高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类竞赛试题选讲

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高中数学竞赛专题讲座竞赛讲座05几何解题途径的探求方法

比赛讲座 05－几何解题门路的探究方法一．充足地睁开想象想象力，就是人们平时说的形象思想或直觉思想能力。

想象力关于人们的创建性劳动的重要作用，马克思曾作过高度评论：“想象是促使人类发展的伟大天分。

”解题一项创建性的工作，自然需要丰富的想象力。

在解题过程中，充足睁开想象，主假如指：1．全面地假想假想，是指对同一问题从各个不一样的角度去察看思虑和深入剖析其特点，推断解题的大概方向，构想各样不一样的办理方案。

例1．在ABCD中，AB=AC ，D 是BC边上一点，E是线段AD上一点，且BED2CED BAC ，求证：BD=2CD （ 92年全国初中联赛试题）例2．在ABC 中，AB>AC， A 的外角均分线交ABC 的外接圆于D，DE AB 于E。

求证：AE ( AB AC )（ 89 年全国高中联赛试题）23．在Rt ABC的斜边上取一点D，使ABD和ACD的内切圆相等。

证明：S ABC AD 2（31 届 IMO 备选题）例 4．设 A 是三维立体a bc的长方体砖块。

若 B 是全部到 A 的距离不超出 1 的点的会合（特别地， B 包含 A），试用abc的多项式表示 B 的体积（ 84 年美国普特南数学竟赛试题）2．宽泛地联想联想，是指从事物的相联糸中来考虑问题，从一事物想到与其有关的各样不一样的事物，进行由此彼的考虑。

在解题过程中，我们如能根椐问题特点宽泛地联想熟知命题，并想法将其结论或解法加以利用，则无疑是获取解题门路的简捷方法。

例 5．在ABC 中角A，B，C的对边分别为a，b，c，若角A，B，C的大小成等比数列，且 b2a2ac ，求角B（85年全国高中联赛试题）例6．四边形 ABCD内接于 o ，对角线 AC BD 于 P ， E 是 CD 的中点，OF AB于F。

求证：PE OF （78年上海高中竟赛试题）例7．在正方体ABCD A1B1C1D1中，E是BC的中点，F在棱 AA1上，且A1F : FA 1 : 2，求平面B1EF与底面A1 B1C1D1所成的二面角。

高中数学联赛解析几何专题练习(详解版)

高中数学联赛解析几何专题练习（详解版)一、单选题1．已知12F F 、分别为双曲线()222210,?0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上任一点。

若212PF PF 的最小值为8a ，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )。

A ．(1, 3] B ．(1,2] C ．[2,3] D ．[3,十∞) 2．对0b a >>，取第1象限的点(),k k k A x y ()1,2,,k n =L ，使a ，1x ，2x ，L n x ，b 成等差数列，而a ，1y ，2y ，L ，n y ，b 成等比数列.则各点1A 、2A 、L 、n A 与射线():0l y x x =>的关系为（）.A ．各点均在射线l 的上方B ．各点均在射线l 上C ．各点均在射线l 的下方D ．不能确定 3．若直线4x π=被曲线C ：()()()()arcsin arccos arcsin arccos 0x a x a y a y a --+--=所截得的弦长为d ，当a 变化时d 的最小值是（）．A ．4πB ．3πC ．2πD ．π4．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（）.A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线5．已知1F 、2F 为椭圆与双曲线的公共焦点，P 为它们的一个公共点，且1260F PF ∠=o .则该椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（）.A．3 B．2 C ．l D6．过椭圆2212x y +=的右焦点2F 作倾斜角为45︒的弦AB .则AB 为（）. A．3 B．3 C．3 D．37．点P （0，2）关于直线210x y +-=的对称点坐标是A ．（-2，0）B ．（-1，0）C ．（0.-1）D ．62,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 8．以双曲线2214x y m-=的离心率为半径、右焦点为圆心的圆与双曲线的渐近线相切．则m =（）A ．32B ．43C ．54D ．65 9．记()()()223,03x F x y x y y y ⎛⎫=-++≠ ⎪⎝⎭．则(),F x y 的最小值是（）． A ．125 B ．165 C ．185 D ．410．设1A 、2A 为椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右顶点．若在椭圆上存在异于点1A 、2A 的点P ，使得20PO PA ⋅=u u u v u u u u v ，其中，O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是（）．A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．⎫⎪⎪⎝⎭二、填空题11．若实数x 、y 满足x -=，则x 的取值范围是______.12．在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数⑤存在恰经过一个整点的直线13．抛物线22y x =的一条弦被()4,2A 平分，那么这条弦所在的直线方程是__________. 14．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=＞＞的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线的右支交于点P ，且1245F PF o ∠=。

