11.4无理数与实数(1)
第三讲-无理数与实数
代数（二）根式计算（二）——无理数与实数【知识要点】 1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…，21.414213=， －…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a、b互为相反数。
②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。
1ab a=⇔、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()00a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数，25，3.3333，3，0.412⋅⋅，…，π，256-中，哪些是有理数，哪些是无理数例2 （1）下列说法中，正确的是（）A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（）A．若a为实数，则a大于－a B．实数m的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例的相反数之和的倒数的平方为 。
例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 。
例5 试比较下列各组数的大小；①和②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（ ）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<<例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -=，求20012002x y +的值。
11、4无理数与实数(2)——实数教案 - 副本
怀柔区第四中学教案（2017-2018学年第一学期）教学过程：预设问题：1、什么是实数？2、对所学过的数可以进行怎样的分类？3、从有理数扩充到实数后，运算法则变吗？（一）创设情境，导入新课1．任何一个有理数都可以写成或的形式。
反之，任何或也都是有理数。
2.无理数：＿（二）自探、合探1.实数的概念和分类书上p46（1）实数： .（2）分类：按定义分：按符号分为： 实数 实数2．实数与数轴上的点 课本P46页（1）在数轴上找到表示无理数π的点（2）在数轴上找到表示有理数 和 2总结：（1）实数与数轴上的点是 对应的，即每一个实数都可以用数轴上的 来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示 。
（2）数轴上任意两个点， 的点所表示的实数总比 的点表示的实数大。
实数与数轴上的点是 关系.（三）展示与评价（根据学生做题情况，找有共性的问题展示、评价）1．判断（1）无理数都是开方开不尽的数。
（ ）（2）无理数都是无限小数。
（ ）（3）无限小数都是无理数。
（ ）（4）无理数包括正无理数、零、负无理数。
（ ）（5）不带根号的数都是有理数。
（ ）（6）有理数都是有限小数。
（ ）（7）实数包括有限小数和无限小数（ ）（8）所有的有理数都可以在数轴上表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数。
（ ）2.- 的倒数是 ， 相反数是 ， 绝对值是 。
的倒数是 ， 相反数是 ， 绝对值是 。
绝对值为 的实数是 .（四）教师精讲例1. _________. 在数轴上离点3_______＿＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ,＿ ,＿例2.按要求估计下列各数的范围（1）在哪两个整数之间2（2）在那两个数之间，这两个数精确到0.01（五）巩固训练_______.1．大于2．设a是最小的自然数,b是最大负整数,c是绝对值最小的实数,则a+b+c=______.3．如图，数轴上表示1A和B，点B关于点A的对称点为点C，则点C表示的数是( )A 1 B．1 C．2 D 24、|3-10|= ， |π-3.14|= .(六)、课堂检测1. 下列四个实数中是无理数的是 ( )C. D.1.414A.2.5B.1032．两个无理数的和、差、积、商一定是( )A．无理数B．有理数C．0 D．实数3.在两个整数之间.(七)、小结：1.实数是有理数与无理数的统称.2.实数的分类3.实数与数轴上的点一一对应,会估计一个无理数的范围.4.倒数、相反数、绝对值的求法不变.(八)、作业：书49页8、9题；50页11题(九)、课后反思：11.4无理数与实数（2）——实数 学案（一）创设情境，导入新课1．任何一个有理数都可以写成 或 的形式。
实数1
一、实数的有关概念
(1)实数的组成 ：0既不是正数，也不是负数；判别无理数的依据：①带根号且开方开不尽的，②带π的③带省略号且不循环的
(2)数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴. 实数与数轴上的点是一一对应的。
数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数，
(3)相反数: 实数的相反数是一对数(只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反效是零)． 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．
(4)绝对值:(0)||0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩
一个正数的绝对值是它本身0的绝对值是0一个负数的绝对值是它的相反数
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离
(5)倒数:实数a(a ≠0)的倒数是
a
1(乘积为1的两个数，叫做互为倒数)；零没有倒数． 二、重要题型：1、数的分类 在2,1,0,1-这四个数中，既不是正数也不是负数的是 （ ）A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 2以非负数a 2、|a|、 a (a ≥0)之和为零作为条件，解决有关问题
3科学记数法
将8450亿元用科学记数法表示为 。
将6.18×10﹣3化为小数的是 。
500亿千克，用科学记数法表示为 千克。
将1608000000用科学记数法表示为 。
1纳米=10
﹣9米，将0.00305纳米用科学记数法表示为 米．。
人教版七年级数学下册第六章《实数》小结与复习说课稿
4.生活实践：让学生收集生活中的实数问题，进行分析和解决，培养学生的数学应用意识。
（四）总结反馈
在总结反馈阶段，我将采取以下措施引导学生自我评价，并提供有效的反馈和建议：
1.让学生总结本节课所学知识，分享自己的学习心得；
（2）掌握实数运算的顺序和法则；
（3）解决实数混合运算中的实际问题。
二、学情分析导
（一）学生特点
本节课面向的是七年级学生，这个年龄段的学生正处于青春期，好奇心强，求知欲旺盛，具备一定的独立思考能力。在认知水平上，他们已经掌握了基本的算术运算，具备了一定的数学逻辑思维能力。然而，由于年龄和经验的限制，他们对实数概念的理解可能还不够深入，对实数运算的掌握也可能不够熟练。
