2017届人教A版 导数与函数的综合问题 课时跟踪检测
20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测(二) 导数的几何意义 Word版含解析
课时跟踪检测（二） 导数的几何意义层级一 学业水平达标1．下面说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f ′(x 0)有可能存在解析：选C f ′(x 0)的几何意义是曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率，当切线垂直于x 轴时，切线的斜率不存在，但存在切线．2．曲线f (x )＝－2x在点M (1，－2)处的切线方程为( ) A ．y ＝－2x ＋4B ．y ＝－2x －4C ．y ＝2x －4D ．y ＝2x ＋4解析：选C Δy Δx ＝－21＋Δx ＋2Δx ＝21＋Δx，所以当Δx →0时，f ′(1)＝2，即k ＝2.所以直线方程为y ＋2＝2(x －1)．即y ＝2x －4.故选C.3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1B.π4C.5π4 D ．－π4解析：选B ∵y ′＝li m Δx →0⎣⎡⎦⎤13(x ＋Δx )3－2－⎝⎛⎭⎫13x 3－2Δx＝li m Δx →0 ⎣⎡⎦⎤x 2＋x Δx ＋13(Δx )2＝x 2， ∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1.∴切线的倾斜角为π4，故应选B. 4．曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1B.12 C ．－12 D ．－1解析：选A ∵y ′|x ＝1＝li m Δx →0 a (1＋Δx )2－a ×12Δx＝li m Δx →0 2a Δx ＋a (Δx )2Δx＝li m Δx →0 (2a ＋a Δx )＝2a ， ∴2a ＝2，∴a ＝1.5．过正弦曲线y ＝sin x 上的点⎝⎛⎭⎫π2，1的切线与y ＝sin x 的图象的交点个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：选D 由题意，y ＝f (x )＝sin x ，则f ′⎝⎛⎭⎫π2＝li m Δx →0 sin ⎝⎛⎭⎫π2＋Δx －sin π2Δx＝li m Δx →0 cos Δx －1Δx. 当Δx →0时，cos Δx →1，∴f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.∴曲线y ＝sin x 的切线方程为y ＝1，且与y ＝sin x 的图象有无数个交点．6．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.解析：由导数的几何意义得f ′(1)＝12，由点M 在切线上得f (1)＝12×1＋2＝52，所以f (1)＋f ′(1)＝3.答案：37．已知曲线f (x )＝x ，g (x )＝1x过两曲线交点作两条曲线的切线，则曲线f (x )在交点处的切线方程为____________________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x y ＝1x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1， ∴两曲线的交点坐标为(1,1)．由f (x )＝x ，得f ′(x )＝li m △x →0 1＋Δx －1Δx ＝li m Δx →0 11＋Δx ＋1＝12， ∴y ＝f (x )在点(1,1)处的切线方程为y －1＝12(x －1)． 即x －2y ＋1＝0，答案：x －2y ＋1＝08．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．解析：设f (x )＝y ＝x 2－3x ，切点坐标为(x 0，y 0)，f ′(x 0)＝li m Δx →0(x 0＋Δx )2－3(x 0＋Δx )－x 20＋3x 0Δx＝li m Δx →0 2x 0Δx －3Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0－3＝1，故x 0＝2， y 0＝x 20－3x 0＝4－6＝－2，故切点坐标为(2，－2)．答案：(2，－2)9．已知抛物线y ＝x 2，直线x －y －2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．解：根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则y ′|x ＝x 0＝li m Δx →0 (x 0＋Δx )2－x 20Δx＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14， 切点到直线x －y －2＝0的距离d ＝12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 10．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：y ＝x 3－2x 2＋3相切，求a 的值及切点的坐标． 解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵Δy Δx ＝(x 0＋Δx )3－2(x 0＋Δx )2＋3－(x 30－2x 20＋3)Δx＝(Δx )2＋(3x 0－2)Δx ＋3x 20－4x 0.∴当Δx →0时，Δy Δx→3x 20－4x 0，即f ′(x 0)＝3x 20－4x 0， 由导数的几何意义，得3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2. ∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫－23，4927或(2,3)， 当切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927时， 有4927＝4×⎝⎛⎭⎫－23＋a ，∴a ＝12127， 当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，∴a ＝－5，当a ＝12127时，切点为⎝⎛⎭⎫－23，4927； a ＝－5时，切点为(2,3)．层级二 应试能力达标1.已知y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )A ．f ′(x A )>f ′(xB )B ．f ′(x A )<f ′(x B )C ．f ′(x A )＝f ′(x B )D ．不能确定解析：选B 由图可知，曲线在点A 处的切线的斜率比曲线在点B 处的切线的斜率小，结合导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )，选B.2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则点A 处的切线斜率等于( )A ．0B ．2C ．4D ．6解析：选D Δy ＝2(1＋Δx )3－2×13＝6Δx ＋6(Δx )2＋2(Δx )3，li m Δx →0Δy Δx ＝li m Δx →0 [2(Δx )2＋6Δx ＋6]＝6，故选D.3．设f (x )存在导函数，且满足li m Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx ＝－1，则曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－2 解析：选B li m Δx →0f (1)－f (1－2Δx )2Δx ＝li m Δx →0f (1－2Δx )－f (1)－2Δx ＝f ′(x )＝－1. 4．已知直线ax －by －2＝0与曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线互相垂直，则a b为( ) A.13B.23 C ．－23 D ．－13解析：选D 由导数的定义可得y ′＝3x 2，∴y ＝x 3在点P (1,1)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝1＝3，由条件知，3×a b ＝－1，∴a b ＝－13. 5.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝______. 解析：由导数的概念和几何意义知，li m Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝f ′(1)＝k AB ＝0－42－0＝－2. 答案：－26．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的导数为f ′(x )，f ′(0)>0，对于任意实数x ，有f (x )≥0，则f (1)f ′(0)的最小值为________． 解析：由导数的定义，得f ′(0)＝li m Δx →0 f (Δx )－f (0)Δx＝li m Δx →0 a (Δx )2＋b Δx ＋c －c Δx＝li m Δx →0 (a ·Δx ＋b )＝b . 又因为对于任意实数x ，有f (x )≥0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝b 2－4ac ≤0，a >0，所以ac ≥b 24，所以c >0. 所以f (1)f ′(0)＝a ＋b ＋c b ≥b ＋2ac b ≥2b b ＝2. 答案：27．已知函数f (x )＝ax 2＋1(a ＞0)，g (x )＝x 3＋bx ，若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在它们的交点(1，c )处具有公共切线，求a ，b 的值．解：∵f ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 a (x ＋Δx )2＋1－(ax 2＋1)Δx＝2ax ， ∴f ′(1)＝2a ，即切线斜率k 1＝2a .∵g ′(x )＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0 (x ＋Δx )3＋b (x ＋Δx )－(x 3＋bx )Δx＝3x 2＋b ，∴g ′(1)＝3＋b ，即切线斜率k 2＝3＋b .∵在交点(1，c )处有公共切线，∴2a ＝3＋b .又∵a ＋1＝1＋b ，即a ＝b ，故可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3.8．已知曲线y ＝x 2＋1，是否存在实数a ，使得经过点(1，a )能够作出该曲线的两条切线？若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：∵Δy Δx ＝(x ＋Δx )2＋1－x 2－1Δx＝2x ＋Δx ， ∴y ′＝li m Δx →0 Δy Δx ＝li m Δx →0(2x ＋Δx )＝2x . 设切点为P (x 0，y 0)，则切线的斜率为k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0，由点斜式可得所求切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)．又∵切线过点(1，a)，且y0＝x20＋1，∴a－(x20＋1)＝2x0(1－x0)，即x20－2x0＋a－1＝0.∵切线有两条，∴Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)能够作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，2)．。
课时跟踪检测17
课时跟踪检测(十七) 导数的综合应用[高考基础题型得分练]1．函数f (x )的图象如图所示，下列数值排序正确的是( )A ．0<f ′(2)<f ′(3)<f (3)－f (2)B ．0<f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)C ．0<f ′(3)<f ′(2)<f (3)－f (2)D ．0<f (3)－f (2)<f ′(2)<f ′(3)答案：B解析：f ′(2)，f ′(3)是x 分别为2,3时对应图象上点的切线斜率，f (3)－f (2)＝f (3)－f (2)3－2，∴f (3)－f (2)是图象上x 为2和3对应两点连线的斜率，故选B.2．若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－1，＋∞)答案：D解析：∵2x (x －a )＜1，∴a ＞x －12x . 令f (x )＝x －12x ，∴f ′(x )＝1＋2－x ln 2＞0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴f (x )＞f (0)＝0－1＝－1，∴a 的取值范围为(－1，＋∞)．3．做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为( )A ．3B ．4C ．6D ．5答案：A解析：设圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则V ＝πR 2l ＝27π，∴l ＝27R 2，要使用料最省，只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S 最小．由题意，S ＝πR 2＋2πRl ＝πR 2＋2π·27R .∴S ′＝2πR －54πR 2，令S ′＝0，得R ＝3，则当R ＝3时，S 最小．故选A.4．若0＜x 1＜x 2＜1，则( )答案：C解析：5．[2018·江西赣州模拟]函数y＝x2e x的图象大致为()答案：A解析：因为y′＝2x e x＋x2e x＝x(x＋2)e x，所以当x<－2或x>0时，y′>0，函数y＝x2e x为增函数；当－2<x<0时，y′<0，函数y＝x2e x 为减函数，排除B，C，又y＝x2e x>0，所以排除D，故选A.6．[2017·广东韶关六校高三10月联考]对于三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导数，f″(x)是f′(x)的导数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g (x )＝2x 3－3x 2＋12，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＝( ) A ．100 B ．50 C.992 D ．0答案：D解析：依题意，得g ′(x )＝6x 2－6x ，g ″(x )＝12x －6，令g ″(x )＝0得x ＝12，因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 所以函数g (x )的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0， 则g (1－x )＋g (x )＝0.因为1100＋99100＝2100＋98100＝…＝49100＋51100＝50100×2＝1，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1100＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫2100＋…＋g ⎝ ⎛⎭⎪⎫99100＝0. 故选D.7．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高的值为________．答案：2 3解析：设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2＋h 24＝9，即a 2＝9－h 24，正六棱柱的体积V ＝⎝⎛⎭⎪⎫6×34a 2×h ＝332×⎝ ⎛⎭⎪⎫9－h 24×h ＝332×⎝ ⎛⎭⎪⎫－h 34＋9h .令y ＝－h 34＋9h ，则y ′＝－3h 24＋9，令y ′＝0，得h ＝2 3.易知当h ＝23时，正六棱柱的体积最大．8．已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.答案：－2或2解析：设f (x )＝x 3－3x ＋c ，对f (x )求导可得，f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0，可得x ＝±1，易知f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，若f (1)＝1－3＋c ＝0，可得c ＝2；若f (－1)＝－1＋3＋c ＝0，可得c ＝－2.9．设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时，t 的值为________． 答案：22解析：当x ＝t 时，f (t )＝t 2，g (t )＝ln t ，∴y ＝|MN |＝t 2－ln t (t ＞0)．∴y ′＝2t －1t ＝2t 2－1t ＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫t －22t .当0＜t ＜22时，y ′＜0；当t ＞22时，y ′＞0.∴y ＝|MN |＝t 2－ln t 在t ＝22时有最小值．10．已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋2，曲线 y ＝f (x )在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为－2.(1)求a 的值；(2)证明：当k <1时，曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．(1)解：f ′(x )＝3x 2－6x ＋a ，f ′(0)＝a .曲线y ＝f (x )在点(0,2)处的切线方程为y ＝ax ＋2.由题设得－2a ＝－2，所以a ＝1.(2)证明：由(1)知，f (x )＝x 3－3x 2＋x ＋2.设g (x )＝f (x )－kx ＋2＝x 3－3x 2＋(1－k )x ＋4.由题设知1－k >0.当x ≤0时，g ′(x )＝3x 2－6x ＋1－k >0，g (x )单调递增，g (－1)＝k －1<0，g (0)＝4，所以g (x )＝0在(－∞，0]上有唯一实根．当x >0时，令h (x )＝x 3－3x 2＋4，则g (x )＝h (x )＋(1－k )x >h (x )． h ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，h (x )在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以g (x )>h (x )≥h (2)＝0.所以g (x )＝0在(0，＋∞)上没有实根．综上，g (x )＝0在R 上有唯一实根，即曲线y ＝f (x )与直线y ＝kx －2只有一个交点．[冲刺名校能力提升练]1．已知函数f (x )＝ax ＋a －1x (a ∈R )，g (x )＝ln x .(1)若对任意的实数a ，函数f (x )与g (x )的图象在x ＝x 0处的切线斜率总相等，求x 0的值；(2)若a >0时，对∀x >0，不等式f (x )－g (x )≥1恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a ＋1－a x 2，g ′(x )＝1x .由题意知x 0>0，f ′(x 0)＝g ′(x 0)，即a ＋1－a x 20＝1x 0.所以ax 20－x 0＋1－a ＝0，所以a (x 20－1)＋(1－x 0)＝0.因为上式对任意实数a 恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 20－1＝0，1－x 0＝0，所以x 0＝1. (2)f (x )－g (x )≥1，即ax ＋a －1x －ln x ≥1.记h (x )＝ax ＋a －1x －ln x ，则在(0，＋∞)上h (x )≥1，当a >0时，h ′(x )＝a ＋1－a x 2－1x ＝ax 2－x ＋1－a x 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1－1a (x －1)x 2(x >0)． ①若0<a ≤12，－1＋1a ≥1，x ∈(0,1)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，h (x )<h (1)＝2a －1≤0，这与在(0，＋∞)上h (x )≥1矛盾；②若12<a <1,0<－1＋1a <1，x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，而h (1)＝2a －1<1，这与在(0，＋∞)上h (x )≥1矛盾；③若a ≥1，－1＋1a ≤0，所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )<0，h (x )单调递减，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )>0，h (x )单调递增，所以h (x )min ＝h (1)＝2a －1≥1，即h (x )≥1恒成立．综上所述，实数a 的取值范围是[1，＋∞)．2．[2018·贵州七校联考]函数f (x )＝(ax 2＋x )e x ，其中e 是自然对数的底数，a ∈R .(1)当a ＞0时，解不等式f (x )≤0；(2)当a ＝0时，求整数t 的所有值，使方程f (x )＝x ＋2在[t ，t ＋1]上有解．解：(1)因为e x ＞0，所以不等式f (x )≤0即为ax 2＋x ≤0.又因为a ＞0，所以不等式可化为x ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1a ≤0， 所以不等式f (x )≤0的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1a ，0. (2)当a ＝0时，方程即为x e x ＝x ＋2，由于e x ＞0，所以x ＝0不是方程的解，所以原方程等价于e x－2x －1＝0. 令h (x )＝e x －2x －1，因为h ′(x )＝e x ＋2x 2＞0对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)恒成立，所以h (x )在(－∞，0)和(0，＋∞)上是单调递增函数，又h (1)＝e －3＜0，h (2)＝e 2－2＞0，h (－3)＝e －3－13＜0，h (－2)＝e －2＞0，所以方程f (x )＝x ＋2有且只有两个实数根，且分别在区间[1,2]和[－3，－2]上，所以整数t 的所有值为{－3,1}．3．某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l .如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5千米．以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy .假设曲线C 符合函数y ＝a x 2＋b(其中a ，b 为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于点P ，P 的横坐标为t .①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．解：(1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y ＝a x 2＋b ，得⎩⎨⎧ a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0. (2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)，则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2. 设在点P 处的切线l 交x 轴、y 轴分别于A ，B 两点，y ′＝－2 000x 3，则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22 ＝32 t 2＋4×106t 4，t ∈[5,20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，则g ′(t )＝2t －16×106t 5.令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数；当t ∈(102，20)时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数．从而，当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300，此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．。
