人教A版高二数学选修2-2模块综合测试题.docx

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人教a版(数学选修2-2)测试题及参考答案

人教a 版（数学选修2-2）测试题第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（）A ．7米/秒B ．6米/秒C ．5米/秒D ．8米/秒 3．函数3y x x =+的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞ 4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316 C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件 6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________； 2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

三、解答题1．求垂直于直线2610x y -+=并且与曲线3235y x x =+-相切的直线方程。

高中数学综合测试题3 新人教A版选修2-2

高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2y x =在区间[12]，上的平均变化率为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ2．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为（）Ａ．1eＢ．1e - Ｃ．2e Ｄ．2e -答案：Ａ 3．如果1N 的力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm （在弹性限度内）所耗费的功为（）答案：Ａ4．方程2(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（）Ａ．22i - Ｂ．22i + Ｃ．22i -+ Ｄ．22i -- 答案：Ａ5．ABC △内有任意三点不共线的2002个点，加上A B C ，，三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（）Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000 答案：Ａ6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（）Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11 答案：Ｃ7．在证明()21f x x =+为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提；④函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（）Ａ．①②Ｂ．②④Ｃ．①③Ｄ．②③答案：Ｃ8．若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｄ9．一圆的面积以210πcm /s 速度增加，那么当圆半径20cm r =时，其半径r 的增加速率u 为（）Ａ．12cm/s Ｂ．13cm/sＣ．14 cm/s Ｄ．15cm/s答案：Ｃ10．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（）Ａ．增加了一项12(1)k +Ｂ．增加了两项11212(1)k k +++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +答案：Ｃ11．在下列各函数中，值域不是[的函数共有（）（1）(sin )(cos )y x x ''=+（2）(sin )cos y x x '=+ （3）sin (cos )y x x '=+（4）(sin )(cos )y x x ''=· Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：Ｃ12．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（）Ａ．23 Ｂ．43 Ｃ．83Ｄ．123答案：Ｃ二、填空题13．函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值与最小值分别为．答案：3，17-14．若113z i =-，268z i =-，且12111z z z +=，则z 的值为．答案：42255i -+15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是．答案：21n a n =+16．物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是m/s ，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A 物体的运动路程为．答案：72m 三、解答题17．已知复数1z ，2z 满足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数．证明：由2212121052z z z z +=，得22112210250z z z z -+=，即221212(3)(2)0z z z z -++=，那么222121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+，由于，122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b ==∈≠R ，且，所以2212(3)z z b -=，从而123z z b -=±，故123z z -为实数．解：设该容器底面矩形的短边长为x cm ，则另一边长为(0.5)x +m ，此容器的高为14.8(0.5) 3.224y x x x =--+=-，于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V x x x x x x x =+-=-++，其中0 1.6x <<，即2()6 4.4 1.60V x x x '=-++=，得11x =，2415x =-（舍去），因为，()V x '在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x ∈，时，()0V x '>，函数()V x 递增； (11.6)x ∈，时，()0V x '<，函数()V x 递减；所以，当1x =时，函数()V x 有最大值3(1)1(10.5)(3.221) 1.8m V =⨯+⨯-⨯=， 31.8m ．19．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c a M =，直线b c N =，又a 平面A α=，b 平面B α=，c 平面C α=，求证：A B C ，，三点不共线．证明：用反证法，假设A B C ，，三点共线于直线l ， A B C α∈，，∵，l α⊂∴．c l C =∵，c ∴与l 可确定一个平面β． c a M =∵，M β∈∴．又A l ∈，a β⊂∴，同理b β⊂，∴直线a ，b 共面，与a ，b 不共面矛盾．所以AB C ，，三点不共线． 20．已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围．解：求函数()f x 的导数：2()361f x ax x '=+-．（1）当()0()f x x '<∈R 时，()f x 是减函数．23610()0ax x x a +-<∈⇔<R 且36120a ∆=+<3a ⇔<-．所以，当3a <-时，由()0f x '<，知()()f x x ∈R 是减函数；（2）当3a =-时，33218()331339f x x x x x ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由函数3y x =在R 上的单调性，可知当3a =-时，()()f x x ∈R 是减函数；（3）当3a >-时，在R 上存在使()0f x '>的区间，所以，当3a >-时，函数()()f x x ∈R 不是减函数．综上，所求a 的取值范围是(3)--，∞．21．若0(123)i x i n >=，，，，，观察下列不等式：121211()4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，123123111()9x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，，请你猜测1212111()n nx x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭满足的不等式，并用数学归纳法加以证明．解：满足的不等式为21212111()(2)n nx x x n n x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭≥≥，证明如下： 1．当2n =时，结论成立；2．假设当n k =时，结论成立，即21212111()k kx x x k x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭2221(1)k k k ++=+≥．显然，当1n k =+时，结论成立．22．设曲线2(0)y ax bx c a =++<过点(11)-，，(11)，．（1）用a 表示曲线与x 轴所围成的图形面积()S a ；（2）求()S a 的最小值．解：（1）曲线过点(11)-，及(11)，，故有1a b c a b c =-+=++，于是0b =且1c a =-，令0y =，即2(1)0ax a +-=，得x = 记α=，β=，由曲线关于y 轴对称，有2300()2[(1)]2(1)3a S aax a dx x a xββ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦⎰|2(13a a⎡=-=⎢⎣· （2）()S a =3(1)()(0)a f a a a-=<，则223221(1)()[3(1)(1)](21)a f a a a a a a a -'=---=+．令()0f a '=，得12a =-或1a =（舍去）．又12a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∞时，()0f x '<；102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>．所以，当12a =-时，()f a 有最小值274，此时()S a高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数cos sin y x x x =-的导数为（）（A ）cos x x （B ）sin x x - （C ）sin x x （D ）cos x x -2．下列说法正确的是（）（A ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极大值（B ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极小值（C ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极值（D ）当0()f x 为()f x 的极值时， 0()0f x '=3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是（）（A ）1 （B （C （D ）54．若函数3()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是（）（A ）(0,)+∞ （B ）(1,0)- （C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是（） (1)sin y x =;(2) s y co x =; (3)4x π=-;(4) 4x π=(B)26．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫（）（A ）合情推理（B ）演绎推理（C ）类比推理（D ）归纳推理7．复数a bi -与c di +的积是实数的充要条件是（）（A ）0ad bc += （B ）0ac bd += （C ）0ad bc -= （D ）0ac bd -= 8．已知函数1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是（）（A ）仅有最小值的奇函数（B ）既有最大值又有最小值的偶函数（C ）仅有最大值的偶函数（D ）非奇非偶函数 9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。

人教版数学高二-人教A版选修2-2模块综合检测(二)

