系统的传递函数矩阵为共48页
传递函数阵
传递函数阵
传递函数矩阵指的是在多输入、多输出线性时不变系统下，将系统各个输入与各个输
出之间的关系统一表示为矩阵的形式。该矩阵被称为传递函数矩阵。
系统的物理特性可以用数学模型来描述，通常采用微分方程的形式来表示。而当系统
具有多个输入和多个输出时，为了方便描述，我们可以采用矩阵的形式表示系统的状态，
即将状态向量、输入向量和输出向量都表示为矩阵的形式：
$$
\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix} , \quad
\mathbf{u} = \begin{bmatrix} u_1 \\ u_2 \\ \vdots \\ u_m \end{bmatrix} , \quad
\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_p \end{bmatrix}
$$
其中$\mathbf{x}$表示状态量矩阵，$\mathbf{u}$表示输入量矩阵，$\mathbf{y}$表
示输出量矩阵。$n, m, p$分别表示状态量、输入量和输出量的个数。
在线性时不变系统中，系统的状态方程可用矩阵形式表示：
$$
\begin{aligned}
\dot{\mathbf{x}} &= \mathbf{Ax}+\mathbf{Bu} \\
\mathbf{y} &= \mathbf{Cx}+\mathbf{Du}
\end{aligned}
$$
我们可以根据线性时不变系统的传输特性，将输入矩阵$\mathbf{B}$和直流增益矩阵$\mathbf{D}$组成一个$m\times p$的矩阵，称为传递函数矩阵$\mathbf{G}(s)$:
现代控制理论实验指导书
实验一 多变量时域响应
一、实验目的
1、 掌握多输入多输出（MIMO ）系统传递函数的建立
2、 分析MIMO 系统时域响应的特点 二、实验仪器
1、 TDN —AC/ACS 型自动控制系统实验箱一台
2、 示波器
3、 万用表
三、实验原理与电路
1、传递函数矩阵
关于传递函数矩阵的定义是当初始条件为零时，输出向量的拉氏变换式与输入向量的拉氏变换式之间的传递关系。
设系统动态方程为
()()x Ax t Bu t ∙
=+，()()()y t Cx t Du t =+
令初始条件为零，进行拉氏变换，有
()()()
()()()
sX s AX s BU s Y s CX s DU s =+=+
则
11
()()()
()[()]()()()X s sI A BU s Y s C sI A B D U s G s U s --=-=-+=
系统的传递函数矩阵表达式为
1()()G s C sI A B D -=-+
设多输入多输出系统结构图如图1-1。
图1-1多输入多输出系统结构图
它是由传递函数矩阵为()G s 和()H S 的两个子系统构成。
由于
()()()()[()()]
()[()()()]
Y s G s E s G s U s Z s G s U s H s Y s ==-=-
则
1()[()()]()()Y s I G s H s G s U S -=+
闭环传递矩阵为：1()[()()]()s I G s H s G s -Φ=+ 2、实验题目
某一控制系统如图1-2，为二输入二输出系统的结构图。
图1-2 二输入二输出系统的结构图
传递函数矩阵例题
传递函数矩阵
【例9.9】已知系统的状态空间表达式为
u x x x x x
x
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡10023
5100010321321 ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=321211
2
3x x x y 求系统的传递矩阵。
解 首先求
1
1
1
23
5
1
00123
5
1000100
000
00)(---⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+--=⎪⎭
⎪⎬⎫
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡=-s s s
s s s
A sI
)
()(A sI D A sI adj --=
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢
⎢
⎣
⎡+--+-++++++=2223)
53(5)2(5123
25
321s s s s s s s s s s s s 其中：D (sI-A )代表矩阵的(sI-A )行列式，adj (sI-A )代表矩阵(sI-A )的伴随矩阵。于是有
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣
⎡+--+-++++++⋅⎥⎦
⎤⎢
⎣⎡=100)
53(5)2(5123
25321211
2
3
)(2
223s s s s s s s s s s s s s G ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=
22
31211
2
3
5321
s s s s s 10
642322
3
2
+++++=s s s s s
现代控制理论总结
现代控制理论总结
第一章：控制系统的状态空间表达式
1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念：
在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。
以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。
随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。
2、状态空间表达式：
状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。
3、实现问题：
由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题
单入单出系统传函：W(s)=错误!未找到引用源。，实现存在的条件是系统必须满足m<=n，否则是物理不可实现系统
最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。即无零，极点对消的传函的实现。
三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）
4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型）
传函无零点错误!未找到引用源。
系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。
传函有零点见书p17页……..