高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何

高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A ．B ．CD ．上述三个选项都不对3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C ，2C 是离心率都为e 的椭圆，点A ，B 是分别是2C 的右顶点和上顶点，过A ，B 两点分别作1C 的切线1l ，2l ．若直线1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的值为（）A ．2eB ．21e -C ．21e -D ．21e 6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y +=的中心作两条互相垂直的弦AC 和BD ，顺次连接,,,A B C D 得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A ．10B ．12C ．14D ．167．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C 上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．⎫⎪⎪⎝⎭D ．⎝⎭二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A ．最大值为4B ．最大值为4C ．最小值为4-D ．最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F和l 为其对应的焦点及准线，过F 作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C 上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ 的方程；若不存在，请说明理由．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.28．（2022·新疆·高二竞赛）如图，已知ABC 内接于抛物线2:=E x y ，且边,AB AC 所在直线分别与抛物线2:4=M y x 相切，F 为抛物线M 的焦点．求证：(1)边BC 所在直线与抛物线M 相切；(2)A ，C ，B ，F 四点共圆．（2021·全国·高三竞赛）已知(2,1)S 为椭圆22Γ:182x y+=上的点，对椭圆Γ上的任意两点P 、Q ，用如下办法定义它们的“和”P Q +：过点S 作一条平行于PQ （若点P 与Q 重合，则直线PQ 表示椭圆Γ在P 处的切线）的直线l 与椭圆Γ交于不同于S 的另一点，记作P Q +（若l 与椭圆Γ相切，则规定S 为P Q +）.并规定n nP P P P=+++个.29．若点(0,P Q ，求P Q +、2P 以及100P 的坐标.30．在椭圆Γ上是否存在不同于S 的点P ，满足3P S =？若存在，求出所有满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.高中数学竞赛与强基计划试题专题：解析几何答案一、单选题1．（2020·北京·高三强基计划）从圆224x y +=上的点向椭圆22:12x C y +=引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积为（）A ．2πB ．3πC ．4πD ．前三个答案都不对【答案】A【分析】算出椭圆内与切点弦不相交的点的边界的方程，从而可求区域的面积.【详解】设圆224x y +=上一点为(2cos ,2sin )P θθ，则对应切点弦所在直线l 的方程为2cos 2sin 12xy θθ⋅+⋅=即cos 2sin 1x y θθ+=，1≥，故椭圆C 内不与任何切点弦相交的区域面积即为椭圆2241x y +=围成的面积，其面积为1ππ122⨯⨯=.2．（2022·北京·高三校考强基计划）内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是（）A．B．CD ．上述三个选项都不对【答案】D【分析】求出椭圆的极坐标方程，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别求出22,OA OB ，再根据222AB OA OB =+，结合三角恒等变换化简，再根据三角函数的性质求出AB 的最大值和最小值，即可得解.【详解】解：由22149x y +=，得229436x y +=，化为极坐标方程为223645cos ρθ=+，设内接于椭圆22149x y +=的菱形为ABCD ，则OA OB ⊥，设()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则22123645cos OA ρθ==+，22222363645sin 45cos 2OB ρπθθ==+⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以2221222363645cos 45sin AB ρρθθ=+=+++2223613361325162025sin cos 36sin 24θθθ⨯⨯==+++，当2sin 20θ=时，2AB 取得最大值，即AB所以菱形的周长的最大值为当2sin 21θ=时，2AB 取得最小值，即AB 的最小值为13，所以菱形的周长的最小值为13，所以内接于椭圆22149x y +=的菱形周长的最大值和最小值之和是1313=.3．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）已知直线1211::22l y x l y x =-=，，动点P 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上，作1//PM l 交2l 于点M ，作2//PN l 交1l 于点N .若22PM PN +为定值，则（）A ．2ab =B ．3ab =C ．2a b =D ．3a b=【答案】C【分析】根据四边形OMPN 是平行四边形，得到2222PM PN OM ON +=+为定值，然后将取特殊位置(),0P a ，()0,P b 求解.，易知由四边形OMPN 是平行四边形，所以2222PM PN OM ON +=+为定值，取点(),0P a 时，由()1212y x a y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得24a x a y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以,24a a M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,24a a N ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22258OM ON a +=，取点()0,P b 时，由1212y x b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2x bb y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以,2b M b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由对称性得：,2b N b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22252OM ON b +=，所以225582a b =，即2a b =，4．（2020·北京·高三强基计划）设直线3y x m =+与椭圆2212516x y +=交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OAB面积的最大值为（）A ．8B ．10C ．12D ．前三个答案都不对【答案】B【分析】联立直线方程和椭圆方程后消元，利用公式可求面积的表达式，再利用基本不等式可求面积的最大值.【详解】由22312516y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22241150254000x mx m ++-=，()22222500424125400160024116000m m m ∆=-⨯-=⨯->，故m而241241AB ==，故1122ABOS AB ==△2224120210241m m+-⨯==，当且仅当m=等号成立，故OAB面积的最大值为10，5．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，1C，2C是离心率都为e的椭圆，点A，B是分别是2C的右顶点和上顶点，过A，B两点分别作1C的切线1l，2l．若直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，则12k k的值为（）A．2e B．21e-C．21e-D．21e【答案】C【详解】不妨设22122:1x yCa b+=，222222:x yCa bλ+=(0,1)a bλ>>>，∴,(,0)(0,)A aB bλλ，11:()l y k x aλ=-代入1C的方程得：()2222322422211120b a k x a k x a k a bλλ+-+-=，()()()23222224222111Δ240a kb a k a k a bλλ=--+-=，化简得()221221bkaλ=-．22:l y k x bλ=+代入22221x ya b+=得()22222222222220b a k x a bk x a b a bλλ+-+-=．()()()222222222222Δ240a bkb a k a b a bλλ=-+-=．化简得()222221bkaλ-=．∴422124bk ka=，∴222212221b a ck k ea a-===-，6．（2020·湖北武汉·高三统考强基计划）过椭圆22149x y+=的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，顺次连接,,,A B C D得一四边形，则该四边形的面积可能为（）A．10B．12C．14D．16【答案】B【分析】设()11,A x y,()22,B x y，设x轴正方向旋转到与向量OA 同向所转过的角为α，利用三角函数的定义表示,A B的坐标，代入椭圆方程，求得223636,OA OB关于α的函数表达式，进而得到223636OA OB关于α的函数表达式，利用三角函数恒定变形化简，然后利用三角函数的性质求得其取值范围，进而得到四边形面积的取值范围，从而做出选择.【详解】设()11,A x y ,()22,B x y ，设x 轴正方向旋转到与向量OA同向所转过的角为α，并根据题意不妨设OA 到OB 为逆时针旋转π2,则11cos ,sin .x OA y OA αα⎧=⎪⎨=⎪⎩,22cos sin ,2sin cos .2x OB OB y OB OB πααπαα⎧⎛⎫=+=- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+= ⎪⎪⎝⎭⎩22149x y +=，229436x y +=,2222369cos 4sin 5cos 4OA ααα=+=+, 22223694cos 5sin 4sin OBααα=+=+,2222236362516925cos sin 36sin 23636,44OA OBααα⎡⎤=+=+∈⎢⎥⎣⎦，∴36136,2OA OB ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,1442,1213ABCD S OA OB ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦,当4πα=时取到最小值14413，当0α=时取得最大值12.只有选项B 中的12在此范围内7．（2019·贵州·高三校联考竞赛）设椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，其焦距为2c .点322c N ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，点M 是椭圆C上的动点，且112||MF MN F +<恒成立，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．,121⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D．⎝⎭【答案】D【详解】由322c N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆的内部，得22229142c c a b +<，即222222924b c a c a b +<，从而422441590a a c c -+>，得到4291540e e -+>，因此()()2231340e e -->.因为0<e <1，所以3e 2－4<0，故3e 2<1，得到0e <<.又由112||MF MN F +<恒成立，即22||a MN MF +-<恒成立，等价于()2max2||a MN MF +-<，亦即22a NF +<，等价于2a ，即2a e >.e <<二、多选题8．（2022·贵州·高二统考竞赛）如图，M ，N 分别是Rt ABC △两直角边上的动点，P 是线段MN 的中点，则以下结论正确的是（）A ．当△AMN 的面积为定值时，点P 的轨迹为双曲线一支B ．当|MN |为定值时，点P 的轨迹为一圆弧C ．当||||AM AN +为定值时，点P 的轨迹为不含端点线段D ．当△AMN 的周长为定值时，点P 的轨迹为抛物线【答案】ABC【详解】建立如图的直角坐标设(),P x y ，则(2,0)M x ，(0,2)N y ，0x >，0y >，对于A ，当Rt △AMN 面积为定值()20k k >时，12222x y k ⋅⋅=，∴(0)x y k k ⋅=>轨迹为双曲线一支，所以A 正确．对于B ，若2(0)MN d d =>，则222222444x y d x y d +=⋅+=，(0,0)x y >>是一圆弧，所以B 正确．对于C ，当2(0)AM AN t t +=>时，222(0,0)x y t x y +=>>，即(0,0)x y t x y +=>>为空端点线段，所以C 正确．对于D ，当Rt △AMN 的周长为定值2C 时，则222x y C ++，即(0,0)x y C x y +=>>，()C x y =-+，∴22222222x y C Cx Cy xy x y +=--+++，所以2(22)2x C y Cx C -=-，2222Cx C y x C-=-轨迹为双曲线一支，所以D 错误．9．（2020·北京·高三校考强基计划）已知A ，B 分别为双曲线2214x y -=的左、右顶点，P 为该曲线上不同于A ，B 的任意一点设,,∠=∠= PAB PBA PAB αβ的面积为S ，则（）A ．tan tan αβ⋅为定值B ．tantan22αβ⋅为定值C ．tan()S αβ⋅+为定值D ．cot()S αβ⋅+为定值【答案】AC【分析】利用三角换元得到P 的坐标为2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，利用斜率公式可求,αβ与θ的关系，化简后可得,αβ的关系，故可判断AB 的正误，根据面积公式可求S （用θ表示），故可判断CD 的正误.【详解】不妨设2,tan ,0,cos 2P πθθθ⎛⎫⎛⎫∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则tan sin tan 22(1cos )(2)cos θθαθθ==+--，tan sin tan 22(1cos )2cos θθβθθ=-=---，1||tan 2tan 2S AB θθ=⋅⋅=，因此2114tan ,tan ,221t t S t t αβ==-=-，其中tan 2t θ=．对于选项A ，1tan tan 4αβ=-为定值．