模块综合检测(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．(辽宁高考)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，则z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A z ＝52－i ＋2i ＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋2i ＝2＋i ＋2i ＝2＋3i.2．已知 2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，类比这些等式，若6＋ab ＝6ab (a ，b 均为正实数)，则a ＋b ＝( )A ．40B ．41C ．43D ．47 解析：选B 观察下列等式2＋23＝223， 3＋38＝338， 4＋415＝4415，…，第n 个应该是 n ＋1＋n ＋1(n ＋1)2－1＝(n ＋1)n ＋1(n ＋1)2－1，则第5个等式中：a ＝6，b＝a 2－1＝35，a ＋b ＝41.3．三段论：“①所有的中国人都坚强不屈；②雅安人是中国人；③雅安人一定坚强不屈”中，其中“大前提”和“小前提”分别是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．②①解析：选A 解本题的关键是透彻理解三段论推理的形式和实质：大前提是一个“一般性的命题(①所有的中国人都坚强不屈)”，小前提是“这个特殊事例是否满足一般性命题的条件(②雅安人是中国人)”，结论是“这个特殊事例是否具有一般性命题的结论(③雅安人一定坚强不屈)”．故选A.4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则∫21f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23D.16解析：选A 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，所以f (x )＝x 2＋x ，于是∫21f (－x )d x ＝∫21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 221＝56. 5．在数列{a n }中，a 1＝13，且S n ＝n (2n －1)a n ，通过求a 2，a 3，a 4，猜想a n 的表达式为( )A.1(n －1)(n ＋1) B.12n (2n ＋1) C.1(2n －1)(2n ＋1)D.1(2n ＋1)(2n ＋2)解析：选C 由a 1＝13，S n ＝n (2n －1)a n 求得a 2＝115＝13×5，a 3＝135＝15×7，a 4＝163＝17×9.猜想a n ＝1(2n －1)(2n ＋1).6．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值是( )A ．1B ．2 C. 2D. 3解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＋b ，∴f ′(1)＝3＋b ＝4， ∴b ＝1.∴g (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2. 7．p ＝ab ＋cd ，q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn(m 、n 、a 、b 、c 、d 均为正数)，则p 、q 的大小为( )A ．p ≥qB ．p ≤qC ．p >qD ．不确定解析：选B q ＝ ab ＋mad n ＋nbcm ＋cd ≥ab ＋2abcd ＋cd ＝ab ＋cd ＝p .8．在[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝3x 2＋32x 在同一点处取得相同的最小值，那么f (x )在[12，2]上的最大值是()A.134 B ．4 C ．8D.54解析：选B 因为g (x )＝3x 2＋32x，且x ∈[12，2]，则g (x )≥3，当且仅当x ＝1时，g (x )min ＝3.又f ′(x )＝2x ＋p ， ∴f ′(1)＝0，即2＋p ＝0，得p ＝－2，∴f (x )＝x 2－2x ＋q .又f (x )min ＝g (1)＝3，∴1－2＋q ＝3，∴q ＝4. ∴f (x )＝x 2－2x ＋4＝(x －1)2＋3，x ∈12，2.∴f (x )max ＝f (2)＝4.9．若函数y ＝x 3－2ax ＋a 在(0,1)内有极小值没有极大值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,3) B ．(－∞，3) C ．(0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，32 解析：选D f ′(x )＝3x 2－2a ， ∵f (x )在(0,1)内有极小值没有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′(0)<0f ′(1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a <0，3－2a >0.即0<a <32.10．设f (x )＝kx －kx －2ln x ，若f (x )在其定义域内为单调增函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．[1，＋∞)C ．(－∞，－1]D ．[－1，＋∞)解析：选B 由f ′(x )＝k ＋k x 2－2x ＝kx 2－2x ＋kx 2，令h (x )＝kx 2－2x ＋k ，要使f (x )在其定义域(0，＋∞)上单调递增，只需h (x )在(0，＋∞)内满足h (x )≥0恒成立．由h (x )≥0得kx 2－2x ＋k ≥0，即k ≥2x x 2＋1＝2x ＋1x在x ∈(0，＋∞)上恒成立，∵x >0，∴x ＋1x ≥2.∴2x ＋1x ≤1.∴k ≥1.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为____________．解析：a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6<7.∴a <b .答案：a <b12．复数z ＝i1＋i(其中i 为虚数单位)的虚部是________．解析：化简得z ＝i 1＋i ＝i (1－i )(1＋i )(1－i )＝12＋12i ，则虚部为12.答案：1213．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝________.解析：f ′(x )＝2x 2＋2x －x 2－a (x ＋1)2＝x 2＋2x －a(x ＋1)2.因为f (x )在x ＝1处取极值，所以1是f ′(x )＝0的根，将x ＝1代入得a ＝3.答案：314．已知f (x )＝xe x ，定义f 1(x )＝f ′(x )，f 2(x )＝[f 1(x )]′，…，f n ＋1(x )＝[f n (x )]′，n ∈N.经计算f 1(x )＝1－x e x ，f 2(x )＝x －2e x ，f 3(x )＝3－xex ，…，照此规律，则f n (x )＝________.解析：观察各个式子，发现分母都是e x ，分子依次是－(x －1)，(x －2)，－(x －3)，(x －4)，…，前边是(－1)n ，括号里是x －n ，故f n (x )＝(－1)n (x －n )e x .答案：(－1)n (x －n )e x三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)用数学归纳法证明：12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)．证明：(1)当n ＝1时，左边＝12＝1，右边＝13×1×(4－1)＝1，等式成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＝13k (4k 2－1)．则当n ＝k ＋1时，12＋32＋52＋…＋(2k －1)2＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋(2k ＋1)2＝13k (4k 2－1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]－13k ·4(2k ＋1)＋4k 2＋4k ＋1 ＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13(12k 2＋12k ＋3－8k 2－4k )＝13k [4(k ＋1)2－1]＋13[4(k ＋1)2－1] ＝13(k ＋1)[4(k ＋1)2－1]．即当n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)，(2)可知，对一切n ∈N *，等式都成立．16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a3x 3＋x 2－2ax －1，f ′(－1)＝0.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)如果对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，求b 的取值范围．解：(1)因为f ′(x )＝ax 2＋2x －2a ，因为f ′(－1)＝0，所以a ＝－2.所以f ′(x )＝－2x 2＋2x ＋4＝－2(x 2－x －2)＝－2(x ＋1)(x －2)．令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝2.随着x 的变化，f ′(x )和f (x )的变化情况如下：(2)因为对于任意的x ∈[－2,0)，都有f (x )≤bx ＋3，即bx ＋3≥－23x 3＋x 2＋4x －1，所以b ≤－23x 2＋x ＋4－4x .设h (x )＝－23x 2＋x ＋4－4x .则h ′(x )＝－43x ＋1＋4x2，因为x ∈[－2,0)，所以－43x >0，4x 2>0.所以h ′(x )>0.所以h (x )在[－2,0)上单调递增．所以h min (x )＝h (－2)＝43.即b ≤43.故b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，43.17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝m ·⎝⎛⎭⎫x －1x ＋2ln x (m ∈R)． (1)若m ＝1，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)讨论函数f (x )的单调性．解：(1)当m ＝1时，函数f (x )＝x －1x ＋2ln x ，函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝x 2＋2x ＋1x 2，∴f (1)＝0，f ′(1)＝4，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为4x －y －4＝0.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝mx 2＋2x ＋mx 2，当m ≥0时，f ′(x )>0在x ∈(0，＋∞)时恒成立， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．当m <0时，①当m ≤－1时，f ′(x )≤0在x ∈(0，＋∞)时恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减， ②当－1<m <0时，由f ′(x )＝0得x 1＝－1＋1－m 2m ，x 2＝－1－1－m 2m，且0<x 1<x 2， x (0，x 1) x 1 (x 1，x 2) x 2 (x 2，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )减增减所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1＋1－m 2和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－1－m 2，＋∞，＋∞上单调递减，f (x )在上单调递增．18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝x 3－x －x . (1)判断f (x )x 的单调性；(2)求函数y ＝f (x )的零点的个数；(3)令g (x )＝ax 2＋ax f (x )＋x ＋ln x ，若函数y ＝g (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 内有极值，求实数a 的取值范围．解：(1)设φ(x )＝f (x )x ＝x 2－1－1x(x >0)，φ′(x )＝2x ＋12x 3>0，所以y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)知φ(1)＝－1，φ(2)＝3－12>0且y ＝φ(x )在(0，＋∞)上单调递增，所以y ＝φ(x )在(1,2)上有一个零点，又f (x )＝x 3－x －x ＝xφ(x )，显然x ＝0是f (x )＝0的一个零点，所以y ＝f (x )在[0，＋∞)上有两个零点．(3)因为g (x )＝ax 2＋axf (x )＋x ＋ln x ＝ax 2＋ax x 3－x ＋ln x ＝ax －1＋ln x ，所以g ′(x )＝－a(x －1)2＋1x ＝x 2－(2＋a )x ＋1(x －1)2x，设h (x )＝x 2－(2＋a )x ＋1，则h (x )＝0有两个不同的根x 1，x 2，且一根在⎝⎛⎭⎫0，1e 内，不妨设0<x 1<1e，由于x 1·x 2＝1，所以，x 2>e ，由于h (0)＝1，则只需h ⎝⎛⎭⎫1e <0，即1e 2－(2＋a )1e ＋1<0，解得a >e ＋1e －2，即a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫e ＋1e －2，＋∞.。

高二数学人教A版选修2-2习题综合检测2(基础卷)Word版含答案

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ10．设 a， b∈ R，那么“ a2＋ b2<1 ”是“ ab＋ 1>a＋ b”的 (
)
A ．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件
[答案 ] A [解析 ] ∵ a2＋ b2<1 ，∴ |a|<1，|b|<1，∴ ab＋1－ (a＋ b)＝ (a－ 1)( b－ 1)>0 成立．反之， (a－ 1) ·(b－ 1)>0 ，推不出 a2＋ b2<1.故“ a2＋ b2<1” 是“ ab＋ 1>a＋ b” 的充分不必要条件．
11．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文
(加密 )，接收方由密文→明文 (解
密 )，已知加密规则为：明文 a，b， c， d 对应密文 a＋ 2b,2b＋ c,2c＋ 3d,4d.例如，明文 1,2,3,4
A ． f( k)＋k－ 1 B． f(k)＋ k＋ 1 C． f(k)＋ k D． f( k)＋ k－2
[答案 ] A
[解析 ] 三棱柱有 0 个对角面；四棱柱有 2 个对角面 (0＋ 2＝0＋ (3－ 1))；五棱柱有 5 个对
角面 (2＋ 3＝2＋ (4－ 1))；六棱柱有 9 个对角面 (5＋ 4＝ 5＋ (5－ 1))．猜想：若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 (k＋ 1)棱柱有 f(k)＋ k－ 1 个对角面．故选 A.
A ．①②③ [答案 ] D
B．②③④ C．②④⑤
D ．①③⑤
[解析 ] 由推理的特征知，归纳推理是由特殊到一般的推理，所以②不正确．类比推理是由特殊到特殊的推理．
11 2．设 a<b<0 ，则在①

高中数学人教A版选修2-2模块综合测评 Word版含解析

模块综合测评(时间分钟，满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．若复数＝＋的实部与虚部相等，则实数＝( )．－．．－．【解析】＝＋的虚部为，故＝，选.【答案】．已知复数＝，则·在复平面内对应的点位于( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限【解析】∵＝＝，∴＝＋，∴·＝－＋.【答案】．观察：＋<，＋<，＋<，…，对于任意的正实数，，使＋<成立的一个条件可以是( )．＋＝．＋＝．＝．＝【解析】由归纳推理可知＋＝.故选.【答案】．已知函数()的导函数为′()，且满足()＝′()＋，则′()＝( ) 【导学号：】．－．－．．【解析】∵()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝′()＋，∴′()＝－.【答案】．由①＝＋是一次函数；②＝＋的图象是一条直线；③一次函数的图象是一条直线．写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )．②①③．③②①．①②③．③①②【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，＝＋是一次函数(小前提)，＝＋的图象是一条直线(结论)．【答案】．已知函数＝()的导函数＝′()的图象如图所示，则( )图．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点．函数()有个极大值点，个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查′()的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么()在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么()在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么()在这个点处不是极值．由此可见，是函数()的极大值点，是极小值点，，不是极值点．【答案】．曲线＝在点(，)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )．．【解析】∵′()＝，∴曲线在点(，)处的切线的斜率为＝′()＝，切线方程为－＝(－)，即－－＝，切线与轴和轴的交点坐标分别为()，(，－)，则切线与坐标轴围成的△的面积为××＝.【答案】．已知数列，＋，＋＋，＋＋＋，…，则数列的第项是( )。

高中数学_选修2-2模块测试卷(含详细答案)