5、建立空间状态表达式的方法：
①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函）
现代控制理论习题解答(第三章)
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
3-3-1 判断下列系统的状态能控性。
（1）⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=01,0101B A （2）⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111001,342100010B A （3）⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=020011,100030013B A （4）⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡=1110,0
000
00
001
1111B A λλλλ 【解】：
(1)
[]2,1011==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-==n rankU AB B
U c c ，所以系统完全能控。
(2)
[
]
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---==7
111111010
012
B A AB
B
U c 前三列已经可使3==n rankU c ，所以系统完全能控（后续列元素不必计算）。 （3）
A 为约旦标准型，且第一个约旦块对应的
B 阵最后一行元素全为零，所以系统不完全能控。 （4）
A 阵为约旦标准型的特殊结构特征，所以不能用常规标准型的判别方法判系统的能控性。
同一特征值对应着多个约旦块，只要是单输入系统，一定是不完全能控的。 可以求一下能控判别阵。
[
]
2,1113210312
11
31211312
11211
3
2
=⎥⎥⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎢
⎣⎡==c c rankU B A B
A A
B B
U λλλλλλ
λλλλλ，所以系统不完全能控。
3-3-2 判断下列系统的输出能控性。
(1) ⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x
现代控制理论作业题.
⎡− a
0 ⎤ ⎡0⎤
⎢
(2)
x&
=
⎢ ⎢
−b −c
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u,
y = [1
0
0
0]x。
⎥ ⎢1⎥
⎢ ⎣
0
−
d
⎥ ⎦
⎢⎣1⎥⎦
2.17 试判断下列系统的可观测性：
⎡−1 − 2 − 2⎤ ⎡2⎤
(1)
x&
=
⎢ ⎢
0
−1
1
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u,
y = [1 1
0]x
⎢⎣ 1 0 −1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎢
⎣
λ1
0
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢1⎥⎥u；
λ1
⎥
λ2
⎥ ⎦
⎢1⎥ ⎢⎣1⎥⎦
⎡λ1 1
⎤ ⎡0⎤
⎢
(6)
x&
=
⎢ ⎢
⎢
⎣
λ1
1
0
⎥ ⎥
x
+
⎢⎢0⎥⎥u。
λ1
⎥
λ2
⎥ ⎦
⎢1⎥ ⎢⎣1⎥⎦
2
2.13
已知
ad =
bc，试计算
⎡a ⎢⎣c
2.14 设系统状态方程为
过程控制题库全
填空
1 前馈控制一般有四种结构形式，分别为：（ ），（ ）， （ ），（ ）。
2 工业上PID 控制器一般可以分为四类，分别为：（ ），（ ），（ ），（ ）。
（1） Smith 预估补偿控制对给定值的跟随效果比对干扰量的抑制效果要好（ ） (2) 在PID 控制中，若系统震荡剧烈，则应加大积分信号（ ）
（3） 在PID 控制中，为了提高系统的响应速度，则应加大比例信号（ ） （4） 在控制系统中，控制通道时间常数的大小反映了控制作用的强弱（ ） （5） 增量型PID 算式仅仅是计算方法上的改进，并没有改变位置型PID 算式的本质（ ） （6） 串级控制系统的主回路可以看成是一个定值控制系统（ ） （7） 在模糊控制中，隶属度函数值一般不会大于1 （ ）