2.互动教学：设计课堂提问、小组讨论等活动，引导学生积极参与，提高他们的学习主动性；
3.激励评价：对学生在课堂上的表现给予积极的评价和鼓励，增强他们的自信心；
4.举一反三：通过典型例题的讲解，引导学生发现解题规律，提高他们解决问题的能力；
5.数学游戏：设计一些与实数相关的数学游戏，让学生在游戏中学习，提高他们的学习兴趣。
板书在教学过程中的作用是帮助学生构建知识框架，直观展示教学内容的逻辑关系。为确保板书清晰、简洁且有助于学生把握知识结构，我将采取以下措施：
1.提前规划板书内容，确保知识点完整、系统；
2.使用不同颜色的粉笔，区分重点、难点和关键点；
3.板书过程中，适时引导学生关注，解释板书中的逻辑关系；
4.在适当位置留下空白，用于记录学生的疑问和课堂生成性内容。
2.提高练习：设计一些综合性较强的实数题目，培养学生的解题能力和思维能力；
初中二年级数学目录(课改版)
初二上册第十一章分式11.1 分式11.2 分式的基本性质11.3 分式的乘除法11.4 分式的加减法11.5 可化为一元一次方程的分式方程及其应用本章检测第十二章实数和二次根式12.1 平方根12.2 立方根12.3 无理数与实数12.4 二次根式及其性质12.5 二次根式的乘除法12.6 二次根式的加减法本章检测期中测试(上) 期中测试(下)第十三章三角形13.1 三角形13.2 三角形盼性质13.3 三角形中的主要线段13.4 全等三角形13.5 全等三角的判定13.6 等腰三角形13.7 直角三角形13.8.1 基本作图13.8.2 角平分线的性质定理及其逆定理13.8.3 线段垂直平分线的性质定理及其逆定理13.9 逆命题、逆定理13.10 轴对称和轴对称图形13.11 勾股定理13.12 勾股定理的逆定理本章检测第十四事件与可能性14.1 确定事件与不确定事件14.2 事件发生的可能性14.3 求简单事件发生的可能性本章检测期末测试答案全解全析初二下册第十五章一次函数一函数和函数的图象15.1函数15.2函数的表示法15.3函数图象的画法二一次函数15.4一次函数和它的解析式15.5一次函数的图象15.6一次函数的性质15.7一次函数的应用本章检测第十六章四边形一多边形16.1多边形二平行四边形16.2平行四边形和特殊的平行四边形16.3平行四边形的性质与判定16.4特殊的平行四边形的性质与判定16.5三角形中位线定理三中心对称图形16.6中心对称图形四梯形16.7梯形16.8等腰梯形与直角梯形本章检测期中测试第十七章一元二次方程一一元二次方程和它的解法17.1一元二次方程17.2一元二次方程的解法二一元二次方程的应用17.3列方程解应用问题本章检测第十八章方差与频数分布一数据的波动18.1极差、方差与标准差18.2用计算器计算标准差和方差二数据的分布18.3频数分布表与频数分布图本章检测期末测试全练答案全解全析。
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教案1一. 教材分析人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》这部分内容，主要让学生了解无理数和实数的概念，理解无理数和实数在数轴上的位置关系，以及它们在数学中的应用。
这部分内容是初中的重要知识，也是高中数学的基础。
二. 学情分析初中的学生已经有了一定的数学基础，但是对于无理数和实数这样的抽象概念，可能还比较难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念，并通过具体的例子，让学生感受无理数和实数在生活中的应用。
三. 教学目标1.让学生了解无理数和实数的概念，理解它们在数轴上的位置关系。
2.让学生能够运用无理数和实数的知识，解决实际问题。
3.培养学生抽象思维的能力，提高学生解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：无理数和实数的概念，无理数和实数在数轴上的位置关系。
2.难点：无理数和实数在实际问题中的应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出无理数和实数的概念。
2.使用多媒体教学，通过动画、图片等形式，让学生更直观地理解无理数和实数。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论中巩固无理数和实数的知识。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.无理数和实数的教学素材。
3.小组合作学习的指导手册。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出无理数和实数的概念。
问题：如果一个正方形的边长是2，那么它的对角线的长度是多少？2.呈现（10分钟）通过多媒体教学，呈现无理数和实数的定义，以及它们在数轴上的位置关系。
3.操练（10分钟）让学生通过小组合作学习的方式，解决一些与无理数和实数有关的问题。
4.巩固（10分钟）让学生回答一些关于无理数和实数的问题，以巩固他们刚刚学到的知识。
5.拓展（10分钟）让学生通过一些实际的例子，了解无理数和实数在生活中的应用。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生了解他们今天学到了什么。
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教学设计1
人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》教学设计1一. 教材分析人教版数学七年级下册《无理数、实数概念》是学生在初中阶段首次接触无理数和实数这两个重要的数学概念。
教材通过引入无理数和实数的概念，让学生理解实数的分类，以及实数与数轴的关系。
这一部分内容为学生后续学习函数、几何等数学知识打下基础。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了有理数的相关知识，具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力。
但无理数和实数的概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题出发，逐步理解和掌握无理数和实数的概念。
三. 教学目标1.了解无理数和实数的概念，理解实数的分类。
2.掌握无理数和实数在数轴上的表示方法。
3.能够运用无理数和实数的知识解决实际问题。
四. 教学重难点1.无理数和实数的概念。
2.实数的分类和数轴上的表示方法。
3.运用无理数和实数解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
2.数形结合法：利用数轴帮助学生直观地理解无理数和实数的概念。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，加深对无理数和实数概念的理解。
六. 教学准备1.教学PPT：制作有关无理数、实数概念的PPT，包括图片、动画等元素，提高学生的学习兴趣。
2.数轴道具：准备数轴道具，方便学生直观地理解实数与数轴的关系。
3.练习题：准备相关练习题，巩固学生对无理数和实数概念的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示一些生活中的无理数，如圆周率、黄金比例等，引导学生思考：这些数是什么类型的数？它们有什么特点？2.呈现（10分钟）介绍无理数和实数的概念，讲解实数的分类，引导学生理解无理数和实数在数轴上的表示方法。