对于选项B ，由于22224tantan22tan tan 1tan tan tantan 2222αβαβαβαβ=⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，因此若tantan22αβ为定值，则tantan 22αβ+为定值，从而tan 2α和tan 2β是确定的值，矛盾，对于选项C ，D ，有()2112122tan()115122t t t t t tαβ--+==-+⋅，因此tan()S αβ⋅+是定值，cot()S αβ⋅+不是定值．10．（2020·北京·高三校考强基计划）已知点(1,1),(1,0)A Q ，P 为椭圆22143x y +=上的动点，则||||PA PQ +的（）A．最大值为4B．最大值为4C．最小值为4-D．最小值为4【答案】BD【分析】利用椭圆的定义可求||||PA PQ +的最值.【详解】注意到Q 为椭圆的右焦点，设其椭圆的左焦点为(1,0)Q '-，则()()||||||44||PA PQ PA PQ PA PQ +=+-=-''+，而||PA PQ -'的取值范围是,AQ AQ ''-⎡⎤⎣⎦，即[，因此所求最大值为4，最小值为4三、填空题11．（2022·江苏南京·高三强基计划）设F ，l 分别为双曲线()22411212x y --=的右焦点与右准线，椭圆Γ以F 和l 为其对应的焦点及准线，过F作一条平行于y =的直线，交椭圆Γ于A ､B 两点，若Γ的中心位于以AB 为直径的圆外，则椭圆离心率e 的范围为___________.【答案】⎫⎪⎪⎭【详解】由双曲线方程可知其焦准距为3，则椭圆Γ的焦准距23b c=（同侧焦点和准线），如图，设椭圆中心为O，建立平面直角坐标系，设F ：()222210x y a b a b+=>>，()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB方程：)y x c =+，联立直线AB 和椭圆Γ可得：()222222223630b a x a cx a c a b +++-=，由韦达可得：212222212226+=-+33=+3a x x b a a c x x b a ⋅⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，由椭圆中心O 位于以AB 为直径的圆外，则有12120OA OB x x y y ⋅=+>，结合韦达定理可得：222242222422222233330333a c a b b a c a b b b a b a b a----+=>+++，所以422441030a a c c -+<，即423e 10e 40-+<，e 1<<，12．（2018·山东·高三竞赛）若直线65280x y --=交椭圆22221x ya b+=（0a b >>，且2a 、b 为整数）于点A 、C ．设()0,B b 为椭圆的上顶点，而ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，则椭圆的方程为______．【答案】2212016x y +=【详解】设()11,A x y ，()22,C x y ，由题意ABC 的重心为椭圆的右焦点2F ，整理得213x x c +=，21y y b +=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，得到212165y y x x -=-．由()11,A x y ，()22,C x y 在椭圆()222210x y a b a b +=>>上，得到2211221x y a b +=，2222221x y a b+=．两式相减并整理得()()()()2212122121635y y y y b b a x x x x c +---==⋅+-，整理得225a bc =．①本号资料全部来源于微信公#众号：数学第六感因为()11,A x y ，()22,C x y 在直线65280x y --=上，所以有1165280x y --=，2265280x y --=．将123x x c +=，12y y b +=-代入得()635560c b ⨯---=，整理得18556c b +=．②联立①②，且注意到a 、b 为整数，解得2c =，4b =，220a =．故所求的椭圆方程为2212016x y +=．13．（2022·新疆·高二竞赛）设z 为复数，若方程2297--=z z 表示一条圆锥曲线，则此曲线的离心率=e ___________．【答案】4【详解】令||,|3|,|3|=-=+=z a z b z c ，则27-=a bc ．由复数的几何意义知222218+=+b c a ．所以由前两式知2()32-=b c，即||-=b c ，故||3||3||6--+=<z z ．因此z6的双曲线，14．（2021·全国·高三竞赛）已知集合{}22(,)|||||,0,(,)|1,044x y A x y x y t t B x y m m ⎧⎫=+>=+≤<<⎨⎩≤⎬⎭满足B A ⊆，若P 为集合B 的边界线C 上任意一点，12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，直线1IF 和2IF 的斜率分别为12k k 、，且1213k k ⋅=-则t 的最小值为________．【详解】因为12F F 、为曲线C 的焦点，I 为12PF F △的内心，若曲线C 的方程为22221x y a b +=，则I 的轨迹方程为22221x y c bc c a +=⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故有22121.3bc c a c k k ⎛⎫ ⎪+⎝⎭=-=-⋅可知::2:a b c =，所以3m =．设(2cos )P θθ为曲线C上一点，则有|2cos ||t θθ≥+恒成立，即t ≥15．（2021·全国·高三竞赛）已知ABCD Y 的四个顶点均在双曲线2214y x -=上，点(0,1)P 在边AB 上，且12AP PB =，则ABCD Y 的面积等于_______.【答案】4【分析】由对称性，知O 为平行四边形的中心，设()00,A x y ，得()002,32B x y --，将点A 、B 的坐标代入双曲线方程，求得A 、B 的坐标，利用等面积法知4ABCD AOB S S = △，代入即可求解.【详解】由平行四边形的对称性与双曲线的对称性，知O 为平行四边形的中心，由A 、B 、C 、D 四点在两支双曲线上各有两点，不妨设A 、D 在左支上，B 、C 在右支上，如图：考虑A 、B 关于双曲线中心的对称点,A B ''，因为单支双曲线上不存在四点构成平行四边形，知,A C B D =''=，所以ABCD Y 的对称中心为O .设()00,A x y ，由12AP PB =，得()002,32B x y --.将点A 、B 的坐标代入双曲线方程得()22002020*******y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，解得：00814x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或00814x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或A B x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故242||21ABCDADB AOB A B S S S OP x x ===⋅-=⨯⨯YV V.四、解答题16．（2022·湖北武汉·高三统考强基计划）设F 为椭圆C ：22194x y +=的左焦点，P 为椭圆C上的一点(1)作正方形FPAB （F ，P ，A ，B 按逆时针排列）当P 沿着椭圆运动一周，求动点B 的轨迹方程.(2)设()3,2Q 为椭圆外一点，求PQ PF +的取值范围.【答案】(1)((22=149x x -+.(2)【详解】（1）如图所示,将椭圆C绕其左焦点()F 逆时针旋转90 ,得到椭圆'C,注意到在正方形FPAB 中,点B 可以看成也是由点P 绕点F 逆时针旋转90 而形成的,由于点P 在椭圆C 上运动,则点B 在椭圆'C 上运动.求B 的轨迹方程,也就是求椭圆'C 的方程.注意到椭圆'C的中心坐标为(,从而'C的方程为((22=149x x +.（2）如图所示,|||||PQ PFQF +≥当且仅当,,P F Q 三点共线,即P 运动到1P 位置时,等号成立.记椭圆C 的右焦点为)E,注意到()||||=||2||=||||6PQ PF PQ a PE PQ PE ++--+，显然有||||||=PQ PE QE -≤从而||||6PQ PF +≤+,当且仅当,,P E Q 三点共线,即P 运动到2P 位置时,等号成立.||||6PQ PF ≤+≤即PQ PF+的取值范围17．（2018·全国·高三竞赛）一束直线12,,l l 的每条均过xOy 平面内的抛物线2:C y x =的焦点，()1i l i ≥与抛物线C 交于点i A 、i B .若1l 的斜率为1，()2i l i ≥的斜率为1+2014l 的解析式.【答案】((()()201520152014201411112411y x -⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-【详解】易知抛物线焦点1,04P ⎛⎫⎪⎝⎭.设()1:1,2,4i i l y k x i ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ ，并与2y x =联立知点i A 、i B 的横坐标i A x 、i B x 满足关于x 的方程()2222120216i i i k k x k x -++=且i i A B x x ≠.则i ii i A B A B x =-=221i i k k +=.从而，当2i≥时，有1111i i k k -==+.记{}n F 满足121F F ==及递推关系21n n n F F F ++=+则{}n F 为斐波那契数列其通项公式为n nn F ⎡⎤⎛⎥=- ⎥⎝⎭⎝⎭⎦.下面证明：1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.由2111F k F ==，知i=1时结论成立.设i=t 时结论成立.则121111111t t t t t t t t t F F F F k k F F F +++++++=+=+==即i=t+1时结论也成立.由数学归纳法知1i i iF k F +=对一切正整数i 成立.特别地，201520142014F k F =.从而，2014l的解析式为((()()201520152014201411112411y x +-⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭-.【注】本题亦可用不动点方法求数列{}i k 的通项.18．（2018·福建·高三竞赛）已知1F 、2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且12F PF △的垂心为5,33H ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的方程；（2）设A 为椭圆C 的左顶点，过点2F 的直线l 交椭圆C 于D 、D 两点．记直线AD 、AE 的斜率分别为1k 、2k ，若1212k k +=-，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）()21y x =-【详解】设()1,0F c -，()2,0F c ．由12F PF的垂心为53H ⎫-⎪⎪⎝⎭，得12F H PF ⊥．所以12531F H PF k k -⋅==-，224593c -=，解得21c =．由点P ⎫⎪⎪⎝⎭在椭圆C 上，得2224119a b +=．结合2221a b c -==，解得24a =，23b =．所以椭圆C 的方程为22143x y +=．（2）由（1）知()2,0A -，()21,0F ．若l 的斜率不存在，则由对称性，知120k k +=，不符合要求．若l 的存在，设为k ，则l 的方程为()1y k x =-．由()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22224384120k x k x k +-+-=．①设()11,D x y ，()22,E x y ，则2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．所以()()1212121212112222k x k x y y k k x x x x --+=+=+++++()()()12121234331122222x x k k x x x x ⎡⎤++⎛⎫=-+-=⋅-⎢⎥⎪++++⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()221222121222834344322412824244343k x x k k k k k x x x x k k ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎡⎤+++⎝⎭⎢⎥=⋅-=⋅-⎢⎥⎢⎥-+++⎢⎥⎣⎦+⨯+⎢⎥++⎣⎦()222222238161221122412161612k k k k k k k k k k ⎡⎤++⎛⎫+⎢⎥=⋅-=⋅-=- ⎪-+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦．又1212k k +=-，因此2k =，直线l 的方程为()21y x =-．19．（2018·江西·高三竞赛）若椭圆221259x y +=上不同的三点()11,A x y ，94,5B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()22,C x y 到椭圆右焦点的距离顺次成等差数列，线段AC 的中垂线l 交x 轴于点T ，求直线BT 的方程．【答案】252064x y -=【详解】用a 、b 、c 分别表示椭圆的半长轴、半短轴及半焦距之长度，则5a =，3b =，4c =，右焦点为()4,0F ，且准线方程为2a x c=，由21AFca a x c=-，22CF c a a x c=-，得1455AF x =-，2455CF x =-，根据等差性质，2AF CF BF +=，而95BF =，即12441855555x x ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以128x x +=．①设线段AC 的中点为D ，则其坐标为124,2y y D +⎛⎫ ⎪⎝⎭，又设点T 的坐标为()0,0T x ，则AC 的中垂线DT 的方程为()12121242y y x xy x y y +--=---．因()0,0T x 在此直线上，故有()1212012042y y x xx y y +--=---，即()221201242y y x x x --=-．②又根据A 、B 在椭圆上，得()221192525y x =-，()222292525y x =-，所以()()22121212925y y x x x x -=-+-，据①，即有()22121236225y y x x -=--．③再据②③得06425x =，即点T 的坐标为64,025T ⎛⎫⎪⎝⎭，于是直线BT 的方程为252064x y -=．20．（2018·湖北·高三竞赛）已知O 为坐标原点，()1,0N ，点M 为直线=1x -上的动点，MON ∠的平分线与直线MN 交于点P ，记点P 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭作斜率为k 的直线l ，若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，求k 的取值范围.【答案】（1）()201y x x =≤<（2）11,132⎧⎫+⎪⎪⎛⎤-⎨⎬⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭ 【详解】(1).设()(),,1,P x y M t -，易知01x ≤<.因为OP 平分MON ∠，所以OM MP PN ON==，所以)11,x x +-①)0y t y -=-.②由①②可得21y t x =-，代入①得到11x x +=-E 的方程为()201y x x =≤<.(2).