（8） 在解耦控制中，若Λ矩阵的元素λ越接近1，表示相关通道受耦合的影响越小（ ） （9） 在选择性控制中，总有一个控制器（调节器）处于开环状态 （ ） (10) 分程控制本质上是一个单回路控制系统 （ ） (10) 均匀控制结构上与单回路控制系统完全相同 （ ）
（11）自衡的非振荡过程传递函数一般可写为：s e Ts s K
s G τ-+=
)
1()(( )
（12）不论前馈还是反馈控制系统扰动滞后f τ都不会影响控制系统的品质( ) （13）任何串级控制系统副对象的动态滞后总是比整个对象的动态滞后大( ) （14）前馈控制系统属于开环控制系统 ( )
（15）在解耦控制中，相对增益λ为负值，表示严重关联 ( ) （16）实验室控制AE2000A 的控制方式中没有计算机控制( ) （17）在实验室DCS 中，JX-300的所有卡件均为热插拔卡件 ( )
对偶系统的传递函数矩阵
在线性系统理论中，偶系统是指只有偶次幂项的系统，常见的偶系统有传递函数表示和状态空间表示两种表示方法。
传递函数表示偶系统时，需要使用传递函数矩阵来表示偶系统的输入输出关系。传递函数矩阵是一个多项式矩阵，其中的每个元素都是一个多项式，用来表示偶系统的输入输出关系。
例如，对于一个二阶偶系统，其传递函数矩阵可以表示为：
$$G(s) = \begin{bmatrix} G_{11}(s) & G_{12}(s) \ G_{21}(s) & G_{22}(s) \end{bmatrix}$$
其中，$G_{ij}(s)$ 表示系统的第 $i$ 个输入与第 $j$ 个输出之间的传递函数。
在使用传递函数矩阵表示偶系统时，还可以利用矩阵的性质来对偶系统进行分析和设计。例如，可以使用矩阵的逆矩阵来求出偶系统的反馈传递函数矩阵，从而分析偶系统的稳定性和阻尼性等特性。
此外，还可以使用矩阵乘法的性质来求出偶系统的输入输出关系，从而设计出满足特定要求的偶系统。
在实际应用中，偶系统的传递函数矩阵可以用来分析和设计各种复杂的线性系统，例如控制系统、信号处理系统等。
现代控制理论基础总复习
第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：
第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；
第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；
第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。
9
10 2.1 线性系统的时域数学模型
()(1)(2)121()()()()()n n n n n c t a c t a c t a c t a c t ---+++++
()(1)(2)0121()()()()()m m m m m b r t b r t b r t b r t b r t ---=+++
++ (2.1) 式中，()r t 和()c t 分别是系统的输入信号和输出信号，()()n c t 为()c t 对时间t 的n 阶导数；i a (1,2,)i n =和j b (0,1,)j m =是由系统的结构参数决定的系数。
2.2 传递函数
11m n b s a s --++++++
11 式中
1011()m m m m M s b s b s b s b --=++++
1011()n
n n n N s a s a s a s a --=++++
()M s 和()N s 分别称为传递函数()G s 的分子多项式和分母多项式。
2.5 线性系统的状态空间描述
A Bu
y C du =+⎧⎨=+⎩x x x
(2.3) 2.5.2 状态空间表达式与传递函数的关系
系统的传递函数名词解释
系统的传递函数名词解释
系统的传递函数是指输出变量响应的变化，与输入变量信号响应的变化之间的数学关系。通常用函数的形式来表示，表述了输出变量对输入变量的影响。在连续时间系统中，传递函数通常表示为s域的有理函数形式：H(s)=Y(s)/X(s)其中，H(s)是系统的传递函数，s是复平面上的复数变量，X(s)和Y(s)分别是系统的输入和输出信号在s域中的拉普拉斯变换，分别称为输入信号的拉普拉斯变换和输出信号的拉普拉斯变换。在离散时间系统中，传递函数通常表示为z域的有理函数形式：H(z)=Y(z)/X(z)其中，H(z)是系统的传递函数，z是单位圆上的复数变量，X(z)和Y(z)分别是系统的输入和输出信号在z域中的z变换，分别称为输入信号的z变换和输出信号的z变换。系统的传递函数是描述和分析控制系统的基础，通过分析系统的传递函数，可以计算系统的稳态响应、阶跃响应、频域响应等重要性能指标，也可以使用不同的设计工具来设计系统的控制器，以满足不同的系统性能要求。