(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册 全册综合测试卷三(附答案)
（人教版A 版2017课标）高中数学必修第一册 全册综合测试卷三（附答案）第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（ ）A .AB =B .A B ⊆C .B A ⊆D .A B =∅∩2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（ ）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，则()2f 的值等于（ ）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x 的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（ ）A .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()01x f x +=定义域为M ，则M =R ð（ ）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭， D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（ ）A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪， D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（ ）A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（ ） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ð；（2）若()U A B B =∩ð，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年. （1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C .2.【答案】B【解析】Q 集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，. 3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩Q ，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x Q 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1ð.故选C . 8.【答案】C【解析】Q 对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x Q 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x Q 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-=Q ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+=Q ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤.11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =--Q ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B . 12.【答案】D【解析】()4y f x =+Q 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56Q ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D . 二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =-Q ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意.14.【答案】()()2131x x -+≥【解析】由题设1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥. 15.【答案】[]19，【解析】Q函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++≥恒成立. 当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，≤，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪， 【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f =Q ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称. 又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭Q ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x =Q ≤≤，{}|13U A xx x ∴=＜或＞ð，(){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ð.（2）若()U A B B =∩ð，则U B A ⊆ð. ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -=Q ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤，1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜ （2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x Q 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--≤或222k--≥，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜， 得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=-Q ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x Q 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==， 所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =，所以()()225210f x x x x x =-=-.（2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =， 当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减，所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-；当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增，所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.综上所述，()()2min521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤，，＞（3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜＜，即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.第二章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列等式一定正确的是（ ） A .()lg lg lg xy x y =+B .222m n m n ++=C .222m n m n +⋅=D .2ln 2ln x x =2.若函数()12122m y m m x -=+-是幂函数，则m =（ ）A .1B .3-C .3-或1D .23.下列函数既是增函数，图像又关于原点对称的是（ ） A .y x x =B .x y e =C .1y x=-D .2log y x =4.函数()ln 3y x =- ）A .[)23，B .[)2+∞，C .()3-∞，D .()23，5.下列各函数中，值域为()0∞，+的是（ ） A .22xy -= B.y C .21y x x =++D .113x y +=6.已知()x f x a =，()()log 01a g x x a a =＞，且≠，若()()330f g ＜，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图像可能是（ ）ABCD7.已知0.2log 2.1a =， 2.10.2b =，0.22.1c =则（ ） A .c b a ＜＜B .c a b ＜＜C .a b c ＜＜D .a c b ＜＜8.已知()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A .()2-∞，B .138⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C .()02，D .1328⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 9.已知函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()2x f x e x =+，则()ln 2f -=（ ） A .12ln 22- B .12ln 22+ C .22ln2-D .22ln2+10.已知函数()()()x xf x x e ae x -=+∈R ，若()f x 是偶函数，记a m =；若()f x 是奇函数，记a n =.则2m n +的值为（ ） A .0B .1C .2D .1-11.已知实数a ，b 满足等式20172018a b =，则下列关系式不可能成立的是（ ） A .0a b ＜＜ B .0a b ＜＜ C .0b a ＜＜D .a b =12.已知函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=⎨⎪⎩，≤，，＞，其中01m ＜＜，若存在实数a ，使得关于x 的方程()f x a =恰有三个互异的实数解，则实数m 的取值范围是（ ）A .104⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .102⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .114⎛⎫ ⎪⎝⎭，D .112⎛⎫ ⎪⎝⎭， 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.满足31164x -⎛⎫⎪⎝⎭＞的x 的取值范围是________.14.若函数()212log 35y x ax =-+在[)1-+∞，上是减函数，则实数a 的取值范围是________.15.如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C分别在函数y x =，12y x =，xy =⎝⎭的图像上，且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.16.定义新运算⊗：当m n ≥时，m n m ⊗=；当m n ＜时，m n n ⊗=.设函数()()()2221log 2xx f x x ⎡⎤⊗-⊗⋅⎣⎦，则函数()f x 在()02，上的值域为________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）计算下列各式的值： （1）7015log 243210.06470.250.58--⎛⎫--++⨯ ⎪⎝⎭；（2）()2235lg5lg2lg5lg20log 25log 4log 9+⨯++⨯⨯.18.（本小题满分12分）已知定义域为R 的单调函数()f x 是奇函数，当0x ＞时，()23x xf x =-. （1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t t f t k -+-＜恒成立，求实数k 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知实数x 满足9123270x x -⋅+≤，函数()2log 2xf x =⋅. （1）求实数x 的取值范围；（2）求函数()f x 的最值，并求此时x 的值.20.（本小题满分12分）已知函数()x f x a =，()2x g x a m =+，其中0m ＞，0a ＞且1a ≠.当[]11x ∈-，时，()y f x =的最大值与最小值之和为52. （1）求a 的值；（2）若1a ＞，记函数()()()2h x g x mf x =-，求当[]0x ∈，1时，()h x 的最小值()H m .21.（本小题满分12分）以德国数学家狄利克雷（l805-1859）命名的狄利克雷函数定义如下：对任意的x ∈R ，()10.x D x x ⎧=⎨⎩，为有理数，，为无理数研究这个函数，并回答如下问题：（1）写出函数()D x 的值域；（2）讨论函数()D x 的奇偶性；（3）若()()()212xx D x x f x D x x ⎧-⎪=⎨⎪⎩+，为有理数，+，为无理数，，求()f x 的值域.22.（本小题满分12分）若函数()f x 满足()()21log 011a a f x x a a a x ⎛⎫=⋅- ⎪-⎝⎭＞，且≠. （1）求函数()f x 的解析式，并判断其奇偶性和单调性；（2）当()2x ∈-∞，时，()4f x -的值恒为负数，求a 的取值范围.第二章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】对于A ，D ，若x ，y 为非正数，则不正确；对于B ，C ，根据指数幂的运算性质知C 正确，B 错误.故选C . 2.【答案】B【解析】因为函数()12122m y m n x -=+-是幂函数，所以22211m m m +-=且≠，解得3m =-. 3.【答案】A【解析】2200x x y x x x x ⎧⎪==⎨-⎪⎩，≥，，＜为奇函数且是R 上的增函数，图像关于原点对称；x y e =是R上的增函数，无奇偶性；1y x=-为奇函数且在()0-∞，和()0+∞，上单调递增，图像关于原点对称，但是函数在整个定义域上不是增函数；2log y x =在()0+∞，上为增函数，无奇偶性.故选A . 4.【答案】A【解析】函数()ln 3y x =-x 满足条件30240x x -⎧⎨-⎩＞，≥，解得32x x ⎧⎨⎩＜，≥，即23x ≤＜，所以函数的定义域为[)23，，故选A . 5.【答案】A【解析】对于A，222xxy -⎛== ⎝⎭的值域为()0+∞，；对于B ，因为120x -≥，所以21x ≤，0x ≤，y (]0-∞，，所以021x ＜≤，所以0121x -≤＜，所以y 的值域是[)01，；对于C ，2213124y x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭的值域是34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，；对于D ，因为()()1001x ∈-∞+∞+，∪，，所以113x y +=的值域是()()011+∞，∪，. 6.【答案】C【解析】由指数函数和对数函数的单调性知，函数()x f x a =与()()log 01a g x x a a =＞，且≠在()0+∞，上的单调性相同，可排除B ，D .再由关系式()()330f g ⋅＜可排除A ，故选C . 7.【答案】C【解析】 2.100.200.20.2log 2.1log 1000.20.21 2.1 2.1 1.a b c a b c ======∴Q ＜，＜＜，＞＜＜.故选C . 8.【答案】B【解析】由题意得，函数()()221122x a x x f x x ⎧-⎪=⎨⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎩，≥，，＜是R 上的减函数，则()2201122,2a a -⎧⎪⎨⎛⎫--⨯⎪⎪⎝⎭⎩＜，≥解得138a ≤，故选B .9.【答案】D【解析】Q 函数()y f x =是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2x f x e x =+，()()ln 2ln 2ln 22ln 222ln 2f f e ∴-==+=+.故选D .10.【答案】B【解析】当()f x 是偶函数时，()()f x f x =-，即()()x x x x x e ae x e ae --+=-⋅+，即()()10x x a e e x -++=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =-，即1m =-.当()f x 是奇函数时，()()f x f x =--，即()()x x x xx e ae x e ae --+=+，即()()10x x a e e x ---=.因为上式对任意实数x 都成立，所以1a =，即1n =.所以21m n +=.11.【答案】A【解析】分别画出2017x y =，2018x y =的图像如图所示，实数a ，b 满足等式20172018a b =，由图可得0a b ＞＞或0a b ＜＜或0a b ==，而0a b ＜＜不成立.故选A .12.【答案】A【解析】当01m ＜＜时，函数()221222log x mx m x m f x x x m ⎧-++⎪=≤⎨⎪⎩，≤，，＞，的大致图像如图所示.Q 当x m ≤时，()()2222222f x x mx m x m =-++=-+≥，∴要使得关于x 的方程()f x a =有三个不同的根，则12log 2m ＞.又01m ＜＜，解得104m ＜＜.故选A .二、13.【答案】()1-∞，【解析】由题可得，321144x --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭＞，则32x --＜，解得1x ＜.14.【答案】(]86--，【解析】令()235g x x ax =-+，其图像的对称轴为直线6a x =.依题意，有()1610ag ⎧-⎪⎨⎪-⎩≤，＞，即68.a a -⎧⎨-⎩≤，＞故(]86a ∈--，. 15.【答案】1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】由图像可知，点()2A A x ，在函数y x =的图像上，所以2A x =，2122A x ⎛== ⎝⎭.点()2B B x ，在函数12y x =的图像上，所以122B x =，4B x =.点()4,C C y在函数2x y ⎛= ⎝⎭的图像上，所以4124C y ==⎝⎭.又因为12D A x x ==，14D C y y ==，所以点D 的坐标为1124⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 16.【答案】()112，【解析】根据题意，当22x ≥，即1x ≥时，222x x ⊗=；当22x ＜，即1x ＜时，222x ⊗=.当2log 1x ≤，即02x ＜≤时，21log 1x ⊗=；当21log x ＜，即2x ＞时，221log log x x ⊗=. ()()2220122122log 2 2.x x x x xx f x x x x ⎧⎪⎪∴=-⎨⎪-⋅⎪⎩，＜＜，，≤≤，，＞ ∴①当01x ＜＜时，()2x f x =是增函数，()12f x ∴＜＜； ②当12x ≤＜，()221122224xxx f x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，1222 4.x x ∴Q ≤＜，≤＜()221111242424f x ⎛⎫⎛⎫∴---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≤＜，即()212f x ≤＜.综上，()f x 在()02，上的值域为()112，. 三、17.【答案】解（1）70515log 244321510.06470.250.51224822--⎛⎫⎛⎫--++⨯=-++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()()22352lg52lg 22lg3lg5lg 2lg5lg 20log 25log 4log 9lg5lg5lg 2lg 21lg 2lg3lg5+⨯++⨯⨯=++++⨯⨯11810=++=.18.【答案】解（1）Q 定义域为R 的函数()f x 是奇函数，()00f ∴=.Q 当0x ＜时，0x -＞，()23x xf x --∴-=-. 又Q 函数()f x 是奇函数，()()f x f x ∴-=-，()23x xf x -∴=+. 综上所述，()2030020.3xx x x f x x xx -⎧-⎪⎪==⎨⎪⎪+⎩，＞，，，，＜（2）()()51003f f -==Q ＞，且()f x 为R 上的单调函数，()f x ∴在R 上单调递减.由()()22220f t t f t k -+-＜得()()2222f t t f t k ---＜. ()f x Q 是奇函数，()()2222f t t f k t ∴--＜.又()f x Q 是减函数，2222t t k t ∴--＞， 即2320t t k --＞对任意t ∈R 恒成立，4120k ∴∆=+＜，解得13k -＜，即实数k 的取值范围为13⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，. 19.【答案】解（1）由9123270x x -⋅+≤，得()23123270xx -⋅+≤，即()()33390x x --≤，所以339x ≤≤，所以12x ≤≤，满足02x＞0.所以实数x 的取值范围为[]12，.（2）()()()()2222222231log log 1log 2log 3log 2log 224x f x x x x x x ⎛⎫=⋅=--=-+=-- ⎪⎝⎭.因为12x ≤≤，所以20log 1x ≤≤.所以2log 1x =，即2x =时，()min 0f x =； 当2log 0x =，即1x =时，()max 2f x =.故函数()f x 的最小值为0，此时2x =，最大值为2，此时1x =.20.【答案】解（1）()f x Q 在[]11-，上为单调函数，()f x ∴的最大值与最小值之和为152a a -+=，2a ∴=或12a =. （2）1a Q ＞，2a ∴=.()2222x x h x m m =+-⋅，即()()2222xx h x m m =-⋅+.令2x t =，则()h x 可转化为()22k t t mt m =-+，其图像对称轴为直线t m =. []01x ∈Q ，，[]12t ∴∈，，∴当01m ＜＜时，()()11H m k m ==-+；当12m ≤≤时，()()2H m k m m m ==-+； 当2m ＞时，()()234H m k m ==-+.综上所述，()21011234 2.m m H m m m m m m -+⎧⎪=-+⎨⎪-+⎩，＜＜，，≤≤，，＞21.