记()()1,1,1,1A B -，则11,3QA QB k k ==-.直线l 的方程为1122y k x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，与抛物线方程2y x =联立，消去x 得()21102ky y k -+-=当直线l 与抛物线2y x =相切于点T 时，()1210k k ∆=--=，解得1,2k =当1k k ==T y =T 在曲线E 上；当212k k ==时，T y =，切点T 不在曲线E 上.若直线l 与曲线E 恰好有一个公共点，则有QB QA k k k <≤或k =，故所求k的取值范围为1,13⎛⎤-⋃ ⎥⎝⎦⎪⎪⎩⎭.21．（2021·全国·高三竞赛）过抛物线22y px =(p 为不等于2的质数)的焦点F ，作与x 轴不垂直的直线l 交抛物线于M ､N 两点，线段MN 的垂直平分线交MN 于P 点，交x 轴于Q 点.（1）求PQ 中点R 的轨迹L 的方程；（2）证明：L 上有无穷多个整点(横、纵坐标均为整数的点)，但L 上任意整点到原点的距离均不是整数.【答案】（1）24()(0)y p x p y =-≠；（2）证明见解析.【详解】（1）抛物线22y px =的焦点为(,0)2p ，设l 的直线方程为()(0)2p y k x k =-≠.由得222y pxp y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得222221(2)04k x pk p x p k -++=.设M ､N 的横坐标分别为12x x 、，由21222pk p x x k ++=，得22122222,()2222P Px x pk p pk p p px y k k k k+++===-=，而PQ l ⊥，故PQ 的斜率为1k -，PQ 的方程为2212()2p pk py x k k k +-=--.代入0Q y =得222223222Q pk p pk px p k k ++=+=.设动点R 的坐标为(),x y ，则:21()21()22p Q P Qp x x x p k p y y y k ⎧=+=+⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，因此222()4(0)p p x p y y k-==≠，故PQ 中点R 的轨迹L 的方程为24()(0)y p x p y =-≠.（2）显然对任意非零整数t ，点2((41),)p t pt +都是L 上的整点，故L 上有无穷多个整点.反设L 上有一个整点(),x y 到原点的距离为整数()0m m ≥，不妨设0,0x y >>，则:22224()x y m y p x p ⎧+=⎨=-⎩①②，因为p 是奇质数，于是|p y ，从②可推出|p x ，再由①可推出|p m .令111,,x px y py m pm ===，则有22211121141x y m y x ⎧+=⎨=-⎩③④，由③，④得2211114x x m -+=，于是2211(81)(8)17x m +-=，即()()111181881817x m x m +++-=，于是111181817,8181x m x m ++=+-=，得111x m ==，故10y =，有10y py ==，但L 上的点满足0y ≠，矛盾!因此，L 上任意点到原点的距离不为整数.22．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22:12+=x E y 的右焦点为(c,0)F ，上顶点为M ，圆222:()(0)F x c y r r -+=>，问：椭圆E 上是否存在两点P 、Q 使得圆F 内切于三角形MPQ 若存在，求出直线PQ的方程；若不存在，请说明理由．【答案】存在，PQ的方程为(260x y +-+-=．【详解】假设这样的P 、Q 存在，且设()()1122,,,P x y Q x y ，由题意知(0,1),(1,0)M F ，所以直线()111:10MP y x x y x --+=．因为该直线与圆F 相切，则d r =r =，两边平方化简得()()2222111111x y r x y ⎡⎤+-=+-⎣⎦，整理得()()()()22221111111210r x ryx y -+--+-=．因为()221121x y =-，消去1x 得()()()()()2222111112111210r y r yx y -⋅-+--+-=．因为11y ≠，两边同时除以11y -，得()()()()221111211120r y r y x -⋅++---=，整理得()()221121310x ryr -+-+-=，即点P 在直线()()2221310x r y r -+-+-=上．同理，点Q 也在直线()()2221310x r y r -+-+-=上，因此直线PQ 的方程为()()2221310x r y r -+-+-=．又因为直线PQ 圆Fr=，解得r =因此直线PQ 存在且直线PQ的方程为(260x y +-+-=．23．（2021·全国·高三竞赛）如图所示，()(),0P a b a b <<为抛物线2:4F y x =外一点，过P 引抛物线Γ的两条切线PA PB 、，切点分别为A 、B ．在线段PA 上取两点D 、E ，使得PD AE =．若过D 、E 两点的直线12l l 、分别切抛物线Γ于M 、N 两点（异于A ）．求四边形MNAB 面积的最大值．【详解】设()()()()11220000,,,,,,,A x y B x y M x y N x y ''，则直线AP 的方程为()112y y x x =+，直线BP 的方程为()222y y x x =+，故有121242y y a y y b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，同理可得1010,22E D y y y yy y '++==，又因为PD AE =，所以1E D y y b y +=+，即002y y b +'=，故12121200424AB MN y y k k x x y y b y y '-=====-++，因此//AB MN ．直线AB 的方程为22by x a =+，直线MN 的方程为0000004y y y x y y y y '''=+++，即0022y y by x '=+，故两平行线间的距离d '，||AB ===||MN =所以00|4|1(||||))24MNABy y a S d AB MN '-=⋅+=⋅，其中0204a y y b ≤'≤，可令22004,b a A b y y X '-=-=，则：1(4MNAB S A X =-218=+3183⎛≤ ⎝⎭当22001(4)9b y y b a '-=-时取到最大值．24．（2021·全国·高三竞赛）已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>，其右焦点为F ，过F 作直线l 交椭圆1C 于A 、B 两点（l 与x 轴不重合），设线段AB 中点为D ，连结OD （O 为坐标原点），直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求椭圆1C 的离心率．【分析】先将椭圆与直线联立，结合韦达定理表示出D 坐标，再结合直线OD 交椭圆1C 于M 、N 两点，若A 、M 、B 、N 四点共圆，且||8||3MN OD =，求出2,3M ⎛ ⎝⎭再代入椭圆求出a ，进而求出离心率.【详解】不妨设椭圆1C 的半焦距1c =，则221b a =-，椭圆右焦点为(1,0)F ．设:1l x ky =+，将1x ky =+，代入22221x ya b+=消去x 化简整理得()()()222222222110a k k a y a ky a -++---=．显然，方程判别式Δ0>，设()(),,,A A B B A x y B x y ．由韦达定理知()2222221A B a k y y a k k a-+=--+，从而()()22222222222211122222A B D A B a k x x ax ky ky a k k a a k k a ⎛⎫-+==++=-+= ⎪ ⎪-+-+⎝⎭，()2222211D D a k x y k a k k a--==--+，于是()22222222221,a k a D a k k a a k k a ⎛⎫-- ⎪ ⎪-+-+⎝⎭．所以直线OD 的方程为()221a x y a k =--．设圆AMBN 的方程为222:0C x y Dx Ey F ++++=，直线l 直线MN 的方程为()232:(1)01a C x ky x y a k ⎛⎫--+= ⎪ ⎪-⎝⎭，由于3C 经过12C C 、的交点，且123C C C 、、均为二次曲线，则存在常数12λλ、，使得()()2222212222(1)11a x y x ky x y x y Dx Ey Fa b a k λλ⎛⎫⎛⎫--+=+-+++++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，比较方程两边xy 系数知()2201a k a k -+=-，即2221a k a =-，由对称性不妨设k =．代入点D 的坐标得1,22D a ⎛- ⎪ ⎪⎝⎭，又||8||3MN OD =，得点2,3M ⎛ ⎝⎭，而M 在1C上，故22222311a a ⎛⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⎭+=-，解得a =于是1C的离心率为3c e a ==．25．（2018·甘肃·高三竞赛）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点()0,2M ，且右焦点为()2,0F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 的直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，交y 轴于点P ．若,PA mAF PB nBF ==，求证：m n +为定值；（3）在（2）的条件下，若点P 不在椭圆C 的内部，点Q 是点P 关于原点O 的对称点，试求三角形QAB 面积的最小值．【详解】（1）由题意b=2，c=2，所以28a =，椭圆C 的方程为22184x y +=．(2)设A 、B 、P 的坐标分别为()()()1122,,,,0,x y x y t ．由PA mAF = 知121m x m =+，11ty m=+．又点A 在椭圆C 上，则22211184m t m m ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=，整理得222840m m t +-+=．由PB nBF =，同理得到222840n n t +-+=．由于A 、B 不重合，即m n ≠，故m 、n 是二次方程222840x x t +-+=的两根，所以m+n=-4，为定值．（3）依题意，直线l 的方程为12x yt+=，即()22t y x =--，与椭圆C 的方程联立，消去y 并整理，得()2222244160t xt x t +-+-=，()()42221642416321280t t tt ∆=-+-=+>，所以221212224416,22t t x x x x t t -+=⋅=++，而1212122QAB S t x x t x x ∆=⋅⋅-=⋅-()()22222121212=4QAB S t x x t x x x x ∆⎡⎤=-+-⎣⎦()42222216166422t t tt t ⎡⎤-⎢⎥=-⎢⎥++⎣⎦()2222321282t t t +=⋅+．()2243212t ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥+⎣⎦由已知，点P 不在椭圆C 的内部，得2t ，即24t ，所以2QAB S ∆的最小值为82563299⨯=，故三角形QAB 面积的最小值为163．26．（2018·山东·高三竞赛）已知圆22:4O x y +=与曲线:3C y x t =-，(),A m n ，(),B s p ，(),,,m n s p *∈N 为曲线C 上的两点，使得圆O 上任意一点到点A 的距离与到点B 的距离之比为定值()1k k >，求t 的值．【答案】43t =【详解】设(),P x y 为圆O 上任意一点，则由题意知PA k PB=．即222PA k PB =，于是()()()()22222x m y n k x s y p ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，整理得()()()()22222222222222111k s m kp nmn k s p x y x y k k k --+-++--=---．因此点P 的轨迹是一个圆．因为(),P x y 为圆上任意一点，所以此圆与圆22:4O x y +=必为同一个圆，于是有()22201k s m k --=-，()22201k p nk --=-，()()22222241mn k s p k +-+=-，整理得20k s m -=，20k p n -=，所以()()()()()22222424222222222411m n k s p k sk p k s p ks p k k +-++-+==+=--．因为s ，*p N ∈，所以21s ≥，21p ≥，从而22242k s p =≤+．又因为1k >，所以1s p ==，22k =，2m n ==．因此将()2,2A ，()1,1B ，代入3y x t =-，得43t =．27．（2022·福建·高二统考竞赛）已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为12，1A ､2A 分别为椭圆C 的左､右顶点，1F ､2F 分别为椭圆C 的左､右焦点，B 为椭圆C 的上顶点，且11BA F ∆的外接圆半径为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设与x 不垂直的直线l 交椭圆C 于P ､Q 两点（P ､Q 在x 轴的两侧），记直线1A P ､2PA ､2A Q ､1QA 的斜率分别为1k ､2k ､3k ､4k .已知()142353k k k k +=+，求2F PQ ∆面积的取值范围.【答案】(1)2211612x y +=(2)0,2⎛ ⎝⎭【详解】（1）由椭圆C 的离心率为12，知12c a =，于是112BF a c OF ===，所以1=30F BO ∠︒，1=60BFO ∠︒，11=120BF A ∠︒，又AB ===，且11BA F ∆所以11==2sin sin1203AB BF A ∠⨯︒，解得=2c ，因此，=4a，b =所以，椭圆C 的方程为2211612x y +=.（2）如图，易知直线l 斜率不为0，设l 方程为x ty m =+，由22=++=11612x ty m x y ⎧⎪⎨⎪⎩，得()2223463480t y mty m +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122634mt y y t -+=+，212234834m y y t -=+，由（1）知，()14,0A -，()24,0A ，所以122211111222111134441643PA PA y y y y k k k k x x x y ⋅=⋅=⋅===-+---，同理，123434OA QA k k k k ⋅=⋅=-，因为()142353k k k k +=+，所以()2323335443k k k k --=+，()2323233543k k k k k k +-⋅=+，由l 与x 不垂直可得230k k +≠，所以23920k k =-，即22920PA QA k k ⋅=-，所以121294420y y x x ⋅=---，()()1212209440y y ty m ty m ++-+-=，于是()()()()22121292094940t y y t m y y m ++-++-=，()()()222223486920949403434m mt t t m m t t --+⋅+-⋅+-=++，整理得2340m m --=，解得1m =-或=4m ，因为P ､Q 在x 轴的两侧，所以2122348034m y y t -=<+，44m -<<，又1m =-时，直线l 与椭圆C 有两个不同的交点，因此1m =-，直线l 恒过点()1,0D -，。