线性系统理论试卷
湘潭大学研究生考试试题
考试科目：线性系统理论/现代控制理论考生人数：20考试形式：闭卷 适用专业： 双控单控/电传 适用年级：一年级 试卷类型： A 类
一、给定多项式矩阵如下：
22121()1
2s s s s D s s s ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
++++=
++ 1. 计算矩阵的行次数，判断系统是否行既约？ 2. 计算矩阵的列次数，判断系统是否列既约？ 3. 寻找单模矩阵，将多项式矩阵()D s 化为史密斯型。 二、设系统的传递函数矩阵为右MFD 1()()N s D s -，其中：
210
()21s D s s s s
⎡
⎤
⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
-=
+-+，()11N s s s ⎡⎤⎣⎦
=-+ 试判断{}(),()N s D s 是否右互质；如果不是右互质，试通过初等运算找出其最大右公因子。
三、给定()G s 的一个左MFD 为：
1
210
1
0()112
1s s G s s s s
-⎡
⎤
⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣
⎦
-+=
+-+ 试判断这个MFD 是否是最小阶的；如果不是，求出其最小阶MFD 。 四、确定下列传递函数矩阵的一个不可简约左MFD ：
21
1
0()102
2s s s G s s s s s ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
⎣⎦
+=
+++
五、给定系统的传递函数矩阵为
22
3
(1)(2)(1)(2)()31(1)(2)
(2)s
s s s s s G s s s s s s ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣
⎦
+++++=
+++++
试计算出相应的评价值，并写出其史密斯--麦克米伦型。 六、给定传递函数矩阵如下：
2
2221156()1253
现代控制理论课后习题答案
绪论
为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点，并且在以后参加考研考博考试直到工作中，为大家提供一个理论参考依据，我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》（刘豹第三版），希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求，本次任务分组化，责任到个人。我们班整体分为五大组，每组负责整理一章习题，每个人的任务由组长具体分配，一个人大概分1~2道题，每个人任务虽然不算多，但也给同学们提出了要求：1.写清题号，抄题，画图（用CAD或word画）。2.题解详略得当，老师要求的步骤必须写上。3.遇到一题多解，要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书，为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤，即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。我们紧贴原课本，强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题，将各章节的知识点都有机地整合在一起，力争做到了对控制理论概念阐述明确，给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。在课后题中出现的本章节重难点部分，我们加上了必要的文字和图例说明，让读者感觉每一题都思路清晰，简单明了，由于我们给习题配以多种解法，更有助于发散大家的思维，做到举一反三！
这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管，魏琳琳同学负责分组和发布任务书，由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核，然后汇总到胡玉皓同学那里，并由他做最后的总审核工作，绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
现代控制理论 2-4 系统的传递函数矩阵