3.操练（10分钟）让学生在数轴上表示一些无理数和实数，如√2、-3、π等，并解释它们在数轴上的位置。
4.巩固（10分钟）让学生回答以下问题：1.无理数和实数有什么区别？2.实数可以分为哪几类？3.如何在数轴上表示无理数和实数？5.拓展（10分钟）利用PPT展示一些实际问题，让学生运用无理数和实数的知识解决，如：计算一张矩形桌子的面积，求解一个无理方程等。
北京课改版数学八年级上册11.4《无理数与实数》课件(共36张PPT)
有理数有 3.14 , 2 5
,
9
方法点拔: （1）从定义作出判断； （2）所有的有理数都能写成分数形式，但无理数则不能；
实数的分类：
实数的概念：有理数与无理数统称为实数。
整数
｛ ｛ 按数的概念来分：全体实数
有理数 分数(有限小数和循环小数)
无理数(无限不循环小数)
｛ 按数的性质来分： 全体实数
正实数 0
问题：什么是无理数呢?
问题：什么是无理数呢?
无限不循环小数叫做无理数.
2 是人类最早发现的无理数之一.
早在公元前500年左右,人们就会
证明 2 是无理数了,2000多年前希腊
几何学家欧几里得所写的<<几何原本
>>一书中记载了证法.你能举出一些无 理数的例子吗？
探究活动5：
你能在数轴上找到表示 2 的点吗？
小结：有理数可以用数轴上的点表示， 无理数也可以用数轴上的点表示.
实例辨析
例1.下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？
，－3.14， 3 ，1.732，0.03，18， 25 ， 21 ， 36 31
3 7 ， 3 8 ，0.484848…，
0.3131131113…（两个 3 之间依次多一个 1）
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
情感与态度：
1.创造一个让学生自主探索与合 作交流进行学习的氛围，让学生 体验探索、交流、合作的乐趣；
2.在学生的讨论和问题解决的探索 中，通过对学生学习方法的指导， 提高学生的探究能力与合作精神；
2无理数与实数
第二讲 无理数与实数【知识要点】1．无理数(1)无理数的概念无限不循环小数叫做无理数．学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．(2)有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750.有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227，－5.23·，－π2. 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227，－5.23·；无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－π2.2．无理数近似值的估算方法 要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．【例2】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题． (1)x 的整数部分是多少？(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x 是有理数吗？请简要说明理由．解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，6.76＜x 2＜7.29；当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316； … 则有：(1)x 的整数部分为2.(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65. (3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数． 释疑点 如何四舍五入利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．3．无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． (3)开方开不尽的数(下一节学到)．【例3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0，π2，－4,0.12··，－117，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141592 7.分析：1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)为无限不循环小数，π2为含π的数，两者都为无理数.0，－4为整数，是有理数；0.12··，－34，3.141 592 7为分数或可化为分数，是有理数．解：有理数为0，－4,0.12··，－117，3.141 592 7；无理数为π2，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)．辨误区 π与3.141 592 7的区别3．141 592 7属于有限小数，不是π，要注意区分． 4．实数的概念及分类(1)有理数和无理数统称实数． (2)实数的分类：我们所学习的实数范围大、类别多，按照不同的标准就有不同的分类方法，总体来说有两种情况：①按定义来分类②按正、负数来分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数正无理数0负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数负无理数分类是一个重要的数学思想，对实数分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏． 对啊! 还要注意：0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，它在实数里扮演着重要角色. 我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.【例4】 把下列各数填入相应的集合内：0，2，15，0.3·，－π，－3－27，1.234 56…，－49. (1)有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}； (3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{…}．分析：实数按照不同的分类标准有两种分类方法，将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．解：(1)有理数集合：⎩⎨⎧0，15，0.3·，－3－27，－49，… }.(2)无理数集合：{2，－π，1.234 56…，…}．(3)正实数集合：⎩⎨⎧2，15，0.3·，－3－27，1.234 56…，… }.(4)负实数集合：{－π，－49，…}． 点技巧 实数的有关性质解答本题时要注意以下几点：(1)对于－3－27，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数又不是负数；(3)一切分数都是有理数．