高中数学竞赛专题讲座(解析几何)

高中数学竞赛专题讲座（解析几何）一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0<e<1)的点的轨迹（其中定点不在定直线上），即e dPF =||(0<e<1). 第三定义：在直角坐标平面内给定两圆c 1: x 2+y 2=a 2, c 2: x 2+y 2=b 2, a, b ∈R +且a ≠b 。

从原点出发的射线交圆c 1于P ，交圆c 2于Q ，过P 引y 轴的平行线，过Q 引x 轴的平行线，两条线的交点的轨迹即为椭圆。

2．椭圆的方程，如果以椭圆的中心为原点，焦点所在的直线为坐标轴建立坐标系，由定义可求得它的标准方程，若焦点在x 轴上，列标准方程为12222=+b y a x (a>b>0)，参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）。

若焦点在y 轴上，列标准方程为12222=+b y a y (a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆12222=+by a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b ), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且ace =，由c 2+b 2=a 2知0<e<1.椭圆有两条对称轴，分别是长轴、短轴。

4．椭圆的焦半径公式：对于椭圆=+2222by a x 1(a>b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。

名师讲坛高考数学二轮专题复习课件：专题五解析几何分类题型解析(4讲50张PPT)

于圆 C 时，OB＝1≤ λ＋1－12，解得 λ≥54(舍去)．故负数 λ 的最大值是－34.
圆的方程是常考问题，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐
藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终可以利用圆的知识
来求解，常见的策略如下：
策略一利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐圆；
【解析】设 M(x，y)，则(x＋3)2＋y2＋(x－1)2＋y2＝16，
即(x＋1)2＋y2＝4，所以
1＋3 a2≤2，解得
a≤－
25或
a≥
5 2.
(2) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y＝2x－4.
设圆 C 的半径为 1，圆心在直线 l 上，若圆 C 上存在一点 M，使得 MA ＝2MO，则圆心 C 的横坐标 a 的取值范围为__0_，__1_52___．
由 5a2－12a≤0，得 0≤a≤152.
(3) 在△ABC 中，若 BC＝2 2，A→B·A→C＝1，则△ABC 面积的最大值为____6____．
【解析】如图，以 BC 的中点为坐标原点 O，BC 为 x 轴建立平面直角坐标系，则
B(－ 2，0)，C( 2，0)．设 A(x，y)，则A→B·A→C＝(－ 2－x，－y)·( 2－x，－y)＝x2＋y2
名师讲坛高考高三数学二轮专题复习课件
专题五解析几何微切口17 隐性圆的研究1
(1) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 O：x2＋y2＝1，圆 M：(x＋a＋3)2＋
(y－2a)2＝1(a 为实数)．若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得∠OQP＝30°，则 a 的取值范围为__－__65_，__0_ ．

高一数学竞赛培训《解析几何部分》

高一上期数学竞赛培训资料（15）——解析几何部分（3）——直线和圆的位置关系知识归纳一、知识要点:1、直线和圆的位置关系判断：（1）直线方程和圆的方程联立：220y kx b x y Dx Ey F =+⎧⎨++++=⎩⇔20Ax Bx C ++=⇔000∆>⇔⎧⎪∆=⇔⎨⎪∆<⇔⎩相交相切相离（2）设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则：⇔d r d r d r <⇔⎧⎪=⇔⎨⎪>⇔⎩相交相切相离2、过定点00(,)P x y 作圆:C 222()()x a y b r -+-=的切线l ，切线l 的方程的求法：（1）点P 在圆C 上：则切线l 的方程为：200()()()()x a x a y b y b r --+--=（2）点P 在圆C 外：（有两条）设切线l 的方程为：00()y y k x x -=- （切线的斜率k 存在时）由圆心到直线的距离等于半径得：d r == 可解得斜率k 的值：1k 和2k （若只有一解，则必定有一条切线的斜率不存在！）（3）过圆外一定点00(,)P x y 作圆:C 222()()x a y b r -+-=引两条切线，切点为,A B ，则切点弦AB 所在直线的方程为：200()()()()x a x a y b y b r --+--= 3、圆和圆的位置关系：将两圆的方程联立：221112222200x y D x E y F x y D x E y F ⎧++++=⎨++++=⎩⇔0Ax By C ++= 该二元一次方程为两圆的根轴．．的方程（该直线上一点向两圆引切线，则切线长相等）。

（1）两圆相交时，该直线为两圆的公共弦；（2）两圆相切时，该直线为过切点的公切线。

二、题型示例：类型一：1、已知x y 、是实数，且满足2246120x y x y +--+=，试求： (1)xy 的最值； (2) 22x y +的最值； (3) x y +的最值； (4) 2x y -的最值. 归纳解法：类型二：22kx =+有唯一解，则实数k 的取值范围是；3、设{(,)|1A x y y ==+，{(,)|(2)4}B x y y k x ==-+，若A B 中含有2个元素，则实数k的取值范围是解法：类型三：作图4、如图，某公园有A 、B和，且A 、B 景点间相距2km ，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳的观赏和拍摄效果，则观景点应设于何处？原问题————尺规作图：过A 、B 两点作圆，使之与定直线l 相切。

第五讲高考解析几何问题选讲

高考解析几何问题选讲江苏省常熟市中学季冬青215500一、考试内容1、圆及其相关知识。

2．曲线和方程。

由已知条件列出曲线的方程。

充要条件。

曲线的交点。

3．椭圆及其标准方程。

焦点、焦距。

椭圆的几何性质：范围、对称性、顶点、长轴、短轴、离心率、准线。

椭圆的画法。

4．双曲线及其标准方程。

焦点、焦距。

双曲线的几何性质：范围、对称性、实轴、虚轴、渐近线、离心率、准线。

双曲线的画法。

等边双曲线。

4．抛物线及其标准方程。

焦点、准线。

抛物线的几何性质：范围、对称性、顶点、离心率。

二、考试要求1．掌握直角坐标系中的曲线方程的关系和轨迹的概念。

能够根据所给条件，选择适当的直角坐标系求曲线的方程，并画出方程所表示的曲线。

理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，能够初步判断给定的两个命题的充要关系。

2．掌握圆锥曲线的标准方程及其几何性质。

会根据所给的条件画圆锥曲线。

了解圆锥曲线的一些实际应用。

对于圆锥曲线的内容，不要求解有关两个二次曲线的交点坐标的问题（两圆的交点除外）。

3．理解坐标变换的意义，掌握利用坐标轴平移化简圆锥曲线方程的方法。

4．了解用坐标研究几何问题的思想，初步掌握利用方程研究曲线性质的方法。

三、思想方法1．求轨迹方程的基本方法有两大类，即直接法和间接法。

其中直接法包括：直译法，定义法，待定系数法，公式法等。

间接法包括：转移法，参数法(k参数、t参数，θ参数及多个参数)等。

2．本节解题时用到的主要数学思想方法有：（1）函数方程思想。

求平面曲线的轨迹方程，其解决问题的最终落脚点就是将几何条件(性质)表示为动点坐标x、y的方程或函数关系（参数法）。

（2）数形结合思想。

解题时重视方程的几何意义和图形的辅助作用是非常必要的。

即将对几何图形的研究，转化为对代数式的研究，同时又要理解代数问题的几何意义。

（3）等价转化思想。

在解决问题的过程中往往需要将一个问题等价转化为另一个较为简单的问题去求解。

3．避免繁复运算的基本方法可以概括为：回避，选择，寻求。

高考专题讲座--解析几何热点问题

二、学习目标
三、知识梳理
●求曲线一，是高考中的一
个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，特别是当今高考的改革以考查学生的创新意识为突破口，注重考查学生的逻辑思维能力、运算能力、分析问题和解决问题的能力，而轨迹方程这一热点，则能很好地反映学生在这些方面能力的掌握程度。
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下面介绍几种常用的方法 (1) 直接法：动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，我们只需把这种关系“翻译”成含x、y的等式就得到曲线轨迹方程。 (2) 定义法：其动点的轨迹符合某一基本轨迹的定义，则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。 (3) 几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段中垂线、角平分线性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。
专题解析几何热点问题秭归县屈原高中张鸿斌
4、重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思路，简化解题过程的目的。
用好方程思想。解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就可简化解题运算量。
用好函数思想。掌握坐标法。

高考数学一轮复习专题讲座5 解析几何在高考中的常见题型与求解策略课件理北师大版

探索性问题的求解策略 (1)探索性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． (2)反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法.
③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.
2.(2016·南昌调研测试)已知椭圆 C：ya22＋xb22＝1(a ＞b＞0)的焦距为 4 且过点( 2，－2)． (1)求椭圆 C 的方程； (2)过椭圆焦点的直线 l 与椭圆 C 分别交于点 E，F，求O→E·O→F的取值范围．
－
k)x1＋ x2＝ x1x2
2k＋(2－
4k（ k)2k（
k－ k－
12））＝
2k－
2(k－
1)＝
2.
定点、定值问题的求解策略 (1)定点问题多为两类，一是证明直线过定点，应根据已知条件建立直线方程中斜率 k 或截距 b 的关系式，此类问题中的定点多在坐标轴上；二是证明圆过定点，此类问题应抓住圆心，利用向量转化相应条件，从而找出相应参数满足的条件，确定定点． (2)定值问题，涉及面较多，解决此类问题以坐标运算为主，需建立相应的目标函数，然后代入相应的坐标运算结果即可得到．
或 M(－2 a，a)，N(2 a，a)．
又 y′＝x，故 y＝x2在 x＝2 a处的导数值为 a，C 在点(2 a，
2
4
a)处的切线方程为 y－a＝ a(x－2 a)，
即 ax－y－a＝0. y＝x2在 x＝－2 a处的导数值为－ a，C 在点(－2 a，a)

高中数学竞赛辅导-解析几何(一)

1 k1k2
2.圆的参数方程:

x y

a b

R cos R sin
ห้องสมุดไป่ตู้,其中圆心为
(a,b),半径为 R.
3
思考一
1.与直线 2x 3 y 6 0 关于点 (1, 1) 对称的直线是
(D)
(A) 3x 2 y 2 0
(B) 2x 3 y 7 0
42
5
55
5
思考三: 1.自学教程 P308 例 7 2.正方形 ABCD 的边长为 1, AB, AD 上各有一点 P, Q ,若 △APQ 的周长为 2,求 PCQ .
3. 在直线 l : x y 5 0 上4找5一点 P( x, y) , 使得点
P( x, y) 对 A(1,0), B(3,0) 的视角 APB 最大.
2.过点 (1,4) 引直线 l ,使它在两坐标轴上的截距都是
正数,且截距和为最小,求直线 l 的方程.
2x y 6 0
7
APB 的最大值为 ,
4 点 P 的坐标为 (3, 2)
6
课外思考:
1.当 a, b 均为有理数时,称点 P(a, b) 为有理点,又设
A A( 1998 , 0), B(0, 2000) ,则直线 AB 上( )
(A)不存在有理点
(B)仅有一个有理点
(C)仅有两个有理点 (D)有无穷多个有理点
(C) 3x 2 y 12 0
(D) 2x 3 y 8 0
96 2.(教程 P311 第 5 题)当 k ___ 时,方程
x2 xy 6 y2 20x 20 y k 0 表示两条直线,且它们

高中数学竞赛专题讲座之五《解析几何》各类竞赛试题选讲

高中数学竞赛专题讲座之五：《解析几何》各类竞赛试题选讲一、选择题1．（04湖南）已知曲线C ：x x y 22--=与直线0:=-+m y x l 有两个交点，则m 的取值范围是(C)A ．)2,12(--B ．)12,2(--C ．)12,0[-D ．)12,0(-2．（05全国）方程13cos 2cos 3sin 2sin 22=-+-y x 表示的曲线是（）A ．焦点在x 轴上的椭圆B ．焦点在x 轴上的双曲线C ．焦点在y 轴上的椭圆D ．焦点在y 轴上的双曲线3．（06浙江）已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有（ C ）条.A ．1B ．2C ．3D ．4解: 由,5=AB 分别以A ，B 为圆心，2，5为半径作两个圆，则两圆外切，有三条共切线。

