性质 与不等 式性质 课件（共30张PPT）
练习
2.比较(x+3)(x+7பைடு நூலகம்和(x+4)(x+6)的大小. 3. 已知a b，证明a a b b.
2
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.1等 式性质 与不等 式性质 课件（共30张PPT）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.1等 式性质 与不等 式性质 课件（共30张PPT） 人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.1等 式性质 与不等 式性质 课件（共30张PPT）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.1等 式性质 与不等 式性质 课件（共30张PPT）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.1等 式性质 与不等 式性质 课件（共30张PPT）
关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实： 人教A版（2019）高中数学必修第一册课件：2.1等式性质与不等式性质 课件（共30张PPT）
如果a-b是正数,那么a>b； 如果a-b等于0, 那么a=b； 如果a-b是负, 那么a<b.反过来也对.
这个基本事实可以表示为 a b a b 0 a b ab0 ab ab0
从上述基本事实可知：
要比较两个实数的大小,可以转化为比较 它们的差与0的大小.
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.1等 式性质 与不等 式性质 课件（共30张PPT）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.1等 式性质 与不等 式性质 课件（共30张PPT）
人教A版（2019）高中数学必修第一册 课件： 2.1等 式性质 与不等 式性质 课件（共30张PPT）
等式性质与不等式性质【新教材】人教A版高中数学必修第一册优秀课件
2等.1式.2性等质式与性不质等与式不性等质式【性新质教-【 材新 】教人 材教】 A版人高教中A数版学（ 必20修19第） 一高册中优数 秀学必pp修t 课第件一册 课件 (共28张PPT)
2等.1式.2性等质式与性不质等与式不性等质式【性新质教-【 材新 】教人 材教】 A版人高教中A数版学（ 必20修19第） 一高册中优数 秀学必pp修t 课第件一册 课件 (共28张PPT)
2.1.2等式性质与不等式性质-【新教 材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件 (共28张PPT)
2等.1式.2性等质式与性不质等与式不性等质式【性新质教-【 材新 】教人 材教】 A版人高教中A数版学（ 必20修19第） 一高册中优数 秀学必pp修t 课第件一册 课件 (共28张PPT)
和可乘性求解．
[解] ∵－6<a<8,2<b<3，
∴－12<2a<16.
∴－
10<2a＋b<19.
又∵－3<－b<－2，
∴13 －9b1<a12－b<6.
又 <<，
(1)当0≤a<8时0≤ a <4；
b
(2)当－6<a<0时－3< a <0.
b
由(1)(2)得－3< a <4.
b
练习
(1)已知12<a<30,15<b<48，则 a 的范围是
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
２.１ 等式性质与不等式性质 第二课时
思考与发现
我们学习过等式的基本性质，你能说 出来几个呢？
等式有下面的基本性质： 性质１ 如果a＝b，那么b＝a； 性质２ 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质３ 如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质４ 如果a＝b，那么ac＝bc； 性质５ 如果a＝b，c≠０，那么 a ＝ b ．
2等.1式.2性等质式与性不质等与式不性等质式【性新质教-【 材新 】教人 材教】 A版人高教中A数版学（ 必20修19第） 一高册中优数 秀学必pp修t 课第件一册 课件 (共28张PPT)
2.1.2等式性质与不等式性质-【新教 材】人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件 (共28张PPT)
2等.1式.2性等质式与性不质等与式不性等质式【性新质教-【 材新 】教人 材教】 A版人高教中A数版学（ 必20修19第） 一高册中优数 秀学必pp修t 课第件一册 课件 (共28张PPT)
和可乘性求解．
[解] ∵－6<a<8,2<b<3，
∴－12<2a<16.
∴－
10<2a＋b<19.
又∵－3<－b<－2，
∴13 －9b1<a12－b<6.
又 <<，
(1)当0≤a<8时0≤ a <4；
b
(2)当－6<a<0时－3< a <0.
b
由(1)(2)得－3< a <4.
b
练习
(1)已知12<a<30,15<b<48，则 a 的范围是
第二章 一元二次函数、方程和不等式
第二章 一元二次函数、方程和不等式
２.１ 等式性质与不等式性质 第二课时
思考与发现
我们学习过等式的基本性质，你能说 出来几个呢？
等式有下面的基本性质： 性质１ 如果a＝b，那么b＝a； 性质２ 如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质３ 如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质４ 如果a＝b，那么ac＝bc； 性质５ 如果a＝b，c≠０，那么 a ＝ b ．
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练习
1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单
位:m)从地面算起不能超过4m； (2)a与b的和是非负实数； (3)如图,在一个面积小于350m2的矩形地基的中
心位置上建造 个仓库,仓库的四周建成绿地, 仓库的长L单位:m)大于宽W(单位:m)的4倍.
与解方程要用等式的性质一样,解不等式 要用不等式的性质.为此,我们需要先研究不等 式的性质。
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
B 问：那么它们有相等的情况吗？
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
D
C
A
a
C b E(FGH)
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
如图，设a，b是两个实数,它们在数轴上所对 应的点分别是A，B. 则如何比较a，b的大小?
B
A
b
a
x
A（B）
a （b）
x
A
B
a
b
x
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实： 人教A版教材《等式性质与不等式性质》优秀PPT1
如果a-b是正数,那么a>b； 如果a-b等于0, 那么a=b； 如果a-b是负, 那么a<b.反过来也对.
练习
3.已知a b，证明a a b b. 2
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
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已知 - 4 x y 1,-2 x y 3， 求2x y的取值范围.
