思想04 等价转换思想(教学案)(含解析)

思想四等价转换思想
转化与化归思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。

从某种意义上说，数学题的求解都是应用已知条件对问题进行一连串恰当转化，进而达到解题目的的一个探索过程。

转化与化归思想在高考中占有十分重要的地位，数学问题的解决，总离不开转化与化归，如未知向已知的转化、新知识向旧知识的转化、复杂问题向简单问题的转化、不同数学问题之间的互相转化、实际问题向数学问题的转化等．各种变换、具体解题方法都是转化的手段，转化的思想方法渗透到所有的数学教学内容和解题过程中．
1.转化有等价转化与非等价转化．
等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。

非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口．
2．转化与化归的原则：
(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验来解决．
(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据．
（3）和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律；
(4)直观化原则：将比较抽象的问题化为比较直观的问题来解决．
(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获解．
3．常见的转化与化归的方法：
转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是成功的思维方式．常见的转化方法有：
(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题．
(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．
(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．
(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．
(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题．
(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题．
(7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径． (8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定． (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决．
(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看做集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则． 4．转化与化归的指导思想：
(1)把什么问题进行转化，即化归对象． (2)化归到何处去，即化归目标． (3)如何进行化归，即化归方法．
化归与转化思想是一切数学思想方法的核心. 【热点分类突破】 类型一特殊与一般的转化
例1.设()f x 是奇函数，对任意的实数,x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，则
()f x 在区间[],a b 上（）
A ．有最小值()f a
B ．有最大值()f a
C ．有最大值2a b f +⎛⎫
⎪⎝⎭D ．有最小值
2a b f +⎛⎫ ⎪⎝⎭
分析：此题可根据题意，构造一个特殊函数()f x x =-，即可得出答案。