高中数学选修2-2模块测试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1．因指数函数xa y =是增函数（大前提）,而x y )31(=是指数函数（小前提），所以x y )31(=是增函数（结论）”，上面推理的错误是（）A ．大前提错导致结论错B ．小前提错导致结论错C ．推理形式错导致结论错D ．大前提和小前提都错导致结论错2．设O 是原点，向量OA OB ，对应的复数分别为2332i i --+，，那么向量BA 对应的复数是（）A ．55i -+B ．55i --C ．55i +D ．55i - 3．函数x x x f ln )(=，则（）A ．在(0)∞，上递增B ．在(0)∞，上递减C ．在1(0)e ，上递增 D ．在1(0)e，上递减 4．如右图，阴影部分面积为（） A ．[()()]ba f x g x dx -⎰B ．[()()][()()]c bacg x f x dx f x g x dx -+-⎰⎰C ．[()()][()()]c bacf xg x dx g x f x dx -+-⎰⎰D ．[()()]bag x f x dx -⎰5．证明：2111111(1)22342n n n n+<+++++<+>，当2n =时，中间式子等于（） A ．1 B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 6．42xe dx -⎰的值等于（）A ．42e e -- B ．42e e + C ．422e e +- D ．422e e -+-7．函数2sin(2)y x x =+导数是（）A ．2cos(2)x x + B ．22sin(2)x x x + C ．2(41)cos(2)x x x ++ D ．24cos(2)x x +8．抛物线2y x bx c =++在点(12)，处的切线与其平行直线0bx y c ++=间的距离是（） A ．24B ．22C ．322D ．29．'()f x 是()f x 的导函数，'()f x 的图象如右图所示，则()f x 的图象只可能是（）A ．B ．C ．D ．10．对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（） A ．(0)(2)2(1)f f f +< B ．(0)(2)2(1)f f f +≤ C ．(0)(2)2(1)f f f +≥ D ．(0)(2)2(1)f f f +>二、填空题（共5小题，每题5分，共25分）11．若复数()()22563m m m m i -++-是纯虚数，则实数m =_________． 12．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为3213232s t t t =-+，那么速度为零的时刻是_________． 13．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-=_________．14．已知2()ln(22)(0)f x x ax a a =-+->，若()f x 在[1)+∞，上是增函数，则a 的取值范围是_________． 15．通过类比长方形，由命题“周长为定值l 的长方形中，正方形的面积最大，最大值为216l ”，可猜想关于长方体的相应命题为：．三、解答题（共6小题，共75分）16．（本小题满分10分）已知复数2(1i)3(1i)2iz ++-=+，若21i()z az b a b ++=+∈R ，，求a b +的值．17．（本小题满分11分）设2(0)()cos 1(0)x x f x x x ⎧=⎨->⎩ ≤，，试求π21()f x dx -⎰．18．（本小题满分12分）设a b c ，，均为大于1的正数，且10ab =．求证：log log 4lg a b c c c +≥．19．（本小题满分14分）在数列{}n a 中，113a =，且前n 项的算术平均数等于第n 项的21n -倍*()n ∈N ．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想{}n a 的通项公式，并加以证明．20．（本小题满分14分）已知函数21()ln 2f x x x =+．（1）求函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值；（2）求证：在区间(1)+∞，上，函数()f x 的图象在函数32()3g x x =的图象的下方．21．（本小题满分14分）已知函数3()31f x x ax =+-，()()5g x f x ax '=--，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围；（2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点．参考答案一、选择题二、填空题11．2 12．1秒或2秒 13．3 14．12a <≤15．表面积为定值S 的长方体中，正方体的体积最大，最大值为236S ⎛⎫ ⎪⎝⎭三、解答题 16．解：2i 33i 3i1i 2i 2iz +--===-++，2(1i)(1i)1i a b ∴-+-+=+，()(22i)1i a b ∴++--=+，1a b ∴+=． 17．解：ππ02211()()()f x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰π0221(cos 1)x dx x dx -=+-⎰⎰π20201(sin )3xx x -1=+-1π4π13232=+-=-． 18．证明：由于1a >，1b >，故要证明log log lg a b c c c +4≥，只需证明lg lg 4lg lg lg c cc a b+≥，又1c >，lg 0c >，所以只需证明11lg lg a b +4≥，即lg lg 4lg lg a b a b+≥．因为10ab =，所以lg lg 1a b +=，故只需证明14lg lg a b≥．①由于1a >，1b >，所以lg 0a >，lg 0b >，所以2lg lg 10lg lg 24a b a b +⎛⎫<= ⎪⎝⎭≤．即①式成立，所以原不等式成立．19．解：（1）由已知113a =，123(21)n n a a a a n a n ++++=-，分别取2345n =，，，，得2111153515a a ===⨯， 312111()145735a a a =+==⨯，4123111()277963a a a a =++==⨯， 51234111()4491199a a a a a =+++==⨯，所以数列的前5项是113a =，2115a =，3135a =，4163a =，5199a =；（2）由（1）中的分析可以猜想1(21)(21)n a n n =-+．下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，猜想显然成立． ②假设当n k =时猜想成立，即1(21)(21)k a k k =-+．那么由已知，得12311(21)1k k k a a a a a k a k +++++++=++，即21231(23)k k a a a a k k a +++++=+．所以221(2)(23)k k k k a k k a +-=+，即1(21)(23)k k k a k a +-=+，又由归纳假设，得11(21)(23)(21)(21)k k k a k k +-=+-+，所以11(21)(23)k a k k +=++，即当1n k =+时，公式也成立．由①和②知，对一切*n ∈N ，都有1(21)(21)n a n n =-+成立．20．（1）解：由已知1()f x x x'=+，当[1e]x ∈，时，()0f x '>，所以函数()f x 在区间[1e]，上单调递增，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大、最小值分别为2e (e)12f =+，1(1)2f =，所以函数()f x 在区间[1e]，上的最大值为2e 12+，最小值为12；（2）证明：设2312()ln 23F x x x x =+-，则221(1)(12)()2x x x F x x x x x -++'=+-=．因为1x >，所以()0F x '<，所以函数()F x 在区间(1)+∞，上单调递减，又1(1)06F =-<，所以在区间(1)+∞，上，()0F x <，即2312ln 23x x x +<，所以在区间(1)+∞，上函数()f x 的图象在函数32()3g x x =图象的下方．21．解：（1）由题意，得22()335(3)35g x x ax a x a x =-+-=-+-，设2()(3)35a x a x ϕ=-+-，11a -≤≤．对11a -≤≤中任意a 值，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，(1)0(1)0ϕϕ<⎧∴⎨-<⎩，，即2232080x x x x ⎧--<⎪⎨3+-<⎪⎩，，解得213x -<<．故213x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <．（2）22()33f x x m '=-，①当0m =时，3()1f x x =-的图象与直线3y =只有一个公共点． ②当0m ≠时，列表：()()f x f m ∴==极小．又()f x 的值域是R ，且在()m +∞，上单调递增，∴当x m >时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点；当x m <-时，恒有()()f x f m -≤．由题意，得()3f m -<，即3221213m m m -=-<，解得3((02)m ∈，．综上，m的取值范围是(．。

模块综合测评人教A版数学选修2-2 全册测评

模块综合测评本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数5i2－i的对应点位于() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：5i2－i＝5i(2＋i)(2－i)(2＋i)＝5i(2＋i)5＝－1＋2i，其对应的点的坐标为(－1,2)，位于第二象限，故选B.答案：B2．用反证法证明命题：“如果a>b，那么3a>3b”时，假设的内容应是()A.3a＝3b成立B.3a<3b成立C.3a＝3b或3a<3b成立D.3a＝3b且3a<3b成立解析：用反证法证明命题时“大于”的否定为“小于或等于”，故选C. 答案：C3．曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的倾斜角为( ) A ．1 B.π4C.5π4 D ．－π4解析：∵y ＝13x 3－2，∴y ′＝x 2，∴曲线y ＝13x 3－2在点⎝⎛⎭⎫1，－53处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1，∴切线的倾斜角为π4，故选B. 答案：B4．对于命题“正三角形内任意一点到各边的距离之和为定值”推广到空间是“正四面体内任意一点到各面的距离之和为”( )A ．定值B ．变数C ．有时为定值、有时为变数D ．与正四面体无关的常数解析：设正四面体S －ABC 的棱长为a ，正四面体内任意一点O 到各面的距离分别为h 1，h 2，h 3，h 4，由体积关系得V S －ABC ＝13×24a 2·(h 1＋h 2＋h 3＋h 4)＝13×34a 2×63a .∴h 1＋h 2＋h 3＋h 4＝63a (63a 为正四面体的高)，∴正四面体内任意一点到各面的距离之和为定值，故选A.答案：A5．设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12是f (x )的极小值点B ．x ＝2是f (x )的极小值点C ．x ＝12是f (x )的极大值点D ．x ＝2是f (x )的极大值点解析：f (x )＝2x ＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，由f ′(x )＝0得x＝2，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，∴x ＝2是函数f (x )的极小值点，故选B.答案：B6．已知z 1，z 2是复数，定义复数的一种运算“”为：z 1z 2＝⎩⎪⎨⎪⎧z 1z 2(|z 1|>|z 2|)z 1＋z 2(|z 1|≤|z 2|)若z 1＝2＋i 且z 1z 2＝3＋4i ，则复数z 2＝( )A ．2＋iB ．1＋3iC ．2＋i 或1＋3iD ．条件不够，无法求出解析：z 1＝2＋i ，且z 1z 2＝3＋4i ，若|z 1|>|z 2|，则z 1z 2＝z 1z 2＝(2＋i)z 2＝3＋4i ，∴z 2＝3＋4i 2＋i ＝(3＋4i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝10＋5i5＝2＋i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝5，不满足|z 1|>|z 2|，舍；若|z 1|≤|z 2|，则z 1z 2＝z 1＋z 2＝(2＋i)＋z 2＝3＋4i ，∴z 2＝(3＋4i)－(2＋i)＝1＋3i ，此时|z 1|＝5，|z 2|＝10，满足|z 1|≤|z 2|.∴z 2＝1＋3i ，故选B. 答案：B7．如图阴影部分面积是( )A ．e ＋1eB ．e ＋1e －1C ．e ＋1e －2D ．e －1e解析：函数y ＝e x 与y ＝e －x 的图象都过点(0,1)，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(e x －e －x )d x ＝(e x ＋e －x )10＝(e ＋e －1)－(1＋1)＝e ＋1e－2，故选C . 