正确答案为C.4．（06安徽）过原点O 引抛物线224y x ax a =++的切线，当a 变化时，两个切点分别在抛物线（）上 A ．2213,22y x y x == B ．2235,22y x y x ==C ．22,3y x y x ==D ．223,5y x y x ==5．若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A ) A ．a 21 B ．a1C ．aD ．a 26．（06江苏）已知抛物线y 2=2px ，o 是坐标原点，F 是焦点，P 是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P 共有(B) A ．0个 B ．2个 C ．4个 D ．6个7．（06全国）如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点.若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（） A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定8．（05四川）双曲线12222=-by a x 的左焦点为1F ，顶点为21,A A ，P 是该双曲线右支上任意一点，则分别以线段211,A A PF 为直径的两圆一定（）A ．相交B ．内切C ．外切D ．相离解：设双曲线的另一个焦点为2F ，线段1PF 的中点为C ，在△P F F 21中，C 为1PF 的中点，O 为21F F 的中点，从而|)||(|21||212112A A PF PF OC -==，从而以线段211,A A PF 为直径的两圆一定内切.9．点A 是直线x y l 3:=上一点，且在第一象限，点B 的坐标为（3，2），直线AB 交x 轴正半轴于点C ，那么三角形AOC 面积的最小值是（A ）10．（02湖南）已知A （-7，0），B （7，0），C （2，-12）三点，若椭圆的一个焦点为C ，且过A 、B 两点，此椭圆的另一个焦点的轨迹为（）（奥析263） A ．双曲线 B ．椭圆 C ．椭圆的一部分 D ．双曲线的一部分 11．（03全国）过抛物线)2(82+=x y 的焦点F 作倾斜角为60O 的直线。

高考数学复习第一部分专题五解析几何第三讲第一课时圆锥曲线的最值范围证明问题市赛课公开课一等奖省名师优

Ⅱ卷
• 动点轨迹方程求法及直线过程定点证实·T20
Ⅰ卷
• 直线与抛物线位置关系、存在性问题 ·T20
Ⅱ卷
• 直线与椭圆位置关系、面积问题及证实问题·T21
Ⅲ卷
• 直线与抛物线位置关系、证实问题及轨迹方程求法·T20
Ⅰ卷 • 直线与圆综合问题·T20
Ⅱ卷
• 椭圆标准方程及直线与圆锥曲线位置
关系·T20
9/47
方法结论
求解圆锥曲线中的最值问题主要有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．
10/47
[设典F例2]是双(1曲)(2线017C·长的沙右模焦拟点)，P因是为双|P曲F线1|－C|P：Fx222－|＝y22＝21，右所支以上|PF一1|
7/47
解析：(1)如图，由已知得 M(0，t)，P2t2p，t. 又 N 为 M 关于点 P 的对称点，故 Ntp2，t，故直线 ON 的方程为 y＝pt x，将其代入 y2＝2px，整理得 px2－2t2x＝0，解得 x1＝0，x2＝2pt2.因此 H2pt2，2t. 所以 N 为 OH 的中点，即||OOHN||＝2.
点＋，|PQ直|＝线2l 是2＋双|P曲F线2|＋C|P的Q一|，条显渐然近当线F，2，P P在，lQ上三的点射共影线为且Q，P
F在1 是F2双，曲Q线之间C 的时左，焦|PF点2|，＋则|PQ|P|F最1|小＋，|PQ且|的最最小小值值为为F(2 到D l )的距
A离．．1易知
l
的方程为
y＝
x或 2

高三数学专题复习讲座解析几何试题

高三数学专题复习讲座解析几何一、本卷贰O 贰贰年贰月捌日编写；出题人：令狐学复；欧阳化语；令狐理总。

二、高考考纲要求高中?解析几何?内容包含两章——直线和圆的方程和圆锥曲线方程，这两章的要求分别如下：〔一〕直线和圆的方程〔1〕理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件纯熟地求出直线方程。

〔2〕掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的间隔公式，可以根据直线的方程判断两条直线的位置关系。