5.实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．(1)相反数：实数a 的相反数是－a,0的相反数是0，具体地，若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0；反之，若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数．如：π与－π，3与－3均互为相反数．(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.就是说实数a 的绝对值一定是一个非负数，即|a |≥0，并且若|x |＝a (a ≥0)，则x ＝±a .例如：|－3|＝3，|－π|＝π，|3|＝3，|2－3|＝－(2－3)＝3－2，….(3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab ＝1；反之，若ab ＝1，则a 与b 互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．(4)实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则：①正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个负实数，绝对值大的反而小；②数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．在进行实数比较大小时，我们会经常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多种多样，所以要根据实际采用适当的方法，亦可分别尝试应用．【例5－1】 解答下列问题：(1)求3－216的绝对值；(2)若某数的绝对值是13，求这个数； (3)已知|x |＝26，求实数x ；(4)设a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的倒数是其本身，化简cdm＋(a ＋b )m －|m |.分析：(1)3－216＝－6，－6的绝对值是6；(2)(3)在解决时要考虑到正负两种情形；(4)由a 与b 互为相反数可得a ＋b ＝0，由c 与d 互为倒数可得cd ＝1，由m 的倒数是其本身可得m ＝±1，然后化简可解．解：(1)|3－216|＝|－6|＝6.(2)∵|13|＝13，|－13|＝13，∴绝对值是13的数是±13.(3)∵|x|＝26，∴x＝±26.(4)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，m＝±1.当m＝1时，原式＝1＋0×1－1＝0；当m＝－1时，原式＝－1＋0×(－1)－|－1|＝－1－1＝－2.注：(2)(3)两题实质是一样的，只是表达形式不同，解题时要防止丢掉负实数．【例5－2】比较下列各组数的大小：(1)－3.141 5和－π；(2)211和3 5.分析：解：(1)∵|－3.141 5|＝3.141 5，|－π|＝π＝3.141 592…，3．141 5＜π，∴－3.141 5＞－π.(2)∵(211)2＝4×11＝44，(35)2＝9×5＝45,44＜55，∴211＜3 5.点技巧比较负无理数的大小(1)比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；(2)因为211和35都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大．6．实数与数轴上点的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满．【例6】大家知道，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示13的点．分析：考虑到(13)2＝9＋4＝32＋22，可以利用勾股定理在数轴上作出长为13的线段，从而找到表示13的点．解：作法如下：(1)在数轴上找到一点A，使OA＝3；(2)过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB＝2；(3)连接OB；(4)以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点．点评：在数轴上作无理数一般是借助勾股定理．7.a与a的算术平方根之区别a与a的算术平方根是代数中两个十分重要的概念，两者有非常密切的联系，但也有所区别，主要表现在以下几方面：(1)a是一种代数式，而a的算术平方根是一种运算.a(a≥0)是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式．而算术平方根是指一种运算，一种与平方互为逆关系的运算．(2)a比a的算术平方根内涵更丰富.a虽然建立在a的算术平方根上，但它比a的算术平方根的含义更丰富．对于a来说，它表示的意义仍然是非负数a的算术平方根．用a的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．(3)算术平方根不一定带根号．如3是9的算术平方根．【例7】 对于题目“化简并求值：1a ＋1a ＋a 2－2，其中a ＝15”，甲、乙二人的解答不同．甲的解答是：1a ＋1a 2＋a 2－2＝1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495； 乙的解答是：1a ＋1a2＋a 2－2＝1a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝1a＋a －1a ＝a ＝15.谁的解答是错误的？为什么？ 分析：甲、乙二人的解答区别在于1a2＋a 2－2的化简，1a2＋a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，其值是非负数．由于a ＝15，所以结果应是1a－a .解：乙的解答是错误的．理由：∵a ＝15，则a －1a ＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝1a －a . 注意：|a |与a 2在化简时一定要考虑其值的非负性．8．实数在生活中的应用实数是日常生活、生产中必不可少的数，它们与我们的生活息息相关，因此，与实数相关的问题自然成为中考命题的热点．数学知识生活化是近几年来中考热点之一，实数也不例外，将生活中的实数搬进中考已成为中考的一个亮点．【例8】 教生物的老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地观察，为了考查一下同学们的计算能力，他把长方形的基地设计成长为8020 m ，宽为345 m ，让学生算出这块实验基地的面积解：实验基地的面积为8020×345＝80×3×20×45＝240900＝240×30＝7 200(m 2)．答：这块实验基地的面积为7 200 m 2.【素质能力测试】 A 组1． 小数，叫做无理数。
实数(第一课时)教学设计
实数(第一课时)教学设计教学设计学科：数学教师：XXX课题名称：实数（第一课时）学情分析：在本节之前，学生已经研究了平方根、立方根，认识了无理数，了解了无理数是客观存在的，从而将有理数扩充到实数范围，使学生对数的认识进一步深入。
教材分析：本节是义务教育课程标准鲁教版七年级上册第四章《实数》的第六节。