第二章 线性系统的状态空间分析法§1 线性系统的状态空间描述 §2 线性定常连续系统的分析 §3 线性定常离散系统的分析 §4 系统的传递函数矩阵一、定义及表达式零初始条件下，输出向量的拉氏变换式与输入向量 的拉氏变换式之间的传递关系——传递函数矩阵。& ⎧ x(t ) = Ax(t ) + Bu(t ) ⇒ sX(s ) = AX(s ) + BU (s ) ⎨ ⎩y (t ) = Cx(t ) + Du(t ) ⇒ Y(s ) = CX(s ) + DU(s )∴ X(s ) = (sI − A ) BU (s )−1∴ Y(s ) = C(sI − A ) BU (s ) + DU(s ) = G (s )U(s )−1G (s ) = C(sI − A ) B + D−1q× p1
⎡Y1 (s )⎤ ⎡G11 (s ) G12 (s ) L G1 p (s )⎤ ⎡U1 (s ) ⎤ ⎢Y (s )⎥ ⎢G (s ) G (s ) L G (s )⎥ ⎢U (s )⎥ 22 2p ⎢ 2 ⎥ = ⎢ 21 ⎥⎢ 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M M M ⎥⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢Yq (s )⎥ ⎢Gq1 (s ) Gq 2 (s ) L Gqp (s )⎥ ⎢U p (s )⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦Y1 (s ) = G11 (s )U1 (s ) + G12 (s )U 2 (s ) + L + G1 j (s )U j (s ) + L + G1 p (s )U p (s )Yi (s ) = Gi1 (s )U1 (s ) + Gi 2 (s )U 2 (s ) + L + Gij (s )U j (s ) + L + Gip (s )U p (s )Yq (s ) = Gq1 (s )U1 (s ) + Gq 2 (s )U 2 (s ) + L + Gqj (s )U j (s ) + L + Gqp (s )U p (s )Gij (s ) =Yi (s ) , i = 1,2, L , q; j = 1,2 ,L ,p U j (s )第 j 个输入与第i 个输出之间的传递函数。例：已知系统的状态方程，求传递函数矩阵。& ⎡ x1 ⎤ ⎡0 1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ u1 ⎤ ⎢ x ⎥ = ⎢0 − 2⎥ ⎢ x ⎥ + ⎢0 1⎥ ⎢u ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ ⎣ &2 ⎦ ⎣ ⎡ y1 ⎤ ⎡1 0⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎢ y ⎥ = ⎢0 1 ⎥ ⎢ x ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣ 1 ⎡1 −1⎢ s −1 ⎤ (sΙ − A )-1 = ⎡ = ⎢s ⎢0 s + 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎢0 ⎢ ⎣ −1解:G (s ) = C(sI − A ) B + D⎡1 ⎡1 0 ⎤ ⎢ s =⎢ ⎥⎢ ⎣0 1 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣⎤ s (s + 2 ) ⎥ ⎥ 1 ⎥ s+2 ⎥ ⎦1 ⎤ ⎡1 s(s + 2 ) ⎥ ⎡1 0⎤ = ⎢ s ⎥ ⎢ 1 ⎥ ⎢0 1 ⎥ ⎢ ⎣ ⎦ 0 ⎢ ⎣ s+2 ⎥ ⎦1 ⎤ s (s + 2 )⎥ ⎥ 1 ⎥ s+2 ⎥ ⎦传递 函数 组成 的矩 阵！2
自动控制原理试-6
自动控制原理试-6
(总分：100.00，做题时间：90分钟)
一、(总题数：21，分数：100.00)
1.试将图示非线性系统简化成一个非线性环节和一个等效线性部分相串联的典型结构，并写出等效线性部分的传递函数G(s)。
（分数：2.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：对于图示系统，先将G 1，G 3串联后作为G 2的反馈通道，可简化成下图结构。
G 1 G 3方框与G 2方框为反馈连接，合并得到下图所示结构。
则等效线性部分的传递函数
已知某非线性系统结构如图所示，非线性环节描述函数为
非线性系统
（分数：8.00）