〔3〕理解二元一次不等式表示平面区域。

〔4〕理解线性规划的意义，并会简单的应用。

〔5〕理解解析几何的根本思想，理解坐标法。

〔6〕掌握圆的HY 方程和一般方程，理解参数方程的概念，理解圆的参数方程。

〔二〕圆锥曲线的方程〔1〕掌握椭圆的定义、HY 方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程。

〔2〕掌握双曲线的定义、HY 方程和双曲线的简单几何性质。

〔3〕掌握抛物线的定义、HY 方程和抛物线的简单几何性质。

〔4〕理解圆锥曲线的初步应用。

二、高考考点分析04年高考，各地试题中解析几何内容在全卷的平均分值为27.1分，占18．1％；01年以来，解析几何内容在全卷的平均分值为29.3分，占19.5％．因此，占全卷近1/5的分值的解析几何内容，值得我们在二轮复习中引起足够的重视．近几年高考试题知识点分析从上表中可以发现，高考试题中对解析几何内容的考察几乎囊括了该局部的所有内容，对直线、线性规划、圆、椭圆、双曲线、抛物线等内容都有涉及．1．选择、填空题1．1 大多数选择、填空题以对根底知识、根本技能的考察为主，难度以容易题和中档题为主〔1〕对直线、圆的根本概念及性质的考察例1 〔’04全国文Ⅱ〕点A 〔1，2〕、B 〔3，1〕，那么线段AB 的垂直平分线的方程是〔A 〕524=+y x〔B 〕524=-y x〔C 〕52=+y x 〔D 〕52=-y x例2〔’03全国文Ⅰ〕点03:)0)(2,(=+->y x l a a 到直线的间隔为1，那么a =〔A 〕2〔B 〕－2 〔C 〕12-〔D 〕12+例3〔’04〕以点(1，2)为圆心，与直线4x +3y -35=0相切的圆的方程是_________．例4〔’04全国文Ⅱ〕圆C 与圆1)1(22=+-y x关于直线x y -=对称，那么圆C 的方程为〔A 〕1)1(22=++y x 〔B 〕122=+y x〔C 〕1)1(22=++y x 〔D 〕1)1(22=-+y x 〔2〕对圆锥曲线的定义、性质的考察例4〔’04〕点)0,2(1-F 、)0,2(2F ，动点P 满足2||||12=-PF PF . 当点P 的纵坐标是21时，点P 到坐标原点的间隔是〔A 〕26 〔B 〕23〔C 〕3 〔D 〕2例5〔’04〕假设双曲线18222=-by x 的一条准线与抛物线x y 82=的准线重合，那么双曲线的离心率为〔A 〕2〔B 〕22 〔C 〕 4 〔D 〕24例6〔’04文〕教材中“坐标平面上的直线〞与“圆锥曲线〞两章内容表达出解析几何的本质是〔用代数的方法研究图形的几何性质〕．1．2 局部小题表达一定的才能要求才能，注意到对学生解题方法的考察例6〔’03年〕长方形四个顶点A 〔0，0〕，B 〔2，0〕，C 〔2，1〕和D 〔0，1〕.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4〔入射角等于反射角〕.设P 4的坐标为〔x 4，0〕.假设1< x 4<2，那么tan θ的取值范围是)21,52( 〔A 〕)1,31( 〔B 〕)32,31( 〔C 〕〔D 〕)32,52(例7．〔’04文〕假设过定点(1,0)M -且斜率为k 的直线与圆22450x x y ++-=在第一象限内的局部有交点，那么k 的取值范围是〔A〕0k << 〔B〕0k <<〔C〕0k <<〔D 〕05k <<2．解答题解析几何的解答题主要考察求轨迹方程以及圆锥曲线的性质．以中等难度题为主，通常设置两问，在问题的设置上有一定的梯度，第一问相比照拟简单．例8〔’04〕椭圆的中心在原点，离心率为12 ，一个焦点是F 〔-m,0〕(m 是大于0的常数).〔Ⅰ〕求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M.=，求直线l 的斜率．此题第一问求椭圆的方程，是比拟容易的，对大多数同学而言，是应该得分的；而第二问，需要进展分类讨论，那么有一定的难度，得分率不高．解：〔I 〕设所求椭圆方程是).0(12222>>=+b a by ax由，得 ,21,==a c m c 所以m b m a 3,2==. 故所求的椭圆方程是1342222=+my m x 〔II 〕设Q 〔Q Q y x ,〕，直线),0(),(:km M m x k y l 则点+=当),,0(),0,(,2km M m F QF MQ -=由于时由定比分点坐标公式，得,62.139494,)3,32(.31210,32212022222±==+-=++=-=+-=k mm k m m kmm Q km km y m m x Q Q 解得所以在椭圆上又点0(2)()2,2,1212Q Q m kmMQ QF x m y km +-⨯-=-==-==---当时.于是.0,134422222==+k mm k m m 解得故直线l 的斜率是0，62±.例9〔’04全国文科Ⅰ〕设双曲线C ：1:)0(1222=+>=-y x l a y ax 与直线相交于两个不同的点A 、B .〔I 〕求双曲线C 的离心率e 的取值范围：〔II 〕设直线l 与y 轴的交点为P ，且5.12PA PB =求a 的值. 解：〔I 〕由C 与t 相交于两个不同的点，故知方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=-.1,1222y x y a xy并整理得〔1－a 2〕x 2+2a 2x－2a 2=0.①.120.0)1(84.012242≠<<⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-a a a a a a 且解得所以双曲线的离心率01,2((2,).2e a a a e e e ==<<≠∴>≠+∞即离心率的取值范围为〔II 〕设)1,0(),,(),,(12211P y x B y x A .125).1,(125)1,(,125212211x x y x y x PB PA =-=-∴=由此得由于x 1，x 2都是方程①的根，且1－a 2≠0，2222222222172522289,.,,121121160170,.13a a a x x x a a a a a =-=--=--->=所以消去得由所以例10〔’04全国文科Ⅱ〕给定抛物线C ：,42x y =F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于A 、B两点. 〔Ⅰ〕设l 的斜率为1，求OB OA 与夹角的大小；〔Ⅱ〕设]9,4[,∈=λλ若AF FB ，求l 在y 轴上截距的变化范围.解：〔Ⅰ〕C 的焦点为F 〔1，0〕，直线l 的斜率为1，所以l 的方程为.1-=x y 将1-=x y 代入方程x y 42=，并整理得 .0162=+-x x设),,(),,(2211y x B y x A 那么有 .1,62121==+x x x x.31)(2),(),(212121212211-=++-=+=⋅=⋅x x x x y y x x y x y x OB OA.41]16)(4[||||21212122222121=+++=+⋅+=x x x x x x y x y x OB OA.41143||||),cos(-=⋅=OB OA OB OA OB OA所以OB OA 与夹角的大小为.41143arccos-π 〔Ⅱ〕由题设AF FB λ= 得 ),,1(),1(1122y x y x --=-λ 即⎩⎨⎧-=-=-.1212),1(1y y x x λλ由②得21222yy λ=， ∵,4,4222121x y x y == ∴.122x x λ=③联立①、③解得λ=2x ，依题意有.0>λ∴),2,(),2,(λλλλ-B B 或又F 〔1，0〕，得直线l 方程为 ),1(2)1()1(2)1(--=--=-x y x y λλλλ或当]9,4[∈λ时，l 在方程y 轴上的截距为,1212---λλλλ或由,121212-++=-λλλλλ 可知12-λλ在[4，9]上是递减的， ∴,431234,341243-≤--≤-≤-≤λλλλ 直线l 在y 轴上截距的变化范围为].34,43[]43,34[⋃--从以上3道题我们不难发现，对解答题而言，椭圆、双曲线、抛物线这三种圆锥曲线都有考察的可能，而且在历年的高考试题中往往是交替出现的，以为例，01年考的是抛物线，02年考的是双曲线，03年考的是求轨迹方程〔椭圆〕，04年考的是椭圆．三、高考热点分析与05年高考预测 1．重视与向量的综合在04年高考文科12个新课程卷中，有6个的解析几何大题与向量综合〔如上面的例13、14、15〕，主要涉及到向量的点乘积〔以及用向量的点乘积求夹角〕和定比分点等，因此，与向量综合，仍是解析几何的热点问题，预计在05年的高考试题中，这一现状仍然会持续下去．例11〔02年新课程卷〕平面直角坐标系中，O 为坐标原点，两点A 〔3，1〕，B 〔－1，3〕，假设点C 满足OB OA OC βα+=，其中α、β∈R ，且α＋β=1，那么点C 的轨迹方程为〔A 〕〔x －1〕2＋〔y －2〕2=5〔B 〕3x ＋2y －11=0① ②〔C 〕2x －y =0〔D 〕x ＋2y －5=0例12〔02年新课程卷〕两点M 〔－1，0〕，N 〔1，0〕，且点P 使NPNM PN PM MN MP ⋅⋅⋅,,成公差小于零的等差数列．〔Ⅰ〕点P 的轨迹是什么曲线？〔Ⅱ〕假设点P 坐标为〔x 0，y 0〕，θ为PM 与PN 的夹角，求tan θ．例13〔03年卷〕常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A 〔0，a 〕以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.假设存在，求出E 、F 的坐标；假设不存在，说明理由. 例14〔’04〕点)0,2(-A 、)0,3(B ，动点2),(x PB PA y x P =⋅满足，那么点P 的轨迹是〔A 〕圆〔B 〕椭圆〔C 〕双曲线〔D 〕抛物线例15〔04年〕设椭圆方程为1422=+y x ，过点M 〔0，1〕的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为)21,21(，当l 绕点M旋转时，求：〔Ⅰ〕动点P 的轨迹方程；〔Ⅱ〕||NP 的最小值与最大值. 2．考察直线与圆锥曲线的位置关系几率较高在04年的15个文科试题〔含新、旧课程卷〕中，全都“不约而同〞地考察了直线和圆锥曲线的位置关系，因此，可以断言，在05年高考试题中，解析几何的解答题考察直线与圆锥曲线的位置关系的概率仍然会很大． 3．与数列相综合在04年的高考试题中，、、解析几何大题与数列相综合，此外，03年的卷也曾出现过此类试题，所以，在05年的试题中仍然会出现类似的问题．例16〔’04〕设P 1(x 1,y 1), P 1(x 2,y 2),…, P n (x n ,y n )(n ≥3,n ∈N) 是二次曲线C 上的点, 且a 1=1OP 2,a 2=2OP 2, …, a n =n OP 2构成了一个公差为d(d ≠0) 的等差数列, 其中O 是坐标原点. 记S n =a 1+a 2+…+a n .〔1〕假设C 的方程为2510022y x +=1,n=3. 点P 1(10,0) 及S 3=255, 求点P 3的坐标(只需写出一个)；〔2〕假设C 的方程为12222=+by a x (a>b>0). 点P 1(a,0), 对于给定的自然数n, 当公差d 变化时, 求S n 的最小值；〔3〕请选定一条除椭圆外的二次曲线C 及C 上的一点P 1,对于给定的自然数n,写出符合条件的点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件,并说明理由.【解】(1) a 1=1OP 2=100,由S 3=23(a 1+a 3)=255,得a 3=3OP 2＝70.∴点P 3的坐标可以为(215, 10).(2)原点O 到二次曲线C:12222=+by a x (a>b>0)上各点的最小间隔为b,最大间隔为 a.． ∵a 1=1OP 2=a 2, ∴d<0,且a n =n OP 2=a 2+(n －1)d ≥b 2, ∴122--n a b ≤d<0. ∵n ≥3,2)1(-n n ＞0， ∴S n =na 2+2)1(-n n d 在[122--n a b ,0)上递增,故S n 的最小值为na 2+2)1(-n n ·122--n a b =2)(22b a n +.(3) 【解法一】假设双曲线C:22a x －22by =1,点P 1(a,0), 那么对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是d>0. ∵原点O 到双曲线C 上各点的间隔 h ∈[a ,+∞),且1OP =a 2,∴点P 1, P 2,…P n 存在当且仅当n OP 2>1OP 2,即d>0.【解法二】假设抛物线C:y 2=2x,点P 1(0,0), 那么对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n【解法三】假设圆C:(x －a)+y 2=a 2(a ≠0), P 1(0,0),那么对于给定的n, 点P 1, P 2,…P n 存在的充要条件是0<d ≤142-n a . ∵原点O 到圆C 上各点的最小间隔为0,最大间隔为2a ,且1OP =0, ∴d ＞0且n OP 2=(n －1)d ≤4a 2.即0<d ≤142-n a .由2510022y x +=1,得 x 23=60x 23+y 23=70y 23=10例17〔’04〕如图，直线2121:)21,0(1:21+=±≠≠-+=x y l k k k kx y l 与l 1与x 轴交于点P 1，过点P 1作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 1，过点Q 1作y 轴的垂线交直线l 1于点P 2，过点P 2作x 轴的垂线交直线l 2于点Q 2，…，这样一直作下去，可得到一系列点P 1、Q 1、P 2、Q 2，…，点P n 〔n=1，2，…〕的横坐标构成数列{}.n x〔Ⅰ〕证明*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+；〔Ⅱ〕求数列{}n x 的通项公式；〔Ⅲ〕比拟5||4||22122+PP k PP n 与的大小. 〔Ⅰ〕证明：设点P n 的坐标是),(n n y x ，由条件得点Q n 、P n+1的坐标分别是).2121,(),2121,(1+++n n n n x x x x由P n+1在直线l 1上，得.121211k kx x n n -+=++ 所以 ),1()1(211-=-+n n x k x 即 .*),1(2111N n x kx n n ∈-=-+〔Ⅱ〕解：由题设知 ,011,1111≠-=--=k x k x 又由〔Ⅰ〕知 )1(2111-=-+n n x kx ，所以数列 }1{-n x 是首项为,11-x 公比为k21的等比数列. 从而 .*,)21(21,)21(111N n kx k k x n n n n ∈⨯-=⨯-=--即〔Ⅲ〕解：由⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=,2121,1x y k kx y 得点P 的坐标为〔1，1〕.所以 ,)21(2)21(8)11(2)1(2||2222222-+⨯=--++-=n n n n n kk k kx x PP .945])10()111[(45||42222212+=+-+--=+k kk PP k 〔i 〕当2121,21||>-<>k k k 或即时，5||4212+PP k >1+9=10. 而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|021222+<=+⨯<<<PP k PP PP kn n 故所以〔ii 〕当)21,0()0,21(,21||0⋃-∈<<k k 即时，5||4212+PP k <1+9=10.而此时 .5||4||2.10218||2,1|21|21222+>=+⨯>>PP k PP PP kn n 故所以例18 〔04年卷〕如图，ΔOBC 的在个顶点坐标分别为〔0,0〕、〔1,0〕、〔0,2〕,设P 为线段BC 的中点,P 2为线段CO 的中点,P 3为线段OP 1的中点,对于每一个正整数n,P n+3为线段P n P n+1的中点,令P n 的坐标为(x n,y n ), .2121++++=n n n n y y y a 〔Ⅰ〕求321,,a a a 及n a ; 〔Ⅱ〕证明;,414*+∈-=N n y y nn 〔Ⅲ〕假设记,,444*+∈-=N n y y b n n n证明{}n b 是等比数列.解：(Ⅰ)因为43,21,153421=====y y y y y ，所以2321===a a a ，又由题意可知213+++=n n n y y y ， ∴321121++++++=n n n n y y y a =221121++++++n n n n y y y y =,2121n n n n a y y y =++++∴{}n a 为常数列.∴.,21*∈==N n a a n(Ⅱ)将等式22121=++++n n n y y y 两边除以2，得,124121=++++n n n y y y 又∵2214++++=n n n y y y ，∴.414n n yy -=+〔Ⅲ〕∵)41()41(44444841n n n n n yy y y b ---=-=+++- )(41444n n y y --=+,41n b -= 又∵,041431≠-=-=y y b ∴{}n b 是公比为41-的等比数列.4．与导数相综合近几年的新课程卷也非常注意与导数的综合，如03年的文科试题、04年的文理科试题，都分别与向量综合．例19〔03年的文〕抛物线C 1：y =x 2+2x 和C 2：y =－x 2+a ．假如直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．〔Ⅰ〕a 取什么值时，C 1和C 2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；〔Ⅱ〕假设C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．〔Ⅰ〕解：函数y =x 2+2x 的导数y '＝2x +2，所以曲线C 1在点)2(1211x x x P ＋，的切线方程是))(22()2(11121x x x x x y －+=+-，即 211)22(x x x y -+=． ①函数y ＝－x 2+a 的导数y '＝－2x ，所以曲线C 2在点)(222a x x Q +-，的切线方程是 )(2)(2222x x x a x y --=+--，即 a x x x y ++-=2222． ②假如直线l 是过P 和Q 的公切线，那么①式和②式都是l 的方程．所以 ⎩⎨⎧+-=+.1222121a x x x x ＝－，消去x 2得方程 0122121=+++a x x ．假设判别式△＝4－4×2(1+a )＝0时，即21-=a 时解得211-=x ，此时点P 与Q 重合．即当21-=a 时C 1和C 2有仅且有一条公切线，由①得公切线方程为 41-=x y ．〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕可知，当21-<a 时C 1和C 2有两条公切线．设一条公切线上切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，其中P 在C 1上，Q 在C 2上，那么有x 1+x 2＝－1，)(22212121a x x x y y +-++=+a x x x ++-+=21121)1(2=－1+a ，线段PQ 的中点为)2121(a＋－，-．同理，另一条公切线段P 'Q '的中点也是).21,21(a+-- 所以公切线段PQ 和P 'Q '互相平分．例20〔04年文理科试题〕如图，过抛物线x 2=4y的对称轴上任一点P 〔0,m 〕(m>0)作直线与抛物线交于A,B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。