这节内容教材安排了2个课时，本节课为第一课时。
主要是建立实数的概念并能对实数按要求进行不同的分类，同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是一一对应的。
教学目标：知识与技能目标：1.了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；2.了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。
3.了解实数和数轴上的点一一对应。
过程与方法目标：1.通过对实数分类的探究，增强学生的分类意识；2.在利用数轴上的点来表示实数的过程中，将数和图形结合在一起，让学生进一步体会数形结合的思想。
情感与态度目标：1.通过对实数进行分类的练，进一步领会分类的思想方法；2.在探究利用数轴上的点表示实数的过程中，训练学生多角度思维，培养和发展学生的合作意识。
教学重难点：重点：1.了解实数意义，能对实数进行分类；2.在实数范围求相反数、倒数和绝对值；3.明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。
难点：建立实数概念及分类，用数轴上的点来表示无理数。
教学策略：多媒体课件、投影仪、电脑，自主探究—交流—发现。
教学过程与方法：教学形式：新授教学环节：导入教师活动：引入问题：1.什么是有理数？有理数怎样分类？2.什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？学生活动设计意图：回顾以前研究过的内容，为进一步研究引入无理数后数的范围的扩充作准备。
通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念。
在实数概念形成的基础上对实数进行不同的分类。
上面的数中有，不能放入上面的任何一个集合中，学生容易遗漏，强调也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类。
11.4 无理数与实数 同步练习(含答案)
11.4 无理数与实数基础能力训练◆无理数与实数的基本概念判断1～10题：1.因为3的平方等于9，所以9的平方根是3. ( )2.(－2)2的算术平方根是2. ( )3.实数a 的算术平方根一定是非负数. ( )4.负数没有平方根，也没有立方根 ( )5.一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0或1. ( )6.无限小数是无理数. ( )7.无理数与无理数的和是无理数. ( )8.数轴上的所有点都对应着有理数. ( )9.因为3.14是有理数，所以π是有理数. ( )10.一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是0或1. ( )11.无理数是( )A.无限循环小数B.开方开不尽的数C.除有限小数以外的所有实数D.除有理数以外的所有实数12.若440-=m ，则估计m 的值所在的范围是( )A.l<m<2B.2<m<3C.3<m<4D.4<m<513.要使代数式x x --31有意义，则x 的取值范围是( )A.x≠3B.x≥lC.1≤x<3D.x>l 且x ≠314.下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④17-是17的平方根.其中正确结论的个数有( )A.0个B.1个C.2个D.3个15.已知03|5|=++-b a ，那么a －b ＝_______. 16.37-的相反数是_____；绝对值等于3的数是______.17.若0523|74|=+-+-+y x y x ，则=y x_______.18.把下列各数分别填入相应的集合里：12-，0，722，3125-，0.101 001 000 1…，210-，·3.0，2π-有理数集合：{ …}；无理数集合：{ …}；负实数集合：{ …}.◆比较无理数的大小19.比较下列各组数的大小： (1);625,53 (2);56,65-- (3)25,56--综合创新训练◆综合应用20.如图12.4－2所示，每个小正方形的边长为1，则网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数是( )A.0个B.1个C.2个D.3个21.已知x+y的一个平方根是－3，x－y的立方根是3，求2x－5y的值.22.如果(2a+b)3＝27，5a，求(3a+b)2n+1的值.+b2=323.(1)如图12.4—3所示，数轴上A点对应的数是什么?它介于哪两个整数之间?(2)如果将所有的有理数都标到数轴上，那么数轴被“填满”了吗?◆问题探究24.若a 2为两位数，则a 可能是几位数?若a 2为三到四位数，则a 可能是几位数?……若a 2为2n －1到2n 位数，则a 可能是几位数?25.当x 、y 满足什么条件时，等式xx x x y 52132513-++-+=成立?◆实际应用26.有一棱长为15cm 的正方体铁块，要将其锻造成一个铁球，请问铁球的直径是多少(不计锻造过程中铁的损失，精确到1 cm)?参考答案1～10答案：1.× 2.√ 3.× 4.× 5.× 6.× 7.× 8.×9.× 10.×11答案：D12答案：B 解析：估计一个a 型的无理数的范围的方法，常采用平方法.因为a a =2)(，所以只要考虑a 在哪两个相近的完全平方数之间.本题中36<40<49，所以7406<<，34402<-=<m .13答案：C解析：∵x x --31有意义,∴,0301⎩⎨⎧>-≥-x x 解得1≤x<3.14答案：B 解析：只有④正确.15答案：816答案：37 3±17答案：133- 解析：∵0523|74|=+-+-+y x y x ,∴⎩⎨⎧=+-=-+0523074y x y x .解得:⎪⎩⎪⎨⎧=-=.713,73y x ∴13371373-=-=y x . 18答案：0,722,3125-,210-, ·3.0 12-,0.101 001 000 1…,2π- 2,125,123π---19答案：(1)62553>； (2)5665->-； (3)2556-<-.20答案： C 解析：261522=+=AB ,543,13322222=+==+=AC BC .21答案：解析：由题意知⎩⎨⎧=-=+,279y x y x 解得⎩⎨⎧-==918y x ∴2x－5y ＝2×18－5×(－9)＝81.22答案：解析：∵(2a+b)3＝27，532=+b a ，∴⎩⎨⎧=+=+,253232b a b a 解得:⎩⎨⎧=-=,114b a ∴3a+b=－1,(3a+b)2n+1=－123答案：解析：(1)A 点对应的数是2，它介于1和2两个整数之间.(2)即使将所有的有理数都标到数轴上，也不能“填满”数轴.如(1)所示的点A 就填不上.这也说明有理数不能和数轴上的点形成一一对应的关系.24答案：解析：102=100是三位数，∴当a 2为两位数时，a 只能是一位数， 又∵1002＝10 000是五位数，∴当a 2为三到四位时，a 只能是两位数， ∵(10n )2=102n =10……0是2n+1位数，∴当a 2为2n －1到2n 位数时，a 只能是n 位数. 25答案：解析：由题意知，02513≥-+x x 且05213≥-+x x 而2513-+x x 与xx 5213-+互为相反数， 所以，只有当3x+l ＝0，即31-=x 时， 等式x x x x y 52132513-++-+=才有意义. 26答案：解析：设铁球的直径为x cm.由题意得33)2(3415x •=π. 解得x ≈19.答：铁球的直径约为19 cm。