【答案】解（1）函数()D x 的值域为{}01，.（2）当x 为有理数时，则x -为无理数，则()()1D x D x -==； 当x 为无理数时，则为x -为无理数，则()()0D x D x -==. 故当x ∈R 时，()()D x D x -=，所以函数()D x 为偶函数.（3）由()D x 的定义知，()22xx x f x x ⎧⎪=⎨⎪⎩，为有理数，，为无理数.即当x ∈R 时，()2x f x =.故()f x 的值域为()0+∞，.22.【答案】解（1）令log a x t =，则t x a =，()()21t t af t a a a -∴=--. ()()()21x x af x a a x a -∴=-∈-R .()()()()2211x x x x a af x a a a a f x a a ---=-=--=---Q ，()f x ∴为奇函数.当1a ＞时，xy a =为增函数，xy a -=-为增函数，且2201a a -＞，()f x ∴为增函数.当01a ＜＜时，x y a =为减函数，xy a -=-为减函数，且2201a a -＜，()f x ∴为增函数.()f x ∴在R 上为增函数.（2）()f x Q 是R 上的增函数，()4y f x ∴=-也是R 上的增函数.由2x ＜，得()()2f x f ＜，要使()4f x -在()2-∞，上恒为负数，只需()240f -≤，即()22241a a a a ---≤. 422141a a a a-∴⋅-≤，214a a ∴+≤，2410a a ∴-+≤，22a ∴≤.又1a Q ≠，a ∴的取值范围为)(21,2⎡⎣.第三章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某同学用二分法求方程338=0x x +-在()12x ∈，内近似解的过程中，设()=338x f x x +-，且计算()10f ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，则该同学在第二次应计算的函数值为（ ） A .()0.5fB .()1.125fC .()1.25fD .()1.75f2.函数()22=log f x x x +的零点所在的区间为（ ）A .1142⎛⎫ ⎪⎝⎭，B .112⎛⎫ ⎪⎝⎭，C .(D .)3.有一组实验数据如表所示：下列所给函数模型较适合的是（ ） A .()=log 1a y x a ＞B .()=1y ax b a +＞C .()2=0y ax b a +＞D .()=log 1a y x b a +＞4.根据表中的数据，可以判定方程x 的一个根所在的区间为（ ）A .()10-，B .()01，C .()12，D .()23，5.某家具的标价为132元，若降价以九折出售（即优惠10％），仍可获利10％（相对进货价），则该家具的进货价是（ ） A .108元B .105元C .106元D .118元6.有一个盛水的容器，由悬在它上空的一根水管匀速向容器内注水，直至把容器注满.在注水过程中，时刻t 与水面高度y 的函数关系如图所示，图中PQ 为一线段，则与之对应的容器的形状是图中的（ ）AB CD7.已知()()()=2f x x a x b ---，并且α，β是函数()f x 的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是（ ）A .a b αβ＜＜＜B .a b αβ＜＜＜C .a b αβ＜＜＜D .a b αβ＜＜＜8.函数()2230=2ln 0x x x f x x x ⎧+-⎨-+⎩，≤，，＞的零点个数为（ ）A .0B .1C .2D .39.已知函数()231=24log f x x x x-+++，若()113x ∈，，()23x ∈+∞，，则（ ） A.()10f x ＞，()20f x ＜ B.()10f x ＜，()20f x ＞ C.()10f x ＜，()20f x ＜D.()10f x ＞，()20f x ＞10.如图所示，ABC △为等腰直角三角形，直线l 与AB 相交且l AB ⊥，直线l 截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y ，点A 到直线l 的距离为x ，则()=y f x 的图像大致为四个选项中的（ ）AB CD11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元（t 为正常数）.公司决定从原有员工中分流()0100x x ＜＜人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x ％.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是（ ）A .15 B .16 C .17 D .18 12.已知函数()2=e x xf x --（e 为自然对数的底数），则方程()21=0f x -的实数根的个数为（ ） A .1B .2C .3D .4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.用二分法求图像连续不断的函数()f x 在区间[]15，上的近似解，验证()()150f f ⋅＜，给定精确度=0.01ε，取区间()15，的中点115==32x +，计算得()()110f f x ⋅＜，()()150f x f ⋅＞，则此时零点0x ∈________.（填区间）14.已知函数()2=log 2x f x x m +-有唯一的零点，若它的零点在区间()12，内，则实数m 的取值范围是________.15.已知关于x 的方程210=x a -有两个不同的实根1x ，2x ，且21=2x x ，则实数=a ________. 16.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3km （不超过3km 按起步价付费）；超过3km 但不超过8km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8km 时，超过部分按每千米2.85元收费.另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶的路程为________km .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的16％进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A 万元，则超出部分按()52log 1A +万元进行奖励.记奖金为y （单位：万元），销售利润为x （单位：万元）.（1）写出该公司激励销售人员的奖励方案的函数模型.（2）如果业务员老张获得5.6万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？18.（本小题满分12分）已知函数()=211f x x x --+. （1）请在所给的平面直角坐标系中画出函数()f x 的图像.（2）根据函数()f x 的图像回答下列问题：（回答下述3个小题都只需直接写出结果，不需给出演算步骤）①求函数()f x 的单调区间；②求函数()f x 的值域；③求关于x 的方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数.19.（本小题满分12分）已知函数()=e 1x f x -，()3=1exg x +.（1）求函数()g x 的值域；（2）求满足方程()()=0f x g x -的x 的值.20.（本小题满分12分）《污水综合排放标准》规定：污水排放企业进排污口的污水pH 值正常范围为[)69，.某化工企业对本单位污水出水口的pH 值进行全天24小时检测，根据统计资料发现pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数图像如图所示，AB ，CD 为两条直线段，曲线BC 为函数y b 图像的一部分，其中()08A ，，()46B ，，()2010C ，，()248D ，.（1）请写出pH 值的大小y 与检测时间点x 之间的函数解析式；（2）试求该化工企业在一天内排放pH 值超标污水的时长.21.（本小题满分12分）已知函数()2=283f x x x m -++为R 上的连续函数.（1）若=4m -，试判断()=0f x 在()11-，上是否有根存在.若没有，请说明理由；若有，请在精确度为0.2（即根所在区间长度小于0.2）的条件下，用二分法求出使这个根0x 存在的区间.（2）若函数()f x 在区间[]11-，上存在零点，求实数m 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知函数()()2=log 421x x f x a a +⋅++，x ∈R . （1）若=1a ，求方程()=3f x 的解集；（2）若方程()=f x x 有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.第三章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】()10f Q ＜，()20f ＞，()1.50f ＞，∴在区间()11.5，内函数()=338x f x x +-存在一个零点，因此在第二次应计算的函数值所对应的x 值为1 1.5=1.252+，故选C . 2.【答案】B【解析】Q 函数()22=log f x x x +在0x ＞时是连续单调递增函数，且()21=1log 1=10f +＞，21113=log =02424f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭＜，()1102ff ⎛⎫∴⋅ ⎪⎝⎭＜.∴函数()22=log f x x x +的零点所的在区间是112⎛⎫ ⎪⎝⎭，. 3.【答案】C【解析】由所给数据可知y 随x 的增大而增大，且增长速度越来越快，而A ，D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C . 4.【答案】C【解析】设()()=2xf x e x -+，则由题设知()1=0.280f -＜，()2=3.390f ＞，故方程2=0x e x --的一个根在区间()12，内.故选C . 5.【答案】A【解析】由题意，132元打9折，售价为()1320.9=118.8⨯元.因为这个价格相对进货价，获利10％，也就是说它是进货价的110％，所以进货价为()110118.8=108÷％元，故选A . 6.【答案】B【解析】由题中函数图像知，水面高度y 上升的速度先是由慢到快，后来速度保持不变，结合容器形状知选B . 7.【答案】C【解析】αQ ，β是函数()f x 的两个零点，()()==0f f αβ∴.又()()==20f a f b -Q ＜，结合二次函数的图像（如图所示）可知a ，b 必在α，β之间.故选C .8.【答案】C【解析】当0x ≤时，令223=0x x +-，得=3x -；当0x ＞时，令2ln =0x -+，得2=e x .所以函数有2个零点.故选C . 9.【答案】A【解析】()()23=15log f x x x --+-Q 在()1+∞，上单调递减，且()3=0f ，()10f x ∴＞，()20f x ＜，故选A .10.【答案】C【解析】设=AB a ，则22221111==2222y a x x a --+，其图像为抛物线的一段，开口向下，顶点在y 轴上方.故选C . 11.【答案】B【解析】由题意，分流前产品A 的年产值为100t 万元，分流x 人后，产品A 的年产值为()()1001 1.2x x t -+％万元.由题意，得()()01001001 1.2100x x x x t t ∈⎧⎪⎨-+⎪⎩N ＜＜，≥，，％解得5003x ＜≤，x ∈N ，所以x 的最大值为16.故选B . 12.【答案】B【解析】由函数()2=ex xf x --，可知方程()21=0f x -，即()1=2f x ，即21e =2x x --，整理可得2=ln2x x ---，即2ln 2=0x x -+或2ln 2=0x x --.在方程2ln 2=0x x -+中，1=14ln 20∆-＜，方程无实数解；在方程2ln 2=0x x --中，2=14ln 20∆+＞，方程有2个不等的实数解.综上可得，方程()21=0f x -的实数根的个数为2.故选B .二、13.【答案】()13，【解析】由()()150f f ⋅＜，()()110f f x ⋅＜及()()150f x f ⋅＞可知()1f 与()1f x 异号，()1f x 与()5f 同号，则()011x x ∈，即()013x ∈，. 14.【答案】()25，【解析】由题意得()f x 在()0+∞，上单调递增，且()()120f f ⋅＜，即()()250m m --＜，解得25m ＜＜. 15.【答案】6【解析】由210=x a -得2=10x a ±，由题设知12=10x a -，22=10x a +.因为21=2x x ，所以()211222=2=2x x x ，所以()210=10a a -+，解得=15a 或=6a .因为100a -＞，所以=15a 不合题意，舍去，所以=6a . 16.【答案】9【解析】设乘客每次乘坐出租车需付费用为()f x 元，则由题意得()(]()(]()()8103=93 2.153895 2.158 2.858.x f x x x x x ⎧+∈⎪+-∈⎨⎪++-∈+∞⎩⨯⨯⨯，，，，，，，，令()=22.6f x ，显然()()95 2.158 2.85=22.68x x ⨯⨯++-＞，解得=9x . 三、17.【答案】（1）由题意得()50.16010=1.62log 910.x x y x x ⎧⎪⎨+-⎪⎩，＜≤，，＞（2）由(]010x ∈，，0.16 1.6x ≤，而=5.6y 可知，10x ＞. ()51.62log 9=5.6x ∴+-，解得=34x .∴老张的销售利润是34万元.18.【答案】（1）当10x -≥，即1x ≥时，()()=211=1f x x x x --+-； 当10x -＜，即1x ＜时，()()=211=33f x x x x --+-.()f x 的图像如图所示.（2）①函数()f x 的单调递增区间为[)1+∞，； 函数()f x 的单调递减区间为(]1-∞，. ②函数()f x 的值域为[)0+∞，. ③方程()=2f x 在区间[]02，上解的个数为1. 19.【答案】（1）()31=1=31e e x x g x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，e 1x≥，所以101e x⎛⎫ ⎪⎝⎭＜≤，1033e x⎛⎫⎪⎝⎭＜≤，即()14g x ＜≤，故()g x 的值域是(]14，. （2）由()()=0f x g x -，得3e 2=0ex x--.当0x ≤时，方程无解； 当0x ＞时，3e 2=0ex x--，整理得()2e 2e 3=0x x --， 即()()e 1e 3=0x x+-.因为e 0x ＞，所以e =3x ，即=ln3x . 故满足方程()()=0f x g x -的x 的值为ln3.20.【答案】（1）()08A Q ，，()46B ，，∴线段AB 的方程是()1=8042y x x -+≤≤.将()46B ，，()2010C ，的坐标代入y b ，得b b ⎧⎪⎨⎪⎩，，解得=4=6.a b -⎧⎨⎩，故()6420y x +≤≤.()2010C Q ，，()248D ，，∴线段CD 的方程是()1=2020242y x x -+≤≤.综上，y 与x之间的函数解析式为18042=642012020242.x x y x x x ⎧-+⎪⎪-+⎪⎩，≤≤，，≤≤，，≤≤（2）由()08A ，，()46B ，知在AB 段排放污水的pH 值不超标； 在BC6=9，解得=13x ，故[)1320x ∈，时排放污水的pH 值超标， 时长是()2013=7-小时；在CD 段，令120=92x -+，解得=22x ，故[]2022x ∈，时排放污水的pH 值超标，时长是()2220=2-小时.因此该化工企业在一天内排放pH 值超标污水9小时.21.【答案】（1）当=4m -时，()=0f x ，即()2=281=0f x x x --. 可以求出()1=9f -，()1=7f -，则()()110f f -⋅＜.又()f x 为R 上的连续函数，()=0f x ∴在()11-，上必有根存在.取中点0，计算得()0=10f -＜，()()100f f -⋅＜，∴根()010x ∈-，，取其中点12-，计算得17=022f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞，∴根0102x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点14-，计算得19=048f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0104x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，取其中点18-，计算得11=0832f ⎛⎫- ⎪⎝⎭＞， ∴根0108x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，区间长度11=0.285＜，符合要求.故符合要求的根0x 存在的区间为108⎛⎫- ⎪⎝⎭，.（2）()2=283f x x x m -++为开口向上的抛物线，对称轴为8==222x ⨯--， ∴在区间[]11-，上，函数()f x 单调递减.又()f x 在区间[]11-，上存在零点，只可能()()1010f f ⎧-⎪⎨⎪⎩≥，≤，即 28302830m m +++⎧⎨-++⎩≥，≤，解得133m -≤≤. 故所求实数m 的取值范围是133m -≤≤.22.【答案】（1）当=1a 时，()()2=log 422x xf x ++.由()=3f x ，得3422=2x x ++，所以426=0x x +-，因此()()2322=0x x +-，解得=1x .所以方程()=3f x 的解集为{}1.（2）方程()2log 421=x xa a x +⋅++有两个不同的实数根，即421=2x x x a a +⋅++有两个不同的实数根.设=2x t ，则()211=0t a t a +-++在()0+∞，上有两个不同的解.令()()2=11g t t a t a +-++，由已知可得()()()200102=1410g a a a ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪∆--+⎩＞，＞，＞，解得13a --＜＜故实数a 的取值范围为(13--，.第四章综合测试一、单项选择题1.式子 ）ABC .D .2.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A .(2,3)B .(3,4)C .(1,2)D .(0,1)3.设lg 2a =，lg3b =，则12log 5=（ ） A .12aa b -+ B .12aa b-+ C .12aa b++ D .12aa b++ 4. 已知2log 0.1a =，0.12b =，110.2c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A .a b c ＜＜B .b c a ＜＜C .c a b ＜＜D .a cb ＜＜5.函数1()(0,1)x f x a a a a=-≠＞的图象可能是（ ）A .B .C .D .6.已知函数2,0()21,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，a R ∈，若函数()f x 在R 上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A .(,1)-∞-B .(,1]-∞-C .[1,0)-D .(0,1]7.若()2()lg 21f x x ax a =-++在区间(,1]-∞上单调递减，则a 的取值范围为（ ）A .[1,2)B .[1,2]C .[1,)+∞D .[2,)+∞8.已知函数()|lg |f x x =。
高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 课时跟踪检测17 理 新人教A版
课时跟踪检测(十七)[高考基础题型得分练]1．设f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x >0)，其中a ∈R ，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与y 轴相交于点(0,6)．(1)确定a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)因为f (x )＝a (x －5)2＋6ln x (x ＞0)， 故f ′(x )＝2a (x －5)＋6x.令x ＝1，得f (1)＝16a ，f ′(1)＝6－8a ， 所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －16a ＝(6－8a )(x －1)，由点(0,6)在切线上，可得6－16a ＝8a －6，解得a ＝12.(2)由(1)知，f (x )＝12(x －5)2＋6ln x (x >0)，f ′(x )＝x －5＋6x＝x －x －x.令f ′(x )＝0，解得x 1＝2，x 2＝3. 当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，故f (x )的递增区间是(0,2)，(3，＋∞)；当2＜x ＜3时，f ′(x )＜0，故f (x )的递减区间是(2,3)．由此可知f (x )在x ＝2处取得极大值f (2)＝92＋6ln 2，在x ＝3处取得极小值f (3)＝2＋6ln 3.2．[2017·甘肃兰州模拟]已知函数f (x )＝e x－ax (a ∈R ，e 为自然对数的底数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若a ＝1，函数g (x )＝(x －m )f (x )－e x＋x 2＋x 在(2，＋∞)上为增函数，求实数m 的取值范围．解：(1)函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝e x－a . 当a ≤0时，f ′(x )>0，∴f (x )在R 上为增函数； 当a >0时，由f ′(x )＝0得x ＝ln a ， 则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0， ∴函数f (x )在(－∞，ln a )上为减函数； 当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(ln a ，＋∞)上为增函数．(2)当a ＝1时，g (x )＝(x －m )(e x－x )－e x＋x 2＋x ， ∵g (x )在(2，＋∞)上为增函数，∴g ′(x )＝x e x－m e x＋m ＋1≥0在(2，＋∞)上恒成立， 即m ≤x e x ＋1e x－1在(2，＋∞)上恒成立， 令h (x )＝x e x ＋1e x －1，x ∈(2，＋∞)， h ′(x )＝x2－x e x－2e xx －2＝exx－x －x－2. 令L (x )＝e x－x －2，L ′(x )＝e x－1>0在(2，＋∞)上恒成立， 即L (x )＝e x－x －2在(2，＋∞)上为增函数， 即L (x )>L (2)＝e 2－4>0，∴h ′(x )>0， 即h (x )＝x e x ＋1e x－1在(2，＋∞)上为增函数，∴h (x )>h (2)＝2e 2＋1e 2－1，∴m ≤2e 2＋1e 2－1.∴实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，2e 2＋1e 2－1.3．已知f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x .(1)当a ＝1时，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)当a ＞0时，若f (x )在区间[1，e]上最小值为－2，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－3x ＋ln x ，f ′(x )＝2x －3＋1x.