(b －m >0)．（做差即可证明） 记忆口诀”小者小,大者大”
例1. 证明不等式: 111(11)(1)(1)(1)213521
n n ++++>+- 解：原式可变为
246221135(21)n n n ⋅⋅⋅>+⋅⋅⋅⋅- 利用假分数的一个性质(0,0)b b m b a m a a m +>>>>+可得 246213521n n ⋅⋅>- 357212462n n +⋅⋅= 13521(21)2462n n n
-⋅⋅⋅+ ⇒ 22462()2113521n n n ⋅⋅>+-即111(11)(1)(1)(1)2 1.3521
n n ++++>+- 例2.证明: 3111(11)(1)(1)(1)3 1.4732n n ++++>+- 解: 运用两次分式放缩:
分子分母都加1得：258313693.1473225831n n n n -⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅-- ① 分子分母都加2得：25831471031.147323693n n n n -+⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅-② ① × ②相乘,可以得到:22583147103114732.(31)147
322583125831n n n n n n n -+-⎛⎫⋅⋅⋅⋅>⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅+ ⎪---⎝⎭ 所以有3111(11)(1)(1)(1)3 1.47
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n n ++++>+- 技巧四：基本不等式放缩 例3.设1223(1).n S n n =⋅+⋅+
++求证2(1)(1).22n n n n S ++<< 解析： 此数列的通项为(1),1,2,
,.k a k k k n =+=11(1)22k k k k k k ++<+<=+，11
1()2n n n k k k S k ==∴<<+∑∑，即2(1)(1)(1).2222n n n n n n n S +++<<+< 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式2
a b ab +≤，若放成(1)1k k k +<+则得2
1(1)(3)(1)(1)22n
n k n n n S k =+++<+=>∑，就放过“度”了！
②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里
22111111n n n n n a a a a n a a n n a a ++++≤≤≤++
其中，3,2=n 等的各式及其变式公式均可供选用。
例4.已知函数1()12bx f x a =
+⋅，若4(1)5f =，且()f x 在[0，1]上的最小值为12，求证：111(1)(2)().22
n f f f n n ++++>+- 解析: 4111()11(0)(1)()(1)14142222
x x x x f x x f f n ==->-≠⇒++>-++⋅⨯ 2111111111(1)(1)(1).222242222n n n n n -++-++-=-+++=+-⨯⨯
【练一练】
1. 已知数列111{}2,.(1)
n n n a a a a n n +==-+满足 （1）求函数{}n a 的单调区间
（2）设12321,,21 1.n n n n n b T b b b b n T a =
=⋅⋅+⋅>求证:
2.已知()x x f x e e -=+,求证: 12(1)(2)(3)()(1)n n f f f f n e +⋅⋅⋅
⋅>+ 3.已知1()f x x x =+
,求证: (1)(2)(3)(2)2(1)n n f f f f n n ⋅⋅⋅⋅>+
上期答案：
1. 解析:提示: 121ln(1)ln ln ln ln 21
11n n n n n n n n n +++=⋅⋅⋅=+++--
函数构造形式: 1ln ,ln 1x x x x
<>- 2. 解析:构造函数后即可证明 3.解析:构造函数()ln(1)(1)1(1)f x x x x =---+>,求导,可以得到:
'12()111
x f x x x -=-=--,令'()0f x >有12x <<,令'()0f x <有2x >, 所以()(2)0f x f ≤=,所以ln(1)2x x -≤-,令21x n =+有, 22ln 1n n ≤-
所以
ln 112n n n -≤+,所以ln 2ln 3ln 4ln (1)(*,1)34514
n n n n N n n -++++<∈>+