(1).使该非线性系统稳定、不稳定以及产生周期运动时，线性部分的K值范围。（分数：4.00）
__________________________________________________________________________________________ 正确答案：()
解析：非线性环节负倒描述函数为
当A=0时，，当A→+∞时，，因此位于负实轴上的区段。
线性部分频率特性为
令∠G(jωx )=-90°-2arctanωx =-180°，得ωx =1，且。
在复平面上作出G(jω)曲线和曲线如下图所示。
当，即时，系统稳定；
当，即时，系统产生周期运动；
当，即K＞2时，系统不稳定。
(2).判断周期运动的稳定性，并计算稳定周期运动的振幅A和频率ω。（分数：4.00）
自动控制原理-传递函数计算PPT文档48页
自动控制原理-传递函数计算
怎样思想，就有怎样的生活
ห้องสมุดไป่ตู้
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
系统的传递函数矩阵为
M
E
p
c1wenku.baidu.com c2A
d1B d2 B
M
c pAd p B
F
F1
F2
M
Fp
c1A c2A
d11 d2 1
M
c pAd p 1
开环传递函数阵的第i 行可以表示为下式：
17
ci (sI
A)1B
1 sdi 1
(ciAdi B
ci
A
di
1B
1 s
L
)
s
1
di 1
[c1i
0 0 0 1 0
x&
0
0
1
x
0
0 u
1 2 3 0 1
y
1 0
1 0
0 1
x
试计算di 和 Ei
解
c1B=[1 0], d1 =0; E1=[1 0]
c2B=[0 1], d2=0; E2=[0 1]
16
3. 开、闭环传递函数阵 引入非负整数 di 及非零行向量Ei后， 记
E
E1
E2
0
(4-39)
以上分析表明，对两种表达方式：G(s)和 (A,B,C)，我们均可以求得di 和 Ei 。
13
例题1 给定如下的G(s)，试计算 di 和 Ei
s2
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10
2. 非负整数di 及非零向量 Ei
记C的第i行为ci；G(s)的第i 行为Gi (s)，即
G 1(s)
G
(s)
G
2
(
s
)
G
p
(
s
)
可将Gi (s)表示成 G i( s ) c i( s I A ) 1 B c s i B c i s A 2 B c iA s d d i i 1 B c i s A d i d i 1 B
c p A d p 1
开环传递函数阵的第i 行可以表示为下式：
17
c i( s I A ) 1 B s d 1 i 1 ( c iA d iB c iA d i 1 B 1 s)
sd 1 i 1[ciA diB ciA di 1(I1 sA s1 2A 2s1 3 )B ]
20
可将闭环传递函数阵表为：
1 sd11 Gf(s)
或
[EF(sIA)1B][IK(sIABK)1B]H
1 sdp1
(S-1)
1 sd11 Gf(s)
[EF(sIA)1B][IK(sIA)1B]1H
定理4-9 系统
x A x B u , y C x(4-32)
可用反馈u=Kx+Hv 进行解耦的充分必要条件是(4-
42) 式定义的E为非奇异阵，即
E
E1
E
2
c1A
c2A
d1B d2B
非奇异。
E
p
c p A d p B
E i
F i
(sIA )1
sd1i1[EiFi(sIA)1B]
18
开环传递函数阵可以表示为: p21
G(s
)
G1(s )
G2
(s
)
1 sd11 [E1
s
1
d2 1
[E2
F1(sI
A)1B]
F2
(s
I
A)1
B]
1 [u 1 ]
s
1
4 [u 2 ]
1
6
[u 1 ]
s2
1 2s
[u 1
2]
由于控制间的耦合作用，要使每一个通道都能够稳
定并有满意的动态性能，控制律的设计显然要比单
变量系统时来得困难。
4
2.状态反馈控制律：
p=q，即方解耦问题；
状态反馈控制律为
u=Kx+Hv (H为非奇异阵)
共 di项
11
若 在 上 式 中 ， c i B c i A B c i A d i 1 B 0 ( 共 有 d i 项 ）
但
Ei： ciAdiB0，
则我们得到了一个非负整数
di 0 d个i事数实，上它是等上价于式使中由左向右s负幂次系数是零的项的
lim s sdi1G i(s)0
其 中 gi(s)为 传 递 函 数 。
27
故 存 在 非 负 整 数 d i及 E i,满 足 .