因为f ′(1)＝0，f (1)＝－2，所以曲线y ＝f (x )在点(1，－2)处的切线方程是y ＝－2. (2)函数f (x )＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x 的定义域是(0，＋∞)． 当a ＞0时，f ′(x )＝2ax －(a ＋2)＋1x＝2ax 2－a ＋x ＋1x，令f ′(x )＝2ax 2－a ＋x ＋1x＝x －ax －x＝0，∴x ＝12或x ＝1a.当0＜1a≤1，即a ≥1时，f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )在[1，e]上的最小值是f (1)＝－2；当1＜1a＜e 时，f (x )在[1，e]上的最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＜f (1)＝－2，不合题意；当1a≥e 时，f (x )在[1，e]上单调递减，此时f (x )在[1，e]上的最小值f (e)＜f (1)＝－2，不合题意．综上，实数a 的取值范围为[1，＋∞)． 4．已知函数f (x )＝e x－ln(x ＋m )．(1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明：f (x )＞0. (1)解：f ′(x )＝e x－1x ＋m，由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x－ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f ′(x )＝e x－1x ＋1. 函数f ′(x )＝e x－1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )＜0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )＞0.所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )＞0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x－1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增． 又f ′(－1)＜0，f ′(0)＞0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )＜0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )＞0. 故当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝x 0＋2x 0＋2＞0.综上，当m ≤2时，f (x )＞0.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·吉林省实验中学二模]已知函数f (x )＝mx ＋ln x ，其中m 为常数，e 为自然对数的底数．(1)当m ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求m 的值． 解：(1)当m ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ，定义域为(0，＋∞)． 求导得f ′(x )＝－1＋1x，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.由表可知f (x )(2)求导得f ′(x )＝m ＋1x.①当m ≥0时，f ′(x )>0恒成立，此时f (x )在(0，e]上单调递增，最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3，解得m ＝－4e，不符合要求；②当m <0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－1m，若－1m≥e，此时f ′(x )≥0在(0，e]上恒成立，此时f (x )＝在(0，e]上单调递增， 最大值为f (e)＝m e ＋1＝－3， 解得m ＝－4e，不符合要求；若－1m<e ，此时f ′(x )>0在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，－1m 上成立，f ′(x )<0在⎝ ⎛⎦⎥⎤－1m ，e 上成立，此时f (x )在(0，e]上先增后减，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ＝－3，解得m ＝－e 2，符合要求．综上可知，m 的值为－e 2.2．[2017·河南郑州模拟]已知函数f (x )＝ax －1＋ln x ，其中a 为常数． (1)当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－4，求a 的值； (2)当a ＝－1e 时，若函数g (x )＝|f (x )|－ln x x －b2存在零点，求实数b 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝a ＋1x ，令f ′(x )＝0得x ＝－1a，因为a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1e ，所以0<－1a <e ， 由f ′(x )>0得，0<x <－1a；由f ′(x )<0得，－1a<x <e.从而f (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a ，减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，e ，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1－1＋ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－4，解得a ＝－e 2.(2)函数g (x )＝|f (x )|－ln x x －b 2存在零点，即方程|f (x )|＝ln x x ＋b2有实数根，由已知，函数f (x )的定义域为{x |x >0}， 当a ＝－1e 时，f (x )＝－xe －1＋ln x ，所以f ′(x )＝－1e ＋1x ＝－x －ee x，当0<x <e 时，f ′(x )>0；当x >e 时，f ′(x )<0. 所以f (x )的增区间为(0，e)，减区间为(e ，＋∞)， 所以f (x )max ＝f (e)＝－1，所以|f (x )|≥1. 令h (x )＝ln x x ＋b 2，则h ′(x )＝1－ln xx 2.当0<x <e 时，h ′(x )>0；当x >e 时，h ′(x )<0.从而h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 所以h (x )max ＝h (e)＝1e ＋b2，要使方程|f (x )|＝ln x x ＋b2有实数根，只需h (x )max ≥1即可，故b ≥2－2e.即所求实数b 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2－2e ，＋∞. 3．[2017·山东青州高三10月段测]函数f (x )＝a ln x ＋a ＋12x 2＋1.(1)当a ＝－12时，求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)当－1<a <0时，有f (x )>1＋a2ln(－a )恒成立，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－12时，f (x )＝－12ln x ＋x24＋1，∴f ′(x )＝－12x ＋x 2＝x 2－12x .∵f (x )的定义域为(0，＋∞)， ∴由f ′(x )＝0，得x ＝1，∴f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上的最值只可能在f (1)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，f (e)取到，而f (1)＝54，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝32＋14e 2，f (e)＝12＋e24，f (x )max ＝f (e)＝12＋e 24，f (x )min ＝f (1)＝54.(2)f ′(x )＝a ＋x 2＋ax，x ∈(0，＋∞)．①当a ＋1≤0，即a ≤－1时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减； ②当a ≥0时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增； ③当－1<a <0时，由f ′(x )>0得x 2>－aa ＋1， ∴x >－aa ＋1或x <－－aa ＋1(舍去)， ∴f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－a a ＋1，＋∞上递增，在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a a ＋1上递减； 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上递增； 当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫－a a ＋1，＋∞上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a a ＋1上递减； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上递减． (3)由(2)知，当－1<a <0时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋1， 即原不等式等价于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋1>1＋a 2ln(－a )， 即a ln－a a ＋1＋a ＋12·－a a ＋1＋1>1＋a2ln(－a )，整理得ln(a ＋1)>－1，∴a >1e－1，又∵－1<a <0，∴a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －1，0. 4．[2017·山东烟台模拟]已知函数f (x )＝x 2－ax ，g (x )＝ln x ，h (x )＝f (x )＋g (x )．(1)若函数y ＝h (x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，求实数a 的值； (2)若f (x )≥g (x )对于定义区域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围；(3)设函数y ＝h (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，若h (x 1)－h (x 2)>m 恒成立，求实数m 的最大值．解：(1)由题意可知，h (x )＝x 2－ax ＋ln x (x >0)， 则h ′(x )＝2x 2－ax ＋1x(x >0)，若h (x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则h ′(1)＝h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，解得a ＝3，而当a ＝3时，h ′(x )＝2x 2－3x ＋1x＝x －x －x(x >0)．由h ′(x )<0，解得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，即h (x )的单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，所以a ＝3. (2)由题意知x 2－ax ≥ln x (x >0)， ∴a ≤x －ln xx(x >0)．令φ(x )＝x －ln x x (x >0)，则φ′(x )＝x 2＋ln x －1x2， ∵y ＝x 2＋ln x －1在(0，＋∞)上是增函数，且x ＝1时，y ＝0. ∴当x ∈(0,1)时，φ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )>0.即φ(x )在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数， ∴φ(x )min ＝φ(1)＝1，故a ≤1. 即实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)由题意可知，h (x )＝x 2－ax ＋ln x (x >0)， 则h ′(x )＝2x 2－ax ＋1x(x >0)．可得方程2x 2－ax ＋1＝0(x >0)有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，∵x 1x 2＝12，∴x 2＝12x 1∈(1，＋∞)，且ax 1＝2x 21＋1，ax 2＝2x 22＋1，h (x 1)－h (x 2)＝(x 21－ax 1＋ln x 1)－(x 22－ax 2＋ln x 2)＝[x 21－(2x 21＋1)＋ln x 1]－[x 22－(2x 22＋1)＋ln x 2]＝x 22－x 21＋ln x 1x 2＝x 22－14x 22－ln(2x 22)(x 2>1)．设L (x )＝x 2－14x 2－ln(2x 2)(x >1)，则L ′(x )＝x 2－22x3>0(x >1)，∴L (x )在(1，＋∞)上是增函数，L (x )>L (1)＝34－ln 2，即h (x 1)－h (x 2)>34－ln 2，∴m ≤34－ln 2.即m 的最大值为34－ln 2.。
20172018学年高中数学人教A版选修22：课时跟踪检测(五) 函数单调性与导数 Word版含解析
课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数层级一 学业水平达标1．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．y ＝sin xB ．y ＝x e xC ．y ＝x 3－xD ．y ＝ln x －x解析：选B B 中，y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ＝e x (x ＋1)＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴y ＝x e x 在(0，＋∞)上为增函数．对于A 、C 、D 都存在x ＞0，使y ′＜0的情况．2．若函数y ＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫13，＋∞B.⎝⎛⎦⎤－∞，13C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞D.⎝⎛⎭⎫－∞，13 解析：选C y ′＝3x 2＋2x ＋m ，由条件知y ′≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4－12m ≤0，∴m ≥13. 3．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( )A ．(－∞，－1)和(0,1)B ．[－1,0]和[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)解析：选A y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调递减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A.4．函数y ＝x ln x 在(0,5)上的单调性是( )A ．单调递增B ．单调递减C ．在⎝⎛⎭⎫0， 1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ， 5上单调递增 D ．在⎝⎛⎭⎫0， 1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1e ， 5上单调递减 解析：选C 由已知得函数的定义域为(0，＋∞)．∵y ′＝ln x ＋1，令y ′＞0，得x ＞1e. 令y ′＜0，得x ＜1e. ∴函数 y ＝x ln x 在⎝⎛⎭⎫0， 1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ， 5上单调递增． 5．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1) 解析：选A y ′＝a (3x 2－1)＝3a ⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33. 当－33＜x ＜33时，⎝⎛⎭⎫x －33⎝⎛⎭⎫x ＋33＜0， 要使y ＝a (x 3－x )在⎝⎛⎭⎫－33， 33上单调递减， 只需y ′＜0，即a ＞0. 6．函数f (x )＝cos x ＋32x 的单调递增区间是________． 解析：因为f ′(x )＝－sin x ＋32＞0，所以f (x )在R 上为增函数． 答案：(－∞，＋∞)7．若函数y ＝13ax 3－12ax 2－2ax (a ≠0)在[－1,2]上为增函数，则a ∈________. 解析：y ′＝ax 2－ax －2a ＝a (x ＋1)(x －2)>0，∵当x ∈(－1,2)时，(x ＋1)(x －2)<0，∴a <0.答案：(－∞，0)8．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是 . 解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.答案：(0，＋∞)9．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ，且f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0. (1)求a 和b ；(2)试确定函数f (x )的单调区间．解：(1)∵f (x )＝13x 3＋ax 2＋bx ， ∴f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)＝－4，f ′(1)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＋b ＝－4，1＋2a ＋b ＝0. 解得a ＝1，b ＝－3.(2)由(1)得f (x )＝13x 3＋x 2－3x . f ′(x )＝x 2＋2x －3＝(x －1)(x ＋3)．由f ′(x )>0得x >1或x <－3；由f ′(x )<0得－3<x <1.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间为(－3,1)．10．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝(2x －2a )e x ＋(x 2－2ax )e x＝e x [x 2＋2(1－a )x －2a ]．令f ′(x )＝0，即x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2，令f ′(x )＞0，得x ＞x 2或x ＜x 1，令f ′(x )＜0，得x 1＜x ＜x 2.∵a ≥0，∴x 1<－1，x 2≥0.由此可得f (x )在[－1,1]上是单调函数的充要条件为x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，解得a ≥34. 故所求a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.层级二 应试能力达标1.已知函数f (x )＝x ＋ln x ，则有( )A ．f (2)<f (e)<f (3)B ．f (e)<f (2)<f (3)C ．f (3)<f (e)<f (2)D ．f (e)<f (3)<f (2)解析：选A 在(0，＋∞)内，f ′(x )＝12x ＋1x>0，所以f (x )在(0，＋∞)内是增函数，所以有f (2)<f (e)<f (3)．2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )解析：选C 由f ′(x )的图象知，x ∈(－∞，0)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．只有C 符合题意，故选C.3．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.4．设函数F (x )＝f (x )e x是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)解析：选C ∵函数F (x )＝f (x )e x 的导数F ′(x )＝f ′(x )e x －f (x )e x (e x )2＝f ′(x )－f (x )e x <0， ∴函数F (x )＝f (x )e x是定义在R 上的减函数， ∴F (2)<F (0)，即f (2)e 2<f (0)e 0，故有f (2)<e 2f (0)． 同理可得f (2 016)<e 2 016f (0)．故选C.5．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________．解析：设g (x )＝f (x )－2x －4，则g ′(x )＝f ′(x )－2.∵对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，∴g ′(x )＞0. ∴g (x )在R 上为增函数．又g (－1)＝f (－1)＋2－4＝0，∴x ＞－1时，g (x )＞0.∴由f (x )＞2x ＋4，得x ＞－1.答案：(－1，＋∞)6．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．解析：∵f (x )在(－1，＋∞)上为减函数，∴f ′(x )≤0在(－1，＋∞)上恒成立，∵f ′(x )＝－x ＋b x ＋2，∴－x ＋b x ＋2≤0， ∵b ≤x (x ＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，g (x )＝x (x ＋2)＝(x ＋1)2－1，∴g(x)min＝－1，∴b≤－1. 答案：(－∞，－1]7．已知x＞0，证明不等式ln(1＋x)＞x－12x2成立．证明：设f(x)＝ln(1＋x)－x＋12x 2，其定义域为(－1，＋∞)，则f′(x)＝11＋x－1＋x＝x21＋x.当x＞－1时，f′(x)＞0，则f(x)在(－1，＋∞)内是增函数．∴当x＞0时，f(x)＞f(0)＝0.∴当x＞0时，不等式ln(1＋x)＞x－12x2成立．8．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由．(2)证明：f(x)＝x3－ax－1的图象不可能总在直线y＝a的上方．解：(1)已知函数f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由题意知3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴a≥3x2在x∈(－1,1)上恒成立．但当x∈(－1,1)时，0＜3x2＜3，∴a≥3，即当a≥3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．(2)证明：取x＝－1，得f(－1)＝a－2＜a，即存在点(－1，a－2)在f(x)＝x3－ax－1的图象上，且在直线y＝a的下方．即f(x)的图象不可能总在直线y＝a的上方．。
导数与函数的最值问题的综合练习题
导数与函数的最值问题的综合练习题在微积分学中，导数和函数的最值问题是非常重要的内容。
通过求解导数和应用极值理论，我们可以找到函数的最大值和最小值，从而解决各种实际问题。
本文将为大家提供一系列综合练习题，以帮助读者更好地理解和应用导数与函数的最值问题。
题目一：求函数f(x)=x^3-3x^2的极值点及极值。
题目二：求函数g(x)=x^2e^x在定义域[-1,2]上的最大值和最小值。