答案：C8．已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝( ) A .92 B .94 C .174 D .178解析：由f(x)＝2x 2－3xf ′(2)＋ln x ，∴f ′(x)＝4x －3f ′(2)＋1x ，令x ＝2，得f ′(2)＝8－3f ′(2)＋12，解得f ′(2)＝178，故选D .答案：D9．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)，且法向量为m ＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )A ．x ＋2y ＋z －2＝0B ．x －2y －z －2＝0C ．x ＋2y －z －2＝0D ．x ＋2y ＋z ＋2＝0解析：由类比的方法，得此时平面的方程应为：(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，整理得x ＋2y －z －2＝0，故选C.答案：C10．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B ．2 C.83 D.1623解析：因为抛物线方程为x 2＝4y ，所以其焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1.如图所示，可知l 与C 围成的图形的面积等于矩形OABF 的面积与函数y ＝14x 2的图象和x轴正半轴及直线x ＝2围成的图形的面积的差的2倍(图中阴影部分的2倍)，即S ＝4－2⎠⎛02x 24d x ＝4－2·x 31220＝4－43＝83.故选C .答案：C11．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 相切，则实数k 的值为( ) A ．ln 2 B ．1C ．1－ln 2D ．1＋ln 2解析：设切点为(x 0，x 0ln x 0)，由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ln x 0＋1＝k ，kx 0－2＝x 0ln x 0.∴(ln x 0＋1)·x 0－2＝x 0ln x 0，解得x 0＝2，∴k ＝ln 2＋1，故选D . 答案：D12．函数f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为f ′(x)，且满足xf ′(x)＋2f(x)>0，则不等式(x ＋2 019)f (x ＋2 019)5<5f (5)x ＋2 019的解集为( )A ．{x|x>－2 014}B ．{x|－2 019<x<－2 014}C ．{x|0<x<2 014}D ．{x|x<－2 014}解析：构造函数F(x)＝x 2·f(x)，依题意可知，当x>0时，F ′(x)＝x[xf ′(x)＋2f(x)]>0，故函数F(x)在(0，＋∞)上为增函数．由于x>0，故所求不等式可化为(x ＋2 019)2·f(x ＋2 019)<52·f(5)，所以0<x ＋2 019<5，解得－2 019<x<－2 014.故选B .答案：B第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)＝ln (－x)＋3x ，则曲线y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是______________．解析：因为f(x)为偶函数，所以当x>0时，f(x)＝f(－x)＝ln x －3x ，所以f ′(x)＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －114．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，根据以上式子可以猜想：1＋122＋132＋142＋…＋120192<________.解析：根据不等式的左边规律是n ＋1个自然数倒数的平方和，右边分母的规律是以2为首项，1为公差的等差数列，分子是以3为首项，2为公差的等差数列，所以第n 个不等式应为：1＋122＋132＋…＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1，∴1＋122＋132＋142＋…＋120192<40372019.答案：4037201915．若函数f(x)＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是________．解析：若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋x －7在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立，又f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，∴3x 2＋2ax ＋1≥0，恒成立，∴Δ＝(2a )2－4×3×1≤0，解得－3≤a ≤ 3.∴实数a 的取值范围是[－3，3]．答案：[－3，3]16．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫ππ－x 2d x ＝π24. 解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c<3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z|＝1，则由|z －i |≤|z|＋|－i |＝2，可得|z －i |的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫ππ－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知复数z ＝(1＋2m)＋(3＋m)i (m ∈R )，i 为虚数单位． (1)若复数z 在复平面上所对应的点在第二象限，求m 的取值范围； (2)当m 为何值时，|z |最小，并求|z |的最小值．解析：(1)因为复数z ＝(1＋2m )＋(3＋m )i(m ∈R )在复平面上所对应的点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2m <03＋m >0，解得－3<m <－12，所以m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－3，－12. (2)因为|z |2＝(1＋2m )2＋(3＋m )2＝5m 2＋10m ＋10＝5(m ＋1)2＋5，所以当m ＝－1时，|z |min ＝ 5.18．(12分)已知函数f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋a . (1)求f (x )在区间[－2,2]上的最值；(2)若f (x )有且只有两个零点，求实数a 的值．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－12x ＋9，令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝3(舍去)，∴f (x )在[－2,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减， ∵f (1)＝4＋a ，f (－2)＝－50＋a ，f (2)＝2＋a ， ∴在区间[－2,2]上，f (x )min ＝－50＋a ，f (x )max ＝4＋a .(2)令f(x)＝x3－6x2＋9x＋a＝0，可得a＝－x3＋6x2－9x，设g(x)＝－x3＋6x2－9x，则g′(x)＝－3x2＋12x－9，令g′(x)＝0，得x＝1或x＝3，列表如下：x (－∞，1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)－0＋0－g(x)递减有极小值－4递增有极大值0递减∴g(x)的大致图象如下：要使a＝－x3＋6x2－9x有且只有两个零点，只需直线y＝a与g(x)的图象有两个不同的交点，∴实数a的值为－4或0.19．(12分)(1)当a>2时，求证：a＋2＋a－2<2a；(2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．证明：(1)由题意得(a＋2＋a－2)2＝2a＋2a＋2·a－2，∵a－2>0，a＋2>0，且a＋2≠a－2，∴要证a＋2＋a－2<2a，即证2a＋2a＋2·a－2<4a，即证a＋2·a－2<a，即证a2－4<a2，即证－4<0，而－4<0显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a 得证．(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，分别设为a m ，a n ，a p ，则d ＝a m －a n m －n ＝2－3m －n为无理数，又d ＝a m －a p m －p ＝2－5m －p ＝－3m －p为有理数，矛盾．所以假设不成立，即2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．20．(12分)时下，网校教学越来越受到广大学生的喜爱，它已经成为学生们课外学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量y (单位：千套)与销售价格x (单位：元/套)满足的关系式y ＝mx －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套．(1)求m 的值；(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数)，试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数)．解析：(1)因为x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m＝10.(2)由(1)可知，套题每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2，所以每日销售套题所获得的利润f (x )＝(x －2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤10x －2＋4(x －6)2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6)．令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以x ＝103是函数f (x )在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值．故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大．21．(12分)已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R )． (1)若f (x )在x ＝2处取得极值，求a 的值；(2)求f (x )的单调区间；(3)求证：当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 解析：(1)f ′(x )＝x －a x，因为x ＝2是一个极值点，所以2－a 2＝0，所以a ＝4. (2)因为f ′(x )＝x －a x，f (x )的定义域为x >0，所以当a ≤0，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝(x －a )(x ＋a )x，令f ′(x )>0，得x >a ，所以函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)；令f ′(x )<0，得0<x <a ，所以函数f (x )的单调递减区间为(0，a )．(3)证明：设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x ，则g ′(x )＝2x 2－x －1x，因为当x >1时，g ′(x )＝(x －1)(2x 2＋x ＋1)x>0，所以g (x )在(1，＋∞)上是增函数．所以g (x )>g (1)＝16>0. 所以当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3. 22．(12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．(1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．(2)用数学归纳法证明你的猜想，求并出a n 的表达式．解析：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1.所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)证明：①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1，所以a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2(k ＋1)k ＋2＝2(k ＋1)(k ＋1)＋1，所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．又因为a k ＋1＝2(k ＋2)(k ＋1)，所以a n ＝2n (n ＋1).。