Ei：
lim
s
sdi
1G
fi
(s)
lim
s
sdi
1
0,
,0,
ni (s) ,0 di (s)
,0
ei 0
故有E 是对角的； 又因为 E i是非零向量， 因此有E 非奇异。但E EH ，故知E非奇异。
1 sdp1
(S-2)p19
21
4 . 闭 环 系 统 的 非 负 整 数 d i 和 非 零 行 向 量 E i:
按照非负整数di及非零向量Ei 的定义，我们可以得到
闭环传函阵所对应的 d i ,
E
。注意到
i
G f 1 (s )
G
f (s )
G
fp
(s
)
ciA kB 0,k di
由k=0、1,…..,依次证明即可。
于 是 ：
1 ） k 0 ,1 , ,d i 1 时 ， c i(A B K )kB H c iA kB H 0 ;
2） ci(AB K )diB H ciA diB H E iH E i。
同 时 有 di di。
1
定义 若(A,B,C) 的传函阵G(s)p=q是对角形非奇异 矩阵，则称系统(4-32)是解耦的。
n 1 (s )
d
1
(s
)
0
0
n 2 (s )
G
(s
)
d 2 (s )
0
0
0
n
p
(s
)
d p (s )
ni (s)不恒为零。
di (s)
3
多变量控制系统的解耦问题是多变量系统控
制律设计中的主要问题之一。考虑如下简单的
2×2系统： 1
y1
y
2
=
s
1
1
s 6
1
s4 1
u u
1 2
s 2 2s 1
y1
y
2
s
s
1
15
例题4-5a 系统方程为 p33
0 0 0 1 0
x0 0 1x0 0u 12 3 0 1
1 1 0 y0 0 1x
试计算di 和 Ei
解
c1B=[1 0], d1 =0; E1=[1 0]
c2B=[0 1], d2=0; E2=[0 1]
耦的反馈信号u=Kx+Hv，其中：
K=E1F , H=E1
由上式可知，闭环传函阵的McMillan阶为
证完。
24
特别，若
E
：=
E
E
1 2
,
E p
这里，
c1A
d1 B
则
：E
c2A
d2 B
H=EH。
来自百度文库
c
p
A
d
p
B
E i: c i( A B K ) d iB H c iA d iB H 0 ,
25
三、系统可解耦的充要条件
Gfi(s)ci[sI(ABK)]1BH=ciBHs1 ci(ABK)BHs12 ci(ABK)kBHsk11 22
我们有
Ei :ci(ABK)di BH0, ci(ABK)kBH0,kdi
引 理 2 ： d i d i,E i E iH 。
证 明 ： 只 要 证 明
28
充分性: 将
K=E1F , H=E1
代入(S-2)可得
1 sd11 Gf (s)
K=E1F
H=E1
[EF(sIA)1B][IE-1F(sIA)1B]1E-1
1 sdp1
开环
29
1
s
d11
1
s
d
p
16
3. 开、闭环传递函数阵
引入非负整数 di 及非零行向量Ei后， 记
E
E1
E
2
c1A c2A
d1B d2B
E
p
c p A d p B
F
F1
F
2
F
p
c1A c2A
d11 d 2 1
解 d1 =min{1,2}1=0 , d2
=min{2,2}1=1
故 根 据 定 义 ：
我们有
E i s l im s d i 1 G i( s ) c iA d iB 0
14
E 1 s l i m s G 1 ( s ) 1 0 c 1 A d 1 0 B E 2 s l i m s 2 G 2 ( s ) 1 3 c 2 A d 2 1 B
c i( A B K ) d iB H = c iA d iB H 0 , 而
c i(A B K ) k B H 0 ( k d i)
即可。
23
为 此 ， 先 证 明 ：
开环：