无理数与实数(基础)知识讲解
无理数与实数（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：…….要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念 1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (73)π--- 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73-- 无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三：【高清课堂： 389318 实数复习 ，巩固练习3】【变式】下列说法错误的是（ ）①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.A ．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④【答案】C ；类型二、实数大小的比较2、（2014秋•新华区校级期中）比较和1的大小． 【答案与解析】解：∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＜1．【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键． 举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π--754__2333232 90－ 3___10- |43___(7)---【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）A. 3.2-B.7- C. 7 D. 10- 【答案】B ；【解析】－3＜7-＜－2.【总结升华】关键是估计出7-的大小. 类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－【答案与解析】解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－ =|74+7|－ =274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.举一反三：【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣．【答案】解：原式=4+﹣1﹣3=．5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________． 【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .举一反三：【变式】已知2(16)|3|0x y +++=【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．12=.。
京改版八年级上册11.4无理数与实数优秀教学案例
3.设置疑问，引导学生思考无理数在实际生活中的应用，激发学生学习的积极性。
问题导向环节是教学过程中的重要环节，我会引导学生提出问题，激发学生的思考。通过小组讨论和探究，让学生主动探索无理数的性质，提高学生的思维能力。同时，设置疑问，引导学生思考无理数在实际生活中的应用，激发学生学习的积极性。
（三）小组合作
在教学过程中，我会采用讨论、自主学习等教学方法，引导学生主动探索，提高学生的动手能力和思维能力。同时，我会关注学生在学习过程中的思维过程，培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学的兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，提高学生自主学习的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例引入无理数的概念，例如通过讨论圆周率π的值，让学生感受无理数的存在。
2.设计实际问题，让学生在解决问题的过程中自然地接触到无理数，例如计算物理中的自由落体运动的时间。
3.利用多媒体课件展示无理数在现实生活中的应用，如建筑设计中的圆周率计算等，激发学生的学习兴趣。
三、教学策略
（一）情景创设
1.利用生活实例引入无理数的概念，例如通过讨论圆周率π的值，让学生感受无理数的存在。
11.4无理数与实数
课后实践，拓展延伸
基础达标 1.数学书P49：8、9. 2.操作实践：制作一个表面积是12平方分 米的正方体纸盒. （1）这个正方体纸盒的棱长是多少？ （2）做出这个正方体纸盒.
Thank You!
人们发现的第一个无理数是 2 。据说，它的发现还曾掀 起一场巨大的风波。
古希腊毕达哥拉斯 学派是一个研究数学、科学、哲学的
团体，他们推崇比例论，即认为一切数都是整数或者是整数
之比。有一个名叫希帕蒂斯 的学生，他画一边长为1的正方
形，ห้องสมุดไป่ตู้对角线为x，他想：x代表正方形对角线长，而x×x=2， 那么x必定是确定的数。但它是整数还是分数呢? 他证明x不 能是整数，因1×1=1, 2×2=4, x×x=2，x必定大于1而小于2， 1与2之间却没有别的整数。那么x会不会是分数呢? 毕达哥拉 斯和他的学生们绞尽脑汁也找不到这个分数。
（2）无理数是无限小数（ ）
（3）无理数是带根号的数（ ）
（4）带根号的数是无理数（ ）
（5） 3 15 4
（）
（6）形如 a, 3 a 的数是无理数（ ）
应用新知，强化理解
1.估计 11 ，3 5 介于哪两个连续的整数之间， 更接近哪个整数？
应用新知，强化理解
我们班的学农基地是一块400平方米的正方形 土地，老师想沿着朝南一边的方向划分出一块面积 为300平方米的长方形土地种植芝麻，使它的长宽 之比为3:2，老师不知能否划分出来.体育委员见了 说：“老师不用愁，一定能从面积大的土地中划分 出一块面积小的芝麻地的”，你同意体育委员的看 法吗？老师能划分出符合条件的芝麻地吗？为什么？
探究活动
整数 精确到0.1 精确到0.01 精确到0.001
小于 2
北京课改版数学八年级上册11.4《无理数与实数》说课稿
北京课改版数学八年级上册11.4《无理数与实数》说课稿一. 教材分析《无理数与实数》是北京课改版数学八年级上册第11.4节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了有理数、实数等知识的基础上，进一步引导学生认识无理数，理解无理数与实数的关系，以及了解无理数的性质。
教材通过实例引入无理数的概念，让学生通过观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，培养学生的抽象思维能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了有理数的概念和性质，对实数有一定的了解。