2020-2021学年人教A版数学选修2-2课时作业：模块综合评估2

模块综合评估(二)时间：120分钟满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1.1＋3i 1－i＝( B ) A ．1＋2i B ．－1＋2i C ．1－2i D ．－1－2i解析：1＋3i 1－i ＝(1＋3i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝－2＋4i 2＝－1＋2i.故选B. 2．下列说法正确的是( B )A ．2>2iB ．2>(3i)2C ．2＋3i<3＋3iD ．2＋2i>2＋i解析：本题主要考查复数的性质．不全为实数的两个复数不能比较大小，故排除A ，C ，D ；而B 中(3i)2＝－9<2，故选B.3．若复数z 满足z (1＋i)＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( C )A ．－iB ．－2iC ．i D.2i解析：本题主要考查复数的运算及共轭复数的概念．因为z (1＋i)＝1－i ，所以z ＝1－i 1＋i＝－2i 2＝－i ，所以z ＝i.故选C. 4．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角α＝( B )A ．0 B.π4 C ．1 D.3π2解析：本题主要考查导数的几何意义．函数f (x )＝e x sin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的斜率k ＝f ′(0)＝e x(sin x ＋cos x )x ＝0＝1，所以倾斜角α＝π4.故选B.5．函数f (x )＝cos x 2x 的导函数f ′(x )＝( B )A.sin x －cos x 2xB ．－sin x ＋ln2·cos x 2x C.sin x －ln2·cos x 2x D ．－sin x ＋cos x 4x解析：f′(x)＝(cos x)′·2x－cos x·(2x)′(2x)2＝－sin x·2x－cos x·2x ln24x＝－sin x＋ln2·cos x2x.6．用反证法证明命题“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD 也是异面直线”的过程分为三步：①则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；②所以假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；③假设直线AC，BD是共面直线．则正确的顺序为(B)A．①→②→③B．③→①→②C．①→③→②D．②→③→①解析：本题主要考查反证法的步骤．反证法的步骤是：反设→归谬→结论．结合本题，知选B.7．由“边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为32a”可类比猜想：棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为(B)A.43a B.63a C.54a D.64a解析：将正三角形分割成以三条边为底的三个三角形，利用三个三角形面积的和等于正三角形的面积即可求得正三角形内任一点到三边的距离之和．类比可知，将正四面体分割成以各面为底的四个三棱锥，则四个三棱锥体积之和等于正四面体的体积，即可求得棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为63a.故选B.8．设复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面上对应的点的轨迹是(C)A．圆B．半圆C．直线D．射线解析：复数z满足|z－3＋4i|＝|z＋3－4i|，则复数z在复平面内对应的点是复平面内到点(3，－4)，(－3,4)的距离相等的点，其轨迹为(3，－4)，(－3,4)两点连线的中垂线．故选C.9．设f(x)＝x(ax2＋bx＋c)(a≠0)在x＝1和x＝－1处均有极值，则下列各点一定在y 轴上的是( A )A ．(b ，a )B ．(a ，c )C ．(c ，b )D ．(a ＋b ，c )解析：本题主要考查导数的应用．f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题意知1，－1是方程3ax 2＋2bx ＋c ＝0的两根，则1－1＝－2b 3a ＝0，所以b ＝0.故选A.10．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面内对应的点位于( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：e 2i ＝cos2＋isin2，它在复平面内对应的点为(cos2，sin2)，由于π2<2<π，因此cos2<0，sin2>0，故点(cos2，sin2)在第二象限．11．已知函数f (x )(x ∈R )满足f (2)＝3，且f (x )在R 上的导数满足f ′(x )－1<0，则不等式f (x 2)<x 2＋1的解集为( C )A ．(－∞，－2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2，2)解析：本题主要考查导数的应用．令g (x )＝f (x )－x ，则g ′(x )＝f ′(x )－1<0，∴g (x )在R 上单调递减．由f (x 2)<x 2＋1，得f (x 2)－x 2<1，即g (x 2)<1.又g (2)＝f (2)－2＝1，∴g (x 2)<g (2)，∴x 2>2，解得x >2或x <－ 2.故选C.12．已知函数y ＝f (x )对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2满足f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)，则下列不等式中成立的是( A ) A.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4 B.2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 C ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 D ．f (0)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4 解析：令g (x )＝f (x )cos x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则g ′(x )＝f ′(x )cos x ＋f (x )sin x cos 2x .因为f ′(x )cos x ＋f (x )sin x >0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，所以g ′(x )>0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上恒成立，所以g (x )＝f (x )cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π312<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π422，所以2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4.故选A. 二、填空题(每小题5分，共20分)13．曲线y ＝2cos x －π4在x ＝π4处的切线方程是x ＋y －1＝0.解析：由题意知y ′＝－2sin x ，所以切线的斜率k ＝y ′|x ＝π4＝－1.易知切点为⎝⎛⎭⎪⎫π4，1－π4，所以切线方程为x ＋y －1＝0. 14．复数z 1与z 2在复平面上所对应的点关于y 轴对称，且z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，|z 1|＝2，则z 1＝1－i 或－1＋i.解析：本题主要考查复数的运算与几何意义．设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝－a ＋b i ，∵z 1(3－i)＝z 2(1＋3i)，且|z 1|＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b i )(3－i )＝(－a ＋b i )(1＋3i )a 2＋b 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝1，∴z 1＝1－i 或－1＋i.15．观察下列各式：(1)(x 2)′＝2x ；(2)(x 4)′＝4x 3；(3)(cos x )′＝－sin x .根据以上事实，由归纳推理可得，若定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为g (x )，则g (0)＝0.解析：在(x 2)′＝2x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(x 4)′＝4x 3中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；在(cos x )′＝－sin x 中，原函数为偶函数，导函数为奇函数．我们可以推测，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R 上的函数f (x )为偶函数，g (x )为f (x )的导函数，则g (x )为奇函数，故g (－x )＋g (x )＝0，即g (－0)＝－g (0)，g (0)＝0.16．若函数f (x )＝3a －x 2⎝⎛⎭⎪⎫1e ≤x ≤e ，e 为自然对数的底数与g (x )＝2ln x的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的最小值是13.解析：由题意可得f (x )＝－g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，即3a －x 2＝－2ln x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解，整理可得a ＝x 2－2ln x 3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上有解．令h (x )＝x 2－2ln x 3，则h ′(x )＝13⎝⎛⎭⎪⎫2x －2x ，易知h ′(x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 上单调递增，又h ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －2e <0，h ′(1)＝0，h ′(e)＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫2e －2e >0，则h (x )min ＝h (1)＝13，所以实数a 的最小值是13.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知复数z 1满足z 1·i ＝1＋i(i 为虚数单位)，复数z 2的虚部为2.(1)求z 1；(2)若z 1·z 2是纯虚数，求z 2.解：(1)因为z 1·i ＝1＋i ，所以z 1＝1＋i i ＝－i (1＋i )－i 2＝1－i. (2)因为z 2的虚部为2，所以设z 2＝m ＋2i(m ∈R )．因为z 1·z 2＝(1－i)(m ＋2i)＝(m ＋2)＋(2－m )i 为纯虚数，所以m ＋2＝0，且2－m ≠0，解得m ＝－2.所以z 2＝－2＋2i.18．(12分)(1)求证：当a >2时，a ＋2＋a －2<2a ；(2)证明：2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．证明：(1)要证a ＋2＋a －2<2a ，只需证(a ＋2＋a －2)2<(2a )2，即证2a ＋2a ＋2·a －2<4a ，即证a ＋2·a －2<a ，只需证(a ＋2·a －2)2<a 2，即证a 2－4<a 2，显然成立，所以a ＋2＋a －2<2a .(2)假设2，3，5是同一个等差数列中的三项，且该等差数列的公差为d ，显然d ≠0.令3＝2＋rd,5＝2＋sd (r ，s 为非零整数)，则3－25－2＝r s，等式左端为无理数，等式右端为有理数，矛盾，所以假设不成立，故2，3，5不可能是同一个等差数列中的三项．19．(12分)已知复数z 1＝2＋a i(其中a ∈R 且a >0，i 为虚数单位)，且z 21为纯虚数．(1)求函数实数a 的值；(2)若z ＝z 11－i，求|z |. 解：(1)z 21＝(2＋a i)2＝4－a 2＋4a i ，因为z 21为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2＝0，a ≠0，a >0，解得a ＝2.(2)由(1)得z 1＝2＋2i ，则z ＝2＋2i 1－i ＝(2＋2i )(1＋i )(1－i )(1＋i )＝4i 2＝2i ，|z |＝2. 20．(12分)已知函数f (x )＝x ln x ＋x .(1)求f (x )的图象在x ＝1处的切线方程并求函数f (x )的单调区间；(2)求证：e x >f ′(x )．解：(1)由题得f ′(x )＝ln x ＋2，∴f ′(1)＝2，又f (1)＝1，∴所求切线方程为y ＝2x －1.令f ′(x )>0，解得x >e －2，令f ′(x )<0，解得0<x <e －2，故函数f (x )的单调递增区间为(e －2，＋∞)，单调递减区间为(0，e －2)．(2)证明：设g (x )＝e x －f ′(x )＝e x －ln x －2，x >0.g ′(x )＝e x－1x ，易知g ′(x )在(0，＋∞)上单调递增，且g ′(1)＝e －1>0，g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e 12 －2<0，∴存在唯一的t ，且12<t <1，使得g ′(t )＝e t －1t ＝0，即e t＝1t ，∴g (x )在(0，t )上单调递减，在(t ，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (t )＝e t－ln t －2＝1t －ln 1e t －2＝t ＋1t －2≥2－2＝0，当且仅当t ＝1时等号成立，又12<t <1，∴上式等号不成立，∴g (x )>0，即e x >f ′(x )．21．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，x ∈[0，＋∞)．(1)求f (x )的最小值；(2)证明：当x ≥0时，e x －1≥sin x －cos x ＋1.解：(1)f ′(x )＝2(x －sin x )．设g (x )＝x －sin x ，则g ′(x )＝1－cos x ，当x ≥0时，g ′(x )≥0，即g (x )为增函数，则f ′(x )＝2g (x )≥2g (0)＝0，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，因此f (x )min ＝f (0)＝2.(2)证明：由(1)得，当x ≥0时，f ′(x )≥0，即sin x ≤x .又f (x )≥2，即1－cos x ≤x 22，所以sin x －cos x ＋1≤x ＋x 22.证明x ＋x 22≤e x －1成立即可证明原不等式成立．令h (x )＝e x－x 22－x －1，则h ′(x )＝e x －x －1，令m (x )＝e x －x －1，则m ′(x )＝e x －1，当x ≥0时，e x －1≥0，所以h ′(x )是增函数，即h ′(x )≥h ′(0)＝0，所以h (x )是增函数，即h (x )≥h (0)＝0，可得e x－x 22－x －1≥0，即e x －1≥x 22＋x ，所以原不等式成立．22．(12分)已知函数f (x )＝38x 2－2x ＋2＋ln x .(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )在[e m ，＋∞)(m ∈Z )上有零点，求m 的最大值．解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝34x －2＋1x ＝(3x －2)(x －2)4x，当f ′(x )>0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(2，＋∞)；当f ′(x )<0时，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2，所以函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23和(2，＋∞)，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. (2)由(1)知y 极大＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝56＋ln 23>0，y 极小＝f (2)＝ln2－12>0.当x >0且x →0时f (x )<0，故f (x )在定义域上存在唯一零点x 0，且x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23. 若m ≥0，则e m ≥1，[e m，＋∞)⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，此区间内不存在零点，舍去，故m <0.当m ＝－1时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝1＋38e 2－2e >0，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，23上单调递增，此区间不存在零点，舍去．当m ＝－2时，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e 2，＋∞，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝1e 2⎝ ⎛⎭⎪⎫38e 2－2<0，又f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，23上单调递增，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23>0，故x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2，23. 综上，m 的最大值为－2.。