【答案】B
点评：一般满足的，特殊也满足，可构造一个特殊函数，通过特殊函数求解．
【规律总结】一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单．特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批的处理问题的效果． 【举一反三】
函数223x
x x
y e
-=的图象大致是（）
因为223x
x x
y e -=有两个零点
0,3x x ==，所以排除B ，当0.1x =时0y <，排除C,x →+∞时0y →，
排除D,故选A.
类型二相等与不等的转化 例２．设函数()2
1ln 2
f x x ax bx =-- （1）当1
2
a b ==
时，求函数()f x 的单调区间； （2）当0,1a b ==-时，方程()f x mx =在区间2
1,e ⎡⎤⎣⎦内有唯一实数解，求实数m 的取值范围
试题分析：（Ⅰ）先确定函数定义域，再求导函数
，进而求定义区间上导函数的零点
，最后列表分析导函数符号：当
时，
；当
时，
，确定单调区间：增区间为，减区间为
；（Ⅱ）化简方程得
，变量分离得
，
利用导数研究函数单调性变化规律：在区间
上是增函数，在区间
上是减函数.最后结合
图像确定有唯一解的条件：.或1
1m e
=+ 试题解析：（1）依题意，知
的定义域为，当时，
，,令
，解得
或
（舍去），当
时，
；
当时，，所以的单调增区间为，减区间为
；
（2）当时，
，由
，得
，又
，所以
，要使方程
在区间上有唯一实数解，只需有唯一实数解，令，∴
，由
得
；
，得，∴
在区间
上是增函数，在区间
上是减函数.，故
.或11m e
=+.
点评：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确
定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
【规律总结】等与不等是数学解题中矛盾的两个方面，但是它们在一定的条件下可以相互转化，有时表面看来似乎只具有相等的数量关系，且根据这些相等关系很难解决，但是通过挖掘其中的不等量关系，转化为不等式(组)来求解，则显得非常简捷有效． 【举一反三】
已知函数()2 2 03 0x x f x x a a x ⎧->⎪=⎨-++<⎪⎩
，
，的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是（）
A ．17 116⎛⎫-- ⎪⎝⎭，
B ．17 28⎛⎫-- ⎪⎝⎭， C.191 16⎛⎫ ⎪⎝⎭，D ．171 16⎛
⎫ ⎪⎝
⎭，
【答案】D
类型三常量与变量的转化
例３．已知函数2
()ln (0,1).x
f x a x x a a a =+->≠ （1）求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）求函数()f x 单调递增区间；
（3）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()1(f x f x e e -≥-是自然对数的底数），求实数a 的取值范围． 分析：（1）由导数几何意义得：函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线斜率为(0)0f '=，又因为(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．（2）利用导数求函数单调区间，先求函数导数
()ln 2ln x f x a a x a '=-+，整理()2(1)ln x f x x a a '=-+，讨论导函数符号：当1a >时，
0201,ln 0()0x x x a a f x '>⇒>>>⇒>,；0201,ln 0()0x x x a a f x '<⇒<<>⇒<,；当01a <<时，0201,ln 0()0x x x a a f x '>⇒><<⇒>,；0201,ln 0()0x x x a a f x '<⇒<><⇒<,；从而()f x 的单调增
区间为(0,)∞+．（3）先去绝对值，即存在]1,1[,21-∈x x ，使得12()()1f x f x e -≥-等价于
max min ()()e 1f x f x --≥，由（2）讨论知()f x 的最小值()()min 01f x f ==，()f x 的最大值()max f x 为()
1f -和()1f 中的最大值．这样本题关键为确定()1f -和()1f 大小：作差，研究单调性得当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-．最后利用函数单调性解不等式．
解析：（1）因为函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =->≠+，所以()ln 2ln x f x a a x a '=-+，(0)0f '=，又因为
(0)1f =，所以函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =．
（2）由（1），()ln 2ln 2(1)ln x x f x a a x a x a a '=-=-++．因为当0,1a a >≠时，总有()f x '在R 上是增函数，又(0)0f '=，所以不等式()0f x '>的解集为(0,)∞+，故函数()f x 的单调增区间为(0,)∞+． （3）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12()()e 1f x f x --≥成立，而当[1,1]x ∈-时，
12max min ()()()()f x f x f x f x --≤，所以只要max min ()()e 1f x f x --≥即可．又因为x ，()f x '，()f x 的变
化情况如下表所示：
所以()f x 在[1,0]-上是减函数，在[0,1]上是增函数，所以当[1,1]x ∈-时，()f x 的最小值()()min 01f x f ==，
()f x 的最大值()max f x 为()1f -和()1f 中的最大值．因为
11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a a a a --=--=--+++，令1
()2ln (0)g a a a a a
=-->，因为
22121()1(1)0g a a a a '=-=->+，所以1
()2ln g a a a a
=--在()0,a ∈+∞上是增函数．而(1)0g =，故当1
a >时，()0g a >，即(1)(1)f f >-；当01a <<时，()0g a <，即(1)(1)f f <-．所以，当1a >时，
(1)(0)e 1f f --≥，即ln e 1a a --≥，函数ln y a a =-在(1,)a ∈+∞上是增函数，解得e a ≥；当01
a <<
时，(1)(0)e 1f f ---≥，即1ln e 1a a +-≥，函数1ln y a a =+在(0,1)a ∈上是减函数，解得10e
a <≤． 综上可知，所求a 的取值范围为1
(0,][e,)e
a ∈∞+．
点评：本题（3）把不等式转化为关于a 的函数，利用函数的单调性来解决，合理利用常量与变量的转化，
会事半功倍．
【规律总结】在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的常数(或参数)，将其看做是“主元”，而把其它变元看做是常量，从而达到减少变元简化运算的目的． 【举一反三】
已知当11a -≤≤时，2
(4)420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是____________. 【答案】(,1)
(3,)-∞+∞
类型四正与反的相互转化
例4．设命题:p 函数()2
116a f x g ax x ⎛⎫=-+
⎪⎝⎭
的定义域为R ;命题:39x x
q a -<对一切的实数x 恒成立,如果命题“p q 且”为假命题,求实数a 的取值范围.
分析：分别求出命题p ，q 成立的等价条件，利用p 且q 为假⇔p ，q 至少有一个为假命题，故其反面为：p ，q 都为真命题；先求出p ，q 都为真命题时实数k 的取值范围，再求其在实集上的补集就是所求实数k 的取值范围． 解析：要使函数()2
116a f x g ax x ⎛⎫
=-+
⎪⎝
⎭的定义域为R ，则不等式016
2>+-a x ax 对于一切x ∈R 恒成立，若a=0，则不等式等价为-x ＞0，解得x ＜0，不满足恒成立．若a ≠0，则满足条件
⎪⎩⎪⎨⎧<⨯-=∆>016410a a a ，即⎪⎩
⎪⎨⎧<->04102
a a ，解得⎩⎨⎧>>402a a ，即a ＞2，所以p ：a ＞2．记4141)213(93)(2≤+--=-=x x x x g ，∴要使3x -9x ＜a 对一切的实数x 恒成立，则a ＞4
1
，即q ：
a ＞41．要使p 且q 为假，则p ，q 至少有一个为假命题．当p ，q 都为真命题时，满足241
2>⇒⎪⎩
⎪⎨⎧>>a a a
∴p ，q 至少有一个为假命题时有a ≤2，即实数a 的取值范围是a ≤2．
点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。