题目三：函数h(x)在开区间(0,2π)上连续。
当x∈(0,2π)时，h(x)满足h'(x)=4sin2x-2sinx，且h(π/6)=0。
求h(x)在(0,2π)上的最大值和最小值。
解答一：首先，我们需要求函数f(x)的导数。
对f(x)进行求导得到f'(x)=3x^2-6x。
要确定极值点，我们需要找出f'(x)=0的解。
将f'(x)置零，我们得到3x^2-6x=0，简化得到x(x-2)=0。
解这个方程可得x=0或x=2。
接下来，我们可以通过求解二阶导数来判断极值的类型。
f''(x)=6x-6，当x=0时f''(x)=-6，当x=2时f''(x)=6。
当f''(x)<0时，函数在该处取得极大值；当f''(x)>0时，函数在该处取得极小值。
所以，当x=0时，函数取得极大值；当x=2时，函数取得极小值。
代入f(x)得到f(0)=0和f(2)=-4。
因此，函数f(x)=x^3-3x^2在x=0处取得极大值0，在x=2处取得极小值-4。
解答二：首先，我们需要求函数g(x)在定义域内的导数。
对g(x)进行求导得到g'(x)=(2x+1)e^x。
要找到定义域[-1,2]上的最大值和最小值，我们需要判断极值点。
首先，我们需要找到g'(x)=0的解。
将g'(x)置零，我们得到(2x+1)e^x=0。
2017届高考数学一轮总复习 课时跟踪检测(十五) 导数与函数的极值、最值 理 新人教版
课时跟踪检测(十五) 导数与函数的极值、最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2016·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝ln (－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D 由题可知，B ，C 选项中的函数不是奇函数，A 选项中，函数y ＝x 3单调递增(无极值)，而D 选项中的函数既为奇函数又存在极值．2．函数f (x )＝ln x －x 在区间(0，e]上的最大值为( ) A ．1－e B ．－1 C ．－eD ．0解析：选B 因为f ′(x )＝1x －1＝1－xx，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0；当x ∈(1，e]时，f ′(x )＜0，所以f (x )的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]，所以当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 1－1＝－1.3．当函数y ＝x ·2x取极小值时，x ＝( ) A. 1ln 2 B ．－1ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：选B 令y ′＝2x ＋x ·2xln 2＝0，∴x ＝－1ln 2.4．若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为( ) A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B. ⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞ C. ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ D. ⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞ 解析：选D 若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则f ′(x )＝3x 2－4cx ＋1＝0有根，故Δ＝(－4c )2－12>0，从而c >32或c <－32.故实数c 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.5．已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )上的图象如图所示，则函数f (x )在(a ，b )上的极大值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由函数极值的定义和导函数的图象可知，f ′(x )在(a ，b )上与x 轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x ＝0不是函数f (x )的极值点，其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个．二保高考，全练题型做到高考达标 1．函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A. 12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x，且x ＞0.令f ′(x )＞0，得x ＞1；令f ′(x )＜0，得0＜x ＜1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx －a 2－7a 在x ＝1处取得极大值10，则a b的值为( ) A ．－23B ．－2C ．－2或－23D ．2或－23解析：选A 由题意知，f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b －a 2－7a ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9，经检验⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝9满足题意，故a b ＝－23.3．(2016·浙江瑞安中学月考)已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 的图象如图所示，则x 21＋x 22等于( )A. 23B. 43C. 83D. 163解析：选C 由图象可知f (x )的图象过点(1,0)与(2,0)，x 1，x 2是函数f (x )的极值点，因此1＋b ＋c ＝0,8＋4b ＋2c ＝0，解得b ＝－3，c ＝2，所以f (x )＝x 3－3x 2＋2x ，所以f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.x 1，x 2是方程f ′(x )＝3x 2－6x ＋2＝0的两根，因此x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝23，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4－43＝83.4．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( )解析：选D 因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x，且x ＝－1为函数f (x )e x的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0.5．若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( )A ．[－5,0)B ．(－5,0)C ．[－3,0)D ．(－3,0)解析：选 C 由题意，f ′(x )＝x 2＋2x ＝x (x ＋2)，故f (x )在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2,0)上是减函数，作出其图象如图所示，令13x 3＋x 2－23＝－23得，x ＝0或x ＝－3，则结合图象可知，⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ＜0，a ＋5＞0，解得a ∈[－3,0)，故选C.6．函数f (x )＝13x 3＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173.答案：－1737．(2016·广州模拟)已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1 时有极值0，则a －b ＝________.解析：由题意得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋3a －b －1＝0，b －6a ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9，经检验当a ＝1，b ＝3时，函数f (x )在x ＝－1处无法取得极值，而a ＝2，b ＝9满足题意，故a －b ＝－7.答案：－78．函数f (x )＝x 3－3ax ＋b (a ＞0)的极大值为6，极小值为2，则f (x )的单调递减区间是________．解析：令f ′(x )＝3x 2－3a ＝0，得x ＝±a ， 则f (x )，f ′(x )随x 的变化情况如下表：从而⎩⎨⎧－a 3－3a －a ＋b ＝6，a 3－3a a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4.所以f (x )的单调递减区间是(－1,1)． 答案：(－1,1)9．已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．解：(1)由f (x )＝x －1＋a e x ，得f ′(x )＝1－ae x .又曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴， 得f ′(1)＝0，即1－ae ＝0，解得a ＝e.(2)f ′(x )＝1－aex ，①当a ≤0时，f ′(x )＞0，f (x )为(－∞，＋∞)上的增函数，所以函数f (x )无极值． ②当a ＞0时，令f ′(x )＝0，得e x＝a ，即x ＝ln a ．x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )＜0；x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )＞0，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值，且极小值为f (ln a )＝ln a ，无极大值．综上，当a ≤0时，函数f (x )无极值；当a ＞0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，无极大值．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x ＜1，a ln x ，x ≥1.(1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点； (2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值． 解：(1)当x ＜1时，f ′(x )＝－3x 2＋2x ＝－x (3x －2)， 令f ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故当x ＝0时，函数f (x )取得极小值为f (0)＝0，函数f (x )的极大值点为x ＝3.(2)①当－1≤x ＜1时，由(1)知，函数f (x )在[－1,0]和⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递增．因为f (－1)＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝427，f (0)＝0，所以f (x )在[－1,1)上的最大值为2.②当1≤x ≤e 时，f (x )＝a ln x ，当a ≤0时，f (x )≤0；当a ＞0时，f (x )在[1，e]上单调递增，则f (x )在[1，e]上的最大值为f (e)＝a .综上所述，当a ≥2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为a ；当a ＜2时，f (x )在[－1，e]上的最大值为2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知f (x )＝x 3－6x 2＋9x －abc ，a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )＝0.现给出如下结论： ①f (0)f (1)＞0; ②f (0)f (1)＜0； ③f (0)f (3)＞0; ④f (0)f (3)＜0. 其中正确结论的序号是________．解析：∵f ′(x )＝3x 2－12x ＋9＝3(x －1)(x －3)， 由f ′(x )＜0，得1＜x ＜3，由f ′(x )＞0， 得x ＜1或x ＞3，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数． 又a ＜b ＜c ，f (a )＝f (b )＝f (c )＝0， ∴y 极大值＝f (1)＝4－abc ＞0，y 极小值＝f (3)＝－abc ＜0.∴0＜abc ＜4.∴a ，b ，c 均大于零，或者a ＜0，b ＜0，c ＞0.又x ＝1，x ＝3为函数f (x )的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f (0)＜0.∴f (0)f (1)＜0，f (0)f (3)＞0.∴正确结论的序号是②③. 答案：②③2．(2016·武汉调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx －ln x (a ＞0，b ∈R)． (1)设a ＝1，b ＝－1，求f (x )的单调区间；(2)若对任意的x ＞0，f (x )≥f (1)，试比较ln a 与－2b 的大小． 解：(1)由f (x )＝ax 2＋bx －ln x ，x ∈(0，＋∞)， 得f ′(x )＝2ax 2＋bx －1x.∵a ＝1，b ＝－1， ∴f ′(x )＝2x 2－x －1x＝x ＋x －x(x ＞0)．令f ′(x )＝0，得x ＝1.当0＜x ＜1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ＞1时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴f (x )的单调递减区间是(0,1)，f (x )的单调递增区间是(1，＋∞)． (2)由题意可知，f (x )在x ＝1处取得最小值，即x ＝1是f (x )的极值点， ∴f ′(1)＝0，∴2a ＋b ＝1，即b ＝1－2a .令g (x )＝2－4x ＋ln x (x ＞0)，则g ′(x )＝1－4xx.令g ′(x )＝0，得x ＝14.当0＜x ＜14时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增，当x ＞14时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减，∴g (x )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1＋ln 14＝1－ln 4＜0， ∴g (a )＜0，即2－4a ＋ln a ＝2b ＋ln a ＜0，故ln a ＜－2b .。
课时跟踪检测(十六) 导数与函数的综合问题
课时跟踪检测(十六) 导数与函数的综合问题一保高考，全练题型做到高考达标1．(2015·兰州双基测试)定义在实数集上的函数f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝13x 3－2x ＋m .(1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[－4,4]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2＋x ，∴当x ＝1时，f (1)＝2， ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f ′(1)＝3，∴所求切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. (2)令h (x )＝g (x )－f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋m ，则h ′(x )＝(x －3)(x ＋1)． ∴当－4＜x ＜－1时，h ′(x )＞0； 当－1＜x ＜3时，h ′(x )＜0； 当3＜x ＜4时，h ′(x )＞0.要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0， 由上知h (x )的最大值在x ＝－1或x ＝4处取得， 而h (－1)＝m ＋53，h (4)＝m －203，所以m ＋53≤0，即m ≤－53，∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－53. 2．(2016·贵阳监测改编)已知函数f (x )＝ax －ae x(a ＜0)． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2e x .由f ′(x )＝0，得x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：所以，函数f (x )的极小值为f (2)＝－1e 2，函数f (x )无极大值．(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2)e x .当a ＜0时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：若使函数F (x )没有零点，当且仅当F (2)＝ae 2＋1＞0，解得a ＞－e 2，所以此时－e 2＜a ＜0.故实数a 的取值范围为(－e 2,0)．3．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km /h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km /h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？解：设火车的速度为x km /h ，甲、乙两城距离为a km . 由题意，令40＝k ·203，∴k ＝1200， 则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·ax ＝a ⎝⎛⎭⎫kx 2＋400x ＝a ⎝⎛⎭⎫1200x 2＋400x (0＜x ≤100)． 由f ′(x )＝a (x 3－40 000)100x 2＝0，得x ＝2035. 当0＜x ＜2035时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当2035＜x ≤100时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．∴当x ＝2035时，f (x )取极小值也是最小值，即速度为2035 km /h 时，总费用最少． 4．(2016·沈阳质量监测)已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x ； (3)若在区间(1，e)上e xa－e 1ax ＜0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a2＝2，∴a ＝4.(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1x ， 则g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫1x －1x 2.令g ′(x )＞0，得x ＞1，g ′(x )<0，得0<x <1， ∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． ∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x .(3)由题意可知e x a ＜e 1a x ，化简得x －1a ＜ln x ，又x ∈(1，e)，∴a ＞x －1ln x .令h (x )＝x －1ln x， 则h ′(x )＝ln x －(x －1)·1x (ln x )2＝ln x －1＋1x(ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x ＞0， ∴h ′(x )＞0，即h (x )在(1，e)上单调递增， ∴h (x )＜h (e)＝e －1.∴a ≥e －1. 故实数a 的取值范围为[e －1，＋∞)．二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2015·陕西省质量监测)设函数f (x )＝e x －ax －1. (1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围；(2)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0；(3)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.解：(1)由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 恒成立，且e x ＞0，故a 的取值范围为(－∞，0]．(2)证明：由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a 可得，函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1， 则g ′(a )＝－ln a ，故当a ∈(0,1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0， 从而可知g (a )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 且g (1)＝0，故g (a )≤0.(3)证明：由(2)可知，当a ＝1时，总有f (x )＝e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立．即当x ＞0时，总有e x ＞x ＋1.于是，可得(x ＋1)n ＋1＜(e x )n ＋1＝e (n＋1)x.令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1可得⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＜e －n ；令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1可得⎝⎛⎭⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －1)；令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝n －2n ＋1可得⎝⎛⎭⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －2)；…… 令x ＋1＝n n ＋1，即x ＝－1n ＋1可得⎝⎛⎭⎫n n ＋1n ＋1＜e －1.对以上各式求和可得：⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫2n ＋1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝⎛⎭⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －1)＋e－(n －2)＋…＋e －1＝e －n (1－e n )1－e ＝e －n －11－e ＝1－e －n e －1＜1e －1＜1.故对任意的正整数n ，都有1n ＋1＋2n ＋1＋3n ＋1＋…＋n n ＋1＜(n ＋1)n ＋1.。
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当 x＞1 时，g′(x)＞0，g(x)为增函数，
∴g(x)min＝g(1)＝0，a≥g(1)＝0.
