第六章系统抽样

四.估计量
设系统抽样的随机起点值为r，则其相应系统样本的均值为：
1 n 1 n y sy yrj Yrj n j 1 n j 1
为总体均值 Y 的估计量。 当N＝n k时，可以证明这个估计量是无偏的。
E y sy

1 k 1 yr k r 1 nk
y
r 1 j 1
k
n
rj
Y
系统抽样与整群抽样和分层抽样的关系
• 特殊的整群抽样 • 特殊的分层抽样
五、问题的改进（1） • 当总体呈线性趋势时，样本观测值可能会偏低或偏高，产生 “趋向性的偏差”，对此统计学家们采用了很多方法来弥补这一 不足。 • (一)首尾校正法（1948年 耶茨《皇家学会会刊》发表名为《系统抽样》
目录 一、系统抽样的基本思想 二、系统抽样的基本方式
直线等距抽样 循环等距抽样 不等概率系统抽样
三、总体单元的排序 四、问题的改进
首尾校正法 中心位置抽样法 对称系统抽样法
问题的提出
• 各种抽样方法都有优点和不足 • 难题：在一个连续的生产线上进行产品质 量抽样检查。 • 设计：在开始的时候先抽取一个样本点， 然后按照某种规律顺次得到整个样本的一 种抽样组织方式。 • 系统抽样：等距抽样，机械抽样，规律性 抽样
• 总体单位排序与其标志值的大小有某种周期性的关系。
对某个商场的日销售额进行系统抽样时，设抽样距离为7天，样本日销售 额正好都是星期天。 在直线系统抽样（线性系统抽样）应注意避免抽样的规律与现象变动的周 期一致。
• 总体单位排序有线性趋势
总体呈现这种“线性趋势”（“单调上升或下降趋势”） 可以证明：其抽样估值精度虽优于简单随机抽样，但劣于分层随机抽样。 其原因在于对有线性趋势的总体，采用直线系统抽样法 采用中心位置的系统抽样法或对称的系统抽样法，可以大大地改善系统抽 样法的估值精度。
2
7
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3 4 5
3
4 5 6
7
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9 10 11
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19 20 20
解： 抽取的样本编号为： 2号， 7号， 14号,19号。 1 46 y (3 8 15 20) 4 4
的文章提出。）
假设总体单元数为N，样本容量为n, N是n的整数倍。 抽取 r,r+k,r+2k,…,r+(n-1)k,这n个单元为样本，每单元的权重 都1/n，改变第一个单元和第n个单元的权重
第一个单元 r 的权重 n 2r k 1 1+ 2 n 1 k n 2r k 1 12 n 1 k
9
9
10
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19
26
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25
26
解： 抽取的样本编号为： 5号， 14号， 23号。 1 44 y (6 15 23) 3 3
问题的改进（3）
• 对称系统抽样法 N/n=k • （1）Sethi对称系统抽样
将总体分成 n/2 （n为偶数时）组，每组有2k个单元，在组内对 称。 • （2）Singn对称系统抽样 • 总体对称
例子：用Sethi对称系统抽样，从20个学生中，抽取四个学 生，并且求他们的平均零花钱。设随机数为2
样本 编号 1 Y 样本 编号 6 Y 样本 编号 11 Y 样本 编号 16 Y
2
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12
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2
3 4 5
3
4 5 6
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8
9 10 11
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13 14 15
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17
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（一）直线等距抽样（线性系统抽样）