c i( A B K ) k c iA k ， k 0 , 1 ,2 ,,d i E i : c i A d i B 0
G
p
(s
)
1 sdp 1
[Ep
Fp
(sI
A)1B]
1
sd11
[E
F(sI
A)1B]
1
sd
p
1
19
再利用 (4-37)式: G f(s ) C [ s I (A B K ) ] 1 B H G ( s ) [ I K ( s I A B K ) 1 B ] H G ( s ) [ I K ( s I A ) 1 B ] 1 H ( 4 3 7 )
0
0 ,gi(s)0
0
0 gp(s)
8
本节的基本内容：
预备引理； 可解耦的充要条件: 定理4-10，积分器解耦系统； 一种解耦控制律: 定理4-11。
9
二、 预备引理
1. 引理 1. 开、闭环传递函数矩阵的关系 : Gf(s)C[sI(ABK)]1BH =G(s)[IK(sIABK)1B]H G ( s ) [ I K ( s I A ) 1 B ] 1 H ( 4 3 7 )
G f( s ,K ,H ) C [ s I ( A B K ) ] 1 B H
7
3. 解耦问题的提法： 找出矩阵K、H ，使 G f( s ,K ,H ) C [ s I ( A B K ) ] 1 B H
为对角、非奇异阵：
g1(s) 0
Gf
(s)
g2(s)
(4-
34)
其中
K R pn为 状 态 反 馈 阵
H R p p 为 非 奇 异 的 输 入 变 换 阵 。
5
vH
u B
x
x
y
C
A
K
包括输入变换的状态反馈系统
6
因此，对上述状态反馈控制律
u=Kx+Hv (H为非奇异阵)
(4-34)
x ( A B K ) x B H v ,y C x 经 状 态 反 馈 后 的 闭 环 传 递 矩 阵 为 ：
2
例：考虑如下系统：
1 yy12=G(s)uu12s01
0 1
uu12
s22s1
由 y G (s)u ,我 们 有
y1
s
1
1u1
y2
s2
1 2s
1u2
系统被完全解耦了。由于此时只需要解决单变量 系统的控制问题，简化了控制律的设计。
12
的 最 小 正 整 数 ， 即
d i: m in { a i1a i2 a ij a ip } 1
gij(s)n diijj((ss)): deg(dij(s))deg(nij(s))
因 此 ， 根 据 上 述 d i和 E i的 定 义 ，
E i s l i m s d i 1 G i( s ) c iA d iB 0 (4-39) 以上分析表明，对两种表达方式：G(s)和
(A,B,C)，我们均可以求得di 和 Ei 。 13
例题1 给定如下的G(s)，试计算 di 和 Ei
s2
1
G (s)s22s1 1 s22s1
ss22 2 3ss 24G G 1 2((ss))c c1 2((ssII A A )) 1 1B B
§4-3 用状态反馈进行解耦控制 一、解耦问题的提法
1.解耦系统的定义
系统动态方程为 x A x B u , y C x(4-32)
这里A、B、C分别为n×n、n×p、p×n的矩阵。由于 p=q，这是一个方阵解耦问题。
系统的传递函数矩阵为
G ( s ) q pq p C ( s I A ) 1 B (4 -3 3 )
1
(4-49)
其中，
[ I E 1 F ( s I A ) 1 B ] 1 E 1
[ E 1 E E 1 F ( s I A ) 1 B ] 1 E 1
[E F (sI A ) 1 B ] 1 。
证完。
30
注：定理的充分性证明实际上给出了使系统的解
26
证明： 必要性 。只要证明E非奇异就可以了。
若系统可用状态反馈u=Kx+Hv解耦，于是 Gf(s) 对角且非奇异：
g1(s)
n1(s) d1(s)
Gf
(s)
0
0
g2(s)
n2(s) d2(s)
0
0
0
gp
(s)
np (s) dp (s)