故 a 的取值范围是[0，＋∞)．
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(2)证明：原不等式可化为 12x2＋ax－xln x－a－12＞0(x＞1，a≥0)． 令 G(x)＝12x2＋ax－xln x－a－12， 则 G(1)＝0. 由(1)可知 x－ln x－1＞0， 则 G′(x)＝x＋a－ln x－1≥x－ln x－1＞0， ∴G(x)在(1，＋∞)上单调递增， ∴G(x)>G(1)＝0 成立， ∴12x2＋ax－xln x－a－12＞0 成立， 即12x2＋ax－a>x1nx＋12成立．
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2．解：(1)原题即为存在 x>0，使得 ln x－x＋a＋1≥0，∴a≥－ln x
＋x－1，
令 g(x)＝－ln x＋x－1，
则 g′(x)＝－1x＋1＝x－x 1.
令 g′(x)＝0，解得 x＝1.
∵当 0＜x＜1 时，g′(x)＜0，g(x)为减函数，
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①当 t≥1 时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减， ∴2φ(1)＜φ(0)，即 t＞3－2e＞1. ②当 t≤0 时，φ′(x)＞0，φ(x)在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)＜φ(1)，即 t＜3－2e＜0. ③当 0＜t＜1 时，若 x∈[0，t)，φ′(x)＜0，φ(x)在[0，t)上单调递减； 若 x∈(t,1]，φ′(x)＞0，φ(x)在(t,1]上单调递增， 所以 2φ(t)＜max{φ(0)，φ(1)}，
人教版高一数学必修一第二章 13《导数与函数的综合问题》复习学案+检测
人教版高一数学必修一 第2章 函数、导数及其应用 13《导数与函数的综合问题》复习学案【跟踪练习】【题型探究·突破重点难点】题型一 导数与不等式►考法1 证明不等式【例1】 已知函数f (x )＝x ＋a e x (a ∈R )． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当x ＜0，a ≤1时，证明：x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． [解] (1)由f (x )＝x ＋a e x 可得f ′(x )＝1＋a e x .当a ≥0时，f ′(x )＞0，则函数f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． 当a ＜0时，由f ′(x )＞0可得x ＜ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，由f ′(x )＜0可得x ＞ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a 上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞上为减函数．(2)证明：设F (x )＝x 2＋(a ＋1)x －xf ′(x )＝x 2＋ax －ax e x ＝x (x ＋a －a e x )． 设H (x )＝x ＋a －a e x ，则H ′(x )＝1－a e x . ∵x ＜0，∴0＜e x ＜1，又a ≤1，∴1－a e x ≥1－e x ＞0.∴H (x )在(－∞，0)上为增函数，则H (x )＜H (0)＝0，即x ＋a －a e x ＜0. 由x ＜0可得F (x )＝x (x ＋a －a e x )＞0，所以x 2＋(a ＋1)x ＞xf ′(x )． ►考法2 解决不等式恒成立(存在性)问题 【例2】 设f (x )＝ax ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.(1)如果存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，求满足上述条件的最大整数M ；(2)如果对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．[解] (1)存在x 1，x 2∈[0,2]使得g (x 1)－g (x 2)≥M 成立，等价于[g (x 1)－g (x 2)]ma x ≥M .由g (x )＝x 3－x 2－3，得g ′(x )＝3x 2－2x ＝3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23.令g ′(x )＞0得x ＜0，或x ＞23， 令g ′(x )＜0得0＜x ＜23，又x ∈[0,2]，所以g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23上单调递减，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，2上单调递增，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝－8527，又g (0)＝－3，g (2)＝1，所以g (x )ma x ＝g (2)＝1. 故[g (x 1)－g (x 2)]ma x ＝g (x )ma x －g (x )min ＝11227≥M ， 则满足条件的最大整数M ＝4.(2)对于任意的s ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，都有f (s )≥g (t )成立，等价于在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，函数f (x )min ≥g (x )ma x ，由(1)可知在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，g (x )的最大值为g (2)＝1.在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上，f (x )＝a x ＋x ln x ≥1恒成立等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立．设h (x )＝x －x 2ln x ， h ′(x )＝1－2x ln x －x ，令m (x )＝x ln x ，由m ′(x )＝ln x ＋1＞0 得x ＞1e .即m (x )＝x ln x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上是增函数，可知h ′(x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上是减函数，又h ′(1)＝0，所以当1＜x ＜2时，h ′(x )＜0；当12＜x ＜1时，h ′(x )＞0.即函数h (x )＝x －x 2ln x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，在区间(1,2)上单调递减，所以h (x )ma x ＝h (1)＝1， 所以a ≥1，即实数a 的取值范围是[1，＋∞)．[规律方法] 1.利用导数证明含“x ”不等式方法，证明：f (x )＞g (x ).,法一：移项，f (x )－g (x )＞0，构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，转化证明F (x )min ＞0，利用导数研究F (x )单调性，用上定义域的端点值.法二：转化证明：f (x )min ＞g (x )max .法三：先对所求证不等式进行变形，分组或整合，再用法一或法二. 2.利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 3.“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即f (x )≥g (a )对于x ∈D 恒成立，应求f (x )的最小值；若存在x ∈D ，使得f (x )≥g (a )成立，应求f (x )的最大值.应特别关注等号是否成立问题.(2018·全国卷Ⅰ节选)已知函数f (x )＝a e x －ln x －1.证明：当a ≥1e时，f (x )≥0.[解] 证明：当a ≥1e 时，f (x )≥e xe －ln x －1. 设g (x )＝e x e －ln x －1，则g ′(x )＝e x e －1x .当0<x <1时，g ′(x )<0；当x >1时，g ′(x )>0.所以x ＝1是g (x )的最小值点． 故当x >0时，g (x )≥g (1)＝0. 因此，当a ≥1e 时，f (x )≥0.题型二 利用导数研究函数的零点问题【例3】 设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；(2)设a ＝b ＝4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围．[解] (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .因为f (0)＝c ，f ′(0)＝b ，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝bx ＋c . (2)当a ＝b ＝4时，f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c ， 所以f ′(x )＝3x 2＋8x ＋4.令f ′(x )＝0，得3x 2＋8x ＋4＝0，解得x ＝－2或x ＝－23. 当x 变化时，f (x )与f ′(x )的变化情况如下：x (－∞，－2) －2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23－23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，＋∞ f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗c↘c －3227↗所以，当c ＞0且c －3227＜0，存在x 1∈(－4，－2)，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－23，x 3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝0.由f (x )的单调性知，当且仅当c ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3227时，函数f (x )＝x 3＋4x 2＋4x ＋c 有三个不同零点．[规律方法] 利用导数研究方程根的方法(1)研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等.(2)根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置. (3)可以通过数形结合的思想去分析问题，使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.设函数f (x )＝x 22－k ln x ，k ＞0.(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)证明：若f (x )存在零点，则f (x )在区间(1，e]上仅有一个零点．[解](1)由f(x)＝x22－k ln x(k＞0)，得x＞0且f′(x)＝x－kx＝x2－kx.由f′(x)＝0，解得x＝k(负值舍去)．f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的变化情况如下表：x (0，k)k (k，＋∞)f′(x)－0＋f(x)↘↗所以，f(x)的单调递减区间是(0，k)，单调递增区间是(k，＋∞)，f(x)在x＝k处取得极小值f(k)＝k(1－ln k)2，无极大值．(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f(k)＝k(1－ln k)2.因为f(x)存在零点，所以k(1－ln k)2≤0，从而k≥e，当k＝e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(e)＝0，所以x＝e是f(x)在区间(1，e]上的唯一零点．当k＞e时，f(x)在区间(1，e)上单调递减，且f(1)＝12＞0，f(e)＝e－k2＜0，所以f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，e]上仅有一个零点．题型三利用导数研究生活中的优化问题【例4】某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路分别为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝ax2＋b(其中a，b为常数)模型．(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于点P ，P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t )，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度． [解] (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5,40)，(20,2.5)．将其分别代入y ＝ax 2＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 25＋b ＝40，a 400＋b ＝2.5，解得⎩⎨⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知，y ＝1 000x 2(5≤x ≤20)， 则点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1 000t 2，设公路l 交x 轴，y 轴分别为A ，B 两点，如图所示， 又y ′＝－2 000x 3，则直线l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t 3(x －t )，由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22 ＝32t 2＋4×106t 4，t ∈[5,20]．②设g (t )＝t 2＋4×106t 4，t ∈[5,20]，则g ′(t )＝2t －16×106t 5. 令g ′(t )＝0，解得t ＝10 2.当t ∈[5,102)时，g ′(t )＜0，g (t )是减函数； 当t ∈(102，20]时，g ′(t )＞0，g (t )是增函数． 所以当t ＝102时，函数g (t )有极小值，也是最小值， 所以g (t )min ＝300， 此时f (t )min ＝15 3.故当t ＝102时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米． [规律方法] 利用导数解决生活中的实际应用问题的4步骤的底面半径为r 米，高为h 米，体积为V 立方米．假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为1 60元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率)．(1)将V 表示成r 的函数V (r )，并求该函数的定义域；(2)讨论函数V (r )的单调性，并确定r 和h 为何值时该蓄水池的体积最大． [解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh ＝200πrh 元，底面的总成本为160πr2元，所以蓄水池的总成本为(200πrh＋160πr2)元．又根据题意知200πrh＋160πr2＝12 000π，所以h＝15r(300－4r2)，从而V(r)＝πr2h＝π5(300r－4r3)．因为r>0，又由h>0可得r<53，故函数V(r)的定义域为(0,53)．(2)因为V(r)＝π5(300r－4r3)，所以V′(r)＝π5(300－12r2)，令V′(r)＝0，解得r1＝5，r2＝－5(舍去)．当r∈(0,5)时，V′(r)>0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r∈(5,53)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,53)上为减函数．由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8.即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．【连线真题·培养解题能力】1．已知函数f(x)＝ax2＋x－1e x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.[解](1)f′(x)＝－ax2＋(2a－1)x＋2e x，f′(0)＝2.因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0.(2)当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋e x＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋e x＋1，则g′(x)＝2x＋1＋e x＋1.当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.2．设函数f(x)＝e2x－a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.【连线真题·培养解题能力】答案与解析1．已知函数f(x)＝ax2＋x－1e x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.[解](1)f′(x)＝－ax2＋(2a－1)x＋2e x，f′(0)＝2.因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0.(2)当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋e x＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋e x＋1，则g′(x)＝2x＋1＋e x＋1.当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>－1时，g′(x)>0，g(x)单调递增．所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.2．设函数f(x)＝e2x－a ln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.[解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－ax(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－a x，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－ax在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b满足0<b<a4且b<14时，f′(b)<0，故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明：由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－ax0＝0，所以f(x0)＝a2x0＋2ax0＋a ln2a≥2a＋a ln2a.故当a>0时，f(x)≥2a＋a ln 2 a.人教版高一数学必修一第2章函数、导数及其应用13《导数与函数的综合问题》复习检测一、选择题1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是( ) A ．(－2,0)∪(2，＋∞) B ．(－2,0)∪(0,2) C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D ．(－∞，－2)∪(0,2)2．若关于x 的不等式x 3－3x 2－9x ＋2≥m 对任意x ∈[－2,2]恒成立，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，7] B ．(－∞，－20] C ．(－∞，0]D ．[－12,7] 3．已知函数f (x )的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：x －1 0 2 3 4 f (x )122f (x )的导函数y ＝f y ＝f (x )－a 的零点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R 恒有f ′(x )<f (x )成立，且f (2)＝1，则不等式f (x )>e x －2的解集为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，2) 二、填空题5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________． 6．已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式xe x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为________． 三、解答题7．设f (x )＝(x ＋1)e ax (其中a ≠0)，曲线y ＝f (x )在x ＝1a 处有水平切线．(1)求a 的值；(2)设g (x )＝f (x )＋x ＋x ln x ，证明：对任意x 1，x 2∈(0,1)有|g (x 1)－g (x 2)|＜e －1＋2e －2.8．已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋1，x ∈[0,1]．(1)证明：f (x )≥0；(2)若a <e x －1x <b 对任意的x ∈(0,1)恒成立，求b －a 的最小值．9．已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数．(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ；(3)若在区间(1，e)上e x a －e 1a x ＜0恒成立，求实数a 的取值范围．人教版高一数学必修一第2章函数、导数及其应用13《导数与函数的综合问题》复习检测解析一、选择题1．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0，当x>0时，有xf′(x)－f(x)x2<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集是()A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－2,0)∪(0,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－2)∪(0,2)【答案】D【解析】∵当x>0时，xf′(x)－f(x)x2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f(x)x′<0，∴φ(x)＝f(x)x在(0，＋∞)为减函数，又f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在R上单调递增．∵f(2)＝0，∴在(0,2)内恒有f(x)>0；在(2，＋∞)内恒有f(x)<0.故在(－∞，－2)内恒有f(x)>0；在(－2,0)内恒有f(x)<0.故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．2．若关于x的不等式x3－3x2－9x＋2≥m对任意x∈[－2,2]恒成立，则m的取值范围是()A．(－∞，7] B．(－∞，－20]C．(－∞，0]D．[－12,7]【答案】B【解析】令f(x)＝x3－3x2－9x＋2，则f′(x)＝3x2－6x－9，令f′(x)＝0得x＝－1或x＝3(舍去)．∵f(－1)＝7, f(－2)＝0, f(2)＝－20，∴f(x)的最小值为f(2)＝－20，故m≤－20.3．已知函数f(x)的定义域为[－1,4]，部分对应值如下表：f(x)的导函数y＝f y＝f(x)－a的零点的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数y ＝f (x )的大致图象如图所示．由于f (0)＝f (3)＝2,1<a <2，所以y ＝f (x )－a 的零点个数为4. 4．