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
D
a2 b2
b
G
F
A
aHE
1、正方形ABCD的面积
S=＿a＿2 ＿b＿2
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a__bFra bibliotek.C３、S与S’有什么样的 关系？ S > S′
a2 b2 2ab
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
_________.
40
(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不 少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;
问题1 (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于 第三边，设三角形的三边分别为a，b，c，则有 _________.
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短 .
这个基本事实可以表示为 a b a b 0 a b ab0 ab ab0
从上述基本事实可知：
要比较两个实数的大小,可以转化为比较 它们的差与0的大小.（作差法）
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 解:因为 (x+2)(x+3)(x+1)(x+4)
练习
已知1 a b 2,2 a b 4, 求4a - 2b的取值范围.
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复习回顾
不等式: 用不等号表示不等关系的式子。
文字语言
大于、 高于、 超过、 多于
小于、 低于、 少于
大于等于、 小于等于、
至少、
至多、
不低于 不多于、
不超过
> 符号语言
<
≥≤
问题1
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?
(1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶
时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：
思考： 你能在这个图中找出些相等关系和不 等关系吗?
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探究１： 2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（共19张PPT）
比较下列两组数的大小，并说明理由。
（1） 7 10与 3 14； （2）当x 1时，x3与x2 x 1.
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=(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2 >0 所以 (x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
练习
1.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
问题2
某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以 售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1 元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使 提价后的销售总收入不低于20万元?
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
适用范围： a,b∈R
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
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如图是在北京召开的第24届国际数 学家大会的会标,会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的 明暗使它看上去像一个风车,代表中 国人民热情好客.
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
1.用不等式或不等式组表示下面的不等关系: (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h(单
位:m)从地面算起不能超过4m； (2)a与b的和是非负实数； (3)如图,在一个面积小于350m2的矩形地基的中
心位置上建造 个仓库,仓库的四周建成绿地, 仓库的长L单位:m)大于宽W(单位:m)的4倍.
与解方程要用等式的性质一样,解不等式 要用不等式的性质.为此,我们需要先研究不等 式的性质。
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
B 问：那么它们有相等的情况吗？
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
D
a2 b2
b
G
F
A
aH E
D
C
A
a
C b E(FGH)
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
如图，设a，b是两个实数,它们在数轴上所对 应的点分别是A，B. 则如何比较a，b的大小?
B
A
b
a
x
A（B）
a （b）
x
A
B
a
b
x
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
关于实数a,b大小的比较，有以下基本事实： 人教A版教材《等式性质与不等式性质》优秀PPT1
如果a-b是正数,那么a>b； 如果a-b等于0, 那么a=b； 如果a-b是负, 那么a<b.反过来也对.
练习
3.已知a b，证明a a b b. 2
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
已知 - 4 x y 1,-2 x y 3， 求2x y的取值范围.
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
D
a2 b2
b
G
F
A
aHE
1、正方形ABCD的面积
S=＿a＿2 ＿b＿2
２、四个直角三角形的
面积和S’ =＿2a__bFra bibliotek.C３、S与S’有什么样的 关系？ S > S′
a2 b2 2ab
2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人 教A版（ 2019） 高中数 学必修 第一册 课件（ 共19张 PPT）
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_________.
40
(2)某品牌酸奶的质量检查规定,酸奶中脂肪的含量f应不 少于2.5%,蛋白质的含量p应不少于2.3%;
问题1 (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差小于 第三边，设三角形的三边分别为a，b，c，则有 _________.
(4)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中, 垂线段最短 .
这个基本事实可以表示为 a b a b 0 a b ab0 ab ab0
从上述基本事实可知：
要比较两个实数的大小,可以转化为比较 它们的差与0的大小.（作差法）
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
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比较(x+2)(x+3)和(x+1)(x+4)的大小 解:因为 (x+2)(x+3)(x+1)(x+4)
练习
已知1 a b 2,2 a b 4, 求4a - 2b的取值范围.
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复习回顾
不等式: 用不等号表示不等关系的式子。
文字语言
大于、 高于、 超过、 多于
小于、 低于、 少于
大于等于、 小于等于、
至少、
至多、
不低于 不多于、
不超过
> 符号语言
<
≥≤
问题1
你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗?
(1)右图是限速40km/h的路标，指示司机在前方路段行驶
时，应使汽车的速度v不超过40km/h ，写成不等式是：
思考： 你能在这个图中找出些相等关系和不 等关系吗?
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探究１： 2人.1教等A式 版性 教质 材《与等不式等性式质性与质不第等一式课性时-质【》新优教秀材P】 PT1人教A版（2019）高中数学必修第一册课件（共19张PPT）
比较下列两组数的大小，并说明理由。
（1） 7 10与 3 14； （2）当x 1时，x3与x2 x 1.
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=(x2+5x+6)-(x2+5x+4) =2 >0 所以 (x+2)(x+3)>(x+1)(x+4)
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
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练习
1.比较(x+3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小.
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
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问题2
某种杂志原以每本2.5元的价格销售,可以 售出8万本.据市场调查,杂志的单价每提高0.1 元,销售量就可能减少2000本.如何定价才能使 提价后的销售总收入不低于20万元?
人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
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a2 b2 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
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适用范围： a,b∈R
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人教A版教材《等式性质与不等式性质 》优秀 PPT1
如图是在北京召开的第24届国际数 学家大会的会标,会标是根据中国古 代数学家赵爽的弦图设计的,颜色的 明暗使它看上去像一个风车,代表中 国人民热情好客.
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