假设总体单元数为N，样本容量为n, N是n的整数倍。 首先计算抽样间距 k=N/n, 把总体分为n段，每段k个 单元，然后，在第一段的k个单元中随机抽取一个单元， 假设为r,然后每隔k个单元抽取一个单元，即抽取 r,r+k,r+2k,…,r+(n-1)k,这n个单元为样本。 抽样模型为： r + (j-1)k (j = 1,2,„,n； r为随机数)
一、系统抽样的基本思想
对于一个容量为N的总体，首先，将总 体中各单位按某种顺序编为从1到A 的号 码。若要从中抽出一个容量为n的样本， 则应先从编号为1到k(k<N)的k个单位中， 随机地抽取一个单位，然后，按照一定 的规律，如每隔k个单位抽出一个单位等， 顺次地抽出n个样本单位。
• 优点： 样本分布比较均匀，在现实生活中比较容易接受 样本单位抽取简便，有很高适用价值
例如：某学院要共200个学生，要抽10个学生做样本。怎么 进行直线等距抽样？
（二）循环等距抽样
• 当N不是n的整数倍，即抽样间距k=N/n不是整数 时，应采取什么方法？ • 总体有21个单元，拟抽取n=4，怎么抽取样本？ • D.B.拉希里（D.B.Lahiri） 于1952年提出了一种 改进的系统抽样法——循环系统抽样。 • 将总体N个单位的排序看作为一个首尾相连的圆圈， 取最接近N/n 的整数为k , 在总体N个单位中随机 地抽取一个单位为随机起点i，沿圆圈按顺时针方 向每隔k 个单位抽取一个单位，直到抽出n个单位 为止。
• 工业企业为检查产品质量，在连续生产线上每隔2 小时抽选一个或若干个样品进行检验；农作物产量 实测或对农作物害虫进行调查，对一大片农田每隔 一定距离抽取一块进行测量或调查等等，都是系统 抽样的直观案例。
系统抽样的特点
优点：简便易行，简化抽样手续。 简便易行，容易确定抽样单元。其他抽样方法在抽取样本前需 要对总体单元编号，然后再利用随机数表等方法进行抽取样本。 而系统抽样，只需要总体单元的顺序排列，只要随机确定初始 单元。 整个样本就确定了，在某些场合甚至不用编制抽样框。比如要 对杭州市区的机动车辆进行调查，抽样比为1%，则可以在尾 数00~99中随机抽取一个整数，比如是63，则只需对车辆牌 照号末位为63的号进行调查。容易为非专业人员掌握。而且容 易保存抽样的原始记录。 缺点：如果单元的排列存在周期性的变化，而抽样者对此缺乏 了解或处理经验，抽取的样本可能代表性很差。系统抽样的方 差很复杂，对估计带来很大困难。
二、系统抽样的基本方式
系统抽样与其他抽样方法所不同的一个最 显著的特点，就是系统抽样只需要抽取一个 样本单位，然后按照某种规律，顺次地得到 整个样本。 “某种规律”，就是指样本单位抽取的一种 事先的规定和安排。在此基础上，系统抽样 又可以划分为若干种具体的系统抽样方法。 其中，线性系统抽样是一种最基本的方法 。
• 例子：27个学生抽取3个学生做样本，用中心位置抽样 法，求学生的平均零花钱。
样本编号 1 Y 2 样本编号 10 Y 11 样本编号 19 Y 20
2
Hale Waihona Puke Baidu3 4
3
4 5
11
12 13
12
13 14
20
21 22
20
21 22
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6 7
6
7 8
14
15 16
15
17 17
23
24 25
23
25 25
8
N=21,n=4,取 k=5。 设随机起点为 i=3，则应 抽取的样本单位编号依次 为：3，8，13，18， 如下图所示， ○表示随机起点，□表示 所抽中的其它样本单位。
三 总体单元的排序
• 按无关标志排序（总体单位随机排序）
o 各单元的排序顺序与所研究的内容无关。 o 要调查学生的视力情况，按学号顺序排列。要调查职工平均年龄， 按职工姓氏笔画排列。 o 无序系统排列
第一个单元 r ( n 1) k 的权重
问题的改进（2） • 中心位置抽样法（麦多 1953年《数理统计年刊》发表 《论系统抽样的理论III：中心起点与随机起点系统抽样 的比较》） • 论文提出：当总体为单调上升趋势时，中心系统抽样法 优于随机起点系统抽样法（直线系统抽样法）。 • 初始样本不是随机产生，取第一段的中间位置。
• 按有关标志排列
o 各单元的排序顺序与所研究的内容有关。 o 要调查学生的平均身高，按照学生入学时体检的身高顺序排列。 要对农产品产量进行调查，按当年的估产或前几年的实产由高到 低排列。这样称为有序系统抽样
• 处于两者之间 工厂中的工人名单按原有的工资名册顺 序排列。主要是为了调查方便。
排序可能出现的问题
• 总体各单位按某种“负相关”的趋势排列
分为两种情况：一种是总体各单位的标志值奇数层顺排 列而偶数层反排列；另一种是总体中上一半单位的标志 值顺排列而下一半单位的标志值反排列。 这种负相关趋势排列的情况下，线性系统抽样法的估值 精度最高。
• 对线性趋势总体下的系统抽样或称为有序排列 下的系统抽样的研究是十分重要的。
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19 20 20
解： 抽取的样本编号为： 2号， 9号， 12号,19号。 1 46 y (3 10 13 20) 4 4
例子：用singn对称系统抽样，从20个学生中，抽取四个学 生，并且求他们的平均零花钱。设随机数为2
样本 编号 1 Y 样本 编号 6 Y 样本 编号 11 Y 样本 编号 16 Y