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专题讲座5 解析几何在高考中的常见题型与求解策略1．(2019·长春质量检测)若F (c ，0)是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，过F 作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，△OAB 的面积为12a27，则该双曲线的离心率e ＝( ) A.53 B.43 C.54D.85解析：选C.设过第一、三象限的渐近线的倾斜角为θ，则tan θ＝b a ，tan 2θ＝2aba 2－b 2，因此△OAB 的面积可以表示为12·a ·a tan 2θ＝a 3b a 2－b 2＝12a 27，解得b a ＝34，则e ＝54.故选C. 2．(2019·山西省考前质量检测)已知F 为抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，点E 在C 的准线上，且在x 轴上方，线段EF 的垂直平分线与C 的准线交于点Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，32，与C 交于点P ，则点P的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，22)C ．(3，23)D ．(4，4)解析：选D.由题意，得抛物线的准线方程为x ＝－1，F (1，0)．设E (－1，y )，因为PQ 为EF 的垂直平分线，所以|EQ |＝|FQ |，即y －32＝（－1－1）2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322，解得y ＝4，所以k EF ＝4－0－1－1＝－2，k PQ ＝12，所以直线PQ 的方程为y －32＝12(x ＋1)，即x －2y ＋4＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即点P 的坐标为(4，4)，故选D.3．已知F 1、F 2分别为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆的中心O 任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值为________．解析：易知当P ，Q 分别是椭圆的短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．由于F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0，1)，所以PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)，所以PF 1→·PF 2→＝－2. 答案：－24．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的倾斜角为2π3，离心率为e ，则a 2＋e 22b的最小值为________．解析：由题意，b a＝3，所以b ＝3a ，所以c ＝2a ，e ＝2，a 2＋e 22b ＝a 2＋423a ＝a 23＋23a ≥233(当且仅当a ＝2时取等号)，则a 2＋e 22b 的最小值为233.答案：2335.(2019·山西省四校联考)已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x －y ＋2＝0相切．A 、B 是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线y ＝kx (k >0)与椭圆相交于E 、F 两点． (1)求椭圆C 的方程；(2)当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．解：(1)由题意知：e ＝c a ＝32，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝34，所以a 2＝4b 2.又圆x 2＋y 2＝b 2与直线x －y ＋2＝0相切，所以b ＝1，所以a 2＝4，故所求椭圆C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)设E (x 1，kx 1)，F (x 2，kx 2)，其中x 1<x 2，将y ＝kx 代入椭圆的方程x 2＋y 24＝1整理得：(k 2＋4)x 2＝4，故x 2＝－x 1＝2k 2＋4，①因为A (1，0)，B (0，2)，故由两点式得直线AB 的方程为：2x ＋y －2＝0，设点E ，F 到直线AB 的距离分别为h 1，h 2，则h 1＝|2x 1＋kx 1－2|5＝2（2＋k ＋k 2＋4）5（k 2＋4）， h 2＝|2x 2＋kx 2－2|5＝2（2＋k －k 2＋4）5（k 2＋4）， |AB |＝22＋1＝5，所以四边形AEBF 的面积为 S ＝12|AB |(h 1＋h 2)＝12×5×4（2＋k ）5（k 2＋4）＝2（2＋k ）k 2＋4 ＝24＋k 2＋4kk 2＋4＝21＋4kk 2＋4＝21＋4k ＋4k≤22，当k 2＝4(k >0)，即k ＝2时，上式取等号．所以当四边形AEBF 面积取最大值时，k ＝2.6.(2019·河南省八校联考)已知点P (2，3)，Q (2，－3)在椭圆x 216＋y 212＝1上，A 、B 是椭圆上位于直线PQ 两侧的动点．(1)若直线AB 的斜率为12，求四边形APBQ 的面积的最大值；(2)当A 、B 运动时，满足∠APQ ＝∠BPQ ，试问直线AB 的斜率是否为定值，请说明理由．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为y ＝12x ＋t ，把其代入x 216＋y 212＝1，得x2＋tx ＋t 2－12＝0，由Δ＝t 2－4(t 2－12)>0，解得－4<t <4，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－t ，x 1x 2＝t 2－12. 四边形APBQ 的面积S ＝12×6×|x 1－x 2|＝348－3t 2，所以当t ＝0时，S max ＝12 3.(2)当∠APQ ＝∠BPQ ，则直线PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为－k ，直线PA 的方程为y －3＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝k （x －2），x 216＋y 212＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8(3－2k )kx ＋4(3－2k )2－48＝0，则x 1＋2＝8（2k －3）k 3＋4k 2，同理直线PB 的方程为y －3＝－k (x －2)，可得x 2＋2＝－8k （－2k －3）3＋4k 2＝8k （2k ＋3）3＋4k 2，所以x 1＋x 2＝16k 2－123＋4k 2，x 1－x 2＝－48k3＋4k2，k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k （x 1－2）＋3＋k （x 2－2）－3x 1－x 2＝k （x 1＋x 2）－4k x 1－x 2＝12，所以直线AB 的斜率为定值12.1．(2019·洛阳统考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设O 为坐标原点，k OA ·k OB ＝－b 2a2，判断△AOB 的面积是否为定值？若是，求出定值，若不是，说明理由．解：(1)由题意得c ＝1，又e ＝c a ＝12，所以a ＝2，从而b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1y ＝kx ＋m得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，由Δ＝(8mk )2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0得m 2<3＋4k 2. 因为x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－3）3＋4k2，所以y 1y 2＝(kx 1＋m )·(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3（m 2－4k 2）3＋4k2. 由k OA ·k OB ＝－b 2a ＝－34得y 1y 2＝－34x 1x 2，即3（m 2－4k 2）3＋4k 2＝－34·4（m 2－3）3＋4k 2，化简得2m 2－4k 2＝3，满足Δ>0. 由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·48（4k 2－m 2＋3）（3＋4k 2）2＝24（1＋k 2）3＋4k2. 又点O 到直线l ：y ＝kx ＋m 的距离d ＝|m |1＋k2，所以S △AOB ＝12·d ·|AB |＝12 24（1＋k 2）3＋4k 2·|m |1＋k 2＝1224m23＋4k2＝ 3×2m23＋4k2＝ 3×（3＋4k 2）3＋4k2＝ 3. 故△AOB 的面积为定值 3.2．(2019·太原模拟)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别是点F 1、F 2，其离心率e＝12，点P 为椭圆上的一个动点，△PF 1F 2面积的最大值为4 3. (1)求椭圆的方程；(2)若A 、B 、C 、D 是椭圆上不重合的四个点，AC 与BD 相交于点F 1，AC →·BD →＝0，求|AC →|＋|BD →|的取值范围．解：(1)由题意得，当点P 是椭圆的上、下顶点时，△PF 1F 2面积取最大值，此时S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|OP |＝bc ，所以bc ＝43，因为e ＝12，所以b ＝23，a ＝4，所以椭圆的方程为x 216＋y 212＝1.(2)由(1)得椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，则F 1的坐标为(－2，0)，因为AC →·BD →＝0，所以AC ⊥BD ，①当直线AC 与BD 中有一条直线斜率不存在时，易得|AC →|＋|BD →|＝6＋8＝14，②当直线AC 的斜率k 存在且k ≠0时，则其方程为y ＝k (x ＋2)，设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x 216＋y 212＝1，消去y ，得(3＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－48＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－16k23＋4k2x 1x 2＝16k 2－483＋4k2，所以|AC →|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝24（k 2＋1）3＋4k 2，此时直线BD 的方程为y ＝－1k(x ＋2)，同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k（x ＋2），x 216＋y 212＝1，可得|BD →|＝24（k 2＋1）3k 2＋4，所以|AC →|＋|BD →|＝24（k 2＋1）4k 2＋3＋24（k 2＋1）3k 2＋4＝168（k 2＋1）2（3k 2＋4）（4k 2＋3），令t ＝k 2＋1(k ≠0)，则t >1，所以|AC →|＋|BD →|＝16812＋t －1t2，因为t >1，所以0<t －1t 2≤14，所以|AC →|＋|BD →|∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫967，14. 由①②可知，|AC →|＋|BD →|的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤967，14.。

高中数学奥林匹克竞赛知识讲座——解析几何

高中数学奥林匹克竞赛知识讲座——解析几何
严贤付
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2007(000)006
【摘要】1 知识点释要在近3年的联赛中，对于圆锥曲线的考查已趋于稳定。

分值大致是26分或29分，即一个解答题外加一个选择题或外加一个填空题．所考查的知识点以圆锥曲线的基本概念以及直线与圆锥曲线的位置关系作为主要对象．坐标法是处理本讲知识的最基本的方法．
【总页数】4页(P10-13)
【作者】严贤付
【作者单位】山东青岛市第二中学,273455
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
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