但学生对无理数的认识还比较陌生，无理数的概念和性质比较抽象，学生理解和接受起来可能会有一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，引导学生通过观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，降低学生学习的难度。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解无理数的概念，掌握无理数的性质，能够正确判断一个数是无理数还是非无理数。
2.过程与方法：培养学生通过观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，提高学生的抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生积极思考、勇于探索的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：无理数的概念和性质。
2.教学难点：无理数的判断，以及无理数与实数的关系。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、引导发现法、合作交流法等，引导学生自主学习，培养学生的抽象思维能力。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、数学软件等辅助教学，提高教学效果。
六. 说教学过程1.导入新课：通过实例引入无理数的概念，让学生感受无理数的存在。
2.自主探究：让学生观察、思考、探究，自主发现无理数的特点，引导学生理解无理数的概念。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自对无理数的理解和发现，培养学生的合作交流能力。
4.性质探究：引导学生探究无理数的性质，如无理数的大小比较、无理数的运算等。
5.应用拓展：让学生运用无理数的知识解决实际问题，提高学生的知识运用能力。
实数的分类与性质
实数的分类与性质实数，这个在数学世界中无处不在的概念，是我们理解和解决众多数学问题的基础。
要深入了解实数，首先得清楚它的分类以及每种分类所具有的独特性质。
实数可以大致分为有理数和无理数两大类。
有理数，那是我们日常生活中经常接触到的数字类型。
有理数包括整数和分数。
整数，就像我们熟悉的－3、－2、－1、0、1、2、3 等等，它们没有小数部分。
而分数呢，比如 1/2、3/4、5/6 等，是可以表示为两个整数之比的数。
有理数的一个重要性质是它们可以表示为有限小数或者无限循环小数。
再来说说无理数。
无理数可就有些“调皮”了，它们不能表示为两个整数之比，并且其小数部分是无限不循环的。
像圆周率π，约等于31415926，还有自然对数的底数e，约等于271828，以及根号2 等等，都是无理数。
在有理数中，整数又可以进一步细分。
正整数，也就是大于 0 的整数，像 1、2、3；零，这个特殊的存在，既不是正数也不是负数；负整数，小于 0 的整数，如－1、－2、－3分数也有不同的种类。
真分数，分子小于分母，比如 1/2、2/3；假分数，分子大于等于分母，像 3/2、5/5。
实数的性质众多，其中一个关键的性质是实数的四则运算封闭性。
也就是说，两个实数进行加、减、乘、除（除数不为 0）运算，结果仍然是实数。
实数还具有有序性。
对于任意两个实数 a 和 b，要么 a ＜ b，要么 a ＝ b，要么 a ＞ b，这三种情况必居其一。
另外，实数的稠密性也是其重要性质之一。
在任意两个不相等的实数之间，总存在着无数个其他的实数。
实数的绝对值也是一个重要的概念。
实数 a 的绝对值记作｜a|，当a 大于等于 0 时，｜a| ＝ a；当 a 小于 0 时，｜a| ＝ a。
绝对值具有非负性，即｜a| ≥ 0。
实数的运算还遵循一定的法则。
加法交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a；加法结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c)；乘法交换律：a × b ＝ b × a；乘法结合律：（a × b) × c ＝ a ×（b × c)；乘法对加法的分配律：a ×（b ＋ c) ＝ a × b ＋ a × c 。
11.4无理数与实数(1)
教学过程：一、预设问题：1、 什么是无理数？怎样判断？2、 无理数能在数轴上表示吗？ 二、课前学习：1、9的平方根是 ,3的算术平方根是 .2、4的平方根是 ,2的算术平方根是 .3、 和 统称有理数。
4、下列各数，－，π，0.010010001……，既不是 ，也不是 ，所以它们都 （是，不是）有理数。
三、自学探究：按照教材P44—P45动手操作，并完成下列问题：1. 无理数的定义：我们把 叫做无理数。
2.无理数有不同的表现形式，如： 都是无理数四、合作探究：1.无限小数包括无限循环小数和 ，其中 是有理数， 是无理数。
2.把下列各数填入相应的集合内：213、8、0、27、、0.5、3.14159、--0.020020002、0.131131113……. 有理数集合（ ） 无理数集合（ ）3.下列说法正确的是 ( )A. 有理数是有限小数B. 无理数是无限小数C. 无限小数是无理数D. 是分数五、拓展提升233π3π你能在数轴上找到表示的点吗？六、归纳总结几种对无理数的错误认识：(1)“无理数就是没有理由的数”。
这是一种望文生义的错误认识。
实质上，无理数在现实世界中也是有意义的。
如a 2=2中的a 表示 .(2)“无理数就是无限小数”.这显然是错误的。
如∙3.0就不是无理数，=∙3.0 ,它是有理数.(3)“无理数的和、差、积、商仍是无理数.” 这显然是错误的。
如π－π = ，π÷π = .七、课后反思：八、课堂检测：1．_________小数或____________小数是有理数，____________小数是无理数． 2．2x = 8，则x______分数，______整数，______有理数．（填“是”或“不是”）3．以下各数：－1,23 ,3.14,－π,3.3,0,2,722 ,24 ,－0.2020020002……(相邻两个2之间0的个数逐次加1),其中，有理数有_____________，无理数有_______________.在以上有理数中，分数有__________，整数有____________.4．下列说法中正确的是（ ）A ．不循环小数是无理数B ．分数不是有理数C ．有理数都是有限小数D ．3.1415926是有理数5．下列语句正确的是（ ）A ．3.78788788878888是无理数B ．无理数分正无理数、零、负无理数C ．无限小数不能化成分数D ．无限不循环小数是无理数6．下列六种说法：○1无限小数都是无理；○2正数、负数统称有理数；○3无理数的相反数还是无理数；○4无理数与无理数的和一定还是无理数；○5无理数与有理数的和一定是无理数；○6 无理数与有理数的积一定仍是无理数。
有理数,无理数,实数的区别
有理数,无理数,实数的区别
实数（R）可以分为有理数（Q）和无理数，其中无理数就是无限不循环小数，有理数就是有限小数和无限循环小数；其中有理数又可以分为整数（Z）和分数；整数按照能否被2整除又可以分为奇数（不能被2整除的整数）和偶数（能被2整除的整数）。
1
1、性质不同
有理数：有理数为整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。
正整数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。
因而有理数集的数可分为正有理数、负有理数和零。
实数：实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