“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。

【规律总结】否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中． 【举一反三】
【湖南省五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考，21】（本小题满分12分） 函数()()3
1,3
f x x x a x R a R =
+-∈∈． （1）若函数()f x 在R 上为增函数，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 在R 上不单调时；
①记()f x 在[]1,1-上的最大值、最小值分别为()()M a m a 、，求()()M a m a -； ②设b R ∈，若()2
3
f x b +≤
，对[]1,1x ∀∈-恒成立，求a b -的取值范围． 【解析】由已知得()3
331,1313,3
x x a x a f x x x a x x a x a
⎧+-≥⎪⎪=+-=⎨⎪-+<⎪⎩，令()3
13g x x x a =+-，则
()210g x x '=+>，所以()g x 在[),a +∞上为增函数；令()31
3
h x x x a =-+，则()21h x x '=-，令
()0h x '=，得1x =±，所以()h x 在(),1-∞-和()1,+∞上是增函数，在()1,1-上为减函数．
（1）因为()f x 在R 上是增函数，所以()h x 在(),a -∞为增函数，所以1a ≤-．
（2）因为函数()f x 在R 上不单调，所以1a >-，①当11a -<<时，()f x 在(),1-∞-上是增函数，在
()1,a -上是减函数，在(),a +∞上是增函数，所以
()()()()(){}324,max 1,1max ,333a m a h a M a h g a a ⎧⎫
===-=+-⎨⎬⎩⎭
．当4233a a -≥+，即113a -<≤
时，()43M a a =
-，()()()31343M a m a a a -=-+-；当4233a a -<+，即113a <<时，()23
M a a =+，
()()()3
1323M a m a a a -=-
--；当1a ≥时，()f x 在[]1,1-上是减函数，所以()()()()221,133m a h a M a h a ==-=-=+，故()()4
3M a m a -=，综上得
()()()()331134,1331
132,13
34,13a a a M a m a a a a a ⎧-+--<≤⎪⎪
⎪-=---<<⎨⎪⎪
≥⎪⎩
．②()2233b f x b --≤≤-对[]1,1x ∀∈-恒成立，即()
f x 在[]1,1-上的值域是22,33b b ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦的子集，当113a -<≤时，32334233a b a b
⎧≥--⎪⎪⎨⎪-≤-⎪⎩，即32
33
23a b a b ⎧-≤+⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，所以
322333a a b a ≤-≤++，令()32
33
a a a ϕ=++，易得()a ϕ在11,3⎛⎤- ⎥⎝⎦上是增函数，则182381a
b ϕ⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭，
所以282,381a b ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦．当113a <<时，32332233a b a b ⎧≥--⎪⎪⎨⎪+≤-⎪⎩，即3
233a b b a
⎧-≤+⎪⎨⎪-≥⎩，所以3233
223a a b a a b a ⎧-≤++⎪⎪⎨
⎪-≥>⎪⎩，令()32
33
a a a ϕ=++，易得()a ϕ在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，则()12a
b ϕ-<=，所以2,23a b ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭．当1
a ≥时，22332233a
b a b ⎧
+≤--⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，即a b a b ≤-⎧⎨≥-⎩，即a b =-，所以22a b a -=≥，所以[)2,a b -∈+∞，综上得
2,3a b ⎡⎫-∈+∞⎪⎢⎣⎭
．
【方法技巧】
1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。

“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。

2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，
又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。

3．注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性
化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。

因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键。

设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。

化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。

因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住化归的目标，即应该始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。

在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。

4．注意化归的等价性，确保逻辑上的正确
化归包括等价化归和非等价化归，等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

高中数学中的化归大多要求等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。

如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。

例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持。

数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外。

学生在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。