(人教版)高中数学选修2-2检测模块综合检测A Word版含答案

模块综合检测()一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．复数＝(为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )．第一象限．第二象限．第三象限．第四象限解析：∵＝＝＝＝－，∴复数对应的点的坐标为，在第四象限．答案：．函数()＝＋＋的图象在＝处的切线在轴上的截距为( )．．．－．－解析：′()＝＋，′()＝，()＝，－＝(－)，＝时，＝－.答案：．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．．①②③．①③．①．②③解析：类比①的结论为：平行于同一个平面的两个平面平行，成立；类比②的结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂直，成立；类比③的结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．答案：．函数＝－－(－<<)有( )．极大值，极小值－．极大值，极小值－．极大值，无极小值．极小值－，无极大值解析：′＝－－＝，得＝－，＝，当<－时，′>；当>－时，′<.当＝－时，极大值＝，取不到，无极小值．答案：．函数＝＋的单调递增区间是( )．(，＋∞) ．(－∞，)．．(，＋∞)解析：令′＝－＝>，即(－)(＋＋)>，且≠，得>.答案：．下列计算错误的是( )．＝．))＝．＝．＝解析：由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．答案：．用数学归纳法证明＋＋…＋>(∈＋)时，在验证＝时，左边的代数式为( ) ．＋＋．＋．．解析：当＝时，不等式左边为＋＋＝＋＋.答案：．函数＝－在(－∞，＋∞)上的减区间是[－]，则( )．＝．＝．＝．≤解析：∈[－]，′＝－≤，且′＝±＝，∴＝，＝.答案：．若，∈，则＋是( )．纯虚数．实数．虚数．不能确定解析：设＝＋，＝＋(，，，∈)，则＋＝(＋)(－)＋(－)(＋)＝(＋)∈.答案：．设＝(－－)＋(－)(∈)，若对应的点在直线－＋＝上，则的值是( ) ．±．．－．解析：(－－)－(－)＋＝，＝－，＝，＝±，而>，所以＝.答案：．函数()的定义域为，(－)＝，对任意∈，′()>，则()>＋的解集为( ) ．(－) ．(－，＋∞)．(－∞，－) ．(－∞，＋∞)解析：设()＝()－(＋)，。

人教A版选修2-2数学：第三章《数系的扩充与复数的引入》综合测试2(新人教A版选修2—2).docx

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（）Ａ．充分条件但不是必要条件Ｂ．必要条件但不是充分条件Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（）Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（）Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（）Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限Ｃ．z 不是纯虚数Ｄ．z 是虚数答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（）Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（）Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线答案：Ａ二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第象限角．答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为．答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ．答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ．答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值．解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数．（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围．解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立；当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩，综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω．解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数；（3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，，则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=．当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1．高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（）Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（）Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，，Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（）Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（）Ａ．1个圆Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（）Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（）Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（）Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（）Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离Ｃ．点(32)，与原点的距离Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的．答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为．答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ．答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ．解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+，由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数；（2）为虚数；（3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-；（2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =．又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值．解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=，则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+，即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上，画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

人教版高中数学选修2-2模块综合检测 Word版含解析

模块综合检测(时间分钟满分分)一、选择题(本大题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．已知复数＝＋，＝＋，则在复平面内对应的点位于( )．第一象限．第三象限．第四象限．第二象限解析：选＝＝－，对应点在第四象限．．下面几种推理中是演绎推理的为( )．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电．猜想数列，，，…的通项公式为＝(∈＋)．半径为的圆的面积＝π，则单位圆的面积＝π．由平面直角坐标系中圆的方程为(－)＋(－)＝，推测空间直角坐标系中球的方程为(－)＋(－)＋(－)＝解析：选由演绎推理的概念可知正确．．函数＝( )的导数是( )．′＝ ·．′＝( )．′＝．′＝( )解析：选′＝[( )]′＝( )·( )′＝( )· ·＝× · ··＝· ·，故选.．设()＝，若′()＝，则的值为( )．．)．解析：选由()＝，得′()＝＋. 根据题意知＋＝，所以＝，因此＝.．观察下列等式，＋＝＋＋＝＋＋＋＝，根据上述规律，＋＋＋＋＋＝( )．．．．解析：选归纳得＋＋＋＋＋＝＝..函数()的图象如图，则函数的单调递增区间是( )．(－∞，－]．[－]解析：选由题图可知＝.不妨取＝，∵()＝＋＋，∴′()＝＋＋.由图可知′(－)＝，′()＝，∴－＋＝＋＋＝，∴＝－，＝－.∴＝－－，′＝－. 当＞时，′＞，∴＝－－的单调递增区间为.故选.．设曲线＝上任一点(，)处切线的斜率为()，则函数＝()的部分图象可以为( )解析：选根据题意得()＝，∴＝()＝为偶函数．又＝时，＝，故选.．设函数()在上可导，()＝′()－，则(－)与()的大小关系是( )．(－)＝() ．(－)>()．不确定．(－)<()解析：选因为()＝′()－，所以′()＝′()－，则′()＝′()－，解得′()＝，所以()＝－，所以()＝－，(－)＝，故(－)>().．若不等式≥－＋－对∈(，＋∞)恒成立，则实数的取值范围是( )．(－∞，) ．(－∞，]．[，＋∞)．(，＋∞)解析：选由≥－＋－，得≤＋＋，设()＝＋＋(＞)，则′()＝.当∈()时，′()＜，函数()单调递减；当∈(，＋∞)时，′()＞，函数()单调递增，所以()＝()＝.所以≤()＝.故的取值范围是(－∞，]．．定义在上的函数()满足：′()＞()恒成立，若＜，则()与()的大小关系为( )．()＞()．()＜()．()＝()。