2、所属不同
有理数：有理数属于实数，有理数包括正整数、0、负整数，又包括正整数和正分数，负整数和负分数。
实数：实属包括有理数，实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
2
1、同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。
2、异号两数相加，若绝对值相等则互为相反数的两数和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
3、互为相反数的两数相加得0。
4、一个数同0相加仍得这个数。
5、互为相反数的两个数，可以先相加。
6、符号相同的数可以先相加。
7、分母相同的数可以先相加。
8、几个数相加能得整数的可以先相加。
《实数1》教案
《实数1》教案教学目标知识与技能：1、了解无理数和实数的概念以及实数的分类；2、知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系.过程与方法：在数的开方的基础上引进无理数的概念，并将数从有理数的范围扩充到实数的范围，从而总结出实数的分类，接着把无理数在数轴上表示出来，从而得到实数与数轴上的点是一一对应的关系.情感态度与价值观：1、通过了解数系扩充体会数系扩充对人类发展的作用；2、敢于面对数学活动中的困难，并能有意识地运用已有知识解决新问题. 教学重点1、了解无理数和实数的概念；2、对实数进行分类.教学难点对无理数的认识.教学过程一、复习引入无理数： 利用计算器把下列有理数95119847533，，，，-写成小数的形式，它们有什么特征？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式 即：5.09518.0119875.58476.0530.33 ===-=-=，，，， 归纳：任何一个有理数(整数或分数)都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式，反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数.通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，把无限不循环小数叫做无理数. 比如33,5,2-等都是无理数.14159265.3=π…也是无理数.二、实数及其分类：1、实数的概念：有理数和无理数统称为实数.2、实数的分类：按照定义分类如下：实数⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧数）无理数（无限不循环小小数）（有限小数或无限循环分数整数有理数 按照正负分类如下：实数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数零负无理数正有理数正实数 3、实数与数轴上点的关系：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示.物理是合乎是否也可以用数轴上的点表示出来吗？活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为π，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是π，由此我们把无理数π用数轴上的点表示了出来.活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是2以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示2，与负半轴的交点就是2-.事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数.归纳：①实数与数轴上的点是一一对应的.即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数.②对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比左边的点表示的实数大.三、应用：例1、下列实数中，无理数有哪些？2，172，37.0 -，14.3，35，0，⋅⋅⋅11121211211121.10，π，2)4(-. 解：无理数有：2，35，π注：①带根号的数不一定是无理数，比如2)4(-，它其实是有理数4； ②无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数.比如⋅⋅⋅11121211211121.10.例2、把无理数5在数轴上表示出来.分析：类比2的表示方法，我们需要构造出长度为5的线段，从而以它为有理数集合 无理数集合 解：如图所示，,1,2==AB OA 由勾股定理可知：5=OB ，以原点O 为圆心，以OB 长度为半径画弧， 与数轴的正半轴交于点C ，则点C 就表示5.四、随堂练习：1、判断下列说法是否正确：⑴无限小数都是无理数；⑵无理数都是无限小数；⑶带根号的数都是无理数；⑷所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；⑸所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数.2、把下列各数分别填在相应的集合里： ,722 1415926.3，7，8-，32，6.0，0，36，3π，⋅⋅⋅313113111.0. 3、比较下列各组实数的大小： (1)4，15 (2)π，1416.3 (3)23,23-- (4)33,22 五、课堂小结1、无理数、实数的意义及实数的分类.2、实数与数轴的对应关系 .六、布置作业。
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有一定的规律，但不循环的无限小数都是 无理数。（人造无理数）
练习：判断下列数哪些是有理数？哪些是无 理数？ 22
6, 2 , 1. 2 3,
22 7,
7
36
, 36
1.232232223 (两个3之间依次多一个 2)
有理数是： 无理数是：
1. 2 3 ,
6
, 1.232232223 2
练习：45页
1、 2
布置作业
5厘米
2、5是有理数吗？
3
如果把 2、5写成小数， 大家可参看37页和45 页： 2=1.4142135623…… 3 5=1.709975964……
3
我们把这种无限不循环小数叫做无理数。
44页交流
下面是3种常见的无理数：
圆周率 及一些含有 的数都是无理数
例如：
1、与
,
2
,
2 7,
的数是无理数。 3, 12
25
25 5 25是有理数
2、开方开不尽的数，都是无理数。
0.1010010001…〔两个1之间依次多1个0〕
—234.232232223…〔两个3之间依次多1个2〕
0.12345678910111213 …〔小数部分由相继的 正整数组成〕
11.4
无理数与实数（1） 作者：解春山
1.有理数如何分类？
整数(如-1，0，2，3，… ):都可看成有限小数.
有理数
分数(如 限
1 2 9 , , 3 5 11
…
):都可以化成有限 小数或无限循环小数
活动与探究
1.面积为9平方厘米得得正方形，它的边长 是多少厘米？ 3厘米
2.面积为2平方厘米得得正方形，它的边长 是多少厘米？ 2厘米 3.体积为5立方厘米得得正方体，它的棱长 是多少厘米？3