函数f (x )的导函数为f ′(x )，若∀x ∈R 恒有f ′(x )<f (x )成立，且f (2)＝1，则不等式f (x )>e x －2的解集为( ) A ．(－∞，1) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，2)【答案】D【解析】设函数g (x )＝f (x )e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x<0，∴g (x )在R 上单调递减，不等式f (x )>e x －2可转化为f (x )e x >1e 2.∵g (2)＝f (2)e 2＝1e 2，∴f (x )e x >f (2)e 2，∴x ＜2，∴x ∈(－∞，2)．故选D. 二、填空题5．函数y ＝x ＋2cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值是________．【答案】π6＋3【解析】y ′＝1－2sin x ，令y ′＝0，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，得x ＝π6，则x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，y ′>0；x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π6，π2时，y ′<0.故函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上单调递增，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上单调递减，所以当x ＝π6时，函数取得最大值π6＋ 3.6．已知x ∈(0,2)，若关于x 的不等式xe x <1k ＋2x －x 2恒成立，则实数k 的取值范围为________． 【答案】[0，e －1)【解析】依题意，知k ＋2x －x 2>0，即k >x 2－2x 对任意x ∈(0,2)恒成立，从而k ≥0，因此由原不等式，得k <e x x ＋x 2－2x 恒成立．令f (x )＝e x x ＋x 2－2x ，则f ′(x )＝(x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫e xx 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(1,2)时， f ′(x )>0，函数f (x )在(1,2)上单调递增；当x ∈(0,1)时， f ′(x )<0，函数f (x )在(0,1)上单调递减．所以k <f (x )m i n ＝f (1)＝e －1，故实数k 的取值范围是[0，e －1)． 三、解答题7．设f (x )＝(x ＋1)e ax (其中a ≠0)，曲线y ＝f (x )在x ＝1a 处有水平切线．(1)求a 的值；(2)设g (x )＝f (x )＋x ＋x ln x ，证明：对任意x 1，x 2∈(0,1)有|g (x 1)－g (x 2)|＜e －1＋2e －2.(1)【解】f ′(x )＝e ax ＋a (x ＋1)e ax ＝(ax ＋a ＋1)e ax . 由题意知0＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝(a ＋2)e ，解得a ＝－2.(2)【证明】令g (x )＝g 1(x )＋g 2(x )，x ∈(0,1)，其中g 1(x )＝(x ＋1)e －2x ＋x ，g 2(x )＝x ln x ，求导得g 1′(x )＝－(2x ＋1)e －2x ＋1.对h (x )＝g 1′(x )求导得h ′(x )＝－2e －2x＋2(2x ＋1)e －2x ＝4x e －2x ＞0，x ∈(0,1)．因此g 1′(x )在(0,1)上为增函数，故当x ∈(0,1)时，g 1′(x )＞g 1′(0)＝0.因此g 1(x )在(0,1)上也为增函数，从而1＝g 1(0)＜g 1(x )＜g 1(1)＝1＋2e －2(0＜x ＜1)．①又g 2′(x )＝1＋ln x ，令g 2′(x )＝0，解得x ＝e －1.当0＜x ＜e －1时，g 2′(x )＜0，g 2(x )在(0，e －1)上为减函数；当e －1＜x ＜1时，g 2′(x )＞0，g 2(x )在(e －1,1)上为增函数，从而g 2(x )在(0,1)上取得的最小值为g 2(e －1)＝－e －1，因此－e －1≤g 2(x )＜0(0＜x ＜1)．②由①②得1－e －1＜g (x )＜1＋2e －2(0＜x ＜1)，因此对任意x 1，x 2∈(0,1)，有|g (x 1)－g (x 2)|＜(1＋2e －2)－(1－e －1)＝e －1＋2e －2.8．已知函数f (x )＝(x －1)e x ＋1，x ∈[0,1]．(1)证明：f (x )≥0；(2)若a <e x －1x <b 对任意的x ∈(0,1)恒成立，求b －a 的最小值． (1)【证明】因为f ′(x )＝x e x ≥0，即f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )≥f (0)＝0，即结论成立．(2)【解】令g (x )＝e x －1x ，则g ′(x )＝(x －1)e x ＋1x 2>0，x ∈(0,1)，所以当x ∈(0,1)时，g (x )<g (1)＝e －1， 要使e x －1x<b ，只需b ≥e －1.要使e x －1x >a 成立，只需e x －ax －1>0在x ∈(0,1)恒成立， 令h (x )＝e x －ax －1，x ∈(0,1)，则h ′(x )＝e x －a . 由x ∈(0,1)，得e x ∈(1，e)．①当a ≤1时，h ′(x )>0，此时x ∈(0,1)，有h (x )>h (0)＝0成立，所以a ≤1满足条件；②当a ≥e 时，h ′(x )<0，此时x ∈(0,1)，有h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去；③当1<a <e 时，令h ′(x )＝0，得x ＝ln a ．当x ∈(0，ln a )时，h ′(x )<0，即x ∈(0，ln a )时，h (x )<h (0)＝0，不符合题意，舍去．综上，a ≤1.又b ≥e －1，所以b －a 的最小值为e －2. 9．已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数．(1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x ；(3)若在区间(1，e)上e x a －e 1a x ＜0恒成立，求实数a 的取值范围． (1)【解】由题意得f ′(x )＝a x ，∴f ′(2)＝a2＝2，∴a ＝4.(2)【证明】f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 等价于a ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x －1＋1x ≥0， 令g (x )＝a (ln x －1＋1x )，则g ′(x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2.令g ′(x )＝0，即a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1x 2＝0，解得x ＝1，∴g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．∴g (x )的最小值为g (1)＝0，∴f (x )≥a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x .(3)【解】由题意可知【答案】e x a ＜e 1a x ，化简得x －1a ＜ln x ， 又x ∈(1，e)，∴a ＞x －1ln x . 令h (x )＝x －1ln x ，则h ′(x )＝ln x －(x －1)·1x(ln x )2＝ln x －1＋1x (ln x )2，由(2)知，当x ∈(1，e)时，ln x －1＋1x ＞0， ∴h ′(x )＞0，即h (x )在(1，e)上单调递增， ∴h (x )＜h (e)＝e －1.∴a ≥e －1.。
2017届高考数学一轮总复习课时跟踪检测(十三)变化率与导数、导数的计算文新人教A版
课时跟踪检测(十三) 变化率与导数、导数的计算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x， ∴y ′＝cos x ＋e x， ∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e x·cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3.解：(1)y ′＝(e x)′cos x ＋e x(cos x )′＝e xcos x －e xsin x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋ln x 0＝2 016，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2015·广州二模)已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．(2016·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋2＝2x ＋2，y ′| x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πB.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D.⎝⎛⎦⎥⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.6．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________． 解析： ∵f (x )＝x e x， ∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝ 2e x －e.答案：y ＝2e x －e7.(2015·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.答案：08．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a fa＋b fb＋c fc＝________.解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ，f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )， f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a fa ＋b f b＋c fc＝aa －ba －c＋bb －a b －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A.278B ．－2C ．2D ．－278解析：选A 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′| x ＝t ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
2017-2018学年人教A版数学选修2-2课时跟踪检测(六) 函数的极值与导数含解析
课时跟踪检测(六)函数的极值与导数一、选择题1．(陕西高考)设函数f(x）＝2x＋ln x，则( ）A．x＝12为f（x）的极大值点B．x＝错误!为f(x）的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f（x)的极小值点解析:选D 函数f(x）的定义域为（0，＋∞）,f′（x)＝－错误!＋错误!＝错误!,当x＝2时，f′（x)＝0；当x>2时,f′(x)>0，函数f(x）为增函数；当0〈x<2时，f′(x)〈0，函数f(x)为减函数，所以x＝2为函数f(x)的极小值点．2．函数y＝f(x)＝（x2－1）3＋1在x＝－1处（)A．有极大值 B．有极小值C．无极值D．无法判断极值情况解析：选C f′（x)＝6x(x2－1）2＝6x（x－1)2(x＋1)2，虽然f′（－1)＝0，但f′(x）在x＝－1的左右(附近）不变号,∴函数f(x）在x＝－1处没有极值．3．已知函数f（x）＝x3－px2－qx的图象与x轴切于点(1,0），则f（x）的（）A．极大值为错误!，极小值为0B．极大值为0,极小值为错误!C．极小值为－错误!，极大值为0D．极大值为－错误!，极小值为0解析：选A ∵f′(x）＝3x2－2px－q，∴f′(1)＝3－2p－q＝0。
①又∵f(1)＝1－p－q＝0，②由①②解得p＝2，q＝－1，即f(x）＝x3－2x2＋x,f′(x)＝3x2－4x＋1。
令f′（x）＝0，得x＝错误!或x＝1,从而当x∈错误!∪(1,＋∞）时，f′（x）>0；当x∈错误!时，f′（x）<0。
故f(x）在错误!，(1，＋∞)上单调递增，在错误!上单调递减．∴当x＝错误!时，f（x)有极大值错误!,当x＝1时,f（x)有极小值0.4．若函数f(x）＝x2－2bx＋3a在区间(0，1）内有极小值,则实数b的取值范围是( )A．b＜1 B．b＞1C．0＜b＜1 D．b＜错误!解析:选C f′（x)＝2x－2b＝2（x－b)，令f′（x）＝0,解得x ＝b,由于函数f(x)在区间(0,1)内有极小值，则有0＜b＜1。
高中数学人教A版高二选修22：课时跟踪检测(三)_几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
课时跟踪检测（三） 几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式层级一 学业水平达标1．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．不确定解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条．2．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解析：选A 由条件得y ′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1.3．已知f (x )＝－3x 53，则f ′(22)＝( )A ．10B ．－5x 23C ．5D ．－10 解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 53，∴f ′(22)＝－5×223×23＝－10，故选D. 4．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ，∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A.5. 曲线y ＝13x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1B ．－π4 C.π4 D.5π4解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π4. 6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________．解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1e. ∴切线方程为y －1＝1e(x －e)，即x －e y ＝0. 答案：1ex －e y ＝0 7．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________.解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1x， 所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1x＝1. 解得x ＝1或x ＝－12，因为x ＞0，所以x ＝1. 答案：18．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2＝2a (x －a )． 令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)．答案：(0，－a 2)9．求下列函数的导数：(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ；(4)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2；(5)y ＝e 2. 解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－1＝8x 7. (2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4.(3)y ′＝(log 3x )′＝1x ln 3. (4)y ′＝(cos x )′＝－sin x .(5)y ′＝(e 2)′＝0.10．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，(1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程．(2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点．过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2，过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0.过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－12＋1＝1， 切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点M ⎝⎛⎭⎫12，14， 与PQ 平行的切线方程为：y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 层级二 应试能力达标1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( )A.12523B.110523C.25523D.110523 解析：选B ∵s ′＝15t －45.∴当t ＝4时， s ′＝15·1544＝110523. 2．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( ) A ．2B ．ln 2＋1C ．ln 2－1D ．ln 2解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1x ，∴令1x ＝12，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)． 代入直线y ＝12x ＋b ，得b ＝ln 2－1. 3．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为34π的点的坐标为( ) A ．(1,1)B ．(－1，－1)C ．(－1,1)D ．(1,1)或(－1，－1)解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为34π，所以切线斜率为－1， 即f ′(x )＝－1x2＝－1，所以x ＝±1， 则当x ＝1时，f (1)＝1；当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．4．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n 的值为( ) A. 1nB.1n ＋1C.n n ＋1D ．1 解析：选B 对y ＝x n ＋1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n n ＋1，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1n ＋1， 故选B. 5．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________．解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2，又∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝12. ∴切点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2⎝⎛⎭⎫x －12. 即2x －y －1－ln 2＝0.答案：2x －y －1－ln 2＝06．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．解析：∵y ′＝12x ，∴切线方程为y －a ＝12a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2，令y ＝0，得x ＝－a ，由题意知12·a 2·a ＝2，∴a ＝4. 答案：47．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P 的坐标为(x 0，x 20)．∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0，∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)，即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0，∴x 0＝1或x 0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)，即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数．证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点．∵y ′＝⎝⎛⎭⎫a 2x ′＝－a 2x 2. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2x 20(x －x 0)． 令x ＝0，得y ＝2a 2x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0. 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·⎪⎪⎪⎪2a 2x 0·|2x 0|＝2a 2. 即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.。
人教A数学选修课时跟踪检测：第3章 导数及其应用 31 3 含解析