人教版高中数学选修2-2综合测试卷A(含答案)

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作数学选修2-2综合测试卷A （含答案）考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明评卷人得分一、选择题（题型注释）1．若函数2()cos f x x x =-，则'()f α等于（） A.sin α B.cos αC.2sin αα+D. 2sin αα-2．在平面几何里，有勾股定理：“设A B C ∆的两边AC AB ,互相垂直，则222BC AC AB =+”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，“设三棱锥BCD A -的三个侧面ABC 、ACD 、ABD 两两互相垂直”，则可得（） A 、222222BD CD BC AD AC AB ++=++B 、2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=⨯⨯ C 、2222BCD ABD ACD ABC S S S S ∆∆∆∆=++D 、222222BD CD BC AD AC AB ⨯⨯=⨯⨯3．已知数列：,41,32,23,14,31,22,13,21,12,11…,依前10项的规律，这个数列的第200项200a 满足（）A ．20001a <<B ．2001 1.5a ≤<C ．2001.52a ≤<D ．20015a >4．已知a b c ++>0,ab bc ac ++>0,abc >0,用反证法求证a >0, b >0,c>0的假设为 A.,,a b c 不全是正数 B.a<0,b<0,c<0 C.a ≤0,b>0,c>0 D.abc<0 5．用反证法证明命题“220,0(a b a a +=∈若则、b 全为、b R)”,其反设正确的是A ．0a b 、至少有一个为 B ．0a b 、至少有一个不为C ．0a b 、全不为D ．0a b 、中只有一个为 6．下列求导运算正确的是（A ）22[(3)(1)]326x x x x '-+=-+ （B ）(sin cos )cos sin x x x x '-=- （C ）3()2x x x x e x e '-=- （D ）212()1(1)x x x -'=-++ 7．用反证法证明：某方程“至多有一个解”中，假设正确的是：该方程 ( )A ．无解B ．有一个解C ．有两个解D ．至少有两个解8．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 ( )A.42n +B.42n -C.24n +D.33n +9．已知函数2210()40x x f x x x a x ⎧+>⎪=⎨--+≤⎪⎩ 在点（1,2）处的切线与()f x 的图像有三个公共点，则a 的取值范围是（） A ．[8,425)--+ B ．(425,425)---+ C ．(425,8]-+ D ．(425,8]---10．若函数)(log )(3ax x x f a -=)1,0(≠>a a 在区间21(-，0)内单调递增，则a 取值范围是( )A.[41，1)B.[43，1)C.49(，)+∞D.(1，49)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明评卷人得分二、填空题（题型注释）11．函数xxy 2sin=的导数为________.12．如右图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n(2n ≥)，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第8行第4个数（从左往右数）为．13．复数(2)i i +的虚部是．14．已知)1(3)1()(//23-++=xf f x x x f ，则)1()1(//-+ff 的值为 15．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集。

高中数学模块综合评价(二)(含解析)新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题

模块综合评价(二)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．(1＋i)16－(1－i)16＝() A ．－256B ．256i C ．0 D ．256解析：(1＋i)16－(1－i)16＝[(1＋i)2]8－[(1－i)2]8＝(2i)8－(－2i)8＝0. 答案：C2．已知函数f (x )＝ln x －x ，则函数f (x )的单调递减区间是() A ．(－∞，1) B ．(0，1)C ．(－∞，0)，(1，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：f ′(x )＝1x －1＝1－xx，x >0.令f ′(x )<0，解得x >1.答案：D3．设f (x )＝10x＋lg x ，则f ′(1)等于( ) A ．10 B ．10ln 10＋lg e C.10ln 10＋ln 10 D ．11ln 10解析：f ′(x )＝10x ln 10＋1x ln 10，所以f ′(1)＝10ln 10＋1ln 10＝10ln 10＋lg e. 答案：B4．若函数f (x )满足f (x )＝e xln x ＋3xf ′(1)－1，则f ′(1)＝() A ．－e 2B ．－e3C ．－eD ．e解析：由已知可得f ′(x )＝e xln x ＋exx＋3f ′(1)，令x ＝1，则f ′(1)＝0＋e ＋3f ′(1)，解得f ′(1)＝－e2.答案：A5．用反证法证明命题：“若a ，b ∈N ，ab 能被3整除，那么a ，b 中至少有一个能被3整除”时，假设应为( )A ．a ，b 都能被3整除B ．a ，b 都不能被3整除C ．a ，b 不都能被3整除D ．a 不能被3整除解析：因为“至少有一个”的否定为“一个也没有”．答案：B6．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：因为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，又因为在x ＝1处有极值，所以a ＋b ＝6，因为a ＞0，b ＞0，所以ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最大值等于9.答案：D7．观察数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，…的特点，按此规律，则第100项为( ) A ．10B ．14C ．13D ．100解析：设n ∈N *，则数字n 共有n 个，所以n （n ＋1）2≤100，即n (n ＋1)≤200，又因为n ∈N *，所以n ＝13，到第13个13时共有13×142＝91项，从第92项开始为14，故第100项为14.答案：B8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．故选D.答案：D8．某工厂要建造一个长方体的无盖箱子，其容积为48 m 3，高为3 m ，如果箱底每平方米的造价为15元，箱侧面每平方米的造价为12元，则箱子的最低总造价为()A ．900元B ．840元C ．818元D ．816元解析：设箱底一边的长度为x m ，箱子的总造价为l 元，根据题意，得l ＝15×483＋12×2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋48x ＝240＋72⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x (x >0)，l ′＝72⎝ ⎛⎭⎪⎫1－16x 2.令l ′＝0，解得x ＝4或x ＝－4(舍去)．当0<x <4时，l ′<0；当x >4时，l ′>0.故当x ＝4时，l 有最小值816.因此，当箱底是边长为4 m 的正方形时，箱子的总造价最低，最低总造价为816元．答案：D10．证明不等式n 2＋n ≤n ＋1(n ∈N *)，某学生的证明过程如下： (1)当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *且k ≥1)时，不等式成立，即 k 2＋k ≤k ＋1，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝ k 2＋3k ＋2≤k 2＋3k ＋2＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1.所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．上述证法( ) A ．过程全都正确 B ．n ＝1时验证不正确 C ．归纳假设不正确D ．从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确解析：验证及归纳假设都正确，但从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理中没有使用归纳假设，而是通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.答案：D11.已知函数f (x )满足f (0)＝0，导函数f ′(x )的图象如图所示，则f (x )的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为( )A.13B.43 C ．2D.83解析：由f ′(x )的图象知，f ′(x )＝2x ＋2，设f (x )＝x 2＋2x ＋c ，由f (0)＝0知，c ＝0，所以f (x )＝x 2＋2x ，由x 2＋2x ＝0得x ＝0或x ＝－2. 故所求面积S ＝－∫0－2(x 2＋2x )d x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x 2|0－2＝43.答案：B12．已知定义在R 上的奇函数f (x )，设其导数为f ′(x )，当x ∈(－∞，0]时，恒有xf ′(x )<f (－x )，令F (x )＝xf (x )，则满足F (3)>F (2x －1)的实数x 的取值X 围为()A ．(－1，2) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2D ．(－2，1) 解析：因为f (x )是奇函数，所以不等式xf ′(x )<f (－x )等价于xf ′(x )<－f (x )，即xf ′(x )＋f (x )<0，即F ′(x )<0.当x ∈(－∞，0]时，函数F (x )单调递减；由于F (x )＝xf (x )为偶函数，所以F (x )在[0，＋∞)上单调递增．所以F (3)>F (2x －1)等价于F (3)>F (|2x －1|)，即3>|2x －1|，解得－1<x <2. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13．复数z ＝(1＋2i)(3－i)，其中i 为虚数单位，则z 的实部是________．解析：因为z ＝(1＋2i)(3－i)＝3－i ＋6i －2i 2＝5＋5i ，所以z 的实部是5. 答案：514．在△ABC 中，D 为边BC 的中点，则AO →＝12(AB →＋AC →)．将上述命题类比到四面体中去，得到一个类比命题：_______________．解析：将“△ABC ”类比为“四面体A BCD ”，将“D 为边BC 的中点”类比为“△BCD 的重心”，于是有类比结论：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)．答案：在四面体A BCD 中，G 为△BCD 的重心，则AG →＝12(AB →＋AC →＋AD →)15．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝____________.解析：f ′(x )＝2x （x ＋1）－（x 2＋a ）（x ＋1）2＝x 2＋2x －a （x ＋1）2，令f ′(x )＝0，则x 2＋2x －a ＝0，x ≠－1.又f (x )在x ＝1处取得极值，所以x ＝1是x 2＋2x －a ＝0的根，所以a ＝3.答案：316．下列四个命题中，正确的为________(填上所有正确命题的序号)． ①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则a ，b ，c 中至少有一个不小于1； ②若z 为复数，且|z |＝1，则|z －i|的最大值等于2； ③对任意x ∈(0，＋∞)，都有x >sin x ； ④定积分∫π0π－x 2d x ＝π24.解析：①若实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝3，则用反证法证明，假设a ，b ，c 都小于1，则a ＋b ＋c <3，与已知矛盾，故可得a ，b ，c 中至少有一个不小于1，故①正确；②若z 为复数，且|z |＝1，则由|z －i|≤|z |＋|－i|＝2，可得|z －i|的最大值等于2，故②正确；③令y ＝x －sin x ，其导数为y ′＝1－cos x ，y ′≥0，所以y ＝x －sin x 在R 上为增函数，当x ＝0时，x －sin x ＝0，所以对任意x ∈(0，＋∞)，都有x －sin x >0，故③正确．④定积分∫π0π－x 2d x 表示以原点为圆心，π为半径的圆的面积的四分之一，故④正确．答案：①②③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a ∈R，问复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在第几象限？复数z 对应点的轨迹是什么？解：由a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3. －(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1. 知z 的实部为正数，虚部为负数，所以复数z 的对应点在第四象限．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－（a 2－2a ＋2），因为a 2－2a ＝(a －1)2－1≥－1，所以x ＝a 2－2a ＋4≥3，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)，所以复数z 对应点的轨迹是一条射线，其方程为y ＝－x ＋2(x ≥3)． 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝1x ＋2，a ，b ∈(0，＋∞)． (1)用分析法证明：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23；(2)设a ＋b >4，求证：af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.证明：(1)要证明f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23，只需证明1a b＋2＋1b a＋2≤23，只需证明b a ＋2b ＋ab ＋2a ≤23，即证b 2＋4ab ＋a 22a 2＋5ab ＋2b 2≤23，即证(a －b )2≥0，这显然成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ≤23.(2)假设af (b )，bf (a )都小于或等于12，即a b ＋2≤12，b a ＋2≤12，所以2a ≤b ＋2，2b ≤a ＋2，两式相加得a ＋b ≤4，这与a ＋b >4矛盾，所以af (b )，bf (a )中至少有一个大于12.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝ex ＋2(x 2－3)．(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数y ＝f (x )的极值．解：(1)函数f (x )＝e x ＋2(x 2－3)，则f ′(x )＝ex ＋2(x 2＋2x －3)＝ex ＋2(x ＋3)(x －1)，故f ′(0)＝－3e 2，又f (0)＝－3e 2，故曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＋3e 2＝－3e 2(x －0)，即3e 2x ＋y ＋3e 2＝0.(2)令f ′(x )＝0，可得x ＝1或x ＝－3，如下表：↗↘↗所以当x ＝－3时，函数取极大值，极大值为f (－3)＝e ，当x ＝1时，函数取极小值，极小值为f (1)＝－2e 3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值，最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3图象的下方．解：(1)由f (x )＝12x 2＋ln x 有f ′(x )＝x ＋1x ，当x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，所以f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1.f (x )min ＝f (1)＝12.(2)设F (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x，当x ∈[1，＋∞)时，F ′(x )<0，且F (1)＝－16<0故x ∈[1，＋∞)时F (x )<0，所以12x 2＋ln x <23x 3，得证．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋(1－a )x －a ln x .(1)讨论f (x )的单调性；(2)设a >0，证明：当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )； (3)设x 1，x 2是f (x )的两个零点，证明：f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，由已知，得f ′(x )＝x ＋1－a －a x ＝x 2＋（1－a ）x －ax＝（x ＋1）（x －a ）x.若a ≤0，则f ′(x )>0，此时f (x )在(0，＋∞)上单调递增．若a >0，则令f ′(x )＝0，得x ＝a .当0<x <a 时，f ′(x )<0；当x >a 时，f ′(x )>0.此时f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．综上，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a >0时，f (x )在(0，a )上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．(2)令g (x )＝f (a ＋x )－f (a －x )，则g (x )＝12(a ＋x )2＋(1－a )(a ＋x )－a ln(a ＋x )－ [12(a －x )2＋(1－a )(a －x )－a ln(a －x )]＝2x －a ln(a ＋x )＋a ln(a －x )．所以g ′(x )＝2－a a ＋x －aa －x ＝2x2x 2－a 2.当0<x <a 时，g ′(x )<0，所以g (x )在(0，a )上是减函数．而g (0)＝0，所以g (x )<g (0)＝0.故当0<x <a 时，f (a ＋x )<f (a －x )．(3)由(1)可知，当a ≤0时，函数f (x )至多有一个零点，故a >0，从而f (x )的最小值为f (a )，且f (a )<0. 不妨设0<x 1<x 2，则0<x 1<a <x 2，所以0<a －x 1<a . 由(2)得f (2a －x 1)<f (x 1)＝0＝f (x 2)，从而x 2>2a －x 1，于是x 1＋x 22>a .由(1)知，f ′⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>0.22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)． (1)试求出S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式； (2)用数学归纳法证明你的猜想，并求出a n 的表达式．解：(1)因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2) 所以S n ＝n 2(S n －S n －1)，所以S n ＝n 2n 2－1S n －1(n ≥2) 因为a 1＝1，所以S 1＝a 1＝1. 所以S 2＝43，S 3＝32＝64，S 4＝85，猜想S n ＝2n n ＋1(n ∈N *)． (2)①当n ＝1时，S 1＝1成立．②假设n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，等式成立，即S k ＝2k k ＋1，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝a k ＋1＋S k ＝a k ＋1＋2k k ＋1，所以a k ＋1＝2（k ＋2）（k ＋1），所以S k ＋1＝(k ＋1)2·a k ＋1＝2（k ＋1）k ＋2＝2（k ＋1）（k ＋1）＋1.所以n ＝k ＋1时等式也成立，得证．所以根据①、②可知，对于任意n ∈N *，等式均成立．由S n ＝n 2a n ，得2n n ＋1＝n 2a n ，所以a n ＝2n （n ＋1）.。

高二数学人教A版选修2-2习题模块综合检测(基础卷) Word版含答案

模块综合检测(基础卷)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．已知a ，b ∈R ，且2＋a i ，b ＋i(i 是虚数单位)是实系数一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么p ，q 的值分别是( )A ．p ＝－4，q ＝5B ．p ＝－4，q ＝3C ．p ＝4，q ＝5D ．p ＝4，q ＝3[答案] A[解析] 分别将2＋a i ，b ＋i 代入方程得：⎩⎪⎨⎪⎧(2＋a i )2＋p (2＋a i )＋q ＝0①(b ＋i )2＋p (b ＋i )＋q ＝0② 对①②整理由复数相等的条件得：⎩⎪⎨⎪⎧2p ＋q －a 2＋4＝0，(p ＋4)a ＝0，pb ＋q ＋b 2－1＝0，p ＋2b ＝0.解得p ＝－4，q ＝5.本题也可以用“韦达定理”求解： 2＋a i ＋b ＋i ＝－p ③，(2＋a i)(b ＋i)＝q ④ 由复数相等的条件对③④整理得：⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋b ＝－p ，a ＋1＝0，2b －a ＝q ，ab ＋2＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，p ＝－4，q ＝5.故选A.2．设曲线y ＝x ＋1x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋3＝0垂直，则a ＝( )A ．－2B ．－12 C.12D ．2[答案] A[解析] y ′＝－2(x －1)2，y ′|x ＝3＝－12， ∵(－12)·(－a )＝－1，∴a ＝－2.3．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)时，验证n ＝1，左边应取的项是( )A ．1B ．1＋2C ．1＋2＋3D ．1＋2＋3＋4[答案] D[解析] 当n ＝1时，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故应选D.4．三次函数当x ＝1时有极大值4，当x ＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( ) A ．y ＝x 3＋6x 2＋9x B ．y ＝x 3－6x 2＋9x C ．y ＝x 3－6x 2－9x D ．y ＝x 3＋6x 2－9x[答案] B[解析] 由条件设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ＝3a (x －1)(x －3)，∴b ＝－6a ，c ＝9a ，∴f (x )＝ax 3－6ax 2＋9ax ，∵f (1)＝4，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－6x 2＋9x ，故选B.5．在复平面内，点A 对应的复数为1＋2i ，AB →＝(－2,1)，则点B 对应的复数的共轭复数为( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i[答案] D[解析] 由条件知A (1,2)，又AB →＝(－2,1)， ∴B (－1,3)，∴点B 对应复数z ＝－1＋3i ，故z －＝－1－3i.6．已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2017的值为( ) A.20162017 B.20152016 C.20132014 D ．20142015[答案] A[解析] f ′(x )＝2x ＋b ，由f ′(1)＝2＋b ＝3，得b ＝1. 则f (x )＝x 2＋x .于是1f (n )＝1n 2＋n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，S 2017＝1f (1)＋1f (2)＋…＋1f (2017)＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(12016－12017)＝1－12017＝20162017.7．已知函数f (x )＝x 3－12x ，若f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则实数m 的取值范围是( )A ．－1≤m ≤1B ．－1<m ≤1C ．－1<m <1D ．－1≤m <1 [答案] D[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，令f ′(x )<0⇒－2<x <2，所以函数f (x )＝x 3－12x 的单调递减区间为(－2,2)，要使f (x )在区间(2m ，m ＋1)上单调递减，则区间(2m ，m ＋1)是区间(－2,2)的子区间，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m ≥－2，m ＋1≤2，m ＋1>2m .从中解得－1≤m <1，选D.8．曲线y ＝x 3－3x 和y ＝x 围成图形的面积为( )A ．4B ．8C ．10D ．9[答案] B[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 3－3x ，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2. ∵y ＝x 3－3x 与y ＝x 都是奇函数， ∴围成图形的面积为S ＝2⎠⎛02[x －(x 3－3x )]d x ＝2⎠⎛02(4x －x 3)d x ＝2·(2x 2－14x 4)|20＝8，故选B. 9．函数y ＝a sin x ＋13sin3x 在x ＝π3处有极值，则a 的值为( )A ．－6B ．6C ．－2D ．2[答案] D[解析] y ′＝a cos x ＋cos3x ，由条件知，a cos π3＋cosπ＝0，∴a ＝2，故选D.10．若复数z 满足z1－i＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i[答案] A [解析] 因为z1－i＝i ，所以z ＝i(1－i)＝1＋i ， ∴z ＝1－i.故选A.11．如图，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n 个图形中顶点个数为( )A ．(n ＋1)(n ＋2)B ．(n ＋2)(n ＋3)C ．n 2D ．n[答案] B[解析] 第一个图形共有12＝3×4个顶点，第二个图形共有20＝4×5个顶点，第三个图形共有30＝5×6个顶点，第四个图形共有42＝6×7个顶点，故第n 个图形共有(n ＋2)(n ＋3)个顶点．12．函数y ＝x 4－2x 2＋5的单调递减区间为( )A ．(－∞，－1]和[0,1]B ．[－1,0]和[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]和[1，＋∞)[答案] A[解析] y ′＝4x 3－4x ，令y ′<0，即4x 3－4x <0，解得x <－1或0<x <1，所以函数的单调减区间为(－∞，－1)和(0,1)，故应选A. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上) 13．在等比数列{a n }中，若前n 项之积为T n ，则有T 3n ＝(T 2nT n )3.那么在等差数列{b n }中，若前n项之和为S n ，用类比的方法得到的结论是________.[答案] S 3n ＝3(S 2n －S n )[解析] 由等比数列前n 项积，前2n 项的积，前3n 项的积类比得到等差数列前n 项的和，前2n 项的和，前3n 项的和，由等比数列中(T 2nT n )3类比得等差数列中3(S 2n －S n )，故有S 3n ＝3(S 2n－S n )．14．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________.[答案] (－∞，－53)和(1，＋∞)[解析] ∵y ＝x 3＋x 2－5x －5，∴y ′＝3x 2＋2x －5，令y ′＝3x 2＋2x －5>0，解得x <－53，x >1，∴函数的单调递增区间为(－∞，－53)和(1，＋∞)．15．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f (f (1))＝1，则a ＝________.[答案] 1[解析] ∵f (1)＝0，∴f (f (1))＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3|a 0＝a 3＝1，∴a ＝1.16．已知结论“a 1、a 2∈R ＋，且a 1＋a 2＝1，则1a 1＋1a 2≥4：若a 1、a 2、a 3∈R ＋，且a 1＋a 2＋a 3＝1，则1a 1＋1a 2＋1a 3≥9”，请猜想若a 1、a 2、…、a n ∈R ＋，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝1，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥________. [答案] n 2[解析] 结论左端各项分别是和为1的各数a i 的倒数(i ＝1,2，…，n )，右端n ＝2时为4＝22，n ＝3时为9＝32，故a i ∈R ＋，a 1＋a 2＋…＋a n ＝1时，结论为1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥n 2(n ≥2)．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分10分)设复数z 满足|z |＝1，且(3＋4i)·z 是纯虚数，求z .[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由|z |＝1，得a 2＋b 2＝1，①由(3＋4i)·z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i 是纯虚数，得3a －4b ＝0②联立①②解得⎩⎨⎧ a ＝－45，b ＝－35，或⎩⎨⎧a ＝45，b ＝35.∴z ＝－45－35i 或z ＝45＋35i.18．(本题满分12分)已知非零实数a 、b 、c 构成公差不为0的等差数列，求证：1a ，1b ，1c 不可能构成等差数列.[解析] 假设1a ，1b ，1c 能构成等差数列，则得2b ＝1a ＋1c ，于是得bc ＋ab ＝2ac .①而由于a ，b ，c 构成等差数列，即2b ＝a ＋c .②所以由①②两式得，(a ＋c )2＝4ac ，即(a －c )2＝0，于是得a ＝b ＝c ，这与a ，b ，c 构成公差不为0的等差数列矛盾．故假设不成立，因此1a ，1b ，1c不能构成等差数列．19．(本题满分12分)设函数f (x )＝ax ＋xx －1(x >1)，若a 是从1、2、3三个数中任取的一个数，b 是从2、3、4、5四个数中任取的一个数，求f (x )>b 恒成立的概率.[解析] 若使f (x )>b 恒成立，只需使ax ＋xx －1－b >0在(1，＋∞)上恒成立．设g (x )＝ax ＋x x －1－b ，则g ′(x )＝a －1(x －1)2＝a (x －1)2－1(x －1)2，令g ′(x )＝0，则a (x －1)2－1＝0，解得：x ＝±aa ＋1，∴x ∈(1，aa＋1)时，g ′(x )<0， x ∈(aa＋1，＋∞)时，g ′(x )>0. ∴x ＝aa＋1时，函数g (x )取得最小值为g (aa＋1)＝2a ＋a ＋1－b ， ∴2a ＋a ＋1－b >0，∴当a ＝1时，b 的值可以是2或3，当a ＝2时，b 的值可以是2或3或4或5，当a ＝3时，b 的值可以是2或3或4或5.∴使f (x )>b 恒成立的取法共有10种，而数对(a ，b )的所有可能取法共有12种， ∴使f (x )>b 恒成立的概率为P ＝1012＝56.20．(本题满分12分)(1)设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .(2)1≤a ≤b ≤c ，证明：log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c .[证明] (1)由于x ≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇔xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2.将上式中的右式减左式，得 (y ＋x ＋(xy )2)－(xy (x ＋y )＋1) ＝((xy )2－1)－(xy (x ＋y )－(x ＋y )) ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)．由于x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得 log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y ，log a c ＝xy .于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1. 故由(1)知所要证明的不等式成立．21．(本题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2－ax ＋(a －1)ln x .(1)若a >2，讨论函数f (x )的单调性；(2)已知a ＝1，g (x )＝2f (x )＋x 3，若数列{a n }的前n 项和为S n ＝g (n )，证明：1a 2＋1a 3＋…＋1a n<13(n ≥2，n ∈N ＋)． [解析] (1)可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．有 f ′(x )＝x －a ＋a －1x ＝x 2－ax ＋a －1x＝(x －1)[x －(a －1)]x，因为a >2，所以a －1>1.故当1<x <a －1时f ′(x )<0；当0<x <1或x >a －1时f ′(x )>0.∴函数f (x )在区间(1，a －1)上单调递减，在区间(0,1)和(a －1，＋∞)上单调增加． (2)由a ＝1知g (x )＝x 3＋x 2－2x ，所以S n ＝n 3＋n 2－2n .可得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2－n －2，(n ≥2)，0，(n ＝1).∴a n ＝3n 2－n －2(n ≥2)．所以1a n ＝1(3n ＋2)(n －1)(n ≥2)．因为1(3n ＋2)(n －1)<13n (n －1)＝13(1n －1－1n)，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a n <13[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )]＝13(1－1n )＝13－13n <13，综上，不等式得证．22．(本题满分12分)(2015·福建文，22)已知函数f (x )＝ln x －(x －1)22.(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)证明：当x >1时，f (x )<x －1；(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1，x 0)时，恒有f (x )>k (x －1)． [解析] (1)f ′(x )＝1x －x ＋1＝－x 2＋x ＋1x，x ∈(0，＋∞)．由f ′(x )>0得⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x ＋1>0.解得0<x <1＋52.故f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎪⎫0，1＋52.(2)证明：令F (x )＝f (x )－(x －1)，x ∈(0，＋∞)．则有f ′(x )＝1－x 2x.当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以F (x )在[1，＋∞)上单调递减，故当x >1时，F (x )<F (1)＝0，即当x >1时，f (x )<x －1. (3)由(2)知，当k ＝1时，不存在x 0>1满足题意．当k >1时，对于x >1，有f (x )<x －1<k (x －1)，则f (x )<k (x －1)，从而不存在x 0>1满足题意．当k <1时，令G (x )＝f (x )－k (x －1)，x ∈(0，＋∞)，则有G ′(x )＝1x －x ＋1－k ＝－x 2＋(1－k )x ＋1x .由G ′(x )＝0得，－x 2＋(1－k )x ＋1＝0. 解得x 1＝1－k －(1－k )2＋42<0，x 2＝1－k ＋(1－k )2＋42>1.当x ∈(1，x 2)时，G ′(x )>0，故G (x )在[1，x 2)内单调递增．从而当x ∈(1，x 2)时，G (x )>G (1)＝0，即f (x )>k (x －1)，综上，k 的取值范围是(－∞，1)．。

高二数学人教版选修2-2模块综合测试题(含答案)

高二数学选修2-2模块综合测试题（本科考试时间为120分钟，满分为150分）一．选择题（本大题有10小题，每小题5分,共50分）1．在“近似替代”中，函数)(x f 在区间],[1+i i x x 上的近似值（）（A ）只能是左端点的函数值)(i x f （B ）只能是右端点的函数值)(1+i x f （C ）可以是该区间内的任一函数值()∈i i f ξξ(],[1+i i x x ）（D ）以上答案均正确2．已知22123i 4(56)i z m m m z m =-+=++，，其中m 为实数，i 为虚数单位，若120z z -=，则m 的值为 ( ) (A) 4(B) 1-(C) 6(D) 03．已知1,1x y <<,下列各式成立的是（）（A ）2x y x y ++-> （B ）221x y +< （C ）1x y +< （D ）1xy x y +>+ 4．设f (x )为可导函数，且满足0(1)(1)lim2x f f x x→--=－1，则曲线y =f (x )在点(1, f (1))处的切线的斜率是（）（A ）2 （B ）－1 （C ）12（D ）－2 5．若a 、b 、c 是常数，则“a ＞0且b 2－4ac ＜0”是“对任意x ∈R ，有ax 2+bx +c ＞0” 的（）（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充要条件（D ）必要条件 6．函数223)(a bx ax x x f +--=在1=x 处有极值10, 则点),(b a 为（）（A ）)3,3(- （B ）)11,4(- （C ） )3,3(-或)11,4(- （D ）不存在 7．1x y z ++=，则22223x y z ++的最小值为（）(A)1 (B)34 (C)611 (D)588．曲线xy e =，x y e -= 和直线1x =围成的图形面积是（）(A)1e e -- (B) 1e e -+ (C) 12e e --- (D) 12e e -+-9．点P 是曲线x x y ln 2-=上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（）(A) １ (B)(C) ２ (D)10．设2()f x x ax b =++（,a b R ∈），当[]11,x ∈-时，()f x 的最大值为m ，则m 的最小值为（） (A)12 (B) １ (C) 32(D) ２二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分） 11．定义运算a b ad bc c d=-,若复数z 满足112zzi-=,其中i 为虚数单位,则复数z = ．12．如图,数表满足:⑴第n 行首尾两数均为n ;⑵表中递推关系类似杨辉三角, 记第(1)n n >行第2个数为()f n .根据表中上下两行数据关系, 可以求得当2n …时,()f n = ．13．设函数f (x )=n 2x 2(1－x )n (n 为正整数)，则f (x )在［0,1］上的最大值为．14．设i a R +∈，i x R +∈，12,,i n =L ，且222121n a a a ++=L ，222121n x x x ++=L ，则1212,,,n na a a x x x L 的值中，现给出以下结论，其中你认为正确的是．①都大于1②都小于1③至少有一个不大于1④至多有一个不小于1⑤至少有一个不小于1三解答题（本大题共6小题，共80分）15、（本小题12分）已知等腰梯形OABC 的顶点A B ，在复平面上对应的复数分别为12i +、26i -+，且O 是坐标原点，OA BC ∥．求顶点C 所对应的复数z ． 12 234 3 4 7 7 4 … … …16（本小题满分14分） (1) 求定积分1222x dx --⎰的值；(2) (2)若复数12()z a i a R =+∈，234z i =-，且12z z 为纯虚数，求1z17（本小题满分12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。

人教A版数学高二选修2-2 模块综合测试题

一、选择题
高二数学检测题答案 2011.3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
C
D
A
D
B
A
C
D
B
C
B
A
二、填空题
13：3x-1；14：
0,
4
3 4
,
，15、
2 2
,
，16：
6
3 2
,
2
三．解答题
17：（Ⅰ） f (x) 3x2 2bx 2c
函数 f (x) 的图像关于直线 x 2 对称
B a1 e
C a 1
D a 1
2
1
9.若 a
sin xdx ， b
cos xdx ，则 a 与 b 的关系（
0
）
2
A ab
B ab
C ab
D ab0
10.已知函数 f (x) x3 ax2 bx c ， x 2, 2 表示的曲线过原点且在 x 1 处的切线
斜率均为-1，给出以下结论
g(0) 1 0 只需 g(1) 2 2a 0
所以， a 的取值范围为 1,
即a 1
12 分
21：设这辆出租车得车速为 vkm/ h ，耗油的费用为 A 元/h
由甲地开往乙地需要得时间为 th,总费用为 B 元
依题意，得 A kv3 v 80 时， A 8
tv 160 B (A 12)t
x
x
令 y 0 得
x 1, x 1 2
x 0, 1 2
1
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