第三章导数及其应用3.1 变化率与导数3.1.3 导数的几何意义课时跟踪检测一、选择题1．已知f′(x)＝2x－1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为() A．30°B．45°C．60°D．120°解析：由导数的几何意义知，切线的斜率k＝tan α＝f′(1)＝2×1－1＝1，又α∈[0°，180°)，∴α＝45°.答案：B2．函数在某一点的导数是()A．在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比B．函数在这一点到这附近一点之间的平均变化率C．一个函数D．一个常数，不是变数解析：根据函数在一点处的导数的定义知，是一个常数，不是变数．答案：D3．(2019·成都外国语学校期中)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9 B．9C．－3 D．15解析：f′(1)＝li mΔx→0(1＋Δx)3＋11－12Δx＝li mΔx→0(3＋3Δx＋Δx2)＝3.∴曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0得y＝9，故选B.答案：B4．(2019·棠湖月考)过函数f (x )＝13x 3－x 2图象上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：∵f ′(x )＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 13(x ＋Δx )3－(x ＋Δx )2－13x 3＋x 2Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋x Δx ＋13Δx 2－2x －Δx ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π，故选B.答案：B5．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( ) A ．f ′(x A )>f ′(x B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B ) C ．f ′(x A )＝f ′(x B ) D ．不能确定解析：由图象知，点A ，B 处的切线的斜率为k A ，k B ，则 k A <k B ，由导数的几何意义知f ′(x A )<f ′(x B )． 答案：B6．曲线y ＝9x 在点(3,3)处的切线的倾斜角α＝( ) A ．45° B ．60° C ．135°D ．120°解析：∵k ＝y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 9x ＋Δx －9xΔx ＝lim Δx →0－9x (x ＋Δx )＝－9x 2，∴当x ＝3时，k ＝tan α＝－1，∴α＝135°.故选C.答案：C 二、填空题7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则过点A 的切线的斜率为________． 解析：k ＝f ′(2)＝lim Δx →0 2(2＋Δx )2－2×22Δx ＝lim Δx →0 8Δx ＋2(Δx )2Δx ＝lim Δx →0 (8＋2Δx )＝8.答案：88．(2019·东营期中)已知函数y ＝f (x )的图象在点A (0，f (0))处的切线方程是y ＝2x ＋1，则f (0)＋f ′(0)＝________.解析：由题可知f (0)＝2×0＋1＝1，f ′(0)＝2， ∴f (0)＋f ′(0)＝3. 答案：39．曲线f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴，直线x ＝a 围成的三角形的面积为16，则a ＝________.解析：f ′(a )＝lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝lim Δx →0 (a ＋Δx )3－a 3Δx ＝3a 2. ∴在点(a ，a 3)处的切线方程为y －a 3＝3a 2(x －a )． 令y ＝0，得切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，0，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝16，解得a ＝±1.答案：±1 三、解答题10．已知曲线y ＝2x 2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．解：因为f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 2(1＋Δx )2－2Δx ＝lim Δx →0 4Δx ＋2(Δx )2Δx＝lim Δx →0(4＋2Δx )＝4，所以过点(1,2)的切线的斜率为4.设过点(1,2)且与过该点的切线垂直的直线的斜率为k ，则4k ＝－1，所以k ＝－14，所以所求的直线方程为y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.11．已知曲线y ＝1t －x 上两点P (2，－1)，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.求：(1)曲线在点P 处、点Q 处的切线的斜率； (2)曲线在点P ，Q 处的切线方程．解：将P (2，－1)的坐标代入y ＝1t －x ，得t ＝1，∴y ＝11－x. y ′＝lim Δx →0 f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝lim Δx →0 11－(x ＋Δx )－11－xΔx ＝lim Δx →0 Δx[1－(x ＋Δx )](1－x )Δx＝lim Δx →01(1－x －Δx )(1－x )＝1(1－x )2.(1)曲线在点P 处的切线斜率为y ′| x ＝2＝1(1－2)2＝1；曲线在点Q 处的切线斜率为y ′| x ＝－1＝14.(2)由(1)得曲线在点P 处的切线方程为y －(－1)＝x －2， 即x －y －3＝0；曲线在点Q 处的切线方程为y －12＝14[x －(－1)]即x －4y ＋3＝0.12．已知直线l ：y ＝4x ＋a 和曲线C ：f (x )＝x 3－2x 2＋3相切．求切点的坐标及a 的值．解：设直线l 与曲线C 相切于点P (x 0，y 0)，∵f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝lim Δx →0 (x ＋Δx )3－2(x ＋Δx )2＋3－(x 3－2x 2＋3)Δx ＝3x 2－4x .由题意可知k ＝4，即3x 20－4x 0＝4， 解得x 0＝－23或x 0＝2.∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927或(2,3)．当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927时，有4927＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＋a ，解得a ＝12127.当切点为(2,3)时，有3＝4×2＋a ，解得a ＝－5. ∴切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，4927，a ＝12127或切点为(2,3)，a ＝－5.13．(2019·内江期末)曲线y ＝x 3在点P (1,1)处的切线方程为__________________．解析：y ′＝li m Δx →0 (1＋Δx )3－1Δx ＝li m Δx →0 3Δx ＋3Δx 2＋Δx 3Δx ＝3. ∴切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0. 答案：3x －y －2＝0。
人教A版数学选修1-1课时跟踪检测：第3章 导数及其应用 3.3 3.3.2
第三章导数及其应用3.3 导数在研究函数中的应用3.3.2 函数的极值与导数课时跟踪检测一、选择题1．下列函数存在极值的是()A．f(x)＝1x B．f(x)＝x－exC．f(x)＝x3＋x2＋2x－3 D．f(x)＝x3解析：若函数f(x)存在极值，则f′(x)＝0有解．对于f(x)＝x－e x，则f′(x)＝1－e x＝0，x＝0.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0，所以x＝0是f(x)＝x－e x的极值点．故选B.答案：B2．设a∈R，若函数y＝e x＋ax(x∈R)有大于0的极值点，则()A．a<－1 B．a>－1C．a<－1e D．a>－1e解析：∵y＝e x＋ax，∴y′＝e x＋a.令y′＝0，得e x＝－a，∴x＝ln(－a)．又x>0，∴ln(－a)>0，∴－a>1，∴a<－1.故选A.答案：A3．设函数f(x)＝x e x，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：∵f′(x)＝(x e x)′＝e x＋x e x＝(x＋1)e x，令f′(x)＝0，得x＝－1.易知当x<－1时，f′(x)<0；当x>－1时，f′(x)>0，故x＝－1是f(x)的极小值点．故选D.答案：D4．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则a ＝( ) A ．4或－3 B ．4或－11 C ．4D ．－3解析：∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意得⎩⎨⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得⎩⎨⎧ a ＝4，b ＝－11或⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝3.当a ＝4，b ＝－11时，f ′(x )＝3x 2＋8x －11＝(3x ＋11)(x －1)． ∴当x ＝1时，f (x )有极值，当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2， ∴当x ＝1时，f (x )无极值，舍去，故选C. 答案：C5．(2019·邯郸月考)已知函数f (x )＝13ax 3－12ax 2－x 的两个极值点分别为x 1，x 2(x 1≠x 2)，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1x 2，则直线AB 必过点( )A ．(1,0)B ．(2,1) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1 D ．(0，－2)解析：∵f ′(x )＝ax 2－ax －1，又f ′(x )＝0有两个不相等的实根x 1，x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝a 2＋4a >0，x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－1a ，由题意得直线AB 的斜率k AB ＝1x 1－1x 2x 1－x 2＝－1x 1x 2＝a ，∴直线AB 的方程为y －1x 1＝a (x －x 1)，即y ＝ax ＋1x 1＋1x 2＝ax ＋x 1＋x 2x 1x 2＝ax －a＝a (x －1)，∴直线AB 必过点(1,0)，故选A. 答案：A6．已知函数f (x )＝ln xx 2，若方程f (x )－a ＝0恰有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．0<a <12e B ．a <12e C ．a <2eD ．a >12e解析：∵f (x )＝ln xx 2(x >0)，∴f ′(x )＝x －2x ln x x 4＝1－2ln x x 3，令f ′(x )＝0，则ln x ＝12，∴x ＝e 12，当x ∈(0，e 12)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x ∈(e 12，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， ∴当x ＝e 12时，f (x )最大，为12e，∴f (x )的大致图象如图：要使方程f (x )－a ＝0恰有两个不同的实数根，即函数y ＝a 与函数y ＝f (x )有两个不同的交点，∴0<a <12e .故选A.答案：A 二、填空题7．若函数f (x )＝x ·2x 在x ＝x 0时，取得极小值，则x 0＝________.解析：∵f ′(x )＝2x ＋x ·2x ln 2＝(x ln 2＋1)2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝－1ln 2.当x >－1ln 2，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；当x <－1ln 2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，故x ＝－1ln 2时，f (x )取得极小值，即x 0＝－1ln 2. 答案：－1ln 28．(2019·遂宁月考)函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )，若f (x )在x ＝2处取得极值，则a 的值为________．解析：∵f ′(x )＝x －a x ， 又∵f (x )在x ＝2处取得极值， ∴f ′(2)＝0，即2－a2＝0，∴a ＝4. 答案：49．函数y ＝x e x 在其极值点处的切线方程为____________． 解析：由y ＝x e x ，得y ′＝e x (x ＋1)．令y ′＝0，得x ＝－1.当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0，∴x ＝－1是函数的极小值点，且极小值为－1e .又∵k ＝y ′| x ＝－1＝0，∴切线方程为y ＝－1e . 答案：y ＝－1e 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值． 解：(1)∵f (x )＝x 4＋a x －ln x －32(x >0)， ∴f ′(x )＝14－a x 2－1x .由f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线y＝12x知，f′(1)＝14－a－1＝－2，∴a＝54.(2)由(1)知，f(x)＝x4＋54x－ln x－32，则f′(x)＝x2－4x－54x2＝(x＋1)(x－5)4x2，令f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝5.∵x＝－1不在f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x∈(0,5)时，f′(x)<0，故f(x)在(0,5)内单调递减；当x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(5，＋∞)内单调递增．由此知函数f(x)在x＝5时取得极小值f(5)＝－ln 5，无极大值．11．(2019·三明期末)已知函数f(x)＝x3－ax2＋x＋b在x＝1处取得极值．(1)当b＝－2时，求曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程；(2)若函数f(x)有三个零点，求实数b的取值范围．解：∵f′(x)＝3x2－2ax＋1，由题意知f′(1)＝0，所以3－2a＋1＝0，即a＝2.所以f(x)＝x3－2x2＋x＋b.(1)当b＝－2时，f(x)＝x3－2x2＋x－2，所以f′(x)＝3x2－4x＋1，所以f′(0)＝1，f(0)＝－2，所以f(x)在x＝0处的切线方程为y－(－2)＝x－0，即x－y－2＝0.(2)令f(x)＝0，则x3－2x2＋x＝－b.g(x)＝x3－2x2＋x，则y＝g(x)与y＝－b的图象有三个交点．g′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，所以当x变化时，g(x)，g′(x)的变化情况为所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝427，g (1)＝0，又当x →－∞时，y →－∞； 当x →＋∞时，y →＋∞， 所以0<－b <427，即－427<b <0. 所以b的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b ⎪⎪⎪－427<b <0. 12．已知函数f (x )＝a ln x ＋x 2＋bx ＋1在点(1，f (1))处的切线方程为4x －y －12＝0.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调区间和极值． 解：(1)∵f ′(x )＝ax ＋2x ＋b (x >0)， 由题意及已知得f ′(1)＝a ＋2＋b ＝4，① f (1)＝4×1－12＝－8. ∴1＋b ＋1＝－8，② 联立①②解得⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－10，∴f (x )＝12ln x ＋x 2－10x ＋1. (2)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由(1)得f ′(x )＝12x ＋2x －10＝2x 2－10x ＋12x ＝2(x －2)(x －3)x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝3.当0<x <2或x >3时，f ′(x )>0，f (x )为增函数， 当2<x <3时，f ′(x )<0，f (x )为减函数．∴f (x )的单调增区间为(0,2)，(3，＋∞)，减区间为(2,3)， 当x ＝2时，f (x )有极大值f (2)＝12ln 2－15， 当x ＝3时，f (x )有极小值f (3)＝12ln 3－20.13．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：∵f(x)＝2x＋ln x，∴f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2.又函数的定义域为(0，＋∞)，∴当0<x<2时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,2)上单调递减；当x>2时，f′(x)>0，∴f(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴x＝2为f(x)的极小值点．故选D.答案：D由Ruize收集整理。
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课时跟踪检测(十六) 导数与函数的综合问题
一保高考，全练题型做到高考达标
1．(2015·兰州双基测试)定义在实数集上的函数f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝1
3x 3－2x ＋m .
(1)求函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程；
(2)若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[－4,4]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵f (x )＝x 2＋x ，∴当x ＝1时，f (1)＝2， ∵f ′(x )＝2x ＋1，∴f ′(1)＝3，
∴所求切线方程为y －2＝3(x －1)，即3x －y －1＝0. (2)令h (x )＝g (x )－f (x )＝1
3x 3－x 2－3x ＋m ，
则h ′(x )＝(x －3)(x ＋1)． ∴当－4＜x ＜－1时，h ′(x )＞0； 当－1＜x ＜3时，h ′(x )＜0； 当3＜x ＜4时，h ′(x )＞0.
要使f (x )≥g (x )恒成立，即h (x )max ≤0， 由上知h (x )的最大值在x ＝－1或x ＝4处取得， 而h (－1)＝m ＋53，h (4)＝m －20
3，
所以m ＋53≤0，即m ≤－5
3，
∴实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－5
3. 2．(2016·贵阳监测改编)已知函数f (x )＝ax －a
e x
(a ＜0)． (1)当a ＝－1时，求函数f (x )的极值；
(2)若函数F (x )＝f (x )＋1没有零点，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝
－x ＋1e x ，f ′(x )＝x －2
e
x .由f ′(x )＝0，得x ＝2. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以，函数f (x )的极小值为f (2)＝－1
e 2，函数
f (x )无极大值．
(2)F ′(x )＝f ′(x )＝a e x －(ax －a )e x e 2x ＝－a (x －2)
e x
.
当a ＜0时，F ′(x )，F (x )的变化情况如下表：
若使函数F (x )没有零点，当且仅当F (2)＝a
e 2＋1＞0，解得a ＞－e 2，所以此时－e 2＜
a ＜0.故实数a 的取值范围为(－e 2,0)．
3．一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km /h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100
km /h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
解：设火车的速度为x km /h ，甲、乙两城距离为a km . 由题意，令40＝k ·203，∴k ＝
1
200
， 则总费用f (x )＝(kx 3＋400)·a x ＝a ⎝⎛⎭⎫
kx 2＋400x ＝a ⎝⎛⎭⎫1200x 2＋400x (0＜x ≤100)． 由f ′(x )＝a (x 3－40 000)100x 2
＝0，得x ＝203
5. 当0＜x ＜203
5时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减； 当203
5＜x ≤100时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．
∴当x ＝2035时，f (x )取极小值也是最小值，即速度为203
5 km /h 时，总费用最少． 4．(2016·沈阳质量监测)已知函数f (x )＝a ln x (a ＞0)，e 为自然对数的底数． (1)若过点A (2，f (2))的切线斜率为2，求实数a 的值； (2)当x ＞0时，求证：f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1
x ； (3)若在区间(1，e)上
f (x )
x －1
＞1恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵f ′(x )＝a x ，f ′(2)＝a
2＝2，∴a ＝4.
(2)证明：令g (x )＝a ⎝⎛⎭⎫ln x －1＋1
x ， 则g ′(x )＝a ⎝⎛⎭⎫
1x －1x 2.
令g ′(x )＞0，得x ＞1，g ′(x )<0，得0<x <1， 所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以g (x )的最小值为g (1)＝0，
所以f (x )≥a ⎝⎛⎭⎫1－1x . (3)要使
f (x )
x －1
>1在区间(1，e)上恒成立， 等价于a ln x
x －1－1>0在区间(1，e)上恒成立，
即
a ln x ＋1－x
x －1
>0在区间(1，e)上恒成立，
令h (x )＝a ln x ＋1－x ，则h ′(x )＝a
x －1，
令h ′(x )＞0，解得x ＜a .
当a ＞e 时，h (x )在(1，e)上单调递增， 所以h (x )＞h (1)＝0.
当1＜a ≤e 时，h (x )在(1，a )上单调递增，在(a ，e)上单调递减， 所以只需h (e)≥0，即a ≥e －1，所以e －1≤a ≤e ； 当0<a ≤1时，h (x )在(1，e)上单调递减， 则需h (e)≥0，而h (e)＝a ＋1－e ＜0，不合题意． 综上，实数a 的取值范围为[e －1，＋∞)．
二上台阶，自主选做志在冲刺名校
(2015·陕西省质量监测)设函数f (x )＝e x －ax －1. (1)若函数f (x )在R 上单调递增，求a 的取值范围；
(2)当a ＞0时，设函数f (x )的最小值为g (a )，求证：g (a )≤0；
(3)求证：对任意的正整数n ，都有1n ＋
1＋2n ＋
1＋3n ＋
1＋…＋n n ＋
1＜(n ＋1)n ＋
1.
解：(1)由题意知f ′(x )＝e x －a ≥0对x ∈R 恒成立，且e x ＞0，故a 的取值范围为 (－∞，0]．
(2)证明：由a ＞0，及f ′(x )＝e x －a 可得，
函数f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增， 故函数f (x )的最小值为g (a )＝f (ln a )＝e ln a －a ln a －1＝a －a ln a －1， 则g ′(a )＝－ln a ，
故当a ∈(0,1)时，g ′(a )＞0，当a ∈(1，＋∞)时，g ′(a )＜0， 从而可知g (a )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 且g (1)＝0，故g (a )≤0.
(3)证明：由(2)可知，当a ＝1时，总有f (x )＝e x －x －1≥0，当且仅当x ＝0时等号成立．即当x ＞0时，总有e x ＞x ＋1.于是，可得(x ＋1)n ＋
1＜(e x )n ＋
1＝e (n
＋1)x
.
令x ＋1＝1n ＋1，即x ＝－n n ＋1可得⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＜e －
n ；
令x ＋1＝2n ＋1，即x ＝－n －1n ＋1可得⎝⎛⎭⎫2n ＋1n ＋1＜e －(n －
1)；
令x ＋1＝3n ＋1，即x ＝n －2n ＋1
可得⎝⎛⎭⎫3n ＋1n ＋1＜e －(n －
2)；
…… 令x ＋1＝
n n ＋1，即x ＝－1n ＋1
可得⎝⎛⎭⎫n n ＋1n ＋1＜e －
1.
对以上各式求和可得：⎝⎛⎭⎫1n ＋1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫2n ＋1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫3n ＋1n ＋1＋…＋⎝⎛⎭
⎫n n ＋1n ＋1＜e －n ＋e －(n －
1)
＋e
－(n －2)
＋…＋e －1
＝e －
n (1－e n )1－e ＝e －
n －11－e ＝1－e －
n e －1＜1
e －1
＜1.
故对任意的正整数n ，都有1n ＋
1＋2n ＋
1＋3n ＋
1＋…＋n n ＋
1＜(n ＋1)n ＋
1.。